2F-планарные отображения аффинносвязных и римановых пространств тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

московские ордена ленша

И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ - ПЕЙАГОГШЮШП ГОСУДАРСТВЕННА УНИВЕРСИТЕТ имени В.И.Ленина.

Специализированной совет К 053.01.02'

На прарах щкопяси

раад дшея кадем

2 Г - ПШАРНЯЕ ОТОБРАЖЕНИЯ АФ5ИНН0СВЯЗШ И РКШЮШХ • ПРОСТРАНСТВ (01.01.04 - геометрия и топология)

а в т.о р е ф е р а т

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 19Э2

йабота выполнена в Одесском государственном университете' им. И.И.Мечнжова . ••

.1 а у ч я ы | руководитель: кандидат физико-математических наук, доцзнт И.Н,%рбатова

Официальное оппоненты: доктор физико-математических наук,

.. профессор Л.Е.Евтушк, кандидат фиэиго-матеиатичэоких наук,

И.Г.Щандра • : • • •»

.1

I - ' ■

Вздудая организация: Тартуский государственный университет,." Защита состоится " ^ "_в

^^ час. ? мин. на заседании специализированного совета .К 053,01.02 по присуждении ушной степени кандидата наук в.Мос-ковском педагогическом государственном университете' им. В.И.Лени-'на по адресу: 107140, Москва, ул. Краснопрудная, д. 14, МПГУ, математически?} факультет, ауд. 301. , ■

. С диссертацией можно ознакомиться ь библиотеке МПГУ им. В.Й.Ло-ниш (адрес института: Москва, 119435, Малая Пироговская ул., д. I, ЫЛГУ им. В.&. Лэнша). ' •

Автореферат разослан " ? " • 199*1*/''

й' секретарь специализированного .

совета К 053.01.02 до'цент ГД.Карасев

""" Общая характеристика работы

-: Актуальность теш.

Работа посвящена изучению некоторого специального вида даф- ' феоморфжшов многообразий с аффииорной структурой.

В последние десятилетия теория диффеоморфизмов аффиннос*зяз-¡шх и римановых пространств, снабженных афАинорными структурами различных типов, развивалась особенно интенсивно. Так; обстоятельно исследовались НР-отображения келеровых пространств 6 сох- . ранением комплексной структуры. Основные результаты в этом направлении содержатся в работах Т.Оцукя и Я.ТасироЧ К.Яно^? С.Иси-

хара3^, Й.Микеша4? Сами же НР-отображения .являются естественным

5) •

обобщением отображений геодезических . ' •

Многими авторами с разных точек зрзния были предложены-дру- •

гие обобщения теории геодезических отображений. Наиболее извест-; ' fi)

¡ ны конциркулярная геометрия К. Яно , НР-отображения многообразий | i>OtsHk¡ Т, Tapiro J. ' Ои ¿uwes ¡<¿tferian yaces. -

' Kuth. T скаут*. tsn, 4,

' 4úno k- Sw 1л ссггеярафте ргеуЫМ 'eniie Фцх • y-spüoes psenclohemihiui', — Acaej. Sh\ PArrs, /-2Г6',

Xghth¿íf¿L S. Holoinor'pht'caf'fif 'proJedhV¿ atabes: <sw¿/ иФ QtXUpS. tu cffmozt comphv metHi/o/c/s, ~ Тёкокц nathr- X , ¡á51> 3, A/г, ■ ■ ' . ' •

^Микеш Я.Геодезические и голоморфно-проективные отображения специальных римановых: пространств: Дис. ... канд. физгмат. наук.-Одесса, J979.- ГОб" с. '

'Синюков H.G.Геодезические отображения римановых пространств.-. М.: Наука, 1979.- 255 с. ■■ ■

6) Ijano к. Coneirailctr - X-.Jf - Pro?, 1Г»Рл

Ш- То^о , Ш r Í6 , /».- №-200; ¿S4-360. Sof-S/Í.

' почти произведения и гиперболических келеровьк пространств /М.Прванович7! Б.Б.Синха, Г.Пас^/. . .

Н.С.Синяковш была разработана, теория почти геодезических отображений аффинноовязных пространств без кручения®! вюшчанцая как частный случай вышеперечисленные теории. С.ГЛейко продолжил исследования в этом направлении, изучив 3-геодезические я Р-гео-дезическиэ отображения пространств аффинной связности3®*. Обобще-• нш теории почти геодезических отображений на случай аффннносвяз-тхх пространств с ¿кручением посвящена работа Н.В.Яблонской*^. Различные специальные типы сочти геодезических отображений изу- , , чались Й.Минешеы^ и И.Н.Курбатовой^. Наконец, Й.Микешеы и Н.С. - Сшшковш введеныв рассмотрение наиболее 06411e по сравнению с вы-

PrvdrtOVich fi, HqÏû MO rpkiCct ity projective. brtxJ)i$OiriVtait№l ■ in U IccaUtj ьрнсе. - Л* th. Baltœ»,

& ¿'J. '

$ $>пкл &.B., tr. O-c^cral f- сом с с Hons did H- p/vjec-

tjJelj rtfdted. Cûrtrtzci-¿0»!, /V <jJ*i<i# pfoJati

<t>«L far**,* . W2 , M i г f. 211 - -2ZÛ.

^Синюков Н.С.Почти геодезические отображения аффинноовязных и

римановых пространств // ДАН СССР.-1963,- 151, С.781-782.

тл1 " ■ ' -

. Лейко С.Г.Тригеодезичесние отображения пространств аффинной связности //Уьср.геом.сб. - 1976,- Е 19..- С.24-27, Лейко С.Г.Специальные Р-геодезическиз отображения пространств аффинной связности // Яыие Returnee. Je ^i^thimdii^MS, рлт tt (¡Lfpli^uiii, rfcçCtJe/rttt à ^e^ubUyи^ çocîalhbc de . Kb»*}/,4.. Том XXV//, Ai ¿о t fi /т - Шё. . /Яблонская Н.В.Почти геодезические отображения пространств аффинной связности с кручением, /Деп.в БШИГИ Р 2190-79 Дел./

■ - ;

-"■^Мштет Й.О голоморфно-проективных отображениях келеровнх .пространств //' Укр. геом. сб. - 1980.- 23.- С. 90-S8.

■гоъа Й.Н. Кввзи-геодезическке отображения ршановых пространств: Дис. канд. физ.-мат. наук.- Одесса, 1979,- S3 с.

. - б -

неуказанными отображения аффинносвязшх пространств без.кручения -так называемые Р -пленарные отображения*4^

Большинство всех этих теорий использует .классический дифференциально-геометрический аппарат теории связностей и римановнх метрик на многообразиях.

В последнее время в печати появляется много статей, посвященных различным аффинорным структурам на многообразиях /А.Грэа^ С.Януш16] К.М.Егиазарян1^ В.Ф.Кириченко18-] И.Г.Шандра19-^.

В настоящей диссертации вводятся к исследуются отображения пространств аффинной связности без кручения с'аффинерной структурой, включающие в себя в качестве частного случая вышеуказан-

щ икеш Я., Синюяов Н.С.О квазипланарных отображениях пространств . аффинной связности//Изв.вузов, tteeit. ,1983.- Р 3.-С.55-61.

15 )Qriatf A, Pseucfo ■ ßimqrm'an qtmäst p^dud man ¡{Ms and Submersions - J% cf- НаЩ. <W Meeti., к/if, ? , Jm^/cw

' tu?,/>.?/'?-m.

Щ Jams & ■ zhwst prcrfttci structures or mamfofds. with tcH€Qf connections . — fcoJca' xipts.,

^гиазарян K.M. Многообразия аффинной связности почти произведения //Тр.геом.семин.,Казан. ун-т,1979,- №11.- С.21-28.

Кириченко В.5.Аксиома голоморфных плоскостей в обобщенной эрмитовой геометрии// Докл.АН СССР, 1981, 250, С.795-799. -.Обобщенные приближенно келеровы многообразия постоянной голоморфной конформной'кривизны//Докл.АН СССР, 1982,265,1®.-С.28?'.'' -.Метода обобщенной 'эрмитовой геометрии в теории почти кон-' • тактшх многообразий //Итоги науки и техники .Проблемы геомет-•рии.- T.I8.- м.,; 1986.-;с.25-72.

Хандра И.Г. Геодезические отображения сингулярных римановнх пространств: Дио. ... канд. -мат. наук,- Одесса, 1988.-122.с. ...

отображения либо пересекающиеся с ниш. Поэтому тема данной' диссертации является актуальной.

2. Тэ"им образом, целью данной диссертационной работы является:

а/ построение обобщения теории Я-планарных отображений аффинносвязных пространств - /э^-лланарных отображений прост- • ранств а<*финной связности без кручения; ■ •

• б/ исследование 2Г-планарных отображений аффинносвязных и римановых' пространств с.кубической а^финорной структурой Р . >/в основном, абсолютно параллельной/.

I

3. Научная новизна и основные задачи, решенные в диссертации и выносимые;на защиту.

. I/ Введенн в рассмотрение рР-планарше кривые и рР-ша-нарные отображения пространств аффинной связности без кручения; получены их основные уравнения;

2/ 'Построен и исследован ряд геометрических объектов, ий~ . вариантных относительно йГ-планарных отображений а|хЬ;шносвяз!шх и риманових пространств с кубической оффшорной структурой Р '

3/ В случае абсолютно параллельной структуры найден внут-' ренний признак тензорного характера для римановых пространств, допускающих 2Я-планарные отображения т плоское пространство /2Я-плоских/ и их метрики в специальной система координат при некотором дополнительном условии;

4/ Получены основные теоремы теории ¡З^-планарных отображений риманових пространств с абсолютно параллельной кубической структурой Р

5/ Исследованы ¡ЗЯ-планарные отображения обобщенно ■ рекуррентных риманових пространств с абсолютно параллельной кубической структурой Р С -2? ) и выделены некоторые классы прост-

ранств, не допускающих указанные отображения.

4. Теоретическая и практическая ценность.

Исследование.носит теоретический характер. Основные результата диссертации могут быть, с одной.стороны, применены для дальнейшего развития теории д .^феоморфизмов пространств с аффинорны-

Л *

ми структурами. С другой стороны, они могут использоваться в различных приложениях: в вопросах .моделирования Физических полей, . . оптимизации движений механических систем, а также динамических процессов, протекающих в гравитационных и электромагнитных полях,, в сплошной среде. " .

5.Метод исследований. Исследования ведутся локально,^ в классе достаточно гладких функций с использованием тензорных методов.

6. Апробация работы. Диссертация и отдельнне ее часта докладывались на:

I/ заседаниях семинара каЯедры геометрии и топологии Одесско- " го госуниверситета; .

.2/ Международном коллоквиуме по дифференциальной геометрии ' ' /г.Егер, Венгрия/; ; :

3/ конференции профессорско-преподавательского'состава Одес-' ского госуниверситета;

4/ заседании семинара кафедры алгебры и геометрии Тартусско--го университета.

7. Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 работа.

8.' Структура и объем диссертации. Диссертация Состоит из введения, трех глав /одиннадцати параграфов/ и списка литературы. В диссертации принята сквозная нумерация параграфов. Для ■ 1 формул и теорем применяется двойная индексация,, где первая цифра означает номер параграфа, а вторая - номер формулы /теоремы/-

в этом параграфе.

Содержание работы (

Во введении приводится краткая историческая справка. Глава I /§§ 1-2/ посвящена введении понятия -пленарных отображений афйинносвязных и римановых пространств и получению их основных уравнений. ,

Пусть Ац - пространство аффинной связности без кручения, отнесенное к системе координат (У.1) с объектом связности Гр(х), Назовем кривую Ь в А и -с параметрическими уравнениями Xе^х1'а) (1*1,2,.., ~ вещественный параметр) р> /г-

-планарной, есл., ее касательный вектор при параллельном перенесении вдоль нее остается в площадке, 'образованной касательным вектором X - и векторами Г Л / , ^^ ,

где / «= Сг/. ■ ' .

Иначе, ' Ц будет р^-пленарной тогда и только тогда, ког-.да вдоль нее имеет место /§ I/:

р [~{) - некоторые произвольные функции от ^

^ В § 2 определяется отображение -/ : А и , при кото-

ром каждая р £ -гшанарная из Лц переходит в р -пданар-ную А „ / - аффинорная структура на Лч I. Рассмотрены два принципиально различных случая: I/ Р{ ^лГ,- * ¿¿у. ' /сохранение структуры/

2/ р{ + ' й, £ - некоторые инварианты. Имеют место

Теорема 2.1. [I] рР-планарные отображения А^ на А^ (п >р * 1 3 0 С0ХРанением структуры характеризуются .условиями

где- (%) - некоторг4 векторы, ' Р 1-{х) - Г&х)-

Теорема 2.2. Г1] Любое ^/-"-планарное отображение пространства аффинной связности Ач на 4 „ (п >р-+ /) сохраняет структуру.

В главе П строятся и в некоторой мере исследуются геометрические объекты, инвариантные относительно ¿/^-планарных отображений. аффинносвязных и римановых пространств [2].

Поскольку в исследованиях значительное место занимают рима-новы пространства с аффинерной структурой удовлет-

вортзщей условиям

где " " - знак ковариантной производной в ^ , в,§ 3 исследу-' ются свойства тензора Римана, а также каноническийструют-ры г I и метрики в таких пространствах. Показано /Те- -

орема 3.1/, что они по необходимости- локально приводи;.®.

В §§ 4-5 строятся геометрические объекты, как неоднородные /типа параметров Томаса/, так и тензорные /в частности,, типа - >

тензора Вейля/, инвариантные относительно 2/^-планарных отобра-

3 Ь <2 г I

жений при Г { - е-о (( £ - о-, 1) ■

" У

Особый интерес представляетобьект ^уЧ > являющиеся аналогом тензора Вейля в теории геодезических отображений римзновта пространств и сохраняющиеся при г/'-плаяарных отображениях ' : Уп —¡~ \/л в предположении, что в 1/, имечт место (й), а £ - аналогичные им условия.

Выделен класс пространств |Л, /2Г-плоских/, замкнутый-относительно рассматриваемых отображений, найден их тензорный признак внутреннего характера- > Теорема- 6.1. Г2] Ршаново пространство ( ^ > ) > в котором

является 2/"-плоским тогда и только тогда, когда его тензор Рима-на имеет структуру • ' ■

• V .

]к ' '

Цй * М''<• М

4 ^ *

'у '-1 7 " V

при некоторых С ¥ О. ^з-

Нетрудно видеть, что 2^плос?юе пространство является локально симметрическим, поэтому есть возможность воспользоваться известной формулой П.А.Широкова для восстановления метрического тензора ¿¡^-плоского пространства в окрестности некоторой ■

его точки И е • Мы это сделали в § 7 для довольно широкого подкласса 2р-плоских пространств

Глава Щ посвящена дальнейшему изучению 2р-планарных отображений римановых пространств ^ , удовлетворяющих (2).

В § 8 получена новая йорма основных уравнений указанных отображений, допускающая эффективное'исследование.

Имеет место

/ Г" ^

Теорема 8.1. Дяя того, чтобы ряманово пространство ( ^/^у'/ ).

при условиях (2 ) допускало нетривиальное 2/чшанарное отображение» необходимо и достаточно, чтобы в отом пространстве существовал неособенный симметрии удовлетворяющий уравнениям

вовал неособенный симметричный двежда ковариантиый тензор • ,

1/

!< = * + Л* * 1« ^О'^рк,

при некотором векторе у1/ фО .

В § 9 получены основные теоремы рассматриваемых отображений. Теорема 9.1. Для того, чтобы риманово пространство-(14,,^у, /^у J в котором имеет место (2), допускало нетривиальное 2/^плайарное отображение, необходимо и достаточно, . чтобы в кем имела нетривиальное' решение система дифференциальных уравнений первого порядка в частных производных типа Коши к ~ + . & & >

. ЛА - ¿*

■ относительно ({у ( = $ у ) / ^^ удовлетворяющее усяо-виям

г л

1 7 "У

Здесь Мск , ' - некоторые .тензоры, компоненты которых поражаются через 'у к , ^ V, <'> > '

Число произвольных постоянных в решении этой системы не превышает •

."где " - ''<* ^^г , к1 _ количество собственных значений аффинора Р/ равных I; число пар комплаксно-еопря-

женных собственных значений." .

Обозначим через 6 - условия интегрируемости уравнений ' системы А , а через ' &<1 | (Б^ , - их дифференциальные продолжения. ;

Теорема 9.2. Риманова пространство ( У», ^ , ) , в'котором имеют .место (2 ), допускает нетривиальное 2/^планарное ■отображение тогда и только тогда, когда система линейных одно- . родных алгебраических уравнений >.(м-*

имеет нетривиальное решение относительно

Из теоремы 8..1 вытекает -

Следствие. Каждое риыаново пространство С^н, ^/ )

с абсолютно параллельной кубической афФшорной структурой Р ( Я3- ,. допускающее квазиконциркуяярное векторное поле '•

.видистантиым особого типа, допускает т тривиальное ЯГ-йланар-■ ное отображение. '

В § 10 изучается случай, когда система к вполне интег- -рируема. Пространства, в которых это имеет место, оказывается максимально подвижными относительно рассматриваемых отображений. Теорема ЮЛ. 2р-плоские римановн пространства и только они имеют, максимальную подвижность относительно 2р-планарных отображений. •

' При доказательстве выясняется,, что любое 2/^плоское пространство 14, допускает 2/^-пленарное отображение. Поэтому интерес представляет приведенный далее пример пространства, кото-

рое 2плоским не является и допускает нетривиальное 2 -планар-коо отображение.

Наконец, в § II ввделяются широкие классы пространств, не .допускающих нетривиальных 2Р-планарных отображений. В частности, Ото относится к симметрическим и рекуррентным; отличным от 2 -плоских; . . ■

Публикации автора по теме диссертации

-I. Раад Кадеы Дотлел. О 2Р-планарных отображениях пространств аффинной связности //Abitracti ol the. CoLlo^uiuM On bifPt-Vt/ithl geometry, August 20. 1923, fyr > Пинангу. • 2. Раад Кадеы Детке л. Некоторыэ вопросы теории 2Р-планарных отображений ркмановых пространств с кубической аффинерной структурой .г Одесса, Одес. ун-т, 1991.- 16 с.

/Деп. в УкрШШТИ. Л- А 9г/.

3. Раад Кадем Дкаиел.. 2/^-планарные отображения рекуррентных римановых пространств.- II с. /Деп, в УкрНИйНТИ. J>- УА. ,

4. Раад' Кадем Дчашл, Курбатова И.Н. Геометрические объекты инвариантные относительно 2?-планарных отображений аффкшо-связных и' риманових пространств с кубической структурой Одесса, Одес. ун-т, IS90.- 57'с. /Деп. в УкрШИНТЙ

IP Ю04-ук.90/.