Вихревые состояния в трехмерной джозефсоновской среде и поведение ВТСП в Магнитном поле тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

Санкт-Петербургский государственный технический университет I и С1& На правах рукописи

Зеликман Марк Аронович

ВИХРЕВЫЕ СОСТОЯНИЯ В ТРЕХМЕРНОЙ ДЖОЗЕФСОНОВСКОЙ СРЕДЕ И ПОВЕДЕНИЕ ВТСП В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

01.04.07 -физика твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург - 1998

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном техническом университете. Официальные оппоненты:

Доктор технических наук, профессор Вендик О.Г. Доктор физико-математических наук Гинзбург С.Л. Доктор физика-математических наук Козуб В.И. Ведущая организация - ПИИ «Домен».

Защита состоится 14 мая 1998 года на заседании диссертационного совета Д.003.23.03 при Физико-техническом институте им. А.Ф. Иоффе по адресу Политехническая ул. д.26. ^

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Физико-технического института.

Автореферат разослан 0%ОЦ.98г.

Ученый секретарь советачА/^"^^1^к.ф-м.н. А.А.Петров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. Одной го важнейших проблем в физике высокотемпературных сверхпроводников (ВТСП) является анализ структуры, движения и пиннинга вихрей и вихревых решеток, возникающих в образце при внесении его во внешнее не очень сильное магнитное поле. При малых полях вихрей нет, поле выталкивается из образца. При некотором значении поля становится энергетически выгодным возникновение вихрей. В отсутствие пиннинга в образце устанавливается однородная вихревая решетка, соответствующая равномерному проникновению поля, которая по мере роста поля становится более плотной. При наличии пиннинга вихри не могут сразу заполнить весь образец, они возникают сначала возле поверхности и с ростом поля постепенно продвигаются в глубь образца. Характер этого процесса определяется структурой вихрей, их пиннингом и его зависимостью от магнитного поля.

Для расчета профиля магнитного поля в образце В(х) обычно пользуются моделью Бина, согласно которой все вихри в области, в которую проникло магнитное поле, находятся в "критическом состоянии", т.е. сила, действующая на каждый вихрь со стороны всех остальных, равна максимальной силе его "зацепления" за структурные дефекты ат.

Для вычисления В(х) в критическом состоянии необходимо знать зависимость аш от магнитной индукции В (т.е. от плотности вихрей), вид которой определяется физической природой пиннинга. Существуют различные типы вихрей и механизмы их зацепления на всевозможных дефектах кристаллической решетки, являющихся центрами пиннинга. Для более полного понимания процессов, происходящих в ВТСП, и для проверки справедливости некоторых гипотез, в частности, модели Бина, было бы полезно рассмотреть модель, дающую возможность получить точные математические описания структуры и поведения вихрей.

Цель работы. В настоящей работе предлагается модель, с одной стороны, адекватная физической природе вихрей в ВТСП, с другой, позволяющая провести точный аналитический расчет структуры и взаимодействия вихрей, их пиннинга, конфигурации токовых распределений и профиля магнитного поля вблизи границы. Рассматривается кубическая решетка, каждая связь которой содержит один точечный джозефсоновский контакт. В такой среде вихрь описывается не непрерывным распределением разности фаз, а дискретными ее значениями на отдельных контактах. При этом существует пиннинг, связанный с ячеистой структурой среды, определяемый конечной величиной энергии, необходимой для смещения центра вихря в соседнюю ячейку.

Основное внимание уделяется анализу структуры отдельных вихрей, вихревых решеток и экранирующих токов при различных значениях параметров среды и внешнего магнитного поля. Рассчитываются энергии пиннинга, связанного с ячеистостью среды, для уединенных вихрей как плоской, так и линейной структуры. Проводится анализ возможных конфигураций с учетом взаимодействия вихрей друг с другом и пиннинга на ячейках, на основе чего рассчитываются профили магнитного поля, проникающего в образец, и зависимости магнитного момента образца от внешнего магнитного поля. Кроме того, исследуется влияние формы образца, а также ориентации внешнего магнитного поля относительно осей кристаллической структуры, на нелинейные магнитные свойства и на поведение высших гармоник отклика на переменное магнитное поле.

Научная повизна. Предложена модель трехмерной упорядоченной джозефсоновской среды, физически близкая к структуре гранулированных ВТСП.

На основе условий квантования флюксоида в ячейках получены системь: уравнений, описывающие структуру и поведение вихрей и экранирующих токов возникающих в такой среде в магнитном поле.

Найдены точные решения этих систем, описывающие структуры, энергии, взаимодействие, пиннинг плоских и линейных вихрей, а также приграничных экранирующих токов для различных значений параметров среды. Рассчитаны профили проникающих в среду магнитных полей и определены пределы применимости модели Бина.

Получен ряд новых экспериментальных фактов, касающихся поведения высших гармоник отклика образца ВТСП на переменное магнитное толе. Проведен теоретический анализ генерации гармоник, показавший, что для объяснения всех полученных экспериментальных фактов нет необходимости в детальном анализе микроскопических процессов в отдельных джозефсоновских контактах, как это делалось некоторыми авторами. Все эти факты получили объяснение в рамках представлений о ВТСП как о среде, характеризующейся некоторой зависимостью магнитного момента от внешнего поля М(Н).

Проведено экспериментальное и теоретическое исследование зависимости вида кривой М(Н) от соотношения радиуса и высоты цилиндрического керамического образца.

Экспериментально обнаружен и подробно исследован факт зависимости отклика кристаллического ВТСП на переменное магнитное поле от ориентации образца относительно внешнего поля. Предложено теоретическое объяснение этого феномена.

Практическая ценность. Результаты, полученные при исследовании поведения вихрей в джозефсоновской среде, позволяют ближе подойти к пониманию механизмов пиннинга и влияющих на него факторов, что важно для создания сверхпроводников с большими значениями критических токов и магнитных полей. Предложен метод измерения постоянного магнитного поля и проверки качества магнитных экранов по второй гармонике отклика. Зависимость спектра отклика на переменное магнитное поле от ориентации кристаллического образца относительно внешнего поля позволяет отличать

кристаллические образцы от гранулированных и порошковых и проводить анализ кристаллической структуры образца, она может быть также использована для создания навигационных приборов, реагирующих на магнитное поле Земли.

Научные положения, выносимые на защиту.

I. В трехмерной джозефсоновской среде рассматриваемого типа имеют место следующие эффекты, характерные для ВТСП:

а) при внесении ее в магнитное поле возникают приповерхностные экранирующие токи, создающие эффект Мейсснера.

б) существуют пороговые значения Не или Нс*, при превышении которых внешним магнитным полем в образце начинают возникать плоские или линейные вихри.

2. Как для плоских, так и для линейных вихрей существуют два типа конфигураций, соответствующие устойчивому и неустойчивому равновесию. При малых энергиях вихрь колеблется около положения устойчивого равновесия. Если его энергия превышает энергетический барьер (энергию пиннинга), то центр вихря может перемещаться из одной ячейки в другую.

3. Вследствие пиннинга на ячейках расстояние между двумя покоящимися изолированными вихрями одинаковой ориентации может варьироваться от бесконечности до некоторого минимального значения, которое убывает с ростом параметра I.

4. При монотонном увеличении внешнего магнитного поля вблизи границы образуется система вихрей. Наименьшее расстояние (в ячейках) от наиболее удаленного от границы вихря до ближайшего соседа зависит от I степенным образом: с1пй1 и 6,1 х Г1'1.

5. Существует критическое значение параметра пшшинга 1с=3,369, разделяющее два режима с различными типами критического состояния.

При 1<3,369 существует некоторое пороговое значение внешнего магнитного поля НД), при превышении которого поле сразу однородно

заполняет все сечение образца.. Кривая намагничивания образца при 1<3,369 имеет вид, типичный для сверхпроводников 2-го рода. Учет шппшнга приводит к росту критического поля Но и к возникновению резкого скачка на кривой.

При 1>3,369 возникает "лестница" вихрей, содержащих возрастающее по мере приближения к границе образца количество квантов Ф0. Наклон лестницы зависит от значения I. Магнитное поле в образце линейно спадает от границы в глубь образца. Крутизна спада растет с увеличением значения I. В этом диапазоне I образец представляет собой сверхпроводник Ш-го рода.

6. Модель Бина в случае пшшинга на ячейках среды несправедлива.

7. Для объяснения поведения высших гармоник нелинейного отклика образца ВТСП на внешнее переменное магнитное поле нет необходимости в подробном анализе микропроцессов в отдельных джозефсоновских контурах, как это делается в некоторых работах. Все они могут быть теоретически объяснены в рамках представлений о ВТСП как о сверхпроводнике П рода, характеризующемся некоторой зависимостью магнитного момента от внешнего магнитного поля.

В. Спектральный состав нелинейного отклика ВТСП на внешнее переменное магнитное поле зависит от ориентации образца относительно переменного и постоянного внешних магнитных полей. Этот феномен находит свое объяснение в рамках теоретической модели, основанной на анализе поведения вихрей при учете кристаллической структуры образца.

Апробация работы. Основные результаты докладывались на XX (Москва,1979 г.) и XXIX (Казань, 1992 г.) совещаниях по физике низких температур, на Европейской научно-метрологической конференции (Санкт-Петербург, 1992 г.), на научных семинарах на кафедрах физики твердого тела Хартфордского (США, 1992 г.) и Сорбоннского (Париж, 1995 г.)

университетов, на семинарах ФТИ им. Иоффе (1978,1979,1986,1992,1997 г.), ФТИНТ (Харьков, 1978 г.).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 18 статей.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, библиографии и одного приложения. Основной текст -195 стр., рисунков - 53 , библиография - 57 названий, приложение - 8 стр.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во Введении обсуждается актуальность избранной темы и кратко изложены основные результаты.

В главе I предложена модель трехмерной джозефсоновской среды, позволяющая провести точный аналитический расчет возможных токовых конфигураций, возникающих при помещении образца в магнитное поле. Показано, что в этой среде могут существовать вихри специального типа, и произведен анализ их физики и структуры. Исследована также структура экранирующих токов эффекта Мейсснера. Рассмотрение основано на том, что нельзя считать среду состоящей из изолированных петель, необходимо учитывать их влияние друг на друга, как посредством создаваемого магнитного поля, так и за счет условий квантования флюксоида. Влияние магнитного поля петель проявляется двояко: 1) через магнитный поток, пронизывающий петлю и созданный ею самой (прямо пропорциональный индуктивности петли); 2) через магнитный поток через петлю, созданный другими петлями, в том числе и достаточно удаленными. Первый механизм существует и в двумерном случае, его значение зависит от безразмерного параметра LíJ Ф0, где Ь- индуктивность петли, критический ток джозефсоновского контакта, Ф0- квант магнитного потока. Второй же механизм присущ лишь трехмерному случаю и его роль, как оказывается, не ослабляется при уменьшении 1С, так как при этом, хотя и ослабляется вклад в магнитный поток от каждой петли, но растет количество принимающих участие петель, т.е. увеличивается размер вихря.

Основное внимание в главе I уделено средам с большими индуктивпостями петель. В этом случае энергия магнитного поля токов существенно превышает энергию джозефсоновских контактов.

Рассматриваемая трехмерная джозефсоновская среда представляет собой простую кубическую решетку с постоянной решетки И, состоящую из сверхпроводящих проводов, каждая связь которой содержит один джозефсоновский контакт. Токовое распределение имеет слоистую структуру, т.е. во всех параллельных плоскостях, перпендикулярных внешнему магнитному полю или оси вихря, токи распределены идентично. Произведен расчет магнитных полей, создаваемых такой структурой, и на основе условий квантования флюксоида в ячейках

~Фи)/Фо + - Р. = 2яК„ получена система нелинейных уравнений, описывающих возникающие плоские стационарные токовые конфигурации:

т

хе - итр,- -(б/вш (рт + <рт) + (Мзт<рт+1 + е>т+1) = О,

(=0

ГЛР г ЪгРоМс _ - 2яфе

1ДС Л = , Л» =

Фо Фо

В линейном приближении, когда все разности фаз на контактах малы, справедливом, когда максимальный магнитный поток, создаваемый током в одной ячейке, много больше кванта магнитного потока, т.е. безразмерный параметр I много больше 1, система приобретает вид:

2лФи / Ф0 + <рту1 ~<рт= 2яКт, где Кт- целое число.

Решение этой системы имеет вид:

<Рт = с1ГГ1 + с2гГ1

Линейные вихри описываются линейной системой уравнений, получаемой пренебрежением токами в участках, удаленных от центра вихря.

Решение полученных систем при различных граничных условиях позволяет провести подробный анализ структуры экранирующих, ламинарных и линейных вихревых состояний при различных значениях параметров среды. Показано, что: а) в трехмерной джозефсоновской среде рассматриваемого типа при внесении ее в машитное поле возникают приповерхностные экранирующие токи, создающие эффект Мейсснера;

б) вдали от границы могут существовать плоские и линейные вихри;

в) размеры вихрей и толщина экранирующего токового слоя имеют порядок нескольких постоянных решетки.

Рассчитаны энергии вихревых состояний и получены выражения для пороговых значений Н*с или Нс, равных по порядку величины Н0=Ф0/ А2 (при й к 1 мкм //0 ~ 20 Э, при к «10 мкм Н0 ~ 0,2 Э), при превышении которых внешним магнитным полем в образце начинают возникать вихри или ламинарные структуры.

В главе П рассмотрен случай малых индуктивностей петель (1«1). В двумерном случае это означало бы пренебрежение влиянием собственных магнитных полей. В трехмерном же это не так: хотя первым из вышеописанных механизмов влияния магнитного поля петель, действительно, можно пренебречь, второй механизм играет существенную роль, определяя структуру и размеры возникающих токовых распределений. Энергия собственного магнитного поля в этом случае сравнима с энергией джозефсоновских контактов.

1) Показано, что при 1«1 в джозефсоновской среде размеры токовых конфигураций имеют порядок джозефсоновской длины Ь/С и велики в сравнении с постоянной решетки, что позволяет рассматривать все структуры как квазинепрерывные. При этом описывающая их система разностных уравнений переходит в дифференциальное уравнение второго

порядка: ?j"(z)=/sinp(z). Решение этого уравнения при различных граничных условиях дало следующие результаты.

При помещении образца в магнитное поле вблизи его границы возникают экранирующие токи. В зависимости от величины внешнего поля распределение токов может либо монотонно затухать в глубь образца, либо иметь максимум на некоторой глубине порядка джозефсоновской длины.

Внутри образца могут существовать плоские вихревые структуры. В их центральной области токи малы, с удалением от центра они возрастают и имеют максимум на расстоянии, примерно равном джозефсоновской длине.

2) Выведено дифференциальное уравнение, описывающее линейные вихри Н + Äzj rot rotíf = A ö(r). Оно идентично уравнению для изолированной вихревой нити в сверхпроводниках второго рода.

Несмотря на идентичность математического описания, рассмотренные вихри существенно отличаются от абрикосовских вихрей в сверхпроводниках II рода: а) в них отсутствует остов, находящийся в нормальном состоянии, и никаких фазовых переходов не происходит при их образовании; б) в отличие от абрикосовских вихрей в однородном сверхпроводнике, в рассмотренном случае среда имеет микроструктуру, что приводит к пиннингу вихрей.

3) Получены выражения для критических полей относительно возникновения плоских и линейных вихрей.

В главе III проведен учет возможной нестационарности, т. е. введение в соответствующие уравнения членов, содержащих производные по времени, исследование на этой основе структуры устойчивой и неустойчивой равновесных конфигураций, определение возможного характера их движения и энергии пиннинга, определяемого энергией, необходимой для перемещения центра вихря из одной ячейки в другую. Проведен расчет устойчивой и неустойчивой равновесных конфигураций ламинарного (плоского) и линейного

вихрей в трехмерной упорядоченной джозефсоновской среде и построены зависимости энергий их пиннинга, а также магнитной и джозефсоновской энергий от величины критического тока джозефсоновского контакта.

Показано, что как для плоских, так и для линейных вихрей существуют два типа конфигураций, соответствующие устойчивому и неустойчивому равновесию. При малых энергиях вихрь колеблется около положения устойчивого равновесия. Если его энергия превышает энергетический барьер (энергию пиннинга), то центр вихря может перемещаться из одной ячейки в другую.

Выведены бесконечные системы уравнений, описывающие устойчивую и неустойчивую равновесные конфигурации для линейных вихрей. Переход к конечной системе осуществляется путем пренебрежения токами, достаточно далеко удаленными от центра. Размер квадрата, необходимого для такого расчета, определяется условием неизменности величин магнитной и джозефсоновской энергий вихря при увеличении размеров квадрата.

Рассчитаны структуры и энергии устойчивого и неустойчивого равновесных состояний, а также энергии пиннинга для плоских и линейных уединенных вихрей для всего диапазона значений I. Джозефсоновская энергия неустойчивой конфигурации всегда выше, чем устойчивой, а магнитная -наоборот.

В главе IV аналитически и с использованием ЭВМ при различных граничных условиях решается система нелинейных уравнений вида

фтц-2фт+фш-1=1к1пфт,

описывающая взаимодействие плоских вихрей в трехмерной джозефсоновской среде и его влияние на пиннинг. Проводится расчет возможных расстояний между вихрями для случая двух уединехашх вихрей, а также для системы вихрей, устанавливающейся в среде при ее помещении во внешнее магнитное поле. На основе этих результатов проведен анализ

профиля магнитного поля, проникающего в образец. Полученные результаты применимы также в одномерном случае длинных джозефсоновских контактов.

На основе компьютерного решения системы нелинейных разностных уравнений для случаев двух или многих плоских вихрей получены следующие результаты.

1. Расстояние между двумя покоящимися изолированными вихрями одинаковой ориентации может варьироваться от бесконечности до некоторого минимального значения. Этот факт является следствием пиннинга, так как при его отсутствии взаимодействие между вихрями развело бы их на бесконечность. С ростом параметра I пиннинг увеличивается, а отталкивание между вихрями уменьшается, в результате чего минимальное расстояние между вихрями убывает.

2. Для нахождения кривой намагничивания образца рассмотрена система вихрей, образующаяся в образце при монотонном увеличении внешнего магнитного поля. Наименьшее расстояние от наиболее удаленного от границы вихря до ближайшего соседа зависит от I степенным образом: с^уЪ «6,1 х Г1,1.

3. Существует критическое значение параметра пиннинга 1С, разделяющее два режима с различными типами критического состояния. Значение 1с =3,369 отличается от принятого другими авторами значения 1с =0,9716.

4. При 1<3,369 существует некоторое пороговое значение внешнего магнитного поля Щ1), при превышении которого поле сразу однородно заполняет все сечение образца.

5. При 1<1,3 среднее расстояние между вихрями А не убывает по мере приближения к границе, оио остается примерно постоянным. При 1,4 < I < 3,369 величина А при приближении к границе убывает до одной ячейки, далее центры вихрей располагаются в соседних ячейках.

6. Кривая намагничивания образца при 1<3,369 имеет вид, типичный для сверхпроводников 2-го рода. Учет пиннинга приводит к росту критического поля и к возникновению резкого скачка на кривой, обусловленного тем, что решетка вихрей не может иметь период больше того, который соответствует рассчитанному критическому состоянию.

7. При 1>3,369 возникает "лестница" вихрей, содержащих возрастающее по мере приближения к границе образца количество квантов Ф0. Наклон лестницы зависит от значения I.

8. Магнитное поле в образце при 1>3,369 линейно спадает от границы в глубь образца. Крутизна спада растет с увеличением значения I. В этом диапазоне I образец представляет собой сверхпроводник Ш-го рода,

9. В диапазоне значений 1>3,369 , когда существует плотная лестница вихрей, рассмотренная модель плоских вихрей совпадает со случаем линейных, что делает полученные результаты актуальными для практических ситуаций.

10. Модель Бина в рассмотренной ситуации пишшнга на ячейках среды несправедлива. При 1>3,369 можно говорить об "эффективной силе пиннинга", рассчитывая ее и ее зависимость от магнитной индукции в соответствии с моделью Бина, но физического смысла эта величина не имеет.

В главе V рассматривается поведение реальных образцов ВТСП во внешнем магнитном поле, а также исследуется влияние формы образца на его нелинейные магнитные свойства и на поведение высших гармоник отклика на переменное магнитное поле.

В §У.1 приведены результаты экспериментального исследования поведения высших гармоник нелинейного отклика образца ВТСП на переменное магнитное поле. Анализ этих результатов и их теоретическая интерпретация позволили сделать следующие выводы.

1. Спектр выходного сигнала содержит большое количество гармоник ( в некоторых образцах до 43). В отсутствие постоянного магнитного поля в нем

присутствуют только нечетные гармоники, при включении постоянного шля появляются и четные.

2. Зависимость амплитуды второй гармоники от постоянного поля в достаточно большом диапазоне является лилейной, что позволяет предложить простой способ измерения магнитных полей до 10 Э, а также проверки качества магнитных экранов.

3. В зависимостях амплитуд нечетных гармоник от амплитуды переменного магнитного поля имеется порог, зависящий от номера гармоники и увеличивающийся с понижением температуры.

4. При параллельности постоянного и переменного полей зависимость амплитуд гармоник от постоянной составляющей магнитного поля носит квазипериодический колебательный характер, причем периоды линейно зависят от амплитуды переменного поля и убывают с ростом номера гармоники. С увеличением температуры период растет. Если же постоянное и переменное поля взаимноперпендикулярны, то периодичность отсутствует.

5. Для некоторых образцов имеет место попарное группирование гармоник.

6. Теоретический анализ показал, что для объяснения всех приведете,« результатов экспериментов по генерации гармоник в ВТСП нет необходимости в подробном анализе микропроцессов в отдельных джозефсоновских контурах, как это делается в некоторых работах. Получаемые на опыте зависимости могут быть объяснены в рамках представлений о ВТСП как о сверхпроводнике П рода, характеризующемся некоторой зависимостью магнитного потока Ф, проходящего через поперечное сечение, или магнитного момента образца M от внешнего поля Я. Пусть образец помещен во внешнее переменное магнитное поле Hi t) - #0 + sin at. Если считать Ф(я) нечетной функцией Н, то ее можно разложить в интеграл Фурье по синусам, а затем, подставив H{t), еще и в ряд по функциям Бесселя:

Ф(Я) = J-]>(хК(хЯ°) sin(xH0)dx + 2sm(2! - ijcot x V q V

x

0

¡F(x)J21_l(xH?)cQs(xHl>)dx + 2J-Ydcos2iat jF{x)J2l(xHf)sm(xH0)dx

о ' X '=1 0

Выходной сигнал U(t) пропорционален скорости изменения Ф, что дает

и(') = 11 (vh a cos(2/ - l)®f + U2, sin of),

/=i

OO

где t/JM = k(2!-\)a ¡J2l_t(zJ3)cos{za)F(z)dz, U2, = k2lco\jll(zp)&m{za)F(z)dz.

о 0

Таким образом, поведение гармоник определяется видом функции F(z),

являющейся фурье-разложением Ф(Я). При Ф(Я) = -j—^, удовлетворительно

а + Я

описывающей типичную зависимость Ф(Я) для гранулированного образца,

имеем .F(z) = , что позволяет теоретически получить все описанные

выше экспериментальные факты.

В §V.2 приведены экспериментальные результаты и теоретический расчет зависимости вида кривой М(Н) от соотношения радиуса и высоты для цилиндрических керамических образцов во внешнем магнитном поле, параллельном оси цилиндра, позволившие выделить следующие основные закономерности:

1. Крутизна начального участка тем выше, чем меньше толщина образца.

2. Чем тоньше образец, тем при меньших полях заканчивается линейный участок.

3. При увеличении поля крутизна кривой для более тонкого образца уменьшается быстрее, при некотором поле эта кривая пересекает соответствующую зависимость для более толстого образца и при дальнейшем росте поля приближается к ней, оставаясь ниже ее.

4. Для всех цилиндрических образцов по мере роста поля кривые М(Н) постепенно сближаются, асимптотически приближаясь к кривым М(Н) для образца го порошка. ч

5. Для порошкового образца в области полей 0< И <40 Э зависимость М(Н) линейная, а в области #> 40 Э рост М{Н) замедляется.

В главе VI приведены результаты экспериментального исследования зависимости спектрального состава нелинейного отклика ВТСП на внешнее переменное магнитное поле от ориентации образца относительно переменного и постоянного внешних магнитных полей. Получены следующие результаты.

1. Для всех образцов (монокристалл, керамика), помещенных только в переменное поле 1), спектр состоит только из нечетных гармоник. Поворот образца вокруг направления переменного поля Ь не изменяет спектр.

2. В поле Ь и II. в спектре всех образцов (монокристалл, керамика) появляются четные гармоники. С изменением поля Н, от 0 до 100 Э наблюдается периодическое изменение амплитуд всех гармоник. Вращение образца вокруг поля Ь также не приводит к изменениям в спектре.

3. В переменном поле Ь и перпендикулярном поле Н, образцы ведут себя неодинаково. Спектр керамического образца содержит только нечетные гармоники, причем поворот образца вокруг направления поля 1г не приводит к изменениям в спектре. В спектре кристаллического образца появляются четные гармоники. Вращение его вокруг И приводит к периодическому изменению амплитуд четных и нечетных гармоник.

4. Нулевое значение амплитуды второй гармоники для кристалла достигается не при перпендикулярности полей Н и Ь, как для керамики, а при некотором угле между ними.

5. Исследование четных гармоник дает возможность анализа симметрии образца, что особенно актуально для монокристаллов.

6. Изменением перпендикулярной составляющей постоянного магнитного поля можно добиться исчезновения четных гармоник при ненулевой параллельной составляющей. Зависимость необходимой для этого величины Нх от приложенного Я, линейна, причем зависимость коэффициента пропорциональности от угла поворота образца количественно согласуется с предложенной теоретической моделью.

Для объяснения всех этих эффектов предложена теоретическая модель, основаштя на анализе поведения вихрей при учете кристаллической структуры образца, позволившая получить для выходного сигнала выражение

» 24*1

^(0—2Х 2 'си+Л{С0:; Р "(^тсуг)' соШН?*ы.,

к=0 ¡«0

где Нс = Я, соэ соэ у + #х (соя а бш /?+вт а бщ у соб /?).

Анализ этого выражения позволяет объяснить все экспериментальные факты.

Подобные анизотропные джозефсоновские среды могут использоваться в качестве датчиков для устройств ориентации относительно магнитного поля Земли.

НАУЧНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Предложена модель трехмерной упорядоченной джозефсоновской среды, позволяющая провести аналитический расчет возможных токовых конфигураций, возникающих при помещении образца в магнитное поле. Па основе анализа условий квантования флюксоида получена система нелинейных уравнений, описывающих возникающие токовые конфигурации.

2. Проведен анализ возможных конфигураций, на основе которого показано, что в трехмерной джозефсоновской среде рассматриваемого типа при внесении ее в магнитное поле возникают приповерхностные экранирующие токи, создающие эффект Мейсснера. С ростом внешнего поля эти токи растут, а при достижении им некоторого порогового значения в образце возникают плоские или линейные вихри.

3. Во всем диапазоне значений параметра I, пропорционального размеру ячейки и критическому току контакта, произведен расчет структур и энергий экранирующих токов, плоских и линейных вихрей, а также критических значений магнитного поля, соответствующих началу возникновения вихрей.

4. Исследовано поведение одиночных плоских и линейных вихрей, рассчитаны их энергии пишшнга, связанного с ячеистостыо среды.

5. Рассчитаны минимальные возможные расстояния между двумя уединенными плоскими вихрями при учете их взаимодействия и пипнипга на ячейках среды. !

6. Проведен расчет системы плоских вихрей, образующейся в образце при монотонном росте магнитного поля. Показано, что существует критическое значение 1с параметра I, разделяющее два возможных режима с различными типами критического состояния. Полученное значение 1С=3,369 отличается от принятого другими авторами значения 1с =0,9716. При 1< 1с существует пороговое значение внешнего магнитного поля, ниже которого поле вглубь образца не проникает, а при превышении его оно сразу однородно заполняет все сечете образца. При 1>1с в образце возникает "лестница" вихрей, содержащих возрастающее по мере приближения к границе образца количество квантов потока Ф0. Наклон "лестницы" растет с ростом I. При этом магнитное поле в образце линейно спадает от границы вглубь.

7. Рассчитана кривая намагничивания образца при 1< 1с. Она имеет вид, типичный для сверхпроводника 2-го рода. Учет пиннинга приводит к росту критического поля и к возшпшовегало резкого скачка на кривой, обусловленного тем, что решетка вихрей не может иметь период больше того, который соответствует рассчитанному критическому состоянию. При I > Гс образец представляет собой сверхпроводник 3-го рода.

В. Показано, что модель Бина при 1< 1с несправедлива. При I > 1с можно говорить об "эффективной" силе пиннинга, но физического смысла эта величина не имеет.

9. Проведено исследование поведения нелинейного отклика образца ВТСП на переменное магнитное поле, позволившее придти к следующим выводам.

а) Спектр выходного сигнала содержит большое количество гармоник. В отсутствие постоянного магнитного поля четные гармоники в спектре отсутствуют,

б) При параллельности постоянного и переменного магнитных полей зависимость амплитуд гармоник от постоянной составляющей магнитного поля носит квазипериодический характер, причем периоды линейно зависят от амплитуды переменного поля и убывают с ростом номера гармоники. С увеличением температуры период растет. При взаимоперпендикулярности постоянного и переменного полей периодичность отсутствует.

в) В зависимостях амплитуд нечетных гармоник от амплитуды переменного поля имеется порог, зависящий от номера гармоники и увеличивающийся с понижением температуры.

г) В некоторых образцах имеет место попарное группирование гармоник.

д) Предложен простой способ измерения слабых магнитных полей и проверки качества магнитных экранов, основанный на линейности зависимости амплитуды второй гармоники от постоянного поля в достаточно широком диапазоне полей.

10. Проведен теоретический анализ генерации гармоник, показавший, что для объяснения всех полученных экспериментальных фактов нет необходимости в детальном анализе микроскопических процессов в отдельных джозефсоновских контактах, как это делалось некоторыми авторами. Все эти факты получили объяснение в рамках представлений о ВТСП как о среде,

характеризующейся некоторой зависимостью магнитного момента от внешнего поля М(Н).

11. Проведено исследование зависимости вида кривой М(Н) от соотношения радиуса и высоты цилиндрического керамического образца. Теоретический анализ в рамках модели пиннингованных вихрей позволил объяснить все экспериментальные факты.

12. Исследована зависимость спектра отклика ВТСП на переменное магнитное поле от ориентации образца относительно переменного и постоянного магнитных полей. Обнаружены следующие факты.

а) При отсутствии постоянного магнитного поля Н все образцы (монокристаллы и керамики) имеют только нечетные гармоники в спектре. Поворот образцов вокруг направления переменного магнитного поля 11 не приводит к изменениям в спектре.

б) В полях Ь и Н, (ВД в спектрах всех образцов (монокристаллов и

керамик) появляются четные гармоники, причем вращение образца вокруг Ь не изменяет спектра.

в) В полях Ь и Н±(НХ-Ш) монокристаллы и керамики ведут себя по-разному. Спектр керамики содержит только нечетные гармоники, причем поворот вокруг Ь не меняет спектра. В спектре монокристалла есть и четные гармоники. Вращение вокруг Ь приводит к периодическому изменению амплитуд всех гармоник.

г) Нулевое значение амплитуд четных гармоник в керамиках достигается при И 1 И, а в монокристаллах - при некотором угле между Н и Ь. Поэтому, изменяя II1,можно добиться исчезновения четных гармоник при ненулевом Нг

13. Предложена теоретическая модель, основанная на анализе поведения вихрей при учете кристаллической структуры монокристалла, объясняющая все наблюденные экспериментальные факты.

14. Исследование поведения четных гармоник при повороте образца вокруг h дает возможность анализа кристаллической структуры образца.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Аронов А.Г., Зеликман М.А., Спивак Б.З. Неравновесные возбуждения в сверхпроводниках и фононная флюоресценция.// ФТТ,197б,т.18, №8,с.2209-2216.

2. Зеликман М.А., Спивак Б.З. Роль процессов медленной релаксации в формировании скачка Капицы на границе между сверхпроводником и диэлектриком. // ЖЭТФД979, т.76, №2, с.752-759.

3. Зеликман М.А., Кудашев Е.Б. Влияние неравновесности функций распределения на величину скачка Капицы на границе между сверхпроводником и диэлектриком. // ЖЭТФ,1984, т.87, №2, с.616-622.

4.Мастеров В.Ф., Зеликман М.А., Максутова З.Т., Соболевский В.К., Ипатов А.Н., Федоров A.B. Нелинейные свойства гранулированных ВТСП в низкочастотных магнитных полях.//СФХТ, 1991,т.4,№3, с.470-481.

5. Зеликман М.А. Вихревые состояния и экранирующие токи в трехмерной джозефсоновской среде.// СФХТ,1992, т.5, №1, с.60-72.

6. Зеликман М.А. Вихревые состояния и экранирующие токи в трехмерной джозефсоновской среде с малыми индуктивностями петель.// СФХТ,1992, т.5, №10, с.1819-1829.

7.3еликман М.А., Кржимовский В.И., Катков A.C., Козырев C.B. Джозефсоновское напряжете в мостиках из ВТСП при нулевом токе смещения.// Письма в ЖТФ, 1992, т. 18, №23, с.14-17.

8. Зеликман М.А., Кржимовский В.И., Катков A.C., Козырев C.B. Особенности эффекта Джозефсона в мостике на Y-Ba-Cu-0 в магнитном и СВЧ полях.// СФХТ, 1993, т.6, №1, с.64-70.

9. Мастеров В.Ф., Зеликман М.А., Максутова З.Т., Соболевский В.К., Старостина Н.В. Анизотропия нелинейных свойств сверхпроводящих кристаллов BÍ2Sr2CaCu208.// СФХТ, 1994, т.7, №2, с.241-248. 10. Зеликман М.А., Максутова З.Т., Соболевский В.К., Старостина Н.В. Зависимость нелинейных свойств сверхпроводящего BÍ2Sr2CaCu2OsCoT ориентации внешнего магнитного поля.// СФХТ, 1994, т.7, №3, с.491-494. 11 .Зеликман М.А. Пшшинг и движение плоских вихрей в трехмерной джозефсоновской среде.// СФХТ, 1994, т.7, №6, с.946-957.

12. Зеликман М.А., Максутова З.Т., Соболевский В.К., Старостина Н.В. Нелинейный отклик сверхпроводящих керамик различной формы на низкочастотное магнитное поле.// ЖТФ, 1994, т.64, №7, с.48-55.

13. Зеликман М.А. Динамика линейных вихрей в трехмерной джозефсоновской среде.// СФХТ, 1995, т.8, №2, с.177-185.

14. Zelikman M.A.Vortex states and screening currents in a 3-D Josephson medium.// Superconductor Science and Technology, 1997, v.9, №7, p.469-474.

15. Зеликман M. А. Пиннинг плоских вихрей в трехмерной джозефсоновской среде и применимость модели Бина.// Письма в ЖТФ, 1997, т.23, №11, с.66-69.

16. Зеликман М. А. Пиннинг плоских вихрей и проникновение магнитного поля в трехмерную джозефсоновскуго среду.// ЖТФ, 1997, т.67, №9, с.38-47.

17. Zelikman М.А. Vortex states and screening currents in a 3-D Josephson medium with small loop inductance.// Superconductor Science and Technology, 1997, v.9, №11, p.795-800.

18. Зеликман M. А. Пиннинг плоских вихрей в трехмерной джозефсоновской среде и структура решетки вихрей в критическом состоянии.// ФТТ, 1997, т.39, №11, с.54-59.

Санкт-Петербургский государственный технический университет

На правах рукописи

- ... . 4Л . <bri ^^f

I; Н Зеликман Марк Аронович

i . 6

■■ ■ /

ВИХРЕВЫЕ СОСТОЯНИЯаХРЕХМЕРНаЙ ДЖОЗЕФСОНОВСКОЙ СРЕДЕ И ПОВЕДЕНИЕ ВТСП В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

01.04.07 -физика твердого тела

Диссертация на соискание ученой степени доктора фшике-математичееких наук

Санкт-Петербург -1997

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ.........................................................3

ГЛАВА 1. ЭКРАНИРУЮЩИЕ ТОКИ И ВИХРЕВЫЕ СОСТОЯНИЯ В ТРЕХМЕРНОЙ ДЖОЗЕФСОНОВСКОЙ СРЕДЕ С БОЛЬШИМИ

ИНДУКТИВНОСТЯМИ ПЕТЕЛЬ..........................8

§1.1. ЭКРАНИРУЮЩИЕ ТОКИ В ЭФФЕКТЕ МЕЙССНЕРА........................9

§1.2. ЛАМИНАРНЫЕ СТРУКТУРЫ........................................... 17

§1.3. ВИХРЕВЫЕ СТРУКТУРЫ..............................................22

ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ.....................................................26

ВЫВОДЫ................................................................27

ГЛАВА II. ВИХРЕВЫЕ СОСТОЯНИЯ И ЭКРАНИРУЮЩИЕ ТОКИ В ТРЕХМЕРНОЙ ДЖОЗЕФСОНОВСКОЙ СРЕДЕ С МАЛЫМИ

ИНДУКТИВНОСТЯМИ ПЕТЕЛЬ......................29

§11.1. ЭКРАНИРУЮЩИЕ ТОКИ В ЭФФЕКТЕ МЕЙССНЕРА......................31

§11.2. ЛАМИНАРНЫЕ СТРУКТУРЫ..........................................37

§11.3. ВИХРЕВЫЕ СТРУКТУРЫ..............................................41

ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ......................................................45

ВЫВОДЫ................................................................46

ГЛАВА III. ПИННИНГ И ДВИЖЕНИЕ ВИХРЕЙ В ТРЕХМЕРНОЙ

ДЖОЗЕФСОНОВСКОЙ СРЕДЕ........................48

§111.1. ПИННИНГ И ДВИЖЕНИЕ ПЛОСКИХ ВИХРЕЙ В ТРЕХМЕРНОЙ

ДЖОЗЕФСОНОВСКОЙ СРЕДЕ.........................................50

§111.2. ПИННИНГ И ДВИЖЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ВИХРЕЙ В ТРЕХМЕРНОЙ

ДЖОЗЕФСОНОВСКОЙ СРЕДЕ.........................................67

ВЫВОДЫ.................... ...........................................80

ГЛАВА IV. ПИННИНГ ПЛОСКИХ ВИХРЕЙ И ПРОНИКНОВЕНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ В ТРЕХМЕРНУЮ ДЖОЗЕФСОНОВСКУЮ СРЕДУ 82

§IV.l. УРАВНЕНИЯ КВАНТОВАНИЯ ФЛЮКСОИДА В ЯЧЕЙКАХ...............86

§IV.2. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ И ПИННИНГ ДВУХ ИЗОЛИРОВАННЫХ ВИХРЕЙ......90

S1V.3. РАВНОВЕСИЕ КРАЙНЕГО ВИХРЯ.....................................93

§IV.4. КРИТИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ СИСТЕМЫ ВИХРЕЙ ПРИ МОНОТОННОМ

УВЕЛИЧЕНИИ ВНЕШНЕГО ПОЛЯ.................................... 101

S1V.5. АНАЛИТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ПОЮГОВОГО ЗНАЧЕНИЯ ПАРАМЕТРА

ПИННИНГА......................................................110

SIV.6. ПРОНИКНОВЕНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ В ТРЕХМЕРНУЮ

ДЖОЗЕФСОНОВСКУЮ СРЕДУ.......................................116

ВЫВОДЫ................................................................119

ГЛАВА V. НЕЛИНЕЙНЫЕ СВОЙСТВА ГРАНУЛИРОВАННЫХ ВТСП

В СЛАБЫХ МАГНИТНЫХ ПОЛЯХ......................122

SV.1. НЕЛИНЕЙНЫЕ СВОЙСТВА ГРАНУЛИРОВАННЫХ ВТСП

В СЛАБЫХ МАГНИТНЫХ ПОЛЯХ.....................................123

§V.2. НЕЛИНЕЙНЫЙ ОТКЛИК СВЕРХПРОВОДЯЩИХ КЕРАМИК

РАЗЛИЧНОЙ ФОРМЫ НА НИЗКОЧАСТОТНОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛК.. ........145

ВЫВОДЫ.............................................................157

ГЛАВА VI. ЗАВИСИМОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ СВОЙСТВ СВЕРХПРОВОДЯЩИХ КРИСТАЛЛОВ ОТ ОРИЕНТАЦИНГВНЕПШЕГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ: 160

SVI.I. АНИЗОТРОПИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СВОЙСТВ СВЕРХПРОВОДЯЩИХ

КРИСТАЛЛОВ Bi2Sr2CaCu208 В МАГНИТНОМ ПОЛЕ...................161

§VI.2. ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАВИСИМОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СВОЙСТВ

СВЕРХПРОВОДЯЩИХ КРИСТАЛЛОВ Bi2Sr2CaCu208 ОТ ОРИЕНТАЦИИ

МАГНИТНОГО ПОЛЯ............................................. 173

ВЫВОДЫ..........................................................178

ЗАКЛЮЧЕНИЕ....................................................180

ПРИЛОЖЕНИЯ...................................................185

ЛИТЕРАТУРА.....................................................193

ВВЕДЕНИЕ

Одной из важнейших проблем в физике высокотемпературных сверхпроводников (ВТСП) является анализ структуры, движения и пиннинга вихрей и вихревых решеток, возникающих в образце при внесении его во внешнее не очень сильное магнитное поле. При малых полях вихрей нет, поле выталкивается из образца. При некотором значении поля становится энергетически выгодным возникновение вихрей. В отсутствие пиннинга в образце устанавливается однородная вихревая решетка, соответствующая равномерному проникновению поля, которая по мере роста поля становится более плотной. При наличии пиннинга вихри не могут сразу заполнить весь образец, они возникают сначала возле поверхности и с ростом поля постепенно продвигаются в глубь образца. Характер этого процесса определяется структурой вихрей, их пиннингом и его зависимостью от магнитного поля [1-11]. Вихревая решетка в ряде работ наблюдалась визуально[12,13].

Для расчета профиля магнитного поля в образце В(х) обычно пользуются моделью Бина [1], согласно которой все вихри в области, в которую проникло магнитное поле, находятся в "критическом состоянии", т.е. сила, действующая на каждый вихрь со стороны всех остальных, равна максимальной силе его "зацепления" за структурные дефекты. Расчет критического состояния приводит к соотношению [1]:

в ав

--= ССт (В.1)

4тс с1х

где ат - максимальное значение силы пиннинга.

Для вычисления В(х) в критическом состоянии необходимо знать зависимость ат от магнитной индукции В (т.е. от плотности вихрей). Первоначально Бин предположил, что зависимость ат(В) линейна, что дает линейную зависимость В от координаты х внутри образца. Ким и др. [2] экспериментально обосновали предположение о независимости ат от В, что приводит к параболическому профилю зависимости В(х). В настоящее время рассматриваются и другие виды зависимости ат(В), получаемые из эмпирического анализа экспериментальных данных, например: ат~В/(В+В0)р [3,4] и т.д.

Вид зависимости ат(В) определяется физической природой пиннинга. Исследователями рассматриваются вихри разных типов: абрикосовские [9,14], джозефсоновские [3,11,15,16,17], гипервихри [18]. В образцах различной структуры при различных внешних условиях могут возникать и вихри различной природы или даже их комбинации [10]. Существуют различные механизмы зацепления вихрей на всевозможных дефектах кристаллической решетки, являющихся центрами пиннинга. Например, в работах [5,6] рассматривается взаимодействие непрерывного вихря с дискретно расположенными центрами пиннинга. Джозефсоновская среда в [5,6] представляет собой, по сути,

сверхпроводник, прорезанный решеткой одномерных слабых связей. Центры пиннинга не связаны непосредственно с этой решеткой, а созданы какими-то другими факторами: примесями, неоднородностями и т.п.

Настоящая работа посвящена, в основном, исследованию процессов, происходящих в джозефсоновской среде другой структуры. Предлагается модель, позволяющая провести точный аналитический расчет структуры и взаимодействия вихрей, их пиннинга, конфигурации токовых распределений и профиля магнитного поля вблизи границы, на основе чего можно было бы оценить пределы применимости модели Бина. Рассматривается кубическая решетка, каждая связь которой содержит один точечный джозефсоновский контакт. В такой среде вихрь описывается не непрерывным распределением разности фаз, а дискретными ее значениями на отдельных контактах. При этом существует пиннинг, связанный с ячеистой структурой среды, определяемый конечной величиной энергии, необходимой для смещения центра вихря в соседнюю ячейку.

Основное внимание уделяется анализу структуры отдельных вихрей, вихревых решеток и экранирующих токов при различных значениях параметров среды и внешнего магнитного поля. Рассчитываются энергии пиннинга, связанного с ячеистостью среды, для уединенных вихрей как плоской, так и линейной структуры. Проводится анализ возможных конфигураций с учетом взаимодействия вихрей друг с другом и пиннинга на ячейках, на основе чего

рассчитываются профили магнитного поля, проникающего в образец, и зависимости магнитного момента образца от внешнего магнитного поля. Исследуется влияние формы образца, а также ориентации внешнего магнитного поля относительно осей кристаллической структуры, на нелинейные магнитные свойства и на поведение высших гармоник отклика на переменное магнитное поле.

Структура диссертации имеет следующий вид.

В главе I на основе условий квантования флюксоида выводятся основные уравнения для расчета возможных токовых конфигураций в трехмерной упорядоченной джозефсоновской среде и на базе их рассчитывается структура экранирующих приграничных токов в эффекте Мейсснера, а также уединенных плоских и линейных вихрей вдали от границы для случая больших индуктивностей петель.

В главе II такой анализ проведен для случая малой индуктивности петель.

В главе III рассматривается пиннинг плоских и линейных уединенных вихрей, связанный с ячеистостью среды, рассчитывается его энергия для различных значений индуктивностей петель.

В главе IV исследуется взаимодействие и пиннинг плоских вихрей в упорядоченной джозефсоновской среде, рассчитываются возможные расстояния между вихрями, анализируется вихревая решетка, образующаяся вблизи границы образца при монотонном росте внешнего магнитного поля, и

профиль магнитного поля внутри образца. Обсуждается применимость модели Бина при различных значениях параметра пиннинга.

В главе V рассматривается поведение реальных образцов ВТСП во внешнем магнитном поле и исследуется влияние формы образца на его нелинейные магнитные свойства и на поведение высших гармоник отклика на переменное магнитное поле.

В главе VI анализируется зависимость нелинейных свойств кристаллических ВТСП и поведения высших гармоник от ориентации внешнего магнитного поля относительно осей кристалла.

-8-

ГЛАВА I. ЭКРАНИРУЮЩИЕ ТОКИ И ВИХРЕВЫЕ СОСТОЯНИЯ В

ТРЕХМЕРНОЙ ДЖОЗЕФСОНОВСКОЙ СРЕДЕ С БОЛЬШИМИ ИНДУКТИВНОСТЯМИ ПЕТЕЛЬ.

В настоящей главе показано, что в трехмерной джозефсоновской среде, какой являются ВТСП (в первую очередь, гранулированные) могут существовать вихри специального типа, и произведен анализ их физики и структуры [19]. Исследована также структура экранирующих токов эффекта Мейсснера. Проанализирована возможность возникновения ламинарных (линейных) вихревых структур. Все рассмотрение основано на том, что нельзя считать среду состоящей из изолированных петель (как это считается во многих работах [20,21]), необходимо учитывать их влияние друг на друга, как посредством создаваемого магнитного поля, так и за счет условий квантования флюксоида. В двумерном случае квантование флюксоида приводит к возникновению состояний типа сверхпроводящего стекла [11,22] и к многочисленным нюансам в физике происходящих процессов. Уже в двумерном случае нельзя пренебрегать связью петель друг с другом [23,24]. В трехмерном же случае добавляется еще и влияние через магнитное поле. Однако именно магнитное поле петель и позволяет, как оказывается, избежать перехода в стекольное состояние, поскольку поток результирующего

-9-

магнитного поля через каждую ячейку позволяет удовлетворить условию квантования флюксоида при определенном распределении токов.

Основное внимание в настоящей главе уделено средам с большими индуктивностями петель. В этом случае энергия магнитного поля токов существенно превышает энергию джозефсоновских контактов.

Рассмотрение проводится на упрощенной модели, представляющей' собой простую кубическую решетку с постоянной решетки /г, состоящей из сверхпроводящих проводов, каждая связь которой содержит один джозефсоновский контакт, причем все контакты имеют малые размеры, т. е. джозефсоновские вихри отсутствуют, и обладают одной и той же величиной критического тока Зс. Токовое распределение имеет слоистую структуру, т. е. во всех параллельных плоскостях, перпендикулярных внешнему полю или оси вихря и расположенных на расстоянии к друг от друга, токи распределены идентично. Таким образом, система токов представляет собой набор структур, аналогичных соленоидам с различной формой сечения и с расстоянием И между витками.

§1.1. ЭКРАНИРУЮЩИЕ ТОКИ В ЭФФЕКТЕ МЕЙССНЕРА

Пусть образец, имеющий форму толстой пластины, бесконечной в двух направлениях, помещен во внешнее магнитное поле Не, параллельное плоскости пластины. В образце возникнут экранирующие токи, текущие вдоль

его поверхности и замыкающиеся на бесконечности, как это показано на рис. 1.1.1. Обозначим величину силы тока, текущего в граничном слое, через Л • По мере углубления в образец имеем токи У2 и т- Д- В глубине образца токи равны нулю, что является одним из граничных условий.

Найдем поле этой токовой структуры в точке А, находящейся в одном из слоев. Для этого сначала найдем поле, создаваемое в точке А линейным бесконечным током , удаленным от слоя точки А на расстояние пк.

2^г2+(пИ)2 2л:(г2+п2И2)

00

Результирующая горизонтальная составляющая поля Н^х = ^Нп1х в точке,

л = - 00

принадлежащей одному из слоев, равна 0, т. к. токи У,, расположенные симметрично по обе стороны этого слоя, вносят вклады в Н1х, равные по

величине, но противоположные по знаку. В вертикальную же составляющую Д у, эти вклады входят с одним знаком, т. е.

00 7- 3 00 г

Н1,У = Щду +2 Е = "¿Г + Е 2 2,2 •

00 / , Г 7Г . 7СГ п

Согласно [251: Y-z——— = — cth ,

£ir2+n2h2 2/Л h яг.

Тогда Hi^êrCthf- (LL1)

Учитывая вклад в поле и левых частей токов J,, протекающих с другой стороны образца, по формуле (1.1.1), но при r»h получим:

(а)

©

О

у Л

6

о

©00

4 Л

• • •

© © ©

© © ©

Ы 4+2

© © ©

> (8)

4+2 4+1 4

■ ® ® ®

у Не

(Ъ)

I

о

4 4+1 4+2

« • • •

к Н

® © ®

1 1 1 1 1 1

4+2 4+1 4 4

о

Рис. 1.1.1. Распределение экранирующих токов в образце: а) в плоскости внешнего магнитного поля 1С ; б) в плоскости, перпендикулярной Ш. . Точки и крестики в кружках обозначают направление тока в соответствующих проводах. Буквы в кружках соответствуют номерам ячеек, используемых при расчетах.

(1.1.2)

Из (1.1.2) следует, что в ячейках, не граничащих с токами(то есть И > Л), поле можно рассчитывать как поле соленоида, т. е. токи, текущие ближе к центру, не дают вклада в поле (так как сЛ(7сгЛ1)«-1) при г <-И, а те. что ближе к поверхности, дают вклад Hi=Jilh. Учитывая все токи Ji, получим для поля в т-й ячейке Их И, находящейся между токами ,1т и (номера ячеек указаны в кружках на рис. 1.1.16):

га-1

К } И 2И ч И)

+ -

3.

т+1

Л

\-cthn 1- ,

I У)

(1.1.3)

где г - расстояние от точки А до тока ,/т.

Найдем магнитный поток Фт через т-ю ячейку:

фт = иф\н(г)с1г = щЬ £./,■ + ъ{]т - ./т+1)

5 ' ~0

т

(1.1.4)

> 1 , Л I яд

где д - радиус провода; Ъ =--\n2sh—

2 п И

(1.1.5)

Запишем условие квантования флюксоида в т-й ячейке:

2п[фе - Фт) / Ф0 + (рт+х - <рт = 2лКт,

(1.1.6)

где Фе=]и0Не^ - поток внешнего поля через ячейку; Ф()« 2-10 15Вб - квант

магнитного потока; ^ - разность фаз на соответствующем контакте, так что

г

\

Кт - число квантов потока в ячейке, которое мы в этом разделе будем считать равным 0.

Подставив (1.1.4) и (1.1.7) в (1.1.6), получим

т

хе - sin tpi - (ыsin q>m + (рт) + (ыsin <pm+l + (рт+]) = 0 (1.1.8)

i=0

где Хе(1.1.9)

Рассмотрим случай <p¡ «1, т. е. sin (p¡«<pl; конкретное условие применимости этого приближения будет выписано позже. Тогда (1.1.8) примет вид:

т

<Pm+\ = <Pm+aH(Pi-axe/r, (1.1.10)

/=0

где а = //(Л + 1). (1.1.11)

( т-1

Вычтя из (1.1.10) аналогичное уравнение для<рт <рт = (рт_х +a^<p¡ -ахе /1

V /=0

получим

<рт+\-{а + 2)pm+pm_i = 0, (т> 1). (1.1.12)

Решение системы (1.1.12) имеет вид:

9>т = с1гГ1 + с2гГК 0**0, (1-1.13)

где у\ и у2 - решения характеристического уравнения:

у2 ~(а + 2)у + \ = 0 (1.1.14)

-м-

2

а

+«; г 2 = ^г+1+

2

(1.1.15)

Величины /i и у2 >т- е- толщины слоя, в котором протекают экранирующие токи, зависят от величины a=I/{lb +1). Рассмотрим возможную область изменения а. Будем иметь в виду, что величина b может иметь разные знаки. Хотя при 8, сравнимом с h, выражение (1.1.5), строго говоря, неприменимо, т. к. надо учитывать экранирующие токи самих проводов, для ориентировочных оценок будем пользоваться (1.1.5). При 81 h« 1 b>0, с ростом 8¡h b уменьшается, при b^hlln 0 , а далее Ъ<0, причем bmin= ¿>U//í=,i/2« —1/4. Зависимость а от ¿> и / а = 1/(6 + 1//) изображена на рис. 1.1.2. Видим, что при Ь>-Ша>0, а при -1/4<Ь<-1// а<-4. При таких а величины ух и у2 действительны. Однако реально диапазон изменения а соответствует8/ И g(о,01;0,25), то есть b е(-0,1;0,5), откуда а >2или а <-Ю. При а> 2 у2 > 1, a приа <-10 \у{\> 1, при условии затухания токов с ростом т , т. е. при движении вглубь образца, обращаются в нуль соответственно Сг или С\ и получаем из (1.1.13):

<рт = Су1"'1 = С(- \)signr /Хт > 1)

(1.1.16)

Величину С, а также <pQ, найдем из условий (1.1.10) при т = 0 и т - 1:

<Р\ =<pj} + a)-axjl Фг - <Р\(l + а) + а<Ро -caj I

Решая систему (1.1.17) после подстановки в (1.1.16), получим:

-

Рис. 1.1.2. График зависимости параметра а от Ь и I: а = С ростом I гиперболы смещаются вправо.

1/(Ь+1Л).

-- (1.1.18)

™ , а +1 - у 4 '

1 Л--7- 7"

а(а + 2-/)

= --^'! ч . (1.1.19)

Из (1.1.18) и (1.1.19) видно, что при всех а ^0>0. При а>0 все > 0 и убывают с ростом т экспоненциально с характерной длиной с1, равной из (1.1.16): d = \l\n(\Iy^) = \l\n\y2\. При а <-4 <рт убывает с ростом т

эйюненциально с £/ = 1/1п(1/|^2|) = 1/1п/1, а знак ■ <рт чередуется, т. е. соседние токи направлены в разные стороны.

В реальном диапазоне а (а <-Ю,а>2) толщина слоя экранирующих токов

порядка нескольких И, т. е. существенны лишь несколько поверхностных токов и нельзя перейти к квазинепрерывному случаю, заменив систему (1.1.12) дифференциальным уравнением. При |а|»1 имеем \у\«\,\<рх\« <р0 и можно ограничиться лишь одним током У().

Из (1.1.18) следует, что приближение ср1«1 выполнено для всех /, еслиге « / , т. е.

//е«Ус/А (1.1.20)

Условие (1.1.20) означает, что проведенное рассмотрение справедливо, если внешнее поле много меньше максимально возможного собственного поля, созданного одной джозефсоновской петлей. Далее будет показано, что еще до

нарушения условия (1.1.20) в системе начнут возникать вихри или же ламинарные токовые структуры.

§1.2. ЛАМИНАРНЫЕ СТРУКТУРЫ

Рассмотрим возможность существования вдал