Алгебраическая теория биформ тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Фирдман Илья Александрович АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ БИФОРМ

01.01.06 - алгебра, математическая логика и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

003056866

Работа выполнена на кафедре высшей математики факультета транспорта, нефти и газа Омского государственного технического университета.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Бокуть Леонид Аркадьевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Ионин Владимир Кузьмич

доктор физико-математических наук, профессор Широков Игорь Викторович

Ведущая организация:

Алтайский государственный университет

Защита состоится 15 мая 2007 г. в 15 ч. 30 мин. на заседании диссертационного совета К 212.179.01 при ГОУ ВПО «Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского» по адресу: 644077, Омск, ул. Неф-тезаводская, 11.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Омского государственного университета имени Достоевского.

Автореферат разослан « Э » апреля 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук, доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы Диссертация посвящена алгебраическим аспектам и приложениям принципа феноменологической симметрии. Дадим сначала его общее описание.

Первоначально понятие феноменологической симметрии было введено в 1960-х годах Ю. И. Кулаковым1,2'3,4 как основная идея его теории физических структур. Общее содержание этого понятия можно выразить следующим образом. Пусть даны множества Л4, Л/", Я произвольной природы, связанные отображением (,) : А'! х ЛЛ —» /2 (репрезентатором, или, как мы будем его называть, биформой), описывающим взаимодействие элементов множеств М, ЛЛ Задаются, кроме того, два натуральных числа тип — позднее будет видно, что они описывают размерность (в некотором смысле) множеств М и ТУ над К. Введем два интуитивных понятия, которые будут конкретизироваться в зависимости от дополнительной структуры, определенной на множествах Л4, М, Я, и постановки интересующей нас задачи. Это понятие полного подмножества (для топологических пространств речь может идти о всюду плотных подмножествах, для пространств матриц над телом — о множестве всех необратимых матриц, и т. п.; может требоваться и точное совпадение полного подмножества со всем множеством) и зависимого подмножества (например, нигде не плотного, для топологических пространств, или, для пространств вида Пк с произвольной структурой Л, подмножества, являющегося графиком некоторой функции Як~1 —* К).

Для упорядоченных наборов элементов I = (?!,...,€ Л4к, 21 — (ах,. ., <У[) е Я1 обозначим через (1,21) матрицу размера кх1, составленную из всевозможных элементов вида (гр,а9). р = 1,. ,,к.д= 1, . ,1. Таким образом, (/,21) е Яы.

Принцип феноменологической симметрии для многоосновной алгебраической системы (Л4,М, Я, (,)) можно теперь представить как требование выполнения следующих двух условий:

1. Для любых элементов 2 и П, соответственно, некоторых множеств

'Кулаков Ю И. Элементы теории физических структур (дополнение Михайличенко Г. Г.) Новосибирск НГУ, 1968

2Кулаков Ю И Об одном принципе, лежащем о основании классической физики // Докл. АН СССР, 1970, т 193, №1. с. 72-75

3Кулаков Ю И Геометрия пространств постоянной кривизны как частный случай теории физических структур, // Докл АН СССР, 1970, т. 193, №5, с. 985-987.

4 Кул а коп Ю И О новом виде симметрии, лежащем в основании физических теорий феноменологическом типа // Докл АН СССР, 1971, т 201, ДОЗ. с. 570-572.

Вм е М.п, В^ е ЛГт (множеств баз) множество (2, .Л/"} = {(2, о) : а 6 Л/"} С Яп полно в Яп, а множество (Л4, П) С Кт полно в И.171.

2. Множество Р = {(/,21) : I е Мп+\ 21 е ЛГт+1} С л(»+1)(т+1) зави. симо в Д(п+1)(™+1).

Система (Л4,.Л/*,{,)), удовлетворяющая двум приведенным условиям, называется (бинарной) физической структурой ранга (п+1,т+1). Отметим, что имеется и содержательная теория унарных физических структур3,5'6, определяющихся на одном множестве Л4 близким образом, тесно связанная с геометрией расстояний.

Первая интерпретация принципа феноменологической симметрии была дана Кулаковым1 в контексте исследования и классификации некоторого, достаточно разнообразного по природе исследуемых явлений, класса физических законов (включающего, например, второй закон Ньютона и закон Ома для полной цепи). При этом ЛЛ и N понимались как множества взаимодействующих физических объектов, репрезентатор (,) : Л4 х N —> Е — как функция, описывающая их взаимодействие, ее область значений /? отождествлялась с множеством вещественных чисел (этим предполагалось, что взаимодействие между парой объектов из рассматриваемых множеств может быть описано вещественным числом и измерено экспериментально). Другая предложенная Кулаковым интерпретация относилась к геометрии, где Л4 и N рассматривались как многообразия размерности т и п, соответственно связанные метрикой (,). При этом всюду, где в этом могла возникнуть необходимость, предполагалась аналитичность рассматриваемых функций. Математическая формулировка понятия физической структуры, соответствующая этим интерпретациям, была дана Кулаковым1,2'4 и затем уточнялась и улучшалась его учеником Г. Г. Ми-хайличенко7'8'9. Ее общая суть может быть выражена следующим образом.

Пусть Я — К, для реирезентатора (,) выполняется условие невырожденности (см. стр. 7), и введена топология поточечной сходимости на

5 Лев В. X. Трехмерные геометрии в теории физических структур. // Методологические и технологические проблемы информационно-логических систем Новосибирск Ин-т математики СОАН СССР, 1988. с. 90-103. (Вычислительные системы Вып 125)

6Михайличепко Г. Г. О групповой и феноменологической симметриях е геометрии 11 Докл. АН СССР, 1983, т 269, №2, с 284-288

7Михайличенко Г Г Решение функциональных уравнений о теории физических структур. // Докл АН СССР, 1972, т. 206, »5, с. 105&-1058

8Михайличснко Г. Г. Феноменологическая и групповая симметрии в геометрии двух множеств (теории физических структур) // Докл АН СССР, 1985. т 24, Л*1, с 39^1

9Михайличенко Г Г Математический ап-парат теории физических структур Горно-Алтайск ГАГУ, 1997 - - 144 с.

М и N (т. е. минимальная топология, в которой отображение {,) раздельно непрерывно, см. стр. 11). Первое из условий феноменологической симметрии понимается как наличие на Л4 и Л/" локальных координат, вводимых посредством невырожденных (в аналитическом смысле) отображений (•,: ЛЛ —> Нт и (г,-) : N —► Я'1. Зависимость множества Р понимается как существование такой достаточно гладкой функции Ф : ^ —> Я (с градиентом, отличным от нуля почти всюду), что

Ф(Р) = 0. (*)

В этой постановке Михайличенко7'9 была доказана следующая классификационная теорема. Во введенных выше локальных координатах (обозначаем координаты рассматриваемого нами элемента г £ М как т ), элемента а как (£ь • • • .£п)) функция (,) представляется (при условии п > т) следующим образом:

1. для п = т: (г, а) = + - • -+Яп£п) или (г, а) = 1 + • ■ + :гп_1£п_1 + хп + £„) (эти два варианта эквивалентны при п — т — 2);

2. для п = т + 1: (г, а) = + ... + хп-1£,п-1 +

3. для п = 3, т = 1: (г, а) = г/г *( (ц^ + 6)/(ц + &)),

где ф — локальный диффеоморфизм Я. Для других значений п > т физических структур не существует При п <т классификация аналогична.

Собственно, возможность построения классификации и делает теорию физических структур содержательной, позволяя находить конкретный вид отображения {,) но достаточно общим структурным свойствам его действия на множествах Л4, ЛЛ

Аналитическая аксиоматика физических структур естественным образом распространяется на случаи Я = М.к (к-метрические физические структуры) или Я = С, однако, их классификация значительно сложнее и получена лишь в частных случаях10,11,12.

Отметим, что в аналитической формулировке теории физических структур имеется большое число дополнительных ограничений (таких,

10Михлйличснко Г. Г Даумстрические физические структуры ранга (п+1,2) // Сиб мат. жури , 1993, т. 31 №3, с. 132-143

11Литвшщев А А. Комплексная физическая структура ранга (2,2). // Михайличенко Г. Г Математический аппарат теории физических структур. Горно-Алтайск ГАГУ, 1997.— 144 с. Приложение с 133-144

иЛитвшщев А. А Комплексная физическая структура ранга (3,2). // Материалы XXXV международной студенческой конференции Новосибирск- НГУ, 1997, с. 62-63

как аналитичность Ф, соответствие Я с аналитической и алгебраической структурами М или С), не являющихся необходимыми для корректной и содержательной постановки задачи — в уравнении (*) не используется ни аналитичность функции Ф (кроме предположения ее невырожденности), ни операции сложения и умножения на Д, которые, тем не менее, возникают в итоговом выражении (,).

Это подводит к мысли о содержательности исследования феноменологической симметрии в алгебраическом контексте. Первая алгебраическая аксиоматика теории физических структур была дана в 1990-м году В. К. Иониным13 (для физических структур ранга (2,2) с отождествлением М. — Я = ЛГ). Им было показано, для ранга (2,2), наличие на Я бинарной операции, согласующейся некоторым естественным образом с (,) (и описывающей ее действие) и задающей на В структуру группы. Тем самым была, с одной стороны, дана аксиоматика абстрактной группы на основе феноменологической симметрии, с другой стороны, построена классификация алгебраических (абстрактных) физических структур ранга (2,2) (в предложенной аксиоматике).

Иониным14 была сформулирована также аксиоматика теории физических структур в большой степени общности и указана возможность получения из нее, в частности, алгебраической аксиоматики.

Отталкиваясь от работ Ионина, А. А. Симонов15'16 построил алгебраическую аксиоматику бинарной физической структуры произвольного ранга. На ее основе им было доказано (для структур ранга (п + 1,2) при произвольном п >2) существование согласованных с действием (,) бинарных операций и ф на Я, определяющих на Я, при дополнительных предположениях, структуру почти кольца, и указаны возможности применения соответствующего результата к классификации физических структур соответствующих рангов. Идеи феноменологической симметрии структуры ранга (3,2) были использованы17 Симоновым для построения связи между

13Иоиин В К. Абстрактные группы как физические структуры // Системология и методологические проблемы информационно-логических систем Новосибирск, 1990 Вып 135: Вычислительные системы, с. 40-43

14Ионин В К К определению физических структур. // Труды института математики. Новосибирск, 1992. Том 21, с 42-51

"Симонов А А Физическая структура ранга (3,2) на абстрактных множествах // Материалы XXXV Междунар науч студ конф "Студент и научно-технический прогрссс"(Новосибирск, 22-24 апр 1997 г) Математика. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1997. с 100-101

"Симонов А. А. Обобщенное матричное умножение как эквивалентное представление теории физических структур. // Кулаков Ю И Теория физических структур М , 2004 — 847 е., ил Приложение- с 675-707

^СимоновА А О соответствии между почтиобластями и группами //'Алгебра и логика 2006 45,10 2, с 239-251

точно дважды транзитивными группами и алгебраическими системами, близкими к почти области.

Некоторые алгебраические свойства полиметрических физических структур малых рангов рассматривались также Михайличенко10 в связи с интерпретацией его классификационных результатов.

Цель работы

1. Исследовать алгебраические аспекты феноменологической симметрии для физических структур (.М,Л/", Л, {,)) больших рангов (больших, чем (3,3)) и указать способ задания с ее помощью структуры тела на Л и линейного пространства над Л на Л4, ЛЛ

2. Построить содержательную алгебраическую классификацию биформ для физических структур больших рангов.

3. Исследовать тополого-алгебраические аспекты феноменологической симметрии и построить содержательную классификацию биформ для непрерывных физических структур.

Методы исследования В работе используются методы универсальной алгебры, линейной алгебры над телами и топологической алгебры.

Основные результаты

1. Дана алгебраическая аксиоматика (абстрактной) физической структуры (.М,Л^ Л, {,)) ранга (п + 1,тп + 1), п,т > 2, и проведена их классификация в случае ранга, отличного от (3,3), дающая явный вид биформы и согласованную с ней структуру тела на Л.

2. Построена аксиоматика пары линейных пространств над телом с заданной на них невырожденной билинейной формой, основанная на принципе феноменологической симметрии и не предполагающая предварительно введенных операций сложения и умножения.

3. Дана аксиоматика непрерывной физической структуры

Л, (,)) ранга (п + 1 ,т + 1), п,т > 2, и проведена их классификация в случае ранга, отличного от (3,3), дающая явный вид биформы и согласованную с ней структуру топологического тела на Л. Для случая Л = К, Л = С или Л = Н (Н — топологическое тело кватернионов) указано соответствие биформы с операциями исходного тела.

4. Дана аксиоматика непрерывной физической структуры (■М,Л/\ Я, (,)) ранга (п + 1,2), и проведена их классификация в случае ранга п > 2, дающая явный вид биформы и указывающая эквивалентность таких структур точно п-транзитивным непрерывным группам преобразований топологического пространства Я.

Научная новизна Все основные результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость работы Работа носит теоретический характер. Представленный в работе подход к аксиоматическому заданию линейных пространств и тополого-алгебраических структур может быть использован в дальнейших исследованиях по линейной и топологической алгебре. Результаты работы могут быть использованы при чтении спецкурсов по линейной алгебре и по теории физических структур.

Апробация работы Результаты диссертации были представлены на Международной конференции «Мальцевские чтения» (Новосибирск, 2004, 2005) и докладывались на семинаре им. А. И. Ширшова «Теория колец» ИМ им. С. Л. Соболева СО РАН и на Омском алгебраическом семинаре.

Публикации Все основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[4]. Работа [4] написана автором совместно с А. А. Симоновым при равном вкладе соавторов.

Структура и объем работы Диссертация изложена на 140 страницах и состоит из введения, трех глав, разбитых на разделы, и списка литературы из 33 наименований. Часть разделов разбита на подразделы. Нумерация определений, теорем, предложений, лемм, следствий, замечаний раздельная, сквозная внутри каждой главы. Нумерация формул сквозная в пределах раздела (номер главы, номер раздела, номер формулы в разделе).

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В первой главе исследуются алгебраические физические структуры больших рангов.

В разделе 1.2 дается аксиоматика алгебраической физической структуры в случае большого ранга и формулируются классификационные теоремы для них.

В подразделе 1.2.1 задаются базовые аксиомы абстрактной физической структуры, из которых затем будут выводиться остальные.

Пусть дана (многоосновная) алгебраическая система (Л4,Л/*, Я, (,)), где .М, Л/", Я — произвольные множества (В содержит более одного элемента), (,) : ЛА х N —» Я — некоторое отображение, называемое биформой и удовлетворяющее условию невырожденности (в дальнейшем называемому также аксиомой невырожденности) :

• для любых г, г' £ ЛЛ, г ф г', найдется а £ М, такой, что (г,а) ф (г',а),

• для любых а, а' £ N, а ф а', найдется г 6 АЛ, такой, что (г, а) ф (г, а').

Мы считаем заданными также целые положительные числа п и т.; пару (п + 1, т 4- 1) будем называть рангом данной системы.

В дальнейшем мы будем использовать следующую сокращенную форму записи: для г\,..., г^, г 6 АЛ, сх\,...,а;,а 6 N мы можем обозначить (¿х,..., г^) = I £ А4к, (сц,..., оц) = 21 £ Л/*'. В этом случае будем под (/, ос) понимать строку ((гх,а), .., (гь«)) 5 Як, под (г, 21) — строку ((г, а^),..., (г, а;)) £ Я1, иод (/,21) — соответствующую матрицу к х I.

Мы будем иметь дело с отображениями (/, •) : N —» Як, I £ АЛк, определенными по правилу (/, ■) : а (1,а), а £ Л/*. Эти отображения будут обозначаться также как 7Г/ : N —> Як. Аналогично определенные отображения ( , 21) : АЛ —> Як, 21 £ А/к, будем обозначать 7ГЯ : АЛ —> Як.

Пусть заданы некоторые упорядоченные наборы Z = (21, .., гп) £ АЛп и О, = 1и>1,..., ит) £ ЛЛ". Мы можем теперь сформулировать следующие аксиомы на {АЛ,М, Я, (,)) (будем называть их базовым набором аксиом). Аксиома А1 Пусть Г £ Мп, г,г' е АЛ, 21' £ АРп, а, а' £ ЛЛ Пусть (2,21') = (1',П), (г',П) = (г,21'), (2, а') = </',а). Тогда (г', а) = (г, а').

Аксиома А2 Для любого г £ Я" найдется такой а £ Л/", что (2, а) = г; для любого у £ /?ш найдется такой I Е АЛ, что (г, П) = г.

Определение 1.4 Будем говорить, что г & АЛ зависит от системы элементов (¿х,. ., г*) = / Е Мк, если для любых а, а' £ N

(/,а) = (/, а') влечет (г, а) = (г, а').

Определение 1.5 Систему элементов г\,.. £ будем называть независимой, если она не зависит ни от какой меньшей системы элементов АЛ, то есть не существует такой системы г'х,. . ,г'л_х £ АЛ (пустой в случае к = 1), от которой зависят все гх,... , г*.

Аналогично определяется зависимость и независимость элементов Л/".

Аксиома АЗ Пусть к 6 {1,2,3}, (гь ..., г к) = I £ Мк независимы. Тогда для любого вектора г 6 Як найдется такой а € Л/", что {/, а) — г. Пусть («1,..., а^ = 21 £ Мк независимы. Тогда для любого т € Як найдется такой г £ М, что (г, 21) = г.

Определение 1.6 Многоосповную алгебраическую систему (М., А/", Я, {,)), удовлетворяющую указанным выше условиям (Я содержит более одного элемента, биформа невырождена, выполняются аксиомы А1, А£, АЗ) будем называть (абстрактной) физической структурой ранга (п + 1,т + 1).

Определение 1.7 Две физические структуры (Л4,Л/", Я, (,)) и (Л4\ АГ, Я!, (,)') ранга (п +1, то 4-1) будем называть сильно эквивалентными, если найдутся такие биективные отображения д : Л4 —* М!, V : И —> Н', что для любых г € ЛЛ, а £ Л/" выполнено (ц(г), у{<х))' = (г, о).

В подразделе 12 2 выводятся следствия аксиом А1 и А2, которые будут рассматриваться затем как самостоятельные аксиомы А4 А6.

Аксиома А6 Если а, а' £ А/", то из {2, а) — (2, а') следует а = а'. Если г, г' е Л4, то из (г, О) = (г', П) следует г = г'.

Определим для каждого элемента ¡' € М функцию и [г] : Яп —> 7? следующим равенством:

Г/[?.]((£, а)) = (г, а) для всех а е АЛ

Определение корректно в силу аксиомы А6; функции определены на всем Я'1 в силу аксиомы А2. Пусть теперь II^ = {{/[г] | г £ М]. Для к = О,..., п определим Ь1^ как подмножество функций из постоянных на последних п - к координатах (и рассматриваемых как функции Як —» 7?). Обозначим им = Ц=о У м- Аналогично определяется набор функций £/дл

Аксиома А4 Множества функций IIм, ^ замкнуты относительно взятия суперпозиции (в которой участвуют функции лишь из одного множества).

Аксиома А5 Пусть I = (гх,..., г к) £ Мк, и £ \)км. Тогда найдется такой элемент г £ [гь ..., г^], что для всех а € А/" выполняется (г, а) = и((1, а)). Аналогичное утверждение справедливо для аь..., а^ £ Л/*, и £ 11^.

В подразделе 1.2.3 формулируются классификационные теоремы для алгебраических физических структур больших рангов. Приведем их здесь

в сокращенном виде (опуская утверждения теорем, дающие явный вид набора функций

Теорема 1.4 Пусть для системы {ЛЛ,Я, Я, (,)) ранга (п + 1, га + 1), такого, что т,п > 2, (п + 1 ,т + 1) ф (3,3), выполнена следующая совокупность аксиом: А2, АЗ, одно из следующих трех сочетаний: А1; А4 и А6; А5 и А6, а также невырожденность биформы и наличие в Я более, чем одпого элемента. Тогда

1. Мы можем выбрать элементы 0,е € Я (при этом в качестве е можно взять произвольный элемент Я, не равный О) и задать на Я бинарные операции + и ■ так, что (Я, +, •, О, е) будет телом.

2. Л4 и Я являются, соответственно, левым т-мерным и правым п-мерным линейными пространствами над телом Я, определенным в предыдущем пункте.

3. тп = п, т = п + 1 или т — п — 1.

4. Можно выбрать такие наборы элементов (г{,..., г'п) = € Л4п, {ш\,..., ш'т) — П' е Ят, что отображения (£', •) : Я Яп и (•, ГУ) : М —> Ят биективны, и для любых г € М., а £ Я биформа (,) представляется в одном из следующих видов (в первом и последнем случаях т = п, во втором — т = п + 1, в третьем — т = п — 1) :

(г, а) = а?! • £1 + ...+яп •£„;

(г, а) = (хх — £п+1) • £1 + • • • + (хп — хп+1) • £„ + х„+х; (г, а) = хх ■ (£х - £п) + ... + хп-1 ■ (£„-х - £„) + £„; (г, а) = (хх - х„) • (£1 -£„) + ... +

(хп_х Хп) ' (£п-1 £п) "Ь Хп +

где (г,ГУ) = (И',а) = (£1;.. ,£„), + и ■ - операции в

теле Я.

Теорема 1.4 классифицирует абстрактные физические структуры с точностью до сильной эквивалентности.

Будет доказываться также более частная теорема. Рассмотрим следующую дополнительную аксиому.

Аксиома АО В множестве Л4 есть такой элемент го, что для любых а, а' £ Я выполнено (20, а) = (го, а'). Существует такой элемент и>о Е Я, что для любых г, г' 6 М. выполнено (г,и>о) =

Кроме того, мы будем называть утверждение аксиомы АЗ, берущееся только для к — 1,2, аксиомой АЗ'.

Теорема 1.5 Пусть для системы (ЛЛ,Л/, Я, (,)) ранга (п+1, т+1), такого, чтот,п > 1, (п + 1,т + 1) ф (2,2), выполнена следующая совокупность аксиом:А0, А2, АЗ', одно из следующих трех сочетаний: А1; А4 и А6; А5 и А6, а также невырожденность биформы и наличие в Я более, чем одного элемента. Тогда

1. т = п.

2. Мы можем выбрать элементы 0,е £ й (при этом в качестве е можно взять произвольный элемент Я, не равный О) и задать на Я бинарные операции + и ■ так, что (Я, +,■ ,0, е) будет телом

3. ЛЛ и ЛГ являются, соответственно, левым и правым п-мерными линейными пространствами над телом Я, определенным в предыдущем пункте.

4. (,) является невырожденной билинейной формой на векторных пространствах ЛЛ, ЛГ.

5. Можно выбрать такие дуальные базисы (г[, ., г'п) = Ъ' € Л7!", (и^,... ,и)'п) = П' 6 ЛГп линейных пространств ЛЛ и Л/", что отображения (¿Г', ■) : ЛГ —> Я" и (-,0') : ЛЛ —* Я'1 будут биективны.

Как показано в приложении 1, для пары из п-мерных левого и правого, соответственно, линейных пространств ЛЛ и ЛГ над телом Я, если принять за О их дуальные базисы, выполняются все условия теоремы 1.5.

Раздел 1.3 посвящен доказательству теорем 1.4, 1.5. Его основная идея заключается в исследовании наборов функций Ь'м, С/л/" 11 определении с их помощью операций на Я, ЛЛ, Л/, удовлетворяющих требуемым нами условиям.

Во второй главе исследуются непрерывные физические структуры больших рангов.

В разделе 2.2 дается аксиоматика непрерывных физических структур больших рангов и формулируются классификационные теоремы.

Как и в главе 1, рассматриваем алгебраическую систему (Л4,Л/, Я, (,)), где ЛЛ, АЛ Я — произвольные множества (Я содержит более одного элемента, ЛЛ и ЛГ непусты), а биформа (,) : ЛЛ х ЛГ —> Я удовлетворяет условию невырожденности, и задан ранг (п + 1,т + 1). Полагаем также, что на П задана структура хаусдорфового топологического пространства.

Пусть заданы непустые подмножества баз Вм Я -Мп и В// С Мт. Пусть выполняются следующие аксиомы на (,)).

Аксиома Т1 Существует такая функция Г : Пт х К"т х Я" —» Я, определенная и непрерывная на подмножестве Ят х {Вм, Вд/-) х Я", что для всех I е г е М., 21 £ Длл а £ Л/" выполнено

<г,а)=П(г,21),(/,21),(/,а))

Аксиома Т2 Для любой базы / € Вм подмножество {/, Дд/) = тг/ х • ■ • х ■п¡{Вм) С Я"т всюду плотно в Япт. Для любой базы 21 £ В\г подмножество (Вм,21) всюду плотно в Нпт.

Аксиома ТЗ Множество {Вм, Вм) содержит некоторое открытое подмножество пространства Япт.

Мы считаем выполненной также аксиому АЗ главы 1. Аксиома А2 же предполагается выполненной для произвольных баз:

Аксиома А2' Для любых I £ Вм-, г б Я" найдется такой а 6 Л/", что {1,а) == г; для любых 21 6 В^г, г 6 Ят найдется такой г € Л^, что (г, 21) = г.

Определение 2.4 Многоосновную алгебраическую систему Я, (,)), удовлетворяющую указанным выше условиям и аксиомам, будем называть непрерывной физической структурой ранга (п + 1, т + 1), если п,т> 2.

Элементы М. могут, ввиду невырожденности биформы, рассматриваться как различные функции на N со значениями в Я: М С Яу, и аналогично Л/" С. IIм. Введем теперь на М (и на Л/") топологию, индуцированную соответствующими топологиями прямого произведения.

Определение 2.5 Две непрерывные физические структуры {М,ЛГ, Я, (,)) и Я', (,)') ранга (п + 1,гп + 1) будем назы-

вать сильно эквивалентными, если найдутся такие гомеоморфные биекции ¡л : М. —* Л4', и : N Л/7, что для любых г, £ Л4, а £ Л/" будет выполнено (р,(г),и{а)У = (?.а).

Поскольку множества Л4 яЛ[ в всех условиях симметричны, мы можем без ограничения общности рассматривать лишь случай т > п.

Теорема 2.4 Пусть (Л4,Л[,Я, {,)) — непрерывная физическая структура ранга (п + 1,т + 1), то > п > 2, (т,п) ф (3,3). Тогда

1. т = п или т = п + 1.

2. Мы можем выбрать элементы 0,е 6 Я. (при этом в качестве е можно взять произвольный элемент Я, не равный О) и задать на Я бинарные операции + и ■ так, что [Я, +, •, О, е) будет топологическим телом.

3. Л4 и Л/* с введенной выше топологией являются, соответственно, т-мерным топологическим левым и п-мерным топологическим правым векторными пространствами над телом Я.

4■ Найдутся такие € ЛЛп и О.' & Мт, что отображения , •) : N —» Яп и {■ : М Яп являются (топологическими) изоморфизмами Л4 и N на топологическое левое и топологическое правое, соответственно, векторные пространства строк длины тип, соответственно, над Я.

5. (,) совместно непрерывна и задается в явном виде так же, как в теореме 1-4

Теорема 2.4 описывает непрерывные физические структуры с точностью до эквивалентности. Следующая теорема является ее следствием

Теорема 2.5 Пусть (М.,М,Я, {,)) — непрерывная физическая структура ранга (тг + 1, т + 1), такого, что т > п > 2, (п + 1, т + 1) ф (3,3), причем Я — поле вещественных чисел К, поле комплексных чисел С или тело кватернионов Н, с заданной на них классической топологией. Тогда т = п или т — п + 1, и найдутся такие I £ М.п, 21 е Л/"" и такой гомеоморфизм : Я —> Я, что выполняется одна из следующих трех формул, справедливая для любых i & ЛЛ, а & N (в первом и третьем случае т = п, во втором — т = п + 1).

{г,а) = ¥Г1И:с1Мй)+ ..+(?(*));

(г, а) = + + СЮ

&Ы) ~ ¥>Оп)М£П)) + р(х„+1);

(г, а) = • + (§)

((р(х1) - 1р{хп))Ы£п-1) ~ <?&)) + Фп) + </>(60),

где (хх,... ,хп) = (г,Щ, (£ь • • ■ , £л) = Отображения (7, •) и {■ ,21)

при этом можно взять биективными и гомеоморфными.

Сформулирована также отдельная теорема (теорема 2.6) для случая, когда выполняется аксиома АО.

Далее в главе 2 доказываются теорема 2.4 и вытекающие из нее теоремы 2.5, 2.6. Доказательство теоремы 2.4 в целом выглядит следующим образом. Сперва показывается, что непрерывная физическая структура рассматриваемого ранга является абстрактной физической структурой, удовлетворяет условиям теоремы 1.4 и является сильно эквивалентной одной из абстрактных структур A„(R), Bn{R), Cn(R), определенных в приложении 1. Затем, с использованием результатов проведенного в приложении 1 исследования этих структур, полученные результаты топологизуются -показывается непрерывность тела R и векторных пространств Л4, N.

В главе 3 исследуются непрерывные физические структуры ранга (п + 1,2). В разделе 3.1 приводятся известные результаты о классификации непрерывных точно n-транзитивных группах преобразований локально компактного, связного, удовлетворяющего первой аксиоме счетности топологического пространства18,19.

Приводится, в частности, следующая конструкция19. Пусть Н — тело кватернионов, Г - однопараметрическая подгруппа ее мультипликативной группы, такая, что для каждого вещественного положительного числа г найдется в точности один элемент из Г с нормой г (будем обозначать его 7 (г), функция 7 : R+ —> И непрерывна). Обозначим за G г группу преобразований Н, состоящую из следующих преобразований:

у{х) = а- х -Ь + с (а, Ь, с € И, |а| = 1, 6 <Е Г)

Gr (с топологией, индуцированной топологией Н3) будет непрерывной точно 2-транзитивной группой преобразований Н.

В разделе 3.2 дается определение непрерывной физической структуры ранга (п + 1,2) и формулируется классификационная теорема, указывающая вид биформы.

Рассмотрим многоосновную алгебраическую систему (Ai,N, R, (,)), где M,N — произвольные множества, R — хаусдорфово локально компактное, связное топологическое пространство, удовлетворяющее первой аксиоме счетности, (,) : M. х N —► R — отображение, называемое биформой. Будем предполагать, что биформа удовлетворяет условию невырожденности в смысле главы 1.

18Л Tits Sur les groupes doublement transitifs continus. // Comment Math Helv , 26, pp 203-224 (1952)

19 J. Tits Sur les groupes doublement transitifs continus Correction et compléments // Comment. Math. Helv , 30, pp. 234-240 (1956)

Пусть задано натуральное число п. Обозначим за Rn С Rn множество всех таких n-ок элементов R, все элементы в каждой из которых попарно различны. Обозначим за Вм С АЛп множество всех n-ок элементов АЛ, все элементы которых попарно различны.

Определение 3.3 Будем говорить, что система (M,Af, {,), R) является непрерывной физической структурой ранга (п+ 1,2), если она удовлетворяет, кроме заданных выше условий на биформу и топологию R, следующим аксиомам TV, А2'.

Аксиома Т1' Существует такая функция F : R х Rn х Rn —> R, определенная и непрерывная на подмножестве R х R" х Rn, что для всех I £ Вм> i £ АЛ, 21 6 Вдл а £ Af выполнено

<«,сг> = F«»,St>, </,St), <J, t»>).

Аксиома A2" Для любого элемента а £ Af и любого г £ R найдется такой г £ АЛ, что (г, а) = г. Для любой n-ки I £ Вм и любой n-ки г £ Rn найдется такой а £ Af, что {/, о) = г.

Зададим на АЛ и Af топологию таким же образом, как в главе 2.

Теорема 3.4 Для любой непрерывной физической структуры (M,Af,R,(,)) ранга (п + 1,2), п > 2, выполняются следующие утверждения.

1. Ранг структуры должен принимать одно из значений (3,2), (4,2).

2 Для произвольных Z £ Вм, ш £ Af отображения (Z,-) : Af —<• Rn и (-,и>) : АЛ —> R будут гомеоморфизмами (далее в формулировке теоремы также считаем Z £ Вм, ш £ Af произвольными).

3. В случае ранга (3,2) найдется такой гомеоморфизм <р : R —> Т, где Т — топологическое пространство вещественных чисел R, комплексных чисел С или кватернионов И, что будет иметь место одно из следующих тождеств, выполненное для любых г £ АЛ, а £ Af (обозначаем (i, и) = х\, (Z,a) = (^ьСг), + и ■ - обычные сложение и умножение в соответствующих топологических телах Т):

(г, а) = ^((y^i) - ¥>(&)) • v(j-i) + ¥>(&)), Т = К, С или И; (г, а) = • ^(э^) • Ь + ¥>(&)), где Т — Я, Г С Н и отображение 7 : Н —> К описаны выше, а = - *>&)) • Ь~1, Ь = 7(НЫ -

14

4- В случае ранга (4, 2) найдется такой гомеоморфизм (р : Я —+Т (где Т — это вещественная проективная прямая ЯР\ — К и {оо} или С1\ = С и {оо},), что для любых г е М, а € Н

где. Х\ = (г,ш), (£ь£ь£;з) = (2, а), а, Ь, с, й — такие элементы Т, что дробно-линейное преобразование у(х) = ^¡^ переводит упорядоченную тройку точек (0,1,оо) в (<¿>(£1),<^(£2).

Замечание 3.1 Все представленные в данной классификации структуры могут быть построены.

Доказательство теоремы 3.4 опирается на следующие утверждения.

Фиксируем некоторые элементы 21,..., гп ё М, такие, что ГА = (21,..., 2„) € М.п, и элемент ш е АЛ

Определим так же, как в главе 1, отношение зависимости на Л/* и связанный с ним набор функций 1/м = £/у\ (Обозначаем просто Ъ'м = V).

Предложение 3.1 (А. А. Симонов, [4]) II является точно п-транзьтивной группой преобразований множества Я.

На V естественным образом задается топология, в которой П оказывается гомеоморфным Я" (с индуцированной топологией пространства Яп).

Предложение 3.2 и является непрерывной группой преобразований множества Я.

Мы сопоставили, таким образом, каждой непрерывной физической структуре {М,М, Я, (,)) ранга (п+1,2) точно п-транзитивную непрерывную группу преобразований топологического пространства Я. В предложении 3.3 показано, что для топологических пространств Я с достаточно хорошими свойствами (требуемыми определением 3.3) по заданной точно п-транзитивной непрерывной группе преобразований с некоторыми дополнительными условиями можно построить физическую структуру ранга (п + 1, 2), удовлетворяющую аксиомам ТГ и А2", для которой Г/ соответствует множеству и^. В частности, если топология Я удовлетворяет требованиям определения 3.3, по заданной точно п-транзитивной непрерывной группе преобразований можно построить непрерывную физическую структуру, для которой Ь' = Сд,', что доказывает замечание 3.1 к теореме 3.4 и делает теорему содержательной. Алгебраическая часть предложения 3.3 (существование соответствующей абстрактной физической структуры)

была доказана А. А. Симоновым, топологизация проведена автором диссертации.

Предложения 3.1, 3.2 показывают, что II является точно п-транзитивной непрерывной группой преобразований. Теперь мы можем воспользоваться известной классификацией таких групп для получения явного вида биформы, что и делается в разделе 3.5.

В приложениях рассматриваются и изучаются канонические примеры непрерывных (а значит, и алгебраических) физических структур больших рангов для т > п: А„(Я), /Зп(Я), Сп(Я), для которых М. и N заданы как пространства строк над некоторым топологическим телом Я (в алгебраическом случае топология Я дискретна). Теоремы 1.4 и 2.4 показывают сильную эквивалентность абстрактных и непрерывных физических структур больших рангов, соответственно, одной из структур Ап(Я), Вп(Я), С„(Я) (при т > п).

Автор глубоко признателен Л. А. Бокутю, А. А. Симонову, Г. Г. Ми-хайличенко, А. С. Штерну, В. М. Гичеву за плодотворные обсуждения и поддержку.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Фирдман И. А. Алгебраическая классификация физических структур с нулем. 1./1 Сиб. журн. индустр. математики. 2005. т. 8, №4(24), с. 131-148

[2] Фирдман И. А. Алгебраическая классификация физических структур с нулем. II. Топологические аспекты. // Сиб. журн. индустр. математики. 2006. т. 9, №1(25), с. 135-146

[3] Фирдман И. А. Алгебраическая теория биформ. Случай больших рангов. // Алгебраическая теория биформ. Случай больших рангов: Препринт №ВМ07-01. Омск, ОмГТУ, 2007 - 73 с.

[4] Симонов А. А , Фирдман И. А. Алгебраическая теория биформ. Случай ранга (п +1,2). // Алгебраическая теория биформ. Случай ранга (п+1,2): Препринт №ВМ07-02. Омск, ОмГТУ, 2007 - 17 с.

Отпечатано с оригинал-макета, предоставленного автором

Подписано в печать 5.04.2007 г. Формат 60x84/16. Бумага офсетная.

Отпечатано на ризографе. Усл. печ. л. 1,0 Уч.-изд. л. 1,0 Тираж 90 экз. Заказ № 65

Отпечатано в "Полиграфическом центре КАН" 644050, г. Омск, пр. Мира, д. 11а тел.: (3812) 65-23-73 Лицензия ПЛД №58-47 от 21.04.97 г.

Введение

1 Алгебраическая классификация физических структур большого ранга

1.1 Некоторые факты из теории билинейных форм.

1.2 Аксиоматика и формулировка теорем.

1.2.1 Базовая система аксиом.

1.2.2 Следствия базовых аксиом

1.2.3 Формулировка теорем.

1.3 Доказательство теорем.

1.3.1 Предварительные леммы

1.3.2 В М есть нуль, в Я есть нуль. Доказательство теоремы 1.

1.3.3 В М есть нуль, в Я нет нуля.

1.3.4 В М нет нуля, в Я нет нуля.

2 Тополого-алгебраическая классификация физических структур больших рангов

2.1 Предварительные сведения из топологической алгебры

2.2 Аксиоматика и формулировки теорем.

2.3 Простейшие следствия аксиом и сведение к алгебраическому случаю.

2.4 Вид функции F.

2.5 Топологизация.

3 Структуры ранга (п + 1,2)

3.1 Классификационные результаты для n-транзитивных непрерывных групп преобразований.

3.2 Аксиоматика физической структуры ранга (n + 1,2) и формулировка классификационной теоремы.

3.3 Предварительные леммы

3.4 Групповая структура на U.

3.5 Классификация.

3.5.1 п = 2.

3.5.2 п = 3.

Данная работа посвящена алгебраическим аспектам и приложениям принципа феноменологической симметрии. Дадим сначала его общее описание.

Первоначально понятие феноменологической симметрии было введено в 1960-х годах Ю. И. Кулаковым [Т]—[10] как основная идея его теории физических структур. Общее содержание этого понятия можно выразить следующим образом. Пусть даны множества М, Af, R произвольной природы, связанные отображением (,) : М xj\f —> R (репрезентатором, или, как мы будем его называть, биформой), описывающим взаимодействие элементов множеств М, М. Задаются, кроме того, два натуральных числа т и п — позднее будет видно, что они описывают размерность (в некотором смысле) множеств М. и N над R. Введем два интуитивных понятия, которые будут конкретизироваться в зависимости от дополнительной структуры, определенной на множествах М, J\f, R, и постановки интересующей нас задачи. Это понятие полного подмножества (для топологических пространств речь может идти о всюду плотных подмножествах, для пространств матриц над телом — о множестве всех необратимых матриц, и т. п.; может требоваться и точное совпадение полного подмножества со всем множеством) и зависимого подмножества (например, нигде не плотного, для топологических пространств, или, для пространств вида Rk с произвольной структурой R, подмножества, являющегося графиком некоторой функции Rk~1 —> R).

Для упорядоченных наборов элементов I = {i\,.,ik) £ Мк, 21 = (ai,.,ai) € Я1 обозначим через (/,21) матрицу размера к х I, составленную из всевозможных элементов вида (ip, aq), р = 1,. ,к, q~ 1,.,/.

Таким образом, (/, 21) 6 Rkl.

Принцип феноменологической симметрии для многоосновной алгебраической системы (M,J\f,R,(,)) можно теперь представить как требование выполнения следующих двух условий:

1. Для любых элементов Z и О, соответственно, некоторых полных в Мп и Мт множеств Вм £ Мп, В^ € Мт (в некоторых постановках, когда речь идет лишь о наличии какой-то координатной системы, достаточно требование их непустоты) множество (Z,Af) = {(Z, а) : a G Я} С Rn полно в Rn, а множество (М, £1) С Rm полно в К11.

2. Множество Р = {(7,21) : I £ Мп+1, 21 G ЛГт+1} С Д^Х"*1) зависимо в д(«+1)("»+1).

Система (М,АГ, R, (,)), удовлетворяющая двум приведенным условиям, называется (бинарной) физической структурой ранга (п+1,т+1). Отметим, что имеется и содержательная теория унарных физических структур [9], [15], [И], [16], [19], [20], определяющихся на одном множестве М близким образом, тесно связанная с геометрией расстояний.

Первая интерпретация принципа феноменологической симметрии была дана Кулаковым [7] в контексте исследования и классификации некоторого, достаточно разнообразного по природе исследуемых явлений, класса физических законов (включающего, например, второй закон Ньютона и закон Ома для полной цепи). При этом М и N понимались как множества взаимодействующих физических объектов, репрезентатор (,) : М хМ —>■ R — как функция, описывающая их взаимодействие, ее область значений R отождествлялась с множеством вещественных чисел (этим предполагалось, что взаимодействие между парой объектов из рассматриваемых множеств может быть описано вещественным числом и измерено экспериментально). Другая предложенная Кулаковым интерпретация относилась к геометрии, где М и N рассматривались как многообразия размерности тип, соответственно связанные метрикой (,). При этом всюду, где в этом могла возникнуть необходимость, предполагалась аналитичность рассматриваемых функций. Математическая формулировка понятия физической структуры, соответствующая этим интерпретациям, была дана Кулаковым [7], [8], [10] и затем уточнялась и улучшалась его учеником Г. Г. Михайличенко [14], [17], [21]. Ее общая суть может быть выражена следующим образом.

Пусть R = R, для репрезентатора (,) выполняется условие невырожденности (см. стр. 16), и введена топология поточечной сходимости на Л4 и N (т. е. минимальная топология, в которой отображение (,) раздельно непрерывно, см. стр. 81). Первое из условий феноменологической симметрии понимается как наличие на Л4 и JV локальных координат, вводимых посредством невырожденных (в аналитическом смысле) отображений (•, Q) : М —> RT1 и (Z, •) : N —> Rn. Зависимость множества Р понимается как существование такой достаточно гладкой функции Ф : R(n+1)(m+1) —> R (с градиентом, отличным от нуля почти всюду), что

Ф(Р) = 0. (0.0.1)

В этой постановке Михайличенко была доказана следующая классификационная теорема [14], [21]. Во введенных выше локальных координатах (обозначаем координаты рассматриваемого нами элемента г £ Л4 как (#!,.,хт). элемента а € N как (<fi,.,£„)) функция (,) представляется (при условии п>т) следующим образом:

1. для п = т: (г, а) = ф~1(хifi + . . + или (г, а) = ф~1{х^г + • • • + £ni£ni + хп + £„) (эти два варианта эквивалентны при п = т = 2);

2. для п = т + 1: (г, а) = ф~г(хi£i + . + :rn-i£n-i + zn);

3. для п = 3, т = 1: (г, а) = ф~1{ (zifi + f2)/(si + £з)), где ф — локальный диффеоморфизм R. Для остальных случаев п > т физических структур не существует. При п <т классификация аналогична. Классификационная теорема Михайличенко указывает для каждого из описанных случаев и вид функции Ф (она представляется некоторыми определителями).

Собственно, возможность построения классификации и делает теорию физических структур содержательной, позволяя находить конкретный вид отображения (,) по достаточно общим структурным свойствам его действия на множествах М, ЛЛ

Аналитическая аксиоматика физических структур естественным образом распространяется и на случай R = Шк (к-метрические физические структуры), однако, их классификация значительно сложнее — так, уже для двуметрических физических структур полная классификация дана лить в случае ранга (п+1,2) [18]. Для комплексных аналитических физических структур (i? = С) классификация получена лишь в частных случаях [12], [13], позволяющих предположить о совпадении этой классификации, с точностью до переобозначений, с классификацией вещественных однометрических структур.

Отметим, что в аналитической формулировке теории физических структур имеется большое число дополнительных ограничений (таких, как аналитичность Ф, соответствие R с аналитической и алгебраической структурами R или С), не являющихся необходимыми для корректной и содержательной постановки задачи — в уравнении (0.0.1) не используется ни аналитичность функции Ф (кроме предположения ее невырожденности), ни операции сложения и умножения на R, которые, тем не менее, возникают в итоговом выражении {,).

Это подводит к мысли о содержательности исследования феноменологической симметрии в алгебраическом контексте. Первая алгебраическая аксиоматика теории физических структур была дана в 1990-м году В. К. Иониным в работе [5] (для физических структур ранга (2,2) с отождествлением М = R = N). Им было показано, для ранга (2,2), наличие на R бинарной операции, согласующейся некоторым естественным образом с (,) (и описывающей ее действие) и задающей на R структуру группы. Тем самым была, с одной стороны, дана аксиоматика абстрактной группы на основе феноменологической симметрии, с другой стороны, построена классификация алгебраических (абстрактных) физических структур ранга (2,2) (в предложенной аксиоматике). Позднее А. Н. Бородиным [1] была рассмотрена аксиоматика физической структуры ранга (2,2), близкая к [5] (но без явно заданного соответствия М. — R = Л/"), в которой он также показал наличие на R согласованной с действием (,) групповой структуры (а также еще более естественно задающейся структуры груды) и решил классификационную задачу.

В работе [6] Иониным была сформулирована аксиоматика теории физических структур в большой степени общности и указана возможность получения из нее, в частности, алгебраической аксиоматики.

Отталкиваясь от работ Ионина, А. А. Симонов [23], [24] построил алгебраическую аксиоматику бинарной физической структуры произвольного ранга, некоторым образом конкретизирующую аксиоматику [6J. На ее основе им было доказано (для структур ранга (п+1,2) при произвольном п > 2) существование согласованных с действием (,) бинарных операций • и ф на R, определяющих на Я, при дополнительных предположениях, структуру почти кольца, и указаны возможности применения соответствующего результата к классификации физических структур соответствующих рангов. В работе [25] идеи феноменологической симметрии структуры ранга (3,2) были использованы Симоновым для построения связи между точно дважды транзитивными группами и алгебраическими системами, близкими к почти области.

Некоторые алгебраические свойства полиметрических физических структур малых рангов рассматривались также Михайличенко[18] в связи с интерпретацией его классификационных результатов.

В настоящей работе исследуются алгебраические аспекты феноменологической симметрии для физических структур более высоких рангов, а также наделенных топологией. Рассматривается алгебраическая аксиоматика бинарной физической структуры (M,Af,R, (,}) произвольного ранга (п + 1, m + 1) (n,m > 2), родственная аксиоматике Симонова. Для ранга, отличного от (3,3), проводится их полная классификация, что позволяет, в частности, дать основанную на принципе феноменологической симметрии аксиоматику пары векторных пространств над телом R) связанных невырожденной билинейной формой (не задавая при этом явным образом структуры тела на R). Построена также тополого-алгебраическая аксиоматика, позволяющая провести классификацию непрерывных физических структур ранга (п + 1,га + 1) как при n, m > 2, (n + 1,т + 1) Ф (3,3) (в этом случае R оказывается топологическим телом, а М и N — топологическими векторными пространствами строк над ним), так и для ранга (п + 1,2) (в этом случае феноменологическая симметрия эквивалентна наличию согласованной с биформой точно n-транзитивной непрерывной группы преобразований топологического пространства/?).

Методы исследования В работе используются методы универсальной алгебры, линейной алгебры над телами и топологической алгебры.

Основные результаты

1. Дана алгебраическая аксиоматика (абстрактной) физической структуры (M,Af,R, (,)) ранга (п + l,m + 1), п,т > 2, и проведена их классификация в случае ранга, отличного от (3,3), дающая явный вид биформы и согласованную с ней структуру тела па R.

2. Построена аксиоматика пары линейных пространств над телом с заданной на них невырожденной билинейной формой, основанная на принципе феноменологической симметрии и не предполагающая предварительно введенных операций сложения и умножения.

3. Дана аксиоматика непрерывной физической структуры (М, Af, R, (,)) ранга (n + l,m + l), п,т > 2, и проведена их классификация в случае ранга, отличного от (3, 3), дающая явный вид биформы и согласованную с ней структуру топологического тела на R. Для случая R = К, R — С или R = Н (Н — топологическое тело кватернионов) указано соответствие биформы с операциями исходного тела.

4. Дана аксиоматика непрерывной физической структуры (Л4,Л/", R, (,)) ранга (п+ 1,2), и проведена их классификация в случае ранга п > 2, дающая явный вид биформы и указывающая эквивалентность таких структур точно n-транзитивным непрерывным группам преобразований топологического пространства R.

Апробация работы Результаты диссертации были представлены на Международной конференции «Мальцевские чтения - 2004» (Новосибирск, 2004), Международной конференции «Мальцевские чтения - 2005» (Новосибирск, 2005). Результаты также докладывались на семинаре им. А. И. Ширшова «Теория колец» ИМ им. С. J1. Соболева СО РАН, и Омском алгебраическом семинаре.

Публикации Все основные результаты диссертации опубликованы в работах [30]-[33]. Работа [33] написана автором совместно с А. А. Симоновым при равном вкладе соавторов.

Структура и объем работы Диссертация изложена на 140 страницах и состоит из введения, трех глав, разбитых на разделы, и списка литературы.

1. Бородин А. Н. Груда и группа как физическая структура. // Михайличенко Г. Г. Групповая симметрия физических структур. Барнаул: Барн. гос. иед. ун-т, 2003, 204 стр. Приложение: с. 195-203.

2. Бурбаки Н. Алгебра. Алгебраичесие структуры. Липейпая и полилинейная алгебра. М.: Физматгиз, 1962. 516 стр.

3. Бурбаки Н. Алгебра. Модули, кольца, формы. М.: Физматгиз, 1966. 556 стр. с илл.

4. Бурбаки Н. Топологические векторные пространства. М.: Изд-во иностранной литературы, 1959. 410 с.

5. Ионин В. К. Абстрактные группы как физические структуры. // Си-стемология и методологические проблемы информационно-логических систем. Новосибирск. 1990. Вып. 135: Вычислительные системы, с. 4043.

6. Ионин В. К. К определению физических структур. // Труды института математики. Новосибирск, 1992. Том 21, с. 42-51.

7. Кулаков Ю. И. Элементы теории физических структур (дополнение Михайличенко Г. Г.). Новосибирск: НГУ, 1968.

8. Кулаков Ю. И. Об одном принципе, лежащем в основании классической физики. // Докл. АН СССР, 1970, т. 193, М. с. 72-75.

9. Кулаков Ю. И. Геометрия пространств постоянной кривизны как частный случай теории физических структур. // Докл. АН СССР,1970, т. 193, №, с. 985-987.

10. Кулаков Ю. И. О новом виде симметрии, лежащем в основании физических теорий феноменологического типа. // Докл. АН СССР,1971, т. 201, т. с. 570-572.

11. Лев В. X. Трехмерные геометрии в теории физических структур. // Методологические и технологические проблемы информационно-логических систем. Новосибирск: Ин-т математики СОАН СССР, 1988. с. 90-103. (Вычислительные системы. Вып. 125).

12. Литвинцев А. А. Комплексная физическая структура ранга (2,2). // Михайличенко Г. Г. Математический аппарат теории физических структур. Горно-Алтайск: ГАГУ, 1997.— 144 с. Приложение: с. 133— 144.

13. Литвинцев А. А. Комплексная физическая структура ранга (3,2). // Материалы XXXV международной студенческой конференции. Новосибирск: НГУ, 1997, с. 62-63.

14. Михайличенко Г. Г. Решение функциональных уравнений в теории физических структур. // Докл. АН СССР, 1972, т. 206, №5, с. 1056-1058.

15. Михайличенко Г. Г. Двумерные геометрии. // Докл. АН СССР, 1981, т. 260, № 4, с. 803-805.

16. Михайличенко Г. Г. О групповой и феноменологической симметриях в геометрии. // Докл. АН СССР, 1983, т. 269, №2, с. 284-288.

17. Михайличенко Г. Г. Феноменологическая и групповая симметрии в геометрии двух множеств (теории физических структур).// Докл. АН СССР, 1985, т. 24, М, с. 39-41.

18. Михайличенко Г. Г. Двуметрические физические струкутуры ранга (п+1,2). // Сиб. мат. журн., 1993, т. 34, №3, с. 132-143.

19. Михайличенко Г. Г. К вопросу о симметрии расстояния в геометрии. // Изв. вузов. Математика. 1994. №4. с. 21-23.

20. Михайличенко Г. Г. Простейшие полиметрические геометрии. // Докл. АН РФ, 1996. т. 348, М, с. 22-24.

21. Михайличенко Г. Г. Математический аппарат теории физических структур. Горно-Алтайск: ГАГУ, 1997.— 144 с.

22. Понтрягин Я. С. Непрерывные группы— 4-е изд.— М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984.— 520 с.

23. Симонов А. А. Физическая структура ранга (3,2) на абстрактных множествах. // Материалы XXXV Междунар. науч. студ. конф. "Студент и научно-технический прогресс"(Новосибирск, 22-24 апр. 1997 г.) Математика. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1997. с. 100-101.

24. Симонов А. А. Обобщенное матричное умножение как эквивалентное представление теории физических структур. // Кулаков Ю.И. Теория физических структур. М., 2004.— 847 е., ил. Приложение: с. 675-707.

25. Симонов А. А. О соответствии между почтиобластями и группами. // Алгебра и логика. 2006. 45, № 2, с. 239-251.

26. A. Dold. Lectures on Algebraic Topology, second ed., Grundlehren der Matematischen Wissenschaften, Vol. 200, Springer, Berlin, 1980, 397 pp.

27. A. Heyting. Die Theorie der Unearen Gleichungen in einer Zahlenspezies mit nichtkommutativer Multiplication. 11 Math. Ann. 98 (1927), 465-490.

28. J. Tits. Surles groupes doublement transitifs continue. // Comment. Math. Helv., 26, pp. 203-224 (1952).

29. J. Tits. Sur les groupes doublement transitifs continus: Correction et complements // Comment. Math. Helv., 30, pp. 234-240 (1956).Работы автора по теме диссертации

30. Фирдман И. А. Алгебраическая классификация физических структур с нулем. I. // Сиб. журн. индустр. математики. 2005. т. 8, №4(24), с. 131-148

31. Фирдман И. А. Алгебраическая классификация физических структур с нулем. II. Топологические аспекты. // Сиб. журн. индустр. математики. 2006. т. 9, №1(25), с. 135-146

32. Фирдман И. А. Алгебраическая теория биформ. Случай больших рангов. // Алгебраическая теория биформ. Случай больших рангов: Препринт №ВМ07-01. Омск, ОмГТУ, 2007 73 с.

33. Симонов А. А., Фирдман И. А. Алгебраическая теория биформ. Случай ранга (п +1,2). // Алгебраическая теория биформ. Случай ранга (п+1,2): Препринт ДОВМ07-02. Омск, ОмГТУ, 2007 17 с.