Задача Коши для нелинейного нелокального уравнения Шредингера тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им.М.В.ЛОМОНОСОВА

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

Кайкина Елэна Игоревна

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО НЕЛОКАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДЙНГЕРА

01.01.03. - математическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА - 1992

Работа выполнена на кафедре математики физического факультета Московского ордена Ленина, ордена Октябрьской революции и ордена Тредового Красного Знамени государственного университета имени М.В.Ломоносова._...... .. -

Научный руководитель - Доктор физико-математических наук,

профессор И.А.Шишмарев Официальные оппоненты - Доктор физико-математических наук

В.Г.Данилов

Доктор физико-математических наук, профессор Ю.Л.Климонтович Ведущая организация ~ - ИПМ, Москва.

Зашита диссертации состоится "1992 Г. В 4£_ час. мин. на заседании специализированного совета К.053.05.18 в МГУ им.М.В.Ломоносова на физическом факультете Московского государственного университета в ауд. А

Адрес: 119899 г.Москва, Ленинские, горы, МГУ, физический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.

Автореферат разослан

Учёный секретарь специализированного совета —ч П.А. ПОЛЯКОВ

п

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Многие физические задачи, связанные .с- . нелинейными волнами описываются сравнительно небольшим числом универсальных математических уравнений. Одно из них. -нелинейное-нелокальное уравнение Шредингера (Н.Ш.):

и4 - I |и|2и + к (и) = о , (1)

где линейный псевдодифференциальный оператор к (и) определен следующим образом:

-н» _

к(ы} = Втс] I еИр'г)К(р>"(Р.*>Ф .

—00

Здесь и(р^) - преобразование Фурье функции и(х^), К(р) -символ оператора к, N - размерность пространства х, х е

Уравнение (1) является весьма общим нелинейным уравнением с кубической нелинейностью и встречается- в различных областях физики: нелинейной оптике, химической кинетике, физике плазмы, гидродинамике, статистической механике и других. При различном выборе оператора к уравнение (1) включает в себя ряд известных уравнений.

Так, если к(и) = -(Ли, что соответствует символу й(р) = -1рг, уравнение (1) является известным нелинейным уравнением Шредингера и описывает такие нестабильные явления, как самофокусировку электромагнитных лучей в нелинейной оптике, коллапс ленгмюровских волн в холодной плазме и др.

В случае, когда к (и) = -аДи - Ъи, что соответствует символу Я(р) = -арг - Ь, уравнение (1) является обобщенным уравнением Ландау-Гинзбурга, которое, например, в неравно-

весной статистической механике является уравнением реакции-диффузии и описывает турбулентное поведение концентрации реактивов в химической реакции.

Если к (и) = -1Ди - I д(хн/)и(уД)£2у , т.е. Й(р) =

= -1рг - £д(р), уравнение (1) становится нелинейным нелокальным уравнением Щредингера и пригодно для описания процессов, связанных с диссипацией или накачкой энергии.

Перечисленные выше конкретные уравнения ранее изучались многими исследователями, а в общем случае уравнение (1) до сих пор не рассматривалось. Поэтому актуальным является вопрос о существовании решения задачи Коти в случаях, когда произвольными являются как начальные условия (не обязательно гладкие и малые), так и операторы к - антидиссипативные, диссипативные и консервативные.

Целью работы является изучение вопросов сглаживания и существования классических и обобщенных решений задачи Коши для нелинейного нелокального уравнения Щредингера с произвольным оператором к:

и4 - (|и|ги + к (и) = О, и|4=0 = й{х). (2)

Научная новизна результатов. В работе рассмотрена задача Коши для нелинейного нелокального уравнения Щредингера с произвольным оператором к: диссипативным, консервативным и антидиссипативным. Получены следующие результаты.

1. Доказана теорема существования решения в случае ограниченного оператора к.

2. Доказано локальное во времени существование решения

г

в случае, когда диссипативная часть оператора к ограничена снизу некоторой отрицательной константой.

3. Установлено существование классического решения в случае, когда порядок дисссипативной или консервативной части больше N. — — - 1

4. Доказана теорема "о локальном во времени сглаживании разрывного начального возмущения в диссипативном случае.

5. Определены условия существования сглаженного решения в целом по времени в слабодиссипативном и сильнодиссипатив-ном случаях.

6.. Установлено локальное во времени существование решения в антидиссипативном случае. Практическая ценность работы. Проведено всестороннее исследование задачи . Коши для одного из важнейших уравнений современной математической физики - нелинейного нелокального уравнения Шредингера с произвольным оператором к.

Результаты диссертации могут быть использованы при изучении волновых движений с учетом различных эффектов диссипации и консервативных процессов, а также при численном моделировании волновых процессов на ЭВМ.

Структура и объем диссертации. Диссертация содержит 100 страниц и состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 18 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведен подробный обзор состояния рассматриваемых в диссертации проблем.

Первая глава посвящена изучению задачи Коши для нелинейного нелокального уравнения Шредингера с гладкими

начальными условиями.

Во второй главе рассмотрены условия сглаживания начальных условий, а также доказана теорема существования обобщенного решения.

Периодическая задача -Коши для нелинейного нелокального уравнения Шредингера рассмотрена в главе 3.

Перейдем к более детальному изложению результатов.

§ 1 первой главы посвящен выводу законов сохранения для нелинейного нелокального уравнения Шредингера (1).

Пусть Я (р) = Re К(р) .и йг(р) = 1ш К(р). Как будет видно при выводе законов сохранения, К- (р) отвечает за диссипативные, а К?'(р) - за консервативные процессы, поэтому в дальнейшем будем называть К1(р) и (р) диссипативной и консервативной частью оператора к соответственно.

Если оператор к консервативен, т.е. Я1 (р) = 0, то уравнение (1) имеет по крайней мере три закона сохранения:

+С0

закон сохранения массы I1 = jdx u(x,i )u*(x,t) = const.,

—со

+00

закон сохранения импульса Г2 = Jи и* dx = const.,

—00

закон сохранения энергии

+ СО

1з = J['u'4 + 2itt*K(u)Jdr = const.

—со

В § 2 главы 1 рассмотрен случай ограниченного оператора, когда к удовлетворяет следующим условиям:

|к(<р)1 „ $ а!ф| „ , где Jcpj о= sup }ср| (3)

С С с

N

¡¡ЧфН.^ ) - к(ф)(дг2)Ц )-<д{хг)\, (4) .

где ф(,х) - любая функция из класса равномерно

непрерывных и ограниченных на Я функций.

Показано, что задача Кош (2) с начальным условием из класса имеет единственное решение из этого класса.

Справедлива теорема.

Теорема 1. Пусть оператор к удовлетворяет условию (4), а начальное возмущение

й(х) * с£<ту.

Тогда существует единственное решение и(х,1) задачи Кош (3), принадлежащее пространству

и(х,1) е СГ[10,*»), С°(Я„)] .

В § 3 рассмотрен случай неограниченного оператора к, удовлетворяющего условию:

К, (р) > -Ъ, Ь>0, р€Йя . (5)

Заметим, что это условие выполняется для широкого класса операторов <".-, например, консервативных. Установлено, что если оператор к удовлетворяет условию (5), то существует некоторый интервал времени, на котором задача Коши (2) с гладким начальны?/, возмущением имеет единственное решение. Доказана теорема.

Теорема 2. Пусть операяор к удовлетворяет условию (5),

о

а начальное возмущение и(х) --- ЬтС0("Я?;;*1. Тогда для некоторого То>0 существует единственное решение задачи Коши (2) из

класса С00 [[0,^], ^(Ту] .

Общие условия, гарантирующие „существование решения задачи (2). с гладкими начальными возмущениями для всех

времен исследованы в § 4 главы 1. ....-.-....._

В пункте 4.1 показано, что если оператор к строго диссипативен, т.е.

О, |р|<р0 и (р)^е>0 при |р|>р0, р е (6)

а начальное возмущение достаточно мало, то задача (2) имеет единственное решение. Справедлива

Теорема 3.' Пусть выполнено условие строгой диссипации (в), а начальное Возмущение достаточно лало, |£г§ < %.

Тогда существует единственное решение и(х,ь), принадлежащее

пространству' С00О, -к»), /ГУй^ .

Условие малости начальных возмущений является излишним в случае, когда порядок диссипативной или консервативной части оператора к больше N.

Так, в п.4.2 § 4 установлено, что если усилить условие диссипации оператора к следующим образом

Е. (р) > е|р|а, при ¡р|>рЛ>0, е>0, а>К , (7)

1 * ч

К (Я^.) - пространство функций и(х) е Ъ^ (п^.) ,для которых

+00

\и\г = Г(1 + |р|2)3|и(р)\гйр < +оо. Здесь и(р) - преобразо-Я3 Л

Я

вание Фурье функции и(х).

то условие малости может быть отброшено. Именно, имеет место теорема

Теорела 4. Пусть к удовлетворяет условия (7), а ■начальное возлущение Л(х) е ¡?°(В.}]). Тогда существует единственное решение задани-Кош (2) из класса

и(х,г) * ------ . - - -

Заметим, что в рассмотренном случае консервативная часть оператора к может быть произвольна.

Условие малости начальных возмущений может быть отброшено и в случае, когда диссипативная часть оператора к отсутствует или достаточно мала, так что определящую роль играет консервативная часть оператора к.

Показано, что если оператор к удовлетворяет условию ар

-Кг(р) » е(1+|р|) ^ , при \р\> р0>0, а £27, е>0,

то задача Коши (2) с гладким начальным возмущением имеет единственное гладкое решение.

Определение. Назовем оператор к слабодиссипативным, если при |р|>р0, 0 < Я (р) ^ е(1+|р|где 0<а<27, 5>0.

Имеет место

Тео[/е.¥.а 5. Пусть: 1) оператор- слабодиссшатиВен или нонсероатибен и

-лг(р) > еП + |р|; ^ где е>0, а2>«, ¡р!>ро>0; 2} начальна условие й(х) е //"(л,,). Тогда существует единственное решение задачи (0.1) из класса

и(Х,г) е ^[[О.+со);^^)].

Зто утверждение есть следствие теоремы об обобщенном решении, доказанной в•главе 2 (§2).

С физической точки зрения интересны операторы, отвечаю-

вде процессам распространения волн в среде с накачкой энергии.

В § 5 доказана теорема о локальном существовании решения задачи (2) в случае антидиссипативного оператора к, т.е. когда й1 (р) < 0. При этом" начальное ""условие й(х) должно принадлежать классу Жеврея и быть достаточно' малым.""Имеет' место

Теорела 6. Пусть силвол оператора к удовлетворяет условию

К/р; ^ -еП + \р\)а , е>0, ае (0,1], (8)

а дмя Фурье-образа начального возлущения выполнено неравенство

\й(р)\ 4 С expf-SefUlPiA). СХ). (9)

Тогда существует решение задачи Кош (2) из класса , где Т0<Т.

Вторая глава диссертации посвящена вопросам сглаживания разрывных начальных возмущений.

Б п.1 § 1 показано, что в случае, когда диссипативнэя чясть оператора к удовлетворяет условию

л, (р> >- s(i+|p|)a при |pi>po>0 ,

(10)

о. > тах|Ь;Лт/2-2р+ max(p,/V/2)J, р е fi, - любое,

негладкое начальное возмущение н(:с) е //^(й ), когда р < N/Z, сглаживается и существует на некотором интервале времени. Справедлива теорема.

Теорела 7. Пусть выполнено условие (10) и начальное вазлуи&ние й(х) е ffPffl J. Тогда для некоторого TQ>0 существует единственное решение задачи (2) в пространстве

(^((О.Г^.Я00^)] л С°(Г0,Го],йР(Дк)].

•Условия существования сглаженного решения доказаны в п.2 § 1.

Определение. Назовем оператор к сильно диссипативным, если его диссипативная часть удовлетворяет 'условию

К^р) z е(1 + |р|)а при |р|>рб, сON, е>0. - ■ ^

Б случае, когда" оператор сильно диссипативен, любое разрывное начальное возмущение сглаживается и существует в целом.

Имеет место

Теорела 8. Пусть начальное возлущение и(х) е H^CR^), р R , a силвол оператора к удовлшворя.ет условию (10) с a>Iï npj. рЮ, [если р<0, условие a<N выполняется абтолаш-чески в силу (10). Тогда существует единственное решение задачи Кот (2), принадлежащее

cr[(0I-H»),Bw(Rff)] п с°[ю,+«>),яР(ям)] .

Если оператор d: строго диссипативен и а<П (р>0), то

сглаженное решение существует в целом в случае, когда ■начальное возмущение достаточно 'мало.

Теорела 9. Пусть выполнено условие

К^(р) 5=0 при. jpiи

K^(p)ïs(î+\р\)а при s>0, |р|>р0, где comax(0,ïï-2p), а начальное возлущение и(х) е ), р>0, причел

lu! п < С, еде С достаточно лал.о. Тогда существует

Hv

единственное решение задачи Каш (2), принадлежащее пространству

Ссо((0,+со),й°°(2?й)] П С°([0,+«),ЯР(Д7/))

В случае слабо диссипативного оператора к условие

малости начального условия задачи (2) может быть отброшено, когда порядок консервативной части оператора больше N. Справедлива

Теорежг 10. Пусть выполнено условие (10) с

■ а

а1 " >~ тахС0,Н-2р) при р>0 -Кг(р) 5= е('\ + \р\) с а >У. '

Тогда существует единственное решение задачи Каши (2), принадлежащее пространству

Последняя теорема есть следствие теоремы существования обобщенного решения задачи Копта в консервативном случае, доказанной в 5 2 главы 2.

Введем понятие обобщенного решения задачи (2). Определение. Обобщенным решением задачи (2) называется Функция

и(х,Г, е ьДю.+ш), п'Р(1у] , р>Н/2,

'2-- ufcr.t)-« Ъ Г[0,+">); ifi^1), т 4 т - целое,

Пfm . 001 J 9

«¿0 (а - порядок оператора к (и)), прячем для v ф е C^(RJf) и для v i>o выполняется уравнение:

(ич,ф) - i (|и|ги,ф) + (и,ос*(ф)) =0, (и,ф) 11=0 = (и(х),ф). Справедлива следующая

Теорема 11. Пусть сулвол оперипора к удовлетворяет условию

а

К^(р) = 0 и при \р\>pQ -Кг(р) > егП + \р\) аг>1Г, ег>0. Начальное возлущение и(х) е ffPffl p>ag/2. Тогда существует, обобщенное решение задачи Кош (2).

ю

Глава 3 посвящена изучению периодического аналога задачи (2).

В случае, когда среда обладает периодической структурой, естественно рассматривать задачу Коши (2) с интегралом, взятым по периоду.

Целью главы 3 является изучение следующей периодической задачи Коши:

и4 - 1|и|2и + к (и) = 0, = й(Х) (11)

Здесь ц(.г) - 2% периодическая функция, а линейный оператор к (и) на этот раз задается рядом Фурье +00

= (к)" I *р«рвМр,<,) • * е V р е Ч • "р -

р=-со

коэффициенты Фурье и (г).

В главе 3 получены следующие результата (они во многом аналогичны результатам, установленным в главах 1 и 2, поэтому здесь мы будем более кратки).

Выведены законы сохранения в консервативном случае, когда К1р = ИеКр = 0 (§1).

Доказано существование гладкого классического решения в случае ограниченного оператора к (§2).

Установлено локальное во времени существование классического решения в случае неограниченного оператора к(и), символ которого удовлетворяет условию К^ > -Ь, Ь>0 (§3).

В § 4 рассмотрены общие условия, гарантирующие существование решения задачи (11) в целом.

■Показано, что ■ при достаточно малых начальных возмущениях для строго диссипативного оператора (К1р ^ 0 при |р| р0, Я^ > 8 > 0, |р| ^ р0 > 0), гладкое периодическое

решение задачи (11) существует в целом по времени.

Условие малости начальных возмущений является излишним в случае, если порядок диссипативной или консервативной части оператора к больше N.

____В_§ 5 показано, что если оператор к - слабодиссипативен -

- или консервативен и порядок консервативной части оператора к больше Я, т.е.

-Г; > г(|1+|р|) г, с^Л, е}Ю,

то существует обобщенное решение задачи Коши (11), т.е. существует функция*2

которая для Уфе *:>0 удовлетворяет следующим

соотношениям:

(и4,ф) - ((|и|ги,ф) + (ф,к*(и)) = О,

(и,ф)|^ = (й(г),ф).

В § 6 периодическая задача Коши (11) рассмотрена не только для гладких начальных возмущений, но и для произвольных разрывных.

Найдены условия на оператор к, при которых разрывные начальные возмущения сглаживаются в любой следующий момент времени.

Установлено, что если порядок диссипативной или консер-

2 *Я2^(Ду) - класс функций и(Х^) е 1г(2х), таких что +00

£(1 + |р|2)Р|ир| < +С0, И ДЛЯ V х и(х+ 2%,Х) = и{х,Х)-р=—00

ватквной части оператора к больше В, то любое разрывное возмущение сглаживается и существует в целом по времени. Заметим, что для сглаживания решения всюду требуется, чтобы диссипативная часть оператора к была ненулевой. § 7 посвящен доказательству локального существования во времени решения задачи (11) в случае антидиссипативного оператора, когда

К1р < 0, 2 -5(1 + |р|)а\ р«= Дгг е>0, а^ (0,1].

При этом условии доказано существование классического решения локального во времени, если начальные данные достаточно малы и принадлежат некоторому классу Жеврея.

В заключении диссертации перечислены полученные результаты.

Основные результаты, выносимые на защиту.

1. Доказана теорема существования решения в случае ограниченного оператора к.

2. Доказано локальное во времени существование решения в случае, когда диссипативная часть оператора к ограничена снизу некоторой отрицательной константой.

о. Установлено существование классического решения в случае, когда порядок диссоциативной или консервативной части больше N.

•5. Доказана теорема о локальном во времени сглаживании разрывного начального возмущения в диссипативном случае.

Б. Определены условия существования сглаженного решения в целом по времени в слабодиссипативном и сильнодиссипатив-ном случаях.

6. Установлено локальное во времени существование решения в антидиссипативном случае.

1 т

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научных семинарах кафедры математики физического факультета и опубликованы в следующих работах:

1. Кайкина Е.И. Задача Коши для нелинейного нелокального уравнения Щредингера, I// Мат.моделирование, т.^, 352С

" етр./ЗгЛГ

2. Кайк.ина Е.й. Задача Коши для нелинейного нелокального уравнения Шредингера, II// Мат.моделирование, Т.^", 133£,

стр. 9в -ЮЗ