Вещественная интерполяция и почти оптимальность адаптивных алгоритмов диадической кусочно-полиномиальной аппроксимации тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение

1 Случай приближения многочленами

1.0 К— и Е—функционалы и почти оптимальные разложения.

1.1 Описание алгоритмов и основные результаты.

1.2 Доказательство теоремы 1.

1.3 Доказательство теоремы 2.

1.4 Доказательство теоремы 3.

1.5 Доказательство теоремы 4.

1.6 Доказательство теоремы 5.

1.7 Доказательство теоремы 6.

1.8 Доказательство теоремы 7.

1.9 Дополнение 1.

1.10 Дополнение 2.

1.11 Дополнение 3.

2 Случай "приближения нулем"

2.1 Описание алгоритма спуска и основные результаты.

2.2 Доказательство теоремы 11.

2.3 Доказательство теоремы 12.

2.4 Доказательство теоремы 13.

2.5 Доказательство теоремы 14.

2.6 Доказательство теоремы 15.

2.7 Доказательство теоремы 16.

2.8 Доказательство теоремы

2.9 Доказательство теоремы

2.10 Доказательство теоремы 19.

2.11 Дополнение 1.

2.12 Дополнение 2.

Цель настоящей работы" состоит в том, чтобы продемонстрировать возможность использования вещественной интерполяции для установления оптимальных и почти оптимальных свойств дискретных алгоритмов и тем самым расширить область применения вещественной интерполяции. В работе это осуществляется на примере важных и самих по себе адаптивных алгоритмов диадической кусочно-полиномиальной аппроксимации в Lp(Qo), где Q0 = [0,1]" - единичный куб в R".

Обычно в теории интерполяции задается пара банаховых пространств X = (Xq,^) и для этой пары требуется найти /("—функционал и вычислить интерполяционные пространства Xo,q. При этом вычисление К—функционала, как правило, требует нахождения почти оптимальных разложений х — х0 (t) ■+ х\ (t), причем почти оптимальность понимается как справедливость неравенства x0{t)\\Xo + t\\xj(t)\\Xl < cK{t,x-X0,X{), t > 0, (1) где константа с не зависит от х и t.

В предлагаемом подходе задача ставится по-другому. Для всех х из некоторого пространства Хо и всех t > О задан алгоритм А построения X\{t) и нужно подобрать такое пространство чтобы разложение х — (х — х\(£)) 4-аа(О было почти оптимальным в смысле Л"—функционала, то есть чтобы выполнялось (1).

Таким образом, главным становится не вычисление Л"—функционала, а нахождение по заданному алгоритму второго пространства пары. Эта задача в работе осуществляется на примере адаптивных диадических алгоритмов кусочно-полиномиальной аппроксимации.

К сожалению, понятие почти оптимальности в смысле К—функционала не совсем наглядно. Более естественным представляется понятие почти оптимальности в аппроксима-ционном смысле, или в смысле Е—функционала. Пусть некоторый алгоритм А строит по элементу х € Х0 и t > 0 элемент x\(t) из Хь Алгоритм А мы будем называть почти оптимальным (в аппроксимационном смысле, или в смысле Е—функционала), если элемент х\ (£), находясь в шаре радиуса C\t пространства Х\ приближает "не хуже", чем элементы из шара радиуса C2t того же пространства. Другими словами, алгоритм является почти оптимальным, если существуют такие константы Ci, Сг и с, не зависящие от х и t, что 1Ы*)1к < ci* и

II®-Si(*)IUo < с inf Hz - д\\Хо = cE(c2t,x; Хъ Х0).

9- 9 X, <С2*

Следует отметить, что из почти оптимальности алгоритма А в аппроксимационном смысле следует почти оптимальность разложения х = (х — Xi(t)) + Х\(£) в смысле К—функционала пары А именно, выполняется неравенство (см. параграф 0 гл.

1): где s(t) = \\х- x^WxJt.

Пусть / принадлежит Lp(Qo). Мы рассмотрим семейство алгоритмов Аа аппроксимации /, зависящих от параметра a G R. Конструкции существенно различные для а > 0 и а < 0.

В случае а > 0 алгоритм будем называть алгоритмом спуска, так как идет последовательный переход от больших диадических кубов к меньшим. В основе алгоритмов спуска лежат построения из глубоких работ анализа: конструкция Кальдерона - Зигмунда (возникающая при построении так называемого разложения Кальдерона - Зигмунда) и конструкция кусочно-полиномиальной аппроксимации, предложенная в работе Бирмана - Соломяка [3] для аппроксимации функций из пространства Соболева.

При а < 0 алгоритмы представляют собой дискретные аналоги алгоритмов из [15]. В случае а < 0 осуществляется последовательный переход от меньших диадических кубов (начиная с некоторого уровня) к большим. Поэтому это семейство алгоритмов мы будем называть алгоритмами подъема.

Особый интерес представляет собой случай а = 0, в котором фактически речь идет о классической задаче аппроксимации функции / £ Lp с точностью до е кусочно-полиномиальной функцией с минимальным количеством полиномиальных ступенек. Отличие рассматриваемой задачи от классической состоит в том, что мы под кусочно-полиномиальными функциями понимаем функции g вида g = Y,9jXQj-, Sj £ -Pfc> c возможно перез секающимися диадическими кубами Qj. Здесь и всюду далее Pk обозначает пространство алгебраических многочленов степени < к — 1, к > 1.

Всюду ниже fq^ £ Pk обозначает полином наилучшего приближения / в LP(Q) (1 < р < +оо), то есть

II/-/q°IUpw) = Ж l\f ~ Pk\\Lp(Q)

Pk t гк

Через D{Qo) обозначим множество диадических подкубов исходного куба Qo- Множество диадических кубов из D(Qq) можно изобразить в виде дерева (по включению меньших кубов в большие); при этом один уровень этого дерева образуется одинаковыми по размеру диадическими кубами.

Опуская детали, изложим основные результаты работы.

Алгоритм спуска и результаты, связанные с ним

Пусть / е Lp(Qo), 1 < р < +оо, и а > 0 фиксированы. В этом случае алгоритм Аа (см. параграф 1 гл. 1) для произвольного числа •> II / f(fc)|| II/ /QQIUP(QO) C^IIJ iQ0l|Lp(Oo)— |Qo|°/p отбирает "максимальные" кубы Qi, для которых выполняется j^-p^ll / - IUp(Q;)

На основе этих кубов {Qi} строится аппроксимирующая функция ft как ft = ^fqu'XQi + f XQo\yjQi-i

Отбор кубов Qi осуществляется последовательным спуском от куба Qо по дереву диади-ческих разбиений вниз.

Для формулировки результата положим

W) i

Как мы увидим ниже, если в качестве пространства А"о взять Lp(Qo), то для алгоритма Аа : f —У ft в качестве второго пространства пары естественно взять пространство Вк(а,р), определяемое полунормой в*(а,р) := sup j^jj^llf ~/дк)11ьр(сз)-q<ed(Q0) \W\ IP

Отметим, что если а = = 1 и р = 1, пространство Вк(а,р) совпадает с хорошо известным пространством - диадическим В МО. Также хорошо известно (fl8]), что пространство Lip о может быть определено как пространство функций, для которых

II/ - /q^IImq) sup--< оо,

Q IQr " и верхняя грань берется по всем кубам Q С Q0. Отсюда следует, что пространство Вк(о.,р) при 1 < а < 1 + к — 1 vi р — \ является диадическим аналогом пространства Lip а, где а = п(а — 1).

Приведем теперь основной результат для алгоритма спуска в случае приближения многочленами.

Теорема 1 (о почти оптимальности алгоритма спуска). Имеет место оценка: ll/-/tlk(Qo) < С! Ы \\f - g\\LAQo). 3-\9\Bl'(a,p)^t/2

При этом справедливы следующие неравенства:

1- |/г|в*о,р) < 2t,

2. \\.f ~ .ft\\Lp(Qo) < c2t(N(t))^,

3. \\f-ft\\Lpm>tm))1/p

Константы c\ и c-i зависят от n и а и не зависят от р, f и t.

Величина N(t) - важная характеристика набора кубов, конструируемого алгоритмом спуска. Оказывается, что с помощью этой величины можно оценить К—функционал K(t,f; Lp(Qq), Вк{а,р)), А именно, при t > || / - /q^IU^Qo) верна эквивалентность (см. теорему 3)

K((N(t))^,f-,Lp(Q0),Bk(a,p))^t(N(t))^. (2)

Таким образом, из неравенств 1) и 2) теоремы 1 следует, что разложение f = (f—ft) + ft является почти оптимальным в смысле К—функционала пары (Lp(Q0),Bk{a,p)), но не для t, а для (N(t))1/p.

Теорема 1 представляет собой уточнение эквивалентности (2). Как видно из теоремы 1, конструируемая алгоритмом спуска функция ft оказывается почти оптимальной еще и в аппроксимационном смысле - она приближает функцию / в Lp(Q0) "не хуже", чем функции из шара радиуса t/2 пространства Вк(а,р) и при этом сама находится в шаре радиуса 21 того же пространства.

Иначе говоря, разложение ./ = ft + (/ - ft) является почти оптимальным в аппроксимационном смысле, или в смысле Е—функционала для пары (Вк(а,р), LP(Qо)).

Рассмотрим теперь алгоритм спуска в особом случае "приближения нулем". В этом случае, в отличие от остального, диапазон изменений а ограничен интервалом (0,1].

Пусть / G Lp(Qo), 1 < Р < -Ьос, и а > 0 фиксированы. В этом случае алгоритм для произвольного числа imi UJ \ \Lp(Qo) > ii/iimqo) - |qq|alv строит функцию ft и, следовательно, разложение / = /« + (/ — ft)

Механизм построения ft очень похож на построение функции ft в случае приближения полиномами. Собственно, сама структура этих алгоритмов спуска одна и та же; различие лишь в величине, на основе сравнения которой с фиксированным t конструируется набор кубов и строится функция ft. Мы последовательно, спускаясь вниз от куба <Зо по дереву диадических разбиений выбираем "максимальные" кубы Qi такие, что

Яг\а,Р

Lp(Qi) t.

Положим

It — fXQo\uQi-Введем пространство Ц^ с помощью нормы

В частном случае, если а — 1 и р = 1, пространство совпадает с известным пространством Loo(Qo)- При 0 < q < 1 пространство L^ является диадическим аналогом пространства Морри МРА [4]. Напомним, что функция / принадлежит МР:(Т, если выполняется sup-^гг1 < оо.

Q \Q\ пр

Здесь точная верхняя грань берется по всем (не обязательно диадическим) кубам Q С Q0 и —п < а < 0. Таким образом, при 0 < а. < 1 пространство Ь%р действительно является диадическим аналогом пространства MPi„, где а = —па.

Замечание. Отметим также, что если а > 1, то пространство L^ вырождается (в этом случае оно содержит только функцию, равную почти всюду 0). Поэтому все результаты для случая "приближения нулем" имеют смысл только при 0 < а < 1.

Приведенные выше теорема 1 и эквивалентность (2) для случая приближения многочленами остаются верными и для случая "приближения нулем"; при этом вместо Вк(а,р) естественно возникает пространство .

В силу того, что величина N(t), фигурирующая в формуле для К—функционала (2), строится с помощью алгоритма, то встает вопрос об инвариантной, то есть не зависящей от алгоритма, формуле для К"-функционала.

В случае пространств L^ и В МО имеют место два классических результата для К—функционалов пар (Ly, L^) и (Llt В МО). А именно, если f* - невозрастающуая перестановка функции /, то верны эквивалентности Li, Loo) ~ t(Mf)*(t) (3)

K{t,f-,Lx,BMO)vtU*y{t), (4) где (M/) и - соответственно максимальная функция Харди - Литлвуда и шарп-максимальная функция.

Оказывается, что в случае 0 < а < 1 можно указать аналогичные формулы, в которых вместо перестановки.по мере Лебега приходится брать перестановку по некоторой специально конструируемой, "внешней" диадической мере. Для формулировки результата введем максимальные функции ff(x):= sup TT^rdl/ - Iq^Ilaq)-Определение. Пусть а. фиксировано, 0 < a, < 1. Пусть fi С Q0. Положим

Здесь Qk G D{Q0).

Отметим, что указанная величина обладает следующими свойствами.

1. Пусть fij С 0,2- Тогда p(fii) < /и(f^)т

2. < Г /i(fii). г=1

3. О < fl(tt) < 1.

Можно привести пример, показывающий, что введенная "мера': не является аддитивной, что не позволяет ее рассматривать как полноценную меру.

Определение. Определим диадическую перестановку функции / формулой b(t):= sup mf|/(x)|.

Следует сказать, что обычная невозрастающая перестановка функции / может также определяться аналогичным способом (см., например, [15]).

Ниже приведены результаты, которые показывают, что if—функционалы пар (Lp(Q0), Вк(а,р)) и (Lp(Q0),L^p) могут быть оценены с помощью величин tl^p(f*)*D(t) и tx!v{M® f)*D(t). А именно, если 0<£<1и0<о:<1, то верны эквивалентности (см. теорему 13) t1/p(M°fyD(t) « K(t^j-LP{Q0),L^P), tl/p(ffyD(t) « K(t^,f-,Lp(Q0),Bk(a,p)), то есть справедливы естественные аналоги классических неравенств (3) и (4).

К сожалению, эти соотношения имеют место для 0 < а < 1. Для а > 1 в работах [15], [16] предложено использовать понятие ^-характеристики и получен такой результат:

- /; Lp, В^) ~ t1^pFa(f)*(t), (5) где а = 1 -f ^ и о Е (0,1). При этом величина Fa(f)*(t) определяется как адп*) = sup (mf н/"Дмд)), (6) где верхняя грань берется по всем наборам непересекающихся кубов тг (не обязательно диадических), для которых

Ha = £l Qi\a>t. (7)

Qe-ir

Оказывается, что если ввести величину Ff{f)*(t) как

II f - f(/c)ll F#(f)*Jt) := sup (inf lU .i?. ,piQ)) здесь верхняя грань берется по всем наборам 7г непересекающихся диадических кубов, для которых выполняется (7)), то верна

Теорема 4. Пусть а > О и 0 < t, < I. Тогда справедлива эквивалентность

Замечание В работе [15] в ситуации 0 < а < 1 методы не работали. Теорема 4 показывает, что в диадическом случае результат справедлив для всех положительных а.

Таким образом, имеет место аналог формулы (5) и в диадическом случае. Одной из неприятностей формулы (6) является то, что в определении верхняя грань берется по всевозможным наборам непересекающихся кубов тг, удовлетворяющим (7). Оказывается, в диадическом случае этой неприятности можно избежать.

Всюду далее под укладкой тт будем понимать набор {Qi} Е D(Q0) такой, что если г ф j, то внутренности кубов Qi и- Qj не пересекаются.

Таким образом, укладка представляет собой набор непересекающихся диадических кубов из D(Q0).

Следуя работе [15], а—емкостью набора кубов {Qi} будем называть величину

Qi

Всюду далее через |7г|а будем обозначать а—емкость укладки -к. Пусть Т - некоторое семейство диадических кубов.

Мы называем поверхностными кубами семейства диадических кубов Т такие кубы из Т, что Qpkv не содержится ни в каком другом кубе из Т. Набор различных поверхностных кубов семейства кубов Т всегда образует укладку. Говоря об укладке из поверхностных кубов, мы всегда имеем в виду укладку, состоящую из всех поверхностных кубов.

Определение. Пусть Т — {Qi} - некоторое семейство диадических кубов, и пусть {QkV} - соответствующая семейству Т укладка поверхностных кубов. Определим "меру" семейства Т как к

Покажем, как строится диадическая перестановка (F(Q))*(t) в случае приближения полиномами.

Для любого с > О определим семейство диадических кубов Тс как

Рассмотрим функцию распределения dF{c) := /i(rc).

Можно показать, что введенная таким образом функция распределения будет невозраста-ющей функцией (см. параграф 1 гл.1).

По аналогии с обычной невозрастающей перестановкой функции / обозначим через (F(Q))*{t) функцию из R+ в R+ такую, что d(F(Q)y(t)ic) — ^f(c), (F(Q))*(t) непрерывна справа и не возрастает. Функция (F(Q))*(t) может быть выражена следующей формулой:

F(Q)y(t) = sup {с : ц{Тс) > t}. Оказывается (теорема 6), имеет место эквивалентность

F(Q)T(t)^F*(f);(t) и справедлива теорема

Теорема 7. Пусть 0<t<lua>0. Тогда справедливо неравенство t^{F{Q)Y(t)< K(t1»,f]Lp(Q0),Bk(a,p)) < cxt^{F{Q)y{t), где ci - постоянная, зависящая только от п и а.

В случае же приближения нулем множество Тс строится как и диадическая перестановка (F(Q))*(t) определяется как

F(Q)Y(t) = sMc-- KTc)>t}

При этом выполняется эквивалентность t^(F(Q)Y (t) « Kit1'*, /; LP(Q0), L^).

Следует отметить, что величины (F(Q))*{t) основываются не на всех, а на поверхностных укладках, которые могут быть найдены алгоритмически с помощью описанных алгоритмов спуска.

В работе Беннетта - Шарпли [1] показано, что из формул

K(t, f: Li,Loo) ~ t(Mf)*(t)

К&КЬиВМО)*^*)'®, а также из соотношения между величинами (Mf)*(t) и (/#)*(t) следует важное равенство

L1,L00)e,q = (Ll,BMO)^.

Установленные в настоящей работе формулы для /^-функционала позволяют применить аналогичную технику для доказательства следующего утверждения.

Теорема 18. Пусть О<0<1, 0<а<1 ul < q < оо. Тогда

Lp(Q0),L^p)ffig = {Lp{QQ\B\a,p))9,q.

Полученные в работе формулы для функционала E(t,/; Вк(а,р), LP(Q0)) позволяют вычислить интерполяционные пространства, получающиеся при диагональной интерполяции пространств Li(Qo) и Вк(а, 1). В частности, можно доказать следующую формулу (см. главу 2):

Li(Qo),Bk(a,l))e,qe — Bkaqe, где Bkaq определяется полунормой

I\f-f(Qh Q

Q&D(qa) № l/k, = ( E (Q )Ж)г/\ а Яв =

Из результатов работы Ю.А. Брудного [4] следует, что пространство В* является диадическим аналогом некоторого пространства Бесова.

Алгоритм подъема и результаты, связанные с ним

Пусть / е Lp(Qo), 1 < р < +оо и q < 0. Всюду далее G Р^ обозначает полином наилучшего приближения функции / на множестве О, в LP(Q).

Пусть << \ \ ( fW11 — II/ ~ /Qq I IlP(Qq)

Ь II./ ~ JQo IU?(Qo) - \Q0\°/P '

Алгоритм подъема (подробно см. параграф 1 главы 1) конструирует набор диадических кубов Qi, на основе которых строится элемент приближения ft. При этом каждый куб Qi является "минимальным" из всех кубов Q, для которых выполняется неравенство

Q\a/v

Отметим, что в отличие от алгоритма спуска в случае подъема конструкция является более сложной, так как кубы Qi могут пересекаться. Положим, как и в случае алгоритмов спуска, i

Пусть Qf, к — I,. ,2п - "дети" кубов Qt, то есть кубы, получающиеся при разбиении куба Qi на 2" равных диадических подкубов. Определим множества

UJ<S Qj Q0\LiQl.

Положим ft = fak + /п„ ХПо ■ i k=i *

Можно показать (см. параграф 1 гл.2), что ft является суммой диадических полиномов. Для формулировки дальнейших результатов рассмотрим следующее пространство Ак(а,р). Оно состоит из функций д, которые можно представить в виде конечной суммы диадических полиномов, то есть в виде

9 = Jl9jXQv 9j € Рк. При этом кубы Qj могут пересекаться и должно выполняться

Qo = U Qj.

Приведенное выше представление для функции д может быть неединственным. Определим норму в пространстве Ак(а,р) как

1Ы1 д*(а,р) :=mf(Zma)lfvj

Здесь нижняя грань берется по всем наборам кубов {Qj} таким, что функция д может быть представлена в виде

9 = 9j е Рк; j причем UQj = Qo

Ниже приведена теорема, являющаяся основным результатом для алгоритма подъема. Теорема 2 (о почти оптимальности алгоритма подъема). Имеет место оценка

II/-/.iu^o) < и/"

При этом выполняются неравенства:

II/ - fi\\LP(Q0) < c4t(N(t)yiP.

В основе доказательства почти оптимальности лежит геометрическая лемма (см. параграф 3 гл. 1).

Проиллюстрируем теорему 2 для случая а = 0 и р = 1.

В качестве пространства Ак(а,р) = Ак{0,1) берется пространство функций вида д =

S^j'XQj! 9j ^ Pki где кубы UQj = Q0. Квазинорма в этом пространстве есть ни что иное, з 3 как минимальное количество кубов, необходимых для дого, чтобы представить функцию д в виде суммы диадических полиномов. Другими словами, N bU*(o,i) = inf{^v : 9 = IZsiXQj], 9j е Рк

Алгоритм подъема при а = 0,р = 1 строит функцию ft, состоящую (см. параграф 1 гл. 1) из не более чем (2'1+ 1 )N(t) полиномиальных ступенек, дающую почти оптимальное разложение для if—функционала пары (Li (Qo), ЛЛ(0,1)).

Кроме теоремы 2, справедлива эквивалентность (см. теорему 3)

K(t,f;Lp(Q0),Ak(a,p))Kt(N(t))^, (8) где а < 0 я t < \\f — /q^||l?(q0)- Из этой формулы и теоремы 2 следует неравенство f-ft\\Lpm+t\\ft\\A4a,p) <cK(t,f;Lp(Q0),Ak(a,p)), и, следовательно, алгоритм подъема Ап,а < 0, является if-оптимальным.

Замечание. Сравнение результатов для алгоритмов подъема и спуска показывает, что, несмотря на большое сходство результатов, имеется и определенное различие.

1. В случае а > 0 осуществляется последовательный спуск по дереву диадических разбиений от больших по объему кубов к меньшим, а в случае а < 0 последовательный подъем от меньших по объему диадических кубов к большим.

2. Алгоритм спуска является почти оптимальным в аппроксимационном смысле (в смысле

Е—функционала) для пары (Вк(а,р), Lp(Qo)), а алгоритм подъема - почти оптимальным в смысле if—функционала для пары (Lp(Q0), Ак(а,р)).

3. В теоремах 1, 2 и в формулах для if—функционалов при переходе от а > 0 (спуск) к а. < 0 (подъем) величины t и (N(t))^p меняются местами.

4. Алгоритмы спуска и подъема работают при различных значениях t. Так, ограничение t > II/ - Iqo\\lp(q0) Для алгоритма спуска заменяется на t < ||/ - ,/q^ILP(<3o) Для алгоритма подъема.

Отметим, что неравенство 3) теоремы 1 в случае алгоритма подъема, вообще говоря, является неверным. Кроме того, в отличие от случая алгоритма подъема, где конструируемые алгоритмом кубы Qi не пересекались, кубы, отбираемые алгоритмом подъема, могут пересекаться. Поэтому в этом случае функция ft имеет более сложное строение, нежели в случае а > 0.

Как и в случае алгоритмов спуска, возникает вопрос об инвариантной, то есть, не зависящей от алгоритма, формуле для К—функционала.

Пусть t > 0 фиксировано и {£?;} - конечный набор кубов, упорядоченный по возрастанию объемов. Как и раньше, обозначим

Пусть Т - семейство наборов кубов {Qi}, упорядоченных по возрастанию объемов и таких, что для любого куба Qi выполняется

II/ - й-Иыъ) \Qi\a/v - '

Положим

Ff(f);(t)-.= sup

Q,}er j

Тогда выполняется

Теорема 5. Пусть а < 0 и t < ||/ — Iq^Wl^Qo)- Имеет место эквивалентность

K(tJ-,Lp(Q0),Ak(a,p))*t(F*(f);(t))1'>> с константами; зависящими от п и а и не зависящими от р, / и t.

В заключение остановимся кратко на прикладных аспектах работы. В настоящее время дискретные алгоритмы аппроксимации, в частности, дискретное преобразование Фурье или дискретное преобразование по системам вейвлетов нашли важное применение в задачах, связанных с обработкой сигналов и изображений [9].

В серии работ [25 - 28] фактически было показано, что константы в популярных алгоритмах стремятся к бесконечности при р —> оо.

Константы в приведенных теоремах абсолютные и не зависят от р, что делает алгоритмы привлекательными для определенного рода задач обработки изображений.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [19], [20], [17], [21], [22], [23], [24].

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук профессору Натану Яковлевичу Кругляку.

1. Кругляк Н.Я. Кусочно-полиномиальная аппроксимация со свободными узлами и Fa,—характеристики для а € 1 — 1/п,1) // Алгебра и анализ. 1997. Т. 9, JYe 2. С. 58 72.

2. Кругляк Н.Я. Гладкие аналоги разложения Кальдерона Зигмунда, количественные теоремы о покрытиях и К—функционал для пары (Lq, Wk) f / Алгебра и анализ. 1996. Т. 8, № 4. С. 110 - 160.

3. Кругляк Н.Я. Исследования по теории вещественного метода интерполяции операторов: Дис. . д-ра физ.- мат. наук / ПОМИ им. В.А. Стеклова. СПб., 1996. 267 с.

4. Кругляк Н.Я., Невский Д.М. Почти-оптимальность алгоритмов диадической аппроксимации в Lp(0,1]") и вещественная интерполяция // Алгебра и анализ. 2002. Т. 14, № 4.

5. Meyers G. Mean oscillation over cubes and Holder continuity // Proc. Amer. Math. Soc. 1964. V. 15. P. 717 721.

6. Невский Д.М. Об одном адаптивном алгоритме кусочно-постоянной аппроксимации в Lp(0,1]"),р > 1 // Современные проблемы математики и информатики. Вып. 2. Ярославль, 1999. С. 30 35.

7. Невский Д.М. К постановке задачи о диадической кусочно-постоянной аппроксимации в jLi(0, 1]п) // Современные проблемы математики и информатики. Вып. 3. Ярославль, 2000. С. 46 51.

8. Невский Д.М. О двух диадических ^ —перестановках и их эквивалентности при 0 < а < 1 + // Современные проблемы математики и информатики. Вып.4. Ярославль, 2001. С. 40 - 47.

9. Невский Д.М. Адаптивная аппроксимация на п—мерном кубе и одна оценка для Е—функционала // Вторая обл. научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых вузов. Материалы конференции. Ярославль, 2001. С. 11.

10. Невский Д.М. О диадических а—перестановках суммируемой функции // Труды ма-тем. центра им. Н.И.Лобачевского. 2001. Т. 12. Материалу международной молодежной научной школы-конференции. Казань, 2001. С. 47.

11. Temlyakov V.N. Greedy algorithmuand m—term trigonometric approximation // Constr. Approx. 1998. V. 14. P. 569 587.

12. Temlyakov V.N. Non-linear m—term approximation with regard to the multivariate Haar System // East journal on approximations. 1998. V. 4, № 1. P. 87 106.

13. Temlyakov V.N. Greedy-algorithms and rn—term approximation with regard to redundant dictionaries // Journal of approx. 1999. V. 98. P. 117- 145.

14. Temlyakov V.N., Greedy algorithms with regard to multivariate systems with special structure // Constr. Approx. 2000. V. 16. P. 399 425.