Вычислительные алгоритмы статистического оценивания параметров математических моделей заболеваний тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.11 ВАК РФ

институт вычислительной математики российской академии наук

РГ6 од

я п ДОГ (393

' На правах рукописи

УСМАНОВ Рафаэль Наилевич

УДК 519.6 + 577.27

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО ОЦЕНИВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ЗАБОЛЕВАНИЙ

01.01.11 — Системный анализ и автоматическое управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

москва 1993

Работа выполнена в Институте вычислительной математики Российской академии наук

Научный руководитель

доктор физико-математических наук С. М. ЗУЕВ

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук • И. К. ВОЛКОВ

кандидат физико-математических наук -

" ' в. в: ШАКИН

«Ведущая организация: Институт проблем управления РАН

Чянтитя гпртпитря « /У%> 1993 г. в /^""^часов

на заседании специализированного совета К 003.47.01 в Институте вычислительной математики РАН по адресу: 117334 Москва, Ленинский проспект, 32а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института вычислительной математики РАН.

Автореферат разослан « ^ '> _1993 г

Учёный секретарь Ц^&ЫуС^

специализированного совета кандидат физико-математических наук С. А. ФИНОГЕНОВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Исследование физических процессов методами математического моделирования предполагает постановку и решение задачи определения параметров модели исследуемого объекта по данным изменения его состояния в процессе наблюдения. Наличие модели исследуемого объекта и эффективного метода оценивания еб параметров позволяет проводить объективный анализ данных наблюдений для решения различного рода практических задач, например для изучения внешних воздействий на параметры объекта или прогнозирования его состояния.

Такой подход к анализу данных наблюдений успешно используется в естественных науках (физике, химии и т.п.). Данная работа посвящена его применению для анализа данных иммунологических экспериментов и клинических наблюдений. Основанием для этого является современное развитие иммунологии, позволяющее с единых позиций рассматривать различные заболевания как процесс взаимодействия патогенного агента с иммунной системой организма, выполняющей защитные функции.

Благодаря такому рассмотрению удабтся описывать процессы, происходящие в организме при заболевании, системами обыкновенных дифференциальных уравнений следующего вида:

<й

ЗР*- Г(х4,а) , х0= с , гесо.т] , (1)

где х^ € Йп- вектор состояния организма, х4=(х[,х^.....х"),

а = сопз! е И1-вектор параметров описываемых процессов, величины которых определяют ту или иную форму течения заболевания.

Наличие модели (1) обеспечивает более углубленный (по сравнению с применяемыми в клинической практике методами элементарной математической статистики) анализ данных наблюдений, которые образуют множество X следующего вида:

х = Гее} , . весо.т] , (2)

где 9 - множество моментов времени, в которые измерен векто фазовых переменных модели (1).

Действительно, структуре правой части модели содержи априорную информацию об исследуемом процессе, что позволяв существенно сократить объбм выборки, подлежащей обработке Поскольку параметры (а) имеют физический смысл, то наличие метод их оценивания по данным наблюдений (2) обеспечивает возможное? статистической проверки содержательных гипотез, например, воздействии препаратов на организм и возбудитель болезни.

К такой постановке относится целый рад задач, возникающих ка в клинической практике, так и в экспериментальных исследованиях Поэтому разработка методов оценивания параметров моделей вида <1 по данным наблюдений (2) является достаточно актуальной практической точки зрения.

Необходимость теоретических исследований в этом направлени обусловлена особенностями клинико-лабораторных данных используемых моделей. Основная из них состоит в том, что модел является детерминированной, а данные наблюдений (2) имек случайный характер. При малых выборках, когда нет возможное! усреднения данных, это приводит к необходимости ресширени исходной модели (1) до стохастической. Такой подход предложен разрабатывается в Институте вычислительной математики РАН, основан он на введении быстрых случайных возмущений в параметр модели (1):

Г(х=,а+сг/е) , х§= с , геГО.Т] , <з)

где С4 - случайный процесс со значениями в Я1, такой, что 0 , Е|£4|2< » , ;

е > 0 - малый числовой параметр.

В предположении малости е>0 в реальной системе, да оценивания вектора параметров а предложен и исследова итерационный процесс. Однако предположение о малости е>0 осталос не изученным на реальных данных , что сделано в настоящей работе Креме того, дальнейшее изучение указанного итерационного процесс позволило построить более эффективный (в смысле используемс памяти ЭВМ) метод вычисления оценок вектора а. Изучение .эти вопросов также является важным для обоснования и применена предложенного подхода, успешно применяемого в настоящее время да решения практических задач.

- 3 -Цеди работы

1. Разработать методы и вычислительные алгоритмы для решения адачи оценивания параметров моделей (1) по данным наблюдений (2)

учЭтом их особенностей, связанных с условиями клинических, аблюдений и иммунологических экспериментов.

2. Исследовать вопросы сходимости разработанного герационного процесса.

3. Исследовать возможность описания данных наблюдений с эмощью модели (3) с быстрой случайной переменной при малых начениях в: 0 < е ^ в*.

4. С этой целью построить имитационную модель и исследовать 5 соответствие фактическим данным.

Научная новизна. В работе предложены и исследованы новые ¿числительные алгоритмы построения оценки вектора параметров эдели (1) по данным наблюдений (2), основанные на известном эреходе к стохастической модели (3).

Впервые обоснована возможность такого перехода в результате нализа фактических данных, полученных методами стохастического эделирования.

' Практическая значимость работы. Разработанные методы эзволяют решать задачу оценивания параметров модели (1) по данным зблюдений (2), когда последние имеют случайный характер, а объёмы ¿борки- малы, что характерно для клинических и экспериментальных здицинских исследований. Поэтому пркэдлагаемые методы могут быть ^пользованы для анализа клинико-лабораторных данных при :следовании воздействия внешних факторов на . параметры лмунофизиологических процессов в организме. Для этого разработан змплекс программ, для IBM PC. позволяющий вычислять оценки эраметров и строить доверительные границы. С его помощью заведено решение различных практических задач по идентификации зделей иммунных процессов. В частности, исследовано воздействие ггивирусных препаратов при экспериментальной гриппозной инфекции зовместная работа ИВМ РАН и Института экспериментальной медицины ШН в Санкт-Петербурге).

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинарах Института вычислительной математики РАН, на конференциях молодых учбных МФТИ, в ВЦ РАН, МГТУ им. Баумана, в МЭИ.

Публикации. По результатам диссертации опубликовано пять

работ.

Структура и объбм диссертации. Работа состоит из введения, четырбх глав, заключения и приложения. Объбм диссертации 117 страниц, включая 11 рисунков. Библиография содержит 53 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении сформулированы цели и задачи исследования, кратко изложены подходы к их решению и указаны, особенности задач анализа данных клинических наблюдений и ' иммунологических экспериментов. Приведено распределение материала диссертации по главам.

В главе 1 даётся обзор литературы по методам решения задачи идентификации моделей по данным наблюдений, с тем чтобы указать место данной работы в этих исследованиях.

Широкое разнообразие подходов и методов решения этих задач делает практически невозможным полный обзор литературы по этому вопросу в рамках одной главы диссертации. Поэтому в ней рассмотрены лишь те методы, развитию которых посвящена данная работа.

Вначале рассматривается случай, когда наблвдаемая траектория

* = {xt. iee} , eçto.T] ,

принадлежит множеству решений модели (1), т.е. существует вектор а* такой, что

*.(a")=xt, Vite, в = {t,,^,,...,^}, N>1, (4)

где- х, :а; - решение (1). В этом случае можно использовать следувднй итерационный процесс, основанный на .решении сопряжённых /равнений. Пусть ак некоторое приближение к а*, такое, что для

(б)

- 5 -

8xt= zt- rt(afe) справедливо линейное приближение:

af^t" WcV3lt+fa<VcVöa' бх^ О,

St - • Vе' t€C0'T] -

Для задачи (4) запишем сопряжённые

yt3t= о, teco.Ti, зев. Пусть компоненты вектор-функции Q|(s) такие, что q{k(3) = О ЧШ , q"(s) = ö(t-s). 3 учЭтом этого из (5) и (S) получаем

г о

.зев , t = 1,2.....п ,

'дэ <а,Ь> - скалярное произведение векторов а, b ( Rrt. Минимизируя невязки

п

в€6 1=1

щределим öafe. Тогда следующее приближение запишется так:

ab+eafc » k = 0,1.2.... . (8)

то запись итерационного процесса, в котором каждый шаг пределяется в результате решения системы линейных алгебраических равнений.

В задачах, рассматриваемых в.данной работе, предположение (4) е имеет места. Можно лишь предполагать, что детерминированная одель (1) описывает процесс в среднем, то есть

m

х,(a*) = Ext= Ilm. 1- Y xi, tt9 , (9)

яе m -количество наблюдений в момент времени t: В реальных же эдачах имеются случаи т=1. Поэтому далее рассматривается модель 3) и предполагается, что множество Ж (2) представляет собой зданную на 8 реализацию случайного процесса

х{= |х4(ш), feto,Г],

- б -

и существует а* такой, что

xt(a*) = Ext=JxtdP(u). - (10

П

В работах А.Д.Вентцеля и М.И.Фрейдлина показано, что случайна процесс

при б»«, слабо сходится на интервале 10, Т] к гауссовском; случайному. процессу, удовлетворяющему системе линейны: стохастических дифференциальных уравнений (ССДУ). Б предположени малости е в реальной системе в работах ИВМ РАН на этом основали предложено использовать следующую ССДУ:

-¡fox, = íxU*,a*) Bxt+Ía(x't,a*)^t. (11

sx0 , íeto.T] ,

wt - гауссовский процесс с независимыми 'приращениями, такой, что £tot=0, Vt»0, coi)(iüt,K)t+x)=I-r«í , где I - единичная матрица,'

Г = (7,,т2,.—.71) - вектор интенсивностей возмущений с компонентами

тт

7<- Й ? ¡Ые^ * 00

Возможности такого предположения исследуются в главе 3.

В работе обсуждается возможность применения известных методе идентификации стохастических систем вида (11), в частности фильтр Каймана. Однако с учётом особенностей данных наблюдений, состоящи в том, что

vs<t , s,tee ,

p(2jXe) = p(Xt),

предлагается использовать сопряжбнные уравнения в этом случае i

(И;

IV

2'-xr>)+J<fa<x;,a*)ytet,cV = О , (1Z

О

,. i = 1,2,...,п.

Полагая

х«<а*> ~ ¡А^Ч^ ПЗ)

j=i

i. используя свойства стохастического интеграла в (12), запишем 1терационный процесс, аналогичный (8):

ах.» = «V^V

'де За^ - оценка максимального правдоподобия, определённая из гсловия:

«(öc^.r^o^) = min Ф(ва,Г|аь),

aeD, ш2

Ф(8а,Г|аь) -V £ 1 £

tea i=i j=i

(x^-xj(ab)+<a^(ah),öa>)2 "I (14)

In<r,b'(afc)> +

+

г

а!(а) - " fra(xfa)yt3tdt •

о

т

b^(a)-= - [«f^(xt,a).y{et»2dt ,

, о

•де - J-H столбец матрицы fa.

Сходимость этого итерационного процесса исследована в работах IBM РАН. Его существенным недостатком является то, что для решения :опряжбнных задач (б) необходимо хранить сеточную функцию <Xt(a^), :eS>, что требует больших вычислительных затрат.

В главе 2 предлагается новый метод решения данной задачи, ¡вободный от этого недостатка. -Идея метода достаточно проста и »стоит в следующем. Запишем решение (11) в следующем виде: . т

о

a?Yr • V i . шо.т] .

)тсюда следует, что Sxt= xf-xt(a*) гауссовы и

- а -

Я5Х4= 0 УШО.ТЗ ,

£(бх*)*= <Г,Ъ*(а)> .

■«Г^и-]] ■

л л # в

Тогда оцешш максимального правдоподобия а, Г для а и Г определяются условием:

Ф(а,Г) = т1п ®(а,Г), (17)

аеЯ,

геи2

(х'-х*(а))2'

Используя разложение (13) и учитывая, что вз*(а)

За-'

= - а^ (а) =

я т» а

= 1 [^"[ЕЛ^')^^^]] ■ <18>

приходим к итерационному процессу:

'К

аг = ^З-0*^- То-1-4«10'"; (20)

вычисление а*^) и Ь*(ак) производим по формулам (16), (18)

Ф^.Г^су = п(п «(ба.Г!^) , (21)

аеР, ш2

%+Г ак+0ак • к = 0,1,2,..., (22)

где «(ба.Г!^) совпадает с (14). Таким образом, отпадает необходимость хранения решения задачи (19).

Итерационный процесс (19)-(22) можно представить в следующем

виде:

т

а(а)»а(а)

<Ъ(а),Н(а)> (х - х(а))а(а)

<Ь(а),Н(а)>

где

А(а,Н(а))

С(а,Н(а))

Н(а) = arg min Ф(ва,Г|а). Г

Т е о р е u a 2.3. Предположим, что vaG(a) удовлетворяет условию Липшица с константой 7 и существуют a^D такая, что G(a„)=0, A(a,) - положительно определена, \>0 - наименьшее собственное число А(а,) и |Q(a,)|2£ о.

Тогда с вероятностью 1 существует М такое, что для V m > К и

для VCf(1 ,/(\/a)) существует е>0 такое, что для VaQ: |a-a„l2<e последовательность, порожденная методом

корректно определена, сходится к а, и удовлетворяет неравенствам С2о Ст _

a»»2 < —[ak~ a*'2 + -¿Г'"*- •

С20+\

«<W a«l2 < —'V a»«2 <IV a»«2 *

Пусть выполнены условия сходимости и a = Um В работе

_ л a JtMO

показано, что a * а, где точка a задана условием (17). Равенство имеет место в пределе, когда растёт число наблюдений т, т.е. имеется множество независимых траекторий (2):

V {**« <=1.2....1»} . Х{= úej . (23)

Поэтому в работе предложен вычислительный алгоритм решения задачи (17). Введём обозначения:

у = (a',a2.....аг,7,,72,....71)г.

Ф(У) = Ф(а,т), J(y) = v®(у) , Н(у) = ^Ф(у) . Для решения задачи (17) предлагается следующий метод:

У**.- yk-Wy^-A^nyr'j^) ,

где

Ьг

О , если §йЖН(уь)-А(уа)) «Г(уь)52, >0 в противном случае, где радиус доверительной области для й-го шага.

Теорема 2.4. Пусть • Ф(у) тривды непрерывно дифференцируема в открытом выпуклом множестве Бей"'. Предположим, что Н(у) удовлетворяет условию Липшица с константой 7 и существуют у,€0. \>0 и А,л>0 такие, что:

Ф(У,) = т1п Ф(у), Б

X - наименьшее собственное число для (Н(у<)-А(у,)).

\д- наибольший модуль собственного числа для А(у,). Последовательность Сц^} неотрицательных действительных чисел ограничена сверху числом р>0.

Тогда если то для любого Се(1,/(Х+р)/(Хд+р)) существует

е>0 такое, что для всех у0, таких, что |У0-У,|2<е-последовательность

. корректно определена и удовлетворяет соотношениям С2(\.+р) Ст

у,12 « .. . |УЬ- У»12 т1Уд- у Л

* * (А.+р) * ■ " 2 (Х+р) л

С2(Х.+р)+(\+р)

и «Уь>,- У«12 < г{1+р)-1УЬ- У.12 <1Ук- У.12.

Далее в этой главе рассматривается случай, когда фазовые переменные модели наблюдаются с ошибкой, т.е.

х4-х{ (а) = х®-х< (а)+т}4= Зх^ , (£0 , где {т)4,г€в} - белый шум с дискретным временем. Раздел 2.6 посвящйн построению доверительных границ ' для оценивания параметров. Глава заканчивается решением задачи идентификации модели экспериментальной гриппозной инфекции, предложенной Д.В.Каляевым. Модель представляет собой систему четырех нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений и содержит .13 неизвестных параметров. Построенные алгоритмы в основном базируются на предположении о том, что в реальной системе характерные времена закономерного случайного изменения состояния существенно различны, т.е. параметр е достаточно мал для того, чтобы для описания отклонений воспользоваться моделью (11).

Исследованию возможности такого предположения посвящена глава 3. В диссертации это исследование проводился по следующему плану. Во-первых, необходимо оценить е*>0 в модели (3):

1 (х;.а+е4/е) , х0= с . ШО.Т] ,

такое, что Уе<е* линеаризованная модель (11) для описания отклонений Схг=х®-хг(а) (см(11))

ат0х1= 0хо= 0 ,

используемая при оценивании вектора а, дабт верные результаты. Во-вторых, необходимо убедиться, что в реальной системе е<е*.

Для реализации первого пункта достаточно построить имитационную модель' (3) и, получая результаты имитации при различных е>0 и фиксированном а*, оценить по ним а* с помощью основанных на модели (11) вычислительных алгоритмах. Начиная с некоторого е*> 0 для V е < е* точка а* должна лежать в доверительной области.

Реализация второго пункта требует анализа данных наблюдений и состоит в еле думцем. Имея модель (1) и данные наблюдений (23), вычислим оценки еб параметров с помощью предложенных методов. Приняв полученные оценки за а*, будем проводить имитацию этих данных с помощью модели (3) при различных е > 0, проверяя каждый раз .соответствие результатов имитации данным наблюдений по статистическим критериям. Если при некотором в > 0 гипотеза о соответствии не отвергается и е < е*. то предложенные алгоритмы могут быть использованы для решения задачи идентификации рассматриваемых моделей.

Для построения имитационной модели использовались результаты, полученные в работах С.С.Артемьева по статистическому моделированию стационарных случайных процессов. На основе этих результатов запишем имитационную модель:

а£х* = кхХ+у,) - Vе- (24>

ак * • V *<°.В2/2А) .

где А и В - диагональные матрицы

Схема численного метода решения ССДУ приведена в диссертации. Для автокорреляционных функций (т) имеем

= -ф2^!" • (25)

где А = I. Отсюда видно, что при £»0?( стремится к белому шуму. Вначале рассматривается линейное однородное уравнение

апК= • хо= 1 • к>0 • <2б>

описывающее восстановление функций организма при заболевании. Для этой модели имеются выборки данных наблюдений больших объемов. Модель (24) в этом случае имеет вид:

^ = • Vе' (26)

ак> • то= »(о.в2/2А) . Заметам, что для ,з<г

гп[—Г"] - А-^-з) = В^йт = вне(г-з) .. (27)

в

В пределе (при е »■ о) имеем

1п\~^г\ ~ Мг-з) = В(1УГш„) , (28)

■ни-

где и>г - винеровский процесс. Модель (28) позволяет применить

метод максимального правдоподобия для оценивания X и В, который в данном случае дабт явные формулы

• V В(*„) . (29)

При вычислении оценок по этим формулам с использованием результатов имитации данных с помощью модели (27) установлено, что истинные значения X = 0.1, В = 0.1 оказываются в 95-процентных доверительных границах п^и любых е < е* = 1.

Реальное значение е оценено с использованием модели (27), которая также позволяет применить метод максимального правдоподобия, но с учбтом зависимости величины Н£(1{-а£). В результате получены формулы для оценок Л = \(Х -в) . В = В(Х -е)

ТП 1А VI П1

и установлено, что функция правдоподобия перестает возрастать

начиная о £ < £ = 1/16.

а *

Таким образом, £ « е, и предельную модель (28) можно использовать для оценивания параметров к и в , что и делается уже в течение ряда лет при обработке клинико-лабораторных данных.

Для изучения этого вопроса в моделях клеточных взаимодействий рассмотрена модель стимуляции Т-лимфоцитов непатогенным антигеном, предложенная Р.Н.Степаненко и А.Л.Асаченковым

- -Vе' <30>

- • Ао= 1 •

Здесь - соответственно содержание в организме антигена и

Т-лимфоцитов.

С помощью предложенных алгоритмов получены оценки парметров а ,аг,а3.Т0 и проведена имитация данных наблюдений с использованием модели (24). Для каждого значения е>0 проверена гипотеза о нормальности распределения отклонений х®-х4(а*) с корреляционной- матрицей о2, соответствующей модели (11), и гипотеза о равенстве двух выборочных распределений: фактических данных х.-х.(а*) и данных имитации х®-х.(а*) .

ег * ?

Установлено, что отклонения х^- Х1(а )~У(0,о^) при ^^ е < 2, а выборочные распределения не различаются при

е < Дальнейшее уменьшение е > 0 приводит к нарушению обоих статистических критериев. Таким образом, при ^ $ е $ ^ модель (24) не противоречит фактическим данным, а отклонения х®-х4(а*) «окно считать гауссовыми. При таких е в модели (24) еще не Зелый шум, а быстрая случайная переменная. Поэтому отклонения эписывэются моделью (11) и работают основанные на ней алгоритмы.

Дальнейшее уменьшение е > о приводит к тому, что в модели (24) процесс т приближается к белому шуму,, и нарушение критериев указывает на то, что при формальной замене в модели (3) быстрой случайной переменной белым шумом необходимо учитывать особенности этого процесса'.

Эти вопросы рассматриваются в главе 4. Вернбмся к модели (3):

йх*

аг*-. с , • гею.т] ,

и запишем еб в следующем виде:

Пх^.а+Уё^) , ф С . гсГО.Т] , (31)

т

о

{ак показано в работах А.Д.Вентцеля и М.И.Фрейдлина, процесс три вх» слабо- сходится на [О.ТЗ к винеровскому процессу с

корреляционной матрицей приращений Bdt, где В - диагональная матрица спектральных интенсивностей процесса lt.

Считая, что правая часть модели линейна относительно а, а е достаточно мало для того, чтобы заменить его предельным процессом, получаем стохастическую модель в форме Стратоновича:

dxt= P(xt)adt+P(xt)/ei~d*a;t , teCO.T] ,

где wt- винеровский процесс.

Пусть компоненты вектора Г fl= / еВи, £ = ТТ. Дифференциал Кто имеет вид:

dxt= (P(xt)a4?,(xt)r)dt+P(xt)7dtt>t, tetO.T] ,

о = / еВ ,

и п 97 и

у -о

Предполагая малость а, для линейного приближения

xt= n.t+ut , Вut= 0 , можем записать:

<jpt= (P(xt)a-4Pf(xt)r)dt , ц0= С ,

dut= (Px(^)a4Ffi(^)r)u{dt+P(nt)ada;t , u0= О.

Введбм обозначения

R(x) = F(x)a+jP((х)Г , о 9R

V Эх •

Тогда модель для описания отклонений будет иметь вид

dut= Rx(nt)utdt+P(n.t)adiüt , (32)

teto.Ti , u0= о , ц0= с .

Выражая решение (32) через фундаментальную матрицу г

v wYtiY;'F^o<äa'e • v ° •

о

шVW*f V1-

приходим к возможности применения для оценивания векторов а и Г методов, рассмотренных в главе 2,

В главе 4 также исследуется возможность рассмотренной здесь замены быстрой случайной переменной белым -лумом по схеме, рассмотренной в главе 3. Для этого используется модель (24), а для оценивания параметров - модель (32). Установлено, что V о < е < е* гипотеза о нормальности распределения отклонений и(.= х'-х{(а*) с моментами, соответствующими модели (32), не противоречит, данным имитации. . Кроме того, соответствие между. выборочными распределениями фактических данных и результатов имитации имеет место: ио<е<еи, причбм б < е*.

Таким образом, если модель (11) описывает данные наблюдений в некотором диапазоне значений е > о, то предложенная в данной диссертации модель (32) пригодна для описания данных наблюдений при любых о < е ^ 1.

В заключении -сформулированы основные результаты работы.

Основные результаты

1. Разработан вычислительный алгоритм статистического оценивания параметров моделей по данным наблюдений, учитывающий их особенности и не требующий больших ресурсов ЭВМ по сравнению с методами, основанными на рассматриваемом подходе к решению задачи. Исследованы условия сходимости предложенного итерационного процесса.

2. Исследована возможность описания данных наблюдений с помощью моделей с быстрой случайной переменной, которая лежит в основе ранее существовавших методов оценивания параметров моделей иммунофизиологических процессов. С этой целью построена имитационная модель для генерации данных наблюдений.

3. Показана возможность замены быстрой случайной переменной в моделях иммунофизиологических процессов белым шумом и предложена стохастическая модель, описывающая данные наблюдений для всех е, о < е < 1. На основе предложенной модели построен итерационный процесс вычисления оценок неизвестных параметров модели по данным наблюдений.

Результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Зуев С.М., Усманов Р-Н. О возможности описания иммунных реакций с помощью системы обыкновенных дифференциальных уравнений//Методы вычислительной и прикладной математики.-М.:0ВМ АН СССР, 1985.- С.51-64.

2. Зуев С.М., Усманов Р.Н. О сходимости метода возмущений гор. вычислении параметров модели по данным наблюдений//Математическое

моделирование в иммунологии и медицине.- М.:0ВМ АН СССР, 1986.-С.29-34.

3. Усманов Р.Н. Оценка соотношения характерных врембн закономерного и случайного изменения состояния при заболевании//Математические модели и методы анализа медико-биологических данных.- М.:0ВМ АН СССР, 1990.-С.36-45.

4. Усманов Р.Н. Алгоритмы статистического оценивания параметров математических моделей заболеваний.- М., 1990.- 20 с. (Препринт ОВМ АН СССР * 273).

5.' Usmanov R.N. Algorithms for statistical estimation of parameters of mathematical models of dlseases//Sovlet Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. -1991.-vol.6.,

N6. - P.537-548.

Сдаяо в набор 06.07.93 В печать 29.06.93

Формат 60х90!/16 Печать офсетная

Усл. паи. л. 1,0 Усл. жр.-отт. 1,12 Уч.-кзд. л. О, в

Тир. 100 экз. Зак. 3326

Производственно итдгттальстД комбинат ВИНИТИ 140010, Люберцы 10, Мосхоесвзй обл., ОктябрьсхзЛ срослект, 403