Влияние следящей, диссипативных и упругих сил на динамическое поведение многозвенного маятника тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ ІНСТИТУТ МЕХАНІКИ їм. С.П. ТИМОШЕНКА

БОРУК Ігор Г еоргійович

ргб од

і З СЕН

УДК 531.011

ВПЛИВ СЛІДКУЮЧОЇ, ДИСИПАТИВНИХ ТА ПРУЖНИХ СИЛ НА ДИНАМІЧНУ ПОВЕДІНКУ БАГАТОЛАНКОВОГО МАЯТНИКА

01.02.01 - теоретична механіка

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико - математичних наук

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України і Київському інституті залізничного транспорту.

Науковий керівник - доктор фізико-математичних наук, професор Лобас Леонід Г ригорович,

Київський інститут залізничного транспорту, завідувач кафедри.

Офіційні опоненти - доктор фізико-математичних наук, професор,

Каюк Яків Федорович,

Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України провідний науковий співробітник.

- кандидат фізико-математичних наук, старший науковий співробітник,

Швець Олександр Юрійович,

Національний технічний університет України (КПІ), доцент.

Провідна установа - Інститут прикладної математики і механіки НАН Україні

Захист відбудеться « .^» Т2000р. о ^ годині на засіда спеціалізованої вченої ради Д 26.166.01 в Інституті механіки ім. С.П. Тимоше: Національної академії наук України за адресою: 03057, Київ, вул. Нестерова З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Інституту механіки ім. С Тимошенка НАН України (Київ, вул. Нестерова,3).

Автореферат розіслано «А ^ » іс ^ 2000р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради

доктор технічних наук, професор і І.С. Чернишенко

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Дисертаційна робота присвячена дослідженню еволюції динамічної поведінки перевернутого дволанкового математичного маятника, верхній кінець якого пружно закріплений і на який діє слідкуюча сила, а в шарнірних з’єднаннях ланок розташовано спіральні пружні елементи і демпфіруючі пристрої.

Актуальність і ступінь дослідженості тематики дисертації.

Необхідність в проведенні досліджень з тематики дисертації викликана, з однієї стороїш, безпосередніми потребами практики, а з іншої - тим, що маятникові системи є дискретними моделями різноманітних технічних систем. Починаючи з експериментів Г. Галілея і теоретичних досліджень X. Гюйгенса, проблеми динаміки маятників вивчали С.А. Агафонов, З.С. Баталова, Г.В. Белякова, Ю.Р. Бредіхін, Г.В. Гор, В.І Гуляєв, O.A. Зевін, А.Л. Зубрицька, П.Л. Капіца, Я.Ф. Каюк, В.Л. Кошкін, Т.С. Краснопольська, Л.Г. Лобас, О.М. Марюта, Б.І. Мороз, Я.Г. Пановко, В.О. Стороженко, Т.Г. Стрижак, В.Б. Співаковський, М.Є. . Темченко, С.М. Федик, Л.А. Філоненко, В.Г. Хребет, О.Ю. Швець, P. Hagedorn, G. Hermann, J. Ing-Chang, Y. Matsuzaki, A. Steindl, H. Troger та інші вчені.

У 1952р. Г. Ціглер поставив задачу про стійкість нижнього положення рівноваги дволанкового математичного маятника, навантаженого слідкуючою силою, що прикладена до нижньої ланки. Така система моделювала стиснутий пружний стержень, який вперше дослідив Л.Ейлер у 1744р. Задача Ціглера переросла свої початкові рамки і набула загальнонаукового значення у зв’язку з нерозв’язаною до цього часу проблемою взаємодії неконсервативних позиційних сил з силами іншої природи (дисипативними, потенціальними, гіроскопічними тощо). Не останню роль в науковому авторитеті цієї задачі відіграло й те, що вона пов’язана з проблемою виникнення коливань в Трансарабському

трубопроводі (1950р.). Дія слідкуючої сили на пружний стержень модел дію реактивної тяги на ракету (процес відокремлення продуктів згораї реактивної установки).

У суто теоретичному плані науковий “бум” навколо цієї задачі ( спричинений парадоксом дестабілізації як завгодно малого тертя (параді Ціглера).

Мета і задачі дослідження полягають у глобальному аналізі еволк динамічної поведінки перевернутого дволанкового математичного маяти в усьому просторі істотних параметрів: жорсткості пружного елемента кінці верхньої ланки і слідкуючої сили.

Наукова новизна отриманих результатів полягає у проведене вперше глобальному дослідженні еволюції динамічної поведії дволанкового маятника, одним з параметрів якого є жорсткість пружн закріплення верхньої ланки, а іншим - модуль слідкуючої сили, дослідження включає виявлення, аналіз та математичне описування та; опорних елементів фазового простору як особливі точки, стійкі та несті граничні цикли, а також пов’язаних з ними біфуркацій при зміні істоті параметрів.

Практичне значення результатів дослідження зумовлено тим, стержень, стиснутий по торцях, є одним з основних конструктив: елементів залізничних, авто- і пішохідних мостів, колієвкладальних кран різноманітних споруд та будівель. Несуча здатність стержня зумов: функціональні якості всієї конструкції. Результати дисертаційної роб можуть бути використані також при моделюванні процесу відокремле продуктів згорання реактивної установки (ракета, реактивні назе транспортні засоби), дослідженні коливань трубопроводів, управлі космічними кораблями тощо.

Апробація результатів дисертації. Результати дослідж доповідались на кафедрі теоретичної і прикладної механіки Київськ інституту залізничного транспорту, 7-й Міжнародній конференції “Стійкі'

з

управління і динаміка твердого тіла” (Донецьк, 1999), 4-й Кримській Міжнародній математичній школі (Алушта, 1998).

Публікації і особистий внесок здобувана в спільних публікаціях. Результати дисертаційної роботи опубліковано в статтях [1-6] і працях конференцій [7, 8]. У роботах [1-6], опублікованих спільно з науковим керівником Лобасом Л.Г., останньому належать задум робіт і перевірка та обговорення основних результатів. Вивід диференціальних рівнянь руху маятника, їх аналітичне інтегрування, побудова областей стійкості та нестійкості, комп’ютерне моделювання належать здобувачу. У роботі [8] здобувачу належать результати, пов'язані з дволанковим маятником; співавторам - результати досліджень загальних динамічних систем.

Структура роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаної літератури із 147 найменувань і включає 80 рисунків, розміщених на 74 сторінках. Загальний обсяг дисертації - 182 сторінки.

Дисертант висловлює щиру подяку своєму науковому керівнику доктору фізико-математичних наук, професору Лобасу Л.Г. за цінні поради, постійну увагу і підтримку на всіх етапах виконання роботи.

Стислий зміст роботи

У вступі подано загальну характеристику дисертації: розкрито сутність і стан наукової проблеми; обгрунтовано необхідність проведення досліджень і відзначено актуальність теми дисертації; сформульована мета роботи; відзначено новизну отриманих результатів та їхнє теоретичне і практичне значення.

У першому розділі проведено огляд літератури за темою дисертації. Вказано на літературні джерела, що стосуються основних напрямків досліджень багатовимірних динамічних систем і, зокрема, багатоланкових систем, що знаходяться під дією сил різної природи. Закінчується розділ

коротким резюме стосовно необхідності розв’язання поставлен™ дисертації питань і сформульовано основні задачі.

У другому розділі наведена досліджувана система, в якій 1\, і довжини нижньої та верхньої ланок (рис.: Маси ланок ти і та ті зосереджені в точках А Аі, стержні ОА\ та А\А2 вважаю' невагомими.

Диференціальні рівняння руху дволанкої маятника мають вигляд:

V -UhL D

[/2Gi-/,G2cos(x3 -x,)],

x3 = x

*4

= ^[0, + m2)lfi2 -m2l2Glcos(xi -x,)].

Тут

й, =т2Іі11х2і5т(х3 -х1)+(т1 -с1,(1,ъіпс, +/2біпх3)соэг1 -РІ^іпїх3 -х,)-

-с,х, М\Х2 ~сг(х3 -х,)-/і,(х4 -х2),С2 = т2Ц2ф^т(х> -хг)+т£І25\тг -с/2(/,біг +/25шх3)созх3 +с2(х, -х3)-/^(х4 -х2), О=т2/1112О0, Д =аи, +т2$іп2(<р, -<р2). Оскільки праві частини рівнянь (2.1) є непарними функціями фаз(

змінних, то ряди Тейлора для цих функцій містять лише непарні сте змінних стану. Поліноміальна апроксимація динамічної системи (2.1) в о розв’язку <р1 = 0, ф1 = 0, <рг = 0, ф2 - 0 (назвемо його незбуреним) вигляд: х, =х2,

х2 = а2 ,х, +а21х2 +а13х3 +а24х4 +а,2их,3 +ЙГ333Х3 + 3а*их^х2 + За^13х^хг + За12І4х,2х4 +3 а}21ххх\ + За^32Х\ХІ 4-За,244х1х4 + За121х\хъ + За\ъъх2х1 ■ За3з4Х3Х4 4* За344ХзХ4 4" 6^7123X^X2X3 4" 6бГ,з4Х,ХзХ4 4-..., х3=х4, (2.:

х4 = аАІх1 + а42х2 + а43х3 + а44х4 + а,4 ,х,3 + 0333X3 + За*их*х2 + За^х^х-, +

+ 3а414х12х4 + 3а422х1х| + За143х1хз +3а1444х,х4 н-Зс/^з^з +Зсг2з3х2х| +

+ 3^334X3X4 +30344X3X4 +6а1423х1х:гХз + ба]4з4х1хзх4 + ...,

тобто

*. = 2>Л + ¿¿І]<*»•*/*- + °(И3). а1 = аш = аш (*' =

;=1 /=1 м=1

Рівняннями рівноваги дволанкового маятника є:

-(/и, + m2)gl]sm^pt + с11(1]іт(рІ +/2яіп(с,)с03ір| + Р1^т{<р2 -^>1)+с,р1 -

• -с2{рх-ср2) = 0, (2.3)

- пи^125т(р2 +с/2(/,+ 1251П(р,)С05(р1 +с2(р, -гр2) = 0.

Ця система має розв’язок <р, =0, (р2 = 0, що відповідає верхнім вертикальним положенням обох ланок маятника. Наявність інших положень рівноваги зв’язана з необхідністю розв’язування трансцендентної системи рівнянь (2.3), яка при довільних значеннях параметрів маятника являє собою досить складну проблему і не є предметом даного дослідження. У дисертації наведено стани рівноваги маятника при певних, особливих значеннях його параметрів.

У третьому розділі розглядається вплив параметрів маятника на стійкість верхнього вертикального положення, рівноваги в некритичних випадках. Рівняння збуреного руху, що відбувається в малому околі незбуреного, мають вигляд:

\т, + т2 )Г-ф1 + т21хі2ф2 + (р, + ¿¡2 )фх - ц2фг + [сі; + с,+с2- (т, + т2 )#/, -

• -«,]?>, + (с/7, -с2 + Р1,)<р2 = 0, (3.1)

тД(р2 + тгЦ2фх - ц2фх + ¡л2фг + (с/2/, -с2)р, + (с2 + сІ\ - т^12)ср2 = 0.

У матричній формі ця система має вигляд: Аф + Вф + (С + Р,)р = 0, де А -матриця інерційних сил, В, С та Р\ матриці дисипативних, потенціальних та неконсервативних позиційних сил відповідно. Наявність останньої матриці, породженої слідкуючою силою Р, ускладнює якісний аналіз задачі стійкості, виводячи її за рамки не тільки класичних теорем Томпсона і Тета, але і їхніх сучасних модифікацій.

Характеристичним рівнянням системи (3.1) є:

А0Ґ + А1ЛІ + А2Л2 + А3Л + А4 =0. (3.2

Границі області стійкості на площині параметрів с і Р складають ділянок двох гіпербол

Р = Р1(с),Р = Р(с),Р/с) = -

Аа,с + А„

т28

A4/

(іc2a + cd+q)b lJ2A,b(h-cb)

.(З/

Конфігурація гіпербол суттєво залежить від параметрів маятника

Для /и, = 10кг, т2 = 5кг, /, = /2 = 0,5: с,=с2 =400Нм, = ІОНмс н

(рис.3.1) наведено розбиття площ параметрів с і Р на області D(s, 4-s) s - кількість коренів рівняння (3.2

додатними. Таким чином, перехід криї Рис 3.1 (3.4) у відповідному напрямку прі

дать до наступних структурних змін у розбитті площини параметрів с і і області з різною кількістю від’ємних дійсних частин коренів рівняння (: Б(4, 0)-»Б(2, 2)—>Б(1, 3)->В(3, 1).

У четвертому розділі досліджена еволюція динамічної поведінки ма ника при переході границі області флатгерної нестійкості. На границі обл Р=Лр характеристичний многочлен (3.2) має пару суто уявних корі

X, 2 = ±іа, інші два корені такі: коли 0 ^ с < 624—, то 4 = % ± /со,, х<0;

’ м ’

маємо Л3=сг<0, Л4 = у < 0. Безпечність (

624 її <с< 776,4—

м м

небезпечність) границі області флатгерної нестійкості визначається зна першого ненульового ляпуновського коефіцієнта

с

де

, . 1 4 4 4 4

4JJ =TtBP/ttt amlan,kalr«ns ,

A p=] m=l Z=1 я=1

Якщо а3(/’кр)<0, то точка (0,0,0,0) є асимптотично стійкою, а відповідна ділянка границі є безпечною за М.М. Баутіним. На рис. 3.1 така ділянка позначена суцільною лінією. Якщо ж а3(Ркр)>0, то положення рівноваги є

нестійким, а ділянка границі - небезпечна. На рис.3.1 така ділянка позначена штриховою лінією.

З рис. 3.1 видно, що площина параметрів с і Р розбивається на області з різною динамічною поведінкою дволанкового маятника. По-перше, при c=const і різних значеннях модуля слідкуючої сили Р область асимптотичної стійкості £)(4, 0) відділяється від областей нестійкості D(2, 2) і D(3, 1) кривими лініями Р=Ркр(с) і Р=Рі(с). По-друге, самі ці криві лінії в загальному випадку теж можуть розбиватись на ділянки, які прогнозують різну динамічну поведінку маятника по різні сторони від них.

Зокрема, крива лінія Р=Рщ,(с) складається з безпечної 0< с <211 Н/м та небезпечної 212^ с < 776,■4 Н/м ділянок. Нижче від цих ділянок динамічна поведінка маятника в різних точках області £>(4, 0) неоднакова. Це ілюструють результати розв’язування задачі Коші при різних значеннях параметрів і при різних початкових збуреннях, які зображені на рис.4.2 - 4.7. Коли Р=Рщ,, для стійкої ділянки границі (а} <0) інтегральна крива поводить себе, як показано на рис. 4.2. Для Р^Рщ, і «¡>0 вигляд інтегральної кривої зображено на рис.4.3. Криві на рис.4.4 та 4.5 відповідають області D(4, 0), на рис 4.6 та 4.7 зображені траєкторії точок Лі i^2BD(4,0).

У відповідності з загальною теорією динамічних систем в околі особливої точки О (0, 0, 0,0) поблизу нестійкої ділянки границі існує нестійкий періодичний цикл L,, а за ним - стійкий періодичний цикл. Саме це. ілюструють криві на рис. 4.8 і 4.9.

У фазовому просторі системи (2.1) на границі Р=Ркр(с) можуть відбува-

Рис. 4.2 Рис. 4.3 Рис. 4.4

тися біфуркації двох типів: народження (генерації) стійкого гранично циклу із складного фокусу або зникнення (анігіляції) нестійкого гранично циклу. Для дослідження цих біфуркацій знайдено наближений періодичні розв’язок динамічної системи (2.1) методом Ляпунова-Пуанкаре-Мшікіна формі, конкретизованій Л.Г. Лобасом для динамічних систем з поліноміал ними правими частинами. В якості безрозмірного малого параметру вибраї дійсну частину є тієї пари Я.і^=є±гсв комплексно-спряжених власних значе II II4

матриці Ця,*І , яка на кривій Р=Ркр(с) дорівнює нулеві. Розв’язок має вигля, х\ = 4єМ0 [в^созПґ + ВІ2^іпП?}

х" = £^М0[(В(°)М1 - В^^ + В^0)Мп + В^М21 +В$)М0)созСІІ+(В$)М1 -+ В™МЛ + В^Ии + В™м21 + ^>А/0)5іпП( + (В™А3 + В$>С3 + В™М12 + + В^М22)собЗОі + {В^В3 +Д^)Д} +В;4)Аг22)5ІпЗПґ], (4.2)

(/=і,...4). (4.3)

н

Для випадку с=112 —, /М441Н (Р>Ркр(с), Хз4-%±іьзи ділянка грани м '

Р-Рщ(с) для цього значення с стійка) існує стійкий граничний цикл. І-

рис.4.10, 4.11 зображено фазові портрети, на яких побудовані періодичні цикли, що знайдені безпосереднім розв’язуванням задачі Коші (К) і аналітично (А). Інтегральні криві подано на рис. 4.12, 4.13. При відході від границі

Рис. 4.10

Рис. 4.13

Р=Рч>(с) вгору форма циклів змінюється. Якщо в малому околі границі цикл має форму еліпса, то зі збільшенням модуля сили Р ця форма втрачається і цикл набуває вигляду овалу. Подальший відхід від границі призводить до того, що цикл втрачає і форму овалу (рис. 4.14, 4.15); такі цикли отриманими розв’язками (4.2) описати неможливо. На рис 4.16 та рис. 4.17 побудовано траєкторії точок А і і Л2 в області D(2,2).

Рис. 4.17

У п’ятому розділі досліджена еволюція динамічної поведінки маятника при переході границі області дивергентної нестійкості. Згідно О.М. Ляпунову введемо в системі (2.1) замість однієї змінної (нехай це буде Х4) змінну х

лінеаризоване рівняння для х має вигляд і = 0. Приймемо х за критичну змінну; хх,х2,хг - некритичні змінні. Диференціальне рівняння для критичної змінної х є:

4

х = Х(х,хх,хг,хг) = '£,аіРі[х\’х2’Хі,х4(х,хихг,хг)\,

н

де

х[х’иі (х),и2(х),и3(х)] = gx3 + о(х3).

Тут g - перший ненульовий ляпуновський коефіцієнт, явний вираз якого знайдено Л.Г. Лобасом (ПММ, 1996, т.60, №2):

£ = Ха;(«н)і0'і3 + ^гі2а\ +4зз°з + +^}2ахи2 +За^12<т3 +3а\\]^а4 +

>і

+ За$2сг1о1 +3а,щсг,сгз +2>а\11а1и1 +За{2{\а2аІ +3а^а2аІ +За^1р3а\ +За^3аІстг +

+ За^ст^ст, +3 Язз4о|о-4 + 6а^,ст2а3 + 6а{^.а{а2аА + +6^Аа2а3(тА +...)=

= 2>;1! £1>2іп °«РР„ +•••>

7*1 ш=1/=1л=1

Знак першого ненульового коефіцієнта g визначає також характер безпечності границі. Якщо ^0, то незбурений рух асимптотично стійкий (згідно з

О.М. Ляпуновим), а границя Р=Р\(с) безпечна (згідно з М.М. Баутіним). Якщо g>0, то незбурений рух нестійкий, а границя Р=Р\{с) небезпечна: на ні®

за допомогою підстановки х = а,х, + а2х2 + а3х3 + а4х4 такої, що

відбувається зрив зображуючої точки. Для прийнятих нами значень

н

параметрів системи ділянка с є ¡777,1500]— є безпечною, оскільки g<0. На

м

рис.3.1 ця ділянка позначена суцільною лінією.

Динамічна поведінка дволанкового маятника в області флаттерної нестійкості була досліджена в розділі 4. Зовсім інакше поводить себе система при переході з області D(4, 0) в область D(3, 1) і далі - в область

D(l, 3). При перетині границі Р=Р](с) система попадає в область D(3, 1)

дивергентної нестійкості. Згідно з теоремою В.Г. Вербицького безпечність чи небезпечність границі області стійкості однозначно пов'язана з характером біфуркацій, які відбуваються при переході цієї границі. Оскільки g<0, то динамічна система при Р>Р\(с) втрачає стійкість внаслідок біфуркації народження при Р=Р\(с) кратної особливої точки. Це призводить до того, що точка ф, =0, ф, = 0, <р2 = 0, ф2 = 0 фазового простору хоч і стає нестійкою, однак в малому околі її існують дві стійкі особливі точки типу вузлових. Тому поточні збурення в цьому випадку є обмеженими: після втрати стійкості основного (досліджуваного) стаціонарного стану система переходить до іншого стійкого стаціонарного стану (рис.5.1, 5.2):

lim <рх (t) = <р[ , lim ф, (0 = 0, lim <р2 (t) = <р\ , lim ф2 (t) = 0.

t-t-hso f-H-00 t->+co f—>+oc

Рис. 5.1 Рис. 5.2

Зі збільшенням модуля сили Р значення величин (р\ і ср\ зростають.

У висновках сформульовані основні результати теоретичного те прикладного характеру.

1. У дисертаційній роботі вперше досліджено вплив усіх параметрІЕ перевернутого дволанкового математичного маятника на розподіл власнш значень матриці лінеаризованих рівнянь збуреного руху в околі верхнього вертикального положення рівноваги.

2. На площині істотних параметрів маятника одержано аналітичн рівняння границь області асимптотичної стійкості як у прямій, так і ) канонічній формах.

3. Границя області стійкості розбита на безпечні та небезпечні ділянки У зв'язку з цим в областях асимптотичної стійкості, флаттерної те дивергентної нестійкості виділено підобласті з різним характером фазовю траєкторій.

4. Знайдено наближені аналітичні рівняння стійкого та нестійкогс граничних циклів.

5. Досліджена еволюція динамічної поведінки маятника при змін модуля слідкуючої сили при всіх значеннях жорсткості пружного елемент: на кінці верхньої ланки маятника.

6. Знайдено стійкі стаціонарні стани маятника, до яких прямують йог< характерні точки в області дивергентної нестійкості.

7. Побудовано траєкторії характерних точок маятника.

Основні положення дисертаційної роботи в достатній мір відображено в таких публікаціях:

1. Борук И.Г., Лобас Л.Г. О движении перевернутого двухзвенного матема

тического маятника со следящей силой // Прикл. механика. - 1999. - 35 №7.-С. 108-112.

2. Борук И.Г., Лобас Л.Г. Устойчивость верхнего положения равновеси двухзвенного математического маятника при критических значения следящей силы // Прикл. механика. - 1999. - 35, №9. С. 100 - 105.

3. Лобас Л.Г., Борук І.Г. Області стійкості дволанкового перевернутого

математичного маятника в спеціальних силових полях // Доповіді НАН України. - 1999.-№ 11-С. 74 - 78.

4. Борук І.Г., Лобас Л.Г. Про збурені рухи перевернутого дволанкового

маятника із слідкуючою силою на пружно закріпленому верхньому кінці // Доповіді НАН України. - 2000. -№1. - С. 48-51.

5. Борук І.Г., Лобас Л.Г. Динамічна поведінка стержня, стиснутого поздовжньою силою // Збірник наук, праць Київ, ін-ту залізничного тр-ту. -1998.-1, №2.-С. 105-111.

6. Лобас Л.Г., Борук І.Г. Динамічна поведінка стиснутого стержня при

критичних значеннях слідкуючої сили // Збірник наук, праць Київ, інституту залізничного транспорту. - 1999. - З-С. 116-119.

7. Борук И.Г. Нелинейная устойчивость перевернутого двухзвенного маятника под действием следящей и вязкоупругих сил // Тезисы докладов IV Крымской Междун. математ. школы, Алушта, 5-12 сент. 1998г. -Симферополь, 1998. - С. 16.

8. Лобас Л.Г., Вербицкий В.Г., Борук И.Г. Бифуркации и катастрофы в динамических системах с центральной симметрией // Тезисы докладов VII Международной конференции «Устойчивость, управление и динамика твердого тела», 1999, Донецк. - С. 64.

Борук І.Г. Вплив слідкуючої, дисипативних та пружних сил на динамічну поведінку багатоланкового маятника. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.01. - теоретична механіка. Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, Київ, 2000.

Дисертацію присвячено глобальному дослідженню динамічної поведінки перевернутого дволанкового математичного маятника на площині двох істотних параметрів: жорсткості пружного закріплення верхнього кінця маятника та модуля слідкуючої сили. При цьому маятник перебувас у

складному силовому полі, породженому слідкуючою силою, прикладеною до його верхнього кінця, дисипативними та пружними силами, породженими спіральними пружинами у зовнішньому та проміжному шарнірах. В роботі досліджено вплив параметрів на розподіл, а також конфігурацію, областей стійкості верхнього вертикального положення рівноваги маятника. В областях Б(2, 2) та В(4, 0), на площині суттєвих параметрів, виявлено стійкі та нестійкі граничні цикиущя яких знайдено наближені аналітичні рівняння, досліджено біфуркації цих граничних циклів при зміні параметрів, встановлено особливості траєкторій матеріальних точок на кінцях ланок маятника, проаналізовано біфуркації стаціонарних станів в області дивергентної нестійкості. Отримані результати та висновки, а також розроблені програми можуть бути рекомендовані для використання в науковій роботі та інженерній практиці при проектуванні будівель, мостів та колієвкладальних кранів на залізницях, при вивченні динамічних якостей транспортних засобів з реактивною тягою.

Ключові слова: дволанковий математичний маятник, слідкуюча сила, стійкість, флатгерна та дивергентна біфуркації, особлива точка, граничний цикл.

Борук И.Г. Влияние следящей, диссипативных и упругих сил на динамическое поведение многозвенного маятника. - Рукопись.

Диссертация на получение ученой степени кандидата физикоматематических наук по специальности 01.02.01 - теоретическая механика. Институт механики им. С.П. Тимошенко НАН Украины, Киев, 2000.

Диссертация посвящена глобальному исследованию динамического поведения перевернутого двухзвенного математического маятника на плоскости двух существенных параметров: жесткости упругого закрепления верхнего конца маятника и модуля следящей силы. При этом маятник находится в сложном силовом поле, порожденном следящей силой, приложенной к его верхнему концу, диссипативными и упругими силами,

порожденными спиральными пружинами во внешнем и промежуточном шарнирах. В работе исследовано влияние параметров на распределение областей устойчивости верхнего вертикального положения равновесия маятника, выявлены устойчивые и неустойчивые предельные циклы на плоскости существенных параметров, исследованы бифуркации этих циклов при изменении параметров, установлены особенности траекторий материальных точек на концах звеньев маятника, проанализированы бифуркации стационарных состояний в области дивергентной неустойчивости.

Ключевые слова: двухзвенный математический маятник, следящая сила, устойчивость, флатгерная и дивергентная бифуркации, особенная точка, граничный цикл.

Boruk I.G. Influence follower, dissipative and elastic forces on dynamic behaviour of a multilink pendulum. - Manuscript:

Dissertation on reception of a scientific degree of the candidate of physical and mathematical sciences on a speciality 01.02.01 - theoretical mechanics.

S.F. Timoshenko Institute of Mechanics ofNAS Ukraine, Kyiv, 2000.

The dissertation is devoted to global research of dynamic behaviour overturn of two-link mathematical pendulum on a plane of two essential parameters: stiffness of elastic support of the end of a pendulum and module of follower force. The pendulum is in a complex force field caused by follower force on the its upper end, dissipative and elasvic- forces caused spiral springs in external and intermediate hinges. In work the influence of parameters on distribution domains of stability of the upper vertical position of equilibrium of a pendulum is investigated, the stable and instable limit cycles on a plane ot ^«ential parameters are revealed, bifurcations of these cycles at change of parameters art •nvestigated, features of trajectories of material points on the ends of ¡inks of a pendulum is established, bifurcations of stationary states in domain of divergent instability are analysed.

Key words: two-link mathematical pendulum, follower force, stability, flatter and divergent bifurcations, irregular points, limit cycles.

Підписано до друку 20.03.2000. Формат паперу А5, папір для тиражувальїшх апаратів, друк - на різографі, орилнал-макет - автора. Замовлення № 200, тираж. 100.

Надруковано видавничо-друкарским комплексом Київського інституту залізничного транспорту. 03049, м. Київ - 49, вул. Миколи Лукашевича, 19.