Вариационные методы исследования нелинейных задач оболочек вращения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

НАЦЮНАЛЬНА АКАДЕМШ НАУК УКРАШИ ___„ „ 1нститут математики

Р Г Б ОД

- о л Г/Т ^сог;

о VIII ¡«.^ На правах рукопису

Штогрш Роман Мирославович

ВАР1АЦ1ЙЩ МЕТОДИ ДОСЛВДЖЕННЯ НЕЛШ1ЙНИХ ЗАДАЧ ОВОЛОЫОК ОБЕРТАННЯ

01.01.03 — математична фюика

Автореферат дисертац!» на одобуття паукового ступеня кандидата фЬико-математичлкг ->аук

Ки1в — 1995

Дисертац1ею е рукопкс.

Робота виконана у в!дШ математично! ф1зики i теорИ нел1н!йних йоливань 1нституту математики HAH Укра!ии.

Науковий кар1вник: доктор ф1зико-матвматичних наук, профэсор БЕРЕЗОВСЬКИЙ A.A.

0ф1ц1йн1 опонентиi доктор Ф1зикэ-математичних наук, профэсор C&JIE30B I.T.

кандидат ф1зико-матвматичига наук, депонт Г0РДИН0ЫШ1 Л.Д.

Пров1днв уотанова: 1нститут к1бернетики HAH Укра!ни

Захист дисертвцМ в 1д0удеться ^^^^ 1995р. о /' , годин!

на зас!данн! спвц1вл1зов8но1 ради Д 016.60.Ой ггри 1нститут1 математики HAH Укра!ни за адресов» 262601, Ки!в 4, вул.терв1вднк!вська,3,

3 дис0ртац1ею мокна ознййомитмоь в б!блЬтвц1 I петитуту.

Автореферат роа1сланий " ,

ВчениЯ секретер сп9ц1ал1эоввноТ ради

t"

Лучка А.Ю.

)

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

АКТУАЛЫПСТЬ ТЕМИ.Теор!я оболонок як окрема наукова дисципл1на вародилася в друг!й половин! зпх стол!ття, коли були отркман! загальн! р!вняння рхшюваги та руху о болонки 1 дан! В1рн! постановки в1дпов1дта задач. В той час розглядалнсь в основному лшеаризован! диференц!йн! задач!, для. яких !снував добре розроблэний метод суперпозиц1й. Становище корЬшим чином змЬшлось на початку хх стол!ття в зв'язку а бурхливим розвитком технЬш, який вимагав б!лып точного опису реальних ф!зичнюс процес!в. Застооування оболонок як основних елемент!в р!зноман1тних конструкц!й ' та споруд дозволило досягнути високо! м!цност! та легкост!, тобто сама тих якоотей, як! так наобх!дн! в ав!а- та приладобудуванн!, буд!внлцтв! та !нших галузях техн!ки. -Л!н!йна теор!я при цьому не могла дати не т!льки к1льк!сного, ала Й як!сного опису напруженого 1 деформованого стану , гнучких оболонок» Такий опис став мокливим т!лыш на основ! гвомэтрично нел!н!йно! теорП оболонок. математична модель пэл!н!йно! теорН оболонок - да складна система нел!н!йних даференцШшх р!внянь з частинними пох!дними.

Точа! розв'язки таких р!внянь можуть бути отриман! лише в дея-ких частинних випадках, шревакно для оболонок просто! конф!гурац!1 1 при пенних видах граничних умов. В загвльному випадку для досл!д-ження 0!льш' складнях Я9л1н1йних вадач теори оболонок обертання ефактивним виявляеться эастосування ввр!ац±Йни1 метод!8. Вииористо-вуючи *у оботавшад» що головн! Члени таких р!вняннЬ е л!н1йшам, еадача вводиться до розв'язання енотами р!внянь, як! м!стять Йэл1н!йн1 пэпэрврвн! оператори. Вйкораотовути тополог!чн! метода, Мояна довести кошактШсть мйотнй неблияених розв'язк!в 1 показати, «Ь «окна гранична точка тако! (<юо»инй е розй'явком ц!е! задач!.

. Для знаходжения наблккаиаго розй'язку задач дэформац!! оболонки ебэртання уеп!шно викориотовуеться матод Р!тца. При цьому роз-в'йзок шукаеться у взгляд! розклвду по фШтяих сазисних фушц!ях, [до пршзогмь нас до система алгебра 1<шйх ргвнянь з розрхдхеноп МйтрЭДэю* а козф!ц!ентй розкладу, в б!лыаоет1 штадк!Ё, е значениям тв!домих функц1Й аба 1хн!х пох!дшй 8 вузловях точках. Чиотльна раал!аац!я цього мэтоду кав!ть прп нэв-эйшхй к!льяост! вузлха дае |)39уЛЬ?А51{ 1!зеб^1д«о1 точшот!.

• йсновя тёйо! гаомэтричпо йэл!н!йко! тебри були розвипут! в ро-

ботах I.Г.Бубнова, а пот1м узагальнен! Т.Карманом. Подальшого роз-витку ця теор!я отримала в роботах А.А.Беразовського, В.В.Болотхна, А.О.Вольмхра, Я.М.Григоранка, Х.М.Муштар!, В.В.НоЕоаилова, Ю.1.Нар!я та шиих в!тчизнянзгх га зарубЬкних вчених.

.ДисертацШна робота присвячэна досл!данна коректиоот! нел!-н1йних крайових задач осесимэтричяо! деформацИ термоиавантажаних задач оболонок оберташш. Отршан! результата доведен! до алгоритм!в I програм 1 можуть бути використая! для розв'язання задач, щр виникають в приладобудуванн!, буд!внщтв! та !ншкх гапуаях техн1вн.

МЕТА РОГОШ.Метою робота е еив!д й9л1нШшх моделей статики 1 динашки деформацы тзрмонввантакених оболонок обертання, досл!д-ванх коректност! отриманих ивлхяИШх крайових задач. Розробка ефектийних метод1В знаходження ваближэних розв'язк1в постввланих задач х доведения до елгоритмхв г програм числошпс розрахугаив на ЕОМ.

ЗАГАЛЬН! МЕТОДИ ДОСЛЦЩЕННЯ.В. робот! використовуеться вар!ац!й-ний шдххд для виводу р1внянь рхвновага 1 црародаих крайових умов задач деформацП термонавантажених оболонок обертання. При досл!д-женнх корзктшотХ цаставлених задач вастасовувться вар!ац1йнх 1 то-полог!чн! метода, а для отримання наближеного розв'язку Еикори-стовуеться метод Бубнова-Гальоркхна.

НОВИЗНА I ПРАКТИЧНА ЦПШСТЬ.В дисертац!йн!й робот! отримпп! статичн! х дгаамхчнх модел! осесшетрично! двфэрмацд! тонких оболонок обертання, як! знаходяться п!д д!ев симетричного зовншшього навантаяення 1 симэтричного теплового поля. Для цих задач отриманх теореми 1снування 1 еданостх розв*як!в. На рснов! методу Бубнова-Гальоркйш розроблен! ефективн! метода знаходження набликених розв'язкгв поставланих задач, ша доведен! до алгоритм!в ! програм числових розрахункхв на ЕШ. 0триман1 наблгокен! числов! розв'язки кошфетних нелпИйних крайових задач статики 1 динам!ки деформац!! термонавантажених цшйндричних оболонок обертання. Результата ди-сертац!йно1 робота можуть бути вшористан! для розв'язання нел1-н!йнлх крайових задач, що виникають в приладобудуванн!, буд!вшщтвх та !нших галузях тахн!ки.

АПРОБАЩЯ РОБОТИ.ПО результатах дисертац!! зроблэнх доповхд! на ш«т-сем!нар! "Нал!н!йнх крайов! задач! математачно! фхзики та !х

- э -

застосування" (м.Терношль, 1994 р.), на наукових семгаарах в!дд!лу математично! ф!зики та теор!! нелиййних коливань 1нституту математики НйН Укра1ш1.

ШГБЛ1КАЦ11.0сноен1 результата виконаних досл!де:ень опубл!кован1 в п'яти роботах.

СТРУКТУРА ДИСЕРТАЦП.Диеертац!я складаеться !з вступу, трьох розд!л!в, висноеку, трьох додатк!в 1 списку лгтератури.

ЗМ1СТ РОБОТИ

У вступ1 обгрунтоввна актуальн1сть 1 практична значения теми, наведений огляд !снуючо! по тем1 л!тератури, викладена структура 1 зм!ст дисертацы.

В першему роздхлх розглядаються основнх р!вняння нел!н!йно! тоорх! статики I динем1ки оболонок обертання, як! отримуються ян рхвняння Ейлера для функц!онал1в потетцально! та к1нетично1 енергП. Тагай п1дх!д до виведення р1Енянь р1вноваги дае моаишв1сть одночасно отрямувати нел!н!йн! днфэренц1йн1 р1вняння та крайов1 утлоЕИ. Кр!м того, при цьому встановлюеться екв1валентн1сть нвл!н1йних крайових задач 1 задач мйшлхзацП в!дпов!дних функц!онал!в, що дозЕоляе використовувати вар!8ц!йнн! метода для досл!дхвння нэл!н!йеих крайових задач теор!! оболонок обертання.

В пэршому параграф! дан! основн! поняття теор!! оболонок обертання. Основною проблемою (на р1Ен! отвореняя математично! модел!) тэорИ оболонок е проблема введения тривим!рно! задач! до дво-вкм!рно!. йавдяки т!й обставанх, цо трэт!й розм!р оболонок - товщина е налов порхеняно з даома Ьишмя розм!рами, прийняття гшотаз К1рх-гофа-Лявв виршуе цв задачу. Крхм вшцезгадано! проблема досить сут-тевима при побудов! математично! модал! е питания врахування пруи-них властивостей матер!влу 1 геометр!! Н деформованого стану. Перше з них пов'извне з прийняттям фхзичних гшотез, як! вираяаться у вигляд! закону Гука ! його р1зних узагальнэпь, друге . стосуеться порядку-''малост! величин, як! визначаить деформац1ю серадшшо! повэрхн! оболонки. Розв'я.звкна цих питань присвячений другий параграф, да отримзн! нелхшАн! вирази для в!дносннх ввдовнвнь серединно! поверхя! I змтн кривин, яхс± бЕзуиться на прийнятт! геомэтрично яелх-н1йюх тоо р!х.

В третьому парэгрзф! наведено вирвз для потенц!ально! енаргИ

оболонки обертання, яка складаеться з потвнц!ально1 енерг!! дефор-мацН, потвнЩалъно! внвргИ зовнЬпн!х сил 1 потенц!ально! енер-г11, викликано! чисто тепловими деформац1ями:

- гDx^nv)(xg*xt)xт-г{qaшqeto)Jr^г{r(Яlu*иl^^Qlv>)^^ . (1)

Кориотувчись принципом и!н!муму потвнц1ально! енергН Ф в Четвертому параграф! отримано систему статичних р!внянь р!вноваги обо-лонки в пврамйцэшшх. Полокення р!вноваги оболонки повнЮтс опй-суеться двома функц1ями: рад!альниы змйдвнням и(в) та поганом ю(в), як! залекать Пльки в!д одн!е! просторово! координвти в. Для 1х виз-начення молуть використовуватися як природа! крайов! умови для функ-ц!оналу Ф, так 1 чисто геометричн! умови. Отримана система представляв собою досить загвльну геомэтрично-нвл1н1йну математичну Модель осесимвтрично! деформацН оболонки обертання

А}* + А?у » 0, (2)

де А, - л1н1йний оператор, що задветься матрицею

,, . Г

1 I О

&2 - н9л1н1йний оператор, йкий (ш1вставляе вектор-функцх! V Вектор в компонентами:

-v + & ьак'мь'к^ь.л'хн^ ^ -

еспгср г ия 2 8{ГГф

- П-^^с^срДи + ^ + ^ к,гггс(йФ Г- {к, + +

* ТГ - , (4)

л л

А. = ^ (3)

- 5 -

fr P'P^+Sk.k' 2vk%-f;(2-3v)k,k~

- J-vfc^ctgq)«/ g „ - -—P-^ ctg$+(2-3v)kJi' ctg?Q t

H - - siu Ф a£n ф

+ (Uv)(k2ctg!psT+sJ,;jíü' + ^(k^Svk^+kpm-lг,ц"-

Я ' 3Í

* fSÄ'jfSftj^cig-^u- f - [ЗЙ; f +n+v)Är^]cigrp -

D

- (Uv) -g- + vS^otg^Ju'* {jjï йгГй2 + vkjlctßtp [2hya3 +

п. <¡> if ^

* f 1n')k]k'3 + - [c 1 +Sv)b\k£i2i>k,ft;]-ф- + + f2-

- Svjkp^j i [vP^-CS-SvJkfizk^ctgZqi - "

- j5 - jp u'iy" + f1+v)S2cis(pu'w'+v222ctg(pLim* + v^ctg^p +

+ ft^ctgtp - ' tito'+ jCa;' J2ra" + (bj+vk^Jm" + | ft,ctgtpfiy' J3 +

+ vks)(vi' )3+[(litn>ks)P.3Gtsp + l^+vk'Jvju' + C1+v)fÄf+ft2JEr| t

+ (1+V) E8- + f1+V)ñ2Cígt(®j.- (5) Еэл&хйн! крайов! дави на контур! а=1 :

u'+ tó2oísípu + (l^ivkjv) + I fa»' J2 - =

IB*4-feaOtg(p!B*- - V&^ctgcp ff1-V)fe|oî^j -

snip

- ff+v;srjty- b^r - faVj+fejft^i^u'- (к)к3 + (в)

+ Vb.K)at&P - V - f1-v)?Jift?otg2çlu - - I Q¡ + + Ш [и'ш# f vP,2ctgpirj)' +(hjn>ñ3J!irJ)' + 2 i»')3] ~ (1+V)K>

if

13 сисгз-'Л! рйзшшь pirscBara i лрародаих крайових унов для довЬша! оболокки обэртшш ге: чайтйнаий випадок сивадзп! скотома piBHíaib i iqsEîîoai yiioat дтл цал!ндрачно1 odojioicai оботлення •

Iciîye ряд пиекгичшгх задач, нала ц! йзтэкаяген! нодол! вншшаться но досить аовшпш. Йвпршашд, яквю умови ташмобмхну

- б -

так!, цо шейдк1сть вм!ш температуря по часу досить велика, то при досл1джэнн1 тэрмонавантакеного стану оболонок обертвння квобххдно враховувати данам!чн! ефекти, зумовлэн! рухом твердих чвстинок при швидкому тепловому розширенн!. Другий приклад вхдноситься до динамхчних поцес!в е оболонках, пов'язаних з розповсадазшшм хвшь деформац1!, як! вшшкають внаслвдок удару. В цих випадках ми повшш! враховувати сили хнарцН.

В п'ятому параграф!, на основ! вар!ац1йиого пхдходу, отримааа математична модель динам!ки деформацхх оболонки обертання

v = A?v + A2v = о, (7)

дэ Af, Аг - оператора, задан! формулами (3),(4),(5).

Як частинний вшадок, наведена модель деформацН ишиндрично! оболонки.

В другому роздШ досл1дауеться питания !снування ! единост! розв'язку статично! задач! деформацх! оболонки обертання.

Точн! розв'язки таких задач мокуть бути отршан! лише в деяких частишшх вшадках, пэревакно для оболонок просто! конф!гурац!1 t при пввних видах крайових умов. В загальному випадау для дослхдавшт бхльш складних нолтехйних задач .теор!х оболонок обертання ефективнш виявляеться застосування вар!ацШшх метод!в. При цьому введений узагальнений розв'язок крайово! задач! мохна трактувати як вектор-функц1ю, яка задовольняе принцип Остроградського-Гамхлътона, що ! Еизначае мэхаыхчний зм!ст цього розв'язку.

В шршому параграф! розглядаеться задача:

Afv + A2v - О, (9)

де v ={и(а),ги(з)) - вектор-функц!я, А(- л!н!йний оператор, заданий формулою (3), Аг - нел!н!йний оператор, заданий (4)-(5).

Нэхай один край s=0 оболонки коротко закр!плвний, тобто

U(0}*V>(O)*V>' (0)=0, (10)

а другий край оболонки - в!льний, тобто на a=t иакладаються тхльки природа! умови (б).

Питания !снування розв'язку ц!е! задач: досл!дкуеться в другому параграф!.

Для побудови узагальненого розв'язку вводиться npocxip V вак-тор-функц!й v«>fи,VJ), ueffg, як! задовольняють крайовг умови

(Ю).

Означення 1 .Узагальненим розв'язком задач! (9), (10), (б) на-ЕНватимэМо Еэктор-фувкц1ю яка задовольняе сп!вв!днощвння:

ГД^.З; + = о, (11)

при дов!льн!й вектор-функц!! 3? = {%,ф}еУ.

Введено на 10,1) р!вном!рну с!тку з кроком Л I вузловими зна-

чениями 0=80< 31 <

..< вы = I, до , Я - ц!ла додатне число.

Мптизуючх пооладовностх для функцШ и(з) та и>(а) будунться у взгляд! скхнчвнновшхрно! апрсксямацН цих фушсц!Й з необххдши сте-

пеней гладаост1 Я

ип(в)= 2 и{ф{Га;, 3 [т^ф,/^ 5^(3,)], (12)

дэ ф){Га;, §г1(в) задаэться формулами!

ф4(а; =

3

Ъ ' в»-»®«8«-

34 + Г3

(13)

О

Я-1,

а -а , *г. (а)

-тг—' V»«

а,-з О ,

ФункцН ф4СаЛ г=0,Я, е пегорэрвнимя на в!др!зку 10,11, а ххн! паря! пох!ди! мають розриви першого роду в точках , а(+),

ы Х7.

Ф,оГ0>

О,

35*9,

(^■ТГ1) И-тгЧ' в»-,®«8*»

О, й)> 1п{_1,зи;)

(14)

Г о,

з^э

N-1'

0=8о£В$8г,

8~в„

Фго(з; -

Фг1(81' =

О,

о,

а«<в<ви,,

И5)

О,

з-а,^ 2

V1]

[а1-Г9и<}> в*-,«*8

ФункцМ ФиГа.), 1 1х пэрш1 Ф^^ е.

нвпзрарвними на В1др1зку 10,11, а шп друг! пох!дн1 мають розриви

першого роду в точках а<+1, £=1,гг~7.

Для назначения наввдомих коефщгент!в розкладу отримуемо систему нэл1н1йшк алгебра 1чша ргЕнякь в!даосно вм1нних и4,и>(,ш{, 1=0,1!,

6Ф _л ЗЕТ =0'

(16)

> о :

^ «О, 1=0,у.

Леиа 1 .Нэхвй виконуеться умова

и = Ок - 1г Л. -з-2-

* м Л* юх{Ь1(8))+24

тод1 функц!онал 0(и,ш) обмаввний внизу на Г0,11 х мае М1сце оц1яка: г г

> я^-^р- /|о£ц'2 +ск(й,и))г/г+ойш"г/г ]<зз - ф\ о.

о

Д9

б

+ К

Для функций и I в отриман! оц!нки:

- 9 -г V

«г

в Л

]

* 1-у2 Ща

Ог.

Теорема 1. Нэхай дд(э),дг(в)е1г[0,1],ет(з)еЪ2[0.1], <£т(э)Щ[0.1], Н*, У*, Я*веЬ2[0,11 1 Еиконуеться умовв

1г А

. 24тах(к'1(а)} ы Г?а тах{И1(а))+г4

> О,

тод! задача (9), (ю), (б) мае хоча б один узагальнений розв'язок виду (11), який мояе бути знайдений катодом Р!тца в вигляд! (12), причому:

а) посл!довн1сть функщй р!виом1рно обменена в 7;

б) козкна гранична точка "е узагальненим розв'язком зада-41 (9), (10), (б).

Теорема 2 Нехай виконують умови теореми I 1

гак

{011 I а=1}'

4 _

де а1(а),Ъ1(а),Ъг(з),Ъ3(9),Ъл(в),Ъ5(8) функц!! наведен! в §2.1, то-д! задача (9).(Ю), (6) мае единий узагальнений розв'язок виду (11).

В параграф! 2.3 отримана■система р1внянь в!дносно нев!домих иг ®с

и, !Г( 17, и-

¡7 — вг — .

17 вз

(17)

де иг, (Г,, 17,- трвдгагойзльн! матриц!, Рг (ие,и{,ии, , + + - ^»-говИрпий вектор-стозггпт, В

вишрний вектор-стовпчик, 1=1,2,3.

. Для знаходкення наближеного розв'яаку використовуеться !терац!йш1й процас

- + Ffs1^]"'JAS - ь + Й=О,П-1,

S° =ТГ X'

X SZ

'= зс* - Ji f г-сх12;]"'^^- ь + SisVL fe=n,n+l,

дв x - деяке фхксоване значения , О =А.0 <Л.;<...<J, 5- розв'нзок допомёено! сиотеми ¿es. - + г1^; - = О. Кэхвй х = тодх

легко знзходиться розв'язок допомЬаю! систеьш £ = ,4~'b.

В трэтьому роздШ досл1дауеться питания !свуванвн i еданост! розв'яаку динам1чио1 задач! дзфармацН оболоаки обертання.

IIa практиц! !снуе ряд задач, коли при доапхдгенш термонавантахекого стану сболонки обэрташш необххдаб Ераховуватя динамхчнх сфзктк. Taicl задач! виявляються бхлъш складниш, His статичн! задач!, але i б!льш вааливкми.

В парному параграф! розглядаеться дефориований стан о болонки обертання, який описуеться системой рхвнянь

v = Afv + A£v , (18)

да v ={u(a,t),w(a,t)J - Еоктор-функцхя, А}- лШйний оператор, вв-даннй формулою (з), - нел!н!йний оператор, заданий (4)-(5). Один ¡фай оболонки коротко закр!ялвнкй, тобто

u(0)=w(0)=w' (0}*0, (19)

а другий край - в!льний

V (Ihw'ClhW (1)=0 (20)

! вякопуються наступи! початков! умонн:

v|t=0 = шв), vt|4-0- U(aj. (21)

Для Д0СЛ1Д5®шя поставлено! задач! в друтаау параграф! введено нвобххднх функцхональн! простора.

Ка ьэктор-фуняцй! v(ufs,i)tw(a,t)), eefO.lJ tefO.TJ

ввэдега сквляршй ^обуток i

iVV* е Jf^V- . : (es)

1 о

i отримвний Ера цьсшу гЬшЗгртовий прост ip позначимо через Н^.

Нехай F1 - Шгжгзна вэктор-функц!Й v ia Я,, як! вадовольнйвть крайов! умокл.(19)-(го), причому u(a,t) мае кэпэрервну другу по-х!дпу по е, в «tfs.f.) - чэтзбрту пох!дну по ё.

Введено не S^ скалярний добуток

2 О

Гыьбэртовий npoCTip ff утворшю ЯК ЗЕ?Ш{аНЯЯ ПО НОрГЛ! (S3).

РОЗГЛЯНЭМО МНОИШУ В9КТ0р-фуНКЦ1Й V=(uf3,í;,!í)f3>t;j, як i

залезать в!д параметра í так, що при козному i хз tO,Tl

вектор-фушщгр V налэнить Е,, а вектор-фунгаЦя v налакить Cv, до Cv

- мнояпна вектор-функцхй v, як i мають непэрерЕн! складов! u(a,t),

v)(a,t) на f0,1]. KpïM цього, v як елемэнт Нг i v як елэмант ff, е

нэпврэрвниш из 10,1]. Отриману мнокину вектор-функцШ позначимо

через Е . Ввэдемо на Е скаляркий добуток .г

'WiT," rV't'V2tV+ ]dt• (24)

J о •

Замикання по норм! (24) позначимо чарэз й3.

Для доведения теорем 1снування i еданост! розв'язку доведено

ряд дспом tarnt: дзм.

Леиз 2. Нвхвй вэктор-фуннц!я vçgjt тод!

Afv + A^v = gradB Ф,

дз - функц!онал поено! потенцхалыгах enaprlî деформацП

оболонки, заданий формулам (i).

Лена 3. Нэхай v0.vfíff3. тод! J(A v0,A4vf )ds - сумовна на (0,T) функ-

о

ц!я i мають Miene píEHícTí:

I) 5(vQ+vf + eí(v0,v() ,

О

якщо

г

Jletl dt

Um^T1T~ "P31 ÎIvfÏH — 0 •

ri 3 ' г Z

2) Um J JíA^.A^vpdadt =J J(A3v0,A4v|)datK ,

0 0. '00 якщо v^ í^b-, vo i v(eíf3 .

Питания ¡снування розв'язку динамхчно! задач! деформац!!

пболонки ойертання розв'язуеться у третьему параграф!.

Означения 2.Узагальненим розв'язкоя задач! (18)-(21) назвямо

вектир-tjiyHKiiir) v (И,, якя зядоволъняе хнтчгрялню оп!вв!дногаетт:

- 12 -

г г г

'н + ,)<й}« - ^га.^.лгвдо =0, (25)

о • ' о О- 4=0

для дов1лько1 вэктор-фушцИ vJe 2г х першу початкову укову

(21) у виглядх

11т В* = О (26)

Для знаходкэшя узагвльненого розв'язку задач! (18)~(21) засто-совуеться метод Р1тца, при якому наОликений розв'язок шукаеться у виглядх

н n .

^ £ [¡^^(а} + ш^Д^/а.)], (27)

' 1=) де уг(а), фг(в) координаты! функцИ, задан! (13)-(15) ,ига),

wl(t),V}l(t)-EЭавдомх ©ункц!х часу, якх визначаються !з система дифе-ренц!йних рхЕнянь:

( йР.ф,, 4. (Ау + - О, ЬММ, (28)

дэ д|и{ + _ 1-тх коншж8нтн операторов А(,А2.

Таким чзшш, для Еизначзння нэвадошхх функцхй ига),ш1(1),шгИ) отражало систему 3(11-1) дифзрбкцхйшк рхЕнянь (28), за! вадЗЕОль-шшгь початков! укова:

иг(0) « = 8г(г*ю, в>г10) - е^ьп;, ^

= П;(1*Ю, тг(0) » пг(ию, Ъг№) = ГЫ»), ~ '

ЩордукьоЕзш га доваден! теорема {сиуветавй рш'иву дешзу!чео! згдал!.

5£.арй1ш 3, кзхвй ва(в},дв(аКЬг10,11,ер(вН1г[0.и, шх(в)еЯ1г10.11,

к(а)вф0Л], и'. I Ейашзгетьйя уыова

г е. е ^

п ~ и . --—!- > О,

а ь !гж{р.}(а))ш тодх вадеяа сае *сч.а"б: один уаагальйвйий розв'язок типу

{Е5)-(£5) из <Зудь-г£эго У.

5Еа%5гвз 5« Шшй вшшув*ьоа ушйа теорема 3, Тод! система дафе-реггцСаах рхшянь (28) При йочатиозяг умовах (23) мае для коь-юго к гтаз 0 ода розв'язок нз ГО,М.

Лема Д.Нвхай виконаи! во! умови те орет 4. Якщо при цъоыу система (28) з початковими умовами (29) мае розв'язок для дов!льиого У, то мають м!сца так! нер!вност!:

К«» « Рг» Рз* !í=0',.....<*«Г, _ (30)

причому р(,р2,рд не залекать в!д Н.

В четвертому параграф! розглянуто питания единост! розв'язку динам!чно! задач!.

Сформульована ! доведена теорема единост1 узагаяьненого розв'язку поставлено! динам!чно! задач!.

Теорема 5. НехаЙ Я п!дмяожина ввктор-функц!й у(Н3, як! масть на (0,1) обмежен! друг! пох!дн! и", т" 1 виконуються вс! умови теорвми 3,тод! задача (18)-(21) мае единив узагальнений розв'язок типу (25)-(26) на ГО, 34.

Для знаходавння розв'язку динам!чно! задач! деформац!! оболонки обертання в п'ятому параграф! звстосовуетьоя метод Р!тца.

л ! 0 0 0 и в,

о I в ! с § н- 1Т п в,

2 г г г г

о 1 с 1 д п из *э *3 л Рз

Наведений алгоритм використано для отримання чисельних результатгв для конкретно! звдач! деформац!! цил!ндрично! оболонки обертання.

Аналог!чна система отримуеться для динам!чно! задач! деформац!I щШндрично! оболонки обертання. Ноеф!ц!енти матриць иг, Шг, ^ 1 стовпчик-вектори Вг, Рг, 1=1,2,3, наведен! в §2.3.

Для знаходхейня розв'язку отримано! системи дифвренц!йних р!шянь мокна скористатись р!зницевйм методом.

Основн! результати дисертац!йно! робота мохуть бути сформульо-ван! наступним чином: ;

1. Отриман! нел!н!йн! модел! статики ! динам!ки деформац!! тер-монавантажених оболонок обертання в!дносно пэрем!щень.

2. Введен! узагальнен1 розв'язки одержаних статичних 1 динам!ч-них нелШйня* крайових задач.

3.' Дослужен! питания тснування 1 единост! узагальнених роз-

в'язк!в нелгнхйнш крайових задач теорН оболонок обертання.

4.На ochobi методу Р!тца розроблен! ефективн! метода знаход-ження наближених розв'язк!в поставлены! задач, як! доведен! до алгоритмов i програм числовых розрахунк!в на ЕОМ.

5. Отриман! наблиЕан! числов! розв'язки конкретних нелшШшх крайових задач статики 1 данвмЬш дефорыац!! терлонавантэжених ци-л!ндричних оболонок обертання.

Основн1 положения дисертацП опубЛ1кован1 в настутвдс роботах s

1. Штогрин P.M.Уравнения равновесия геометрически нелинейных оболочек вращения в переыеацаниях //Нелинейные краевые задачи математической физики и их прилегания.- Киев: Ин-т математшш АН Украины, 1993. - С. 139-143.

2. Штогрин Р.Ы. О существовании решения нелинейной краевой задачи деформации гибкой оболочки вращения //Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения.- Киев: Ин-т математики АН Украины, 1994. - С. 206-208.

3. Штогрин Т.Ч. О существовании решения нелинейной краевой вадачи деформации щшшдрическоой оболочки вращения //Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения.- Киев: Ин-т математики АН Украины, 1994. - 0. 203-211.

4. ¡SrcrplH Р.Ы. Про . !снувашя у.загальненого розв'зку нелшШю! крайово! задач! коливашш тонко! оболошш обертання //КрааЕыа задачи катештичесяой фазшш.- Киев: Ин-т математики АН Украина, 1925. - С. 31-35.

5. ExorpiH P.L5. Про !снувашя розв'зку нбл!в!йно! динаМчно! задач! осесшгзтричко! дэфорлац!! цюИндричнно! оболонки обертання. -ГУ" Шгаар. наук. конф. !м. ш;. Ы.Кравчука (31-13 трав., 1935р., M.KhIR). - 0.Т79.

Штогрин P.U. Вариационные методы исследования нелинейных задач оболочек Еращения.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.03 - математическая физика, lfe-т математики НАН Украины, Киев, 1995.

Получены нелинейные модели статики и динамики ¿формации термо-нагрукенных оболочек вращения относительно перемещений. Введены обобщенные решения поставленных статических и динамических нелинейных краевых задач. Исследованы вопросы существования и единст-вэнности обобщенных решений нелинейных краевых задач теории оболочек вращения. На основе метода Ритца разработаны эффективные метода нахоядения приближенных решений поставлвных задач, которые доведены до алгоритмов и программ численных расчетов на ЭВМ. Получены приближенные числению решения конкретных нелинейных краевых задач статики и динамики деформации термонагрукенных цилиндрических оболочек вращения.

Shtcgrln R.H. Variational methods for- investigating nonlinear problems оГ involutional sheila.

Dissertation presented for obtaining the degree of Kandidat of sciences in Phiaica and Mathematics on subject 01.01.03 - mathematical phisics, Institute of Mathematics, Ukrainian National Academy of Sciencest Kiev, 1995.

Ron31near models of static and dynamic of tennoloaded revolu-tional shells are obtained. The generalized solutions are introdused of the obtained nonlinear statical and dynamics boundary value problems. The conditions of the existence and unique of the generalized solutions are established. Based on the Hits method effective techniques for approximate solving considered problems are constructed and reduced to algorithmes and programs for computer. Approximate solutions of the nonlinear boundary value problems of static and dynamic of termoloaded cyllnderical revolutlonal shells are calculated.

■ Ключовт слова:

оболонкч обертання, узагальнений розв'язок, метод Р1тца.

П1дп. до друку 04,09.95. Формат G0xB4/16. Ilanip друк. Ojo. друк. Ум. друк. арк. 1,16. Ум. фар«зо-в!дб. 1,16. ойл.-ьид. арк. 0,7. Тнраа 100 пр. Зам. Безкоштовно.

В!ддруковано в 1нстятут1 математики HAH Украсил ?.5?РОТ Kv?H Л, Ш1, «.ул. ТР^ПВЬ-К троькч, Я