κ-вполне транзитивные абелевы группы без кручения

Рогозинский, Михаил Иванович

κ-вполне транзитивные абелевы группы без кручения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Рогозинский, Михаил Иванович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Томск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.06 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «κ-вполне транзитивные абелевы группы без кручения»

Автореферат диссертации на тему "κ-вполне транзитивные абелевы группы без кручения"

На правах рукописи

Рогозинский Михаил Иванович /г-вполне транзитивные абелевы группы без кручения

01.01.06 — Математическая логика, алгебра и теория чисел

7 НОЯ 20)3

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Томск 2013 005537463

005537463

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет», на кафедре алгебры.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Гриншпон Самуил Яковлевич

Официальные оппоненты:

Пестов Герман Гаврилович, доктор физико-математических наук, профессор, федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет», кафедра математического анализа, профессор

Ельцова Тамара Александровна, кандидат физико-математических наук, доцент, федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники», кафедра высшей математики, доцент

Ведущая организация:

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт математики имени С.Л. Соболева СО РАН, г.Новосибирск

Защита состоится 28 ноября 2013 г. в 18 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.267.21, созданного на базе федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет», по адресу: 634050, Томск, ул. Ленина, 36 (корпус 2, ауд. 304).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Томского государственного университета.

Автореферат разослан 25 октября 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Малютина

Александра Николаевна

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В классе абелевых групп значительный интерес представляют группы, насыщенные эндоморфизмами. К таким группам относятся вполне транзитивные абелевы группы. Первоначально, понятие вполне транзитивности возникло в контексте изучения вполне характеристических подгрупп р-групп, но вскоре приобрело самостоятельную ценность как объект исследования.

Для редуцированных абелевых р-групп понятие «вполне транзитивность» ввел И. Капланский: редуцированная абелева р-группа называется вполне транзитивной, если для любых ее элементов а и Ь, для которых Н(а) < Н(Ь), где Н(а), Н(Ь) — индикаторы элементов а и Ь соответственно, существует эндоморфизм этой группы, переводящий а в Ь ([14]). И. Капланский показал, что всякая сепарабельная редуцированная р-группа является вполне транзитивной. Далее, он ставит вопрос, будет ли всякая р-группа вполне транзитивной.

В [29] П. Хилл показал, что всякая тотально проективная р-группа является вполне транзитивной. А. Корнер ([21]) изучал вполне транзитивные р-группы в связи с действием кольца эндоморфизмов Е{А) на ршА. Он построил пример редуцированной р-группы, не являющейся вполне транзитивной. С. Файле и Б. Голдсмит рассматривают вполне транзитивность прямых сумм р-групп ([25]). Свойства вполне транзитивных р-групп рассматривались в ряде работ (см., например, [12], [13], [21], [25], [26], [29]).

В [2] показано, что всякая р-группа, первая ульмовская подгруппа которой циклическая, является вполне транзитивной. С.Я. Гриншпоном доказана теорема ([2]), выделяющая широкий класс р-групп, не являющихся вполне транзитивными.

П.А. Крылов в [7] по аналогии с понятием вполне транзитивности дляр-групп вводит понятие вполне транзитивной абелевой группы без кручения. Редуцированная абелева группа без кручения называется вполне транзитивной, если для любых двух элементов а и Ь, таких, что х(а) — х(р)> гДе х(а), х(6) — характеристики элементов а и Ь соответственно, существует эндоморфизм этой группы, переводящий а в Ъ.

Изучению вполне транзитивных групп без кручения и различных важных подклассов таких групп посвящено большое количество работ (см., например,

[2], [3], [5], [6], [8], [9], [10], [16], [17], [18], [19], [22], [27], [28]).

В [4] С. Я. Гриншпон и В. М. Мисяков рассматривают понятие «вполне транзитивность» для произвольной абелевой группы (в том числе и нередуцированной), которое формулируется в терминах высотных матриц и согласуется с соответствующими понятиями дляр-групп и групп без кручения. Это понятие уточнялось в [2]. Вполне транзитивные смешанныер-локальные абелевы группы изучаются С. Файлсом в [24]. Там же показано, что редуцированная ранга 1 без кручения р-локальная группа вполне транзитивна, если ее периодическая часть сепарабельна. Вполне транзитивность редуцированной р-адической алгебраически компактной группы установлена А. Мадером в [31]. Исследование вполне транзитивности прямых произведений абелевых групп проведено В. М. Мисяковым в [11].

Ряд содержательных результатов о вполне транзитивных группах и их К-прямых суммах получены С. Я. Гриншпоном ([1], [2], [3]).

Естественным обобщением вполне транзитивности является понятие к-вполне транзитивности. Истоки этого понятия лежат в известной теореме линейной алгебры, говорящей о том, что всякую линейно независимую систему, состоящую из п векторов можно перевести линейным оператором в произвольную систему, состоящую из того же количества векторов.

Понятие /с-вполнс транзитивности для абелевых р-групп ввел в [20] Д. Кэрролл в следующем виде.

Пусть б — абелева р-группа и Ь € N. Группа С называется к-вполне транзитивной, если для любых кортежей X = {х\, ...,Хк), у = (ух, ...,ук) элементов группы б из выполнения условий:

(1) Я(х,) < Н(у() для всех г = 1, к;

(2) кортеж X высотно независим, в том смысле, что при г ф j к{гх{) ^ И(зх^) для всех целых г, кроме случая гх^ = вх^ = 0;

следует существование эндоморфизма в € Е(С) со свойством 0(хд = У1 {1 = 1, к).

Там же Д. Кэрролл показал, что тотально проективные и сепарабельные р-группы являются ¿-вполне транзитивными для всех к 6 N.

В настоящей диссертационной работе вводится понятие ¿-вполне транзитивности для абелевых групп без кручения.

Пусть (7 — абелева группа без кручения и А; £ N. Кортеж X = {х\, ...,3^)

ненулевых элементов группы С? назовем 1;-независимым, если при г ф ] t(xi} несравним с для всех г, = 1, к.

Пусть С?— абелева группа без кручения и I- 6 N. Группа С называется к-вполне транзитивной, если для любых кортежей длины к X — (х1,..., Хк); У = (у1, Ук) элементов группы С? из выполнения условий:

(1) х(я>) < хШ для всех г = 1,к;

(2) кортеж X — ^независим;

следует существование эндоморфизма в группы (3, такого что в(х,) = у, для всех г = 1, к.

Показано, что замена условия ^независимости кортежа X на его линейную независимость значительно сужает класс рассматриваемых групп.

Цель работы. Целью диссертационной работы является исследование свойств ¿-вполне транзитивных абелевых групп без кручения и описание /е-вполне транзитивных групп в различных классах абелевых групп без кручения.

Общая методика исследования. В диссертации используются методы теории абелевых групп и модулей, а также некоторые идеи и факты, связанные с комбинаторикой.

Научная новизна. Все основные результаты диссертационной работы являются новыми. Основными результатами работы можно считать следующие.

• Найдено значение ^длины для однородно разложимых групп, удовлетворяющих условию контрастности для типов.

• Исследована связь между ^независимостью и линейной независимостью в /с-вполне транзитивных группах.

• Доказано, что абелева группа без кручения й-вполне транзитивна для некоторого к > 1 тогда и только тогда, когда /г-вполне транзитивна ее редуцированная часть.

• Показано, что вполне разложимые группы без кручения ранга 2 являются /с-вполнс транзитивными для всех к > 1.

• Найдены необходимые и достаточные условия /с-вполне транзитивности вполне разложимых групп из некоторых классов.

• Для вполне разложимых групп с жесткой системой прямых слагаемых ранга 1 доказано, что из /с-вполне транзитивности для некоторого к > 1

следует (к + 1)-вполне транзитивность. При этом приведены примеры, когда обратное неверно.

• Полностью описаны однородно сепарабельные (в том числе однородно разложимые, сепарабельные и вполне разложимые) группы без кручения, являющиеся /г-вполне транзитивными при всех к £ N.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертационной работы имеют теоретическое значение и могут быть использованы в исследованиях по теории абелевых групп и модулей, а также при чтении спецкурсов для бакалавров, магистрантов и аспирантов.

Апробация результатов. Результаты диссертационной работы докладывались на XIII Всероссийской конференции студентов, апирантов и молодых ученых «Наука и образование» (Томск, 2009), Международных молодежных научных форумах «Ломоносов-2011», «Ломоносов-2013» (Москва, 2011. 2013), на II Всероссийской молодежной научной конференции «Современные проблемы математики и механики» (Томск, 2011), на всероссийском симпозиуме «Абелевы группы и модули» (Бийск, 2012), на Всероссийской конференции по математике и механике, посвященной 135-летию Томского государственного университета и 65-летию Механико-математического факультета (Томск, 2013).

Основные результаты неоднократно докладывались на семинарах кафедры алгебры Томского государственного университета и дважды — на семинаре кафедры алгебры Московского государственного педагогического университета (2011, 2013). По теме диссертации опубликовано 8 работ.

Структура и объем работы. Данная диссертационная работа состоит из введения, списка обозначений, трех глав и списка литературы, работа изложена на 80 страницах. Библиография содержит 39 наименований.

Содержание работы. Все рассматриваемые в работе группы являются абелевыми.

В первой главе диссертации вводятся ключевые понятия 1;-длины и к-вполне транзитивности для групп без кручения и рассматриваются некоторые общие свойства данных понятий.

Первый параграф содержит основные определения и известные результаты, используемые в работе.

Во втором параграфе вводятся понятия ^¡-независимости, 1-длины и к-вполне транзитивности для групп без кручения. В этом параграфе исследована связь между ^независимостью и линейной независимостью и найдены значения -длины для однородно разложимых групп, удовлетворяющих условию контрастности для типов.

Условие контрастности для типов было введено в [1] и означает следующее.

Говорят, что однородно разложимая группа С — ф {Т — некоторое

<еТ

множество типов) удовлетворяет условию контрастности для типов, если для всяких двух типов 6 Т и любого простого числа р, такого что

рСи ± имеет место рС(2 = (?<2.

-длина группы б (обозначается (С)) — это наибольшая длина независимого кортежа в группе б. Если в группе С для всякого к 6 N существует ^независимый кортеж длины к, то полагаем /сг(б) = оо.

Основными результатами второго параграфа являются следующие теоремы.

Теорема 2.4. Пусть С? = Ф (?< — однородно разложимая редуцирован-

гет

ная группа. Если С? удовлетворяет условию контрастности для типов, то ^(в) = с!Ч если \Т\=п и А*(<3) = оо, если |Т| > К0.

Теорема 2.6. Пусть к > 2 и С является к-вполне транзитивной группой. Тогда всякий Ь-независимый кортеж длины к является линейно независимым.

Третий параграф первой главы посвящен изучению семейства прямых слагаемых ¿-вполне транзитивных групп без кручения. В этом параграфе также установлено, что при исследовании к-вполне транзитивных групп без кручения можно ограничиться редуцированными группами.

В начале параграфа вводится следующее понятие.

Пусть к 6 N и М = {С?г}1б/ семейство групп без кручения. Семейство М назовем ¿-вполне транзитивным семейством групп, если для каждой пары групп (С7г-, (З,), j € I и любых двух кортежей X = (х\,..., хь); У = (Уи •••, У к) элементов групп С?,-, С^ соответственно из выполнения условий

(1) х(я») < хЫ Для всех г = 1, /е;

(2) кортеж X — ^независим;

следует существование в 6 Нот(Сч, С,-), такого что в(хг) = у; (г = 1, к).

Основными результатами третьего параграфа являются следующие теоремы.

Теорема 3.2. Пусть к € N. Если группа без кручения С = ф 6ч являет-

¿е/

ся к-вполне транзитивной группой, то семейство М = {С,}^ является к-вполне транзитивным семейством групп.

Теорема 3.5. Группа без кручения С к-вполне транзитивна для некоторого к > 1 тогда и только тогда, когда к-вполне транзитивна ее редуцированная часть.

Вторая глава состоит из двух параграфов и посвящена исследованиям к-вполне транзитивности вполне разложимых групп.

Для вполне разложимых групп ранга 2 получен следующий результат. Теорема 4.1. Вполне разложимые группы без кручения ранга 2 являются к-вполне транзитивными для всех к > 1.

Далее в параграфе 4 рассматриваются вполне разложимые группы

С = 0 Лг, семейство прямых слагаемых ранга 1 которых {А{}{е1 образует ¡е/

жесткую систему групп. Для таких групп получены необходимые и достаточные условия ^-вполне транзитивности для произвольного натурального к.

Для удобства введем следующее обозначение. Для всякого J С / обозначим ^ = т£и. В частности, если J = {г}, то tJ = =

ге.7

Теорема 4.5. Пусть С7 = фЛ* — вполне разложимая группа, семей-

¿61

ство прямых слагаемых ранга 1 которой { Л,}ге/ образует жесткую систему групп, и пусть к £ N. Группа С является к-вполне транзитивной тогда и только тогда, когда для любых конечных множеств ,/г,..., ^ С I, таких что типы и несравнимы при тфп, выполнены условия

I. Зт П Зп = 0 при т ф п;

II. группы (Зт = ф А, удовлетворяют условию контрастности для ти-

__¿еЛп

пов (т = 1, к);

III. если для некоторого конечного множества ,7 С / и числа т = 1, к справедливо tJ > то 3 С

В пятом параграфе рассмотрена зависимость между к-вполне транзитивностью и (к + 1)-вполне транзитивностью для групп указанного строения. Доказан следующий результат.

Теорема 5.1. Пусть С? = фЛ* — вполне разложимая группа, семей-

ство прямых слагаемых ранга 1 которой {Л,}ге/ образует жесткую систему групп. Если группа (7 является к-вполне транзитивной для некоторого к > 1, то б также (к+ 1)-вполне транзитивна.

В этом параграфе приведен пример вполне разложимой 3-вполне транзитивной группы, не являющейся 2-вполне транзитивной, а также пример вполне разложимой группы, не являющейся ¿-вполне транзитивной ни для какого А; € N.

Третья глава состоит из двух параграфов и посвящена исследованию к-

вполне транзитивности однородно разложимых и сепарабельных групп.

Шестой параграф начинается с описания условия контрастности для типов

в более удобной для дальнейшего исследования форме.

Предложение 6.1. Однородно разложимая группа С = ф С?г удовле-

teГ

творяет условию контрастности для типов тогда и только тогда, когда

для любых различных € Т тип ^ - t2 — делимый.

Следующий результат описывает связь между вполне транзитивностью и

¿-вполне транзитивностью для однородно разложимых групп.

Теорема 6.3. Пусть б = ф йь — однородно разложимая группа, при-

ьет

чем |Т| > 2. Если (7 вполне транзитивна, то С не является к-вполне транзитивной для всех к, таких что 1 < к < к^(С).

Напомним определение однородно сепарабельной группы. Группа без кручения С называется однородно сепарабельной, если существует такое семейство £ однородных прямых слагаемых этой группы, что каждое конечное множество элементов группы С можно вложить в прямое слагаемое этой группы, являющееся прямой суммой некоторых групп из семейства С, ([3]).

В параграфе 7 исследуется /с-вполне транзитивность однородно сепарабельных групп (в том числе вполне разложимых, сепарабельных и однородно разложимых групп без кручения) при всех значениях к. Доказаны следующие результаты.

Теорема 7.1. Однородно разложимая группа С = ф бг является к-

геТ

вполне транзитивной для всех к £ N тогда и только тогда, когда (? удовлетворяет одному из следующих условий: (/) б — однородная вполне транзитивная группа;

(II) в = ф где <3(1, <3(.2 — вполне транзитивные группы различных

типов, причем • —делимый тип.

Теорема 7.2. Однородно сепарабельная группа без кручения в является

к-вполне транзитивной для всех к € N тогда и только тогда, когда либо

С? — однородная вполне транзитивная группа, либо С представима в виде

С = ф С^, где , С^ — однородные вполне транзитивные группы

различных типов ^ Ь2, причем тип t1 • t2 - делимый.

Следствие 7.3. Сепарабельная группа является к-вполне транзитивной

для всех к € N тогда и только тогда, когда С — однородная группа или С?

представима в виде прямой суммы двух однородных групп различных типов

и удовлетворяет условию контрастности для типов.

Для формулировки следующего результата, нам понадобится следующее

обозначение: /г (а) — для элемента а однородно разложимой группы

О = ф С4 — это множество типов t € Т, таких что щ(а) ^ О (7Г4 — проекция <ет

группы б на прямое слагаемое С^).

Теорема 7.4. Пусть С? — вполне разложимая группа ий = ф бч — ее

<е т

каноническое разложение. Эквивалентны следующие утверждения:

1. Группа О к-вполне транзитивна для всех к 6 М;

2. в — однородная группа или б = фС?(2, причем Ь) ■ — делимый тип;

3. в удовлетворяет условию контрастности для типов и

НС) < 2;

4. б удовлетворяет условию контрастности для типов и

\Т\ < 2;

5. в удовлетворяет условию контрастности для типов и для любых элементов а, Ь € в с несравнимыми типами справедливо 1т(а) П 1т(Ь) = 0.

Автор искренне благодарит научного руководителя профессора Самуила Яковлевича Гриншпона за постановку задач, внимание к моей научной работе, помощь в оформлении статей и данной диссертации.

Список литературы

[1] Гриншпон С. Я. О строении вполне характеристических подгрупп абеле-вых групп без кручения // Абелевы группы и модули. — 1982. — С. 56-92.

[2] Гриншпон С. Я. Вполне характеристические подгруппы абелевых групп и вполне транзитивность // Фундамент, и прикл. матем. — 2002. — Т. 8. - № 2. - С. 407-473.

[3] Гриншпон С. Я. Вполне транзитивные однородно сепарабельные группы // Матем. заметки. — 1997. — № 62. — С. 471-474.

[4] Гриншпон С. Я. О вполне транзитивных абелевых группах / С. Я. Гриншпон, В. М. Мисяков // Абелевы группы и модули. — 1986. — С. 12-27.

[5] Добрусин Ю. Б. Квазисервантно инъективные и транзитивные абелевы группы без кручения // Рукопись деп. в ВИНИТИ. — 1977. № 2942-77 ДЕП.

[6] Добрусин Ю. Б. Квазисервантно инъективные группы // Абелевы группы и модули. — 1979. — С. 45-63.

[7] Крылов П. А. О вполне характеристических подгруппах абелевых групп без кручения // Сборник асп. работ по матем. — 1973. — С. 15-20.

[8] Крылов П. А. Сильно однородные абелевы группы без кручения // Сиб. матем. ж. - 1983. - № 2. - С. 77-84.

[9] Крылов П. А. Некоторые примеры квазисервантно инъективных и транзитивных абелевых групп без кручения // Абелевы группы и модули. — 1988. - Вып. 7. - С. 81-99.

[10] Крылов П. А. Вполне транизтивные абелевы группы без кручения // Алгебра и логика. - 1990. - Т. 29. - № 5. - С. 549-560.

[И] Мисяков. В. М. Вполне транзитивность редуцированных абелевых групп // Абелевы группы и модули. — 1994. — С. 134-156.

[12] Мишина А. П. Абелевы группы // Алгебра. Топология. Геометрия. Т. 10. (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР). - 1972. - С. 5-45.

[13] Мишина А. П. Абелевы группы // Алгебра. Топология. Геометрия. Т. 17. (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР). - 1979. - С. 3-63.

[14] Фукс JI. Бесконечные абелевы группы / JI. Фукс — М.: Мир, 1974. — Т. 1.

- 335 с.

[15] Фукс JI. Бесконечные абелевы группы / JI. Фукс — М.: Мир, 1977. — Т. 2.

- 416 с.

[16] Чехлов А. Р. О разложимых вполне транзитивных группах без кручения // Сиб. матем. журнал. - 2001. - Т. 42. - № 3. - С. 714-719.

[17] Чехлов А. Р. Об одном классе эндотранзитивных групп // Матем. заметки. - 2001. - Т. 69/ - № 6/ - С. 944-949.

[18] Чехлов А. Р. Вполне транзитивные группы без кручения конечного р-ранга // Алгебра и логика. - 2001. - Т. 40. - № 6. - С. 698-715.

[19] Arnold D. М. Strongly homogeneous torsion free abelian groups of finite rank // Proc. Amer. Math. Soc. - 1976. - V. 56. - P. 67-72.

[20] Carroll D. Multiple transitivity in abelian groups // Arch. Math. — 1994. — Vol. 63. - P. 9-16.

[21] Corner A. L. The independence of Kaplansky's notions of transitivity and full transitivity // Quartery J. Math. - 1976. - V. 27. - P. 15-20.

[22] Dugas M. E-transitive groups in L / M. Dugas, S. Shelah // Contemp. Math.

- 1989. - V. 87. - P. 191-199.

[23] Engel K. Sperner theory // Camb. Univ. Press. — 1997. — 120 p.

[24] Files S. On transitive mixed abelian groups // Lect. Notes, in Pure and Appl. Math. - 1996. - V. 182. - P. 2-251.

[25] Files S. Transitive and fully transitive groups / S. Files, B. Goldsmith // Proc. Amer. Math. Soc. - 1998. - V. 126. - № 6. - P. 1605-1610.

[26] Griffith P. Transitive and fully transitive primary Abelian groups // Pacific J. Math. - 1968. - V. 25. - № 2. - P. 249-254.

[27] Grinshpon S. Ya. Fully invariant subgroups, full transitivity and homomorphism groups of Abelian groups / S. Ya. Grinshpon, P. A. Krylov // Journal Math. Sciences. - 2005. - V. 128. - № 3. - P. 2894-2997.

[28] Hausen J. E-transitive torsion-free abelian groups // J. Algebra. — 1987. № 1. - P. 17-27.

[29] Hill P. On transitive and fully transitive primary groups // Proc. Amer. Math. Soc. - 1969. - V. 22. - № 2. - P. 414-417.

[30] Kaplansky I. Infinite Abelian groups // Michigan. — Ann Arbor. — Univ. Michigan Press. — 1968. — 94 p.

[31] Mader A. The fully invariant subgroups of reduced algebraically compact groups // Pubis. Math. - 1970. - V. 17. - № 1-4. - P. 299-306.

Статьи, опубликованные в журналах, которые включены в перечень российских рецензируемых научных журналов и изданий для опубликования основных научных результатов диссертаций:

[1*] Рогозинский М. И. О fc-вполне транзитивности вполне разложимых абе-левых групп без кручения // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2012. № 4 (20). С. 25-35.

[2*] Гриншпон С. Я. ¿-вполне транзитивность однородно разложимых групп / С. Я. Гриншпон, М. И. Рогозинский // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2013. № 4 (24). С. 5-14.

Статьи в других научных изданиях:

[3*] Рогозинский М. И. ¿-вполне транзитивность абелевых групп без кручения // XIII Всероссийская конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука и образование», 20-24 апреля 2009 г.: в 6 т. — Т. 1. Естественные и точные науки. Ч. 1. Физика и математика. — Томск: Издательство Томского государственного педагогического университета, 2009. - С. 14-17.

[4*] Рогозинский М. И. fc-вполне транзитивные абелевы группы без кручения // Современные проблемы математики и механики: материалы II Всероссийской молодежной научной конференции. — Томск, 2011. — С. 41-44.

[5*] Рогозинский М. И. fc-вполне транзитивные абелевы группы без кручения // Материалы Международного молодежного научного форума «ЛОМОНОСОВ-2011» / Отв. ред. А. И. Андреев, A.B. Андриянов, Е.А. Антипов, М.В. Чистякова. [Электронный ресурс] — М.: МАКС Пресс, 2011. — URL: http://lomonosov-msu.ru/archive/Lomonosov_2011/1257/30956_5820.pdf (дата обращения 07.10.2013 г.) - ISBN 978-5-317-03634-8

[6*] Рогозинский М. И. /с-вполне транзитивные абелевы группы без кручения // Абелевы группы и модули: материалы всероссийского симпозиума. — Бийск, 2012. - С. 39-43.

[7*] Рогозинский М. И. ¿-вполне транзитивность сепарабельных и однородно разложимых групп без кручения // Материалы Международного молодежного научного форума «JIOMOHOCOB-2013» [Электронный ресурс]. — М.: МАКС Пресс, 2013. — URL: http://lomonosov-msu.ru/archive/Lomonosov_2013/2191/30956_8901.pdf (дата обращения 07.10.2013 г.) - ISBN 978-5-317-04429-9.

[8*] Рогозинский М. И. t-длина и ¿-вполне транзитивность однородно разложимых групп без кручения // Всероссийская конференция по математике и механике, посвященная 135-летию Томского государственного университета и 65-летию механико-математического факультета: сборник материалов. — Томск, 2013. — С. 34.

Тираж 100 экз. Заказ 1041. Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники. 634050, г. Томск, пр. Ленина, 40. Тел. (3822) 533018.

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Рогозинский, Михаил Иванович, Томск

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На права^, писи

04201454542

Рогозинский Михаил Иванович

вполне транзитивные абелевы группы без

кручения

01.01.06 — Математическая логика, алгебра и теория чисел

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель — доктор физико-математических наук, профессор Самуил Яковлевич Гриншпон

Томск 2013

Оглавление

Список обозначений 3

Введение 5

1 Вполне транзитивность и к -вполне транзитивность групп без кручения 19

§1. Предварительные сведения.................. 20

§2. £ -длина и к -вполне транзитивность групп без кручения . 31 §3. к -вполне транзитивность прямых сумм групп без кручения 41

2 к -вполне транзитивные вполне разложимые группы без кручения 47

§4. Вполне разложимые к -вполне транзитивные группы ... 48 §5. &-вполне транзитивность вполне разложимых групп без

кручения при различных значениях к............ 56

3 к -вполне транзитивность однородно разложимых и однородно сепарабельных групп без кручения 60

§6. к -вполне транзитивность однородно разложимых групп

без кручения.......................... 61

§7. А;-вполне транзитивность групп без кручения для всех натуральных к.......................... 66

Литература 74

Список обозначений

В данной работе под словом «группа» будем подразумевать абелеву группу. Обозначать группы будем большими латинскими буквами ДБ,....

Следующими символами будут обозначаться: N - множество натуральных чисел;

Р - множество всех простых чисел, расположенных в порядке возрастания;

(¡2 - полная рациональная группа; Z - группа целых чисел;

Нот(А, В) - группа гомоморфизмов группы А в группу В; Е(А) - кольцо эндоморфизмов группы А; А / В - факторгруппа группы А по подгруппе В; ф - прямая сумма; П - прямое произведение;

(ai, ... , an) - подгруппа, порожденная элементами ai, ... , ап; (ai, ... , ап )* - сервантная подгруппа, порожденная элементами ai, ... , <2п;

Z(p~) - квазициклическая р-группа (группа типа р00); Q^ - подгруппа группы Q, состоящая из дробей со знаменателями, равными степеням простого числа р;

- подгруппа группы Q, состоящая из дробей со знаменателями, взаимно простыми с простым числом р; о(а) - порядок элемента а; hp{a) - р-высота элемента а;

Ха{о) , х(а) ~ характеристика элемента а группы А; tа{о) , t(a) - тип элемента а группы А; г (А) - ранг группы А;

7Tj для прямой суммы групп ф Gi — проекция на прямое слагаемое

1(а) - для элемента а из прямой суммы групп ф Gi — множество

iei

индексов г 6 J, таких что 7г^а) ^ 0;

Gt ~ однородная группа без кручения типа t, то есть группа без

кручения, все ненулевые элементы которой имеют тип t.

1т{о) — для элемента а однородно разложимой группы G = ф Gt

teT

— множество типов t G Г, таких что щ(а) ^ 0.

Введение

Актуальность темы. Одним из интенсивно изучаемых и важных классов теории групп является класс абелевых групп. Теория абелевых групп тесно связана с теорией колец и модулей. С одной стороны, теория абелевых групп опирается на методы теории модулей, с другой стороны, является одним из источников развития этих методов.

В классе абелевых групп значительный интерес представляют группы, насыщенные эндоморфизмами. К таким группам относятся вполне транзитивные абелевы группы. Первоначально, понятие вполне транзитивности возникло в контексте изучения вполне характеристических подгрупп р-групп, но вскоре приобрело самостоятельную ценность как объект исследования.

соответственно, существует эндоморфизм этой группы, переводящий а в Ъ ([14]). И. Капланский показал, что всякая сепарабельная редуцированная р-группа является вполне транзитивной. Далее, он ставит вопрос, будет ли всякая р-группа вполне транзитивной.

В [29] П. Хилл показал, что всякая тотально проективная р-группа является вполне транзитивной. А. Корнер ([21]) изучал вполне транзитивные р -группы в связи с действием кольца эндоморфизмов Е(А) на ршА. Он построил пример редуцированной р-группы, не являющейся вполне транзитивной. С. Файле и Б. Голдсмит рассматривают вполне транзитивность прямых сумм р -групп ([25]). Свойства вполне транзитивных р-групп рассматривались в ряде работ (см., например, [12], [13], [26]).

П.А. Крылов в [7] по аналогии с понятием вполне транзитивности для р -групп вводит понятие вполне транзитивной абелевой группы без кручения.

Редуцированная абелева группа без кручения называется вполне транзитивной, если для любых двух элементов а и Ь, таких, что х(а) ^

х(Ь), где х(а); х(^) — характеристики элементов а и Ь соответственно, существует эндоморфизм этой группы, переводящий а в Ь.

Изучению вполне транзитивных групп без кручения и различных важных подклассов таких групп посвящено большое количество работ (см., например, [2], [3], [5], [6], [8], [9], [10], [16], [17], [18], [19], [22], [27], [28]).

В [4] С. Я. Гриншпон и В. М. Мисяков рассматривают понятие «вполне транзитивность» для произвольной абелевой группы (в том числе и нередуцированной), которое формулируется в терминах высотных матриц и согласуется с соответствующими понятиями для р-групп и групп без кручения. Это понятие уточнялось в [2]. Вполне транзитивные смешанные р-локальные абелевы группы изучаются С. Файлсом в [24]. Там же показано, что редуцированная ранга 1 без кручения р -локальная группа вполне транзитивна, если ее периодическая часть сепарабель-на. Вполне транзитивность редуцированной р-адической алгебраически компактной группы установлена А. Мадером в [31]. Исследование вполне транзитивности прямых произведений абелевых групп проведено В. М. Мисяковым в [11].

Ряд содержательных результатов о вполне транзитивных группах и их К -прямых суммах получены С. Я. Гриншпоном ([1], [2], [3]).

Естественным обобщением вполне транзитивности является понятие

к -вполне транзитивности. Истоки этого понятия лежат в известной теореме линейной алгебры, говорящей о том, что всякую линейно независимую систему, состоящую из п векторов, можно перевести линейным оператором в произвольную систему, состоящую из того же количества векторов.

Понятие к -вполне транзитивности для абелевых р -групп ввел в [20] Д. Кэрролл в следующем виде.

Пусть (7 — абелева р-группа и к € N. Группа С называется к-вполне транзитивной, если для любых кортежей X = (а?!, ...,Хк), У — (т/1, ...,Ук) элементов группы С? из выполнения условий:

(1) Н{хг) < Н(уг) для всех г = 1,к]

(2) кортеж X высотно независим, в том смысле, что при г ^ j ф для всех целых г, я, кроме случая гх{ = вх^ = 0;

следует существование эндоморфизма в £ Е(С) со свойством в(хг) = Уг (г = 1, к).

Там же Д. Кэрролл показал, что тотально проективные и сепарабель-ные р -группы являются к -вполне транзитивными для всех к £ N.

В настоящей диссертационной работе вводится понятие А;-вполне транзитивности для абелевых групп без кручения.

Пусть — абелева группа без кручения и к Е N. Кортеж X = (х1,...,хк) ненулевых элементов группы С? назовем Ь -независимым, ес-

ли при ¿/] несравним с для всех г, у = 1, к.

Пусть С— абелева группа без кручения и к £ N. Группа С называется & -вполне транзитивной, если для любых кортежей длины & X = {х\,..., ж/с); У = (г/1,.... Уа;) элементов группы С из выполнения условий:

(1) < хЫ для всех г = 1,/с;

(2) кортеж X — -независим;

следует существование эндоморфизма в группы , такого что в(х{) = у{ для всех г = 1, к.

Показано, что замена условия Ь -независимости кортежа X на его линейную независимость значительно сужает класс рассматриваемых групп.

Цель работы. Целью диссертационной работы является исследование свойств к -вполне транзитивных абелевых групп без кручения и описание к -вполне транзитивных групп в различных классах абелевых групп без кручения.

Научная новизна. Все основные результаты диссертационной работы являются новыми. Основными результатами работы можно считать

следующие.

• Найдено значение Ь -длины для однородно разложимых групп, удовлетворяющих условию контрастности для типов.

• Исследована связь между 1-независимостью и линейной независимостью в к -вполне транзитивных группах.

• Доказано, что абелева группа без кручения к -вполне транзитивна для некоторого к > 1 тогда и только тогда, когда А;-вполне транзитивна ее редуцированная часть.

• Показано, что вполне разложимые группы без кручения ранга 2 являются к -вполне транзитивными для всех к > 1.

• Найдены необходимые и достаточные условия к -вполне транзитивности вполне разложимых групп из некоторых классов.

• Для вполне разложимых групп с жесткой системой прямых слагаемых ранга 1 доказано, что из А;-вполне транзитивности для некоторого к > 1 следует (к + 1) -вполне транзитивность. При этом приведены примеры, когда обратное неверно.

• Полностью описаны однородно сепарабельные (в том числе однородно разложимые, сепарабельные и вполне разложимые) группы без кручения, являющиеся к -вполне транзитивными при всех /с € N.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертационной работы имеют теоретическое значение и могут быть использо-

ваны в исследованиях по теории абелевых групп и модулей, а также при чтении спецкурсов для бакалавров, магистрантов и аспирантов.

2011), на всероссийском симпозиуме «Абелевы группы и модули» (Бийск,

2012), на Всероссийской конференции по математике и механике, посвященной 135-летию Томского государственного университета и 65-летию Механико-математического факультета (Томск, 2013).

Содержание работы. Все рассматриваемые в работе группы являются абелевыми.

В первой главе диссертации вводятся ключевые понятия 1-длины и А;-вполне транзитивности для групп без кручения и рассматриваются некоторые общие свойства данных понятий.

Первый параграф содержит основные определения и известные результаты, используемые в работе.

Во втором параграфе вводятся понятия Ь -независимости, t-длины и к -вполне транзитивности для групп без кручения. В этом параграфе исследована связь между t-независимостью и линейной независимостью и найдены значения 1 -длины для однородно разложимых групп, удовлетворяющих условию контрастности для типов.

Условие контрастности для типов было введено в [1] и означает следующее.

Говорят, что однородно разложимая группа С = ф (Т — неко-

гет

торое множество типов) удовлетворяет условию контрастности для типов, если для всяких двух типов ^^ Е Т и любого простого числа р, такого что рС?^ С^ , имеет место р(?£2 = .

1-длина группы Сг (обозначается ) — это наибольшая длина 1-

независимого кортежа в группе С. Если в группе С? для всякого к Е N существует t-независимый кортеж длины к, то полагаем = со.

Основными результатами второго параграфа являются следующие теоремы.

Теорема 2.4. Пусть С = ф ^ — однородно разложимая редуци-

гет

рованная группа. Если С удовлетворяет условию контрастности для

Га]

типов, то к^С) — Сп , если \Т\=п и £^((7) = оо, если \Т\ > ^о •

Теорема 2.6. Пусть к > 2 и С является к -вполне транзитивной группой. Тогда всякий Ь -независимый кортеж длины к является линейно независимым.

Третий параграф первой главы посвящен изучению семейства прямых слагаемых к -вполне транзитивных групп без кручения. В этом параграфе также установлено, что при исследовании к -вполне транзитивных групп без кручения можно ограничиться редуцированными группами. В начале параграфа вводится следующее понятие. Пусть к Е N и М = семейство групп без кручения. Се-

мейство М назовем к -вполне транзитивным семейством групп, если для каждой пары групп (С^, г, у е I и любых двух кортежей

X — [х\,..., Хк)\У = (у1,...,ук) элементов групп соответственно

из выполнения условий

(1) хОг) < х(Уг) для всех 1=1, к;

(2) кортеж X — Ь -независим;

следует существование 0 6 Нот(Сг, С^), что в{х^ = Уг (г = 1, к).

Основными результатами третьего параграфа являются следующие теоремы.

Теорема 3.2. Пусть к £ N. Если группа без кручения С = ф яв-

ге/

ляется к-вполне транзитивной группой, то семейство М = {СчКег является к -вполне транзитивным семейством групп.

Теорема 3.5. Группа без кручения (7 к -вполне транзитивна для некоторого к > 1 тогда и только тогда, когда к -вполне транзитивна ее редуцированная часть.

Вторая глава состоит из двух параграфов и посвящена исследованиям к -вполне транзитивности вполне разложимых групп.

Для вполне разложимых групп ранга 2 получен следующий результат. Теорема 4.1. Вполне разложимые группы без кручения ранга 2 являются к -вполне транзитивными для всех к > 1.

Далее в параграфе 4 рассматриваются вполне разложимые группы

С = ф Аг, семейство прямых слагаемых ранга 1 которых обра-

ге/

зует жесткую систему групп. Для таких групп получены необходимые и достаточные условия к -вполне транзитивности для произвольного натурального к.

Для удобства введем следующее обозначение. Для всякого J С I обозначим 1;,/ = т£ ^ . В частности, если 3 = {г} , то tJ = ^ = 1(Аг).

Теорема 4.5. Пусть G = ф Л — вполне разложилшя группа, се-

iei

Aieücmeo прямых слагаемых ранга 1 которой {Ai}iGl образует жесткую систему групп, и пусть к £ N. Группа G является к -вполне транзитивной тогда и только тогда, когда для любых конечных множеств J\i 1/2; •■•; Jk С I, таких что типы tjm и tjn несравнимы при тф п, выполнены условия I- JmC\Jn — & пРи т ^ п;

II. группы Gm = ф А( удовлетворяют условию контрастности для типов (т - 1, к) ;

III. если для некоторого конечного мноэ/сества J С I и числа т = 1, к справедливо tj > tjm, то J С Jm.

В пятом параграфе рассмотрена зависимость между к -вполне транзитивностью и (к + 1) -вполне транзитивностью для групп указанного строения. Доказан следующий результат.

Теорема 5.1. Пусть G = ф^ — вполне разложимая группа, се-

iei

мейство прямых слагаемых ранга 1 которой {Ai}i€l образует жесткую систему групп. Если группа G является к -вполне транзитивной для некоторого k > 1, то G также (к + 1) -вполне транзитивна.

тивной ни для какого к Е N.

Третья глава состоит из двух параграфов и посвящена исследованию к -вполне транзитивности однородно разложимых и сепарабельных групп.

Шестой параграф начинается с описания условия контрастности для типов в более удобной для дальнейшего исследования форме.

Предложение 6.1. Однородно разложимая группа G = ф Gt у doter

влетворяет условию контрастности для типов тогда и только тогда, когда для любых различных t\, Е Т тип t\ • ¿2 ~~ делимый.

Следующий результат описывает связь между вполне транзитивностью и к -вполне транзитивностью для однородно разложимых групп.

Теорема 6.3. Пусть G = ф Gt — однородно разложимая группа,

ter

причем |Т| >2. Если G вполне транзитивна, то G не является к-вполне транзитивной для всех к, таких что 1 < k < kt(G) .

Напомним определение однородно сепарабельной группы. Группа без кручения G называется однородно сепарабельной, если существует такое семейство С однородных прямых слагаемых этой группы, что каждое конечное множество элементов группы G можно вложить в прямое слагаемое этой группы, являющееся прямой суммой некоторых групп из семейства С, ([3]).

В параграфе 7 исследуется к -вполне транзитивность однородно се-

парабельных групп (в том числе вполне разложимых, сепарабельных и однородно разложимых групп без кручения) при всех значениях к. Доказаны следующие результаты.

Теорема 7.1. Однородно разложимая группа (2 = ф (7г является

гет

к -вполне транзитивной для всех к £ N тогда и только тогда, когда С удовлетворяет одному из следующих условий: (/) О — однородная вполне транзитивная группа; (II) С = С^ ф Сгг2, где — вполне транзитивные группы раз-

личных типов, причем ■ ¿2 —делимый тип.

Теорема 7.2. Однородно сепарабельная группа б