..... задачи на полуоси для регенерируемых случайных блужданий тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

лХЗЛ>Л->&1 мЗУК У 1фшЫСКС11 Ордена Трудового Красного Бнылени Инст^г/т „лтсютикц

На правах рукописи

ДБ-ШОи! Лев Маркович

II ЗАДАЧИ НА ПОЛУОСИ

ДЛЯ Р^ШРИРУЩй, СЛУЧАШЕй шшшы

0Т.01.(',а - теория вероятностей и

штеиатическая отатистигл

Автореферат диссертации на соискание ученой сте-пзиа кандидата физико-математических наук

Киев 1990

Гс^ота гиполпона в Институте 1.,ато.-атпгл All УССР и на кайех pG теории рэятностсй и вычислительной г. атетгики Ташкентского ордена Друз:бк народов института народного хоз;к';стга.

Неучннй рукот-одптсш!' - акадсг.пк Ali УССР , доктор

сдюико-г.'.атег.'атичесг.пх науг.. профессор короли: b.c.

ОТщщялышо ошюяеитн: доктор }из.-кат.наук^ лрс£осоо?>

СШЯ.ЖСТГОВ Д.С., кандидат ^из.-мат.наук, отарщш пау'ший сотрудник ГЛСАЛЕНКО В.А.

Ведущая организация

Sabina состоится " часов на заседании специализированного совета Д 0IG.50.01 при Институте математики АН УССР по адресу: 252601 Киев 4, IXJII, \'л.Рехшна,3.

С диссертацией шшо ознакомиться в бпбл-шгеки институт?, «i 4

Автореферат разослан

"й> " i-i__

¿''jeiiKii секретарь специализированного сов.ета

Институт кибернстигл шл.В.;.:.ГлушК0Еа АН УССР.

/v . в А

1УСА;; Д.В.

Актуальность теми. Одним из наиболее разработанных раздел тов теории вероятностей является теория случайных блужданий,порожденных суммированием независимых случа!5ных величин или цепя-.ш Маркова. Актуальность задач теории случайшх блужданий вытекает 313 разнообразия комбинаторных и аналитических методов, применяемых для их решения, п многочисленными применениями к анализу стохастических систем.

Е последнее время з теории случайных блужданий появился новый раздел - регенерирующие случайные блуждания, требующие развития имеющихся методов и представляющие интерес в приложениях.

Цель работы. Диссертация посвящена изучению граничных функционалов ( момента достижения и еоличшш перескока ¡гулевого уровня) различных типов случайных блужданий на регенерирующем процессе,- - - .. .... -----

Научная новизна п практическая значимость. В диссертации найдены представления для производящих функций совместного.распределения величины перескока л времени достижения нулевого' уровня различных типов регенерирующих случайных блужданий и изучено предельное поведение распределений граничных функционалов при неограниченном удалении начального положения процесса от поглощающего экрана.

Метод исследования основан на решении тгсегрфшно-разност-ш уравнений для производящих функций искомых распределений,а. также на использовании теории потенциала однородного случайного блуждания.

Прикладные.модели регенерирующих случайных блужданий описывают разлпчныа задачи теории запасания, систем обслуживания и

ДР- - -- .........

Апробация работы и публикации. Результаты диссертации догладывались на сешкаре по теории вероятностей и математической .статистике в Институте математики АН УССР,на.семинаре кафедры теории вероятностей и вычислительной математики Ташкентского института народного-хозяйства и опубликованы в работах £1,2 ].

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, сил! параграфов, списка цитируемой литературы из 52 названий.

Содержание работы. Во введении обсуждаются работы по теме диссертации, формулируются и комментируются основные результаты диссертации.

В первой параграфе определен регснерпруюшШ случайный процесс (РСП).и найдены иропзводящяе функции изучаемых граничных функционалов.

Зададим последовательность ъ1 независимых в с

вокупности положительных случайных величин ( с.в. ) с функциями распределения (ф.р.): FC*'=P£ а6г i J и

(r(t) = Р{ ЭЕХ tj -

Определим деэ процесса восстановления:

cLt) « пшх [ а: £ 3 ,

4 it) = тая. £ ae¿t} .

Введем регенерирующий процесс £ ja^jJ^, р&куррентныш соотношениями:

Лч* 1 i ' и + ^ + 1 {

А,, = Т-1 ' С 1JV£ Ат ^ 3'

где алЬтлСа^) ; а* = тал .

Зададим последовательность {. fi^/Oj независи-

мых б совокупности неотрицательных с.в. с ф.р. р { <3 а ^ u.j

= PiiO к гфСи.1.

Введем последовательность с.в. £J/l,fl"'/03 рекуррентш, соотношением

- И Л. •

Опрсделш РСП J U) = >ГД°

Будем изучать время выхода случаГшого блуждания Jet) на отрицательную полуось

^UJsmiru £t: ¿CtXC ¡Jo д =

• Г (i)

^ «пил £ t: ¿it) «О I ^ Sit, Л r°J

it гс.тачжу п'пгскочо

Ги. <■*>=- (2)

1! оло\:им - Л. ^ С а) - 2 У £ л 5

се Си, х, а, = Л е. ?

т -Ке г >0.

сведем следук^яо функшн:

л; ^ , -П (V П

рСз)=Л& ь 4 ^.ссп = Яе ? .

¿л 1 = 0 во

= + С р ся- /рее), рСйу±)=е 3

г ^ И(. Т -

=Я [е • ге - л ^ -

^ и!

-ТТЛ— } 5 а

О о-

Г ; | е ¿.Гс^, о

1т 5 -7/0; -Ке 5 >и .

Основным результатом первого параграфа является следуюцая теорема.

Теорема 1.1. Для преобразований Фурье производящих функций лестничных величин (!) и (2) имеют место формулы:

? - С

OQ

i Su. - Ял

cpCS,x,ñ,£) = § e Cf> Cu, x,tldu. = в С i + CpCs5-.l) * o

písl-p'ííi')

* 5 e F cx-t)d н ct, s).

О- л

Здесь -ЯеЛ >0 i Ле i У0 i Im 5 У/О ,

r - оператор проектирования в классе преобразований Фурье:

+ ос ре

Llsu. л ÍSU.

J е £ Cu.) d-u. у =|е § Luldu..

го го

Функции ¿f + (Л1 и С S, Л) яшяются множителями ^актс ризации: ¿(s, ai ^ (-«) = ¿V"^8'*'/J"1 (S,50,

(V

причем . Л) =-1.

Из теореш, с использованием безгранично долимой тактори: ции, вытекает такое следствие.

Следствие. I) Для экспоненциального распределение положительных скачков es) = cj, /C<J, + -S) имеют место формулы:

-SU.

«J, Л - su. (V)

о

- Ц -s)d.xíe,a,t5j /С^ с s,a>-¿ ) + s ¡J ,

0° .¡¿L О, - ^

ä

- "5t

ö-

десь ЛеЯ У0; Je¿>0, ЛгЗУО,

s - единственна:". пололгаелыпгЗ корень уравнения

«^C^CS.aî-JO + S =Û'

j^aî ¿¿s^t^dUs,*,*» P> = p^

НхСх,£) = H S).

2) Для решетчатого полунепрерывного случайного блузданил с ;.)1:пз.:од5е;".'.п :ункы'.г,".и сг.ачг.св

л.____и л =£saPa, c[cs) =ÍL s¿ÍV = S

CS) =Я S

Г

лг/.еат место ^орг.'ули:

л -Д^ Тп -

= 2 [е -4 ^ =

= C|ce,Âî2à с вд1 а, » - s!¿ is, X, *>Л / Cf csfai - s J,

^„„oïisVC'1 M Fi

^es,Я,a,2) = s Ü Се " г 2 =

G

Л

л, -¿t

-H/pcs)J + — Cpcv pcsfije ru-tU. Hit.si.

о- л

ГДе = £ зк}кСА1 -

= с f W> + с pcsy-I) J e HCx,sidecx)3 / PCS),

о

С С К -At

б^Ь» зе. J, P ( 4 = e

S^- единственный положительны;: король ъ-павненпя

Ю - S ,

удовлетворяющий условию 5. ^ ^ t

■д

(V . * I

S Cfc,a,r> = ~-Cpü)- BYs» * 00 Ä - at

t МеГ Hct,s)d£(x)

in л

0 0-

ISI ¿i- Iii ^ -Rea.>0-

3) Для решетчатого полунепрерывного случайного блугдапия с производящей функцией поло;а1тельних скачков yCs) - ц,/И ~ - |=s р --1, р,^ > О имеют место формулы:

90

2?С.

tlSQ

-i

*. Cp+ Cs,ai - sU .

„ f-cfLs,x,x,i<) = Z SЯ. Ce 2 л J =

n-0

e ^Tp l-f t/s,a,i)3* C Cf1CsW) *

*

2-s 1 Л t

о

в

д - единственный положительный корень уравнения 5"ip t £cs,aW =0,

удовлетворяющий услоЕШл S^^ij lílii; IS ( ¿ i • - JlaáyQ .

Eo втором параграф получены асимптотические представление корней символов производящих операторов полунепрерывных случайных блужданий.

Е третьем параграфе вводится функция Jl.ji.iO ( последовательность £ , пл/12 ) и исследуется ее асимптотика, играющая существенную роль при доказательстве предельных теорем для распределений лестничных величин.

Б § 5 изучается вопрос о вырожденности распределения-времени достижения нулевого уровня и предельное распределение величины перескока полунепрерывных случайных блужданий. Введем следующие обозначения:

~ /i-i -а*

A cs>=£ р ""csj ¿ caí = С e * (Hc»,e>-0¿ffc«>/pis)

л n*< a

n o

где r

)Яе ,JJes?/0, когда Bn. нерешетчатая с.в..

P

CS) -

ISI¿Í , когда Qn. решетчатая с.в.,

<.*) = P

Ib

MX

(jo

}*í

■ДХ Cft>*

tb„ÍO) когда 6„ нерешетчатая с.в. ^ когда 8п. решетчатая с.в..

со а

fl=¿ fes i

С=яе1, m.k k'£,3 i ¿--ü^.

I. Пусть пололштельные скачки случайного блуждания распределены по экспоненциальному закону с параметром . Положим /i - ^ с i^fû) -

Теорема 4.1. При распределение с.в. t

собственное. При ¿ i с.в. f несобственная и

= 1-С i-jV

где ц.

ACul s £ JUu-peLG 000

-«а

f * /

Je .RcWu. C$LS,0)-Íl

ос

f - Bll , _

j e dSíu,0) = g, es,o).

Будем предполагать, что распределение с.в. нерошотчатое и несингулярное.

Теорема 4.2. I) При ^ у л, m¿ 4 + °°

и = ЛГ

где £д - единственный положительный корень уравнения

2 с^ + 3 =0 - ^

2) При Д т3 4 + <*>

и К е. = —1---¡1- М01

Ц. <*5 * С

г г л 7 ■ *

где б^ +

3) При пг4 ^ + «> и Еыпслнении условия Крамера:

_ Н,-, ±

А) + У Ь Со) •= ~- '

у-, во * Р^-5

V

где

¿V со) = Р{ 2] ^ ж'1)' ,

^ Л { е"*Га1?1Ь - + =

7 ^ г ° ' 2 -¿¡1 0 с и

а

Л"

и а ~ единственный отрицательный корень уравнения (I), удовлетворяю^!]"; условию £ ^ у

Из тс-оремы 4.2 вытекает : при ¿>1 у 1

А РДаЛ = ¿ь. —

•*> ц. ре

^ г - ^ т

Л"

л

при ^ = 1

А Р СХ) ^ ^ [га ^ = ¡Й {С&-Р(«>+Г«>>{ Рса^.

и <* ьа х-

при ^ 1

± РСХ) = и Р3 { Т 4 * | ^ =

ах. л и оо и-

Я- г ~ . " Са^'Я

= ^-рг I. р'*' V0'" 5 е

2. Пусть поло;;:ительние скачки решетчатого случайного блузда-ния равны единице. Полшапл £P¿ =0' ^tl).

Теорема 4.3. При ja» 7/ i распределение с. в. <£ собственное. При js, ^ ^ с.в. ^ несобственная:

<Р £*„. »"З = Ci-jv £а, m-ÎO,

где

t-o °

i «v

H£CS,Û) Г s" Jc^OÎ-1, £ s*^ - J Cs,0\

Теорема 4.4. I) При J3, > i , z + oo

N-ro° 0 '

где 5 - единственны!! положительный корень уравнения

KaCs,0V = O, (2)

удовлетворяющий условию: Sg 4 1. 2) При js* =1, m. ^ ■*>

г. г л

где =

3) При ja, .¿,1, г*£ .с + i» и вииолнении условия Крамера: В) Suf>[syO: lpCS)l<;+coJ -£>1; У

и А { I С + -

V г»

= [ а-р^к^ - 7^7

где - единственны;': корень уравнения (2), удотпетБор.аэазп! Услое;п 1 ^ ¿г •

Из теоремы вытекает, что

Л

7,1

^ ^ ¿.СО к-п

р со = Ьпг Р {Г = —£— £ Р - -—— £ Р ёл , П. При /¿=1

р СО = ЙШ Р. -аЗ =

■V —»

= 4 [ £ + ^ - с"4 ["■ - 2 Са-О^ 3 3, 1 .

г 1=а

Пря г£ ¿1

р Ш * &т Р { -р sn.lv ¿ + £*Л =

. . яо ,

к-п.

Л_" „ Ч 'С' „ „

3. Пусть поло;;а1тслыше скачки случайного блуждания распределены пз геометрическому закону с параметром р . Положил СЛ. *

Теорема 4.5. При ч, р> распределение с.в. собственное. При ^¿р с.в. несобственная:

а

""a -i k

n"° k-0 L

Теорема 4.6. I) При m¿ ¿ +

/V-Г« Л-p.ti-í г

¿t - единственный корень уравнения

£¿LS,o-)sQ, (3)

удовлетворяющий условию: 0 4 SQ с 1 . 2) При ja3 :j3f rn3 ¿+oo

^tv Kt^s-^-i -!-С-Да + -r-¿

v-vco ef l i-i Lü 1 °

+

[Ci-O-c-i* p^ul ?

Cí-£)¿ " ' J

pa:

3) При m¿ x + 00 и выполнении условия Краме-

i Г*, л

V-**> ™ pM

Lm ÍO)' ¿ i К Сл.,0) >£>

i ев n pLu-) »■

4

ч-* с«з Лз г ^

где - единственной корень уравнения (3), удовлетворяющий условна: * * « £ - •

Из теоремы вытекает:

1Р11 /з

л , Л ? п г, ~ ^

Л/-» л V ^ р |<.«п.к

ПР" Л =Р

¿Л

и =г0 - —{^ЕР^ГСЯ [С +

к; п-Х

+ £ Рд -а+ £ ^-«Р^Л}, к = а МО

* и с\Ра-/*> ^га ^ ' ^а

В § 5 изучается асимптотические поведение распределения момента выхода случайного блукдания на отрицательную полуось при неограниченном удалении начального поло-хения от поглощающего экрана. +

I. Пусть положительные скачки ГСП распределены по экспо-ненша-хьному закону с параметром а^ •

Т о с р е м а 5.1. Т) При т£ + со

и. («

оо

2) При jd^ s i, m3 с +

¿ж jyie * -e

u. ею

3) При ¿ i и выполнении условия Крамера А)

е 5

&m. iííe "" It„¿+9«"1 s

a-t ею w * vJ

где

r ¿pes) ^ ¿Vs\ -)

^ = ¿г IJj

^ 3bcs5

Из теоремы вытекает, что: при > X

fon. sJ^C^,

ГДе ~ О, Ä^^fc/i^x-i)

при /и

Ц-» ее

1-дь _'_ <J,¿

-i——h—г- e '

d-x ' ¿S »

■ipn J5í < 1

^ Р

•V . / и. 4 X

Х + =

где

гз С*) =

О,

X, а 7 С .

2. Пусть положительные сг.ачкп решетчатого ГСП ранга ециют-Т о о р е г; а 5.2. 'I) При ^¿"^ т^ + <*>

.V-» «5

'Л) Ппл ^ +

• я -А*.,/Vй .-л1лГ1е£

^ Ке =а

N

3) При ^ ■< 1 и выполнении условия Крамера В)

¿т. Я {

-ЛТ., //V

л»

, _ - ЬС^-я/^ «3 ?

¿б

+

■х)

-1

а=а

'ДО

Из теоремы вытекает: при ^

Ьа р *}

/V до я

Г о, Л < ¿А «Лг"1^ >

при ^ = 1

Н-+ с"

где Ь

кю. Р [ ш£ ^ л} =ги),

при /£

Ист. Р { К !Ы х.' I? = К С х).

где

го, « «: ,

в х, Л г В <■££)/¿¡г .

¿. Пусть положительные скачки решетчатого гсп распределены по геометрическому закону с параметром р .

Теорема 5.3. 1) При ^^ р, т.£ «£ + <*>

¿¿т. Ле " =е /л-р

Ы

I) ари яр, т3 + _

-лг, /лгг -УТа^Г1/^

и Де

Л/ —» с""

при ^¿р и выполнении условия Крамера С)

^ I* = е ,

с5) (о

—и^ Ь-фф-^-эГ- ™1

■г

Из теоремы вытекает: при /з > р

Р{ V 1\ < ~ Г, (X)

при />3 =/=

и. Г {г,,// * -

-

где

¿я - - / ¿^Гб-д л3 ,

при ^ *р

о, л < ,

гс >0;

Г* £ -с) —

3 ^ 1, х 7/

В § 6 проведен асимптотическпл анализ совместного распределения момента города РСП на отрицательную полуось и величины перескока.

I. Пусть положительные сг.ачки РСП распределены по экспоненциальному закону с параметром- ^ . Р/дем предполагать выполненными условия теорем ¡.2 и 5.1. Б этом случае:

1) При

и.-* <*>

2) При ^ =Х

ц. —* С»

3) При js^i -U Pit J U. 4Xj f -it «F, C*ip3ui.

a. 00

2. Пусть полспителыше скачки РСП равны единице. Будем пред полагать выполненными условия теорем 4.4 и 5.2. В этом случае:

1) при

icm. fs = i;cxvp„ Ul;

iV-» <»

2) при J3, si

P{> /Л«^ -a Л .-risvp ialj

3) при ja^ x X

fcm. P£^ /N¿x^ ^ sty. | ^ ¿ + <«} (x, psca>. Ы -* <*>

■ 3, Пусть-положительные скачки.РСП распределены по геом&трп-.¿скоыу закону с.параметром р .Будем предполагать выполненными условия.теорем 4.6 и 5.3. В этом случае:

1) при j=3 ? р

^П. /V Г .-ij^p^a).

2) при j^sp

d) При <i р

В § 7 рассмотрены прикладные модели регенерирующее случайных блужданий на полуоси. В частности, проанализирован оптщлапышй промежуток времени г.*.езду профилактическим! заменами при стратегии восстановления блоками.

Основные положения диссертаци опубликованы в следующих , работах:

■I. Драбкин Л.;,;. Регенерирующие случайные блу;яданил на полуоси на суперпозиции двух процессов восстановления // Аналитические методы в вероятностных задачах. - Киев: Ин-т математики All УССР, 1928. - С. 34-40. 2. Драбкин Л.Li. Асимптотический анализ граничных функционалов регенерирующего случайного блуждания// Докл.. Ail УССР.-ISC9. - Jr II. - С.5 - 8.