Аэрогидродинамический анализ упругих элементов движущего типа методом интегральных уравнений тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Тарасов Александр Евгеньевич

АЭРОГИДРОДИНАМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ УПРУГИХ ЭЛЕМЕНТОВ ДВИЖУЩЕГО ТИПА МЕТОДОМ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Специальность 01.02.05 — «механика жидкости, газа и плазмы»

28 0КТ

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Работа выполнена в Федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего образования «Южный федеральный университет»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Сумбатян Межлум Альбертович

Официальные оппоненты: Лежнев Виктор Григорьевич,

доктор физико-математических наук, профессор, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кубанский государственный университет», заведующий кафедрой

Королев Виталий Владимирович,

кандидат физико-математических наук, Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Волгоградский государственный университет», доцент

Ведущая организация: Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Казанский (Приволжский) федеральный университет»

Защита состоится «18» декабря 2015 г. в 14-00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.029.08 при Волгоградском государственном университете по адресу: 400062, г. Волгоград, пр-т Университетский, 100.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГАОУ ВПО «Волгоградский государственный университет» и на сайте: http:\volsu.ru.

Автореферат разослан « » ОкТ^ЯрЯ— 2015 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.029.08,

доктор физико-математических наук ? В.А. Михайлова

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Исследование малых подводных необитаемых аппаратов и микролетательных аппаратов с пропульсивной системой типа машущее крыло и волновыми движителями в виде цилиндрической оболочки является бурно развивающейся областью исследований в последние годы, и представляет большой интерес как с точки зрения практического использования, так и при теоретическом изучении гидродинамических характеристик, присущих гидробионтам. Аэродинамика машущего крыла является неустойчивой. Кроме того, машущие крылья испытывают высокочастотные колебания, приводящие к значительным деформациям. Понимание физики, лежащей в основе аэроупругой системы машущего крыла, является ключевым для моделирования движителей машущего типа.

В связи с этим, настоящая работа посвящена изучению взаимодействия движителей типа машущее крыло и волновых движителей в форме цилиндрической оболочки с жидкостью. При исследовании таких задач рассматривается взаимодействие тела со средой. При этом основной акцент делается на исследование механизма возникновения силы тяги, генерируемой гармоническими колебаниями упругой системы в жидкости или газообразной среде. Вследствие движения тела меняется характер обтекания, аэрогидродинамические характеристики среды, а также и само поведение конструкции за счет изменения параметров гидродинамики. Таким образом, необходимо рассматривать задачу с двух сторон, вычисляя характеристики движения тела и среды вокруг него. Данная работа в основу алгоритма решения ставит аналитические и аналитико-численные методы.

Целью данной работы является разработка новых полуаналитических методов расчета движителей двух типов: движителя вида машущее крыло и волнового движителя в форме оболочки, в жидких и газообразных средах.

Для достижения поставленной цели исследования были сформулированы следующие задачи:

1. Построение математической модели колебания упругого машущего крыла в покоящейся жидкости и в потоке несжимаемой жидкости.

2. Построение математической модели колебания круговой цилиндрической оболочки в покоящейся сжимаемой жидкости, а также в потоке несжимаемой жидкости.

3. Разработка и программная реализация аналитического алгоритма решения задач обтекания тонкостенных упругих тел и определение возникающих аэрогидродинамических характеристик.

4. Проведение верификации расчетного метода для различных модельных задач, сравнение результатов, полученных расчетным алгоритмом с ранее известными численными и экспериментальными данными других авторов.

5. Анализ полученных расчетных зависимостей аэрогидродинамических характеристик движителя для различных физических параметров.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Математическая модель взаимодействия потоков жидкостей и газа с гармонически колеблющимися тонкостенными упругими системами.

2. Обоснование физических принципов возникновения силы тяги движителей пропульсивного типа при гармонических колебаниях упругих систем в жидкостях и газах.

3. Алгоритм сведения гидроупругих и аэроупругих задач к системам интегро-дифференциальных уравнений.

4. Метод численного решения полученных интегро-дифференциальных уравнений.

5. Обоснование применимости разработанных методов и алгоритмов к расчету силы тяги движителей типа машущее крыло и волновых движителей в форме цилиндрической оболочки

Научная новизна:

1. Выведена аналитическая зависимость формы колебания упругой пластинки от давления окружающей среды.

2. Смоделирована трехмерная задача обтекания упругого деформируемого крыла, совершающего гармонические колебания в набегающем однородном потоке идеальной несжимаемой жидкости. Исследовано влияние физических параметров крыла на аэродинамические характеристики. Построена зависимость силы тяги машущего крыла от частоты колебаний.

3. Определена форма колебаний круговой цилиндрической оболочки, совершающей гармонические колебания в идеальной сжимаемой жидкости.

4. Выведена формула для силы тяги оболочки, совершающей гармонические колебания в идеальной несжимаемой жидкости, являющаяся обобщением известной формулы Л. И. Седова для плоской задачи.

4

5. Рассмотрена задача о движителе, представленном в виде упругой цилиндрической оболочки, находящейся в потоке идеальной несжимаемой жидкости. Исследовано влияние числа Струхаля на силу тяги вибрирующей оболочки.

6. Предложены новые методы численно-аналитического решения интегральных уравнений первого рода, возникающих в смешанных задачах о гармонических колебаниях тонких упругих тел в потоках жидкости.

Научная и практическая значимость результатов исследования состоит в возможности использования предложенного в диссертации алгоритма для более широкого диапазона задач. Метод позволит исследовать проблемы проектирования тел с выбором наиболее эффективных характеристик и режимов колебания, рассчитывать аэродинамические нагрузки на обтекаемые поверхности упругих тел. Результаты и методы проведенных исследований можно использовать для нахождения оптимальных законов движения пропульсивных систем и выбора их оптимальных физических характеристик. На основе полученных решений возможна разработка новых механизмов движителей плавательных аппаратов, имеющих повышенный коэффициент полезного действия.

Степень достоверности полученных результатов в диссертационном исследовании обеспечивается строгостью математического аппарата, использованием достоверных методов обработки данных, анализом полученных результатов, а также сравнением результатов с данными экспериментов и численных расчетов, выполненных известными численными методами. Результаты находятся в соответствии с результатами, полученными другими авторами. Представленные в работе расчеты аэродинамических характеристик и сравнение их с численными данными и результатами экспериментов позволяют сделать вывод об адекватности применяемых подходов.

Апробация работы. Основные результаты исследования, приведенные в диссертационной работе, обсуждались и докладывались на следующих всероссийских и международных конференциях: XV Международная конференция «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2011), ICNPAA 2012 World Congress: Mathematical Problems in Engineering, Aerospace and Sciences (Вена, Австрия, 2012), XVI Международная конференция «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2012), IV Международная научная конференция «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения IV» (Ростов-на-Дону, 2014), Second project meeting Seventh Framework Program Marie Curie Actions «Innovative nondestructive testing and

5

advanced composite repair of pipelines with volumetric surface defects» (Ростов-на-Дону, 2014), VIII Международная конференция «Проблемы динамики взаимодействия деформируемых сред» (Горис, Армения, 2014), IV Международная конференция «Актуальные проблемы механики сплошной среды» ТРСМ-2015 (Цахкадзор, Армения, 2015).

Диссертационная работа выполнена при поддержке гранта проектной части госзадания Министерства образования и науки Российской Федерации № 9.1371.2014/К

Личный вклад. Исследования, изложенные в диссертации, выполнены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в работу включен материал, который непосредственно принадлежит соискателю, заимствованный материал обозначен в работе ссылками.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 13 печатных изданиях [1-13], 4 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК России [1-4], 2 — в тезисах докладов [8,11].

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и трех приложений. Полный объем диссертации 139 страниц текста с 16 рисунками и 2 таблицами. Список литературы содержит 161 наименование.

Содержание работы

Во введении мотивируется актуальность темы диссертации, сформулированы цель и задачи исследования, описаны основные результаты диссертации и информация об их апробации, кратко изложено содержание работы.

В первой главе диссертации дан обзор истории развития проблемы и описание современных экспериментальных и теоретических методов исследования аэродинамики деформируемых упругих тел в жидкости.

Во второй главе «Гармонические колебания тонкой упругой пластинки в идеальной несжимаемой жидкости» проводится исследование гармонических колебаний прямоугольной упругой пластинки в несжимаемой жидкости с учетом изменения давления окружающей среды. В разделе 2.1 кратко описываются основные классы интегральных уравнений, которые встречаются в результате решения задач, изложенных в диссертационной работе. В разделе 2.2 сформулированы основные уравнения и граничные условия задачи. Вводится функция колебания крыла W{y,t) = Re{W(y)e~luJt}, которая определяет форму пластинки. В линейном приближении подразумевается, что \dW/dy\ 1.

Полагается, что упругая пластинка является достаточно удлиненной так, что ее колебания можно описать уравнением колебания балки

О

¿У1 ти;2\У(у) = г(у)+р0Ъ25(у-у0), г (у) =|(р_ -р+)ёх, (1)

-ь

где р- и р+ обозначают давление снизу и сверху от пластинки, тогда— р+ — это разность между давлением снизу и сверху пластинки. Кроме того, функция ро$(у — т/о) обозначает амплитуду внешней гармонической во времени сосредоточенной силы, приложенной к балке в точке у = у0, при этом множитель Ъ2 включен для того, чтобы все члены в уравнении (1) имели одну и ту же размерность.

Боковые кромки пластинки свободны

й2\У ¿НУ

= (У = ±4- (2)

Линейная теория подразумевает малость скорости и изменения давления. При рассмотрении гидродинамической картины предполагается потенциальность гидродинамического поля на всем трехмерном пространстве вне пластинки. Потенциал скоростей удовлетворяет уравнению Лапласа, что следует из уравнения неразрывности

сНу?) = 0, V = gradí/?, ==> А<р = 0 (3)

Линеаризованный интеграл Коши связывает потенциал скоростей и гидродинамическое давление

| + | = =>-^ + £ = 0, (4)

где р — плотность жидкости.

Гидродинамические граничные условия принимают следующую форму. Условие отсутствия возмущений вдали от крыла: поскольку потенциал определен с точностью до произвольного слагаемого, он принимается исчезающим на бесконечности: </>-»• 0, (х,у,г ±оо). Вне пластинки давление и потенциал непрерывными:

Р-=Р+, <р- = 1р+, 2 = 0, (х,у) <£ 5. (5)

Условие непроницания на пластине записано в виде:

= ^ = г = 0, {х,у)&3 (6)

Вводится неизвестная функция д{х,у):

1 [О, (х,у)

-2(Р+-Р-).=0=Р+(х,У, + *) = {д[ху1 (7)

Применение двумерного преобразования Фурье, с учетом (6), приводит к основному двумерному интегральному уравнению, ядро которого является двумерным интегралом: ъ I

1 ¡КЦ - х,т, - у)д(£, ^¿г, = - Ш{у), (И < Ь, \у\ < £), (8)

4тг 2ш2р

-ъ -е

оо

К{£,Т}) =Лу/^+Р е^^йайр. (9)

—эо

Ядро К(£,Г)) здесь понимается в обобщенном смысле.

Таким образом, задача сводится к системе двух уравнений: интегрального (8) и дифференциального (1).

В разделе 2.3 решение основного интегрального уравнения (8) представляется в виде разложения в ряд по ортогональным многочленам Чебы-шева 2-го рода.

= (10)

Задача сводится к бесконечной системе одномерных интегральных уравнений.

е

Ь2 Ар и>

£ [мпк(т]-у)дк(ч)с1т] = Еп(у), \у\<е, п = 0,1,...

I—п

к=О

6 оо

^п(у) = -1^ь^\У{у) ип[йх, ММ = IЬпк(ру?Чр, (11)

-Ъ -оо

00

(п + 1)^^М^М¿а, п,к = 0,1,...

—оо

Асимптотическое приближение позволяет решать каждое уравнение системы независимо друг от друга. Поскольку большое удлинение пластинки физически эквивалентно малости полуширины Ь (по сравнению с полуразмахом /), то ядра Ыпк берутся в «вырожденном» виде. Доказывается, что при Л = £/Ь —»■ оо внедиагональные элементы (к ф п) системы (11) исчезают, и,

в первом приближении, система сводится к набору независимых соотношений. Таким образом, решение интегрального уравнения приводит к основному обыкновенному дифференциальному уравнению четвертого порядка для функции колебания пластинки, решение которого представленно в разделе 2.4.

Дифференциальное уравнение, определяющее амплитуду колебаний пластинки, принимает вид:

- СМ,) = - у0), (СО- = (т + «р*) ■ (12)

Решение ОДУ 4-го порядка (12) с граничными условиями (2) представляется как сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения полного неоднородного уравнения (12). Последнее записано в виде тригонометрического ряда по переменной у, не удовлетворяющего никаким граничным условиям. Полученное общее решение ОДУ (12) должно удовлетворять четырем граничным условиям (2), решения записанное в явном виде. Найденное решение позволяет определить форму колебаний. В разделе 2.5 приводятся численные результаты расчетов представленным алгоритмом. Построен график колебаний алюминиевой пластинки при различных значениях плотности воздуха. Проведено сравнение полученных результатов с данными натурных экспериментов.

В третьей главе «Математическая модель движителя в виде машущего крыла» рассматривается задача о колебаниях машущего прямоугольного упругого крыла в стационарном потоке несжимаемой жидкости. В разделе 3.1 приводится постановка задачи, сформулированы граничные условия.

Прямоугольное в плане крыло 5 = (~Ь,Ь) х (—£,£) находится в однородном на бесконечности потоке идеальной несжимаемой жидкости, щ — скорость потока. Для больших удлинений крыло аппроксимируется упругой балкой длиной 21 с постоянной жесткостью на изгиб EJ и линейной плотностью тп, на которую жестко насажены прямолинейные недеформируемые хорды длиной 26. Балка может только изгибаться и все хорды остаются параллельными друг к другу, т.о. балка абсолютно жесткая относительно кручения.

Вследствие того, что на оси симметрии х балку вынуждают гармонически колебаться с амплитудой перемещения \¥о и амплитудой угла установки эти колебания распространяются на все крыло. Вся картина колебания считается симметричной по у и происходящей при нулевом угле атаки крыла. Таким образом, здесь в первую очередь интерес представляет образование силы тяги машущего крыла, а не его подъемной силы. Предполагая малость

9

вносимых крылом в поток возмущений, задача решается в линейной постановке.

Рассматривая крыло как упругую систему, записывается уравнение колебания балки

ъ

~ 2(у) = ¡(р--р+)<ь, (13)

—Ь

где р- и р+ обозначают распределенную нагрузку вдоль хорды, при этомр_ -р+ — это разность между давлением снизу и сверху крыла, соответственно.

Боковые грани крыла свободны от нагрузки, поэтому граничные условия для колеблющейся балки формулируются в следующем виде:

т

цг = 1¥0, = (у = ±0);

(14)

= ^ = 0 (У = ±е).

¿у2 с1у3

X — сдвиг фаз угловых колебаний относительно вертикальных, определенный на оси симметрии.

Линейная теория предполагает, что возмущения скорости и давления малы, относительно значений их величин и0,р0 на бесконечности (х — оо): V = щ + у', р = р0+ р', |г>'/«о| < 1) \р'/Ро\ < Гидродинамическое поле предполагается потенциальным во всем трехмерном пространстве вне крыла, и, за исключением вихревой пелены, которая тянется вдоль потока к х = +оо, за крылом, срываясь с задней кромки. Это означает для возмущенного вектора скорости: д'(х,у,г) = grad¡£ вне крыла и вне вихревой пелены.

Д^ = 0 (15)

Линеаризованный интеграл Лагранжа-Коши приобретает вид

— ш<р' + = —— ! (16)

ох р

где р плотность жидкости.

Гидродинамические граничные условия таковы. Условие отсутствия возмущений вдали от крыла: поскольку потенциал определен с точностью до произвольного слагаемого, его можно принять исчезающим на бесконечности перед крылом: —>■ 0 , (х —»■ —оо , г —¥ ±оо).

Однако давление и нормальная компонента вектора скорости непрерывны, следовательно

р'_=р'+, ^ = * = <>, (я*)* 5. (17)

дг дг 10

Условие иепроницания в линеаризованном виде записывается: . Т1Г д\У дш+

Вводится новая неизвестная функция д(х,у):

1 , , , . , , „ I 0, вне крыла

^(р'+-р'-)г=0=р'+(х,у, + 0) = \ ' (19)

^ I д(х,у),на крыле

При построении решения задачи применяется метод двумерного интегрального преобразования Фурье. Что позволяет вывести двумерное интегральное уравнение, записанное в безразмерном виде:

1 1

Ь

= {\х,у\ < 1); (20)

°-1 -1

эо --ос

+ -7г|^2 + (/3/Л)2е''(-^сг/3, (21)

-зс — эо

где все геометрические параметры вдоль оси х соотнесены с масштабами длины Ь, а вдоль оси у — с масштабом £. Отметим, что безразмерная величина V = шЬ/щ — число Струхаля, и безразмерный параметр Л = £/& — удлинение. Важно отметить, что (20) необходимо рассматривать совместно с (13). Таким образом, задача сводится к системе интегрального и дифференциального уравнений.

В разделе 3.2 строится решение интегрального уравнения в виде

ряда:

= (22) Здесь корень 1 — х)/(1 + х) является весом в условии ортогональности по-

(I _1)

линомов Якоби Рк2' 2 (х) на отрезке а; 6 (—1,1). Представлние (22) автомати-- чески удовлетворяет условию Жуковского-Чаплыгина о том, что на передней кромке давление обращается в бесконечность порядка 1 /л/1 4- х, х —ь — 1, а на задней - в ноль порядка \/1 — х , х —> 1.

Подстановка представления (22) преобразует интегральное уравнение (20) к бесконечной системе одномерных интегральных уравнений:

Ъ

ос

£ Мпк(г1-у)дкШг1 = Рп(у), \у\<1, п = ОД,... (23)

I—л

2Ри0

ОО 00

ММ =/ьпк Л/3, ьппф) = 2/ ,

-ос О

ОО

J 2 га

— ОО

Для случая большого удлинения применяется обоснованный асимптотический метод, сводящий бесконечную систему интегральных уравнений к системе независимых одномерных интегральных уравнений. Из которой выражается функция д{х,у) через функцию колебания крыла Ш(у).

Далее, в разделе 3.3 решается основное дифференциальное уравнение, позволяющее определить форму колебаний машущего крыла:

(Ч¥(у) = 0,

ми2 (24)

(С*)4 = 14/{^ + ^[1/ +2¿ОД]}, т = =

где переменная у в исходных размерностных координатах имеет размерность длины, а физические параметры т и г] — безразмерные, С (у) — функция Теодорсена.

После нахождения функции IV(у), в параграфе 3.3, для исследуемой задачи, выводится формула для определения подсасывающей силы, возникающей из-за квадратичной особенности давления на передней кромке крыла.

1 2 1 Т = -^Нт(1+х) [д{х,у)д*{х,у)<1у = ^%2|ОД|2 [ \\У(у)\Чу, (25)

-г -I

Далее, приводится формула расчета осреднённой за период работы сил давления

2

Не[ОД)] I \Ш(у)\Чу (26)

и коэффициента полезного действия.

Тщ |ОД| Л2М + У

Е Не[С7(1/)] Л2(г/) + У?{и) + 2/(тп/)

0.5 < а <1. (27)

Для проверки эффективности предложенного метода для некоторой стальной и алюминиевой пластинки, на основе линейной теории, определяется сила тяги (рис. 1,2), и показан пример ее оптимизации. Также построен график зависимости КПД а от числа Струхаля V.

Рис. 1: Сила тяги относительно числа Струхаля для стальной пластинки Ь = 0.1 м, (. = 0.5 м: \У0 = 0.1 м, IV! = 0.5, х = 0, щ = 10 м/с. Линии 1-5 соответствуют /г = 1, 1.5, 2, 2.5, 3 мм.

15 ОД а.25 0.3 0.35 0,4 0.4S у 0,1

Рис. 2: Сила тяги относительно числа Струхаля для алюминиевой пластинки Ь = 0.1 м, I = 0.5 м: \У0 = 0.1 м, Щ = 0.5, х = 0, и0 = Ю м/с. Линии 1-6 соответствуют к = 1, 2, 2.3, 2.4, 2.5, 3 мм.

Оптимизация может заключаться, например, в выборе лучшей толщины пластины и лучшей частоты махания, для обеспечения максимального значение тяги Т, с относительно высоким значением КПД а. Например, в физическом режиме, показанном на рис. 1, очевидно, что оптимальная толщина крыла 2 мм. При этом максимальное значение силы тяги, Ттах = 1057 Н достигается при popt = 0.42, ~ fopt = 6.7 Гц. Для такого оптимального значения v КПД составляет а = 66%. Аналогично, для случая, рассмотренного на рис. 2 оптимальное значение толщины h = 2.4 мм. При этом максимальное значение силы тяги, Ттах = 180 Я достигается при v^t = 0.48, ~ fopt = 7.6 Гц. Для такого оптимального значения v КПД составляет а = 64%.

В параграфе 3.4 приводится сравнение предлагаемого в диссертационной работе метода с прямым численным расчетом.

В четвертой главе основной целью является расчет движителя в виде цилиндрической оболочки, однако сначала формулируется задача о колебаниях упругой круговой цилиндрической оболочки в идеальной сжимаемой жидкости в линейной постановке. Решение этой задачи позволило определить

собственные частоты колебаний оболочки и, следовательно, не попасть на ре-

13

зонансные частоты при решении задачи для оболочки в режиме волнового движителя. В разделе 4.1 приводится математическая постановка задачи о колебаниях круговой цилиндрической оболочки в идеальной жидкости. Упругая круговая цилиндрическая оболочка помещена в идеальную баротропною жидкость, длиной — 2а, радиуса — Д, толщины — к {Н « а). Оболочка совершает малые изгибные осесимметричные колебания. Массовые силы отсутствуют. Ось Ох цилиндрической системы координат г, в, х направлена вдоль оси оболочки. Под воздействием изгибающих моментов Мх и поперечных сил <2х, равномерно распределенных по торцам оболочки, она совершает вынужденные гармонические колебания. Обозначим через IV = IV(х,£) — радиальные перемещения точек срединной поверхности. Перемещения, направленные к оси оболочки считаются положительными.

Уравнение движения оболочки в жидкости записывается в виде

ЕЙ

+ ^ + + (|1|<а) (28)

здесь £> = ЕИ3[ 12(1 — сг2)](-1' - изгибная жесткость оболочки, Е - модуль Юнга, (т - коэффициент Пуассона, t - время, раб - плотность оболочки, р = р(г,х,£) - гидродинамическое давление.

Граничные условия на торцах

я'2 тт/ яЗи/

(ж=±а) (29)

где ш - круговая частота.

Потенциал скорости при малых возмущениях удовлетворяет волновому уравнению:

<3°>

Давление р связано с функцией (р линеаризованным интегралом Лагранжа-Коши

(3.)

Сформулируем условие безотрывности обтекания жидкостью на обо-

д<р

г=Я-0 дг

дШ

= (|х| < а) (32)

=я+о 01

дф дг

При удалении от оболочки должны затухать вносимые ею возмущения. Необходимо, чтобы решение задачи удовлетворяло условию излучения на бесконечности Зоммерфельда.

Разобьем на две области пространство, которое занимает жидкость: 1) в < г ^ Д, 0 < в < 2тг, |х| < оо 2) Н^г < оо, 0 ^ в < 2тг, |х| < оо

Для обозначения функции в этих областях будем использовать индексы 1 или 2. Вне оболочки, на границе двух областей необходимо потребовать выполнения условия непрерывности движения жидкости

= ^ = ^ (г = Я,М>а) (33)

Введем функцию

1{Х) = —&---• (34)

Обобщенное интегральное преобразование Фурье по переменной х позволяет получить интегральное уравнение, связывающее две неизвестные функции 7(аг) и IV (х)

а

У 7(0^ / ^{кЩК^кЯУ^-^йа = -2тг^1У(:г) (|г| < а) (35)

—а Г

В разделе 4.2 представлено решение интегрального уравнения (35). Производится переход к новым обозначениям и безразмерным переменным. Таким образом, задача сводится к системе двух уравнений в безразмерном виде:

Ш1У{х) + (ц-ш2)\У(г)+/Зсо2д{г) = 0 (|х| < 1) (36)

1

/7(0Я(^)^ = 2ТГАИ^) (N^1) (37)

-1

ос

■у(х) = д'(х), Н{Ь) = J Ь3(и) 8т(иЬ)<1и о

Ь3(и) = -—/1 (V"2 — г/2) Кг (\/и2 - г/2) ->• 1 при и оо

здесь V = иИ/с — число Струхаля.

Функция IV(х) представляется в виде разложения в ряд по собственным формам колебаний оболочки со свободными концами в вакууме

м

т=0 (38)

Неизвестные Хт требуется определить. Функции — функции

Крылова, определяемые формулами

Г 1 (п = 0)

= \ cos(enx) + ^ ch(enx) (п = 1,2,...) (39)

I. che„

где еп (п = 0,1,...) - неотрицательные корни уравнения

sin е + cos £ th е = 0 (40)

Функции Фп{х) в форме (39) удовлетворяют условиям.

9»{±1) = = 0 (гг = 0,1,...)

¥nv{x)=£4J>n{x) (п = 0,1,...)

1

JФт(а;)Ф„(x)dx = Спдтп (п = 0,1,...)

(41)

-1 Сп = 2

sin 1 + -2е

'■£п сЪ. £п \ 2en J

$пт — символ Кронекера.

В виду линейности уравнения (37) может быть получено представление функции j(x), аналогичное (38)

м

ф) = и{х) + J2 Хш1ш{х) (42)

т=О

здесь функции и{х) и 7т(ж) определяются из интегральных уравнений вида i

J и(ОН = 2n\f(x) (\х\ < 1) (43)

-i i

J 7т(0Я = 2тгАФп(х) (т = 0,1,... ,М; \х\ < 1) (44)

-i

Ядро H{t) интегральных уравнений (43) и (44) представимо в виде

оо

H(t) = i + F(t), F(t) = J [Ls{u) - 1] sin (ut)du (45)

o

Интегральные уравнения (43) и (44) целесообразно решать методом ортогональных многочленов. Метод ортогональных многочленов приводит

решение каждого из уравнений (43) к решению СЛАУ, из которой определяется 7 (у).

Подстановка представления в виде разложения в ряды функций \У{х) и д(х) в уравнение (36) позволяет получить систему линейных алгебраических уравнений относительно Хт:

т=0

£ хт [(4 + 11- ш2)Ст<5,т + ри^т] = Ь} и = 0,1,... ,М) (46)

1

J Ъ,(х)ут{х)(1х и,т = 0,1,... ,М);

-1

1

Щ = + АЛ(*)] ^(х)е!х С? = 0,1,... ,М)

-1

Для решения бесконечной системы уравнений (46) применяется метод редукции.

В разделе 4.3 для несжимаемой жидкости определены первые пять собственных частот. Для случая сжимаемой жидкости построен график амплитуд колебаний оболочки и график объемной плотности энергии акустических волн. Объемная плотность энергии акустических волн Е связана с функцией (р(г,формулой

Е(г,х,Ь) = 10~*ри2}г2Е,(г,х,1) = |

1

1?\дЬ)

(47)

В параграфе 4.4 формулируется осесимметричная задача о вынужденных колебаниях круговой цилиндрической оболочки в потоке идеальной несжимаемой жидкости. Данная задача может рассматриваться как математическая модель волнового движителя в виде цилиндрической оболочки, взаимодействующей с жидкостью. Оболочка совершает вынужденные осе-симметричные гармонические изгибные колебания, вызывающие бегущие по ней продольные волны. Жидкость занимает безграничную область. Поток — однородный со скоростью щ, направлен вдоль оси х.

В качестве уравнения движения оболочки, взаимодействующей с жидкостью, рассматривается уравнение (28) представленное в разделе 4.1.

Граничные условия на торцах оболочки представлены в виде

В\У

\У = Ьуае~ш\ — = при х =-а

д2\¥ дЧУ Х (48)

—-5- = —= 0. при х = а

охг дхл

где х ~ сдвиг фаз угловых колебаний относительно радиальных; уд, у\ — безразмерные константы.

Движение жидкости — потенциальное. Потенциал скоростей ¡р = (р{г,х,£) удовлетворяет уравнению Лапласа

д2<р | 1 Эу? | ЭУ = 0 дг2 г дг дх2 Компоненты вектора скорости жидких частиц связаны с функцией </? формулами ух = щ + уг = Возмущения основного потока, вносимые оболочкой, считаются малыми величинами. Тогда

д<р д(р

дг 5 дх

и0

(49)

С учетом (49) проводится линеаризация интеграла Лагранжа-Коши и условия безотрывного обтекания оболочки жидкостью, которые принимают вид

р = ро гинр - и0-~-

д(р дх,

дц> (дт ЗиЛ дг V дЬ дх)

(г = Д, \х\ ^ а)

(50)

(51)

здесь ро - давление на бесконечности, ро - плотность жидкости.

На поверхности г = Я при |х| < оо радиальная скорость уг должна быть непрерывной, а при |х| > а непрерывным должно быть также и давление р:

дг

=л-о

ду дг

]ж| < сю;

г=Я+0

\х\ > а.

р|г=л-о = Р|г=Д+0, Условия затухания возмущений должны выполняться при удалении от оболочки:

<р —>• 0 при х —> —оо

(52)

при г —¥ оо

дх' дг

Уравнение (28) принимает вид

ОШ1У{х) + (£7гД"2 - робкш2) \У{х) = >у(х) (|х| а) у(х) = ро - МК + 0,х) - (у- 0,ж)]

(53)

Применение преобразования Фурье по продольной переменной и учет условия безотрывного обтекания оболочки (51) позволяет получить интегральное уравнение, связывающее функции 7 и IV

а

J - № = 4np0ul [cW(x) + i\V'{x)\ (|x| ^ a) (55)

—a

m = J Ш^-e^da - nicL(cR)e~M, (56)

— 00

L{u) = 2uI1(u)K1{u), c = —

Щ

Интеграл в (56) понимается в смысле главного значения по Коши. В разделе 4.5 проводится решение системы интегрального и дифференциального уравнений в безразмерном виде:

WIV{x) + lü2)W(x) = /3~/{х)

i

J 7(?)#(£ - zR = 4w[i>W(x) + iW'{x)] ^

-1

Приближенное представление функции IV(х) рассматривается в форме разложения по функциям Крылова Фт(х), т = 1,2,____

м

W(.x) = 40{x) + Y,Xm4m{x),

т= 1 (58)

%(x) = yo + yi{l + x)eix. Функции Фт(а:) с нечетными индексами определяются формулами

ф2в_1(х) = SÍn(g2"-l3;) + („ = 1,2,...)

Параметр e^n-i ~ положительный корень уравнения

cos е — sin e th e = O Функции Фт(:г) с четными индексами определяются формулами

ад = + (п = 1>2>...)

cos е2п sh е2п Здесь параметр Е2п — положительный корень уравнения

sin г + cos £ cth е = О 19

Функции Фт(х) удовлетворяют граничным условиям (48). Решение интегрального уравнения ищется в виде разложения с коэффициентами Хт, входящими в (58)

м

ф) = 7о(х) + £ Хт1т{х) (|х| ^ 1) (59)

т= 1

Из (57), (58), (59) получается интегральное уравнение для определения функций 7т(х), т = 0,1,... ,М 1

j 7m(t)H(S-x№ = ^[^m(x)+i^'m(x)} т = 0,1,... ,М; М ^ 1 (60) -1

здесь и = ^ — число Струхаля

Приближенное решение интегрального уравнения (60) с учетом особенностей ядра представляется в виде

1 N

1т{х) = -==^УпгпТп{х), m = 0,1,... ,М (61)

V1 Х 7J=0

Тп(х) — многочлены Чебышева первого рода.

Подстановка разложений в интегральное уравнение приводит к СЛАУ, которая решается методом коллокации. В качестве точек коллокации используем узлы Xj = cos Jr(22^1), j = 0,1,... ,N — 1.

Подстановка найденного представления функции 7(ж) в основное дифференциальное уравнение приводит к СЛАУ относительно Хт\

м Г I

J2 Хт 2 (s4m + fi- OJ2) 6jm - ß J Фj(xbm{x)dx

m=1

1 1

= ß J Ъj{x)<4o{x)dx -(ß- uj2) J ^j(x)^0(x)dx, j = 1,2,... ,M. -l -i

В разделе 4.6 выводится формула силы тяги для движителя в форме цилиндрической оболочки.

Тг = ^pRula lim (1 + х)ф)-у(х) (62)

4 х—V—1

Т2 = npRulaRe 7(x)W'(x)dx | (63)

20

здесь Т\ — подсасывающая сила, которая возникает благодаря бесконечности давления на кромке, а Т2 — сила, которая образуется проекцией на направление скорости распределенной разности давлений. В разделе 4.7 в результате численной реализации алгоритма для некоторых значений физических параметров оболочки найдена функция радиальных перемещений точек цилиндрической оболочки, а также построены графики распределенной нагрузки. Представлены графики зависимости отношения т от числа Струхаля при различных значения параметра А (рис. 3). Проведено сравнение с результатами работ других авторов.

Чч

Рис. 3: Графики зависимости отношения —-— от числа Струхаля при различных

-11 + Т2

значениях А = 2; 2,5; 3,5; и А —> оо

В заключении сформулированы основные результаты и выводы диссертационной работы:

В диссертационном исследовании разработаны новые полуаналитические методы исследования волнового движителя и движителя в форме машущего крыла в жидких и газообразных средах. Приводится обоснование физических принципов возникновения силы тяги движителей пропульсивно-го типа. Построен алгоритм сведения гидроупругих и аэроупругих задач к системам интегро-дифференциальных уравнений. Разработан метод численного решения полученных интегро-дифференциальных уравнений. Обоснована возможность применения представленных методов и алгоритмов к расчету силы тяги волновых движителей и движителей в форме машущего крыла.

Результаты диссертационного исследования заключаются в следующем:

1. Представлены новые методы численно-аналитического решения интегральных уравнений первого рода, возникающих в смешанных задачах о гармонических колебаниях тонких упругих тел в жидкости.

2. Расчитана аналитическая зависимость формы колебания упругой пластинки от давления окружающей среды.

21

3. Для изучения влияния физических параметров крыла на аэродинамические характеристики смоделирована и исследована трехмерная задача обтекания упругого деформируемого крыла, совершающего гармонические колебания в набегающем однородном потоке идеальной несжимаемой жидкости. Исследовано влияние физических параметров крыла на аэродинамические характеристики. Определена зависимость силы тяги машущего крыла от частоты колебаний.

4. Для круговой цилиндрической оболочки, совершающей гармонические колебания в идеальной сжимаемой жидкости найдена форма колебаний.

5. Для волнового движителя в форме цилиндрической оболочки, совершающей гармонические колебания в идеальной несжимаемой жидкости получена формула для вычисления силы тяги, которая является обобщением известной формулы JT. И. Седова для плоской задачи.

6. Построена математическая модель задачи расчета движителя, представленного в виде упругой цилиндрической оболочки, находящейся в потоке идеальной несжимаемой жидкости. Исследовано влияние числа Струха-ля на силу тяги вибрирующей оболочки.

Публикации автора в изданиях, рекомендованных ВАК

1. Tarasov А. Е., Sumbatyan M. A. A mathematical model for the thrust force generated by a flapping elastic wing. // AIP Conférence Proceedings. — 2014.

- no. 1493. - Pp. 1043-1046.

2. Sumbatyan M. A., Tarasov A. E. A mathematical model for the propulsive thrust of the thin elastic wing harmonically oscillating in a flow of non-viscous incompressible fluid // Mechanics Research Communications. — 2015. — Vol. 68. - Pp. 83-88.

3. Сметании Б. И., Тарасов А. Е. Гармонические колебания круговой цилиндрической оболочки конечной длины в идеальной жидкости // Современные проблемы науки и образования — 2012. — № 1. — С. 1-8. — Режим доступа: www.science-education.ru/101-5423.

4. Сметанин Б. И., Тарасов А. Е. Динамическое взаимодействие цилиндрической оболочки с потоком жидкости // Известия высших учебных заведений. Северо-кавказский регион. Серия: естественные науки — 2014.

- Т. 180, № 2. - С. 27-31.

Публикации автора в других изданиях

5. Тарасов А. Е., Сметании Б. И. Моделирование взаимодействия круговой цилиндрической оболочки с идеальной сжимаемой жидкостью // Успехи современного естествознания: научно-теоретический журнал — 2011.

- № 7. - С. 278-279.

6. Тарасов А. Е. Аэроупругость машущего крыла в рамках гипотезы плоских сечений // Труды XV Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды». — 2011. — Т. И. — С. 233-236.

7. Тарасов А. Е. Аэроупругость машущего крыла в рамках гипотезы плоских сечений // Труды аспирантов и соискателей Южного федерального университета. — 2012. - Т. XVII. — С. 63-67.

8. Сметанин Б. И., Тарасов А. Е. Гидродинамическое моделирование движителя в виде цилиндрической оболочки в потоке жидкости // Тезисы докладов XVI Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды». — 2012. — С. 90.

9. Сметанин Б. И., Тарасов А. Е. Гидродинамическое моделирование движителя в виде цилиндрической оболочки в потоке жидкости // Труды XVI Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной сред». - 2012. - Т. И. - С. 210-214.

10. Тарасов А. Е. Полуаналитический метод в задаче о колебании цилиндрической оболочки в потоке идеальной жидкости // Труды аспирантов и соискателей Южного федерального университета — 2014. — Т. XVIII.

- С. 41-46.

11. Сумбатян М. А., Тарасов А. Е. Интегральное уравнение в теории машущего крыла // Тезисы докладов Международной конференции «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения - IV». — 2014. — С. 115-116.

12. Сумбатян М. А., Тарасов А. Е. Колебание прямоугольного упругого крыла в потоке несжимаемой жидкости // Труды VIII Международной конференции «Проблемы динамики взаимодействия деформируемых сред». — 2014. - С. 418-422.

13. Тарасов А. Е., Барканов Е. Н. Зависимость формы колебаний удлиненной упругой пластинки от давления в окружающей среде // Труды IV международной конференции «Актуальные проблемы механики сплошной среды» ТРСМ-2015. - 2015. - С. 400-404.

23

Подписано в печать 14.10.2015 г. Формат 60*84 Усл. печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 1,0. Заказ № 4746. Тираж 125 экз.

Отпечатано в отделе полиграфической, корпоративной и сувенирной продукции Издательско-полиграфического комплекса КИБИ МЕДИА ЦЕНТРА ЮФУ. 344090, г. Ростов-на-Дону, пр. Стачки, 200/1, тел. (863) 247-80-51.