Проникновение магнитного поля в трехмерную упорядоченную джозефсоновскую среду тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

На правах рукописи

ПОЦЕЛУЕВ КИРИЛЛ АНДРЕЕВИЧ

Проникновение магнитного поля в трехмерную упорядоченную джозефсоновскую среду

01.04.07 - физика конденсированного состояния

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

005538862

14 НОЯ 2013

Санкт-Петербург - 2013

005538862

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет».

Научный руководитель:

Зеликман Марк Аронович

доктор физико-математических наук, профессор СПбГПУ, кафедра экспериментальной физики.

Официальные оппоненты:

Ханин Самуил Давидович

доктор физико-математических наук, профессор РГПУ им. А.И. Герцена,

кафедра физической электроники.

Эйдельман Евгений Давидович

доктор физико-математических наук, профессор СПХФА, кафедра физики.

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное учреждение науки «Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе Российской академии наук».

Защита состоится «18» декабря 2013 г. в 16 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д212.229.29 при Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет» по адресу 195251, Санкт-Петербург, ул. Политехническая, д. 29, главный учебный корп., ауд.118.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет».

Автореферат разослан «_»_2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, к.ф.-м.н., доцент

Ермакова Наталья Юрьевна

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Настоящая диссертация посвящена исследованию ряда физических явлений, происходящих в трехмерной упорядоченной джозефсоновской среде, помещенной во внешнее магнитное поле. Понятие джозефсоновской среды было введено при изучении высокотемпературных сверхпроводников (ВТСП), имеющих сложную неоднородную структуру, обусловленную присутствием в ВТСП большого количества сверхпроводящих гранул, разделенных диэлектрическими областями. Наличие джозефсоновских контактов, возникающих между соседними гранулами, делает ВТСП-керамику сильно нелинейной средой. Среды, содержащие большое количество таких контактов, принято называть джозефсоновскими.

Важной особенностью гранулированных сверхпроводников является ячеистая структура среды, когда между соприкасающимися сверхпроводящими гранулами находятся диэлектрические области. В местах соприкосновения гранул друг с другом образуются джозефсоновские контакты, являющиеся нелинейными элементами, что сильно усложняет анализ таких сред. Токовые состояния, как экранирующие, так и вихревые, отличаются по своей структуре от существующих в обычных сверхпроводниках. Уравнения Гинзбурга-Ландау неприменимы в этой ситуации, и нужно искать другую основу для математического описания гранулированных сверхпроводников. Возникла необходимость разработки нового математического аппарата для джозефсоновских сред. На этом пути часто используются макроскопические (континуальные) подходы [3-5], в которых описание основано на усреднении описывающих параметров. Такие подходы позволяют получить ценную информацию о свойствах среды без учета ее дискретности. Однако подходы, учитывающие дискретность, дают более детальную информацию.

Такие исследования на основе уравнений, выводимых из условий минимума потенциала Гиббса, проводились и для одномерных джозефсоновских контактов, и для двумерных. Удалось ответить на ряд вопросов, связанных, например, с критическим состоянием цепочки СКВИДов [1], рассчитать профиль проникающего магнитного поля [2], исследовать лавинную динамику проникновения вихрей магнитного потока и вопросы самоорганизации [3], были изучены так называемый ВЫк-БСШГО-эффект [4] и самоорганизованное критическое состояние двумерной сетки джозефсоновских контактов [5], вопросы несоизмеримости [6], вычислено значение Яс] и энергия вихря для случая, когда линейный размер гранул значительно превышает лондоновскую длину [7].

В работе [8] было показано, что более простой подход, основанный на условиях квантования флюксоида в отдельных ячейках среды, приводит к тем же уравнениям, что и минимизация потенциала Гиббса.

Флюксоидом называется выражение вида Ф,„ + —, где ф()( - полный

2к к

магнитный поток через т-ую ячейку, Ф0 - квант магнитного потока, - сумма

к

скачков фазы на джозефсоновских контактах т-ой ячейки с учетом знака. Согласно условию квантования флюксоида, полный флюксоид должен быть кратен кванту магнитного потока, то есть

к

гщгКт - целое число, равное количеству квантов потока в т-ои ячейке. Если в контуре нет джозефсоновских контактов, квантование флюксоида переходит в квантование магнитного потока. Выписав уравнение (1) для каждой ячейки, получаем систему разностных уравнений для конкретного распределения токов.

В серии работ [8-11] было продемонстрировано применение условий квантования флюксоида к модели трехмерной упорядоченной джозефсоновской среды, представляющей собой кубическую решетку из сверхпроводящих проводов, каждая связь которой содержит один джозефсоновский контакт, помещенную во внешнее магнитное поле. На основе этой модели удалось рассчитать мейсснеровскую токовую конфигурацию, получить характерные значения магнитных полей, до которых возможен эффект Мейсснера, описать возникающие вихри и их взаимодействие друг с другом. Одним из важных результатов является определение критического значения параметра пиннинга [10], разделяющего два режима проникновения поля. Интересные результаты получены при анализе устойчивости [9] мейсснеровского состояния относительно малых флуктуации скачков фазы на контактах и развития этих флуктуаций, а также при исследовании устанавливающихся профилей магнитного поля в образце [II]. Важным достоинством этой модели является то, что ей внутренне присущ пиннинг, связанный с дискретностью. В результате нет необходимости вводить дополнительные центры пиннинга.

В целях упрощения анализа уравнений в этих работах был рассмотрен случай, когда рассматриваемая модель не дискретна вдоль направления внешнего магнитного поля. На рисунке 1 а показан простейший элемент этой модели, представляющий собой «нить» с крестообразным сечением, а на рисунке 1/) - структура, составленная из 4 таких элементов. Джозефсоновскими контактами являются заштрихованные области - поверхности соединения таких элементов. Структура, составленная из множества таких «нитей», периодична вдоль плоскости, перпендикулярной оси «нити», однако не периодична вдоль внешнего поля, направление которого показано на рисунке 1. а) Ы

Рисунок I. Пример трехмерной джозефсоновской среды, дискретной только в двух направлениях, а - простейший элемент этой среды; Ь - структура из 4 таких элементов.

В этой модели магнитное поле внутри каждого замкнутого участка (см. рисунок 1/>) будет однородным. Такая картина справедлива [12], в частности, для искусственной структуры, созданной из сверхпроводящих нитей, склеенных друг с

другом по всей длине, так что джозефсоновскими контактами являются поверхности соединения нитей. Внешнее поле направлено вдоль нитей. Таким образом, условие /; = 0, удобное для решения системы уравнений, соответствует другой физической модели, так как не учитывает периодичность среды вдоль направления приложенного поля.

Поскольку для случая Ь=0 модель оказалась полезной, представляется важным рассмотреть более общий случай и учесть дискретность среды в направлении внешнего магнитного поля. Этот вариант гораздо ближе к реальным гранулированным средам.

Дополнительным аргументом для использования модели с периодическим расположением джозефсоновских контактов [8] может служить фотография структуры композита 1п-опал [13] (Рисунок 2).

ЭТАЭДЕчГ ^ШЖШ -

Щ2 ¿г* 0ЩI

ОьААй* $ щ

ж» -

Ни 5.00 кУ 10 43437х Т1.0 4.2 <йп I 1|и|

Рисунок 2. Электронно-микроскопические снимки композита 1п-опал. Светлые области соответствуют металлу, темные - диэлектрику [ 13].

В настоящей диссертации рассматривается трехмерная упорядоченная джозефсоновская среда, имеющая более сложную структуру. На рисунке За показан ее простейший элемен т, а на рисунке 3Ь - структура из 4 таких элементов.

Рисунок 3. Пример трехмерной джозефсоновской среды, дискретной в трех направлениях, а - простейший элемент этой среды; Ь - структура из 4 таких элементов.

Джозефсоновскими контактами здесь являются 6 заштрихованных торцов элемента на рисунке За. В модели, представленной на рисунке 3Ь, линии индукции магнитного поля искривлены из-за дискретности среды вдоль оси внешнего поля. Учет неоднородности поля приводит к появлению в уравнениях так называемого структурного фактора Ь, величина которого определяется периодом решетки а и радиусом провода 8. Чем более искривлены линии индукции магнитного поля, тем больше значение параметра Ь.

Представляется важным изучить влияние неоднородности поля на происходящие процессы. Математически это соответствует поиску решений систем разностных нелинейных уравнений для случая Ь ^ О.

В работе Гинзбурга [14] (2009 год) говорится о недостаточном внимании к вопросу о влиянии структурных свойств сложных сетей на происходящие в них процессы. Учет различных значений структурного фактора Ь можно считать шагом на пути устранения этой недоработки.

Таким образом, актуальность диссертационной работы определяется тем, что она является дальнейшим этапом исследования трехмерной упорядоченной джозефсоновской среды, которую можно считать упрощенной моделью гранулированных сверхпроводников.

Степень разработанности: в рамках диссертации полностью рассчитаны конкретные физические ситуации, на все поставленные вопросы получены полные ответы.

Цель диссертационной работы: изучение поведения трехмерной упорядоченной джозефсоновской среды во внешнем магнитном поле, в рамках которого были проведены следующие конкретные исследования:

1. Анализ влияния структурного фактора Ь на мейсснеровские токовые конфигурации и максимальное значение магнитного поля, до которого еще возможно мейсснеровское состояние.

2. Описание и расчет возможных конфигураций уединенного линейного вихря, вычисление энергии вихря, сравнение устойчивости конфигураций во всем диапазоне значений />.

3. Расчет конфигураций двух взаимодействующих линейных вихрей. Вычисление критических значений параметра пиннинга при которых вихри еще могут находиться на заданном расстоянии ¿/друг от друга. Изучение влияния параметра Ь на эти значения.

4. Нахождение максимальной силы пиннинга F и исследование ее зависимости от величины структурного фактора Ь.

Для достижения указанных целей потребовалось решение следующих задач:

• Вывод систем разностных нелинейных уравнений для мейсснеровского и вихревого случаев и разработка идей их решения.

• Разработка алгоритмов численного решения систем разностных уравнений, описывающих каждый из исследуемых вопросов.

• Вывод формул для структурного фактора Ь в случае мейсснеровского состояния и в случае вихрей.

• Вывод формул для магнитной составляющей энергии уединенного вихря для случая ненулевого значения Ь.

• Вывод зависимости максимальной силы гшннинга от структурного фактора Ь.

Научная новизна работы

Работа является логическим продолжением исследований процессов в джозефсоновских средах [1-5,7-12,14,17-19], основанных на дискретном описании. В работах [1-5,7,14,17,18] рассматривались длинный периодически модулированный джозефсоновский контакт и двумерные системы. В [8-12,19] рассматривалась трехмерная джозефсоновская среда, но не учитывалась неоднородность магнитного поля внутри среды, что соответствовало равенству нулю параметра Ь, входящего в систему уравнений. В настоящей диссертации впервые проводится рассмотрение для всех возможных значений параметра Ь, что соответствует учету этой неоднородности. Новизна полученных результатов подтверждается отсутствием аналогичных результатов в других работах по этой тематике.

Научная ценность результатов, представленных в диссертации, состоит в том, что полученные новые результаты являются вкладом в теорию трехмерной упорядоченной джозефсоновской среды. Следует отметить, что в 2006 году были получены экспериментальные данные [15,16], для объяснения которых авторы привлекли теорию, предложенную в [8]. Кроме того, в работах [15,17,18] имеются ссылки на определенные теоретические выводы, полученные на базе этой модели, что подтверждает ее полезность.

Практическая значимость работы. Полученные в диссертации результаты способствуют более детальному пониманию процессов в трехмерной упорядоченной джозефсоновской среде, которую можно считать упрощенной моделью гранулированных сверхпроводников. Результаты проведенного исследования могут быть использованы при анализе экспериментальных данных для ВТСП-образцов: изучении характерных магнитных полей, формы вихрей, характера вихревой решетки, зависимости расстояния между вихрями от температуры и т. д. Разработанные методы решения систем разностных нелинейных уравнений, соответствующих меисснеровскому состоянию, одиночному линейному вихрю и двум взаимодействующим вихрям, могут быть применены и для анализа других конфигураций.

Методология и методы исследования: работа представляет собой теоретическое исследование, включающее в себя вывод основных уравнений на основе физики сверхпроводников и электродинамики, их аналитическое решение, а также составление программ численного расчета для случаев, не поддающихся аналитическому решению.

Положения, выносимые на защиту

1. При внесении трехмерной упорядоченной джозефсоновской среды во внешнее магнитное поле в ней возникают экранирующие токи, обеспечивающие мейсснеровское состояние, которое может существовать до некоторого критического значения Лс магнитного поля. Это значение определяется параметром пиннинга I и структурным фактором />. Величина Ьс является монотонно возрастающей функцией как параметра /, так и параметра Ь.

2. При любых значениях параметра пиннинга I и структурного фактора b линейный вихрь в дискретной джозефсоновской среде имеет центральную часть (остов вихря), в которой токи и скачки фаз на контактах значительно больше, чем в наружной области вихря.

3. Энергия линейного вихря с центром на контакте при всех значениях / и b больше энергии конфигурации с центром в середине ячейки. В обеих конфигурациях с увеличением структурного фактора b при одном и том же значении параметра пиннинга I скачки фаз на контактах и токи в центральной области вихря, а также полные энергии вихрей уменьшаются. Рост структурного фактора b ведет к снижению значения критического поля НС\, при котором возникновение вихревой решетки является энергетически выгодным.

4. При заданном расстоянии между центральными ячейками вихрей d и фиксированной величине структурного фактора b система уравнений, описывающая конфигурацию двух взаимодействующих вихрей, имеет решение только при значениях параметра пиннинга, превышающих некоторое критическое значение Ij(b). Рассчитанная на базе этих значений максимальная величина силы пиннинга является монотонно растущей функцией параметров / и Ь.

5. Для всех значений b при стремлении / к нулю минимальное расстояние между двумя уединенными линейными вихрями в дискретной среде не возрастает неограниченно (как для абрикосовских вихрей в непрерывной среде), а достигает некоторой конечной величины с/() и далее остается постоянным, что говорит о том, что при стремлении / к нулю пренебречь пиннингом линейных вихрей нельзя.

Достоверность полученных результатов подтверждается адекватностью примененного математического подхода: условия квантования флюксоида выполнены для всех ячеек среды. Кроме того, ожидаемые физические факты, а именно существование как мейсснеровского, так и вихревых состояний, взаимодействие вихрей, их пиннинг, наличие критического значения параметра пиннинга, при котором вихри еще могут находиться на заданном расстоянии друг от друга и т.д. - все это подтвердилось. Результаты, соответствующие частному значению />=0, совпали с результатами предыдущих работ.

Апробация результатов работы. Полученные в работе результаты докладывались и обсуждались на следующих конференциях: Международной конференции по инновационным материалам и методам, секция «сверхпроводимость и магнетизм» (Conference on Innovative Materials and Techniques (CIMT), Hammamet, Tunisia 12-15 November, 2012); на российской молодежной конференции по физике и астрономии, секция «физика конденсированного состояния» (Физика.СПБ, Санкт-Петербург, 24-25 октября 2012 - Санкт-Петербургский физико-технический институт имени А.Ф.Иоффе); на I всероссийском конгрессе молодых ученых, секция «физика твердого тела и материаловедение» (Санкт-Петербург, 10-13 апреля 2012 - Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики); на неделях науки в Санкт-Петербургском Политехническом университете (в 2010,2011,2012 годах).

Личный вклад автора: Диссертант принимал участие в постановке и решении задач, обработке и обсуждении полученных результатов; выбор общего направления

s

исследований п оптимальных методик вычислений осуществлялся совместно с научным руководителем. Все представленные в диссертации теоретические результаты получены автором лично. Автором также был предложен метод полной линеаризации нелинейных уравнений, не использовавшийся ранее.

Публикании: материалы диссертации опубликованы в 1 ! печатных работах, из них 6 статей в рецензируемых журналах и 5 тезисов докладов. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы Диссертация состоит из четырех глав и заключения, содержит 112 стр. машинописного текста, включая 29 рисунков и список цитированной литературы (101 наименование).

В первой главе, представляющей собой вводную часть диссертации, проведен обзор экспериментальных и теоретических работ, посвященных исследованию джозефсоновских сред, освещены современные результаты, связанные с исследованием поведения таких сред в магнитном поле. Отмечена связь этих вопросов с разрабатываемой в диссертации тематикой.

В параграфе 1.1 освещен математический аппарат, используемый для непрерывных сверхпроводящих сред. Здесь же отмечены геометрические характеристики образцов, влияющие на однородность магнитного поля внутри среды.

В параграфе 1.2 вводится понятие джозефсоновской среды, отмечаются трудности, связанные с ее свойствами. Здесь же намечается основной круг вопросов, которые будут рассматриваться в дальнейшем на конкретных примерах джозефсоновских сред: длинного периодически модулированного джозефсоновского контакта, двумерных массивов джозефсоновских контактов.

В параграфе 1.3 рассмотрен длинный периодически модулированный джозефсоновскнй контакт - пример одномерной задачи о проникновении магнитного поля в джозефсоновскую среду. Введены понятие флюксоида и сформулированы условия его квантования. Рассмотрено понятие пиннинга и его роль в проникновении магнитного поля в такую среду. Также отмечается существование критического значения параметра пиннинга, разделяющего два возможных режима проникновения магнитного поля.

В параграфе 1.4 идет речь о двумерных джозефсоновских структурах. Здесь выделены основные явления, с которыми связаны трудности описания двумерных гранулированных сверхпроводников.

В параграфе 1.5 речь идет о трехмерных джозефсоновских средах. Обсуждены важные физические отличия от предыдущего двумерного случая. Проведена параллель с длинным контактом, с которым трехмерный случай имеет много общего. Именно поэтому ему уделялось столько внимания в параграфе 1.3. Описан дискретный подход, основанный на модели трехмерной упорядоченной джозефсоновской среды, который с помощью условий квантования флюксоида в отдельных ячейках позволяет описывать явления, происходящие в такой среде, если она помещена во внешнее магнитное поле. Освещены основные достоинства и недостатки этого подхода, на базе чего формулируется цель диссертации.

В конце первой главы, представляющей обзор тех результатов из физики упорядоченных джозефсоновских сред, которые имеют непосредственное отношение к тематике диссертации, дана постановка задачи. Здесь же обоснована актуальность

темы, сформулирована цель, показаны новизна и практическая ценность исследований, приведены положения, выносимые на защиту.

Во второй главе проведено исследование мейсснеровского состояния трехмерной джозефсоновской среды на основе упорядоченной модели, упомянутой в первой главе.

В параграфе 2.1 изложены основные положения рассматриваемой модели. Модель представляет собой трехмерную кубическую решетку из сверхпроводящих проводов радиуса 8, каждая связь которой содержит один джозефсоновский контакт. Период решетки а.

Для математического описания эффекта предложено использовать условия квантования флюксоида в отдельных ячейках, которые для мейсснеровской конфигурации принимают вид:

2лФ„,/Фо+ф„,-фт+| =0, (2)

где Ф0 - квант магнитного потока; Фш - полный магнитный поток через т-ю ячейку; ф( - разность фаз на i-м контакте, так что

./,• = Je sin ф,. (3) Магнитный поток Фт выражается как

о-8 ( т j д

+ — (Jn,-\ -Jm)~He

U = 1 "

Ф,„ =ц0(а-25) |я(х)Л = ц0(а-25)2 5

а а

(4)

1 1-ехр(-2д(1-а))

где 0=-1п-. (5)

2л(1-2а) 1-ехр(-2т)

Безразмерный параметр Ь, который мы будем называть структурным фактором, связан с неоднородностью поля в ячейках из-за дискретности распределения токов вдоль оси v. Если бы поле было однородным, то параметр b равнялся бы нулю. В формуле (5) величина Не- напряженность внешнего магнитного поля; а = Ыа, 5 -радиус провода. Практически значимые величины структурного фактора Ь, соответствующие 0,01 < Ыа < 0,5, находятся в диапазоне от 0,454 до 0,049,

^nin= "Г—0.0452.

е -1

При подстановке выражения (4) в условия (2) получается следующая система уравнений, описывающая токовое распределение в мейсснеровском режиме (b¡ sin ф,„+1 + ф„)+1) - 2{Ыsin ф,„ + ф„,) + (М sin ф„,_, + ф„,_,) = / sin ф,„, т > 1 (6)

2кИ -1 sin ф0 - (Ы sin ф0 + ф0) + (Ы sin ф] + ф() = 0. (7)

Здесь h - нормированная напряженность внешнего поля, // = HelíIq, Нq-напряженность внешнего магнитного поля, при которой через 1 ячейку проходит 1 квант магнитного потока, I - параметр пиннинга, определяемый выражением:

/ = 2П|Л07£.(я-28)2/Ф0Я (В)

Эта система уравнений допускает два аналитических решения: для случая малых скачков фаз на контактах и для случая слабого пиннинга. Этим случаям посвящены параграфы 2.2 и 2.3 соответственно, где получены следующие выражения для критического значения магнитного поля, до которого еще возможен эффект Мейсснера:

ю

= 0,25(1-7) + = 77/л.

/(! + />(!-7)) 2л

(1-7)*

4тг/(1 + /;(1 - 7))

/«1

(9) (10)

Здесь 7 = ^/2+ 1 — /2)2 , где § = //(//> + 1) = 1/(6 +1//) . В обоих упомянутых аналитических случаях также были получены формулы, описывающие соответствующие токовые распределения. В параграфе 2.2 также показано, что уже при / >3 все скачки фаз, кроме ф0(наиболее близкого к границе), можно считать малыми, то есть Бнкр,- = (р,-

В параграфе 2.4 проведено численное решение уравнений (6) и (7). Здесь же рассчитано критическое значение магнитного поля, до которого возможно мейсснеровское состояние и исследована зависимость этого значения от основных параметров системы (параметра пиннига / и структурного фактора Ь).

В параграфе 2.5 приведены основные результаты и выводы, представлены теоретические кривые (наиболее важные из них приведены на рисунках 4 и 5). В параграфе 2.6 получена формула для критического значения 1С параметра пиннинга, разделяющего два режима проникновения магнитного поля. Существование такого критического значения /<-■ имеет место и в случае длинного периодически модулированного джозефсоновского контакта, обсужденного в первой

И, отн. ед.

Рисунок 4. Связь между скачком фазы на Гранине образца и внешним магнитным нолем при-варьировании параметров / и Ь : I = 1.5 (кривые 1,2)\ I = 0.5 (кривые 3,4); Ь =0.049 (кривые 1,3)\ Ь = 0.454 (кривые 2,4).

Таким образом, первое проведенное исследование показало, что в

трехмерной упорядоченной джозефсоновской среде, внесенной во внешнее магнитное поле, эффект Мейсснера будет существовать до некоторого критического значения внешнего магнитного поля Ас., величина которого определяется значениями параметров / и Ь. Величина Ис является монотонно возрастающей функцией как от параметра /, так и Ь. Использованный подход, основанный на условиях квантования

п

флюксоида в ячейках, позволяет рассчитать мейсснеровскую токовую конфигурацию при любых значениях структурного фактора Ь и параметра пиннинга I. В ходе исследования получены приближенные аналитические решения системы разностных уравнений для случаев малых I и малых значений скачков фазы, хорошо описывающие точное решение на большей части диапазона изменения параметров.

----1-'-1-■-1— /. шн.ед.

О 1 2 :■

Рисунок 5. Графики зависимостей максимального внешнего поля /г1ШХ в мейсснеровском режиме от параметра пиннинга / для различных значений фактора Ь, полученные численным расчетом (кривые 1 и 2). Для сравнения приведена теоретическая зависимость Л]ШХ = 77/ л (см. формулу (10)).

В третьей главе на базе той же трехмерной модели изучены возможные конфигурации линейного вихря: центр вихря в середине ячейки (конфигурация «а»), либо в середине ее ребра (конфигурация «б»), а также вычислена их энергия. Каждой из конфигураций посвящен отдельный параграф (3.2 и 3.3). Для удобства расчета был применен метод контурных токов. Контурные скачки фаз для соответствующих ячеек обозначены как . В случае линейного вихря выражение для структурного фактора Ь будет иным. Обозначим его Ьь .

Ь, =——-— ^ ^2(\-а)2 +п2 -2д/а2+(1-а)2+п2 + ^2а2+п2 +

1 2л(1-2а)2 „П

(^2(|_а)2 +"2 -1 + а^д/(1-о02 +а2 +/)2

2 2(1 - а)2 + п2 +1 - а|У(1 - ос)2 + а2 + п2 -1 + а

а ^2а2 + п2 + а- а)2 + а2 + п2 - а^

(П)

2 (л/2а2 +и2 -а|д/(1-а)2 +а2 +и2 +а

Расчет показывает, что при всех а значение Ьь на 5-7% меньше Ь. Но Ь соответствует учету неоднородности от поля, созданного бесконечно длинными токами, а Ьь - только от участка, ограничивающего ячейку. Значит, вклад от остальных участков мал, и им можно пренебречь в целях упрощения анализа. Поэтому в расчетах можно использовать более простое выражение (5) вместо (11). Условия квантования флюксоида, записанные через контурные токи, имеют следующий вид:

/(1 + 46)у0 - 4/6\|/1 + 4ф0 = 2к (да = 0)

[/(1 + 46) + 2]у, - Щщ + У|/2 + 2\|/4) - 2\|/4 + ф, - ф0 = 0 (да = 1)

[/(1 + 46) + 3]\|/2 - - (1Ь + 1Х*Сз + 2^5) - Ф1 = 0 (т = 2)

(Я + 4)М/3-¥2-2Уб =0 (т = 3)

(Я + 4)\|/4-2у, -2у5 =0 (от = 4) (12)

(£ + 4)\|/5-у2-\|/4-\|/6-у7=0 (от = 5)

и Т.Д.

БШф, -у2

Система уравнений (12) позволяет рассчитать токовое распределение уединенного линейного вихря с центром в середине ячейки (конфигурация «а»). Для ситуации, когда центр вихря находится на середине ребра ячейки (конфигурация «б»), система уравнений во многом аналогична. Здесь она не приведена.

Решение конечной системы (12) производилось путем выражения значений всех

через ф0 и ф, из линейных уравнений системы и подстановкой их в два последних уравнения, содержащие синусы. В результате получаем систему из двух нелинейных уравнений

ф, =[2п-1(1 + 4Ь)5т(р0-А(1,Ь)(р0]/В(1,Ь) (13)

Ф„ =[8Н1ф,-С(1,Ь) ф,-Р(1,Ь)УО{1,Ь) (14)

где А, В, С, Б и Р — некоторые функции от / и Ь.

Кривые (13) и (14) в диапазоне (0 — 7Х) имеют одну точку пересечения, соответствующие которой фи и ф, находятся численным методом. Зная ф(| и <р,, затем находим и все .

Полная энергия вихря складывается из джозефсоновской и магнитной составляющих. Первая, в соответствии с [19], выражается формулой:

= — Е ('" с°5 Фа- ) = 1Ео ЕО-^Ф*) (1 5>

а к к

где Е0 = Ф^/ак^ЦоБ - нормировочная постоянная. Суммирование по к в (15) ведется по всем джозефсоновским контактам. Индекс «а» указывает на то, что формула относится к конфигурации «а».

Для расчета магнитной энергии Е"/ получено выражение

£^=0.5/«Х'Н1Фш (16)

т

где ¡т - контурный ток в т -той ячейке, Фш - поток через нее.

Суммирование по m в (16) ведется по всем ячейкам с учетом симметрии вихря (что приводит к коэффициенту 4 для ячеек, лежащих на центральных столбце и строке, и к коэффициенту 8 для всех остальных). Для конкретной конфигурации "а" выражение (16) принимает вид

Еан = 0.5/2E0[Vo (Yo + 46(Vo - Vi )) + 4Vi ('Vi + ¿>(4Vi " 2^4 ~ Vo - V2 )) + + 4v|/2 (v|/2 + b{4\|/2 - 2v5 - \|/( - \|/3 )) + 4\|/4(\|/4 + 6(4y 4 - 2i|/, - 2y 5 )) + (17)

+ 8y5(\|/5 +è(4y5 -Vf 2 -V4 -V6 -V7)) + 4V7(V7 +¿(44/7 — 2vj/5 -2v)/8)) + ...]

При 6=0 (17) совпадает с выражением для Eff из [19]. Аналогичный расчет был проведен для конфигурации «б».

На рисунке 6 представлены зависимости полной энергии вихрей обеих конфигураций от значений параметра пиннинга / при различных значениях структурного фактора b: 1 - конфигурация "а", 2 - конфигурация "Ь". Сплошные кривые соответствуют

2/2 2

6=0,049, пунктирные — 0,454. Здесь Е0 =Ф0/4к - нормировочная константа.

Из приведенных графиков видно, что с ростом b полная энергия всегда уменьшается. При малых I кривые для разных b совпадают, т.е. справедливы расчеты [12,19], в которых b считается равным нулю.

Знание полной энергии вихря позволяет найти значение Нс\ - внешнего магнитного поля, при котором энергетически выгодно возникновение вихрей.

В параграфах 3.4 и 3.5 изложены основные результаты расчетов: проведен анализ токового распределения, соответствующего каждой конфигурации, рассчитаны значения их энергий, построены теоретические зависимости полной энергии от параметра пиннинга для некоторых значений структурного фактора b (рисунок 6).

В параграфе 3.6 представлены основные выводы второго исследования:

подход, основанный на условиях квантования флюксоида в ячейках, подтверждает возможность существования самоподдерживающегося уединенного линейного вихря и позволяет рассчитать структуру и энергию линейных вихрей в трехмерной упорядоченной джозефсоновской среде при любых значениях структурного фактора Ь.

В отличие от плоских вихрей, ширина которых с убыванием / стремится к бесконечности, линейный вихрь при любых значениях / и b имеет центральную часть размером в несколько ячеек, где скачки фазы, а значит, и токи в контактах намного больше, чем в остальной области вихря. Эта центральная часть является остовом вихря.

Показано, что рассматриваемая конфигурация вихря эквивалентна периодической последовательности вихрей попеременно чередующейся ориентации. Эта идентичность позволяет понять механизм влияния размеров и формы рассматриваемой области на структуры и энергии вихрей, на основе чего выводятся формулы, описывающие вихри при любых сколь угодно малых значениях параметра пиннинга.

Энергия линейного вихря с центром на контакте при всех значениях / и b больше энергии конфигурации с центром в середине ячейки. В обеих конфигурациях с увеличением структурного фактора b при одном и том же значении параметра пиннинга I скачки фаз на контактах и токи в центральной области вихря, а также полные энергии вихрей уменьшаются. Рост структурного фактора b ведет к

14

снижению значения критического поля НС1, при котором возникновение вихревой решетки является энергетически выгодным.

Рисунок 6. Зависимости полной энергии вихрей обеих конфигураций от значений параметра пиннинга / при различных значениях структурного фактора Ь: 1 -конфигурация "а", 2 - конфигурация "Ь". Сплошные кривые соответствуют ¿=0,049, пунктирные - 0,454.

В четвёртой главе исследован случай двух взаимодействующих вихрей.

В параграфе 4.1 рассчитаны токовые конфигурации для двух случаев: I) - вихри сонаправлены, то есть токи в вихрях закручены в одну сторону, например, против часовой стрелки; 2) - вихри противоположны по направлениям, когда токи одного вихря направлены по часовой стрелке, а другого - против. Первый случай соответствует отталкиванию вихрей, а второй - их притяжению.

Для каждой конфигурации рассчитано (параграф 4.2) критическое значение параметра пиннинга /, при котором вихри еще могут находиться на заданном расстоянии друг от друга. При величинах параметра пиннинга /, меньших этого критического значения I^ (индекс с1 соответствует числу ячеек между центрами вихрей), система не имеет решения, что означает, что при таких значениях I вихри не могут удерживаться на столь малых расстояниях. При I > Iц система имеет два решения, соответствующие двум возможным конфигурациям вихрей (оба "а" или оба "Ь" - см. описание к предыдущей главе). При уменьшении / эти решения сближаются и при / = /<у совпадают. Отметим, что может быть и еще один вариант: когда один из вихрей имеет конфигурацию "а", а другой — "Ь". В этом случае симметрия токовых распределений отсутствует, поэтому рассмотрение было бы более громоздким. Но, поскольку мы интересуемся критическими значениями /,,, а, как сказано выше, при / = /,/ конфигурации "а" и "Ь" совпадают, то и в этом случае критическое значение будет тем же.

Построена зависимость /(/ от структурного фактора Ь. С ростом Ь значения /(/ монотонно убывают при всех d. (рисунок 7). Проведен сравнительный анализ значений скачков фаз.

В параграфе 4.3 получена формула для критического значения параметра пиннинга очень точно описывающая зависимость от Ь, описанную в предыдущем параграфе:

Л/(6) = '</(0)/(1 + М>)- (18)

Здесь к,! - коэффициент разложения, зависящий от расстояния между вихрями.

Погрешности описания не превышают долей процента во всем диапазоне изменения Ь (от 0 до 0,45). При (1> 5 критическое состояние отсутствует, т.е. система имеет решения при любых, сколь угодно малых, значениях /. Это говорит о том, что при стремлении / к нулю минимально возможное расстояние между линейными вихрями не возрастает неограниченно, как в случае плоских вихрей, а достигает некоторой конечной величины с/а и далее остается постоянным.

В параграфе 4.4 проведен расчет максимальной силы пиннинга. Рассчитывая силу взаимодействия вихрей при заданном расстоянии с! между ними и параметре пиннинга / = можно найти максимальную силу пиннинга:

(djg) + b}d2HmL)2Jg)(-1)"

(19)

m=1 Jd2+(mL)2

где a - период решетки, d— число ячеек между центрами вихрей пары, L - расстояние от вихрей до границы образца (величины d и L выражены в числе ячеек), функция Бесселя (Ганкеля) первого порядка от мнимого аргумента, Е0 =Фо/4я2Цоа2 - нормировочная константа, g - I /(/6 + 1). Получена упрощенная формула, описывающая зависимость Fot b:

F(I,b) = F(/,0) + k-1 b (20)

Здесь k - коэффициент разложения, зависящий от расстояния d между вихрями.

Как показал расчет, F является монотонно возрастающей функцией как параметра I, так и структурного фактора b (рисунок 8). Ранее зависимость F от b не исследовалась.

В параграфе 4.5 изложены основные результаты третьего исследования: при

заданном расстоянии между центральными ячейками вихрей d и фиксированной величине структурного фактора b система уравнений, основанная на условиях квантования флюксоида, имеет решение только при значениях параметра пиннинга, превышающих некоторое критическое значение Ij(b). При меньших значениях параметра пиннинга вихри не могут находиться на заданном расстоянии друг от друга.

Получена формула зависимости критического значения параметра пиннинга /(/ от b для различных расстояний d между осями вихрей. При больших d значения /, перестают зависеть от величины Ь. Поэтому они могут быть вычислены при Ь= 0. При конкретном значении d с ростом b значение Id монотонно убывает.

Исследованы зависимости максимальной силы гшннинга F от параметра I при различных значениях Ь. Максимальная сила пиннинга, рассчитанная на базе зависимости /, от 6, является монотонно возрастающей функцией параметров / и Ь.

Для всех 6 при стремлении I к нулю минимальное расстояние между двумя уединенными линейными вихрями в дискретной среде не возрастает неограниченно (как для абрикосовских вихрей в непрерывной среде), а достигает некоторой конечной величины c/q и далее остается постоянным. Этот факт говорит о том, что при стремлении / к нулю пренебречь пиннингом линейных вихрей нельзя. I, от ед.

0.95 0,90 0,85 0.В0 0,75 0,70 0,65 0,60 0,55 0.50 0.45 0,40 0,35 0,30 0.25 0,20 0.15 0,10 0,05

d=l

d=2

0,05 0,10 0,15

—I—

0,20 0.25 0,30 0,35 0,40 Ь. огн.ед. Рисунок 7. Графики зависимости от 6 для разных расстояний с/ между центрами вихрей.

о.во

d—3 d=4 ■ d=S

1

I. ошед.

Рисунок 8. Графики зависимостей максимальной силы пиннинга от параметра / при различных значениях Ь: 1- Л=0, 2- 6=0.1, 3- 6=0.3, 4-6=0.45.

В Заключении приводятся основные результаты работы.

Перспективы дальнейшей разработки темы: В качестве дальнейшего направления исследований планируются следующие варианты:

1) Исследование устойчивости мейсснеровского состояния трехмерной упорядоченной джозефсоновской среды по отношению к малым флуктуациям во всем диапазоне значений структурного фактора b на основе анализа квадратичной формы второй вариации потенциала Гиббса. Это исследование позволит узнать, как параметр b влияет на характер проникновения магнитного поля.

2) Проследить развитие неустойчивых флуктуации, на основе чего определить приграничный профиль проникающего в образец магнитного поля при ненулевых значениях структурного фактора Ь.

Рекомендации: результаты проведенного исследования могут быть использованы при анализе экспериментальных данных для ВТСП-образцов: изучении характерных магнитных полей, формы вихрей, характера вихревой решетки, зависимости расстояния между вихрями от температуры и т. д. Кроме того, было бы целесообразно провести экспериментальное исследование на искусственно созданных структурах, максимально приближенных к описанной модели, с целью проверки теоретических предсказаний и внесения уточнений в построенную теорию.

ЛИТЕРАТУРА

1. Дороговцев С.Н. Критическое состояние цепочки сквидов [Текст] / С.Н. Дороговцев, Ю.И. Кузьмин//СФХТ,- 1993.-Т.6.-№1.-С.44-50.

2. Зеликман М.А. Проникновение магнитного поля в длинный периодически модулированный джозефсоновский контакт [Текст] / М.А. Зеликман // ЖТФ.-2009.-Т.79.-№2.-С.36-42.

3. Гинзбург С.Л. Структура критического состояния в дискретном сверхпроводнике с различными значениями сквид-параметра [Текст] / С.Л. Гинзбург, A.B. Накин, Н.Е. Савицкая // Известия РАН. Серия физическая. -2009.- Т.73.-№1.-С.13-15.

4. Гинзбург С.Л. Bulk-SQUID-эффект в дискретном сверхпроводнике как следствие синхронизции частот генерации составляющих его джозефсоновских контактов [Текст] / С.Л. Гинзбург, A.B. Накин, Н.Е. Савицкая // ЖЭТФ.-2012.-Т.141.-№2,-С.310-318.

5. Гинзбург С.Л. Лавинообразная динамика магнитного потока в двумерном дискретном сверхпроводнике [Текст] / С.Л. Гинзбург, A.B. Накин, Н.Е. Савицкая // ЖЭТФ.-2006.-Т. 130.-№5( 11).-С.862-872.

6. Бабаев Е.С. Эффекты несоизмеримости в решеточной модели Гинзбурга-Ландау [Текст] / Е.С. Бабаев, С.А. Ктиторов //ФТТ.-1997.-Т.39.-№7.-С.1158-1162.

7. Брыксин В.В. Свойства решеток с «большими» джозефсоновскими контактами между сверхпроводящими гранулами [Текст] / В.В. Брыксин, A.B. Гольцев, С.Н. Дороговцев // Письма в ЖЭТФ.-1989.-Т.49.-№8.-С.440-443.

8. Зеликман М.А. Вихревые состояния и экранирующие токи в трехмерной джозефсоновской среде [Текст] / М.А. Зеликман //СФХТ, 1992,Т.5,№1,с.60-72.

9. Зеликман М.А. Линейные вихри в трехмерной упорядоченной джозефсоновской среде при малых значениях параметра пиннинга [Текст] / М.А. Зеликман // ЖТФ.-

2006.-Т.76.-№4.-С.9-16.

10. Зеликман М.А. Равновесные состояния плоских вихрей в трехмерной упорядоченной джозефсоновской среде и смысл понятия «энергия пиннинга» [Текст] / М.А. Зеликман // ЖТФ-2004.-Т.74.-№9.-С.55-62.

11. Зеликман М.А. Развитие неустойчивости мейсснеровского состояния в трехмерной упорядоченной джозефсоновской среде [Текст] / М.А. Зеликман // ЖТФ.-2009.-Т.79.-№9.-С.47-57.

12. Зеликман М.А. Проникновение магнитного поля в трехмерную упорядоченную джозефсоновскую среду при малых значениях параметра пиннинга [Текст] / М.А. Зеликман // ЖТФ,- 2010,- Т.80,- №3.-С.21-30.

13. Романов С.Г. Разрушение током сверхпроводящего состояния в трехмерной решетке слабосвязанных гранул индия в опале [Текст] / С.Г. Романов, Д.В. Шамшур // ФТТ,-1991 ,-Т.42.-№ 4.-С.581 -588.

14. Гинзбург C.JI. Влияние структуры сложной сети на свойства динамических процессов на ней [Текст] / С.Л. Гинзбург, А.В. Накин, Н.Е. Савицкая // Письма в ЖЭТФ. - 2009. - Т.90. - № 12. - С.873 - 878.

15. Милошенко В.Е. Нижние критические поля сверхпроводника Y-Ba-Cu-0 [Текст] / В.Е. Милошенко, И.М. Шушлебин, О.В.Калядин // ФТТ.-2006,- Т.48,- № 3.-С.403-406.

16. Шушлебин И.М. Проникновение магнитного потока в сверхпроводники Y-Ba-Cu-О и Tl-Ba-Ca-Cu-O [Текст] / И.М. Шушлебин //Изв. РАН. Сер.физ.-1993.-Т.57,-№11.-С. 178-182.

17. Matteo Di. Lower threshold field in 3D Josephson junction arrays [Text]/ Di Matteo, Paasi, Tuohimaa, De Luca // Phys. Lett, A.-1998.-V.247.- No.4-5. - P.360-364.

18. Tuohimaa. Magnetic flux distribution in a 3D inductive network of Josephson junctions [Text] / Tuohimaa, Paasi, De Luca, Tarhasaari, Di Matteo // Phys. Rev. B.-2000.-V.61.-No.14.-P.9711-9718.

19. Зеликман М.А. Линейные вихри в трехмерной упорядоченной джозефсоновской среде [Текст] / М.А. Зеликман // ЖТФ,- 2005,- Т. -15.- № 1. - С. 37-44.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ АВТОРА ПО ТЕМЕ РАБОТЫ

1. Зеликман М.А. Влияние структурного фактора на мейсснеровское состояние в трехмерной упорядоченной джозефсоновской среде [Текст] / М.А. Зеликман, К.А. Поцелуев // Научно-технические ведомости СПбГПУ. - 2011. - Т.116. - №1. - С. 18 -25.

2. Зеликман М.А. Мейсснеровское состояние в трехмерной упорядоченной джозефсоновской среде [Текст] / М.А. Зеликман, К.А. Поцелуев // Журнал технической физики. - 2012. -Т.82. - №5. -С.1 - 6.

3. Зеликман М.А. Влияние структурного фактора на конфигурацию линейных вихрей в трехмерной упорядоченной джозефсоновской среде [Текст] / М.А. Зеликман, К.А. Поцелуев // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. -2012.-Т.1. -№141,-С.17-27.

4. Зеликман М.А. Структура и энергия линейного вихря в трехмерной упорядоченной джозефсоновской среде [Текст] / М.А. Зеликман, К.А. Поцелуев // Журнал технической физики. - 2013. -Т.83. - №3.-С.8 - 16.

5. Зеликман М.А. Пиннинг и возможные расстояния между линейными вихрями в трехмерной упорядоченной джозефсоновской среде [Текст] / М.А. Зеликман, К.А. Поцелуев // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. - 2013. - Т.2. - № 170. - С.39 - 46.

6. Зеликман М.А. Пиннинг линейных вихрей и возможные расстояния между ними в трехмерной упорядоченной джозефсоновской среде с отличным от нуля структурным фактором [Текст] / М.А. Зеликман, К.А. Поцелуев // Журнал технической физики. - 2014.-Т.84. - №1.-С.28-37.

7. Potseluev К.А. Meissner state in а 3D ordered Josephson medium [Text] / M.A. Zelikman, K.A. Potseluev // First International Conference on Innovative Materials and Techniques (CIMT-2012), Hammamet, Tunisia, November 12-15 (2012). Book of Abstracts.- 2012.-P.76.

8. Поцелуев К.А. Влияние структурного фактора на конфигурацию линейных вихрей в трехмерной упорядоченной джозефсоновской среде [Текст] / М.А. Зеликман, К.А. Поцелуев // Российская молодежная конференция по физике и астрономии «ФизикА.СПб», Санкт-Петербург, Россия, Октябрь 24-25 (2012). Тезисы докладов,- 2012. - С.7-8.

9. Поцелуев К.А. Линейные вихри в трехмерной упорядоченной джозефсоновской среде [Текст] / М.А. Зеликман, К.А. Поцелуев // I Всероссийский Конгресс молодых ученых, Санкт-Петербург, Россия, Апрель 10-13 (2012). Тезисы докладов,- 2012. - С. 196-197.

10. Поцелуев К.А. Эффект Мейсснера в трехмерной упорядоченной джозефсоновской среде [Текст] / М.А. Зеликман, К.А. Поцелуев // Материалы научно-практической конференции «XXXIX Неделя науки СПбГПУ», Санкт-Петербург, Россия, Декабрь 6-11 (2010). Материалы конференции. Физико-механический факультет/ СПб.: Изд. Политех, ун-та,- 2010. - С. 131-132.

11. Поцелуев К.А. Линейные вихри в трехмерной упорядоченной джозефсоновской среде [Текст] / М.А. Зеликман, К.А. Поцелуев // Материалы научно-практической конференции «XL Неделя науки СПбГПУ», Санкт-Петербург, Россия, Декабрь 510 (2011). Материалы конференции. Физико-механический факультет / СПб.: Изд. Политех, ун-та,- 2011. - С. 150-151.

Подписано в печать 23.10.2013. Формат 60x84/16. Печать цифровая. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100. Заказ 11148Ь.

Отпечатано с готового оригинал-макета, предоставленного автором, в типографии Издательства Политехнического университета. 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29. Тел.:(812)550-40-14 Тел./факс: (812)297-57-76

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный

политехнический университет»

04201 451 385 На правах рукописи

Поцелуев Кирилл Андреевич ПРОНИКНОВЕНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ В ТРЕХМЕРНУЮ УПОРЯДОЧЕННУЮ ДЖОЗЕФСОНОВСКУЮ СРЕДУ

специальность 01.04.07 - физика конденсированного состояния

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

д.ф.-м.н., профессор Зеликман М.А.

Санкт-Петербург - 2013 г.

Оглавление

Глава 1. Вводная часть.........................................................................4

1.1. Проникновение магнитного поля в сверхпроводники I и II рода................4

1.2. Джозефсоновские среды..................................................................5

1.3. Длинный периодически модулированный джозефсоновский контакт.........7

1.4. Двумерные джозефсоновские среды.................................................11

1.5. Трехмерные джозефсоновские среды.................................................12

1.6. Постановка задачи.........................................................................18

Глава 2. Эффект Мейсснера в трехмерной упорядоченной джозефсоновской среде................................................................................................28

2.1 Основные уравнения.......................................................................29

2.2 Случай малых скачков фазы...............................................................33

2.3 Квазинепрерывный случай.................................................................36

2.4 Точное решение...............................................................................39

2.5 Результаты расчетов, их интерпретация и анализ....................................40

2.6 Критическое значение /с параметра пиннинга, разделяющее два режима

проникновения поля........................................................................45

2.7 Выводы.......................................................................................46

Глава 3. Возможные конфигурации линейного вихря в трехмерной упорядоченной джозефсоновской среде..................................................47

3.1 Расчет структуры и энергии линейного вихря.......................................48

3.2 Центр вихря в центре ячейки - конфигурация «а»...................................49

3.3 Центр вихря на контакте - конфигурация "Ь"........................................56

3.4 Итоги по конфигурации «а»..............................................................59

3.5 Итоги по конфигурации «Ь»..............................................................68

3.6 Выводы.........................................................................................74

Глава 4. Возможные расстояния между двумя линейными вихрями в трехмерной упорядоченной джозефсоновской среде и критическое значение

параметра пиннинга...........................................................................75

4.1 Методика расчета и основные уравнения.............................................75

4.2 Результаты расчетов, их интерпретация и анализ....................................83

4.3 Вывод формулы для критического значения параметра пиннинга ...........84

4.4 Расчет максимальной силы пиннинга..................................................84

4.5 Выводы.......................................................................................98

Заключение.....................................................................................100

Список литературы.............................................................................102

Глава 1. Вводная часть.

1.1 Проникновение магнитного поля в сверхпроводники I и II рода.

Известно, что проникновение магнитного поля в сверхпроводники I и II рода описывается с помощью уравнения Лондонов [1]

= (1.1)

где 11 - напряженность магнитного поля, а - так называемая лондоновская длина, или уравнений Гинзбурга-Ландау [2]

сс\|/ + (ЗУ2 \|/ +—(- /Й V - 2еА)2 \|/ = 0 (1.2)

2т

2еА>|/) (1.3)

т

где а ,(3- эмпирические постоянные, \|/- волновая функция ансамбля куперовских пар, - плотность сверхпроводящего тока. Из решения уравнения Лондонов и уравнений Гинзбурга-Ландау, в частности, следует, что при проникновении в образец магнитное поле экспоненциально убывает по мере удаления от границы, что соответствует эффекту Мейсснера [3] - выталкиванию магнитного поля из объема сверхпроводника. Характерная глубина проникновения поля - . С помощью уравнений Гинзбурга-Ландау и уравнений Максвелла можно вычислить распределение токов и полей. Из указанных уравнений следует, что при внешнем поле Не, меньшем Нс, в сверхпроводниках I рода имеет место эффект Мейсснера. Если Не > Нс, то

образец переходит в нормальное состояние, магнитное поле проникает в его объем. В сверхпроводниках II рода картина иная: в них энергетически выгодным оказывается проникновение магнитного поля в виде решетки вихревых нитей. Это происходит при полях Не>На (НС1<НС). Вихри, возникающие в

сверхпроводниках II рода, впервые были теоретически обоснованы А.А. Абрикосовым [4] и получили название абрикосовских. Экспериментально они были обнаружены гораздо раньше Л.В. Шубниковым.

На детали проникновения магнитного поля сильно влияют размер и форма сверхпроводника. Чаще всего рассматривают два предельных случая: случай длинного цилиндра либо тонкую пленку толщиной, меньшей которую можно считать двумерным сверхпроводником. При такой толщине пленки магнитное поле проникает на всю глубину. В случае цилиндра магнитное поле, созданное экранирующими токами, эквивалентно полю соленоида, внутри которого поле однородно. Отклонение от однородности наблюдается лишь в области оснований цилиндра. Как показывает расчет [5], при расстояниях от торцов цилиндра, больших его диаметра, магнитное поле можно считать однородным, а линии индукции идущими параллельно оси цилиндра. Пока значение внешнего поля не превышает некоторого критического, оно полностью ко]\!шенсируется полем экранирующих токов, то есть, реализуется эффект Мейсснера. Если высота цилиндра существенно меньше его диаметра, то можно говорить о тонкой пленке в форме диска. Как и в случае длинного цилиндра, в пленки, вихри начинают проникать в образец лишь тогда, когда значение внешнего поле больше некоторго критического (см., например, [5-7]). Чем меньше толщина пленки, тем меньше критическое значение магнитного поля, до которого вихри в пленке не образуются [7].

1.2 Джозефсоновские среды

Со времени открытия в 1986 году высокотемпературных сверхпроводников [8] прошло уже 27 лет. За этот период накопился обширный экспериментальный материал по исследованию ВТСП. Анализ огромного числа данных по исследованию ВТСП позволяет с уверенностью утверждать, что трудности, возникающие при изучении высокотемпературных сверхпроводников, во многом связаны с их сложной неоднородной структурой, обусловленной присутствием в ВТСП большого количества сверхпроводящих гранул, разделенных диэлектрическими областями. Наличие джозефсоновских контактов, возникающих между соседними гранулами, делает ВТСП-керамику сильно нелинейной средой. Среды, содержащие большое количество таких контактов, принято называть джозефсоновскими. Такие среды до сих пор привлекают внимание физиков [9-22], поэтому изучение их свойств лежит в русле

современного исследования ВТСП. Физика гранулированных ВТСП существенно сложнее физики непрерывной среды. Например, достаточно очевидно, что при сильных магнитных полях в отдельных гранулах будут возникать абрикосовские вихри, однако возникает вопрос, что будет при слабых полях? До каких полей возможен эффект Мейсснера? Какого рода вихри будут возникать? В межгранульных областях могут существовать вихри, созданные джозефсоновскими токами через контакты между гранулами. Такие вихри называются джозефсоновскими. Однако основную роль играют другие вихри (гипервихри), рассмотренные в работе Э.Б. Сонина [9]. Они отличаются и от абрикосовских, и от джозефсоновских вихрей тем, что охватывают сразу несколько гранул.

Джозефсоновская среда уже не является непрерывной, поэтому к ней нельзя применить теорию Гинзбурга-Ландау, в частности, авторы работ [23-25] связывают отличие теоретических предсказаний от полученных экспериментальных результатов именно с гранулированностью исследуемых ВТСП. Таким образом, для описания процессов, происходящих в гранулированных ВТСП-средах, необходимо было искать иной математический аппарат.

Для исследования гранулированных сред развито большое количество моделей и подходов, позволяющих изучить отдельные свойства ВТСП. Среди них можно выделить модели (см., например, [9-11]), основанные на макроскопическом описании джозефсоновских сред, при котором используемые параметры усредняются по малому объему сверхпроводника, и модели микроскопического характера, в которых отправной точкой рассуждений является локальная структура ВТСП [14]. Результаты, получаемые в рамках микроскопического (дискретного) описания, в непрерывном пределе не всегда эквивалентны предсказаниям макроскопических (континуальных) подходов (подробнее об этом для сверхпроводников II рода см. [26]). Расхождение предсказаний дискретного и континуального рассмотрений возникает и для

трехмерной джозефсоновской среды (об этом в главе 3). При математическом описании дискретных джозефсоновских сред используют уравнения в конечных разностях, которые при переходе к континуальному пределу преобразуются в дифференциальные.

Поскольку в настоящей диссертации рассматривается модель именно трехмерной джозефсоновской среды, представляется разумным сначала осветить некоторые важные результаты, полученные исследователями для более простых случаев. Следует отметить среди исследованных структур важный случай длинного периодически модулированного джозефсоновского контакта [12-22], обсудить некоторые физические особенности двумерных джозефсоновских сред [34-48], а затем перейти к описанию подходов и методов, разработанных для трехмерных структур [49-76].

1.3 Длинный периодически модулированный джозефсоновский контакт

Изучению длинного джозефсоновского контакта и подобных систем посвящено значительное количество работ (см., например, [12-22]). Согласно, например, [27], искусственный периодически модулированный джозефсоновский контакт (рисунок 1 а) представляет собой тонкий слой диэлектрика (плоскость хх) между двумя сверхпроводниками, пересеченный параллельными друг другу бесконечными вдоль оси г толстыми полосами диэлектрика толщиной 21 вдоль оси у и шириной с1 вдоль оси х, периодически расположенными вдоль оси х на расстоянии Ь друг от друга. Внешнее магнитное поле, а также оси вихрей направлены вдоль оси ъ. На рисунке 1Ъ представлена структура искусственно создаваемого периодически модулированного джозефсоновского контакта [27].

Исследования длинного контакта показали, что такого рода структура при малых полях будет находиться в мейсснеровском состоянии, при котором внешнее магнитное поле, направленное вдоль контакта, не проникает в контакт, так как краевые токи полностью компенсируют поле внутри контакта [28]. При

Рисунок 1. а - модель периодически модулированного джозефсоновского контакта; Ь - структура искусственно созданного периодически модулированного джозефсоновского контакта.

превышении внешним магнитным полем некоторого критического значения Н

внутрь контакта начинают проникать джозефсоновские вихри. Дискретность расположения джозефсоновских мостиков в длинном контакте создает пиннинг вихря на каждой ячейке. На искусственных структурах типа длинного периодически модулированного джозефсоновского контакта [27] могут быть проверены теоретические предсказания. Интерес к такому контакту вызван тем, что эта модель, являющаяся простейшим случаем дискретной джозефсоновской среды, допускает точный математический расчет, что позволяет более детально представить физику происходящих процессов при рассмотрении ряда важных задач. При исследовании проникновения магнитного поля в длинный контакт распеределение фаз описывается уравнениями в конечных разностях, получаемыми из условий минимума свободной энергии [16, 28] и совпадающими с уравнениями Френкеля-Конторовой [29], полученными при исследовании совершенно других вопросов. При переходе к континуальному пределу эти разностные уравнения преобразуются в дифференциальные уравнения синус-Гордона (например, когда к рассматриваемой задаче применим квазинепрерывный подход [30]), Уравнения синус-Гордона, составляют основу описания локальной электродинамики джозефсоновской среды [31].

Использованные методы позволили ответить на ряд вопросов, связанных с проникновением магнитного потока в контакт, находящийся в критическом состоянии [13], рассчитать профиль проникающего магнитного поля [18] и энергии возникающих вихрей [17], исследовать лавинную динамику проникновения вихрей магнитного потока и вопросы самоорганизации критического состояния [20-22], получить выражения для критического тока, изучить профиль магнитного поля как функцию расстояния от границы и проверить применимость [14] модели Бина [32]. Одним из важных достоинств модели длинного периодически модулированного джозефсоновского контакта является то, что в этой модели уже существует пиннинг, связанный с ее ячеистостью. Пиннинг возникает из-за того, что джозефсоновский вихрь, центр

которого расположен строго в центре ячейки между двумя соседними джозефсоновскими контактами, обладает наименьшей энергией, и для перехода вихря в такую же соседнюю область необходима дополнительная энергия. В качестве аналогии можно представить шарик, находящийся в ямке, которому для перемещения в соседнюю ямку необходимо приподняться, что требует сообщения шарику энергии. Таким образом, эта модель позволяет исследовать - влияние пиннинга без введения дополнительных центров пиннинга. Природа пиннинга в реальном ВТСП может быть различной, но качественное описание в рамках этой модели останется тем же (см. об этом в [14]). Пиннинг в длинном периодически модулированном джозефсоновском контакте характеризуется параметром I, который в этом случае вычисляется по формуле 1 = 2Ы/Х2 [15,18], где Ь -расстояние между центрами пиннинга, / - полутолщина полосы диэлектрика,

/87\]сей - джозефсоновская длина, ус- критическая плотность тока, е -

заряд электрона, к - постоянная Планка, с1 - ширина диэлектрической полосы. Параметр V, аналогичный параметру пиннинга /, рассматривался также С.Л. Гинзбургом как в [21], так и в более ранних его работах. О важной роли этого параметра в описании джозефсоновской среды говорится также и в других работах [13, 33]. Пиннинг играет определяющую роль в процессе проникновения магнитного поля в джозефсоновскую среду. Можно рассмотреть две крайние ситуации:

1) при отсутствии пиннинга магнитное поле проникает в контакт скачком, как в обычном сверхпроводнике II рода, когда вихри сразу заполняют весь образец.

2) при сильном пиннинге вихри возникают в приграничной области, и по мере увеличения поля толщина этой области постепенно увеличивается, вихри проникают все глубже.

Возникает вопрос, что происходит при промежуточных значениях параметра пиннинга. Очевидно, что должно существовать некоторое критическое значение, разделяющее эти два случая. Для длинного периодически модулированного джозефсоновского контакта такое значение было получено в работе [16]. Авторы

[16] показали, что при любых />/с всегда имеется приграничная область проникновения вихрей, которая по мере увеличения значения магнитного поля, становится все больше, вихри проникают в образец все глубже. Если же I <1С,

существует критическое значение поля Н с, зависящее от I, при котором характер

проникновения меняется: при Не < Н* вихри заполняют только приграничную область, но как только внешнее поле Не превысит критическое, вихри целиком заполнят весь контакт. Дальнейшее развитие этого вопроса можно увидеть в [18]. Нахождение критического значения параметра пиннинга [16], а также разных сценариев проникновения вихрей при 1<1С [14] и 1>1С [22], является важнейшим результатом указанных работ. Таким образом, параметр пиннинга определяет характер проникновения магнитного поля в длинный периодически модулированный джозефсоновский контакт.

1.4 Двумерные джозефсоновские среды

Изучению двумерных джозефсоновских сред посвящено значительное количество работ [34-48]. Выделим две основные группы таких сред: пленки, сделанные из гранулированного сверхпроводника [40,42]; 2) двумерные многоконтактные СКВИДы [34-36,38].

Рассмотрим первую группу. Так же, как и в случае длинного периодически модулированного контакта, пиннинг играет важную роль в проникновении магнитного поля в такую пленку. В квазидвумерной структуре, помещенной в перпендикулярное поверхности внешнее магнитное поле, возникающие вихри будут представлять собой уже не длинные соленоидальные структуры, как в случае периодически модулированного джозефсоновского контакта, а отдельные петли [42,43]. Здесь имеют место такие явления, как фазовый переход Костерлица-Таулесса [44,45], являющийся характерным свойством двумерных систем, существование бризеров, эффекты несоизмеримости [37] и т. д.

Двумерный многоконтакный СКВИД представляет собой длинный джозефсоновский контакт, периодически модулированный в двух направлениях [35].

В этом случае остается справедливым описание, основанное на уравнен