Векторные поля на двухмерных многовидах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

НАЦІОНАЛЬНІ ІШДЕЕЯ ішаг псйша ,

■ пюшут мшнаіики д ■'

' На праваї рукопиоу

. м < , '

_ .. ГГОИ Олена Анатоліївна ’

вкктога ш ні даовшярнюс июі’ОЕідах ■

01,01.02 - д^яропцігигьні рівняная

. ЖВТ0ЕЕ52ВД! . .

дисертації на здобуття вченого ступеня кандидата фізико-катака-потих наук .

? Діїсартацієв е руетпіз. " • .

Робота ;в&копоіа з відділі №лазг*дах - штоків "шаяїсу Іистатіту їіатєііЕї'Еі'Л ІШІ Україна. ' ’» -

ІЬуковяа керівній: доктор ^Іегго'- кагькагдозгх-шїи,

' професор ЕіїлОВ.Б. .

05іці2п1 огоязЕта: доктор фікгко - ї&твиагячнас кадк, !

ізіл^асор ї-іЛРХКЕїиі Д.І. '

' • • яїедвдзт ©ізвко - здгбизгЕг&п: г.аук, <

' ‘ іп.е.о. .ксищі С.Ф.

- ... - * ^

Прозідаа установа: Інепиуг іфааювдшх хдіобгзга. шаааіга , і глт&матпаа ім. Я.О.ШдотратачаІ , ' НІН Уіфаїка х . "

ЕЗХИСТ ВІД5їД57І.С.-і ОСТ КЗ’Гр. О /і~ТО&. ЕЯ БйОІХСЕНІ аізціпліззвсші .рада Д 0IS.50.tE2 Ері' ійгккїїі ьштєхдїїшн НШ України аа ьдресоа - • '.

ї.52601, 5£иїб 4, 723, пр;. Ззре^закіаська, й. '

3 ,у:сс'ргсціса шгна оапаЕсміїйса г бігШотьц£ їизтаі?т;?

4 і ' •» • .

йзторгйЕ-рат розіслана "ДЗ® Сйдії- ІгЗ¥р.

Лопушші сть тарі./В дисертаційній роботі розглядаться Диференціальні рівняння (векторні поля) а Ізольованими осоО-дшяаи тсташ ва компактних даовтіїрнкх шоговидах.

В 1685 р. Пуанкаре довів, що оума індакаїв особливих їочок такого векторного поля на двовимірному мнсгошді доріняїв ейлераві® характеристиці цього иноговиду. Для й-виміршії ішоговздіа цей факт (творена Пуанкарв-Іопфа) був цошіотп доведаний ХоЩим [41 у 1926 р., алідом ва частковими результатами Брауера та Адамара. Теорема вірна 1 для многовидів в краєм, якщо векторне тала в кошів, точці крас направлена зовні. Було танок встановлено існування секторного поля беа особливих гачок, якщо вйлерова характеристика инпгоааду дорінвве 0. Векторні поля а авдаясаа наборами особливостей п бвгатоимірному випадку ыппайаез в роботі о.о.црашка £21.

Одяїєп з осноених задач теорії динамічних систем е ешюаяня структурі траєкторій векторного поля на кногапнді. Длл цьом мохна обмежитись аяетэнняй деякої мнагат в просторі векторних подій. Батана, щоб ця підиноиша Сула відкритою та цільнзОі в вёйторн! поля цієї мяоягош була бтруйтурйо стійкимя та малі достатньо ирооту Ьтруктуру Грпектпрій. Дяя яоипвктвих дваиямірянх маоговидів виділено їйяий кяао векторних полів. Його элемэяти ивть яязед

векторних полів Норса-Оетйла. Цзй результат отримано Пвйксото. '

Природним чином виникає проблема класифікації векторгаг поліз Шрса-Сшйла на двсотмірних шгаговздах. Ця задача була повністю вирішена для сфери Є.О.Лоонтовот та А.Г.Кайаром (13. М.Пзйксото 17) ссотосовував для розв'язання цієї проблеми графа а відаічетка веришами, що задовольняють деякі умовк. К-Майвр £61 тв В.В.Шарко (41 використовували функції Лящпюва. Х.Вонг [83 вивчав поля Морса-Смзйла оа двовимірних многовидах єа допомогою 0*-алгебр.

Конструкції, подібні до ввддвішх в третьому розділі (кола з відміченими точяаш), були застосовані для вивчення векгорнгх палів Иорое-Скайла в роботі ©яейтаса (5), аяз повне доведеная тозраш класифікації для двовимірного вкладку відсутнє. Питання класифікації векторних полів Корза-Смейла, всгсрома, иінімольшх, а такоа підрахунок !г члсла в залвзшсзті від роду каоговзду залишалися відкрити®.

Тлші чкши, сташвдть інтерес:

1) побудова даферавціальних рівнянь, які мають задані набори індексів, що задовольняють ушвя теореми Пуанкаре-Хопфа, тобто ДоЕзданпя теорема, оберненої до теореми Пуан-каре-Хопфо;

2) класифікація мінімальних полів Морса-Скейла;

■ 3) оцінка числа мінімальна векторних полів Морсв-Окейлв в валекності від роду многовиду .

• з -

5епа робот. Головна ката дисертації полягав в ровробці гатодіа побудова ркиорпя полів з задашилі наборами Індзк-оів ізояьоезяих осоЯливта гачоа та оцінки числа мінімальних Езкгорнях полів Корса-Смзйла.

НвпаОшса Саалійхтіь грунтується на загальних методах топологічної теорії днфервшдійшх ріанянь, диференціальної топології таі теорії Норса.

Наукова іюЗизка. В роботі для замкнених многоввдіз та ишговвдів з ід>еєи побудовано градієнтні, локально градієнтні та довільні аакторні поля в ізольованими особливими точками, які рзалізувть задені нлбсря індекоіз, що задовольняють унова теорема Пуаакара-Ховфз.

Едайдзна клвсаЗікація мінімальних векторних полів Цораа-Смейла.

Отргмано оцінку тасла мінімальних векторних полів Короа-Окайла в залзшшвті від роду многовяду та підраховано кількість таїшх голів на шюговиді роду 2 (кренделі).

Праглаічка па тасреяцчка цінність. Одержані результати каяуть Оута вакорнотані в теорії динамічних систем, а твксй у оуиіЕаях галузях теорії диференціальних рівняю» та топології.

Апробація роботи. Результати робота доповідались на семінарі в теорії гбїіільтовошЕх састем на кафедрі

■

диференціальної геометрії та топології Московського дарз. університету (корівник академік РДН й.т.Еоканко), на науково-дослідницьких семінарах відділу топологічззх катодів сшшіау Іваттуту математики ІІДН України (нзріинги прсф. В.В.Шарко), на II Иіішарадній канфвраяції з топології та II ваотооуввш; (Київ, I2-1G еозгня 1992 р.)-

Пувлітції. Основні рззультати дисертації опубліковані в роботах 11-41.

Ощ/щдра ш сбсаг Оисєрхсці І. Дисертація складається в вступу, трьох розділів, розбитих па 13 параграфів та списку літератури, який налічує БЗ найменування. Об'єм робота 101 сторінка машинописного тексту.

нніст роботії

( ■

У всщ/nt обгрунтовується актуальність теш дисертації,

дано огляд наІМільш близьких до цієї теми результатів,

коротко викладено ааіот дисертації, а також перераховано

основні результати, rati виносяться на патаот.

Перший роздій - довідкоеиЙ. В ньому наводяться означан-. ня понять, Ер БдКорЕстовувться, в також необхідні факти з література, які сформульовані без .доведення.

Якщо па мпоговвді вадано векторна полз, то а кожною

ізольованою критичної) тачкоа махпа пов'яаапі числовий

інваріант, пр носить назву індвкс векторного паля. Взагалі

кааучн, цей інваріант !.:сг:з нрзйіматя довільна ціла знвчапня,

а для дапя градієнта - па більша 1.

Широко відома теорема Пуаннарз-Хопфа огеердгоге, що сума

Індексів на многовзді дорівняє ейлароаій характеристиці

кнсгозкду: . ! : ' ’

а

^ а, = Х(!Л),

тобто дорівнює топологічно:,5у Інваріанту кяогаввду* цо на аал-зиить від взкторного гиля. ' , ,

Зафіксуєш на мзоговиді скінченна гасло точок 1 ігршш-пеио кока 1С а гаї чпало. Впапнве питання - чи микав побуду-вата векторно пола (ссіфемз, традіектна), жз має сшігуляр-нооїі тільки у відлатаних тотаа* а Іцдено векторного поля в цях точках дсрішпсз юршксатгі чполс.‘Я В ав'пзку з цим дамо Я2СТУШІ ОЗШІПОЯЕЯ. ■ 1 ■

Означавша 1,2.1, • Набір (а() назігааєіьСії врйїіуотаяаі

ДГЛ Н2# ЯКЛіО ' ' '

ь

^ а, « хіИ2).

<в|

Означавші 1.2.2. Небір (а1) Навивається рааяізовяям для И2, йгацо на й8 Існує векторна гола X, яке має в точ-

б' ,

ЕООІІ її ОСОбЛВДШХ ТОЧОК Г4, ПрИЧОИУ

ІШІ ( І, І{ ) ■ в,, 1 З і С Ь.

Теорема Пуанкарз - Хонфа означає, що будь-який раалі-повний набір є припустиш.

У Орцголц розділі розглядаються звичайні дафзрвнцівльні рівняння (векторні поля) а івольоЕЕїшзаи особливими точками. В П. 2.1 ДОВЄДЄНО існування векторних ПОЛІВ З ОСОбЛИВЕШ точками будь-якого індексу. Підраховано індекс векторного поля в валоашооті від вигляду поля в околі особливої точки.

В п. 2.2 розглядається реалізовність наборів полем градієнта. Доведено теореми.

Теореіза 2.2.1. На двовимірній сфері З2 будь-який припустимий набір (в() текий, ео

В1 4 1, 1 <5 І « к,

реализоБшшй за допокогов поля градієнта даферзиційовної функції.

Теорема 2.2.2 На двовимірному глвдюму зв'язному компактному иноговеді баз крав IIа з вйлвровов характеристикою %0 з 1 будь-який припустимий набір (в{) такхЗ, ідо

1) всі елементи набору не перевершують одиниці:

в4 < 1, 1 < і < п;

2) існують хоча б два елементи, що дорівнюють одиниці:

З (,і, 1 <(</<; %, а, « » 1,

рзалівується аа допакагаа поли градієнти дафаранційошої функції.

. Для довздення па шоговзді задається функція на допо-ігагап ліній рівня.

' Якщо ейлврозп характеристика ішогонвду 13а З О. то саред пряпуотЕї.аі п?.йср1в

о4, а, з 1, 1 < ї < й,

іпжїїь бути ївкі, до еоі з О, 1 « 1 ^ А, ,айо існує »ілька один додатнйй олакаот « 1. В цьому випадку набір ва нояна реалізувати полем градієнта дифзрзкціЯошо! функції /, асз такі нзборя шнна реалізувати полай, ідо є локально градієнтам. Має иісцз теорема. ' '

?еергиз 2.3.1. На двовнаірному гладкому ав'яашму коїшакташу орієнтотсзд меогонвді баз крао Н* ( 8 > 1 > з еаязровоз характеристико» ^ « 2-2а <$ 0 будь-иіаіі пркпу-спяаггаї набір (а4) т£жгй, гда

а, « і, 1 « і £ й, реалізована за допомогоз локально градієнтного векторного

ПОЛЯ. 1 '

Ви. 3.4 розглядається раалівовність наборів аа допомого» довільних азнторнпх шлів. ііає місцо нвстушіа теорема.

їеореіи І2.Л.1. На дшнгміриіа сфері Б8 будь-який щетусткийй набір

( 8€ ), 1 5 І « к

є ревлізовним.

Еакторно поле, що реалізує в вданий щзшуотзший набір, задається на сфері оистамсз траєкторій.

Иараотулчивь цим результатом . та шкористовувчи м8т0мзтггазу Індукцію по роду шоговвду» реалізуємо припустимі набори на довільному двовимірному кноговиді.

Теорема 2.Д.2. На довільному деоїжмірному деферен-цІЯовному зв'язному кошшктному многоввді баз краг Н3 будь-який припустимий набір (в{), 1 < ( < &, .її рзалізовшш.

В п. 2.5 аналогічні результати отримано дій двонзмір-даго дифзроїщ Шовного зв'язного компактного шоговвду Иг з ідшєкі О Ы2 » Н та в ейлоровои характеристикою х(Нг ),=Х0-Край такого шоговвду складається з п компонент зв'язності, тобто дафешорфгай об'еднаыв п кіл. Заіиіеїио когну компоненту краю двовимірним диском 1

в|, ОТУ- * я*. 1 «и п.

Отримаємо двовимірний многоввд без іфап з ейлеровою характеристикою ” Х0+п* Використовуоти теореми про

ревлізЕцію для кпоговндів без край, доводило наступні отррвки. .

Теорема 2.5.1* На двовимірному дафероїщійовноад зв'язному компактному многовпді И2 8 краєм будь-якая припустимий набір (е|) їакий, що:

1) а1 « 1, і $ і $ ь;

2) існує /, 1 < / < й, а^ - 1;

реалізується полем градієнта гладкої функції.

Тссрєта 2*5.2. На двовшіршцу диЮрепціЯошюц/

зв’язному подааятвшу многониді, Ы2 з краєм будь-який пршустюгий набір <в4) такий, до а{ <$ 1, 1 $ 1 <

реалізується за догойогов локально градієнтного векторного ■ поля, ягар + п ^ 0. ,

Тєсрска 2.5.3. На двошяіраому дафзрэац1йаЕвс-г;у

зв'язному компактному многоваді Н3 в краєм будь-який прн-пустпкий набір (а4) е реалізована. ’

З яретьояц розОШ розглядаться мінімальні векторні поля Иорса-Оізйлз баз замкнених траєкторій, тобто такі поля !Зорса-Смвйяа, які масть одне дхвроло та один сток.

З тогням таким полем, заданим нл •'іюгсггаді роду й, ногаа пов'язати слово спеціального вигляду. Цэ олово доіелноп 4й, складене з 2й пар бука, теко, гр дня когяоі пори букв з,,а1 знайдеться Інза пара, по її розбзвае. Тобто вона розташовані в такому порядку:

Позняшмо мношву таких одів С‘\

В п. 3.1 встановлено відповідність ніп кногсшої) иШ-мзльшх полів Иорса-Смзйла на двонииірних орієнтовних шого-

вадах рода іі та кшшшов Єь слів спеціального шшізд дотазгесш 4Ь.

Е>, п. 3.2 роаглядшгься умова, за яких два цінШальЕих Еэхторних поля ІЬрса-Омайла а тапологічаа азвіЕалзвінааа.

Оанячгша 3.2.1. Назвало. 2 слова и, та а шоешш 6КБівалзіітнззсї, нюда одна а шіх іюЕна шревасти в інші ва допдеагоа скінченного числа елементарних операцій, до ешх відносяться: ..

1і У зсі!Е, тобто чдтпаая- слова, по'ишаюча а Іншої Сукеп:

вЛа&‘ * ,а1 ~ а/і“ •аіа<;

2)' інверсія-, оберне най порядок татанвя:

а»вА**,аі - аіаг'&»¥

3 )' вніна позначень (підстановка алфавіту ):

а.&ъвтм>8 а й.*й. *»іВі а, ,

^ ^ *Ь *1 *е,

д»

тобто

аі вг вз ••* 8аь а. а, й. в;

*1 *2 *3 *** 2Ь

г 1 г з ... ги -і

І 1і *г *з *** Ігь\'

Має иісцз наотупна твореив.

їеоргга 3.2.1. Два мінімальних векторних поля Норо а-Скэйла X їа V на двовимірному аашшаному орієнтовному

а

кпогавЕд! М2 роду й е топологічно зкз 1л.'З-гчптнігяі годі Я тільки тоді, коли еквівалентні відповідаї до них слова:

~ и , да *_ с аа, « € а\

Л # А У

В п. 3.3 знайдено оцінку числа мінімальних шлйз Норса-Смзйла в ааложвссті від роду шоговнду. Доведено теорзму.

Тсоргуз 3.3.1. Для деовкмірпого шоговиду роду А, й ;> 1, Існує на більша ніж 1

(4А-Щ ” ЗІ 24і-1

нооквівахзігппп. мінімальних систем Цорса-Смзйга.

Тзороиа доводяться за допомогою катемагхчної ІндузсцІЇ по роду кнагавзду. Для когаого й, й > 1, підраховується кількість н89шз1зал9нтннх оліп у шюгзші а*, по відповідає кількості Еооквівзлаппшх. шлів.

З і, 3.4 розроблено катодпху точного підрахунку лідь-тюсті нвоквівалвнтїіях пзктсрялх поліз Короа-СкзШа. Ця мзго-д&на застосовується для шгаговидів роду 2 (крзндвлів). Доподзпо япстушу теороиу. •

їзсрша з.4.1. На шогошді роду 2 (на краядзді) Існує В Евекаївздаиїних мінімальних взкгортгх палів Нороо-Снзіїла.

Автор виславляє вдару подяку паукавшу керівникові Ріолодамяру Васзльовоту Ширю.

Сшсак цвтоосш! л!тература

1. Леонтошге Е.А., Ыайер А.Г. О траекториях, оггрздэ-лацих качастЕзшцт структуру разбиения ctfopu ш треэкторга // ДОКЛ. АН ССОР. - 1937 - 14, Л Б - 0. 251-254, ‘

2. ..ПрЕаляк к.0. ДиДврвациальшв уравнения на многообразияI и парах. многообразий. - Киев. - 1933. - 20 о. -

- (Пропр. / АН Украины. Ив-т математика; 93.37).

3. Шарко Б.В. Топологические аспекты данаьшчаских систем // Укр.кат. цура. - 1992. - 44, И I. - 0. 136-142.

4. Hopf Н. Vefctorfilder In n-dlnsaaionalett Eamlg-laltlgtelten// Hath. Aim.- 1926. - 9S„ - P. 225-250.

5. Fieltos G. Olaaaiflcatton of gradient Ша floss on й1шепз1оаа two and three// Bol. Sac. Brsall. Bat. - 15)5. -9. - P. 165-183.

6. Meyer K.R. Ezerfrj fuaofclma for Iforse-Ssale Sjrotana

// Ашег. J. Bath. - 1963. - SO, 1031-1040. <

7. Pelxoto E. to the classification of flosa on tso-Eanlfolfls. In: Бдадг£ва1 Syatema, edited toy S.Peitottf. -

- Acedsnitf Prera. - 197Э. - P. S35M19.

' 8. saasg S. й© с*-а1^аьгаз of Hot>u9-Sa&le Нота ой

two-tealfMfia N Ergcd. lh. a Вутшя. Sya. - 1930. - 10. -t P. S65-6SfTi • ’ ' .

/з

Основи! результати касзртвції вадрпитеті з паочуших роботах:

1. Гпрян Е.А. О сущзстаоваЕйа воиторип. тюяаЗ о ваде-

ЕШ23 набором особопгоотеа па дзудаїягаї аакгиутоя орзвптпруо-шя ЕпогоойрЕзгзУ/ Укр. нат. яурз, - 1323 - 46, В 12 - 0. 1705-1709. .

2. Гвркд 2-А. Вакторша поля о ввдвшша нсборта ооо-бопнос'іЗй на длїшршх зс*яспутах оргзіггпровЕпшд кшгообрз-епях. - Низ в. - 1933. - 24 с.- (Црзпр. / ЛЯ Укренші. їй-п штекзтпдз; 93.26).

3. Гірлк О.А. Валторні поля з задання паборои особливостей па ДСОЕЗіїрТИХ ЗК"Ш9ШГ2 НВОрІСТГОВЕЗІ ЕПОГСЕЗДВХ та жогопздах з кроєм. - Київ, 1934. - 24 о. -(Прзгф./ НШ Україна. Іп-т кагойзтЕяя; 94.22).

4. Сігік П.А. Оп Ии огіаіппса оі а гвііоті оіозсй 1-Іогт оп а ввосгіїї сіооей тпіїоїй// АЬоігаоїз о і Іпівгпа-їіопаї Сопіопгосо оп Гороіо^у вий 11а АррПсаИсш, Кіот, ОсгоЬаг 12-16, 1952. - Р. та.

Парис Е.А. Вакгорнаа шиш as дауиаршх шогообразияг.

Диссертация на скшскшшэ учансй сташші кандидата Сизв-ш-ыатаиатичэских. наук ш сшцаакьшота 01.01.03 - даффэрен-цаальнне уравввяия, Ка-т штвшэхшш НАН «фшшн, Каав, IS34.

ЙСОЛ0ДЇЮГСЯ ВвКТОрШШ ШЛА О ШШфОВШ&ОШ оообдаз точшш на двуиарннх иногоосразиях. Для коигактныж заашутих многообразий а компактных ыаогооЗразиа о iqjaee построена градааатша, локально градиавтиію к произвольные юля, раа-лиаущиа вадышиа пабсра нндаксов, у доапа творящих у «шиш теоремы Цуаннаре-Хот$а. Найдеш юшосвфпспция ітни?аАт.вят векгорша паавВ Нарса-ОыэШа. Получена оценка числа данимялытх вакторншг додай Ыороа-Сиэйла в вашсямооти от рода шюгоойраакя и падсгаггазо количество таках полой ка мвогооОрааш рода 2 (кравдэле).

- і S' -

Oliyk ОД. Yeotor Іівійв on tro-dlEonaional mmlfolda.

Dissertation presented for obtaining the degree of Kan-flldat of wUeneea In Fblalca and Mathematics on mibjeot

01.01.02 - dlfformtlnl equations, Inatltute of Katheaatica, Wrralnlnn national AcwJasy of Sciences, Кіет, 1994.

Vsotor fields on ftw-dlgmgiPEal manifolds witu isolated nlngular points ага lnvs3tfj£tsd, Tha gradient, locally gradient and arbitrary Teotor ЇШЙЗ realising tha give®. set of indices eatlsQrin# tpa Тоілтгз~-їїорі theorea ага constructed on ccspagt .closed Kaiftlda end ecapeot езпі-їоМз яіій bzMsrtea. 2йз classification of dntel Яогяо-Sealo fastor* ІІзІЙз is obtained. ТЬз eaticata of юйЬа? of nlnlnil йогза-Езіїа тес tor flalda яіш rsspsot to tfta GS3£) os a c3U.fol4 la SessBL, Oa юсйїг esf «a a rv

nlfold of ^яа» г із ейеаїазві.

Ключові слова: ,

Езкторгз пола, індаго нршгаюЗ татая, дога Uopca-Смзйла, нлзспфіяація.