Аналитическая структура на полиномиально выпуклых оболочках тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

им

го

СП

СП

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

л ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

£)

1Г>

На правах рукопису

ЩЕРБИНА Микола Васильович

АНАЛІТИЧНА СТРУКТУРА НА ПОЛІНОМІАЛЬНО ОПУКЛИХ ОБОЛОНКАХ

01.01.01 — математичний аналіз

АВТОРЕФЕРАТ дисертації на одобуття наукового ступеня доктора фіоико-математи'шнх наук

КяТв — 1990

Дисертацією є рукопис.

Роботу виконано в Інституті математики НАН України.

Офіційні опоненти: доктор фіоико-математичних наук,

професор РОНКІН Л.І., доктор фіоико-математичних наук БОНДАР А.В.,

доктор фіоико-математичних наук ІВАПІКОВИЧ С.М.

Провідна установу: Математичний інститут

їм. В.А. Стєклова РАН

І 0 ЛЇ/У/ТЛ/Л

Захист відбудеться ч~іг - 1996 р. о їх год.

на засіданні спеціалізованої ради^Ц D16.50.01 при Інституті математики НАН України оа адресою:

252601 Київ-4, ГСП, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці інституту. Автореферат розіслано р.

Вчений секретар спеціалізованої ради

ГУСАК Д.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Результати, подані у дисертації, стосуються, насамперед, геометричних проблем багатовимірного комплексного аналізу. Головні питання роботи такі: інтегрування негладких розподілів, опис

структури поліноміальних оболонок компактних підмно-жин у С", проблема Діріхле для Леві-плоских поверхонь, питання плюригармонічної інтерполяції. Наведені проблеми важливі не тільки у багатовимірному комплексному аналізі, але й в інших напрямах математики (геометрія, теорія наближень, теорія рівномірних алгебр, контактна і симплектична геометрія та ін.), і протягом багатьох років привертають увагу багатьох вчених у нашій країні і о а кордоном.

Одним з головних об’єктів дослідження у дисертації є поліноміальні оболонки А компактних підмножин К у Сп. Поняття поліноміальної оболонки є класичним у багатовимірному комплексному аналізі і відіграє важливу роль у питаннях рівномірних поліноміальних наближень і теорії рівномірних алгебр. У той же час про структуру пошкоміальїшх оболонок відомо дуже мало. Наприклад, навіть у проблемі існування аналітичної структури на додатковій оболонці К \ К компакту К у Сп відповідь відома тільки для деяких спеціальних типів комнактів К. Як показав у 1963 р. Г. Штольценберг, відповіді» у цій проблемі взагалі негативна. Однак в деяких випадках існування аналітичної структури на додатковій оболонці, незважаючи на складність, можна довести. Так, Р. Вапенпр знайшов умови на відповідні функціональні Прос+ори на

компакті К у які гарантують існування аналітичної структури на множині К \ К.

Серед геометричних результатів відзначимо результати Д. Вермера, Г. Штольценберга і Г. Александера про поліноміальні оболонки кривих у Сп. Вони, як показав Г. Штольценберг, відіграють важливу роль у питаннях рівномірних наближень на гладких кривих.

У випадку, коли множина К є многовидом вимірності більше 1, систематичне вивчення структури множини К було розпочато у піонерській роботі €. Бішопа у 1965 р. Він, зокрема, показав, що в окопі еліптичної точки мно-говиду К множина К містить однопараметричну сім’ю аналітичних дисків з границею на К, яка стягується до цієї точки. Метод вивчення оболонок, що запропонував Вішоп, був заснований на дослідженні оператора Гільберта у відповідних функціональних просторах і на наступній побудові за його допомогою зазначених дисків. Ідеї Бішопа були пізніше значно розвинуті у роботах С.Д. Хілла і Г. Таіані, А. Боджеса, А. Боджеса і Д.Полкінга, С.Є. Кеніга і С.М. Вебстера, А. Боджеса і Д. Піттса, 10.В. Хурумова, А.Є. Туманова і багатьох інших. В той •ж. час опис структури всієї оболонки К (глобальний, а не локк.а.шш, як у теоремі Бішопа) являє собою більш важку проблему. Тому відомо не так багато типів компактів К, для яких одержано повний опис поліноміальної оболонки К. ,

Цериіим типом компактів К, для яких одержано повний опис оболонки К, е спеціальні двовимірні тори у С2. У цьому випадку, як показали Г. Александер і Вермер, Ф. Форстнерич, 3. Слодковський, множина К е повно-торієм, який розшарований на аналітичні диски з грани-

з

цею на К. Зазначимо, що ці результати онайшли цікаві застосування у проблемі про корону.

Наступним типом хомпактів, для яких опис погіномі-альної оболонки викликає значну зацікавленість, є випадок поверхонь або навіть просто сфер Б2 у С2. Важливі результати опису поліноміальних оболонок таких компактів були одержані у роботах Е. Бедфорда і Б. Гаво, Е. Бедфорда і В. Клінгенберга, Н.Г. Кружиліна, Я. Еліашберга. Ці результати застосовуються у комплексному аналізі та інших галузях математики. Наприклад, вони булл використані X. Хойфером для доведення гіпотези Вайнстайна про існування періодичних орбіт для векторних полів Ріба на тривимірних многовидах, а у роботі О.Г. Єрошкіна ці результати застосовані для вивчення топології краю аналітичних множин.

' Зазначимо, нарешті, використання оболонок у важливих роботах Д.Е. Форнесса і Н. Сибоні з багатовимірної комплексної динаміки і в роботах Ж. Дюваля і Я. Еліашберга з симплектичної геометрії.

Мета роботи — вивчити структуру поліноміальної оболонки негладжої двовимірної сфери у С2, розв’язати задачу Діріхле для Леві-плоских гіперповерхонь у С2 з границею на заданій двовимірній поверхні, дослідити проблему плюриґармонічної інтерполяції о гладких кривих, використовуючи структуру поліноміальних оболонок них кривих.

Загальна методика дослідження. У дисертації використані методи комплексного аналізу, диференціальної геометрії, теорії особливостей, контактної геометрії.

Наукова новизна. У дисертації одержані наступні нові результати:

1. Вивчено проблему інтегрування негладких рооігоділіп

і показано її використання до аналізу Леві-плоских поверхонь. '

2. Побудовано приклад двох псевдоопуклих областей у С2 із спільною межею, що не має аналітичних під-множин.

3. Вирішено проблему Пфлюга про проекції псевдоопук-лих областей.

4. Досліджено структуру поліноміальної оболонки ие-гладкої двовимірної сфери у С2.

5. Побудовано приклад двох псевдоопуклих областей, нероздільних Леві-плоского гіперповерхнею.

6. Розв'язано проблему Діріхле для Леві-плоских поверхонь над обмеженими областями уСхК. -

7. Вирішено проблему Бруни-Ортеги-Верндтссона про число перешкод при пяюригармонічнш інтерполяції о гладких кривих. •

Практична і теоретична цінність. Одержані у дисертації результати мають теоретичне значення. Доведений у роботі критерій інтегрування негладких розподілів може бути використаний в аналізі рівнянь в частинних похідних з негладкою правою частиною та при дослідженні комплексних рівнянь Монжа-Ампера. Результати щодо поліноміальних оболонок двовимірних сфер у С2 і розв’язання задачі Діріхле для Леві-плоских поверхонь над областями у € х К використовуються для опису топологічних ознак аналітичних множин і при аналізі- геометричних ознак псевдоопуклих областей. Результати щодо

плюригармонічної інтерполяції можна використовувати у контактній і симплектичній геометрії.

Апробація роботи. Основні результати дисертації обговорювались на семінарах з комплексного аналізу механіко-математичного факультету Московського університету, Інституту математики НАН України у Києві та Математичного інституту ім. В. А. Стєклова АН Росії у Москві. За матеріалами, викладеними у дисертаціі, дисертант мав лекції на запрошення у міжнародних конференціях з комплексного аналізу в Люміні (Марсель, Франція) у 1992 р., з теорії потенціалу у Монреалі (Канада) у 1993 р., на іспансько-французькій конференції у Гарреваге (Іспанія) у 1993 р., на французько-алжирській конференції в Люміні (Марсель, Франція) у 1994 р., на конференціях з комплексного аналізу в Ліллє (Франція) у 1995 р. і в Пізє (Італія) у 1996 р. Ці результати також доповідались на семінарах з комплексного аналізу в університетах Ред-жайни, Торонто, Кінгстона, Квебека, Лондона (Онтаріо) і Монреаля у Канаді, Енн-Арбора (проф. Форнаесс) і Блюмінгтона (проф. Бедфорд) в США, в Автономному університеті Барселони в Іспанії, університетах Вупперталя (проф. Дидрих), Бонна, Берліна, Бохума і Вехти п Німеччині, в університетах Парижа (проф. Дольбо, Лє-лонг, Хенкин), Орсей (проф. Сібоні), Марселя, Гренобля, Бордо, ТУлузи і Пуатьє у Франції, Стокгольма, Гетеборга (проф. Берндтссон), Упсали і Умеа в Швеції, в університеті Тор-Вергата (Рим) і Скуопе Нормале Оуперноре (Піза) в Італії.

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в роботах [1*—10].

Об’єм і структура роботи. Дисертацій викладена

б

на 219 сторінках і складається із вступу, п’яти глав і списку літератури, який містить 94 найменування.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

У вступі викладається мотивація і короткий огляд робіт з поліномі альних оболонок і наводяться основні задачі, що розглядаються у дисертації. Тут же дається коротке викладення основних результатів дисертації.

Першу главу дисертації присвячено доведенню теореми 1, яка дає необхідні і достатні умови існування інтегральної поверхні для неперервного поля гіперплощин у К“, а також деяким застосуванням цієї теореми при побудові шарувань на аналітичні криві для б^-гладких гіперповер-хонь у С2. Наведемо формулювання теореми 1.

Нехай Тх — неперервне поле гіперплощин у Кп таке, що кут між базисним вектором е„ і площинами Тх відокремлений від нуля. Розглянемо довільну точку Хо Єї". Нехай /у — деяка замкнена ламана у площині Тх0 о початком і кінцем у точці Хо. Через кожну точку ламаної Ь проведемо пряму, паралельну вектору еп. На одержаному двовимірному циліндрі поле площин Тх висікає деяке кусково-неперервне векторне поле к і- Згідно о теоремою Пеано, існує інтегральна траєкторія 7^° (можливо, не єдина) векторного поля кс о початком у точці Хо і кінцем в деякій точці Х\. Криву 7*° будемо наоивати підняттям ламаної X вздовж поля площин Тх у точці А'о. Якщо точки Хо і Х\ збігаються, то криву 7^° будемо називати замкненим підняттям ламаної Ь. ■

Теорема 1. Нехай Тх — неперервне поле гіперплощин

в Кп таке, що кут між базисним вектором еп і площинами Тх відокремлений від нуля. Через точку Хо Є Кп можна провести інтегральну поверхню С^х0 для поля площин Тх тоді і тільки тоді, коли для будь-якої замкненої ламаної Ь С Тх0 з початком і кіпцем в точці Хо існує замкнене підняття у*0 вздовж поля площин Тх.

Зазначимо, що у випадку, коли поле гіперплощин Тх гладко залежить від точки Xумова, наведена у теоремі 1, еквівалентна класичній умові Фробеніуса в термінах дужок Лі векторних полів, що породжують поле Тх-

Використання локального варіанту теореми 1 (теорема

2) до розподілу комплексних дотичних площин для С1-гладкої гіперповерхні в С2 дозволяє довести наступний наслідок цієї теореми.

Наслідок 1. Нехай С1 -гладка гіперповерхнж ІА в С2 локально поділяє С2 на дві псевдоопуклі області. Тоді 14 розшаровується на аналітичні криві біля кожної своєї точки.

Зазначимо, що аналітичність вказаних кривих випливає з теореми Зоммера, згідно з якого 2/:-вимірна С^-гладка поверхня М в Сп е комплексно-аналітичною поверхнею, якщо для будь-якої точки X Є М дотична площина Тх М буде А;-вимірною комплексною площиною.

Наведемо ще один наслідок теореми 1.

Наслідок 2. Нехай область голоморфності О С С2 мас Сг-гладку границю і замикання області О має базу зі штєйнівських околів. Тоді пастка границі області І), яка с доповненням до границі Шилова розшарову-

ється на аналітичні криві біля кожної точки.

Доречно спробувати довести твердження наслідку 1, якщо відмовитись взагалі від гладкості поверхні Н. її нп-

раї'рафах 1 і 2 другої глави побудовано приклад, який показує, що в загальному випадку це неможливо. А саме, побудовано множину Е0 в С2, яка є загальною границею двох областей голоморфності, котрі не мають аналітичних під-множин. Техніка, використана при побудові прикладу, буде корисною не тільки в цій задачі. Зокрема, за допомогою цієї техніки було вирішено одну о проблем Пфпюга. Пфлюг побудував приклад області голоморфності в С3, проекція якої на С2 не є областю голоморфності. В параграфі 3 другої глави доведено наступне загальне твердження: будь-яка обмежена область в С" є проекцією деякої обмеженої області голоморфності, що знаходиться в <СП+1. В четвертому параграфі вивчаються монотонні сім’ї областей голоморфності. При цьому доводиться аналог наслідку 2 без припущення щодо бази зі штейнівських околів.

Третя глава вміщує найбільш важливі результати дисертації.

Розглянемо строго опуклу обмежену область О в <С* х С С^(гу = и -Ь ги), неперервну функцію <р : дй —* —> К„, а також її графік •

Г(^) = {(^ію) € дй х Жи : V = <р(г,и)}.

Тоді поліноміальна оболонка Г(<р) множини Г(^) є графіком Г(Ф) деякої неперервної функції Ф : Є —* (див. нижче теорему 3). Головне питання, яке вивчається в третій главі — це питання про існування аналітичної структури на множині Г(Ф) \ Г(у?) в загальній ситуації, без будь-яких додаткових умов на область Є і функції і Ф. Доведено, що множина Г(Ф) \ Г(^) розшаровується на аналітичні диски, а також вивчено властивості цього шарування (див. теорему 4).

Введемо деякі позначення, необхідні для формулювання результатів третьої глави: />(•, •) — стандартна евклідова метрика в <2.„ ; І — діаметр області Є] ^(Г(іг')) — опукла оболонка множини Г(<^>); VI — опукла функція на замкненій області <7, яка задає нижню частішу множини дК(Г(</?)) відносно координати і>; для кожного р > 0, и>Де, ф) — модуль неперервності функції Ф на області

Ср = {РєО:р(Р,дО)>р}; ' ,

и(в, У_) — модуль неперервності функції V. па області (7.

Перший параграф третьої глави присвячено доведенню наступного результату. ,,

Теорема 3. Нехай (7 — обмежена строго опукла область в Сг X і у : дЄ —► — довільна, неперервна

функція. Тоді існує неперервна функція Ф : О —► така, що Г(у?) = Г(Ф) і, ще більше, для модуля неперервності функції Ф справедлива наступна оцінка:

шр{є, Ф) <2- тах \ір\ +ш И.)

для всіх додатних р і є.

Головним результатом третьої глави є Теорема 4. Нехай (7 — обмежена строго опукла область в С2 X і <р : дО —» — довільна неперервна

функція. Тоді мають місце наступні властивості множини Г(у>):

(i) Множина Т(у) \ Г(</>) є диз ’юпктнчм об'єднанням сім’ї аналітичних дисків {А>}.

(ii) Для кожного значення параметра а існують од)ш-зв'язпа область Па С С- і голоморфна функція

= /Д2)* задана па області Па, такі, що диск Ц* є графіком функції /а.

(Ні) Для кожної функції $а існує продовження /* Є С(Гїа) і, ще більше, границя диска Д*

дЮа = {(г,и;) Є сШа х Сш : у; = Іа(г)} знаходиться у заданій множині Г(^).

(м) Для кожної області Па відповідна множина С2 \ ЇІа 36 ’язна. ■

Дяіг кожної області їіа відповідна множина д£Іа \ \дЯа не є об’єднанням скінченного або зліченного числа зв ’язних компонент.

Доведенню цієї теореми присвячено другий, третій і четвертий параграфи третьої глави.

З результатів Александера і Слодковського-Томассіні (див. також лему 3.1.3 у дисертації) випливає, що множина Г(Ф) є поліноміальною оболонкою множини Г(Ф) П П(0С? X Жц) тоді і тільки тоді, коли поверхня Г(Ф) поділяє область С х ]К„ на дві псевдоопуклі області. Звідси маємо наступний наслідок теореми 4.

Наслідок 3. Нехай Є — обмежена строго опукла область вС^хІїи і Ф : (3 —> — неперервна функція така,

що її графік Г(Ф) поділяє область С? х К„ кв дві псевдоопуклі області. Тоді множина Г(Ф)П ((? х К„) є об’єднанням ''диз’юнктної сім.’г аналітичних дисків.

Легко бачити, що наслідок 3 є посиленням наслідку 1 на випадок неперервних гіперповерхонь в С2. Цікаво також порівняти наслідок 3 з прикладом, який побудовано в параграфах 1 і 2 другої глави.

Твердження (у) теореми 4 залишає наступне питання відкритим:

Чи може множина д$Іа\дПа бути непорожньою, а овід-си і об’єднанням незліченної сім’ї ов’яоних компонент? Відповідь на це питання виявилася несподіваною. Вона дається у наступній теоремі, доведеній у п’ятому параграфі третьої глави.

Теорема 5. Нехай О — обмежена строго опукла область в Сг х Е, з гладкою границею. Тоді існує неперервна функція ер : дй —* К„ і аналітичний диск Оа із згаданої вище сім’ї дисків {Д,} такі, що відповідна множина, д$Іа \ дПа с непорожньою.

В останньому шостому параграфі третьої глави вивчається можливість поділу двох неперетшших псевдо-опуклих областей плоскою по Леві гіперповерхнею. А саме, використовуючи результати другого параграфа третьої глави, там наводиться приклад, що дає відповідь на наступну проблему:

Нехай (7 — деяка область в С (ю — и + ги) і </?_(£,м) < <р+(г,и) — гладкі на (7 функції. Припустимо також, що області

//_ = {(г,и;) ЄбхЕ:и< ір„{г,и)}

і

#4 = {(г,го) € <7 X К : и > </>+(г,и)}

псевдоопуклі. Чи завжди існує гладка на <7 функція <^_ < < <р < у>+ така, що гіперповерхня V = у(г, и) буде плоскою по Леві?

Постановка цієї проблеми викликана роботами Александера, і Вермера. де подібні питання вивчались для ви

иадку ’’дійсної ковимірності 2”. Негативну відповідь на цю проблему дає наступна

Теорема 6. Покладемо Є — А х (—1,1), де А — одиничний диск о €г, і

^) = ±тах{-ІІ+іі„|2±І|}.

Тоді відповідні області Н~ і #+ с псевдоопуклими, але не існує гладкої на області Є функції < <р < такої, що поверхня V = ц>(г, и), яка поділяє області Н_ і Н+, с плоскою по Леві.

Четверта глава дисертації є продовженням третьої глави і присвячена вивченню умов на область С? (більш слабких, ніж строга опуклість), які гарантують ті ж властивості оболонки множини Г(у), що і в теоремі 4. Це питання досить щільно пов'язане з описом областей Є С С Сг х_Ми, для яких напівтрубчата область С С2„, є

псевдоопуклою. Проблема характеризації таких областей цікава таїож сама по собі. Тому у дисертації вона розглядається в загальній ситуації, коли С? — область в М х К, де М — многовид Штейна.

Позначимо через тг природну проекцію (г,«) —* г з М х К в М і введемо поняття ” накриваючої моделі” Я області (3 над М для факторпростору, одержаного о С? факторизацією щодо еквівалентності: (г\ и') ~ (г", и"), якщо г' = г" і всі точки + (1 — і)и"), 0 < і < 1,

вміщуються у (?. Розглянемо на 9 фактор-топологію (в загальному випадку нехаусдорфову), індуковану топологією області С?. Проекція я' простору б на множині я-((?), індукована відображенням 7Г, є відкритим відображенням і має не більше зліченного числа листів. Припускаючи, що 7г' : 0 —> 7г(С) е локальним гомеоморфізмом (це деяка

умова на G), можна вшзначнтн на Q структуру комплексного многовиду, а саме, структуру ріманової області над М з голоморфною проекцією 7г'.

Границя області G відносно проекції ж має дві природні частини: d+G складається о верхніх кінців максимальних інтервалів у напрямку и (від —оо до +оо в К), що знаходяться в G; і d~G складається о нижніх кінців таких інтервалів. Якщо простір Q є областю над М, то множини d±G, очевидно, є графіками над Q напівнеперервних знизу і зверху функцій відповідно. .

В першому параграфі четвертої глави міститься повна характериоація областей G С Лі xS таких, що G х R є псевдоопуклою підобластю простору МхС. Цю характе-риоацію дає наступна

Теорема 7. Нехай G — область у просторі MxR, де М — мпоговид НГтейна. Напівтрубчаста область G X xR у просторі МхС с псевдоопуклою тоді і тільки тоді, коли виконуються наступні умови:

(a) Накриваюча модель Q області G є областю над Л4 і ця область є псевдоопуклою.

(b) Множини d~G г d+G с графіками над Q плюрисуб-гармонічног і плюрисупергармонічної функцій відповідно.

Зазначимо, що для областей G з гладкою границею умови (а) і (Ь) теореми 7 можна записати у термінах стандартних визначальних функцій.

Топологічна структура описаних вище напівтрубчас-тих псевдоопуклих областей G xR може бути досить складною навіть у випадку М — С\ Так, у твердженні 4.1.1

показано, що довільний скінченний 1-вимірний граф, вкладений в С х R (зокрема, довільний вуоол в R3), ізотопний дифеоморфному ретракту деякої області G С С х 1 такої, що відповідна напівтрубчаста область G х R С С2 е псевдоопуклою.

Як зазначено вище, псевдоопуклість області G х xR суттєво пов'язана оі структурою оболонок графіків над dG відносно алгебри A(G х R) функцій, голоморфних в G х R і неперервних на G х R. При цьому, як показано у прикладах Ахерна і Рудіна, ситуація з оболонками у випадку dim М>1е значно складнішою. Тому в четвертій главі розглядається тільки випадок двовимірних графіків, а саме, многовид М є некомпактною рімановою поверхнею (або просто площиною С).

У другому параграфі четвертої глави показано, що для будь-якої області G СС С х R такої, що область G х R не є псевдоопуклою, існує гладка функція ер на dG така, що оболонка Г(у) в<?ХІ графіка Г (ф) : v — <p(z, и) над dG містить Леві-плоску гіперповерхню в G хШ, яка не є графіком над G (тобто неоднолиста). І, навіть більше, існує гладка функція така, що Г(у>) містить непорожню відкриту підмноашну області G х М. Таким чином, умова нсєвдоопуклостіобласті GxRв МхС (a dim М. = 1) е необхідним припущенням для одержання хорошої структури оболонок графіків над 8G.

Необхідно також припустити деякі умови регулярності для області G. Будемо називати G регулярною областю в М х R, якщо виконуються наступні дві умови:

(а) Накриваюча модель 0 області G е областю над М

і, ще більше, ця область є відносно компактною під-областю з локально жордановою границею в деякій

ширшій області над Лі.

(Ь) Існує є > 0 таке, що для кожної точки 2 € тг(б') мінімальна відстань між двома ріоними максимальними інтервалами в я-1^) П <3 не менша, ніж є.

Параграфи З-б четвертої глави присвячено доведенню наступної теореми, яка описує структуру оболонок Г(</з) у випадку, коли область (7хКс псевдоопуклою і функція ір є неперервною.

Теорема 8. Нехай — регулярна область в Лі хК, де Лі — некомпактна рімапова поверхня. Припустимо, що функції і —Н+ неперервні па Я, неперервні по Гельдеру і субгармонійні, але ніде негармонійні на 0. Нехай кр — дійсна неперервна на дй функція і Г(<р) — її графік в дО х хК. Тоді:

1) оболопкаГ((р) множини Г(у>) відносно алгебри А(Єх ХІ&) є графіком Г(Ф) деякої функції Ф, неперервної па замкненій < області Є;

А

2) множина Г(«,о) \ Г(<р) локально розшаровується на аналітичні диски. •

Якщо, крім цього, область Є гомеоморфна 3-вимірній кулі, то:

3) множина Г(ір) \ Г(^) с диз’юнктним об’єднанням аналітичних дисків Ва;

4) для кожного значення параметра а ісмус одгіозв’яз-на область Па С 0 і голоморфна функція /0 на іїа такі, що диск Оа збігається з графіком /„ над Па.

Якщо, крім цього, Л_ = /г+ на границі 9, то для кожного значення параметра а маємо:

5) функція /о продовжується до функції /*, неперервної па замкненій області ІІа в 0, а графік /* наддіІа міститься в Г(у;) і збігається з границею дЕ)а — = І)а \ Ва диска Оа;

6) множина 9 \ иа пе містить зв’язних компонент, відносно компактних в 9.

Якщо, крім цього, функції Л* о д, де д — конформне відображення одиничного диска А С С на 9, є неперервними по Гельдеру на А, то для кожного значення параметра а маємо:

7) множина £іо, С..0 не обмежує жодної компоненти зв’язності множини 9 \ СІа;

8) множина д£Іа\д£Іа не с об'єднанням скінченної або зліченної сім’ї зв ’язних компонент.

Ця теорема має природний наслідок.

Наслідок А. Нехай Є — обмежена область вСхК така, що область 0 хЖ с строго псевдоопуклою. Припустимо, що (р — дійсна неперервна функція на дв і Г(у>) — її графік в 90 х К. Тоді

1) оболонка Т{ір) множини Т(у) відносно алгебри А(Сх

" хЕ) е графіком Г(Ф) деякої функції Ф, неперервної

па замкненій області О;

/Ч

2) множина Г(у>) \ Г(у) локально розгиаровуеться на ана ггтичні диски.

Зазначимо, що тверждення наслідку 4 нетривіальне навіть у випадку гладких функцій <р. Наприклад, якщо поверхня дЄ має позитивний рід, то поверхня Г(у>) може бути без еліптичних точок і тому метод Бішопа побудови аналітичних дисків о границеюна Г(<^) не використовується. Ще більше, у цьому випадку деякі аналітичні під-многовиди множини Г(</з) можуть бути навіть всюди щільними в Г(у) (див. приклад 4.5).

П’ята глава дисертації присвячена розв’язанню проблеми Вруїш і Ортеги про число перешкод при плюригар-монічній інтерполяції з кривих. У розв’язанні зазначеної проблеми головним е вивчення аналітичної структури по-ліноміальних оболонок даних кривих, а також деяких заданих на них функціональних алгебр. Наведемо постановку цієї проблеми, а також сформулюємо відповідний результат.

Нехай 0 — обмежена строго псевдоопукла область класу С°° в С2 і 7 — гладка замкнена крива без самопере-тинів на границі дП області П. Позначимо через РЯ°°(!Ті) простір всіх дійснозначних функцій класу С°° на ії, плюри-гармонічних на 12. Позначимо також через РН^(СІ) простір всіх обмежень на 7 функцій о PH°°(Гі). В роботах Вруни і Ортеги було показано, що якщо область Л є кулею, то простір РЯ“ (Ї2) є замкненим підпростором у просторі С°°(7) всіх гладких функцій на кривій 7 і, ще більше, має в цьому просторі скінченну ковимірність. їх метод доведення мав на меті побудову спеціального інтегрального оператора з С°°(у) в РН^(П) і наступне використання альтернативи Фредгольма і не дозволяв одержати оцінки, на цю ковимірність в термінах геометричних властивостей кривої 7. Тому Бруной і Ортегой, а пізніше Бруной

і Берндтссоном, була поставлена проблема знаходження зазначеної ковимірності в термінах кривої 7.

Зазначимо, що якщо крива у пояіноміаяьно опукла, тобто якщо 7 = 7, то, як показують результати Штоль-ценберга, дійсні частки голоморфних поліномів щільні у просторі С°°(7). Тому вміщуючий їх простір РЯ“(&) також щільний в С°°(7). А значить, виходячи з замкненості РЯ“(Г2) в С°°(7), оа теоремою Бруни і Ортеги (у випадку, коли область Гі є кулею), одержуємо, що РЯ~(Ї2) збігається з усім простором С'°°(7). Звідси випливає, що єдиним цікавим випадком у проблемі Вруни-Ортеги є випадок, коли крива 7 має нетривіальну оболонку, тобто 7 \ 7 ф 0. В цьому випадку, оа теоремою Штольценберга, множина у\у є одновимірною аналітичною множиною. Ще більше, оа теоремою Чирки, множина 7 є гладкою біля дії. і трансверсальною до дії. Зокрема, вона може мати лише скінченне число особливих точок. Нагадаємо тепер визначення числа Мілнора аналітичної множини в його особливій точці.

Визначення. Числом Мілнора аналітичної множини гт) — 0} б його особливій точці Р називається перше число Бетті перетину маленької кулі В$(Р) з центром є точці Р і иео'собливог аналітичної кривої з рівнянням /(21,22) — 2 для досить малих Ь.

Зазначимо, що це число співпадає о кратністю Кривої {/(«Зг*2) = 0} у точці Р.

Головним результатом п’ятої глави є

Теорема 9. Нехай О — обмежена строго псевдо-опукла однозь ’язна область класу С°° в С2 і Е — зв 'язна аналітична множина, власним чином вкладена в П, класу С00 біля дП і трансеерсальна до д$1. Припустимо,

ЩО Рі, Р2, -- особливі точки множини Е І //1,^2, •••

...,ддг — числа Мілнора множини Е в цих точках. Тоді простір РНд£{$1) є замкненим підпростором простору

_ N _

С°°(дЕ) ковиміриості 1 — х(^) + ^е х(Е) — ей-

і=і _________

жрова характеристика аналітичної множили Е.

Для формулювання розв’язку проблеми Бруни-Ор-теги необхідно дати визначення індексу Веннекена для зачеплення. Нагадаємо, що зачепленням на границі дВ одиничної кулі В в С2 називається скінченне число орієнтованих вкладених в дВ кіл, які не мають попарних перетинів. Нехай у — зачеплення в дВ, трансверсальне розподілу (Тр'(сШ)} комплексних дотичних площин до дВ. Визначимо орієнтацію с?В, як границі кулі В із звичайною орієнтацією, визначеною комплексною структурою. Розглянемо векторне поле v{z■^,z2) — (23,— 2і) на дВ. Оскільки вектор и(гь 22) ортогональний векторам (лі, г2) і (121,122), то він належить комплексному дотичному простору Т^ ^(дВ) в точці (21,22) € дВ. Оскільки зачеплення

7 трансверсальне розподілу {Т^ т^(дВ)}, то зачеплення 7', що одержано з у малим зсувом у напрямку векторного поля и(2і, 22), не буде перетинатися з зачепленням у. За теоремою Зейферта, кожне зачеплення в дВ є орієнтованою границею компактної орієнтованої поверхні, вкладеної в дВ. Тому можна визначити індекс зачеплення І (у) для зачеплень 7 і у', як алгебраїчну суму індексів перетину у' з поверхнею Зейферта для у. Зазначимо, що це число не залежить від вибору комплексного дотичного векторного поля і) і поверхні Зейферта. Число 1(у) називається індексом Веннекена зачеплення 7.

Повертаючись до проблеми Вруни-Ортеги, зазначимо,

що о розглянутої вище трансверсальності поліноміальної оболонки 7 до поверхні дП випливає, що крива 7 сама трансвєрсальна розподілу комплексних дотич-

них до дВ. Таким чином, визначаючи орієнтацію кривої

7, як границі аналітичної множини 7 \ 7, можна визначити індекс Беннекена 1(7) кривої 7. Це дозволяє сформулювати розв’язання проблеми Вруни-Ортеги у вигляді наступного твердження.

Теорема 10. Нехай 7 — проста замкнена крива класу С°° на границі дВ одиничної кулі В в С2. Тоді ко вимірність РН^(В) в С°°{7) дорівнює нулю, якщо крива 7 поліноміальио опукла, і дорівнює 1 + /(7), якщо крива 7 не є поліпоміальпо опуклою.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ

1. Отримані необхідні та достатні умови існування інтегральної поверхні для неперервного поля гінерпло-щіін в Е".

2. Побудована множина в С2, яка є спільною межею двох областей голоморфно сті і не містить аналітичних підмножин.

3. Доведено, що будь-яка обмежена область в С" є проекцією деякої обмеженої області голоморфності із

Сп+\ '

4. Досліджена структура поліноміальної оболонки не-гладкої двовимірної сфери в С2.

5. Вивчено питання про поділ двох непсевдоопуклих областей плоскою за Леві гіперповерхнею.

6. Розв’язано проблему Діріхле для Леві-плоских поверхонь лад обмеженими областями вСхі.

7. Дано рішення проблеми Бруни-Ортеги-Берядтссона про число перешкод при плюригармонічній інтерполяції з гладких кривих.

Основні результати дисертації опубліковані в наступних роботах: .

1. Щербина И.В. О непрерывности одпопараметрических семейств множеств ]/ Докл. АН СССР. — 1977. — 234,

№■ 2. — С.327-329.

2. Щербина П.В. Форма Леви для С'-гладких гиперповерхностей и комплексная структура на границе областей голоморфности // Иов. АН СССР. Сер. мат. — 1981. — 45, N- 4. — С.874-895.

3. Щербина К.В. О расслоении общей границы двух областей голоморфности на аналитические кривые // Иов. АН СССР. Сер. мат. — 1982. — 46, N2- 5. — C.11CG-1123.

4. Щербина И.В., Кружили» Н.Г. Некоторые примеры областей голоморфности бео аналитической структуры на границе // Докл. АН СССР. — 1982. — 267, №• 1. — С.42-45.

5. Щербина її.В. Пример двух псевдовыпуклых областей, не разделимых плоской по Леви гиперповерхностью // Мат. оа-меткп. — 1989. —45, N2-2. — С.129-133.

<#*і2

6. Щербина И.В. О полиномиальной оболочке, вложенной в С сферы // Мат. оаметки. — 1991. — 49, N- 1. — С.127-134.

7. Щербина Н.В. О полиномиальной оболочке двумерной сферы в С2 // Докл. АН СССР. — 1991. — 317. — С. 1315-1319.

8. Shcherbina N. V. On the Polynomial Hull of a Graph // Indiana Univ. Math. J. — 1993. — 42. — P.477-503.

9. Shcherbina N. V. Traces of pluriharmonic functions on the boundaries of analytic varieties // Math. Z. — 1993. — 213. — P.171-177.

10. Shcherbina N.V., Chirka E.M. Pseudoconvexity of Rigid Domains and Foliations of Hulls of Graphs // Ann. Scula Sup. Norm. Pisa Cl. Sci. — 1995. — XXI, N 4. — P.707-735.

Щербина Н.В. Аналитическая структура на полиномиально выпуклых ободочках.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.01.01 — математический анализ, Институт математики НАН Украины, Киев, 1996.

Защищается 10 научных работ, которые содержат теоретические исследования в области многомерного комплексного анализа. Изучен вопрос существования аналитической структуры на полиномиальной оболочке двумерных поверхностей в С2. Решена задача Дирихле для Леви-готоских поверхностей над областями в С х 1. Изучен вопрос плюригармонической интерполяции с гладких кривых и решена проблема Бруны-Ортеги-Берндтссона о числе препятствий при плюригармонической интерполяции.

Shcherbina N.V. Analytic structure on the polynomial hulls.

Doctor of Science Thesis (Physics and Mathematics), specialization — 01.01.01 — mathematical analysis, Institute of Mathematics, NAS of Ukraine, Kyiv, 1996.

10 scientific papers containing theoretical studies in several complex variables are defended. The problem of existence of the analytic structure on the polynomial hull of twodimensional surfaces in C2 is studied. The Dirichlet problem for the Levi-flat surfaces over domains in C x R is solved. The problem of the pluriharmonic interpolation from smooth