Адаптивное управление сетевыми динамическими системами

Джунусов, Ибрагим Алпысбаевич

Адаптивное управление сетевыми динамическими системами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

Джунусов, Ибрагим Алпысбаевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Санкт-Петербург МЕСТО ЗАЩИТЫ

2010 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.09 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Адаптивное управление сетевыми динамическими системами»

Автореферат диссертации на тему "Адаптивное управление сетевыми динамическими системами"

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

004603324 Джунусов Ибрагим Алпысбаевич

АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ СЕТЕВЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ

01.01.09 — Дискретная математика и математическая кибернетика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 о ИЮН 2010

Санкт-Петербург

2010

004603824

Работа выполнена на кафедре теоретической кибернетики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета

Научный руководитель: доктор технических наук,

профессор Фрадков Александр Львович Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

вета Д.212.232.29 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 191011, Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, 27, ауд. 311 (помещение ПОМИ РАН).

Адрес диссертационного совета: 198504, Санкт-Петербург, Ст. Петергоф, Университетский пр., 28.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

профессор Граничин Олег Николаевич

(Санкт-Петербургский государственный университет)

кандидат физико-математических наук, Ананьевский Михаил Сергеевич (Институт проблем машиноведения РАН)

Ведущая организация: Институт проблем управления РАН

Защита состоится " " _2010 г. в 1*6

часов на заседании со-

Автореферат разослан " ^ "

2010 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д.212.232.29 доктор физ.-мат. наук, профессор

В. М. Нежинский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Математические задачи управления в сетях динамических систем активно исследуются в последнее десятилетие. Это связано с наличием широкого класса приложений, в числе которых задачи управления движением групп мобильных роботов, синхронизации в энергосистемах, управления беспилотными летательными аппаратами, управления флотилиями автономных судов и т.п. Задачи управления в сетях характеризуются требованиями полной или частичной децентрализованности регуляторов, естественно следующими из описания реальных сетевых объектов, а также ограничениями на возможности измерения и управления при построении регуляторов. Синтез регуляторов, обеспечивающих желаемое поведение объектов в направленных сетях (т.е. описывающихся с помощью ориентированных графов), является более сложной задачей по сравнению с такой же задачей в ненаправленных сетях, ввиду уменьшения информационного трафика.

Задачи управления сетями исследовались в работах A.A. Воронова, Б.М. Миркина, A.J1. Фрадкова, Д.Д. Сильяка, P.M. Мюррея и многих других авторов. Несмотря на большое количество публикаций по этой тематике, пока решен лишь ограниченный класс таких задач, поскольку они затруднены сложностью и пространственной распределенностью объектов сетей, а также ограничениями на обмен информацией между ними.

В некоторых работах предполагается доступность для измерения всего состояния отдельного объекта сети, а также вхождение управления во все уравнения подсистем, либо предлагается использование наблюдателей. Подобные предположения являются ограничительными при практической реализации систем регулирования, особенно при большой размерности пространства состояний объектов и (или) большом количестве этих объектов в сети.

Целью работы является синтез регуляторов, обеспечивающих сходимость между собой решений динамических систем, образующих сети, при неполных измерениях и управлениях для различных случаев.

Методы исследований включают методы пассификации и скоростно-

го градиента в задачах децентрализованного управления, предложенные А.Л. Фрадковым, а также частотную теорему (лемма Якубовича-Калмана). Научную новизну работы составляют следующие результаты.

1. Синтезированы децентрализованные адаптивные регуляторы для сетей, состоящих из взаимосвязанных объектов в форме Лурье. Получены условия достижения цели управления, заданной как сходимость решений всех подсистем и решения ведущей подсистемы в следующих случаях: случай глобально липшицевых нелинейностей, случай обобщенно монотонных нели-нейностей, случай согласованности структуры структуры подсистем сети со структурой лидирующей подсистемы.

2. Синтезирован децентрализованный адаптивный регулятор для сетей, состоящих из неидентичных взаимосвязанных объектов в форме Лурье. Получены условия достижения цели управления, заданной как сходимость решений всех подсистем и решения ведущей подсистемы для случая согласованности структуры подсистем сети с лидирующей подсистемой.

3. При помощи метода пассификации найдены условия достижения синхронизации по выходу в сетях линейных объектов при неполных измерениях и управлениях с помощью статических регуляторов без построения наблюдателей.

Теоретическая и практическая ценность. Для сетей идентичных и неидентичных систем Лурье с помощью метода скоростного градиента синтезированы адаптивные регуляторы при неполных измерениях и управлениях, не использующие информации о параметрах объектов сети и применимые в условиях неопределенности. Для различных случаев получены условия достижения цели управления в замкнутой системе, отличающиеся от известных использованием леммы Якубовича-Калмана и теоремы о пассификации. Условия достижения цели управления могут быть сформулированы в терминах входящих степеней вершин графа связей сети. На основе метода пассификации найдены достаточные условия достижения цели управления в сетях линейных объектов, отличающиеся от известных использованием статических регулято-

ров при неполных измерениях и управлениях, а также без построения наблюдателей. Полученные результаты могут быть использованы на практике: для расчета и построения систем управления группами мобильных роботов.

Апробация работы. Полученные результаты докладывались и обсуждались на семинарах кафедры теоретической кибернетики, V Всероссийской межвузовской конференции молодых ученых в СПбГУ ИТМО (диплом за лучший доклад аспиранта на секции) в 2008 г., Балтийской олимпиаде по автоматическому управлению в 2008 г., 3rd IEEE Multi-conference on Systems and Control (2009), 4th International Conference on Physics and Control (PhysCon 2009), международной научно-технической конференции "Многопроцессорные вычислительные и управляющие системы "(МВУС 2009) и на XII конференции молодых ученых "Навигация и управление движением С.-Петербург, 2010 г.

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в работах [1-5]. Работа [1] является публикацией в издании из перечня ВАК.

Работы [1,3,4,5] написаны в соавторстве. В этих работах Джунусову И.А. принадлежит формулировка и доказательство теорем о достижении цели управления, имитационное моделирование, Фрадкову A.JI. общая постановка задачи, синтез структур децентрализованных регуляторов. В работе [3] Р. Ортеге принадлежит замечание о замене условий монотонности нелинейности на условие локальной ограниченности при введении внеинтегрального члена в адаптивный регулятор.

Структура и объем работы. Диссертация объемом 68 страниц состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы (59 наименований).

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность темы, ставятся задачи исследования и приводится краткое содержание работы по главам.

В первой главе приводятся краткий анализ существующих работ по управлению сетевыми системами, сведения из теории графов и матриц, формулировка леммы Якубовича-Калмана, а также краткое изложение методов

пассификации и скоростного градиента в задачах децентрализованного управления, предложенных в работах Фрадкова А. Л. (Фрадков А. Л. Квадратичные функции Ляпунова в задаче адаптивной стабилизации линейного динамического объекта. // Сиб. мат. журн.-1976.-№2.-С. 436-446.; Фрадков А. Л. Адаптивное управление в сложных системах. М.: Наука, 1990).

Во второй главе изложены основные результаты работы. Дается математическая постановка задачи децентрализованного адаптивного управления для различных сетей, состоящих из взаимосвязанных объектов в форме Лурье.

В разделах 2.1.-2.3.3. главы 2 рассматриваются сети идентичных объектов, описываемых уравнениями в форме Лурье.

Рассматривается сеть 5, состоящая из с/ взаимосвязанных подсистем г = 1,..., <1, каждая из которых описывается уравнением:

<г

±1 = Ахг + Вщ + (^о(^г) + У^ ~

и (1)

г/г = СТХг, i = l,...,d, < ^ О,

где Хг(Ь) € К™ - состояния, € К1 - управления, а^ £ К1 - коэф-

фициенты, характеризующие силу взаимосвязей, £ РА Функции г = 1,..., (I, з = 1,..., (I, описывают взаимосвязи между подсистемами, а функция <ро(-) описывает нелинейность в подсистеме Зг, г = 1,... ,г1. Всюду в главе 2 предполагается, что связи обладают следующими свойствами:

• <Ргг(0) = 0, ац = 0, г = 1,..., (I,

• Уу(-) = 0 О «у = 0.

Считается, что матрицы А, В, С и функции (ро(-), г = 1,..., ^ =

1,..., с?, зависят от вектора неизвестных параметров £ € Н, где 2 - известное множество.

Рассматривается лидирующая система, являющаяся изолированной (не связанной с подсистемами ,%):

¿ = Ах + Вй + щ(х), у = СТх, (2)

где й(Ь) £ К1 - известное заданное управление. Цель управления ставится следующим образом (синхронизация по состоянию):

Ит(а^(г)-ж(4))=0, г = 1 ,...,<1. (3)

Задача адаптивной синхронизации состоит в нахождении функций децентрализованного управления щ = И^Уг, £), обеспечивающих достижение цели управления для всех значений вектора неизвестных параметров £ 6 2.

В главе 2 всюду предполагается, что для всех г,<7 = 1,...,с?и£е2 функции ц>ц глобально липшицевы с константами Липшица Ь^, а функции и(-), ¡Ро(') таковы, что обеспечены существование и единственность решений всех подсистем сети.

В разделе 2.2 приводится синтезированный с помощью метода пассифи-кации и скоростного градиента децентрализованный адаптивный регулятор вида:

щ(Ь) = вЛЬ)уг+и(Ь). (4)

Ш = -9ТУг№гУШ 1 = (5)

где уг = уг — у, а Гг = Г? > 0 - положительно определенные матрицы порядка I х I

Рассмотриваются вещественные матрицы Н = Нт > 0,д,6* порядков п х п,1х1,1х1 соответственно и число р > 0 такие, что:

НА*+А1Н <-рН, НВ = Сд, А* = (А + Ып) + В9*СТ. (6)

Установлен следующий результат о достаточных условиях достижения поставленной цели управления в случае глобально липшицевой (ро(-) (раздел 2.3.1 диссертации).

Теорема 1. Пусть для каждого £ 6 2 функция <ро(') глобально липши-цева с константой Ь, и для некоторого д £ Ш1 функция дТх(8 ~ Ч) гипер-минимально-фазовая, где передаточная функция х($) = Ст(в/П —А)~1В. Тогда существуют такие Н = НТ > 0,0» порядков пхп,1х 1 и положительное

р, что выполнены (6). Пусть при этом для каждого i = 1 ,...,d выполнено неравенство

Yl\o4jLij\<-y, (7)

j=i

где 7 = p*/(4dÀ*),A* - число обусловленности матрицы Н,р*~ степень устойчивости числителя функции gTxis ~ L).

Тогда для каждого ^ £Е и i — 1,... ,d адаптивное управление (4), (5) обеспечивает достижение цели (3) при этом вектор настраиваемых параметров 6i остается ограниченным на [0, оо) для всех решений замкнутой системы (1), (2), (4), (5).

Вводится граф связей - ориентированный граф, состоящий из множества вершин и множества дуг; эти множества определяются следующим образом. Множество вершин состоит из d элементов, где г-я вершина ассоциирована с г-й подсистемой Si. Дуге из j-й вершины к г-й вершине присваивается вес |ayLy |. Замечается, что для каждого i = 1,..., d сумма в левой части неравенства (7) есть входящая степень г-й вершины графа связей.

В разделе 2.3.2 рассматривается случай когда нелинейность уо(') из (1) имеет следующий вид

<p0(xi) = Вф0(уг), тро-.м!^ R1.

Вводится определение G-монотонно убывающей функции, т.е. такой функции, что

(x-y)TG(f(x)-f(y))^0,

для любых х, у е Мг. Здесь G - вектор из РА

Рассматриваются вещественные матрицы H = НТ > 0, <7,0* порядков п х п, I х 1,1 х 1 соответственно и число р > 0 такие, что:

НА* + AZH < -рН, НВ = Сд, А*=А + Вв1СТ. (8)

Установлен следующий результат о достаточных условиях достижения поставленной цели управления в случае (po(xi) = Вфо(Уг)-

Теорема 2. Пусть для каждого $ £ 5 существует вектор g G Rl такой, что функция gTx(s) является гипер-минималъно-фазовой, где x(s) = CT(sI„-A)~1B. Тогда существуют такие Н = НТ > 0,в* порядков nxn,lx 1 и положительное р, что выполнены (8). Пусть, кроме того, функция фо(-) является g-монотонно убывающей и для каждого i = 1,..., d выполнено неравенство

\aijLij \ < 7, (9)

з=i

где 7 = р*/(4с?А*), Л, - число обусловленности матрицы Н, р* - степень устойчивости числителя функции gTxis)-

Тогда для каждого £ G S иг = 1 ,...,d адаптивное управление (4),(5) обеспечивает достижение цели (3), при этом вектор настраиваемых параметров 6i остается ограниченным на [0, оо) для всех решений замкнутой системы (1), (2), (4), (5) при <po(xi) = Вфо(у^.

В разделе 2.3.2 рассматривается случай согласованности структуры лидирующей подсистемы со структурой подсистем Si, i = 1..., d сети S. Лидирующая подсистема описывается следующим уравнением:

х = Амх +Вм(и + ф0(у)), у = СТх, (10)

тдехеЖп,йеМ1,у GR' , фо: R' —> R1. Считается, что и — заданное известное управление, Ам, Вм, С ифо(-) известны и не зависят от £ 6 S, где S - известное множество.

Рассмотрим сеть из d взаимосвязанных объектов, каждый из которых описывается следующим уравнением:

Xi = Axi + Вщ + Вмфо(Уг) + У2 aijiplj(xi - xj),

i=i (П)

Уг = CTXi, i = 1,. .., d,

где Xi G Rn, иг G R1,«^ G R G R'. Будем считать, что матрицы А, В и функции <fiij{-), г = 1 ,...,d,j = 1 ,...,d, зависят от вектора неизвестных параметров £ G S.

Предполагается, что выполнены условия согласованности (Фомин В. Н., Фрадков А. Л., Якубович В. А. Адаптивное управление динамическими объектами. М.: Наука, 1981) структуры лидирующей подсистемы (10) со структурой (11) каждого объекта сети:

AI) Для каждого £ £ S существуют вектор f* = 6 R' и число 0* = 0*(£) > 0 такие, что справедливы равенства:

Ам = А + Ви*СТ, Вм = в*В.

Вводится обозначение аi(t) = col(f/j(i),ü(t)). Рассматривается адаптивный регулятор

Ui(t) = Ti(i)T<7i(t), i = l,...,d, (12)

где Ti(t) £ R,+1 - вектор настраиваемых параметров. Используя метод скоростного градиента, получен алгоритм адаптации вида:

п = -gT{yi -y)Ti(Ti(t), i = i,...,d, (13)

где Tj = Г7 > 0 - матрицы порядков (I + 1) х (I + 1), д £ К'.

Рассмотриваются вещественные матрицы Н = Нт > 0 ,д порядков п х п и I х 1 соответственно и число р > 0 такие, что

НАМ + AlfH < -pH, НВМ = Сд. (14)

Пердаточная функция линейной части лидирующей системы обозначается так: x(s) = G'v{sln — Ам)~1 Вм■ Устанавливлен следующий результат об адаптивной синхронизации при условиях согласованности.

Теорема 3. Пусть матрица Ам гурвицева и для некоторого g £ выполняются следующие частотные неравенства:

Rec/TxM>0, lim w2RegTxM >0 (15)

CJ—*oo

для всех W e R1. Тогда существуют H — HT > 0 и р > 0 такие, что выполнены (14). Пусть для каждого £ £ 5 выполнено предположение AI, функция

фо(-) является д-монотонно убывающей и пусть для каждого i — 1 ,...,d выполнено неравенство

53|a4jLy|<7, (16)

¿=i

где 7 = /э*/(4с?А*), А* - число обусловленности матрицы Н, р* - степень устойчивости знаменателя функции gTx(s)- Тогда для каждого £ £ S и i = 1 ,...,d адаптивное управление (12), (13), обеспечивает достижение цели

lim (xi(t)-x(t)) = О,

t—>+оо

при этом вектор настраиваемых параметров г» остается ограниченным на [О,оо) для всех решений замкнутой системы (10), (11), (12), (13).

В разделах 2.4-2.6 главы 2 рассматриваются сети неидентичных объектов в форме Лурье.

Рассматривается лидирующая подсистема, описывающаяся уравнением

w = alx + bl(ü + mv)), у = стх, (17)

где Sgl"- вектор состояния, у еМ1 - вектор измерения, u{t) £ R1 - управление, считающееся известным, фо: Мг —*► R1 - нелинейность. Считается, что матрицы Al,Bl,C и нелинейность фо(-) известны и не зависят от вектора неизвестных параметров £ £ S, где Н - известное множество.

Рассматривается сеть S, состоящую из d взаимосвязанных систем Si, г — 1,..., d, d 6 N. Система Si описывается следующим уравнением

±i =AiXi + BiUi + ВЬф0(Уг) + Olijipij(Xi - Xj),

i=i (18)

Уг =CTXi,i = l,...,d,

где Xi € R™ - вектор состояния подсистемы, щ € R1 скалярное управление подсистемой, ctij GM1- коэффициенты, описывающие силу взаимосвязей, уг £ Ш1 - вектор измерений подсистемы. Функции <pij(-), i = 1,... j = 1,... ,d, описывают взаимосвязи между подсистемами. Пусть матрицы A^Bi и функции

Viji')-! i = 1 = \,...,d, зависят от вектора неизвестных параметров

£ 6 2, где 2 - известное множество.

Цель управления состоит в стремлении траекторий всех подсистем к траектории ведущей подсистемы, см. (3). Задача адаптивной синхронизации состоит в нахождении функций децентрализованного управления щ = Ui(yi,t), обеспечивающих достижение цели управления (3) для всех значений вектора неизвестных параметров £ £ 2.

Рассматриваются вещественные матрицы Н = Н1 > 0, д размеров nxn,lx 1 соответственно и число р > 0 такие, что:

НАЬ + А\Е < -pH, НВЬ = Сд. (19)

Предполагается, что выполнены следующие условия согласованности. А2)Для каждого ^ £ Б п i — 1,... ,d существуют векторы щ = £ Ш!

и числа 6i — 0j(£) > 0 такие, что выполнены следующие равенства

Al = Ai + В{иТСт, BL = 0iBi. (20)

Вводится обозначение = CT(sIn — Al)~1Bi.

Установлен следующий результат для случая сети неидентичных подсистем, структурно согласованных с лидирующей подсистемой.

Теорема 4. Пусть матрица Al гурвицева со степенью устойчивости А* и для некоторого g £ Ег выполняются следующие частотные неравенства:

RegTx{iu) > 0, lim w2Re^iiw) > 0 (21)

Ш—»oo

для всех и £ R1. Тогда существуют такие Н = НТ > 0 и р > 0, что выполнены соотношения (19).

Пусть для каждого £ £ 2 выполнено предположение А2, функция фо{') является g-монотонно убывающей, и выполнены следующие неравенства

5^|ayLtf|<7 г = 1,... ,6?, (22)

з=1

где 7 = /?*/(4dA*), А* - число обусловленности матрицы Н.

Рис. 1: (А): Фазовый портрет ведущей подсистемы; (В): Цг^Н = (С): щ{1) = -й{Ь),г = 1.....5.

Тогда для каждого £б5иг = 1,...,о? адаптивное управление (12), (13) обеспечивает достижение цели управления (3) и ограниченность вектора подстраиваемых параметров Тг(Ь) на [0, оо) для всех решений замкнутой системы (17), (18), (12), (13).

В разделе 2.7 приводится пример сети, состоящей из пяти взаимосвязанных цепей Чуа. Применяется теорема 2 и приводятся результаты численного моделирования.

На рис. 1 представлены результаты 50 секундного моделирования.

В третьей главе рассматривается управление линейными динамическими системами с помощью сетевого регулятора без использования лидирующей системы.

Рассматривается сеть 5, состоящая из (I подсистем г = 1,..., й :

±1 = АХг+Вщ, Уг=СТХг, 1 = 1,...,(1 (23)

где Хг(Ь) £ К™ - вектор состояния, щ(Ь) 6 К1 - управление, уг(Ь) 6 М' - вектор

измерений, время £ £ [0, +оо).

Рассматривается орграф 0 = (V, £), где V - множество вершин, а £ С V х V - множество ребер. Для каждого г = 1,..., с? вершина ь^ ассоциирована с подсистемой Считается, что ребро (г;;, г^-) принадлежит множеству ребер £, если информация поступает от подсистемы Sj к подсистеме б*. Кроме того, считается, что каждому ребру сопоставлен единичный вес. Закон управления подсистемой Бг имеет вид

щ = (24)

¿еМ

где N1 — {к = 1,...,с1\(ьг,Уь) £ £} - множество индексов вершин, соседних с Vг. Предполагается что в графе нет петель, т.е. (и*, «¿) ^ £ для всех г = 1,..., Цель управления ставится следующим образом:

1нп (ц(Ь) - ф)) = 0, г = 1,..., й, (25)

t—^ ОО

где с(£) - некоторая функция времени и начальных данных подсистем.

Задача состоит в нахождении такого К из (24), чтобы выполнялась цель управления (25) для каждого г — 1,..., ¿. Делаются следующие предположения.

А1) Ориентированный граф 0 имеет ориентированное остовное дерево. А2) Существует вектор д € Мг такой, что функция дТх(я) = дтСт(з1п — А)~1В,в £ С - гипер-минималъно-фазовая.

Согласно теореме о пассификации, последнее предположение обеспечивает существование матрицы Н = Нт > 0 и вектора в £ М' таких, что выполнено:

НАЩ+АЦН <0, НВ = Сд, Л* = А + В9ТСТ, (26)

и, кроме того, вектор в можно брать так:

в = -х-д, (27)

где число х > 0 достаточно большое.

Вектор-строка коэффициентов усиления К закона управления (24) выбирается в таком виде:

К = —к • дт, кеШ1. (28)

Обозначения: х = со1(а:1,..., ха) и ® - кронекерово произведение. Теорема 5. Пусть выполнены предположения А1, А2 и граф 0 сбалансирован. Тогда для достаточно больших к > 0 управление (24) с вектором коэффициентов усиления (28) обеспечивает выполнение цели (25) с вектором с(£) = ¿-У2еАг{1} <8> /„МО).

В разделах 3.3 и 3.4 приводятся аналогичные теоремы для случаев неориентированного графа и несбалансированного орграфа.

В разделе 3.5 рассматривается пример сети, состоящей из четырех двойных интеграторов. Применяется теорема 5 и приводятся результаты численного моделирования, подтверждающие достижение цели управления. Заключение.

4. Проведены численные эксперименты, подтверждающие теоретические результаты.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ОТРАЖЕНО В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ:

Работы опубликованные в изданиях из перечня ВАК

1. Джунусов И. А., Фрадков А. Л. Адаптивная синхронизация сети взаимосвязанных систем Лурье. //Автоматика и телемеханика, №7, 2009, С. 111-126.

Другие работы по теме диссертации

2. Junussov I. Adaptive synchronization of nonlinear dynamical networks. //Preprints 12th International Student Olympiad on Automatic Control, St.Petersburg, 2008, Pp. 62-66

3. Fradkov A., Junussov I., Ortega R. Decentralized adaptive synchronization in nonlinear dynamical networks with nonidentical nodes. //18th IEEE Intern. Conf. on Control Applications Part of 2009 IEEE Multi-conference on Systems and Control, St.Petersburg, 2009, Pp. 531-536.

4. Fradkov A., Junussov I. Adaptive synchronization in nonidentical Lurie systems with Lipschitz nonlinearities. // 4th International Conference on Physics and Control (PhysCon 2009), Catania, Italy, September 1-4, 2009.

5. Джунусов И. А., Фрадков А.Л. Децентрализованное управление неидентичными взаимосвязанными объектами. //Многопроцессорные вычислительные и управляющие системы (МВУС 2009). Материалы Международной научно-технической конференции. Таганрог, 2009, с.32-34.

Подписано в печать 04.05.2010. Формат 60x90/16 Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,25 Тираж 100 экз. Заказ 195

Отпечатано в типографии ООО «Адмирал»

199048, Санкт-Петербург, В. О., 6-я линия, д. 59 корп. 1, оф. 40Н

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Джунусов, Ибрагим Алпысбаевич

Введение

1 Предварительные сведения

1.1 Анализ существующих работ по управлению сетевыми динамическими системами.

1.2 Вспомогательные результаты.

1.2.1 Сведения из теории графов.

1.2.2 Свойства кронекерового произведения матриц.

1.2.3 Лемма Якубовича-Калмана.

1.2.4 Метод пассификации.

1.2.5 Метод скоростного градиента в задачах децентрализованного управления.

2 Децентрализованное управление взаимосвязанными объектами

2.1 Постановка задачи управления идентичными объектами

2.2 Синтез управления.

2.3 Условия достижения цели управления.

2.3.1 Случай липшицевых нелинейностей.

2.3.2 Случай ipofa) = ВфоЫ).

2.3.3 Синхронизация при условиях согласованности.

2.4 Постановка задачи управления неидентичными объектами

2.5 Структура адаптивного регулятора

2.6 Условия достижения цели управления.

2.7 Пример. Сеть цепей Чуа.

2.7.1 Описание и анализ системы.

2.7.2 Результаты численного моделирования

3 Сетевое управление по измерениям выходов систем

3.1 Постановка задачи.

3.2 Условия достижения цели управления в случае сбалансированного информационого графа.

3.3 Условия достижения цели управления в случае несбалансированного информационного графа.

3.4 Условия достижения цели управления в случае неориентированного информационого графа

3.5 Пример. Сеть двойных интеграторов.

3.5.1 Результаты численного моделирования

Введение диссертация по математике, на тему "Адаптивное управление сетевыми динамическими системами"

Задачи теории управления в сетях активно исследуются в последнее десятилетие и имеют много важных направлений. К задачам такого типа относятся следующие задачи: управление с целью синхронизации [2, 23, 39, 56, 43, 58, 59], управление с ограничениями на информационный канал [32, 44], управление движением групп мобильных роботов (мультиагентные системы - Multiagent Systems) [18, 19, 21, 25, 34, 38, 41, 42, 46, 49, 55] в том числе и предотвращения столкновений (Collision Avoidance) [22, 26, 51, 52] и т.д. Кроме того, в задачах кибернетики рассматриваются проблемы передачи шифрованных сообщений [8, 40] с помощью сетей и сенсорные сети. Разработка подобных сетевых систем связана со стремительным развитием информационных и коммуникационных технологий, основанных, вчастности, на беспроводной связи и беспроводных сенсорах. Однако синтез регуляторов, обеспечивающих желаемое поведение объектов сети, затруднен сложностью и пространственной распределенностью этих объектов, а также ограничениями на обмен информацией между ними.

При описании и анализе сетевых систем часто используется теория графов, поскольку графами можно описывать связи между отдельными объектами сети либо информационные потоки в этих системах.

Хотя задачи децентрализованного управления хорошо исследованы в работах А.А. Воронова, Б.М. Миркина, A.JT. Фрадкова, Д-Д. Сильяка, P.M.

Мюррея [4, 10, 15, 27, 28, 47, 50] и многих других авторов, постоянно возникают все более сложные задачи, например управление через канал с ограниченной пропускной способностью.

В данной работе рассмотрены задачи управления в сетях двух типов:

1. Управление синхронизацией в сетях взаимосвязанных объектов в форме Лурье (идентичных и неидентичных).

2. Управление в сетях линейных объектов, не являющихся динамически связанными, т.е. не оказывающих непосредственного влияния друг на друга.

В первом типе задач взаимосвязи трактуются как возмущения, для достижения цели управления используется модель ведущая-ведомые подсистемы (leader-follower или master-slave). Во втором типе задач используется сетевое управление, называемое в существующих работах консенсусным [47, 48, 57], при этом модель ведущая-ведомые подсистемы не используется. Задачи первого типа рассматриваются в главе 2, второго типа - в главе 3.

Несмотря на большой интерес к задачам управления сетями, пока решен только ограниченный класс таких задач. В статьях о синхронизируемости и стабилизируемости сетей [39, 56, 58, 59] предполагается, что все состояние отдельной подсистемы доступно измерению, а также, что управление входит во все уравнения подсистем. В главе 2 приводятся условия достижения синхронизации в сетях систем Лурье при неполных управлениях и измерениях с помощью децентрализованных адаптивных регуляторов в различных случаях. Синтез регуляторов произведен с помощью метода скоростного градиента, предложенного в работах A.JI. Фрадкова [14, 15].

Как указывается в работе [47], синтез сетевых регуляторов, обеспечивающих синхронизацию в направленных сетях (т.е. описывающихся с помощью ориентированных графов), является более сложной и важной задачей по сравнению с такой же задачей в ненаправленных сетях, ввиду уменьшения информационного трафика.

В работе [28] рассмотрен динамический регулятор, являющийся сложным для расчета и построения сетевых систем управления. В работах [37, 57] задача решается с помощью наблюдателей, что с ростом количества агентов приводит к повышению порядка системы. В главе 3 на основе метода пас-сификации, предложенного A.JI. Фрадковым в работе [13], приводятся параметры и условия работоспособности статического регулятора по выходу в направленных сетях, состоящих из линейных объектов при неполных управлениях и измерениях без использования наблюдателей.

В первой главе делается краткий анализ существующих работ но управлению в сетях и приводятся вспомогательные результаты, необходимые для дальнейшего изложения: сведения из теории графов (включая определение лапласовской матрицы и свойства ее спектра), свойства кронекерова произведения матриц, частотная теорема (лемма Якубовича-Калмана), а также предложенные A.JI. Фрадковым методы пассификации и скоростного градиента в задачах децентрализованного управления.

Диссертационная работа организована следующим образом. Во второй главе изложены основные результаты работы. В разделах 2.1-2.3.3 главы 2 рассматриваются сети идентичных объектов, описываемых уравнениями в форме Лурье, т.е. системами дифференциальных уравнений первого порядка, правые части которых разбиты на линейные и нелинейные составляющие. Связи между объектами не предполагаются линейными, они могут быть нелинейными. В отличие от известных работ, например [59, 58], считается, что измерению доступна лишь некоторая функция состояния, а не все состояние отдельной подсистемы, а также, что управление входит не во все уравнения подсистем. Считается, что связи между объектами зависят от вектора неизвестных параметров. Кроме того, параметры объектов сети в случае согласованности также считаются зависящими от вектора неизвестных параметров. Выделяется ведущая (лидирующая) подсистема, являющаяся изолированной, т. е. не связанной с остальными. Функция управления ведущей подсистемы считается известной. Ставится задача нахождения децентрализованного алгоритма адаптивного управления и условий, обеспечивающих синхронизацию, т. е. сближение решения каждой подсистемы с решением ведущей подсистемы. Цель управления должна достигаться для каждого вектора неизвестных параметров из некоторого класса. Связи между подсистемами считаются липшицевыми.

Рассматриваются три случая уравнений подсистем: случай подсистем с липшицевыми нелинейностями, случай подсистем с нелипшицевыми нелиней-ностями, для которых выполнено некоторое условие монотонности, и случай подсистем, для которых выполнено свойство согласованности структуры объектов сети со структурой ведущей подсистемы. Поставленная задача решается с помощью результатов, изложенных в [11, 15, 16, 33]. Алгоритм адаптации синтезируется методом скоростного градиента. Получена оценка на константы Липшица взаимосвязей, обеспечивающая достижение цели управления при выполнении дополнительных условий, а именно: при гипер-минимально-фазовости некоторых передаточных функций в первых двух случаях и при строгой пассивности ведущей подсистемы в третьем случае.

В разделах 2.4-2.6 приводится постановка задачи управления неидентичными системами, структурно согласованными между собой. При предположениях о строгой пассивности лидирующей подсистемы получены условия достижения цели управления в виде синхронизации.

Согласно замечанию из раздела 2.3.1 все теоремы главы 2 могут быть сформулированы в терминах входящих степеней вершин графа связей.

В разделе 2.7 полученные результаты иллюстрируются примером синхронизации нескольких взаимосвязанных цепей Чуа, проявляющих сложное поведение. Проведено численное моделирование, подтверждающее теоретические результаты.

В главе 3 рассматривается задача управления линейными динамическими системами с помощью сетевого статического регулятора (консенсусного управления) при неполных измерениях и управлениях. Важную роль при анализе задачи о сходимости между собой траекторий подсистем сети играют лапласовские матрицы. На основе метода пассификации получены условия достижения цели управления для случаев сбалансированного и несбалансированного графов при предположении о существовании у информационного графа ориентированного остовного дерева. Такие же условия получены для случая неориентированного информационного графа. В разделе 3.4 рассматривается пример сети, состоящей из четырех двойных интеграторов. Условия достижения цели управления, полученные для случая сбалансированного графа, иллюстрируются результатами численного моделирования.

Заключение диссертации по теме "Дискретная математика и математическая кибернетика"

Заключение

В работе получены следующие основные результаты:

1. Синтезированы децентрализованные адаптивные регуляторы для сетей, состоящих из взаимосвязанных объектов в форме Лурье, и получены условия достижения цели управления в виде стремления траекторий всех подсистем к траектории ведущей подсистемы в в следующих случаях: случай глобально липшицевых нелинейностей, случай с обобщенно монотонными нелинейностями, случай согласованности структуры структуры подсистем сети с лидирующей подсистемой.

2. Синтезирован децентрализованный адаптивный регулятор для сетей, состоящих из неидентичных взаимосвязанных объектов в форме Лурье, и получены условия достижения цели управления в виде стремления траекторий всех подсистем к траектории ведущей подсистемы для случая согласованности структуры подсистем сети с лидирующей подсистемой.

4. Проведены численные эксперименты, подтверждающие теоретические результаты.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Джунусов, Ибрагим Алпысбаевич, Санкт-Петербург

1. А гаев Р. П., Чеботарев П. Ю. Лапласовские спектры орграфов и их приложения // Автоматика и телемеханика. — 2005. — № 5. — С. 47-62.

2. Андриевский Б. Р., Никифоров В. О., Фрадков А. Л. Синхронизация нелинейных непассифицируемых систем на основе адаптивных наблюдателей // Автоматика и телемеханика. — 2007. — № 7. — С. 74-89.

3. Беллман Р. Введение в теорию матриц. — М.: Наука, 1969.

4. Воронов А. А. Введение в динамику сложных управляемых систем. — М.: Наука, 1985.

5. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Физматлит, 2004.

6. Джунусов И. А., Фрадков А. Л. Адаптивная синхронизация сети взаимосвязанных систем лурье // Автоматика и телемеханика. — 2009. — № 7.- С. 111-126.

7. Дмитриев А. С., Панас А. И., Старков С. О. Динамический хаос как парадигма современных систем связи // Зарубежная радиоэлектроника. — 1997. — № 10. С. 4-26.

8. Маркус М.} Минк X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. — М.: Наука, 1972.

9. Миркин Б. М. Адаптивное децентрализованное управление с модельной координацией // Автоматика и телемеханика. — 1999.— № 1.— С. 90100.

10. Мирошник И. ВНикифоров В. О., Фрадков А. Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. — СПб.: Наука, 2000.

11. Фомин В. Н., Фрадков А. Л., Якубович В. А. Адаптивное управление динамическими объектами. — М.: Наука, 1981.

12. Фрадков А. Л. Квадратичные функции Ляпунова в задаче адаптивной стабилизации линейного динамического объекта / / Сиб. мат. журн. — 1976. № 2. - С. 436-446.

13. Фрадков А. Л. Схема скоростного градиента и его применения в задачах адаптивного управления // Автоматика и телемеханика. — 1979. — №9.-С. 90-101.

14. Фрадков А. Л. Адаптивное управление в сложных системах. — М.: Наука, 1990.

15. Якубович В. А. Решение некоторых матричных неравенств, встречающихся в теории автоматического регулирования // ДАН СССР. — 1962. — Т. 143, № 6. С. 1304-1307.

16. Alligood К., Sauer Т., Yorke J. Chaos: an Introduction to Dynamical Systems. — New York: Springer-Verlag, 1996.

17. Blondei V. D., Hendrickx J. M., Olshevsky A., Tsitsiklis J. N. Convergence in multiagent coordination, consensus, and flocking // 44th IEEE Conference on Decision and Control, Spain. — 2005.

18. Blondel V. D., Hendrickx J. M., Tsitsiklis J. N. On Krause's multi-agent consensus model with state-dependent connectivity // IEEE Trans, on Autom. Control. — 2009. Vol. 54, no. 11. - Pp. 2586-2597.

19. Bullo F., Cortez J., Martinez S. Distributed control of robotic networks. — Princeton Univ. Press, 2009.

20. Chang D. E., Shadden S., Marsden J., Olfati-Saber R. Collision avoidance for multiple agent systems // Proc. 42nd IEEE Conf. on Decision and Control, Hawaii. 2003. — Pp. 539-543.

21. Chopra N., Spong M. W. Passivity-based control of multi-agent systems // in: Kawamura, Sadao, Svinin, Mikhail (Eds.), Advances in robot control, from everyday physics to human-like movements, Springer- Verlag, Berlin. — 2007. Pp. pp. 107-134.

22. Chopra N., W.Spong M. Output synchronization of nonlinear systems with time delay in communication // Proceedings of the 45th IEEE Conf. Dec. Control. 2006. — Pp. 4986 4992.

23. Dimarogonas D. V., Kyriakopoulos K. J. On the state agreement problem for unicycles // Proc. of the 2006 American Control Conference. — 2006.— Pp. 2016-2021.

24. Dimarogonas D. V., Loizou S. G., Kyriakopoulos K. J., Zavlanos M. M. A feedback stabilization and collision avoidance scheme for multiple independent non-point agents // Automatica. — 2006. — Vol. 42. — P. 229-243.

25. Druzhinina M. V., Fradkov A. L. Adaptive decentralized control of interconnected systems // Proc. 14-th IFAC World Congr. — 1999. — Vol. L. — Pp. 175-180.

26. Fax J. R., Murray R. M. Information flow and cooperative control of vehicle formations // IEEE Trans, on Autom. Control. — 2004. — Vol. 49. — Pp. 1465-1476.

27. Fradkov A., Junussov I. Adaptive synchronization in nonidentical Lurie systems with Lipschitz nonlinearities // 4th International Conference on Physics and Control (PhysCon 2009), Catania, Italy. — 2009.

28. Fradkov A. L. Passification of nonsquare linear systems and feedback Yakubovich-Kalman-Popov lemma // Eur. J. Control. — 2003. — no. 6. — Pp. 573-582.

29. Fradkov A. L., Markov A. Y. Adaptive synchronization of chaotic systems based on speed gradient method and passification // IEEE Trans. On Circuits And Systems-I: Fundamental theory and applications. — 1997. — Vol. 44, no. 10. —Pp. 905-912.

30. Jadbabaie A., Lin J., Morse A. S. Coordination of groups of mobile autonomous agents using nearest neighbor rules // IEEE Trans, on Autom. Control. 2003. - Vol. 48. - P. 988-1001.

31. Jiang G.-P., Tang W. K.-S., Chen G. A state-observer-based approach for synchronization in complex dynamical networks // IEEE Trans. On Circuits And Systems-I: Reg. Papers. — 2006. — Vol. 53, no. 12. Pp. 2739-2745.

32. Junussov I. Adaptive synchronization of nonlinear dynamical networks // Preprints 12th International Student Olympiad on Automatic Control, St. Petersburg. — 2008. — Pp. 62-66.

33. Li Z. K., Duan Z. S., Chen G. R., Huang L. Consensus of multi-agent systems and synchronization of complex networks: A unified viewpoint // IEEE Trans. On Circuits And Systems-I: Reg. Papers. — 2010. — Vol. 57, no. 1. — Pp. 213224.

34. Lin J., Morse A. S., Anderson B. D. O. The multi-agent rendezvous problem // Proc. of the 4%nd 2003 IEEE Conference on Decision and Control. 2003. - Pp. 1508-1513.

35. Lu J., Chen G. A time-varying complex dynamical network model and its controlled synchronization criteria // IEEE Trans, on Autom. Control. — 2005. Vol. 50, no. 6. - Pp. 841-846.

36. Markov A. Y., Fradkov A. L. Adaptive synchronization of chaotic systems based on speed gradient method and passification // IEEE Trans. On Circuits And Systems-I: Fundamental theory and applications. — 1997. — Vol. 10. — Pp. 905-912.

37. Marshall J. A., Broucke M. E., Francis B. A. Formations of vehicles in cyclic pursuit // IEEE Trans, on Autom. Control — 2004.— Vol. 49, no. 11.— Pp. 1963-1974.

38. Marshall J. A., Broucke M. E., Francis B. A. Pursuit formations of unicycles // Automatica. — 2006. — no. 1. — Pp. 3-12.

39. Mastellone S., Lee D., Spong M. W. Master-slave synchronization with switching communication through passive model-based control design // Proceedings of the 2006 American Control Conference, Minneapolis, Minnesota, USA. 2006. — Pp. 3203-3208.

40. Matveev A. S., Savkin A. V. Estimation and Control over Communication Networks. — Birkhauser, 2009.

41. Mohar B. Some applications of Laplace eigenvalues of graphs // "Graph Symmetry: Algebraic Methods and Applications NATO ASI Ser. С 497.— 1997.-Pp. 225-275.

42. Olfati-Saber R. Flocking for multi-agent dynamic systems: Algorithms and theory // IEEE Trans, on Autom. Control — 2006. — Vol. 51. P. 401-420.

43. Olfati-Saber R., Murray R. M. Consensus problems in networks of agents with switching topology and time-delays // IEEE Trans, on Autom. Control. —2004. Vol. 49, no. 9. - Pp. 1520-1533.

44. Ren W., Beard R. W. Consensus seeking in multiagent systems under dynamically changing interaction topologies // IEEE Trans, on Autom. Control. 2005. - Vol. 50, no. 5. - Pp. 655-661.

45. Ren W., Beard R. W., Atkins E. M. A survey of consensus problems in multi-agent coordination // Proc. of American Control Conference, Oregon2005. Pp. 1859-1864.

46. Siljak D. D. Decentralized Control of Complex Systems. — Boston, MA: Academic, 1990. — Vol. 184 of Mathematics in Science and Engineering.

47. Stipanovic D. M., Hokayem P. F., Spong M. W., Siljak D. D. Cooperative avoidance control for multiagent systems // Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control — 2007. — Vol. 129. — Pp. 699-707.

48. Stipanovic D. M., Sriram S., Tomlin C. J. Multi-agent avoidance control using an m-matrix property // Electron. J. Linear Algebra.— 2005.— Vol. 12. P. 64-72.

49. Yang P., Freeman R. A., Lynch К. M. Multi-agent coordination by decentralized estimation and control // IEEE Trans, on Autom. Control — 2008. — Vol. 53, no. 11. Pp. 2480 - 2496.

50. Yao J., Hill D. J., Guan Z.-H., Wang H. O. Synchronization of complex dynamical networks with switching topology via adaptive control // Proceedings of the 45th IEEE Conf. Dec. Control — 2006. Pp. 2819-2824.

51. Yoshioka C., Namerikawa T. Observer-based consensus control strategy for multi-agent system with communication time delay // Proceedings of IEEE MSC-2008, San-Antonio, USA. — 2008. Pp. 1037-1042.

52. Zhong W.-S., Dimirovski G. M., Zhao J. Decentralized synchronization of an uncertain complex dynamical network // Proceedings of 2007 American Control Conference. 2007. — Pp. 1437-1442.

53. Zhou J., Lu J., Lu J. Adaptive synchronization of an uncertain complex dynamical network // IEEE Trans, on Autom. Control — 2006.— Vol. 51, no. 4. — Pp. 652-656.