Алгебро-функциональная теория разветвленных накрытий и n-значных топологических групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М. В. ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи УДК 515.14

Гугнин Дмитрий Владимирович

АЛГЕБРО-ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ РАЗВЕТВЛЕННЫХ НАКРЫТИЙ И п-ЗНАЧНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУПП

Специальность 01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2010 ИВ4600933

Р

004600933

Работа выполнена на кафедре высшей геометрии и топологии Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова

Научный руководитель: член-корреспондент РАН,

профессор Бухштабер Виктор Матвеевич Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Смирнов Владимир Алексеевич кандидат физико-математических наук, доцент Аржанцев Иван Владимирович Ведущая организация: Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А. Стеклова РАН

Защита диссертации состоится 23 апреля 2010 года в 16 час. 45 мин. на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, МГУ имени М. В. Ломоносова, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 23 марта 2010 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета

Д.501.001.84 при МГУ,

доктор физико-математических наук,

профессор

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Диссертация посвящена развитию алгебраической теории градуированных n-гомоморфизмов Фробениуса и ее приложениям к теории разветвленных накрытий и теории n-значных топологических групп. Разветвленные накрытия представляют собой важный класс отображений пространств и, в первую очередь, многообразий. Такие отображения естественно возникают в топологии, комплексном анализе, алгебраической геометрии и теории особенностей.

В работах Фробениуса1,2 1896 года были введены высшие характеры конечных групп при помощи специальной рекурсии. В работах В.М. Бухштабера и Э.Г.Риса3,4 было введено понятие п-гомоморфизмов алгебр и показано, что они полностью определяются рекурсией, аналогичной рекурсии Фробениуса; поэтому эти отображения были названы n-гомоморфизмами Фробениуса. Теория была развита в3,4,5,6,7.

Введение n-гомоморфизмов алгебр было мотивировано теорией п-значных топологических групп. В классических работах Хопфа было показано, что топологическое пространство X, обладающее умножением с единицей, имеет в своем кольце когомологий специальную алгебраическую структуру, задаваемую кольцевым гомоморфизмом Д : Н*{Х) —► Н*{Х) ® Н*(Х). Это положило начало знаменитой теперь теории алгебр Хопфа. Например, отсутствие структуры алгебры Хопфа в когомологиях пространства X является препятствием к введению на нем структуры топологической группы.

Понятие n-значных формальных групп было введено в работе В.М.Бухштабера и С.П.Новикова8 в 1971 году. Затем В.М.Бухштабером

'G. Frobenius, fiber Gruppencharaktere, Sitzuiigber. Preufi. Akad. Wiss. Berlin 1896, 985-1021.

2G. R-obenius, Uber die Primfaktoren der Gruppendeterminante, Sitzungber. PreuB. Akad. Wiss. Berlin 1896, 1343-1382.

3B.M. Бухштабер, Э.Г. Рис, Многозначные группы и п-алгебры Хопфа, Успехи мат. наук 51:4 (1996), 149-150.

4V.M. Buchstaber, E.G. Rees, Multivalued groups, their representations and Hopf algebras, TVansform. Groups 2:4 (1997), 325-349.

5V.M. Buchstaber, E.G. Rees, The Geljand map and symmetric products, Selecta Math. (N.S.) 8:4 (2002), 523-535.

6B.M. Бухштабер, Э.Г. Рис, Кольца непрерывных функций, симметрические произведена и алгебры Фробениуса, Успеха мат. наук 59:1 (2004), 125-144.

7V.M. Buchstaber, E.G. Rees, Frobenius n-homomorphisms, transfers and branched coverings, Math. Proc. Cainb. Phil. Soc. 144:1 (2008), 1-12.

8B.M. Бухштабер, С.П. Новиков, Формальные группы, степенные системы и операторы Лдамса, Матем. сб. 84:1 (1971), 81-118.

была развита теория n-значных формальных групп и ее топологических приложений. В его работе9 1990 года была открыта важная структура 2-значной алгебраической группы на сфере S2. Это положило начало топологической теории n-значных групп, которая была развита в работах В.М.Бухштабера и Э.Г.Риса3,4,10, а также в работах А.М.Вершика, А.П.Веселова, А.А.Гайфуллина, С.А.Евдокимова, Т.Е.Панова, И.Н.Пономаренко, А.Н.Холодова и П.В.Ягодовского (см. подробный обзор на эту тему11). Теория n-значных групп, их представлений и действий, нашла приложения в теории динамических систем12,13.

В работе4 было показано, что, если связное топологическое пространство X обладает структурой n-значной топологической группы и имеет нулевые нечетномерные рациональные когомологии, Hodd{X\ Q) = 0, то в его алгебре четномерных когомологий Heven(X]Q) существует специальная структура, названная структурой n-алгебры Хопфа. Эта структура задается n-гомоморфизмом Д : Нтт{Х\ Q) — Heven{X]Q) ® Heven(X;Q).

В данной работе понятие n-алгебры Хопфа обобщено на случай произвольных связных коммутативных градуированных алгебр А*, и доказано, что отсутствие структуры n-алгебры Хопфа в алгебре рациональных когомологий H*(X\Q) связного топологического пространства X является препятствием к введению на X структуры п-значной топологической группы. Также рассмотрено несколько структур, близких к структуре n-алгебры Хопфа. Доказано, что отсутствие структуры п-предалгебры Хопфа (самой слабой из рассмотренных) в алгебре рациональных когомологий H*(X;Q) связного топологического пространства X является препятствием к введению на X структуры п-значного умножения с единицей.

Второе приложение градуированных n-гомоморфизмов, рассматриваемое в диссертации, касается широкого класса разветвленных накрытий топологических пространств, так называемых разветвленных накрытий по Дольду-Смиту. Разветвленные накрытия данного типа были введены

8В.М. Бухштабер, Функциональные уравнения, ассоциированные с теоремами сложения для

эллиптических функций, и двузначные алгебраические группы. Успехи мат. паук 45:3 (1990), 185-186.

10V.M. Buchstaber, E.G. Rees, Multivalued grvups, n-Hopf algebras andn-ring homomorphisms, Lie groups and Lie algebras, Math. Appl., Vol. 433, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1998, 85-107.

"V.M. Buchstaber, n-Volved Grvups: Theory and Applications, Moscow Math. J. 6:1 (2006), 57-84.

lJV.M. Buchstaber, A.P. Veselov, Integrable corrcspondences and algébrate représentations of multivalued groups, Internat. Math. Res. Notices 8 (1996), 381-400

"V. Dragovic, Geometrization and Généralisation ofthe Kowalevski top, arXiv:0912.3027vl 15 Dec 2009, accepted for publ. in Communications Math. Phys.

Л.Смитом14 в 1983 году в связи с задачей о существовании гомологического трансфера для отображений / : X —» У. К таким разветвленным накрытиям относятся такие важные классы отображений как неособые конечнолистные накрытия, отображения проекций на факторпространства по действию конечной группы и классические разветвленные накрытия в теории гладких многообразий. А.Дольд в работе15 полностью классифицировал разветвленные накрытия данного типа в терминах действий конечных групп на топологических пространствах.

И.Верстейн и А.Л.Эдмондс в 1978 году неявно доказали16, что всякое открытое конечнократное отображение / : Мт —> Nm связных замкнутых ориентируемых топологических m-мерных многообразий является п-листным разветвленным накрытием по Дольду-Смиту, где п равно максимальной кратности отображения /. Задача, которую решали И.Верстейн и А.Л.Эдмондс, состояла в нахождении нижней оценки на число п листов разветвленного накрытия / : Мт —» Nm при заданных связных замкнутых ориентируемых m-мерных многообразиях Мт и Nm. Они получили оценку п > где 1(Х) — рациональная

когомологическая длина пространства X. Их доказательство, помимо собственной алгебраической техники, существенно использовало рациональную двойственность Пуанкаре.

Сама задача о конечнократных открыто-замкнутых отображениях многообразий берет свое начало в работе Дж.Александера17 1920 года, где было доказано, что для любого ориентируемого замкнутого кусочно-линейного многообразия Мт существует открытое кусочно-линейное (следовательно, и конечнократное) отображение / : Мт —> Sm. В 1974 году тремя авторами, Г.М.Хилденом, У.Хиршем и Дж.М.Монтезиносом, независимо была доказана теорема, ставшая знаменитой, о том, что любое ориентируемое связное замкнутое 3-мерное многообразие М3 допускает 3-листное разветвленное накрытие над S3. Аналогичный результат в размерности 4 был получен в 1995 году Р.Пиергаллини18, который доказал, что любое 4-мерное ориентируемое связное замкнутое PL многообразие M4 допускает кусочно-линейное 4-листное разветвленное накрытие над S4.

14L. Smith, Transfer and ramified coverings, Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 93 (1983), 485-493.

15A. Dold, Ramified coverings, orbit projections and symmetric powers, Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 99 (1986), 65-72.

"I. Bersteiu, A.L. Edmonds, The Degree and the Branch Set of a Branched Covering, Invent. Matem. 45 (1978), 213-220.

17J,W. Alexander, Note on Riemann spaces, Bull. Amer. Math. Soc. 26 (1920), 370-373.

18R. Piergallim, Four-manifolds as 4-fold branched covers of S*, Topology 34 (1995), 497-508.

В диссертации, с помощью развитой техники градуированных п-гомоморфизмов, получена следующая общая оценка на число п листов разветвленного по Дольду-Смиту накрытия / : X —♦ Y для "хороших", с точки зрения общей топологии, пространств X и Y (например, подходит случай полиэдров, компактных и некомпактных): n > тг > min{p, (yj^i}, Для любого простого р, где 1{Z)

(соответственно, lp{Z)) — это рациональная (соответственно, mod р) когомологическая длина пространства Z.

Цель работы.

Цель диссертации — развить теорию градуированных п-гомоморфизмов Фробениуса и применить ее для исследования разветвленных накрытий и n-значных топологических групп.

Научная новизна.

Результаты диссертации являются новыми. В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Введено понятие градуированного n-гомоморфизма Фробениуса и развита соответствующая теория. Доказаны теоремы о сумме и об универсальном n-гомоморфизме произвольной алгебры.

2. Доказано, что всякий n-гомоморфизм коммутативных С*-алгебр с единицей непрерывен и его норма равна п. Показано, что введенное В.М.Бухштабером и Э.Г.Рисом обобщенное преобразование И.М.Гельфанда является гомеоморфизмом относительно некоторых естественных топологий.

3. С помощью теории градуированных n-гомоморфизмов получена оценка снизу на рациональную и mod р, р > п, когомологическую длину базы n-листного разветвленного накрытия по Дольду-Смиту в терминах соответствующей когомологической длины пространства накрытия и числа листов п. Доказана точность этой оценки в случае п = 2.

4. Доказано, что в алгебре рациональных когомологий связной п-значной топологической группы существует специальная структура п-алгебры Хопфа. С помощью этого результата доказано, что на компактной римановой поверхности рода большего единицы нельзя ввести 2-значное умножение с единицей.

Методы исследования.

В работе используются методы алгебраической топологии, теории разветвленных накрытий, теории п-значных топологических групп и теории п-гомоморфизма Фробениуса.

Теоретическая и практическая ценность.

Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации и развитая в ней техника могут быть полезны специалистам по топологии, алгебре и функциональному анализу.

Апробация диссертации.

Результаты диссертации докладывались:

• Неоднократно (2005, 2006, 2009 гг.) на научно-исследовательском семинаре «Алгебраическая топология и ее приложения» кафедры высшей геометрии и топологии МГУ.

• На научно-исследовательском семинаре «Геометрия, топология и математическая физика» кафедры высшей геометрии и топологии МГУ, в марте и октябре 2006 г.

• На международной конференции Александровские Чтения, МГУ, г. Москва, в 2006 г.

• На Пятом Европейском Конгрессе Математиков, постерный доклад, Амстердам (Нидерланды), в 2008 г.

• На международной конференции Торическая Топология в Манчестере 09, Манчестер (Великобритания), в 2009 г.

• На научно-исследовательском семинаре по алгебре кафедры высшей алгебры МГУ, в 2008 г.

• На Петербургском семинаре по теории представлений и динамическим системам, ПОМИ РАН, г. Санкт-Петербург, в 2009 г.

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в четырех работах автора, список которых приведен в конце автореферата [1-4].

Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения и четырех глав. Текст диссертации изложен на 100 страницах. Список литературы содержит 34 наименования.

Содержание работы

Во введении описаны история рассматриваемых проблем и постановки решаемых задач. Приведены основные результаты и изложено содержание диссертационной работы.

В первой главе вводится понятие градуированного п-гомоморфизма Фробениуса и развивается общая теория таких отображений. Понятие (неградуированного) n-гомоморфизма Фробениуса было введено в работах В.М.Бухштабера и Э.Г.Риса3,4 в 1996-97 гг. Дадим основное определение.

В диссертации под основным кольцом всюду понимается Z-градуированное коммутативное ассоциативное кольцо R* = с единицей, 1д ф 0. Под алгеброй над основным кольцом всюду понимается Z-градуированная ассоциативная Я*-алгебра А* с единицей. Пусть А* и В* — две Д*-алгебры, В* — коммутативна, / : А* —» В* есть iT-линейное отображение степени ноль (/(Л*) С В' Vi б Z, /(Да) - Л/(а) VA € е Л*). Для любого

натурального т определим по рекурсии m-линейные симметрические отображения Фт (/) : Ат В :

Ф!(/)(«) = f(a) Va в А*-, Ф2(/)(а,Ь) = f(a)f(b) - f{ab) Va,be А*;

Фт+1(/)(й1, а2,..., am+i) = /(ai)$m(/)(a2,..., am+i) -т+1

- 53(-1)|в1||в,1+""+|в1||а*",1фт(/)(°2' • • • ' а1°Ь - • • - Om+l),

к—2

Vm > l,Vai,... ,am+j б А*.

Приведенная рекурсия называется градуированной рекурсией Фробениуса, и она отличается от обычной (неградуированной) рекурсии Фробениуса наличием знака (-l)MM+-+lailK-il в присутствующей в ней сумме ^Сй*!-• •)■ этом симметричность отображений

Фт(/) : Ат —> В, т > 1, доказывается отдельно.

Определение 1.2.1. Пусть А*, В* — В.*-алгебры, В* — коммутативна, f : А* —+ В* — R* -линейное отображение степени ноль. Тогда отображение f называется п-гомоморфизмом Фробениуса, если выполнены следующие условия:

(1) /(аЬ) = (-1)1^1/(4 Уа,Ье А*\

(2)/(1)=п;

(3) Ф„+1(/)(аьа2,...,ап+1) = 0 \/аь..., ап+1 6 Л*.

Из приведенного определения сразу следует, что понятие 1-гомоморфизма и гомоморфизма алгебр совпадают. Приведем основные теоремы первой главы.

Теорема 1.2.3. Пусть А*, В* — Я*-алгебры, В* — коммутативна, отображение / : А* —+ В* является п-гомоморфизмом и отображение д : А* —+ В* является тп-гомоморфизмом. Тогда их сумма f + g:A*—*B* есть (п + т)-гомоморфизм.

Из этой теоремы вытекает следующее важное для нас утверждение: отображение / = /х + ... + /„: А* -* В*, где /,• : А* —> В*, 1 < г < п, — гомоморфизмы алгебр, является п-гомоморфизмом.

Пусть | е В?. В диссертации доказывается, что в этом случае для любой Д*-алгебры А* и любого п > 1 существует выделенная коммутативная II*-алгебра Вт^(п, Л) и выделенный п-гомоморфизм ха '- А* -+ Вить(п, А), универсальные в следующем смысле. Для любой коммутативной II*-алгебры В* и любого п-гомоморфизма / : А* —+ В* существует единственный гомоморфизм алгебр / : А) -+ В* такой, что

/ — /°Ха- Приведем явную конструкцию универсального п-гомоморфизма Ха : А* Виту(п,А) в случае, когда ^ 6 Я0.

Для произвольной /Г-алгебры Л* рассмотрим ее п-ю тензорную степень Л®" как Л'-модуля. Этот Л'-модуль наделяется стандартной структурой Я'-алгебры. Умножение на разложимых тензорах определяется следующим образом:

а! ® ... ® ап ■ Ь1 ® ... ® Ъп = (-1)^р>« |в'11ь'1а1Ь1 ® а2Ь2 ® ... ® апЬп.

На алгебре Л®" канонически действует (справа) группа 5„ :

а{аг ® ... ® ап) = ®... ® а<г(п), У а е 5„,

где = 1, если р < и е?5 = О, если р > € Н, также еп = 1, если

Р > <?> и еп — 0, если р < д, \/р, д € N.

Пусть ^ 6 Я0. Рассмотрим в Я*-алгебре Л®п подалгебру симметрических тензоров 5"Л* = (Л®п)5". Рассмотрим в алгебре Б" А* ее коммутант [Й^А*, 5" Л*], т.е. двусторонний однородный идеал, натянутый на все градуированные коммутаторы вида

[а, 6] = аЬ — (—1)1а11ь1ба,Уа, 6 6 5М*. Понятно, что факторалгебра по коммутанту 8пА*([ЗпА*,8пА*\ коммутативна. Рассмотрим следующее отображение:

Ха- Л* БпА*/{ЗпА\ хл(а) = <а®1®...®И-... + 1®...®1®а),

где через (6) е 5"Л*/[5ПЛ*, в"А*] обозначен класс элемента 6 € 5"А* в факторалгебре по коммутанту 5М*/[5ПЛ*, 5ПЛ*].

Теорема 1.2.8. Пусть ^ б и А* — произвольная П."-алгебра. Тогда построенное выше отображение ха •' А* —> 5ПЛ*/[5ПЛ*, является универсальным п-гомоморфизмом алгебры А*.

Во второй главе изучаются п-гомоморфизмы коммутативных С*-алгебр с единицей. В силу преобразования И.М.Гельфанда, класс коммутативных С*-алгебр с единицей совпадает с классом алгебр непрерывных комплекснозначных функций на компактных хаусдорфовых пространствах. Пусть X и У — компактные хаусдорфовы пространства, С(Х) и С {У) — алгебры комплекснозначных непрерывных функций на них. Стандартная чебышевская норма превращает эти алгебры в С*-алгебры. Обозначим через Ф%(С(Х),С(У)) множество всех непрерывных п-гомоморфизмов из С(Х) в С (У) (как линейных операторов между банаховыми пространствами), а через С(У,8утпХ) — пространство всех непрерывных отображений из У в п-ю симметрическую степень пространства X, 8утпХ = Хп/5„. В.М.Бухштабером и Э.Г.Рисом7 был получен следующий результат:

Теорема. Существует каноническая (функториалъная) биекция Ф„ : Ф ЦС(Х), С (У)) С(У, 8утпХ).

Биекцию мы называем обобщенным преобразованием

И.М.Гельфанда, поскольку наличие и явный вид биекции Фх является прямым следствием классического преобразования И.М.Гельфанда. В пространстве Ф°(С(Х),С(У)) можно рассмотреть топологию поточечной сходимости, а в пространстве С (У, Эут"Л') — стандартную компактно-открытую топологию. Приведем центральный результат второй главы.

Теорема 2.3.2. Всякий п-гомоморфизм <р : С(Х) —> С(У) непрерывен, и его норма равна п. Обобщенное преобразование И.М.Гельфанда Ф„ : Ф£(С(Х),С(У)) —> С (У, 8ут"Х) является гомеоморфизмом относительно указанных топологий.

Третья глава диссертации посвящена приложениям теории градуированных п-гомоморфизмов к теории разветвленных накрытий по Дольду-Смиту. Дадим определение разветвленных накрытий этого типа.

Пусть X — хаусдорфово пространство. Обозначим через ехрп(Х) множество всех непустых не более чем п-точечных подмножеств пространства X. Понятно, что существует каноническая проекция (забывание кратностей) {•} : Зут"Х —> ехрп(Х).

Определение 3.2.2. Пусть X и У — хаусдорфовы пространства. Непрерывное отображение X —* У называется п-листным

разветвленным накрытием по Дольду-Смиту, если существует такое непрерывное отображение д : У —» 8утпХ, что выполнено тождество

Ш) = ГЧУ)УУ еУ.

Приведем классификационную теорему А.Дольда15.

Теорема А. Пусть X — хаусдорфово пространство, б — конечная группа, действующие на X, Н С <2 — подруппа индекса п. Тогда каноническая проекция пс,н Х/Н —+ Х/С является п-листным разветвленным накрытием по Дольду-Смиту.

В. Пусть X и У — хаусдорфовы пространства и / : X У, д : У —> 8ут"Х — п-листное разветвленное

накрытие по Дольду-Смиту. Тогда существует канонически получаемое хаусдорфово пространство IV с действием группы Зп такое, что X = \VjSn У = и отображение f : X —► У совпадает с

отображением : \У/Зп-1 —>>

Из определения разветвленных накрытий по Дольду-Смиту и из теоремы А.Дольда непосредственно следует, что неособые п-листные накрытия / : X У и отображения проекции тх : X —> Х/С на факторпространства по действию конечной группы £7 порядка п на хаусдорфовом пространстве X принадлежат к классу п-листных разветвленных накрытий по Дольду-Смиту.

В 1978 году И.Верстейн и А.Л.Едмондс16 показали, что для всякого открытого непрерывного конечнократного отображения / : Мт —► Ыт связных замкнутых ориентируемых топологических т-иерных многообразий без края существуют хаусдорфово пространство № с действием конечной группы С и подгруппа Я с индекса п такие, что Мт = И7Я и ЛГт = Ж/С, а отображение / : Мт -> Ыт совпадает

с канонической проекцией тхg,h ' W/H —> W/G. В силу приведенной теоремы А.Дольда, отсюда следует принадлежность таких отображений к классу разветвленных накрытий по Дольду-Смиту. И.Берстейн и А.Л.Едмондс в своем доказательстве существенно опирались на известную теорему А.В.Чернавского19 1964 года о структуре открыто-замкнутых конечнократных отображений / : Mm —> Nm связных топологических m-мерных многообразий без края (была использована та часть теоремы А.В.Чернавского, которая говорит о коразмерности множества ветвления отображения f : Мт —> Nm). Опираясь на другую часть теоремы А.В.Чернавского, мы доказываем принадлежность произвольных открыто-замкнутых конечнократных отображений / : Мт —> Nm связных топологических m-мерных многообразий без края (без ограничений типа замкнутости или ориентируемости) к классу n-листных разветвленных накрытий по Дольду-Смиту.

Основным инструментом, применяемым нами для исследования когомологий разветвленных накрытий по Дольду-Смиту является следующее понятие п-трансфера.

Определение 3.1.1. Пусть В* и А* — два коммутативных градуированных кольца с единицей, 1а ф 0,1в ф 0, ^ € А0, В0, i : В* —» А*

— гомоморфизм колец, превращающий А* в В*-алгебру. В*-линейное степени ноль отображение т : А* —> В* называется п-трансфером (по отношению к гомоморфизму г : В* —> А*), если выполнены следующие условия:

(1) г : А* —> В* есть п-гомоморфизм В"-алгебр;

(2) i о т — Ид. + д, где g : А* —► А* — однозначно определенный (п — 1)-гомоморфизм.

Основным примером n-трансфера является классический трансфер в теории групп. Пусть А* — коммутативное градуированное кольцо с единицей, 1 ф О, G — произвольная группа, Я С G

— подгруппа индекса n, ~ € А0. Пусть G действует на А* автоморфизмами (сохраняющими градуировку). Тогда имеем башню колец i : AG Ан С А. В этом случае определен классический трансфер г : Ан AG, т(о) = fli(a) + g2(a) + ... + gn(a), где G = {giH} Li {№ Я} у... У{5пЯ}. Несложное утверждение состоит в том, что т : Ан —> AG является n-трансфером в смысле нашего определения.

1ЭА.В. Червавский, О конечнократных открытых отображениях многообразий, Матем. сб. 65 (1964), 357-369.

Обозначим через 1(Х) рациональную когомологическую длину топологического пространства X, т.е. наибольшее число т классов сингулярных когомологий а1,...,ат € Я*-1 (X;ф) степени больше нуля таких, что а^ ■.. ат ф 0 (если для любого т существуют соответствующие классы когомологий, то 1(Х) = оо). Аналогично через 1р(Х) обозначим тос! р когомологическую длину пространства X. Следующая теорема является основным результатом третьей главы.

Теорема 3.2.3. Пусть X и У — локально стягиваемые паракомпакты такие, что пространство У х Хп также паракомпакт. Тогда для любого п-листного разветвленного накрытия по Дольду-Смиту / : X У существуют п-трансферы в сингулярных когомологиях г : Н\Х-,<0>) Я*(У-,0) и т : Н*(Х-,%Р) - Я*(У;2р),р > п, из наличия которых следует оценка на когомологическую длину 1(У) + 1 > (У) + 1 > р> п. В случае п = 2 эта оценка

является точной.

В четвертой главе вводится понятие п-алгебры Хопфа для произвольных связных градуированных коммутативных алгебр, а также несколько модификаций этого понятия, и доказывается, что отсутствие структуры п-алгебры Хопфа в алгебре рациональных когомологий Н*(Х\0>) связного топологического пространства X является препятствием к введению на X структуры п-значной топологической группы. В случае, когда нечетномерные рациональные когомологии пространства X равны нулю, Н0<Ы{Х\ (2) = 0, это утверждение было доказано В.М.Бухштабером и Э.Г.Рисом в работе4. Как следствие, например, было показано, что на пространствах СРт,т > 1, не существует структуры 2-значной группы. Другой пример доставляет следующая теорема Т.Е.Панова20:

Теорема. Класс односвязных замкнутых четырехмерных многообразий М4, допускающих структуру 2-алгебры Хопфа в рациональных когомологиях, с точностью до гомотопической эквивалентности исчерпывается следующим списком: 54, кСРЩб - к)(-СР2),0 <к< 6, и 3(Б2 х в2), где (-С Р2) обозначает пространство СР2 с обращенной ориентацией.

Заметим, что в исходной теореме Т.Е.Панова случай сферы 54 был пропущен, поскольку в оригинальном доказательстве сразу

г0Т.Е. Панов, О структуре 2-алгебры Хопфа в когомологиях четырехмерных многообразий, Успехи мат. наук 51:1 (1996), 161-162.

рассматривался случай, когда Я2(М4; Ъ) ф 0.

В четвертой главе также доказывается, что отсутствие структуры п-предалгебры Хопфа (самой слабой из рассматриваемых структур) в алгебре рациональных когомологий Н*(Х\О») связного топологического пространства X является препятствием к введению на X структуры п-значного умножения с единицей. Основным результатом этой главы является следующая

Теорема 4.2.1. Пусть дана компактная риманова поверхность Гд рода д > 2. Тогда ее алгебра рациональных когомологий Н"{Гд; С$) не допускает структуру 2-предалгебры Хопфа. В частности, на римановой поверхности Гд, д > 2, не существует 2-значного умножения с единицей.

Благодарности.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю члену-корреспонденту РАН, профессору В. М. Бухштаберу за постановку задач, постоянное внимание и интерес к работе. Автор благодарен д.ф.-м.н., профессорам А. В.Зарелуа, А. В. Чернавскому, Е.В.Щепину, д.ф.-м.н. Т.Е.Панову и к.ф.-м.н., старшему научному сотруднику С. А. Мелихову за полезные обсуждения. Автор также благодарен всему коллективу кафедры высшей геометрии и топологии механико-математического факультета МГУ за поддержку и внимание.

Работы автора по теме диссертации

[1] Д.В. Гугнин, Полиномиально зависимые гомоморфизмы и п-гомоморфизмы Фробениуса, Труды МИАН 266 (2009), 64-96.

[2] Д.В. Гугнин, Полиномиально зависимые гомоморфизмы. Теорема единственности п-гомоморфизмов Фробениуса, Успехи мат. наук 62:5 (2007), 149-150.

[3] Д.В. Гугнин, О непрерывных и неприводимых п-гомоморфизмах Фробениуса, Успехи мат. наук 60:5 (2005), 163-164.

[4] Д.В. Гугнин, Теория градуированных п-гомоморфизмов Фробениуса и ее топологические приложения, деп. в ВИНИТИ РАН 15.02.2010 № 69-В2010, 73 с.

Подписано в печать М. ОЗ. 20/0 Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. 10 Тираж /00 экз. Заказ /6

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова

Введение

Глава 1. Теория градуированных n-гомоморфизмов Фробениуса

1.1. Градуированная рекурсия Фробениуса.

1.1. Градуированные n-гомоморфизмы Фробениуса.

Глава 2. n-гомоморфизмы коммутативных С*-алгебр

2.1. Результаты В.М.Бухштабсра и Э.Г.Риса о непрерывных п-гомоморфизмах.

2.2. Теорема о разложимости п-гомоморфизмов специального типа

2.3. Теорема о непрерывности n-гомоморфизмов. Обобщенное преобразование И.М.Гельфанда.

В диссертации развита алгебраическая теория градуированных п-гомоморфизмов Фробениуса, и в качестве приложений получены результаты о разветвленных накрытиях и п-значных топологических группах. Разветвленные накрытия представляют собой важный класс отображений пространств и, в первую очередь, многообразий. Такие отображения естественно возникают в топологии, комплексном анализе, алгебраической геометрии и теории особенностей.

В работах Фробениуса [24], [25] 1896 года были введены высшие характеры конечных групп при помощи специальной рекурсии. В работах В.М.Бухштабера и Э.Г.Риса [5],[17] было введено понятие п-гомоморфизмов алгебр и показано, что они полностью определяются рекурсией, аналогичной рекурсии Фробениуса; поэтому эти отображения были названы n-гомоморфизмами Фробениуса. Теория была развита в [5],[6],[17],[19],[20].

Введение n-гомоморфизмов алгебр было мотивировано теорией п-значных топологических групп. В классических работах Хопфа было показано, что топологическое пространство X, обладающее умножением с единицей, имеет в своем кольце когомологий специальную алгебраическую структуру, задаваемую кольцевым гомоморфизмом А : Н*(Х) —> Н*(Х) ® Н*{Х). Это положило начало знаменитой теперь теории алгебр Хопфа. Например, отсутствие структуры алгебры Хопфа в когомологиях пространства X является препятствием к введению на нем структуры топологической группы.

Понятие n-значных формальных групп было введено в работе В.М.Бухштабера и С.П.Новикова [4] в 1971 году. Затем В.М.Бухштабером была развита теория п-значных формальных групп и ее топологических приложений. В его работе [3] 1990 года была открыта важная структура 2-значной алгебраической группы на сфере S2. Это положило начало топологической теории n-значных групп, которая была развита в работах В.М.Бухштабера и Э.Г.Риса [5], [17], [18], а также в работах А.М.Вершика, А.П.Веселова, А.А.Гайфуллина, С.А.Евдокимова, Т.Е.Панова, И.Н.Пономаренко, А.Н.Холодова и П.В.Ягодовского (см. подробный обзор на эту тему [16]). Теория п-значиых групп, их представлений и действий, нашла приложения в теории динамических систем [21],[23].

В работе [17] было показано, что, если связное топологическое пространство X обладает структурой n-значной топологической группы и имеет нулевые нечетномерные рациональные ко гомологии, Hodd(X; Q) = 0, то в его алгебре четномерных когомологий Heven(X]Q) существует специальная структура, названная структурой n-алгебры Хопфа. Эта структура задается n-гомоморфизмом Д : Heven{X;Q) Heven(X]Q) <g> Heven(X]Q). Таким образом, задача о существовании структуры n-значной топологической группы на топологических пространствах явилась важным стимулом развития теории n-гомоморфизмов Фробеииуса и n-алгебр Хопфа.

В работе В.М.Бухштабера и Э.Г.Риса [20] было показано, что отображение топологических пространств / : X —> У, являющееся п-листным разветвленным накрытием (в смысле Дол ьд а-Смита), индуцирует п-гомоморфизм алгебр непрерывных функций /* : С(Х) —> С (У) специального типа (n-трансфер). Таким образом, задача о существовании разветвленных накрытий / : X —» У данной кратности между данными пространствами X и У явилась еще одним стимулом развития теории п-гомоморфизмов.

В классической работе А.Н.Колмогорова-И.М.Гельфанда [9] 1939 года было показано, что два компактных хаусдорфовых пространства X и У гомеоморфны тогда и только тогда, когда существует алгебраический изоморфизм их колец непрерывных функций. Впоследствии в работах И.М.Гельфанда была развита теория С*-алгебр, в основу которой было положено преобразование, получившее его имя. Это преобразование в частном случае С*-алгебр является изометрическим изоморфизмом произвольной коммутативной С*-алгебры А с единицей на алгебру С(Г2(^4)) всех непрерывных комплекснозначных функций на спектре алгебры А.

В работе В.М.Бухштабера и Э.Г.Риса [19] было показано, что не только само компактное хаусдорфово пространство X восстанавливается по алгебре непрерывных функций на нем, но и его п-я симметрическая степень SymnX = Xn/Sn, для любого п. А именно, было доказано, что имеет место функториальный гомеоморфизм SymnX = Ф^(С(Х), С), где Ф^(С(Х),С) обозначает пространство всех непрерывных п-гомоморфизмов из алгебры С{Х) непрерывных комплекснозначных функций на X в поле С. Обобщение этого результата в различных направлениях также привело к задачам теории n-гомоморфизмов. Обобщение п-гомоморфизмов с точки зрения суперматематики привело к понятию р|^-гомоморфизмов, введенных Ф.Ф.Вороновым и О.М.Худавердяном[8],[27] на основе понятия березиниана.

Основной темой диссертации является развитие теории п-гомоморфизмов, включая теорию п-гомоморфизмов градуированных алгебр и С*-алгебр, а также приложения к теории разветвленных накрытий и п-значных топологических групп.

Первая глава диссертации посвящена определению и доказательству основных свойств градуированных п-гомоморфизмов. Основными результатами этой главы являются теоремы 1.2.3 и 1.2.8. Для обозначения градуированных алгебр мы используем знак *. Из контекста ясно, когда речь идет о градуированных алгебрах, а когда о С*-алгебрах (которые всегда неградуированны.)

Пусть R* — некоторое Z-градуированное коммутативное ассоциативное кольцо с единицей, А* и В* — Z-градуированные ассоциативные Д*-алгебры с единицей, причем В* — коммутативна.

Теорема 1.2.3. Пусть даны п-гомоморфизм f : А* —»• В* и т-гомоморфизм g : А* —> В*. Тогда их сумма f + g : А* —> В* является (п + т)-гомоморфизмом.

В неградуированном случае эта теорема была доказана В.М.Бухштабером и Э.Г.Рисом в [19]. Полученная теорема позволяет строить новые п-гомоморфизмы из уже имеющихся. В частности, отображение f = fi + - ■ ■+fn '■ А* В*, где fi'-A*^B*,l<i<n, — гомоморфизмы алгебр, является п-гомоморфизмом.

Пусть теперь — £ Для произвольной R* алгебры А* ее п-я тензорная степень А®п стандартным образом наделяется структурой Д*-алгебры. Обозначим через SnA* подалгебру симметрических тензоров В алгебре SnA* рассмотрим ее коммутант [SnA*, SnA*], т.е. двусторонний идеал в SnA*, натянутый на все градуированные коммутаторы [а, Ь] = аЬ — (—l)laIH&a, Va, Ь £ SnA*. Понятно, что факторалгебра SnA*/[SnA*,SnA*] будет коммутативной. Имеет место следующее каноническое отображение Хл : ^ SnA*/[SnA*, SPA*], Хл{а) = (а<8>1®.®1 + . + 1®.(8)1<8>а), где (b) — это класс элемента Ь € SnА* в факторалгебре SnA*/[SnA*,SnA*].

Теорема 1.2.8. Пусть А* — произвольная R*-алгебра и 6 Тогда построенное выше отображение ха ■ А* SnA*/[SnA*, SnA*] является п-гомоморфизмом алгебры А*, обладающим следующим свойством универсальности: для любой коммутативной R*-алгебры В* и любого п-гомоморфизма f : А* —> В* существует единственный гомоморфизм алгебр f : SnA*/[SnA*, SnA*} В* такой, что f = f о Ха

В неградуированном коммутативном случае эта теорема в небольшой переформулировке была доказана В.М.Бухштабером и Э.Г.Рисом в [19] с использованием некоторой комбинаторной конструкции. Общий случай потребовал нового подхода.

Во второй главе диссертации изучаются n-гомоморфизмы коммутативных С*-алгебр с единицей. В силу преобразовашш И.М.Гельфанда, класс коммутативных С*-алгебр с единицей совпадает с классом алгебр непрерывных комплекснозначных функций на компактных хаусдорфовых пространствах. Пусть X и Y — компактные хаусдорфовы пространства, С(Х) и С{Y) — алгебры комплекснозначных непрерывных функций на них. Стандартная чебышевская норма превращает эти алгебры в С*-алгебры. Обозначим через (X): С(Y)) множество всех непрерывных n-гомоморфизмов из С(Х) в C(Y) (как линейных операторов между банаховыми пространствами), а через С(У, SymnX) — пространство всех непрерывных отображений из Y в п-ю симметрическую степень пространства X,SymnX = Xn/Sn. В.М.Бухштабером и Э.Г.Рисом[20] был получен следующий результат:

Теорема а. Существует каноническая (функториальная) биекция Фп : Ф£(СР0,С(У)) - C(Y,Syn«).

В пространстве Ф^(С(X), С(Y)) можно рассмотреть топологию поточечной сходимости, а в пространстве C(Y, SymnX) — стандартную компактно-открытую топологию. Обозначим через Фп(С(X), С(Y)) множество всех (без условия непрерывности) п-гомоморфизмов из С(Х) в C(Y). Центральным результатом второй главы является следующая

Теорема 2.3.2. Всякий п-гомоморфизм <р : С(Х) —> С(У) непрерывен, и его норма равна п. Биещия Фп : Фn(C(X),C(Y)) = Ф£(С(Х), C(Y)) —> С(У, SymnX) является гомеоморфизмом относительно указанных топологий.

В алгебраической топологии хорошо известна задача: для каких классов непрерывных отображений топологических пространств f : X Y существует прямой образ в когомологиях }\ : Н*{Х) —> H*(Y) такой, что композиция f\ о /* : H*(Y) —> H*(Y) есть умножение на целое число. В 1983 году Л.Смит[30] ввел понятие n-листного разветвленного накрытия и доказал, что для таких отображений прямой образ существует. В 1986 году А.Дольд[22] получил полную классификацию n-листных разветвленных накрытий (введенных Л.Смитом) в терминах действий конечных групп на пространствах. Впоследствии такие отображения получили название п-листных разветвленных накрытий по Дольду-Смиту. Известно три важных для топологии класса непрерывных отображений, которые являются п-листными разветвленными накрытиями по Дольду-Смиту:

1) Неособые n-листные накрытия / : X —> У;

2) Отображения проекции 7Г : X —> X/G на факторпространства по действию конечной группы G порядка п на хаусдорфовом пространстве Х\

3) Открыто-замкнутые непрерывные коиечиократные отображения / : Мт —> Nm связных топологических m-мерных многообразий без края (п равно максимальной кратности отображения /).

Случаи (1) и (2) были отмечены еще в работе Л.Смита [30]. В 1978 году в работе И.Берстейна и А.Л.Едмондса [15] было показано, что для всякого открытого непрерывного конечнократного отображения / : Мт —> Nm связных замкнутых ориентируемых топологических m-мсрных многообразий без края существуют хаусдорфово пространство W с действием конечной группы G и подгруппа Н С G индекса п такие, что Мт — W/H и Nm = W/G, а отображение / : Мт —» Nm совпадает с канонической проекцией 7xqji : W/H —> W/G. В силу теоремы А.Дольда[22], отсюда следует принадлежность таких отображений к классу разветвленных накрытий по Дольду-Смиту. И.Верстейн и А.Л.Едмондс в свосм доказательстве существенно опирались на известную теорему А.В.Чернавского[12] 1964 года о структуре отображений вида (3) (была использована та часть теоремы А.В.Чернавского, которая говорит о коразмерности множества ветвления отображения / : Мт —> Nm). Несложно убедиться, что это доказательство можно распространить на общий случай отображений вида (3). Мы, однако, даем прямое независимое доказательство принадлежности отображений случая (3) к разветвленным накрытиям по Дольду-Смиту, опираясь на другую часть теоремы А.В.Чернавского.

В третьей главе вводится понятие градуированного п-трансфера г : А* —» В* как n-гомоморфизма специального типа. Обозначим через 1(Х) рациональную когомологическую длину топологического пространства X, т.е. наибольшее число т классов сингулярных когомологий ai,.,am Е H*-l(X] Q) степени больше нуля таких, что a\Ci2.--am ^ 0 (если для любого т существуют соответствующие классы когомологий, то 1(Х) = оо). Аналогично через 1Р{Х) обозначим mod р когомологическую длину пространства X. Применяя развитую в диссертации технику п-трансфера и характеризацию А.Дольда разветвленных накрытий по Дольду-Смиту, мы получаем следующий основной результат третьей главы:

Теорема 3.2.3. Пусть X и Y — локально стягиваемые параколтакты такие, что пространство Y х Хп такэюе паракомпакт. Тогда для любого п-листного разветвленного накрытия по Дольду-Смиту / : X —> Y существуют п-трансферы в сингулярных когомологиях т : H*(X]Q) —» H*(Y]Q) и т : FI*(X]ZP) —>• H*(Y]Zp),p > п, из наличия которых следует оценка на когомологическую длину l(Y) +1 > /Р(У) +1 > ? р > п.

В случае п = 2 эта оценка является точной.

Назовем всякое открыто-замкнутое конечнократное отображение / : Мт —» Nm связных топологических ш-мерных многообразий без края разветвленным накрытием многообразий. Изучение разветвленных накрытий многообразий в многомерной ситуации восходит к известной работе Александера [14] 1920 года, где была доказана следующая

Теорема /3. Для любого замкнутого связного ориентируелюго PL многообразия Мт существует кусочно-линейное разветвленное накрытие / : Мт Sm.

В конструкции Александера степень разветвленного накрытия / : Мт —■»

Sm оценивалась через число симплексов старшей размерности многообразия Мт. Возник вопрос: каково наименьшее п — п(т), при котором для любого замкнутого связного ориентируемого PL многообразия Мт существует п-листное разветвленное накрытие / : Мт —> Sm? В случае т = 2, гиперэллиптические поверхности доставляют очевидный ответ: п(2) = 2. В 1974 году Г.М.Хилден, У.Хирш и Дж.М.Моптезинос независимо доказали теорему, ставшую знаменитой, о том, что п{3) = 3. Наконец, в 1995 году Р.Пиергаллини[29] доказал, что п{4) = 4. В случае произвольного т известен лишь следующий результат И.Берстейна и А.Л.Едмондса[15]:

Теорема 7. Пусть дано п-листиое разветвленное накрытие f : Мш —> Nm, где Мт и Nm — связные замкнутые ориентируемые топологические т-мерные многообразия. Тогда выполнена следующая оценка п > цт^гу, где 1(Х) — это рациональная когомологическая длина пространства X.

Из теоремы 7 следует, в частности, что для любого п-листного накрытия / : Тт —> Sm выполнено неравенство п > т, откуда п(т) > т. В доказательстве своей оценки п > у И.Берстейн и А.Л.Едмондс существенно использовали рациональную двойственность Пуанкаре. В частности, их оценка неприменима в неориентируемом случае: например, для 2-лпстного накрытия / : S2m —> ШР2т их оценка 2 > ^ не имеет смысла. Наша оценка п > чуть слабее оценки Берстейна-Едмондса, но зато применима во всех случаях. В рассмотренном примере она дает верное равенство 2 =

В четвертой главе вводится понятие n-алгебры Хопфа для произвольных связных градуированных коммутативных алгебр, а также несколько модификаций этого понятия, и доказывается, что отсутствие структуры п-алгебры Хопфа в алгебре рациональных когомологий H*(X\Q) связного топологического пространства X является препятствием к введению на X структуры n-значной топологической группы. В случае, когда нечетномерные рациональные когомологии пространства X равны нулю, Hodd(X: Q) = О, т.е. когда рассматривается четноградуированная коммутативная алгебра Heven(X;Q), это утверждение было доказано в работе В.М.Бухштабера и Э.Г.Риса [17]. Как следствие, например, было показано, что на пространствах CPm,r77, > 1, не существует структуры 2-значной группы. Другой пример доставляет следующая теорема Т.Е.Панова[11]:

Теорема 5. Класс односвязных замкнутых четырехмерных многообразий М4, допускающих структуру 2-алгебры Хопфа в рациональных когомологиях, с точностью до гомотопической эквивалентности исчерпывается следующим списком: S4, /cCP2jj(6 - k)(-CP2), 0 < к < 6, и 3(S2 х S2), где (—CP2) обозначает пространство VP2 с обращенной ориентацией.

Заметим, что в исходной теореме Т.Е.Панова случай сферы S4 был пропущен, поскольку в оригинальном доказательстве сразу рассматривался случай, когда Я2(М4; Z) ф 0.

В четвертой главе также доказывается, что отсутствие структуры п-предалгебры Хопфа (самой слабой из рассматриваемых структур) в алгебре рациональных когомологий H*(X;Q)) связного топологического пространства X является препятствием к введению на X структуры n-значпого умножения с единицей. Основным результатом этой главы является следующая

Теорема 4.2.1. Пусть дана компактная риманова поверхность Г5 рода g > 2. Тогда ее алгебра рациональных когомологий H*(Tg\<Q>) не допускает структуру 2-предалгебры Хопфа. В частности, на римановой поверхности Гg,g > 2, не существует 2-значного умножения с единицей.

Результаты автора по теме диссертации опубликованы в работах [31]—[34].

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю члену-корреспонденту РАН, профессору В. М. Бухштаберу за постановку задач, постоянное внимание и интерес к работе. Автор благодарен д.ф.-м.н., профессорам А. В.Зарелуа, А. В. Чернавскому, Е. В.Щепину, д.ф.-м.н. Т.Е.Панову и к.ф.-м.н., старшему научному сотруднику С.А.Мелихову за полезные обсуждения. Автор также благодарен всему коллективу кафедры высшей геометрии и топологии механико-математического факультета МГУ за поддержку и внимание.