Аналитические и приближенные методы решения задач сближения-уклонения в дифференциальных играх тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ



/ /!

.ОРДЕНОВ ЛЕВИНА И ДРУЖШ НАРОДОВ АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНСКОЙ ССР ^^ ОРДЕНА. ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ*

На правах рукописи

ОСТАПЕНКО Валентин Владимирович

УДК 518.9

АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ СБЛИЖЕНШ-УКЛОНЕНШ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ИГРАХ

- ¿от т

01.01.02 - Дифференциальные уравнения и математическая физика

Автореферат

диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Киев - 1987

Работа выполнена в Институте кибернетики им. В.Ы.Глушкова Академии наук Украинской ССР.

Официальные оппоненты : член-корреспондент АН УССР,

доктор физико-математических наук

САМОЙДЕНКО A.M.,

доктор физико-математических наук ГРИГОРШКО Н.Л.,

доктор физико-математических наук СОДТАН В.П.

Ведущая организация : Институт математики и механики

Уральского отделения АН СССР,

Защита диссертации соотоится "_" 198

в_часов на заседании специализированного совета Д 016.50,

при Институте математики АН УССР по адресу: 252601 Киев 4 ,ГО1, ул.Репина,3.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

Автореферат разослан " . "_198 г

Учений секретарь специализированного совета

ЛУЧКА. А.С

... ; ОВЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТ!!

,-. i

:£1£]^1Атуальность тем1.. Теория даф£вракцшш>1шх игр является значительной составной ча< -„-ью современной математической теории управления дацашгческнии скстемама. В рашсах ДЕффзреыциадъннх игр рассматриваются задачи достижения днязущег^ся объект а или уклонения от него, задачи управления траекторией динш.:ичзской системы в условиях неопределенности иди ups налачнп пшох, другие конфликтные задачи динашки. Вакяость дашшх. проблем обусдовила быстрое развитие теории дифференциальных игр. ДафференщальЕне игры изучалась в работах рада советских и зарубежных авторов: Л.С.Понтрягина, Н.Н.Красовского, Е.Ф.Мищенко, Н.Л.Григоренно, П.Б.Гусятшшова, А.В.Кряншлского, А,Б.Курганского, !,5.С.Никольского, Ю.С.Осппова, Л.А.Петрссяиа, В.С.Полошякшш, Б.Н.Ишеничного, Н.Сатимова, А.И.Субботина, В.В.Третьякова, А.ПЛенцова, Ф.лЛерноусько, А.АЛнкрия, Р.Айзекса, Л.Еерковща, А.Фридмана и др. Благодаря проведенным исследованиям заложен фундамент теории дифференциальных игр, описана их структура, определены основнш пути и подходи к решению возникающих здесь проблем.

В настоящей диссертации рассматриваются задачи сближения-уклонения. Под их решением, как правило,понимаются:

1 )описание множества начальных позиций ( возможно не всех), из которых тот или иной игрок может закончить игру в свою пользу;

2 )построение стратегий игроков, которые гарантируют им выигрыш.

В ряде разработанных Теорий искомые множества описываются с помощью альтернированного интеграла Л.С.ПонтрягинаШонтрягин it.С Линейные дифференциальные игры преследования //(Лат. сб.,нов.сер.. - 1980.- 112, JS 3. - С.307-330),стабильных постов Н.Н.Красовского (Красовский H.H..Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. - М.: Наука, 1974. - 456 с. ), операторных конструкций Б.И.Пше ничного(Пшеничный Б.Н. Структура дифференциальных игр //Докл. АН СССР,- 1969. - 184, № 2. - С.285-287.). Все эти объекты, не -смотря на различия формализации игры, имеют одинакового природу, исходные принципы построения и кладутся в основу посгроения стратегий игроков.

В общем случае данные объекты содержат неконструктивные элементы, что затрудняет их непосредственное применение к решению практических задач. Поэтому актуальными являются исследования, направленные на создание специальных методов, применимых для решения определенных классов дифференциальных игр. В основу многих таких исследований может быть положен тот факт, что основные операторы, ошсыващие структуру дифференциальной игры, представимы в виде предела некоторой направленности более просто устроенных операторов. Поэтому один из подходов к решению дифференциальных игр состоит в отыскании как можно более широких классов игр, для которых основной оператор совпадает со своим допредельным аналоге»!. В этом случае основной оператор описывается в достаточно явном аналитическом виде. Другой подход основан на приближенном описании основных операторов и позволяет решать дифференциальные игры с любой наперед заданной точностью. Здесь важную роль играют вопросы сходимости и оценки близости точного и приближенного решений. Значительный интерес представляет подход к решению дифференциальной игры убегания,.впервые сформулированный в работе; Понтрягин Л.С., Мшценко Е.Ф. Задача об убегании одного управляемого объекта от другого //Докл. АН СССР. - 1969.- 189. ^ 4, - С.721-723 . Согласно этому подходу игра ведется за убегающего игрока, который стремится избежать поимки из любой начальной позиции для всех

Ьъ-О • Поставленная задача убегания носит в определенном смысле локальный характер, что Дозволяет применять .известные метода математического и функционального анализа для получения-содержательных результатов. Тема настоящей диссертации непосредственно примыкает к описанным исследованиям и .следовательно, является актуальной. 1 \

Цель работы состоит в развитии эффективзых-методов теории дифферешшаяьных игр на основе создания аппарата интегрирования многозначных отображений специального вида, изучения обобщений понятия выпуклости и разработки обобщенных маневров уклонений, а такш в применении эффективных методов,для решения прикладных задач динамики.

Общая методика исследования основывается на операторном подходе Б.Н.Пшеничпого к описанию структуры дифференциальных игр сбдяЕштл-уклонештя, на постановке й.С.Понтрягина и Е.Ф.Мищенко

задача убегания, на применении выпуклого и функционального анализа и аппарата дафферешшальншс уравнений к игровым задачам.

Научная новизна. X. С поглодаю понятая Н ~ выпуклости описаны существенно нов:;? широкие классы лпне&шх игр, дан которых возмоано применение аналитических, методов решения задач сближения-уклонения, которые позволяют в достаточно явном виде представлять мнозества начальных позиций, благоприятных для того или иного игрока, и строить простые конструктивные стратегии.

2. Введен« и наследованы новые классы таено с тв и функций: множества с условием телесности, почтл выпуклые множества ,• почт выпуклые функции. В терминах условия телесности обоснована возможность пршвненвя приближенных методов в общем нелинейной случае. Использование понятая почти выпуклости позволило получить оценку скорости сходимости, известную ранее в линейной случае, для определенного класса нелинейных игр.

3. Для решения задачи убегания разработаны обобщенные манев ры "уклонения" и "разгона" и получены достаточные условия убегания для новых классов автономных дифференциальных игр, игр с запаздывающим аргументом, игр без дискриминации догоняющего игро ка.

4. В приложении к диссертации для практической задача водо--распределения разработан метод, позволяющий управлять оросительной системой в различных информационных условиях.

Теоретическая и практическая ценность. Работа является составной частью широкой программы научных исследований, ведущихся в отдела вычислительных методов Института кибернетики имени В.М.Глушкова АН УССР по темам: "Исследовать и разработать методы анализа свойств многозначных отобраяений применительно к задачам математического программирования и теории управления при неполной информации" и "Разработать методы исследования моделей управляемы« объектов в конфликтных ситуациях".

Результаты диссертационной работы могут быть применены при решении конфликтных задач динамики, при проектировании и эксплуатации технических систем. Приложение к диссертации содержит основные результаты по научно исследовательской разработке "Раз

работать вторую очередь АСУ Бортнической оросительной системы", выполненной в отделе вычислительных методов ИК АН УССР,

Апробация работы.Основные результаты диссертационной работы докладывались на III Республиканском симпозиуме по дифференциальным и интегральным уравнениям /Одесса, 1982/,на 17 Всесоюзной конференции по оптимальному управлению в механических системах /Москва, 1982/, на IX Всесоюзном совещании по проблемам управления /Ереван, 1983/, на I Международной конференции "Стохастическая оптимизация " /Киев,1984/, а также на научных семинарах в Математическом институте имени В.А.Стеклова АН СССР, Институте математики и механики УО АН СССР, Институте кибернетики имени В.М.Глушкова АН УССР, Институте математики АН УССР, Московском госуниверситете, Ленинградском госункворситете, Кишиневском госуниверситете, Ташкентском госуниверситете.

Результаты , изложенные в приложении к диссертации, докладывались на I Республиканской конференции по повышении надежности и долговечности машин и сооружений /Киев,1982/, на УШ Республиканской ыежвузовой конференции по математике и механике /Алма-Ата, 1984/, на Всесоюзной научно-технической конференции "Моделирование - 85, теория, средства, пршенение"/Киев,1985/, а такке на семинарах в УкрИИИгидротехники и мелиорации Манводхоза СССР, -Институте кибернетики имени В.М.Глушкова АН УССР, Институте математики АН УССР.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в работах [I-I7] , результаты приложения отражены вf 18-24] .

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, приложения, состоящего из двух глав, и списка ли-• тературы. Общий объем работы-281 е., список цитированной литературы - 149.наименований.

СОДЕНШШ РАБОТЫ

Во введетш дается краткое описание оряовяых направлений развития аналитических и приблиаенннх методов в теории дифференциальных игр и излагается; содержание диссертационной работы.

В первых трех главах рассматриваются две задачи сближения ~ уклонения. В одной из них игрок Р (догоняющий ) стремится вывести траекторию динамической система на терминальное множество М не позднее некоторого фиксированного момента Ь , в другой игрок Р стремится попасть на М точно в момент £ . При этом траектория системы до попадания на М долкна оставаться во множества фазовых ограничений Д/ . Цели игрока В ( убегающего ) -противоположны.

Первая глава диссертации является вводной. В не^ дано описание £ - стратегий и операторных конструкций Б.Н.Пвеничаого. Излокение основано на понятии сходимости направленностей замкнутых множеств, что позволило упростить построение основных операторов к убрать ряд технических деталей при доказательстве их овойств.

Рассмотрим динамическую систему, которая описывается дифференциальным уравнением

где 2 е 2 , ие (Ж, \p-eV ; • 2 - конечномерное евндидо-вое пространство, Ц и V - компакты в конечномерных евклидовых пространствах. Параметрами К я распоряжаются соответственно игроки Р и Е . Под допустимыми управлениями игроков Р и Е будем понимать измеримые функции МСТ) и У-('С) со значениями в Ы и V . Относительно функции f и множеств и и V предполагаем следующее:

I) -Р ( 2, и, ) - непрерывна по совокупности переменных и удовлетворяет условию Липшица по 2 на любом компакте (в главе III - дважды непрерывно дифференцируема по 2 );

2 ) существует константа С такая, что для всех Н е £ ,

и е (Л , V? е V/

1< иу) >1 « С (/ ^ нън1 ) ;

3 )ШОЕООТБО выпукло для всех г е 2 , VeV ,

Терминальное множество Д"} е мнояество фазовых ограничений N предполагаются затиснутыми поданояествами пространства Z , причем M сД' .

Опишем стратегии игроков и ход игры.

Определение I.Стратегией игрока Р будет,î называть отобра-кение Гр С ' j V^C» ), £) . ставящее в соответствие каздой

точке с Z, £> > , числу Г > <7 и допустимому управлению игрока Е V1 Cr) , T е [0, £) » допустимое управление игрока Р

= Гр (г ; VC-

oui®деленное ва ,[0} f)

Определение 2. Под. стратегией игрока £ будем понимать пару объектов: разбиение CJ> - [Zo-0 s ï{ <... s f^ i...} полуоси [О, oo) точка!,m f- , не имеющими конечных точек сгущения отображение Q (• ; ъ, L ) » ставящее в соответствие каздой точке г? ' и целому числу / > С? допустимое управление игрока £

vct) = ге ; H,/ ) ,

определенное на интервале [О, с; ) , где = Z^ - . Если игра заведомо закончится к моменту t < оэ , то разбиение полуоси новно загаенить конечнш разбиением отрезка [ О, t}

Определен®! I и 2 несколько отличаются от определений работы: Пиеяичный Б.Н. Структура дифференциальных игр //Доел. АН СССР,-1969. - 184, ß 2. - С.285-2а7 . Это обстоятельство кэ оказывает существенного влияния на описание структуры игры. Поэтому оггре-ттггеняне вше стратегии будем также называть 8 - стратегиями. В ходе игры игрок £ , находясь в момент в точке

V- , Екбпраег управление

я Ге (С- ; гг , te ff

а игрок Р- ~ управление

UCU-- Гр (г-î/ ;

Пусть 2fî) -траектория, соответствующая и (Т) и Vit) с нзяз'тшм условием 2 (Т{ ) — ï-L .Поскольку функция 2 fî > улоадетворчот условию Липшица, ее можно непрерывно продолжить

на отрезок [Т; > ] я определить точку - Z(Ti4) . В мо-

мент Ti+i описанный выше процесс выбора управлений повторяется

Определение 3. Через Т£ ( Р£ У , £ ^ О » обозначил оператор, который стаздт в соответствие замкнутому множеству М множество Т? М ■ С М ) всех точек 2 таких, что для любого допустимого управления \> (Т) существует допустимое управление И et) такое, что соответствующая траектория HOt) с началом в Z попадет на AI не позднее, чем за время £ (точно в момент £ ). Полоним

Tv,iM = (TeM)(l/VРМ)£м =(P£M)HN.

Пусть со = {* Т0 - 0 $ Tt ?K~t] - разбиение интервала

[0,t] . Обозначим

где S; = ,

Определение 4. f М =/О * Р М = /И Р" М

<v,i OJ V ' N,t и N ' Отметим важный факт, что направленность £ -р10 д^ • w ]

замкнутых шогеств сходится в определенной топологии к множеству

Т , /Ч . Аналогично Г Pw /Ч • lo 1 сходится к Р, , М .

Л/, х л/ ' Ы, г

Сформулируем один из основных результатов теории дифференциальных игр в £ - стратегиях.

Теорема I. Существует с - стратегия игрока Р такая, что если н0 е f^ t Л1 ( гё £ Рм t М ) . то для соответствующей траектории Н Cr) с началом в "20 выполняются включения: 2(t,) <s AI для некоторого t^ s t и В (г) £ (V дмя всех Те [О, (г(£)е/Ч и i(t)e/V для всех

T6[0,tl \

2. Существует £ -^стратегия игрока Е такая, что если ё f^ t М <, * Рл, М ) ,то для соответствующей траектории'с началом в Y.3 'выполняется: либо 2 (tr) 'ё Д/ для некоторого ¿[Ot{ J , либо с I'] дая всех

Т. t [ 0, t] (либо г (t,)i/V для некоторого t^tiOAi либо 2(i) ё"Л1 ).

В следующих двух главах дается достаточно конструктивное описание множеств Тд, М и Р^ М и соответствующих £ - стратегий игрокоь-. '*

Во второй главе разработана группа аналитических методов, объединенных общим названием - метод Н - выпуклых множеств и направленных на решение линейных дифференциальных игр.

В § I рассмотрены вопросы интегрирования многозначных отображений специального вида.

Пусть X ~ свпарабельнов банахово пространство; С СО 1 Те [О, I] , - семейство линейных ограниченных операторов, действующих из X в X » интегрируемое по Бохнеру.

Перенесем определение Н - выпуклого множества (Болтянский В.Г., Солган П.С. Комбинаторная геометрия и классы выпуклости// Успеха мат. наук,- 1978.-33, № I.- С.3-42) на скучай банахова пространства. в

Определение 5. Пусть Н с { X • НХ*Н~{] . Н - выпук-чвм полупространством называется полупространство вида £ х £ X :

< х,х*> $ с } , где х*е Н , с - число. Множество на-зивется Н - выпуклым, если оно представида в виде пересечения И - выпуклых полупространств.

Обозначим через Н множество единичных векторов х*£ X , не обязательно всех, для которых выполняются условия :

а) С*сг)х" = X а /X") X* для любого Те [0,Ц * где N(т I х*) _ число ;

б) при каадом фиксированном х* функция X ( - | X*) не пеняет знак для всех Г е [ 0, t] .

Теорема 2. Пусть М - Н - выпуклое множество, ХС%) , 5 с [0, и - интегрируемая функция со значениями в X . Тог-

тя, если для каждого £ е [ о I] выполняется включение

£ •

1 ССг) <кг Х£$> е М, ш

0

1

\ С (г) хи) ¿с е Н .

о

Теорема 3. Пусть выполняются условия теоремы 2 и 0 € [Л Тогда из включения (I) следует для любого в б [0, £} . включение е

$ С (г) к (г) Л? £ М .

о

Следствие I. Пуста М - Н - выпуклое шонесзво и для множества V с X выполняется включение

£ Г Сг) с(г У С М . о

Тогда £

] С СТ) 1л/с(г Л1

0

Если к тому же 0 £ М , то для любого В ¿10,11

€

{ С Сх)У ¿х с М .

Обозначил С ^ ^ С (г), с^Т,

Следствие 2. Бели Л1} ~ И - выпуклое множество и оператор С имеет обратный,то

1 Сет) Маг = Г/Ч . (2> о

Теорема 4. Пусть X - конечномерное енклидовое пространство, М - Н - выпуклое компактное множество. Тогда выполняется (2). В теоремах 2 и 3 область интегрирования в формуле (I) не зависит от 5 . Рассмотрим случай такой зависимости. Обозначим через Н° множество единичных векторов х *е X » Д®1 которых выполняются условия :

а) С" (П X* = X (Т) X* дга любого Те [О, I] ;

б) числовая функция X (Т) не зависит от х* и но меняет знак для всех Т 6 [0, ¡П

Теорема 5. Пусть х (5 ) , ь е 10^] , - интегрируемая функция со значениями в X ; ) $ е [0,11 - интегрируемая

числовая функция; М ~ Н° ~ выпуклое множество. Еоли для каждого 5 € [О, I ] е{\ Ф р 2 выполняются включения ;

О ' 0Ы

и г с (ем-т ха) еМ,

о

то существует такое е [0,(1 , что

ь

) С Г ) X (ri.lt 6 М .

о

V.ели к тому же 0 е Л1 ,то. для любого СО £ [0,{<]

Со

]" с (о --С) х (т) Лг о

В изложенных выше результатах функция Л (• I X* ) не меняет знак яа [0, ¡! ] . Рассмотрим случай,когда это возможно. Пусть

¿о = С Т0 - О конечное разбиение интервала /"0, ^

Обозначим через Н^ множество единичных векгоров х*еХ* , для которых выполняются условия : •

а) с* (г) X* = X (Т I х*) к* ДЛЯ всех Те CO.il ;

б) при любом х* числовая функция А (т) не меняет знак на каждом интервале [ > ) , I ~ 0,... , уу-1

Обозначим Т/

С; = I С(Т)ЫТ , ,

и предположим, что" операторы имеит обратные.

Теорема 6. Пусть М - Н^ - выпуклое множество ; Х^^,...,^-), ^ Ь ]= 1 > ^> интегрируеше по со-

вокупности переменных функции со значениями в X . Тогда, если для любых 6 Гт, Т;) / = !,...

2Г (Г/ Х/С^...^) 6 М,

то < = 1

5 СМ хсх)<Яг ¿м

о

гле при 5 е С )

к^С^)..: [(Г^^)*/^.....

Ь §5 2,3 изложенные в теоремах 2-6 результаты применяются в г.онечномерных играх с нефиксированным и фиксированным временем (копчаншп.

Пусть 2 . /._, евкдидовые пространства, А'и*$ ¿.¡к 2 ; ч' - / 2 Тс ■ г? " зш^те отображения.

Динамика игры описывается уравнением

н = А г + у&(иу),

где А - линейный оператор, £? • Ы- * V -» Ь -непрерывное отображение. Терминальное множество и множество фазовых ограничений задаются в виде • ,

; Я 2 е /м} , = [ге! : Ъ 2 С /у) ,

где М с N - замкнутые множества в I

Положим

Т*П=ГМ-Л_I { 2 б N. :

Ы'1 и, и 0*9^ и

о

А Т

Ст = ъе

Теорема 7. Пусть М - Н° - выпуклое множество. Тогда, если 20 е Т^ _1 М и А га е ч>1. , то существует отобра-

кение такое, что

а) для любого допустимого управления У('О игрока Е и*Ост">) является допустшшл управлением игрока Я ;

б) для траектории г ГС) с началом в Н0 , соответствующей управлениям. и„(^(Т)) и , существyeтtя£[Oft j такое, что 7£ ;

в) еслц к тому же /V - Н° ~ выпуклое множество, то 7г г (г) е N для всех ге[0,€*1 •

Теорема 8. Пусть либо множество В С 1Л, \>) выпукло для всех V и М,- Н° - выпукло, либо В ((Л ~ Н • шпукхо для всех \>б V . Тогда, если г0 ё ТЦ . А1 . то либо 7С Н0 ¿" Д' , либо существует такое ¿\/ что для траек-

тории 2 го с началом в 2„ »соответствующей произвольна^ допустимому управлении исп «урока Р и управлении 1»(г) 4 и игрока Е . вянолияетоя я: нсг) ё" М да всех Г с Ю. (/

Отметим, что описанные в теоремах 7,8 стратегии являются частным случаем £ - стратегий.

Следствие 3. Пусуь множества /Vj и /V - Н" ~ выпуклы, множество В (U,i>) - выпукло для всех VeV и АЦс^Ц, Тогда

Т Н = Т* М .

A/C(í L Л/,i

Следствие 3 является обобщением известного результата(Гусят-1шков П.Б., Половинкин Е.С. Простая квазилинейная задача преследования// Орикл. мат. и мех. , - IS80.-44, й 5. -С.771-782) в случае, когда Z = L , N - Z , 7í - у = Е

Полозом

= П (—i íieNL: T.eAii +

N»tV UéU

t ñn-f) AT

)7ce умг В(и,\>) бМ ] • Ctf)=7ze Y

с '

Теорема 9. Пусть М - Н - выпуклое множество. Тогда, если го б Pj i М • то существует отображение : V-*

такое, что

а) для любого допустимого управления игрока £

( \Kt)) является допустил управлением игрока Р ;

б) для соответствующей управлениям и^ (Vít-¡ у е V(г траектории 2 (т) с началом в 20 выполняется ТсгШбМ ;

в) если к тощ же /V - Н - выпуклое множество и /) н0 £ y/v то z ÍT) f N для всех t £ 10,1] ,

Теорема 10. Пусть B(U,v)~ И - выпуклое множество для всех V-1 V . Тогда, если z„ ё Р * ^ /Ч , то либо

V Л/ j

Я 7а ? Д/ ♦ либо существует такое V» «V ' « что для траектории г СП , соответствующей произвольному допустимому управлению u(t-) игрока Р и управлению ~ игрока £ , с началом в Z0 выполняется : 7ггс£)

Следствие 4. Пусть М , Л/ и 8(W,i») для любого

V - Н - выпуклые множества и либо /V- ¿ , либо

Е с v L . Тогда

Р м, = р' м I "л

Пусть СО ~ { Т0 = О < < ., , < = Ь } - разбиение

интервала С0,{] . Обозначим С Пг) - И и>

*

Су= [ С(Г)»(Г

и положим

Р* м = О и .. . м г г* 2 : 2 ,

■+Т С(- е«}.

1-1

Пусть. и(- С ),., , ) - некоторое отобракешга, действующее кз \/г в Ц такое, что для любых допустимых управлении

^(Я;) , £ [Т^^ /С; ) , фуНКЦИЯ ^...^^ИЗЫерШЭ

во совокупности переменных. Полоним

г(Ч , ?

= 5 с:1^^^... У >6 .....

-2 Со

* - л .

Можно показать, что уравнение

В(и,\Г{-) = х С^(■>,...,

имеет решение и *■ ( С),. • • , (•) ) с К . Таких решений ыиы,-г быть несколько. Считаем, что и*- - наименьшее из них в пенсии с графическом смысле.

Теорема II. Пусть М я &( Ы и) для любого Уе V - выпуклые ь^ояества и Еа е р^ А? . Тогда существуй^ «о ¿радения ; , I =» 1,,.., п , такие, что для любого

допустимого управления ^Сг) игрока £ справедливы следующие тве радения:

1) Функции и{- (\/( (^ \». ($ •)) измеримы но совокупности пе-репешшх для е (^ , ) .' ] = 1.....( . где У,- (^) ^ (s^) ,

^ с Ч ) • 1-1,..., и ;

2) если Ц*(- - отображения, построенные вше но охобра&е-ншш , то для траектории 2 с началом в 20 , соответствующей ущавленпям и (г') = и] ( ^с-), , с •) | V- (V))

V п , вшюлняется включение 91В({) еМ

Теорема 12. Пусть В (и у) - Н - випуклое множество для любого V £ V и 2 0 е Р(* А^ . Тогда существуют отображе-шш V*- ( и,(•),... , (• )) , I - 1л> п , которые ставят в соответствие каждому набору доиустших управлений игрока Р и^ (<; •) , Sj б 'с/) . некоторое значеште нз \/ »

такие, что для траектории Нес} с началом в н0 , соответствующей произвольному допустимому управлению и сг} игрока Р и управлению г) = V,-( и, }, ... , и^ Г •) ) , г е [ , Г,- ) ( и; (т^ = сл ¿г) , Т е С Т;.! Т.- > ) игрока Е выполняется: Ги В (О ¿М .

Следствие 5. Пусть А1 и В ( и, I?]- Н - выпуклые множества, тогда Мс = р\.

В четвертом параграфе результаты теореда 9 в случае, когда Тс и У - тождественные операторы, переносятся да игры в банаховом пространстве, что позволяет применять разработанный метод для решения игр, динамика которых описывается уравнением теплопроводности.

Область применения метода, изложенного в § I, не ограничивается рассмотренными задачами сближения-уклонения. Для иллюстрации возможности более широкого применения метода Н ~ выпуклых множеств в § 5 рассмотрены пгры с терминальной функцией платы.

В заключении второй главы, в § 6, приводятся примеры, в которых описаны классы игр, допускающие применение метода Н - выпукла множеств. Приведем некоторые из них.

Пример I. Пусть 7 = ^ , ^ ~ У ~ Р и Х - собственное число Д* , возможно равное нулю. Тогда в качестве Н° можно взягь тожество собственник единичных векторов, соответствующих X. Обозначим через Нл множество единичных собственных векторов А* , в том числе соответствующих нулевому значению. В качестве Н ио'ию взягь що,7.йстйо Нд • Условие А го е V вшолня-,чтоя автсстлтячосга! Л"я всех -г е 2

Пример 2. Динамика системы ошсыьаетсн уравнением х = 3 х < В С и, V) , л .

тогда 2=1*1 , /»=[<>£ ] ( ^ Г, [(Ц ,

где Е^ - единичная матрица, действующая в /_, . Пусть

Д - собственное число <5)" .В качестве /-/° можно вьать шозество единичных собственных векторов X* , соответствующих числу X . В качестве Н можно взять Н^,

Пршер 3. Динамика систеш описывается уравнением

х = ~<2)х + 6 Си^О , х еЬ. Тогда . /Г,4В, 0) , ■

Пусть X - собственное число <3)" и на интервале £ О, I ] функция (Л)-1 (/Хг) не меняет знак. В качестве НР модно взять множество единичных собственных векторов <£)* , соответствующих X . Пусть х*е - едишгашй собственный вектор <£)* с соответствующий собственным числом \ (х*) .В качестве Н мояно взять те единичные собственные векторы <£>" , для которых функция (/мх*))"1 У н ( Г)ф?) Т ) не меняет знак на [0,1] . Пусть > ) - \к . ~ собствен-ше числа оператора ¿2)* . Выберем разбиение со = [ Т0~ О < <. х1 < ... такое, что любая функция С ^Т.-) $ с/Г (7 - *С>) не меняет знак на каждом интервале [ с- ( ) ^. (= 1,,., ,п . В качестве Н" возьмем множество всех собственных векторов Л)* . Отметим, что множество /-/^ монет бить существенно шире множества Н , поскольку цослоднео нри больших Ь может быть пустим. Требуемое в теореме II условие существования С У выполняется, например, в случае, когда £) представит в виде диагональной матрицы.

Условие А н0 е в примерах2и3принимает вид

хсоь о .

Третья глава диссертации посвящена приближенным негодай а дшйереяциальных играх, их обоснованию а поиску услоьий.нри «о торых возможно их применение.

В определение основных операторов входит операция пересечения множеств, которая в общем случае не является "непрерывной". В линейной задаче с фиксированным временем окончания данная трудность преодо;.эвается за счет выпуклости и наличия непустой внутренности терминального множества. В нелинейных задачах, а в играх с нефиксированным временем окончания и в линейном случае, при различных преобразованиях выпуклость не сохраняется, но зато сохраняется некоторое свойство телесности, наличие которого ока-аывается достаточным для непрерывности операции пересечения. Кроме того, условие телесности, наложенное на терминальное множество и множество фазовых ограничений /V , позволяет показать, что небольшв изменения множеств М » А/ , а также областей управления Ц и V влекут за собой небольше изменения основных и аппроксимирующих операторов. Это дает возможность заменять в конкретных задачах данные множества множествами, имеющими более конструктивные описания.

Понятие выпуклости играет значительную роль в теории дифференциальных игр. В линейных играх с фиксированным временем окончания выпуклость терлинального множества позволяет оценить близость приближенного „ точного решения. В общем случае* как показано в диссертации, из выпуклости множеств М и /V следует, что аппроксимирующие операторы ®N (, и ^ приближают соответствующие оператора ^ 'и р^ ^ 'а точностью до .

U2 .Но уже множество Л1 а в нелинейном случае

и множество П„ ^ М не являются выпуклыми. Однако для некоторых классов игр указанные множества удовлетворяют условию почти выпуклости, которое также гарантирует оценку приближения с точностью до Uz . Поэтому для этих классов множеств Ты t fA л Рл, i М ' приближаются множествами . ©Д h М и П^М "" , ' , с точностью до h . Для оператора р указанные класса удается достаточно явно описать не только в линейном, но и в нелинейном случае.

Множества с условиями телесности и почти выпуклости вводятся г. изучаются в § 1 главы III. Опишем их основные свойства.

Будем предполагать, что множество Э М компактно» и обсзначкм $ - f не 2 : Я 2» * 1) » В (<=(, М)= ЭМ S,

' некоторая непрерывная функция, .

0$ со

Определение 6.Множеством удовлетворяет условию телесности с положительны!® константами ы. , cJ , г и функцией €j м , если для любого Ze W Ы, М )

К

Отметим, что выпуклое компактное множество М с непустой внутренностью удовлетворяет условию телесности с определенными константами. Кроме того, М удовлетворяет условию телесности, если оно является дополнением к выпуклому компактному множеству. Таким образом, класс множеств с условием телесности достаточно широк.

Лекш I. Пусть множество Л1 удовлетворяет условию: телесности с константами и функцией, указанными в определения 6. Тогда су-, ществуют такие положительные константы J.g , хд , £а , что для всех £ s множества М + £ S и AÍ — 2 S удовлетворяют условию телесности с константами , w , t0 и функциями + £ ^ , t н л. i £ » которые в области своего определения совпадают с функцией

Лемма 2. Пусть И удовлетворяет условию телесности. Тогда для любого £ s vhíki [мг J

~ j> (М ±zS) S i .

ЗдесьJ>(-, О - расстояние Хаусдорфа мезду множествами, — геометрическая разность : А — В = { г : ъ + В>сА}.

Леша 3. Пусть { ду } j е 3 } - семейство замкнутых множеств таких, что ЭМ| содержатся в некотором компакте К « существует константа d и непрерывная функция

е : (_) В U, М;) — 3 s

такие, что множества удовлетворяют условшо телесности с

указанными в определении 6 константами и функцией ^ Д(. (г) = С id),

ъ е Е> (ci., Mj) . Тогда существуют константы Нс >0 J а '¿0> О такие, что для i s f„

Г\ (ГА: S) С О Mj + Н0 eS .

Определение 7. Множество /Ч удовлетворяет условии почти выпуклости с константой '<£ ^ 0 , если для любых z(- и X ■ , и I таких, что <f М , Х£- 5: 0 , z > вы-

полняется <е1

c'ei

Лемма 4. Пусть Л1 удовлетворяет условию почти выпуклости с константой эе > 0 , m0 е Э М и шар S ( Z0, j>) , 0 < j> < касается множества М в точке . Проведем прямую через

точки т0 и Z0 , и пусть ^ - луч данной прямой с началом в , не содержащий точки тд ; - точка на такая,

чта (Г = // m0 - z* К * ^ . Тогда шар 5 ( Z* , (Г ) касается М в точке ги 0 ,

Следствие 6. Пусть множество Л1 удовлетворяет условию почти выпуклости с константой 3? . Тогда для любой точки те. существует шар радиуса —^ , который

касается М в точке им .

Отметим, что имеет место утверждение с точностью до константы, обратное ледае 4. Таким образом, свойство, сформулированное в леше 4, является определяющим для почти выпуклых множеств.

Следствие 7. Пусть Ъ А1 - дваады непрерывно дифференцируемое многообразие размерности dim И - { • Тогда - почти выпуклое множество.

Леша 5. Пусть J3 ( "Z ) - множество всех точек из Л1 ,ближайших к z • удовлетворяет условию почти выпук-

лости с константой эе и f . Тогда на множестве

М + t отображение (if?) является однозначным и удовлетворяет условию Липшица с константой j +- j 6 £эе

Дета в. Пусть множество удовлетворяет условию почти выпуклости с константой с£ . Тогда для любого £ ^ мно-

жество М + £ £ удовлетворяет условию почти выпуклости с константой 9 з?

Леша 7. Пусть множество А1 удовлетворяет условиям телесности и почти выпуклости. Тогда существуют константы 2а >0 и

зг0 такие, что для любого £ 5 £0 множество М — е 3 удовлетворяет условию почти выпуклости с константой эг0 .

Лемма 8. Пусть множество М удовлетворяет условию почти выпуклости с константой зе . Тогда для любых £ £ ? , ,

= /ч -ь Г В .

В § 2 изучаются свойства аппроксимирующих операторов &£ и Пки , где

I_) 2+ « Л1 } ,

V? ^ V иеЦ

ПЬМ - О I_/ { : е + е /М?.

В §§ 3-6 формулируются и доказываются основные результаты третьей главы. Наиболее интересные результаты получены для игр с фиксированным временем окончания. Опишем их.

Предполагаем, что Э Л1 - компактное множество и в теоремах 13 - 17 и 20 терминальное множество М удовлетворяет условию телесности.

Теорема 13. Существует константа 90 > 0 такая, что если Ь $ 0о , то для любого Ч > 0 существует такое натуральное число и0 , что для

м ,Г?Гм)

Предположение I. Существуют константы зео , & > О , ко>0 такие, что для любых к и Ь , к Ь § 9 , й $ Ь0 . множество Пи М удовлетворяет условию почти выпуклости с константой э£0

Предположение 2. Существует константа £0> 0 такая, что предположение I с одними и теми же константами выполняется, если вместо множества М подотавить множества М + £ $ и М -2- £ 5 , £ * е0 .

Теорема 14. Ксли множество М почти выпукло, то существуют константы С1 и В1 > 0 такие, что при Ь *

м , П{П)

Теорема 15. При выполнении предположения I существует константы С1 и бг > 0 такие, что при I 5 вг

^ м , п?м) $ с, й , и/,»*.

Найдем достаточные условия, при которых выполняются предположении I и 2.

Предположение 3. Множество М - почти выпукло. Существую? константы 0 , г 0 , 0 >0 , >Р , такие, что для дю&к К ай , к $ 0 , й $ ^ и УеУ существуют функции : Л£ М П^"1 М • „ : Г?£ М -» М такие, что'

1) ДЛЯ 2 £ Пй М к 4

2 + * (Н, = Ш е П /И ,

2) функция ж^ у (2) удовлетворяет условию Липшица о константой 1 + ¿,4 К ' ,

3) функция / ("В, ¿х), и) удовлетворяет условию Липшица по х константой ,

Теорема 16. Ври выполнении предположения 3 выполняются предположения I I 2,

Теорема IV. Пусть И почт? выпукло

VII + .ччг,^) А В

где А - неособенная матрица, V- , Ч , В - нелрериш ные йушсциц, V и V - дважды непрерывно дифференцируемы по

, V) _ числовая функция, отличная от нуля, В(и(,и)-шар для всех V- е V . Тогда выполняются предположения I н 2.

Теорема 18, Пусть М- выпуклое множество.

-/С1., и,\>>= А(\>>3 +./3 ,

где (V) - матрица, непрерывно зависящая от V , В (и>\>) -непрернвная функция. Тогда выполняется предположение I. Если, кроме того, ¿иЬ РА Ф ф , то выполняется предположение 2.

Спишем в каких стратегиях могут вести игру игроки, чтобы закончить ее с некоторой погрешностью. Зададим А > 0 -

1. В момент к й , К = 0,. , у>-{ , игрок Р , зная Фазовые координаты 2 С к ¡О , строит фунвдгоэ ик V (А такую, что (1>Ст>) - допустимое управление, если \?Ст) допустимое управление. Далее, если игрок Е выбрал свое управление \} СТ) на интервале [ кй , Ос+1)Ь) , «о игрок Р полагает свое управление и (г) = мк-{исг)') , Те [кЪ 7 с«-+У) и ) • Таким образом, игрок Р строит свое управление, зная в момент Т фазовые координаты ?(т) и управление противника С с-^

2. Игрок £ в каждый, момент к , к - £>,,.., и - 4 .выбирает е V , зная фазовые координаты зскЬ) , и полагает V (т) з на интервала [к1п > (к+1) и ) . ^ ^ ^

Обозначим описандаэ стратегии через Гр и ГЕ

Теорема 19. При выполнении предположения I существует константа Сг 5 О такая,- что при { $ & выполняются следующие утверздеппя. ^

1. Если П^М , то существует стратегия Гр такая, что для соответствувдеи траектории 1С?) ~ с началом в г выполняется включение ^ ^

2. Если Ъ е СЛ »то существует стратегия Г^ такая, что для соответствующей траектории гст1) с началом в 1

выполняется: '2 (£) ё /И — С^К^ .

Теорема 20. При выполнении предполояения 2 существуют константы г 0 , &3 > 0 , > О такие, что при¿*в3,к^справедливы следующие утверждения.

I. Если н £ ПЦ М -*. С9 и % , то существует такая стратегия Гр1' » что Для соответствующей траектории г ( Г) с началом в "Н выполняется : Н {£) е /И • .

2. Если , то существует такая стра-

тегая , что для соответствующей траектории Е (г)

с началом в Ъ выполняется : ~г И) ё М

Положим

При определенных условиях телесности, наложенных на множества Д^ и /И2 , оценивается близость множеств Г7£ М. и ^

Теореш 13 - 15 и 19,20 переносятся на игры с нефиксированным временем окончания..

В § 7 полученные результаты переносятся на случай игр с фазовыми ограничениями. При этом на множество /V налагаются аналогичные условия, что и на множество М , и некоторые условия согласования. В § 8 рассмотрены конструкции, приближающие операторы Т[, М и р^ (VI с точностью до (11 . Девятый параграф посвящен исследованию поведения оценок и констант, фигурирующих в теоремах §§ 3-7, в случае некомпактности границ ЭМ и д Д/ В.§ 10 иллюстрируется возможность применения разработанных методов для игр с терминальной функцией платы. При этом возгшкает необходимость обобщения понятия квазивыпуклости функций, введения и исследования некоторых классов почти выпуклых функций. В последнем параграфе обсуждены вопросы применения приближенных методов, рассмотрен подход к получению модельных примеров, на кэторых проиллюстрирована возможность построения стратегий игроков на ооноье аппроксимирующих операторов.

В четвертой главе описаны метода решения задач убегания, основанные на новых подходах к построению маневров "уклонения" и "разгона". В §§ 1-6 рассматриваются динамические системы, которые описываются дифференциальными уравнениями с правой частью, явно зависэдей от времени или от переменной с запаздцщщш аргументом, В этих задачах убегающий игрок в каждый момент времени кроме фазовых координат 2 ({) , знает управление и(i) игрока

Р . Для решения этих задач используется единый подход, основанный да обобщенных маневрах "уклонения" и " разгона". Опишем эти маневры.

Лемма.'9. Пусть Р^Ц) , ) ~ 4, 2 , - абсолютно непрерывные Функции, определенные на [ 0. (] ; со > 0 , ч > 0 - произвола-

ные константы, £j - натуральные числа. Тогда существуют константы Oj , taj ¡ i £ . , такие, что функции

не обращаются одновременно в нуль на интервале [cjt i] .

Лемма 10. Пусть P(i) , t £ [0, i ] , - непрерывно дифференцируемая функция; £ > 0 , со > 0 - произвольные константы, к - натуральное число. Тогда существует такое а , [лиг . тао функция у (t) - Р (i) + a tK имеет на

[cj>, И конечное число нулей и эти нули все простые.

В §§ 2,3 формулируются и доказываются достаточные условия убегания для задачи, которая описывается уравнением

2 = f (г ) .

Относительно функции / предполагается, что она непрерывна по н . и,\} и сумшруема по ¿ . Терминальное множество зависит от í и представило в виде

Mt = {не Н : =<Г2 (Z

где .Gj'C¿.,í) - непрерывные функции, имеющие непрерывные произ-, водные по ~í всех нужных порядков и абсолютно непрерывны по i . Будем говорить, что в задаче возможно убегание, если для каздого начального состояния { ^ Т0) такого, что ~Z0 в М^- >п любого допустимого управления ц а) игрока Р монно построить управление игрока Е , пользуясь указанной выше информацией, такое, что для соответствующей траектории 7 (t) выполняется: &/Ч, при i 2 Т0 . •

Пусть VCZ^fo^i,... ,t¡) ~ непрерывно дифференцируемая по 2 функция. Положим

Дреддолояение 4. Существуют натуральные числа кх , кг такие, что функции <f>J( 2,io) = í

4 = ' У* {>2>

определены, непрерывно дифференцируемы по 2 , абсолютно непрерывна по ££> и не зависят от и и У

• Положим ^(г.ид/,^,.,.,^. }= ).

Предположение 5. Имеет место представление

= Сн,и,

У;' (2*, и} X; с ^, ,

где функции Aj непрерывны по 2 , и ,1? и сушируеш по ¿о ; «¿у непрерывны по г ; Ху абсолютно непрерывны по ±0 и суммируемы по"£1(1„ , . Функция

) - Г I А; ( их, м.у, * ) -

непрерывна по совокупности переменных.

Обозначим: $ - единичный круг с центром в нуле,

I (г,и, М) I ,

А; (г.ил*) =

Предположение 6. Существует непрерывная числовая функция такая, что £оСг,1)>0 и

5 ^ (М) .

Предположение 7. к1 > . Существуют непрерывные числовые функции а^.), такие, что £¿(.2,1) и

£; 1 ] с Я,- i2.fi ,'Г-^Л.

Кроме того, выполняются оценки

ичл* { г г, и, . ) ' ; и< М, »«1/,^ = 1,2 } <

3 5-12,4«,), (г,

Ч >1

Hfi, CZ,t,,...,tt-2) II S <T(Z,i.>,

и функции У j1 , i , непрерывно дифференцируема

no t0 и непрерывны по it

Теорема 21. Яри выполнении предположений 4,5 и 6 или предположений 4, 5 и 7 в задаче возможно убегание.

В §§ 4,5 рассматривается задача убегания со следующей дана-

1410103 z ft) = г w i*),v«)) +

+ Г(" (f-M, Ui^-ti))

и тержшалышм множеством

М = f Zi 2 : Gt (z>= f?) = .

Для нее получены достаточные условия, аналогичные описанным вшпе.

Полученные результаты в § б иллюстрируются линейными задачами и примерами.

В §§ 7 - 12 рассматривается задача убегания без информационной дискриминации догоняющего игрока. Убегающий игрок пользуется информацией только о текущих фазовых координатах н (t) В данном случае маневры обхода строятся на основании некоторых свойств определенных функционалов от траектории и не требует точной информации о поведении этих функционалов в будущем. Сформулируем полученные условия убегания.

Динамика игры описывается уравнением

н= /(z,w,iM ,

терминальное множество представиш в виде

М= ( ze и : G, = <г) = 0$ .

Будем говорить, что в задаче возможно убегание, если для любого начального значения 1? Со) - 1а ё М и-любого допустимого управления игрока Р можно построить такое допустимое управление игрока Е I пользуясь указанной выше информацией, что для соответствующей.траектории iz it) выполняется: е !Л при

ЬгО .

Положим = Д S?(Z) /(г, и, Ю.

Предположение S. Существуют такие натуральные числа , К2 , что функции

V/ i Z) = ^ (E) , VyV Сн) = ^ V" (г) ,

определены, непрерывно дифференцируемы и не зависят от и и

V . ' K -i

Обозначим fj (2, и, v) - 7 ¥ ■ (?.).'

Предположение 9. Для любого 2 <?Л1 существуют такие Wjjizj^V 1 = 1,? , j = i, l , что

yyii* h (H, ww^ 12) ) > /( г и W41 (?)) ,

uiK !леЦ l

WUH ^ (Z,W, V-'jj (?)) > WM {г (2,U,W21 £2)),

lit U lAtrU

mirt С СЛ, Wt2 (21) > rwvx -ft M, (?)), * Ki-W

^ (z,u, w22 С?)) > vv»^^ (г, «».

Предположение 10. ¿q ^ ^ . Для любых Н е М , же« min Д > mСи иалх fj (? й и») л

Теорема 22. При выполнении предположений 8 и S или предположений 8 и 10 в задаче возможно убегание.

В приложении к диссертации рассмотрена практическая задача управления транспортом воды в каналах оросительной системы. В предлагаемом игровом подходе ряд объектов, а именно, головная насосная станция, насосные станции перекачки, перегораживающие сооружения /ПО/ управляются игроком-союзником. Различные же водозаборные сооружения управляются игроком-противником. Функцасанирование оросительной системы интерпретируется как некоторая данамяческая игра, в которой цель игрока-союзника состоит в удар жалки уровня вода в определенных точках каналов в заданных пре-

делах. При этом дополнительно ставятся задачи, связанные с минимизацией числа изменений ренинов работы гидротехнических сооружений з повышением надежности функционирования оросительной системы. Игра удеркання трактуется как игра с фиксированным временем окончания п с фазовнет ограничениями /V = М

Прияогение состоит из двух глаз. В первой главе описаны модели движения воды как учитывающие волновой характер процесса, так и опирающиеся на некоторые соотношения баланса. Рассмотрим канал, разделений ГО на N бьефов. Согласно предложенным моделям уровень вода в конце I -го <5ьефа представим в виде

ь{(е{>иг1) - н- (Г;, + 5 ы д

о 1

где <9/ - расход, протекающий под I -и ПС, - суммарный

расход водопотребателя:, приведенный к концу I -го бьефа, > с-а ¿1 - кодстактв, ^ - время добегаши волка от верхнего до низшего коша . Л .-го бьефа, - длина I -го бьефа.

Величина Не определяется формулой

Н/ап-н - (Г((н([о)) + [ - 4

где функция Н (С V ) определяет зависимость между объемом зодн V в í -м бьефе и уровнем Н в его коще при установившемся движения. М\ - функция, обратная к Н/

Во второй главе изложена математическая постановка задача удержания уровней Ц- } в заданных пределах [Н] , Н* 1 • Пользуясь методами, разработанными з диссертации, показало, что для решения поставленной задачи удержания на интервале [о,Т] достаточно, чтобы для всех £ е С О, Т ] выполнялись неравенства

^ Сн'--н(-ст{))« а+г1)-

Величины % 1 От + ) определяются с определенной погрешностью, поэтому цель игрока-союзника состоит в определении €}/({) , удовлетворяющих указанном неравенствам и доставляющих максимум некоторому функционалу, связанному с вероятностью безаварийного функционирования оросительной системы.

Для решения последней задачи разработан метод прогноза уровней. Суть метода заключается в следующем. Для ¿' -го бьефа, И1 $ N , на основе балансных соотношений и заявок вододотре-бителей прогнозируются будущие уровни в нижележащих бьефах. В текущий момент 0[И) определяется таким образом, чтобы ранее пущенная вода из Еышедекаащх бьефов могла быть в будущем распределена в нижележащих бьефах.

Метод прогноза уровней применим при различной инфорлирован-ности о действиях водопотребятеля. Он может быть использован как при долгосрочном планировании» так и при внезапных изменениях заказов и при аварийных ситуациях.

Выбор оптимальных значений расходов вода, протекающей через гидротехническое сооружение, сводится к решению некоторых систем линейных неравенств. Это позволяет применять метод для управления достаточно сложными оросительными системами, имеющими древовидную структуру и содержащими,наряду с бьефами,накопительные бассейны, а наряду с перогорагаващши сооружениями насосные станции перекачки.

Вычиоштавьнае конструкции, применяемые в данном методе, выбраны по возможности аналитическими, сводящимися к достаточно простым формулам. Это делает возможным реализацию метода на малых

аш.

Метод основан на простых моделях движения воды, которые при необходимости могут быть дополнены и расширены. В частности, возможен учет зависимости времени доОёгания волн от уровней воды в бьефах и от транспортируемых расходов.

ОСНОВНЫЕ НАУЧНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Использовано понятие направленности замкнутых подмножеств при'описании операторных конструкций и структуры дифференциальной игры.

2. Для линейных многозначных отображений специального вида с помощью понятия Н - выпуклости описаны значения нвтепралов от этих отображений,

3. Создана груша аналитических методов, позволяющая для достаточно широких классов линейных игр с фиксированным и нефиксированным временем окончания:

а) в явном виде описывать множества начальных позиций, благоприятных для того или иного игрока,

б) строить конструктивные стратегии игроков( в конкретных ситуациях текущее управление догоняющего игрока находится в виде решения системы линейных неравенств),

. в) описывать игры, для которых основные операторы, описывающие структуру игры, совпадает со своими допредельными аналогами.

4. Разработанные методы переносятся на игры с фазовшз ограни ченияш, игры в банаховом пространстве, игры с терминальной функцией платы.

5. Рассмотрены обобщения понятия выпуклости:

а) введены а исследованы классы множеств с условиями телесност;, 'и почти выпуклости, которые, в частности, вклотают в себя выпуклые множества» имеющие непустую внутренность,

б) изучены почти выпуклые функции, обобщающие понятие квазивыпуклости для функций.

6. Обоснована возможность применения приближенных методов в общем нелинейном случае, при наличии условия телесности на.терминальное множество .и множество фазовых ограничений.

?. Как в линейном, так и в нелинейном случаях с помощью понятия почти выпуклости получена оценка близости точного и приближена-го решений.

8.' Полученные результаты находят применение в играх с фиксированным а нефиксированным временем окончания, в играх с фазовыми ограничениями.

Для дифференциальных игр убегания разработаны обобщенные шиевры уклонения и разгона, позволяющие находить достаточные условия убегания и строить стратегии убегающего игрока :

а ) для игр, у которых правая часть дифференциального уравнения ийно зависит от времени i и лишь суммируема но t ,

б ) для игр с запаздывающим аргументом, у которых в правой части дифференциального уравнения содержатся не только текущие, но и прошлые управления игроков.

10. Дня дифференциальных игр убегания без дискриминации догоняющего игрока определены новые достаточные условия убегания, близкие к условиям для игр с дискриминацией.

11. Пр-д решении прикладной задачи управления водераспределении в оросительной системе

а.) создана работоспособная модель движения воды в каналах и бассейнах оросительной системы,

б) разработан метод прогноза уровней, позволяющий управлять оросительной системой при различной ияфораируемости о заявках во-допотребителей.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах:

I. Остапенко В.В. О дифференциальной игре убегания без дискриминации противника //Докл.АЙ 2UUP. Сер.А.-1978.-Щ0.-С.925-927. Остапенко В.В. Задача уклонения от встречи //Автоматика и теле-мехаяика,-1980,-М.-С .16-23. J. Остапенко В.В. Неавтономная дифференциальная игра убегания

//Докл. Ali УССР.Сер.A.-I98I.-Ш.-С.73-75. 4. Остапенко В.В. Неавтономная задача уоегания //Автоматика и телемеханика. - 1982.-Кб.-С.81-86. ь. Остапенко в.В., Яковлева А, 11. Задача уклонения от встречи при запаздывающем аргументе /Дам se.-I98I.-s8.-0.I0-^I4.

6. Остапенко В.В. Приближение основных операторов в дифференциальных играх сближения-уклонения //Докл.АН УССР. Сер. А.-1981 .-112,-С.72-81 . " ■

7. Остапенко В.В. Линейные дифференциальные игры, в которых основные операторы допускают простое представление //Докл. АН СССР, 1981,-261', й 4.-С.808-810.

8. Остапенко B.B. Приближенное решение задач сближения-уклонения в дифференциальных играх//Там же. - 1982.-263,Н.-С. 30-34.

9. Остапенко В.В. О линейной дифференциальной игре с фиксированным временем окончания /Д'ногозначные отображения в теории дифференциальных игр и необходимых условий экстремума.-Киев, I98I.-C. I0-I7.-(Препринт /АН УССР. Ш~т кибернетики; 81-51).

Ю.Остапенко В.В. Приближенное решение задач сближения-уклонения Киев, 1982.-27с.-(Препринт /АН УССР. Ин-т кибернетики; 82-16).

II.Остапенко В.В. Об одном приближении основного оператора в дифференциальной игре в g - стратегиях// Кибернетика.-1982.-В 3.-С.129-131.

12.Остапенко В.В. Построение оптимальных областей управления в дифференциальных играх// Докл.АН УССР.Сер.А.-1983.-ЖЗ.-С.72-74.

13.Остапенко В.В. Об одном условии почти выпуклости// Укр.мат. яурн.-1983.-35, jf2.-C.I69-172.

14.Остапенко В.В. Об одном методе решения квазилинейных дифференциальных игр с простой матрщей //Кибернетика.-1983.-JS.^.119.

15.Остапенко В.В. Приближение основного оператора в дифференциалы«?;: играх с фиксированным временем// Там se. -1984.--'Я.-С.85-89. '

16.Остапенко В.В. Методы решения одного класса задач сближения-уклонения //Автоматика и телеыеханика.-1984.-.Е6.-С.42-46.

17.Остапенко В.В. Метод H - выпуклых множеств в дифференциальных играх //Докл. АН УССР. Сер.А.-1984.-М2.-С.62-64.

18.Гасаненко В.А., Данильченко В.Е., Остапенко В.В. Управление уровнем вода в канале в условиях случайного и неопределенного стока //Прикладные задачи теории вероятности.-Киев: Ин-т математики АН УССР 1982,-С.20-25. ..

19.Гасаненко В.А., Остапенко В.В. Надежность управления в линейной дифференциальной игре с фиксированным временем окончания //Аналитические методы в теории надеяности.-Киев : Ин-т математики АН УССР, 1985.-0.27-31.

20.Даяильченко В.Е., Коваленко П.Й., Остапенко В.В., Яковлева A.n. Игровой подход к управлении водным потоком в канале оросительной системы // Автоматика. - 1983.-J23.-С.58-63.

21. Данильченко В.Е., Остапенко В.В., Яковлева А.П. Игровой подход к водораспределению в оросительной системе.-Киев, 1983.- 25 с.~

(Препринт /АН УССР, Ин-т кибернетики; 83-Ю) .

22, Данильченко В.Е., Ост-апзнио В.В., Яковлева А.П. Линейная шдаль движения вода в каналах оросительной системы о учетом накопительных бассейнов // Теоретические и прикладные вопроси автоматизации управления мелиоративными сиотешш. - Киев: УкрПЬИ

гидротехники и мелиорации, 1984,- С.25-31. х'З, Данильченко В.В., Остапенко В.В., Яковлева А.П. Метод ПРГНОЗа управления оросительной системой в условиях текущего планирования // Там же.- С.31-40.

Данильченко В.Е., Остапенко В.В., Яковлева А.П. Метод оперативного управления системой сложной структуры // Кибернетика и вычисл. техника.- 1986,- Вып.69,- С.82-86.