Вторичные течения и мелкомасштабная турбулентность при конвекции в замкнутых областях тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Теймуразов Андрей Сергеевич

ВТОРИЧНЫЕ ТЕЧЕНИЯ И МЕЛКОМАСШТАБНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ПРИ КОНВЕКЦИИ В ЗАМКНУТЫХ ОБЛАСТЯХ

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2ШВ 2013

Пермь-2013

005048657

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте механики сплошных сред Уральского отделения Российской академии наук.

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор Фрик П.Г.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Тарунин Е.Л.

кандидат физико-математических наук, Коновалов В.В.

Ведущая организация

Научно-исследовательский вычислительный центр Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова

Защита состоится "14" февраля 2013 г. в 14— часов на заседании диссертационного совета Д 004.012.01 при Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте механики сплошных сред Уральского отделения Российской академии наук по адресу: 614013, г. Пермь, ул. Акад. Королева, 1; тел: (342) 2378461; факс: (342) 2378487; сайт: www.icmm.ru.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института механики сплошных сред УрО РАН.

Автореферат разослан " января 2013 г.

Ученый секретарь „ ,

диссертационного совета БерезинИ.К.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Конвективные движения, вызванные тепловыми потоками, являются неотъемлемыми элементами многих природных процессов, наблюдающихся в атмосфере и океанах Земли, а также течений, реализующихся в различных технологических устройствах. Заметная роль в формировании конвективных течений в таких потоках отводится вторичным течениям в пограничном слое. Одним из типов вторичных конвективных структур являются горизонтальные валы, которые в зависимости от параметров задачи могут иметь различные характеристики и оказывать существенное влияние на тепломассообмен в системе. В практических приложениях горизонтальные валы появляются при смешанной (вынужденная плюс естественная) конвекции в каналах и влияют на теплоперенос в теплообменниках, в системах охлаждения электронного оборудования и ядерных реакторов. Исследование роли вторичных течений в процессах теплообмена является актуальной задачей для широкого круга геофизических и технологических приложений.

Процессы конвективного переноса, представляющие практический интерес, происходят, как правило, в условиях развитого турбулентного движения среды. Конвективная турбулентность обладает рядом особенностей, в частности, она примечательна тем, что соображения размерности приводят к степенным законам, не зависящим от размерности пространства — ив трехмерном, и в двумерном случаях предположение о существовании интервала масштабов, в котором реализуется баланс сил плавучести и нелинейных взаимодействий, приводит к известному степенному закону Обухова-Болджиано, что дает надежду на исследование свойств развитой конвективной турбулентности в значительно более простой двухмерной постановке. В то же время, изотермическая двумерная турбулентность не является частным случаем трехмерной и переход к плоской геометрии ведет к качественным изменениям свойств течений. Интерес к двумерной турбулентности в значительной мере поддерживается надеждой на описание с помощью двумерных уравнений квазидвумерных течений жидкости. Известно, что квазидвумерные модели могут хорошо работать в случае ламинарных режимов, но возможность применимости такого подхода к описанию развитых турбулентных течений неочевидна и в настоящее время недостаточно хорошо исследована. Представляется важным выяснить, помогает ли учет влияния боковых стенок в рамках квазидвумерной модели получить более реалистичное описание конвективной турбулентности в тонкой вертикальной полости (по крайней мере, крупномасштабной циркуляции) и найти

границы применимости модели линейного трения к описанию развитой турбулентной конвекции в щелевых зазорах.

Целью работы является изучение крупномасштабной циркуляции, вторичных течений и мелкомасштабной турбулентности при естественной конвекции в замкнутых прямоугольных областях.

Научная новизна результатов.

Впервые:

1. Численно в трехмерной постановке исследована структура вторичных течений в случае естественной (не смешанной) конвекции жидкости над неоднородно нагретой поверхностью в замкнутой области, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда. Обнаружено, что в данной конфигурации задачи возможны режимы как с поперечной, так и с продольной ориентацией вторичных конвективных валов.

2. Изучено влияние структуры и типа вторичных течений на теплоперенос в системе.

3. Выполнено прямое численное моделирование турбулентной конвекции в тонких вертикальных слоях жидкости при подогреве снизу в рамках чисто двумерной (20) и квазидвумерной (С?20) моделей.

4. Изучена крупномасштабная циркуляция, поле турбулентных пульсаций, и на основе прямого сравнения с экспериментальными данными определены границы применимости квазидвумерной модели для описания структуры турбулентного потока в вертикальной щели.

Защищаемые положения.

1. Эффективный параллельный численный код для прямого моделирования конвективных течений в замкнутой полости в трехмерной постановке.

2. Результаты численного исследования структуры трехмерного течения жидкости в прямоугольной полости с неоднородным подогревом снизу.

3. Эффективный параллельный численный код для прямого моделирования турбулентной конвекции в двумерной и квазидвумерной постановке.

4. Результаты расчетов турбулентной конвекции в тонких вертикальных слоях жидкости при подогреве снизу в рамках чисто двумерной и квазидвумерной моделей.

Практическая значимость работы.

1. Результаты исследований вторичных течений могут быть использованы для параметризации процессов, протекающих в атмосферном погранич-

ном слое. Включение данной параметризации, несущей информацию о вкладе процессов на мезоуровне, в существующие модели для описания атмосферных явлений, которые рассматривают только крупномасштабные процессы, поможет улучшить точность моделей прогнозирования погоды.

2. Установленные зависимости влияния структуры вторичных течений на теплоперенос могут быть полезны при проектировании технологических устройств, в которых имеются течения над локализованным источником тепла.

3. Показано, что с помощью квазидвумерных моделей, даже в рамках грубой модели линейного трения, использовавшейся в Q2D расчетах, можно получить реалистичную структуру турбулентного потока в тонких щелях.

4. Результаты численных исследований турбулентной конвекции могут помочь в понимании природы и свойств инверсий крупномасштабной циркуляции.

Обоснованность и достоверность результатов обеспечивается тщательным тестированием всех используемых в работе алгоритмов и методов и сравнением полученных результатов с результатами физических экспериментов, проводившихся в лаборатории Физической гидродинамики ИМСС УрО РАН параллельно с расчетами, а также сравнением, где это возможно, с известными результатами других авторов.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих научных семинарах и конференциях: Всероссийская конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах» (Пермь, 2008, 2009, 2010, 2012 гг.); Всероссийская школа-конференция молодых ученых и студентов «Математическое моделирование в естественных науках» (Пермь, 2009 г.); Зимняя школа по механике сплошных сред (Пермь, 2007, 2009, 2011 гг.); Краевая дистанционная научно-практическая конференция молодых ученых и студентов «Молодежная наука Прикамья» (Пермь, 2008 г.); Международная конференция «Mesoscale meteorology and air pollution» (Одесса, Украина, 2008 г.); Всероссийская научно-практическая конференция «Актуальные проблемы механики, математики, информатики» (Пермь, 2010 г.); Пятая Российская национальная конференция по теплообмену (Москва, 2010 г.); Всероссийская конференция молодых специалистов, посвященная 50-летию НПО «Тайфун» (Обнинск, 2010 г.); Всероссийская научная школа молодых ученых «Механика неоднородных жидкостей в полях внешних сил» (Москва, 2010 г.);

Международный семинар «Convection, magnetoconvection, and dynamo theory» (Каржез, Франция, 2010 г.); Генеральная ассамблея Европейского общества геофизических наук (Вена, Австрия, 2011 г.); Международная конференция «13 European Turbulence Conference» (Варшава, Польша, 2011 г.); Всероссийская научная школа молодых ученых «Волны и вихри в сложных средах» (Москва, 2012 г.);

Публикации. По теме диссертации опубликовано 20 работ, из них 2 в журналах из списка ВАК, 7 статей в трудах международных и российских конференций, и 11 в тезисах докладов.

Личный вклад автора. Автором диссертации выполнены выбор методов, разработка и программная реализация численных алгоритмов, проведение расчетов и анализ полученных данных. В опубликованных в соавторстве с экспериментаторами статьях, автор полностью отвечает за численные расчеты.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из вводной части, трех глав, заключения и списка литературы, включающего 108 наименований. В работе приводится 38 рисунков и 2 таблицы. Общий объем диссертации составляет 120 страниц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность исследуемой проблемы, сформулирована цель и задачи диссертационной работы, перечислены полученные в диссертации новые результаты, их практическая ценность, а также описана структура диссертации.

В первой главе представлен обзор публикаций, близких к теме диссертации. Освещено современное состояние исследований, касающихся вторичных конвективных течений, турбулентной конвекции, двумерной турбулентности. Приведен обзор подходов к численному решению задач гидродинамики. Обоснован выбор методов и алгоритмов, применявшихся в данной работе.

Вторая глава посвящена изучению образования и развития горизонтальных валов, возникающих в конвективном потоке жидкости над неоднородно нагретым дном. Рассматривается область, представляющая собой прямоугольный параллелепипед. На дне области находятся два теплообменника, при этом задается резкий скачок температуры вблизи их границы раздела. В результате горизонтального градиента температуры в модели возникает крупномасштабная циркуляция, на фоне которой развиваются вторичные течения, которые мо-

гут иметь вид продольных или поперечных валов. Схема модели и положение системы координат приведены на Рис. 1.

Рис. 1. Схема модели: 1 - кювета: ширина 0=100 мм, длина Ь = 200 мм, высота И изменялась от 30 мм до 50 мм, 2 - «горячий» теплообменник, 3 - «холодный» теплообменник, 4 - крупномасштабная циркуляция, 5 - вторичные конвективные течения.

Исследование проводилось с помощью прямого численного моделирования в трехмерной постановке. Используемая математическая модель основана на уравнениях свободной конвекции в приближении Буссинеска. В безразмерном виде система уравнений тепловой конвекции имеет вид:

8\ 1 г т

— =--\\ Л7у + УР +Ду + Яа7е ,

81 Рг J

(1)

Рг— =-уУГ+АТ, 81

У-у = 0.

(2) (3)

Здесь рг = — - число Прандтля, Яа = — число Релея, г - ускорение сво-

х

бодного падения, р - температурный коэффициент объёмного расширения, в -разность температур, /г - толщина слоя, V - кинематическая вязкость, % - коэффициент температуропроводности. В расчетах все границы области являются твердыми. Для скорости на всех границах задаются условия прилипания (V = 0).

Граничные условия для температуры: на дне задается ступенчатый перепад температуры (Т = - в/2 для х<0и Т=в/2 для х> 0), боковые границы теплоизолированы (дТ/дп = 0), а на верхней границе ставится условие теплообмена 4жидкости (дТ/дп)внутр. = АВоздуха (<377Эи)ВНеШн., где Я - коэффициент теплопроводности. Условие теплообмена с внешней средой на верхней границе было задано в таком виде для того, чтобы приблизить условия расчётов к таковым в лабораторном эксперименте.

Дискретизация уравнений проводилась по методу конечных разностей. Уравнения (1) - (3) решались в переменных «скорость-давление». При этом была использована трехэтапная явная схема расщепления по физическим процессам и «шахматная» сетка, то есть координаты сеточных функций разнесены в пространстве. Расчетная область представляла собой прямоугольный параллелепипед с размерами -LI2<x<LI2, -D/2<y<D/2, 0<z<h. Основные расчеты выполнены на сетках: 200^100x60 и 200x100x100 узлов, что соответствовало толщинам слоя h = 30 мм и h = 50 мм. Программная реализация алгоритма выполнена с учётом возможности расчётов на многопроцессорных системах. Параллельная реализация компьютерного кода для систем с распределенной памятью производилась с использованием библиотек MPI. Расчеты выполнялись на вычислительном кластере ПНИПУ (г. Пермь). Для сетки 200x100x100 узлов ускорение работы параллельного алгоритма относительно времени выполнения на одном процессоре составило: на 16-и процессорах - 13.5 раз, на 40 процессорах - 23.1 раза.

Расчеты выполнены для широкого диапазона чисел Прандтля (7 < Рг < 510) и чисел Релея (5 • 104 < Ra < 8.9106). При таких параметрах в модели реализуется развитое конвективное течение, но еще не турбулентное (максимальное число Рейнольдса Re -100).

Анализ результатов начинался с исследования характеристик возникающего в полости основного адвективного течения (крупномасштабной циркуляции). Основное течение занимает всю область и слабо меняется со временем. Были построены профили скорости адвективного течения (крупномасштабной циркуляции) для различных значений в и Рг. Между профилями скорости, полученными в численном расчете и профилями, полученными в эксперименте, наблюдается хорошее согласие (Рис. 2). Интенсивность крупномасштабного течения увеличивается при увеличении числа Релея и уменьшается при росте числа Прандтля.

30

Рис. 2. Профили скорости над горячим теплообменником при х = 50 мм, _у=0мм для И = 30 мм, Рг = 263 и 0=33.7 °С: (1) - численный расчет, (2) - эксперимент.

На Рис. 3 показаны средние поля скорости и температуры над нагревателем в сечении XZ. На распределение температуры над горячим теплообменником существенное влияние оказывает набегающий вдоль дна поток холодной жидкости. Этот поток формирует у нижней поверхности тепловой пограничный слой с неустойчивой стратификацией температуры, которая и вызывает появление вторичных течений.

Рис. 3. Средние поля модуля скорости (а) и температуры (б) в сечении Х2 над горячим теплообменником, 6= 10 °С, Рг = 263 и И = 30 мм; Центры и верхняя граница валов показаны черной и белой линиями.

Области подъема горячей жидкости хорошо видны в сечении, поперечном основному течению. На Рис. 4,а приведено мгновенное поле температуры в сечении над горячим теплообменником при х = 65 мм. Распределение завихренности в том же сечении (Рис. 4,6) явно демонстрирует наличие продольных валов в придонном слое.

Характеристики валов определяются структурой теплового пограничного слоя. Центр (ось) вращения вала совпадает с положением минимума температуры и слабо меняется вдоль потока. Общая высота валов связана с толщиной всего пограничного слоя и растет вдоль потока до тех пор, пока не достигнет границы между верхней и нижней частями основного течения. Таким образом, валы несимметричны по вертикали. Для иллюстрации этих фактов на Рис. 3 отмечены положения точек с максимальным значением завихренности (центр вала), которые соединены сплошной черной линией. На этом же рисунке отмечены и точки, соответствующие верхней границе вала. Через них проведена белая линия.

Рис. 4. Мгновенное поле температуры в плоскости YZ при х = 65 мм (а), мгновенное поле завихренности сох в плоскости YZ при х = 65 мм (б) для И = 30 мм,

Рг = 263 и 6= 10°С.

Увеличение разности температуры на теплообменниках ведет к увеличению скорости течения и «прижимает» пограничный слой, уменьшая высоту валов и увеличивая их скорость вращения. Зависимость безразмерной длины волны X (расстояние между центрами двух ближайших вращающихся в одну сторону валов) от числа Релея имеет вид X ~ Кач40.

В общем случае вторичные течения могут иметь вид продольных валов, поперечных валов или иметь вид более сложных смешанных структур. На Рис. 5 приведена фазовая диаграмма в плоскости Ла - Ке. Все режимы, в которых наблюдаются продольные валы, находятся на этой диаграмме над линией 11е ~2 Ю"411а0 7. Поперечные валы появляются только при условии одновременного наличия большого перепада температуры и слабого крупномасштабного течения. В рассматриваемом случае уменьшение средней скорости течения (числа Рейнольдса) с сохранением разности температуры возможно с помощью увеличения числа Прандтля). Режимы с поперечными и смешанными валами разделены на данной плоскости прямой 11а = 2-106.

Рис. 5. Фазовая диаграмма в плоскости Ка — Ле, кресты — расчет, продольные валы; плюсы - расчет, смешанные валы; звезды - расчет, поперечные валы; круги - эксперимент, продольные валы; ромбы - эксперимент, смешанные валы; квадраты - эксперимент, поперечные валы.

Показано, что как поперечные, так и продольные валы ведут к заметному увеличению теплоотдачи вблизи нижней границы.

Основная часть расчетов выполнена в ЗБ постановке, но для того, чтобы выявить разницу между 30 и 20 случаями, была проведена серия расчетов с использованием двумерной модели. Двумерная постановка (расчет в плоскости XX , в направлении оси у слой считается бесконечным) не допускает возможности появления продольных валов, навязывая потоку склонность к возникновению вторичных течений, ориентированных поперечно по отношению к основному течению. Исследование течения в 2Э случае помогло изучить режимы с «чистыми» поперечными структурами, так как в ЗБ постановке поперечные валы обычно в том или ином виде сосуществуют с продольными структурами. Результаты расчетов показали, что значения среднего числа Нуссельта Миа над нагревателем немного больше значений, полученных в 20 (до 10%), и можно

заключить, что для рассмотренного диапазона чисел Релея разные типы вторичных течений (продольные и поперечные валы) приводят к довольно близким значениям увеличения теплопереноса. Отсутствие существенной разницы между теплопереносом для 20 и ЗБ случаев явилось неожиданным результатом, так как ожидалась более сильная зависимость Ыиа от типа вторичных течений.

На Рис. 6. показана зависимость среднего по всему нагревателю числа Нуссельта от Яа/а ( здесь а = 2И1 Ь— аспектное отношение; это означает, что горизонтальный размер Ь исключен из аргумента) для трехмерного случая. Эта зависимость имеет вид Ыиа ~ (Ка/а)" 29. Отметим, что на графике представлены все режимы, исследованные численно, то есть с разным нагревом, различной толщиной слоя, и различными числами Прандтля.

В третьей главе исследуется возможность использования двумерных и квазидвумерных математических моделей для описания важнейших характеристик турбулентной конвекции Релея-Бенара (подогрев снизу) в прямоугольных полостях квадратного сечения (в вертикальном плане) и различной толщины.

В квазидвумерных течениях, то есть в случае, когда один характерный размер области намного меньше двух других (например, в тонком вертикальном слое толщиной с1, ограниченном квадратными пластинами с характерным размером Ь, при этом с!« !, ) возможна ситуация, когда поперечный профиль скорости потока может оставаться ламинарным, хотя параметры квазидвумерного течения, в которых определяющей величиной служит размер области Ь, относятся к развитым турбулентным режимам. В таком случае подход к описанию поведения крупномасштабных (квазидвумерных) турбулентных течений в вертикальной щели состоит в учете профиля течения с последующим интегрированием уравнений движения поперек слоя и переходе к двумерным уравнениям. В простейшем случае учет квазидвухмерности сводится к появлению в уравнениях так называемого линейного трения, описывающего влияние боко-

Рис. 6. Зависимость Миа от Яа/а для трехмерного случая. Кресты - численный расчет, сплошная линия дает аппроксимацию Ыи;1 ~ (Ка/а)029.

10°

вых стенок. Развитию такого подхода и определению границ его применимости к конвективным турбулентным течениям в вертикальной полости и посвящена данная глава.

Рис. 7 Схема модели. Расчетная область представляет собой прямоугольник со стороной Ь = 250 мм. Поперечный размер (I варьировался от 7.5 мм до 50 мм.

■

Численно задача исследовалась в двух различных постановках. В первом случае рассматривалось двумерное течение в квадратной области, во втором случае рассматривалось течение в тонкой вертикальной щели Ы«Ь (Рис. 7) в приближении Хеле-Шоу, описывающем двумерное течение в щели с учетом заданного поперечного профиля скорости. Обе математические модели основаны на уравнениях термогравитационной конвекции в приближении Буссинеска:

— + Рг-1 V • Уу = —УР + Ду + К.а 7е., дг

V • у = 0,

Рг— + V • УТ = АТ.

81

Здесь Рг = г/ х ~ число Прандтля, К а =

кг

(4)

(5)

(6)

- число Релея, / - время, V - век-

тор скорости движения жидкости, Р - давление (отклонение от гидростатического давления Р0), Т - температура (отклонение от среднего значения Т„), р -среднее значение плотности, у - кинематическая вязкость, g - ускорение свободного падения, /? - температурный коэффициент объемного расширения, х - коэффициент температуропроводности, ег - единичный вектор, направленный вдоль оси г. За единицы измерения длины, времени, скорости и давления выбраны Ь, I) /у, рух/1?. В качестве единицы измерения температуры

выбрана в - разность температуры между горизонтальными границами полости. Система координат связана с центром полости как показано на Рис. 7.

Итак, первая из двух математических моделей является полностью двумерной (далее будем называть её модель 2D). Она описывает двумерное конвективное течение в квадратной области, поле скорости в котором является плоским, то есть v = [v„0, v. ], ду\ = дуТ = 0.

Вторая модель, модель Хеле-Шоу, - квазидвумерная (далее будет называться моделью Q2D). В этом случае течение в вертикальном слое толщиной d«L (Рис. 7) считается плоским, то есть v = [v^O,vj, но с заданным профилем скорости поперек слоя:

\ = y{x,z,t)oas{7iyld). (7)

Подстановка (7) в уравнения (4) - (6) с последующим интегрированием по у от -d/2 до dl2 приводит к двумерным уравнениям, которые имеют вид:

— + — Рг 1 v • Vv = - — VP + Av - v + — Ra Ге2, (8)

dt 4 2 Г2 2 w

V- v = 0, (9)

Pr— + -v-VT = AT. (10)

dt л

Предпоследнее слагаемое в первом уравнении описывает вязкое трение о боковые стенки полости, r = d/L есть аспектное отношение, характеризующее геометрию полости.

Граничные условия одинаковы для обеих постановок (2D и Q2D). Для скорости заданы условия прилипания на всех границах (v = 0). Температура равна Т = 0/2 на дне и Т = -0/2 на верхней границе. Боковые границы теплоизолированы (дТ/дп = о).

Дискретизация уравнений (4)-(6) для 2D модели и уравнений (8)-(10) для Q2D модели проводилась по методу конечных объемов. Для решения применялся метод, использующий процедуру коррекции давления (pressure-based algorithm), а именно, полунеявный метод для связанных через давление уравнений (Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equations, SIMPLE). Использовалась равномерная расчетная сетка с совмещенными узлами (collocated grid), то есть значения всех переменных вычислялись в одних и тех же узлах. Применялась неявная по времени расчетная схема. Программная реализация алгоритма выполнена с учетом возможности расчетов на многопроцессорных системах. Параллельная реализация компьютерного кода для систем с распределенной памятью осуществлялась с использованием

библиотек MPI. Распараллеливание производилось с использованием метода регулярной декомпозиции расчетной области.

Расчеты выполнялись на вычислительном кластере «Уран» ИММ УрО РАН (г. Екатеринбург). Для выбора размера расчетной сетки были проведены тестовые вычисления на сетках, с различным количеством узлов. Все основные расчеты выполнены на равномерной расчетной сетке размером 512x512 узлов. Для такой сетки ускорение работы параллельного алгоритма относительно времени выполнения на одном процессоре составило: на 32-х процессорах — 30.6 раза, на 64-х процессорах - 45.8 раз, на 128-ти — 72.6 раза.

Для верификации результатов расчета использовались результаты экспериментальных исследований турбулентной конвекции, возникающей при подогреве снизу в полости с размерами LxdxL (d варьировалась от 15 до 50 мм), заполненной водой. Основные расчеты выполнены для числа Релея Ra = 2.2109 и числа Прандтля Рг = 7, что соответствует средней температуре воды 25 °С и перепаду температур на теплообменниках в = 10 °С. При этом число Рейнольд-са для квазидвумерного течения (определенное по размеру L) Re » 4000 .

z. мм г, мм г, .мм

Г. ММ X. ММ X, мм

Рис. 8. Мгновенные поля скорости для Иа = 2.2■ 109: (а) — чисто двумерный случай (2Б расчет), (б) - модель с линейным трением, <1= 15 мм ((}20 расчет), (е) -

эксперимент при с/= 15 мм.

Качественное изменение структуры двумерного потока при учете трения на боковых стенках иллюстрирует Рис. 8, на котором показаны примеры мгновенных полей скорости, полученные в 2Б расчетах и 02О расчетах для ширины щели d=\5 мм. На этом же рисунке показан и пример поля скорости, измеренного в лабораторном эксперименте с помощью Р1У-системы в центральном сечении полости при тех же значениях параметров. Можно видеть, что в 02О расчетах масштабы доминирующих структур подобны наблюдаемым в эксперименте, в то время как чисто двумерная модель дает один доминирующий

вихрь, сопровождаемый парой вихрей противоположного знака в углах области.

Для количественной оценки характера эволюции крупномасштабной циркуляции жидкости в полости вычислялась амплитуда старшей моды разложения поля завихренности в ряд Фурье:

^ ¿12 £/!

Вц(0 = —г | |1»у(*:,2,г)со8(ж/1)со8(лг/^,)а!и!г. (11)

-иг -иг

и регистрировались ее вариации в течение длительного времени (несколько тысяч секунд размерного времени). На Рис. 9 показаны изменения амплитуды в течение 4000 секунд, полученные по экспериментальным данным и по <320 расчетам для значения толщины слоя й? = 24 мм. Вариации амплитуды носят случайный характер и детального совпадения дать не могут, но, тем не менее, можно видеть, что при данной толщине слоя колебания, полученные в расчетах и экспериментах, имеют близкую амплитуду и похожую структуру.

0.4

0-2

\ 0 аГ

-0.2

-0 4

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

1.С

Рис. 9. Пример изменений амплитуды крупномасштабной циркуляции со временем при й?= 24 мм, тонкая линия - 02Б расчет, жирная линия - эксперимент.

Помимо поведения крупномасштабной циркуляции интерес представляют характеристики поля мелкомасштабных (турбулентных) пульсаций скорости. Структура полей для полной энергии пульсаций скорости в расчетах и в эксперименте достаточно близка, хотя интенсивность пульсаций в расчетах в целом получается завышенной. Однако, сравнение энергии пульсаций отдельных компонент скорости показывает, что приближение С>20 приводит к более выраженной концентрации пульсаций вертикальной компоненты скорости у вертикальных границ, хотя поля для горизонтальной компоненты подобны.

Принципиальное отличие структуры турбулентного потока в двумерных и квазидвумерных расчетах иллюстрирует Рис. 10, на котором представлены спектральные плотности энергии пульсаций вертикальной компоненты скорости в двух выделенных точках полости - в центре(л = у = г = 0) и в точке (х = у = 0, г = -94 мм). 02Ц расчет (тонкие линии) дает выраженный степенной

интервал с характерным для трехмерной турбулентности колмогоровским наклоном « — 5/3 » (в интервале частот 0.01 - 0.1 Гц), возможность появления которого в рамках двумерного расчета (даже при наличии линейного трения) далеко не очевидна. В двумерной (не конвективной) турбулентности интервал « — 5/3 » характеризуется обратным каскадом энергии и возникает на масштабах, больших масштаба возбуждения турбулентности. На масштабах, меньших масштаба возбуждения, в двумерной турбулентности возникает инерционный интервал переноса энстрофии, характеризуемый наклоном «-3». Этот наклон также показан на рисунке и можно видеть, что высокочастотная часть спектров, полученных в 020 расчетах, действительно тяготеет к такому наклону.

скорости в центре полости (а) и в точке (х = 0, г = —94 мм) (б). 02О расчет для с1 = 24 мм (тонкая линия); эксперимент для с1 = 24 мм (штриховая линия); 20 расчет (жирная линия). Прямыми линиями показаны наклоны «—5/3» и «-3».

Полученные в 02О расчетах спектры близки к экспериментальным спектрам энергии пульсаций скорости, также показанных на Рис. 10. Основное отличие состоит в том, что на частотах выше 0.1 Гц в экспериментальных спектрах отсутствует переход к спектру «-3». Это не удивительно, так как частота 0.1 Гц соответствует пространственным структурам с масштабами порядка толщины слоя (при пересчете по характерной средней скорости течения), что означает переход к существенно трехмерной структуре турбулентного потока, в которой интервал «-3» появиться не может. Отметим, что спектры, рассчитанные для пульсаций скорости в тех же точках, но по данным 20 модели (жирная линия на Рис. 10), имеют принципиально другую структуру. Во-первых, энергия пульсаций в этом случае на порядок ниже. Во-вторых, в спектрах отсутствует интервал со степенным законом. В-третьих, в центральной части полости

появляется доминирующая частота пульсаций (пик в спектре на частоте 0.023 Гц).

Детальное сопоставление полученных численных результатов с данными лабораторных экспериментов показало, что учет трения на боковых границах даже в рамках грубой модели линейного трения, использовавшейся в 020 расчетах, позволяет получить реалистичную структуру турбулентного потока при аспектном отношении Г <0.1. При этом, 020 расчет не только правильно описывает динамику крупномасштабного течения в слое, но и воспроизводит структуру распределения спектральной плотности энергии пульсаций скорости. В то же время, результаты расчетов в 2Б постановке имеют достаточно слабое отношение к турбулентному течению в реальной полости при любом аспектном отношении.

В заключении представлены основные результаты диссертационной работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Численно в трехмерной постановке исследована структура вторичных течений в случае естественной (не смешанной) конвекции жидкости над неоднородно нагретой поверхностью в замкнутой области, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда. Обнаружено, что в данной конфигурации задачи возможны режимы как с поперечной, так и с продольной ориентацией вторичных конвективных валов. Построена фазовая диаграмма режимов вторичных течений, разделяющая течения различной с разными типами конвективных валов, на плоскости Яа-Ке.

2. Установлено, как тип вторичных течений влияет на теплоперенос в системе. Показано, что для оценки величины теплопереноса в прикладных задачах возможно получить приемлемые результаты с использованием двумерной численной модели, что позволит существенно сэкономить на требуемых вычислительных ресурсах.

3. Выполнено прямое численное моделирование турбулентной конвекции в тонких вертикальных слоях жидкости при подогреве снизу в рамках чисто двумерной (2Б) и квазидвумерной (020) моделей. Показано, что учет трения на боковых границах даже в рамках грубой модели линейного трения, использовавшейся в С?20 расчетах, позволяет получить реалистичную структуру турбулентного потока при аспектном отношении Г<0.1.

4. Показано, что расчет с использованием квазидвумерной модели не только правильно описывает динамику крупномасштабного течения в слое, но и воспроизводит распределение энергии пульсаций скорости как в физическом пространстве, так и в пространстве Фурье. При этом результаты расчетов в чисто двумерной постановке имеют достаточно слабое отношение к турбулентному течению в реальной полости при любом аспект-ном отношении.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ ИЗЛОЖЕНО В СЛЕДУЮЩИХ ПУБЛИКАЦИЯХ:

1. Sukhanovsky A., Batalov V., Teymurazov A., Frick P. Horizontal rolls in convective flow above a partially heated surface // European Physical Journal B, - 2012. - Vol. 85. - P. 1-12.

2. Теймуразов A.C., Васильев А.Ю., Фрик П.Г. Двумерные и квазидвумерные расчеты турбулентной конвекции в вертикальных слоях // Вычислительная механика сплошных сред. - 2012. - Т.5 - №4 - С. 405-414.

3. Колесниченко И.В., Теймуразов А.С. Течение жидкости в прямоугольном объеме, вызванное неоднородным подогревом снизу и действием внешнего источника // Труды XVI Зимней школы по механике сплошных сред (механика сплошных сред как основа современных технологий (Электронный ресурс) - Пермь: ИМСС УрО РАН, 2009. Электрон, оптич. диск. (CD).

4. Теймуразов А.С., Фрик П.Г. Адвективное течение жидкости в прямоугольном объеме с неоднородным подогревом снизу // Всероссийская конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах». Материалы конференции. Пермь. -2009. С. 243-246.

5. Теймуразов А.С., Фрик П.Г. Численное исследование вторичных течений и теплообмена в горизонтальном слое с неоднородным подогревом снизу // Труды Пятой Российской национальной конференции по теплообмену (РНКТ-5). Москва. - 2010. Том 2. С. 224-226.

6. Сухановский А.Н., Теймуразов А.С., Баталов В.Г., Фрик П.Г. Экспериментальное и численное исследование горизонтальных валов над неоднородно нагретой поверхностью. Материалы Всероссийской конференции молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах», г. Пермь, . — 2010. С. 230-233.

7. Teymurazov A., Sukhanovsky A., Batalov V., Frick P. Secondary convective flows in the rectangular tank with non-uniform heating //13 European Turbulence Conférence, Journal of Physics: Conférence Sériés - 2011. - Vol. 318 - Issue 8.-P. 1-5.

8. Teimurazov A., Kolesnichenko I., Batalov V., Sukhanovsky A., Frick P. Expérimental and numerical study of fluid flow in rectangular cavity, generated by non uniform bottom heating // International Conférence «Mesoscale meteorology and air pollution» in Commémoration of the Late Professor Lev N. Gutman and His

Outstanding Contribution to Theoretical Mesometeorology. Ukraine, Odessa. -2008. C. 37-38.

9. Теймуразов A.C., Фрик П.Г. Численное исследование горизонтальных валов в конвективном потоке над неоднородно нагретой поверхностью. // Всероссийская конференция молодых специалистов, посвященная 50-летию НПО «Тайфун». Тез. докл. г. Обнинск. - 2010. С. 144—147.

10. Теймуразов A.C., Фрик П.Г. Численное исследование вторичных течений в горизонтальном слое жидкости с неоднородным подогревом снизу // Всероссийская научная школа молодых ученых «Механика неоднородных жидкостей в полях внешних сил.». Тез. докл. г. Москва. - 2010. С. 81-83.

11.Frick P., Batalov V., Vasiliev A., Sukhanovsky A., Teimurasov A. Secondary Flows and Large-scale Structures in Turbulent convective flows // International Workshop "Convection, magnetoconvection, and dynamo theory", Cargese, France, 20-25 Sept. 2010. Abstracts, p. 17.

12. Sukhanovsky A., Frick P., Teymurazov A. and Batalov V. Horizontal rolls in a convective flow driven by differential heating. Geophysical Research Abstracts, Vol. 13, EGU2011-1514-2, 2011, EGU General Assembly 2011.

13. Баталов В.Г., Сухановский A.H., Теймуразов A.C., Фрик П.Г. Численное и лабораторное исследование формирования спиральных валов в температурном пограничном слое // XVII Зимняя школа по механике сплошных сред. Пермь. 28 февраля- 3 марта 2011 г. Тез. докл., стр. 40.

14. Теймуразов A.C., Васильев А.Ю., Фрик П.Г. Численное исследование двумерной и квазидвумерной конвективной турбулентности // Всероссийская конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах». Пермь. 16-17 ноября 2012. Тез. докл. С. 70

15. Теймуразов A.C., Васильев А.Ю., Фрик П.Г. Численное исследование двумерной и квазидвумерной турбулентной конвекции в вертикальной щели // Всероссийская научная школа молодых ученых «Волны и вихри в сложных средах». Москва. 3-5 декабря 2012. Тез. докл. С.185-186.

Подписано в печать 09.01.2013 г. Формат 60x90/16 Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз. Заказ № 6404 от 09 января 2013 года Отпечатано в типографии «А Принт» 614007, г. Пермь, ул. М. Горького, 76

Введение

1 Обзор литературы

1.1 Развитая конвекция в замкнутых объемах

1.2 Подходы к численному решению задач гидродинамики

1.3 Выводы по главе.

2 Вторичные течения в горизонтальном слое жидкости с неоднородным подогревом снизу

2.1 Введение.

2.2 Лабораторное моделирование атмосферных течений.

2.3 Математическая постановка задачи и численный алгоритм

2.4 Результаты.

2.4.1 Крупномасштабная циркуляция

2.4.2 Горизонтальные валы.

2.4.3 Теплоперенос.

2.4.4 Карта режимов вторичных течений.

2.5 Выводы по главе.

3 Двумерные и квазидвумерные расчеты турбулентной конвекции в вертикальных слоях

3.1 Введение.

3.2 Лабораторное моделирование турбулентной конвекции в прямоугольных областях

3.3 Математическая постановка задачи и численный алгоритм

3.4 Результаты.

3.4.1 Крупномасштабная циркуляция

3.4.2 Мелкомасштабная турбулентность.

3.4.3 О возможности инверсий КМЦ.

3.5 Выводы но главе.

Актуальность.

Конвективное движение, вызванное неоднородным нагревом, является одним из наиболее распространенных видов течений жидкости и газа. В частности, горизонтальные конвективные движения, вызванные тепловыми потоками, являются неотъемлемыми элементами многих природных процессов, наблюдающихся в атмосфере и океанах Земли, а также течений, реализующихся в различных технологических устройствах. Заметная роль в формировании конвективных течений в таких потоках отводится вторичным течениям в пограничном слое. Одним из танов вторичных конвективных структур являются горизонтальные валы, которые в зависимости от параметров задачи могут иметь различные характеристики и оказывать существенное влияние на тепломассообмен в системе.

В практических приложениях горизонтальные валы появляются при смешанной (вынужденная плюс естественная) конвекции в каналах и влияют на теплоперенос в теплообменниках, при процессах химического паро-фазпого осаждения (СУБ-ироцесс), в системах охлаждения электронного оборудования и ядерных реакторов. Кроме того, исследования горизонтальных конвективных валов актуальны для современной геофизической гидродинамики в части понимания процессов, происходящих в атмосфере в районе раздела водной и твердой поверхностей или в районе с различно нагретыми областями океанической поверхности. Появились и исследования, направленные на лабораторное моделирование атмосферных течений. Однако, среди них очень мало экспериментов, в которых неустойчивость в виде горизонтальных валов рассматривалась подробно. Большинство исследователей ограничиваются лишь упоминанием о наличии вторичных конвективных валов в данной системе, по без подробного анализа. На данный момент нет детальной информации о процессе, которая может быть получена с помощью прямого численного моделирования.

Процессы конвективного переноса, представляющие практический интерес, происходят, как правило в условиях турбулентного движения среды. Конвективная турбулентность обладает рядом особенностей, в частности, она примечательна тем, что соображения размерности приводят к степенным законам, не зависящим от размерности пространства - и в трехмерном, и в двумерном случаях предположение о существовании интервала масштабов, в котором реализуется баланс сил плавучести и нелинейных взаимодействий, приводит к известному степенному закону Обухова-/Болджиано, что даст надежду на исследование свойств развитой конвективной турбулентности в значительно более простой двухмерной постановке. В то же время, изотермическая двумерная турбулентность не является частным случаем трехмерной и переход к плоской геометрии ведет к качественным изменениям свойств течений. Интерес к двумерной турбулентности в значительной мерс поддерживается надеждой на описание с помощью двумерных уравнений квазидвумерных течений жидкости. В ква-зидвумерпых течениях, то есть в случае, когда одни характерный размер области намного меньше двух других (например, в тонком вертикальном слое толщиной Н, ограниченном квадратными пластинами с характерным размером Ь, при этом к « Ь) возможна ситуация, когда поперечный профиль скорости потока может оставаться ламинарным, хотя параметры квазпдвумерного течения, в которых определяющей величиной служит размер области I/, относятся к развитым турбулентным режимам.

Подход к описанию поведения крупномасштабных (квазидвумерных) турбулентных течений в вертикальной щели состоит в учете профиля течения с последующим интегрированием уравнений движения поперек слоя и переходе к двумерным уравнениям. В простейшем случае учет квазидву-мерности сводится к появлению в уравнениях так называемого линейного трения, описывающего влияние боковых стенок. Двумерные уравнения для описания потоков в слоях широко используются в различных областях гидродинамики - геофизике, теории устойчивости конвективных течений, гидравлике. Поэтому изучение описанных процессов имеет большое как научное, так и практическое значение. Однако, вопрос о применимости выводов теории двумерной турбулентности к слоям требует отдельного рассмотрения в каждом конкретном случае. Интерес представляет исследование как крупномасштабной циркуляции, возникающей на фоне турбулентного движения, так и мелкомасштабных характеристик турбулентного течения в замкнутых областях.

Известно, что квазидвумерные модели могут хорошо работать в случае ламинарных режимов, но возможность применимости такого подхода к описанию развитых турбулентных течений неочевидна и на данный момент недостаточно хорошо исследована. Представляется важным выяснить, помогает ли учет влияния боковых стенок в рамках квазидвумерной модели получить более реалистичное описание конвективной турбулентности в тонкой вертикальной полости (по крайней мерс, крупномасштабной циркуляции) и найти границы применимости модели линейного трения к описанию развитой турбулентной конвекции в щелевых зазорах.

Целью работа является изучение крупномасштабной циркуляции, вторичных течений и мелкомасштабной турбулентности при естественной конвекции в замкнутых прямоугольных областях. Научная новизна работы. Впервые:

1. Численно в трехмерной постановке исследована структура вторичных течений в случае естественной (не смешанной) конвекции жидкости над неоднородно нагретой поверхностью в замкнутой области, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда. Обнаружено, что в данной конфигурации задачи возможны режимы как с поперечной, так н с продольной ориентацией вторичных конвективных валов.

2. Изучено влияние структуры и типа вторичных течений на теплопе-реиос в системе.

3. Выполнено прямое численное моделирование турбулентной конвекции в тонких вертикальных слоях жидкости при подогреве снизу в рамках чисто двумерной (2Б) и квазндвумерной (С^20) моделей.

4. Изучена крупномасштабная циркуляция, поле турбулентных пульсаций, и на основе прямого сравнения с экспериментальными данными определены границы применимости квазидвумерной модели для описания структуры турбулентного потока в вертикальной щели.

Защищаемые положения.

1. Эффективный параллельный численный код для прямого моделирования конвективных течений в замкнутой полости в трехмерной постановке.

2. Результаты численного исследования структуры трехмерного течения жидкости в прямоугольной полости с неоднородным подогревом снизу.

3. Эффективный параллельный численный код для прямого моделирования турбулентной конвекции в двумерной и квазидвумерной постановке.

4. Результаты расчетов турбулентной конвекции в тонких вертикальных слоях жидкости при подогреве снизу в рамках чисто двумерной и квазпдвумерной моделей.

Практическая значимость работы.

1. Результаты исследований вторичных течений могут быть использованы для параметризации процессов, протекающих в атмосферном пограничном слое. Включение данной параметризации, несущей информацию о вкладе процессов на мезоуровне, в существующие модели для описания атмосферных явлений, которые рассматривают только крупномасштабные процессы, поможет улучшить точность моделей прогнозирования погоды.

2. Установленные зависимости влияния структуры вторичных течений на теплоперенос могут быть полезны при проектировании технологичсских устройств, в которых имеются течения над локализованным источником тепла.

3. Показано, что с помощью квазидвумерных моделей, даже в рамках грубой модели линейного трения, использовавшейся в 02Т) расчетах, можно получить реалистичную структуру турбулентного потока в тонких щелях.

4. Результаты численных исследований турбулентной конвекции могут помочь в понимании природы и свойств инверсий крупномасштабной циркуляции.

Обоснованность и достоверность результатов обеспечивается тща- • тельным тестированием всех используемых в работе алгоритмов и методов и сравнением полученных результатов с результатами физических экспериментов. проводившихся в лаборатории Физической гидродинамики ИМ С С УрО РАН параллельно с расчетами, а также сравнением, где это возможно, с известными результатами других авторов. Апробация работы.

Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих научных семинарах и конференциях: Всероссийская конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах» (Пермь, 2008, 2009, 2010. 2012 гг.): Всероссийская школа-конференция молодых ученых и студентов «Математическое моделирование в естественных науках» (Пермь, 2009 гг.); Зимняя школа по механике сплошных сред (Пермь, 2007, 2009, 2011 гг.); Краевая дистанционная научно-практическая конференция молодых ученых и студентов «Молодежная наука Прикамья» (Пермь, 2008 г.);

Международная конференция «Mesoscale meteorology and air pollution» (Одесса, Украина, 2008 г.); Всероссийская научно-практическая конференция «Актуальные проблемы механики, математики, информатики» (Пермь, 2010 г.); Пятая Российская национальная конференция по теплообмену (Москва, 2010 г.); Всероссийская конференция молодых специалистов, посвященная 50-летию НПО «Тайфун» (Обнинск, 2010 г.); Всероссийская научная школа молодых ученых «Механика неоднородных жидкостей в полях внешних сил» (Москва, 2010 г.); Международный семинар «Convection, magnetoconvection, and dynamo theory» (Каржез, Франция, 2010 г.); Генеральная ассамблея Европейского общества геофизических наук (Вена, Австрия, 2011 г.); Международная конференция «13 European Turbulence Conference» (Варшава, Польша, 2011 г.); Всероссийская научная школа молодых ученых «Волны и вихри в сложных средах» (Москва, 2012 г.).

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 20 работ [77, 90-108], из них 2 в журналах из списка ВАК, 7 статей в трудах международных и российских конференций, и 11 в тезисах докладов.

Личный вклад автора.

Автором диссертации выполнены выбор методов, разработка и программная реализация численных алгоритмов, проведение расчетов и анализ полученных данных. В опубликованных в соавторстве с экспериментаторами статьях, автор полностью отвечает за численные расчеты.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из вводной части, трех глав, заключения и списка литературы, включающего 108 наименований. В работе приводится 38 рисунков и 2 таблицы. Общий объем диссертации составляет 120 страниц.

1. Обзор литературы

3.5. Выводы по главе

• Выполнены расчеты турбулентной конвекции в тонких вертикальных слоях жидкости при подогреве снизу в рамках чисто двумерной (2Б) и квазидвумерной ((^20) моделей и проведено сопоставление результатов с данными лабораторных экспериментов.

• Показано, что учет трения на боковых границах даже в рамках грубой модели линейного трения, использовавшейся в расчетах, позволяет получить реалистичную структуру турбулентного потока при аспектном отношении Г < 0.1.

• При этом, С^20 расчет не только правильно описывает динамику крупномасштабного течения в слое, но и воспроизводит структуру распределения спектральной плотности энергии пульсаций скорости.

• Результаты расчетов в 2Б постановке имеют достаточно слабое отношение к турбулентному течению в реальной полости при любом аспектпом отношении.

4. Заключение

Сформулируем основные результаты исследования, выносимые па зату:

1. Численно в трехмерной постановке исследована структура вторичных течений в случае естественной (не смешанной) конвекции жидкости над неоднородно нагретой поверхностью в замкнутой области, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда. Обнаружено, что в данной конфигурации задачи возможны режимы как с поперечной, так и с продольной ориентацией вторичных конвективных валов. Построена фазовая диаграмма режимов вторичных течений, разделяющая течения различной с разными типами конвективных валов, на плоскости Яа — Яе.

2. Установлено, как тип вторичных течений влияет на теплоперенос в системе. Показано, что для оценки величины теплопереноса в прикладных задачах возможно получить приемлемые результаты с использованием двумерной численной модели, что позволит существенно сэкономить на требуемых вычислительных ресурсах.

3. Выполнено прямое численное моделирование турбулентной конвекции в тонких вертикальных слоях жидкости при подогреве снизу в рамках чисто двумерной (2В) и квазидвумериой (С}20) моделей. Показано, что учет трения на боковых границах даже в рамках грубой модели линейного трения, использовавшейся в Q2D расчетах, позволяет получить реалистичную структуру турбулентного потока при асисктном отношении Г < 0.1.

4. Показано, что расчет с использованием квазидвумерной модели не только правильно описывает динамику крупномасштабного течения в слое, но и воспроизводит распределение энергии пульсаций скорости как в физическом пространстве, так и в пространстве Фурье. При этом результаты расчетов в чисто двумерной постановке имеют достаточно слабое отношение к турбулентному течению в реальной полости при любом аспектном отношении.

1. Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М., Непомнящий Л. Л. Устойчивость конвективных течений. — М.: Наука, 1989. — 320 с.

2. Гетлииг А. В. Конвекция Рэлея-Беиара. Структуры и динамика. — М.: • Эдиториал УРСС, 1999. 248 с.

3. Ahlers G., Grossmarm S., Lohse D. Heat transfer and large scale dynamics in turbulent, raylcigh-benard convection // Reviews of Modern Physics. — 2009. Vol. 81. - P. 503-537. - 0811.0471.

4. Hart J. E. Stability of thin non-rotating Hadley circulations //' Journal of Atmospheric Sciences. 1972. - Vol. 29. - P. 687-697.

5. Гершуни Г. 3., Жуховицкий E. M., Мызников В. М. Об устойчивости нлоскопараллельного конвективного течения жидкости в горизонтальном слое // ПМТФ. 1974. - Т. 1. - С. 95-100.

6. Sparrow Е. М., Husar R. В. Longitudinal vortices in natural convection ■ flow on inclined plates // Journal of Fluid Mechanics. — 1969. — Vol. 37. — P. 251-255.

7. Bicrtumpfel R., Beer H. Natural convection heat transfer increase at the laminar-turbulent transition in the presence of instationary longitudinal vortices // International Journal of Heat and Mass Transfer. — 2003. — Vol. 46, no. 16,- P. 3109-3117.

8. Shaukatullah H., Gcbhart B. An experimental investigation of natural convection flow on an inclined surface // International Journal of Heat and Mass Transfer. 1978. - Vol. 21, no. 12. - P. 1481-1490.

9. Chiu W. K. S., Richards C. J., Jaluria Y. Flow structure and heat transfer in a horizontal converging channel heated from below // Physics of Fluids. 2000. - Vol. 12. - P. 2128-2136.

10. Characterization of fluid flow patterns and heat transfer in horizontal channel mixed convection / A. Benderradji, A. Haddad, R. Taher et al. // Heat and Mass Transfer. 2008. - Vol. 44. - P. 1465-1476.

11. Lin T. Buoyancy driven vortex flow and thermal structures in a very low reynolds number mixed convective gas flow through a horizontal channel /'/ International Journal of Heat and Fluid Flow. — 2003. — Vol. 24, no. 3.- P. 299-309.

12. Etling D., Brown R. A. Roll vortices in the planetary boundary layer: A review /'/ Boundary-Layer Meteorology. — 1993. — Vol. 65. — P. 215-248.

13. Wurman J., Winslow J. Intense sub-kilometer-scale boundary layer rolls observed in hurricane Fran // Science. — 1998. — Vol. 280. — P. 555-557.

14. An observational case for the prevalence of roll vortices in the hurricane boundary layer / I. Morrison, S. Businger, F. Marks et al. // Journal of Atmospheric Sciences. 2005. - Vol. 62. - P. 2662-2673.

15. Ginis I., Khain A. P., Morozovsky E. Effects of large eddies on the structure of the marine boundary layer under strong wind conditions // Journal of Atmospheric Sciences. — 2004. Vol. 61. - - P. 3049-3064.

16. Hughes G. O., Griffiths R. W. Horizontal convection // Annual Review of Fluid Mechanics. 2008. - Vol. 40. - P. 185-208.

17. Любимов Д. В., Путин Г. Ф., Чернатынский В. И. О конвективных движениях в ячейке Хеле-Шоу // Доклады АН СССР. — 1977.— Т. 235, № 3. С. 554-556.

18. Путин Г. Ф., Ткачева Е. А. Эксеримеиталыгое исследование надкритических коивектиывиых жвижений в ячейке Хеле-Шоу / / Механика жидкости и газа. — 1979. — X2 1. — С. 3-8.

19. Flow Reversals in Thermally Driven Turbulence / K. Sugiyama, R. Ni, R. J. A. M. Stevens et al. // Physical Review Letters.— 2010.- Vol. 105. P. 034503.

20. Lohse D., Xia K.-Q. Small-Scale Properties of Turbulent Rayleigh-Benard Convection // Annual Review of Fluid Mechanics. — 2010.— Vol. 42.— P. 335-364.

21. Chandra M., Verma M. K. Flow reversals in turbulent convection via vortex reconneetions // ArXiv e-prints. — 2012.—jul.— 1207.4521.

22. Зимин В. Д., Фрик П. Г. Турбулентная конвекция.— М.: Наука, 1988.- 173 с.

23. Попова Е. H., Фрик П. Г. Крупномасштабные течения в турбулентном конвективном слое с погруженным в него подвижным теилоизолято-ром // Механика жидкости и газа. — 2003. — № 6. — С. 41-47.

24. Обухов А. М. О влиянии архимедовых сил на структуру температурного поля в турбулентном потоке // Доклады АН СССР. — 1959. — Т. 125, № 6.-С. 1246-1248.

25. Bolgiano Jr. R. Turbulent spectra in a stably stratified atmosphere // . Journal of Geophysical Research. 1959.- Vol. 64, no. 12.- P. 22262229.

26. Фрост У., Моулден Т. Турбулентность. Принципы и применения.— М.: Мир, 1980.- 527 с.

27. Batchelor G. К. Computation of the energy spectrum in homogeneous two-dimensional turbulence /7 Physics of Fluids. — 1969. — Vol. 12. — P. 233-239.

28. Kraichnan R. H. Inertial ranges in two-dimensional turbulence // Physics of Fluids. 1967. - Vol. 10. - P. 1417-1423.

29. Мирабель А. П., Монин А. С. Двумерная турбулентность // Успехи механики. 1979. - Т. 2, № 3. - С. 47-95.

30. Kraichnan R. H., Montgomery D. Two-dimensional turbulence // Reports on Progress in Physics. 1980. - Vol. 43. - P. 547-619.

31. Tabeling P. Two-dimensional turbulence: a physicist approach // Physics Reports. 2002. - Vol. 362. - P. 1-62.

32. Boffctta G., Eckc R. E. Two-dimensional turbulence // Annual Review of Fluid Mechanics. 2012. - Vol. 44. - R 427-451.

33. Boffetta G. Energy and enstrophy fluxes in the double cascade of two-dimensional turbulence /'/ Journal of Fluid Mechanics. — 2007. — Vol. 589,- P. 253-2G0.

34. Boffctta G., Musacchio S. Evidence for the double cascade scenario in two-dimensional turbulence // Physical Review E. — 2010. — Vol. 82, no. 1. — P. 016307.

35. Гилл А. Динамика атмосферы и океана. В 2-х томах.— М.: Мир, 1986. 811 с.

36. Педлоски Д. Геофизическая гидродинамика. В 2-х томах. — М.: Мир, 1984. — 811 с.

37. Ватажин А. В., Любимов Г. А., Регирер С. А. Магнитогидродпнами-ческие течения в каналах. — М.: Наука, 1970. — 642 с.

38. Новиков П. А., Любии Л. Я. Гидромеханика щелевых систем.— Минск: Наука и техника, 1988. — 344 с.

39. Ogura Y. Energy transfer in a normally distributed and isotropic turbulent velocity field in two dimensions // Physics of Fluids. — 1962. — Vol. 5. — P. 395-401.

40. Gage K. S. Evidence for а /с~5//3 law inertial range in mesoscale two-dimensional turbulence // Journal of Atmospheric Sciences. —■ 1979. — Vol. 36.-P. 1950-1954.

41. Аристов С. Н., Фрик П. Г. Крупномасштабная турбулентность в тонком слое неизотермической вращающейся жидкости // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. — 1988. — № 4. — С. 48-55.

42. Аристов С. Н., Фрик П. Г. Крупномасштабная турбулентность в кон- • векции Релея-Бенара // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. — 1989.-№5.-С. 43-48.

43. Роуч П. Вычислительная гидродигамика. — М.: Мир, 1980. — 618 с.

44. Ferziger J. Н., Peric М. Computational Methods for Fluid Dynamics.— Springer, 2002. 423 p.

45. Сегерлиид Л. Применение метода конечных элементов.— М.: Мир, 1979.- 392 с.

46. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы: Пер. с англ. — М.: Мир, 1984. 428 с.

47. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей.— М.: Мир, 1991.-Т. 1.- 504 с.

48. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. — М.: Наука, 1989. — 432 с.

49. Bracevell R. N. The Fourier Transform and Its Applications. Third edition. — McGraw-Hill, 2000. 616 p.

50. Фрик П. Г. Турбулентность: подходы и модели. — Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2010. — 332 с.

51. Siggia E. D., Aref H. Point-vortex simulation of the inverse energy cascade in two-dimensional turbulence // Physics of Fluids. — 1981. — Vol. 24. — P. 171-173.

52. Evolution of vortex statistics in two-dimensional turbulence / G. F. Carnevale, W. R. Young, J. C. McWilliams ct al. // Physical Review Letters. 1991. - Vol. 66. - P. 2735-2737.

53. Mellor G. L., Herring II. J. A survey of the mean turbulent field closure models. // AIAA Journal. 1973. - Vol. 11. - P. 590-599.

54. Energy dissipation rate and energy spectrum in high resolution direct numerical simulations of turbulence in a periodic box / Y. Kaneda, T. Ishihara, M. Yokokawa et al. // Physics of Fluids. 2003. - Vol. 15. -P. L21-L24.

55. Smagorinsky J., Manabe S., Holloway J. L. Numerical results from a nine-level general circulation model of the atmosphere // Monthly Weather Review. 1965. - Vol. 93. - P. 727-768.

56. Deardorff J. W. A numerical study of three-dimensional turbulent channel flow at large reynolds numbers // Journal of Fluid Mechanics. — 1970. — Vol. 41.-P. 453-480.

57. Stoll R., Porte-Agel F. Large-eddy simulation of the stable atmospheric boundary layer using dynamic models with different averaging schemes // Boundary-Layer Meteorology. 2008. - Vol. 126. — P. 1-28.

58. Об экспериментальных тестах (бенчмарках) для программных пакетов, обеспечивающих расчет теплообменников в атомной энергетике /

59. М. А. Болынухин, А. ЬО. Васильев, А. В. Будииков и др. // Вычислительная механика сплошных сред. — 2012. — Т. 5, № 4. — С. 469-480.

60. Plunian F., Stepanov R. A non-local shell model of hydrodynamic and magnetohydrodynamic turbulence // New Journal of Physics. — 2007. — Vol. 9.-P. 294.

61. Plunian F., Stepanov R., Frick P. Shell models of magnetohydrodynamic • turbulence // Pieprint submitted to Physics Reports.— 2012.— arXiv: 1209.3844.

62. Schroder E., Buhler K. Three-dimensional convection in rectangular domains with horizontal throughfiow // International Journal of Heat and Mass Transfer. 1995.- Vol. 38, no. 7. - P. 1249-1259.

63. Nicolas X., Mojtabi A., Platten J. K. Two-dimensional numerical analysis of the Poiseuille-Benard ilow in a rectangular channel heated from below , / Physk s of Fluids. 1997. - Vol. 9. - P. 337-348.

64. Luijkx J. M., Platten J. K. On the onset of free convection in a rectangular channel // Journal of Non Equilibrium Thermodynamics.— 1981. — Vol. 6.-P. 141-158.

65. Luijkx J. M., Platten J. K., Legros C. L. On the existence of therrnoconvective rolls, transverse to a superimposed mean poiseuillc flow // International Journal of Heat and Mass Transfer.— 1981.— Vol. 24, no. 7.- P. 1287-1291.

66. Maughan J. R., Incropera F. P. Secondary flow in horizontal channelsheated from below // Experiments in Fluids. — 1987. — Vol. 5, no. 5. — P. 334-343.

67. Богатырев Г. П. Возбуждение циклонического вихря или лабораторная модель тропического циклона // Письма в ЖЭТФ. — 1990. — Т. 51, 11.-С. 557-559.

68. Поля скорости в крупномасштабном вихре над локализованным источником тепла во вращающемся слое жидкости / В. Г. Баталов, Г. В Левина, А. Н. Сухановский, П. Г. Фрик // Гидродинамика, Пермь: изд-во ПГУ. 2004. - № 14. - С. 9-20.

69. Баталов В. Г., Сухановский А. Н., Фрик П. Г. Экспериментальное исследование спиральных валов в адвективном потоке, натекающем па горячую горизонтальную поверхность // МЖГ. — 2007. № 4. -С. 39-49.

70. Mullarney J. С., Griffiths R. W., Hughes G. O. Convection driven by differential heating at a horizontal boundary // Journal of Fluid Mechanics. 2004. - Vol. 516. - P. 181-209.

71. Варгафтик H. Б. Справочник no тенлофизическим свойствам газов и жидкостей. — М.: Наука, 1972.— 720 с.

72. Гершупи Г. 3., Жуховицкий Е. М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. — М.: Наука, 1972. — 392 с.

73. Белоцерковский О. М. Численное моделирование в механике сплошных сред. — М.: Наука, 1984. — 520 с.

74. Антонов А. С. Параллельное программирование с использованием • технологии MPI: Учебное пособие. — М.: Изд-во МГУ, 2004. — 71 с.

75. Horizontal rolls in convective flow above a partially heated surface / A. Sukhanovsky, V. Batalov, A. Teymurazov, P. Frick // European Physical Journal B. 2012. - Vol. 85. - P. 9.

76. Buoyancy-driven convection in plane Poiseuille flow / M. C. Kim, J. S. Baik, I. G. Hwang et al. // Chemical Engineering Science. — 1999. — Vol. 54, no. 5. P. 619-632.

77. Intermittency and coherent structures in two-dimensional turbulence / R. Benzi, G. Paladin, S. Patarnello et al. // Journal of Physics A: Mathematical General. 1986. - Vol. 19, no. 18,- P. 3771-3784.

78. Vorticity and passive-scalar dynamics in two-dimensional turbulence / A. Babiano, C. Basdevant, B. Legras, R. Sadourny // Journal of Fluid Mechanics. 1987. - Vol. 183. - P. 379-397.

79. Sommeria J. Experimental study of the two-dimensional inverse energy cascade in a square box ,// Journal of Fluid Mechanics. — 1986. — Vol. 170.- P. 139-168.

80. Баранников В. А., Фрик П. Г., Шайдуров В. Г. Спектральные характеристики двумерной турбулентной конвекции в вертикальной іцели // Журнал прикладной механики и технической физики. — 1988. — № 2. С. 42-46.

81. Аристов С. Н., Фрик П. Г. Нелинейные эффекты влияния экма-новского слоя на динамику крупномасштабных вихрей в «мелкой воде» // Журнал прикладной механики и технической физики. — 1991.-№2.-С. 49-54.

82. Шварц К. Г., Шкляев В. А. Численное моделирование атмосферных мезомасштабных процессов переноса многокомпонентной примеси при торфяном пожаре // Вычислительная механика сплошных сред.— 2012. Т. 5, № 3. - С. 274-283.

83. Должанский Ф. В., Крымов В. А., Мании Д. Ю. Устойчивость и вихревые структуры квазидвумерных сдвиговых течений // Успехи Физических Наук, 1990.- Т. 160, № 7.- С. 1-47.

84. Васильев А. Ю., Фрик П. Г. Инверсии крупномасштабной циркуляции при турбулентной конвекции в прямоугольных полостях // Письма в ЖЭТФ.-2011.-Т. 93. С. 363-367.

85. Patankar S. V. Numerical Heat Transfer and Fluid Flow. — McGraw-Hill, Hemisphere Publishing Corporation, 1980. — 197 p.

86. Balay S., Brown J., Buschelman K. et al. PETSc Web page. 2012.-URL: http: //www. mcs. anl. gov/pet sc.

87. PETSc users manual: Rep.: ANL-95/11 Revision 3.3 ,/ Argonne National Laboratory ; Executor: Satish Balay, Jed Brown, et al. : 2012.

88. Теймуразов А. С., Васильев А. Ю., Фрик П. Г. Двумерные и квазидвумерные расчеты турбулентной конвекции в вертикальных слоях // Вычислительная механика сплошных сред. — 2012. — Т. 5, К2 4. — С. 405-414.

89. Теймуразов А. С., Фрик II. Г. Адвективное течение жидкости в прямоугольном объеме с неоднородным подогревом снизу // Материалы Всероссийской конференции молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах». — Пермь, 2009. — С. 243-246.

90. Secondary convective flows in the rectangular tank with non-uniform heating / A. Teymurazov, A. Sukhanovsky, V. Batalov, P. Frick // Journal of Physics Conference Series. 2011. - Vol. 318, no. 8. - P. 082011.

91. Secondary flows and large-scale structures in turbulent convcctive flows / P. Frick, A. Teimurasov, V. Batalov et al. // International Workshop «Convection, magnetoconvection, and dynamo theory». Abstracts. — Cargese, France, 2010.— P. 17.

92. Horizontal rolls in a convcct.ive flow driven by differential heating / A. Sukhanovsky, A. Teymurazov, P. Frick, V. Batalov // EGU General Assembly 2011. Geophysical Research Abstracts.— Vol. 13.— Vienna, Austria, 2011.-P. 1514-2.

93. Теймуразов А. С., Васильев А. Ю., Фрик П. Г. Численное исследование1 двумерной и квазидвумерной конвективной турбулентности // Всероссийская конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах». Тез. докл. — Пермь, 2012. — С. 70.