Адаптивное управление сетевыми динамическими системами с возмущениями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На ираиах рукописи

0060«»«» ^шушЛ

Григорьев Григорий Константинович

АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ СЕТЕВЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ С

ВОЗМУЩЕНИЯМИ

01.01.09 - Дискретная математика и математическая кибернетика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2012

1 7 МАМ 2012

005042906

Работа выполпепа иа кафедре теоретической кибернетики математихо-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель: доктор технических наук,

профессор Фрадков Александр Львович

Официальные оппоненты: Гратгчин Олег Николаевич,

доктор физико-математических наук, профессор,

Сапкт-Петербургский государственный

университет,

профессор,

Вахитов Александр Тимурович, кандидат физико-математических наук, ООО "Лаборатория цифрового зрения", директор по исследованиям.

Ведущая организация: Санкт-Петербургский националы™ й

исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики

Зашита состоится " иЛСиЛ_2012 г. в часов на заседании диссерта-

ционного совета Д.212.232.29 при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, Сапкт-Петербург, Университетская наб., д. 7/9, ауд. 133.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург. Университетская наб., д. 7/9.

Автореферат разослан " ^ " СИ^рЛиЛ 2012 г. Учепый секретарь

диссертационного совета Д.212.232.29

В. М. Нежинский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Математические задачи управления в сетях динамических систем активно исследуются в последнее десятилетие. Это связано с наличием широкого класса приложений, в числе которых задачи управления движением групп мобильных роботов, синхронизации в энергосистемах, управления беспилотными летательными аппаратами, управления флотилиями автономных судов, управления многоядерными процессорами и т.п. Такие задачи характеризуются требованиями полной или частичной де-централизованности регуляторов, естественно следующими из описания реальных сетевых объектов, а также ограничениями на возможности измерения и управления при построении регуляторов. Задачи управления сетями исследовались в работах А. А. Воронова, Б. М. Миркииа, А. Л. Фрадкова, Д. Д. Сильяка, Р. М. Мюррея, И. А. Джунусова и многих других авторов. Несмотря на большое количество публикаций по этой тематике, пока решен лишь ограниченный класс задач управления в сетях, поскольку они затруднены сложностью и пространственной распределенностью объектов и ограничениями на обмен информацией между ними. В некоторых работах предполагается доступность для измерения всего состояния отдельного объекта сети, а также вхождение управления во все уравнения подсистем, либо предлагается использование наблюдателей. Подобные предположения являются ограничительными при практической реализации систем регулирования, особенно при большой размерности пространства состояний объектов и (или) большом количестве этих объектов в сети. Также в большинстве работ рассматриваются лишь детерминированные системы. В то же время в практических задачах обычно невозможно задать точную математическую модель, и для учета погрешностей в уравнения объектов вводятся возмущения, которые зачастую носят случайный характер и оказывают существенное влияние на динамику системы. Решение некоторых задач адаптивного управления объектами, описываемыми стохастическими дифференциальными уравнениями, на основе пассификации изложено в книге В. Г. Сраговича. Результаты, полученные в ней, интерпретируются как решение задачи адаптивной стабилизации линейных объектов, в которых возмущения в виде белого шума действуют либо на параметры объекта, либо на его координаты. В работах А. Л. Фрадкова и И. В. Разуваевой рассмотрена задача адаптивной стабилизации при наличии координатно-параметрических стохастических возмущений типа белого шума для единичной системы, а в работах О. Н. Граничила рассмотрены задачи идентификации и адаптивного управления для объектов с различными ограниченными возмущениями, но тоже только в случае единичного объекта.

Целью диссертационной работы является синтез регуляторов, обеспечивающих сходимость в некоторую область векторов состояния динамических систем, образующих сети, при неполных измерениях и управлениях и наличии возмущений для различных случаев.

Методы исследования включают методы пассификации и скоростного градиента

в задачах децентрализованного управления, предложенные А.Л. Фрадковым, частотную теорему (лемма Якубовича-Калмана), а также теорему о существовании и единственности решений стохастических дифференциальных уравнений.

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми и заключаются в следующем:

1. Синтезированы децентрализованные адаптивные регуляторы по выходу для сетей, состоящих из идентичных взаимосвязанных объектов в форме Лурье для задачи слежения за лидером при наличии ограниченных возмущений в случаях глобально липшицевых нелинейностей и монотонных нелинейностей. Впервые предложена децентрализованная структура адаптивного регулятора с зоной нечувствительности на основе пассификации и получены условия достижения цели управления и ограниченности траекторий.

2. Синтезированы децентрализованные адаптивные регуляторы по выходу для сетей, состоящих из неидентичных взаимосвязанных объектов в форме Лурье со структурой, согласованной со структурой лидирующей подсистемы, для задачи слежения за лидером при наличии ограниченных возмущений в случае монотонных нелинейностей. Впервые получены условия достижения цели управления и ограниченности траекторий.

3. Синтезированы децентрализованные адаптивные регуляторы для сетей, состоящих из идентичных взаимосвязанных объектов, для задач слежения за лидером при наличии стохастических возмущений типа белого шума в случаях глобально липшицевых нелинейностей и монотонных нелинейностей. Впервые предложена децентрализованная структура адаптивного регулятора с отрицательной параметрической обратной связью на основе пассификации и получены условия достижения цели управления и ограниченности траекторий.

4. Синтезированы децентрализованные адаптивные регуляторы для сетей, состоящих из неидентичных взаимосвязанных объектов со структурой, согласованной со структурой лидирующей подсистемы, для задач слежения за лидером при наличии стохастических возмущений типа белого шума в случае глобально липшицевых нелинейностей. Впервые получены условия достижения цели управления и ограниченности траекторий.

Теоретическая и практическая ценность. Для сетей идентичных и неидентичных систем Лурье с ограниченными возмущениями и со стохастическими возмущения типа белого шума с помощью методов пассификации и скоростного градиента синтезированы адаптивные регуляторы по выходу при неполных измерениях и управлениях, не использующие информацию о параметрах объектов сети и применимые в условиях неопределенности. Для различных случаев получены условия достижения цели управления в замкнутой

системе, отличающиеся от известных использованием леммы Якубовича-Калмана, теоремы о пассификации и различных способов огрубления алгоритма скоростного градиента. Условия достижения цели управления могут быть сформулированы в терминах входящих степеней вершин графа связей сети. На основе метода пассификации найдены достаточные условия достижения цели управления в сетях линейных объектов с возмущениями, отличающиеся от известных использованием статических регуляторов, работоспособных при неполных измерениях и управлениях и не требующих построения наблюдателей состояния. Полученные результаты могут быть использованы на практике: для расчета и построения управления сетями мобильных роботов или для синхронизации работы многоядерных процессоров.

Апробация. Результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры теоретической кибернетики математико-механического факультета СПбГУ, на российских и международных конференциях по оптимизации и теории управления: Балтийской Олимпиаде по Автоматическому Управлению (21-23 сентября 2011, Санкт-Петербург), 5th International Conference on Physics and Control (5-8 September, 2011, Leon, Spain), 50th IEEE Conference on Decision and Control, (12-15 December, 2011, Orlando, Florida, USA), The Sixth International Conference on Differential and Functional Differential Equations (14-21 августа, 2011, Москва).

Результаты диссертации были получены в ходе работ по ФЦП "Кадры" (госконтракт 16.740.11.0042) и при поддержке РФФИ (проект 11-08-01218) и использованы в перечисленных проектах.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 печатных работ, из них 5 в соавторстве, 2 в изданиях из перечня ведущих рецензируемых журналов.

В работах, написанных в соавторстве, в [1] Г. К. Григорьеву принадлежит реализация описываемых методов, формулировка и доказательство теоремы, а А. Л. Фрадкову - общие постановки задач, в [2, 3] Г. К. Григорьеву принадлежат формулировка и доказательство теорем про сети динамических систем с ограниченными возмущениями, остальным авторам - общая постановка задач и формулировка и доказательство теорем про сети динамических систем с задержками, в [4, 5] Г. К. Григорьеву принадлежат условия пассификации стохастических систем, а соавторам принадлежит общая постановка задачи, детализация алгоритмов управления и доказательство теорем.

Объем и структура работы. Диссертация объемом 68 страниц состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы (58 наименований).

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность темы, ставятся задачи исследования и приводится краткое содержание работы по главам.

В первой главе приводятся сведения из теории стохастических дифференциальных уравнений, формулировка теоремы о существовании, единственности и свойствах решений стохастических дифференциальных уравнений, некоторые матричные неравенства, формулировка леммы Якубовича-Калмана, а также краткое изложение методов пассифика-ции и скоростного градиента в задачах децентрализованного управления, предложенных в работах Фрадкова А. Л. (Фрадков А. Л. Квадратичные функции Ляпунова в задаче адаптивной стабилизации линейного динамического объекта // Сиб. мат. журн.—1976. №2. С. 436-446.; Фрадков А. Л. Адаптивное управление в сложных системах. М.: Наука, 1990).

Во второй главе изложены основные результаты работы. Дается математическая постановка задачи децентрализованного адаптивного управления для различных сетей, состоящих из взаимосвязанных объектов в форме Лурье. В разделах 2.1-2.3 главы 2 рассматриваются сети идентичных объектов с ограниченными возмущениями, описываемых уравнениями в форме Лурье.

Рассматривается сеть в, состоящая из N взаимосвязанных подсистем 5;, г = 1,..., N, каждая из которых описывается следующим образом:

N

х{ = Ах, + Вщ + <р0(х{) + £ ац<Рц& -х}) + /¡(¿), .

3=1 (1)

у1 = Сх{, г = 1,...,ЛГ,

где € И" - вектор состояния подсистемы, ц € I1 - управление, а^ £ I1 - коэффициенты, описывающие силу взаимосвязей, у1 € М' - вектор доступных измерений. Функции = = 1,...,Лг описывают взаимосвязи между подсистемами, (¿0(-) описывает нелинейность в подсистемах, а /¡(¿) - ограниченное возмущение в системе г = 1,... ,ЛГ.

1Ш1! < лА. (2)

Предполагается, что аи = 0, <л>(0) = 0, (рц(-) = 0 = 0. Считается, что А,В,С и

<£>о(-) известны, а функции <Рц(-), г = 1,..., ЛГ, ,7 = 1,..., ЛГ, зависят от вектора неизвестных параметров £ € Е, где Е - известное множество.

Рассматривается лидирующая система, являющаяся изолированной (не связанной с подсистемами 5*):

г = Ах + Вй + <ро(х), у = Стх, (3)

где й - заданное известное управление. Цель управления состоит в притягивании траекторий всех подсистем в некоторую окрестность траектории ведущей подсистемы.

Ш\\х^)-х(1)\\<Аи (4)

I—юо

для всех г = 1,..., ЛГ.

Задача адаптивной синхронизации состоит в нахождении функции децентрализованного управления щ = Ц(у,, Ц V), обеспечивающего достижение цели управления (4) для всех значений вектора неизвестных параметров £ 6 Е.

В главе 2 всюду предполагается, что для всех г,3 = 1,..., N и £ е Е функции 1Ру(-) глобально липшицевы с константами Липшица Ь^, а функции й(-), </?о(0 таковы, что обеспечены существование и единственность решений всех подсистем сети.

В разделе 2.2 приводится синтезированный с помощью метода пассификации и скоростного градиента децентрализованный адаптивный регулятор вида:

Щ=бЛг)у{ + Ъ, <ЩбМ', i = l,...,N, (5)

1 о, Аи

где = ?/; — у, Г* = Г? > 0 - положительно определенные матрицы порядка I х I. Под решением обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывной правой частью понимается решение по Филиппову.

Рассматриваются вещественные матрицы Н = Нт > 0, д, в, порядков пхп, 1x1, ¡х1, соответственно, и число р > 0, такие, что:

НА. + А1Н < -рН, НВ = Сд, Л. = (А + Ы„) + В0?Ст. (7)

Вводится передаточная функция лидирующей подсистемы: х(^) = Ст(з1п — А)~1В.

Устанавливаются достаточные условия сходимости векторов состояния подсистем в окрестность траектории ведущей (лидирующей) подсистемы.

Теорема 1. Пусть функция ¡ро(-) глобально липшицева для всех £ € 2 с константой Ь, и для некоторого д € Ш' функция дТх(в — V) ~ гипер-мингшалъно-фазовая. Тогда существуют такие Н = НТ > 0, в., порядков п х п, I х 1, соответственно, и р > 0, что выполняются условия (7). Введем обозначение <5; = | ~~ Если для всех

г = 1,..., N выполнено условие

> 0, (8)

то для всех £ £ Е и г = 1,..., ./V адаптивное управление (5), (б) обеспечивает достижение цели (4) при

2Р<5; ^ >

при этом векторы настраиваемых параметров остаются ограниченными для всех решений замкнутой системы (1), (3), (5), (6).

Вводится граф связей — ориентированный граф, состоящий из множества вершин и множества дуг; эти множества определяются следующим образом: множество вершин состоит из N элементов, где г-я вершина ассоциирована с г-й подсистемой Дуге из ^'-й вершины к г-й вершине присваивается вес |ауЬу|. Замечается, что для каждого г = 1,..., N сумма в неравенстве (8) есть входящая степень г-й вершины графа связей.

В разделе 2.3.2 рассматривается случай, когда нелинейность ¡ро(-) из (1) имеет следующий вид

ср0(х¡) = Вфй(у{),

фо : К' —» К1.

Вводится определение С-монотонно убывающей функции, т.е. такой функции, что

(х-ууа(/(х)-Ду))<о,

для любых х, у е Ж'. Здесь <7 - вектор из К'.

Рассматриваются вещественные матрицы Н = Нт > 0, д, в, порядков п х п, I х 1, I х 1, соответственно, и число р > 0, такие, что:

НА. + АТ,Н < ~рН, НВ = Сд, А, = А + Вд^С1. (10)

Установлен следующий результат о достаточных условиях достижения поставленной цели управления в случае нелинейностей, параллельных управлению.

Теорема 2. Пусть для каждого £ е Н существует вектор д е Е', такой, что функция 9тх(5) гипер-минималъно-фазовая. Тогда существуют такие Н = НТ > 0, в, порядков п х и, I х 1, соответственно, и положительное р, что выполнены (10). Пусть, кроме того, функция фо(-) является д-монотонно убывающей.

Введем обозначение: ёг = 1 Если с'ля есе!:» = 1. • ■ •, -/V выполнены

следующие условия:

' & > 0,

(П)

то Лгя каждого ( € 5 и ! = 1, ...,ЛГ адаптивне управление (5), (6) обеспечивает достижение цели

Ж||^(4)-х(<)||<Д(, (12)

(->00

при этсш векторы настраиваемых параметров #¡(2) остаются ограниченными на [0, оо) о1/гл есег решений замкнутой системы (1), (3), (5), (6).

В разделах 2.4-2.6 главы 2 рассматриваются сети неидентичных объектов в форме Лурье.

Рассматривается лидирующая подсистема, описывающаяся уравнением

г = Аьх + Вл,(Л + ф0(у)), у = СТх, (13)

где хб!"- вектор состояния, «е!1- заданное известное управление, у £ К' - вектор измерений, г/>0 : М' К1 - функция, описывающая нелинейность. Предполагается, что Ас, Вь, С и фо(-) известны и не зависят от £ е Е, где Е - известное множество.

Рассматривается сеть 5, состоящая из N взаимосвязанных объектов { = 1,... N, каждый из которых описывается следующим уравнением:

N

¿< = А<х{ + Вт + в^ФоШ + Ш) + ~ х1)' У^ = = !,■■■, я, (н)

где вектор состояния подсистемы щ 6 К1 - управление подсистемой, а^ еК1-

коэффициенты, описывающие силу взаимосвязей, ^ £ К' - вектор измерений подсистемы. Функции уу('), г = 1,..., Ы, ^ — 1,..., Я, описывают взаимосвязи между подсистемами. Предполагается, что <рц(-) = (0,..., 0)т, г = 1,..., N.

Пусть матрицы Ai, B¡ и функции Iр^(-), г = 1, ■.., Я, j = 1,..., Лг, зависят от вектора неизвестных параметров (еЕ, а /¿(4) - ограниченное возмущение в системе

Ш*)11<«*Л- (15)

Цель управления состоит в притягивании траекторий всех подсистем в некоторую окрестность траектории лидирующей подсистемы.

ШГ||х,(4)-х(()|| < Д, (16)

I—>оо

Задача адаптивной синхронизации состоит в нахождении функции децентрализованного управления щ = обеспечивающей достижение цели управления (16) для всех

значений вектора неизвестных параметров £ € Н.

Предполагается, что выполнены условия согласованности (Фомин В.Н., Фрадков А.Л., Якубович В.А. Адаптивное управление динамическими объектами. М.: Наука, 1981.) структуры лидирующей подсистемы (13) со структурой (14) каждого объекта сети:

А1) Для каждого ^ € Н и г = 1,... ,ЛГ, существуют вектор V, = € К' и число

в, = 0«(£) > 0, такие, что справедливы равенства:

Аь = Д + Врт,С\ Вь = е,в<.

Вводится обозначение: <Т;(£) = со1(у^Ь),й({)). Применяется адаптивный регулятор следующего вида

= г = 1,..., N (17)

где т*(4) € - вектор настраиваемых параметров.

С помощью метода скоростного градиента и последующего огрубления с помощью введения зоны нечувствительности получен следующий алгоритм адаптации:

Рассматриваются вещественные матрицы Н = НТ > 0, д порядков п х п и I х /, соответственно, и число р > 0, такие, что

НАЬ + АТЬН < -рН, IIВ ь = С д. (19)

Вводится обозначение = Ст(в1п — А^)~1В£. Установлен следующий результат о выполнении цели управления при условиях согласованности.

Теорема 3. Пусть матрица А£ гурвицева и для некоторого д 6 М' выполняются следующие частотные неравенства:

ИедТх(ш) > 0, Нт дтх(гм) > О,

(20)

для всех ш € К1. Тогда существуют Н = НТ > 0 и р > 0, такие, что выполнены (19). Пусть для каждого ( е Е выполнено предположение А1, а функция ■фо(-) является д-монотонпо убывающей. Введем обозначение: <5,- = | л27х{н] ~ Если для всех

г = 1,..., N выполнено условие

к > 0, (21)

то для каждого г = 1,..., ЛГ адаптивное управление (17), (18) обеспечивает достижение цели

<Аи (22)

1—ЮО

где

А; >

<{/1 \пах { Н )

(23)

при этом векторы настраиваемых параметров г>(4) остаются ограниченными на [0, оо) для всех решений замкнутой системы (13), (14), (17), (18).

В разделе 2.7 приводится пример сети, состоящей из шести взаимосвязанных цепей Чуа с ограниченными возмущениями. Для синтеза закона управления и нахождения условий достижения цели управления применяется теорема 2, и приводятся результаты численного моделирования.

100 200 300 4СЮ 500 600 700

Рис. 1: Настраиваемые коэффициенты при неогрубленном АСГ

В третьей главе рассматривается управление сетями подсистем со стохастическими возмущениями типа белый шум.

В разделах 3.1 - 3.3 рассматриваются сети объектов с возмущениями типа белый шум, описываемых стохастическими дифференциальными уравнениями, с идентичными подсистемами.

Рис. 2: Фазовый портрет первой подсистемы

(а) первые 10 секунд (Ь) последние 10 секунд

Рис. 3: Погрешность в компонентах первой подсистемы

Рассматривается сеть S, состоящая из N взаимосвязанных подсистем Si} г = 1,..., N. Si описываются следующим образом:

N

dxi = [Axt + Вщ + <po(xi) + Е aij(Pij(xi ~ x:))dt + £i{t,Xi)dwir

j=i (24)

Vi — Cxi,

где £ 1° - вектор состояния, щ € M1 - управление в г-й подсистеме, а^ £ И1 - коэффициенты взаимосвязей, у, € К' - вектор измерений. Функции <%(•), г = 1,... ,N, j = 1, • ■., N, зависят от вектора неизвестных параметров £ Е Е, где Е - известное множество, ги,- € Шк -белый шум, € Ш.пхк - матрицы, элементы которых удовлетворяют следующим условиям:

\eij(t,xi) — etj(t, х%)\ < A||xi - х2\\,

при г = 1,..., п, j = 1,..., к.

Считается, что ||£,;|| < к, к > 0, ¡рц{0) = 0, а« ~ 0, г = 1,..., N, А,В,С и ip0(-) известны, а функции <pij, г = 1 ,...,N,j = 1,...,7V зависят от вектора неизвестных параметров f £ Е, где Е - известное множество.

Выбирается изолированная лидирующая подсистема, которая описывается следующим образом:

<1х = [Ах + Вй + 1р0(х)]Л, у = Стх, (25)

где й € I1 - заданное известное управление, х € М" - вектор состояния лидирующей подсистемы.

Цель управления состоит в притягивании траекторий всех подсистем в некоторую окрестность ведущей подсистемы в среднеквадратическом смысле:

ТЕГ£(||^)-х(<)||2) < (26)

Ь—ЮО

для некоторого А; > 0.

Задача адаптивной синхронизации состоит в нахождении функции децентрализованного управления щ = ^¿^¡й^), обеспечивающего достижение цели управления (26) для всех значений вектора неизвестных параметров.

В главе 3 всюду предполагается, что для всех г,] = 1,..., N и £ е Е функции ^у(-) глобально липшицевы с константами Липшица ¿у, а функции й(-), <^о(-) таковы, что обеспечены существование и единственность решений всех подсистем сети.

В разделе 3.2 с помощью метода пассификации и метода скоростного градиента, предложенных А. Л. Фрадковым, синтезируется следующий линейный адаптивный регулятор по выходу:

йг = вЩ% т е Е', г = 1,..., ЛГ, (27)

<1ег = -[{д]у,)Тй + 7А]Л, (28)

где 7* > 0, yi = у1 — у, щ = щ — й, = ГТ > 0 - положительно определенные матрицы порядка I х I.

Рассматриваются вещественные матрицы Н = Нт > 0, д, 9, порядков п х п, 1x1,1x1, соответственно, и число р > 0, такие, что:

НА. + А1Н < -рН, НВ = Сд, А, = (А + Ып) + Ввт,Ст. (29)

Вводится передаточная функция лидирующей подсистемы: х(з) = Ст(з1„ — А)~1В. В разделе 3.3.1 установлен следующий результат о достаточных условиях достижения поставленной цели управления в случае глобально липшицевой <^о(")-

Теорема 4. Пусть для каждого £ € Е функция ^о(') глобально липшицева с константой Ь, и для некоторого д € М' функция <7тх(з — Ь) - гипер-мипималъно-фазовая. Введем обозначение: Si = % \Zmii) ~~

Если для всех г = 1,..., N выполнено условие

6г > 0, (30)

то для всех г = 1,..., ЛГ и(€Е адаптивное управление (27), (28) обеспечивает достижение цели (20), при этом векторы настраиваемых параметров остаются ограниченными для всех решений замкнутой системы (24), (25), (27), (28).

В замечании приводится оценка размеров области, в которую сходятся векторы состояния подсистем, а также оценка скорости сходимости.

В разделе 3.3.2 рассматривается случай, когда нелинейность </>о(') из (24) имеет следующий вид

<р0(х{) = Вф„(у{), фо

где У( £ К' - вектор измерений подсистемы ¿>4.

В этом случае уравнения подсистем Si переписываются следующим образом:

N

= [Ах^ + В(щ + фоШ) + Т, Оу ~ Х1)№ + .

¿=1 131)

у г = СХг.

Уравнение лидирующей подсистемы имеет следующий вид:

Ох = [Ах + В(й + фо(у))]&, у = СТх. (32)

В качестве управляющего воздействия выбирается управление, синтезированное в разделе 3.2.

Рассматриваются вещественные матрицы Н = НТ > 0, д, в, порядков п х п, I х 1, I х 1, соответственно, и число р > 0, такие, что:

НА, + А[Н < -рН, НВ = Сд, А. = А.+ Вв^СТ. (33)

Установлен следующий результат о достаточных условиях достижения поставленной цели управления в случае, когда = Вф0(у¿).

Теорема 5. Пусть для некоторого д € К' функция дТх(я) ~ гипер-минималъно-фазовая, а функция фо(-) - д-монотонно-убывающая.

Введем обозначение: = §л^(я) Если для всех г = 1,..., N выполнено

условие

5, > 0, (34)

то для всех г = 1,..., N и £ £ Е адаптивное управление (27), (28) обеспечивает достижение цели (26), при этом векторы настраиваемых параметров ^¡(£) остаются ограниченными для всех решений замкнутой системы (27), (28), (31), (32).

В разделах 3.4 - 3.0 главы 3 рассматриваются сети неидентичных объектов, описываемых стохастическими дифференциальными уравнениями.

Рассматривается сеть S, состоящая из N взаимосвязанных неидентичных подсистем Si, i = 1,..., N. Si описываются следующим образом:

N

dxi = [AjXi + BiUi + ipoM + Y1 djPijixi - Xj)]dt + £i(t, Xi)dwt,

3=1 (3o)

Vi = Стх

где Xi 6 R™, Ui e R1, Oy € R1, yi € R', Wi € Rfc - белый шум, £t € Rnxt - матрица, элементы которой удовлетворяют следующим условиям:

|ey(t,xi) -e<j(t,х2)\ < A|[xi -ar2||.

Считается, что ||£(|| < к, к > 0, <рц(0) = 0, а,-, = 0, г = 1,..., N, а также, что ipc(-) известны, a Ait Bi и функции ifiij(-), г = 1,..., N, j = 1,..., TV зависят от вектора неизвестных параметров £ е Е, где Е - известное множество. Пусть лидирующая подсистема описывается следующим образом:

dx = [ALх + BLu + fo{x)]dt, у = Стх, (36)

где u - заданное известное управление, хеМ" - состояние системы, у 6 R', ip0 : R' —;► R1 -нелинейность. Предполагается, что Ai, Bi, С и фо(') известны и не зависят от £ € Е.

Цель управления состоит в притягивании траекторий всех подсистем в некоторую окрестность ведущей подсистемы в среднеквадратическом смысле.

ТЕГД||^(4)-^)1|2)< Af. (37)

г-юо

для некоторого Д* > 0.

Задача адаптивной синхронизации состоит в нахождении функции децентрализованного управления И; = Ui(Ui, У, В, i)> обеспечивающего достижение цели управления (37) для всех значений вектора неизвестных параметров.

Вводится обозначение <7i(f) = col(yi{t),u(t)). Применяется адаптивный регулятор следующего вида:

щ(1)=фУо&), i = 1,..., N, (38)

где Ti(t) € R,+1 - векторы настраиваемых параметров.

С помощью метода скоростного градиента и последующего огрубления с помощью введения параметрической обратной связи получен следующий алгоритм адаптации:

dn = -[gfiVi ~ yWMt) + 7iTi\dt, (39)

где I\ = rf > 0 - положительно определенные матрицы порядка (I + 1) х (/ + 1), 7* > 0 -некоторые числа.

Рассматриваются вещественные матрицы Н — Нт > 0, д порядков п х п, I х 1, соответственно, и число р > 0, такие, что:

НА, + AJH < -рН, HBL = Стд, (40)

где А, = Al + InL.

Считается, что выполнены условия согласованности структуры подсистем St со структурой лидирующей подсистемы: для любого f € Н существуют векторы щ = fi(0 ё К1 и числа 6i = > 0, такие что для i = 1,..., N

AL = A + BtuJCT, BL = ел.

Устанавливаются достаточные условия достижения цели управления при липшицсвых нелинейностях.

Теорема 6. Пусть для всех £ G Н выполнены условия согласованности, функция ^о(') глобально липшицева с константой L, пусть Вl ф 0, Al гурвицева и для некоторого выполнены следующие частотные неравенства:

RegTx(i" ~ L)u > 0, lim ш2Яедтх(ги; - L) > 0, (41)

U1 —* ОС

для всех ш S R1. Тогда существуют такие Н = НТ > 0 и р > 0, что выполнено (40). Введем обозначение = fxZTa'i] Если для всех г = 1 ,...,N выполнено

условие

Si > 0, (42)

то для всех feSui = l,...,JV адаптивное управление (38), (39) обеспечивает достижение цели (37), при этом векторы настраиваемых параметров Ti(t) остаются ограниченными для всех решений замкнутой системы (35), (36), (38), (39).

В Заключении приводятся результаты работы.

1. Синтезированы децентрализованные адаптивные регуляторы по выходу для сетей, состоящих из идентичных взаимосвязанных объектов в форме Лурье для задачи слежения за лидером при наличии ограниченных возмущений в случаях глобально липшицевых нслинейностей и монотонных нелинейностей. Предложена децентрализованная структура адаптивного регулятора с зоной нечувствительности на основе пассификации и получены условия достижения цели управления и ограниченности траекторий.

2. Синтезированы децентрализованные адаптивные регуляторы по выходу для сетей, состоящих из неидентичных взаимосвязанных объектов в форме Лурье со структурой, согласованной со структурой лидирующей подсистемы, для задачи слежения за лидером при наличии ограниченных возмущений в случае монотонных нелинейностей. Получены условия достижения цели управления и ограниченности траекторий.

3. Синтезированы децентрализованные адаптивные регуляторы для сетей, состоящих из идентичных взаимосвязанных объектов, для задач слежения за лидером при наличии стохастических возмущений типа белого шума в случаях глобально липшицевых нелинейностей и монотонных нелинейностей. Предложена децентрализованная

структура адаптивного регулятора с отрицательной параметрической обратной связью на основе пассификации и получены условия достижения цели управления и ограниченности траекторий.

4. Синтезированы децентрализованные адаптивные регуляторы для сетей, состоящих из неидентичных взаимосвязанных объектов со структурой, согласованной со структурой лидирующей подсистемы, для задач слежения за лидером при наличии стохастических возмущений типа белого шума в случае глобально липшицевых нелинейно-стей. Получены условия достижения цели управления и ограниченности траекторий.

5. Синтезирован алгоритм управления сетями цепей Чуа с возмущениями и получены условия их работоспособности.

Публикации автора по теме диссертации:

1. Григорьев Г. К., Фрадков А. Л. Децентрализованное адаптивное управление синхронизацией сетей динамических систем с белошумной помехой // Информатика и системы управления. 2012. №. 31. С. 175-182.

2. Fradkov, A. L., Grigoriev G. К., Selivanov A. A. Decentralized Adaptive Controller for Synchronization of Dynamical Networks with Delays and Bounded Disturbances // Proceedings of the 50th IEEE Conference on Decision Control. Orlando. Dec. 2011. P. 1110-1115.

3. Selivanov A., Grigoriev G., Fradkov A. Adaptive synchronization of networks with bounded disturbances or delays under incompleteness of measurement and control // 5th International Conference "Physics and Control". Leon. Sept. 5-8. 2011.

URL: http://lib.physcon.ru/doc?id=2a3dddla33bb

4. Fradkov A. L., Grigoriev G. K., Junussov I. A., Selivanov A. A. Decentralized output feedback synchronization of dynamical networks // Abstracts of International Workshop "Spatio-temporal dynamical systems". Moscow. Russia. Aug. 18-20. 2011. P. 22-23.

5. Fradkov A. L., Razuvaeva I. V., Grigoriev G. K. Passification Based Adaptive Control Under coordinate-Parametric White Noise Disturbances // Preprints of the 8th IFAC Symposium NOLCOS. Bologna. 2010. P. G59-G64.

6. Grigoriev G. K. Decentralized adaptive synchronization of dynamical networks with white noise disturbances // Abstracts of G-RISC International Students Conference "Science and progress". Peterhof. Nov. 14-18. 2011. P. 70.

7. Grigoriev G. K. Adaptive Synchronization of Dynamical Networks with Lipschitz-type Nonlinearities Under Bounded Disturbances // Preprints of the 14th International Student Olympiad on Automatic Control (Baltic Olympiad). Saint-Petersburg. Russia. Sept. 21-23. 2011. P. 145-149.

Подписано в печать 16.04.12 Формат 60х84'/]б Цифровая Печ. л. 1.0 Тираж 100 Заказ 11/04 печать

Отпечатано в типографии «Фалкон Принт». Корректор Викулин A.B. (197101, г. Санкт-Петербург, ул. Большая Пушкарская, д. 54, офис 2)

61 12-1/917

Санкт-Петербургский Государственный Университет Математико-Механический факультет

На правах рукописи

Григорьев Григорий Константинович

Адаптивное управление сетевыми динамическими системами с возмущениями

01.01.09 - Дискретная математика и математическая кибернетика

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель д. т. н., проф. Фрадков А.Л.

Санкт-Петербург - 2012

Содержание

Введение ......................................................................4

Глава 1. Предварительные сведения..................................11

1.1. Теорема о конвективной устойчивости при неоднородных связях 11

1.2. Матричные неравенства.......................12

1.3. Стохастические дифференциальные уравнения .........13

1.4. Пассивность и пассификации....................17

1.5. Лемма Якубовича-Калмана.....................21

Глава 2. Децентрализованное адаптивное управление синхронизацией сетей динамических систем при ограниченных возмущениях .................................22

2.1. Постановка задачи управления сетями идентичных объектов . 22

2.2. Синтез управления .........................23

2.3. Условия синхронизации.......................25

2.4. Постановка задачи управления сетями неидентичных объектов 33

2.5. Синтез управления .........................35

2.6. Условия достижения цели управления ..............36

2.7. Пример. Сеть цепей Чуа.......................38

Глава 3. Децентрализованное адаптивное управление сетями динамических систем с белошумной помехой..........44

3.1. Постановка задачи управления сетями идентичных объектов . 44

3.2. Синтез управления .........................45

3.3. Условия достижения цели управления ..............46

3.4. Постановка задачи синхронизации неидентичных систем .... 51

3.5. Синтез управления .........................53

3.6. Условия достижения цели управления ..............53

Заключение..................................58

Список иллюстраций............................60

Литература..................................61

Введение

В последнее десятилетие наблюдается рост интереса к управлению сетями взаимосвязанных систем. Это вызвано не только относительной новизной темы, но и практической значимостью, поскольку множество физических объектов могут рассматриваться как взаимосвязанные системы. К ним можно отнести телекоммуникационные сети, молекулярные ансамбли, биологические объекты, пищевые цепочки, встраиваемые системы, коллективы роботов или транспортных средств, многоядерные процессоры. К задачам теории управления в сетях относятся следующие задачи: управление с целью синхронизации [1, 25, 40, 44, 55, 58], управление с ограничениями на информационный канал [31, 45], управление движением групп мобильных роботов (мультиа-гентные системы - Multiagent Systems) [20-22, 38, 39, 42, 43, 46, 47, 54] в том числе и предотвращения столкновений (Collision Avoidance) [24, 26, 50, 51] и т.д. Кроме того, в задачах кибернетики рассматриваются проблемы передачи шифрованных сообщений [8, 41] с помощью сетей, а также сенсорные сети. Разработка подобных систем связана со стремительным развитием информационных и коммуникационных технологий, включающих беспроводную связь, беспроводные сенсоры, многоядерные процессоры, процессорные сети и телекоммуникационные сети. Возрастает интерес к моделированию и управлению в биологических, биохимических и социальных сетях. Однако синтез регуляторов, обеспечивающих желаемое поведение объектов сети, затруднен сложностью и пространственной распределенностью этих объектов, а также ограничениями на обмен информацией между ними, что повышает интерес к построению алгоритмов децентрализованного управления.

Хотя задачи децентрализованного управления хорошо исследованы в работах Воронова, Миркина, Мюррея, а также в [15, 27, 49], постоянно возника-

ют все более сложные задачи, например, управление через канал с ограниченной пропускной способностью или управление через канал связи с наличием различных искажений. Новые задачи требуют одновременного рассмотрения аспектов теории управления, кодирования, информации и численных методов, а также некоторых областей физики (статистической механики). В большинстве существующих работ по адаптивному управлению на основе пасси-фикации, например, в [2, 7, 12-14, 28], рассматриваются лишь детерминированные системы. В то же время в практических задачах не всегда возможно задать точную математическую модель, и для учета погрешностей в уравнения объектов вводятся возмущения, которые зачастую носят случайный характер и оказывают существенное влияние на динамику системы. Решение некоторых задач адаптивного управления объектами, описываемыми стохастическими дифференциальными уравнениями, на основе пассификации изложено в книге [10]. Результаты [10] интерпретируются как решение задачи адаптивной стабилизации линейных объектов, в которых ограниченные возмущения типа белого шума действуют либо на параметры объекта, либо на его координаты. В работе [16] рассмотрена задача адаптивной стабилизации при наличии координатно-параметрических стохастических возмущений типа белого шума, а в работах [4, 5] рассмотрены задачи идентификации и адаптивного управления для объектов с различными ограниченными возмущениями, но только для одного объекта.

Несмотря на большой интерес к управлению сетями, пока решен только ограниченный класс задач управления и синхронизации. К примеру, в существующих работах по синхронизации и групповому управлению в основном рассматриваются линейные модели подсистем [45]. В работах [40, 55, 58] предполагается, что все состояния отдельной подсистемы доступны измерению, а также что управление входит во все уравнения подсистем.

Целью работы является синтез регуляторов по выходу, обеспечивающих сходимость в некоторую область решений динамических систем с возмущениями, образующих сети, при неполных измерениях и управлениях для различных случаев.

В работе рассмотрены задачи управления в сетях двух типов.

1. Управление синхронизацией в сетях взаимосвязанных динамических объектов в форме Лурье при наличии ограниченных возмущений.

2. Управление синхронизацией в сетях взаимосвязанных объектов со стохастическими возмущениями типа белого шума, описываемых стохастическими дифференциальными уравнениями.

В первом типе задач ограниченные возмущения считаются частью взаимосвязей между подсистемами, для достижения цели управления используется модель "ведущая-ведомые подсистемы" с неоднородными связями (leader-follower или master-slave). Во втором типе задач возмущения уже не считаются ограниченными, а принимаются белошумными с ограниченной интенсивностью. Для описания таких систем используются системы стохастических дифференциальных уравнений Ито. Задачи первого типа рассматриваются в главе 2, второго типа - в главе 3.

Диссертационная работа организована следующим образом: в первой главе приводятся вспомогательные результаты, необходимые для дальнейшего изложения: частотная теорема (лемма Якубовича-Калмана), некоторые матричные неравенства, сведения из теории стохастических дифференциальных уравнений, а также предложенные A. JI. Фрадковым методы пассификации и скоростного градиента в задачах децентрализованного управления и в задачах управления объектами, описываемыми стохастическими дифференциальными уравнениями; во второй и третьей главах изложены основные ре-

зультаты работы.

В главе 2 /диссертации рассматриваются идентичные объекты, описывающиеся уравнениями в форме Лурье (то есть системами дифференциальных уравнений первого порядка, правые части которых разбиты на линейную и нелинейную компоненты), при неполных наблюдениях и управлениях в различных случаях при наличии ограниченной помехи в уравнениях объектов. Синтез регуляторов производится с помощью метода скоростного градиента, предложенного в работах [7, 14, 15] и методов огрубления, предложенных в [27, 34]. Связи между объектами не предполагаются линейными, они могут быть нелинейными. В отличие от известных работ, например, [58], считается, что измерению доступна лишь некоторая функция состояния, а не все состояние отдельной подсистемы, а также, что управление входит не во все уравнения подсистем. Предполагается, что связи между объектами зависят от вектора неизвестных параметров. Кроме того, коэффициенты в уравнениях объектов сети в случае согласованности структур агентов со структурой лидирующей подсистемы также считаются зависящими от вектора неизвестных параметров. Выделяется ведущая (лидирующая) подсистема, являющаяся изолированной, т. е. не связанной с остальными. Функция управления ведущей подсистемы считается известной. Ставится задача нахождения функций управления взаимосвязанными подсистемами и условий, обеспечивающих синхронизацию, т. е. стремление вектора состояния каждой подсистемы в некоторую окрестность траектории ведущей подсистемы. Цель управления должна достигаться для каждого вектора неизвестных параметров из некоторого класса. Доказывается, что для достижения цели управления для некоторой, достаточно большой области достаточно потребовать гипер-мини-мально-фазовость функции некоторого вида и малость взаимосвязей. Полученные результаты демонстрируются на примере синхронизации нескольких

взаимосвязанных цепей Чуа с возмущениями, проявляющих хаотическое поведение.

В разделах 2.1-2.3 главы 2 диссертации рассматриваются два случая уравнений подсистем: случай подсистем с липшицевыми нелинейностями и случай подсистем с нелипшицевыми нелинейностями, для которых выполнено некоторое условие монотонности. Поставленные задачи решаются с помощью результатов, изложенных в [15-18, 34, 41]. Алгоритм адаптации синтезируется методом скоростного градиента с последующим огрублением.

В разделах 2.4-2.6 приводится постановка задачи управления неидентичными системами, структурно согласованными между собой, при наличии ограниченных возмущений. При предположениях о строгой пассивности лидирующей подсистемы получаются условия достижения цели управления в виде сходимости решения каждой подсистемы в некоторую окрестность ведущей подсистемы.

В разделе 2.7 полученные результаты иллюстрируются примером синхронизации нескольких взаимосвязанных цепей Чуа с ограниченными возмущениями, проявляющих сложное поведение.

В главе 3 работы рассматриваются сети динамических объектов с возмущениями типа белого шума с ограниченной интенсивностью. Снова предполагается, что связи между объектами могут быть нелинейными и что измерению доступна лишь некоторая функция состояния, а не все состояние отдельной подсистемы, а также, что управление входит не во все уравнения подсистем. Как и в главе 2, считается, что связи между объектами зависят от вектора неизвестных параметров, а в случае согласованности коэффициенты в уравнениях объектов сети также считаются зависящими от вектора неизвестных параметров. Выделяется ведущая (лидирующая) подсистема с известной функцией управления и ставится задача нахождения децентрали-

зованного алгоритма адаптивного управления и условий, обеспечивающих сходимость вектора состояния каждой подсистемы в некоторую окрестность ведущей подсистемы в среднеквадратическом. Цель управления должна достигаться для каждого вектора неизвестных параметров из некоторого класса.

В разделах 3.1-3.3 рассматриваются сети идентичных объектов с возмущениями типа белого шума с ограниченной интенсивностью, описываемых стохастическими дифференциальными уравнениями для подсистем с липши-цевыми нелинейностями и подсистем с нелипшицевыми нелинейностями, для которых выполнено некоторое условие монотонности.

В разделах 3.4-3.6 приводится постановка задачи управления сетями неидентичных объектов, описываемых системами стохастических дифференциальных уравнений, структурно согласованными между собой. При предположениях о строгой пассивности лидирующей подсистемы получены условия достижения цели управления в виде сходимости решения каждой подсистемы в некоторую окрестность ведущей подсистемы в среднеквадратическом.

Выбор линейных регуляторов в работе мотивируется тем, что подход к решению задач основан на использовании квадратичной функции Ляпунова в случае ограниченных возмущений и квадратичной стохастической функции Ляпунова в случае возмущений типа белого шума, и линейные регуляторы с настраиваемыми коэффициентами приводят к эффективно решаемым матричным неравенствам.

Согласно замечанию 3 из раздела 2.3.1, все теоремы глав 2 и 3 могут быть сформулированы в терминах входящих степеней вершин графа связей.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 печатных работ: [6, 32, 33, 35-37, 48],- из них 5 - в соавторстве. Работы [6, 33] опубликованы в изданиях из перечня ВАК.

В работах, написанных в соавторстве, Г. К. Григорьеву принадлежит в [33, 48] - формулировка и доказательство теорем про сети динамических систем с ограниченными возмущениями, остальным авторам - общая постановка задач и формулировка и доказательство теорем про сети динамических систем с задержками, в [32, 35] Г. К. Григорьеву принадлежат условия пас-сификации стохастических систем, а соавторам принадлежит общая постановка задачи, детализация алгоритмов управления и доказательство теорем, в [6] Г. К. Григорьеву принадлежит реализация описываемых методов, формулировка и доказательство теоремы, а А. Л. Фрадкову - общие постановки задач.

и

Глава 1

Предварительные сведения

В главе приводятся вспомогательные результаты, используемые в работе.

1.1. Теорема о коннективной устойчивости при неоднородных связях

Для изложения результатов работы нам потребуется теорема о коннективной устойчивости систем с неоднородными связями 2.19 из [15].

Теорема 1.1 (О коннективной устойчивости систем с неоднородными связями). Рассмотрим систему, состоящую из N взаимодействующих подсистем, динамика каждой из которых описывается уравнением

xi = Fi(xi,6i,t) + hi(x,6,t), i = l,...,K, (1.1)

= f -ГЛ^ОсьМ), Qi(xi(t),t) > Дг

0 , Qi{xi(t), t) < Ai.

где Xi G Rn% в{ € Mm%

ufa, 6i,t) = + VQi(xz, t)TFi(xi, M),

здесь Q(-) - некая целевая функция, m = Y^iLimi> n = YliLi ni- Предположим, что для (1.1) выполнены следующие группы условий

1. Функции Fi(-) непрерывны по Xi и U, непрерывно дифференцируемы по 9i и локально ограничены по t > 0; функции LJi(xi,0i,t) выпуклы по в существуют векторы 9* G Кт' и скалярные непрерывные возрастающие функции h{Q), pi(Q) такие, что ki(0) = pi{0) = 0, h{Q) —> -foo

—» оо при —>• +00.

< (1.3)

и

Яг{х,И1) > кг{\\хг~Х*(Щ), где х\ — агдтгПх^^Хг, £) и ¿) = 0.

2. Функции ¡1{(х,9,€) непрерывны и удовлетворяют неравенствам

I

< ! <}>- (1-4)

3=1

где матрица М — I гурвицева, М = {/¿г/}, /-¿г? ^ 0, I - единичная матрица; ^ > 0; причем Д; в (1.2) выбраны из условий

Рг(Д*) > Г*, (1.5)

г — (I — г = со1{г\,..., п), с? = со1{д\,...,

Тогда все траектории системы (1.1), (1-2) ограничены и при этом

< Дг, г =

4—5-00

1.2. Матричные неравенства

В этом разделе приводится несколько матричных неравенств, сформулированных в виде леммы.

Лемма 1.2.1. Пусть в, в0 - (1хт)-матрицы, Н0 = Щ > 0 - пхп-матрица, И{ = > 0 - I х I-матрицы. Тогда для любых векторов х € К.п, / € и

чисел а > 0, > 0 Уг = 0 ,т выполнены следующие неравенства

2.ттЯ0/ < р0хТН0х + —/ТЯ0/, (1.6)

Мо

а2

- 2а(вг - в°)тН$ < - 6°)тНг(вг - в*) + ~(в°унгв°г (1.7)

Мг

для любого //г- >0,1 = 0, т, где 6® - столбцы матриц 0, в0.

1.3. Стохастические дифференциальные уравнения

В данном разделе приводятся сведения из теории стохастических дифференциальных уравнений. Введем определение стохастического дифференциального уравнения. Пусть XI - семейство векторов в евклидовом пространстве Мп, зависящих от вещественного параметра I ^ 0. Рассмотрим вектор-функцию а^,х) = (а\(Ь, х),..., ап(Ь, х)) и (п х к) матричную функцию <7(£,я) = \\сг^,х)\\.

Стохастическое дифференциальное уравнение Ито записывается следующим образом:

(1x1 = х^сИ + ст(Ь) Х1)(1и)р (1.8)

Точный смысл этого выражения вытекает из его записи в интегральной форме.

I г

г

XI = гго + а(з,х3)с1з+ а{з,хь)(1т3. (1.9)

¿0 ¿0

í

где Шг — ^-мерный Винеровский процесс, а ^ х3)(1т3 - стохастический

¿0

интеграл Ито.

Пусть (О = {ш}, IX, Р) - некоторое вероятностное пространство. Функция Х{£) — € Г,ы е О, со значениями в называется случайным про-

цессом, если при каждом Ь является случайной величиной. Процесс

Х(Ь,и), Ь € Т, называется сепарабелъным, если существуют такие счетное всюду плотное множество Л 6 Т и событие А7" ненулевой вероятности, что для любого замкнутого множества Г и любого открытого множества Т\ С Т

найдется множество А С N, для которого

{X(t, ш) G Г при t G Ti} = {X(t, си) G Г при t G ATi} \ A.

Назовем сепарабельный процесс wt — w(t) = w(t, ш) со значениями b!,î ^ О, стандартным винеровским процессом, если:

1. w(0) = 0, Ew{t) = 0, Ew2(t) = ¿,

2. приращения процесса w(t) — w(u), w(v) — w(s) независимы при любых

t > и ^ v > 5,

3. при любых фиксированых t, h ^ 0 случайная величина w(t + h) — w(t) распределена по нормальному закону, так что

1

P{W(t + h)~ W(t) G Г} =

y/2nh

e~y /mdy, Г G 25.

Г

к

Стандартным винеровским процессом со значениями в К называется процесс т(Ь) = (^г(^),..., и>й(£)), каждая компонента которого является стандартным винеровским процессом, причем процессы ..., независимы в совокупности.

Пусть /(¿) - некоторая функц