Алгебраические аспекты уравнения теоретической физики тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

- Министерство науки, высшей школы и технической

политики российской -шерапйи

ТОМСКИЙ ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. В.З. КУИКШЕЕА

Яа правах рукописи

Майков Анатолий Георгиевич

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ УРАВНЕНИИ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Специальность 01.04.02' - теоретическая физика

Авторе, ферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Томск - 1992

-?абста выполнена в ¡Институте сильноточной электроники 00 РАН и Кадаыцксм. государственном университете

Официальные оппонента:' старший -научный сотрудник, доктор физико-

математических наук Обухов В.В., заведующий отделом Института математики УрО РАН, доктор физкко-математичесгагх; наук Соколов В.В., ,

заведующий лабораторией Института оптики атмосферу СО РАН, доктор физико-математических наук, Творогсв С.Д.

Ведущая организация: Институт математики АН Украины

Защита состоится "___"_____________,139,2 г.' в__часов на

заседании специализированного совета Д 065.53.07 в Томском государственном университете по адресу: 634010,.г.'Томск, пр. Ленина. 36, ТГУ, главный: корпус.

С диссертацией мскно ознакомиться В научной-библиотеке Томского гос'у нЕвэрскте т а. .

Автореферат .разослан " 3 О "_О ^_____ 1992 г.

' Ученый секретарь специализированного совета

С.Л. Ляхович

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ ,,,,„ - Актуальность теш. Пшнципы симметрии всегда играла в физике

> (¿ЦИМ - —---

~§гЖ5ую роль. Это относится и к методам решения различных Физических уравнений. Так например, функции Грина уравнений теплопроводности, Лапласа и Даламбера являются иявзрпантно-группоЕЫМИ решениями этих уравнений. Другие примеры использования симметрии доставляют точно решаемые модели в теории поля, в статистической физике, в нелинейной оптике и во многих других областях. Как выяснилось в последние годы, каждая точно решаемая модель обладает ■ бесконечным множеством высших симметрии. С высшими симметриями, как правило, можно связать высшие зухснн сохранения, которые также найдены во многих точно решаемых моделях.

» Точно решаемые модели составляют "золотей запас" всякой физической теории уже по той причине, что они позволяют проверить многие идеи, а такие - методы приближенного решения реальных физических уравнений. По точжы решениям обычно проверяют различные численные схемы, а с помощью сохраняющихся величин можно контролировать точность численных расчетов. Отсюда понятен тот большой интерес, который всегда проявлялся к точно решаемым моделям. Поэтому, когда в конце 7С-х годов была обнаружена связь между свойством, интегрируемости (точной разрешимости) нелинейной системы и существованием у нее бесконечного - числа симметрия, то довольно быстро возникло целое научное направление, котрое мокно назвать, например, так: "Симметркйные методы классификации интегрируемых уравнений". Целью этого направления является поиск и классификация новых точно "решаемых моделей теоретической и математической физыси. Креме того, в рамках указанного напрэр чешя существует целый ряд течений, отличающихся подходами к решению задачи. Мы выделим следующие подходы к классификации уравнений: 1) с помещ-ью вычисления высших симметрия; 2) с помощью вычисления высших законов сохранения; з) с помощью формальных симметрия или формальных законов сохранения (эти термина обозначают объекты, родственные рекурсионнсму оператору); 4.) с помощью канонических законов сохранения (метод Чзна-Ли-Лыо). (Существует еще один подход - тест Пенлевя, которого ш не косаеыся, потому что он не связан с симметрией). Перечисленные метода 1) - 4) мало отличаются по результатам, но различны по технике вычислений и их трудоемкости. Б то же время нельзя отдать предпочтения какому-то одному методу, так. как в разных задачах их эффективность различна.

С задачей классификации уравнений естественно связана задача тс интегрирования. Так например, знакиа сим.ютрий позволяет найти так называемые частично инвариактшэ решения, которые широко используются в физике (например, ггранеляцконно инвариантные или аксиально инвариантные и т.п.). Кроме того, при помощи группы симметрии »можно строить новые решения из известных. Важные применения имеют и законы сохранения. К тому, что уже сказано выше добавил, что из•сохраняющихся величин мокяо построй^ функционал Ляпунова для исследования устойчивости решений.

Основу всех перечисленных прилоаений составляет исследование симметрии и законов сохранения физических уравнений, что является предметом нашей -диссертации.

Целью Еастоэдей работы является:

1) исследование симметрии уравнений Шредингера, Клейна-Гордона и Дирака с вкешкчм электромагнитным шлем для получения но-внх точных решений;

г) исследование высших симметрия• и сакснов сохранения для нелинейных скалярных, полей с целтю поисяа новых точно решаемых моделей;

35 классификация точно реиэеиьа. моделей газо- и гидродинамики и их точное решение;

■ 4) теоретическое обоснование 'метода Чена-Ли-Лью и применение этого метода к исследовании ряда физических систем.

Научная новизна. В работе получены следующие оригинальные результаты. Найден общий. вяД- операторов симметрии уравнений Шредингера и Клийна-Гордона. Показано, что число независимых наблюдаемых в полном наборе, приводящем к разделений переменных, разно числу независимых переменных. Доказана теорема о связи мезду возможность« ракделения, переменных в разных системах координат и вырождением спектра. Указан вид дифференциальных подстановок, позволяющих выразить решение уравнения Дирака через решение двух независимых скалярных уравнений.

Получены необходимые условия интегрируемости двумерных роля-тнвиотгсих скалярных полей и указаны новые интегрируемые модели. Доказана неинтегрируемость многомерных многомерных нелинейных скалярных-полей. Для линзйшх скалярных полей указан общий вид высших симметрия к высших сохраняющихся плотностей.

Дана классификация уравнений одномерных течений х'аза, допус-кйщих «ысшие локальные симметрии. На этой основе получено неско-

лько новых точных решений уравнений газодинамики. Доказана неинтегрируемость одномерных течений вязкой неныстановскоС жидкости. Исследована симметрия течений нескимаеыой идеальной жидкости, сохраняющих. интеграл Бзрнулли во всем пространстве, и найдены некоторые точнее решения для этой модели.

Изучены ковариангные свойства операторов Нийенхейса и гаж-лътоновых операторов относительно произвольных (возмокно нелокальных) преобразований Ли-Беклунда.

Дано новое определение интегрируемой системы, позволившее обосновать метод Ченс»-1и-Лыо. Кроме того, в рамках данного определения, показана возможность возникновения нелокальных канонических плотностей. Б связи с этим дано обобщение оператора Эйлера на нелокальный случай, /дано обобщение метода Чена-Ли-Льп на незвс-

X

люционные системы.

Дана классификация одномерных интегрируемых уравнений. описывающих' колебания цепочки атомов. Нейдекы решения солптонного типа в одной новой интегрируемой модели.

Научная и практическая ценность. Результаты исслэдовзгзия симметрии уравнений Шредангера, Клейна-Гордона и Дирака оыли ис-пользовзтл для решения прсолемы разделения пероменньх в этих уравнениях. Важность этих результатов ясна из того, что исследованные уравнения лекат в основе квантовой механики, а метод разделения переменных. - практически единственный метод точного решения этих уравнений.

Различные модели скалярных полей составляют основу феноменологических теорий элементарных Частиц. Поэтому в тэорди релятивистских полей проявляется большой интерес к каждой интегрируемой модели. Этот интерес обусловлен, помимо вышеперечисленных причин, тем, что какая-то из интегрируемых моделей может оказаться полезной для физики частиц. Кроме того, каждая интегрируемая нелинейная модель в пришцте позволяет обнаружить новые нелинейные эффекты, которые могут существовать в реальности. С этих позиций, найденные нами новые интегрируемые модели имеют научную ценность.

Найденные нами интегрируемые модели в газовой динамике открывает возможность точного решения новых задач в этой области.

, Строгое обоснование метода канонических плотностей Чена-Ли-Лью. данное в работа, позволяет: 1) существенно уменьшить трудоемкость исследований интегрируемости различных систем; г) найти новые интегрируемое, системы, обладакмдаэ только иелояалыими сим-

метрлями, что весьма затруднительно лря ислользовиния других методов.-

Обнаруженные наш интегрируемые уравнения колебаний- одномерных цетючек могут найти применение в фкаикв твердого тела.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту:

1. Изучена симметрия основных уравнений квантовой механики для частица во внешнем электромагнитном поле.

2. Получены необходимые условия интегрируемости уравнений 2-мерных скалярных полей и указаны новые интегрируемые модели. Доказана нештэгрируемость уравнений многомерны - нелинейных скалярных полей.

3. Указаны все уравнения состояний газа, при которых уравнения одномерной газодинамики допускают бесконечно много локальных высших симматрий. ■ ■ ■

4. Дано новое определений интегрируемой системы, б рамках которого получены необходимые условия интегрируемости для широкого класса двумерных систем.

5. Дана классификация интегрируемых уравнений, описывающих колебания одномерных атомных цепочек в приближении длинных волн.

Апробация работы. Основные результата работы докладывались: на Всесоюзной" конференции ''Нелинейные задачи математической физики" (Ленинград, 1985;; на 'всесоюзном коллоквиуме "Совремэннкй группозой анализ. Методы, и приложения" (Ленинград, 1987;. Баку, 1988; Уфа, 1991); на 1е-м Гйждународксы семинаре "Теоретюсо-груп--новые методы ь физике" (Москва, 1990); ьа семинаре Банкирского госукиверситзта (руководитель - профессор А.Б. Иабат, 1985); на семинаре кафедры гидромеханики МГУ (руководитель - профессор Н.Р. С-ибгатуллин, 1986).

•Публикации. Основные реззультаты диссертации опубликованы е 24 статьях. Всего по тема диссертации опубликовано 36 статей.

Объем к структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 6 глав, заключения и списка литературы из 402 наименований. Общий объем диссертации - 209 .страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении освещены основные направления современных исследований в области симметрии дифференциальных уравнений и законов сохранения. При этом осчоьноа внимание уделено высшим еимлетрилм, высшим канонам сохранения и критерия.! интегрируемости нэликойчых

уравнений. Отражен вклад автора в эти направления исследований.

Ёобзорной главе I диссертации изложены основные понятия и теоремы: векторные поля Ли-Беклувда и "их коммутатор, рекурсконаые операторы, операторы Но тер, законы сохранения, гамильтоновость эволюционных систем. Все эти вопросы изложены как. на языке джетоз (§1), так и на операторном языке (§?}, который необходим для описания нелокальных преобразований й нелокальных симметрий. В этой главе также изложены обще свойства преобразований Ли-Беклунда и трансформационные свойстез перечисленных вышэ объектов относительно преобразований Ли-Беклунда (§3). Значительная часть результатов этого параграфа принадлежит автору. Заключительный §4 главы I посвящен краткому историческому обзору литературы.

В глаге 2 вычислены операторы симметрии 1-го л 2-го порядков для уравнений Шредангера и Клейна-Гордона с внешмм электромагнитным полем. Рассмотрен зопрос с возможности существования переполненного набора наблюдаемых. Показано, что всякий оператор 1-го >-'ли И-го порядка, коммутируюдай с операторами полного наСсра, 11рлводя!дег6 к разделению переменных, является полиномом от операторов этого полного набора. Доказана теорема р вырождении спзктра Урагнения Шредангера, если оно допускает разделение переметах з двух различных системах, координат (§5). Указаны дифференциальные подстановки, расщепляющие систему уравнений Дирака на независимого уравнения (§6). Приведен пример точного решения уравнения Дирака при помощи дифференциальной подстановки в случав, когда это уравнение не допускает разделения переменных (§7).

Глава о поозядена исследовании симметрии системы взаимодействующих релятивистских скалярных полей следующих двух типов:.

т

ь= £ ^иу^-гтах), о;,

а = 1 0

\=ёарМ-<№УГ2Ч{и), (2)

где и" =диа /дх', гС1 -■ метрический тензор п-мзрного пространства Мжнковского, £а р-ркмаяовэ метрика. В §8 рассмотрена общие следствия из определяющих уравнений .для лекальных сжметрий систем обоего типа при условии п>2. Затем, в §я и §10 доказано, что системы (1) и (2) при п>2 допускают локальные высшие сишетрки б том и только том случае, когда в системе уравнений Эйлера можно выделить линейную подсистему. Высшие локальные згкокы сохранения существуют при том же условии. Попутно в §9 доказана теорема: Сис-

•тема линейных уравнений Кгойкг-Гордснз

V >1 г

где а - постоянная матрица, допускает только линейные.по а симметрии:

(*.г,и)«рав+9в-и,г) (4)

Здесь сра - произвольное-решаяие системы (3), а оператор г юеват 'вид:

^Р^эЧхсЧ)

где 1 п-мерный мультиитвдэкс. Определяющее уравнение для симметрия (Д). эквивалентно слсдрщему уравнешп для оператора' Р:

[□-и,Г] =2р11а1 (□-!£), где п^-гз^, (5)

которое означает, что р - оператор симметрии система (3). В §9 иссладованы такзе ИЕтогралы системы (3):

Доказано, что сохранявдиеся плотности р могут быть только ' двух типов - линейные: р =£(й3<ра--иафа ') (<р - решение системы (3)) и

а ' '•

р

квадратичные: рг- Т 1 (иаи*)\ < ]+ |1.И>

р-1

+ I 1 А -к* и? «])где матрицы а1 и б1

¡1 |-о . > • 1 ■'

удовлетворяют уравнениям (5) и некоторым дополнительным условиям. В частном случае, когда матрицы а1, и в1 постоянны, указан явный взд плотностей Рг.

В §11 рассмотрены высшчэ симметрии системы (1) при п=2 в переменных светового конуса. Доказано,, что зсе высшие симметрии мо-кно, не ограничивая общности, искать в полиномиальном вида. Это справедливо как для систем типа Лиувилля, так и для нелиувиллевых систем. Вышсэны несколько первых необходимых условий существования высших- симибарий и рассмотрен пример системы, допускающей высшие .симметрии, и зкеюцэй представление нулевой кривизны. Приведены примеры- новых, систем типа Лиувялля. Показано, что если симметрия о удовлетворяет условию: (с^о' )*=д±ст', х'де штрихом обо-

злачена производная Адамара, то такой симметрии соответствует следуицая сохраняющаяся плотность:

Р(и)=Е (С")«-

а о

' В §12 рассмотрены Еьгсшке симметрии система (2) при п=2 в переменных светового конуса. Для исследования этой системы оказалось удобным ввести ховариантныэ производные на множестве произвольных функций векторного аргумента, так как симметрии вообще говоря неполияомиалыш. Получены необходимые условия существования полиномиальных адспгиг симметрия-. IIa этой основе провэдена классификация двухполевых модэлей (2), допускающих высшие полиномиальные симметрии. Полученные в этом случае интегрируемые модели " были известны ранее. Рассмотрены трехполевые модели (2)..в приводимом конфигурационном пространстве. Указан следующий класс моделей, удовлетворяюще необходимым условиям существования зысеих полиномиальных симмогрий:

ь= (zz+o Г1 U Д+ztz2 )+utu„+ (9ZZ+C )s(u),

где с - вещественная постоянная, z - комплексно сопряженная к z Функция, z.=d.z, а функция g удовлетворяет одному из сло.дуюцих уравнений:

а) б) g'-K3g'-2a3g=0; (а, k)-oonst

Для системы (2) построен обратный оператор Нетер (отображаадий симметрии в в градиенты интегралов этой системы).

В глава 4 излолгэаы результата исследований трех гидродинамических модзлей. В §13 доказано, что уравнения одномерных течений нбзязкего .газа, допуекгюг внешэ локальнке симметрии только если уравнение состояния газа имеет одну из слэдущих-форм:

а) р=р (V); О) p=p[f(3)-vj; 8) p=/(8)-wp*(s),

где р - давление, v и з - удельные объем и энтропия соответственно, / и ф - произвольные функции. Как известно, о случае а) уравнения газодинамики линеаризуются преобразованием _годографа. В случаях б) и 6) нам также удалось найти линеаризуклдае- преобразования. Во всех трех случаях найден рекурсионшй оператор и построены в явном виде- высшие симметрии. Эти результата позволили найти в §14 частично инвариантные решения.

В §15 исследована гатэгрируемоегь следущей системы уравнений:

и^Си^.ь), (С)

возникающей в ряде задач пэдродинамики. Показано, что система (6) удовлетворяет необходимым условиям существования нары Лаксэ только если она вырождена или линейна.

В 516 вычислена симметрии первого и второго порядка для системы: _

(Ши=0, ихгоги=0, (7)

которая описывает установившиеся течения неснимаемой идеальной кздкости с постоянным во всем пространстве интегралом Бернулж. Найдены некоторые точные решения система (7), связанные с нелиев-скзыи симметрия?®.

В главе 5 изучены критэрии полной интегрируемости нелинейных систем с двумя не зависимы?® переменными. В 517 показана эквивалентность представления нулевой кривизны -л (ь,А,в; представления нелинейной системы. Дано новое определение интегрируемой системы (§18), которое сводится к двум требованиям: с) наличие нетривиального (Ь,А,В) представления и б) разрешимость некоторого уравнения типа Рикката вблизи сингулярной точки, обеспечивающая существование бесконечного числа законов сохранения. Б рамках этого определения указан алгоритм вывода необходимых условий интегрируемости для систем достаточно общего вида с двумя независимыми переменными. Для эволюционных систем специального вида наш алгоритм сводится к алгоритму Чена-Ли-Лыо ($19). Другим новым моментом здесь является предсказание существования нелокальных канонических законов сохранения. Введзнс обобщение оператора Эйлера на случай нелокальных переменных и даны обобщенные необходимые условия интегрируемости аволжцконных систем. В §20 описан класс неэ-волюциошшх систем, к которым применим данный метод. В §21 показана возможность исследования интегрируемости многомерных систем при помощи редукции к меньшему числу независимых переменных. Раз-витий б главе 5 метод исследования позволяет классифицировать уравнения, обладающие представлением нулевой кривизны (и высшими спмметрияда) о минимальными затратами времени. Таким образом, получено теоретическое обоснование простого и'зСфективного метода поиска точно решаемых моделей, которые всегда играли важную роль е теоретической физике.

Глава 6 содержит црилокенш методов, развитых в главе . 5, к слэдущим системам:

и1гКФ(и,и4,...,и4) (8)

и1=а.ия+виг+р(и)и1+о(и),*иек2 • (9)

где а=с/;и, А=<31о2(1 ,а), а - постоянная,й(а-1 о, В - произвольная постоянная матрица. К' классу уравнений (8) прияадлетат, е частности уравнение, описывающее волны в одноагомкой Линейной цепочка атомов. Уравнения для волн в. двухатомной цепочке принадлежат к типу (9).

В 522 показано, что кромэ известного уравнения Буссинеска существует еше только одно интегрируемое нелинейное урашениэ вида (а):

и ) (10)

Доказано, что уравнение (ю) эквивалентно системе уравнений Шре-дилгера с кубической нелинейностью. Это обстоятельство позволило построить решения солитояного типа в §25-

В .§23 исследовано уравнение-(8) в приближении Леонтовича:

и=си +д Ф(и,. ...и )

I XX4' * 4 '

Показано, что в рассматриваемом классе имеется только шесть интегрируемых уравнений. Бсе эти уравнения либо были- известны,ранее, либо приводятся к известным при помощи указанного нами контактного преобразования.

В §24 изложены результаты исследования интегрируемости системы (9). Показано, что существует только восемь систем, удовлетворяющих десяти первым условиям интегрируемости. Проведено сравнение с работами других авторов.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации.

Основные результаты, диссертации опубликована в следующих, работах: .

1. Шаповалов В.Я., Багров В.Г., Мешков А.Г.- Разделение переменных в стационарном /равнении Шредингера//Изв. вузов. Физика.-1972.8.-С.45-50.

2. Багрсв Б.Г., Мешков А.Г, Шаповалов В.Н. Разделение переменных в уравнении Клейна-Гсрдсна.1//Изв. вузов. Физика.- 1573.--Ч» 11.-С.66-72.

3- Багров В.Г., Мелков А.Г, Шаповалов В.Н. Разделение переменных в уравнении Клейна-Гордона.И/'/Изв. вузов, 'йтзика.- 15?3• -Л ->2.-С.4г>-52.

4, Багров В.Г., Ыоыкое А..Г, Шаповалов В.Н. Разделение переменных в уразнзнии Клейна-Гордона.Ш//№зв. вузог . te3FKa.-Cj74.--JS

6.-С.74-78.

5/. Багров З.Г., Мешков А.Г, ШапозалоЕ В.Н. Разде.пзние переменных в уравнении Кльйна-Гордона.М//Изв. вузов. Физика.-19?Ь.-Л 3.-С.152-154.

6. Багров З.Г., Вызов Н.Н., Гитман Д.М., Клименко Ю.К., Мешков А-Г., Шаповалов В.Н., Шахматов В.М. Ноше точные решения уравнения Дирака. >'//Изв. вузов. Физика.-1975--^ 9.-С.106-112.

7. Мешков А.Г, Шаповалов В.Н. Ос интегралах движения в квантовой мехашке//Кзв. вузов. Физика.-197б.-Л 11-С.13-17-

8. Мешков А.Г. ОС одном методе решения уравнения Дирака//Изв. вузов. Физика.-1980.12-С.41-43-

9. Мешков А.Г. Алгебры Ли-Веклунда. уравнений вида и= Н(и,и.,и .)//Депонировано е ВИНИТИ.-1931.-Л £136-81Деп.-35с.

10.- Мешков А.Г. Симметрии скалярных полей.1//Теор. и мат. фИЗ.-1983.-Т.55,№ 2.-С.197-204-

*1. Мешков А.Г. Симметрии скалярных полей.Л// Теор. и мат. физ.-1933.-Т.57,-'« 3.-С.382-391.

12. Мешков А.Г. Симметрии скалярных нолей.Ш.Двумерные интегрируемые модели//Теор. и мат. физ.-1985.-Т.63,Л 3.-С.323-332.

13- Мешков А.Г. Симметрии и законы сохранения эволюционных уравнений//Депонировано в ВИНИТИ.-1985.1511-85Дес.-93с.

14-.. Мешков А.Г., Михаллев Б.Б. Уравнения газоЕой динамики, допускающие бесконечное число симметрий//Теср. и мат. физ.- 1987. Т.72,№ 3.-С.163-171 -

15. Мешков А.Г. Нелизвские симметрии в гидродинамике//В кн. Современный групповой анализ.- Баку: Элл, 1989.-С.191-197.

16. Мешков А.Г., Михаляев Б.Б. СишетрИйная классификация одного класса гидродинамических моделзй//Депснировано в ВИНИТИ.— 1989-- £ 4157-В89--10С.

17.' Мешков А.Г., Михаляев Е.Б. Интегрирование уравнений газовой данашгки при помощи алгебр Ли-Веклунда//Депонировано в ВИНИТИ.-1989.-Л 4157-В89.-13С.

18. Мешков А.Г. Необходимые условия полной интегрируемости двумерных уравнений.-Препр./ГКЦ СО АН СССР.-Томск,1990.33.-45с.

19. Мешков А.Г. Необходимые условия полной интегрируемости -Препр./ТНЦ СО АН СССР.-Томск, 1990.-й 40.-26с.

20. Мешков А.Г. Ковариантные свойства операторов Нигенхейса и гемильтоновых операторов//В кн. Современный групповой анализ: Методы и приложения.-Препринт/ЛШ АН СССР.-т990.-й 116.-С.9-14.

21. Мешков А.Г. Исследована интегрируемости уравнений нелинейных струнЛ.-Препринт/ТНЦ СО АН СССР.-Томск, 1990.-Я 3.-46С.

22. Мешков А.Г. Исследование интегрируемости уравнений нелинейных струн. И.-Препринт/ТЩ СО АН СССР.-Томск, 1991.-Л 29.-14с.

23. Мешков А.Г. К симметрии двумерных скалярных полей ки-ралъного типа.-Препрхшт/ТНЦ СО АН СССГ.-Гомск, 1991.-Л 2е.-22с.

24-. Кзшков А.Г. Солитоннне решения в ноеой точно решаемой модели нелинейной струны.-Препринт/ТЩ СО АН СССР.-Томск, 1990.-№ 23.-15с.