Алгоритмы приведения неявных систем обыкновенных дифференциальных уравнений к нормальному виду тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Казак,тто Эл-Фараби атындагы мемлекеттш университет:.

к;олжаэба ку^ында

'хУйчибаев Шз1даш Салиулы

Б1р1шп тект: айиыган параболалык; тецдеудщ тура-кер1 шект1к кэне Стефан тектес есептер!,

01,01,02-дифференциалдык; тецдеулер.

Физика математика гыльшдарынын кандидаты рылыми дэрегкес:не :здену диссертациясыныц

АВТОРЕФЕРАТЫ.

Алмати И12.

а о«

■ Ь »'¿АН ^^ССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ Иркутский вычислительный центр

На правах рукописи

г

ЩЕГЛОВА Алла Аркадьевна

АЛГОРИТМЫ ПРИВЕДЕНИЯ НЕЯВНЫХ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ К НОРМАЛЬНОМУ ВИДУ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кавдвдата физико-математических наук

Иркутск - 1992

Работа выполнена в Иркутском вычислительном центре СО РАН.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Ю.Е.Бояринцев.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических

наук, профессор Б.А.Бельтюков - кандидат физико-математических наук А.С.Апарцин

Ведущзя организация - Уральский государственный университет.

Защита состоится "¿«9 "^■¿¿д/у?^/1993 г. в ^ часов на заседании Специализированного совета К 003.64.01 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Иркутском вычислительном центре СО РАН по адресу: 684033, г. Иркутск - 33, ул. Лермонтова, 134.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Иркутско вычислительного центра СО РАН.

Автореферат разослан " 1993

Ученый секретарь Специализированного совета. доктор

технических наук __ А,И.Тяган

ОЗ'гьЯ Х^-АКТЕРИСТЖА РАБОТЫ

Актуальность Анализ многих математических моделей,

шсываюших разж'оь-, „л.^ьэж'ческие процоеа; элзктронике, био-1зикэ, химическое Куттегтсэ, теорш оптимального управления и д., часто приводит к необходимости исследования и численного отения начальной задачи дад систем обыкновенных дифференциальных ¡аьнений (ОДУ) вода

ас их' с о+вс tjxc t2=fc ij , i с г=:а. pi ci>-

хСОР=а ; сг>

ACt}x"Ct)+B<t2>:'<f>+C<:t>xCt}*fCt} , ; e 2WCX. (3? С3}

хССР х'са>=ь. С 42

вырожденной для любого <ег í-r.*n.--i-¡vpme2 при старшей юизводной. Здесь /со - заданный, а е.- - искомый я-мерные KToptJ, заданные матркиы всо с.сt.> могут быть неполного ранга.

В настоящее время достаточно хорошо изучены системы ОДУ, зрешенные относительно старших производных, а также системы, в торых матрица лсо вырождается на дискретном множестве точен резка т. Системы тит.1 сэз, называемые в литературе алгебро-фференциальными (АДС), сингулярными, неразрешенными относительно арших производных, вырожденными или неявными, привлекли внимание ециалистов относительно недавно - в начале 1970-х годов.

В отличив от систем, разрешенных относительно старших произ-дных, решение АДС сопряжено со значительными дополнительными удностями, которые возникают в связи с тем, что такие системы леко не всегда разлешмы на невыровденную и алгебраическую ста, Кроме того, реяюниз вырожденной задачи может быть

неединствеяяо или может вообщэ не существовать для заданн начальных данных. Поэтому приобретает большое значение пробле согласования начальных данных с правой частью /со.

"Мерой некорректности" системы служит целочисленная величин называемая индексом веразрешояности.

Поскольку при решении вырожденных задач индекса больше едиэтз классическая теория разностных схем не работает, возникает про „тема поиска других подходов к их решению, объединяемых в д основных направления: I) переход к более простым с точки зрен численного решения задачам, в частности, к разрешенным относ: тельно старших производных-, 2) построение численных методо. непосредственно применимых даш решения выровденных задач.

Целью работы является:" I) исследование возможностей испол зования замен переменных (правых разрешающих операторов - ПРО* д решения АДС; 2) построение алгоритмоз решения для линейных в! рожденных систем второго порядка высокого индекса; 3) обосй вание новых конкурентоспособных численных методов; 4) решен проблемы согласования начальных данных.

В качестве основного метода исследования был выбран алгебра; ческпй аппарат обобщенных обратных матриц. Кроме того, в рабо' исгользозались средства вычислительной математики и отделып результаты из теории матриц и теории дифференциальных уравнения.

Работа выполнена в Иркутском вычислительном центре СО РАН ] темам лаборатории вычислительной математики "Построение осж теории и численных методов решения даффереищально-алгебраическ] систем и их интегральных аналогов" (и ГР 01910008381) и ''Ра: шботка численных методов решения сингулярных систем ОДУ выспп

апексов я их лрогракннзя реализация" (я ГР С1860055866).

Научная новизна. В настоящее время довольно хорошо изучены опросы существования и свойства левых разрешающих операторов ЛРО) - некоторых линеаных даффэрзЕвдалъню: операторов, действие оторых на вырожденную систему приводят ее к нормальному виду-эзчожности применения правых разреааюяих ошраторов для решения 1С ранее не исследовали ь. В работе установлены условия дестваванин ПРО, указан я иссяэдован с точки зрения численной зтойчивости алгоритм его построения; обоснована опирающаяся на зкоа подход возможность понижения индекса расскатривамой задачи.

Впервые изучен вопрос о сохранявшем размерность преобразовании ютемы <з>, описываемой тройкой матриц, к виду уа>у"а>+ :азуа:>=/«у, позволяющему пршекять для исследования исходной дачи известные результаты о кроною?ровой структуре пучков пары 1триц.

Кроме того, обоснованы алгоритмы построения ЛРО, адаптирован-е к ранее не рассматривавшемуся классу систем второго порядка да сз>, что позволяет избежать увеличения размерности решаемой дачи.

В отличие от других работ, за редким исключением ориентирован-I на системы индекса I и 2 и в большинстве случаев постулирующих зрешимость рассматриваемых задач для заданных начальных данных,

диссертации предлагаются алгоритмы применимые для задач эизвольно высокого индекса, не требующие жестких ограничений на эуктуру матричного пучка» и содержащие процедуру согласования 1альных данных, последнее позволяет сохранить неизменным про-занство решения.

Впервые исследованы возможности применении метода матричной прогонки для решения вырожденной задачи, а также обосновано некоторое обобщение метода коллокаций и ФДН.

Теоретическая л практическая ценность результатов рабогы состоит в обосновании новых «конкурентоспособных методов решения начальной задачи для линейных АДС первого и второго порядка высокого индекса. Вычислительные алгоритмы, преддо:кйнные в диссертации, были использованы для составления программ, вопюзап в пакет приладяых программ "Синус", предназначенный для реаесия и исследования неявных систем ОДУ.

Апробация работы. Основные результаты, включенные в дис-' сертационную работу, докладывались на XXV Всесоюзной студенческой конференции (Новосибирск, 1987), V конференции молодах ученых вузов Иркутской области (Иркутск, 1987), Региональной школе молодых ученых по вычислительной математике (Новосибирск, 1988), V Всесоюзной школе-семинаре "Современные проблемы механики жидкости и лаза" (Иркутск, 1990), Международном симпозиуме по моделированию, обратным задачам и численным методам (Таллин:, 1991), ххш Региональной молодежной конференции (Екатеринбург, 1992), семинаре кафедры математического анализа Уральского госуниверситета (1992), семинаре отдела дифференциальных уравнений Института математики и механш УрО РАН (1992), семинаре кафедры математического моделирования Харьковского госуниверситетэ (1991Ь на ежегодных конкурсах молодых ученых'Ир ВЦ СО РАН и неоднократно на семинарах лаборатории вычислительной математики Ир ВЦ СО РАН.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 работ.

Структура и обЪем диссертации. Диссертация изложена на 136 страницах машинописного текста и состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы, включающего 102 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведен ряд примеров из различных областей приложений, в которых возникают алгебро-дифференциальные системы вида си, <з>. Подчеркнуты трудности, связанные с исследованием и численным решением вырожденных задач, и принципиальное отличие АДС от систем, разрешенных относительно старшей производной. Дан обзор литературы, изложено краткое содержание работы.

В первой главе изучается проблема построения правых- разрешающих операторов для вырожденных систем схз, <з>.

1.1 носит вспомогательный характер. Здесь даны необходимые сведения об обобщенных обратных матрицах (полусбратных, псевдообратных и обратных матрицах Дразина) и их свойствах, а также приведены некоторые известные результаты из теории матричных пучков и их приложений к дифференциальным уравнениям.

Определение I. Говорят, что система сг> имеет на т решение типа Коши, если жо.всо е слстз - аналитичны, и существуют неособенные для у*«=г матрицы р«> и ско « слст! такие, что умножением на р и заменой х=«у эта система приводится к центральной канонической форме.

^ ° 1 [>,1 „ г 7,1

О wet J J lyi.coj to I y2 J l J

f y,ct? 1

_гдв 'er, = y f13 , .veo - верхнетреуголькая cs*s>-матриц:

с я нулевыми квадратными блоками на диагонали, ¿со - некотор; матрица соответствующей размерности.

Определение 2. Лучок Джо+всо удовлетворяет критерию "ранг-степень" ЯЭ ОТреЗКЭ r=f(J, ßi. еСЛИ гагЛ АГО = detCXACtJ+BCtJ.) =

= ccns£, V te7".

Система со в этом случае имеет индекс С или I. В 1.2 установлены условия существовали и некоторые свойства

ПРО.

Определение 3. Правым разрешающим оператором для системы к

2 AXtlx СО = /СО CI

i -О 1

r HCi:>

называется оператор я = £ Reo -такой, что после зам<

i=0 Cdt?

ны переменных *=Ry эта система преобразуется к виду

СО k"1 _ (-у-,

у^СО + £ Л. С О у Ct.? = /СО, teT, i=0 1

минимальное число г>о, при котором существует такой ошратор яаз( вается правым индексом Еврззрешенности системы.

Определение 4. Левым разрешающим оператором для системы

\ </°

с5? называется .оператои ¿ = £ ¿.et? - такой, что

1 2 Д.СО = х '.ч; + Е Л Сх'СО = ¿./С£.>.

1=0 1 ¿=0 1

шимальное число гзо является левым индексом неразрешенности.

Теорема I. ПРО для . системы со существует тогда и только )гда, когда система имеет на г решение типа Киви.

Аналогичный результат доказан и для систем вида сзэ. Кроме )го установлено, что ПРО существует тогда и только тогда, когда гществует ЛРО, при этом правый и левый индексы совпадают.

Е заключении параграфа доказано одно важное свойство ПРО, из ггорого вытекает возможность понижения индекса путем введения ¡мены переменной вида хсо=<з0соусо-к^ <(^'с/.;.

Теорема 2. Если для системы со существует ПРО индекса г<«>, то [ разложим на суперпозицию линейных дифференциальных операторов -ого порядка

: - ег . ег_, • • • ■ 0 е0. где е( - * о.,со •

щеке пучка равен единице.

В 1.3 исследуется вопрос о возможности приведения системы сзз виду /соу"со+гсоусо=/со путем эквивалентной замены пере-

я* - . ^

1ННЫХ хСО = £ с О .

£=0 '

Теорема 3. Если система сз> имеет на г решение типа Кош, то я нее такая замена существует, и число т совпадает с индексом разрешенное™.

Особо выделен случай систем с постоянными коэффициентами. Даны игерии существования замены переменных, приводящей к системе с указан алгоритм нахождения коэффициентов

В 1.4 предложен аналитический метод нахождении коэффициентов правого разрешающего оператора для системы сзэ как общего решения системы матричных алгебро-дифференциальных уравнений

ля + глк' + 8Я = о

г г г

ая . + ли" ч- глк' + вк' + вк .+ ся = о

г—2 г г-* г г-^ г

ля, + ая" + глк! + вя' + вк, + = о

13 2 3 2

ар-0 + ая"г + гля^ + вк^ + + скг = е.

Обоснован способ нахождения решения задачи <з>,с4э через решение невырожденной задачи, полученной действием ПРО.

Во второй главе рассматриваются алгоритмы постороения левых разрешающих операторов.

Идея метода, предложенного в 2.1, состоит в итерационном расширении исходной системы св. /л (без потери эквивалентности) с целью получения системы, разрешенной относительно производной, той же размерности, что и исходная.

На систему а> предлагается действовать оператором

,н

~сасоэасо^ ■> i е асоэасоэ

ы

си

(/( - матрица псевдообратная к а), тем самым понижая ее индекс на единицу, с полученной системой поступают аналогичным образом и т.д.

Теорема 4. Пусть система со имеет на г решение типа Коши. Тогда за коночное число шагов этот алгоритм приводит систему с в. / .■>

системе с матрицей полного ранга при производной.

Обоснован базирующийся на таком подходе численный метод, слипающий з себя процедуру согласования начальных данных.

В 2.2 последовательным применением операторов, описывающих ютему 1-ого порядка эквивалентную исходной сз?

1 г

т. , „ т (

С13

3

г,,

си

' х 1 _ х+/ ] .4 = у ]■

13 3 4

тсоф = вф', гсоф = ^ф'. гсоф = сф', гсоф = о.

3

г т

<

4

Г,

С.ч-О

(множество решений

СЕ 3. 3^),

' X " ]

у -

Г*

/ г

г т

г 'сю .

= ! ?

I- 'сю '

/о

сю

у-6

¡г

г

/ + 2 СГ

■'-1 з

Л Г

,4-/ , к.

Эта последняя умножается слеза на матрицу ¿к,; хэ,- х3; блочные составляющие которой удовлетворят вырожденной 1гритаоя системе линейных алгебраических урзыояшг

>: ■*■ x, -о

1 3

У. D* * X_D? ,+ X.cf + X О? - О t k-l 2 h-j j к 4 h

Ф'

с ----* * Г 1

(о . 1=1,4, - сп^мго-матрицы такие, что т л =о ... )

* Ф^

условие разрешимости которой • относительно у, . х^, ¿=77*

является достаточным условием возможности перехода от сз? к системе, разрешенной относительно х*. в результате получается желаемая невырожденная задача Коши

x* = <гу,+ су,A3' х' + су.* у

'г* СУ{ВЭ'> X + У J - ,

i г

хС СР=а. х'С<Х>=Ъ.

Найдены формулы, представляющие собой необходимое и достаточное условия согласования начальных данных. Доказано, что дяя *=<? в случае л, в,с е сА[тз. rank a-const процесс перехода к системе в нормальной форме возможен тогда и только тогда, когда пучок ка+в удовлетворяет критерию "ранг-степень"

В 2.3 для получения некоторых точных представлений для решения задачи сзз,с4з используются свойства обратной матрицы Дразина.

Теорема 5. Пусть матрица леи такова, что для Vt<=r=;a.f3i матрицы <E-jfci3ACt3>ACt3 И AC АС О ПОСТОЯННЫ И Ind А = р < к (индексом матрицы называется наименьшее целое число рго, при

котором rank Ар= rank Ap+1)

f

Если решение задачи

хС СО=а, х'СОР=Ь

существует, то оно единственно и представляется в ввде

1=0

где V есть решение невырожденной задачи Коши

у'-аъу +аь/

уса>=А1'са>Ассихсср, у' <га> =лп<г<гм<гсрх' с со ■

Аналогичный результат доказан в несколько ослабленных условиях, не требующих постоянства матрипы а"а.

Третья глава посвящена приближенным методам решения неявных систем ОДУ.

В 3.1 обсуждаются вопросы численной реализации процедуры, предложенной в 1.4. Также рассматривается проблема устойчивости в вычислительном смысле алгоритмов решения АДС с помощью правых разрешающих операторов.

Для представления решения задачи аэ.сгл используется ПРО, действие которого реализуется с помощью г последовательных подстановок

У • = У ■ ^ + У . У". . »

V =Е~А А., А. .= А.С£ + У'.Э + В V , £ = О, г-.' . Ап=А, 1111+11 I I О

в результате чего система преобразуется в уравнение, разрешен-

ное относигельЕС .v^'o. Задача Кош для этого уравнения, соответствующая аз.сгэ, рецается приближенно с помощью разностной форму» степени s порядка ч устогчизой в смысле Далквиста.

Пусть входные данные задачи с/э.сгэ известны с некоторым погрешностями:

\\2 - А\\< бА. ||S - В|| < 6В. II? - /|| < б, , ||S - а| < ба.

б = max < бд..бв. 5f. ба > Известно, ЧТО В рвЗУЛЬТаТВ м. ШЭГ01

регуляризирующего алгоритма вычисления псевдообратной матрицы,

например, методом экстраполяции по Ричардсону, начиная с

1

некоторого б s б0 , при выборе параметра t=o*(5h+i). справедлиЕ

.к

оценка ||2+ - а+ ц = о Кроме того, имеет место тот факт, 4i

при аппроксимации с порядком ш относительно шага дискретизации >

производной от приближенно заданной на г функции ifu: || i] - -q ||<

i

< б. t]co е стст1, начиная с некоторого б < б0, при h=o*(6"l+<;

|(стрд - rj'H "О Сб^ь, где с?Рь - численно найденная производна? от rj.

Показано, что, если при нахождении решения "возмущенной* задачи со ,сг> все псевдообратные матрицы вычислять при одном i том же л, а все производные приближать с одним и тем же поредко» щ, то при соответствующем выборе параметров регуляризации а ил имеет место оценка

vk+t m+i

||5.-xCt^||=OC6 J.

ш

где >'" 11 i -точное решение задачи аэ.сгэ в точке t1 =я+ >л*. -приближенное решение возмущенной задачи, причем шаг разностной схемы ь* должен быть асимптотически пропорционален

m.+iJ s-i

б

В 3.2 исследуются возможности применения метода матричной прогояхи дяя решения краевой: задачи

ЛСО х"СО> + CCl? хСО = fCt? , t е Г = _га. О'»-, Сб^

X хССР = а, /!„ хС&> = f.; C7J

а ß ^

¿et лсо = о, v t е г. Aß и - заданные матрицы, возможно, геполного ранга.

Вввду того, что для обеспечения коррэ-гл'оспл алгоритма теобходамз обратимость матриц и а^, огзтсзт: < ::cjo6 эквивалентного преобразования краевых условий в условия вида

:<СР=а, x'CO>=b

Указаны достаточные критерии, устойчивости метода. Теорема 6. Алгоритм матричной прогонки устойчив, если пучок |эгркд Яж'о+ссо удовлетворяет критерию "ранг-степень", л<го,

со & :п

Теорема 7/ Если в сипеме се^ матрица л с Ое с стз нормальна,

И : anh. АС t >=r=cons t, ТО МвТОД ПрОГОНКИ УСТОЙЧИВ.

Отмечено, что в случае систем индекса больше единили при счете начале и в конце отрезка r=ia. ßJ возникает эффект "пограничного.

ЛСЯ СЩИЗ'Ж"

5 3.3 да численного решения задач вида с?, сг> предлагается

строить разностные схемы на основе многошагового метода, когда решение приближается полиномиальным сшгзгном р-ой степени , а исходное .уравнени со аппроксимируется, в г точках сетки с5<о?.

Для г. = .....н система алгебраических уравнения,

записанная относительно значений сплайна г[ в узлах сетки Д = г £ -о,н>, определяет разностные схекы вида

где /£..у == в£ =

1 р

% 3 - аппроксимация производной в точке

Предполагается, что г0, г,.....известны априорно с необходимой степенью точности.

Метод обоснозан для нияыютептаого случая. Теорема 8. Пусть в со всо=г. /с о - верхнотреугольная матрица с г нулэыми квадратными блоками на диагонали. Тогда система линейных алгебраических уравнении се? однозначно разрешима

относительно in >, h=o.s-i для любого h, и справедлива оценка

(j z£ - xCt^ (J = ОСЛр_г+*:>, i =0,И.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы;

I. йсслодовакы возможности применения разрешающих подстановок для решения линейных вырожденных систем ОДУ первого и второго порядков. Выделены необходимые и достаточные условия сущесгвования ПРО. Показано, что наличие ПРО гарантирует существование JSp и наоборот, при этом совпадают правый и левый индексы

неразрешенное™. Установлена разложимость ПРО на суперпозицию линейных дифференциальных операторов перзого порядка. Предложен и обоснован один алгоритм нахождения коэффициентов разрешжчей подстановки, включающий в себя согласование начальных данных; получены расчетные формулы дая систем зтерого порядка индекса 2. Алгоритм построения ПРО проанализирован с точки зрения его численной устойчивости.

2. Найдены условия, при которых вырожденная система второго порядка ах'~вх.-+сх*/ приводима к виду =•/, где исключено вхождение первой производной. Подробно изучен случая существования приводящей замены переменных с постоянными коэффициентами когда матрицы исходной системе; не зависят от Предложен алгоритм нахождения такой подстановки.

3. Обоснованы алгоритмы приведения линейных АДС к виду разрешенному относительно старшей производной, основанные на костреэнии ЛРО, вклочзейою ь себя процедуру согласования и сохраняющие размерность исходное зодато. *Ца АЛО первого порядка получена разностная схема на основе итерационного расширения исходной системы, опирающегося на свойства псевдообратяой матрицы. Для систем второго порядка обоснован метод, использующий обратную матрицу Дразжа, а также алгоритм, основанный на многократном дифференцировании ясходьог скл&ик,

4. Показана возможность применения некоторых численяь.х методов ДЛЯ Р8£8ЕЯЯ JtJtli&XHoi АДС £>» *:«£ЮГО-JiKfc лредзчрйтельного яресбргговза-дя зырадевзок Поручены условия, при которых I'dоач'.с; злгир/ч/ м;тлрег^лк:;. длгаж?£ и обоснован (для ялльпотент'него iuyTi-'K) Mtioi'-asi'jz, обобщением

метода кохчокэиий и ФДй.

Приложение содержит результаты численных экс^сгрихе^тсч. оформленные в виде таблиц, ихтострирующие работу предложенных в диссертации алгоритмов.

Основные результаты диссертации опубликозаны в следующих работах:

I.Булатова A.A. О сингулярных системах обыкновенных дифференциальных уравнений // Современные проблемы механики жидкости и газа: Тез. докл. v Всесоюзя. школы-сзминара.- Иркутск, 1990.-С.78.

Z.Булатов MJBu 5улс.гова A.A. О численном решении вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнент второго порядка // Изв. ВУЗов: Математика.- Казань, 1Э92.- к I.- C.2I-26.

3.Булатов И.Б.. Чистяков 5.Ф.. Щеглова A.A. Многошаговые 'разностные схемы для решения вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Численные методы оптимизации и анализа,- Новосибирск: Наука, 1992.- С,.90-97.

4.Щеглова A.A. Применений псевдообратных матриц к вделанному решению выровденныг систем дифференциальных уравнений // Пятая конф. молодых ученых вузов Иркутской области, Ч.х:■ Тез. докл.-Иркутск, 1987.- С. 33.

Б.Щеглова A.A. Применение псездоебратноя матрицы для построения численного решения вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.- Иркутск, 1й88.- 36 е.- (Препринт/ Ир ВЦ СС АН СССР; 3}. ■

6.Щеглова Л.к. К вопросу о решении сингулярных систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.- Иркутск,

1990.- 22 е.- (Препринт/ Ир ВЦ СО АН СССР; 3).

7.Щеглова А.А. Построение правого разрешающего оператора для решения вырожденных систем ОДУ / Ир ВЦ СО РАН. Иркутск.- 1992а.-25 е.- Рукопись деп. в ВИНИТИ 10.07.92, ы 2257-В92.

8.Щеглова А.А. Применение обратной матрицы Дразина для решения систем ОДУ 2-ого порядка, не разрешенных относительно старшей производной / Ир ВЦ СО РАН. Иркутск.- 1992в.- 16 е.- Рукопись деп. В ВИНИТИ 10.07.92, N 2258-В92.

9.Bulat-ov М. У. . Bui at ova Д. Д. The methods of solution for singular systems of ordinary differential equations // Numerical Methods and Optimization, V. 2. - Tallinn: Inst. Cybernetics of Estonian Academy of Sciences, 1993.

TO.Bulatov M. V. , Bui at ova А. Д. The methods of solution for singular systems of ordinary differential equations Symposium

on Modelling, Inverse Problem and Numerical Methods: Teth. rep. -Tallinn,1931. - P. 6-7.