Замкнутые вихри Абрикосова в сверхпроводниках второго рода тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

На правах рукописи

Тихомиров Илья Викторович

□□3452517

ЗАМКНУТЫЕ ВИХРИ АБРИКОСОВА В СВЕРХПРОВОДНИКАХ ВТОРОГО РОДА

01.04.07 - физика конденсированного состояния

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

1 3 ;.0П -СОД

Омск-2008

003452517

Работа выполнена на кафедре общей физики ГОУ ВПО

«Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Югай Климентий Николаевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Боярский Леонид Александрович

кандидат физико-математических наук, старший

научный сотрудник

Боголюбов Никита Александрович

Ведущая организация: ГОУ ВПО «Уральский государственный

университет им. А.М. Горького»

Защита состоится 26 ноября 2008 г. в 1630 на заседании диссертационного совета Д 212.179.04 при ГОУ ВПО «Омский государственный

университет им. Ф.М. Достоевского» по адресу:

Россия, 644077, г. Омск, ул. Нефтезаводская И, 4-корпус ОмГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО

«Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского»

Автореферат разослан « 2Ъ »_октября_2008 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.179.04, кандидат физико-математических наук, доцент

Г.А. Вершинин

Общая характеристика работы

Актуальность темы

В последние годы область применимости сверхпроводников второго рода существенно расширилась, что связано с возможностью их применения в современной электронике и энергетике. В связи с этим усилились и исследования смешанного состояния сверхпроводников второго рода. Токонесущие и магнитные характеристики таких сверхпроводников, определяющие перспективы их практического использования, в значительной степени зависят от наличия в образцах вихрей и их взаимодействия с пространственными неоднородностями материала.

Открытие новых высокотемпературных сверхпроводников показало, что они относятся к сверхпроводникам второго рода. Известно, что ВТСП материалы обладают высокой степенью анизотропии. В отличие от большинства сверхпроводников, в ВТСП тепловыми флуктуациями вблизи фазового перехода пренебрегать нельзя. До сих пор не создано последовательной теории фазового перехода в магнитном поле, которая бы учитывала все флуктуаци-онные эффекты, возникающие в этой области. Образование замкнутых вихрей Абрикосова относится к эффектам такого рода.

Замкнутые вихри начинают влиять на сверхпроводящие свойства при значительно меньшей температуре, чем температура, при которой сверхпроводимость разрушается чисто флуктуационным образом. Существующая на данный момент теория плавления решётки вихрей Абрикосова не включает в себя замкнутые вихри. В связи с этим исследование замкнутых вихрей является весьма актуальной задачей.

Изучение динамических свойств замкнутых вихрей Абрикосова позволяет лучше понять процессы, протекающие в сверхпроводниках второго рода вблизи критической температуры. Немаловажно изучение взаимодействия замкнутых вихрей с линейными вихрями, изучение процессов рождения и уничтожения замкнутых вихрей. В совокупности с линейными вихрями замкнутые вихри активно участвуют в процессе разрушения сверхпроводимости, влияют на магнитные свойства сверхпроводника. Всё это позволяет утверждать, что замкнутый вихрь Абрикосова является не менее важным объектом исследования, чем линейный вихрь, описание которого широко распространено в литературе.

Цель работы

Целью работы является теоретическое описание замкнутого вихря Абрикосова, изучение его статических и динамических свойств, описание состояния сверхпроводника второго рода, содержащего в себе замкнутые вихри в области температур близких к Тс.

В связи с этим были поставлены следующие задачи:

1. Описать общую картину смешанного состояния сверхпроводника второго рода, существующую на данный момент.

2. Изучить статические и динамические свойства замкнутого вихря Абри-

Косова, рассматривая его как решение стационарного и нестационарного уравнений Гинзбурга-Ландау (ГЛ).

3. Описать механизмы генерации замкнутых вихрей Абрикосова: возникновение из линейного вихря и в результате действия сильной токовой флуктуации.

4. Рассмотреть процессы взаимодействия замкнутых вихрей с решёткой линейных вихрей. Смоделировать общую картину сверхпроводника второго рода, находящегося во внешнем магнитном поле, при температурах близких к Тс.

5. Рассчитать температуру, соответствующую началу генерации замкнутых вихрей и определить область существования фазы сверхпроводника второго рода, характеризуемую наличием замкнутых вихрей.

6. Изучить взаимодействие замкнутых вихрей с различными дефектами сверхпроводника: одиночной полостью, точечными дефектами рассеянными равномерно по сверхпроводнику. Рассмотреть последствие пиннинга замкнутых вихрей.

Научная новизна результатов

Научная новизна результатов состоит в том, что автором впервые:

1. На основе аналитического решения стационарного уравнения Гинзбурга-Ландау и численного решения нестационарного уравнения Гинзбурга-Ландау изучены динамические свойства замкнутого вихря.

2. Введён механизм образования замкнутых вихрей из линейных вихрей, а также получены балансные уравнения, описывающие процессы генерации и уничтожения замкнутых вихрей.

3. Обнаружен эффект притяжения замкнутого вихря к линейному при их взаимодействии.

4. Получена температурная и магнитно-полевая зависимость теплоёмкости сверхпроводника, содержащего замкнутые вихри, на основе которой определена область существования замкнутых вихрей, и установлена зависимость пороговой температуры от внешнего магнитного поля.

5. Обнаружено явление стабилизации замкнутого вихря, находящегося в сверхпроводнике, содержащем точечные дефекты, а также процесс распин-нингования линейного вихря замкнутым вихрем.

Научная и практическая значимость работы

Введение замкнутых вихрей в модель, описывающую смешанное состояние сверхпроводника второго рода, позволяет объяснить аномальное поведение вольт-амперных характеристик вблизи критической температуры, а также расширить область практического применения сверхпроводников второго рода, в частности, при создании приборов на основе ВТ СП материалов, работающих на новых принципах.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Существует два механизма образования замкнутых вихрей Абрикосова, а именно: образование замкнутого вихря в результате действия сильной токовой флуктуации и образование замкнутого вихря из линейного вихря.

2. Радиус замкнутого вихря определяет время его жизни: замкнутые вихри с малыми радиусами, являются неустойчивыми и быстро разрушаются.

3. Замкнутый вихрь взаимодействует с решёткой линейных вихрей, разворачиваясь в определённое, энергетически выгодное положение относительно направления внешнего магнитного поля. Далее замкнутые вихри притягиваются к линейным, образуя «гроздья».

4. Кроме известной фазы сверхпроводника второго рода, содержащего в себе решётку линейных вихрей, в нём имеется фаза, характеризуемая наличием замкнутых вихрей. Температура, соответствующая началу генерации замкнутых вихрей, зависит от внешнего магнитного поля и совпадает с температурой фазового перехода, обнаруженного экспериментально.

5. Замкнутый вихрь взаимодействует с различными дефектами сверхпроводника, притягиваясь к ним. Возможна стабилизация замкнутого вихря в сверхпроводнике, содержащем точечные дефекты. Возможен процесс рас-пиннингования линейного вихря замкнутым вихрем.

Апробация работы

Материалы диссертации были представлены на международных конференциях: XIII Международная конференция «Ломоносов-2006» (Москва, 1215 апреля, 2006); Вторая Международная конференция «Фундаментальные проблемы высокотемпературной сверхпроводимости» (ФПС'Об, Звенигород, 9-13 октября, 2006); XII Международный симпозиум «Нанофизика и нано-электроника» (Нижний Новгород, 10-14 марта, 2008), а также на семинарах: I Сибирский семинар по сверхпроводимости и смежным проблемам ОКНО-2003 (Новосибирск, 24-25 ноября, 2003); II Сибирский семинар по сверхпроводимости и смежным проблемам ОКНО-2004 (Красноярск, 1-2 декабря, 2004); III Сибирский семинар по сверхпроводимости и смежным проблемам ОКНО-2005 (Омск, 20-21 сентября, 2005); IV Сибирский семинар по сверхпроводимости и смежным проблемам ОКНО-2006 (Новосибирск, 26-27 октября, 2006); V Сибирский семинар по сверхпроводимости и смежным проблемам ОКНО-2007 (Красноярск, 13-18 сентября, 2007); VI Сибирский семинар по сверхпроводимости и смежным проблемам ОКНО-2008 (Омск, 16-17 сентября, 2008).

Публикации

Список публикаций автора по теме диссертации составляет 7 научных публикаций, список которых приведён на стр.20.

Личпый вклад соискателя

Автор участвовал в решении поставленных задач, обсуждении полученных результатов и их интерпретации. Все аналитические и численные расчеты проделаны автором.

Структура и объём диссертации

Диссертация состоит из введения, четырёх глав и заключения. Объём диссертации составляет 94 страницы машинописного текста, в том числе 22 рисунка и список цитируемой литературы из 72 наименований.

Краткое содержание работы

Во введении показана актуальность выбранной темы, сформулированы основные цели и задачи работы и также выделены результаты, выносимые на защиту.

В первой главе, являющейся обзорной, приводится история исследования сверхпроводников второго рода, рассматриваются существующие на данный момент теоретические модели, описывающие смешанное состояние сверхпроводника второго рода, в которых производились попытки описать поведение сверхпроводника второго рода вблизи критической температуры. Также в первой главе рассматривается замкнутый вихрь Абрикосова и приводится описание его основных свойств.

Замкнутый вихрь представляет собой вихревую нить, в которой силовые линии магнитного поля замкнуты. Подобные одиночные вихревые структуры рассматривались ранее в работах [1-4]. Для упрощения расчетов предполагается, что магнитное поле имеет форму кольца - кольцевой вихрь. С магнитным полем одиночного замкнутого вихря взаимнооднозначно связаны круговые сверхпроводящие токи (рис. 1).

Радиус нормальной сердцевины замкнутого вихря, как и в случае линейных вихрей, порядка £ - длины когерентности теории Гинзбурга-Ландау. Магнитное поле и сверхпроводящие токи охватывают область вокруг нормальной сердцевины порядка Л - глубины проникновения магнитного поля. Распределение магнитного поля замкнутого вихря определяется из решения стационарного уравнения Гинзбурга-Ландау, записанного в лондоновском приближении

Й + Я2го1го1Н = (1)

Распределение магнитного поля одиййчного замкнутого вихря в общей форме может быть записано в виде

^ ФоА- (р^)ехр(-^У^У Ц (2)

2Л

о

Здесь р = г/А, £ = г/А, рц = /Я, где г, г - цилиндрические координаты, плоскость г = 0 совпадает с плоскостью кольца, магнитное поле имеет только азимутальную компоненту, J^(pq) - функция Бесселя первого рода. Таким образом, магнитное поле вихря обладает симметрией относительно оси г и для произвольного азимутального угла <р выполняется соотношение Ну {<р + Ъх) = Ну (<р). Магнитный поток, содержащийся в замкнутом вихре, определяется выражением

Ф, =ФоО -рЛХРЛ (3)

Рис. 1. Магнитное поле Я, плотность тока и радиус замкнутого вихря

где К1 - модифицированная функция Ганкеля. Замкнутый вихрь содержит в себе квант потока только при достаточно больших радиусах (рис. 2). Это связано с тем, что структура замкнутого вихря с большим радиусом близка к структуре линейного вихря. Магнитный поток вихря при малых радиусах гораздо меньше кванта потока Ф0.

Энергия замкнутого вихря равна

^ (4)

где Ь = 2лК5, Ну(р$,0) - поле в сердцевине^Яихря. Время жизни одиночного замкнутого вихря будет определяться начальным радиусом вихря (рис. 3).

Рис. 2. Зависимость магнитного потока замкнутого вихря от его радиуса

1.6 1.4 1.2

1

Ч °-8 ^ 0.6

ал

0.2 о -0.2

к / /

/

"...... ~ / /

/ / 1

/

( /

/

/

т

----"""

0.3 1 1.5

2.5

А

3.5 4 4.5

Рис.3. Зависимость энергии и времени жизни замкнутого вихря от его радиуса

Во второй главе исследуются вопросы, касающиеся образования и разрушения замкнутых вихрей Абрикосова. Рассматриваются основные механизмы генерации замкнутых вихрей. В частности исследуется тепловой механизм образования замкнутых вихрей, а именно, образование замкнутого вихря в результате действия сильной токовой флуктуации (рис. 4).

Рис.4. Образование замкнутого вихря из токовой флуктуации

Полный ток, соответствующий замкнутому вихрю, будет равен току, проходящему через внутреннее отверстие кольца

гИ

(5)

где Ь — контур, совпадающий с сердцевиной вихря. Сравнивая полный ток замкнутого вихря с током флуктуации можно получить условие образования замкнутого вихря, и тем самым рассчитать температуру, соответствующую началу генерации замкнутых вихрей:

Г = -?§-, (6)

где С - безразмерная константа, определяемая свойствами сверхпроводника.

Можно показать, что полученное значение температуры лежит вблизи Тс.

Кроме того, в сверхпроводнике существует механизм образования замкнутых вихрей из линейных вихрей. При достаточно сильном внешнем магнитном поле, в сверхпроводнике одновременно могут присутствовать и замкнутые, и линейные вихри. Линейные вихри поддерживаются внешним магнитным полем, а замкнутые вихри разрушаются и появляются снова, так что их среднее число остается постоянным при заданной температуре [5]. Тепловые флуктуации приводят к искажению формы линейного вихря. Увеличение длины вихря энергетически не выгодно, поэтому вихрь стремится сжаться до

изгиб будет достаточно большим, кольцевые токи противоположных сторон изгиба будут взаимодействовать, что приведет к появлению дополнительной энергии взаимодействия. Конкуренция этих энергий приведет к тому, что изгиб не «разгладится», а замкнется в кольцо, радиус которого определится радиусом закругления изгиба (рис. 5).

Замкнутый вихрь, образованный таким образом, будет абсолютно идентичен замкнутому вихрю, образовавшемуся в результате сильной токовой флуктуации. Но при этом вероятность рождения замкнутого вихря из линейного будет зависеть от числа линейных вихрей в сверхпроводнике, а значит и от величины внешнего магнитного поля.

Рис. 6. Температурная зависимость свободной энергии, соответствующей замкнутым вихрям

С повышением температуры энергетический вклад замкнутых вихрей в полную энергию сверхпроводника растет, пока не достигает своего максимума. Дальнейшее увеличение температуры сверхпроводника приводит к тому, что число замкнутых вихрей сокращается, это связано с флуктуационным разрушением сверхпроводимости в области температур, лежащей вблизи Тс. В данной области замкнутые вихри, как явление, присущее сверхпроводимости, существовать не могут (рис. 6).

В третьей главе исследуются основные динамические свойства замкнутых вихрей. Рассматривается нестационарное уравнение ГЛ, полученное обобщением уравнения ГЛ для слабонеравновесной ситуации, когда параметр порядка не совпадает со своим равновесным значением. В этом случае вариация функционала ГЛ не равна нулю и определяет скорость возвращения величины параметра порядка к равновесному значению

= + = (7)

'¿Г Я" 1 4т\ с )

где у имеет смысл кинетического коэффициента, у/ - комплексная функция трех координат и времени. Далее, для упрощения расчётов нормируется параметр порядка и векторный потенциал: ш = Л 1™ I2 = И л-А д - ф° Также

V 1 01 /?' А/ 0

вводятся безразмерные координаты и время: х = «= , =Т,тс <0 =Н Па-

V 4т|а|" 'о ' ° у

раметр порядка представляется в виде у/ = Рё'", а также вводятся обозначения

V = УФ -А и л = В итоге нестационарное уравнение ГЛ примет вид

Ё1 = Ап_М- + 2п-2п>-2пр1 (8)

81 2п

'(1и{пУ)

31 .. ,

где п имеет смысл концентрации сверхпроводящих носителей тока, а V - их скорости.

Эта система представляет собой четыре нелинейных дифференциальных уравнения, и должна быть дополнена начальными и граничными условиями, которые определяются характеристиками конкретной задачи. В общем случае данное уравнение не поддается аналитическому решению, поэтому решение находилось численным интегрированием. Задавая цикл по времени, мы наблюдали распределение концентрации сверхпроводящих носителей заряда в пространстве и времени. С течением времени концентрация стала уменьшаться на оси кольца, т.е. в сверхпроводнике появилась область в форме тора с пониженным содержанием сверхпроводящих носителей (рис. 7). Подобные вихревые решения наблюдались при решении нелинейного уравнения Шрё-дингера, описывающего сверхтекучую жидкость [6,7].

1 0.8

И2 06

0.4 0.2

0

0 5 10 15 20 25 30 35 40 X

Рис. 7. Зависимость квадрата модуля параметра порядка от координат

На рисунке показана зависимость концентрации сверхпроводящих носителей от координаты х(у = 0,г = 0): видно, что концентрация имеет два минимума, соответствующих правому и левому плечу кольца. Концентрацию в остальных точках кольца можно получить, поворачивая график вокруг оси симметрии. Т.е. в целом распределение параметра порядка в кольце симметрично относительно оси кольца. Разные графики соответствуют разным временам, верхние графики соответствуют более ранним временам, нижние - более поздним. Если рассматривать временную зависимость концентрации в одной из точек кольца, например, в центре правого плеча (д; ~ 30), то можно заметить, что кривая сходится к постоянному значению (рис. 8).

Дальнейшее несущественное увеличение концентрации связано с тем, что с течением времени уменьшается радиус всего кольца, вследствие чего изменяется координата центра правого плеча. Это связано с тем, что времена, за которые происходит изменение размеров кольца, существенно превосходят расчетные времена задачи. Тем не менее, полученные данные отображают процесс образования кольца, а именно тот факт, что с течением времени решение вышло на стационарное значение, т. е. под действием начального возмущения в сверхпроводнике появилась нормальная область в форме кольца, вокруг которой циркулировали незатухающие сверхпроводящие токи. Такое решение соответствует замкнутому вихрю Абрикосова. В сверхпроводнике при достаточно высоких температурах могут присутствовать одновременно и замкнутые и линейные вихри, при этом между линейными и замкнутыми вихрями существует взаимодействие. Оно проявляется, когда вихри сближаются на расстояние, достаточное для перекрывания их сверхпроводящих токов, т.е. до величины глубины проникновения магнитного поля Я.

Рис. 8. Зависимость квадрата модуля параметра порядка от времени

При этом между вихрями появляются взаимные силы, которые изменяют их положение друг относительно друга. Энергия их взаимодействия, определяться следующим выражением:

Р- = ё^/^2^2 + к> Кб

(9)

где индексы 1 и 2 принадлежат замкнутому и линейному вихрю соответственно. В первом интеграле интегрирование производится по координате гг, направленной вдоль линейного вихря, во втором интеграле интегрирование производится по координате <з,, направленной вдоль керна замкнутого вихря. Это выражение можно использовать для нахождения энергии взаимодействия между замкнутым и линейным вихрями при любом их взаимном расположении. Поскольку линейный вихрь связан с внешним магнитным полем, то его положение фиксировано относительно решётки вихрей, т.е. и относительно сверхпроводника в целом. Расположение замкнутого вихря относительно линейного можно задать тремя геометрическими параметрами: расстоянием до линейного вихря и двумя углами, характеризующими вращение замкнутого вихря в пространстве относительно осей перпендикулярной и параллельной линейному вихрю.

Вариация энергии взаимодействия по углам вращения показывает, что вихрь будет стремиться развернуться в одно определённое положение, которое будет являться устойчивым. При этом магнитное поле ближнего плеча замкнутого вихря и магнитное поле линейного вихря будут параллельны и противоположно направлены. Противоположное положение, когда магнитное поле ближнего плеча замкнутого вихря и магнитное поле линейного вихря параллельны и сонаправлены, является неустойчивым. В сверхпроводнике при ненулевой температуре всегда присутствуют флуктуации тока, «раскачи-

вающие» вихрь, поэтому более вероятно встретить замкнутый вихрь в первом положении относительно линейного вихря, поскольку даже, если замкнутый вихрь подошел другим концом, он развернется в это положение со временем. Варьирование по параметру, характеризующему расстояние между вихрями, показывает, что замкнутый вихрь, развернувшись в положение, определяемое его вращением, будет притягиваться к линейному вихрю. Притяжение между замкнутым и линейным вихрем приведет к тому, что в определённый момент времени вихри могут соприкоснуться своими нормальными сердцевинами, Энергия взаимодействия отрицательна и поглощение замкнутого вихря линейным вихрем термодинамически менее выгодное, чем состояние, в котором замкнутый вихрь находится вблизи линейного, но не поглощается им. Между этими состояниями находится энергетический барьер, по величине равный максимуму энергии взаимодействия между вихрями. В результате замкнутые вихри, появляясь в сверхпроводнике, будут сближаться с линейными, прилипая к ним и образуя «гроздья» (рис. 9).

Общая картина сверхпроводника, находящегося во внешнем магнитном поле выше НС1 и имеющего температуру близкую к Тс, выглядит следующим образом: В сверхпроводнике помимо решётки линейных вихрей присутствуют замкнутые вихри, которые под действием флуктуаций появляются в сверхпроводнике. За время своего существования замкнутый вихрь разворачиваются определённым образом относительно решётки линейных вихрей, так, чтобы направление магнитного поля ближнего плеча замкнутого вихря было параллельно и направлено против направления магнитного поля линейных вихрей. Развернувшись подобным образом, замкнутый вихрь притягивается к одному из линейных вихрей, находящихся поблизости. Прилипая к линейным вихрям, замкнутые вихри колеблются под действием тепловых флуктуаций, при этом их энергетическая неустойчивость приводит к постепенному уменьшению их радиуса вплоть до полного уничтожения (коллапса). Но в тоже время под действием тепловых флуктуаций появляются новые вихри, так что среднее число замкнутых вихрей в сверхпроводнике остается постоянным.

О

^ г

о

О

о

о

о о о о

о

о>

о о о

о

о

о

о о

о о

¿7 о о

о

о О

о о

Рис. 9. Общая картина взаимодействия замкнутых и линейных вихрей

В четвёртой главе рассматривается влияние замкнутых вихрей Абрикосова на разрушение сверхпроводимости. При приближении к критической температуре сверхпроводника число замкнутых вихрей увеличивается, а значит и увеличивается вклад замкнутых вихрей в термодинамические величины описывающие сверхпроводник. Вероятность образования замкнутого вихря определяется вероятностью флуктуационного появления разрыва длины £ на линейном вихре. Т.е. для образования замкнутого вихря необходимо затратить энергию, по крайней мере, превышающую величину энергии Увеличение внешнего магнитного поля Я0 приводит к возрастанию числа линейных вихрей, а значит и к увеличению общей длины, на которой могут образовываться замкнутые вихри, т.е. общее число замкнутых вихрей будет зависеть от внешнего магнитного поля. Учёт механизма генерации замкнутых вихрей из линейных вихрей приводит к тому, что свободная энергия сверхпроводника возрастет на величину

Д^(Г,Я0) = ^(Г,Я0К(Г,Я0), (Ю)

где Ъу - общая длина замкнутых вихрей. Расчет теплоёмкости показывает, что механизм генерации замкнутых вихрей «включается» при определённой температуре Ть (рис. 10). При этой же температуре, теплоемкость, обусловленная замкнутыми вихрями, обращается в ноль, и имеет положительные (физичные) значения при Т>ТЬ и расходится при Т -> Тс. Таким образом, в системе имеется фазовый переход, при котором сверхпроводник переходит в принципиально новую фазу, характеризуемую появлением замкнутых вихрей Абрикосова.

Т/Те

Рис. 10. Температурные зависимости свободной энергии и теплоемкости сверхпроводника, содержащего замкнутые вихри

) _I_I_I_I

0.8 0.84 0.88 0.92 0.96 1

Рис. 11. Зависимость магнитного поля от температуры фазового перехода. Сравнение зависимости (11) (сплошная линия) с экспериментальными данными (кресты, треугольники, квадраты)

Расчёты показывают, что температура Ть зависит от внешнего магнитного поля, причем увеличение поля приводит к уменьшению Ть и, следовательно, к расширению области существования замкнутых вихрей. Для сравнения с экспериментальными значениями, мы вычислили температуру Ть для параметров некоторых ВТСП. Для этих параметров фазовая кривая, определяющая область существования замкнутых вихрей на плоскости Н-Т определяется следующим выражением:

причем показатель степени у*]. В экспериментальных работах [8-10] исследовались зависимости сопротивления слоистого ВТСП соединения от температуры и внешнего магнитного поля, при этом наблюдался фазовый переход, происходящий при температуре, лежащей вблизи Гс, соответствующей данному слоистому соединению. Зависимость (11) и данные экспериментальные работ оказались близкими друг к другу (рис. 11). Это позволяет нам сделать вывод о том, что фазовый переход, полученный в эксперименте, связан с генерацией в системе замкнутых вихрей Абрикосова.

В итоге можно заключить, что при температурах близких к критической замкнутые вихри вносят вклад в свободную энергию и теплоемкость сверхпроводника, участвуя в процессе разрушения сверхпроводимости. Само появление замкнутых вихрей можно рассматривать как появление новой степени

Я4(7>Яь(0)(1-Гь/Гс)\

(И)

свободы и новой фазы сверхпроводимости, которая характеризуется наличием замкнутых вихрей. Поскольку замкнутые вихри не связаны с внешним магнитным полем и не соприкасаются с границами сверхпроводника, то их прямое экспериментальное наблюдение весьма затруднительно. В связи с этим следует подчеркнуть тот факт, что температура, соответствующая фазовому переходу, наблюдаемому экспериментально, совпадает с температурой, при которой начинается процесс генерации замкнутых вихрей.

В реальном сверхпроводнике всегда присутствуют различные виды дефектов. Как и в случае линейных вихрей, замкнутые вихри будут взаимодействовать с ними. Это взаимодействие будет различно для разных видов дефектов. Так, например, для «мелких» дефектов типа вакансий и примесных атомов это взаимодействие будет мало, поскольку характерный размер вихря - длина когерентности намного превосходит межатомное расстояние - характерный размер такого «мелкого» дефекта. Но если же в сверхпроводнике имеется достаточное количество таких дефектов, то они могут существенно повлиять на поведение вихрей, в частности, стабилизировать замкнутый вихрь. Наоборот, структурные дефекты размером порядка £ будут эффективно взаимодействовать с вихревыми структурами. Такие дефекты могут притянуть к себе замкнутый вихрь, сковывая его движение в пространстве так, что для отрыва вихря от дефекта может потребоваться существенный транспортный ток. Мелкие же дефекты не могут удерживать замкнутый вихрь, как целое, но, действуя в совокупности, могут существенно искажать его форму. Такие дефекты - это, например, кислородные вакансии в ВТСП или атомные примеси в сверхпроводящих сплавах.

Таким образом, при рассмотрении поведения замкнутого вихря в сверхпроводнике немаловажен учёт центров пиннинга. Кроме этого сами замкнутые вихри могут влиять на процесс пиннинга линейных вихрей, способствуя их распинингованию. Также существенную роль играет взаимодействие замкнутого вихря с точечными дефектами, поскольку такое взаимодействие приводит к стабилизации замкнутого вихря, т.е. позволяет ему существовать сколько угодно долго в сверхпроводнике.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы, полученные в данной диссертационной работе.

Основные результаты и выводы

Основные результаты и выводы, полученные в данной диссертационной работе, можно сформулировать следующим образом:

1. Получено численное решение нестационарного уравнения Гинзбурга-Ландау, соответствующее замкнутому вихрю. В зависимости от геометрии и амплитуды начального возмущения оно может перейти либо в замкнутый вихрь, существующий достаточно долго, либо в нормальную полость, которая разрушается за короткий промежуток времени.

2. Показано, что в сверхпроводнике существует два механизма генерации замкнутых вихрей Абрикосова: образование из линейного вихря и в результате действия сильной токовой флуктуации.

3. Вычислена зависимость времени жизни замкнутого вихря от его радиуса и показано, что замкнутый вихрь неустойчив, причём вихри с малым радиусом и с магнитным потоком меньше кванта потока, разрушаются быстрее замкнутых вихрей с потоком, равным целому кванту потока.

4. Показано, что замкнутые вихри притягиваются к линейным вихрям, не сливаясь с ними, а образуя «гроздья».

5. Показано, что замкнутые вихри, как и линейные, притягиваются к центрам пиннинга, кроме этого сами замкнутые вихри могут влиять на процесс пиннинга линейных вихрей, способствуя их распинингованию. Существенную роль играет взаимодействие замкнутого вихря с точечными дефектами, поскольку такое взаимодействие приводит к стабилизации замкнутого вихря, т.е. позволяет ему существовать сколько угодно долго в сверхпроводнике.

6. Проведены расчеты свободной энергии и теплоемкости сверхпроводника с замкнутыми вихрями Абрикосова. Вычислена температура, при которой в системе начинается генерация замкнутых вихрей. Показано, что эта температура с хорошей точностью совпадает с температурой фазового перехода, наблюдаемого экспериментально.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Тихомиров И.В., Югай К.Н. Динамика замкнутых вихрей Абрикосова в сверхпроводниках II рода // Вестник Новосибирского университета. Серия: Физика.-2008.-Т.З.-№ 1.-С. 105-108.

2. Тихомиров И.В., Югай К.Н. Замкнутые вихри Абрикосова и разрушение сверхпроводимости вблизи Тс II Вестник Омского университета. - 2008. -№ 1.-С. 23-25.

3. Тихомиров И.В., Югай К.Н. Динамика замкнутых вихрей Абрикосова в сверхпроводниках второго рода // Тезисы доклада XII международного симпозиума «Нанофизика и наноэлектроника» (Нижний Новгород, 10-14 марта 2008 г.). -Нижний Новгород: изд. ИФМ РАН. - 2008. - Т.2. - С. 398-399.

4. Тихомиров И.В., Югай К.Н. Замкнутые вихри Абрикосова во внешнем магнитном поле // Вестник Омского университета. - 2007. - № 3. - С. 20-25.

5. Тихомиров И.В., Югай К.Н. Фазовый переход в вихревой жидкости: генерация замкнутых вихрей Абрикосова // Тезисы доклада Второй международной конференции «Фундаментальные проблемы высокотемпературной сверхпроводимости» ФПС'06 (Звенигород, 9-13 октября 2006 г.). - Москва: изд. ФИАН. -2006. - С. 367-368.

6. Тихомиров И.В., Югай К.Н. Вихри Абрикосова и резистивные свойства сверхпроводников второго рода // Вестник Омского университета. - 2006. - № 1. - С. 24-26.

7. Тихомиров И.В., Югай К.Н. Кольцевые вихри Абрикосова // Вестник Омского университета. - 2003. - № 2. - С. 19-21.

Список цитируемой литературы

1. Козлов В.А., Самохвалов А.В. Замкнутые вихри Абрикосова в сверхпроводниках второго рода II Письма в ЖЭТФ. - 1991. - Т.53. - С.150-153.

2. Kozlov V.A., Samokhvalov A.V. Closed Abrikosov vortices in a superconducting cylinder // Physica C. - 1993. - V.213. - P.103.

3. Kozlov V.A., Samokhvalov A.V. Stabilization of Toroidal Abrikosov Vortex in a Nonuniform Superconductor // Journal of Superconductivity. -1993. - V.6. -No.2. - P.63.

4. Samokhvalov A.V. Expanding vortex rings in a current-carrying superconducting cylinder // Physica C. - 1998. - V.308. - P.74.

5. Tesanovic Z. Extreme type-II superconductors in a magnetic field: A theory of critical fluctuations // Physical Review B. - 1999. - V.59. - No.9. - P.6449.

6. Koplik J., Levine H. Vortex reconnection in superfluid helium // Physical Review Letters. - 1993. - V.71. -No.9. - P.1375.

7. Koplik J., Levine H. Scattering of Superfluid Vortex Rings // Physical Review Letters. - 1996. - V.76. - No.25. - P.4745.

8. Kwok W.K., Fleshier S„ Welp U., Vinokur V. M., et. al. Vortex lattice melting in untwinned and twinned single crystals of УВс^СщО-,^ II Physical Review Letters. - 1992. - V.69. - No.23. - P.3370.

9. Safar H., Gammel P.L., Huse D.A., Bishop D. J. Experimental evidence for a first-order vortex-lattice-melting transition in untwinned, single crystal УВа2Сщ07 И Physical Review Letters. - 1992. - V.69. - No.5. - P.824.

10. Farrell D.E., Rice J.P., Ginsberg D.M. Experimental evidence for flux-lattice melting // Physical Review Letters. - 1991. - V.67. - No.9. - P.l 165.

Тихомиров Илья Викторович

ЗАМКНУТЫЕ ВИХРИ АБРИКОСОВА В СВЕРХПРОВОДНИКАХ ВТОРОГО РОДА

01.04.07 - Физика конденсированного состояния

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 17.10.08. Формат 60x84/16. Бумага писчая. Оперативный способ печати. Усл. печ. л. 1,25. Тираж 100 экз. Заказ № 389.

Отпечатано в «Полиграфическом центре КАН» 644050, г. Омск, пр. Мира, 11А тел. (3812) 65-23-73. Лицензия ПЛД № 58-47 от 21.04.97

Введение.

Глава 1 Линейные вихри Абрикосова при Т> О . Плавление решётки вихрей Абрикосова.

1.1. Введение.

1.2 Линейный вихрь Абрикосова.

1.3 Решётка вихрей Абрикосова.

1.4 Плавление решётки вихрей Абрикосова.

1.5 Замкнутый вихрь Абрикосова.

1.6 Постановка задачи.

Глава 2 Механизмы образования замкнутых вихрей Абрикосова.

2.1. Введение.

2.2. Тепловой механизм образования замкнутых вихрей Абрикосова

2.3. Образование замкнутых вихрей из линейных вихрей.

2.4. Балансные уравнения.

2.5. Обсуждение результатов.

Глава 3 Динамика замкнутых вихрей Абрикосова.

3.1. Введение.

3.2. Замкнутый вихрь как решение нестационарного уравнения

Гинзбурга-Ландау.

3.3. Взаимодействие замкнутых вихрей с линейными вихрями.

3.4. Обсуждение результатов.

Глава 4 Влияние замкнутых вихрей Абрикосова на разрушение сверхпроводимости.

4.1. Введение.

4.2. Теплоёмкость сверхпроводника с замкнутыми вихрями Абрикосова.

4.3. Пиннинг замкнутых вихрей Абрикосова.

4.4. Обсуждение результатов.

Актуальность работы

В последние годы область применимости сверхпроводников второго рода существенно расширилась, это связано с широкими возможностями их применения в современной электронике и энергетике. В связи с этим усилились и исследования смешанного состояния сверхпроводников второго рода. Токонесущие и магнитные характеристики таких сверхпроводников, определяющие перспективы их практического использования, в значительной степени зависят от наличия в образцах вихрей и их взаимодействия с пространственными неоднородностями материала.

Открытие новых высокотемпературных сверхпроводников показало, что они относятся к сверхпроводникам второго рода. Известно, что ВТСП материалы обладают высокой степенью анизотропии и в отличие от большинства обычных сверхпроводников, в случае ВТСП тепловыми флуктуациями вблизи фазового перехода пренебрегать нельзя. До сих пор не создано последовательной теории фазового перехода в магнитном поле, которая бы учитывала все флуктуационные эффекты, возникающие в этой области. Образование замкнутых вихрей Абрикосова относится к эффектам такого рода.

Замкнутые вихри начинают влиять на сверхпроводящие свойства при значительно меньшей температуре, чем температура, при которой сверхпроводимость разрушается чисто флуктуационным образом. Существующая на данный момент теория плавления решётки вихрей Абрикосова не включает в себя замкнутые вихри. В связи с этим исследование замкнутых вихрей является весьма актуальной задачей.

Изучение динамических свойств замкнутых вихрей Абрикосова позволяет лучше понять процессы, протекающие в сверхпроводниках второго рода вблизи критической температуры. Немаловажно изучение взаимодействия замкнутых вихрей с линейными вихрями, изучение процессов рождения и уничтожения замкнутых вихрей. В совокупности с линейными вихрями замкнутые вихри активно участвуют в процессе разрушения сверхпроводимости, влияют на магнитные свойства сверхпроводника. Всё это позволяет утверждать, что замкнутый вихрь Абрикосова является не менее важным объектом исследования, чем линейный вихрь, описание которого широко распространено в литературе.

Цель и задачи работы

Целью работы является теоретическое описание замкнутого вихря Абрикосова, изучение его статических и динамических свойств, описание состояния сверхпроводника второго рода, содержащего в себе замкнутые вихри в области температур близких к Тс.

В связи с этим были поставлены следующие задачи:

1. Описать общую картину смешанного состояния сверхпроводника второго рода, существующую на данный момент.

2. Изучить статические и динамические свойства замкнутого вихря Абрикосова, рассматривая его как решение стационарного и нестационарного уравнений Гинзбурга-Ландау (ГЛ).

3. Описать механизмы генерации замкнутых вихрей Абрикосова: возникновение из линейного вихря и в результате действия сильной токовой флуктуации.

4. Рассмотреть процессы взаимодействия замкнутых вихрей с решёткой линейных вихрей. Смоделировать общую картину сверхпроводника второго рода, находящегося во внешнем магнитном поле, при температурах близких к Тс .

5. Рассчитать температуру, соответствующую началу генерации замкнутых вихрей и определить область существования фазы сверхпроводника второго рода, характеризуемую наличием замкнутых вихрей.

6. Изучить взаимодействие замкнутых вихрей с различными дефектами сверхпроводника: одиночной полостью, точечными дефектами рассеянными равномерно по сверхпроводнику. Рассмотреть последствие пиннинга замкнутых вихрей.

Научная новизна

Научная новизна результатов состоит в том, что автором впервые:

1. Изучены динамические свойства замкнутого вихря, полученные из решения уравнений Гинзбурга-Ландау.

2. Введён механизм образования замкнутых вихрей из линейных вихрей, а также получены балансные уравнения, описывающие процессы генерации и уничтожения замкнутых вихрей.

3. Установлен эффект притяжения замкнутого вихря к линейному при их взаимодействии.

4. Получена температурная зависимость теплоёмкости сверхпроводника, содержащего замкнутые вихри, а также определена температура, определяющая область существования замкнутых вихрей, и установлена её зависимость от внешнего магнитного поля.

5. Обнаружено явление стабилизации замкнутого вихря, находящегося в сверхпроводнике, содержащем точечные дефекты, и исследовано взаимодействие замкнутого вихря с полостью в сверхпроводнике, а также процесс распиннингования линейного вихря замкнутым вихрем.

Практическая ценность

Введение замкнутых вихрей в модель, описывающую смешанное состояние сверхпроводника второго рода, позволяет объяснить аномальное поведение вольт-амперных характеристик вблизи критической температуры, а также расширить область практического применения сверхпроводников второго рода, в частности, при создании приборов на основе ВТСП материалов, работающих на новых принципах. Результаты работы могут быть использованы в следующих научных организациях и вузах: Институт физических проблем им. П.Л. Капицы РАН, Институт физики полупроводников СО РАН, Институт неорганической химии им. A.B. Николаева СО РАН, Институт физики им. J1.B. Киренского СО РАН, Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского, Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского и др.

Структура диссертации

Первая глава является обзорной, в ней рассмотрены существующие на данный момент теоретические модели, описывающие смешанное состояние сверхпроводника второго рода. В п. 1.1. рассмотрена история исследования сверхпроводников второго рода. В п. 1.2. рассматривается линейный вихрь Абрикосова, описываются основные его свойства. В п. 1.3. рассматривается смешанное состояние сверхпроводника второго рода в виде решётки линейных вихрей - шубниковская фаза. В п. 1.4. представлены основные теории, в которых производились попытки описать поведение сверхпроводника второго рода вблизи критической температуры. В п. 1.5. описаны простейшие представления о замкнутом вихре Абрикосова. В конце главы, в п.1.6., сформулирована постановка задачи.

Вторая глава посвящена вопросам, касающимся образования и разрушения замкнутых вихрей Абрикосова. В п.2.1. рассмотрены основные механизмы генерации замкнутых вихрей. В п.2.2. рассмотрен тепловой механизм образования замкнутых вихрей, а именно, образование замкнутого вихря в результате действия сильной токовой флуктуации. Рассчитана температура, соответствующая началу генерации замкнутых вихрей подобным образом. В п.2.3. исследуется механизм образования замкнутых вихрей из линейных вихрей. В п.2.4. вводятся балансные уравнения, описывающие динамику рождения и уничтожения замкнутых вихрей из линейных вихрей. Также находится удлинение линейного вихря и общая длина замкнутых вихрей, образованных подобным образом. В конце главы, в п.2.5. проводится обсуждение результатов.

В третьей главе рассматриваются основные динамические свойства замкнутых вихрей. В п.3.1. представлены стационарные и нестационарные уравнения ГЛ, в частности, обсуждаются физические соображения, используемые при выводе нестационарного варианта теории. В п.3.2. на основе нестационарного уравнения ГЛ вводится система уравнений, позволяющая описать процесс рождения замкнутого вихря. Также вводится схема численного решения системы и исследуется зависимость вида решения от параметров начального возмущения. В п.3.3. рассматривается взаимодействие замкнутых вихрей с линейными вихрями, описывается общая картина смешанного состояния сверхпроводника второго рода вблизи критической температуры. В п.3.4. производится обсуждение результатов главы.

В четвёртой главе рассматривается влияние замкнутых вихрей Абрикосова на разрушение сверхпроводимости. В п.4.1. вводится новая фаза сверхпроводимости, характеризуемая наличием замкнутых вихрей Абрикосова. В п.4.2. рассчитываются свободная энергия и теплоёмкость сверхпроводника, содержащего в себе замкнутые вихри. Также находится температура, соответствующая началу генерации замкнутых вихрей и сравнивается с температурой фазового перехода, наблюдаемого экспериментально. В п.4.3. исследуется взаимодействие замкнутых вихрей с различными центрами пиннинга, такими как нормальная полость и точечные дефекты. Освещается вопрос о стабилизации замкнутого вихря в сверхпроводнике, содержащем точечные дефекты. Также рассматривается явление распиннингования линейного вихря замкнутым вихрем. В п.4.4. производится обсуждение основных результатов главы.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы, полученные в данной диссертационной работе.

Защищаемые положения:

1. Существует два механизма образования замкнутых вихрей Абрикосова, а именно: образование замкнутого вихря в результате действия сильной токовой флуктуации и образование замкнутого вихря из линейного вихря.

2. Радиус замкнутого вихря определяет время его жизни: замкнутые вихри с малыми радиусами, являются неустойчивыми и быстро разрушаются.

3. Замкнутый вихрь взаимодействует с решёткой линейных вихрей, разворачиваясь в определённое, энергетически выгодное положение относительно направления внешнего магнитного поля. Далее замкнутые вихри притягиваются к линейным, образуя «гроздья».

4. Кроме известной фазы сверхпроводника второго рода, содержащего в себе решётку линейных вихрей, в нём имеется фаза, характеризуемая наличием замкнутых вихрей. Температура, соответствующая началу генерации замкнутых вихрей, зависит от внешнего магнитного поля и совпадает с температурой фазового перехода, обнаруженного экспериментально.

5. Замкнутый вихрь взаимодействует с различными дефектами сверхпроводника, притягиваясь к ним. Возможна стабилизация замкнутого вихря в сверхпроводнике, содержащем точечные дефекты. Возможен процесс распиннингования линейного вихря замкнутым вихрем.

Апробация

Материалы диссертации были представлены на международных конференциях: XIII Международная конференция «Ломоносов-2006» (Москва, 12-15 апреля, 2006); Вторая Международная конференция «Фундаментальные проблемы высокотемпературной сверхпроводимости» (ФПС'06, Звенигород, 9-13 октября, 2006); XII Международный симпозиум «Нанофизика и наноэлектроника» (Нижний Новгород, 10-14 марта, 2008), а также на семинарах: I Сибирский семинар по сверхпроводимости и смежным проблемам ОКНО-2003 (Новосибирск, 24-25 ноября, 2003); II Сибирский семинар по сверхпроводимости и смежным проблемам ОКНО-2004 (Красноярск, 1-2 декабря, 2004); 1П Сибирский семинар по сверхпроводимости и смежным проблемам ОКНО-2005 (Омск, 20-21 сентября, 2005); IV Сибирский семинар по сверхпроводимости и смежным проблемам ОКНО-2006 (Новосибирск, 26-27 октября, 2006); V Сибирский семинар по сверхпроводимости и смежным проблемам ОКНО-2007 (Красноярск, 13-18 сентября, 2007); VI Сибирский семинар по сверхпроводимости и смежным проблемам ОКНО-2008 (Омск, 16-17 сентября, 2008).

Всего по теме диссертации опубликовано 7 работ [1-7], из них одна статья в реферируемом отечественном журнале [1].

Заключение

В настоящей работе показано, что замкнутые вихри участвуют практически во всех основных процессах, происходящих в сверхпроводниках второго рода. Поэтому они являются не менее важным объектом исследования, чем линейные вихри Абрикосова, широко рассматриваемые в литературе. Кроме того, существование замкнутых вихрей в сверхпроводнике подтверждается многочисленными экспериментами. Тем не менее, настоящая работа является пока единственной работой, посвященной детальному исследованию замкнутых вихрей.

В связи с этим, сформулируем основные результаты и выводы, полученные в данной диссертационной работе.

1. Получено численное решение нестационарного уравнения Гинзбурга-Ландау, соответствующее замкнутому вихрю. В зависимости от геометрии и амплитуды начального возмущения оно может перейти либо в замкнутый вихрь, существующий достаточно долго, либо в нормальную полость, которая разрушается за короткий промежуток времени.

2. Показано, что в сверхпроводнике существует два механизма генерации замкнутых вихрей Абрикосова: образование из линейного вихря и в результате действия сильной токовой флуктуации.

3. Вычислена зависимость времени жизни замкнутого вихря от его радиуса и показано, что замкнутый вихрь неустойчив, причём вихри с малым радиусом и с магнитным потоком меньше кванта потока, разрушаются быстрее замкнутых вихрей с потоком, равным целому кванту потока.

4. Показано, что замкнутые вихри притягиваются к линейным вихрям, не сливаясь с ними, а образуя «гроздья».

5. Показано, что замкнутые вихри, как и линейные, притягиваются к центрам пиннинга, кроме этого сами замкнутые вихри могут влиять на процесс пиннинга линейных вихрей, способствуя их распинингованию. Существенную роль играет взаимодействие замкнутого вихря с точечными дефектами, поскольку такое взаимодействие приводит к стабилизации замкнутого вихря, т.е. позволяет ему существовать сколько угодно долго в сверхпроводнике.

6. Проведены расчёты свободной энергии и теплоемкости сверхпроводника с замкнутыми вихрями Абрикосова. Вычислена температура, при которой в системе начинается генерация замкнутых вихрей. Показано, что эта температура с хорошей точностью совпадает с температурой фазового перехода, наблюдаемого экспериментально.

Благодарности

Автор выражает признательность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Югаю Климентию Николаевичу за постоянное внимание и интерес к работе. Автор благодарит Николаева Сергея Викторовича и Тиховскую Наталью Валерьевну за активное участие в обсуждении результатов работы, а также выражает признательность всему коллективу кафедры общей физики Омского государственного университета им. Ф.М. Достоевского.

1. Тихомиров И.В., Югай К.Н. Динамика замкнутых вихрей Абрикосова в сверхпроводниках II рода // Вестник Новосибирского университета. Серия: Физика. 2008. - Т.З. - № 1. - С. 105-108.

2. Тихомиров И.В., Югай К.Н. Замкнутые вихри Абрикосова и разрушение сверхпроводимости вблизи Тс // Вестник Омского университета. 2008. - № 1. - С.23-25.

3. Тихомиров И.В., Югай К.Н. Замкнутые вихри Абрикосова во внешнем магнитном поле // Вестник Омского университета. 2007. — № 3. - С.20-25.

4. Тихомиров И.В., Югай К.Н. Вихри Абрикосова и резистивные свойства сверхпроводников второго рода // Вестник Омского университета. 2006. - № 1. - С.24-26.

5. Тихомиров И.В., Югай К.Н. Кольцевые вихри Абрикосова // Вестник Омского университета. 2003. - № 2. - С.19-21.

6. Bednorz J.G., Muller К.A. Possible high T superconductivity in the Ba-La-Cu-0 system // Zeitschrift Fur Physik В. 1986. - V.64. - No.2. -P.189.

7. Гинзбург B.JI., Ландау Л.Д. К теории сверхпроводимости // ЖЭТФ.- 1950. Т.20. - С. 1064-1090.

8. Ю.Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика часть 1. М.: Наука, 1976.-486 с.11 .Абрикосов A.A. О магнитных свойствах сверхпроводников второго рода// ЖЭТФ. 1957. - Т.32. - № 6. - С. 1442-1452.

9. Cribier D., Jacrot В., Madhau Rao L., Farnoux В. Polarized Targets as Direct Reaction Mechanism Probes // Physical Review Letters. 1964.- V.9. -No.3. -P.106.

10. Essman U., Trauble H. Secondary Particle Production in High-Energy Muon-Nucleon Interactions // Physical Review Letters. 1970. -V.24. -No.10. - P.526.

11. Nordborg H., Blatter G. Numerical study of vortex matter using the Bose model: First-order melting and entanglement // Physical Review B. 1998. -V.58. -No.21. -P.14556.

12. Blatter G., Feigel'man M.V., Geshkenbein V.B., Larkin A.I., et. al. Vortices in high-temperature superconductors // Reviews of Modern Physics. 1994. - V.66. - No.4. - P.l 125.

13. Zeldov E., Majer D., Konczykowski M., Geshkenbein V.B., et. al. Thermodynamic Observation of First-Order Vortex-Lattice Melting Transition in Bi2Sr2CaCu2Os // Nature. 1995. - V.375. - No.6. -P.373.

14. Schilling A., Fisher R.A., Phillips N.E., Welp U., et. al. Calorimetric measurement of the latent heat of vortex-lattice melting in untwinned YBafiup^ // Nature. 1996. - V.382. -No.8. - P.791.

15. Charalambous M., Chaussy J., Lejay P. Evidence from resistivity measurements along the c axis for a transition within the vortex state for H || ab in single-crystal YBa2CujQ1 II Physical Review B. 1992. - V.45. -No.9. -P.5091.

16. Kwok W.K., Fleshier S., Welp U., Vinokur V. M., et. al. Vortex lattice melting in untwinned and twinned single crystals of YBa2Cu1015 II

17. Physical Review Letters. 1992. - V.69. -No.23. - P.3370.

18. Safar H., Gammel P.L., Huse D.A., Bishop D. J. Experimental evidence for a first-order vortex-lattice-melting transition in untwinned, single crystal YBalCn^01 // Physical Review Letters. -1992. V.69. —No.5. - P.824.

19. Kwok W.K., Fendrich J., Fleshier S., Welp U., et. al. Vortex liquid disorder and the first order melting transition in YBc^Cu^^ II Physical Review Letters. 1994. - V.72. - No.7. - P. 1092.

20. Pastoriza H., Goffman M.F., Arribere A., Cruz F. First order phase transition at the irreversibility line of Bi2Sr2CaCu20& // Physical Review Letters. 1994. - V.72. - No.7. - P.2951.

21. Welp U., Fendrich J., Kwok W.K., Crabtree G.W., et. al. Thermodynamic Evidence for a Flux Line Lattice Melting Transition in YBafu^O^ II Physical Review Letters. 1996. - V.76. -No.25. -P.4809.

22. Liang R., Bonn D.A., Hardy W.N. Discontinuity of Reversible Magnetization in Untwinned YBCO Single Crystals at the First Order Vortex Melting Transition // Physical Review Letters. 1996. - V.76. -No.5. - P.835.

23. Fendrich J.A., Welp U., Kwok W.K., Koshelev A.E., et. al. Static and Dynamic Vortex Phases in YBcllCu1015 11 Physical Review Letters.1996. V.77. - No. 10. -P.2073.

24. Schilling A., Fisher R.A., Phillips N.E., Welp U., et. al. Anisotropic Latent Heat of Vortex-Lattice Melting in Untwinned YBa1Cu7>01s //

25. Physical Review Letters. 1997. - V.78. -No.25. - P.4833.

26. Smith A.W., Jaeger H.M., Rosenbaum T.F., Kwok W.K., et. al. Bose glass melting and the transverse Meissner effect in YBa1Cn1)01s single crystals // Physical Review B. 2001. - V.63. - No.6. -P.064514.

27. Schilling A., Welp U., Kwok W.K., Crabtree G.W. Vortex-lattice melting in untwinned YBa2Cu7)01s for Hlc // Physical Review B.2002. V.65. -No.5. - P.054505.

28. Lortz R., Meingast C., Welp U., Kwok W.K., et. al. Crystal-Lattice Coupling to the Vortex-Melting Transition in YBa1Cu^01s // Physical Review Letters. -2003. -V.90. -No.23. -P.237002.

29. Teitel S., Jayaprakash C. Phase transtions in frustrated two-dimensional XY models // Physical Review B. 1983. - V.27. -No.l. -P.598.

30. Shih W.Y., Ebner C., Stroud D. Frustration and disorder in granular superconductors // Physical Review B. 1984. - V.30. - No.l. -P.134.

31. Hetzel R., Sudb0 A., Huse D.A. First-order melting transition of an Abrikosov vortex lattice // Physical Review Letters. 1992. - V.69. -No.3. — P.518.

32. Hwang I.-J., Stroud D. First-order flux-lattice melting of a frustrated XY model with a 111. magnetic field // Physical Review B. 1996. -V.54. —No.21. - P.14978.

33. Ryu S., Stroud D. Magnetization Jump in a Model for Flux Lattice Melting at Low Magnetic Fields // Physical Review Letters. 1997. -V.78. -No.24. -P.4629.

34. Ryu S., Stroud D. Nature of the low-field transition in the mixed state of high-temperature superconductors // Physical Review B. 1998. -V.57. -No.22. - P. 14476.

35. Barabash S., Stroud D., Hwang I.-J. Conductivity due to classical phase fluctuations in a model for high- Tc superconductors 11 Physical Review B. 2000. - V.61. - No.22. - P.R14924.

36. Kulkarni R.V., Almaas E., Fisher K.D., Stroud D. Fractional vortices in the XY model with n bonds // Physical Review B. 2000. - V.62. -No.18.-P.12H9.

37. Olsson P. Vortex Glass Transition in a Frustrated 3D XY Model with Disorder // Physical Review Letters. 2003. - V.91. - No.7. -P.077002.

38. Nelson D.R. Vortex Entanglement in High- Tc Superconductors // Physical Review Letters. 1988. - V.60. - No. 19. - P. 1973.

39. Nelson D.R., Seung S. Theory of melted flux liquids // Physical Review B. 1989. - V.39. -No.13. -P.9153.

40. Nelson D.R., Vinokur V.M. Boson localization and pinning by correlated disorder in high-temperature superconductors // Physical Review Letters. 1992. - V.68. - No. 15. - P.2398.

41. Ryu S., Doniach S., Deutscher G., Kapitulnik A. Monte Carlo simulation of flux lattice melting in a model high- Tc superconductor I I Physical Review Letters. 1992. - V.68. -No.5. -P.710.

42. Täuber U.C., Nelson D.R. Interactions and pinning energies in the Bose glass phase of vortices in superconductors // Physical Review B. — 1995. V.52.-No.22. — P.16106.

43. Ryu S., Stroud D. First-order melting and dynamics of flux lines in a model for YBafiu^O^ // Physical Review B. 1996. - V.54. - No.2. -P.1320.

44. Ryu S., Hellerqvist M., Doniach S., Kapitulnik A., et. al. Dynamical Phase Transition in a Driven Disordered Vortex Lattice // Physical Review Letters. 1996. - V.77. - No.25. -P.5114.

45. Hatano N., Nelson D.R. Vortex pinning and non-Hermitian quantum mechanics // Physical Review B. 1997. - V.56. - No. 14. - P.8651.

46. Chen T., Teitel S. Helicity modulus and fluctuating type-II superconductors: Elastic approximation and numerical simulations // Physical Review B. 1997. - V.55. - No.22. - P. 15197.

47. Tesanovic Z. Extreme type-II superconductors in a magnetic field: A theory of critical fluctuations // Physical Review B. 1999. - V.59. -No-9.-P.6449.

48. Homes C.C., Dordevic S.V., Bonn D.A., Liang R., et. al. Sum rules and energy scales in the high-temperature superconductor YBc^Cup^ // Physical Review B. 2004. - V.69. - No.2. -P.024514.

49. Kosterlitz J.M., Thouless D.J. Ordering metastability and phase transition in two dimensional system // Journal of Physics C. 1973. -V.6. — P.1181.

50. Eepe3HHCKHH B.JI. // 3K3TO. 1970. - T.59. - № 3. - C.907.

51. Friedel J. // Journal of Physics Paris. 1988. - V.49. P.1561.

52. Friedel J. // Journal of Physics Condensed Matter. 1989. -V.l. -P. 1757.

53. Nonomura Y., Hu X., Tachiki M. Flux-line entanglement as the mechanism of melting transition in high-temperature superconductors in a magnetic field // Physical Review B. 1999. - V.59. - No.18. -P.R11657.

54. Lidmar J., Wallin M. Superconducting coherence and the helicity modulus in vortex line models // Physical Review B. 1999. - V.59. -No.13.-P.8451.

55. Nguyen A.K., Sudb0 A. Topological phase fluctuations, amplitude fluctuations, and criticality in extreme type-II superconductors // Physical Review B. 1999. - V.60. -No.22. - P. 15307.

56. Pismen L., Rica S. Fermions on a vortex ring // Physical Review D. -2002. V.66. - No.4. - P.045004.

57. Olsson P., Teitel S. Search for a vortex loop blowout transition in a type-II superconductor in a finite magnetic field // Physical Review B. 2003. - V.67. -No.14. - P.144514.

58. Chen Q.-H., Hu X. Nonequilibrium Phase Transitions of Vortex Matter in Three-Dimensional Layered Superconductors // Physical Review Letters. 2003. - V.90. -No.l 1. - P. 117005.

59. Vestergren A., Wallin M., Teitel S., Weber H. Effect of columnar disorder on the superconducting transition of a type-II superconductorin zero applied magnetic field // Physical Review B. -2004. V.70. - No.5. - P.054508.

60. Camarda M., Siringo F., Pucci R., Sudbo A., et. al. Methods to determine the Hausdorff dimension of vortex loops in the three-dimensional XY model // Physical Review B. 2006. - V.74. -P.104507.

61. Козлов В.А., Самохвалов A.B. Замкнутые вихри Абрикосова в сверхпроводниках второго рода // Письма в ЖЭТФ. 1991. -Т.53. — С.150-153.

62. Kozlov V.A., Samokhvalov A.V. Closed Abrikosov vortices in a superconducting cylinder // Physica C. 1993. - V.213. - P. 103.

63. Kozlov V.A., Samokhvalov A.V. Stabilization of Toroidal Abrikosov Vortex in a Nonuniform Superconductor // Journal of Superconductivity. 1993. - V.6. -No.2. - P.63.

64. Samokhvalov A.V. Expanding vortex rings in a current-carrying superconducting cylinder // Physica C. 1998. - V.308. - P.74.

65. Chen Т., Teitel S. Phase transitions in high- Tc superconductors and the anisotropic three-dimensional XY model // Physical Review B. — 1997. V.55. -No.17. - P.11766.

66. Koplik J., Levine H. Vortex reconnection in superfluid helium // Physical Review Letters. 1993. - V.71. -No.9. -P.1375.

67. Koplik J., Levine H. Scattering of Superfluid Vortex Rings // Physical Review Letters. 1996. - V.76. - No.25. - P.4745.

68. Farrell D.E., Rice J.P., Ginsberg D.M. Experimental evidence for flux-lattice melting // Physical Review Letters. 1991. - V.67. - No.9. -P.1165.

69. Мкртчан Г.С., Шмидт B.B. // ЖЭТФ. 1971. - Т.61. - № 1. -С.367.

70. Ларкин А.И. // ЖЭТФ. 1970. - Т.58. - № 4. - С.1466-1470.