Acимптотические свойства оценок бесконечномерных параметров случайных процессов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

НБ Ол '

, 7 №?

Національна академія наук України інститут математики

На правах руюпису КУКУШ Олександр Георгійович

АСИМПТОТИЧНІ ВЛАСТИВОСТІ ОЦІНОК НЕСКІНЧЕННОВИМІРНИХ ПАРАМЕТРІВ ВИПАДКОВИХ ПРОЦЕСІВ

01.01.05 — теорія ймовірностей і математична статйстиха

АВТОРЕФЕРАТ дисертації на одобуття наукового ступеня доктора фкшко-математичннх наук

Киї» — 1995

Дисертацією е рукопис.

Робота виконана на кафедрі математичного аналіоу Київського Національного університету ім. Тараса Шевченка.

Офіційні опоненти — доктор фшико-математичних наук, професор ЛШЬКОВ Ю. М.,

- доктор фізико-математичних наук,

професор ПЕТУНШ Ю. 1., доктор фіоико-математичних наук,

- провідний науковий співробітник ,

ІВАНОВ О. В.

Провідна установа — Київський політехнічний інститут.

Захист відбудетьсі “ " 1995 р.

оі£_ год. на засіданні спеціаліоованої рада Д01.66.01 при Інституті математики НАН України оа адресою: 252601, Кйїв-4, МСП, вуя. Терс-щевківська, 3.

З дисертацією можна оонайомйтися у бібліотеці інституту.

Автореферат розісланий

6 ■. оЧ " 1995 р.

Вчений секретар

спеціаліоованої ради,

доктор фізико-математичних наук

ГУСАК Д. О.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Робота присвячена вивченню слушності (це український еквівалент російського терміну "состоятельное гь”). асимптотичної нормальності та ймовірності веішкпх ушлів статистичних оцінок иескіїгіенновпміртсс параметрів випадкових процесів. В основному досліджується ситуація, гоїш невідомий параметр нелінійно вхштть у величини, що підлягають спостереженню.

У скінченновгімірвому .випадку найпростішою ситуаихто такого роду € оцінювання ті) «¡шетрів волінійиої регресії. Подібні оцінки вивчалися в багатьох роботах у ов'япку в застосуваннями в фізиці, хімії, астрономії, біології, статистичній теорії ов'юку, економетриці, дщі. оокрема статті Р. Дженнріча, Е. Маліпво та монографії А. Я. Дороговшвз, Дж. Себера і С, Уавлда, О. В. Іванова і М. М. Леоненха. Задача оцінювлння нескінчен-новнмірного параметра також має практичніш інтерес. Тккимя е задачі оцінки сигналу оа спостереженнями над його перетвореннями на фоні шуму, оцінки кореляційної функції або спектра процесі', оцінки щільності розподілу ймовірностей, оцінки функції від декількох омінних оа спостереженнями над її перерізами, оцінки інтенсивності неоднорідного процесу Пуассона, оцінки передаточної функції.

Дослідження оцінок несїшченновимірв’гг параметрів активізувались у оп'япку о інтенсивною розробкою методів теорії ймовірностей в абстрактних просторах, а також у ов'жоку о появою робіт Ю. А. Розанова

(1968), А. В. Скорохода та І. Ш. Ібрамхалілова, які містять оагальні умови слушного оцінювання та перевірки гіпотез для таких параметрів. Перші результати а асимптот ячної нормальності оцінок нескінченповпмір-нпх параметрів одержав А Я. Дороговпев (1982;. У подальших працях А. Я. Дороговцепа та ІІ.С.Кпопова було продовжене вивчення умов слушності та асимптотичної нормальності оцінок ясскіггтеннопішірмх паро-

метрів різних ("ГОП.СТИТІШХ систем.

Обговоримо труднощі, поиЧюані о доведеншгм асамйтотичної.нориал'а-иості подібних оцінок. У випадку скінченнопішірної нелінійної регресії за результатами N спостережень будується випадковий функціонал Qx(ü), визначений дшг ояанеяь t? ti параметричної множини 0. Яшцо ця множина е компактною, а функціошиї Q,y м. н. ненгрервняй, то оцінка найммшшх їкадря.тін (ШШ опіма) і?А- визначається сшвшдцошсншш

^Qn^)~Qn(Óh). (1)

Pfctí

Для гауссавого інум? чнаяогічно оіначастмля оцінка максимальвої прав-джодібаості (ОМП) параметри регресії,

У вниялку ЩІК класичний підхід поляГас ось у чому.. У ирмпущен* иля, іцо •[>;• тткіді» регресії ро'оріонякггь «наченн* параметра на множіиііі в і етгі6ілЬуг>тьс» в серїДньому» оЦІака Jjy t, слуи.пою. Нехай бідомо, ті let кине зн«ч<.>инл параметра <?о « внутрішньою точюм в, я функції регресії і гладкими. Тоді іо (лушйості вітлива^ що рівність '

0 (21

.ііШінукті.ся о імовірністю, яка npante пі 1 npit V — > сс. In cmnm.tmmutiRíi (2) шіпа.фтьсй асимптотична нормальність (;itш. crerrto Р. Даиятрічз 1969). Аналогічно доводйтьс* яскмитотігша нормальність для (ШП.

Якім» в f нескінчонйовішіршш комлактом, а функції регрес ії нг.гсрорв-ні, то рівність (1) також визначає опінку« па чи певних умов с г.зупглою. Проте вескінченновиміртш компакт ні1 містить »путріштх точок, і о jiialToc ri 11) не вннішває (2).

Йолтапн* описаних труднощів і ;у ведення асимптотичної нормаль-листі оцінок иоскін'ютіорішірних параметрів, а також оцінювання ймовірностей в" іпкях ухваіп лля таких оцінок г актуально«) науковою вада-

Мета роботи. Для оагальної моделі нелінійної регресії в гільбертово му просторі та МНК-оціпок непі [гчешіовіш іряого параметра одержати умови слушності та асимптотичної нормальності. Одержати оцінки овер ху для ймовірностей великих у:;ллів нормованої оціижи. Вивчити асш ■. птотичні властивості иепа.рам<ітрігщої ОМП функції інтенсивності неод ворідного процесу Пуассона. Знайти оптимальний решз ^ спостережень у иадачі оцінки середнього при наявності параметра, що і аважае, та (И того шуму.

Наукова номона та основні результати. Запропоновані нові методи доведення асимптотичної нормальності статисті* ¡них оцінок не-скінченновимірних параметрів. '

Основні репулі тати дисертації є новими. Це наступчі твердженні.

1. ТЬорема про слушність проекційної сніпки аесілнченновиміриого параметра нелінійної регресії. .

І. Теореми гро асимптотичну нормальність МНК-оцінок і проекційних оцінок нескінченновігмірного Параметра нелінішої регресії.

3. Теореми Про ймовірність великих ухилів цих оцінок.

4. Теореми про асимптотичні властивості ОМП інтенсивності та компенсатора неоднорідного процесу Пуассопа.

5. Знаходженні! асимптотично оптимальної точки переключення в моделі о керуванням при Наявності параметра, що гзауажае, та білого шуму.

Методи дослідженая. Це сучасні методи статистики випадкових процесів, теоретико-ймовірнісиі методи и абстрактних просторах, ме-тодп диференціального числення В ліяійгшх просторах, також метоли теорії лінійних операторів. .

Праятлчна цінність. Рсвультпт про гшаходжевяя оптимальної точки переточений ппяіпПов зястосувания прл вивченні лапернпх гіроскопів,

эа ідо одержано ангорське свідоцтво [3j. Інші результати дисертації можуть застосовуватись у статистичній теорії ов'яоку, економетриці, в падая ах рсзпізнапания обрапів.

Апробація роботи. Результати доповідались на. Міжнародній жон-ферекції о стохастичної оптпміпації (Київ, 1984), на V-VI Міжнародних конференціях о теорії ймовірностей та. математичної статистики (Вільнюс, 1989, 1993), на И Всеукраїнській конференції о теорії випадкових процесів (Донецьк, 1992), на II українсько-угорській конференції о теорії ймовірностей (Мукачєво, 1993), на Міжнародній математичній конференції, присвяченій пам'яті Іанса Гана (Чернівці, 1994), а також на се лінарах п теорії ймовірностей та математичної статистики в Наїьо пальному университеті, Інституті математики НАН України, Київському Мдаггапічпому інституті.

Публікації. Основні резуль тати дисертації опубліковані в роботах ¡і.

2, 4-17|. Очуг.ьтати § 1.7 одержані спільно о В. В. Пантелусом, а реоуігь-тгугп імодігіа 4-5 — спільно а А. Я. Дороговневим, причому результати П.б.2.4 оде шані спільно о Г. П. Гречкою.

Структура і обсяг дисертації. Дисертація складає гхея in wrnry і Г) розділе. Повний обсяг роботи 268 еторіплї ммнияогтіу. Сігісок чіте-ратурії містить 70 найменувань.

Зміст роботи

Оскільки основні результати стосуют ься моделей спостережень в аб! і рнкгних просторах, почнемо з прикладів реалізацій цих моделей у кон-f ретгаїх сгохагтичних системах.

ПРИКЛАД і . Оцінювання передаточної функції в нелінійній схемі спостережень. Розглянемо приймальний пристрій, що характеризується фіксо оиі передаточною функцією Є 0 С Ьй[0,27г] і пе,ретп<ірюс одгржа-

mm сигнал с £ ij [0,2п] у огортку .

2*

(с*1?о)(0 := / »?()<'.- - s)r(s)ds, t Є |0 2тг}.

о

Цю функцію будемо вважати, як і функцію і*о періоїшчно продовженою а періодом 2г.

Нехай мп кашо пристрій, складний а 3 мшеанш,: вшчс приймальних пристроїв о однаковою передаточною функцією і'о- Ді»'* ’> них о1 єднані по слідовно, а трете - параде іьноді. шх. Надоа входи складного присірою подаються сигк?. ш Ь, с Є L :[0,2лг). На виході одержуємо функцію

• 6 * і5і> * i>u + c* S), ' (3)

що спостеріг«« ті.ся а випадковими похпбкачш. Нехай її ¡.едаточва функ-

ція і?о невідома, а <:пост<;р.‘жсчпііо підлягає відгук (3) на пробні сигнали Ь,с. Процедуру отримана* відгуку можна повторити. ¡U цих пргч:.,іцень приходимо до а а дачі оцінювання 'hi на основі тостері, жень

1/і. .О :« {К * t?() * t?o)(0 + (с„ * ^o)(t.) + i-,(<)■ (4)

t Є (0,2ж], п > 1. Тут [Ьп, } — послідовність проішшх функцій а

£а|0,2»г]. Вважамо, що похибки {£«(<)} є нєзалежшши, вимірними та неперервними в середпьоиу квадратичному процесами її нульовим середнім, причому скіиченновимірні роаподіяи процесу {(„(/) ) не залежать від п. Нехай г(і, н) - їхня спільна кореляційна (функція. П\ ;і пустимо, що інтегральний оператор в Ьп[0,2гг| п ядром гіі,з) є ядерним, а стандартний тригонометричний базис } е власним бе.чпсом цього оператора.; {А*}

— відповідні власні числа.

Зауважимо, що модель (4) сконструйована таким чином, щоб жодна а ані на параметра w чводяла її до пінішмї моделі рмрічії. Побудуємо ? ріпні оцінки функції »V

1. Нехай функція fit, а) яевідомл. МНК-оцінка і?д- - (гуд-стми па

стм'трргжгттт ці, ■ ■ ■ • 1N «гіг 0-г»ягтп'< впгг.чдетшлй сталтт (в. іп'ї

— 6-

міпіміаус на множиш в функціонал

QsW •- ~ z /(MO ~{Ьп*о * Л)(<) - (С„ * m)Ÿdt.

"=1 0

2. Нехай функція r(t. в) відома о точністю до сталого множника, причому А* > 0, > 1. Задамо нескінченно велику послідовність номерів

{m(N)}. Проекційна оцінка 0ц — *V(t) будується аа спостереженнями коефіцієнтів Фур'є •

Vnk := (Vn,<fk), 1 <п< N, 1 < к < m(N)

шляхом мінімізації функціоналу і W

їлг(^) ••= -tf Ë £ (Vnt - (*п * 0 * «?,¥>*) - (є« * й,<Рк))*/Хк

М п=1 і=»

нл множині Pmf,\>)0. де Г,л — оператор проектування на піднростір, натягнутий на функції {'f>ky 1 < fc < m}. Проекційна оцінка побудована аналогічно до ¡зваженого методу найменших квадратів.

Приклад 2. Непараметричне спінювання сигналу оа спостереженнями ’а його коефіцієнтами Фур'е. Нехай на відрійку ¡0,2?г) оадано послідовність випадкових процесів

»„(*) := «„(*) + «»(*), ' € [0,27г], « > 1, (б)

де невідомий сигнал во Є Lj(0,2ff}. Відносно шуму {(„(<)} нехай виконані всі обмеження о прикл. 1, випадок 2. Розглянемо при R > 0 хулю а просторі Соболева IT’j (0, 2її) .

/ Є Vr||0,2ffj : / /5 dt + /(/'У* < Л2|

і припустимо, що «о € в, де 0 — вамикання множини ©о в просторі jT-jfO, 2їг]. Внаслідок компактності пкпаденнв в La, множина 0 є ком пастпокі в /^¡0.2я]. Нехай оадана нескінченно велика послідовність номерів Припустимо, то беппосередньо спостерігається не сам

— т~

процес (и), а його коефіцієнти Фур‘е

У„к ■- ІУп, фк), 1 <п < И, 1 < к < (6)

Подібно до прикладу 1, випадок 2, проекціігаа оцінка і у = і.у(<) будується як ц. е., іцо розподілений а £2[0,2я] та мшіміоує функціонал і N ">(Л)

2М*) :» Т7 £ £ (У«* ~ 0», Л))2/А*. * Є

п^І 4=їі

де ортопроекторц та числа А* оводе ні в прихл. 1.

Приклад 3. Проекційна ОМП коефіцієнту переносу ігохастігшог.) диференціального рівняння. Нехай на підріоку [0, Г| спостерігається процес {*(«), і > 0}, що має стохастичний диференціал

(/ї(<) = «о(0 Лі 4- (іи>(<), і > 0.

Тут «о належить до опданого компахту К С С(0,2л) і підлягає оцінюванню; {»(0) — стандартний вінерів процес. Нехай ¡т* : К >-> С[0,2л] є відображення, що задається для / Є К, к > 1, < Є [0,27т] рівністю

">(/)(<) — ^ + Е(а'(/)СО8(<0 + *><(/) 8ІП(І«)).

* і=1

Тут а,(/), і > 0, 6Д/), У > 1» — коефіцієнти Фур'є функції / відносно стандартної тригонометричної системи.

Рооглянемо фіксовані оростаючі послідовності номерів {п(т), т >

0), п(0) = 1; {¿(т), т > 1}. Пря Т > 2?г ооначимо номер т(Г) так, щоб виконувалась нерівність 2лп(т(Т)) < Т < 2лп(т(Т) 4 1). При Т > 2л-оцінку 8т функції *о означимо оа допомогою логарифму відношення правдоподібності

Ят(») '=~І *(') <И0 - — / А» Л, * Є К, (7)

як дот.іл7,нс гтплгпня м мяожтгп хцт(г))Кі шо м. к. оадово.и.яяс умову Яг(*т) ~ тпх{<^г(я)|* Є тг,,^(Л1/і}. (8)

\á' . . ■.

Значения «у вибпрйстьсл таліім чином, щоб це був в. розподілений

d С[0,2?;¡. Зауважили», що Л. Я. Дороговцеи у монографії (1982) роогяя-

цав ОМИ гоефіокшу переносу, Що мажсичіоує функціонал (7) на бсій

гпраметрични; мяо.ьині К.

П сИКЛАД 4. Нсиараметрпчнл оці.нка інтенсивності неоднорідного про-гкху ІІунссояіі .(Означення цього процесу див. у монографії Ю. А. Куто->іца, 193Í)) Нехай ішкошліі наступні припущення,

1. Для Т > 0 (jV(t), t є (0,Г)} е неоднорідний процес Пуассона о фіксовано» , але невідомою інтенсивністю До =* А{>(f).

'І. Функція Д0 періодична о відомим періодом г. т < Т.

3. Фупкція Хо належить К - паланій компактній в С[0. г) множині ий-В'д'емттх ф' ІіКЦІП, де C ÍO, г) - простір неперервних і иеріодичнгк з періодом і функцій, ще падалі на [f), 4.x), в j кочу розгляцпетыя ріши?міри а норма. , '

Покладемо яри t є [0.r] A,(í) := niinjД('): Д Є /С).

і. Длн фнкпіі А« інтеграл Лебег» Jf < --х>.

”л шосігрежештгя процесу Цуасган.і •{ V(t'i. t f ¡(VI')} пкбузуемо ükfp цю функції До- Роагякнемо функціонал

(,??•( А):« ~~ f Д(0 dt. 4- -і / іііЛ( '' i.V(í). Д еК.

и 1 і

клу.є така множина Щ повної ймовірності, на мій прн япжя<>цу А Є К- Т > г функціонал Qr(A) набуває дійсних чгілчень. Означимо ОЩЇ Зт я* Н іначний в. е., що (задовольняє прм хи* .лому w є % «штилно-шепни Qj t Аг) — птххек Qt{\)- Саке -яжігіі erm іб побудови і.'еп».раме-трпчної ОМП гапяивае о результатів Ю. М. Кабинова, Р. 1(1. Ліипгрп Та А. М. Ширяева (1975) про відношення правдоподібної-гі для процесів Пупссона. Овуважпмо. їмо в парами грпчпому вішалку подібні опічки вив» ча.:?ИСя « * V- Кутянцем га Ю М. Пшл'мчп

Перейдемо безпосередньо до викладу результатів роботи. У вступі наведені історичні відомості, дано огляд основних іден і a результатів дисертації. Розділ 1 присвячений слушної ті різних аналогій МНК-оцінок не-скінченновимірпого парамеїра нс;хішйиої регресії. Шдоначішо 2 репуль-тати: про властивості проекційної оцінки в нелінійній модулі (§ 1.5, це твердження застосовується в § 1.6 до оцінки о прикладу 16) та про властивості роГіастної оцінки в сенсі П. Хькібера (§ 1.7).

У другому розділі вивчені умови асимптотичної нормальності МНК-оцінок та проекційних оцінок несківченішвкмірного параметра регресії. Обговоримо шляхи подолання труднощів доведений асимптотичної нормальності. У статті А. Я Дороголцева, Н. Зерека і автора (1987) досліджувались МНК-оцінки параметра нелінійної регресії у випадку спеціального опуклого компахту а гільбертовому просторі II. Замість співвідношення (2) в умови опуклості спочатку виписувалась нерівність, що дозволяла довести відносну компактність розподілів нормованих оцінок. Потім для деякої щіяьної множини напрямів її складалася рівність для похідних оа Ґато

Ш^).ь> = и- (9)

Із врахуванням геометричних властивостей спеціальних комі> актів та слушності оцінок доводилось, тцо при кожному такому h співвідношення (9) виконується о Імовірністю, яха прагне до 1 прн N —* ос. З (9) виводиться слабяа збіжність лінійних функціоналів від нормованої оцінки до гауссовях розподілів, то в поєднанні з тліюспою хомлактяігтк» забезпечує асамптотя’шу нормальність.

У § 2.3 пі результати перенесені на випадок довільних лохально опуклих комцактів в II. Геометричні особливості таких компактіп, зокрема еліпсоїдів, яе дозволяють одержувати різностей типу (9). Нподіпьгя вимога, моб істппне зпя'існнл параметр!» і?« Мало іпіяьпу множпиу rta-

прямків осуву, шо не виводять па межі Ö. Тоді для похідних бід Q,s за відповідними напрямками виписуються нерівності. які догів/>дяють встановити збіжність розподілів лінійних фувкгііоналіп під нормованої оцінки. Подібні нерішюсті застосовував O. D. Іванов при доведенні асимптотичної нормальності скінченновимірних оцінок найменших модулів. Далі в § 2.3 доводиться підносна компажтпість розподілів нормованих оцінок. ІІрг цьому результати формулюються р термінах перших двох похідних під функції регресії.

В усіх вгаданих втне результатах функції регресії вважалися щонай менше двічі днференціповними. В статті D. L. S. Prakasa Rao (1986) розглядається скінченновнмірна модель о С'-гладкою функцією регресії. Відсутність умов на другі похідні від функцій регресії не дозволяє з рівності (2) вивести асимптотичну нормальність. Вихід полягає в розгляді випад кового поля

Мч>) ь' {Qn ~ • ІМІ - Г)

де г — довільне додатне число. В цій статті встановлено слабку збіжність Js’iv) Д° вшадтового поля ./(р), що с поліномом 2 степеня від <р. Зіідсп робиться висновок про збіжність

afgmin h{4>) — “g,,1™? К -» оо,

ІИІ<Г ІМІ<Т

за розподілом в евклідовому просторі, що забезпечує асимптотичну нормальність оніпок.

У § 2.1 також розглядаються С'-гладкі функції регресії. Множина 0 с комшіктом в Я, причому на нього накладаються певні гоометрпчні обмеження. Відносна компактність розподілів нормованих оцінок встано пяют'тьс* аналогічно § 2.3. а слабка збіжність лініштх функціоналів від ітінок виводиться із слабкої збіжності деяких скінченновпмірних ГІОДІВ, шо породжені фуншіоналамп Q,v. Ці поля нагадують (10), однак їх вигляд

—11 . враховує носинченновпмірну специфіку: ионп виражаються череп частину координат оцінки %. З відносної компактності нормованих оцінок та ¡збіжності лілійних функціоналів виплппає асимптотична нормальність оцінок.

Перейдемо до точних формулювань, і1>'лііі Я — діїк шпісепарабольний гільбертів простір із скалярним добутком (-, ■) та нормою || • ||, В - дійсний сепарабельний нескінченновимірним гільбертів проо гір іо скалярним добутком (•, •) і нормою ЦІ -ІЦ. Остання породжує метрику /?, В{\). г) с відкрита куля в (В, f>) о центром і? і радіусом /■. Розглянемо наступні умови, (і) 0 — компактна множина в В.

(¡і) При кожному п > 1 шідано неперервну функцію /„ : 0 і-» Я.

(iii) Задано послідовність {(„, п > 1} непалежних однаково розподілених Я-вначних центрованих в. е., що визначені на повному ймовірнісному просторі і таких, що <х‘! := МЦ^іЦ2 < оо; S — кореляційний оператор в. е. {і.

Нехай t?o — фіксована точка в в. При N >1 введемо функцію

є е. (11)

п= 1

(iv) Vr > 0 : limw-.«iuf(i6e,Wi,Jo>r) ^о) > 0.

(v) Існує така неперервна функція ¡1> : 9х0нЙ, що

fitnN^*, sup ~ Ф{#і, !h)) < 0,

¿і.дгЄв

причому при кожному і? € 0 : »/’($,’?) = 0.

Нехай спостерігаються N перших членів послідовності

уп :=/„(,?„>+ i„, п > 1. . (12)

Ооиачеппл 1.1.1. Назвемо в. г. і)д'> який при кожному иі мінімізує

функціонал -

<?*f'»):= ^ £ II.V« ~ .Ш)!|2. *ЄЄ. (13)

МНК оцінко^! параметра i?n. <4° побугіооанп за спостереженнями i/h- ■ • ,Vn-

Такою є гаінка з прикл. 1 а). Умови (і) (v) забезпечують строгу слушність '-ціпки 0N, тобто м. н. |||,Ь - 4|Ц —* 0, А’ —♦ оо. Зазначимо, що вимоги (iv)-(v) с аналогами схінчгнновпміршгх умов о докторської дисертації О.В.Іванова. Гооглкнемо додаткові обмеження на 0.

(vj) Для деякою околу U (if о) точки і?о множина Lr(i?o) П в с опуклою.

(vii) Існує така лінійна множина L, щільна в Б, що V І Є L 3 е > 0 : і?о + Є 9 nl/(t?0). ДР V(dtt) — оііл п умови (vi).

Нам буде потрібно тахож підсилення останньої властивості.

(viii) Існує така лінійна множина L, щільна в В, що Vie L 3 с > 0 З Г| >

0 V х Є 5(т?о,п) П 0 : г + єі Є ©П U($o)-

Властивість (vii) топки ба є уоагальненнім понятті внутрішньої точки опуклої множини для нсскінчєігаовимірного випадку. Зафіксуємо багшс {с<, t > 1} в В. Проілюструємо умови (vi)—(viii) на прикладах 3 опуклих компактів. .

A). Гільбертова цеглина. Нехай {а,} — фіксована послідовність додатних чпсел а простору І3. Покладемо

: |(і,е,-)|< о(}. (14)

B). Еліпсоїд. Нехай {А<} — фіксована нгскінтепно мала послідовність податних чисел. Покладемо

E:^{aeB|g^^Slj. (15)

'Зауважимо, що компакт 0 о прикя. 2 є еліпсоїдом у просторі ¿jjf), 2я| у стандартному тригонометричному багшсі.

ПІ. ІІ«*хпп (f,j непрогтакла нескінченно мала послідовність додат-

- і:і -

пчх чисел. Покладемо ‘

С := {* Є В\ V т > 1 : £ {*,',)* < г,2„|. (16)

Нгхаїт множппн /і'о, £о>Со оздачаються па формулами (14 -■ 16) із памініжі вс іх нестрогпх нерівносте» на строгі. Будемо рогдаїядатп то*пси і?п, шо належать відповідно до К0, Еа або Со- Тоді всі 3 компактп (задовольняють умову (\’п), де І/ — сукупність усіх скітенгоїх лінійних комбінацій елементів базису {г,}. Проте лише компахтн (14), (16) ¡задовольняють (гііі) (а тяхпи самим £,).

Подальші умови стосуються гладкості функцій {/„} і є заміною умов регулярності скітенновимірнлх функцій регресії а роботи Р. Джешірічг

(1969). Г'

(ix) Функції /„, п > 1, можна продовжити на деяку відкриту множину її О 0 таж, іцоб продовження /„ були дпфорепційовппми оа Фрсше на IIм, крім того, в сенсі рівпомірної операторної збіжності

і £ ГпШ ■ Ж - V = У(0„), А- -

^ * п*1

причому А/’(К) = {0}, П(У) ~ В.

Далі вважатимемо, що базис {є,} повністю лежить в Ь г» умови (уіі) або відповідно (уііі). Покладемо

:= £ (х< еі) ■ т>0, х Є В.

і=т+1

(x) Для деяких невід‘ємних чисел {о,п(і^о). '>тч(^о); т,п > 1} виконані пастушіі 2 співвідношення:

1)3 й > О V п > 1 V 0 Є В(і)о, г0) : "

ит ~ґпШ\\< м*.)- ні»? ~ ^ош,

причому

2)3 ш0 > 1 V т ■> піп 3 гт, іУ(т) V н > Л'(г™)У г £ 0 — і?о,

— и-

ИНН < Гт : + V) - Л(0„))Уть\\ < «тв(|/„) • ни;,-!!!-,

НрИЧОНу

— - 1 ^ 1

. І!Шт->;ЬіИч' _,ж— ! 1?0) < -2 ^ ||^ ||г

(х1) \\У-Ут-У,п VII-О, ос.

(xii) У сенсі ойжності в її іервій оператирній топології при N —* со

тт Г /:,*( 1о)3?„№ ) ->т = Г(д0).

** П~1 •

(xiii) Дм ДЄІ1ЇОЇ ЛІНІЙНОЇ МІЮЖШШ Л/, щільної в В,

Ус > 0, А Є М : Е* , !««• Л(« <*Р -

—* 0, N —* оо.

Відзначимо умопу (іх). Саме неперервна оборотність оператора V приводить до традиційного \/Ьі’-нормування в наступній теоремі. Яжщо оператор 1/-1 не є неперервним, то можливі й інші нормування в граничних теоремах для параметричних оцінок. Умова (хііі) е аналогом умови Лінде-берга і в сукупності а вилогами (ііі), (хіі) оабеапечуе обіжність В-оначннх в. е.

Гл:= \/ії 1^ за розподілом до центрованого гауссового елемент) 7 о кореляшиним

оператором Т.

Теорема 2.1.3. Нехай виконуються умови (і), (ііі п), (іЛіі-тііі}. Тоді

— і?о) —* ^_17і ІУ —* оо з« розпоЛлолі в В.

Недоліками цього твердженні»я є обмежувальна умова (хі) та жорстка вимога (уііі), яка не дооволяє оастосуватл теорем} до еліпсоїда {15). У § 2.3 оастосовується інший підхід, що усуває ці недоліки піною ш"дмпц< яня глпдхості фунхпій регресії. Розглянемо нові умови.

•(х»у) Для деякої яідарктої в В штожпня V 3° функції /.,. п > 1. можна продойжптп на Г’ дак. вдпб їхні продовження /„ Лупи двічі япл;ре-

prmo диференційотші oa Фреше н,і V, прілому при всіх i,j — 0; 1 ; 2 рівномірно па а, ¿1 Є 0 існує іраипц«

«• (і + ;)-ліігійис відображенім a B,+i в R, а збіжність береться па нормою відповідного поліліпійного відображення.

(^v) ГІрп її 1% ^ооС'5. «*) - 2ік'ооЬК 'h) + <А'о(<?о, «М / о.

(xvi) Справедливе представлення ^(/іь^г) = (1'7іі,/і2), h\ 2 € Й, де V f: L(D, В), причому N{V) = {0}, R(V) = В.

Для білінііпіого відображспня tp : В х В і-* II введемо иорму Ппьбертд

- Шмідта ______________

Зауважимо, шо рівномірна обіжність (17) ггіст і = j — 0 рааом а умовою (xv) забезпечують строгу слушність оцінок і)н; ці вимоги є підсиленням умов (iv-v).

ТЬорєма 2.3.2. Нехай виконуються умови (i)t (ntj, (vi-vii), (xii-xvii). Тоді VN(êN - t?„) -* V-'-y, iV —* оо за розподілом в В.

У §§ 2.5, 2.7 як для лінійної, таї і для нелінійної схеми доведено асимптотичну пормальпість проекційних оцінок на празок оцінок а прижл. 2 та 1, випадок 2. При цьому параметрична множила є еліпсоїдом j гільберто-вому просторі. Для проекційних оцінок виписується відповідна функція Латрапжа. ІІовтна підходу полягає в тому, що вивчається аспмїітоти-ка множників Ллґрапжа, а представлення оцінок череп гі множники дозволяє обірунтуватп агпмптотпчиу нормальність. Наведемо відлови чий

IV т

ОО

результат у пастковому випадку ненараметричного оцівюншшя сигналу за спостереженнями оа його коефіцієнті!мц Фур‘( .

Нехай виконані вві припущеная а прикл. 2. Позначимо при п > 1 \І„ := шахі<,<п(і2 • А,).

Наслідок о теорими 2.6.1. Нехай М„ — 0(п). Тоді існує така послідовність номерів {т — wi(jY), N > 1}, що нормована проекційна оцінка сигналу i/N(sf/(t) — so(t)) —*»;(/), t Є {0,2тг] зи розподілом в Lt[ti,2n], де

■ ’ V{t) ■- Е * € [0,2їг],

{г/і } — незалежні стандартні гауссові оипадкиві величини, а ряд збігається в середньому квадратичному м. н. Вказана збіжність оцінок має місце для всіх таких послідовностей {m(/V)}, що при N —* со, с > 0

c\fÑ <т< -/Ñ • о(1), пі ■ Мт = O(vCV). (18)

Заоначдмо, що умови (18) є обмеженнями оверху тд .¡низу на послідовність {гл(Лг)}. Обмеження ониоу потрібні для збіжності \ZT?(Pm(Nj*o — *о) —» 0, а оверху — для вбіжвості v7v(i^ - Р,п^^вд) —* г/. Справи в тому, що функціонал T/v о пріїкя. 2 псується прн надто ¡ісликих оначеннях m(N). Тому оростання {т(Д’)} слід оагальмувати.

У третьому розділі одержані нерівності для ймовірностей великих ухилів оцінок нескінченно вимірного параметра нелінійної регресії. В $ 3.1 вивчаються опінги, аналогічні проегщііппш, для випадку ravccono-го шуму. У цьому параграфі застосований метод подрібнення параметричної множини. Вперше його в схіичмшовимірніп еіітуядії неоалежпо ¡застосували А. Я. Дороговцев та І. А. Ібрагімоз, Г. 3. Хясьміпськнй. Потім О. В. Іванов використав його прп вивченні МНК-сшіної скіичгпно-вимірного паряме гра нелінійної рггрегії. Істотним у *> 3.1 г оястосуваник оціпхн Е. Cine, Т. Zimi мптемптпчпого сподіпання моду:>* неперервності-випадкового поля.

У ü 3.2 игум не обов'язково є гауссовйм і оадовольшіє умову «-перемішу-вашіл. Вперше оцінки Ймовірності великих ухилі« у нелінійній регреоііпіп моделі іі) сянбкозапежнпм шумом одержав II. І,. S. Prakasa Rao (H/fcl) для еддопшіраого параметра; II. Зерг* (1985) переніс ці результат на сіін-чеяяовпмірніт вппадок. D обох роботах оціпш м:сш степеневий порядок малості, і використовувався вищезгаданий митод подрібненая в.

Цеп же метод (застосовується в § 3.2 в немінпевновиміршн 'ситуації. Для випадку tf-опачного параметра впкорнсл окується оцінка А. В. Скоро хода ймовірності великих ухилів копнвапля випадкового поля на еліпсоїді n //. Для вкладку co-значного параметра подібні оцінки вшшс.чш в и. З 2.2 для поля па компактній підмножіліі со. У § 3.2 itn шум плклр чаються більш СИЛЬНІ, НІЖ у Н. Зереха, момептні обмеження. ШО приводить ДО ЄКСП< H'Mf цінною порядку малості ухилів МНК-оціиок. Істотно впкорігстовуютье > момептні нерівності С. А. Утева.

Перейдемо до точних формулювань. Нехай (О. У, Р) — повний ro-tonip-ніеппй простір, 0 — топорогічпшї компакт. Припустимо, що задані' (і) для кожного п > 1 неперервна функція f„ : в *-+ Н; (іі) фіксовпштй елемент і?0 € в; (ііІ) послідовність {£„, п > 1} незалежних //-значних центрованих гауссовпх в. е. о невиродженймп кореляцщшшп операторами S„. .

Позначимо через (А-"' : і > 1}, {е-п* : і > 1} упорядковані з урахуванням їхньої кратності власні значення оператора S„ та відповідний власний ортонормованіш баопс. Покладемо уп := f„0h) + ín> n > 1. Нехай при фіксованому п {m„(N) : /V > 1} e деяка неспадда послідовність номерів. Припустімо, що спосторігаютьгя випадкові величніш

(?/п.е|"^),' 1 < п < Дг, 1 < і < v>n(N).

(19)

— іа -

Введемо при фіксоз&ваму N півнорму | ■ |{Л(

а;

Наовеыо М-оиттп в. е. ё\, па якому досяга* мінімуму функціонал

<?л(^):=^£йй.-ШіЄ,^еег

Л ,1=1

проекційною оцінкою параметра j?u, побудованою оа спостереженнями (19), Ухили будемо оцінювати в півметриці du,

<&(*» A) “ Е Ш*0 - М*Жі »1.» 6 0, ^ 1.

** п=і

Ця півметрика відбиває спотворення в геометрії множини 6, що ввесекі фуНХЦЇЯИв регресії. За умов типу > c)j7Tm(W)()?i — 0j)J|, с > ©

(див. наслідок 3.1.2) о малості í/,v(¿w, <?о) випливає близькість проекції оцінки до відповідної проекції параметра t?o-Поокагыгио m(N) :s= maxi<n£jv }nn(N), |0|jN — діаметр в у півметриці d/v; /V(í>r — найменша кількість куль у ¿-сітці для множини в у просторі (9, lift).

Теорема 3.1.1. Нехай виконані умови (і)-(»і), а також при деяких до-даггтже с,y¡T І < і < 3, ¿о < 1 та вс*2 N наступні умоли:

(iv) V¿< Sa, : N(eréft;ê>) < rxp(c№' + ст(ЛГ))Гст<Л'\

(v) m(7V) < dVT»; . . '

(vi) < exp(exp(c/v*'));

(tir) к ,-і'ї) + т«Хг<,<г 7¿ < ).

Тоді при ее гг р > 1, N > ! * Kewew.wy // > 0 такому, Ují> (/« + 1)« < 1, єшящетьсм перівтсгт '

< С>хр{~сгя5~^+!;,Г",,?1Г '—-’Ч'Аг)} ,

і,С] — деякі додатні сталі, які залежать чід ft, але не залежать

від N,p;

р(р)-=\ 1 ’ **Ш° Ъ < шахЬі.7з}і

I lap , якщо 7j > шах{7),'Уз}

Вимог», (iv) опначає, що ентропія компакту (0, <і,у) не перебинтує ентропії деякого компакту в епкпідовому просторі RrmM. Ця умова викопується, зокрема, коли 0 С tf, функції Д лінійні, а множина в певним тином зорієнтована відносно базисних векторів {є*"'} та дії операторів /„ (див, наслідок 3.1.2).

Далі, нехай В — гільбертів простір а теореми 2.1.3, А — ціпком неперервний додатппй оператор в В, а компаат в є гліпсоїдок-

0 := {, Є В : ІЦЛ-'хІІІ < 1}, (20)

Припустимо, що дії цієї множини задані об'єкти о попередньої

теоренн. Нехай також оадано

(viii) послідовність {£„, п > 1} ff-значних в. е., дім яких існують такі а > 0, г > 0, що

sup М exp(r||{nj|") < оо, М^„ =0, п > 1.

П>і

Розглянемо модель спостережень (12) та МНК-опінку д,у, побудовану пгідно о означенням 1.1.1. Ооп&ченая коефіцієнта сильного перемішування a(n) див. у роботі С. А. Утєва (1984). Введемо подальші обмеження.

(із:) Для коефіцієнта сильного переміщування послід'даїості > умови

(viii) при деякому /3 > 0 а(к) гг 0(ехр(-кв)).

(х) Для аослідовпості функцій (10) існують такі сталі К\ і > 0, що прп всіх N > 1, і?!,2 Є 0

, /МІН»?! - ^ІІІ3 <J>Nbh,lh) < Г<2|Р, -

Ця умова аабеопечуе пішшашш обмежень (іу)-(у) о теореми 2.1.3. По

власні числа оператора А о (‘30), аанумероваяі в порядку спадання,

і хі) Для деяких А\:г >0, р є (1/2,1]

Теорема 3.2.1 (частковий випадок\11ехай для множини (10) викопані умови (і)-(іі), (хЯп}-(тл). Тоді пуп всіх р > 0 •

де сталі С^.с^ залежить літе від /V, а останні параметри нябува ють довільну?: значень з області

. У § 3.2 міститься також аналог цього твердження для випадку р > 1. При цьому нерівність (21) ііішшшться без о мін. а зміниться лише допустима область (22).

Слід визначити, що в роботі абстрактні твердження теорем 2.1.3, 2.3.2, 3.1.1 та ш. оаетосовуються до конкретних моделей спостережень в прккл. 1-2 (див. §§ 1.6, 2.2, 2.4, та п. 3.1.4). Теорема 3 2.1 та її аналог для простору е& — теорема 3.2.2 —гакоас можуть бути використані при вивченні оцінох а ирикл. 1. Далі будуть рооглянуті хонкретні стахастичні моделі.

У розділі 4 вивчаються ОМИ о прпхп. 3-4. У § 4.1 для оцінок і? п ирикя. З одержані умови, оа яїііх нря Т со іім'з процесів ■

обігнеться до віпгрового процесу оа розподілом и С[0,2?г]. -Зауважимо, ПІО ОШЛКІ» 8Г обЧИСЛЮЮТЬСЯ ПрОСТІШС, НІЖ ОМП л’ОО.фщІснта ПРрСНООу о

кладемо а := 2 + ~ + д, де а,р — числа а у мов (уііі)-(іх). Нехай {А,} —

• Лі • Гр < А,- < А3 ■ і~р, і > 1.

' бир,,г1 р - а„іц > р) <

< Ся„ехр(-с<ц,^/',-‘'),

(21)

(22)

монографії А. Я. Дороговцева (1982), хоча є мети точними.

». ' ; 1 '

У § 4.2 досліджується оці ота Аг з пр. 4. Оона^шмо оцінку компенсатора

'¡о =я оо(«), я > 0 пуассонового процесу ол допомогою рівності

. . 9 . ., ■ і

ог(»):=:/Лг(<И<, я > 0. (23)

‘ о . ''' 1

При д > 1 пои.чачимо через (V’ простір Соболева функцій / : [0, +оо) і-* Ні, п<![)іодігшпх о періодом т я тажпх, що /0Г \/р (іі + /0Г |/'|* Л < ос:. ТЬорема 4.2.0. Нехай виконані припущення 1-2 з прикл. 4, а тамоч наступні умови: а) Хд Є Ко, де Л'о — відкрита опукла множина о ТІ'* при деякому р > 2; б) множина невід'ємми; функцій К є замикання» Ка у просторі 1У^; в) умова 4 з пршел. 4 дях введеноїрпрамгтричпої множини К. Тоді при Т -* оо справедливі наступні твердження'

(1)

(2)

(3)

і&т- А0)2 Л + / (тГ - ) Л ° М- н*

у/т/і Хг~Ао)*Л-^0.

V <р Є И^1 : ^ • /(Ат- Ао)^ Л -+ У ¥>\Ло

' 7 о о

за розподілом, де {«/(0) ~ стандартний віперіа процес.

(4) Ддл 7 := (р - 1)/(2(3р - 2)) Г1'’2-' • тахо<„<т |йг(«) - о0(«)| 0.

Доведення ґрунтується на методиці дослідження оційок параметр-

фушсцій а монографії А. Я. Дороговцева (1982), а також на методах

вивчення асимптотичної иоведініл точок ехстремумів вппаджовіїх функціоналів, ропвинутнх у рооділах 1-2. У § 4.2 розглянуто також дещо більш пагальлу ситуацію, коли фупжція інтенсивності До може бути ропришіою

В ТОЧЦІ Т.

, — 22- . .

У рооділі 5 вивчаються ні нійні незиіщені оцінки параметрів регресії при наявності параметра, ¡до оаважає. В § 5,1 таким параметром, що оазажае, служить невідома періодична детермінована компонента о відомим періодом, а похибки спостережень с стаціонарним процесом; вионаг

і маються оцінки э мінімальною характеристикою типу дисперсії. Результати узагальнюють твердження статті А. Я. Дороговцева (1980), де параметр регресії був оцновішіршт, на скінченновимірний випадок.

У § 5.2 роогинуто процес {*(<)}, що має стохастичшш диференціал

. <&•(*) в аЛ + и(і)(уі(і)Л + <т(<)Аі;(<)], і £ 0. (24)

іут параметр, що оаважає, палежЕггь до простору многочленів степеня не вище к\ функція керування а(<) має вятпяд

. і І -1 , 0< і < х,

( 1 , і«< 2Д,

де Д > 0, * € (0,2Д) — точка переключення; а — невідомий параметр. Досяжними результатами спостережень є значеная

>'д

: фі :а / (іг(<), 1 < і < 2п. (25)

' ІД-Д '

За цими спостереженнями будується оптимальна лінійна нея міщена оцін-М® = аг. Оитимальнз точка переключення ж® *= хд (п) вибирається так, Щоб дисперсія Оа* була мгаіизяьнею. Досліджено асимптотично оптимальну точку переключеній » Іішп-,«, го(я). Виявляється, що па Умови певної стабілізація шумів аа півтеріодах точка г^00* вміщена у пів-’»їріод, який відповідне менпіія інтенсивності шумій.

Основні реоультати днеергапії надруковані в наступних пралях:

1. Дороговцев А. Я., Коячиискпй В. Й., Кукуш А. Г. Предельные теоремы для эмпирических мер па измеримых пространствах, сверток мер в лпнепных нормированных прос гранстгіах Я асимитотяче-

скис свойства непараметрических оценок Ц ХУ всесоюзная юкола-коллоквиум по теории вероятностей ц ма г. статистике: ТЬо. докл, -1" Тбилиси, 1981.—С. 33-35. ^

3. Дороговцев А. Я., Курчепко Л. А., Кукуш Л. Г. Об одном новом случае существования линейных несмещенных опенок // Ияв. АН УССР. Сер. фшз.-мат. паук. — 1981. —- N 3 — С. 23-29.

3. Гречка Г. П., Кузнецов Г, М., Кукуш А. Г., Марьасов П. II. Авторское свидетельство N 186528. 'Заявка N 31)14132. Приоритет шк>-бретения 14 июня 1982 г. Зарегистрировано в Государственном реестре а-юбретешп СССР С> апреля 1982 г.

4. Гречка Г. П., Куеуш А. Г. Об «и ниа.тьнсм выборе режима наблюдений о задаче опенки среднего в присутствии мешающего параметра, линейно зависящего от времени // Йычпсл. и прикл. математика. — 1984. — N 54. — С. 95-105.

5. Дороговцев А. Я., Кукуш А. Г. Об оптимальном выбор« режима

наблюдений в задаче оценки среднего в присутствии мешающих па раметров и помех типа “белого шума,” // Теория вероятностей и мат. статистика. — 1984.—N30.— С. 38 -45. : 1

0. Дороговцев А. Я., Кукуш А. Г. Предельные распределения экстремумов одной стохастической модели оптимизации // Стохастическая оптимизация. Международная конференция. ■— Киев, 1984. —

Ч. I. — С. 77- 79.

7. Dorogovtsev A. Ya., Kukush A. G. On the limiting distribution of extremum points for certain stochastic optimizaticm model // Stochastic optimization (Kiev, 1984), Lect. Notes in' Control and Inform. Sci., 81, Springer, Berlin — New York, 1986. — P. 17-21.

8. Кукуш А. Г. Скорость сходимости оценки параметра нелинейной регрессии в бесконечномерном нростраястве ¡в модели с зависимы-

• ми ошибкаии // Теория вероятностей в ыат. статистика. — 1988.

— N 38. — С. 76-81.

9, Кукуш А, Г. Сходимость по распределению нормированной оценки бесконечномерного параметра регрессии // Докл. АН УССР. Сер. А. ■— 1988. — N 5. — С. 12-15.

10. Кукуш А. Г. Асимцтогическпе свойства оценки бесконечномерного параметра нелинейной регрессии // Математика сегодня: Сб. науч. тр. — Киев: Вища шк., 1989. — С. 54-105.

11. Кукуш At Г. О вероятности больших уклонений оценки параметра регрессии в гильбертовом пространстве // Теория вероятностей в мат. статистика. — 1989. — N 40. — С. 44-51.

12. Кукуш А. Г. Асимптотические свойства оценки бесконечномерного

. параметра регрессии / / Пятак Между нар. Вильнюс, хонф. по теории вероятностей и мат. статистике, Вильнюс, 1989 г. : Тео. докл.

— Вильнюс: Ин-т математики я кибернетики АН ЛитССР, 1989.

; — Т. 3. — С. 336-337. •

13. Кукуш А. Г. Асимптотическая нормальность проекционной оценки бесконечномерного параметра нелинейной регрессии // Укр. мат. журн. — 1993. — 45, N 9. — С. 1213-1222.

14. Кукуш О. Г. Збіжність оа розподілом нормованої проекційної оцінки неекшчекиовимірного параметра лінійної регресії // Теорія ймовірностей та мат. статистика. — 1993. — N 48. — С. 101-110.

15. Ktdmsh A. G. Asymptotic normality of projective estimator of infinitely dimensional parameter of regression // Sixth International Vilnius Conference on Probability Theory and Mathematical Statistics. Abstracts of Communications. — 1993. — V. 1. — P. 213-214.

16. Кукуш О. Г., Пянгелуе В. В. Слушність pi багтнпх оцінок нескін-черновяшрного Параметра регресії // Вісн. Київ, ун-ту. Сер. ма-

— 25—

тематики та фітин.'-— 1993; — N 2.—С. 42-49.

17. Дороговцев А. Я., Кукуш А. Г. Лспшїтотігіесіие свойства непараметрической оценки компенсатора неоднородного пу&ссоновско-го процесса // Міжнародна математична конференція, присвячена пам'яті Ґанса Ґана (Чернівці, 10-15 жовт. 1994 р.) : Тези доп. — Чернівці, 1994. ™ С. 42. '

Кукуш А. Г. Асимптотические свойства оценок бесконечномерных параметров случайных процессов. '

Диссертация на соискание ученой степени доктора фиоико-математи-ческих наук по специальности 01.01,05 —- теория вероятностей и математическая статистика, Ин-т математики НАН Украины, Киев, 1995.

Защищается 16 научных работ, в которых исследованы асимптотические свойства оценок бесконечномерных параметров случайных процессов. Получены условия состоятельности и асимптотической нормальности оценок наименьших квадратов бесконечномерного параметра нелинейной регрессии, а также доказаны теоремы о вероятности больших уклонений подобных оценок. Иоучено асимптотическое поведение одеи- , хи максимального правдоподобия функции интенсивности неоднородного пуассояовсхого процесса.

Kuiush A. G. Asymptotic properties of estimators of infinite dimensional parameters of random processes (Physics and Mathematics), specialization

— probability theory and mathematical statistics. Institute of Mathematics, Ukr. Nat. Ac. ScL, Kyiv, 1995.

16 scientific papets containing studies of asymptotic properties of infinite dimensional parameters estimators of random processes are defended. The conditions of consistency and asymptotic normality for the least squares estimators of an infinite dimensional parameter of nonlinear regression are obtained. Abo the theorems of large deviations of the estimators are proved. Asymptotic behaviour of the maximnm likelihood estimator of intensity function of а гювковюеежоаа Ромвов process k investigated.

Ключом сявьа: ияшам perpecU, несы1пеВяовим1рний параметр,

асишгготвчяа яорнальнк’ть, seimxi ухюш, йеоднорцщий пуассогЦвський

пронес, веаарамепяпва одаяха штенсиввост}.___________________

ГОдаГде^ Формат ёб х fei/l6 Пашр друк. Офс,

Яру*. Ум. друк. арх. 1,63. Ум. фарбо-В1дб. 1,63. Обл.-вид. арк. 1,0. Твраж

100 пр. Зам. 5‘L Беэгоштовво. . .. .

Угвдруховяяо ' '