Влияние жесткого масштаба на энергетические зависимости физических величин тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

и ф

в

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАУЧНЫЙ ЦЕНТР РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

институт физики высоки^,

1 з дек гш

На правах рукописи 2000-48

Прокудин Алексей Владимирович

ВЛИЯНИЕ ЖЕСТКОГО МАСШТАБА НА ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН

01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Протвино 2000

м-2

УДК 539.1.01

Работа вьшолнена в Институте физики высоких энерги (г.Протвино).

Научный руководитель - доктор физико-математических нау В.А. Петров.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических ш ук Ю.С. Вернов (ИЯИ РАН РФ, г. Москва), кандидат физике математических наук В.В. Ежела (ИФВЭ, г. Протвино).

Ведущая организация - Н1ШЯФ МГУ (г. Москва).

Защита диссертации состоится "_"_ 2000 I

в_часов на заседают диссертационного совета Д 034.02.0

при Институте физики высоких энергий по адресу: 142284, г. Проз вино Московской обл.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИФВЭ.

Автореферат разослан "_" _ 2000 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 034.02.01 Ю.Г. Рябов

© Государственный научный центр Российской Федерации Институт физики высоких энергий, 2000

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Проблема влияния жёсткого масштаба на энергетические зависи-юсти физических величин имеет большую историю. В физике высо-;их энергий мы сталкиваемся в основном с энергетической зависи-гостыо сечений. Для полных сечений Гейзенберг ещё в 1952 году на icHOBe простой модели показал, что сечения могут расти как La2 5. 1а основе аксиоматического подхода это поведение в виде ограни-гения на максимально быстрый рост сечений было строго доказано DpyaccapoM и Мартэном.

В 1970 году на Серпуховском ускорителе был открыт рост сече-ат во взаимодействиях К+р, который впоследствии был подтвер-кдён в рр- и рр- в заимод ей с т ви ях. Рост сечений не имеет однозначной трактовки, хотя в исследованиях непер т у р бативных методов КХД t в некоторых струнных моделях он предсказывается. Тем не ме-tee такое поведение остаётся пока экспериментальным фактом, не смеющим твёрдо установленного теоретического объяснения.

На электрон-протонном ускорителе HERA была получена возможность изучения рассеяния виртуальных фотонов у* на протоне при этом виртуальность фотона Q2 можно было менять. При сзучении полных сечений экспериментально был обнаружен очень снтересньш эффект: сечения ускоряют свой рост, когда растёт вир-■уальность фотона. * '

Такое явление не пред сказывалось в теории требовало объяснения. Hai более простая параметр« зация такого поведения — это о7„» ~

W2MQS). Если же обратиться к распро странённой интерпретацш Л как интерсепта наибо лее правого полюса в 3 плоскости амплитуды, тс становится ясным — та кая параметризация озна чает, что траектории Ре дже являются неуниверсальными, и для описания данных HERA необходимо введение новых ("жёстких") померонов. Это кажется вполне убедительным, если взглянуть на извлечение Л из экспериментальных данных (рис. 1).

Таким образом, возникает задача проверки того, действительно ли нужно вводить новые траектории, или траектории Редже универсальны, и описание подобных эффектов основано на другом механизме.

Цель диссертационной работы:

• Извлечение параметров редже-эйкональной модели из данных по адрон-адронным процессам рассеяния и получение фундаментальных траекторий Редже.

• Изучение расширения редже-эйхонального подхода на случай процессов с виртуальными частицами и применение его для описания данных HERA.

• Предсказания асимптотического поведения полных сечений и структурных функциий для процессов с участием виртуальных частиц.

о"

Рис. 1. Эффективный интерсепт как функция виртуальности фотона.

Научная новизна и практическая ценность работы:

1. Построено расширение редже-эйконального подхода для процессов с участием виртуальных частиц, учитывающее принципы унитарности и аналитичности.

2. Показано, что влияние жёсткого масштаба на энергетическую зависимость сечений сильное, в частности логарифмическая асимптотика может быть заменена на степенную в присутствии такого масштаба. Это не противоречит ограничению Фруассара-Мартэна, поскольку при переходе на массовую оболочку восстанавливается логарифмическое асимптотическое поведение.

3. Доказано, что современные экспериментальные данные по жёстким процессам не требуют введения новых неуниверсальных траекторий, и успешно описываются с помощью универсальных траекторий Редже.

4. Получено описание имеющихся данных HERA с параметрами траекторий, взятыми из описания адронных процессов. Представлены предсказания на поведение структурной функции протона в различных кинематических областях.

Ценность полученных результатов состоит не только в том, что данная модель свидетельствует в пользу универсальности траекторий Редже и хорошо описывает данные, но и в том, что аналитически получены такие эффекты, как "раздевание" померона при больших Q2 и асимптотические формулы для структурной функции протона и сечений эксклюзивного рождения векторных мезонов.

Апробация работы

Материалы, составляющие содержание диссертации, опубликованы в работах [1-6]. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах и конференциях.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и семи приложений. Объем диссертации 124 страницы. Список литературы включает около 180 наименований.

Содержание диссертации

Во Введении обосновывается: актуальность проблем, рассмотрев ных в диссертации. Обсуждаются основные известные результат! достигнутые в области изучения подобных эффектов изменения эне] гетического поведения: при наличии дополнительных масштабов. И латается структура диссертации.

В первой главе изучается редже-эйкональная модель для нукло] ных процессов рр, рр и извлекаются параметры траекторий Редж описывающие данные процессы. В результате исследования получ но, что для описания; данных по нуклонному рассеянию при £ ф необходимо введение оддеронной траектории. Параметры траект рий померона и оддерона имеют следующие значения:

Результаты по фитированию данных в случае присутстви оддерона и померона, когда траектории не вырождены

На рис. 2-5 штриховая линия соответствует предсказаниям моде1 для рр, сплошная линия — для рр.

вг(0) - 1 = 0.0938 ± 0.003, <4(0) = 0.2762 ± 0.02, ао(0) - 1 = 0.0934 ± 0.005, а{,(0) = 0.0682 ± 0.03.

С

• 1» V V ^

Рис. 2. Полное и упругое сечения рассеяния.

V V

Л<

Рис. 3. Отношение реальной мнимой частей амплитуд рассеяния вперёд.

№

\\\ ..-г?-5

МГЧ*

и •.--3.0-5ОЛЯ,

•лУгч,4*14' \\ ••111

н I'

I < I • I

-но«/)

ис. 4. Дифференциальное сечение рр.

-МОе**)

Рис. 5. Дифференциальное сечение рр.

¡о второй главе проводится обобщение редже-эйконального подхо-а на случай присутствия частиц вне массовой оболочки. При этом ы получаем следующие соотношения для амплитуд вне массовой болочки:

Т (з,Ъ)-5 (,,6)--__ + ___т(л>Ь), (2)

о[*,Ъ)

де 6*^(в, Ь) суть эйкональные функщш для процессов с одной (дву-1я) частицами вне массовой оболочки.

В данном подходе эйконал — это основная функция рассеяния, гз которой мы впоследствии будем конструировать сечения и структурные функщш. Выбирается следующая параметризация:

'Де

л0 "г Ц; — тп

и

«±(Л6) = £±-ГТТг-2 1—Гп2-2) ~л—Г> (6

¿о + <32- 2 ^о + Ц2 - Ш2/ 4тг/>2,

где

=+^+. (7 ^о т V «л

а г^, г, и г,, — "радиусы", связанные с соответствующими верши нами.

Мы предполагаем, что коэффициенты с+(ф2), с*,(ф2) слабо (а степенным образом) зависят от (¡?2. суть сигнатурные факто ры. Отсюда следует что нри фиксированных х ~ нарушение скейлинга слабое.

Далее на основе данного формализма мы находим асимптотические формулы для полного и упругого сечений в различных кине матических регионах.

Полное сечение

в Реджевский режим (л б?2):

• Бьёркеновский режим (й ~ С?2(1 — х)/х, г-фиксирован):

я* и -Тс'фЛх) Чо?; ' ь1- •

Теперь можно показать интересное явление, которое наблюдается в нашей модели, — так называемое "раздевание" померона.

Предположим, что структурная функция описывается формулой вида

/1 \ д.«(<?а)

= /№')(£) , (ю)

где Дег(<32) — эффективный интерсепт, который, конечно, не соответствует траектории Редже, поскольку зависит от виртуальности

этона 0?. Теперь, используя (9), получаем, что в нашей модели >и фиксированных (и достаточно малых) х

деЯ (х, д2) ^ а + ^ (п)

1п 1/х

[е

з уравнения видно, что правая часть в (11) стремится к Д с ктом д2, и тем самым мы получаем следующий эффект: с рогом виртуальности фотона <52 унитарные поправки уменьшаются, при достаточно малых г структурная функция протона может лть описана борновским членом эйконального разложения, так что рфективный интерсепт в (10) будет равен интерсепту померона.

Мы видим, что эффективный интерсепт в нашей модели зависит «еже от г и АеЯ(х^2 -» со) ~ 0.1.

Таким образом, мы получаем способ измерения интерсепта по-грона и проверки нашей модели.

Как мы видим, полное сечение имеет степенное поведение в пре-:ле Редже, что не означает нарушения ограничения Фруассара-[артэна, так как это ограничение не может быть получено для 1нного случая. Если же мы восстановим условия массовой оболоч-I для частиц, то мы восстановим и "нормальное" логарифмическое :имптотическое поведение а ~ 1п2 В пределе Бьёркена мы имеем гаьное (степенное) нарушение скейлинга во втором члене, который, щако, не представляет собой вклад высших твистов, поскольку меет нецелую степень.

нтересно отметить, что если бы вся зависимость от виртуалъно-си в эйконале строго факторизовалась, то полное сечение и вне ассовой оболочки подчинялось бы (в смысле зависимости от в) граничению Фруассара-Мартэна. Однако в общем случае такая акторизация отсутствует.

Упругое сечение

• Реджевский режим

(к

• Бьёркеновский режим

*el->8ra(0)(-) (-) ln[ijx) . (14

Интересно отметить, что

-£->0 (Ii

"tot

в отличие от предела 1/2 для случая всех частиц на массовой обе лочке.

В разделе "МОДЕЛЬ ДЛЯ (г,<52)" мы формулируем модель дл структурной функции протона Я2) и описываем эксперимев тальные данные при х < Ю-2. При этом также описывается эффе! тивный интерсепг (рис. 1) и ф-наклон.

Далее, в параграфе "<3 2- зависимость структурной функции", испош зуя пертурбативную КХД, мы получаем ф 2-зависимость коэффищ ентов с,(<32), с„.(£2):

где фI = 1.0 (Гэв2), а с", с", с[, с*2, с0, ¿х, ¿2 суть численны параметры, ¿1 ~ 0.74; ¿1 ~ —0.01.

В следующем разделе мы повторно описываем .Р2(®, ф2), эффектш ный интерсепт и <5-наклон, используя коэффициенты, полученные предыдущем разделе (см. рис. 6).

10"' 10"' 10"' Ю"4 10"3 10"г 10"' 1®"' 10"' ю"5 1 о"* 1С3 10~3 Ю"' 1«Г' 10"' 10"* ю"4 ю*-3 Ю"2 10"' 1

Рис. 6. Экспериментальные данные по протонной структурной функции ^2(2:, С?2) при средних С}2 и предсказания модели.

В разделе "ЭКСКЛЮЗИВНОЕ ФОТОРОЖДЕНИЕ ВЕКТОРНЫХ МЕЗОНОВ ВИРТУАЛЬНЫМИ ФОТОНАМИ" мы описываем экспериментальные данные по рождению векторных мезонов V = ра, 7/ Ф в процессе у*р —* Ур (см. рис. 7 и 8).

Рис.

» 2>

7. Сечение аг.р_рор(Цг, С?2) как функция

Рис. 8. Сечение ст.

как функция С~}2.

В разделе "ФОТОН-ФОТОННЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ" мы опиа ваем имеющиеся данные но сечению рассеяния виртуальных фотон-оу7.(У), где У = -7^==, = Шу7 (рис. 9).

.о

с

>

0*=3.5 Ой« . 1/5=91 СЕУ

из

40

ь

. 20

■О С

V, *

С-н-юво/*'

Рис. 9. Сечение ст7»7»(К, <?2) как функция У.

3 Заключении перечислены основные результаты, полученные в щссертационной работе.

В Приложении перечисляются: основные определения, постулаты аксиоматической S-матрицы.

В Приложении А приводится вывод используемого преобразования 1>урье-Бесселя. В Приложении Б вычисляется сечение эксклюзив-того рождения векторных мезонов. В Приложении В вычисляет-:я полное сечение рассеяния виртуального фотона на протоне. В Приложении Г выводятся асимптотические формулы для полного и упругого сечений при условии, что все частицы находятся !а массовой оболочке. В Приложении Д вычисляется разложение дифференциального сечения по функциям Бесселя для процессов с застицами на массовой оболочке. В Приложении Е вычисляется разложение дифференциального сечения по функциям Бесселя для 1роцессов с частицами вне массовой оболочки.

Список литературы

[1] Прокудин A.B. Эксклюзивное фоторождение векторных мезонов реальными и виртуальными фотонами. - В сб.: Труды Первой Открытой научной конференции для молодых учёных. - Дубна, 1997, с.84.

[2] Петров В.А., Прокудин A.B. Пригоден ли мягкий померон для описания данных с HERA? // Яд.Физ. 1999. Н.Э. Т.62, с. 1-6.

[3] Прокудин A.B. Справляется ли мягкий померон с данными HERA? - В сб.: Труды Второй Открытой научной конференции для молодых учёных. - Дубна, 1998, с.98.

[4] Petrov V.A., Prokudin A.V. Does the "Soft Pomeron" Cope with the HERA Data? - hep-ph/9711320, Report IHEP 97-69.

[5] Petrov V.A., Prokudin A.V. Regge Eikonal Approach versus Experimental Data. - In: Proceedings of EDS-99, Protvino, Russia, World Scientific Publishing 2000, p.95.

[6] Petrov V.A., Prokudin A.V. Description of the Proton Structure Function Fl{x, Q2) in the Framework of Extended Regge-Eikonal Approach. - hep-ph/9912248, Report IHEP 2000-9.

Рукопись поступила 10 ноября 2000 г.

Введение

РЕДЖЕ-ЭЙКОНАЛЬНАЯ

МОДЕЛЬ ДЛЯ ПРОЦЕССОВ С ЧАСТИЦАМИ НА МАССОВОЙ

ОБОЛОЧКЕ

Редже-Эйкональное приближение.

Модель.

Процедура фитирования экспериментальных данных

Борновский член.

Полная амплитуда в Редже-эйкональном подходе.

РАСШИРЕНИЕ РЕДЖЕ-ЭЙКОНАЛЬНОЙ МОДЕЛИ НА ПРОЦЕССЫ С

ВИРТУАЛЬНЫМИ ЧАСТИЦАМИ

МОДЕЛЬ ДЛЯ F$(x, Q2).

РЕЗУЛЬТАТЫ. ж-НАКЛОН ИЛИ dlnF$(x,Q2)/dln(l/x)

Q-EAKJ10RMmdF$(x,Q2)/dln(Q2).

Q2 зависимость структурной функции.

Проблема полюса при N — 0.

Параметризация вычетов и радиусов на основе ренормгруппового подхода в КХД.

РЕЗУЛЬТАТЫ ж-НАКЛОН ИЛИ д1пЕ$(х,(д2)/д1п(1/х) ф-НАКЛОН ИЛИ дР%(х,(д2)/д1п((д2).

Основные результаты работы можно перечислить следующим образом

1. Построено расширение Редже-эйконального подхода для процессов с участием виртуальных частиц, учитывающее принципы унитарности и аналитичности. на на степенную в присутствие такого масштаба. Это не противоречит ограничению Фруассара-Мартэна, поскольку при переходе на массовую оболочку восстанавливается логарифмическое асимптотическое поведение.

3. В работе доказано, что траектории Редже универсальны и современные экспериментальные данные не требуют введения новых неуниверсальных траекторий.

4. Получено описание имеющихся данных HERA с параметрами траекторий, взятыми из описания адронных процессов. Представлены предсказания на поведение структурной функции протона в различных кинематических областях.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе проведено исследование зависимости энергетического поведения сечений от дополнительного энергетического масштаба - виртуальности фотона и масс рождающихся частиц.

В первой главе в рамках Редже-эйкональной модели исследованы нуклонные процессы: рр и рр рассеяние. Фитирование полных, упругих и дифференциальных сечений показало, что для их описания необходимо введение невырожденных траекторий померона и оддерона. Получены значения интерсептов и наклонов этих траекторий. На данных линейных траекториях обнаружен кандидат в семейство померона. С помощью данных траекторий описаны полные и дифференциальные сечения процессов с участием фотонов 7р и 77.

На основе обобщённой Редже-эйкональной модели, позволяющей описывать процессы с присутствием виртуальных частиц, во второй главе описаны процессы эксклюзивного рождения векторных мезонов в реакциях 7*р Ур. Исследована структурная функция протона ^(ж,^2), получены ассимптотические формулы для неё в предельных режимах Редже и Бьёркена. Экспериментально полученные эффективный интерсепт ш - наклон описаны в рамках Редже-эйконального подхода. Проведено исследование полного сечения 7*7* рассеяния.

Было показано, что для описания современных данных введение дополнительных полюсов не является необходимым и то, что померонная траектория та-же в процессах с виртуальными частицами, что и в адронных процессах. Более быстрый рост полного сечения 7 *р и эксклюзивного рождения мезонов 7 *р —> Ур с увеличением виртуальности фотона является следствием влияния унитарных поправок и это переходное пред асимптотическое явление.

1. A.V. Kisselev, V.A. Petrov "Hadron Multiplicities at the Energies of LEP-1.5 and LEP-2" Phys.Atom.Nucl. 61 (1998) 657-658

2. A.V. Kisselev, V.A. Petrov "Dependence of Deep Inelastic Structure Functions on Quark Masses Phys.Atom.Nucl. 60 (1997) 1533-1539 "

3. G. F. Chew "The Analytic S-Matrix" W. A. Benjamin, Inc. 1966

4. П. Коллинз, Э. Сквайре "ПОЛЮСА РЕДЖЕ В ФИЗИКЕ ЧАСТИЦ" МИР 1971

5. П. Коллинз "ВВЕДЕНИЕ В РЕДЖЕВСКУЮ ТЕОРИЮ И ФИЗИКУ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЙ" Атомиздат 1980

6. Р. Идеи "СОУДАРЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСЦИЦ ПРИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЯХ" НАУКА 1970

7. Т. Regge Nuovo Cimento 14, 951 (19$9) Т. Regge Nuovo Cimento 18, 947 (1960)

8. G. N. Watson Proc. Roy. Soc. 95, 83 (1918)

9. A. Sommerfeld Partial diifferential equations in Physics, Academic Press 1949

10. F. Carlson Upsala Thesis 1914.

11. G. F. P. Chew, S. C. Frautchi Phys. Rev. Lett. 7, 394 (1961) G. F. P. Chew, S. C. Frautchi Phys. Rev. Lett. 8, 41 (1962)

12. S. Troshin, N. Tyurin, Yad. Fiz. 40, 1008 (1984).

13. J. R. Cudell, K. Kang, S. K. Kim "Soft Pomeron Intercept" hep-ph/9712235

14. P. Gauron, E. Leader, B. Nicolescu Nucl. Phys. B 299, 640 (1988) P. Gauron, E. Leader, B. Nicolescu Phys. Lett. B 238, 406 (1990)

15. L. Jenkovzky Fortsch. Phys. 34, 702 (1986)

16. Jenkovzky, A. Schelkovenko, B. Struminsky Z. Phys. C 36, 495 (1987)

17. E. Martynov "Soft Dipole Pomeron in hadronic elastic and in deep inelastic scattering" hep-ph/9910552 to be published in Proceedings of the Conference on Elastic and Difractive Scattering (Ylllth "Blois Workshop"), 28 June 2 July 1999, Protvino, Russia

18. P. Degrolard, M. Giffon, E. Predazzi Z. Phys. C 63, 241 (1994)

19. P. Degrolard, M. Giffon, L. Jenkovzky Z. Phys. C 55, 637 (1992)

20. C. Bourrely, J. Soffer, T. T. Wu Phys. Rev. D 19, 3249 (1979) C. Bourrely, J. Soffer, T. T. Wu Nucl. Phys. B 247, 15 (1984)

21. P. Desgrolard, M. Giffon, E. Martynov, E. Predazzi "Of Dips, Structures and Eikon-alization" hep-ph/0001149

22. R.J.M. Covolan, P. Degrolard, M. Giffon, L. Jenkovzky, E. Predazzi Z. Phys. C 58, 109 (1993)

23. P. Desgrolard, M. Giffon, E. Martynov, E. Predazzi Eur.Phys.J. С 9, 623 (1999)

24. P. Desgrolard, M. Giffon, E. Martynov "Elastic pp and pp scattering in the Modified Additive Quark Model" hep-ph/0004150

25. ZEUS collab.:M.Derrick et al., Phys. Lett. В 356, 601 (1995) ZEUS Collaboration, Phys. Lett. В 350, 120 (1995)

26. ZEUS Collaboration, Z. Phys. С 69, 39 (1995)

27. S. Aid et al., HI Collaboration Nucl. Phys. В 463, 3 (1996)

28. S. Aid et al., HI Collaboration Nucl. Phys. В 468, 3 (1996)

29. S. Aid et al., HI Collaboration Nucl. Phys. В 472, 3 (1996)

30. ZEUS Collaboration, Phys. Lett. В 377, 259 (1996)

31. ZEUS Collaboration, Phys. Lett. В 380, 220 (1996)

32. ZEUS Collaboration, Z. Phys. С 75, 215 (1997)

33. ZEUS Collaboration, Z. Phys. С 76, 599 (1997)

34. ZEUS Collaboration, Eur.Phys.J. С 6, 603 (1999)

35. С. Adloffet al., HI Collaboration Eur.Phys.J. С 13, 371 (2000)

36. HI Collaboration: C. Adloff, et al Phys. Lett. В 484, 23 (2000)

37. HI Collaboration: C. Adloff, et al Phys. Lett. В 484, 360 (2000)

38. В.Де Альфаро и др.:"Токи в физике адронов"МИР(1976).

39. HI Collaboration Nucl. Phys. В 439, 471 (1995)

40. J. I. Fleck (on behalf of Zeus collaboration) "Measurement of the Proton Structure

41. Function F2 and the Extraction of the Gluon Density at Small ж" hep-ex/9506011

42. ZEUS Collaboration Z. Phys. С 69, 607 (1996)

43. ZEUS Collaboration Z. Phys. С 72, 399 (1996)

44. HI Collaboration: S. Aid et al. Phys. Lett. В 392, 234 (1997)

45. ZEUS Collaboration Phys. Lett. В 407, 432 (1997)

46. С. Adloff, et al., HI Collaboration Nucl. Phys. В 497, 3 (1997)

47. ZEUS Collaboration Eur.Phys.J. С 7, 609 (1999)

48. Christoph Amelung for the ZEUS Collaboration Nucl.Phys.Proc.Suppl. 79 176 (1999)

49. ZEUS Collaboration Eur.Phys.J. C 12, 35 (2000)

50. V. V. Anisovich, L. G. Dakhno, D. I. Melikhov, V. A. Nikonov, M. G. Ryskin Phys. Rev. D 60, 074011 (1999)

51. V.S. Fadin "BFKL pomeron in the next-to-leading approximation" Phys. Lett. B 429, 127 (1998)

52. M. Ciafaloni and G. Camici , hepph/903389 D. Ross, hep-ph/9804332

53. A Donnachie, P V Landshoff "Exclusive Vector Photoproduction: Confirmation of Regge Theory" Phys. Lett. B 478, 146 (2000)

54. A Donnachie, P V Landshoff "Small x: Two Pomerons! " Phys. Lett. B 437, 408 (1998)

55. Halina Abramowicz and Aharon Levy, The ALLM parameterization of atot(^*p) an update, DESY 97-251, hep-ph/9712415 (1997)

56. M. Bertini, M. Giffon, E. Predazzi Phys. Lett. B 349, 561 (1995)

57. Michael Pichowsky, Cetin Savkli, Frank Tabakin Phys. Rev. D 53, 593 (1996) M. A. Pichowsky, T.-S. H. Lee Phys. Lett. B 349, 561 (1995)

58. P. Desgrolard, A. Lengyel, E. Martynov Eur.Phys.J. C 7, 655 (1999)

59. P. Desgrolard, A. Lengyel, E. Martynov "The proton structure function and a soft Regge Dipole Pomeron: a test with recent data" hep-ph/9811380

60. A. Capella, E. G. Ferreiro, A. B. Kaidalov, C. A. Salgado "Deep Inelastic Scattering Data and the Problem of Saturation in Small-x Physics" hep-ph/0006233

61. A. Capella, A. Kaidalov, C. Merino and J. Tran Thanh Van Phys. Lett. B 337, 358 (1994)

62. E. Gotsman, E. Ferreira, E. Levin, U. Maor, E. Naftali "Screening corrections in DIS at low Q2 and x " hep-ph/0007274

63. E. Levin "Screening Effects on F2 at Low x and Q2" hep-ph/9908379 E. Gotsman, E. Ferreira, E. Levin, E. Naftali Nucl. Phys. B 539, 535 (1999)

64. A. M. Stasto, K. Golec-Biernat and J. Kwicinski "Geometric scaling for the total 7*p cross section in the low x region" hep-ph/0007192

65. A. D. Martin, R. G. Roberts and W. J. Stirling Phys. Lett. B 354, 155 (1995) H. L. Lai et all Phys. Rev. D 51, 4763 (1995)

66. M. Gük, E. reya and A. Voght, Zeit. Phys C48 471 (1990) M. Gük, E. reya and A. Voght, Zeit. Phys C53 127 (1992) M. Gük, E. reya and A. Voght, Zeit. Phys C67 433 (1995)

67. R. D. Ball and S. Forte Phys. Lett. B 335, 77 (1994) R. D. Ball and S. Forte Phys. Lett. B 336, 77 (1994)

68. R. D. Ball and S. Forte Phys. Lett. B 351, 313 (1995) R. D. Ball and S. Forte Phys. Lett. B 358, 365 (1995)

69. J. R. Forshaw, R. G. Roberts and R. S. Thorne Phys. Lett. B 356, 79 (1995)

70. W. L. van Neerven, A. Vogt "Parton densities and structure functions beyond the next-to-leading order" hep-ph/0006230

71. R. S. Thorne "A Complete Leading-Order, Renormalization-Scheme-Consistent Calculation of Small-x Structure functions, Including Leading-ln(l/x) Terms" hep-ph/9701241

72. A. Donnachie, S. Soldner-Rembold "7*7* reaction at high energies" hep-ph/0001035 A. Donnachie, H. G. Dosch, M. Rueter Eur.Phys.J. C 13, 141 (2000)

73. R. M. Godbole, A. Grau, G. Pancheri Nucl.Phys.Proc.Suppl. 82 246 (2000)

74. M. M. Block, E. M. Gregores, F. Halzen, G. Pancheri "Photon-Photon and PhotonProton Scattering from Nucleon-Nucleon Forward Amplitudes" Phys. Rev. D 60, 0 (5)4024 (1999)

75. M. M. Block "Are We really Measuring the p-Value?" hep-ph/9510288

76. G. A. Schuler, T. Sj¿strand Z. Phys. C 73, 677 (1997)

77. R. Engel and J. Ranft Phys. Lett. B 54, 4244 (1996) R. Engel and J. Ranft Z. Phys. C 66, 203 (1995)

78. C. Bourrely, J. SofFer, Tai Tsun Wu "Impact-picture predictions for the 77 total cross section at LEP" hep-ph/9903438

79. E. Gotsman, E. Levin, U. Maor, E. Naftali Eur.Phys. J. C 14, 511 (2000)

80. E. Gotsman, E. Levin, U. Maor Eur.Phys.J. C 5, 303 (1998)

81. R. Blankenbecler, M. L. Goldberger Phys. Rev. D 126, 766 (1962).

82. A. A. Logunov, A. N. Tavkhelidze Nuovo Cimento 29, 380 (1963).

83. L. Van-Hove, Phys. Lett. B 24, 183 (1967).

84. R. C. Arnold, Phys. Rev. D 153, 1533 (1967).

85. Cheng H., Wu T. T., Phys. Rev. D 186, 1611 (1969). Cheng H., Wu T. T., Phys. Rev. Lett. 24, 1456 (1970).

86. L. D. Soloviev "Gluballs in the String Quark Model" hep-ph/0006010

87. J. Tang, J. W. Norbury "Properties of Regge Trajectories" hep-ph/0004078

88. P. Desgrolard, M. Giffon, E. Martynov, E. Predazzi " Exchange-degenerate Regge trajectories: a fresh look from resonance and forward scattering regions" hep-ph/0006244

89. A. Donnachie and P.V. Landshoff, Phys. Lett. B 437, 408 (1998)

90. P.V. Landshoff, "The Soft Pomeron" in the proceedings of DIS 96 Editors G.D'Agostini and A. Nigro. WSP 1996 323

91. L.N. Lipatov Sov. J. Nucl. Phys. 23, 338 (1976)

92. E.A. Kuraev, L.N. Lipatov and V. S. Fadin Phys. Lett. B 60, 50 (1975), Sov. Phys. JETP 44, 443 (1976);

93. Ya. Ya. Balitskii and L.N. Lipatov Sov. J. Nucl. Phys. 28, 822 (1978)

94. N. N. Nikolaev and V. R. Zoller JETP Lett. 69, 103 (1999); JETP Lett. 69, 187 (1999).

95. Pierre Gauron, Basarab Nicolescu "A Possible Two-Component Structure of the Non-Perturbative Pomeron" hep-ph/0004066

96. M. Froissart, Phys. Rev. D 123, 1053 (1961) A. Martin, Phys. Rev. D 129, 993 (1963).

97. P. Desgrolard, M. Giffon, E. Martynov, E. Predazzi "Of Dips, Structures and Eikon-alization" hep-ph/0001149, LYCEN 99132, DFTT 95/69.

98. R. J. M. Covolan, P. Degrolard, M. Giffon, L. L. Jenkovszky, E. Predazzi, Z. Phys. C 58, 109 (1993)

99. A. Donnachie, P. V. Landshoff "Total cross sections" Phys. Lett. B 296, 227-232 (1992)

100. J.-R. Cudell, Kyungsik Kang, Sung Ku Kim "Simple Model for Total Cross Sections" hep-ph/9701312 Presented at "The State of Physics at the End of the 20th Century" CARRUTHERS61

101. Review of Particle Physics Eur.Phys.J. C 15, 1-878 (2000)

102. V.V. Ezhela, S.B. Lugovsky, N.P. Tkachenko Eur.Phys.J. C 3, 205 (1998)

103. J. R. Cudell, V. Ezhela, K. Kang, S. Lugovsky, N. Tkachenko "High-Energy Forward Scattering and the Pomeron: Simple Pole versus Unitarized Models" Phys. Rev. D 61, 034019 (2000)

104. P. Desgrolard, M. Giffon, A. Lengyel, E. Martynov, Nuovo Cimento 107A, 637 (1994)

105. J. Finkelshtein, H. M. Fried, K. Kang, C-I Tan, Phys. Lett. B 232, 257 (1989) E. S. Martynov, ibid., 367

106. C. Adloffet al, HI Collaboration submitted to Eur. Phys. J C, DESY 99-010, hep-ex/9902019

107. V. A. Petrov in "Frontiers In Strong Interactions" Edited by P. Chiappetta, M. Haguenauer, J. Trân Thanh Van. p.139

108. P. Desgrolard, A. Lengyel, E. Martynov, Eur.Phys.J. C 7, 655 (1999)

109. N. M. Kroll, T. D. Lee, B. Zumino Phys. Rev. D 157, 1376 (1967)

110. V. A. Petrov, A. P. Samokhin Phys. Lett. B 237, 500 (1990)

111. K. Adel, F. Barreiro, F.J. Yndurâin, Nucl. Phys. B 495, 211 (1997)

112. Jenkovszky, E.Martynov, F. Paccanoni, Regge behaviour of nucléon structure function. PFDP 95/TH/21, Padova University (1995)

113. W. Buchmuller, D. Haidt, Double-logarithmic Scaling of the Structure Function F2 at small x DESY 96-061; hep-ph/9605428 (1996)

114. D. Schildknecht, H. Spiesberger Generalized Vector Dominance and low x inelastic electron-proton scattering BI-TP 97/25;hep-ph/9707447 (1997)

115. P. Desgrolard et al., Phys. Lett. B 309, 191 (1993).

116. A. Capella et al, Phys. Lett. В 349, 561 (1995).

117. H. Abramovicz et al, Phys. Lett. В 269, 465 (1991).

118. Halina Abramowicz and Aharon Levy, The ALLM parameterization of аш(-у*р) an update, DESY 97-251, hep-ph/9712415 (1997);

119. A Donnachie, The two pomerons, in Proceedings of the summer school on hadron-ic aspects of collider physics, Zuoz, 1994, edited by E.P. Locher (Villigen, PSI-Proceedings, 94-01, 1994), p. 135;

120. M. Bertini, M. Giffon, E. Predazzi, Phys. Lett. В 349, 561 (1995);

121. A Donnachie, P V Landshoff, Small x: Two Pomerons/, Phys. Lett. В 437, 408 (1998);

122. С. Merino, A. B. Kaidalov, D. Pertermann The CKMT Model and the Theoretical Description of the Caldwell-plot hep-ph/9911331.

123. V. Petrov, Proc. of the Vlth Blois Workshop, Editions Frontières, 1995 p. 139-,Nucl. Phys. В 54A, 160 (1997)(Proc. Suppl.)

124. V. Petrov, A. Prokudin, "Extended Regge Eikonal Approach versus Experimental Data" ,m the proceedings of the International Conference on Elastic and Diffractive Scattering, Russia, Protvino 1999 p. 95

125. G. Altarelli, G. Parisi Nucl. Phys. В 126, 298 (1977) Yu. L. Dokshitzer Sov. Jour. JETP 46 641 (1977)

126. N. Lipatov Sov. Jour. Nucl. Phys. 20 95 (1975)

127. V. N. Gribov and L. N. Lipatov Sov. Jour. Nucl. Phys. 15 438 (1972)

128. J. R. Forshaw and D. A. Ross "Quantum Chromodynamics and the Pomeron"

129. Cambridge Universiry Press 1997 p. 155

130. Ф. Индурайн "Квантовая хромодинамика" МИР 1986;

131. R. D. Field "Application of perturbative QCD" Addison-Wesley 1989.

132. А. Н. Muller Nucl. Phys. В 213, 85 (1983)

133. E. G. Floratos, C. Kounnas, R. Lacaze "Higher Order QCD Effects in Inclusive Annihilation and Deep inelastic scattering" Nucl. Phys. В 192, 417 (1981)

134. V. Petrov, A. Prokudin, "Does the "Soft Pomeron" Cope with the HERA Data?" ,hep-ph/9711S20

135. V. Petrov, A. Prokudin, "Is the 'Soft Pomeron' Valid for the Description of the Data from HERA?" ,hep-ph/9706257 Yad.Fiz 9 62 1 (1999)

136. A. P. Samokhin in proceedings of the XVIII Workshop on High Energy Physics and Field Theory, p. 254, Protvino, 1996

137. V. A. Petrov, A. P. Samokhin Phys. Lett. В 237, 500 (1990)

138. С. В. Аккелин, Е. С. Мартынов Яд. Физ. 53 1645 (1991)

139. Брычков , Прудников т. III "Интегралы, Ряды, Специальные функции" Наука стр. 186 (1986)

140. Г. Корн , Т. Корн "Справочник по математике" Наука (1973)