Аналитические методы расчета осесимметричных электрооптических устройств тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.05 ВАК РФ

Введение

Глава I. Краткий обзор литературы и постановка задачи.

Глава 2. Расчет моделей электрооптических ячеек, допускающих гармоническое разложение электростатического потенциала.

2.1. Электрооптический модулятор с электродами в виде круглых диафрагм

2.2. ЭОМ с полубесконечными цилиндрическими электродами

Глава 3. Расчет моделей ЭОМ с конечными электродами в приближении сильного диэлектрика

3.1. Расчет поля электрооптического затвора с двумя электродами

3.2. Оптимизация конструкции затвора с пропусканием, близким к равномерному

3.3. Расчет поля ЭОМ с двумя парами электродов модификацией метода сшивания

3.4. Электрооптические аподизирующие диафрагмы

3.5. Электрооптическая ячейка с электродами, частично перекрывающими апертуру

Глава 4. Метод расчета поля ЭОМ с помощью потенциалов простого и двойного слоёв

4.1. Постановка задачи о поле ЭОМ с электродами, отнесенными от поверхности

4.2. Электростатическое поле пары одинаковых конечных цилиндров

4.3. Расчет модели ЭОМ с двумя парами отнесённых кольцевых электродов

С первых дней развития лазерной техники перед разработчиками ее стоит проблема управления параметрами лазерного излучения, в частности, задача временной и пространственной модуляции интенсивности светового пучка. Круг физических эффектов, используемых для этой цели, весьма широк. Это и вращение плоскости поляризации света в магнитном поле, и акустооптические явления; не последнее место занимает применение пассивных- затворов и диафрагм. Однако наибольшее распространение в настоящее время получили устройства управления интенсивностью светового пучка, основанные на электрооптическом эффекте - ячейки Поккель-са и Керра. Такие электрооптические модуляторы света (ЯОМ) практически безынерционны, обладают высокой лучевой прочностью, просты в управлении и технологичны в изготовлении. Особой привлекательностью обладают ячейки Поккельса, действие которых основано на линейном электрооптическом эффекте; в ряде случаев (например, в оптических системах со световыми пучками большого диаметра) электрооптические затворы на продольном эффекте Поккельса являются наиболее употребительными устройствами,обеспечивающими надежную развязку каскадов усиления и зашиту усилительной системы от отраженного излучения/1,2/. Эти же элементы применяются и в качестве корректоров временного профиля интенсивности пучка.

Другой важной областью использования ячеек Поккельса является применение их в качестве мягких диафрагм при аподизаиии пучка /4.5/, например, для подавления возникающих дифракционных максимумов пучка^ ответственных яа появление мелкомасштабной самофокусировки. Несмотря на усложнение конструкции, преимущество таких пространственных ЭОМ перед широко используемыми пассивными диафрагмами /6/ заключается в возможности вариации профиля пропускания без изменения конструкции прибора, только за счет выбора управляющих напряжений.

Ячейки Поккельса, применяемые в качестве затворов или апо-дизирующих диафрагм, должны обладать осевой симметрией конструкции, которая существенно уменьшает искажения профиля интенсивности пучка, проходящего через электрооптический элемент. С другой стороны, естественным является требование того, чтобы электроды, создающие управляющее напряжениегне перекрывали бы апертуру активного элемента ЭОМ (это требование необязательно для аподирующих диафрагм, но совершенно необходимо для затворов, предназначенных для работы в мощных усилительных системах) . Наиболее распространена схема ячейки Поккельса на кристалле типа KDP(OKDP) £ - среза, в которой пучок распространяется вдоль оптической оси кристалла. При этом, как известно /7,8/, величина электрооптического эффекта определяется разностью потенциалов между точками апертур активного элемента, соответствующими входу и выходу луча.

Таким образом, для нахождения пропускания ячейки Поккельса необходимо знание распределения электростатического потенциала лишь по торцам активного элемента при подаче управляющего напряжения на электроды ЭОМ. С математической точки зрения эта задача сводится к решению уравнений электростатики в пространстве, включающем цилиндрический активный элемент, который по своим электрическим свойствам является анизотропным диэлектриком, и осесимметричную систему электродов, находящихся при заданных потенциалах. В общем случае для решения этой задачи в самых широких предположениях существуют мощные численные методы - сеточные /9,10/, конечноэлементные /II/ и т.д. Однако конкретная проблема электрооптики имеет свои особенности. Во-первых, достаточно найти решение не во всем объеме активного элемента, а лишь на некотором выделенном многообразии (для определения пропускания - только на торцах ЭОМ). Во-вторых, поверхность рабочего элемента и электроды (почти всегда) представляют собой части координатных поверхностей ортогональной системы координат - цилиндрической, в которой допускает разделение переменных не только уравнение Лапласа, но и более общее уравнение 6/J=0(что справедливо, впрочем, только для активных элементов, выполненных из одноосных кристаллов). В-третьих, численные методы в общем случае не учитывают особенностей в производных поля, возникающих на краях тонких электродов и влияющих на величину угловой расходимости, вносимой модулятором. Наконец, с практической точки зрения большую роль играют быстродействие метода расчета пропускания, малый объем памяти при вычислениях на ЭВМ и точность получающихся результатов. Перечисленные особенности задачи с необходимостью наводят на мысль об использовании аналитических методов её решения.

Наиболее адекватным методом решения задач электростатики с заряженными незамкнутыми поверхностями, совпадающими^с частями координатных, является, видимо, метод парных уравнений /12-14/. Его главное достоинство состоит в том, что он сводит проблему электростатики к решению интегрального уравнения Фредгольма 2 рода (или к системе таких уравнений /14/)- задаче, постановка которой корректна, а численные методы решения хорошо разработаны /15/. Потенциал же в любой наперед заданной точке выражается через решение этого уравнения (системы) истокообразно. Немаловажно также, что решение представляется в форме, автоматически учитывающей особенности в напряженности поля вблизи кантов электродов. Однако этот метод имеет и некоторые недостатки, чисто практического, впрочем, плана. Именно, обобщение его на системы с большим числом электродов почти всегда чрезвычайно громоздко и требует порой изрядного искусства. Очень быстро растет при этом и объем вычислительной работы. Поэтому наряду с методом парных уравнений (впервые, кстати, применяемому в задачах электростатики с анизотропным диэлектриком) в настоящей работе развит и применен альтернативный способ, сочетающий, как представляется, достоинства методов сшивания и уравнений в парных (тройных,.) интегралах и рядах /16,17/.

Необходимо'подчеркнуть, что, хотя в отдельных случаях наличие малого параметра и позволяет получить явные приближенные формулы для радиального распределения пропускания, в общем случае получаемые фредгольмовские уравнения 2 рода должны решаться численно; в этом отношении рассматриваемые методы не могут считаться "аналитическими" в традиционном понимании этого термина. Однако они всегда приводят к устойчивым и быстродействующим численным алгоритмам (быстродействие увеличивается ещё и за счет того, что рассматриваемые методы позволяют вычислять потенциал только в плоскости входного и выходного зрачков), а это обстоятельство очень важно при решении обратной задачи.

Действительно, проблема выбора параметров ЭОМ, системы электродов и управляющих напряжений на них, которые создавали бы заданное пространственное распределение пропускания, не только несравненно сложнее решения прямой задачи, но и поставлена в общем случае некорректно. Тем более, что на практике желательно разработать конструкцию, оптимизированную по многим показателям; например, ячейка, используемая в качестве затвора должна реализовывать пропускание, возможно более близкое к равномерному, иметь минимальную длину при достаточно большой апертуре (для снижения неактивных потерь и стоимости устройства), обладать возможно меньшей ёмкостью, достаточно большим зазором между электродами (чтобы избежать пробоя) и т.п. При современном уровне и тенденциях развития вычислительной техники, по-видимому, наиболее эффективным способом решения обратной задачи является многократный!счёт\прямой] в режиме диалога с ЭВМ, для которого быстродействие играет определяющую роль.

Вышеприведенные соображения, на наш взгляд, обуславливают актуальность настоящей работы, цель которой, таким образом, состоит в разработке и развитии быстродействующих и точных методов расчета пропускания осесимметричных электрооптических ячеек, позволяющих моделировать новые конструкции ЭОЗ и управляемых электрооптических диафрагм, оптимизированные по ряду параметров.

Защищаемые положения

I. Решение обобщенным методом парных интегральных уравнений двух новых задач электростатики анизотропных диэлектриков в точной постановке и разработка н!?§снове возможных конструкций электрооптических модуляторов.

2. Способ расчета поля электрооптической ячейки с парой кольцевых электродов методом тройных сумматорных уравнений и оптимизация на его основе конструкции широкоапертурного быстродействующего затвора.

3. Развитие применительно к задачам расчета поля в ЭОМ нового метода сшивания решений, приводящего к системе интегральных уравнений Фредгольма 2 рода.

4. Расчет и оптимизация конструкции электрооптической аподизирующей диафрагмы и многоэлектродного ЭОМ, совмещающего функции диафрагмы и затвора.

5. Разработка метода расчета электрооптической ячейки с электродами, частично перекрывающими апертуру.

6. Развитие общего метода решения задач электростатики с анизотропным диэлектриком канонической формы и расчет на его основе модели ЭОМ с электродами, отнесенными от поверхности рабочего элемента.

Диссертация изложена на 118 стр., содержит 21 рисунок и 94 библиографических ссылки.

После каждой главы помещено краткое резюме.

- 106 -ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулируем кратко основные результаты работы.

1. Получено точное решение двух задач электростатики для моделей ячеек Поккельса, состоящих из анизотропного диэлектрического цилиндра конечных размеров и системы электродов в виде круглых диафрагм и полубесконечных полых цилиндров. Показана возможность применения метода парных уравнений к решению краевых задач для эллиптических уравнений с разрывными коэффициентами .

2. В приближении сильного диэлектрика методом тройных сум-маторных уравнений решена задача о распределении поля в модели электрооптического затвора с цилиндрическим активным элементом и парой электродов на его боковой поверхности.

3. Проведена оптимизация конструкции затвора п.2 по отношению длины к диаметру, ёмкости и равномерности пропускания. На основе расчетов создан широкоапертурный затвор с минимальными неактивными потерями и максимальным быстродействием.

4. Применительно к задачам расчета поля в электрооптических ячейках развит новый метод решения смешанной краевой задачи, для уравнения Лапласа в канонической области, сочетающий достоинства методов сшивания и парных уравнений.

5. С использованием развитого метода решена задача расчета электрооптической диафрагмы с большим числом электродов на боковой поверхности, реализующей заданный профиль пропускания. Рассчитана модель универсального модуля, совмещающего функции затвора и диафрагмы. Создан расчетный алгоритм с быстродействием, позволяющим решать обратную задачу путем счёта прямой в интерактивном режиме.

6. Получено точное решение смешанной задачи электростатики в области, граница которой содержит электроды, смыкающиеся под прямым углом; рассчитана модель ячейки Поккельса с электродами, частично перекрывающими апертуру.

7. Развит метод расчета поля в анизотропном диэлектрике в случае, когда электрода отнесены от его поверхности, сводящий задачу к системе уравнений Фредгольма 2 рода. Рассчитана модель электрооптической аподизирующей диафрагмы малых размеров.

Отметим в заключение два возможных направления развития . полученных результатов. Во-первых, с чисто математической точки зрения представляет интерес исследование спектров операторов Фредгольма, возникающих в рассмотренных задачах и возможной связи их с физическими явлениями в ЭОМ. Во-вторых, применимость результатов к реальным затворам ограничена временами срабатывания последних Т » L /С » где L, - характерные размеры устройства. Для меньших времен вместо уравнений электростатики необходимо решение полной системы уравнений поля.

- о

Автор искренне благодарен своему научному руководителю Ю.А.Флегонтову за неоценимую помощь на всех этапах выполнения работы.

1. Pbys.E, 1382, v. is, А/З, р.згг-иь.3. 0. } Mourou Graizi C. рц£-Se shaping ih ike picosecoho! domain.

2. Phij^La+t., 19*3, I/. 3S", A/tO,

3. Гулевич В.Ш., Коробкин P.В. Николаев Ф.к., Фролов В.В., Чеботаев С.И., Шелоболин А.В. Лазерная система на основе Фосфатного стекла с предельными параметрами. Препринт ФМАН СССР 99, М., 198.?., ?А с.

4. CogticU Johnston Q.C. Aperture, to sUape. hiyh power ictger1. И/у£>. Laser Focus\ 1314,v. iof л/ 3 , p. 43 -46.

5. Крыжановский В.И., Седов Б.М. Серебряков В.А. Цветков А.Л.,Яшин В.Е. Армирование пространственной структуры излучения в твердотельных: лазерных- системах аподизирушти-ми и жесткими апертурами. Квант, электр., 1983, т. 10,с.354-359.

6. Мустель Е.Р., Парыгин В.Н. Методы модуляции и сканирования света. М.,Наука, 1970. 295 с.- 109

7. Я. Белостоцкий Б.Р., Лгабавский ГО.В. Овчинников В.М. Основы лазерной техники. Твердотельные ОКГ. М.,Советское радио. : 1972, 40Я с.

8. Базов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. М.,издат. иностр. литер.,1963. 486 с.

9. Ю.Ильин В.П. Численные' методы решения задач электрооптики. -- Новосибирск. Наука. 1974, -202 с.

10. И.Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М., Наука, 1980, 536 с.

11. Удалянд Я.С. Метод парных уравнений в задачах математической сЬизики. Л.,Налтка. 1977. 220 с.

12. She J Jon I. Mixed ioundary i/cAe. pro&temsf in potential theory. hmsterdavn} I366}

13. Власов А.Г,, Шапиро Ю.А. Методы расчета эмиссионных элек-троннооптических систем. Л.,Машиностроение, 1974. 183 с.

14. Канторович Л.В. Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М.-Л., я%зматгиз. 19Я2, 708 с.

15. Занадворов Н.П., Флегонтов Ю.А. Расчет -отравляемых алоди-зирующих диатрагм на эффекте Поккельса. Опт. и спектр., 1984, т.57, №3, с.527-531.

16. Pockeh Р. Увег с/еи Einfius'S' Jer Eielctros-lbfisheh Feldeg ацj deg оptisckem Vzrhatbev) piezoe^&lc-bniscUer Kftj&tctfcie. G-ohtiHCjenf

17. Василевская А.С., Сонин А.С. О феноменологическом описании электрооптического и упругооптического Э(№етстов в кристаллах. Опт. и спектр., 1968, т.24, Ш 6, с.952-956.

18. Wctfel 3.F., Frernke* RA. Si rutin re ofop"6icc*£ ркеномене* си potassium dikijdro^e^pkospka-te. vJll, A/iA, p.l?2-ldO.• i i

19. Гриб Б.Н., Кондиленко И.И., Коротков П.А., Писанский А.Й., Пященко ГО.П. Природа электрооптического эфеекта и колебательный спектр кристалла КНгР0^. ~ Опт. и спектр., 1975, т.38, № 4, с.731-737.

20. PopeScu M.G-.} Dumitricq А.} grcttescu G-.&. f Tudor Т. Eieibyoopiic, y^oduHaiioH wlbU crygtatsof. otagg A*. Uni\/. Buturesiih/10f p.ZS-ZZ.

21. Бровеев С.Ф., Сауков A.M., Угодеко А.А. Характеристики электрооптического яатвора на кристаллах KD2P0^ -среза. Приборы и техника эксперимента, 1972, w 3,с. 181-183.

22. Катыс Г.П., Кравпов Н.В., Чирков Л.Е., Коновалов С.М. . Модуляция и отклонение оптического излучения. М., Наука, 1967, 176 с.

23. Кузовкова Т.А., Нилов Е.В. Пространственно-временной модулятор света для управления лазерным излучением. Квант, электр., 1979, т.6, № 8, С.1Р-Ш2,

24. Qrcts's'art &с(г&£ши /?. j Ье. Л/ctL Р. А и еЬсЬъоорvhoJu 2ator j-or seie-cti^ a pu£$&-j.ro ьл a tr OiLVi, Opt. CvHAiMUH.t 19$ IJ I/. 36, tJ G}- Ill

25. Kooher E. R.; A/o\/ctk R.P, Fqst eietiro --optical. shuiter wi a, prog rcihitoCL Me iransmissioh control, £ t I3&0, И. (3, Л/ 5*, p. 512

26. Новожилов 10.В. Яппа ГО.А. Электродинамика. M.,HavKa,1998. 351 с.

27. Сонин А.С., Василевская А.С. Рлектрооптические кристаллы.

28. М. Атомиздат, 1971, 328 с.

29. Piszo R. Laser-Lectm v*\odu£ator$: e.t&c'bro --optic, or acoustic? optic. ? - Btbtbro-Opt.Syst.besift* , 1373, v. 11, А/iOf p. 2?-44.

30. Желудев И.С. Электрооптические явления в кристаллах. Успехи физических наук, 1966, т.88. Ш 2, с.253-286.

31. Кузнецов С.П. Номограммы для определения полуволновогоинапряжения кристаллов К 02х РО^ . Квант, электр.,1981, т.8, № 9, с.2069-2071.

32. Байбородин Ю.В., Гаража С.А. Электрооптический эффект в кристаллах и его применение в приборостроении. М.,Машиностроение, 1967, 79 с.

33. Peters. Opbicat jrecyue.ncy irnnslaiortwo pkqse mod и & a tors ih tcuhdev*. - kppL Opt. } ides', I/. А/ iz, p. 0Г-М.

34. KvBOBKOBa T.A. Нилов E.B., Фяегонтов 10.А. Электрооптический модулятор света, обладающий малыми не активны?,га поте рятли. Опт. и спектр., 1979, т.47. с.974-981.

35. Гильварг А.Б., Колесов Г.В. Использование электрооптического эффекта в кристаллах для быстродействующих затворов.- Приб. и техн. эксперим.,1961, № 3, с.123-126.- 112

36. Малыпаков В.Г., Манкевич С.К., Нагаев А.И., Парыгин В.Н., Ставранов Г.Н. Разрешающая способность электронно-лучевого пространственного модулятора света на основе кристалла ОКОР . Квант, электр.Л979. т.6, № 11, с.2393-2400.

37. Петров М.П., Хоменко A.R., Красинькова М.В., Марахонов В.И. Шлягин М.Г. Преобразователь изображений ПРИЗ и его применение в системах оптической обработки информации.- Журн. технич. физ., 1981, т.51. №7, с.1422-1431.

38. Sekd W.t Sou res? J., Lewis! 0.} Bunlceh&urfr J. > Bzown D.v 3ctco&$ Mouiou ёстуиегюаь J. HlcjU-power phosphate fiiciss t<*se>r system: de-gifyh ahd perfornnahce ска fQc-terlstics. - Appi.

39. Opt., 1920, v. 13, A/3 , p. *i03 -4/5.

40. Wo J rstcki R. Eietiro optica I moJulaior. - Po£. Techn. ffei/., 1311, Ы 3,

41. Mowp<?m ВинЬепкцгд. $ek<\ W. Bteoirooptic prepu^se suppression for fusion laser systems.- Opt . Сопл ж «и., а/ г, р.гы-гы.

42. Titit v М.} bumibrita 4., bumitraS Comctn-clu M DKDP Crystais1 for eJUitiooptic, beviceg. Chy$~bc\i Res. and Techn.f19B>Z,v. A/4, p.

43. LqffeP Procjr<xtv\ Report. LLL Re.port

44. VCki-SOOH-IS, March p. /43.

45. Витков М.Г. Анализ электрического поля, управляющего продольным электрооптическим эсК&ектом в высокопроницаемих анизотропных кристаллах с полосковыми электродами. Опт. и спектр., 1968, т.24, № 5. с.736-794.

46. Stci^t^e.'tz L.L.} Poufoot T.W.} Johnson fi.C. Сy&Lh-rincf electrode KDP eiec,troopfci c,modц Hoi ior. Appl. Opt.} WZ, v. 12 t л/J, p.49. has'er Program Qhnuai RepoRt. Щ Re.por~t UCRi~$0021 -16t Зыке p. 290*293.

47. Boiak M Jahl<iewUi 2. lifbt modiA^aton onlocjituciLna i Pockets -Buit. MAT

48. J.&alrowskcefO, 1Э80, *29, A/lf 'p.Zl-SZ.

49. Нетушил A.B. Электрические поля в анизотропных средах.- Электричество. 1950, № 3. с.9-22.

50. Нетушал А.В. Электромагнитные поля в анизотропных средах.- Изв. ВУЗов "Электромеханика", 1962, № 5, с.''75-4Я2.

51. Камач Ю.Э., Кияткин Р.П., Козловский Е.Н. Реализация метода интегральных- уравнений на ЭВМ для анализа электрических полей в устройствах управления лазерным излучением.- Оптико-механич. пром-ть, 1975, № 4-, с. 18-22.

52. QeiUh DX., Hiftfins T.J. Catcuiaiion 0j tke eiec-•bricat capacitance of a cute. -J.oj-Appi. Phyf., /957, v. 22, A/2, p, 223 -226,

53. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Kvpc современного анализа. Т.2. М.,Физматгиз. 1962, 515 с.

54. Инверсия Абеля и ее обобщения. Сборник статей, Новосибирск, ИТПМ, -1978, 272 с.

55. Михлин С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. -- М., Физматгиз, 1959, 232 с.

56. Хемминг Р.В. Численные методы. М.Наука, 197?., 400 с.

57. Занадворов Н.П. Электростатическое поле анизотропного диэлектрического цилиндра. Журн. техн. (тия., 1930. т.50.1.: с.12-15.

58. Занадворов Н.П., Флегонтов Ю.А. Расчет одного класса электрооптических модуляторов света. Опт. и спектр., 1931.т.51, № 3, с.542-546.

59. C.j Cooke. 3. ft Fourier Л/еимапп series с»ие/ Usf application to tUe feduction tripie co&i*e series. - S(frOvJ McMx.J. f 13JZ; V. /4, Л/2, p, 1Э8-201.

60. Занадворов Н.П., Малинов В.А. Чарухчев A.B. Радиальное распределение пропускания в цилиндрическом электрооптическом затворе с большой апертурой. Опт. и спектр.,у/11933, т.54, № 2, с.360-364.

61. Занадворов Н.П., Малинов В.А. Флегонтов Ю.А., Чарухчев А.В.Теоретическое и экспериментальное исследование ЭОЗ с большой апертурой. В сб.: Тезисы докладов Ш Всесоюзной конференции "Оптика лазеров". - Л.,изд.Г0И, 1982,с. 234.- 115

62. Шаманский В.Е. Приближенный метод решения задач Дирихле для уравнения Лапласа. ДАН СССР. 1955, т. 100, К? 6,с. 1049-1052.

63. Vckvs Лег Me-rve 7.Р. Fourier-Besset series sotu-iion j-or pobz-htiaC с(ис1 iniehsfbtj j-ieid of open ete-cbzov\ optical- systems' wi rob<*tiov)cn& symmetry Ы terms of- X0 Be.sse.2 functions. J.

64. Форсайт Дж., Молер К. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. М.„Мир, 1969, 167 с.

65. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.,Наука. 1974, 223 с.

66. Лебедев Н.Н. Электростатическое поле иммерсионной электронной линзы. Журн. техн. шиз.1957. т.27, № 9,с. 2097-2104.

67. Шапиро Й.А. Поле электростатической линзы, состоящей из двух полубесконечных цилиндров. Журн. техн. физ.,1962.- 116 -т.32, №6. с.686-694.

68. Лебедев Н.Н., Скальекая И.П. Применение парных интегральных уравнений к электростатическим задачам для полого проводящего цилиндра конечной длины. Журн. техн. физ.,1973, т.43, № 1, с.44-51.

69. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. М.-Л., Гостехиздат, 1948, 479 с.

70. Абрамович М., Стиган И. Справочник по специальным Функциям. М.,Наука, 1979. 832 с.

71. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции.Ч.1.-- М.>Наука, 1965, 294 с.

72. Ватсон Дж.Н. Теория бесселевых Функций. М.,Физматгиз, 1949', 798 с.

73. Дымарский Я.С., Лозинский Н.Н., Манушкин А.Т., Розенберг В.Я.ч Ярглис В.р. Справочник программистам.1. Л.,Суд-промгиз, 1963. 628 с.

74. Тагов Ф.Д. Краевые задачи. М.,Физматгиз, 1963, 640 с. .

75. Blue 3.L. Qouholahtf lh~be~gHct£ sotubion oj1.ptacc'S e-cpucttioh,11 v. 5*?, А/ 8 t p. Z?S?~Z8ZZ.

76. Cooke 3. The. soi-u'tion of Triple en he/ уцос/гцрРе Lh~Legrci£ ecpAbiiohg cihct Fourier-Vessel series.-Qua*/. J. Metk.cthJ Appt.MM^WZ,*^ M2f p, 24? -2QZ.

77. Градштейн И.С., Рыжик Й.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.,Физматгиз, 1963, 1100 с.

78. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные Функции .4.2,- М. Наука, 1974, 295 с.

79. Sriwg'tciV R. Duatl pe.$>a,iiong ivu/o£vina tfLcjenoMei-rlc senieg. Prt>c< Roy. £oc. EJinb. } /964, t/,46,ptS, P.I1Z-IS4.

80. TranierC. duat ~Ьг1рс>п о metric serieg. Proc.

81. Matb. Assoc., №3,v.i,л/2, p. 4J-57.

82. Минков И.М. 0 некоторых парных сушаторных уравнениях.- АвтореоЬ. дисс. на соиск. учен. степ. канд. физ.-мат. наук. Л., 1964, 10 с.

83. Кузовкова Т.А. Нилов Е.В., Шпегонтов Ю.А. Модулятор добротности, обладающий малыми неактивными потерями. В сб.: Тезисы докладов 1 Всесоюзной конференции "Оптика лазеров".- Л.изд.Г0И, 1977. с.248.

84. Демирчян К.С., Кияткин Р.П., Новгородцев А.Б. Моделирование электрических полей в анизотропных средах. -.Электричество, 1972, №7, с.63-65.

85. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.,Наука. 1971. 512 с.

86. Михлйн С.Г.'Kvpc математической шизики. М.,Наука. 1968, 575 с.

87. Тнан+ег С, Some, tripte expuctiionS.

88. Pfoc. G-taSfow Mcdk. Assoc., 1Э60, v. Л/ 4, p.100 -203.