Абелевы многообразия и матричные коммутирующие дифференциальные операторы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

0 Введение

1 Коммутативные кольца дифференциальных операторов, связанные с двумерными абелевыми многообразиями

1.1 Модуль Бейкера-Ахиезера.

1.2 Доказательство теоремы Накаяшики при д ~ 2.

1.3 Коммутативное кольцо 2 х 2-матричных дифференциальных операторов

1.4 Гладкие вещественные операторы.

1.5 Операторы Накаяшики.

2 Нелинейные уравнения, интегрируемые в тэта-функциях не главно поляризованных абелевых многообразий

2.1 Тэта-функции не главно поляризованных абелевых многообразий

2.2 Теорема о разложении тэта-функции Прима.

В диссертации изучаются двумерные 2 х 2-матричные коммутирующие дифференциальные операторы, указанные Накаяшики [1], а также предложен метод нахождения решений некоторых нелинейных дифференциальных уравнений в терминах тэта-функций не главно поляризованных абелевых многообразий.

В работе [1] Накаяшики построил коммутативные кольца д\ х д\-матричных дифференциальных операторов по д переменным (см. также [2]). Совместные собственные вектор-функции и собственные числа этих операторов параметризуются точками главно поляризованного абелева многообразия размерности д с несингулярным тэта-дивизором. Каждый оператор отвечает некоторой мероморфной функции (спектральной функции) на абелевом многообразии с полюсом на тэта-дивизоре. В дальнейшем эти операторы будем называть операторами Накаяшики.

В главе 1 нами доказана

Теорема А. При д = 2 не существует операторов Накаяшики с гладкими вещественными двояко-периодическими коэффициентами, но существуют операторы Накаяшики с вещественными сингулярными двояко-периодическими коэффициентами.

Эта теорема является аналогом теоремы Фельдмана, Кноррера и Тру-бовитца [3], которые показали, что двумерный оператор Шредингера без магнитного поля с гладким двояко-периодическим вещественным потенциалом может быть конечнозонным только на одном уровне энергии, т.е. блоховские функции (собственные для оператора Шредингера и для операторов сдвига на периоды) могут параметризоваться римановой поверхностью конечного рода только при одном значении энергии. Теорема А означает, что не существует гладких вещественных конечнозонных на любом уровне энергии операторов Накаяшики. Тем не менее существуют вещественные конечнозонные на любом уровне энергии операторы Накаяшики с сингулярными коэффициентами.

Возьмем в качестве абелева многообразия многообразие Якоби римановой поверхности рода 2 с вещественными точками ветвления. В этом случае симметричная матрица периодов О базисных абелевых дифференциалов имеет чисто мнимые компоненты [4]. Введем операторы магнитных трансляций 71,* и Т2*

Т*<р(у) = <р{у + ех) ехр(2717/1), Т^<р(у) = <р{у + е2) ехр(2ти/2), где у = (yi, у2), е3 — j-ая строка мнимой части матрицы периодов Г2. Операторы магнитных трансляций отличаются от операторов сдвига только экспоненциальной подкруткой. Аргументы экспонент в операторах магнитных трансляций выбираются так, чтобы выполнялось равенство Ai{y+ej) - Ai{y) = 27rSij, где (Аь А2) — вектор-потенциал магнитного поля [5], тогда Т* коммутируют с операторами ковариантных производных дУг — Ai. Операторы Т* и Т2* коммутируют между собой. Это является следствием того, что в нашем случае магнитный поток через элементарную ячейку, образованную векторами ег и е2, равен 0. В общем случае справедливо равенство Т*Т2* = Т2*ТХ* ехр(геФ), где е — заряд, Ф — магнитный поток [5] и операторы Т{ и Т2* коммутируют, если величина целочисленна.

Собственная вектор-функция для матричного дифференциального оператора называется магнитно-блоховской, если ее компоненты являются собственными функциями для операторов магнитных трансляций. Через 0(z), где г = (zi; Z2), будем для краткости обозначать тэта-функцию 0[O,O](z|i)) абелева многообразия C2/{Z2 + QZ2}.

Теорема В. Существуют операторы Накаяшики с гладкими вещественными коэффициентами. По диагонали оператора Н, отвечающего функции d2Zl In e(z) + d\2 In 9{z), стоят операторы Шредингера вида

H11 = (dyi-A1)2 + (d1n-A2)2 + u(y),

22 = (дУ1 - Ах)2 + (дУ2 - А2)2 + и(у) с двояко-периодическими магнитными полями rot (Aj, А2,0) и rot (А\, А2,0) и с двояко-периодическими потенциалами и(у) и и (у) и(у + ej) = и(у), и{у + ej) = и(у). Компоненты вектор-потенциалов удовлетворяют равенствам

Му + ej) - МУ) = МУ + ei) - МУ) = 2?r<V

Магнитно-блоховские функции оператора Н на каждом уровне энергии параметризуются римаповыми поверхностями конечного рода. Компоненты оператора Н коммутируют с операторами Т* и .

Мы также укажем операторы Накаяшики, которые принимают наиболее простой вид. Например, операторы ЬиЬ\, отвечающие функциям dZl In 9{z) и dZ} dZ2 In 9(z), выглядят следующим образом.

Лемма 1. Справедливы равенства т ( -д1+С1дХ2 + и ь =

IV

-д1+С1дХ2 + и-с3) -д11-с1дХ2 + и +

1УУ

С2 где и = д2Х11пУ + (дХ11пК + с4)2 - сг{дХ21пУ + с5) + с3, и = д2Х11пV/ + {дХ11пIV - с4)2 + С1(дХ2 \jlW- с5) + с3 и

Ьг =

-дХ1дХ2 + и2дХ1 + с6дХ2 + их с,дХ2 +и-сг) -дХ1дХ2 + и2дХ1 - с&дХ2 + ^ ще иг = дХ1дХ21п У+(дХ11п У+с4)(дЖ2 1п У+с5)~и2(дХ11п У+с4)-с6дХ21п У+с7, их = дХ1дХ21п Ж+(дХ11п\¥-с4){дХ2 ЫШ-сь)-и2{дХ11п\У-с4)+с6дХ21п с3 — некоторые константы (указаны в формулах (27)-(30)).

Нужно отметить, что коэффициенты при дХ2 в 11-компонентах и 22-компонентах этих операторов являются константами, коэффициенты при дХ1 в операторе Ь равны 0. При этом все коэффициенты операторов Ь и Ь\ рационально выражаются через коэффициенты V и V/ и их производные.

Нами будут указаны частные решения системы нелинейных уравнений [Ь,Ь\] = 0 на V и УУ. Решения задаются формулами (20) и (21).

Справедлива

Теорема С. Коэффициенты операторов Накаяшикирационально выражаются через коэффициенты V и Ш оператора Ь и их производные.

Отметим, что 11-компоненты операторов коммутируют по модулю оператора теплопроводности, т.е., для любых двух 11-компонент А я В существует оператор С (лемма 17) такой, что

А,В] = С(-д11+с1дХ2+и-сг).

В работе [1] строится методом преобразования Фурье-Мукаи [6] модуль Бейкера-Ахиезера над кольцом дифференциальных операторов по д пространственным переменным. Этому модулю соответствует (с точностью до сопряжения) коммутативное кольцо операторов Накаяшики. Вектор-функция, компонентами которой являются элементы базиса модуля Бейкера-Ахиезера, параметризует общие собственные функции этих операторов. Операторы из леммы 1 и теоремы Б имеют достаточно простой вид за счет удачно выбранного базиса (17) и (18) в модуле Бейкека-Ахиезера.

Заметим, что конструкция Накаяшики требует несингулярности тэта-дивизора. Как показали Андреотти и Майер [7] для общего абелева многообразия его тэта-дивизор является неособым подмногообразием, однако для многообразий Якоби римановых поверхностей тэта-дивизор имеет особенности при д > 3 и при д = 3 для гиперэллиптических поверхностей.

1. A. Nakayashiki. Structure of Baker-Akhiezer Modules of Principally Polarized Abelian varieties, Commuting Partial Differential Operators and Associated 1.tegrable Systems.// Duke Math. J. 1991. V. 62. N.2. 315-358.

2. A. Nakayashiki. Commuting partial differential operators and vector bundles over Abelian varieties.// Amer. J. Math. 1994. V. 116. 65-100.

3. J. Feldman, H. Knorrer, E. Trubowitz. There is no two-dimensional analogue of Lame's equation.// Math. Ann. 1991. V. 294. N.2. 295-324.

4. Дубровин Б. А., Натанзон С. M. Вещественные двухзонные решения уравнения sine-Gordon. // Функцион. анализ и его прил. 1982. Т. 16, вып. 1. С. 27-43.

5. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Основные состояния в периодическом поле. Магнитно-блоховские функции и векторные расслоения. // ДАН СССР, 1980, Т. 253, N. 6, С. 1293-1297.

6. S. Mukai. Duality between D(X) and D(X) with its application to Picard sheaves. // Nagoya Math. J. 1981. V. 81. P. 153-175.

7. A. Andreotti and A. Mayer. On period relations for abelian integrals on algebraic curves. // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa. 1967. V. 21. P. 189-238.

8. Кричевер И. M. Методы алгебраической геометрии в теории нелинейных уравнений. // УМН. 1977. Т.32, вып. 6. С. 183-208.

9. Дубровин Б. А., Кричевер И. М., Новиков С. П. Интегрируемые системы. I. // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления.Т.4. М.гВИНИТИ, 1985. С. 179-285.

10. Date Е., Jimbo М., Kashiwara М., Miwa Т. Transformation groups for soliton equations. // J. Phys. Soc. Japan. 1981. V.50. P. 3813-3818.

11. Богоявленский О. И. Интегрируемые уравнения Эйлера на алгебрах Ли, возникающие в задачах математической физики. // Известия АН СССР, сер. матем. 1984. Т. 48, N.5 С. 883-938.

12. Adler М., van Moerbeke P. Linearization of Hamiltonian systems, Jacobi varieties, and representation theory. // Adv. Math. 1980. V. 38, P. 318-379.

13. Audin M. Courbes algebriques et systemes integrables: geodesiques des quadriques. // Expositiones Math. 1994. V. 12. P. 193-226.

14. Гриффите Ф., Харрис Дж. Принципы алгебраической геометрии. // Москва: Мир, 1982.

15. Тайманов И. А. Секущие абелевых многообразий, тэта-функции и солитонные уравнения. // УМН. 1997. Т. 52, вып. 1. С. 149-224.

16. Мамфорд Д. Лекции о тэта-функциях. // Москва: Мир, 1988.

17. Fay J. D. Theta function on Riemann surfaces. // Lecture Notes in Math., vol. 352. Berlin-Heidelberg-N.Y.: Springer, 1973.

18. Тайманов И. A. Тэта-функции Прима и иерархии нелинейных уравнений. // Матем. заметки. 1991. Т. 50, вып. 1. С. 98-107.

19. Кричевер И. М. Нелинейные уравнения и эллиптические кривые. // Современные проблемы математики. Т.23. М.:ВИНИТИ, 1983. С. 79136.Работы автора по теме диссертации

20. А. Е. Миронов. О нелинейных уравнениях, интегрируемых в тэта-функциях не главно поляризованных абелевых многообразий. // Сиб. мат. журнал. 2001. Т. 42, N.1. С. 113-122.

21. А. Е. Миронов. Коммутативные кольца дифференциальных операторов, связанные с двумерными абелевыми многообразиями. // Сиб. мат. журнал. 2000. Т. 41, N. 6. С. 1389-1403.