Устойчивость и поведение длинного джозефсоновского перехода в магнитном поле тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

УДК 539.2; 538.945

На правах рукописи

Уваев Илья Владимирович

УСТОЙЧИВОСТЬ И ПОВЕДЕНИЕ ДЛИННОГО ДЖОЗЕФСОНОВСКОГО ПЕРЕХОДА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

01.04.07 - Физика конденсированного состояния

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Омск

2003

Работа выполнена на кафедре физики Сибирского государственного технологического университета (г. Красноярск)

Научный руководитель: доктор физико-математических паук,

профессор Юрий Владимирович ЗАХАРОВ

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Сергей Геннадьевич ОВЧИННИКОВ

доктор физико-математических наук, доцент Леонид Александрович БОЯРСКИЙ

Ведущая организация: Красноярский государственный университет

Зашита состоится 26 мая 2003 г. в 15 час. 40 мин. на заседании диссертационного совета К 212.179.02 при Омском государственном университете по адресу: 644077 г. Омск, пр. Мира, 55а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Омского государственного университета.

Автореферат разослан « ¿1» апреля 2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Поиск новых свойств различных неоднородных структур представляет интерес не только в теоретическом плане, но и позволяет создавать новые приборы и другие технические устройства.

Большой класс неоднородных структур - это слоистые материалы. Их поведение во многом определяются свойствами поверхностей, т.е. граничными условиями. Такие системы всегда имеют характерные размеры, поэтому следует ожидать появления в них размерных и частотных эффектов.

Одним из наиболее известных размерных эффектов является Эйлерова неустойчивость при продольном изгибе стержня конечной длины. В этой задаче рассматривается переход стержня от неизогнутой, прямой формы к изогнутой форме при непрерывном увеличении продольной нагрузки. Такой переход происходит внезапно при достижении критической нагрузки, и здесь говорят о потере устойчивости стержнем. Основополагающая работа М.А. Лаврентьева и А.Ю. Ишлинского [1] показала, что для упругого стержня, помимо статической неустойчивости с последующим простым его изгибом, возникающей по достижению пороговой Эйлеровой силы, возможно путём взрывного нагружения достижение неустойчивостей, названных ими динамическими, при более высоких пороговых значениях силы с более сложными формами изгиба.

В работе Ю.В. Захарова [2] была найдена аналогия задачи об устойчивости упругого стержня - консоли при продольной нагрузке и задачи о перемагничивании двухслойной магнитной системы «магнитомягкий слой на магнитожесткой подложке», которая обладает несимметричными граничными условиями типа закрепления магнитного момента на одной поверхности и свободного магнитного момента на другой. Таким образом, показано, что динамическая потеря устойчивости характерна не только для упругих, но и для более широкого круга систем.

Одним из представителей слоистых систем является джозефсоновский переход.

Проведённые ранее исследования показали [3-8], что стационарный эффект Джозефсона может быть описан уравнением, аналогичным уравнениям равновесия для упругих и магнитных систем. Поэтому представляет интерес попытаться рассмотреть процессы в джозефсоновском переходе как статическую и динамическую потерю устойчивости, что позволит определить пороговые поля работы соответствующих переходов, используемых в техш

Цель работы. Рассмотреть аналогию между поведением упругого стержня и длинного джозефсоновского перехода. Исследовать потерю устойчивости в джозефсоновском переходе при изменении внешнего магнитного поля. Изучить распределения плотности тока и магнитного поля вдоль перехода с учетом порогов потери устойчивости и исследовать структуры, возникающие при этом. Рассмотреть малые колебания поля в переходе с последовательным учетом граничных условий и найти собственные частоты таких колебаний.

Научная новизна работы заключается в том, что в ней впервые:

- установлена аналогия между поведением упругой системы - стержня, находящегося под действием сжимающей нагрузки, и сверхпроводящей системы -длинного джозефсоновского перехода, находящегося во внешнем магнитном поле;

- введена критическая плотность тока в переходе как аналог Эйлеровой силы;

- получены для поля и плотности тока в переходе величины порогов потери устойчивости, связанной с проникновением в него вихрей магнитного поля;

- найдены распределения полей и плотностей токов в переходе для состояний после потери устойчивости на различных последовательных порогах и показано, что они ведут себя как динамические доменные структуры;

- исследованы собственные частоты колебаний поля в переходе в зависимости от внешнего магнитного поля.

Научная я практическая значимость результатов. Проведенные исследования дополняют существующие представления о длинном джозефсоновском переходе. Полученные результаты углубляют и расширяют ранее найденные аналогии между упругими и магнитными системами. В рамках развитого теоретического подхода возможно рассмотрение процессов в более широком классе физических явлений, таких, как переключение сверхсильными полями сегаетоэлекгриков и жидких кристаллов. Аналитические решения, найденные в работе, могут являться тестовыми примерами для отработки численных методов решения нелинейных задач.

Результаты этой работы по динамической устойчивости и собственным частотам колебаний могут иметь значение при исследовании высокочастотных свойств переходов, которые используются при создании элементной базы квантовой микроэлектроники.

На защиту выносятся:

- рассмотрение устойчивости дасозефсоновского перехода относительно внешнего магнитного поля как аналогии устойчивости упругого стержня под действием сжимающей силы;

- получение порогов потери устойчивости поля и плотности тока в переходе при проникновении в него вихрей магнитного поля;

- распределения полей и плотностей токов в переходе на различных порогах потери устойчивости;

- собственные частота колебаний поля в переходе в зависимости от внешнего магнитного поля.

Достоверность результатов проведенных исследований подтверждается современными теоретикогфизическими и математическими методами исследований, используемых автором, и систематическим сопоставлением полученных автором результатов с данными других исследователей.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на: 12-ой Зимней школе по механике сплошных сред (Пермь, ИМСС УрО РАН, 1999 г.), Московских международных симпозиумах по магнетизму (Москва, МГУ, 1999 и 2002 гг.), Ш Всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых специалистов «Решетневские чтения» (Красноярск, CAA, 1999 г.), международных конференциях «Математические модели и методы их исследования» (Красноярск, ИВМ СО РАН, 1999 и 2001 гг.), Второй Всероссийской • научно-практической конференции «Достижения науки и техники - развитию

сибирских регионов» (Красноярск, КГТУ, 2000 г.), IV Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике ИНПРИМ-2000 (Новосибирск, ИМ СО РАН, 2000 г.), Пятой международной конференции «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике» (Новосибирск, ИГиЛ СО РАН, 2000 г.), Байкальской международной научно-практической конференции «Магнитные материалы» (Иркутск, ИркГПУ, 2001 г.), Пятой Сибирской школе-семинаре «Математические проблемы механики сплошных сред» (Новосибирск, ИГиЛ СО РАН, 2001), Третьей международной конференции «Симметрия и дифференциальные уравнения» (Красноярск, ИВМ СО РАН, 2002 г.), Международной научно-практической конференции «Сибирский аэрокосмический салон» (САКС-2002) (Красноярск,

СибГАУ, 2002 г.). В целом работа докладывалась на семинаре по физике твердого тела Института неорганической химии СО РАН.

Исследования по теме диссертации проводились при поддержке РФФИ, гранты № 99-01-00766, № 01-01-06086, № 02-01-01017 и № 03-01-06433.

Публикации. По материалам диссертации имеется 12 публикаций [А1-А12].

Личный вклад. Принял участие в постановке задачи диссертационной работы, определил основные методы решения поставленной задачи, провел расчеты и принял участие в анализе полученных результатов.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка цитируемой литературы и четырех приложений. Объем работы составляет 106 страниц, включающих 21 рисунок, 3 таблицы, библиографию из 78 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во Введении дается обоснование актуальности темы диссертации, сформулированы цели и задачи диссертационной работы.

Глава I. Общие сведения о поведении джозефсоновского перехода в магнитном поле. В этой главе приводится краткий обзор работ, посвященных феноменологическому описанию электродинамики джозефсоновского перехода. Рассмотрены результаты работ о поведении длинного джозефсоновского перехода во внешнем магнитном поле с учетом зависимости от начального возмущения. Описывается аналогия эффекта Джозефсона с колебаниями физического маятника.

Глава П. Устойчивость джозефсоновского перехода. Во второй главе рассмотрена аналогия между длинным джозефсоновским переходом и упругим стержнем. Введена как аналог Эйлеровой силы пороговая критическая плотность тока

перехода и получены выражения для величин порогов потери устойчивости.

Распределение фазы вдоль джозефсоновского перехода (см. рис. 1) так же, как и разворот магнитного момента в

г

н

н.

Рис. 1. Одномерный джозефсоновский магнитной двухслойной системе под переход _с .симметричной линейной геометрией [4].

действием внешнего поля и изгиб упругого

б

стержня под действием сжимающей нагрузки, в стационарном случае описывается уравнением нелинейного маятника [3]

= (1)

ах

с граничными условиями в виде [4]

М = 2± М = (2)

{¿х)^ Н0Ь' {сЬс)^ Н0Ь Уравнение (1) и условия (2) являются задачей на собственные значения. Величина д2 = Ус//0 [5] будет определяться как собственные значения этой задачи. Здесь - джозефсоновская критическая плотность тока; /о = Ф<)/£о» следуя работе [5], рассматривается как минимально необходимая величина тока, при которой в переходе с индуктивностью Ь0 = может возникнуть первый квант магнитного потока Фо; ¿7-толщина области контакта, в которую проникает магнитное поле; Нс~внешнее постоянное магнитное поле; Н0=10/Ь, где ¿-линейный размер перехода.

Известно решение уравнения (1) в виде

<р(;с) = 2ат[д / к (х + хс), £] - п, (3)

здесь ат - эллиптическая амплитуда Якоби, ¿-модуль эллиптических функций, хс - константа интегрирования.

В выражении (3) предполагалось, что модуль ¿<1. При этом, как было показано в работах [6, 7], внешнее магнитное поле больше собственного поля перехода.

Когда внешнее магнитное поле меньше собственного поля перехода, модуль к > 1, и после замены к'1 = к" было получено

ф(х) = 2агсзт{£*5п[£ (гЪсс), А*]} - я, (4)

здесь и далее по тексту вп, сп и <1п - эллиптические функции Якоби. Затем из граничных условий (2) было найдено выражение для собственных значений

~4тК(к')]2

•■-Г

1о

, от=1,2,..., (5)

здесь К(к) - полный эллиптический интеграл первого рода, а т - индекс, нумерующий собственные значения д.

Далее в диссертации вводится первое критическое значение плотности тока при т = 1 и£*=0

= 4Я2/о/12, (6)

физический смысл которого аналогичен Эйлеровой силе для упругого продольно нагруженного стержня Рс = я 2о/4£2, где а-жесткость стержня. Таким образом, минимальный ток/о соответствует для упругой системы жесткости а.

Найденное первое критическое значение ^ является плотностью минимального тока /о, который должен протекать через переход соответствующих геометрических размеров, чтобы в нем возник квант магнитного потока.

Из выражений (5) и (6) получаем уравнение для определения зависимости модуля к* от плотности тока

/^(г/я/М*!, (?)

здесь - плотность тока, соответствующая т-ому собственному значению.

Для первого собственного значения т- 1 при 7) модуль к'-> 0, а при оо модуль к*-> 1. При к'-0 выражение (7) определяет величины критических, или пороговых плотностей тока, при которых происходит изменение состояния джозефсоновского перехода

т — 1,2..........(8)

Пороги, соответствующие модам при т = 2,3..... будем называть

динамическими порогами потери устойчивости, следуя М.А. Лаврентьеву и А.Ю. Ишлинскому [1]. Здесь и далее будет использоваться термин устойчивость исключительно в смысле Эйлера, Лаврентьева и Ишлинского.

Поскольку внешней силой является магнитное поле, введём первое критическое значение магнитного поля в виде

Я, = 47СЯ0, (9)

тогда зависимость модуля к' от поля определяется из выражения

Я("> =Н1-тк{к'), (10)

71

а пороговые значения поля имеют вид

И^ = тН1з т~ 1,2,.... (11)

Последнее выражение показывает, что величина порогового поля увеличивается дискретно. Физически это означает, что в переход проникают вихри магнитного потока. Таким образом, преодоление очередного порога неустойчивости в

джозефсоновском переходе связано с появлением в нем следующего кванта магнитного потока при всегда неоднородном распределении плотности джозефсоновского тока. В упругом стержне исходной является однородная, не искривленная форма, и динамическое преодоление очередного порога неустойчивости состоит в появлении очередной моды искривления.

Когда собственное поле перехода меньше внешнего магнитного поля, аналогично, используя оба граничных условия, найдем выражение для спектра собственных значений

~2ткК(к)~\2

■"о

т = 1,2..........(12)

I

и соответствующие величины пороговых плотностей тока

= (\lTtf\mkKikfiJi. (13)

Отсюда при минимальном значении к2= Уг, которое определяется из граничных условий, находим величины порогов потери устойчивости

гтг3„ т~\,2..........(14)

где 82 = ЛГ2 (1/2/2]/2712 £ 0.174. Для магнитного поля, используя выражение для первого критического поля в виде (9), получим

Н^ = Н}-ткК(к). (15)

п

и для пороговых значений шля при кг= 'Л найдём

= 5ю#,, от =1,2,.... (16)

При./-»У] модуль к-+к1 {к\= 1Л), а приУ>^ модуль к>к{. Возможность экспериментального обнаружения следующих, соответствующих динамическим порогам, структур поля в джозефсоновском переходе определяется интервалом между величинами критического поля разрушения сверхпроводимости и соответствующими динамическими порогами.

Анализ имеющихся экспериментальных данных показал, что для определённых типов сверхпроводников этот интервал полей достаточен для поиска в нём динамических порогов устойчивости.

Глава III. Динамические структуры в джозефсоновском переходе. В

третьей главе найдены распределения плотности тока и магнитного поля вдоль перехода с учетом последовательности порогов потери устойчивости, и проанализированы возникающие в нем динамические структуры.

Плотность тока и магнитное поле определяются распределением фазы, которое, в свою очередь, зависит от граничных условий, задающихся внешним магнитным полем.

Когда собственное поле перехода больше внешнего магнитного поля, это распределение для разных мод определяется выражением

+ i* + Fu, (17)

здесь Fu - константа интегрирования, найденная из граничных условий (2),

Fn=F

Г 1 Не 1

агссоа-г—— L к

\2дк* H0LJ

(18)

здесь /г- неполный эллиптический интеграл первого рода.

Распределение магнитного поля вдоль перехода определяется градиентом фазы, и, соответственно,

Н(х)= 4тк(к')к'Н0 сп^4тк(к')^+Fn,

(19)

В другом случае, когда собственное поле перехода меньше внешнего магнитного поля, распределение плотности тока и магнитного поля вдоль перехода определяются выражениями

4х) = ~[ткК(к)¥ ^Ы2тК{к)~ + Т?|2, /Нсп| 2т/ф)- + Л (20)

здесь FX1-константа интегрирования, найденная из граничных условий (2),

^,2= Я

arcsm

if

'к н,42

{2gH0L

,к

(21)

(22)

Распределения магнитного поля вдоль перехода представлены на рис.2. При определении последовательности порогов потери устойчивости,

Рис.2. Распределение магнитного поля вдоль перехода по координате х для разных порогов: 1 - статического («= 1); 2 и 3 - динамических (т=2 и т=3). Слева - случай, когда внутреннее поле больше внешнего поля, (модуль Л*); справа - случай, когда внутреннее поле меньше внепшего, (модуль к), при одинаковом модуле, равном 0.99.

определяющих вид этих распределений, в главе П были введены первый критический

порог для плотности тока ^ и порог для магнитного поля Н\. Найдем связь между

полученными нами критическими полем и плотностью тока и известными

минимальным критическим полем Яс1 и джозефсоновской критической плотностью

тока Ус. Для удобства дальнейшего рассмотрения свойств перехода введём

безразмерный параметр х, характеризующий переход

% = (23)

где Х-линейный размер джозефсоновского перехода, Я,^-джозефсоновская глубина проникновения.

Параметр х есть отношение линейного размера перехода к периоду изменения фазы ф и джозефсоновской глубине проникновения X/. Можно определить, что если параметр % > 1, то переход считается "большим", и в нем в принципе возможно появление кванта потока магнитного поля. А в случае, когда % < 1, переход считается "малым", и распределение тока в нём однородно.

Тогда, используя введенное нами первое критическое значение плотности тока (6), также включающее в себя минимальный ток /0, получим связь между Л и выраженную с помощью введенного нами безразмерного параметра %

■/,4/х2К> (24)

и аналогично для поля

Я,=(1/х)Я„. (25)

Таким образом, 1фитическое значение плотности тока ^ и критическое поле Н\

и

связаны с джозефсоновской критической плотностью Зс и критическим полем джозефсоновского перехода Нс\ соотношением

(Яс1/Я,)г=ЛД. (26)

Формулы (24) и (25) показывают связь между размерными параметрами устойчивости системы - критической плотностью тока и критическим полем Н\, с одной стороны, и материальными параметрами перехода - джозефсоновской критической плотностью тока и минимальным критическим полем Нс\, с другой стороны.

Полученная зависимость представлена на рис. 3.

Из выражения (23) при % -1 получаем размер перехода I» При таком размере критическое поле и плотность тока равны нижнему критическому полю и джозефсоновской критической плотности тока. При увеличении размеров перехода величина критической плотности тока и критического магнитного поля уменьшается, поскольку они определяются через размеры перехода. Эти выводы качественно совпадают с результатом работы [7], в которой было показано, что при размере перехода порядка 4 Я.у максимальный нормировочный джозефсоновский ток достигает насыщения.

Когда собственное поле перехода больше внешнего магнитного поля, изучение распределения магнитного поля в предельном случае £*->1, при т > 1, показало, что конфигурация распределения в переходе т квантов магнитного потока может рассматриваться как аналог одномерной цепочки спинов, которые упорядочены антипараллельно. Переход в данном случае может рассматриваться как аналог "одномерного антиферромагнетика".

В другом случае, когда собственное поле перехода меньше внешнего магнитного поля, полученное распределение поля соответствует вихрям, ориентированным по полю. Такое распределение может быть объяснено тем, что внешнее поле выстраивает "спины" по полю. Переход в данном случае может - рассматривается-как аналог "одномерного ферромагнетика".

Процесс взаимодействия внешнего магнитного поля с переходом определяется

Рис. 3. Зависимость плотности критического тока от внешнего поля для разных значений т.

соотношением величин собственного и внешнего магнитного поля, а также скоростью нарастания внешнего поля. В настоящей работе рассматриваются стационарные (собственные) распределения полей и плотностей токов вдоль перехода, находящегося во внешнем постоянном магнитвом поле. Поведение системы во времени, а также процесс начального возбуждения системы рассмотренными уравнениями не описывается.

По аналогии с упругой или магнитной системой, в зависимости от величины и скорости нарастания внешнего поля может происходить динамическая потеря устойчивости перехода, приводящая к появлению в нем вихрей магнитного поля, количество которых зависит от величины достигнутого порога, а их ориентация от соотношения собственного и внешнего магнитных полей.

При начальной вергеине внешнего поля, равной нулю, и постепенном его увеличении мы имеем ситуацию, описанную в работах [3-8], т.е. мы имеем мейсснеровское распределение магнитного поля вдоль перехода. Когда величина внешнего магнитного поля становится больше собственного поля перехода, как было показано в работе [4,8], энергетически становится выгодным "ферромагнитное" проникновение в переход вихрей.

В случае импульсного увеличения внешнего поля до некоторой критической величины, т.е. динамического порога, но меньшей, чем собственное поле перехода, может возникнуть метастабильное состояние, связанное с проникающими в переход квантами магнитного потока, которые в данном случае упорядочиваются "антиферромагнитным" способом.

Когда начальное внешнее поле больше собственного поля перехода, при импульсном воздействии на систему в ней может наблюдаться динамическая потеря устойчивости с "ферромагнитным" упорядочением вихрей, т.е. в переходе может возникнуть своего рода "динамическая доменная структура". При этом энергия, соответствующая каждому из состояний, в которых оказывается система, как было показано в работе [8] с помощью численного расчета, является локальным минимумом. Переход системы из одного состояния в другое описывается уравнением синус-Гордона с определенным начальным возбуждением, и в настоящей работе не рассматривается.

Распределение плотности тока, как и магнитного поля, может рассматриваться

также как аналог формы изгиба упругого стержня при импульсном воздействии на него внешней нагрузки.

Глава IV. Частоты колебаний магнитного поля в джозефсоновском переходе. В четвертой главе получено уравнение малых колебаний поля в переходе и проанализированы возможные методы его решения с учетом сдвига фазы в аргументе периодического коэффициента, найденного из граничных условий.

Используя теорию возмущений, запишем разность фаз вдоль перехода в виде

Ф (х, 0= Фо (*) + vs (х, 0, (27)

где фо (х)- решение статической задачи в виде (4), не зависящее от времени, а v5(х, t) = v(x)ея'-добавка к разности фаз, являющаяся малым возмущением и зависящая от координаты и времени.

Подставим выражение (27) в уравнение синус-Гордона для фазы в переходе, разделим переменные и проведем линеаризацию, учитывая малость v5 (х, t) и разложение sin(9o+vs) = sinq>o + Vg совфо- В результате получим для амплитуды v(x) уравнение

d2v cos ш0 ( со Y „.

—=-+—= -— v. (28)

Я* UJ

с граничными условиями

а--

Делая замену z = x/\3 (при 0ix<L имеем 0¿zSАК), вводя обозначения £2 = со / со0, где ш0 = с/Х j, и подставляя (5) вместо фо, получим уравнение для v

д_ д 2

..........v = 0, (30)

с однородными граничными условиями

^=0, ^-0. (31)

Уравнение (30) имеет вид хорошо известного уравнения Ламе. В данной задаче это уравнение имеет в периодическом коэффициенте переменную со сдвигом Этот сдвиг не позволяет искать решения уравнения (30) в виде эллиптических функций Якоби сп и, поскольку область значений аргумента функции бп и, входящей в уравнение (30), лежит в интервале Ри<и<Ец+4К. Поэтому наложение граничных

условий (31) даст дополнительное условие вида $п/<п = 0, что приводит к переопределенной задаче, так как было определено ранее при решении статической задачи.

Выбирать решение для такого уравнение в виде рядов по степеням бп г, как это делалось в [2], представляется затруднительным еще и потому, что для функций вида зп (г + а) теоремы сложения имеют дробно-нелинейный характер.

Для тригонометрических функций теорема сложения имеет простой вид, а поскольку в данной задаче рассматриваются малые колебания и, соответственно, к*->0, можно перейти от решения уравнения Ламе к уравнению Матье.

Рассмотрим приближенное решение уравнения (30) при малых к*, перейдя от эллиптических функций к тригонометрическим функциям и, соответственно, к уравнению Матье. Воспользуемся разложением эллиптического синуса при к'« 1, сохраняя при этом первый член разложения

зп( г + ^цД* ) = втКя/гф (г + Гц) ]. (32)

Подставляя выражение (32) в (30), делая замену <^ = г/К* (здесь 0 2££2я) и переобозначая

К' ш 0 = &, а = Ь2 +1 - к'1 к*2, р = к'2К'1 (33)

я К

получим уравнение Матье, которое здесь также имеет в периодическом коэффициенте переменную со сдвигом фазы 9

§+[а+рсоз2(С+9)]у = 0. (34)

дС,

Граничные условия с учетом симметрии косинуса имеют вид

у'(0) = 0, у(Я/2) = 0. (35)

Решений уравнения Матье с произвольным сдвигом фазы в периодическом коэффициенте автору работы найти в литературе не удалось.

Периодическое решение уравнения (34) будем искать, пользуясь известной процедурой [9], в виде рядов по степеням Р« ] для функции

У = У0 + РУ1+Р2У2+-. (36)

и аналогично для собственного значения

а(Р) = оо + Ра, + Р2аг+.... (37)

Подставляя выражения (36) и (37) в (34), используя теоремы сложения для

тригонометрических функций и приравнивая члены при одинаковых степенях р, получим систему уравнений для функций v,. Последовательно решая эти уравнения и оставляя в первом приближении с учетом граничных условий четные функции cos найдем два главных члена разложения, которые с учетом обозначений для [5 (33) принимают вид

и для собственного значения

<х(|3)=1-2

2п

г

cos 29 cos 3^, (38)

cos20. (39)

Отсюда, учитывая обозначения (33) для а, найдем собственную частоту колебания С12 поля в джозефсоновском переходе

Я2=**2

Рассматривая аналогичным способом частотную зависимость поля для случая, когда внешнее магнитное поле больше собственного поля перехода, получим собственную частоту колебаний £22 поля в джозефсоновском переходе

При нахождении выражений для частотной зависимости использовалось несколько приближений, поэтому встает вопрос о точности полученных выражений.

Для такой проверки воспользуемся методом Галеркииа для нахождения собственных значений уравнения Ламе и сравним частотные зависимости,' полученные этим методом и зависимости, полученные приближенным аналитическим методом при решении уравнения Матье. Результаты представлены на рис. 4.

Когда собственное поле перехода больше внешнего магнитного поля, зависимости, полученные с помощью метода Галеркина и приближенного аналитического метода, хорошо согласуются между собой.

Аналогичный анализ для случая, когда собственное поле перехода меньше внешнего магнитного поля, также показал качественное совпадение обоих методов.

Таким образом, представленные результата позволяют провести взаимную

о . ..

1 1.1 1.3 0.4 0.55 0.7

Рис. 4. Зависимость квадрата приведенной частоты от внешнего поля. Слева (к') - внутреннее поле больше внешнего; справа (к) - внутреннее поле меньше внешнего. 1 - решения уравнения Ламе методом Галеркина при «=16; 2-зависимости по формулам (40) (слева) и (41) (справа), полученные при решении уравнения Матье.

проверку различных методов получения решений исследуемых уравнений для

нахождения собственных частот колебаний магнитного поля в переходе.

Полученное уравнение для малых колебаний фазы в переходе аналогично

уравнениям, описывающим колебания намагниченности в ферромагнитном слое под

действием магнитного поля.

Когда внешние поля меньше собственного поля, частота колебаний возрастает,

а при обратном соотношении полей эта зависимость является убывающей.

Поведение зависимостей колебаний фазы в переходе для различных

соотношений полей может быть сопоставлено с синфазными и антифазными

колебаниями "динамической доменной структуры", возникающей в переходе после

потери им устойчивости.

Основные результаты диссертации

- Установлена аналогия между поведением упругой и сверхпроводящей систем. Введена критическая плотность тока как аналог Эйлеровой силы; входящий в нее минимальный ток, создающий в переходе квант магнитного потока, является аналогом жесткости упругого стержня.

- Получены распределения в переходе полей и плотностей токов для статических и динамических мод.

- Получены величины порогов потери устойчивости поля и плотности тока, протекающего через переход.

- Показано, что длинный джозефсоновский переход, находящийся во внешнем магнитном поле, аналогично упругой системе, находящейся под действием сжимающей нагрузки, испытывает потерю устойчивости, которая связана с проникновением вихрей магнитного поля в переход. При этом возникают динамические доменные структуры в переходе, которые ведут себя подобно "автиферромагнитно" или "ферромагнитно" упорядоченным одномерным цепочкам спинов во внешнем магнитном поле.

- Получено уравнение для малых колебаний поля в переходе, для которого было построено приближенное аналитическое решение, и которое было также решено методом Галеркина. Полученные различными методами зависимости частоты колебаний от внешнего магнитного поля имеют аналогичное поведение. Когда внешние поля меньше собственного поля, частота колебаний возрастает, а при обратном соотношении полей эта зависимость является убывающей.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах: AI. Zakharov Yu.V., Uvaev I.V. Dynamic domain structures // Proceedings of Moscow International Symposium on Magnetism, P. П. - M.: Физический факультет МГУ, 1999. P. 44 - 47.

A2. Захаров Ю.В., Уваев И.В. Динамическая и статическая потеря устойчивости джозефсоновского перехода в магнитном поле // Тезисы докладов 12-ой Зимней школы по механике сплошных сред. - Пермь, 1999. С. 152.

A3. Захаров Ю.В., Уваев И.В. Устойчивость джозефсоновского перехода в магнитном поле // Тезисы докладов Междунар. конф. «Математические модели и методы их исследования». - Красноярск, 1999. С. 102 - 103.

A4. Захаров Ю.В., Уваев И.В. Влияние магнитного поля на устойчивость джозефсоновского перехода // Тезисы докладов Ш Всерос. научно-практ. конф. студентов, аспирантов и молодых специалистов «Решетневские чтения». -Красноярск: САА, 1999. С. 129.

А5. Захаров Ю.В., Уваев И.В. Устойчивость джозефсоновского перехода при воздействии магнитного поля // Материалы Второй Всеросс. научно-практ. конф. «Достижения науки и техники - развитию сибирских регионов». Ч. 4. - Красноярск: КГТУ,2000.С.30-31.

А6. Захаров Ю.В., Уваев И.В. Устойчивость джозефсоновского перехода // Тезисы докладов Четвертого Сибирского конгресса по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-2000). Ч. IV. - Новосибирск: Изд-во Института математики, 2000. С. 86-87.

А7. Захаров Ю.В., Охоткин К.Г., Уваев И.В. Динамическая устойчивость упругих, магнитных и сверхпроводящих систем // Тезисы докладов Пятой междун. конф. «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике». - Новосибирск: Институт гидродинамики, 2000. С. 89 - 90.

А8. Захаров Ю.В., Уваев И.В. Поведение джозефсоновского перехода под действием

магнитного поля // «Математические модели и методы их исследования». Труды международной конференции. Т. 1. - Красноярск: ИВМ СО РАН, 2001. С. 257 - 259. А9. Захаров Ю.В., Уваев И.В. Динамические доменные структуры в тонких магнитных пленках и в джозефсоновском переходе // Тезисы Байкальской междунар. научно-пракг. конф. «Магнитные материалы». -Иркутск: ИркГПУ, 2001. С. 33. А10. Захаров Ю.В., Уваев И.В. Динамические доменные структуры в длинном джозефсоновском переходе // Электронный журнал «Исследовано в России». - 2002. -Т. 156.-С. 1754-1760. (http:\\zhumal.ape.relam.ru\articles\2002\ 156.pdf) All. Захаров Ю.В., Уваев И.В. Частоты собственных колебаний симметричных и антисимметричных распределений вихрей в джозефсоновском переходе // «Симметрия и дифференциальные уравнения». Труды Ш международной конференции. - Красноярск: ИВМ СО РАН, 2002. С. 110 -114. А12. Захаров Ю.В., Уваев И.В., ОхоткиН К.Г., Власов А.Ю. Частоты собственных колебаний поперечно натруженной консоли в изогнутом состоянии // Материалы междунар. научно-практ. конф. «Сибирский аэрокосмический салон САКС 2002». Красноярск: СибГАУ, 2002. С. 299 - 300.

Список цитированной литературы

1. Лаврентьев М.А., Ишлинский А.Ю. Динамические формы потери устойчивости упругих систем // ДАН СССР - 1949. - Т. 64. № 6. - С. 779.

2. Захаров Ю.В. Статическая и динамическая потеря устойчивости ферромагнитного слоя при перемагничивании // ДАН - 1995. - Т. 344. № 3. - С. 328 - 332.

3. Бароне А., Патерно Дж. Эффект Джозефсона. Физика и применения. - М.: Мир, 1984. - 640 с.

4. Кулик И.О., Янсон И.К. Эффект Джозефсона в сверхпроводящих туннельных структурах. - М.: Наука, 1970. - 272 с.

5. Лихарев К.К. Введение в динамику Джозефсоновского перехода. - М.: Наука, 1985. - 320 с.

6. Иванченко Ю.М., Свадзинский A.B., Слюсарев В.А. Электродинамика эффекта Джозефсона//ЖЭТФ- 1966.-Т. 51.-С. 194 - 200.

7. Owen C.S., Scalapino D.J. Vortex structure and critical currents in Josephson junctions // Phys. Rev. - 1967. - V. 164. -P. 538 - 544.

8. Yugay K.N., BlinovN.V., Shirokov I.V. Asymptotic states in long Josephson junction in an external magnetic field // Phys. Rev. B. - 1994. - V. 49. - P. 12036 - 12039.

9. Мак-Лахлан H.B. Теория и приложения функций Матье. - М.: ИЛ, 1953. - 476 с.

Подписано в печать 11.04.03. Сдано в производство 16.04.03.

Форм. 60x84 1/16. Печать офсетная. Изд. № 66. Тираж 100 экз. Усл. печ. л. 1,0..Уч.-год. л. 1,0. Заказ № 38л. Лицензия ИД № 06543. от 16.01.2002 г.

Редакционно-шдательский отдел СибГТУ Тип. СибГТУ 660049, г. Красноярск, пр. Мира, 82.

-А

* "734 1

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ПОВЕДЕНИИ ДЖОЗЕФСОНОВСКОГО

ПЕРЕХОДА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ.

§1. Феноменологическая теория эффекта Джозефсона.

1 1.1 Соотношения Джозефсона.

1. 2 Взаимодействие джозефсоновского перехода с магнитным полем.

1.3 Электродинамика джозефсоновского контакта.

1.4 Свободная энергия джозефсоновского перехода.

§2. Длинный джозефсоновский переход в магнитном поле.

2.1 Статический случай.

2.2 Малые колебания поля в джозефсоновском переходе.

§3. Зависимость поведения длинного джозефсоновского перехода от начального возмущения.

§4. Связь эффекта Джозефсона с другими физическими явлениями.

Выводы.

ГЛАВА 2. УСТОЙЧИВОСТЬ ДЖОЗЕФСОНОВСКОГО ПЕРЕХОДА.

§1. Аналогия джозефсоновского перехода и упругого стержня.

§2. Статический и динамические пороги потери устойчивости джозефсоновского перехода в магнитном поле.

§3. Граничные условия и область изменения модуля эллиптических о функций.

§5. Потенциал Гиббса.

§5. Сопоставление критического поля джозефсоновского перехода и критического поля разрушения сверхпроводимости.

Выводы.

ГЛАВА 3. ДИНАМИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ

В ДЖОЗЕФСОНОВСКОМ ПЕРЕХОДЕ.

§1. Распределение плотности тока и магнитного поля в переходе, когда собственное поле перехода больше внешнего магнитного поля.

§2. Распределение плотности тока и магнитного поля в переходе, когда собственное поле перехода меньше внешнего магнитного поля.

§3. Связь между размерными и материальными параметрами перехода.

§4. Динамические доменные структуры.

Выводы.

ГЛАВА 4. ЧАСТОТЫ КОЛЕБАНИЙ МАГНИТНОГО ПОЛЯ

В ДЖОЗЕФСОНОВСКОМ ПЕРЕХОДЕ.

§1. Уравнение малых колебаний.

§2. Анализ уравнения колебаний. Переход от уравнения Ламе к уравнению Матье.

§3. Решение уравнения Матье со сдвигом фазы.

§4. Случай больших внешних магнитных полей.

§5. Численное решение уравнения Ламе методом Галеркина. Анализ полученных решений.

Выводы.

Поиск новых свойств различных неоднородных структур представляет интерес не только в теоретическом плане, но и позволяет создавать новые приборы и другие технические устройства на основе новых найденных свойств.

Большой класс неоднородных структур - это слоистые материалы. Свойства таких структур во многом определяются свойствами их поверхностей, т.е. граничными условиями. Такие системы всегда имеют характерные размеры, поэтому следует ожидать появления в них размерных и частотных эффектов.

Одним из наиболее известных размерных эффектов является Эйлерова неустойчивость при продольном изгибе стержня конечной длины. Основополагающая работа М.А. Лаврентьева и А.Ю. Ишлинского [1] показала, что помимо статического порога, возникающего в упругих системах по достижению пороговой, Эйлеровой силы, существуют более высокие, названные ими динамическими, пороги, достижение которых возможно путём динамического (взрывного) нагружения. При таком динамическом воздействии на систему величина нагрузки должна быть больше, чем величина пороговой силы, а время нарастания нагрузки должно быть меньше времени релаксации системы.

В работе Ю.В. Захарова [2] была найдена аналогия задачи об устойчивости упругого стержня - консоли при продольной нагрузке и задачи о перемагничивании двухслойной магнитной системы «магнитомягкий слой на магнитожесткой подложке», которая обладает несимметричными граничными условиями типа закрепления магнитного момента на одной поверхности и свободного магнитного момента на другой. Таким образом, показано, что динамическая потеря устойчивости характерна не только для упругих систем, но и для более широкого круга систем.

Одним из представителей слоистых систем является переход Джозефсона. Открытие эффекта Джозефсона позволило разработать ряд новых современных устройств различных направлений - это и сверхвысокочувствительные квантовые магнитометры, микроэлектроника и другие устройства на основе сверхпроводящих контуров с джозефсоновскими контактами.

Проведённые ранее исследования [22-30] показали, что стационарный эффект Джозефсона может быть описан уравнениями, аналогичными уравнениям равновесия для упругих и магнитных систем. Поэтому представляет интерес попытаться рассмотреть процессы в джозефсоновском переходе как статическую и динамическую потерю устойчивости, что позволит определить динамические пороговые поля работы соответствующих переходов, используемых в технических устройствах.

Изучение статической и динамической потери устойчивости, а также нелинейных свойств джозефсоновских структур открывает возможность экспериментально исследовать нелинейные уравнения, характерные для задач современной физики.

Настоящая работа посвящена исследованию свойств джозефсоновского перехода конечных размеров в магнитном поле. Нас будет интересовать не только само явление потери устойчивости системы, но и её закритическое поведение. Будут найдены динамические пороги потери устойчивости, получены точные выражения для распределения полей вдоль перехода для статических и динамических мод. Будет найдена зависимость от внешнего магнитного поля частоты малых колебаний динамических структур, возникающих в переходе после потери им устойчивости.

Выводы

Получено уравнение с граничными условиями для малых колебаний фазы в переходе, находящемся во внешнем магнитном поле.

Решение полученного уравнения Ламе, имеющего сдвиг фазы в переменном коэффициенте, было сведено к решению уравнения Матье, также имеющего сдвиг фазы и для которого было построено решение в виде рядов. Уравнение Ламе было также решено численно с использованием метода Галеркина.

Найдена зависимость частоты колебания поля перехода от величины внешнего магнитного поля для случаев, когда собственное поле перехода больше внешнего магнитного поля, и когда собственное поле перехода меньше внешнего магнитного поля.

Полученные численным и аналитическим способами зависимости частоты колебаний поля перехода от внешнего магнитного поля имеют аналогичное поведение.

Показано, что частота колебаний поля перехода в случае малых внешних полей возрастает с увеличением величины поля. В случае больших внешних полей эта зависимость является убывающей.

Результаты этой главы опубликованы в работах [59, 60].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Установлена аналогия между поведением упругой и сверхпроводящей систем. Введена критическая плотность тока как аналог Эйлеровой силы; входящий в нее минимальный ток, создающий в переходе квант магнитного потока, является аналогом жесткости упругого стержня.

Получены распределения в переходе полей и плотностей токов для статических и динамических мод.

Получены величины порогов потери устойчивости поля и плотности тока, протекающего через переход.

Показано, что длинный джозефсоновский переход, находящийся во внешнем магнитном поле, аналогично упругой системе, находящейся под действием сжимающей нагрузки, испытывает потерю устойчивости, которая связана с проникновением вихрей магнитного поля в переход. При этом возникают динамические доменные структуры в переходе, которые ведут себя подобно "антиферромагнитно" или "ферромагнитно" упорядоченным одномерным цепочкам спинов во внешнем магнитном поле.

Получено уравнение для малых колебаний поля в переходе, для которого было построено приближенное аналитическое решение, и которое было также решено методом Галеркина. Полученные различными методами зависимости частоты колебаний от внешнего магнитного поля имеют аналогичное поведение. Когда внешние поля меньше собственного поля, частота колебаний возрастает, а при обратном соотношении полей эта зависимость является убывающей.

Благодарности

Автор искренне благодарен научному руководителю Ю.В. Захарову за постановку задачи, постоянное внимание, подробные обсуждения и помощь в работе.

Автор искренне благодарен К.С. Александрову, С.Г. Овчинникову и Р.Г. Хлебопросу за пристальное внимание к работе,

Автор выражает благодарность Р.С. Исхакову и Г.С. Патрину за интерес к работе и обсуждение результатов.

1. Лаврентьев М.А., Ишлинский А.Ю. Динамические формы потери устойчивости упругих систем // ДАН СССР - 1949. - Т. 64. № 6. - С. 779.

2. Захаров Ю.В. Статическая и динамическая потеря устойчивости ферромагнитного слоя при перемагничивании // ДАН 1995. - Т. 344. №3.-С. 328-332.

3. Кулик И.О., Янсон И.К. Эффект Джозефсона в сверхпроводящих туннельных структурах. М.: Наука, 1970. - 272 с.

4. Лихарев К.К. Введение в динамику Джозефсоновского перехода. М.: Наука, 1985.-320 с.

5. Бароне А., Патерно Дж. Эффект Джозефсона. Физика и применения. М.: Мир, 1984. -640 с.

6. Кемпбелл А. Иветс Дж. Критические токи в сверпроводниках. М.: Мир, 1975.-336 с.

7. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. М.: Наука, 1963. - 704 с.

8. Де Жен П. Сверхпроводимость металлов и сплавов. М.: Мир, 1968. -280 с.

9. Ambegaokar V., Baratoff A. Tunneling between superconductors // Phys. Rev. Lett.- 1963,-V. 10.-P. 486.

10. Josephson B.D. Possible new effects in superconductive tunneling // Phys. Lett. 1962.-V. 1,-P. 251 -253.

11. Josephson B.D. Coupled superconductors // Rev. Mod. Phys. 1964. - V. 36. -P. 216-220.

12. Josephson B.D. Supercurrents through barriers // Adv. Phys. 1965. - V. 14. -P. 419 - 451.

13. Josephson B.D. The discovery of tunneling supercurrents // Rev. Mod. Phys. -1974.-V. 46.-P. 251 -254.

14. Werthamer N.R. Nonlinear self-coupling of Josephson radiation in superconducting tunnel junctions // Phys. Rev. 1966. - V. 147. - P. 255.

15. Абрикосов A.A., Горьков Л.П., Дзялошинский И.Е. Методы квантовой теории поля в статистической физике. М.: Физматгиз, 1962. - 444 с.

16. Goldman A.M., Kreisman P.J. Meissner effect and vortex penetration in Josephson junctions // Phys. Rev. 1967. - V. 164. - P. 544 - 547.

17. Bloch F. Josephson effect in a superconducting ring // Phys. Rev. 1970. - V. B2.-P. 109-121.

18. Swihart J.C. Field solution for thin-film superconducting strip transmission line //J. Appl. Phys. 1961. - V. 32. - P. 461.

19. Дуглас Д., Фаликов Jl. В сб. «Сверхпроводимость». Наука, 1967.

20. Кулик И.О. Теория "ступеней" вольт амперной характеристики туннельного тока Джозефсона // Письма ЖЭТФ - 1965. - Т. 2. - С. 134.

21. Абрикосов А.А. О магнитных свойствах сверхпроводников II группы // ЖЭТФ 1957. - Т. 32. - С. 1442.

22. Ferrell R.A., Prange R.E. Self-field limiting of Josephson tunneling of superconducting electron pairs // Phys. Rev. Lett. 1963. - V. 10. - P. 479 -481.

23. Кулик И.О. Распространение волн в туннельном переходе Джозефсона при наличие вихрей и электродинамика слабой сверхпроводимости // ЖЭТФ 1966. - Т. 51. - С. 1952.

24. Owen C.S., Scalapino D.J. Vortex structure and critical currents in Josephson junctions // Phys. Rev. 1967. - V. 164. - P. 538 - 544.

25. Barone A., Johnson W.J., Vaglio R. Current flow in large Josephson junctions // J. Appl. Phys. 1975. - V. 46. - P. 3628 - 3632.

26. Жарков Г.Ф. Проникновение вихрей в джозефсоновский переход конечной ширины // ЖЭТФ 1976. - Т. 71. - С. 1951 - 1959.

27. Васенко С.А., Жарков Г.Ф. Проникновение магнитного поля в джозефсоновский переход // ЖЭТФ 1978. - Т. 74. - С. 665 - 680.

28. Васенко С.А., Жарков Г.Ф. Прохождение тока через джозефсоновский переход конечных размеров // ЖЭТФ 1978. - Т. 75. - С. 180 - 190.

29. Anderson P.W. Special effects in superconductivity. In Lectures on the Manybody Problem, Ravello, 1963 (E. R. Caianiello, Ed.). Academic. 1964. -V. 2.-P. 113-135.

30. Иванченко Ю.М., Свидзинский A.B., Слюсарев B.A, Электродинамика эффекта Джозефсона // ЖЭТФ 1966. - Т. 51. - С. 194 - 200.

31. Кулик И.О. К теории резонансных явлений при сверхпроводящемтуннелировании // ЖТФ 1967. - Т. 37. - С. 157.

32. Lebwohl P.,.Stephin J. Properties of vortex lines in superconducting barriers // Phys. Rev.- 1967.-V. 163.-P. 376-379.

33. Scott A.C. Steady propagation of long Josephson junctions. // Bull. Am. Phys.1. Soc.- 1967.-V. 12.-P.308.

34. Scott A.C. A nonlinear Klein-Gordon equation // Am. J. Phys. 1969. - V. 37. -P. 52-61.

35. Costabile G., Parmentier R.D., Savo В., McLaughlin D.W., and Scott A.C. Exact solutions of the sine-Gordon equation describing oscillations on a long (but finite) Josephson junction.// Appl. Phys. Lett. 1978. - V. 32. - P. 587 -589.

36. Pedersen N.F., Saermark K. Analytical solution for a Josephson junction model with capacitance // Physica. 1973. - V. 69. - P. 572 - 578.

37. Свидзинский A.B., Слюсарев В.А. К теории туннелирования в сверхпроводниках // ЖЭТФ 1966. - Т. 51. - С. 177 - 182.

38. Sullivan D.B., Zimmerman J.E. Mechanical analogs of time dependent Josephson phenomena // Am. J. Phys. 1971. - V. 39. - P. 1504- 1517.

39. Rochlin G.I., Hansma P.K. Inexpensive mechanical model of a Josephson weak-link // Am. J. Phys. 1973. - V. 41.-P. 878 - 887.

40. Pedersen N.F., Soerensen O.H. The compound pendulum in intermediate laboratories and demonstrations // Am. J. Phys. 1977. - V. 45. - P. 994 -998.

41. Алиев Ю.М., Силин В.П., Урюпин C.A. К теории нелинейных диспергирующих волн в джозефсоновских контактах // СФХТ 1991. -Т. 5. -С. 228-235.

42. Захаров Ю.В. Статическая и динамическая потеря устойчивости ферромагнитного слоя при перемагничивании. Пороговые поля и частоты магнитного резонанса // Препринт №758Ф. Красноярск: Ин-т физики

43. СО РАН, Ин-т биофизики СО РАН 1995. - С. 40.

44. Zakharov Yu., Ignatchenko V.A. Magnetic resonanse in films on antiferromagnetic substrate // Czech. J. Phys. 1971. - V. B21. №4-5. -P. 482-485.

45. Захаров Ю.В., Охоткин К.Г. Нелинейный изгиб тонких упругих стержней //ПМТФ.-2002.-Т.43,№5.-С. 124-131.

46. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967. -984 с.

47. Попов Е.П. Теория и расчет гибких упругих стержней. М.: Наука, 1986. -296 с.

48. Zakharov Yu.V., Uvaev I.V. Dynamic domain structures // Proceedings of Moscow International Symposium on Magnetism, P. II. M.: Физический факультет МГУ, 1999. P. 44 - 47.

49. Захаров Ю.В., Уваев И.В. Динамическая и статическая потеря устойчивости джозефсоновского перехода в магнитном поле // Тезисы докладов 12-ой Зимней школы по механике сплошных сред. Пермь, 1999. С. 152.

50. Захаров Ю.В., Уваев И.В. Устойчивость джозефсоновского перехода в магнитном поле // Тезисы докладов Междунар. конф. «Математические модели и методы их исследования». Красноярск, 1999. С. 102 — 103.

51. Захаров Ю.В., Уваев И.В. Влияние магнитного поля на устойчивость джозефсоновского перехода // Тезисы докладов III Всерос. научно-практ. конф. студентов, аспирантов и молодых специалистов «Решетневские чтения».-Красноярск: САА, 1999. С. 129.

52. Захаров Ю.В., Уваев И.В. Устойчивость джозефсоновского перехода при воздействии магнитного поля // Материалы Второй Всеросс. научно-практ. конф. «Достижения науки и техники развитию сибирских регионов». Ч. 4. - Красноярск: КГТУ, 2000. С. 30 - 31.

53. Захаров Ю.В., Уваев И.В. Устойчивость джозефсоновского перехода // Тезисы докладов Четвертого Сибирского конгресса по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-2000). Ч. IV. Новосибирск: Изд-во Института математики, 2000. С. 86 - 87.

54. Захаров Ю.В., Уваев И.В. Поведение джозефсоновского перехода под действием магнитного поля // «Математические модели и методы их исследования». Труды международной конференции. Т. 1. Красноярск: ИВМ СО РАН, 2001. С. 257 - 259.

55. Захаров Ю.В., Уваев И.В. Динамические доменные структуры в тонких магнитных пленках и в джозефсоновском переходе // Тезисы Байкальской междунар. научно-практ. конф. «Магнитные материалы». Иркутск: ИркГПУ, 2001. С. 33.

56. Захаров Ю.В., Уваев И.В. Динамические доменные структуры в длинном джозефсоновском переходе // Электронный журнал «Исследовано в России». -2002. Т. 156. - С. 1754-1760. (http:\\zhurnal.ape.relarn.ru\articles\2002\ 156.pdf)

57. Захаров Ю.В., Уваев И.В. Джозефсоновский переход под действием магнитного поля // Вестник КГУ, 2002. (в печ.)

58. Мак-Лахлан Н.В. Теория и приложения функций Матье. М.: ИЛ, 1953. -476 с.

59. Бейтмен Г. и Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье. М.: Физматгиз, 1967. - 300 с.

60. Стретт М. Д. О. Функции Ламе, Матье и родственные им в физике втехнике. Харьков-Киев: ГНТИУ, 1935. - 238 с.

61. Уиттекер Э. и Ватсон Дж. Курс современного анализа, Т.2. М.: Физматгиз, 1963. - 516 с.

62. Ince E.L. The periodic Lame functions // Proc. Roy. Soc. Edinburgh. 1940. -V. 60.-P. 47-63.

63. Ince E.L. Further unvestigations into the periodic Lame functions // ibid. — P. 83-99.

64. Arscott F.M. Periodic differential equations Oxford; London; Edinburgh; New York; Paris; Frankfurt: Pergamon Press, 1964. 284c.

65. Шмидт Г. Параметрические колебания. М.: Мир, 1978. - 336 с.

66. Канторович JI.B., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. -М.: ГИТТЛ, 1952-696 с.

67. Коллатц Л. Задачи на собственные функции (значения). М.: Наука, 1968.-503 с.

68. Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции. Формулы, графики, таблицы. М.: Наука, 1977. - 344 с.

69. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. -М.: Наука, 1976.-576 с.

70. Корн Г. Корн Т. Справочник по математике. -М.: Наука, 1984. 832 с.

71. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. -М.: Физматлит, 2001. 576 с.

72. Yao X., Wu J.Z., and Ting C.S. Chaos in long Josephson junction without external rf driving force // Phys. Rev. B. 1990. - V. 42. P. 4080 - 4087.

73. Cicogna G., Fronzoni L. Effect of parametric perturbations on the onset of chaos in the Josephson-junction model: Theory and analog experiments // Phys. Rev. A. 1990. - V. 42. - P. 1901 - 1906.

74. Yugay K.N., Blinov N.V., Shirokov I.V. Effect of memory and dynamical chaos in long Josephson junctions // Phys. Rev. B. 1995. - V. 51. —P. 12737 - 12741.

75. Блинов H.B., Широков И.В., Югай K.H. Флуксонные и антифлуксонные состояния в длинном джозефсоновском переходе // Вестник ОмГУ, -1998.-Вып. 2.-С. 29-31.