Аналитическая модель стационарного магнитного пересоединения в бесстолкновительной плазме тема автореферата и диссертации по астрономии, 01.03.03 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

КОРОВИНСКИЙ ДАНИИЛ БОРИСОВИЧ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СТАЦИОНАРНОГО МАГНИТНОГО ПЕРЕСОЕДИНЕНИЯ В БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНОЙ ПЛАЗМЕ

Специальность 01.03.03 - физика Солнца

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 8 Ш

Санкт-Петербург — 2009

003471271

Работа выполнена на физическом факультете Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Семенов Владимир Семенович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Копытенко Юрий Анатольевич

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Мингалев Олег Викторович

Ведущая организация: Институт Космических Исследований РАН

г. Москва

Защита состоится " /7 » Ысбн^ 2009 года в /У часов на заседании совета Д 212.232.35 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская набережная, д. 7/9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СПбГУ. Автореферат разослан " " ¿-¿Л/гЛ-"' 2009 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, к.ф.-м.н.,

А. Л. Котиков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Настоящая диссертация посвящена разработке аналитической модели стационарного магнитного перссоединения в квазинсйтральной бесстолкпови-тсльной плазме при условии наличия трансляционной симметрии вдоль X-линии (т.е. на бесконечном токовом слое) и при условии бездивергентного течения электронной компоненты плазмы. Для описания плазмы использовано приближение электронной холловской магнитогидродинамики (EHMHD -electrón Hall MHD). Разработан метод решения системы уравнений EHMHD, основанный на решении уравнения Грэда-ПГафранова для магнитного потенциала и уравнения Бернулли для движения протонов. На основе полученного решения построена модель перссоединения в несжимаемой и сжимас-мой плазме при произвольном значении величины однородного ведущего поля (магнитного поля в направлении Х-линии). Проведено сравнение модели с результатами кинетического моделирования методом particle-in-ccll (PIC). Показано, что результаты обоих методов демонстрируют хорошее качественное соответствие. Кроме того, выявлены необходимые условия осуществления магнитного пересоединения.

Актуальность темы.

В современной физике плазмы большое внимание уделяется процессам быстрого преобразования энергии магнитного поля в кинетическую и тепловую энергию плазмы. Для космической физики особенно важно исследование выделения энергии, накопленной в тонких токовых слоях. Процессы распада токового слоя, сопровождаемые топологической перестройкой магнитного поля, ускорением и нагревом плазмы, ответственны за такие явления, как вспышки на Солнце и звездах, взаимодейстие солнечного ветра с магнитосферой Земли и других планет, магнитосферные суббури, неустойчивости срыва в токамаках и др.

Исследования, посвященные процессам быстрого распада токового слоя, проводятся, начиная с 50-х годов прошлого века. Модели, предложенные для объяснения этого класса явлений, известны под общим названием теории магнитного пересоединения. Из магнитогидродинамических (МГД) моделей пересоединения наибольшую известность получили модели Свита-Паркера и, чуть позже, Петчека. Модель Петчека оказалась предпочтительной для для объяснения явлений в космической плазме, так как эффективность пересоединения (его скорость), предсказываемая этой моделью, оказалась гораздо

выше, чем в модели Свита-Паркера.

С момента опубликования работы Петчека исследованию этой модели было посвящено большое количество научных работ. Были получены экспериментальные подтверждения реализации петчековского механизма пересоединения в магнитосфере, было проведено множество численных экспериментов. Развита была и теория Петчека: получены аналитические решения для нестационарного пересоединения, пересоединения в сжимаемой среде, трехмерного пересоединения. Однако, по сравнению с достижениями компьютерного моделирования, аналитическая теория развита недостаточно. В частности, было установлено, что для развития сценария, описываемого петчековской моделью, построенной в рамках магнитогидродинамического (МГД) приближения, необходимо наличие неоднородной проводимости плазмы, проявляющейся в присутствии локализованного аномального сопротивления. Появление такого сопротивления в бесстолкновителыюй плазме, каковой, в частности, является плазма земной магнитосферы, может вызываться развитием мик-ронеустойчивостей, например, нижнегибридной неустойчивости, бунеманов-ской, ионно-акустической или иных. Потребность в неустойчивостях отпадает, если в законе Ома учесть член, описывающий эффект Холла, перейдя, таким образом, от приближения МГД к приближению Холл-МГД. За счет этого эффекта происходит генерация дисперсионных волн (вистлеров), поддерживающих петчековскую конфигурацию и способ преобразования энергии. На сегодняшний день численными экспериментами подтверждена эффективность такого механизма, называемого иногда холловским пересоединением, а спутниковыми наблюденими неоднократно зафиксированы его характерные проявления. Однако, в связи с математическими трудностями, удовлетворительной аналитической модели холловского пересоединения до сих пор не создано. В то же время, потребность в ней ощутима, поскольку исследование процесса магнитного пересоединения численными методами требует огромных вычислительных ресурсов, зачастую отсутствующих.

Целью настоящей работы является разработка аналитической модели стационарного магнитного пересоединения в бесстолкновительной квазинейтральной плазме на бесконечном токовом слое; построенние модели необходимо осуществить для процесса, описанного в рамках двухжидкостного приближения с использованием приближения электронной холловской магнитогидродинамики. Целью построения этой модели является выявление необходимых условий для осуществления процесса пересоединения, выяснение

энергетических аспектов псресосдипсния, а также выявление взаимосвязей, существующих между физическими величинами в плазме в ходе пересоединения.

На защиту выносятся следующие положения

1. Метод решения системы уравнений электронной холловской магнитогидродинамики, разработанный для стационарного случая при наличии трансляционной симметрии вдоль одной из координатных осей и при условии бездивергентного течения электронной компоненты плазмы, и основанный на решении двух уравнений: уравнения Бернулли для движения протонов и уравнения Грэда-Шафранова для потенциала магнит-

—ного- поля- в - плоскости- пересоединения;--

2. Аналитическая модель стационарного магнитного пересоединения в бес-столкновительной квазинейтралыюй плазме, построенная на основе полученного решения в приближении тонкого погранслоя, и дающая наглядное представление о природе и взаимосвязи таких характерных особенностей холловского пересоединения, как

• квадрупольная структура магнитного поля пересоединения и

• соответствующая структура электронных холловских токов,

• структура электрических полей пересоединения и

• ускорение протонов до альфвеновской скорости под действием этих полей;

3. Необходимые условия магнитного пересоединения, выявленные построенной моделью:

• ускорение электронов в направлении Х-лтш до скорости порядка электронной альфвеновской в окрестности сепаратрис магнитного поля, включая электронную диффузионную область;

• скачок электрического потенциала через сепаратрисы магнитного поля, имеющий величину порядка В^/(Атгпе), где Во есть величина магнитного поля на верхней границе ЕНМЬШ области, над X-линией, а п и е есть концентрация частиц и величина элементарного заряда, соответственно.

Научная новизна

1. Впервые показано, что система уравнений для квазинейтралыюй плазмы, описанной в рамках двухжидкостного приближения с использованием приближения электронной холловской магнитогидродинамики, в стационарном случае, при наличии трансляционной симметрии вдоль одной из координатных осей, и при условии бездивергентного течения электронной компоненты плазмы, сводится к системе из двух уравнений: уравнению Грэда-Шафранова для потенциала магнитного поля в плоскости пересоединения, и уравнению Бернулли для скорости протонов.

2. Впервые получено полное самосогласованное решение этих уравнений в приближении тонкого пограничного слоя.

3. На основе полученного решения впервые разработана аналитическая модель стационарного магнитного пересоединения в бесстолкновительной плазме на бесконечном токовом слое (с бесконечной Х-линией).

4. С помощью разработанной модели впервые выявлена ключевая роль ускорения электронов в направлении Х-липии, а также связь скорости электронов с электрическим потенциалом и связь между величиной падения этого потенциала и скоростью протонов, - таким образом, выявлены необходимые условия осуществления стационарного пересоединения.

Практическая ценность

Научная ценность предложенной модели состоит в простом, но адекватном описании магнитного пересоединения в бесстолкновительной плазме, в частности, его энергетических аспектов. Построенная модель позволяет исследовать взаимосвязь между плазменными характеристиками, а также выявить вклад электронной диффузионной области во всех тех случаях, когда пересоединение может быть описано в рамках электронной холловской МГД. Таким образом, модель, как исследовательский инструмент, имеет широчайшую область применимости, в которую входят явления, связанные с магнитным пересоединением, развивающиеся в магнитосфере Земли и других планет, в солнечном ветре, в солнечных вспышках и других астрофизических процессах, а также в лабораторных плазменных установках.

Работа над диссертацией была поддержана

грантом РФФИ № 07-05-00776-а (2008 год).

Личный вклад автора

Автор участвовал в разработке модели, метода решения, его реализации в среде Matlab и в сравнении модели с данными численного моделирования. Все изложенные в диссертации результаты получены автором самостоятельно или на равных правах с соавторами.

Апробация работы

Представленные в работе результаты докладывались на семи международных конференциях: 36th COSPAR Scientific Assembly (Пекин, Китай, 2006), 29th and 31th Annual Seminars "Physics of Auroral Phenomena" (Апатиты, Россия, 2006, 2008), International Conferences "Problems of Geocosmos" (Санкт-Петербург, Россия, 2006, 2008), EGU General Assembly (Вена, Австрия, 2008), "The 9th International Conference on Substorms" (Сеггау, Австрия, 2008); а также на двух всероссийских конференциях "Физика плазмы в солнечной системе" (Москва, Россия, 2008 и 2009).

Публикации

По теме диссертации опубликованы 4 статьи в научных рецензируемых журналах (из них три в качестве первого автора) и 4 статьи в сборниках трудов научных конференций (из них три в качестве первого автора).

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 144 наименований и приложения; содержит 147 страниц машинописного текста, включая 46 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность и перспективность темы исследования, сформулированы цель работы, основные положения, выносимые на защиту, отмечена научная новизна и практическая ценность работы, кратко изложено содержание работы.

В первой главе читатель вводится в круг обсуждаемых проблем. В ней описывается процесс магнитного пересоединия и его роль, как широкораспро-станенного природного феномена. Обсуждаются физические аспекты EHMHD приближения, область его применимости, а также процессы, остающиеся за рамками его описания, протекающие внутри электронной диффузионной области (EDR, electron diffusion region). Описываются основные механизмы пе-

ресоединения, дастся представление об основных существующих моделях этого процесса, перечисляются основные его черты, являющиеся твердо установленными на сегодняшний день. Приводится краткий обзор литературы по теме диссертации, также обсуждается постановка задачи.

Во второй главе разрабатывается математическая основа для построения модели стационарного магнитного пересоединения в бесстолкновитель-ной несжимаемой квазинейтральной плазме, после чего строится соответствующая модель. Для этого сначала рассматривается система уравнений ЕНМНВ для стационарного процесса в несжимаемой плазме при условии наличия трансляционной симметрии вдоль одной из координатных осей (у). После введения потенциалов электрического и магнитного полей (ф и А, соответственно), а также функций тока для скоростей протонов и электронов задача сводится к системе из двух уравнений - уравнению движения протонов и закону Ома. Затем показывается, что уравнение движения протонов сводится к уравнению Бернулли (для вектора полной массовой скорости протонов), которое, в свою очередь, расщепляется на два уравнения: уравнение для у-компоненты скорости и приближенное уравнение Бернулли для двух компонент скорости, лежащих в плоскости пересоединения (точность приближения составляет величину порядка е2, где е ~ 0.1 есть скорость пересоединения). Затем проводится анализ уравнения, выражающего закон Ома, и показывается, что оно также расщепляется на два: уравнение для ^-компоненты магнитного поля и уравнение Грэда-Шафранова для потенциала магнитного поля в плоскости пересоединения:

где А^ = (д2/дх2 +д2/дг2) есть двумерный оператор Лапласа, действующий в плоскости пересоединения хг1, а С (А) есть неизвестная функция, имеющая смысл главной части потенциала электрического поля, в то время как ее производная <Ю/йА есть скорость электронов вдоль оси у, Уеу(А). В результате исходная система уравнений расщепляется, решения для всех динамических и электромагнитных параметров плазмы определяются решениями уравнений Грэда-Шафранова и Бернулли.

Поскольку нас интересует задача о магнитном пересоединении, то искомая конфигурация позволяет использовать приближение тонкого пограничного

'Индекс X будет в дальнейшем нами использоваться для обозначения двухкомпонентных векторов, лежащих в этой плоскости.

слоя (область существования псресоединенного магнитного поля и ускоренной плазмы, так называемая, область ускорения, образует тонкий слой, ширина которого характеризуется параметром е <С 1). В приближении тонкого погранслоя уравнения Грэда-Шафранова и Бернулли интегрируются, и, таким образом, получается полное самосогласованное решение системы уравнений EHMHD, опирающееся на функцию от магнитного потенциала G(A). Анализ полученного решения позволил сделать ряд важных выводов о характерных значениях физических величин в ходе пересоединения. В частности, показано, что

• Из условий разрешимости уравнения Грэда-Шафранова, то есть из граничных условий, следует, что максимум электрического потенциала до-стигается1!а~всрЖейТрашще исследуемой~оЬласти и определяется плотностью магнитной энергии на этой границе, в точке, расположенной над Х-линией: тах</> = maxG = ВЦ&кпе.

• Максимальная скорость протонов Vout на вылете из EHMHD области определяется формулой

где Gmin есть минимальное значение функции G(A), измеряемой в единицах Вд/(4ттпе), а ДП есть перепад полного давления П, измеряемого в единицах Вд/(4тг), вдоль траектории протона. Отсюда, при условии однородности полного давления, мы находим, что для того, чтобы протоны разогнались до альфвеновской скорости Уд = Bq/^J4ттптр, где тр есть масса протона, необходимо, чтобы Gmin = —1/2, то есть, — Во/(8лпе) в размерных единицах.

Таким образом, энергетический балланс пересоединения имеет следующий вид: работа сил электрического поля над протоном вдоль его траектории составляет величину e|AG| ~ 2-mpVj/2. При этом половина этой работы идет на ускорение протона до альфвеновской скорости, а вторая половина - на преодоление сил давления.

• Из закона Ампера получена оценка для экстремального значения скорости электронов в направлении Х-линии:

Щ; = 2\Gmin\ - 2ДП,

где me есть масса электрона, Уде = у/mp/meVA есть электронная альф-пепопекая скорость, а 5 ~ 1 есть размер электронной диффузионной области (EDR) поперек слоя, измеренный в единицах инерционной длины электрона de = c^me/(Aime2). Установлено, что это значение должно достигаться на сепаратрисах магнитного поля.

• Ускорение электронов до скорости порядка Уде на магнитных сепаратрисах говорит о том, что скачок электрического потенциала происходит в очень близкой окрестности этих сепаратрис, на расстояниях порядка de. То есть вблизи сепаратрис должно существовать сильное поперечное электрическое поле

1 ¡щ, max\EZ\ ~ jJ-^Ea, о у тпе

где Еа = {\/c)VaBq есть альфвеновское электрическое поле. Например, в хвосте магнитосферы, при значениях магнитного поля Bq = 20 нТл и концентрации частиц п = 1 см-3, эта оценка дает значение max | Ez \ ~ (1/5) • 300 мВ/м.

Эскиз функций Vey(A) и G(A), соответствующих проведенному анализу, представлен на рис. 1.

m — G(A) ... Vey(A)

« % * \ > i _ * OR

» « « t -m i i »

« % » '-vAe

Рис. 1: Эскиз функций V^A) = dG(A)/dA и G(A). Потенциал А отрицателен в области втекания (IR, inflow region) и положителен в области ускорения (OR, outflow region).

Далее, на основе полученного решения была построена аналитическая модель магнитного пересоединения, для чего была задана функция

где параметр ц = 0.0075 определяет ширину EDR 5 = 1 de и, соответственно, экстремальное значение компоненты скорости Vey(0) = —Уле- Граничные условия модели были заданы в виде функции В2(х, 0) = (1/3) • ех и однородного полного давления, П = const. Модельное решение подтвердило эффективность предложенного метода и продемонстрировало все основные черты холловского пересоединения, перечисленные на стр. 5 в пункте 2 положений, выносимых на защиту.

В третьей главе проведено обобщение полученного решения и построенной на его основе модели на случай сжимаемой плазмы и на случай наличия ведущего поля. Сначала рассмотрен случай отсутствующего ведущего поля. Показано, что при условии однородности электронной температуры (Т„ = const) и бездивергентности течения электронной компоненты плазмы ('divVe = 0) закон Ома по-прежнему сводится к уравнению Грэда-Шафранова для магнитного потенциала, решение которого теперь зависит и от концентрации, являющейся, в данном приближении, функцией лишь одной переменной - магнитного поля пересоединения, п = п{Ву). Функциональная зависимость п{Ву) = 1 — 0.5Ву найдена в предположении, что электрический потенциал ф зависит только от магнитного потенциала Л и не зависит от компоненты поля Ву. Обоснованием этого предположения являются данные кинетического моделирования, а также проведенный анализ, показавший, что при дф/дВу ф 0 зависимость п(Ву) должна быть не слабее степенной с показателем степени равным 4. Учитывая, что магнитное поле пересоединения Ву есть величина порядка б, такая зависимость практически эквивалентна несжимаемости. С другой стороны, найденное решение п(Ву) обладает двумя важными достоинствами: во-первых, это решение указывает на существование областей пониженной концентрации в районе экстремумов величины Ву, что является одним из основных известных признаков холловского пересоединения; во-вторых, при формальном устремлении Ву к нулю, то есть при п —> 1, полное решение задачи стремится к решению в несжимаемом случае. Показано далее, что схема решения уравнения дивижения протонов также остается прежней, хотя уравнения, разумеется, становятся зависимы и от концентрации.

Затем рассмотрен случай наличия однородного ведущего поля Ь, роль которого сводится к внесению асимметрии в получаемое решение; асимметрия носит квадрупольный характер и определяется слагаемым ВУЬ, входящим в выражение для концентрации частиц.

В итоге получено полное решение задачи, имеющее следующий вид:

1 Г^ И А'

г{А,В„)=± . / == (1)

у/адУЛ, у/в(А') - С(А0)

¿А'

= ±

1 3 о 5 о

ч/2Л„

[

•'Гт

<¿5

И

\Ч±А\

у/2]м у/в{А') - С(А0У

Фе(Г0±), (2)

в несжимаемом случае, в сжимаемом случае,

(3)

\/2Чап11(Фе/\/2),

■ ДА (4)

= ГС(Л)+0.552, в

несжимаемом случае,

в сжимаемом случае, <*Ф

Ф

п2[Сгг(Ф) - ф] ~ п (П - - Щ)

(5)

(6)

Ки(г±)=и +Уго(гох)' (7)

Здесь уравнение (1) есть решение уравнения Грэда-Шафранова, разложенное в ряд по степеням величины и = 1 — п с граничным условием Ао(х) = /0 В2(х\ 0)(1х'. Знак перед интегралом выбирается в зависимости от полуплоскости - положительный в верхней и отрицательный в нижней. Уравнение (2) является решением для функции тока Фе для скорости электронов, определяемой выражением = —[УФехеу]_|_, где еу есть орт оси у. Знак перед интегралом зависит от номера квадранта, определяемого коэффициентом к, интегрирование ведется вдоль проекций магнитных силовых линий на плоскость пересоедипения. Граггичггое условие Фе(го±) есть величина строго равная нулю на координатных осях х и г, и приблизительно, с точностью до 0(е2), равная нулю на границе ЕБИ.

Следующее уравнение (3) является решением для магнитного поля пересоединения Ву, которое в ЕНМНЭ приближении является функцией тока для вектора плотности потока электронов: пУе± = —[УВу х е„]_|_. Уравнением (4) определяется решение для концентрации частиц п. Таким образом, в сжимаемом случае уравнения (1-4) составляют итерационную схему получения решения для величин .А, Фе, Ву, п.

Уравнением (5) выражается решение для электрического потенциала ф, главной частью которого является функция С (А), к которой в несжимаемом случае добавляется возмущающий член 0.5В*. Из уравнений (2), (3) и (5) видно, что в отсутствие ЕБ11 пересоединение становится невозможным2. Уравнение (6) является решением приближенного уравнения Бернулли для скорости протонов выраженной через функцию тока Фр, определяемую равенством: пУрх = х Знак перед интегралом вновь выбирается в соответствии с полуплоскостью. Граничным условием для этого уравнение является значение полного давления П, которое является величиной постоянной поперек слоя, и определяется своим распределением на верхней границе области ЕНМНО. С(г является величиной, сохраняющейся вдоль траекторий _протонов и, следовательно, оказывается фунцией от_Фр,.Вид функциональной зависимости С(Г(Фг,) определяется из условий на верхней границе рассматриваемой области, где выполняются равенства

фр(х) = [ п(х')Ур2(х')йх'.

Jo

Поскольку верхняя граница ЕНМНБ области является границей с областью применимости МГД, где магнитное поле вморожено в плазму, то скорость протонов Vр на этой границе является дрейфовой скоростью:

Ур = [Е х В}/В2.

Из этого условия мы получаем величины Урх и Ург, необходимые для определения функции С(г(Фр).

Тем же выражением для дрейфовой скорости определяется и граничное условие для уравнения (7), величина ^(го±)- Уравнение (7) выражает решение для компоненты скорости протонов интегрирование здесь ведется вдоль проекций траекторий протонов на плоскость пересоединения, а величина а является якобианом замены переменных сг =

На основе полученного решения обобщается аналитическая модель пересоединения, построенная во второй главе диссертационной работы.

2Поскольку приближение ЕНМ1Ш неприменимо внутри электронной диффузионной области, то интегрирование уравнения (2) должно останавливаться на ее границе. Если же ЕБ11 отсутствует, то интегрирование ведется вплоть до "начала" магнитной силовой линии, лежащего на одной из координатных осей, х или г. Поскольку магнитные сепаратрисы проходят через начало координат, а в начале координат магнитное поле равно нулю, то значение Фе на сепаратрисах обращается в бесконечность. В несжимаемом случае отсюда следует, что Ву —> оо и ф —> оо. В сжимаемом случае Ву —> л/2 и п —> 0.

В четвертой главе проводится сравнение аналитической модели с кинетической, рассчитанной методом particle-in-cell (PIC). Проведенное сравнение показало, что разработанная нами аналитическая модель достаточно точно отражает физические особенности холловского пересоединения. При этом такие важные количественные характеристики этого процесса, как величина магнитного поля пересоединения Ву, скорости электронов и протонов вдоль токового слоя Vex, Vpx, а также их скорости вне плоскости пересоединения Veyj„j весьма близко соответствуют значениям, полученным в PIC-симуляции. Сравнение позволило также установить размер области применимости EHMHD приближения. Он составил примерно 70 de (инерционных длин электрона) вдоль оси х (вдоль токового слоя) и 20 de вдоль оси z (поперек слоя), что несколько уточняет существующюю оценку этого размера, как величины порядка одной инерционной длины протона dp (dp = y/mp/mede).

Наконец, - и это самое главное, - сравнение подтвердило сделанный прежде выбор функции Vey{A), являющейся ключевым элементом нашей модели.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

Основные результаты, полученные в работе

1. Показано, что система уравнений приближения EHMHD в 2.5-мерном стационарном случае и при условии бездивергентного течения электронной компоненты плазмы сводится к системе из двух уравнений: уравнению Бернулли для скорости протонов и уравнению Грэда-Шафранова для потенциала магнитного поля в плоскости пересоединсния.

2. Получены решения этих уравнений в приближении тонкого пограничного слоя; из полученных решений найдены все динамические и электромагнитные параметры плазмы, - то есть построено полное самосогласованное решение поставленной задачи в полном пространстве3.

3. Полученное решение позволило построить аналитическую модель пере-соедипения, которая помогла прояснить физический механизм этого процесса и выявить взаимосвязь плазменных характеристик. А именно:

(а) Показано, что для осуществления стационарного пересоединения необходимо существование механизма, обеспечивающего разгон электронов в направлении Х-линии до скоростей порядка электронной

3В пределах области применимости EHMHD.

альфвеновской скорости, как внутри электронной диффузионной области, так и в окрестности сепаратрис магнитного поля.

(b) Установлено, что экстремальное значение этой скорости, равно как и экстремальная величина нормальной компоненты электрического поля определяются поперечным (то есть поперек слоя) размером EDR, демонстрируя обратнопропорциональную зависимость от него.

(c) Показано, что ускорение протонов осуществляется за счет сил электрического поля, распределение потенциала которого также определяется распределением скорости электронов в направлении X-линии. При этом перепад потенциала вдоль траектории протона за_висит только от величины магнитного поля Во на верхней границе

области EHMHD, непосредственно над Х-линией. Величина этого перепада потенциала имеет значение примерно Во/(8ттпе) в области втекания и еще столько же - в области ускорения, то есть всего « Вд/(4тгпе) (точное равенство достигается на предельной траектории, лежащей на координатных осях). Такой перепад потенциала обеспечивает преодоление протонами сил давления и их разгон ровно до альфвеновской скорости в центре слоя.

(d) Установлено, что в приближении бездивергентного течения электронной компоненты плазмы концентрация частиц определяется распределением магнитного поля пересоединения, имея от него степенную зависимость с показателем 2, что приводит к разрежению плазмы в области экстремальных значений этого поля, лежащих вблизи магнитных сепаратрис, внутри области ускорения.

(e) Показано, что наличие ненулевого ведущего поля приводит к возникновению квадруполыюй структуры распределения концентрации частиц, при этом степень асимметрии пропорциональна произведению величины этого ведущего поля на магнитное поле пересоединения.

По теме диссертации опубликованы следующие работы

1. Korovinskiy D.B., Semenov V.S., Erkaev N. V., and Biernat H. Theoretical Model of the Steady-State Magnetic Reconnection in Collisionless Incompressible Plasma // 6th International Conférence "Problems of Geocosmos": Proc. of the intern. conf. 23-27 May 2006 / Eds. by V.N. Troyan, V.S. Semenov, M.V. Kubyshkina. - SPb., Russia: WM com. Ltd, 2006 - P. 104107.

2. Korovinskiy D.B., Semenov V.S., Erkaev N.V. Theoretical model of steady-state magnetic reconnection in the electron Hall magnetohydrodynamics approximation // 29th Annual Seminar: Proc. of the intern, seminar 27 February - 3 March 200G. - Apatity, Russia: Print. Kola Sciencc Centre RAS, 2007. - P. 92-95.

3. Korovinskiy D. В., Semenov V.S., Erkaev N.V., Biernat H., Pcnz T. Theoretical model of steady-state magnetic reconnection in collisionless incompressible plasma based on the Grad-Shafranov equation solution // Adv. Space Res. - 2008. - Vol. 41. - P. 1556-1561.

4. Korovinskiy D.B., Semenov V.S., Erkaev N.V., Divin A.V., and Biernat H.K. The 2.5-D analytical model of steady-state Hall magnetic reconnection 11 J. Geophys. Res. - 2008. - Vol. 113. - P. A04205.l-A04205.13.

5. Korovinskiy D., Semenov V., Divin A., and Biernat H. Analytical model of collisionless reconnection based on the solution of Grad-Shafranov equation compared to the PIC simulations // 7th international conference "Problems of Geocosmos": Proc. of the intern, conf. 26-30 May 2008 / Eds. V.N. Troyan, M. Hayakawa, V.S. Semenov. - SPb, Russia, 2008. - P. 134-139.

6. Divin A. V., Semenov V.S., and Korovinskiy D.B. Structure of electron diffusion region of the reconnection process // Ibid. - P. 63-69.

7. Semenov V, Korovinskiy D., Divin A., Erkaev N., and Biernat H. Collisionless magnetic reconncction: analytical model and PIC simulation comparison /,/ Ann. Geophys. - 2009. - Vol. 27. - P. 905-911.

8. Коровинский Д.В., Дивип А.В., Семенов B.C. Сравнение аналитической модели бесстолкновитсльного магнитного пересоединения, построенной на базе решения уравнения Грэда-Шафранова, с кинетической, рассчитанной методом Particle-in-Cell // Вестник Санкт-Петербургского Университета. - 2009. - Сер. 4. - Вып. 1. - С. 28-36.

Подписано к печати 29.04.09. Формат 60 х 84 Vi6. Бумага офсетная. Гарнитура Times. Печать цифровая. Печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 4448.

Отпечатано в Отделе оперативной полиграфии химического факультета СПбГУ 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26 Тел.: (812) 428-4043,428-6919

Введение в

1 Магнитное пересоединение

1.1 Магнитное пересоединение - механизм преобразования энергии в плазме

1.2 Эффект Холла и скорость пересоединения.

1.3 Модель пересоединения Свита-Паркера.

1.4 Модель пересоединения Петчека. Скейлинг.

1.5 От альфеновских волн к вистлерам

1.6 Электронная диффузионная область.

1.7 Приближения HMHD и EHMHD.

1.8 Формулировка проблемы

1.8.1 Основные черты холловского пересоединения

1.8.2 Постановка задачи.

2 Модель антипараллельного пересоединения в несжимаемой плазме

2.1 Решение системы уравнений EHMHD.

2.1.1 Формулировка задачи.

2.1.2 Потенциалы.

2.1.3 Уравнение Бернулли.

2.1.4 Замена переменных

2.1.5 Уравнение Грэда-Шафранова.

2.1.6 Решение. Сводка формул.

2.2 Свойства решения.

2.2.1 Правая часть уравнения Грэда-Шафранова. Функция G(A). Оценки величин.

2.2.2 Линейное приближение по А. Магнитное поле Ву

2.3 Сводка результатов.

2.4 Пример простейшей модели.

2.5 Резюме.

3 Обобщения модели

3.1 Сжимаемая плазма.

3.1.1 Модификация уравнений.

3.1.2 Решение для потенциалов А и Фе.

3.1.3 Движение протонов

3.1.4 Сводка формул и результатов.

3.2 Наличие ведущего поля.

3.2.1 Аналитическое решение.

3.2.2 Исследование решения.

3.3 Резюме.

4 Сравнение с кинетическим моделированием

4.1 Описание численной модели.

4.2 Граничные условия и параметры аналитической модели

4.3 Сравнение результатов.

4.4 Резюме.

Настоящая диссертация посвящена разработке аналитической модели стационарного магнитного пересоединения в квазинейтральной бесстолкновительной плазме па бесконечном токовом слое. Модель строится в двухжидкостном приближении с использованием приближения электронной холловской магнитогидродинамики (EHMHD -electron Hall MHD). Метод основан на решении уравнения Грэда-Шафранова для магнитного потенциала и уравнения Бернулли для движения протонов. На основе полученного решения этих уравнений построена модель пересоединения в несжимаемой и сжимаемой плазме при произвольном значении величины ведущего поля. Проведено сравнение модели с результатами численного моделирования методом particle-in-cell (PIC). Оба метода демонстрируют хорошее соответствие: структуры распределений физических параметров, полученные двумя сравниваемыми методами, качественно совпадают, количественные различия характеризуются коэффициентом порядка 1.

Актуальность темы. В современной физике плазмы большое внимание уделяется процессам быстрого преобразования энергии магнитного поля в кинетическую и тепловую энергию плазмы. Для космической физики особенно важно исследование выделения энергии, накопленной в тонких токовых слоях. Процессы распада токового слоя, сопровождаемые топологической перестройкой магнитного поля, ускорением и нагревом плазмы, ответственны за такие явления, как вспышки на Солнце [9| и звездах [5j, взаимодейстие солнечного ветра с магнитосферой Земли [1, 11, 51, 54] и других планет [63], магнитосферные суббури [14, 31], неустойчивости срыва в тока-маках [4] и др.

Исследования, посвященные процессам быстрого распада токового слоя, проводятся, начиная с 50-х годов прошлого века. Модели, предложенные для объяснения этого класса явлений, известны под общим названием теории магнитного пересоединения. Из магнитогидродинамических (МГД) моделей пересоединения наибольшую известность получили модели Свита-Паркера [87J и [125] и, чуть позже, Петчека [89]. Модель Петчека оказалась предпочтительной для для объяснения явлений в космической плазме, так как эффективность пересоединения, предсказываемая этой моделью, оказалась гораздо выше, чем в модели Свита-Паркера. Принципиальной особенностью петчековского пересоединения является механизм быстрого преобразования энергии, который заключается в распаде токового слоя на систему ударных волн, на фронтах которых происходит ускорение плазмы.

С момента опубликования работы Петчека исследованию этой модели было посвящено большое количество научных работ. Были получены экспериментальные подтверждения реализации петчековского механизма пересоединения в магнитосфере, было проведено множество численных экспериментов. Развита была и теория Петчека: получены аналитические решения для нестационарного пересоединения, пересоединения в сжимаемой среде, трехмерного пересоединения [13, 107, 108]. Однако, по сравнению с достижениями компьютерного моделирования, аналитическая теория развита недостаточно. В частности, было установлено, что для развития сценария, описываемого петчековской моделью (построенной в рамках МГД приближения), необходимо наличие неоднородной проводимости плазмы, проявляющейся в присутствии локализованного аномального сопротивления. Появление такого сопротивления в бесстолкновительной плазме, каковой, в частности, является плазма земной магнитосферы, может вызываться развитием микронеустойчивостей, например, нижнегибридной неустойчивости, бунемановской, ионно-акустической или иных. Однако, потребность в неустойчивостях отпадает, если в законе Ома учесть член, описывающий эффект Холла. За счет этого эффекта происходит генерация дисперсионных волн (вистлеров), поддерживающих петчековскую конфигурацию и способ преобразования энергии. На сегодняшний день численными экспериментами подтверждена эффективность такого механизма, называемого иногда холлопским пересоединением, а спутниковыми наблюденими неоднократно зафиксированы его характерные проявления. Однако, в связи с математическими трудностями, удовлетворительной аналитической модели холловского пересоединения до сих пор не создано. В то же время, потребность в пей ощутима, поскольку исследование процесса магнитного пересоединения численными методами требует огромных вычислительных ресурсов, зачастую отсутствующих. Кроме того, как мы покажем в нашей работе, аналитическая модель позволяет более глубоко понять физическую природу и механизмы этого явления.

Целью настоящей работы является разработка аналитической модели стационарного магнитного пересоединения в квазинейтральной бесстолкновительной плазме на бесконечном токовом слое; построенние модели необходимо осуществить для процесса, описанного в рамках двухжидкостного приближения с использованием приближения электронной холловской магнитогидродинамики. Целью построения этой модели является выявление необходимых условий для осуществления процесса пересоединения, выяснение энергетических аспектов пересоединения, а также выявление взаимосвязей, существующих между физическими величинами в плазме в ходе пересоединения.

На защиту выносятся:

1. Метод решения системы уравнений электронной холловской магнитогидродинамики, разработанный для стационарного случая при наличии трансляционной симметрии вдоль одной из координатных осей и при условии бездивергентного течения электронной компоненты плазмы, и основанный на решении двух уравнений: уравнения Бернулли для движения протонов и уравнения Грэда-Шафранова для потенциала магнитного поля в плоскости пересоединения;

2. Аналитическая модель стационарного магнитного пересоединения в бесстолк-новительной квазинейтральной плазме, построенная на основе полученного решения в приближении тонкого погранслоя, и дающая наглядное представление о природе и взаимосвязи таких характерных особенностей холловского пересоединения, как

• квадрупольная структура магнитного поля пересоединения и

• соответствующая структура электронных холловских токов,

• структура электрических полей пересоединения и

• ускорение протонов до альфвеновской скорости под действием этих полей;

3. Необходимые условия такого пересоединения, выявленные построенной моделью:

• ускорение электронов в направлении Х-линии до скорости порядка электронной альфвеновской в окрестности сепаратрис магнитного поля, включая электронную диффузионную область;

• скачок электрического потенциала через сепаратрисы магнитного поля, имеющий величину порядка В%/(4тте), где Во есть величина магнитного поля па верхней границе EHMHD области, над Х-линией, а п и е есть концентрация частиц и величина элементарного заряда, соответственно.

Научная новизна:

1. Впервые показано, что система уравнений для плазмы, описанной в рамках двухжидкостного приближения с использованием приближения электронной холловской магнитогидродинамики, в стационарном случае, при наличии трансляционной симметрии вдоль одной из координатных осей, и при условии бездивергентного течения электронной компоненты плазмы, сводится к системе из двух уравнений: уравнению Грэда-Шафранова для потенциала магнитного поля в плоскости пересоединения, и уравнению Бернулли для скорости протонов.

2. Впервые получено полное самосогласованное решение этих уравнений в приближении тонкого пограничного слоя.

3. На основе полученного решения впервые разработана аналитическая модель стационарного магнитного пересоединения в бесстолкновительной плазме на бесконечном токовом слое (с бесконечной Х-линией).

4. С помощью разработанной модели впервые выявлена ключевая роль ускорения электронов в направлении Х-линии, а также связь скорости электронов с электрическим потенциалом и связь между величиной падения этого потенциала и скоростью протонов, - таким образом, выявлены необходимые условия осуществления стационарного пересоединения.

Практическая ценность. Научная ценность предложенной модели состоит в простом, но адекватном описании магнитного пересоединения в бесстолкновительной плазме, в частности, его энергетических аспектов. Построенная модель позволяет исследовать взаимосвязь между плазменными характеристиками, а также выявить вклад диффузионной области во всех тех случаях, когда пересоединение может быть описано в рамках электронной холловской МГД. Таким образом, модель, как исследовательский инструмент, имеет тпирочайтпую область применимости, в которую входят явления, связанные с магнитным пересоединением, развивающиеся в магнитосфере Земли и других планет, в солнечном ветре, в солнечных вспышках и других астрофизических процессах, а также в лабораторных плазменных установках.

Личный вклад автора. Автор участвовал в разработке модели, метода решения, его реализации в среде Matlab и в сравнении модели с данными численного моделирования. Все изложенные в диссертации результаты получены автором самостоятельно или на равных правах с соавторами.

Апробация работы. Представленные в работе результаты докладывались на семи международных конференциях: 36th COSPAR Scientific Assembly (Пекин, Китай, 2006), 29th and 31th Annual Seminars "Physics of Auroral Phenomena" (Апатиты, Россия, 2006, 2008), International Conferences "Problems of Geocosmos" (Санкт-Петербург, Россия, 2006, 2008), EGU General Assembly (Вена, Австрия, 2008), "The 9th International Conference on Substorms" (Сеггау, Австрия, 2008), а также на всероссийских конференциях "Физика плазмы в солнечной системе" (Москва, Россия, 2008 и 2009).

Публикации. По теме диссертации опубликованы 4 статьи в научных рецензируемых журналах и 4 статьи в сборниках трудов научных конференций.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 144 наименований и приложения; содержит 147 страниц машинописного текста, включая 46 рисунков.

Основные результаты

1. Показано, что система стационарных уравнений двухжидкостного приближения с использованием приближения EHMHD в 2.5-мерном случае при условии бездивергентного течения электронной компоненты плазмы сводится к системе из двух уравнений: уравнению Бернулли для скорости протонов и уравнению Грэда-Шафранова для потенциала магнитного поля в плоскости пересоединения.

2. Получены решения этих уравнений в приближении тонкого пограничного слоя; из полученных решений найдены все динамические и электромагнитные параметры плазмы, - то есть построено полное самосогласованное решение поставленной задачи в полном пространстве4.

3. Полученное решение позволило построить аналитическую модель пересоедине-"ния, которая помогла прояснить физический механизм этого процесса и выявить взаимосвязь плазменных характеристик. А именно:

4 В пределах области применимости EHMHD.

Показано, что для осуществления стационарного пересоединения необходимо существование, во-первых, области, в которой нарушается условие вмороженности магнитного поля в электронную жидкость, - электронной диффузионной области, EDR, а во-вторых, механизма, обеспечивающего разгон электронов в направлении .АТ-линии до скоростей порядка электронной альфвеновской скорости, как внутри EDR, так и в окрестности сепаратрис магнитного поля.

Установлено, что экстремальное значение этой скорости, равно как и экстремальная величина нормальной компоненты электрического поля определяются поперечным (то есть поперек слоя) размером EDR, демонстрируя обратнопропорциональную зависимость от него.

Также установлено, что магнитное поле пересоединения, - поле в направлении .Х-линии, - является функцией тока для вектора плотности потока электронной жидкости в плоскости пересоединения. Экстремальное значение этого поля также зависит от размеров EDR, обладая логарифмической зависимостью от ее продольного (то есть вдоль слоя) размера. С другой стороны, величина этого поля определяется магнитным полем в плоскости пересоединения, то есть распределением магнитного потенциала, которое, в свою очередь, определяется распределением скорости электронов в направлении .АТ-линии. Поскольку последняя зависит от поперечного размера EDR, то, т.о., установлено, что продольный и поперечный размеры EDR являются не независимыми, но самосогласованными параметрами.

Кроме того, установлено, что величина магнитного поля пересоединения обладает степенной зависимостью от скорости пересоединения с показателем степени 1/2.

Показано, что ускорение протонов осуществляется за счет сил электрического поля, распределение потенциала которого также определяется распределением скорости электронов в направлении Х-линии. При этом перепад потенциала вдоль траектории протона зависит только от величины магнитного поля Во на верхней границе области EHMHD, непосредственно над Х-линией. Величина этого перепада потенциала имеет значение примерно Вд/(8тгпе) в области втекания и еще столько же - в области ускорения, то есть всего « В2/(4тте) (точное равенство достигается на предельной траектории, лежащей на координатных осях). Такой перепад потенциала обеспечивает преодоление протонами сил давления и их разгон ровно до альфвеновской скорости в центре слоя.

Установлено, что скорость пересоединения в тонком слое, от которой зависит кривизна силовых линий магнитного поля в плоскости пересоединения, должна быть достаточно мала, - при увеличении кривизны силовых линий растет нормальная компонента магнитного поля, которая, как было показано, препятствует проникновению протонов в область ускорения. f) Установлено, что в приближении бездивергентного течения электронной компоненты плазмы концентрация частиц, определяется исключительно распределением магнитного поля пересоединения, имея от него степенную зависимость с показателем 2, что приводит к разрежению плазмы в области экстремальных значений этого поля, лежащих вблизи магнитных сепаратрис, внутри области ускорения. g) Показано, что наличие ненулевого ведущего поля приводит к возникновению квадрупольной структуры распределения концентрации частиц, при этом степень асимметрии пропорциональна произведению величины этого ведущего поля на магнитное поле пересоединения. h) Далее показано, что наличие ведущего поля оказывает малое влияние на движение электронной компоненты плазмы, и большее - на движение протонной компоненты. В частности, при направлении ведущего поля противоположном к направлению поля пересоединения происходит увеличение нормальной компоненты магнитного поля, что затрудняет проникновение протонов в область ускорения.

В то же время, наличие или отсутствие ведущего поля мало сказывается на движении протонов внутри этой области, внося лишь некоторые искажения в пространственное рапределение их скоростей. i) Наконец, показано, что ускорение протонов в направлении Х-линии определяется распределением их скорости в плоскости пересоединения. Протоны формируют тонкий, медленно расширяющийся токовый слой, шириной порядка инерционной длины электрона, с линейно увеличивающимся значением скорости от нуля на Х-линии до, примерно, 1/2 альфвеновской скорости, Уд, в том месте, где ^-компонента их скорости достигает значения Уд. При этом наличие ведущего поля слегка, в пределах 0.1, увеличивает это конечное значение, одинаково для всех четырех квадрантов.

4. Проведенное сравнение с данными кинетического моделирования бесстолкови-тельного пересоединения показало, что построенная модель дает вполне адекватное представление этого процесса. Распределения физических параметров, полученные двумя сравниваемыми методами, качественно совпадают, количественные различия характеризуются коэффициентом порядка 0.1 для величин, вычисляемых посредством интегрирования, и порядка 1 для величин, вычисляемых дифференцированием. При этом по сравнению наиболее существенных характеристик пересоединения получены следующие результаты: а) по значению нормальной компоненты электрического поля на магнитной сепаратрисе - совпадение с точностью до коэффициента 2 — 3; b) по пространственному расположению области ускорения, которое можно охарактеризовать отношением ее поперечного размера на выходе из области к продольному - совпадение с точностью до 30%; c) по профилю скорости электронов вдоль токового слоя в его центре - совпадение с точностью до значения скорости, набираемой электронами внутри EDR, которая находится за рамками применимости приближения EHMHD; d) по профилю скорости протонов в направлении Х-линии вдоль токового слоя в его центре - совпадение с точностью до величины фонового тока в Х-линии; e) по профилю скорости протонов вдоль токового слоя в его центре - совпадение с точностью до 20%; f) по экстремальному значению магнитного поля пересоединения - совпадение с точностью до 1%.

Таким образом, результатом работы явилось построение простой, но адекватной и содержательной модели стационарного магнитного пересоединения в квазинейтральной бесстолкновительной плазме, которая может быть использована для дальнейшего изучения этого явления; в частности для исследования взаимосвязей, существующих между физическими величинами в течение этого процесса.

Заключение

Диссертационная работа была посвящена решению задачи стационарного магнитного пересоединения в квазинейтральной бесстолкновительной плазме на бесконечном токовом слое; подобные задачи принято называть 2.5-мерными. Задача была поставлена в рамках двухжидкостного приближения, где движение электронной компоненты рассматривалось в приближении электронной холловской магнитогидродинамики, EHMHD. Сначала было получено решение для простейшего случая несжимаемой плазмы в отсутствии ведущего поля, на основе которого была построена аналитическая модель такого пересоединения. Затем, с использованием приближения бездивергентного течения электронной компоненты плазмы, решение было обобщено на случай сжимаемой плазмы, а также на случай присутствия ненулевого ведущего поля; для этих случаев также была представлена аналитическая модель таких процессов. Наконец, построенная модель была сверена с результатами кинетического моделирования пересоединения в бесстолкновительной плазме.

1. Акасофу С.И., Чепмен С. Солнечно-земная физика. - М.: Мир, 1975. - 512 с.

2. Ахиезер А.И. и др. Электродинамика плазмы / И.А. Ахиезер, Р.В. Половин, А.Г. Ситенко, К.Н. Степанов. М.: Наука, 1974. - 720 с.

3. Баранов В.Б., Краснобаев К.В. Гидродинамическая теория космической плазмы. М.: Наука, 1977. - 355 с.

4. Кадомцев Б.Б. Коллективные явления в плазме. М.: Наука, 1988. - 303 с.

5. Кацова М.М., Лившиц М.А. Активность молодых звезд. М.: Знание, 1986. -61 с.

6. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Гидродинамика. М.: Наука, 1988. - 736 с.

7. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1992. - 664 с.

8. Пристп Э.Р. Солнечная магнитогидродинамика. М.: Мир, 1985. - 589 с.

9. Прист Э., Форбс Т. Магнитное пересоединение / Пер. с англ.; Под ред. В.Д. Кузнецова и А.Г. Франк. М.: Физматлит, 2005. - 591 с.

10. Пудовкин М.И., Семенов B.C. Теория пересоединения и взаимодействие солнечного ветра с магнитосферой земли. М.: Наука, 1985. - 150 с.

11. Пудовкин М.И., Шухова Л.З. Некоторые проявление процесса магнитного пересоединения в солнечном ветре // Геомагнетизм и аэрономия. 1988. - Т. 28. - С. 667-672.

12. Семенов В. С., Хейн М. Ф., Кубышкин И.В. Пересоединение магнитных силовых липий в нестационарном случае // Советская астрономия. 1983. - Т. 27.- С. 660-665.

13. Сергеев В.А., Цыганенко Н.А. Магнитосфера Земли. М.: Наука, 1980. - 174 с.

14. Сыроватпский С.И. Формирование токовых слоев в плазме с вмороженным сильным магнитным полем // ЖЭТФ. 1971. - Т. 33. - № 3. - С. 933-940.

15. Сыроватпский С.И. Ключевые вопросы теории вспышек // Изв. АН СССР. -1979. Сер. Физ. - Т. 43. - № 4. - С. 695-704.

16. Франк А.Г. Формирование, эволюция и взрывное разрушение токовых слоев в плазме // Тр. ФИАН. 1985. - Т. 160. - С. 93-121.

17. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М: Наука, 1974. - 712 с.

18. Alexeev I.I., Belenkaya E.S., Bobrovnikov S. Y., Kalegaev V. V. Modelling of the electromagnetic field in the interplanetary space and in the Earth's magnetosphere // Space Science Rev. 2003. - Vol. 107. - № 1/2. - P. 7—26.

19. Alexeev I.V., Owen C.J., Fazakerley A.N., Runov A., Dewhurst J.P., Balong A., Reme H., Klecker В., and Kistler L., Cluster observations of currents in the plasma sheet during reconnection // GRL. 2005. - № 32. - P. L03101.1-L03101.7.

20. Bale and Mozer Measurement of Large Parallel and Perpendicular Electric Fields on Electron Spatial Scales in the Terrestrial Bow Shock // Phys. Rev. Lett. 2007.- Vol. 98. P. 205001.1-205001.4.

21. Bhattacharjee A., Germaschewski K., and Ng C.S. Current singularities: Drivers of impulsive magnetic reconnection // Phys. Plasmas. 2005. - Vol. 12. - № 4. -P. 042305.1-042305.11.

22. Bhattacharjee A., Ma W., and Wang X. Impulsive reconnection dynamics in col-lisionless laboratory and space plasmas // J. of Geophys. Res. 1999. - Vol. 104. -№ A7. - P. 14543-14570.

23. Birdsall C.K., Langdon A.B. Plasma Physics via Computer Simulation. Bristol: Adam Hilger, 1991. - 479 p.

24. Biskamp D. Magnetic reconnection via current sheets // Phys. Fluids. 1986. -Vol. 29. - P. 1520-1531.

25. Biskamp, D. Magnetic reconnection in Plasmas. Cambridge: Cambridge University Press, 2000. - 387 p.

26. Biskamp D., Schwarz E., and Drake J.F. Two-fluid theory of collisionless magnetic reconnection 11 Phys. Plasmas. 1997. - Vol. 4. - № 4. - P. 1002-1009.

27. Gai H.J., Ding D.Q., and Lee L.G. Momentum transport near a magnetic X line in collisionless reconnection //J. Geophys. Res. 1994. - Vol. 99. - № Al - P. 35-42.

28. Coroniti F. V. Explosive tail reconnection: the growth and explosive phases of mag-netospheric substorm // J. Geophys. Res. 1985. , Vol. 90. - P. 7427-7447.

29. Cothran C.D., Landreman M., Brown M.R., and Matthaeus W.H. Generalized Ohm's law in a 3-d reconnection experiment // Geophys. Res. Lett. 2005. - Vol. 32. - № 2. - P. L03105.1-L03105.4.

30. Craig I.J.D., Watson P. G. Exact models for Hall current reconnection with axial guide fields // Phys. Plasmas. 2005. - Vol. 12. - P. 012306.1-012306.9.

31. Daughton W., Scudder J., and Karimabadi H. Fully kinetic simulations of undriven magnetic reconnection with open boundary conditions // Phys. Plasmas. 2006. -Vol. 13. - P. 072101.1-072101.5.

32. Divin A. V., Sitnov M.I., Swisdak M., and Drake J.F. . Reconnection onset in the magnetotail: Particle simulations with open boundary conditions // Geophys. Res. Lett. 2007. - Vol. 34. - № 9. - P. L09109.l-L09109.14.

33. Dorelli J. C. Effects of Hall electric fields on the saturation of forced antiparallel magnetic field merging // Phys. Plasmas. 2003. - Vol. 10. - № 8. - P. 3309-3314.

34. Dorelli J. G. and Birn J. Wistler-mediated magnetic reconnection in large systems: Magnetic flux pileup and the formation of thin current sheets //J. Geophys. Res.- 2003. Vol. 108. - № A3. - R 1133-1143.

35. Drake J.F., Swisdak M., Cattell G., Shay M.A.,Rogers B.N., and Zeiler A. Formation of electron holes and particle energization during magnetic reconnection // Science. 2003. Vol. 299. - P. 873-879.

36. Dungey J. W. Conditions for the occurence of electrical discharges in astrophysical systems // Phil. Mag. 1953. - Vol. 44. - P. 725-738.

37. Dungey J. W. Interplanetary magnetic field and the auroral zones // Phys. Rev. Lett. 1961. - Vol. 6. - P. 47-48.

38. Dungey J. W. Noise-free neutral sheet // International Workshop in Space Plasma: Proc. Paris: ESA SP-285, 1988. - Vol. 2. - P. 15-19.

39. Erkaev N. V., Semenov V.S., Jamitzky F. Reconnection rate for the inhomogeneous resistivity Petschek model // Phys. Rev. Lett. 2000. - Vol. 84. - № 7. - P. 1455.11455.8.

40. Erkaev N.V., Semenov V.S., Alexeev I.V., Biernat U.K. Rate of steady-state reconnection in an incompressible plasma // Phys. Plasmas. 2001. - Vol. 8. - 11.- P. 4800-4809.

41. Erkaev N. V., Semenov V.S., and Biernat H.K. Tvvo-dimensional MHD model of the reconnection diffusion region // Nonlinear Processes in Geophysics. 2002. -Vol. 9. - P. 131-138.

42. Fitzpatrick R. Scaling of forced magnetic reconnection in the Hall-magnetohydrodynamical Taylor problem // Phys. Plasmas. 2004. - Vol. 11. - № 8. - P. 3961-3968.

43. Furno I., Intrator T.P., Hemsing E. W., Hsu S.C., Abbate S., Ricci P., and Lapenta G. Coalescence of two magnetic flux ropes via collisional magnetic reconnection 11 Phys. Plasmas. 2005. - Vol. 12. - № 5. - P. 055702.1-055702.7.

44. Furth H.P., Killeen J., Rosenbluth M.N. Finite-resistivity instabilities of a sheet pinch 11 Phys. Fluids. 1963. - Vol. 6. - P. 459-464.

45. Giovanelli R.G. A theory of chromospheric flares // Nature. 1946. - Vol. 158. -P. 81-82.

46. Gosling J. T. Observations of Magnetic Reconnection in the Turbulent High-Speed Solar Wind // Astrophys. J. Lett. 2007. - Vol. 671. - P. L73-L76.

47. Gosling J.T., Asbridge J.R., Вате S.J., Feldman W.G., Paschmann G., Sckopke N. and Russell C.T. Evidence for quasi-stationary reconnection at the dayside magnetopause // J. Geophys. Res. 1982. - Vol. 87. - P. 2147-2158.

48. Gosling J.T., Birn J., Hesse M. Three-Dimensional Magnetic Reconnection and the Magnetic Topology of Coronal Mass Ejection Events // Geophys. Res. Lett. -1995. Vol. 22. - № 8. - P. 869-872.

49. Gosling J.T. and Szabo A. Bifurcated current sheets produced by magnetic reconnection in the solar wind // J. Geophys. Res. 2008. - Vol. 113. - Л* A10 - P. A10103.1-A10103.8.

50. Grad H. and Rubin H. Hydromagnetic Equilibria and Force-Free Fields // 2nd UN Conf. on the Peaceful Uses of Atomic Energy: Proc. Geneva: IAEA, 1958. - Vol. 31. - P. 190-197.

51. Grasso D., Porcelli F., and Califano F. Hamiltonian magnetic reconnection // Plasma Phys. Contr. Fusion. 1999. - Vol. 41. - P. 1497-1515.

52. Harris E. G. On a plasma sheet separating regions of oppositely directed magnetic field 11 Nuovo Cimento. 1962. - Vol. 23. - P. 115-121.

53. Hesse M., Kuznetsova M., Birn J. The role of electron heat-flux in guide-field magnetic reconnection 11 Phys. Plasmas. 2004. - Vol. 11. - P. 5387-5397.

54. Hesse M., Schindler K., Birn J., and Kuznetsova M. The diffusion region in colli-sionless magnetic reconnection // Phys. Plasmas. 1999. - Vol. 6. - P. 1781—1786.

55. Hesse M., and Winske D. Electron Dissipation in collisionless Magnetic Reconnection // J. Geophys. Res. 1998. - Vol. 103. - № All. - P. 26479-26486.

56. Heyn M.F., Pudovkin M.I. A time-dependent model of magnetic field annihilation // J. Plasma Phys. 1993. - Vol. 49(1). - P. 17-27.

57. Heyn M.F., Semenov V.S. Rapid reconnection in compressible plasma // Phys. Plasmas. 1996. - Vol. 3. - P. 2725-2741.

58. Hones E. W. Magnetic reconnection in space and laboratory plasmas. Washington: AGU, 1984. - 386 p.

59. Horiuchi R., and Sato T. Partical simulation study of collisionless driven reconnec-tion in a sheared magnetic field 11 Phys. Plasmas. 1997. - Vol. 4. - P. 277—289.

60. Hoshino M. Electron surfing acceleration in magnetic reconnection //J. Geophys. Res. 2005. - Vol. 110. - P. А10215.1-АЮ215.8.

61. Hoshino M., Mukai Т., Terasawa Т., and Shinohara I. Suprathermal electron acceleration in magnetic reconnection //J. Geophys. Res. 2001. - Vol. 106. - № All- P. 25979-25997.

62. Huba J.D., and Rudakov L.I. Hall magnetic reconnection rate // Phys. Rev. Lett.- 2004. Vol. 93. - № 17. - P. 175003-175013.

63. Jemella B.D., Drake J.F., and Shay M.A. Singular structure of magnetic islands resulting from reconnection // Phys. Plasmas. 2004. - Vol. 11. - № 12. - P. 5668-5672.

64. Jemella B.D., Shay M.A., Drake J.F., and Rogers B.N. Impact of frustrated singularities on magnetic island evolution // Phys. Rev. Lett. 2003. - Vol. 91. 12.- P. 125002-125005.

65. Karimabadi H., Krauss-Varban D., Omidi N., and Vu X. Magnetic structure of the reconnection layer and core field generation in plasmoids // J. Geophys. Res. -1999. Vol. 104. - P. 12313-12326.

66. Korovinskiy D.B., Semenov V.S., Erkaev N. V., Divin A. V., and Biernat H.K. The 2.5-D analytical model of steady-state Hall magnetic reconnection //J. Geophys. Res. 2008. - Vol. 113. - P. A04205.l-A04205.13.

67. Kuznetsova M., Hesse M., and Winske D. Kinetic Quasi-Viscous and Bulk Flow Inertia Effects in Collisionless Magnetotail Reconnection // J. Geophys. Res. 1998.- Vol. 103. J\> A1 - P. 199-213.

68. Laval G.R., Pellat R., and Vuillemin M. Instabilities electromagnetiques des plasmas sans collisions // Plasma Phys. Controlled Nucl. Fusion Res. 1966. - Vol. 2.- P. 259-265.

69. Lyons L.R., and Pridmore-Brown D. C. Force balance near an X line in collisionless plasma I j J. Geophys. Res. 1990. - Vol. 95. - Л* A12. - P. 20903-20909.

70. Ma Z. V., and Bhattacharjee A. Fast impulsive reconnection and current sheet intensification due to electron pressure gradients in semi-collisional plasmas // Geophys. Res. Lett. 1996. - Vol. 23. - № 13. - P. 1673-1676.

71. Malyshkin L.M. Model of Hall reconnection // Phys. Rev. Lett. 2008. - Vol. 101.- P. 225001.1-225001.4.

72. Mandt M.E., Denton R.E., Drake J.F. Transition to Whistler Mediated Magnetic Reconnection // Geophys. Res. Lett. 1994. - Vol. 21. - № 1. - P. 73-76.

73. Melrose D.B. Instabilities in space and laboratory plasmas. Cambridge: Cambridge University Press, 1989. - 280 p.

74. Morales L.F., Dasso S., Gomez D.O., and Mininni P. Hall effect on magnetic reconnection at the Earth's magnetopause 11 JASTP. 2005. - Vol. 67. - P. 18211826.

75. Mozer F., Bale S.D., and Phan T.D. Evidence of diffusion regions in a subsolar magnetopause crossing // Phys. Rev. Lett. 2002. - Vol. 89. - ДЬ1. - P. 015002.1015002.4.

76. Nagai Т., Fujimoto M. The Hall Current System for Magnetic Reconnection in the Magnetotail // Particle Acceleration in Astrophysical Plasmas: Geospace and Beyond / Ed. by D.L. Gallagher. Washington: AGU Geophysical Monograph, 2005. - P. 149-160.

77. Nagai Т., Shinohara /., Fujimoto M., Machida S., Nakamura R., Saito Y. and Mukai T. Structure of the Hall current system in the vicinity of the magnetic reconnection site // J. Geophys. Res. 2003. - Vol. 108. - Л» A10. - P. 1357.11357.8.

78. Qieroset M., Phan T.D., Fujimoto M., Lin R.P., and Lepping R.P. In situ detection of collisionless reconnection in the Earth's magnetotail // Nature. 2001. - Vol. 412. - P. 414-417.

79. Parker E.N. Sweet's mechanism for merging magnetic fields in conducting fluids // J. Geophys. Res. 1957. - Vol. 62. - № 4. - P. 509-520.

80. Parker E.N. Cosmical Magnetic Fields: Their Origin and Their Activity. Oxford: Clarendon press, 1979. - 858 p.

81. Petschek H.E. Magnetic field annihilation // Physics of solar flares / Ed. by W.N. Hess Washington: NASA SP-50, 1964. - PP. 425-439.

82. Porcelli F., Borgogno D., Galifano F., Ottaviani M., Grasso D., and Pegoraro F. Recent advances in collisionless magnetic reconnection // Plasma Phys. Contr. Fusion. 2002. - Vol. 44. - P. B389-B405.

83. Priest E.R., Forbes T.G. New models for fast steady-state magnetic reconnection // J.Geophys. Res. 1986. - Vol. 91. - P. 5579-5588.

84. Priest E.R., Lee L. G. Nonlinear magnetic reconnection models with separatrix jets // J. Plasma Phys. 1990. - Vol. 44. - P. 337-360.

85. Pritchett P.L. Collisionless magnetic reconnection in a three-dimensional open system // J. Geophys. Res. 2001. - Vol. 106. - № All. - P. 25961-25977.

86. Pritchett P.L. Geospace environmental modeling magnetic reconnection challenge: simulations with a full particle electromagnetic code //J. Geophys. Res. 2001. -Vol. 106. - N A3. - P. 3783-3798.

87. Pritchett, P.L., and Goroniti F. V. Three-dimensional collisionless magnetic reconnection in the presence of a guide field // J. Geophys. Res. 2004. - Vol. 109. -№ 1. - P. A01220.l-A01220.17.

88. Ren Y., Yamada M., Gerhard S., Ji H., Kulsrud R., and Kuritsyn A. Experimental verification of the hall effect during magnetic reconnection in a laboratory plasma 11 Phys. Rev. Lett. 2005. - Vol. 95. - № 5. - P. 005003.1-005003.4.

89. Ricci P., Lapenta G., and Brackbill J.U. Gem reconnection challenge: Implicit kinetic simulations with the physical mass ratio // Geophys. Res. Lett. 2002. -Vol. 29. - № 23. - P. 2088-2094.

90. Rijnbeek R.P., Semenov V.S. Features of Petschek-type reconnection model // Trends Geophys. Res. 1993. - Vol. 2. - P. 247-268.

91. Rogers B.N., Denton R.E., Drake J.F., and Shay M.A. Role of dispersive waves in collisionless magnetic reconnection // Phys. Rev. Lett. 2001. - Vol. 87. - № 19. -P. 195004.1-195004.4.

92. Runov A., Nakamura R., Baumjohann W., Zhang T.L., Volwerk M., Eichelberger H.-U. and Balogh A. Cluster observation of a bifurcated current sheet // Geophys. Res. Lett. 2003. - Vol. 30. - № 2. - P. 1036.1-1036.8.

93. Sazhin S. Whistler-mode Waves in a Hot Plasma. Cambridge: Cambridge University Press, 1993. - 259 p.

94. Schindler К Physics of Space Plasma Activity. Cambridge: Cambridge University Press, 2007. - 508 p.

95. Schmitz H. and Grauer R. Kinetic Vlasov simulations of collisionless magnetic reconnection // Phys. plasmas. 2006. - Vol. 13. - № 9. - P. 092309.1-092309.9.

96. Scholer M. Undriven reconnection in an isolated current sheet //J. Geophys. Res.- 1989. Vol. 94. - P. 8805-8812.

97. Scudder J.D., Mozer F.S., Maynard N.G., and Russel C.T. Fingerprints of collisionless reconnection at the separator, I, Ambipolar-Hall signatures //J. Geophys. Res. 2002. - Vol. 107. - № A10. - P. 1294-1307.

98. Semenov V.S., Drobysh O.A., Heyn M.F. Analysis of time-dependent reconnection in compressible plasmas // Л. Geophys. Res. 1998. - Vol. 103. - P. 11863-11873.

99. Semenov V.S., Heyn M.F. and Ivanov I.B. Magnetic reconnection with space and time varying reconnection rates in a compressible plasma // Physics of plasmas. -2004. Vol. 11. - P. 62-70.

100. Semenov V., Korovinskiy D., Divin A., Erkaev N., and Biernat H. Collisionless magnetic reconnection: analytical model and PIC simulation comparison // Ann. Geophys. 2009. - Vol. 27. - P. 905—911.

101. Semenov V.S., Kubyshkin I.V., Heyn M.F., Biernat H.K. Field-line reconnection in the 2D asymmetric case // J. Plasma Phys. 1983. - Vol. 30. - P. 321-344.

102. Semenov V.S., Kubyshkin I. V., Rijnbeek R.P. and Biernat H.K. Analytical Theory of Unsteady Petschek-type Reconnection // Physics of Magnetic Reconnection in High-Temperature Plasmas / Ed. by M. Ugai. Trivandrum: Research Signpost, 2004. - P. 35-68.

103. Sergeev V.A., Semenov V.S., Sidneva M.V. Impulsive reconnection during sub-storm expansion // Planet. Space Science. 1987, Vol. 35. - P. 1199-1212.

104. Shafranov V.D. Plasma equilibrium in a magnetic field // Reviews of Plasma Physics. New York: Consultants Bureau, 1966. - Vol. 2. - P. 103-107.

105. Shaikhislamov I.F. Collapse of the neutral current sheet and reconnection at micro-scales // J. Plasma Phys. 2008. - Vol. 74(2). - P. 215-232.

106. Shay M.A., and Drake J.F. The role of electron dissipation on the rate of colli-sionless magnetic reconnection // Geophys. Res. Lett. 1998. - Vol. 25. - № 20 -P. 3759-3762.

107. Shay M.A., Drake J.F., Denton R.E., Biskamp D. Structure of the dissipation region during collisionless magnetic reconnection // J. Geophys. Res. 1998. - Vol. 103. - № A5 - P. 9165-9176.

108. Shay M.A., Drake J.F., Rogers B.N., and Denton R.E. The scaling of collisionless magnetic reconnection for large systems // Geophys. Res. Lett. 1999. - Vol. 26. - № 14. - P. 2163-2166.

109. Shay M.A., Drake J.F., Rogers B.N., and Denton R.E. . Alfvenic collisionless reconnection and the Hall term // J. Geophys. Res. 2001. - Vol. 106. - № A3 - P. 3759-3772.

110. Shay M.A., Drake J.F., Swisdak M. Two-scale structure of the electron dissipation region during collisionless magnetic reconnection // Phys. Rev. Lett. 2007. - Vol. 99. - P. 155002.1-155002.4.

111. Simakov A.N. and Chacon Quantitative analytical model for magnetic reconnection in Hall magnetohydrodynamics // Phys. Plasmas. 2009. - Vol. 16. - P. 055701.1-055701.10.

112. Sobolev S.L. et al. Partial Differential Equations of Mathematical Physics / E.R. Dawson, T.A.A. Broadbent. New York: Dover, 1989. - 427 p.

113. Sonnerup B. U. 6. Magnetic field reconnection in highly conducting incompressible fluid 11 J. Plasma Phys. 1970. - Vol. 4. - P. 161-173.

114. Sonnerup B.U.6. Magnetic field reconnection // Solar System Plasma Physics / Eds. L.J. Lan/erotti, C.F. Kennel, and E.N. Parker. Amsterdam: North-Holland Publishing Co., 1979. - Vol. 3. - P. 45-108.

115. Sweet P. A. The neutral point theory of solar flares // Electromagnetic phenomena in cosmical physics: Proc. from IAU Symposium N 6 / Ed. by B. Lehnert. -Cambridge: Cambridge University Press, 1958. P. 123-134.

116. Terasawa T. Hall current effect on tearing mode instability // Geophys. Res. Lett. 1983. - Vol. 10. - P. 475-478.

117. Treumann R.A. Resistive scales for collisionless reconnection in space plasma // http: arXiv : 0902.0123т; 1 2009. - P. 1-5.

118. Trintchonk F., Yamada M., Ji H., Kulsrud R.M., and Carter T.A. Measurement of the transverse spitzer resistivity during collisional magnetic reconnection // Phys. Plasmas. 2003. - Vol. 10. - Л* 1. - P. 319-322.

119. Tsiklauri D. A new fast reconnection model in a collisionless regime // http: arXiv.org/abs/0808.Q143v5. 2008. - P. 1-7.

120. Ugai M. MHD simulations of fast reconnection spontaneously developing in a current sheet // Сотр. Phys. Commun. 1988. - Vol. 49. - P. 185-192.

121. Ugai M. Computer studies on development of the fast reconnection mechanism for different resistivity models // Phys. Fluids. 1992. - Vol. 4. - № 9. - P. 2953—2963.

122. Ugai M. Computer studies on the spontaneous fast reconnection model as a nonlinear instability // Phys. Plasmas. 1999. - Vol. 6. - № 5. - P. 1522-1531.

123. Ugai M., Tsuda T. Magnetic field-line reconnection by localized enhancement of resistivity // J. Plasma Phys. 1979. - Vol. 21. - P. 459-473.

124. Uzdensky D.A., and Kulsrud R.M. Two-dimensinal numerical simulation of the resistive reconnection layer // Phys. Plasmas. 2000. - Vol. 7. - № 10. - P. 40184030.

125. Uzdensky D.A., and Kulsrud R.M. Physical origin of the quadrupole out-of-plane magnetic field in Hall-magnetohydrodynamics reconnection // Phys. Plasmas. -2006. Vol. 13. - № 6. - P. 062305.1-062305.14.

126. Vasyliunas V.M. Theoretical models of magnetic field line merging // Rev. Geophys. Space Sc. 1975. - Vol. 13. - P. 303-317.

127. Wang X., Bhattacharjee A., and Ma Z.W. Collisionless reconnection: Effects of Hall current and electron pressure gradient // J. Geophys. Res. 2000. - Vol. 105. - JS'« A2. - P. 27633-27648.

128. Wang X., Bhattacharjee A., and Ma Z. W. Scaling of collisionless forced reconnection // Phys. Rev. Lett. 2001. - Vol. 87. - P. 265003.1-265003.4.

129. Watson P.G., and Porcelli F. Exact steady state reconnection solutions in weakly collisional plasmas // Astrophys. J. 2004. - № 617. - P. 1353-1360.

130. Yamada M., Ren Y., Ji II., Breslau J., Gerhardt S., Kulsrud R., Kuritsyn A. Experimental study of two-fluid effects on magnetic reconnection in a laboratory plasma with variable collisionality // Phys. Plasmas. 2006. - Vol. 13. -P. 052119.1-052119.13.

131. Yang H.A., Jin S.P., and Zhou G.C. Density depletion and Hall effect in magnetid reconnection // J. Geophys. Res. 2006. - Vol. 111. - P. A11223.1-A11223.15.

132. Zeiler D., Biskamp D., Drake J.F., Rogers B.N., Shay M.A., and Scholer M. Three-dimensional particle simulations of collisionless magnetic reconnection //J. Geophys. Res. 2002. - Vol. 107. - № A9. - P. 1230.1-1230.9.

133. Zelenyi L., Artemyev A., Malova H., and Popov V. Marginal stability of thin current sheets in the Earth's magnetotail //J. Atmos. Solar-Terr. Phys. 2008. -Vol. 70. - P. 325-333.

134. Zelenyi L.M., Artemyev A. V., Petrukovich A.A., Nakamura R., Maloval H. V., and Popov V. Y. Low frequency eigenmodes of thin anisotropic current sheets and Cluster observations // Ann. Geophys. -2009. Vol 27. - P. 861—868.