Адаптивное и робастное управление динамическими сетями с запаздыванием на основе пассификации тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

На правах рукописи

Адаптивное и робастное управление динамическими сетями с запаздыванием на основе пассификации

Специальность 01.01.09 — дискретная математика и математическая кибернетика

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

- 3 ИЮЛ 2014

Санкт-Петербург 2014

005550294

005550294

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете.

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Фрадков Александр Львович

Официальные оппоненты: Чеботарёв Павел Юрьевич,

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник,

Институт проблем управления им.

В.А.Трапезникова Российской академии наук,

главный научный сотрудник

Феоктистова Варвара Николаевна,

кандидат физико-математических наук,

Федеральная ювелирная сеть 585,

аналитик

Ведущая организация: Национальный исследовательский университет

«Высшая школа экономики»

Защита состоится "24" сентября 2014 г. в 17 часов на заседании диссертационного совета Д 212.232.29 на базе Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199178, Санкт-Петербург, 10 линия В.О., д.33/35, ауд. 74.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9 и на сайте http://spbu.ru/science/disser/dissertatsii-dopushchennye-k-zashchite-i-svedeniya-o-гавЬсЬке.

Автореферат разослан "_"_2014 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.232.29, доктор физ.-мат. наук, профессор

В. М. Нежинский

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. В последние годы всё большее внимание исследователей привлекают задачи сетевого управления. Это связано, прежде всего, с повсеместным распространением сетей. Типичными примерами являются Интернет и телекоммуникационные сети, транспортные и энергетические системы, промышленные сети, молекулярные ансамбли, пищевые сети, клеточные и метаболические сети. С помощью сетей моделируют биологические колебания (циркадные ритмы), предсказывают распространение болезней и инфекций. Отдельного внимания заслуживают искусственные нейронные сети, которые, имитируя свойства биологических нейронных сетей, позволяют не только лучше понять и контролировать процессы, происходящие в биологических организмах, но и помогают исследователям создавать эффективные алгоритмы распознавания речи и изображений, синтезировать адаптивные регуляторы, стабилизирующие нелинейные системы. Структура многих из перечисленных сетей с каждым годом усложняется и исследовать такие системы без применения соответствующего математического аппарата становится трудно.

Несмотря на то, что уже опубликовано множество работ, посвященных сетевому управлению, распространение сетевых систем столь обширно и спектр возникающих задач столь широк, что остаётся множество нерешённых задач, некоторые из которых рассмотрены в данной работе.

Целью диссертационной работы является построение и анализ регуляторов, обеспечивающих синхронизацию динамических сетей при наличии запаздываний в состояниях, измерениях и управлениях. Для достижения поставленной цели в работе ставятся и решаются следующие задачи:

1. Получить условия синхронизации сетей с запаздываниями в связях с помощью децентрализованного адаптивного алгоритма управления.

2. Получить условия синхронизации динамических систем с помощью кон-сенсусного регулятора по запаздывающим измерениям.

3. Получить условия стабилизации линейной системы, адаптивно управляемой через сеть.

4. Получить алгоритмы стабилизации синхронных состояний сетей осцилляторов Ландау-Стюарта с запаздываниями в связях.

Методы исследований. Для достижения поставленной цели использовались методы теории управления: метод пассификации и метод скоростного градиента. Для исследования устойчивости систем с запаздыванием использовались метод функционалов Ляпунова-Красовского и метод функций Ляпунова-Разумихина.

ьъ

Научную новизну работы составляют следующие результаты:

1. Получены условия синхронизации сетей идентичных систем Лурье с мгновенными и запаздывающими нелинейными связями с помощью децентрализованного адаптивного регулятора (Теоремы 2.1-2.4) [4,6-8,12].

2. Для сетей идентичных систем Лурье с ограниченными возмущениями предложен адаптивный закон управления с регуляризацией, получены условия предельной ограниченности разностей состояний подсистем (Теоремы 2.5, 2.6) [5,10].

3. Для идентичных систем Лурье с липшицевыми нелинейностями получены условия синхронизации с помощью двух типов консенсусного регулятора по выходам с ограниченным запаздыванием (Теоремы 3.1, 3.2) [1,11].

4. Получены условия полуглобальной стабилизации линейных систем с помощью адаптивного регулятора на основе пассификации при наличии переменного запаздывания в измерениях и управлении (Теорема 4.1) [9].

5. Для линейных систем, адаптивно управляемых через сеть, получены условия на границы периода дискретизации и сетевых запаздываний, обеспечивающие асимптотическую устойчивость [9].

6. На основе метода скоростного градиента предложен алгоритм адаптивной подстройки фазы связей в сети осцилляторов Ландау-Стюарта, обеспечивающий устойчивость кластерных синхронных состояний [2,3].

Теоретическая значимость и практическая ценность. Полученные результаты обосновывают возможность использования адаптивных регуляторов на основе пассификации для стабилизации и синхронизации систем при наличии запаздываний в состояниях, измерениях и управлении. Кроме того, предложена целевая функция, позволяющая с помощью метода скоростного градиента синтезировать адаптивные регуляторы, обеспечивающие устойчивость кластерных синхронных состояний сетей осцилляторов Ландау-Стюарта.

Результаты диссертации позволяют найти допустимую величину запаздывания при которой адаптивные регуляторы на основе пассификации стабилизируют (синхронизируют) систему. В частности, для линейной системы, адаптивно управляемой через сеть, полученные результаты позволяют оценить допустимые величины периода дискретизации и сетевых запаздываний.

Апробация результатов. Результаты работы докладывались и обсуждались на семинарах кафедры теоретической кибернетики математико-механического факультета СПбГУ, на семинарах лаборатории управления сложными системами ИПМАШ РАН и на международных конференциях: 52пс1

4

IEEE Conference on Decision and Control, Firenze, Italy, 2013; IFAC International Workshop on Adaptation and Learning in Control and Signal Processing, Caen, France, 2013; European Conference on Complex Systems, Brussels, Belgium, 2012; The Sixth International Conference on Differential and Functional Differential Equations, Moscow, Russia, 2011; 50th IEEE Conference on Decision and Control and European Control Conference, Orlando, Florida, 2011; 14th International Student Olympiad on Automatic Control, Saint-Petersburg, Russia, 2011; 18th IFAC World Congress, Milano, Italy, 2011; 5th Intern. Conf. "Physics and Control", Leon, Spain, 2011.

Выполненный в ходе работы над диссертацией проект «Адаптивное управление нелинейными сетями с запаздыванием» был отмечен дипломом победителя конкурса грантов Санкт-Петербурга для студентов, аспирантов, молодых учёных, молодых кандидатов наук 2012 г. Доклад "Synchronization Algorithms for Dynamical Networks with Delayed Couplings", подготовленный в ходе работы над диссертацией и представленный на Международной студенческой олимпиаде по теории управления, был удостоен диплома второй степени за теоретический вклад. В 2013 году за научный проект «Алгоритмическое и программное обеспечение систем адаптивного сетевого управления с запаздыванием», выполненный в рамках работы над диссертацией, диссертант был удостоен стипендии Президента Российской Федерации для молодых учёных и аспирантов, осуществляющих перспективные научные исследования и разработки по приоритетным направлениям модернизации российской экономики, на 2013-2015 годы.

Результаты диссертации были получены в ходе работы по ФЦП «Кадры» (гос. контракты NN 16.740.11.0042, 14.В37.21.0247, соглашения NN 8846, 8855) и при поддержке РФФИ (проекты NN 11-08-01218, 12-01-31354, 13-08-01014) и использованы в перечисленных проектах.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 работ, в том числе 7 в изданиях из перечня ВАК. Работы [2-6,8-11] написаны в соавторстве. В работах [2, 3] A.A. Селивановым была предложена целевая функция, позволяющая синтезировать адаптивные регуляторы, стабилизирующие желаемые синхронные состояния сетей, а также проведены численные эксперименты, иллюстрирующие работоспособность получаемых алгоритмов управления. В работах [4,6,10] диссертанту принадлежат условия адаптивной синхронизации сетей взаимосвязанных систем при наличии запаздываний в связях. В [5] A.A. Селиванову принадлежат результаты раздела IV. В [8,9] диссертанту принадлежат формулировки и доказательства теорем, а соавторам — постановка задачи и выбор методов решения. В работе [11] A.A. Селиванову принадлежат результаты раздела IV.

Объем и структура работы. Диссертация объёмом 76 страниц состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы (114 источников).

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, формулируется цель и ставятся задачи работы, даётся обзор научной литературы по изучаемой проблеме, приводится краткое содержание работы по главам.

В первой главе приводятся вспомогательные сведения, относящиеся к системам с запаздыванием, даётся краткое описание методов пассификации и скоростного градиента, приводятся вспомогательные неравенства, используемые при получении основных результатов.

Во второй главе рассматривается задача синхронизации с лидером сети систем Лурье с мгновенными и запаздывающими нелинейными связями с помощью децентрализованного адаптивного алгоритма управления на основе пассификации.

В разделе 2.1 даётся математическая постановка задачи децентрализованного адаптивного управления. Рассматривается сеть, динамика которой описывается уравнением:

х¡(4) = А6 х{{€) + <Ро{Ь,х№) +

N N

где I; 6 I" - состояния, гг., £ Е - входы, уг <£ Ш1 - измеряемые выходы подсистем; неизвестные матрицы АДг, параметризованы через £ € Н, где Н -известное множество; начальные условия задаются непрерывными функциями

я ?еС[-л,о].

Делаются следующие предположения:

1. Существует вектор д 6 Кг такой, что € Н дробно-рациональная функция дтС^{в1 — является гипер-минимально-фазовой, т. е. её числитель является устойчивым многочленом с положительным старшим коэффициентом.

2. Функции и 1рг] кусочно-непрерывны по первому аргументу и глобально липшицевы по второму с постоянными Ьг] и Мг], соответственно.

3. Существуют функции Ф(4, х) и Ф(г, х) такие, что Ш ^ ¿0> г — 1, • • •, N

N N

¿=1 3=1

4. Запаздывание r(f) является дифференцируемой функцией такой, что для некоторых h > 0 и d

-h^t- r(t) < t, r(t) s^d< 1.

Предположение 3 гарантирует существование синхронного решения системы (1) при Ui = 0.

Предполагается, что каждому регулятору сети известен некоторый «синхронизирующий» сигнал - выход системы-лидера:

xL{t) = Afxj.it) + </>o(£, xL{t)) + Ф(г, xL{t)) + Ф (t, xL (t - r(t))) + ߣuL(i), yL{t) = C(xL(t),

(2)

где ui - известный управляющий сигнал. Начальные условия для системы (2) задаются непрерывной функцией x°L G С[—h, 0].

Задача заключается в построении адаптивных законов обратной связи

вида

Щ = Ui{t,yi,6i,yL,uL), Ôi = Qi(t,yi,9i,yL,uL), обеспечивающих на всех траекториях системы (1), (2) выполнение соотношений lim \\Xl{t) -zL(i)|| =0, г = 1,... ,N. (3)

t—voo

В разделе 2.2 на основе метода скоростного градиента получен децентрализованный адаптивный регулятор по выходу:

Ui(t) = -Of(t)[yi(t)-yL(t)]+uL(t),

г t^to, г — 1,... ,N, (4) 0i(t) = Г4[ю(«) - yL(t)] [y,(i) - yL{t)} «7,

где Г, € Rix' -положительно определённые матрицы, начальные данные 0г(1й) S Ж1 выбираются произвольно.

Как известно (Фрадков, А.Л. Синтез адаптивной системы стабилизации линейного динамического объекта// АиТ. - 1974. — № 12. - С. 96-103), для всякого £ S Е! предположение 1 (гипер-минимально-фазовость) гарантирует существование матрицы Р^ и вектора 0ç таких, что для некоторого е^ > 0 выполнены соотношения

Р(> 0, + P6B6 = C%g, (5)

где А, = Ас — BçOjCç. Из (5) следует, что подстановка и = —Ojy + v делает систему x(t) = A^x(t) + Bçu(t), y(t) = gTC^x{t) строго пассивной по отношению к новому входу v, т. е. существуют функции V(х) ^ 0 и <р{х) > 0 для х / 0, такие что (

V(x) < У(х(0)) + [ [f(t)v(t) - dt.

J о _

При исследовании системы (1), (2), (4) важную роль играет величина Р =

которая имеет смысл наименьшей степени устойчивости матриц А„. При формулировке результатов используются величины

N N

Ь = шах У^А? + М = тах

¿=1 ]=1

1

которые имеют смысл сил связей.

В подразделе 2.3.1 условия синхронизации получены для функции ip0, удовлетворяющей следующему предположению.

Предположение 5. Функция </?и(£, х) кусочно-непрерывна по первому аргументу и глобально липшицева по второму с постоянной Lq.

Теорема 2.1. Пусть выполнены предположения 1-5. Если L + М < р — 2L0, то адаптивный алгоритм управления (4) обеспечивает выполнение соотношения (3) на траекториях системы (1), (2), (4) и стремление настраиваемых параметров 9i(t) к постоянным значениям.

В подразделе 2.3.2 получены условия синхронизации для функции <р0, удовлетворяющей следующему предположению.

Предположение 6. Существует функция h,0(t,,C^x): [£0, оо) х R' —> R такая, что <fio{t,х) = B^ho(t, С^х) и для всех начальных условий из C[—h, 0] и кусочно-непрерывных щ уравнения (1), (2) имеют решения продолжимые на t ^ í0.

Теорема 2.2. Пусть выполнены предположения 1-4, 6 и

{yi - y2)Tg(h0{t, Ух) - h0{t, у2)) < о, Ví/ь у2 € Мг.

Если выполнено неравенство L + М < р, то адаптивный алгоритм управления (4) обеспечивает выполнение соотношения (3) на траекториях системы (1), (2), (4) и стремление настраиваемых параметров 0t(t) к постоянным значениям.

В подразделе 2.3.3 для случая линейных связей <рг], "фг] получены более точные условия синхронизации системы (1), (2), (4) (Теоремы 2.3, 2.4).

В разделе 2.4 рассматриваются системы с ограниченными возмущениями:

±i(t) = A(Xi(t) + ip0(t,Xi(t)) + B{Ui(t) N N

+ X) W) + Ys tía (*. xÁt ~ r{t))) + Mt), (6) j=i j=i

yi(t) = Ccxi{t), t^t0, i = l,...,N,

где Xi, щ, yi, А, В, С, щ, tpij, те же, что и в (1), и w, £ 1"- неизвестные ограниченные функции: ^ Ai, г = 1,..., N.

Вместо предположения 4 делается следующее предположение:

4'. Запаздывание r(i) является дифференцируемой функцией такой, что

О < r(t) < h, r(t) < d < 1. Рассматривается следующая цель управления:

N

}imJ2\\^(t)~xL(t)\\2 ^Ь, (7)

t—>оо z—J ¿=1

где b > 0 - заданное число.

В случае систем с возмущениями для обеспечения ограниченности в регулятор добавляется отрицательная обратная связь:

Ui(L) = -ei(L)T[yi{L) - yL{i)} + ul(L), 0i(t) = r4[tt(t) - yL(t)} [Vl{t) - yL(t)]Tg - crQi{t),

где Г; € Ш.ш - положительно определённые матрицы, а > 0, 6i(tо) € Мг. Введём обозначение:

(8)

Mi, = шах

г=1.....N ¿-J

j=l

Теорема 2.5. Пусть выполнены предположения 1—3, 4', 5. Если

Ь + М11<р-2Ь0, а = ^(р-2Ь0-Ь-Ми) ,

то адаптивный алгоритм управления (8) обеспечивает выполнение соотношения (7) с

, Ашах(^) У^ д 2 , 1 дТт-1а

где Р{, из (5), на траекториях системы (6), (2), (8) и ограниченность настраиваемых параметров 0^).

Теорема 2.6. Пусть выполнены предположения 1-3, 4', 6 и

(У1 - У2)Т9Ы^У1) - Ло(*. й)) 0, Ууьу2 € Кг.

Если

Ь + Мн<р, а = -(р-Ь- Лн) , 9 *

то адаптивный алгоритм управления (8) обеспечивает выполнение соотношения (7) с

где Pç, 6ç из (5), на траекториях системы (6), (2), (8) и ограниченность настраиваемых параметров

В разделе 2.5 на примере сети четырёх связанных систем Чуа продемонстрирована эффективность полученных результатов, приведены способы вычисления величин, необходимых для проверки условий теорем. Кроме того, продемонстрировано преимущество адаптивного регулятора перед статическим, которое заключается в меньших предельных значениях коэффициентов усиления в законах обратной связи.

В третьей главе рассматривается задача синхронизации идентичных системы Лурье с помощью управляющего сигнала, который строится как взвешенная сумма разностей запаздывающих выходов соседних узлов.

В разделе 3.1 даётся математическая постановка задачи консенсусного управления. Рассматриваются N систем

ii(t) = Axi(t) + <p{t, Xi(t)) + Вщ{г),

yi{t)=Cxi{t), i = l,...,N, (9)

где ïj € 1" - состояния, и, £ К - входы, t/j éR'- измеряемые выходы систем; постоянные матрицы А, В, С имеют подходящие размерности. Предполагается, что функция ip(t,x) кусочно-непрерывна по первому аргументу и глобально липшицева по второму с постоянной L,p. В отличие от второй главы, здесь предполагается, что регулятору г-ой системы доступны измерения с некоторых «соседних» узлов, при этом на передачу информации от j-ото узла к г-ому необходимо время Tij(t). Рассматриваются законы обратной связи двух типов:

N

Ui(t) = к^яаШут - yj(t - ry(t))), (10)

j=i

N

Ui(i) = - »*(«)) - yj(t - ry(i))), (11)

j=1

где К € Rlx' - вектор-строка коэффициентов усиления, gij(t) ^ 0 — ограниченные, кусочно-непрерывные функции, определяющие какие измерения доступны регуляторам, такие что ди(Ь) = 0 для всех i = 1,..., TV. Регуляторы (10), (11) называются консенсусными и возникают в ряде областей физики, биологии и

10

социологии. В (10) вычисляется разница между текущим выходом г-ой системы и запаздывающим выходом j-ой системы, что не требует знания величины запаздывания. Если величины запаздываний известны, то возможно построить регулятор (11), а если вдобавок ry(i) = то вычисляется разность меж-

ду выходами систем в одно и то же время. Поскольку в случае синхронизации системы регулятор (11) обращается в ноль, его наличие не меняет синхронное решение систем (9) (с щ = 0), а лишь изменяет его устойчивость. Регулятор

(11) возникает, если измерению доступны только разности выходов, например, если летательный аппарат с некоторым запаздыванием измеряет расстояние до ближайших соседей.

Далее под синхронизацией понимается выполнение соотношений

lim(a:i(i)-a:j(i))=0, i,j = l,...,N (12)

f-»oo

на траекториях системы (9) (с некоторыми щ).

При формулировке условий синхронизации накладывается следующее предположение.

Предположение 7. Существует вектор j £ К' такой, что функция gTC(sI — А)~1В является гипер-митшалыю-фазовой.

В разделе 3.2 получены условия синхронизации систем (9) с помощью закона обратной связи (10) при выполнении следующего предположения, обеспечивающего существование синхронного решения системы (9), (10).

Предположение 8. 3c(i),r(i),h: Vi ^ 0,\fi,j = 1,N

N

£>*(«) = c(t), rij(t) = r(t), 0 ^ r(t) ^ h.

k=1

Определим матрицу L(t) = {/y(i)}ij=i> где ¿¿j(t) = — gtj{t), если i / j, hj{t) = Y!k=i9ik{t), если i = j. Введём обозначения G(t) = {9ij{t)}^j=1, 1 = (1,...,1)T,0 = (0,...,0)T,

«=(iX,)- ^"«-(и'од)'

где Л (i), f2(i) - некоторые матрицы.

Теорема 3.1. Пусть выполнены Предположения 7, 8 и для некоторого А„ > 0

A(t) + AT(t)>\J. (13)

Тогда для достаточного большого к существуют достаточно малые h и Lv такие, что закон обратной связи (10) с К = —kgT обеспечивает выполнение

(12) на траекториях системы (9), (10) для любых начальных данных.

11

В разделе 3.3 получены условия синхронизации систем (9) с помощью закона обратной связи (11) при выполнении следующего предположения, обеспечивающего существование синхронного решения системы (9), (11).

Предположение 9. 3h: Vi ^ 0, Vi, j = 1,..., N

rij(t) = rji(t), rij(L) < h.

Теорема 3.2. Пусть выполнены Предположения 7,9 и для некоторого Л» > О

A(f) + Лт(£) ^ XJ. (14)

Тогда для достаточного большого к существуют достаточно малые h и Lv такие, что закон обратной связи (11 ) с К = —kgT обеспечивает выполнение (12) на траекториях системы (9), (11) для любых начальных данных.

Если матрица L(t) постоянна и симметрична, т. е. граф связей не изменяется и не ориентирован, то условия (13), (14) равносильны связности графа.

В четвёртой главе рассматривается задача адаптивной стабилизации линейной системы при наличии переменного неизвестного запаздывания в управлении и измерениях.

В разделе 4.1 приводится математическая постановка задачи. Рассматривается неопределённая линейная система

x(t)=Asx(t) + Bu(t~r1(t)), х(0) = х0,

y(t) = Cx(t-r2(t)), (15)

где х е R" - состояние, и е К - вход, у е PJ - измеряемый выход системы. Предполагается, что y(t) = 0 при t — r2(t) < 0. Делаются следующие предположения:

10. Неизвестная матрица Aj лежит в известном политопе

N N

A^^àAi, <1, ¿6 = 1. (16)

¿=1 i= 1

11. Существует вектор g е R' такой, что gTC(sI - А^)~1В гипер-минималыю-фазовая (имеет устойчивый числитель с положительным старшим коэффициентом) для всех Л^ из (16).

12. Существуют hu h2 такие, что: 0 < ri(i) < Ль 0 ^ r2(t) < h2.

13. Существует единственное t* > 0 такое, что

Г I - r(t) <0, i < £„

где r(t) = n(i) + r2(t - ri(t)).

Рассматривается адаптивный регулятор

u(t) = -k(t)gTy(t),

т = 1~2 {gTy{t))\

где к, 7 е К, 7 > 0, д нз предположения 11.

В разделе 4.2 получены условия выполнения соотношений

lim ||a;(i)ll = 0, lim k(t) = const

£-> ос t—>oc

на траекториях системы (15), (17).

(18)

Теорема 3.3. Пусть выполнены Предположения 10-13 и для заданных значений Мк > О, > 0, к* > 0 существуют п х п матрицы Р > 0, 5 > О, Я > 0, бь С2, бз такие, что:

Hi(a,b, с)

<0, г = 1,..., 7V,

а±Мк,Ь±Мк,с±М,

РВ = СТд, дЛ ^ 0, j = 1,2,3,

где

(Н[ Н2(с) * -R

Hi(a,b,c) =

\

О Я3 НЛ(а) tiA'[R\

R Hr>(a) —hGi Н7(Ь)

-(S + R) М?2 /iGi О

* —h2R HG(a) О

* * -/*2Я О

* * * — R )

Н[ = Р\Аг - BktgTC} + [At - BKgTC]TP + S, H2(c) = cPBgTC, #з = kthPBgTC,

Щ(а) = k*hPBgTC - ahPBgTC, HTl{a) = ahCTgBTP - hG2, Hß(a) = ah2PBgTC - h2(G3)T, H7(b) = hbCTgBTR - hKCTgBTR, h = hi + h2. Предположим, что

hi s:

MiAmin(P) Ml\\gTCr

Тогда для любого 8 > 0 существует число 7 > О такое, что для всех начальных условий

В разделе 4.3 для системы, адаптивно управляемой через сеть, показано, что полученные результаты позволяют найти оценки на допустимые величины периода дискретизации и сетевых запаздываний. Это важное приложение продемонстрировано в разделе 4.4 на примере летательного аппарата, адаптивно управляемого через сеть.

В пятой главе предложены алгоритмы подстройки фазы связей (coupling phase), обеспечивающие устойчивость различных кластерных синхронных состояний сети осцилляторов Ландау-Стюарта.

Рассматривается сеть, состоящая из N осцилляторов, соединённых связями с запаздыванием:

Zj(t) = [Л + %ш - (1 + ij)\zj\2]zj + Ке* ain\zn{t -r)- Zj{t)}, (19)

где j = 1,... ,N, zj = TjC19' G С - состояния осцилляторов, г - постоянное запаздывание, Л, ш, 7 - вещественные коэффициенты, ш ф 0.

Уравнения (19) имеют синхронные решения с общей амплитудой rj = Гц.,,, и фазами tpj = £lmt + jAtp m? ГД6 i^rn общая частота, A(pm = 2nm/N - сдвиг по фазе. Целое число то определяет одно из возможных кластерных синхронных состояний.

В работе (C.-U. Choe, Т. Dahms, Р. Hövel, Е. Schöll. Controlling synchrony by delay coupling in networks: From in-phase to splay and cluster states // Physical Review E. - 2010. - Vol. 81, no. 2. - P. 025205) показано, что параметр ß определяет устойчивость различных кластерных синхронных состояний сети осцилляторов Ландау-Стюарта. Для нахождения значения ß, обеспечивающего устойчивость желаемого синхронного состояния, необходимо решать уравнения, содержащие параметры системы. Для случая неизвестных параметров системы в разделах 5.2, 5.3 предлагается использовать адаптивный алгоритм подстройки параметра ß. Для этой цели предлагается использовать целевую функцию

Wei, fc(0) € [k, - Mk, fc„] решения системы (15), (17) удовлетворяют свойству (18).

N

71 = 1

где

N N

й - желаемое число кластеров, символ р\(1 означает, что р является делителем й. Для получения необходимого алгоритма подстройки метод скоростного градиента применяется к целевой функции (20):

где Г - положительное число.

Работоспособность получаемых алгоритмов иллюстрируется результатами численного моделирования.

В заключении приведены основные результаты работы.

Публикации автора по теме диссертации

1. Селиванов, А. Управление синхронизацией сетей с нслинсйностями и запаздывающими связями / А. Селиванов // Вестник Нижегородского университета им. Н.ИЛобачевского. — 2013. — № 1(3). — С. 265—271.

2. Adaptive synchronization in delay-coupled networks of Stuart-Landau oscillators / A. Selivanov, J. Lehnert, T. Dahms et at. // Physical Review E. — 2012. - Vol. 85, no. 1. - P. 016201.

3. Control of Synchronization in Delay-Coupled Networks / E. Scholl, A. Selivanov, J. Lehnert et al. // International Journal of Modern Physics B. — 2012. - Vol. 26, no. 25. - P. 1246007.

4. Decentralized Output Feedback Synchronization of Dynamical Networks / A. Fradkov, G. Grigoriev, I. Junussov, A. Selivanov // The Sixth International Conference on Differential and Functional Differential Equations. — 2011. — P. 22-23.

5. Fradkov, A. Decentralized adaptive controller for synchronization of dynamical networks with delays and bounded disturbances / A. Fradkov, G. Grigoriev, A. Selivanov // IEEE Conference on Decision and Control and European Control Conference. — 2011. — P. 1110-1115.

6. Fradkov, A. Passification Based Controlled Synchronization of Complex Networks / A. Fradkov, I. Junussov, A. Selivanov // European Conference on Complex Systems. - 2013. - P. 993-996.

7. Selivanov, A. Adaptive synchronization of networks with nonlinear delayed interconnections / A. Selivanov // International Student Conference "Science and Progress". - 2011. - P. 81.

8. Selivanov, A. Adaptive synchronization of nonlinear networks with delayed couplings under incomplete control and incomplete measurements / A. Selivanov, A. Fradkov, E. Fridman // IFAC World Congress. — 2011. — P. 1249-1254.

9. Selivanov, A. Adaptive Control of Systems with Fast Varying Unknown Delay in Measurements / A. Selivanov, E. Fridman, A. Fradkov // IEEE Conference on Decision and Control. — 2013. — P. 5583-5587.

10. Selivanov, A. Adaptive synchronization of networks with bounded disturbances or delays under incompleteness of measurement and control / A. Selivanov, G. Grigoriev, A. Fradkov // International Conference "Physics and Control". — 2011. - http://lib.physcon.ru/doc?id=2a3dddla33bb.

11. Selivanov, A. Robust and Adaptive Passification Based Consensus Control of Dynamical Networks / A. Selivanov, I. Junussov, A. Fradkov // IFAC International Workshop on Adaptation and Learning in Control and Signal Processing. - 2013. - P. 707-711.

12. Selivanov, A. Synchronization Algorithms for Dynamical Networks with Delayed Coupling / A. Selivanov // International Student Olympiad on Automatic Control. - 2011. - P. 31-36.

Подписано в печать 03.06.2014 Формат 60x90/16 Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,25 Тираж 100 экз. Заказ 239

Отпечатано в типографии «Адмирал» 199178, Санкт-Петербург, В.О., 7-я линия, д. 84 А

Санкт-Петербургский государственный университет

На правах рукописи

04201460878

Селиванов Антон Антонович

тивное и робастное управление динамическими сетями с запаздыванием на основе пассификации

01.01.09 Дискретная математика и математическая кибернетика

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор Фрадков А.Л.

Санкт-Петербург 2014

Содержание

Введение..............................................................................................4

1 Предварительные сведения....................................................................9

1.1 Системы с запаздыванием ................................................................9

1.2 Метод пассификации ......................................................................11

1.3 Метод скоростного градиента ............................................................13

1.4 Вспомогательные неравенства............................................................14

2 Децентрализованное адаптивное управление взаимосвязанными системами с запаздыванием ....................................................................................16

2.1 Постановка задачи..........................................................................16

2.2 Построение адаптивного регулятора......................................................18

2.3 Условия синхронизации....................................................................19

2.3.1 Липшицевы нелинейности........................................................20

2.3.2 Согласованные нелинейности....................................................22

2.3.3 Случай линейных связей..........................................................23

2.4 Предельная ограниченность возмущённых систем......................................25

2.4.1 Липшицевы нелинейности........................................................27

2.4.2 Согласованные нелинейности....................................................29

2.5 Пример: сеть систем Чуа..................................................................29

3 Робастная синхронизация сетей с помощью консенсусного регулятора................34

3.1 Постановка задачи..........................................................................34

3.2 Консенсусный регулятор первого типа ..................................................35

3.3 Консенсусный регулятор второго типа....................................................38

4 Адаптивное управление с переменным запаздыванием в управлении и измерениях 42

4.1 Постановка задачи......................................................................42

4.2 Основной результат........................................................................43

4.3 Адаптивное управление через сеть........................................................49

4.4 Пример: управление углом рыскания самолёта..........................................51

5 Адаптивная синхронизация сети осцилляторов Ландау-Стюарта......................53

5.1 Постановка задачи..........................................................................53

5.2 Фазовая синхронизация....................................................................54

5.3 Кластерная и равномерно-фазовая синхронизация......................................57

Заключение..........................................................................................64

Список рисунков....................................................................................66

Литература ..........................................................................................67

Введение

В последние годы всё большее внимание исследователей привлекают задачи сетевого управления [24,29,69,90,98,104]. Это связано, прежде всего, с повсеместным распространением сетей. Например, каждый из нас является частью социальной сети [15, 16,97]. Другими примерами являются Интернет [41,50] и телекоммуникационные сети [14], транспортные и энергетические системы [32,75], промышленные ссти, молекулярные ансамбли, пищевые сети [28,101], клеточные и метаболические сети [22,49] и др. С помощью сетей моделируют биологические колебания (циркадные ритмы) [59,91, 102], предсказывают распространение болезней и инфекций [53,79]. Отдельного внимания заслуживаю! искусственные нейронные сети [30,54], которые, имитируя свойства биологических нейронных сетей, позволяют не только лучше понять и контролировать процессы, происходящие в биологических организмах, но и помогают исследователям создавать эффективные алгоритмы распознавания речи и изображений [73,87], синтезировать адаптивные регуляторы, стабилизирующие нелинейные системы [25,96]. Кроме того, снижение стоимости компьютеров сделало возможным создание сетей примитивных роботов, каждый из которых малофункционален, но сообща эти роботы способны выполнять сложные задачи. Например, группа летательных или подводных аппаратов может осуществлять захват цели или составлять карту местности. Структура многих из перечисленных сетей с каждым годом усложняется и исследовать такие системы без применения математического аппарата становится трудно.

Формально сетевую систему определяют как сложную динамическую систему, составленную из большого числа простых систем, соединенных физическими или информационными связями. Поскольку скорость передачи данных (воздействий) по коммуникационной среде ограничена, в сетях неминуемо возникают запаздывания, наличие которых может привести к дестабилизации [62]. Запаздывания могут входить в состояния, измерения или управление системы; они могут быть постоянными и переменными, известными и неизвестными. В данной работе рассмотрены многие возникающие случаи: во второй и пятой главах запаздывание присутствует в состоянии системы, в третьей - в измерениях, в четвертой - в управлении и измерениях. Во всех главах рассматривается задача синхронизации, которую определяют как «совпадение или

сближение переменных состояний двух или нескольких систем, либо согласованное изменение некоторых количественных характеристик систем» [10]. Например, задача поддержания летательными аппаратами заданной формации с помощью линейной замены переменных сводится к задаче стабилизации общего синхронного решения.

В существенной части диссертационной работы рассматриваются неопределённые системы, т. с. системы, некоторые значения параметров которых известны неточно. Неопределённости в системах возникают в силу разных причин: при проектировании регулятора могут быть неизвестны значения некоторых параметров системы, в процессе функционирования параметры могут меняться (например, уменьшается масса самолёта при сгорании топлива). Эффективным методом стабилизации таких систем является адаптивное управление на основе пассификации [1].

Несмотря на то, что уже опубликовано множество работ, посвящённых сетевому управлению, распространение сетевых систем столь обширно и спектр возникающих задач столь широк, что остаётся множество нерешённых задач, некоторые из которых рассмотрены в данной работе.

Целью диссертационной работы является построение и анализ регуляторов, обеспечивающих синхронизацию динамических сетей при наличии запаздываний в состояниях, измерениях и управлениях. Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие задачи:

1. получить условия синхронизации сетей идентичных систем Лурье с запаздываниями в связях с помощью децентрализованного адаптивного алгоритма управления;

2. исследовать децентрализованный адаптивный алгоритм управления сети идентичных систем Лурье с запаздываниями в связях при наличии ограниченных возмущений;

3. получить условия синхронизации идентичных систем Лурье с помощью консенсусного регулятора по запаздывающим измерениям;

4. получить условия стабилизации линейной стационарной системы с помощью адаптивного регулятора при наличии переменных запаздываний в измерениях и управлении;

5. результаты п. 4 применить к линейной системе, управляемой через сеть с помощью адаптивного регулятора;

6. найти целевую функцию, позволяющую с помощью метода скоростного градиента вывести алгоритмы стабилизации различных синхронных состояний сети осцилляторов Ландау-Стюарта с запаздываниями в связях.

В первой главе диссертационной работы приводятся вспомогательные сведения, необходимые для формулировки и доказательства основных результатов.

Во второй главе рассматривается задача синхронизации с лидером связанных систем Лурье с мгновенными и запаздывающими нелинейными связями с помощью децентрализованного адаптивного алгоритма управления. В данной постановке предполагается, что регулятору подсистемы не доступны измерения с других узлов, влияющих на динамику данной подсистемы. Хотя задачи децентрализованного управления взаимосвязанными системами изучались ранее, в большинстве существующих работ (например, [13,55,63,110,112-114]) рассматриваются системы с линейными связями и строится обратная связь по состоянию. Более того, управление, как правило, входит во все уравнения системы. Такие модели оказываются слишком ограничительными на практике, где во внимание следует принимать неполноту измерений и управления, нелинейные переключающиеся связи. Во второй главе получены границы на постоянные Липшица нелинейных связей, при которых синхронизация достигается при использовании адаптивного регулятора по выходу. Поскольку децентрализованный регулятор не может учесть влияние связей, их воздействия должны быть достаточно малыми. Затем, для систем с ограниченными возмущениями рассмотрен модифицированный адаптивный алгоритм и получены условия предельной ограниченности разностей состояний подсистем. Условия синхронизации и предельной ограниченности сформулированы для двух типов локальной нелинейности: липшицевой и согласованной. Результаты этой главы отчасти основаны на результатах, изложенных в [2], и распространяют их на случай переменных связей с запаздываниями при ограниченных возмущениях.

В третьей главе рассматриваются идентичные системы Лурье, для которых управляющий сигнал строится как взвешенная сумма разностей выходов соседних узлов. Такой регулятор называется консенсусным [3,12,20,44,52,74,107,109] и возникает во многих областях, включая физиологию [37,86], нейробиологию [26,36,42], электрические [95,103] и механические [27,78,108] системы. В данной работе предполагается, что передача измерений между агентами происходит с некоторой задержкой, что приводит к возникновению запаздывания. Хотя проблемам консен-сусного управления с запаздыванием посвящено множество статей [23,70,92,93,105,106], в подавляющем большинстве работ рассматривается обратная связь по состоянию при полном управлении или управляемости системы. В [88, 89] рассматривается обратная связь по запаздывающим измерениям для полупассивных систем. В третьей главе диссертационной работы получены условия на локальную динамику систем и топологию сети, обеспечивающие синхронизацию при достаточно малом запаздывании и достаточно большом коэффициенте усиления в консенсусном регуляторе по выходам. В отличие от свойства полупассивности, накладываемого в [88, 89], для проверки пассифицируемости системы, рассматриваемому здесь, существует простой критерий. Кроме того, класс пассифицируемых систем включает в себя некоторые не полупассивные системы, например, хаотическую систему Чуа.

В четвёртой главе рассматривается задача адаптивной стабилизации линейной системы при наличии переменного неизвестного запаздывания в управлении и измерениях. Существует множество статей, в которых рассматриваются адаптивно управляемые системы с запаздыванием в состоянии [21,65,66, 111]. Случай запаздывания в управлении и измерениях является более сложным [11,58], поскольку регулятор лишён возможности влиять на систему сразу после получения измерений. Кроме того, в таких системах часто неприменима обратная связь с большим коэффициентом усиления. Известно не так много работ, посвящённых адаптивной стабилизации с запаздыванием в измерениях и управлении. Одной из первых является монография [11], где идеи адаптивного управления на основе пассивности естественным способом распространены на системы с постоянным запаздыванием в управлении и измерениях К недостаткам такого подхода можно отнести то, что получаемые адаптивные регуляторы являются бесконечномерными и их применение на практике может оказаться затруднительным. В [31,94] предложены и исследованы адаптивные регуляторы по состоянию с пост оянным запаздыванием в управлении. В [67] рассмотрен адаптивный регулятор по выходу на основе пассификации с постоянным запаздыванием в управлении. Важно понимать, что для линейных стационарных систем с постоянным запаздыванием нет почти никакой разницы между запаздыванием в управлении и измерениях, поскольку передаточная функция одна и та же. Гораздо более сложным случаем является переменное запаздывание, при котором запаздывания в управлении и измерениях нужно рассматривать отдельно. Для решения задачи в такой постановке можно предполагать, что разница между текущим и запаздывающим сигналами достаточно мала [19,68], но это предположение является слишком ограничительным и его трудно проверить. В отличие от перечисленных выше работ в четвёртой главе диссертации линейная стационарная система с переменным запаздыванием в измерениях и управлении стабилизируется с помощью простого адаптивного закона обратной связи по выходу. Если система без запаздывания устойчива, то приведённые здесь условия дают оценку на допустимую максимальную величину переменного запаздывания, при которой система остаётся устойчивой. Более того, для систем, адаптивно управляемых через сеть, полученные результаты позволяют найти оценку на период дискретизации и запаздывания, вызванные необходимость передачи данных через сеть. Это важное приложение демонстрируется на примере адаптивного управления через коммуникационную сеть углом рыскания летательного аппарата.

В пятой главе диссертационной работы рассматривается сеть осцилляторов Ландау-Стюарта [76,77]. Система Ландау-Стюарта описывает слабо нелинейную динамику в окрестности точки бифуркации Андронова-Хопфа. Комплексные силы связей, появляющиеся в этих системах из-за комплексных переменных состояния, возникают естественным образом в системах с оптическими связями [18,43]. Как было продемонстрировано в [35], изменяя фазу связей (coupling phase),

можно переключаться между различными синхронными состояниями сети. Для нахождения подходящего значения фазы связей необходимо решать уравнение, содержащее параметры системы, которые могут быть неизвестны. Основным результатом пятой главы является универсальная целевая функция, с помощью которой на основе метода скоростного градиента выводятся адаптивные законы подстройки фазы связей, обеспечивающие устойчивость различных синхронных состояний сети осцилляторов Ландау-Стюарта. В качестве подтверждения работоспособности получаемых алгоритмов представлены результаты численного моделирования.

В Заключении перечислены основные результаты работы.

По теме диссертации опубликовано 12 работ [6, 17,34,38,46,47,80-85], в том числе 7 в изданиях из перечня научных журналов, рекомендованных Высшей аттестационной комиссией для публикации основных научных результатов диссертаций, 6 работ в изданиях из баз цитирования Web of Science и Scopus. Основные результаты представлены на 9 всероссийских и международных конференциях.

Глава 1

Предварительные сведения

1.1 Системы с запаздыванием

Зафиксируем некоторое ¡1 > 0, которое в дальнейшем будет иметь смысл максимальной величины запаздывания Через ^ обозначим сужение функции ь( ) на промежуток [£ — Н, I]

/■,(«) = г(г +?), ее [-Ь 0]

Рассмотрим функциональное дифференциальное уравнение с запаздыванием

т(1) = Л1г1) о (11)

где т £ К", / [/о ~гоо) х С[—Ь 0] —» Мп Начальные данные для (1 1) зададим функцией </?( )

г,0( ) = </>(), <р() еС[/о-Мо] (12)

Теорема 1.1 (Существования и единственности). Пусть для [ выполнены условия (г) V// > 0 3М(П) > 0

Мс<П^\\Г(1 ^)ИМ(Я) (п,) Функционап / непрерывен по обоим аргументам,

(ш) Функционал / удовлетворяет условию Липшица по второму аргументу V// > 0 3 (//) есчи < II, ||/'|| ^ И> то

Тогда для некоторого т > 0 на промелсутке [¿0 — Ь. 'о + т] существует единственное решение задачи Коши (1 1), (1 2)

Доказательство можно найти в [57, Георема 1 1]

Теорема 1.2 (о продолжимосш решений). Пусть для системы (11) выполнены условия Теоремы 1 1 Предположим, что f удовлетворяет неравенству

IIf{t v)ll^(Mlc),

где r¡ G С [О Ч ос) неубывающая функция такая, что Vio ^ О

1Н dr lim / —— = +оо

/í^+оо JrQ 77(7)

Тогда на [iо +оо) суилествует единственное решение задачи Коши (1 1) (12)

Доказательство можно наши в [57, Теорема 1 2]

Далее будем предпола! ат ь, что f(t 0) = 0, что гарантирует существование нулевого решения — 0 у (1 1)

Определение 1.1. Нулевое решение уравнения (1 1) равномерно асимптотически устойчиво, если

(i) для любого z > 0 и любого Iо существует п(е) > 0 такое что если ||tío||c < ¿(f), то |з (í)| < £ для t ^ t0,

(и) существует 5а > 0 такое, что для любого г/ > 0 существует Т(да rj) такое, что если ||T¿0llc < ^а то |x(f)| < r¡ для t ^ í0 + T(v) ut0eM.

Тривиапьное решение называется гпобапьно равномерно асимптотически устойчивым, если в (и) да может быть произвольно бопьшим конечным числом Система называется равномерно асимптотически устойчивой еспи ее нупевое решение равномерно асимптотически устойчиво

Эффективными методами исследования устойчивости систем с запаздыванием являются метод функционачов Ляпунова Красовского [4] и метод функция Ляпунова-Разумихина [5]

Функционалы Ляпунова-Красовского - это естественное обобщение пр