Акустические электронные явления в металлических сверхрешетках тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

?Го 27

оа

На правах рукописи

Машарова Ирина Сергеевна

АКУСТИЧЕСКИЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ ЯВЛЕНИЯ В МЕТАЛЖЧЕСКИХ СВЕРХРЕШЕТКАХ

01.04.07 - Физика твердого тела"

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург - 1997

Работа выполнена в Уральском государственном университете на кафедре теоретической физики

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

главный научный сотрудник Окулов В.И.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук

Гудков В.В.

кандидат физико-математических наук Уздин В.М.

Ведущее учреждение Санкт-Петербургский государственный

университет

Защита состоится "Ж." 1997 г. в часов на

заседании диссертационного совета К 063.V8.04 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Уральском государстве ном университете (620083, г. Екатеринбург, К-83, пр. Ленина, 51, koj< 248).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Уральского гос дарственного университета.

Автореферат разослан " ШгЛ^Лл^ 1997 г.

Ученый секретарь • диссертационного совета, доктор физико-математических наук

- 2 г

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В современной физике металлов большое раз-5итие получили исследования металлических многослойных пленок [мультислоев, сверхрешеток). Металлическая сверхрешетка - многослой-¡ая система, состоящая из периодически повторяющегося фрагмента из злоев двух или более металлов, обладает рядом специфических свойств, тучение которых представляет интерес как для развития представлений 5 структуре металлов, так и для практических приложений. Особенно штенсивно развиваются в последнее время исследования магнитных ¡верхрешеток, таких как железа - хром, в которых намагниченности юседних слоев ферромагнетика могут упорядочиваться антипараллельно ши под определенным углом друг к другу. В таких свехрешетках в 'вязи с особым характером упорядочения наблюдается сильное измене-ме электросопротивления с магнитным полем - эффект гигантского 1агнитосопротивления. Несмотря на большое число проведенных иссле-.ований, природа этого эффекта и ряда других явлений в металлических верхрешетках остается в значительной мере не Еыясненной. Особенно ерьезные нерешенные проблемы связаны с определением роли в свойст-ах металлических сверхрешеток электронов проводимости - их квантовых остояний, механизмов рассеяния и т.п. Использовавшиеся до сих пор кспериментальные методы (структурные, магнитные и др.) не дали остаточно полной информации об электронной кинетике, поэтому ктуальным является применение Других методов, которые развиты электронной физике металлов. К таковым относится акустический етод - измерение параметров ультразвуковых волн, распространи-щихся в металлах при низких температурах. В связи с этим и воз-икла задача разработки теории, позволяющей определить возможное-и применения анализа акустических явлений для изучения электронах свойств металлических сверхрешеток.

Целью работы является теоретическое исследование поглощения льтразвуковых волн электронами проводимости в металлических мно-эслойных пленках (сверхрешетках) и определение связи электронно-о поглощения ультразвука с эффектом гигантского магнитосопротив-ения.

Научная новизна работы определяется тем, что в ней впервые:

- развита теория поглощения ультразвука электронами проводу мости в многослойных пленках, позволившая рассчитать коэффициент поглощения, связанный с рассеянием электронов на несовершенных межслойных границах с учетом спиновой поляризации;

- показано, что электронное поглощение ультразвука в сверхрешетках типа Fe/Cr зависит от напряженности магнитного поля, благодаря действию тех же механизмов спиновой поляризации

и рассеяния, которые приводят к гигантскому ыагнитосопротин лению;

- рассчитаны вклады электронов проводимости в коэффициенты -затухания объемных и поверхностных упругих волн, распрострг няющихся в системе многослойная пленка - кристаллическая пс ложка, и предсказаны их зависимости от напряженности магниа ного поля.

Практическая значимость диссертации состоит в том, что в ней разработаны основы расчета коэффициента поглощения ультразвука в многослойных металлических пленках, необходимые для интерпретаци экспериментальных данных и получения информации о структуре и свой ствах межслойных границ, о характере магнитного упорядочения и о механизмах гигантского магнитосопротивления в таких пленках.

На защиту выносятся следующие основные результаты диссертационной работы:

1. На основе развитой теории взаимодействия ультразвука с электронами проводимости в металлических сверхрешетках получены формулы для коэффициента поглощения, обусловленного рассеянием электронов на несовершенных межслойных границах. Установлена связь электронного коэффициента поглощения с длиной свободного пробега электронов и толщиной слоев, даны оценки соотношения объемного и межслойного вкладов.

2. Определена зависимость от намагниченности и напряженности магнитного поля электронного коэффициента поглощения ультразвука в магнитоупорядочеиной металлической сверхрешетке типа Fe/Cr с несовершенными границами. Показано, что полевая зависимость определяется кривой намагничения, а конкретный характер взаимосвязи коэффициента поглощения с намагниченностью определяется формой поверхности Ферми ферромагнитного металла и типом дефектов, рассе-

- 4 -

[вающих электроны.

3. Установлена возможность прямой корреляции полевых аависи-юстей электронного коэффициента поглощения и магнитосопротивления «агнитоулорядоченных сверхрешеток типа Fe/Cr. Характер корреляции зависит ст того, насколько сильно влияние магнитного упорядочения ia параметры электронного энергетического спектра, что может позвонить использовать наблюдение поглощения ультразвука для выяснения преобладающего механизма гигантского магнитосопротивления в сверхрешетках данного типа.

4. Для системы, состоящей из многослойной металлической пленки на массивной монокристаллической подложке, рассчитан вклад электронов проводимости в коэффициенты затухания поверхностных упругих волн Рэлея и Лява. Показано, что многослойная пленка типа Fe/Cr приводит к зависимости затухания поверхностных упругих волн от напряженности внешнего магнитного поля, коррелирующей с кривой намагничения и полевой зависимостью магнитосопротивления.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Втором Международном симпозиуме по металлическим мультислоям (Кембридж, 11-14 сентября 1995 года) и на XV Всероссийской школе-семинаре "Новые магнитные материалы микроэлектроники" (Москва, 18-21 июня 1996 года) и опубликованы в пяти работах.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит иа введения, трех глав, заключения и изложена на страницах машинописного текста, включая % рисунков, список литературы, содержащий SS наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении обоснована актуальность теш диссертации, дана формулировка цели работы и основных результатов, выносимых на защиту.

В первой главе диссертации формулируются основные уравнения теории взаимодействия ультразвука с электронами проводимости в слоях металлов и многослойных металлических' пленках. Исходной здесь является квазиклассическая теория [13, основанная на совместном рассмотрении уравнения движения кристаллической решетки с кинетическим уравнением для электронов проводимости и уравнениями Максвелла для напряжен-ностей электромагнитного поля, возбуждаемого ультразвуком в металле. В известных результатах этой теории не учитывается один из основных

- Б -

факторов, определяющих электронное поглощение в тонких слоях и многослойных системах - рассеяние электронов на границах. В диссертации прежде всего дана формулировка системы уравнений для описания ультразвука в металлическом слое, полностью учитывающих поверхностное рассеяние электронов. Уравнения формулируются для фурье-образов по координате г на промежутке расположения слоя CteZíL амплитуды смещения Uv , напряженности электромагнитного поля Е» и функции распределения. Конкретные результаты получены в широко используемом приближении, в рамках которого рассеяние электронов на границах описывается коэффициентом диффузности отражения Р. В этом приближении для поперечной плоско поляризованной ультразвуковой водны, возбуждаемой вдоль нормали к границам слоя металла (являющейся осью кристаллической симметрии) получается следующая система связанных уравнений для соответствующих компонент и,! и Еы :

=(-ONF(D-F(0)'

r N'

где(^-jlH/l (N=0,1,2,... , причем уравнёния (1), (2) не связывают компоненты с четными и нечетными N), - волновой вектор

звука частоты в слое металла с плотностью и модулем упругости Л , |}д,=-|'(*>u-„t f(L) и F(0) - величины внешних напряжений на границах z=L и z=0. В уравнение (1) входят слагаемые, пропорциональные и* и Ем и описывающие влияние электронов проводимости на распространение ультра звука. Соответствующие кинетические коэффициенты йы, и б* отвечают объемным вкладам, существующим без учета наличия границ, в то время как амм<, и ¿^'описывают влияние рассеяния электронов на границах. В диссертационной работе получены и проанализированы выражения для упомянутых кинетических коэффициентов. В частности, для установления связи с известными результатами рассмотрен случай слоя большой толщин по сравнению с длиной волны звука (q*L«l) и получены добавки к класс: ческим выражениям 121 для коэффициента электронного затухания ультразвука, связанные с поверхностным рассеянием.

В результате решения системы уравнений (1), (£) находятся коэффи циенты Т и R в соотношении

£и и-и«0)1-1и» ~-т£(о) - я т.),

I- N С~

зти коэффициенты полностью определяют акустические свойства слоя, в 1ЭСТНОСТИ, по величине Т можно найти амплитуду волны, проникающей че-зеа слой при одностороннем возбуждении. В работе проведен расчет коэффициентов I и К для тонкого слоя, толщина которого Ь мала по сравнению з длиной волны. Оценки показали, что в этом случае существенные слагаемые $Ти $ % , описывающие вклад электронного поглощения в коэффициенты Г и й происходят от влияния электромагнитного поля. Если характерная

толщина скин-слоя велика по сравнению о Ь, то в пределе Ь<<1

/

, (4)

Г = КсО$(1.1п1/1.)* (5)

где удельное электросопротивление тонкого слоя метал-

ла, а К - коэффициент, зависящий усредненным образом от электронных параметров - деформационного потенциала, формы поверхности Ферми и т.п. Формулами (4), (5) определена частотная и толщинная зависимости электронных диссипативных вкладов в акустические параметры тонкого слоя металла, а также устанавливается их корреляция с величиной электросопротивления.

Примененная в диссертации методика расчета акустических параметров обобщена и на многослойные металлические пленки. Электроны в таких пленках могут переходить из одного слоя в другой через межслойные границы. В рамках квазиклассической кинетической теории взаимодействие с межслойными границами' описывается граничными условиями для функции распределения электронов. Общая формулировка таких граничных условий дана в работе [3]. В простейшей форме граничное условие содержит три параметра, характеризующие вероятности: проникновения через меж-слойную границу (Б), рассеяния при отражении от границы (Р) и рассеяния при проникновении через границу (Ц). Кинетическое уравнение для электронов и уравнения вида (1), (2) для многослойной системы заменяются совокупностью связанных уравнений, отвечающих наличию различных слоев. Упрощение возникает в реальном случае несовершенных межслойных границ, когда проникновение электронов через границы сопровождается их рассеянием на дефектах, то есть вероятности Б и Ц близки по вели- 7 -

чине. В этом случае кинетические уравнения для электронов в разных слоях оказываются не связанными и влияние проникновения может быть учтено введением эффективного коэффициента диффузности П=Р+Ц.

Акустические свойства многослойной системы описываются с помощью решения уравнений (1), (2) для каждого слоя и учета равенства напряжений Р и смещений и на границе слоев. Если толщины слоев малы по сравнению с длиной волны, то применимо приближение мелкослоистой среды [4: позволяющее просто выразить упругие параметры системы через параметры отдельных слоев. В этом приближении для многослойной пленки толщины Ь состоящей из совокупности одинаковых фрагментов из двух слоев с толщинами и справедливы выражения

У = - , п « СИ __^

^Л-Л'П^Ь (6)

такие же, как для однородной пленки, но с эффективными параметрами

Ч уу/л > > и + и Л U+Lí (?)

где^/пл и ^»^г ~ плотности и модули упругости отдельных слоев. Модули упругости Я«, и А л содержат соответствующие вклады электронного поглощения ¿^Л и ¿^¿г, которые вычисляются из уравнений (1), (2) и к которым относятся, в частности выражения вида (5). Именно в приближении мелкослоистой среды с несовершенными границами и получены последующие конкретные результаты диссертационной работы. В заключительном третьем параграфе первой главы диссертации рассмотрен коэффициент проникновения Т ультразвука через систему, состоящую из исследуемой металлической пленки на массивной кристаллической подложке. Расчет такого коэффициента необходим для описания экспериментов, в которых могли бы наблюдаться предсказываемые в работе закономерности электронного поглощения. В итоге этого расчета показано, что коэффициент проникновения указанной системы с учетом электронного поглощения в пленке, толщина которой Ь мала по сравнению с длиной волны, может быть записан в виде:

т «

<¡,.1* цп^ии+гУа+сДв) (в)

- 8 -

: q,o,A0,Lo- волновой вектор звука, модуль упругости и толщина под-хн,де - коэффициент затухания, связанный с электронами в пленке,^ юыЕает затухание, обусловленное другими механизмами. Величина Эе |ажаетя через электронную мнимую часть модуля упругостиЯе следую-| образом:

Яе = /I , О)

yj- - отношение масс пленки и подложки. Множитель^,уменьшает [ичину эффекта электронного поглощения по сравнению со случаем мас-iHoro металла, поэтов наблюдение этого эффекта в проникающей волне ¡лучае тонкой пленки может оказаться затруднительным. Однако в рабо-получены и более общие результаты, применимые для описания экспери-:тов с образцами, толщина которых сравнима с длиной волны.

Вторая глава диссертации посвящена изучению электронного акусти-:кого поглощения в магнитоупорядоченных металлических многослойных 'Нках (сЕерхрешетках) типа Fe/Cr, в которых наблюдается эффект ги-[тского магнитосопротивления Е5]. В таких пленках намагниченности :едних слоев ферромагнитного металла (железа), разделенных немагнит-1И слоями (хрома), ориентированы антипараллельно или под определен-I углом друг к другу. Под действием магнитного поля угол между намаг-:енностями слоев уменьшается и с возрастанием напряженности достига-:я насыщение. С ростом средней намагниченности существенно (в целом 50% и более) падает электросопротивление. Механизмы такого измене: должны обеспечивать существенную зависимость от средней намагни-[ности (или от угла между намагниченностями соседних слоев) вероятней рассеяния электронов на дефектах и энергий электронов с разными •екциями спина. Те же механизмы приводят к ацалогичным полевым аави-юстям и других кинетических величин, в частности, коэффициента лощения ультразвука электронами. Это позволило предсказать аналог эф-:та гигантского магнитосопротивления в акустическом поглощении в ме-шических сверхрешетках.

Для описания эффекта в работе использованы общие результаты, из-¡енные в первой главе диссертации. Применение их к ферромагнитным шм становится возможным после учета существования в ферромагнетике 'X подсистем электронов с разными проекциями спина (±) на направле-! намагниченности. В пленках с несовершенными межслойными границами :анизм магнитосопротивления может быть связан с наличием на границах

- 9 -

дефектов со спином, рассеяние на которых определяет сопротивление toi ких слоев. Величина среднего спина дефектов существенно изменяется < полем в силу переориентации намагниченостей примыкающих к границе сл( ев. При этом изменяются эффективные коэффициенты диффузности отражен! от границ П± , а вместе с ними и электросопротивление. Такая модель, предложенная в С6], применена для описания акустических эффектов в нг стоящей диссертационной работе.

Для упрощения расчетов электроакустических коэффициентов в соо: ветствии с обычно используемым приближением не учитывались вклады слс немагнитного металла. Полагая, что в отсутствие поля намагниченности соседних слоев античараллельны и соответствующие значения коэффициент диффузностиП+равны П+ иП* = Ь,П+, изменение этих коэффициентов с па можно описать формулой

где ьеличина^ является простой функцией средней намагниченности М И

р COS*e/2. =^оГН/Мо)2 , (1:

а 0 - угол между намагниченностями слоев, Мс - намагниченность насыщ ния.

С учетом соотношений (10), (11) результаты вычисления акустиче< ких параметров, изложенные в главе 1, приводят к зависимости этих па| метров от напряженности поля, определяемой кривой намагничения сверхрешетки. В частности, существенное значение имеет формула вида (5) д. коэффициента акустического поглощения. В этой формуле у - удельное а противление, которое для рассматриваемых магнитных пленок, согласно i локенному выше, зависит от напряженности поля. Тем самым установле! прямая корреляция эффекта гигантского магнитосопротивления и изменен! с полем электронного акустического поглощения. Особенность эффекта П] атом связана еще с наличием в (5) коэффициента К. Этот коэффициент о; ределяется параметрами электронного спектра, и если в рассматриваема эффекте существенна зависимость энергии электронов от наыагниченност; то будет проявляться его зависимость от поля. Таким образом, показан! что характер корреляции полевых зависимостей акустического поглощени, к электросопротивления может отражать соотношение различных факторов в эффекте гигантского магнитосопротивления.

- 10 -

Наряду с расчетами электроакустических коэффициентов пленок типа Сг в работе рассмотрена также полевая зависимость коэффициента про-вовения ультразвуковой волны через систему "пленка - подложка", ишз проведен на основе формулы вида (8), в которой величина , яв-ицаяся функцией намагниченности, зависит от напряженности поля.

В третьей главе диссертации исследовано поглощение поверхностных ■стических волн Лява и Рэлея электронами проводимости в многослойной 'аллической пленке, закрепленной на массивной кристаллической под-ке. Сформулирована система уравнений для амплитуд упругих смещений, 1бщащая уравнения, рассматривавшиеся в главе 1 на случай распро-шения волн вдоль границ и двухкомпонентного вектора смещения. За-I с использованием общей схемы вывода [7,8] получены дисперсионные шнения для волн Лява и Рзлея в системе "пленка - подложка". Конкрет-! результаты анализа этих дисперсионных уравнений касаются зависимей от напряженности магнитного поля параметров волн в случае, ког-в исследуемой пленке типа Fe/Cr проявляется эффект гигантского маг-■осопротивления.

Наиболее простые результаты относятся к спектру и затуханию волн ia. В случае, когда длина волны велика по сравнению с толщиной плен-L, зависимость фазовой скорости з от волнового вектора к определя-¡я уравнением:

! Уо-2,,/^то, рс и Я: - плотность и модуль сдвига немагнитных слоев, суммарные толщины всех магнитных и немагнитных слоев. Величина вносится к ферромагнитному слою и содержит, .согласно предыдущему, [мую часть с ле , описывающую электронное поглощение. Эта величина !исит от средней намагниченности многослойной пленки и тем самым от [ряженности магнитного поля, что обеспечивает соответствующую вави-юсть затухания волн Лява.

Согласно уравнению (12), для длинных волн вклад электронного по-нцения входит в малую дисперсионную добавку и его обнаружение затруд-■ельно. Более существенно проявление этого эффекта для коротких волн, •да длина волны сравнима с толщиной пленки. В пределе К имеется юкупность ветвей волн Лява со скоростями, определяемыми выражением:

Sn - /\„/(к(_)2 , -л = Oji, 2-... , (13;

м% - Lf ^ + Lc

Lffa + Lc (14!

«

Электронная добавка в этом случае входит в основную часть величины его рости волны.

Аналогичные, но выражаемые более громоздкими формулами результат] справедливы и для волн Рзлея. В целом проведенное исследование распро странения поверхностных упругих волн и нормального проникновения волн через систему "пленка - подложка" даег основу для описания результата возмс;.лого наблюдения аналогов эффекта гигантского магнитосопротивлен в акустических явлениях.

В заключении диссертации дана полная формулировка полученных в диссертации результатов и выводов.

1. Сформулированы уравнения квазиклассической теории взаимодейст упругих волн с электронами проводимости в тонких слоях металлов и ме таллических сверхрешетках с учетом рассеяния электронов на границах. Проведен анализ соотношения объемного и поверхностного вкладов в поглощение ультразвука электронами в толстых слоях.

2. Найден вклад от рассеяния электронов проводимости на границах в коэффициент поглощения ультразвука в тонком слое металла и сверхреп ке и установлена его зависимость от частоты, толщины слоя и интенсиь ности взаимодействия с дефектами границ.

3. Получено выражение для коэффициента проникновения ультразвуке вой волны через систему "многослойная пленка - массивная подложка" и показано, как электронная часть поглощения в. пленке проявляется в раг мерной зависимости этого коэффициента.

4. Рассчитан электронный коэффициент поглощения ультразвука сверхрешетке типа Fe/Cr, связанный с рассеянием электронов на несове] шенных границах, и установлен общий вид его зависимости от намагниче] ности и напряженности магнитного поля.

5. Показано, что существует корреляция между зависимостями гига! ского магнитосопротивления и ультразвукового поглощения от напряжен» ти магнитного поля. Характер корреляции может быть связан с механизм, гигантского магнитосопротивления и его экспериментальное исследовали имеет существенное значение для определения природы этого эффекта.

6. Найден коэффициент проникновения ультразвука через систе:

- -

югослойная магнитная пленка - подложка" и проанализирована возмож-:ть наблюдения корреляции полевых зависимостей ультразвукового лощения и магнитосопротивления.

7. Получены дисперсионные уравнения для поверхностных упругих волн ¡а и Рэлея в системе "многослойная металлическая пленка - подложка", нывающие вклад электронного поглощения в пленке.

8. Для поверхностных волн Лява, распространяющихся в магнитной »гослойной пленке типа Fe/Cr, рассчитан электронный коэффициент за-:ания, зависящий от намагниченности и напряженности магнитного поля.

9. Показано, что в системе "магнитная многослойная пленка - под-ска" рассеяние электронов' на межслойных границах может приводить к 1исимости от напряженности магнитного поля коэффициента затухания lepxHocTHbix волн Рэлея.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах.

1. Окулов В.И., Памятных Е.А., Устинов В.В., Машарова И.О. Акусти-!кий аналог гигантского магнитосопротивления в металлических много-1ЙНЫХ пленках// ФНТ.-1995.-Т.21,вып.8.-с.885-88?.

2. Машарова И.О., Окулов В.И., Памятных Е.А., Словиковская В.В., 'инов В.В. Влияние процесса намагничения в металлических многослой-: пленках на спектр и затухание поверхностных акустических волн ia// Письма в ЖТФ.-1996.-Т.22,вып.13.-с.53-56.

3. Okulov V.l., Pamyatnykh Е.А., Ustinov V.V., Masharova I.S. rasound Absorption by Electrons in Metallic Magnetic Multilayers

I Its Correlation with Giant Magnetoresistanse//JMMM.-1996.-V. 156, 1-3.-p.394-396.

4. Машаро'ва И. С., Окулов В.И., Памятных Е. А., Словиковская В. В., инов В.В. Электронные акустические эффекты, .связанные с процессами [агничения в металлических сверхрешетках//Новые магнитные материалы роэлектроники. Тезисы докладов XV Всероссийской школы-семинара,

21 июня, 1996, Москва.-с.30-31.

5. Okulov V.l., Pamyatnykh Е.А., Ustinov V.V., Masharova I.S. iibition of Giant Magnetoresistancè in Acoustic Absorption in allic Magnetic Multilayers// 2nd International Symposium on allic Multilayers, 11-14 September, 1995, Cambridge, UK, Abstract ik.-p.259.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Конторович В.М. Динамические уравнения теории упругости в металлах. // Электроны проводимости. Под ред. М.И.Каганова и В.С.Эдеш на.- М.:Наука,1985.- с.44-100.

2. Такер Дж., Рзмптон В., Гиперзвук в физике твердого тела.-М. 1975. - 453 с.

3. Кравцов Е.А., Окулов В.И., Устинов В.В. Электросопротивление металлических сверхрешеток. Квазиклассическая кинетическая теория интегральными граничными условиями.// ФММ.-1994.- Т.77, вып.1.-с.5-Н

4. Рытов С.М. Акустические свойства мелкослоистой среды.// Акус: ческий журнал. - 1956. - Т.2, вып.1. - с.71-83.

5. Camley R.E., Stamps R.L. Magnetic Multilayers: Spin Configun tions, Excitation and Giant Magnetoresistance.// J.Phys.: Condens. Matter. - 1993. - V.5. - p. 3727-3786.

6. Kravtsov E.A., Okulov V.I., Ustinov V.V. Simple Theory of Bu Magnetoresistance Effect in Magnetic Metallic Super-lattices with Imperfect Interfaces.// Solid State Commun. - 1996. - V.99. - p. 39-<

7. Викторов И.А. Звуковые поверхностные волны в твердых телах. -М.:Наука, 1981. - 287 с.

8. Кайбичев И.А., Кацнельсон М.И., Окулов В.И. Волны типа Лява в неоднородном приповерхностном слое.// ЗММ. - 1985. - Т.62, вып.З. -с. 428-433.