Алгебры операторов, связанные с интерполяционными пространствами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

^¡ЦОя&гии?'

На правах рукописи

КАБАНКО Михаил Владимирович

Алгебры операторов, связанные с интерполяционными пространствами

Специальность 01.01.01 - математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ВОРОНЕЖ- 2004

Работа выполнена в Курском государственном университете

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физ.-мат. наук, профессор Овчинников Владимир Иванович

доктор физ.-мат. наук, профессор Баскаков Анатолий Григорьевич

кандидат физ.-мат. наук, доцент Седаев Александр Андреевич

Казанский государственный университет

Защита состоится 21 декабря 2004 г. в 15 часов 40 минут на заседании диссертационного совета К 212.038.05 в Воронежском государственном университете по адресу: 394006, Воронеж, Университетская пл., 1, ауд. 314.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан "_//." ноября 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета К 212.038.05

Гликлих Ю. Е.

zoos-g

ffoWt

Общая характеристика работы

Сначала развития теории интерполяции рассматривалась не толькоинтерполяция в парах пространств, но и интерполяция в п-ках банаховых и гильбертовых пространств. Интерполяция в конечных и бесконечных семействах банаховых пространств рассматривалась в работах И.А. Асекриховой, Д. Вейса, И. Йосикавы, В. Кауфман, Н. Керцмана, Ф. Кобоша, С.Г. Крейна, Ж. Лионса, И Николовой, Я. Петре, Г. Спарра, X. Фернандеса, М. Цвикеля, С. Янсона и др.

Первые примеры интерполяции приведены в работах

Фояша и Лионса в 1961 г., и Керцмана в 1966 г. Позже Йосикавой было установлено, что методы средних и констант различаются для п-семейств банаховых пространств. В работе Спарра1 было дано обобщение вещественного метода интерполяции со степенными параметрами на категорию n-семейств банаховых пространств. Им было установлено, что в общем случае не верна основная лемма вещественного метода теории интерполяции. Спарр выделяет n-семейства, для которых справедлива основная лемма, и следовательно, справедливы теоремы эквивалентности и реитерации.

В 1987 г. Цвикель и Янсон2 привели пример тройки гильбертовых пространств с плотным пересечением, для которой также не выполняется теорема эквивалентности. В этой работе дано обобщение вещественного метода на бесконечные семейства банаховых пространств

Таким образом уже с самого начала развития теории интерполяции выявилось существенное различие между интерполяцией для пар и интерполяцией для семейств пространств Все говорило о резком увеличении "числа" интерполяционных пространств при переходе от пар к большим семействам. В связи с этим В.И. Овчинников высказал гипотезу о том, что, видимо, существует экстремальный случай, даже в классе гильбертовых пространств, когда множество интерполяционных пространств совпадает с множеством всех промежуточных пространств. (Грубые предельные модели эту гипотезу подтверждают). Основной причиной такого резкого скачка в количестве интерполяционных пространств является то, что алгебра операторов, действующих в тройке и т.д. семействе пространств становится сравнительно малой, и поэтому

'Spare G Interpolation of several Banach spaces / G Spare // Ann Math Рига Appl - 1974 - Vol 99 - P.247-400

2Cwikel M, Janeon S Real and complex interpolation methods for finite and infinite families of Banach spaces/M Cwikel, S Janson // Advances m Math. - 1987 -VnlBi - PBd ЯП

число инвариантных относительно ее пространств велико. Поэтому было решено сосредоточится на изучении алгебры операторов, действующих в семействе пространств. Оказалось, что и в случае пар гильбертовых пространств о структуре и свойствах алгебры операторов известно довольно немного.

Основные результаты об интерполяции в гильбертовых парах получены в работах В. Донохью, В.И. Овчинникова, А А. Седаева, И.Я. Шнейберга, а также в недавних работах Я. Амера. И.Я. Шнейберг3 впервые отметил аномалии в структуре алгебры операторов, действующих в гильбертовом пространстве.

Таким образом задача об изучении алгебраических структур, связанных с парами и семействами гильбертовых пространств, представляется актуальной.

Цель работы. Исследование алгебр операторов, действующих в семействах пространств, описание неприводимых представлений этих алгебр, замкнутых идеалов, других алгебраических структур. Построение экстремальных семейств пространств, приводящих к вырожденны алгебрам операторов.

Методика исследования. Используются основные методы функционального анализа и теории операторов в гильбертовых пространствах. В частности, теория интерполяции линейных операторов, теория нормированных колец, теория представлений банаховых алгебр

Научная новизна.

1. Установлена связь алгебры операторов, действующих в паре гильбертовых пространтсв с треугольными алгебрами, действующими в гильбертовых пространствами.

2. Описаны точные неприводимые представления алгебр операторов, действующих в семействе гильбертовых пространств в терминах интерполяционных пространств.

3. Найдены примеры алгебр операторов, действующих в гильбертовой паре,имеющих большое количество скалярных гомоморфизмов.

4. Построены примеры семействгильбертовых пространств, для которых множество интерполяционных пространств содержит "интервалы" промежуточных пространств, то есть никаких других условий, кроме вложения.

Практическая и теоретическая значимость. Работа носит

3Шнейберг И.Я. О несвязности группы обратимых операторов в паре гильбертовых пространств / И.Я. Шнейберг // Труды НИИ математики ВГУ. - Воронеж : 1970. - Т1. - С.36-41.

теоретический характер. Её результаты проясняют интерполяционные явления в парах гильбертовых пространств и, вообще говоря, отсутствие аналогий в случае перехода к семействам пространств. Особый интерес представляют найденные примеры некоммутативных *-алгсбр, обладающих уникальными свойствами.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на Воронежских зимних математических школах (Воронеж, 2002, 2003), Крымской осенней математической школе по эволюционным и спектральным задачам (Симферополь, 2002), Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения - XV" (Воронеж, 2004), на семинаре профессора А.Г. Баскакова.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в работах [1]-[8]. Работа [1] выполнена совместно с научным руководителем профессором В.И. Овчинниковым. Из нее в диссертацию вошли результаты принадлежащие только автору.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Объем диссертации 97 страниц. Библиография содержит 56 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава посвящена описанию алгебры ограниченных операторов, действующих в гильбертовой паре, в параграфе 1.1. даются основные определения из теории интерполяционных пространств.

Определение 1.1.1. Совместной банаховой парой В = {Во, В1} называются два банаховых пространства Во, Вх линейно и непрерывно вложенных в топологическое векторноепространство 21.

Определение 1.1.2. Суммой пространств банаховой пары называется банахово пространствобо + В\ с нормой

Определение 1.1.3. Пересечением пространств банаховой пары называется банахово пространствЛд П В\ с нормой

Идлв, = тах{|И|Во, МвЛ-

Определение 1.1.4. Пусть В = {Во,Вх} банахова пара. Пространство В будем называть промежуточным между Во и В\,

если пространство Во П В1 непрерывно вложено в пространство В, а пространство В непрерывно вложено в Во + В\.

Определение 1.1.5. Будем говорить, что линейный оператор Т действует в банаховой паре В, и обозначать Т: В -»• В, если оператор Т непрерывно отображает пространство Во + В\ в Во + Вь и отображает пространство Во в Во и пространство В\ в В\.

Определение 1.1.6. Промежуточное пространство В банаховой пары В называется интерполяционным между пространствами Во и если для любого оператора Т, действующего в паре В, оператор Т непрерывно отображает пространство В в себя.

Определение 1.1.7. Банахова пара В называется регулярной, если пересечение Во П В\ плотно в пространствах Во и В

Рассмотрев множество Ь(В) линейных ограниченных операторов, действующих в банаховой паре В, легко заметить, что это множество является банаховой алгеброй.

В параграфе 1.2. рассмотрены общие свойства алгебры £(//) операторов, действующих в гильбертовой паре Н. Если пара Я = {Щ, Я1} гильбертова, то на прямой сумме Щ ® Н\ естественно вводится гильбертова норма, а подпространство N С Но ф Н\, состоящее из векторов вида (х,-х), где х € #о П #1 оказывается замкнутым подпространством.

Предложение 1.2.1. Алгебра операторов Ь(Н), действующих в гильбертовой паре Н, изометрически изоморфна подалгебре В операторов, действующих в гильбертовом пространстве Но Ф II оставляющих инвариантными подпространства Но ® {0}, {0} © Щ и N.

Следствие 1.2.1. Алгебра операторов Ь(Н), действующих в гильбертовой паре Н представима как слабо замкнутая подалгебра с единицей в алгебре Ь{Щ ф Н{].

Параграф 1.3. посвящен введению инволюции в алгебре Ь(Н), в случае если пара Н регулярна.

Предложение 1.3.1. Алгебра операторов Ь{Н), действующих в регулярной гильбертовой паре является *-алгеброй, с точностью до эквивалентности норм.

Однако инволюция введенная на £(#) не обеспечивает структуру С*-алгебры, если нормы на пространствах пары не эквивалентны.

В параграфе 1.4. рассматриваются слабые топологии на алгебре Ь(Н). Самой естественной слабой топологией на алгебре Ь(Н) является слабая топология порожденная функционалами (Аха,уо)ца и (Ах\,у{)щ, где

хо,Уо 6 Яо и т/1 Е Н\. Назовем ее ¿-слабой топологией. С другой стороны можно рассматривать слабую топологию, которая порождается представлением алгебры Ь(Н) в виде слабо замкнутой подалгебры операторов в алгебре Ь(На®Н\). Оказывается, эти топологии совпадают.

Теорема 1.4.1. Множество функционалов, слабо непрерывных на образе алгебры Ь(Н) в алгебре Ь(Но ® Н\) совпадает со множеством функционалов, непрерывных в 6-слабой топологии.

На алгебре Ь(Н) можно ввести и другие слабые топологии, связанные с промежуточными пространствами. Однако справедлива

Теорема 1.4.2. Для регулярной гильбертовой пары Н 5-слабая топология и топологии, связанные с промежуточными пространствами совпадают на единичном шаре в Ь(Н).

В параграфе 1.5. изучается связь алгебры Ь(Н) в регулярной гильбертовой паре с треугольными алгебрами.

Определение 1.5.1. Пусть Н некоторое гильбертово пространство. Последовательность N = вполне упорядоченных по включению

замкнутых подпространств гильбертова пространства Н называется гнездом.

Определение 1.5.2. Пусть N некоторое гнездо в пространстве Н. Через Т(Й) обозначим подалгебру всех ограниченных операторов в пространстве Н таких, что для всех N 6 И, Т(Ы) С N. Эта подалгебра Т(Ы) называется гнездовой, соответствующей гнезду N.

Пусть {Ст^пег ~ произвольная последовательность гильбертовых пространств (пространства Сп могут быть равными {0}). Через М^п) будем обозначать гильбертово пространство векторзначных последовательностей £ = {£п}пе/, где £„ 6 (?„, таких, что

Через ¡2(2 ПСП) будем обозначать весовое гильбертово пространство векторзначных последовательностей £ = {£п}псг, где (п £ Сп, таких, что

пех

и норма в пространстве равна

£(2_п1Ык)2<00>

пег

и норма в пространстве ¡2{2~nGn) равна

Ii fc^/EMUcJ2-

у пег

Пара вида {h (Gn), I2 (2~nGn)}, очевидно, является регулярной.

Известно,4 что любая регулярная гильбертова пара изоморфна некоторой паре вида {¿2 (Gn), h (2~nGn)}, то есть, для любой регулярной гильбертовой пары {Щ, Н\} найдется такая последовательность {Gn}n6Z гильбертовых пространств, что пара {#o,#i} изоморфна {h (Gn) ,h (2~"G„)}. Это значит, что существует линейный оператор U, который отображает пару {Hq,Hi} в {'2 (Gn), h (2_71Gn)} и является изоморфизмом пространства Но на пространство b(G„) и пространства Н\ на пространство l2(2~nGn). В частности, если в паре {Hq,H\} нормы эквивалентны, то в этом случае, в качестве последовательности гильбертовых пространств Gn можно взять последовательность Gn = О, при п ф 0 и Go = #0 = Н\.

Отождествим регулярную гильбертову пару Н с парой векторзначных последовательностей {I2 (G;), I2 (2~JGj)}. Будем обозначать N = {ЛГ4}Г=-=о гнездо в пространстве I2 {G}), состоящее из подпространств вида

00

)=к

Очевидно, что iVjfc+i С Nk.

Через М = обозначим гнездо подпространств в

пространстве h (2~3Gj), вида

к-1

Мк= 0G;.

;=-оо

Для этого гнезда М* С M^+i.

Теорема 1.5.1. Алгебра операторов, действующих в регулярной гильбертовой паре L(H), является суммой гнездовых алгебр T(N) и Г(М).

Через С(Н) будем обозначать множество всех линейных вполне непрерывных (компактных) операторов в гильбертовом пространстве Н.

'Donoghue W F. The interpolation of quadratic norms/ W F Donoghue // Acta Math - 1067 -Vol 118 - P 251-270

Результат аналогичный теореме 1.5.1. будет верен и для идеала компактных операторов С(Н) — С (Но) П С(Н\), действующих в регурярной гильбертовой паре.

Теорема 1.5.2. Любой оператор, принадлежащий идеалу С(Но) П С(Н\) алгебры Ь(Н), где II-регулярная гильбертова пара, представим в виде суммы двух операторов из гнездовых алгебр Т(ЛГ) и Т(М), каждый из которых является компактным в соответствующих пространствах Н0 и Ни _

В параграфе 1.6. исследуются двусторонние идеалы в алгебре Ь(Н), где Я регулярная гильбертова пара.

Предложение 1.6.1. Идеал /^Я) всех конечномерных операторов, действующих в гильбертовой паре Я является минимальным ненулевым двусторонним идеалом в алгебре Ь(Н).

В алгебре операторов в гильбертовом пространстве Я существует единственный замкнутый двусторонний идеал С(Н) компактных операторов. В случае алгебры Ь(Я) множество двусторонних идеалов значительно богаче.

Теорема 1.6.1. Пересечение С(Яо) П С(Н{) является минимальным замкнутым двусторонним идеалом в алгебре 1(Я).

Наиболее характерным для алгебры Ь(Н) является идеал операторов Ь(Но + Н\ Яо П Н\) — 1{Н), отображающих сумму пространств пары в пересечение. Его изучению посвящен параграф 1.7. Идеал 1(Н) не является замкнутым идеалом, если нормы в Яо и Ях не эквивалентны Если в регулярной гильбертовой паре {^(С;),^ } хотя бы одно

пространство (7, в разложении ^(С^) в прямую сумму, не является конечномерным пространством, то идеал 1(Н) содержит и некомпактные операторы. Таким образом в этом случае вложение С(Щ)С\С(Н\) с /(Я) является строгим. Однако верна следующая

Теорема 1.7.1. Если пара Я является вложенной парой и все пространства Оп конечномерны, то С (Но) П С(Н\) = /(Я), в случае неупорядоченных пар справедлива другая теорема. Теорема 1.7.2. Если все пространства Оп конечномерны, то замыкание 7(Я) содержится в пересечении всех максимальных двусторонних идеалов алгебры Ь(Н).

Вторвя глава посвящена изучению точных неприводимых представлений алгебры операторов, действующих в семействах банаховых и гильбертовых пространств. Основные определения теории интерполяции для п-ок банаховых пространств аналогичны

определениям для банаховых пар, которые приведены в параграфе 1.2. В параграфе 2.1. также приведен аналог предложения 1.2.1. для семейств гильбертовых пространств. Таким образом алгебра L{H) операторов, действующих в гильбертовой n-ке изометрична некоторой слабо замкнутой подалгебре алгебры операторов, действующих в некотором гильбертовом пространстве.

ПараграсЬ 2.2. посвящен точным неприводимым представлениям алгебры Ь{В) операторов, действующих в п-ке В и связи их с интерполяционными пространствами в этой п-ке.

Определение 2.2.1. Пусть А некоторая банахова алгебра, представлением алгебры А называется пара (B,ip), где В некоторое банахово пространство, а <р гомоморфизм у. А L(B) в алгебру L[B) линейных ограниченных операторов, действующих в пространстве В.

В том случае, если tp инъективный гомоморфизм, то представление (В, <р) называется точным.

Определение 2.2.2. Представление (В,<р) банаховой алгебры А называется топологически неприводимым, если замкнутыми инвариантными подпространствами в пространстве В для алгебры <р(А) С Ь(В) являются только {0} и В.

Определение 2.2.3. Представление (В,<р) банаховой алгебры А называется непрерывным, если вложение алгебры А в алгебру L(B) является непрерывным гомоморфизмом.

Любое интерполяционное пространство В порождает представление ж в алгебры Ь{Ё) в пространстве В следующим образом. По определению интерполяционного пространства, любой оператор Т £ L{§) непрерывно действует в пространстве В, то есть, Т\в ■ В -* В. Положим пв{Т) = Т\в. Очевидно, что 7Гв является гомоморфизмом алгебры 1>(Й) в алгебру L(B). Если В регулярная банахова п-ка, то пара (В, ng) является точным непрерывным представлением алгебры Ь{Й) операторов, действующих в банаховой п-ке ~Й.

Предложение 2.2.2. Пусть дана банахова n-ка Если пересечение

п

f) В, плотно в интерполяционном пространстве В, то представление ¡=1

(В, тгр) топологически неприводимо.

Рассмотренные представления алгебры Ь{Й) в интерполяционных пространствах n-ки будем называть естественными представлениями алгебры Ь{В).

Теорема 2.2.1. Пусть В' и В" два различных интерполяционных

пространства в регулярной банаховой n-ке ~Й, причем такие, что пересечение плотно в каждом из этих пространств. Тогда соответствующие естественные представления алгебры не

В параграфе 2.3. говорится о том, что с точностью до эквивалентности, никаких других точных неприводимых представлений алгебры !(£?), кроме представлений в" интерполяционных пространствах, не существует.

Основным результатом этого параграфа является следующая

Теорема 2.3.1. Любое неприводимое точное представление (К, ip) алгебры Ь(Й) эквивалентно естественному представлению алгебры L(B) в некотором интерполяционном пространстве G для данной n-ки

В параграфе 2.4. рассматриваются аномальные явления связанные операторами, действующими в паре пространств последовательностей с

Теорема 2.4.1. Любой оператор из алгебры L(He), можно представить в виде суммы диагонального оператора D и оператора N, который оказывается ядерным в пространстве Ii.

Рассмотрим представление (i2, <р) алгебры L{lf) в интерполяционном

а затем рассмотрим полученный образ в алгебре Калкина Ь{1г)!С{12)

Оператор N при этом факторотображении попадает в нулевой класс смежности, а любой оператор D (образ диагонального оператора D при факторотображении) будет совпадать с некоторым классом смежности в факторпространстве /ю/й). Таким образом L(He) можно спроектировать, с помощью гомоморфизма, на коммутативную С*-подалгебру, изоморфную С*-алгебре loo/со- Следовательно, множество скалярных гомоморфизмов алгебры L(He) достаточно велико. А именно, суперпозиция любого ненулевого гомоморфизма алгебры Ix/cq и построенного гомоморфизма из L(He) на Zoo/со является ненулевым скалярным гомоморфизмом алгебры L(He). Таким образом алгебра L{He) имеет скалярные неприводимые представления.

В парагрвфе 2.5. рассматриваются интерполяционные свойства

Теорема 2.5.1. Любая банахова решетка Е между пространствами 1Х

и ¡1 в гильбертовой паре Не является интерполяционным пространством для пары Не.

В связи с тем, что в параграфе 2.4. удалось выявить структуру алгебры Ь(Не) как ^-расширение С-алгебры /¡»/со, можно отметить еще одно отличие алгебры операторов, действующих в парепространств от алгебры операторов, действующих в одном пространстве. Впервые, аналогичные результаты были получены И.Я. Шнейбергом.

Предложение 2.5.2. Пусть Н пара с разреженными весами с вещественными координатами. Тогда группа обратимых элементов вЦН ) в алгебре Ь(Н ) несвязна и имеет континуум несвязных компонент.

Третья глава посвящена построению примеров п-ок гильбертовых пространств с "экстремальными" свойствами. Основой для построения таких примеров послужила пара гильбертовых пространств с разреженными весами Не = {¿гМ^г^-1)}, где ш = 22'. Зададим в пространстве I% преобразование базиса с помощью унитарных преобразований IV и V, где

0\ /у/2 0\

_1_

/1 1

\0

-1

1 1 1 -1

_1_ 'у/2

1 -1

1 1 1 -1

\0

матрицы этих преобразований, соответственно. Рассмотрим пространства = Ш(12(ш)), = 1»(ш) = У(12И), =

Тогда семейство

я1 = {кНМ^Л « ФЛЦМ, Щ"'1)}

образует совместную гильбертову шестерку.

Обозначим через и вес 22'+1, и рассмотрим пару {^(¿3), ^(ш-1)}. Очевидно, что пространства ^(ш) и интерполяционные между

пространствами 1г(ш) и ¡¡(ш'1). Далее рассмотрим новую шестерку

Я1 = {«^Л^^ЛЯМ*"1)}-

Предложение 3.1.1. Пусть Н^ построенная шестерка гильбертовых пространств. Тогда любой оператор А, действующий в этой шестерке,

можно представить в стандартном базисе в пространстве ¿2, как сумму скалярного и ядерного в пространстве Ь операторов.

Рассмотрим пространство Ц и зададим отображение

ф : 13 Ь2{Т),

по которому любому элементу £ = 6 ¿2 поставим в соответствие

функцию /(г), заданную на единичной окружности Т комплексной плоскости С, принадлежащей Хг(Т). Выделим в подпространство функций равных нулю всюду на полуокружности окружности Т, то есть, функций д(г), таких, что д(г) = при 0 < ^ < тт и д(г) = О

при 7Г < 1р < 2ж. Обозначим это пространство £;|(Т) и введем в рассмотрение семерку гильбертовых пространств, состоящую из шестерки Н и пространства ¿¡(Т). Все семь пространств вложены в пространство всех последовательностей, и образуют совместную гильбертову семерку.

Теорема 3.1.1. Пусть [Не, 1§(Т)} построенная семерка гильбертовых пространств. Тогда алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в этой семерке совпадает с полем скаляров.

В параграфе 3.2. построен пример бесконечного семейства гильбертовых пространств. Основные определения теории интерполяции для пар без изменения переносятся на случай бесконечных семейств пространств. Введем в рассмотрение бесконечное семейство весовых гильбертовых пространств {Ь(^т))}т€а\{о}, где для тп б веса и(т) _ если < т и -- 2~2', если ] > т. Для т £ веса ш(л») _ 2-2^ если j < -т и = 22', если ) > -т.

Лемма 3.2.1. Для любого оператора Т, действующего в семействе гильбертовых пространств {'2(^'т')}тег\{о}, внедиагональная часть оператора действует из пространства ¡¡(2~£2') в пространство /2(2е2'), для любого е < 1.

Эта лемма говорит о том, что внедиагональная часть оператора Т действует из почти суммы в почти пересечение семейства {Ь(ы(т))}п.а\{0>-

Добавим к семейству {/г(сь"^"1^)}те2\{0}) шестерку промежуточных пространств Р.

Теорема 3.2.1. Если линейный оператор Т действует в шестерке и в бесконечном семействе Г, то он ограничен в любом пространстве (?, промежуточном между Ь{221' ) и 12(2'2Р'1).

Таким образом построен пример семейства гильбертовых пространств, которое обладает почти экстремальным свойством: множество

интерполяционных пространств содержит интервал промежуточных пространств для этого семейства.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, профессору В.И. Овчинникову за помощь и постоянное внимание к работе.

Публикации по теме диссертации.

1. Кабанко, М.В. О неприводимых представлениях алгебры операторов в гильбертовой паре / М.В. Кабанко, В.И. Овчинников // Труды математического факультета ВГУ. - Воронеж, 2001. - № 5 (новая серия).

- С.52-60.

2. Кабанко, М.В. Алгебра операторов, действующих в гильбертовой паре / М.В. Кабанко // Труды математического факультета ВГУ. - Воронеж, 2001. - № 6 (новая серия). - С.54-61.

3. Кабанко, М.В. Об алгебре операторов в шестерке гильбертовых пространств / М.В. Кабанко // Труды молодых ученых физико-математического факультета: межвузовский сб. науч. тр. / Курский гос. пед. ун-т. - Курск, 2001. - С.34-40.

4. Кабанко, М.В. Об алгебре операторов в конечных семействах гильбертовых пространств / М.В. Кабанко // Воронежская зимняя математическая школа - 2002, Воронеж, 25-31 января 2002 г. : тез. докл.

- Воронеж, 2002. - С.32-33.

5. Кабанко, М.В. О непрерывных представлениях алгебры операторов, действующих в семействах банаховых пространств / М.В. Кабанко // Труды математического факультета ВГУ. - Воронеж, 2002. - № 7 (новая серия). - С.45-53.

6. Кабанко, М.В. Оточных представлениях алгебры операторов в интерполяционных пространствах / М.В. Кабанко // Воронежская зимняя математическая школа - 2003, Воронеж, 26 января - 2 февраля 2003 г.: тез. докл. - Воронеж, 2003. - С.44-45.

7. Кабанко, М.В. О некоторых идеалах, связанных с гильбертовыми парами / М.В. Кабанко // Современные проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений : тез. докл. науч. конф., Воронеж, 28 июня - 4 июля 2003 г. - Воронеж, 2003. - С.145-146.

8. Кабанко, М.В. Об алгебре операторов в гильбертовой паре с разреженными весами / М.В. Кабанко // Воронежская весеияя математическая школа - 2004, Воронеж, 3-9 мая 2004 г. : тез. докл. -Воронеж, 2004. - С.102.

Кабанко Михаил Владимирович

Алгебры операторов, связанные с интерполяционными пространствами

Автореферат

Лицензия ИД № 06248 от 12.11.2001 Подписано в печать 1,11.2004 Формат 60x84/16. Печать офсетная. Бумага офсетная. Тираж 100. Заказ № 12

Издательство Курского госуниверситета 305 000 г. Курск, ул. Радищева 33

E-mail: nauka@pochtamt.ru

Отпечатано в лаборатории информационно-методического обеспечения КГУ

»22659

РНБ Русский фонд

2005-4 18222

Введение

I. Алгебра ограниченных операторов, действующих в гильбертовой паре

1.1. Некоторые вспомогательные определения.

1.2. Общие свойства алгебры операторов, действующих в паре гильбертовых пространств.

1.3. Инволюция в алгебре операторов, действующих в паре гильбертовых пространств.

1.4. Слабые топологии на алгебре операторов, действующих в паре гильбертовых пространств

1.5. Связь алгебры операторов, действующих в паре гильбертовых пространств с треугольными алгебрами

1.6. Идеалы в алгебре операторов, действующих в паре гильбертовых пространств.

1.7. Свойства идеала операторов, действующих из суммы в пересечение пространств гильбертовой пары.

II. Представления алгебр операторов в интерполяционных пространствах

2.1. Семейства банаховых пространств.

2.2. Неприводимые представления и интерполяционные пространства.

2.3. Теорема об эквивалентности представлений.

2.4. Представление алгебры операторов, действующих в паре с разреженными весами.

2.5. Интерполяционные свойства алгебры операторов, действующих в паре с разреженными весами.

III.Семейства гильбертовых пространств

3.1. Семейство п гильбертовых пространств с нулевым пересечением.

3.2. Бесконечное семейство гильбертовых пространств . 84 Список использованной литературы

Некоторые задачи анализа привели к необходимости обобщения методов интерполяции линейных операторов на категорию п-семейств банаховых пространств. Интерполяция в конечных и бесконечных семействах банаховых пространств рассматривалась в работах И.У.Асекритовой, Д.Вейса, И.Йосикавы, В.Кауфмана, Н.Керцмана, Ф.Кобоша, С.Г.Крейна, Ж.Лионса, И.Николовой, Я.Петре, Г.Спарра, Х.Фернандеса, П.Фернандес-Мартинеза, С. Фойяша, М.Цвикеля, С.Янсона и др.

Первый пример интерполяции для п-семейств гильбертовых пространств приведен в работе [49] Фояша и Лионса в 1961 г., а другой в работе [50] Керцмана в 1966 г. Позже Йосикавой в работе [56] было установлено, что методы средних и констант различаются для п-семейств банаховых пространств. В работе Спарра [55] дано обобщение вещественного метода интерполяции со степенными параметрами на категорию п-семейств банаховых пространств. Им было установлено, что в общем случае не верна основная лемма вещественного метода теории интерполяции. Спарр выделяет п-семейства, для которых справедлива основная лемма, и следовательно, справедливы теоремы реитерации и эквивалентности.

В 1987 г. Цвикель и Янсон в работе [45] привели пример тройки гильбертовых пространств с плотным пересечением, для которой также не выполняется теорема эквивалентности. В этой работе дано обобщение вещественного метода на бесконечные семейства банаховых пространств. И.У.Асекритова в работах [1], [39] обобщила вещественный метод на п-ки банаховых пространств с функциональными параметрами, а затем, в [40] доказала, что теоремы эквивалентности и реитерации верны для семейств функциональных банаховых решеток.

Таким образом уже с самого начала развития теории интерполяции выявилось существенное различие между интерполяцией для пар и интерполяцией для семейств пространств. Все говорило резком увеличении "числа" интерполяционных пространств при переходе от пар к большим семействам, в связи с этим В.И. Овчинников высказал гипотезу о том, что, видимо, существует экстремальный случай, даже в классе гильбертовых пространств, когда множество интерполяционных пространств для семейств пространств совпадает с множеством всех промежуточных пространств. (Грубые предельные модели эту гипотезу подтверждают). Основной причиной такого резкого скачка в количестве интерполяционных пространств является то, что алгебра операторов, действующих в тройке и т.д. семействе пространств становится сравнительно малой, и поэтому число инвариантных относительно ее пространств велико. В связи с этим целесообразно сосредаточиться на изучении алгебры операторов, действующих в семействе пространств и, в частности в парах пространств. Оказалось, что и в случае пар гильбертовых пространств о структуре и свойствах алгебры операторов известно довольно немного.

Основные результаты об интерполяции в гильбертовых парах получены в работах В. Донохью [46], В.И. Овчинникова [25]—[32], [52]-[54], A.A. Седаева [35], С. Фойяша, И.Я. Шнейберга [37], а также в недавних работах Г. Амера [38]. И.Я. Шнейберг впервые в работе [37] отметил аномалии в структуре алгебры операторов, действующих в паре, резко отличающие ее от алгебры операторов, действующих в гильбертовом пространстве.

Эти соображения и послужили отправной точкой для данной работы.

Работа состоит из тринадцати параграфов, которые объединены в три главы. В первой главе даются основные определения и рассматриваются простейшие свойства алгебры L(B) операторов, действующих банаховой паре В. В параграфе 1.2. удалось реализовать алгебру L(B) как некоторую замкнутую подалгебру в алгебре операторов L(Bo ф В\), действующих в прямой сумме банаховых пространств. В параграфе 1.3. посвящен введению в алгебре L(H) операторов, действующих в регулярной гильбертовой паре Н = {Hq, Hi}, инволюции. В этом параграфе показано, что алгебру L(H) можно рассматривать как *-алгебру, с точностью до эквивалентности норм. Наряду с этим отмечено, что она отличается от алгебры операторов, действующих в гильбертовом пространстве тем, что на ней невозможно ввести С*-норму. Наличие на пересечении пространств Hq П Н\ различных скалярных произведений, позволяет рассмотреть различные слабые топологии в Ь(Н). В параграфе 1.4. доказано, что все введенные слабые топологии в алгебре Ь(Н) совпадают на единичном шаре в Ь(Н). Параграф 1.5. посвещен изучению связи алгебры Ь{Н) и ее идеалов с некоторыми треугольными алгебрами. Так удалось доказать аналог теоремы Мацаева о треугольном усечении для ограниченных операторов, действующих в регулярной гильбертовой паре. Более того, оказалось, что алгебра Ь(Н) равна сумме двух треугольных (гнездовых) подалгебр операторов, одна из которых есть треугольная алгебра в пространстве Но, а другая в пространстве Н\.

Аналогичное представление в виде суммы двух треугольных алгебр верно и для идеала С(Н) вполне непрерывных операторов в обоих пространствах Но и Н\. В параграфах 1.6. и 1.7. изучаются идеалы операторов в алгебре Ь(Н). В частности, показано, что также, как для алгебры Ь(Н) всех операторов в гильбертовом пространстве, множество конечномерных операторов в алгебре Ь(Н) является минимальным идеалом в этой алгебре, а идеал компактных операторов С(Н) является минимальным замкнутым идеалом в алгебре Ь(Н). Идеал операторов, отображающих сумму Щ + Н\ в пересечение Но п Н\, очевидно наиболее важен с точки зрения интерполяции линейных операторов. Поэтому представляется интересным понять его алгебраические свойства. Здесь удалось установить, что в случае вполне непрерывных пар гильбертовых пространств (то есть когда вложение Но п Н\ с Но + Н\ вполне непрерывно) этот идеал 1{Н) = Ь{Но + Н\ —> Но п Н\) содержится в пересечении всех максимальных двусторонних идеалов алгебры £>(Н). Вторая глава посвящена изучению представлений алгебры операторов, действующих в га-ках банаховых пространств. В параграфе 2.1. даются основные определения из теории п-ок банаховых пространств и рассматриваются элементарные свойства. Параграф 2.2. посвящен описанию связи между интерполяционными пространствами и неприводимыми представлениями. В параграфе 2.3. доказывается, что любое точное топологически неприводимое непрерывное представление алгебры Ь[Й) операторов, действующих в п-ке эквивалентно представлению этой алгебры в некотором интерполяционном пространстве для этой п-ки. Наряду с этим оказалось, что не все топологически неприводимые представления ограничиваются представлениями в интерполяционных пространствах. Как показано в параграфе 2.4. на операторов, действующих в пространстве последовательностей ¿2 с разреженными весами, существуют скалярные гомоморфизмы, то есть одномерные неприводимые представления. Последний параграф второй главы посвящен описанию интерполяционных свойств алгебры операторов, действующих в паре с разреженными весами. Здесь показано, что любая банахова решетка лежащая между пространствами 1\ и является интерполяционным пространством между пространствами пары с разреженными весами. Кроме этого анализ структуры алгебры операторов, действующих в паре гильбертовых пространств с разреженными весами, позволиллегко объяснить знаменитые результаты И.Я. Шнейберга о группе обратимых элементов в паре гильбертовых пространств. И.Я. Шнейберг в работе [37] показал, в противовес теореме Кюйпера (см.

51]), что эта группа не только не стягиваема, но и имеет континуум связных компонент. Замечаем, что по сути дела доказательство И.Я. Шнейберга использует те же идеи, что и в данной работе, и этот результат рассматривается здесь как иллюстрация алгебраического подхода.

Третья глава посвящена построению экстремальных примеров алгебр операторов, действующих в гильбертовых п-ках. В параграфе 3.1. построен пример гильбертовой п-ки, с нулевым пересечением, для которой алгебра операторов, действующих в ней представлена лишь скалярными операторами. В силу этого множество интерполяционных и множество промежуточных пространств для этой п-ки совпадают. В параграфе 3.2. дается пример бесконечного регулярного семейства гильбертовых пространств, которое обладает "почти экстремальным интерполяционным"свойством. Оказалось, что множество интерполяционных пространств содержит целый интервал промежуточных пространств для этого семейства. То есть найдутся такие два разных промежуточных пространства, что любое промежуточное между ними пространство будет интерполяционным для этого семейства.

Нумерация параграфов в работе двойная, где, как обычно, сначала указывается номер главы, затем номер параграфа. Внутри каждого параграфа все определения, теоремы и т.п. нумеруются заново и получают тройную нумерацию: (номер главы, номер параграфа, номер теоремы) и т.п. Формулы имеют такую же тройную нумерацию.

1. Асекритова И.У. Действительные интерполяционные методы для конечных семейств банаховых пространств / И.У. Асекритова // Труды семинара "Теория функций нескольких действительных переменных.рославль, 1981. - С.9-17.

2. Ахиезер Н.И. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве / Н.И. Ахиезер, И.М. Глазман. М. : Наука, 1966.443 с.

3. Берг Й. Интерполяционные пространства. Введение / Й. Берг, Й. Лёфстрём. М. : Мир, 1980. - 264 с.

4. Борисович Ю.Г. Введение в топологию / Ю.Г. Борисович, Н.М. Близняков, Я.А. Израилевич, Т.Н. Фоменко. М. : Изд-во МГУ, 1980. - 295 с.

5. Брудный Ю.А. Интерполяция линейных операторов / Ю.А. Брудный, С.Г. Крейн, Е.М. Семенов // Итоги науки и техники. Математический анализ. М. : Наука, 1986.- С.3-236.

6. Гохберг И.Ц. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов / И.Ц. Гохберг, М.Г. Крейн. М. : Наука, 1967. - 345 с.

7. Дмитриев В.И. Основы теории интерполяции линейных операторов / В.И. Дмитриев, С.Г. Крейн, В.И. Овчинников // Геометрия линейных пространств и теория операторов. -Ярославль, 1977. С.31-74.

8. Данфорд Н. Линейные операторы. Общая теория / Н. Данфорд, Дж. Шварц М. : ИЛ, 1962. - 663 с.

9. Диксмье Ж. С*-алгебры и их представления / Ж. Диксмье. М. : Наука, 1974. 399 с.

10. Кабанко М.В. О неприводимых представлениях алгебры операторов в гильбертовой паре / М.В. Кабанко, В.И. Овчинников / / Труды математического факультета ВГУ. Воронеж, - 2001. - №■ 5 (новая серия). - С.52-60.

11. Кабанко М.В. Алгебра операторов, действующих в гильбертовой паре /М.В. Кабанко // Труды математического факультета ВГУ. Воронеж, - 2001. - №- 6 (новая серия). С.54-60.

12. Кабанко М.В. Об алгебре операторов в шестерке гильбертовых пространств / М.В. Кабанко // Труды молодых ученых физико-математического факультета: межвузовский сб. тр. / Курский гос. пед. ун-т. Курск, 2001. - С.34-40.

13. Кабанко М.В. Об алгебре операторов в конечных семействах гильбертовых пространств / М.В. Кабанко // Воронежская зимняя математическая школа 2002, Воронеж, 25-31 января 2002 г. тез. докл. : - Воронеж, 2002. - С.32-33.

14. Кабанко М.В. О непрерывных представлениях алгебры операторов, действующих в семействах банаховых пространств / М.В. Кабанко // Труды матем. факультета. Воронеж, - 2002. -№■ 7 (новая серия). - С.45-53.

15. Кабанко М.В. О точных представлениях алгебры в интерполяционных пространствах / М.В. Кабанко / / Воронежская зимняя математическая школа 2003, Воронеж, 26 января - 2 февраля 2003 г. : тез. докл. - Воронеж, 2003. С.45-46.

16. Кабанко М.В. О некоторых идеалах, связанных с гильбертовыми парами / М.В. Кабанко / / Современные проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений, Воронеж, 30 июня 4 июля 2003 г. : тез. докл. - Воронеж, 2002.- С.145-146.

17. Кабанко М.В. Об алгебре операторов в гильбертовой паре с разреженными весами / М.В. Кабанко // Воронежская весенняя математическая школа 2004, Воронеж, 3-9 мая 2004 г.: тез. докл.- Воронеж, 2004. С.102.

18. Канторович Л.В. Функциональный анализ / Л.В. Канторович, Г.П. Акилов. М. : Наука, 1977. 523 с.

19. Крейн С.Г. Функциональный анализ / С.Г. Крейн. М. : Наука, 1965. 367 с.

20. Крейн С.Г Интерполяция линейных операторов / С.Г. Крейн, Ю.И. Петунин, Е.М. Семенов. М. : Наука, 1978. - 400 с.

21. Лионе Ж.-Л. Неоднородные граничные задачи и их приложения / Ж.-Л. Лионе, Э. Мадженис. М. : Мир, 1971. - 378 с.

22. Мерфи Дж. Д. С*-алгебры и теория операторов / Дж. Д. Мерфи.- М. : "Факториал", 1997. 324 с.

23. Массера X., Шеффер X. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства / X. Массера, X. Шеффер. М. : Мир, 1970. - 456 с.

24. Овчинников В.И. Интерполяционные теоремы, вытекающие из неравенства Гротендика / В.И. Овчинников // Функционнальный анализ и его приложения. 1976. Т. 10, вып. 4. - С.45-54.

25. Овчинников В.И. Интерполяционные орбиты классов &р в гильбертовых парах / В.И. Овчинников // Доклады АН СССР. -1978. Т. 242. С.52-55.

26. Овчинников В.И. Интерполяция операторов класса ар в гильбертовых парах / В.И. Овчинников // Математические заметки. 1980. - Т.27, вып. 2. - С.273-282.

27. Овчинников В. И. Интерполяция в симметрично-нормированных идеалах операторов, действующих в различных пространствах / В.И. Овчинников // Матем. сборник. 1981. - Т. 115. - С.80-82.

28. Овчинников В.И. Интерполяционные теоремы для пространств ЬРд / В.И. Овчинников // Матем. сборник. 1988. - Т. 136(178).- С.227-240.

29. Овчинников В.И. Оптимальная интерполяционная теорема для квазибанаховых пространств 1Р с весами и для операторов из классов Неймана-Шаттена в гильбертовых парах / В.И. Овчинников // Математические заметки. 1993. - Т. 53, вып. 2. - С.94-99.

30. Овчинников В.И. Интерполяция в симметрично -нормированных идеалах операторов, действующих в различных гильбертовых пространствах / В.И. Овчинников // Функционнальный анализ и его приложения. 1994. - Т. 28, вып. 2. С.80-82.

31. Овчинников В.И. Когерентно ядерные операторы в гильбертовых парах / В.И. Овчинников // Математические заметки. 1998. -Т.бЗ, вып. 6. С.886-872.

32. Овчинников В.И. Об интерполяции в пространствах векторнозначных последовательностей / В.И. Овчинников // Вестн. Воронеж, гос. ун-та. Сер. Физика. Математика. 2000.- №■ 1. С.143-146.

33. Овчинников В.И. Расширение подматриц и некоммутативное пространство ВМО / В.И. Овчинников // Труды математического факультета. Воронеж, 2000. - N- 6. -С.52-56.

34. Пич А. Операторные идеалы / / А. Пич. М. : Мир, 1982. 536 с.

35. Седаев A.A. Описание интерполяционных пространств для парыA.A. Седаев // Доклады АН СССР. 1973. Т. 209.- С.798-800.

36. Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы / X. Трибель. М. : Мир, 1980. 664 с.

37. Шнейберг И.Я. О несвязности группы обратимых операторов в паре гильбертовых пространств / И.Я. Шнейберг // Труды НИИ математики ВГУ. Воронеж, 1970. - Т.1 С.36-41.

38. Ameur Y. Interpolation of Hilbert spaces / Y. Ameur // Uppsala dissertation in Mathematics. Uppsala, 2000. V.20. - 75 pp.

39. Asekritova I. U. Theorem of reiteration and K-divisionabl n + 1-tuples of Banach spaces / I.U. Asekritova // Comment.Math.Prace Mat. 1992. V.20. - P.171-175.

40. Asekritova I.U. On equivalence K- and Л-methods for n + 1-tuples of Banach spaces / I.U. Asekritova, N. Krugliak // Stud. Math. 1997. Vol.122. - P.149-167.

41. Brudnyi Ju.A. Interpolation spaces and interpolation functors / Ju.A.Brudnyi, N. Krugliak. Amsterdam, North Holland., 1991. 632 pp.

42. Cobos F., Peetre J. Interpolation of compact operators:the multidi-mentional case / F. Cobos, J. Peetre //Proc. London. Math. Soc. -1991. V.63. - P.371-400.

43. Cobos F., Fernandez-Martinez P. Reiteration and Wolff theorems for interpolation methods by means of polygons / F. Cobos, P. Fernandez-Martinez // Stud. Math. 1992. - V.102 (3). - P.371-400.

44. Cobos F., Fernandez-Martinez P. On optimality of compactness results for interpolation methods associated to polygons / F. Cobos, P. Fernandez-Martinez // Indag. Mathem., N.S. 1994. - V.5 (4). -P.397-401.

45. Cwikel M. Real and complex interpolation methods for finite and infinite families of Banach spaces / M. Cwikel, S. Janson // Advances in Math. 1987. V.66. - P.234-290.

46. Donoghue W.F. The interpolation of quadratic norms/ W.F.Donoghue // Acta Math. 1967. V.118. - P.251-270.

47. Davidson K.A. Nest algebras / K.A. Davidson // Pitman-Longman Pbl., 1995. 613 pp.

48. Fernandez D.L. Interpolation of 2n Banach spaces / D.L. Fernandez // Stud. math. 1974, V. 35. - P.87-113.

49. Foias C., Lions I.-L. Sur certain theoremes d'interpolation // Acta sci. math. Szeged, 1961. - V. 22. - N.3-4. P.269-282.

50. Kerzman N. Sur certain ensembles convexes lies a des espaces Lpf C. r. Acad, sci., 1966. - V.263. - N.ll.

51. Kuiper N.H. The homotopy type of the unitary group of Hilbert space/ N.H. Kuiper // Topology. 1965. - V.3. - N.l. - P.19-30.

52. Ovchinnikov V.I. The Method of Orbits in Interpolation Theory. / V.I. Ovchinnikov // Mathematical Reports. Vol. 1. Part 2. Chur-Paris-London-New York: Harwood Acad. Pbl., 1984. 167 pp.

53. Ovchinnikov V.I. Interpolation orbits in couples of Lp spaces / V.I. Ovchinnikov // C.R. Acad. Sci. Paris. Ser. I. 2002. - V. 334. P.881-884.

54. Ovchinnikov V.I. Lions-Peetre construction for couples of operator spaces /V.I. Ovchinnikov // Russian Journal of Mathimatical Physics. 1995. - V.3. - P.407-410.

55. Sparr G. Interpolation of several Banach spaces / G. Sparr // Ann. Math. Pura Appl. 1974. V. 99. - P.247-400.

56. Yoshikawa A. Sur la theorie d'espaces d'interpolation. Les espaces de moyenne de plusieurs espaces de Banash // J. Fac Sci., Univ. Tokyo. 1970. - Sec. 1. - V.16. - 3. - P.407-468.