Алгоритмические уточнения приближений нелинейных функций и решений дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ УТОЧНЕНИЯ ПРИБЛИЖЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ

ФУНКЦИЙ.

§ I.I. Определения, обозначения и свойства нелинейной функции.

§ 1.2. Анализ приближения нелинейной функции с таблицами примеров.

§ 1.3. Недостатки обычного метода приближения

§ 1.4. Теоремы уточнения приближения нелинейной функции

§ 1.5. Алгоритм вычисления погрешности

§ 1.6. Основания уточнения.

§ 1.7. Основные методы уточнения и вычисления погреш ности.

§ 1.8. Уточняемая форма уравнения с примером

Глава П. УТОЧНЕНИЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ ПРИ

ПОМОЩИ РАВНОМЕРНЫХ МЕТОДОВ.

§ 2.1. Методы регулировки параметров

§ 2.2. Методы регулировки параметров в случае взаимнокомпенсирующейся погрешности.

§ 2.3. Методы регулировки параметров в случае дискретного приближения.

§ 2.4. Методы регулировки параметров в случае дискретного приближения к взаимнокомпенсирующейся погрешности

Глава Ш. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ УТОЧНЕНИЯ К РЕШЕНИЯМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ 3.1. Анализ бесконечно дифференцируемой функции

§ 3.2. Теоремы разложения нелинейной функции

§ 3.3. Приближения к бесконечно дифференциремым функциям

§ 3.4. Применение методов уточнения

При решении многих задач физики и техники возникает необходимость исследования нелинейных колебательных систем, фундаментальный вклад в решение данной проблемы внесли И.М.Крылов, H.H. Боголюбов и их ученики [б, 29, 30, 50].

Разработанные и строго обоснованные ими методы образовали мощный, практически удобный математический аппарат исследования.

В работах Ю.А. Митропольского и других авторов на основе замены нелинейной функции полиномом получены оценки погрешности отклонения найденного приближенного решения от точного решения данного уравнения [il, 13,15,16,17,18,20,23,37,47,53] .

В данной диссертационной работе, которая примыкает к указанным выше исследованиям, изучаются вопросы уточнения приближений нелинейной функции и их применение к уточнению приближенных решений нелинейных дифференциальных уравнений.

Актуальность исследования этих вопросов вызвана тем, что для некоторых задач оказывается недостаточно использования разложения нелинейной функции в ряд Тейлора. Поэтому построение различных методов уточнения приближений нелинейной функции является важным и актуальным для теории приближенных методов решений дифференциальных уравнений.

Результаты работы расширяют возможность применения приближенных методов при исследовании нелинейных колебательных движений. Они могут быть применены при решении прикладных задач небесной и классической механики.

К основным результатам диссертации относятся:

1. Теоремы уточнения ТУ1 -ого приближения на основе линейной и нелинейной погрешности.

2. Равномерные методы уточнения с алгоритмом вычисления погрешности. л А

3. Описаны формулы неравномерных методов уточнения тп -ого приближения нелинейной функции.

4. Изложены применения методов уточнения приближений к исследованиям колебательных решений консервативной системы дифференциального уравнения второго порядка.

Все результаты, содержащиеся в диссертации, являются новыми, строго математически обоснованы и получены автором лично.

Диссертация состоит из трех глаз.

1. Аман Уллах. Уточнение асимптотического метода исследования нелинейных дифференциальных уравнений. Препринт Института математики АН УССР, 85-58, - К.: 1983, - 34 с.

2. Аман Уллах Уточнение асимптотического метода исследования нелинейных дифференциальных уравнений с регулировкой параметров. Препринт Института математики АН УССР, 84-14, К.: 1984, - 15 с.

3. Абрамович М., Стиган И. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. М.: Наука, IS79, - 832 с.

4. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. Издание 2-е. М.: Наука, 1979, - 432 с.

5. Бабаков И.М. Теория колебаний. Издание 3-е. М.: Наука, 1968, 560 с.

6. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. Издание 4-е. М.: Физмат-газ, 1974, 504 с.

7. Бондарь Н.Г. Нелинейные стационарные колебания. К.: Наукова думка, 1974, - 212 с.

8. Бондарь Н.Г. Некоторые автономные задачи нелинейной механики. К.: Наукова думка, 1969, - 304 с.

9. Бутенин Н.В., Лунц ЯЛ., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики. Издание 2-е. М.: Наука, 1979, 544 с.

10. Воробьев H.H. Теория рядов. Издание 3-е. М.: Наука, 1975, 368 с.

11. Вороновская Е.В. Определение асимптотического вида приближения функций полиномами С.Н.Бернштейна. ДАН СССР, сер. А, JS 4, с. 74-85.

12. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. Издание П~е, М.: Наука, 1976, 872 с.

13. Гаркави A.JI. О критерии элемента наилучшего приближения. Сибирский математический журнал. Том 5, J5 2, с. 472-476.

14. Гофман Ю.В. Законы, формулы, задачи физики: справочник. -К.: Наукова думка, 1977, 575 с.

15. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М.: Наука, 1977, - 512 с.

16. Дзядык В.К. Об эффективном построении многочленов, которые осуществляют близкое к наилучшему приближение функцийе? у sin х и др. Украинский математический журнал, 1973, том 25, $ 4, с. 435-453.

17. Дзядык В.К., Карпенко. Таблицы многочленов для приближенного вычисления элементарных функций. Препринт Института математики АН УССР, 77-28, К.: 1977, - 28 с.

18. Дзядык В.К., Зарицкая З.В., Карпенко С.Ф., Кононова Н.Ф. Об эффективном приближении многочленами элементарных функций. Препринт Института математики АН УССР, 77-21, К.: 1977,42 с.

19. Добронравов В.В., Никитин H.H., Дворников А.Л. Курс теоретической механики. Издание 3-е, М.: Высшая школа, 1974,528 с.

20. Ибрагимов И.И. Об асимптотическом значении наилучшего функций, имеющих вещественную особую точку. Изв. АН СССР, сер. матем., т. 10, }£ 5, с. 429-460.

21. Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка. М.: Наука, 1966, -260 с.

22. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров: определения, теоремы, формулы. М.: Наука, 1970, - 720 с.

23. Лойцянский Л.Г., Лурье. Курс теоретической механики. Том П, издание 6-е, М.: Наука, 1983, 640 с.

24. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений, М.: Наука, 1981, - 400 с.

25. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. ~ Издание 2-е, М.: Наука, 1966, 532 с.

26. Мантуров О.В., Солнцев 10.К., Соркин Ю.И., Федин Н.Г. Толковый словарь математических терминов. М. : Просвещение, 1965, - 540 с.

27. Митропольский Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике. К.: Наукова думка, 1971, - 440 с.

28. Митропольский Ю.А. Асимптотические методы нелинейной механики. К.: Институт математики АН УССР, 1979, - 191 с.

29. Натансон И.П. Краткий курс высшей математики. Издание 2-е. М.: Наука, 1968, - 728 с.

30. Немецкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. Издание 2-е, М.: Технико-теоретической литературы, 1949, - 551 с.

31. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. М.: Технико-теоретической литературы, 1957, - 844 с.

32. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды: элементарные функции. М.: Наука, 1981, - 800 с.

33. Рой А. Движение по орбитам. М.: Мир, 1981, - 544 с.-11836. Себехей В. Теория орбит. И.: Наука, 1982, - 656 с.

34. Тамразов П.М. Гладкости и полиногжальные приближения.-К.: Наукова думка, 1975, 272 с.38. йильчаков П.В. Справочник по высшей математике. К.: Наукова душа, 1973, - 744 с.

35. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том Ш, М.: Технико-теоретической литературы, 1949, 783 с.

36. Хайкин С.Э. Физические основы механики. Издание 2-е, -М.: Наука, 1971, 752 с.

37. Юшкевич А.П. и др. Мухаммед ибн Муса ал-Хорезми. М.:Наука, 1983, 264 с.

38. Arnold V.I.Mathmatical Methods of Classical Mechanics: Graduate Texts in Mathematics 60,Springer-VerIag,Hew York Ink. America-1978,-464p.

39. Danial A.M.Differential Equations. Longmans, Green and Co. Ltd., London,-1965, -236p.4b. Dickinson Alice B. Differential Equations:Theory & Use in Time & Motion.Addison-V/esley Publishing Company,Inc.California-London-1972,-271p.

40. Jackson D. A General Class of Problems in Approximation. Amer. Journ. of Math.,4b,-215-234pp.48. iJoble B. Numerical Methods:Differences Integration and Differential Equations. T.2, Oliver & Boyd Ltd.,London-19b4,372p.

41. Rashid S.A. Principles of Differentiation. Kitabistan Publishers Co., Lahore-1959, -33bp.

42. Samoilenko A.M.& Ronto IT.I. Numerical-Analytic Methods of Investigating Periodic Solutions. Mip Publishers,Lloscow-1 979,184p.

43. Sneddon 1.Й. Encyclopaedic Dictionary of Mathematics forEngineers & Applied Scientists. Pergamon Press Ltd., Oxford, iUew York-197b,-800p.

44. Strubie A.Raimond. Nonlinear Differential Equations. Tata Lie Gr aw-Hi 11 Publishing Company Ltd., Hew l>elhi-1 974,-2b7p.

45. Tahir Hussain, Aftab Ahmad Sh.& Hasir Ahmad Qureshi.Waves and Oscillations. Sh. Ghulam Ali & Sons, Lahore-iy?1t -202p.54. vVylie U.Hay. Differential Equations. McGraw-Hill Book Company, New York,USA-1979,-593p.

46. Yule J.D. Phaidon Concise Encyclopedia of Science and Technology. Phaidon Press Ltd., Oxford-1978, -590p.