ЯМР и магнитная релаксация в гексаферритах типа М тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.11 ВАК РФ

гай ГОСУДАРСТВЕННЫ?! ¿НИВЕРСИТЗГ

Я!>Р И МАГНИТНАЯ РЕЛАКСАЦИЯ В Г31САФЕРРИТАХ ТИПА м

01.04.11 - физика магнитных явлений

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

( :

На правах рукописи

¡•РАКИ :.ГОХА."ЕД РАМАДАН ТЛСКА-'.ЗД

Харьков - 1994

Работа выполнена в Омском государственном университете

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудаик A.D.ВЕРЕТЕННИКОВ

доктор физико-математических наук, профессор В.А.ТОГНИЙ

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник С.А.УТЕВ

Ведущая организация: Петербургское отделение Математического института РАН

Защита состоится " & " часов на заседании специализированного совета Д. 002,23.03 при Институте'математики Сибирского отделения РАН по адресу: 630090,Новосибирск-90, Университетский проспект 4, ИМ СОРАН, ауд.41'7/

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ИМ СОРАН.

Автореферат разослан

Ученый секретарь специализированного совета доктор физ,-мат.наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Фундаментальное значение предельных теорем для теории вероятностей и для естествознания вообще - общеизвестно.Этот крупнейший,имеющий трехсотлетнюю историю раздел теории вероятностей,до настоящего времени находится в сфере активного интереса математиков.С самого начала большая часть исследований здесь была посвящена схеме суммирования независимых случайных величин и на протяжении многих лет предположение о независимости считалось столь естественным,что зачастую даже не оговаривалось особо.Однако в реальных экспериментах по сути все явления в той или иной форме,в той или иной степени зависимы,а в математических моделях этих экспериментов независимость-просто удобная абстракция, предположение /более или менее обоснованное/,что зависимостью можно пренебречь.Поэтому весьма актуальным является вопрос об "устойчивости" предельных теорем при нарушении условия независимости,то есть вопрос о справедливости тех или иных предельных теорем в предположениях,не содержащих условия независимости.Серьезный интерес вероятностнинов к этой проблематике появился,по-видимому,в начале нашего века после исследований А.А.Маркова и привел в последствии к созданию таких направлений,как предельные теоремы для марковских процессов,ддя мартингалов,для стационарных процессов и т.д.

В диссертации разрабатывается одно из направлений в предельных теоремах для зависимых величин - изучаются предельные теоремы для суш случайных величин, образующих стационарную последовательность,удовлетворяющую тем или иным условиям слабой зависимости. Эти исследования были начаты в 20-х годах С.Н.Берн-штейном, который ввел весьма плодотворный и активно использующийся до настоящего времени метод секционированил.В 50-х-60-х годах техника доказательства предельных теорем для слабо зависимых величин значительно модернизировалась во многом в связи с введением весьма удобных и ставших впоследствии наиболее употребительными условий слабой зависимости - условия сильного перемешивания /М.Розенблатт,1956/ и условия равномерно сильного

перемешивания /И.А.Ибрагимов,1959/. В это время был достигнут существенный прогресс в исследованиях условий слабой зависимости для стационарных случайных процессов и центральной предельной теоремы для сумм слабо зависимых величин в работах И.А.Ибрагимова,М.Розенблатта,Ю.А.Розанова,Б.А.Статулявичуса и др.

В последние года наблюдается новая волна интереса к этой проблематике. Выделим некоторые направления в теории суммирования слабо зависимых величин, исследования в которых ведутся сейчас наиболее активно.

1. Изучение условий слабой сходимости для случайных процессов и полей.Отыетим здесь работы Р.Бредли,М.Розенблатта,В.А.Давыдова, А.Б.Булинского,Б.А.Статулявичуса,В.Филиппа и др.С современным состоянием вопроса можно ознакомиться по обзору Р.Бредли /1986/, где имеется обширная библиография.

2. Уточнение и обобщение результатов, связанных с центральной предельной теоремой для слабо зависимых величин, исследование "пограничных" ситуаций.Здесь отметим работы М.Пелиград,Р.Бредли, Н.Херрендорфа,Ю.А.Давыдова,С.А.Утева.А.Н.Тихомирова и др.Особо следует выделить работы А.Н.Тихомирова /1980/ и М.Пелиград /1985/,связанные с разработкой новой техники в изучении соответствующих задач.

3. Изучение условий сходимости распределений сумм зависимых случайных величин к устойчивым распределениям.Это направление изучс но пока не столь основательно,как предцдущие,но активно разрабатывается в работах Й.Самура,Л.Хейнриха,Р.Дэвиса,М.А.Юдина и др.

Основные результаты диссертации относятся к перечисленным на-правленияи.Работа над диссертацией велась по планам НИР кафедры математического анализа Омского государственного университета в рамках научно-исследовательской теш "Предельные теоремы" гос. рег.80078187.

Цель работы. В теории суммирования зависимых величин разработать технику,достаточно "тонкую" для того,чтобы имет! возможность доказывать критерии сходимости распределений сумм слабо зависимых величин к устойчивым распределениям в терминах распределений отдельных слагаемых и исследовать "пограничные"

ситуации в центральной предельной теореме.Разработать метод, позволяющий уточнять имеющиеся в настоящее время оценки скорости сходимости в центральной предельной теореме для слабо зависимых величин,в том числе известный результат А.Н.Тихомирова.

Научная новизна и практическая ценность. Следующие результаты и положения определяют научную новизну работы и выносятся на защиту.

1. Вводится и изучается одно новое условие слабой зависимости для стационарных случайных процессов.Характерной особенностью .этого условия является то,что не являясь "слишком жестким",по крайней мере для гауссовских процессов,оно может использоваться в задачах,требующих довольно сильных ограничений на зависимость "прошлого" и "будущего" рассматриваемого процесса.

2.Разрабатывается метод исследования предельных теорем для сумм зависимых случайных величин »основанный на идее, суть которой можно схематично охарактеризовать так: если стационарная последовательность удовлетворяет подходящему условию слабой зависимости,то поведение "хвостов" распределений сумм случайных величин из этой последовательности в некотором смысле аналогично поведению "хвостов" распределения максимума этих величин. Этот метод позволил М.Пелиград добиться наибольшего 'прогресса

в исследовании центральной предельной теоремы для стационарных процессов с условием равномерно сильного перемешивания.В диссертации идеи такого рода адаптированы к изучению условий сходимости распределений сумм слабо зависимых величин к устойчивым распределениям /в том числе и к нормальному/,получен ряд необходимых и достаточных условий в терминах распределения одного слагаемого и последовательностей,которыми в соответствующих предельных теоремах осуществляется масштабная нормировка.Большая часть этих результатов не имеет аналогов в научной литературе,а выводимые из них достаточные условия усиливают известные результаты соответствующего типа.

3. Для оценок скорости сходимости в центральной предельной теореме для слабо зависимых величин разрабатывается техника,по существу представляющая собой попытку использования Тихомировско-го локального секционирования в режиме последовательных прибли-

хений.Полученный метод позволяет уточнять известные результаты о скорости сходимости в предельных теоремах для слабо зависи -мых величин и остается открытым для дальнейшего развития.

Результаты и методы работы могут быть использованы в исследованиях, ведущихся в Петербургском отделении МИРАН, Ш СО РАН, ИМК АН Литвы,ИМ АН Армении, в Петербургском,Казанском,Белорусском и Сыктывкарском университетах.

Апробация полученных результатов

Основные результаты диссертации докладывались на научных семинарах в ЖНИ АН СССР /Ленинград, 1983,1987,1989,1991/,ИМ СОАН СССР /Новосибирск,1986,1991/,МГУ /Москва, 1974,1992/,на международных Вильнюсских конференциях по теории вероятностей и математической статистике /Вильнюс,1985,1989/,на I Всемирном Кон -грессе общества им.Бернудли /Ташкент,1986/,на ряде республиканских и региональных школ и.конференции.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 17 работ в журн. Теория вероятностей и ее применения,журн. Успехи математических наук, Сибирском математическом журнале,трудах ВЦ СО АН СССР,в тезисах международных,всесоюзных и республиканских конференций.

Основные результаты изложены в I - 9.

Структура.р объем работы. Диссертация состоит из введения,пяти глав,списка литературы,насчитывающего 80 наименований и изложена на 238 странищх машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дается краткий обзор изучаемых в диссертации направлений в теории суммирования слабо зависимых величин,приводится сводка полученных результатов,данные об их апробации и о публикациях.

Глава I - "Аппарат теории, суммирования слабо зависимых величин" - посвящена в основном условиям слабой зависимости для стационарных случайных процессов.

Введем некоторые понятия и обозначения. Пусть '.у*.£ -стационарная в -узком- смысле последовательность.Через и

^гк будем обозначать «о -алгебры, порожденные семействами •. -и. «к. \ и соответственно.Пусть далее

0 4Ъ4{ и ОП(1 .Обозначим

I Р (А)Р'(А)

Величину ^С.^ ^ будем называть коэффициентом сильного

перемешивания, а ^(Чч.) = ^ ^оС-*-) -коэффициентом равномерно сильного перемешивания.Говорят,что стационарная последовательность

удовлетворяет условию сильного перемешивания /СП/ или равномерно сильного перемешивания /ГСП/,если —> О, ъо или ^ * О, лл. скз соответственно.

В §1 дается обзор результатов,касающихся условий слабой зависимости. Приводятся соотношения между различными условиями,результаты, касающиеся поведения коэффициентов перемешивания,спектральные критерии перемешивания для гауссовских процессов,некоторые сведения об условиях слабой зависимости для марковских последовательностей. Большая часть приводимых результатов принадлежит И.А.Ибрагимову и Р.Бредли.Нанонец,вводится одно специальное условие, ограничивающее зависимость соседних членов последовательности (ч*} .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1.3. Будем говорить,что последовательность удовлетворяет условию X -перемешивания,если существует функция

, Эс>0 такая,что —> О , и

Р(А&) •■А^ц.Ь^тлц А^ц.Ьс?.«,

1 ]

Показано,что X -перемешивание вместе с сильным перемешиванием влечет равномерно сильное перемешивание и условие

В §2 вводится и изучается одно новое условие слабой зависи -

мости - так называемая X" -регулярность. Обозначим

JL м

1д>у

где берется по всевозможным разбиениям пространства

элементарных исходов на непересекающиеся множества Ац,...,^, и fbi,...,G>t_ такие,что

М^о,

Последовательность называется Т. -регулярной,если сущест-

вует последовательность •c.^jvv.')-» + оо , vv -» оо такая,что

LtWi-, "¿чЛ^i, w.«к»

§2 посвящен в основном изучению соотношений между -регулярностью и другими условиями слабой зависимости.Показано,например, что существуют -регулярные последовательности,не удовлетворяющие условию РСП,как,впрочем,и последовательности с условней РСБ,не являющиеся X, -регулярными.

Чаще всего в доказательствах используются не сами условия слабой зависимости,а их следствия,дающие оценки для разностей

iM^-M^M^l 1Где ^ и ^ соответственно ^"«о и ö"**.-изыеримые величины. В §3 приводятся наиболее употребительные из известных оценок для таких разностей и доказываются неравенства, использующие Т. -регулярность.Приведем примеры таких нера -венств.вытекающие из предложения 1.3.3. Если последовательность 11~РегУляРна1Т0 существует функция V О, v\. -»■ оо такая,

что если i. 4 <\г 4 > Р+ ^ = > tf = УНАЛ-О.,^) ,то

\щ -\\щ\ < е , {т\*У.

В частности

1 I

|Р(А1ЪУР(АЖ!Ь)1«^^НтКь^ . (I)

Ясно,что здесь О <р<1 может быть сколь угодно близким к I и даже стремиться к I при и это при том,что -регу -

лярность,как указывалось выше,не является,вообще говоря,условием более жестким,чем условие РСП.

В §4 приводятся примеры последовательностей и классов последовательностей, удовлетворяющих тем или иным условиям слабой зависимости.

В §5 приводятся необходимые сведения из теории правильно меняющихся функций и последовательностей.В дальнейшем нам понадобятся определения этих понятий.

Положительная функция £ (,-*Л, "х > о называется правильно меняющейся /ГШ/ порядка ^Ц-о»,») ,если она измерима и при любом Х>0

о. аи^ л

Кдл*, —-—— = X . тс-»*« КС*)

1Ш порядка - О называется медленно меняющейся функцией /ШШ. Последовательность положительных чисел называется правильно меняющейся /ПМП/ порядка ^С-о«, сю ) если С/С"*-]! -целая часть X. / является П® порядка ^ .

В §6 доказываются некоторые утверждения технического характера, касающиеся моментов /в частности дисперсий/ сумм зависимых случайных величин.

Глава 2 - "Притяжение стационарных последовательностей к нормальному закону".

Через

1) и ¡^(«О будем обозначать случайные величины, имеющие нормальное распределение с параметрами 0 и I и устойчивое распределение с показателем соответственно, а

^ >•' будет обозначать сходимость по распределению.

Известно,что если стационарная последовательность удовлетворяет условию СП,то невырожденными предельными распределени-

ями для нормированных сумм вида

У 1

могут быть только устойчивые. Если

£ , - , , Л*(о,2.3 | (2)

то будем говорить,что притягивается к устойчивому распре-

делению /закону/ с показателем «1- ,а \ называть нормирующей последовательностью.Если М^* < , -+ и

то говорят,что к последовательности применима центральная

предельная теорема /ЦПТ/.

В §1 показано,что в предельных теоремах для последовательностей с сильным перемешиванием нормирующие последовательности являются правильно меняющимися ;точнее - если ^^ удовлетворяет условию СП и выполнено соотношение С2),то является ПМП

порядка /лемма 2.1.1/. Классическим методом секционирова-

ния для последовательностей,удовлетворяющих условию СП,доказаны необходимые и достаточные условия для притяжения к нормальному закону в терминах распределений сумм /предложение 2.1.2/.Этот результат используется в качестве начального этапа в некоторых дальнейших доказательствах.

В §2 приводится и доказывается ряд вспомогательных результатов,которые имеет смысл кратко прокомментировать. И.А.Ибрагимов /1965/ показал,что если {V«} -стационарная последовательность, удовлетворяющая условию РСП, М^1<«>> ,у\-><»

и выполнено одно из следующих условий

а/

-ю-

то к последовательности применима ЦПТ. Тогда же он выдви-

нул гипотезу,что в указанных условиях ЦПТ справедлива и без предположений а/ и б/.Эта гипотеза до настоящего времени не доказана и не опровергнута,но она стимулировала многочисленные исследования и,в частности,способствовала разработке новой техники в теории суммирования слабо зависимых величин,с помощью которой М.Пелиград доказала следующий результат.

Пусть -стационарная последовательность,удовлетворяю-

щая УСЛОВИЮ ГСП И ПуСТЬ М^<оо , <3» —> Оо , оо .

Для того,чтобы к последовательности была применима ЦПТ

достаточно,а если <1 и не обходимо, чтобы выполнялось условие Линдеберга: при любом 1>0

и*}: ^ о,

-> оо

Результаты §2 по сути представляют собой развитие упомянутой выше техники применительно к рассматриваемым далее задачам.

§3 посвящен изучению нормирующих последовательностей.Обозначим

где им -индикатор множества А

у <1 4

г1 ^

где ^ и £ -независимы и одинаково распределены.

В §3 предложены два способа явного задания нормирующих последовательностей:

а/ универсальная нормирующая последовательность

-и-

б/ интегральная нормирующая последовательность порядка 0<р*2.

Введенная терминология обусловлена следующим результатом /см. также предложение 3.3.1/.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.3.1. Пусть

-стационарная последовательность, удовлетворяющая условию РСП и пусть (!)<£, О < р < 2. и ГЬуч-^оо» V* Тогда если

то

Доказаны также некоторые технические результаты о нормирующих последовательностях,в частности,получены условия,при которых универсальная нормирующая последовательность является БЫЛ порядка 1/2.

В § 4-6 содержатся основные результаты главы 2 -это условия притяжения к нормально^ закону стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием.

В §4 доказываются критерии притяжения стационарных последовательностей к нормальному закону в терминах распределения одного слагаемого и универсальной нормирующей последовательности.

ТЕОРЕМА 2.4.1. Пусть

-стационарная последовательность, удовлетворяющая условию РСП. Для того,чтобы притягива-

лась к. нормальному закону достаточно,а если { ,то и

необходимо,чтобы при любом 5>0

^ОЫ^Л О, -УЧ-оо . (з)

Нетрудно видеть,что это результат того же типа,что упоминавшаяся выше теорема М.Пелиград.Результат,аналогичный теореме 2.41 "

но использующий интегральные нормирующие последовательности, /теорема 2.5.1/ еще более показателен в этом смысле. Отметим еще,что условие 1X3.) влечет (3).

ТЕОРЕМА 2.4.2. Для того,чтобы стационарная последовательность,удовлетворяющая, условию РСП с ЖО < 1 притягивалась к нормальному закону,необходимо и достаточно,чтобы универсальная нормирующая последовательность являлась ГШ порядка. 1/2.

. ЗАМЕЧАНИЕ 2.4.3..Пусть стационарная последовательность^^ удовлетворяет условию РСП и пусть распределение принадлежит области притяжения нормального закона,то есть функция

является ММФ; Если существует не зависящая от "л, и кон-

станта С >0 такая,что при всех Уи и 1>0

(4)

то выполняется условие (з} , [является НМЛ порядка.1/2 и,следовательно, притягивается к нормальному закону.

Соотношение (4) справедливо,если,например

где -максимальный коэффициент корреляции между семейст-

вами

•Отметим,что

В настоящее время самый сильный результат,дающий достаточные условия притяжения стационарных последовательностей.к нормальному закону,принадлежит.Р.Бредли /1988/,который показал,что если "НС*) является ММФ и выполнено (б") ,то притягивается к нормальному закону.

Б §5 доказываются результаты,аналогичные теоремам 2.4.1 и 2.4.2,использующие вместо универсальных нормирующих последовательностей интегральные.

ТЕОРЕМА 2.5.1. Пусть {X} -стационарная последовательность удовлетворяющая условию РСП и пусть < 00 • О < р < Я. .

Для того,чтобы притягивалась к нормальному закону,доста-

точно,а если < i и не обходимо, чтобы выполнялось "условие

Линдеберга порядка р при любом Е.>0 ^ р

Up): п,

М1Ы 1(1^1 * ¿Щр^ О, vv-t*.

Результат М.Пелиград показывает,что утвервдение теоремы 2.5.1 остается справедливым и при |s = .

ТЕОРЕМА 2.5.2. Пусть -стационарная последовательность,

удовлетворяющая условию РСП и пусть "Ч? (< , И < оо , О < p<i .Последовательность притягивается к нормально-

му закону тогда и только тог да, когда интегральная нормирующая последовательность {^(.pl } является НМЛ порядка 1/2.

Имеет место аналог замечания 2.4.3 - замечание 2.5.3, из которого,в частности,следует,что если распределение принадлежит области притяжения нормального закона и выполнены соотношения (5),то имеет место условие 1jCj>)- ,а является ПМП порядка 1/2 при любом О < р < X и,следовательно, притягивается к нормальному закону. .

В §6 изучаются условия притяжения к нормальному закону и,в частности, условия применимости ЦПТ к последовательностям с конечной дисперсией.

ТЕОРЕМА 2.6,1. Пусть-стационарная последовательность, удовлетворяющая условию РСП и пусть

^(i) <i, МЛ^ < «> > (¿v-^.V^bO.

Если выполнено одно из следующих условий а/ tcwy ^of^ •> О ,

б/ {¿УУС в^Ср") <8"» >0,

У\ I

то притягивается к нормальному закону.

ТЕОРЕМА 2.6.2. В предположениях теоремы 2.6.1 следующие условия эквивалентны:

в/ к последовательности применима ЦПТ;

г/ > о ;

о«

д/ ~ <С> П-» с-

е/ ^Ср^к ъ ар , о < р< я., ар * II л/ад! • оо 1 г

Для стационарных последовательностей,удовлетворяющих условию СП,близкие результаты получены Г.Делинем,М.Денкером и В.Филип -пом /1986/.Они показали,что'если < о» , М ^ О ,

(вк^ и являются ПМП порядка 1/2 и

к** >0 ,

то притягивается к номалъному закону.Если же М ^ <

О ,а {.£»»} является ГШ порядка 1/2,то для того,чтобы к последовательности была применима ЦПТ,не обходимо и достаточно,чтобы

-»-О«

Глава 3 - "Притяжение стационарных последовательностей к устойчивым распределениям с показателем Ы. €.(о, 0.)

Предельные теоремы о сходимости к устойчивым распределениям являются гораздо более "хрупкими",чем,скажем, ВДТ,поэтому отличительной особенностью соответствующих результатов для зависимых величин является использование более жестких условий слабой зависимости и специальных условий, ограничивающих зависимость соседних слагаемых /примером такого условия может служить X -перемешивание/.

В §1 получены необходимые и достаточные условия для притяжения стационарных последовательностей к устойчивым распределениям с показателями ^.^(оД) в терминах распределений сумм.

Доказательство основных результатов главы 3 базируется на утверждениях,излагаемых в §2. Здесь с помощью условий,ограничивающих зависимость соседних слагаемых,доказывается утверждения типа теорем о сверхбольших уклонениях для сумм зависимых случайных величин.

В §3 изучаются нормирующие последовательности в предельных теоремах о сходимости к устойчивым распределениям.Оказывается, что ситуация здесь аналогична 'той,что была в предельных теоремах о притяжении к нормальному закону /ср.с предложением 2.3.1/.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.3.1. Пусть -стационарная последователь-

ность удовлетворяющая условиям СП и X -перемешивания и пусть

-I 4

<А€Со,ал .

Тогда

а/ распределение 51. принадлежит области притяжения устойчивого закона с показателем сА. ,то есть

где б/

с^ >, о, О ; ¿1+с1)1>0 ,а к(л) -ММФ;

^^ср") ,

(б)

где -универсальная нормирующая последовательность, -интегральная нормирующая последовательность порядка 0<рсА

^ = (-¿Г У Ау* = 11

Основные результаты главы 3 содержатся в §4 и.§5.

В §4 исследуются условия притяжения к устойчивым распределениям стационарных последовательностей,удовлетворяющих условиям СП и X -перемешивания.

ТЕОРЕМА 3.4.1. Пусть -стационарная последовательность, удовлетворяющая условию СП и условию X -перемешивания. Для того,чтобы} притягивалась к устойчивому распределению с показателемс!-еС0.2-") необходимо и достаточно,чтобы выполнялись следующие условия:

а/ распределение ^ принадлежит области притяжения устойчивого закона с показателем /то есть выполняются соотношения (.6)/}

б/

Как указывалось выше,стационарная последовательность.удовлетворяющая условиям СП и X -перемешивания,удовлетворяет условию РСП и ^(О < 1 ;ясно также,что соотношение при превращается в (.3); вследствие этого аналогия между теоремами 2.4.1 и 3.4.1 представляется совершенно очевидной. Имеют место также соответствующие аналоги теорем 2.4.2, 2.5.1 и 2.5.2,они

содержатся в следующем утверждении.

ТЕОРЕМА 3.4.2. Пусть-стационарная последовательность, удовлетворяющая условиям СП и X -перемешивания и пусть и \ -соответственно универсальная нормирующая после-

довательность и интегральная нормирующая последовательность порядка о < р 5. .Для того,чтобы притягивалась ]

устойчивому закону с показателем необходимо и достаточно, чтобы выполнялось ^6) вместе с одним из следующих условий:

В/ ^ ^Р^иМ ^о ;

г/ (Ь*. >о ;

оо

д/ -(й*} является ПМП порядка ;

е/ ^уХр^ является ГОШ порядка ^/с^ ;

Как и в предельных теоремах о притяжении к нормальному закону, здесь также можно обеспечить выполнение условий теорем 3.4.1 и 3.4.2 с помощью некоторых предположений о скорости перемешива ния.

ЗАМЕЧАНИЕ 3.4.2. Пусть стационарная последовательность удовлетворяет условиям СП и X -перемешивания^ распределение ^ принадлежит области притяжения устойчивого распределения с показателем Л.) /то есть выполнены соотношения Сб)/.

Тогда существует ПМП порядка такая,что

1; ^00 .

Любое из утверждений б/-е/ теорем 3.4.1 и 3.4.2 имеет место тог да и только тогда,когда существует О такое,что

(8)

при всех "К £ Ы .Отметим,что для притяжения к нормальному закону требуются противоположные неравенства /см.замечание 2.4.3/. Можно показать,что если

2: < м , (9)

то выполняется и условие СП. Это позволяет сформулировать следующий результат.

ТЕОРЕМА 3.4.4. Пусть I j -стационарная последовательность, удовлетворяющая условию X -перемешивания и пусть выполнено условие (9). Для того.чтобы -l^u\ притягивалась к устойчивому закону с показателем б (о, О необходимо и достаточно, чтобы распределение ^ j. принадлежало области .притяжения этого закона.

Таким образом,классические предельные теоремы о притяжении к устойчивым законам сохраняются при замене предположения о независимости слагаемых условием X -перемешивания и условием Q8).

Далее,оказывается,что в предположениях теоремы 3.4.1 правильное изменение универсальной нормирующей последовательности влечет правильное изменение вероятностей Pi.1> эс \ ,а,следовательно,и вероятностей vac} .Это позволяет доказать следующий результат.

ТЕОРЕМА 3.4.3. Пусть стационарная последовательность,

удовлетворяющая условиям СП и X -перемешивания.Для того,чтобы последовательность притягивалась к устойчивому распреде-

лению с показателем е(.о,ЗЛ необходимо и достаточно,чтобы универсальная нормирующая последовательность являлась

ГМП порядка

Теорема 2.4.2 показывает,что утверждение теоремы 3.4.3 остается справедливым и при «1= Л.

В §5 изучается задача о притяжении к устойчивым распределениям последовательностей,удовлетворяющих вместо условия Х-перемешивания другим условиям,ограничивающим зависимость соседних членов последовательности

Пусть 0 * ч. * I, о ' Jt i j .Обозначим

Заметим,что если ^<1, 5> < ^ »то существуют примеры последовательностей, удовлетворяющих условию < оо ^ ^ 1 ,но не обладающих X -перемешиванием.Нетрудно построить,например, гауссовскую -регулярную последовательность,у которой в соотношении (I) р > ^/А, »но которая не удовлетворяет условию РСП,а,следовательно,и условию X -перемешивания.

ТЕОРЕМА'3.5.1. Пусть -стационарная последовательность,

у которой распределение ^ ь принадлежит' области притяжения устойчивого закона с показателем А €.Со; '.Если удовлетворяет условию и условию СП с коэффициен-таким,что

то последовательность {.^уД притягивается к устойчивому распределению с показателем сЛ

Теоремы 3.4.1, 3.4.2 и 3.4.3 не имеют аналогов в предельных теоремах для зависимых величин,а достаточные условия,приводимые в замечании 3.4.2 и теореме 3.5.1 усиливают известные результаты такого типа.Приведем для сравнения результат Й.Самура /1984/. Он показал,что если -стационарная последовательность »рас-

пределение ^^ принадлежит области притяжения устойчивого закона с показателем сА.^СО/3-^ и

со I

притягивается к данному устойчивому закону .Ясно,что условие < ьо означает,что имеет место X -перемешивание с функцией ХС*-4! = с. ас > С. > О и,как уже отмечалось,

Глава 4 -"Скорость сходимости в центральной предельной теореме для суш зависимых случайных величин".

В §1 получено некоторое представление для характеристических функций суш зависимых случайных величин,являющееся основой для дальнейших рассуждений;связанные с этим представлением технические результаты доказываются в §2.

В §3 доказывается основной результат главы 4. ТЕОРЕМ 4.3.1. Пусть -стационарная последовательность,

удовлетворяющая условию СП с коэффициентом перемешивания

таким,что , сх> О и пусть

Теорема 4.3.1 является усилением известного результата А.Н.Тихомирова /1580/,который показал,что в тех же предположениях

В §4 показано,что схема рассуждений в доказательстве теоремы 4.3.1 допускает дальнейшее развитие .дающее везможность улучшения полученной оценки для Д^,.

Глава 5 -"Предельные теоремы для схем серий слабо зависимых величин".

Введем необходимые понятия и определения.Случайную величину, имеющую безгранично делимое распределение с характеристической функцией 4(У .допускающей каноническое представление Леви

Тогда

будем обозначать »а постоянную <о и функцию

будем называть определяющими элементами данного безгранично делимого распределения.

Пусть ^ 1 = 1 ■ ^ = 1,1,... 1, к»-* с« , ^ «о

последовательность серий случайных величин,заданных на одном вероятностном пространстве.Обозначим

к»

¿„ =о , - Х- .

Для краткости формулировок удобно перенести на схемы серий терм! нологию,использовавшуюся ранее для стационарных последовательное тей. Если при некотором выборе нормирующих постоянных А^ и (Зэл^О имеет место соотношение \

-I е1

къ. —> 'Ж«?,и, ,

то будем говорить,что последовательность серий притягива-

ется к безгранично делимому распределению с определяющими элемек тами и и ./В отличие от предельных теорем для независимых величин,масштабная нормировка здесь связана с характером за! симости слагаемых в и для удобства изучения она выделяете}

в виде нормирующей последовательности /.

Ниже изучаются предельные теоремы для схем серий [ ,удо!

летворяющих условию равномерной предельной малости :при любом $.><

^ У^ 880 (ум

Обозначим далее

кч

Как и в случае стационарных последовательностей,будем называть универсальной нормирующей последовательностью /УНП/. Условия СП,РСП,ПР и X -перемешивания для схем серий вводятся аналогично тому,как для стационарных последовательностей;соответствующие коэффициенты перемешивания также будут обозначаться oLW ,и •

В §1 доказывается ряд технических результатов,использующихся в дальнейшем.

В §2 изучаются условия,при которых последовательности серий, удовлетворяющие условию РСП,притягиваются к нормальному закону.

ТЕОРЕМА 5.2.1. Пусть последовательность серий Удовле-

творяет условию РСП.Для того,чтобы при некотором выборе нормирующих постоянных ки 12>ч.>0 выполнялось соотношение

и для последовательности серий выполнялось условие

(UN1) достаточное если ЖО^ -и не обходимо, чтобы при любом £>0

кч. у'

О, » .

где \ДуЛ -УНП для последовательности серий -При этом

"л'-4- •

Теорема 5.2.1 является обобщением теоремы 2.4.1 на схемы серий.. СЛЕДСТВИЕ 5.2.1. Пусть последовательность серийудовлетворяет условиям РСП,(УМ-} и пусть при любом х>0

^ с $LV> = с- ИЪК^ ,с>о.

Тогда^если последовательность серий независимых случайных величин таких,что распределения и , I,..., к«, совпадают,притягивается к нормальному"закону,то. л также притягивается к нормальному закону.

Следствие 5.2.1 обобщает замечание 2.4.3 на схемы серий. Доказывается также обобщение теоремы'2.5.1 - теорема 5.2.2, утверждающая,что условие Линдеберга порядка, о < р «2- является достаточным условием для притяжения к нормальному закону.

Особый интерес представляют результаты,дающие достаточные условия для притяжения к нормальному закону в терминах отдельных слагаемых и не связанные со скоростью перемешивания.Для стадиона; ных последовательностей, удовлетворяющих, условию РСП с < 1 такими условиями .например, являются

а/ оа , <Б>0 /И.А.Ибрагимов, 1965/ или

б/ является порядка -2 /М.Пелиград,1990/.

Результатом такого типа для схем серий является следующая теорем ТЕОРИИ 5.2.3. Пусть последовательность серий {^»дЛ удовлетв-ряет условиям (иЫ^ и РСП с < 1 и пусть к-

Х-Р!«,.»!

X

где 01 и при любом \">о ^ %(.*-) ¿зс = оо •

Тогда 1 притягивается к нормальному закону.

СЛЕДСТВИЕ 5.2.2. Пусть -стационарная последовательность

удовлетворяющая условию РСП с < 1 и пусть при некотором

функция к (х-) = Р^^^и^} такова,что при любом X >0

^ < о,—, Ц>>*) <с <ос

Тогда притягивается к нормальному закону.

Б §3 изучаются условия,при которых последовательности серий слабо зависимых случайных величин притягиваются к безгранично делимым распределениям с негауссовской компонентой.

ТЕОРЕМА 5.3.1. Пусть последовательность серий удовле-

творяет условиям СП и X -перемешивания,а последовательность такова,что удовлетворяет условию (.UM) .Для того,что-

бы при некотором выборе постоянных Aw

необходимо и достаточно,чтобы

а/ Ц Р{ , ;

б/ ^¿v*. ОЛ-wl. íL-<¿w

(<lL) - b** <¿M U = C"l. é ,

t + o t-ro K4M

где ■iC.'X. -точки непрерывности функции UW , -УНП,а

С*- =» \ ^ «Al-to * }

при этом tí»«. "" с"1- , "Л •

Для схем серий также имеют место результаты,аналогичные замечанию 3.4.2 - следствия 5.3.1 и 5.3.2. Следствие 5.3.2,например, утверждает,что если последовательность серий ^ удовлетворяет условиям (.ONO ,СП и 'X -перемешивания и если

- d

Л- —^'ЗГСо,^, ,

W.-1

то для того,чтобы притягивалась к безгранично делимому

распределению без гауссовской компоненты необходимо и достаточно, чтобы при любом о

Основные публикации по теме диссертации

1. Гринь А.Г. Об условии абсолютной регулярности для гауссов-ских случайных процессов// Успехи матем.наук.- 1975.-Т.ХХХ, 1Р2.- С.201-202.

2. Гринь А. Г. Об одном условии регулярности стационарных случайных процессов// Теория вероятностей и ее применения.-1982.- Т.ХХУП, №4.- С.789-795.

3. Гринь А. Г. Об условиях слабой зависимости для стационарных процессов// Сибирский математический журнал.- 1987.- Т.28, 853,- С.54-59.

4. Гринь А.Г. Об одной работе Мдй'ды Пелиград// Стохастические и детерминированные модели сложных систем.Тр.ВЦ Сиб.отд.АН СССР.- Новосибирск, 1988.- С.33-43.

5. Гринь А.Г. О притяжении к устойчивым законам в случае зависимых величин// Первый Всемирный Конгресс общества им. Бер-нулли.Тезисы докладов.- М.:Наука, 1986.- Т.З.- С.775.

6. Гринь А.Г. Области притяжения для стационарных последовательностей с перемешиванием// Пятая международная Вильнюсская конференция по теории вероятностей и математической статистике.Тезисы докладов.- Вильнюс, 1989.- Т.З.- С.162-163.

7. Гринь А.Г. Об областях притяжения для суш зависимых случайных величин// Теория вероятностей и ее применения.- 1990.-Т.ХХХУ, Ж,- С.955-970.

8. Гринь А.Г. Области притяжения для последовательностей с перемешиванием// Сибирский математический журнал.- 1990.-Т.31, И.- С.53-63.

9. Гринь А.Г. Нормирующие последовательности в предельных теоремах для слабо зависимых величин// Теория вероятностей и ее применения.- 1991,- Т.ХШТ, №2.- С.285-301.