Автоматизация моделирования физических процессов в задачах приборостроения тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.01 ВАК РФ

Московский физико-технический институт (Государственный университет)

На правах рукописи

СИЗОВА НАТАЛЬЯ ДМИТРИЕВНА

УДК 517.9:519.6:539.3

АВТОМАТИЗАЦИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В ЗАДАЧАХ ПРИБОРОСТРОЕНИЯ

01.04.01 - приборы и методы экспериментальной физики

Летореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 2004

Диссертация является рукописью.

Работа выполнена

в Московском физико-техническом институте (Государственный университет) и Институте проблем машиностроения им. АН. Подгорного НАН Украины

Научные консультанты:

д. ф.-м. н., проф. В.Ф. Кравченко

академик НАН Украины, д. ф.-м. н., проф. В.Л. Рвачев

Официальные оппоненты:

академик РАН, д. ф.-м. н., проф. АС. Бугаев д. ф.-м. н., проф. В.А. Черепенин д. ф.-м. н., проф. А.В.Шепелев

Ведущая организация:

Федеральное государственное унитарное предприятие космического приборостроения (ФГПУ РНИИ КП)

Защита состоится « 30 » марта 2004 г. в 14 час, на заседании диссертационного Совета Д 002.135.01 при НТЦ Уникального приборостроения РАН по адресу: 117342, г. Москва, ул. Бутлерова, д. 15.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке НТЦ Уникального приборостроения РАН по указанному адресу.

Автореферат разослан «_» февраля 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного Совета Д 002.135.01, к.ф.-м.н.

ЕА Отливанчик

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

При конструировании элементов приборостроения, машиностроения, радиоэлектроники, в том числе в лазерной физике, атомной и ядерной спектрометрии, в метрологии лазерного, рентгеновского и гамма-излучений и др. одной из задач является определение физических полей в них. Эта задача - один из наиболее важных факторов, влияющих на работоспособность, надежность и устойчивость работы элементов и приборов, так как изменение той или иной характеристики вызывает и изменение свойств различных материалов, входящих в состав всей исследуемой конструкции.

Экспериментальные исследования физических полей многих элементов и аппаратов неприемлемы в тех случаях, например, когда физические размеры компонентов достаточно малы, установка чувствительных приборов и датчиков в них представляется весьма трудной задачей и в некоторых других случаях. В силу этого актуальным является определение физических полей элементов и аппаратов аналитическими и численными методами.

Решение задачи определения необходимых физических параметров позволяет на стадии вычислительного эксперимента получить достоверную и объективную информацию о работе прибора или конструктивного элемента, частично или полностью заменить дорогостоящие опытные испытания режимов работы элементов и аппаратов расчетным проектированием, прогнозировать физические процессы, рассчитывать оптимальные режимы работы всего прибора.

В современной технике предъявляются повышенные требования к точности определения полей исследуемых элементов и узлов, поэтому объяснимо стремление создать универсальные методы и высокоточные алгоритмы решения таких задач.

Многие проблемы теоретического аспекта исследования физических полей в различных элементах связаны с необходимостью построения и исследования математических моделей, имеющих вид краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными. Для любых краевых задач характерно наличие в некоторой области , ограниченной некоторой по-

верхностью S, разрешающей функциональной компоненты модели. В зависимости от условий реальной задачи эта компонента может представлять собой функцию (например, для скалярного поля температур), тензор (в за-

дачах определения напряженно-деформир6ванного состояния тех или иных конструкций) или элементы других функциональных пространств.

Большое разнообразие математических моделей в задачах определения физических полей требует создания универсального математического и программного инструментария. Создание такого инструментария позволит оперативно переходить от одной математической модели к другой, проводить сравнение результатов, полученных при исследовании различных моделей, использовать результаты, полученные для одной модели как стартовые (вспомогательные) для исследования другой модели, применять различные методы (аналитические или численные) и т.д., т.е. речь идет об инструментарии универсального типа.

Наличие математического и программного инструментария, построенного по известному принципу математических аналогий, имеет значение для многих проблем исследования, расчета и оптимизации физических полей, охватывающих широкий круг научных направлений в различных отраслях промышленности.

В последние годы разработано много новых математических теорий, а на их основе появились новые разработки методов решения на ЭВМ задач исследования и оптимизации физических полей. Неослабевающий интерес к проблеме физических полей объясняется тем, что этой проблемой охвачен широкий круг таких направлений как электродинамика, теплофизика, теория упругости и пластичности, магнитная гидродинамика и другие, развитие которых имеет первостепенное значение для научно-технического прогресса.

Математическими моделями исследования многих физических полей являются задачи для уравнений с частными производными при определенных начальных и краевых условиях.

Особенно актуальной задачей является создание таких моделей задач для исследования полей, которые отражали бы физические аспекты постановки и позволяли осуществлять разработку методов решения краевых задач, имеющих универсальный характер и не требующих от исследователя (как правило, не математика) знания тонких вопросов теории. Кроме того, универсальность обусловливает возможность привлечения методов системного программирования, что имеет существенное значение для автоматизации научных исследований в области краевых задач. Вообще же, для того или иного конкретного класса задач определения физических полей существуют или могут быть созданы специальные методы, превосходящие по эффективности любой универсальный метод Однако их использование требует,

как правило, хорошей математической и специальной подготовки, а также значительных затрат времени, что может оказаться неприемлемым для быстрого решения все новых и новых задач экспериментальной физики.

Специфическая особенность полей - их зависимость не только от характера физических законов,. учитываемых соответствующими уравнениями, но и от формы взаимного расположения тел, в которых поля возбуждаются, конфигурации площадок их контактного взаимодействия и других геометрических и физических факторов.

С учетом названных особенностей рассматриваемого класса задач полное их исследование с помощью точных аналитических методов возможно лишь в немногих случаях.

Наличие в постановке краевых задач двух разнородных видов информации - аналитической и геометрической — серьезное, препятствие при создании методов и алгоритмов решения этих задач, т.к. всякий метод должен учитывать оба вида информации.

В данной работе предлагаются

• новый подход исследования некоторых физических полей в задачах экспериментальной физики, рассматриваемых в объектах сложной геометрической формы и находящихся под внешними воздействиями различной физической природы, который основан на использовании математического аппарата теории R-функций;

• новые математические модели, аналитические решения — структуры решения (GSS), алгоритмы, вычислительные схемы основных типов задач электродинамики, теплопроводности, теории упругости;

• компьютерные модели численного исследования основных задач, моделирующих физические процессы экспериментальной физики;

• вычислительный эксперимент по определению необходимых физических и геометрических параметров конкретных приборов, аппаратов и элементов.

Исследуются физические поля в новых приборах и элементах, применяемых в лазерной технике, таких как:

• автогенераторные гелий-неоновые лазеры;

• модуляторы;

• автогенераторные гетеродинные фотоприемники с резонаторами микроволнового диапазона длин волн.

Кроме того, определены температурные поля:

• в пространственных тепловых элементах неклассической геометрической формы конечных размеров (ТВЭЛы, термочувствительные датчики и др.);

• в аппаратах для добычи твердых полезных ископаемых;

• в теплоизлучающих объектах;

• в модуляторах, нагруженных электрооптическими кристаллами. Изучаются также поля напряжений

• в элементах технологической оснастки, находящихся под механическими и температурными воздействиями и нагруженных за пределами упругости;

• в силовых элементах технологического процесса;

• в лопатке авиационного двигателя;

• в элементе цилиндрового блока аксиально-поршневого насоса;

• в кристаллах, находящихся в резонаторах, которые работают на продольном и поперечном электрооптическом эффектах.

Математически каждая из перечисленных задач формулируется в виде

системы дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка

где операторы А, В, С в общем случае могут быть нелинейными; /(*) -функция, характеризующая внешние воздействия на тело функция характеризует граничные условия на поверхности -функция, оп-

ределяющая состояние тела в начальный период времени; и(и,,и2,и,) - искомая разрешающая функциональная компонента поля (в общем случае - вектор).

Данная диссертационная работа посвящена исследованиям задач определения физических полей с помощью математического аппарата теории Я-функций (ЯРМ).

Теория Я-функций в настоящее время достаточно широко применяется при исследовании краевых задач математической физики, в теории приближений, в задачах оптимального размещения и распознавания образов, в конструктивной теории функций, в автоматизации программирования и др., исследования по теории Я-функций достаточно полно отражены в работах многих исследователей.

Аи = Дх), в Л, Ви = <р(х\ на Б, Си = у/(х,о, хе(х„х2,х>), <„<;!<;(,

(О

(2) (3)

Метод R-функций дает такое функциональное представление приближенных аналитических решений (GSS), которые удовлетворяют граничным условиям и которые:

1) учитывают на аналитическом уровне геометрию области П;

2) учитывают на участках ее границы граничные условия;

3) позволяют учесть имеющуюся априорную информацию о точном решении задачи (если оно есть);

4) позволяют приблизиться к точному решению в метрике соответствующего функционального пространства

При построении аналитических решений (структурных формул (GSS)) с использованием аппарата Я-функций применяются дифференциальные операторы и определяемые соотношениями

т.е. превращаются в производную по нормали п и касательной гсоответст-венно.

Операторы и 7* зависят от функции о и

1) содержат информацию о форме области П;

2) определены всюду в области

3) на границе совпадают с производными по нормали и касательной, за исключением угловых точек;

4) позволяют продолжать граничные значения внутрь области;

5) представляют собой разложение функции f по неопределенным коэффициентам полинома Лагранжа.

Аналитическое описание уравнений ео(х) границ 5 произвольных областей П предполагает следующие этапы построения:

1) теоретико-множественное описание области П, т.е. представление с помощью операций алгебры множеств П, II, /;

2) логическое или предикатное описание области

к/-Ь к54"вХ'Хдх,) и,;'

При этом на границе 5 операторы Бк и 7* имеют вид

. . |1, хеП;

О, хеП-,

3) аналитическое описание области с помощью ^ - операций:

/ л, = у-^- (/¡+/а- 7/.2+л2-2^/2) - ^-конъюнкция, /, v. /г = + /: + >//«'+ л2-2^1/2) - ка-дизъюнкция,

/ = -/—Кв-отрицание.,

В данной работе применяются R-функции, которые строятся на множестве ¿•(-оо.ао) и соответствуют двузначным (булевым) функциям алгебры логики.

Следует отметить, что применение метода R-функций к задачам физики позволяет сохранить многие важные с физической точки зрения особенности, содержащиеся в постановке исходной задачи.

Методы построения решения краевых задач (GSS), опирающиеся на теорию R-функций, содержат конструктивно простые средства для удовлетворения самым разным типам краевых условий при практически произвольной геометрии областей. В то же время они позволяют использовать в качестве аппроксимационного аппарата как классические полиномы, так и функции с локальными носителями (сплайны, атомарные функции и др.). Эти обстоятельства ставят теорию R-функций в исключительно выгодное положение при разработке программирующих систем в области исследования задач экспериментальной физики.

В таких задачах, как расчет физических полей с учетом геометрических форм, среды, расположения и распределения возбудителей поля, величин физических параметров и другой информации важен, и почти неизбежен этап проведения численных экспериментов. Эти эксперименты необходимы для проведения анализа, выяснения пригодности и корректности выбранных физических и математических моделей поля; выбора метода и реализующего его вычислительного алгоритма; составления и отладки программ; решения тестовых и модельных задач; анализа численных результатов и др.

Метод R-функций обладает широкими алгоритмическими возможностями, что позволило создать программный комплекс со специальным входным языком - программирующую систему ПОЛЕ - программный инструментарий, который осуществляет компьютерное моделирование и автоматизацию вычислительного процесса в задачах исследования физических процессов, имеет средства взаимодействия с программами на физическом или математическом языке постановки конкретной задачи исследования, дает возможность проводить многовариантные вычисления.

Целью работы является развитие конструктивных средств теории R-функций для задач экспериментальной физики.

В связи с этим рассмотрены такие вопросы:

• создание математических моделей задач экспериментальной физики;

• разработка аналитических методов исследования физических процессов в приборах и аппаратах неклассической геометрической конфигурации;

• создание компьютерных моделей численного исследования основных задач, моделирующих физические процессы экспериментальной физики;

• проведение анализа физических процессов в приборах, аппаратах и конструктивных элементах.

Задачи и этапы исследования:

создание и исследование широкого класса математических моделей задач электродинамики, теплопроводности, термоупругости в средах, описываемых системами линейных и нелинейных дифференциальных уравнений;

проведение и теоретическое обоснование исследований электродинамических полей и характеристик в модуляторах, лазерах, приемниках и других приборах;

разработка методики решения пространственных и нестационарных задач теплопроводности, основанная на совместном применении дифференциально-разностного метода и теории R-функций;

проведение исследования апостериорных оценок погрешности структурных решений пространственных краевых задач математической физики;

разработка программного обеспечения для проведения исследований линейных, нелинейных и динамических задач теплопроводности, термоупругости, электродинамики;

выполнение вычислительного эксперимента по определению резонансных частот и электродинамических характеристики объемных резонаторов, широко используемых как колебательные системы (резонансные контуры) и нагруженных электрооптическими кристаллами, полуаксиальных резонаторов измерительных фотоприемных устройств, фотоприемных устройств на основе лавинных диодов, лазерных устройств и др.; по определению температурных полей и напряженно-деформированного состояния упругих и неупругих тел, подвергающихся внешним воздействиям;

разработка структурных моделей исследования дифракции установившихся и нестационарных упругих и термоупругих волн на объектах произвольной формы. Разработка новых вычислительных алгоритмов и схем для численной реализации новых структурных моделей.

Диссертационная работа выполнена в Московском физико-техническом институте и в отделе прикладной математики и вычислительных методов ИПМаш НАН Украины.

Связь работы с научными программами, планами, темами основываются на исследованиях автора, которые выполнялись в МФТИ и в отделе прикладной математики и вычислительных методов ИПМаш НАН Украины с 1985 по 2003 год, и отображена в отчетах нижеприведенных разработок: «Разработка эффективных методов и создание автоматизированных систем программирования» (ГР № 766077048);

«Развитие математической теории Я-функций и создание автоматизированного программного обеспечения» (ГР№ 80023021);

«Разработка модулей Я-функций решения задач математической физики» (ГР №018210012354);

«Создание системы «ПОЛЕ-ЕС» (ГР № 01840082148);

«Разработка новой теории программирования алгоритмов решения задач математической физики» (ГР № 93456081);

«Создание на основе теории Я-функций перспективного программного обеспечения и систем, ориентированных на решение задач математической физики, моделирующих взаимодействующие физико-механические поля» (ГР № 1870016839);

«Совершенствование конструктивных средств теории Я-функций и создание новых версий (для ЕС-ЭВМ) генераторов программ серии ПОЛЕ (ГР № 1840057174);

«Разработка новых методов общей обработки и преобразования сложной геометрической и аналитической информации в математическом и компьютерном моделировании» (РК № 0196И004537);

«Развитие и усовершенствование методов исследования структурных моделей и компьютерная реализация этих моделей для задач механики сплошных сред» (РК№0196И0044543);

«Развитие теории Я-функций и создание на ее основе мобильного программного обеспечения современных ЭВМ ( в том числе персональных) для исследования термоупругих, упругопластических, деформационных, электромагнитных и магнитогидродинамических полей» (ГР №01900009451);

«Создание на основе теории Я-функций интеллектуальных систем, ориентированных на задачи расчета физико-механических полей в научных исследованиях, инженерной практике и учебном процессе» (ГР № 01900034544);

«Интеллектуальный инструментарий компьютерной технологии в математической физике» (РК № 0196Ш04543);

«Высокоинтеллектуальные системы, программирования, ориентированные на использование алгебраизованных структурных формул решения краевых задач» (ГР № 0194Ш353430);

«Развитие теории Я-функций (ЯРМ), расширение ее предметной области, усовершенствование конструктивных и программных способов» (ГР № 0198и 0054125);

«Методы построения «и обращения операторов структурных и компьютерных моделей объектов сложной формы в механике сплошных сред» (№ 1/262, грант Государственного комитета Украины в делах науки и технологий); «Аналитико-геометрическое и компьютерное моделирование высоких технологий изготовления и эксплуатации объектов сложной конфигурации, находящихся в условиях высоко градиентных воздействий» (№ 2/847, грант Министерства Украины в делах науки и технологий);

«Разработка новых методов математического моделирования задач механики сплошных сред на основе теории Я-функций и теории неархимедовых исчислений» (№ 1.4/162, грант Министерства Украины в делах науки и технологий); «Разработка новых методов исследования задач дифракции упругих и неупругих волн на объектах неклассической геометрической формы» (№ 1/2002 о научно-техническом сотрудничестве между ИРЭ РАН и ИПМаш НАНУ); «Разработка и обоснование новых численно-аналитических методов исследования задач упругости и термоупругости объектов сложной формы» (№2/2002 о научно-техническом сотрудничестве между НУК ИУ МГТУим. Н.Э. Баумана и ИПМаш НАНУ).

Научная новизна результатов диссертации

• Предложен новый подход исследования физических полей экспериментальной физики в объектах сложной геометрической формы, основанный на использовании конструктивного аппарата теории Я-функций.

• Построены математические модели, аналитические решения — структуры решения (в88), алгоритмы, вычислительные схемы основных типов задач электродинамики, теплопроводности, теории упругости.

• Созданы компьютерные модели численного исследования основных задач, моделирующих физические процессы экспериментальной физики.

• Исследованы электродинамические поля в лазерах, модуляторах, приемниках.

1. Найдены условия поперечного микроволнового резонансного возбуждения смеси стабильных изотопов гелия-3 и неона - 20 с выходом когерентного излучения с длиной волны 0,6328 мкм, максимальной мощностью и шумами, не превышающими ее квантовых флуктуации, при исследовании электродинамических полей в гелий-неоновом лазере с микроволновым возбуждением.

'2. Определены области оптимальных геометрических размеров полукоаксиального резонатора, нагруженного кристаллами КОР и ниобата лития. Получена наперед заданная структура поля как при работе микроволновых модуляторов лазерных пучков на продольном, так и на поперечном электрооптических эффектах.

3. Проведены исследования биконического резонатора, нагруженного внутренним кристаллом КБР. Получены зависимости электродинамических характеристик биконического резонатора от его геометрических параметров и параметров кристалла. Определена геометрическая форма кристалла, обеспечивающая минимальные поперечные и продольные градиенты электрической компоненты поля, что обеспечивает оптимальную модуляцию пучка фотонного излучения.

4. Изучено электромагнитное поле фотоприемного устройства, созданное на основе биконического резонатора, внутри которого находится диод сложной геометрической формы.

5. Создана математическая модель и проведено численное моделирование и экспериментальные исследования электромагнитных полей в резонансных фотоприемных устройствах автогенераторного типа. В результате этих исследований удалось исключить побочные колебания гетеродина и найти оптимальную структуру поля в зазоре резонатора, воздействующую на фотоэлектронный умножитель, и создать резонансные фотоприемные устройства, обеспечивающие максимальный коэффициент преобразования лазерного излучения в измеряемый гармонический сигнал.

Исследованы тепловые процессы в элементах сложной геометрической

конфигурации.

1. Разработан подход к решению пространственных задач теплопроводности в областях сложной геометрической формы, основанный на совместном применении теории Я-функций и дифференциально-разностного метода.

2. Получены с использованием теории сопряженных вариационных задач апостериорные оценки погрешности структурных решений (в88) задач исследования пространственных температурных полей в областях сложной геометрической формы.

3. Разработаны алгоритмы и вычислительные схемы для задач исследования нестационарных краевых задач теплопроводности, которые используют теорию Я-функций и интегральные преобразования, совместно метод конечных разностей и теорию Я-функций, а также метод наименьших квадратов и ЯРМ.

4. Созданы математическая модель, алгоритм, вычислительные схемы и получены численные результаты задачи исследования - температурного поля в элементах аппаратов для добычи полезных ископаемых со дна мирового океана. Определены температурные режимы выхода на стационарный режим работы аппаратов сложной геометрической конфигурации.

5. Приводятся результаты исследования задач для теплоизлучающего тела неклассической формы. Данная задача рассматривается как нелинейная с граничными условиями интегрального типа, которая подвергается линеаризации с последующим исследованием линейных задач методом Я- функций.

6. Изучены тепловые процессы в электрооптических кристаллах микроволновых модуляторов по найденным с наперед заданной структурой электродинамическим полям. Рассматривались полуаксиальные резонаторы сложной геометрической формы, нагруженные кристаллами. Получены температурные поля при работе модулятора лазерных пучков как на продольном электрооптическом эффекте, так и на поперечном. Установлено, что характер распределения температурного поля в резонаторах и кристаллах качественно совпадает с характером распределения электродинамических полей.

• Исследовано напряженно-деформированное состояние конструктивных элементов неклассической геометрической формы.

1. Построены математические модели задач и проведен вычислительный эксперимент по исследованию напряженно-деформированного состояния в элементах технологической оснастки, ослабленных ребрами жесткости.

2. Созданы математические и компьютерные модели исследования термонапряженного состояния в лопатке, авиацирнного двигателя и цилиндровом блоке аксиально-поршневого насоса.

3. Разработаны математические модели задач определения упругопла-стического состояния элементов технологического процесса.

4. Представлены алгоритмы, вычислительные схемы, численные результаты решения задач определения напряженно-деформированного состояния осесимметричных тел конечных размеров, которые широко используются в качестве элементов технологической оснастки, нагруженных за пределами упругости.

5. Создана математическая модель задачи отыскания силовых параметров элементов технологического процесса, которая рассматривается как задача упругопластического деформирования трубчатых заготовок.

6. Предложен алгоритм определения термонапряженного состояния тел произвольной формы, находящихся в условиях упругопластических деформаций.

7. Найдены (по температурным и электродинамическим полям с наперед заданной структурой) поля напряжений в кристаллах, находящихся в резонаторах, работающих на продольном и поперечном электрооптическом эффектах.

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгостью математических постановок задач, построением априорных и апостериорных оценок погрешностей численных решений, сравнением результатов, представленных в диссертационной работе, с известными точными решениями или данными других авторов, а также с результатами некоторых физических экспериментов. Целесообразность разработанных подходов исследования физико-механических полей подтверждается вычислительным экспериментом в решении практически важных задач, а также результатами физических экспериментов, о чем имеется акт внедрения.

Теоретические исследования электромагнитных и температурных полей в элементах сложной геометрических формы подтверждены физическими экспериментами и использованы при создании новых приборов, таких как гелий-неоновые лазеры, электромагнитные модуляторы и фотоприемные устройства лазерных измерительных систем.

Методы исследования В работе использованы методы математического моделирования, теории дифференциальных уравнений и математической физи-

ки, методы решения задач математической и экспериментальной физики, теория Я-функций, компьютерное моделирование, программное обеспечение, вычислительный эксперимент.

Теоретическое значение работы

• Построены математические модели, аналитические решения - структуры решения (в88), алгоритмы, вычислительные схемы основных типов задач электродинамики, теплопроводности, теории упругости.

• Построены математические модели задач исследования электродинамических полей в лазерах, модуляторах, приемниках.

• Получены зависимости электродинамических характеристик модуляторов, лазеров и приемников от геометрических и физических параметров.

• Разработана методика исследования пространственных задач математической физики для уравнений эллиптического типа, которая использует дифференциально-разностный метод и теорию Я-функций.

• Исследованы апостериорные погрешности решения пространственных краевых задач в неклассических областях, которые базируются на совместном использовании теории сопряженных вариационных задач и метода Я-функций.

• Предложены подходы к исследованию нестационарных температурных полей в областях сложной геометрической формы, основанные на теории Я-функций и ее сочетании с конечными разностями и интегральными преобразованиями.

• * Разработана математическая модель задачи определения температурного

поля в элементах аппаратов для добычи полезных ископаемых со дна мирового океана.

• Предложен подход к исследованию задач для теплоизлучающего тела неклассической формы, который использует аппарат теории Я-функций.

• Разработана математическая модель для исследования тепловых процессов в электрооптических кристаллах микроволновых модуляторов. Изучены тепловые процессы в электрооптических кристаллах микроволновых модуляторов по найденным с наперед заданной структурой электродинамическим полям. Рассматривались полукоаксиальные резонаторы сложной геометрической формы, нагруженные кристаллами. Получены температурные поля при работе модулятора лазерных пучков как на продольном электрооптическом эффекте, так и на поперечном.

• Создана математическая и компьютерная модель определения термоупругих и упругопластических деформаций в элементах технологической оснастки, которые находятся в условиях сложного нагружения.

• Построены алгоритмы определения термовязкоупругопластичных полей в геометрических телах сложной формы.

• Разработана математическая модель исследования поля напряжений в кристаллах, находящихся в резонаторах, работающих на продольном и поперечном электрооптическом эффектах.

• Разработаны новые структурные и компьютерные модели, алгоритмы и вычислительные схемы исследования динамических задач термоупругости (задачи дифракции упругих и термоупругих волн) для объектов неклассической формы.

Практическое значение работы

Результаты диссертационной работы использованы при создании Государственного первичного эталона объемной активности радона-222 (ДЕТУ 1201-97) и рабочего эталона единицы длины метра в области больших длин согласно с «Программой создания эталонной базы Украины на 1993-1997 годы» и применены для автоматизации моделирования физических процессов в эталонных генераторах радона-222, для исследования электромагнитных полей в элементах сложной геометрических формы, таких как газоразрядные гелий-неоновые лазеры, электромагнитные модуляторы и фотоприемные устройства лазерных измерительных систем.

Теоретические исследования электромагнитных и температурных полей в элементах сложной геометрических формы использованы при создании новых приборов, таких как, газоразрядные гелий-неоновые лазеры, электромагнитные модуляторы и фотоприемные устройства лазерных измерительных систем.

Это позволило сократить ряд дорогостоящих экспериментальных исследований и выбрать конструкцию приборов, обеспечивающих высокую точность измерений.

Предложенные в диссертационной работе структурные модели, методы, программное обеспечение используются для оценки термонапряженного состояния в установках для добычи твердых полезных ископаемых со дна мирового океана (НИПИ "Океанмаш", г. Днепропетровск), в исследовании задач определения упругих, термоупругих, упругопластических деформаций в технологических элементах, которые широко применяются в авиастроении, а также в иных разработках, которые выполнялись по темам государственного бюджета и договорным роботам.

Апробация результатов работы Главные идеи, положения и результаты исследований были представлены на конференциях и научных семинарах: на кафедре математической физики Харьковского университета (г. Харьков, 1980 г., рук. семинара д-р физ.-мат.н. В.АЩербина); на Всесоюзной школе "Вычислительная математика и математическое моделирование" (г. Минск, 1984 г., рук. академик А.А. Самарский), на межвузовском научном семинаре "Математические проблемы механики" (г. Днепропетровск, 1987г., рук. академик В.И.Моссаковский), на кафедре общей механики Белорусского университета (г. Минск, 1988г., рук. д.-р физ.-мат.н. И.А Прусов), на Республиканской конференции. "Эффективные методы решения задач механики" (г. Харьков, 1989 г.); на Всесоюзной конференции "Жизнь и компьютер" (г. Харьков, 1991 г.); на Всеукраинской конференции "Новые подходы к решению задач математической физики" (г. Львов, 1993 г.), на Международной конференции 100 лет использования электромагнитных волн. Волновые процессы в радиофизике" (г. Москва, 1995 г); на Всеукраинской научной конференции "Разработка и использование математических методов в научно-технических исследованиях" (г. Львов, 1995 г.); на. IV международной конференции по механике неоднородных структур (г. Тернополь, 1995 г.), на конференции, посвященной памяти профессора Ю.Н. Коляно (г. Львов, 1996 г.), на семинарах отдела прикладной математики и вычислительных методов Института проблем машиностроения НАН Украины ( 1987 -1999 гг.), на Международной научной конференции «Сучасни проблеми механики и математики» (м Львов, 1998 р.); на Международной научной конференции "Physics and Engineering of Millimeter and Submillimeter Waves"(r. Харюв, 1998 p.), Международной научной конференции "Dynamical Systems Modeling and stability Investigation Systems Modeling" (г. Киев, 1999 г.), Международной конференции, посвященной 100-летию профессора Х.М. Муштари, 90-летию профессора К.З. Галимова и 80-летию профессора М.С. Корнишина (Казань, 26-30 июля 2000 г. Институт механики и машиностроения КНЦ РАН) « Актуальные проблемы механики бболочек»; шестой Международной конференции "Modern Trends in Computational Physics" (In Memory of N.N. Govorun, July 24-29, 2000, Dubna, Russia. Joint Institute for Nuclear Research, Laboratory of Computing Techniques • and Automation), ''Исследование физико-механических полей в областях сложной геометрической формы методом R-функций" (Московский государственный университет, 2002 г.), International Workshop on Laser and Filter-Optical Networks Modeling, (June 3-5, 2002, V.N. Karazin National University & National University of Radio Electronics, Харьков, Украина).

Публикации. По теме диссертации опубликованы 33 научные работы.

Автором выполнены следующие разработки:

- предложен новый подход к изучению физических полей в приборах и элементах экспериментальной физики, который использует аппарат теории R-функций;

- разработаны новые математические модели задач исследования физических полей в областях неклассической геометрической формы;

исследованы электродинамические поля в лазерах, модуляторах, приемниках, определены оптимальные геометрические характеристики резонаторов, имеющих наперед заданную структуру электродинамических полей;

- определены структуры магнитного и электрического поля в биконическом резонаторе;

- найдены оптимальные режимы работы фотоприемных устройств, созданных на осове биконического резонатора;

- исследованы диссипативно-тепловые процессы в электрооптических кристаллах. Разработана математическая модель для исследования тепловых процессов в электрооптических кристаллах микроволновых модуляторов. Изучены тепловые процессы в электрооптических кристаллах микроволновых модуляторов по найденным с наперед заданной структурой электродинамическим полям;

- выполнен расчет фотоприемных устройств лазерных измерительных систем и др.;

- разработана методика исследования температурных полей в пространственных областях неклассической геометрической формы, основанная на совместном применении дифференциально-разностного метода и теории R-функций;

проведено исследование апостериорных оценок погрешности структурных решений пространственных краевых задач;

- исследовано температурное поле в сложных геометрических объектах, используемых в качестве ТВЭЛов в различных теплообменниках;

- получены тепловые характеристики и режимы работы установок для добычи твердых полезных ископаемых со дна океана;

- разработаны алгоритмы определения нестационарных тепловых полей, описываемых дифференциальными уравнениями параболического типа, на основе теории R-функций с использованием:

а) интегральных преобразований,

б) дифференциально-разностного метода,

в) метода наименьших квадратов;

- предложен алгоритм решения задач определения температурных полей в излучающих системах;

разработана математическая модель для исследования тепловых процессов в электрооптических кристаллах микроволновых модуляторов. Изучены тепловые процессы в электрооптических кристаллах микроволновых модуляторов по найденным с наперед заданной структурой электродинамическим полям. Рассматривались полуаксиальные резонаторы сложной геометрической формы, нагруженные кристаллами. Получены температурные поля при работе модулятора лазерных пучков как на продольном электрооптическом эффекте, так и на поперечном.

- исследованы поля температур и напряжений в лопатках авиационных двигателей, а также в цилиндровом блоке аксиально-поршневого насоса;

создана математическая модель и проведены исследования процессов формообразования и отыскания силовых параметров технологических элементов при упругом, термоупругом и упругопластическом деформировании трубчатых заготовок; определены (по температурным и электродинамическим полям с наперед заданной структурой) поля напряжений в кристаллах, находящихся в резонаторах, работающих на продольном и поперечном электрооптическом эффектах, на основе созданной математической модели.

- созданы структурные модели и аналитические решения, вычислительные алгоритмы и схемы для численной реализации структурных моделей и задач дифракции упругих термоупругих и нестационарных волн на объектах произвольной формы;

- создано программное обеспечение для проведения численных исследований линейных, нелинейных и динамических задач математической физики, в рамках которого выполнен вычислительный эксперимент по определению физико-механический полей различной природы в сложных геометрических объектах, которые широко используются в различных отраслях промышленности.

Объем диссертации Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы, приложений. Общий объем работы - 279 с, таблиц -34, рисунков -134, библиография включает 234 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение. Анализируется состояние проблемы, обосновывается актуальность, излагается цель работы, ее научная новизна и практическая ценность. Определяется круг исследуемых вопросов, обсуждаются методы исследований, а также достоверность полученных результатов.

Глава 1 посвящена структурным моделям, численно-аналитическим методам исследования задач для неклассических областей. Для построения структурных решений (в88) задач исследования физических полей используется конструктивный аппарат теории Я-функций (ЯБМ). Основная идея построения структурных формул, учитывающих граничные условия, состоит в разложении в ряд искомого решения по степеням функции а или й\, где - левые части нормализованных уравнений границы области

или их участков. Следующим этапом является удовлетворение исходному дифференциальному уравнению. В работе этот процесс при численных решениях реализуется обычно вариационными методами. В вариационных методах учет информации об области П, ее границе дП и граничных условиях осуществляется в процессе построения координатных (базисных) функций, обладающих необходимыми свойствами полноты и линейной независимости. Координатные функции, удовлетворяющие заданным граничным условиям, строятся с помощью метода Я-функций. Это дает возможность при построении структур решений (в88) учесть геометрическую информацию краевой задачи на аналитическом уровне, без какой-либо ее аппроксимации, т.е. создания структурных моделей.

Исследование физических полей различной природы приводит к рассмотрению системы уравнений в частных производных вида(1)-(3).

Задача интегрирования системы (1)-(3) заменяется эквивалентной вариационной задачей определения на множестве О(А) элемента (/'(х^х^х,), минимизирующего функционал

Дй) = (А0,и)-2ф,Л. (4)

где (•,•)— скалярное произведение.

Решение вариационной задачи (4) в энергетическом пространстве имеет вид функционального соотношения, называемого структурой решения (в88)

0 = В(Ф), (5)

где В- известный оператор, учитываеющий (или нет) граничные условия (2) краевой задачи (1)-(3), и который определен на множестве М, элемент Ф выбирается так, чтобы как можно лучше (том или ином смысле) удовлетворить исходному уравнению (1).

Оператор В(Ф) имеет вид следующего разложения

я(ф)=£й«а(ф), (6)

где б4(Ф) (к=1,2...г) - линейные дифференциальные операторы специального вида, которые продолжают граничные условия во внутрь области -

функциональные коэффициенты, которые строятся так, чтобы функция удовлетворяла (в том или ином смысле) заданной системе граничных условий (2).

Использование линейных дифференциальных операторов (6) не уменьшает общности и для нелинейных структурных формул (5), так как те нелинейные задачи, которые рассматриваются в представленной работе, сводятся к последовательности линейных.

Применение теории R-функций для исследования физических задач в произвольных областях позволяет исследовать их в неклассических телах без ограничения на формы области и типы температурных, механических, волновых и других воздействий на изучаемый объект. Полученные решения - структуры (GSS) имеют вид функциональных соотношений, состоящих из элементарных функций или суперпозиции элементарных и специальных функций. При этом учитываются на аналитическом уровне граничные условия и геометрия области исследования задачи, кроме того, имеется возможность учитывать априорную информацию о точном решении (если оно есть) и приблизиться к не

му в метрике соответствующего функционального пространства.

В этой же главе приводятся основные структурные формулы для исследования задач электродинамики, теплопроводности, теории упругости.

Структурные модели (5) дают возможность проанализировать полученные решения, создать компьютерные модели задач исследования физических полей, провести большой вычислительный эксперимент по определению физических характеристик объектов неклассической формы.

Вычислительный эксперимент выполнен в рамках программного комплекса «ПОЛЕ», который позволил провести широкие исследования физических полей различной природы без ограничения на характер краевых условий, форму области и участков ее границы. Применение системы «ПОЛЕ» позволило получать приближенные аналитические решения, точно удовлетворять (в случае необходимости) всем краевым условиям, учитывать априорную информацию о поведении решения (если она есть) и т.д. Использование системы «ПОЛЕ» во много раз сократило время на программирование и численное исследование задач математической физики. Возможность представления при-

ближенных решений в виде формул, содержащих в качестве буквенных параметров характеристики физических и геометрических величин, позволило проводить в рамках системы «ПОЛЕ» серию вычислительных экспериментов с изменением необходимых параметров, а также решать задачи оптимизационного характера. Результаты решения краевых задач в виде различных дифференциальных и интегральных характеристик отображаются в виде таблиц, графиков, картин линий уровня и др.

Вычислительный эксперимент необходим для выяснения пригодности . и корректности физических и математических моделей; выбора метода исследования и реализующего его вычислительного алгоритма; решения тестовых (модельных) задач; анализа численных результатов реальных задач и др.

Несмотря на то, что математической основой системы «ПОЛЕ» является теория R-функций, ее возможности позволили использовать сочетание с классическими и численными методами для исследования как скалярных, так и векторных задач математической физики. В исследовании пространственных задач теплопроводности, наряду с традиционным использованием теории R-функций, применяется ее сочетание с конечными интегральными преобразованиями или же с конечно-разностными методами. Нестационарные тепловые задачи исследуются подходами, основанными на совместном применении теории R-функций и интегральных преобразований, дифференциально-разностного метода или метода наименьших квадратов. В исследовании упругопластических деформаций применяется один из методов линеаризации нелинейных задач теории упругости и теория R-функций и др.

В главе 2 исследуются с использованием аппарата теории R-функций электродинамические поля в новых приборах и элементах, применяемых в лазерной технике, таких как:

• автогенераторные гелий-неоновые лазеры;

• модуляторы;

• автогенераторные гетеродинные фотоприемники с резонаторами микроволнового диапазона длин волн.

В процессе генерации, модуляции и приема лазерных пучков автогенераторных лазерных устройств гармонические электромагнитные колебания в их средах описываются уравнениями Максвелла

rot Е = йод Н, cftv(e Е) = р,

rot Н = -коце Е+ J, div(fi Н) = 0,

где круговая частота гармонической волны (колебания с вре-

менной зависимостью - векторы напряженностей электрическо-

го и магнитного полей; е, Ц - диэлектрическая и магнитная проницаемости; ст -

проводимость; Э - вектор стороннего тока, р - плотность сторонних зарядов. Величины е, ц, и являются тензорами второго ранга. Плотности стороннего тока J и сторонних зарядов связаны уравнением неразрывности:

<Лу,/-к5р = 0.

На поверхности раздела двух сред векторы электромагнитного поля должны удовлетворять условиям сопряжения:

(8)

где 1=1,2 - обозначение сред, п - единичный вектор нормали к поверхности сопряжения, направленных из первой среды во вторую. Если ни одна из

сред не является идеальным проводником, то - поверхностные

заряды, - заряды).

Краевой задаче (7)-(8) сопоставляется вариационная: найти пары (X, и) (А-еЯ, 1АеИ-{0})„ удовлетворяющая условиям

(9)

где

(10)

пространство допустимых функций соболевское пространство, со-

держащее решения задачи (9)—(10).

Вариационная задача (9)—(10) решается методом Ритца, в соответствии с теорией Я-функций ее решение представлено в виде соотношений -структур решения задачи (в88)

И=шФ, 00

И = Ф-У(1>(Уш-Ф) + С05?ш/\ (12)

где Ф и Р - произвольные достаточное число раз дифференцируемые векторная и скалярная функции, и — уравнение границы £Ю области исследования П, которое строится с использованием конструктивных средств теории R-функций.

Алгоритм решения задачи (9)-(10) состоит из нескольких блоков, которые включают в себя построение функционала, соответствующего краевой задаче, выбор метода интегрирования соответствующих функциональных коэффициентов, выбор метода решения системы алгебраических уравнений, получающихся из данного функционала, выбор собственных функций и векторов с использованием схемы Холецкого, определение резонансной частоты и других характеристик резонатора.

Предложенный подход позволил провести исследования, разработанного в ННЦ «Метрология» (г. Харьков, Украина), нового гелий-неонового лазера с микроволновым возбуждением атомов.

С целью максимального повышения КПД возбуждения плазмы и снижения шумов в выходном когерентном излучении лазера, реализована автогенераторная структура с использованием резонанса корпуса со встроенным ЛАЭ.

Гелий-неоновый лазер представляет собой стеклянную трубку 1, внутри которой имеется капилляр - 2, а на наружной поверхности трубки размещены две металлические полоски - 3, образующие отрезок полосковой линии. Полос -ковой линией возбуждается высокочастотное поле, которое генерирует плазму. Плазма — активная среда ЛАЭ. Все вышеуказанные элементы помещены в металлический кожух — 4, образующий корпус лазера, к торцам которого крепятся зеркала, образующие оптический резонатор. В результате, в рассматриваемой задаче лазер представляет собой цилиндрический резонатор, нагруженный полосковой линией, стеклянным диэлектриком и плазмой (рис. 1). Характерный параметр полосковой линии - угол охватывающий стеклянную трубку.

Принималось, что внутри однородной структуры отсутствуют источники (сторонние токи и заряды), поэтому рассматривалась следующая краевая задача эллиптического типа

да+А'^овп, (13)

[я,1/] = 0, с1ий = 0 наоО, (14)

где - область исследования, - граница области

2<р0

/

2Д(|

-и

Рис. 1

2

\Г

Результаты исследования электродинамических характеристик гелий-неонового лазера показали следующее.

Электрические компоненты поля достигают максимума в центре капилляра. При этом, оптимальная ширина металлической полоски при наружном диаметре 2г8=б мм равна 2,25 мм (2ф0=45°). При уменьшении ширины металлической полоски до 0,5 мм (2ф(г=10о) амплитуды электрических компонент поля в центре капилляра уменьшаются.

Картины линий уровня электромагнитного поля в сечении гелий — неонового лазера представлены в виде фрагментов, ограниченных полосковой поверхностью, угол покрытия которой изменялся от 0° до 75° (рис.2). Более темным цветом показаны границы полосковой поверхности. В предельном случае (рис. 2, а) получено известное распределение электромагнитного поля цилиндрического резонатора.

В результате проведенных исследований найдены условия поперечного микроволнового резонансного возбуждения смеси стабильных изотопов гелия-3 и неона-20 с выходом когерентного излучения с длиной волны 0,6328 мкм, максимальной мощностью и шумами, не превышающими ее квантовых флуктуации.

В этой же главе рассматривались задачи модуляции лазерных пучков в современных лазерных дальномерах-рефрактометрах (ЛДР) с электрооптическими резонансными СВЧ- модуляторами, в которых применяется электрооптическая модуляция с использованием линейного электрооптического эффекта в кристаллах (рис. 3).

Математическая модель задачи исследования собственных чисел и собственных функций для электрооптического модулятора, нагруженного кристаллом (область П1, рис. 3), описывается уравнениями (7)-(10).

Геометрические и физические параметры его выбирались таким образом, чтобы в полукоаксиальной части ПКР возбуждалась ТЕМ- волна, а в кристалле - Е-волна.

Для решения задачи (7)-(10) применялся структурный метод, который позволил построить структурные формулы решения (088) в каждой из подобластей О,(¡=1,2), где П1 — область кристалла, область П2 — модулятор, не содержащий кристалл.

Структурный метод в нашем случае позволил построить структуры решения и=В(Ф|,Ф2) задачи (7)-(10) в каждой из подобластей и Ог» где Ф|,Фг - неопределенные компоненты структуры, имеющие свое определенное влияние в каждой из подобластей П| и П2.

Анализ результатов решения задачи для модулятора, работа которого основана на продольном электрооптическом эффекте, позволил сделать еле-

дующие выводы. Электромагнитное поле оказалось сосредоточенным в торце резонатора (рис. 4, а). Максимальная величина поля в резонаторе с кристаллом возросла по сравнению с максимальным значением поля резонатора без кристалла приблизительно в 3 раза. Максимальное значение поля в кристалле (рис.4, б) находится приблизительно в его середине. Распределение электромагнитной компоненты поля тах в некоторых сечениях кристалла (г = г!(И) представлено на рис. 4, в. Наличие максимума на кривых распределения позволяет сделать вывод о том, что в модуляторе имеется стоячая волна, а точка максимума на графиках вдоль оси г имеет приблизительно одну и ту же координату.

В этой главе приводятся также результаты исследования электродинамических характеристик аналогичного модулятора с кристаллом в торцевой поверхности, работа которого основана на поперечном электрооптическом эффекте (рис. 5, а). В отличие от рассмотренного выше, этот резонатор имеет диск с геометрическими параметрами диска расположенный над кри-

сталлом ниобата лития. Этот тип кристалла обеспечивает поперечный электрооптический эффект.

На рис. 5 приведены картины линий уровня поля в модуляторе с кристаллом иЫЬОз (рис.5, а ) и в самом кристалле (рис.5, б). Геометрические параметры резонатора выбирались такими же как и случае резонатора с продольным электрооптическим эффектом. Наличие кристалла приводит к равномерному распределению поля в торцевой части, максимум поля смещается к верхней торцевой поверхности (рис. 5, б). Максимальные значения поля в случае

а)

б)

в)

Рис.4

поперечно оптического эффекта оказались выше приблизительно на 15 %. Зона максимальных значений поля находится вблизи верхней торцевой поверхности диска.

Компьютерное и численное моделирование, а также лабораторные исследования электромагнитных полей автогенераторных модуляторов позволили определить область оптимальных геометрических размеров полукоаксиального резонатора, нагруженного кристаллами KDP и ниобата лития. В частности, определены значения резонансных частот модулятора, работающего на поперечном электрооптическом эффекте, в зависимости от его геометрических параметров (рис. 6).

Эталонные образцы автогенераторных модуляторов имеют максимальные коэффициенты глубины модуляции (0,8 - 0,6) в диапазоне частот 100 - 1000 МГц, минимальные нелинейные искажения и стабильность резонансной частоты 1*10-8, что обеспечивает их использование в адаптивных лазерных измерительных системах.

а) б)

Рис.5

Т«ЦЧИ»»Я««ЦЩ« М4

а) б)

Рис.6

Далее во второй главе изучены вопросы моделирования приема лазерных пучков, представлены результаты теоретических исследований, направленные на получение наперед заданной структуры электромагнитного поля как в области возбуждения запредельных цилиндрических резонаторов, так и в зоне

преобразования лазерного излучения фотоэлектронного умножителя. Численные результаты сравниваются с экспериментальными.

Современный прием лазерных пучков реализован с помощью резонатор-иых фотоприемников автогенераторного типа (рис. 7,а). Резонатор представляет собой цилиндрическое тело {Х^иПг'-'Ф» с внутренними фоконами По (рис.7, б —7, в), которые имеют открытую верхнюю поверхность радиуса г^. Через эти поверхности происходит излучение электромагнитной волны в область Пч, представляющую для данной волны запредельный цилиндрический резонатор. Кроме того, в нижней поверхности резонатора вставлено металлическое цилиндрическое тело высотой /и и радиусом гг. В численном эксперименте параметры г\ и Г2 варьировались с целью получения оптимальной структуры поля и максимального значения нормальной составляющей электрического поля в области П1 в зоне расположения фотокатода ФЭУ.

где 7~'=7=ую,~7о1иуо2*-'Уоз — граница области £}; выражение (17)-граничное условие; соотношение (18)-условие равенства решений и) и 1/г и их производных по нормали (условие сопряжения решений) на границе области и фоконах; V - внешняя нормаль к границе. Область Оз представляет собой цилиндрическую область, внутри которой решение не определялось.

Функция *|/(г,г), являющаяся функцией источников, находилась методом наименьших квадратов по известной величине резонансной частоты _/рвз в области Пг в виде ряда

\|;(г,2) = о>|(г,г)]|]П1(р1(г,г), (19)

где <31(г,г) - функция, описывающая уравнение границы Г^ области в качестве аппроксимирующих средств ф|(г,г) выбирались нормированные полиномы Чебышева; коэффициенты Д находились из условий минимума функционала метода наименьших квадратов для значений тя=10.

Представлены картины распределения и величины электрической компоненты электромагнитного поля при отсутствии фоконов-концентраторов (рис. 8, а), и при их наличии (рис.8,6).

Полученные результаты показали, что введение цилиндрического тела из идеально проводящего металла в центр ПКР и применение концентраторов-фоконов из кварцевого стекла позволило сформировать необходимую структуру электрической компоненты электромагнитного поля в зоне преобразования лазерного излучения в ФЭУ с максимальной величиной Еz-компоненты (рис.8, в).

а) б) в)

Рис.8

Моделирование, численные и экспериментальные исследования электромагнитных полей в резонансных фотоприемных устройствах автогенераторного типа позволили исключить побочные колебания гетеродина и найти оптимальную структуру поля в зазоре резонатора, воздействующую на ФЭУ или ЛФД. По результатам исследований созданы резонансные ФПУ, обеспечивающие максимальный коэффициент преобразования лазерного излучения в измеряемый гармонический сигнал с частотой 103 Гц. Это позволило получить предельно малую погрешность измерений разности фаз угловых секунд) и обеспечило рекордную точность адаптивных лазерных дальномерных систем фазового типа в диапазоне длин от 1 м до 10 км.

В лазерной физике, атомной спектрометрии, в метрологии лазерного, рентгеновского и гамма-излучений широкое применение находят резонансные структуры в виде биконических резонаторов, нагруженных электрооптическими кристаллами (рис. 9). Биконический резонатор, занимающий область Оь состоит из цилиндрической части радиуса R и длины L, двух усеченных конусов, образующие которых составляют угол 0 с осью OZ; а - радиус плоских торцов резонатора; (1| - длина кристалла; а\ - радиус плоского торца кристалла; кристалл занимает область П2 и может иметь форму кругового (Г]=А1), сферически выпуклого или сферически вогнутого цилиндра

Рис.9

Результаты исследовании собственных колебаний таких структур-модуляторов фотонного излучения, проведенные с помощью теории R-функций, позволили при проектировании резонансных электрооптических модуляторов на основе биконического резонатора получить равномерное поле и зависимость резонансной частоты колебания от геометрических параметров резонатора и кристалла, физических параметров и формы одноосного кристалла типа KDP.

В работе приведены исследования электродинамических характеристик биконического резонатора с одноосным кристаллом, работающего на сантиметровом диапазоне.

Наиболее предпочтительным по поведению электромагнитного поля оказался кристалл в форме кругового цилиндра, так как электрическая компонента плавно изменялась как по оси, так и по объему кристалла.

Для проверки достоверности полученных решений исследованы предельные переходы к биконическому резонатору без кристалла. В предельном случае резонансная частота модулятора стремилась к частоте биконического резонатора (рис. 10).

Результаты теоретических исследований и численного эксперимента для безразмерных параметров резонатора и кристалла позволили, используя теорию

подобия, выбрать необходимые геометрические параметры для конкретных условий работы модулятора.

Исследовались также фотоприемные устройства на основе лавинных диодов СВЧ-гетеродином для прецизионных лазерных дальномерных систем.

8.

им ММ О ОД 9Я ОД «Л *!/«'

а) б)

Рис. 10

Глава 3 посвящена изучению задач теплопроводности, в ней исследовались стационарные и нестационарные задачи теплообмена для ограниченных тел, которые описываются дифференциальными уравнениями с частными производными эллиптического или параболического типов.

Решения пространственных стационарных задач теплопроводности в ограниченных телах произвольной формы используют подходы, которые базируются на применении теории R-функций; на совместном применении теории R-функций и конечных интегральных преобразований; на использовании теории R-функций и дифференциально-разностного метода, разработанного в данной диссертационной работе.

Применение метода R-функций приводит к структурным решениям (Овв), которые в общем виде записываются соотношением

и=В(Ф), (20)

где и - решение задачи, В и Ф несут ту же информацию, что и в выражении

(5)

При использовании второго подхода исследования задач, основанного на общем применении теории R-функций и конечных интегральных преобразований, структурное решение представляется в виде

и,[х„х1,х,) = ^ии(х1,хг,г1)К{х„г1), (21)

где К(х,г,), Л - собственная функция и собственное число задачи Штурма-Лиувилля, соответствующие трехмерной задаче; ии{х1,х1,у,)- решение дву-

мерной краевой задачи, полученной после применения конечных интегральных преобразований к пространственной задаче. Это решение представляется формулой (20) и зависит от собственного числа у,.

К системе двумерных несвязанных между собою задач сводится пространственная задача, если к исходной краевой задаче применяется по одной из координат разностная схема. Тогда имеем следующее решение задачи на каждом шаге изменения одной из координат (например, х,)

"J (*! ,х2) = ХииЛх„х2Щ(Л,), (22)

где - собственные векторы и собственные числа разностной краевой

задачи типа Штурма-Лиувилля; ииц(х,,хг)- решение двумерной краевой задачи, полученной после применения разностной схемы.

Решения пространственных задач в этих подходах имеют вид функциональных рядов, состоящих из элементарных функций или из суперпозиции элементарных и специальных функций.

Анализ использования этих подходов дал возможность создать и исследовать структурные модели краевых задач для дифференциальных уравнений эллиптического типа, построенных для неклассических областей и произвольных граничных условий.

Использование метода Я-функций для пространственных задач эллиптического типа дает возможность исследовать задачу в общей трехмерной постановке. В то же время совместное применение теории Я-функций и конечных интегральных преобразований или совместное использование теории Я-функций и дифференциально-разностного метода понижает порядок рассматриваемой задачи. Решения этих задач соответственно зависят от собственных векторов задачи Штурма-Лиувилля и от типа разностной схемы и размера шага изменения по одной из координат, применяемой в разностной схеме.

Дифференциально-разностный метод с сочетании с теорией Я-функций расширяет сферу исследования пространственных задач эллиптического типа для неклассических тел, если их граничные поверхности не параллельны координатным плоскостям.

Рассмотренные подходы исследования пространственных задач позволили разработать алгоритмы и вычислительные схемы, с помощью которых были созданы компьютерные модели задач для тел произвольной формы без ограничений на типы граничных условий.

В диссертации приведены численные результаты, полученные выше упомянутыми подходами. Достоверность численных результатов проверялась

также исследованиями сходимости решений, а также изучением априорных и апостериорных погрешностей структурных решений (GSS).

В этой же главе рассматриваются краевые задачи математической физики в частных производных, которые описываются уравнениями параболического типа и для исследования которых используются подходы, базирующиеся на совместном применении интегральных преобразований по переменной времени, и теории R-функций; на общем использовании разностного метода (метода прямых) также по переменной времени и теории R-функций, а также на совместном использовании метода наименьших квадратов и теории R-функций.

Показано, что во всех этих случаях решения задачи имеют вид функциональных рядов, состоящих из элементарных функций или суперпозиции элементарных и специальных функций. Показано также, что в численной реализации для построенных компьютерных моделей с выбором одних и тех же ап-проксимацоинных пространств получаем достаточно близкие результаты. Некоторые особенности компьютерных моделей появляются при рассмотрении интегральных преобразований по переменной времени и теории R-функций. Это связано с выполнением обратного интегрального преобразования, а также при совместном использовании метода наименьших квадратов и теории R-функций, что требует от искомого решения принадлежности к классу функций с непрерывным производными более высокого порядка, чем в других случаях.

Поскольку после применения двух первых подходов к исследованию краевых задач параболического типа приходим к уравнению эллиптического типа, то для данного класса задач остаются верными исследование сходимости решений, их априорные и апостериорные оценки погрешностей на каждом временном слое.

Использование метода наименьших квадратов совместно с теорией R-функций позволило для некоторых конкретных задач определить диапазон изменения временной переменной.

Эти подходы дают возможность при численной реализации провести сравнения полученных результатов, а также подтвердить достоверность полученных решений, если нет иных точных или экспериментальных данных для конкретной задачи.

С помощью использованных алгоритмических разработок исследованы температурные поля в узлах установок для добычи твердых полезных ископаемых, которые находятся на дне мирового океана. Предложенная математическая модель дала возможность рассмотреть уравнение в частных производных параболического типа в областях сложной геометрической формы с граничными условиями первого рода в осесимметричной постановке. На рис. 11 по-

казаны изотермы в цилиндрическом камере с некоторыми типами узлов при выходе работы конструкции, на иррегулярный режим. Результаты вычислительного эксперимента сравнивались с имеющими физическими экспериментами.

В результате проведенного численного эксперимента получено, что на установившийся режим объект испытания выходит через 5 мин (рис.11 а), через 10 мин (рис.11. б), через 12 мин (рис.11.в), так как этот режим представляет существенный интерес для проектирования узлов подобного вида и назначения. Данные исследования позволили сделать вывод о работе того или иного элемента при использовании их в погружном асинхронном двигателе.

В этой главе приводится математическая модель, аналитические и численные решения задачи определения температурного поля в полукоаксиальных резонаторах нагруженных кристаллами.

Краевая, задача исследования температурного поля в резонаторе, нагруженном электрооптическим кристаллом, моделируется в виде уравнения эллиптического типа

со смешанными граничными условиями

(24)

где и1, и2 определяют температурные поля как решения задачи (23) - (24) в каждой из подобластей - область кристалла, область - мо-

дулятор, не содержащий кристалл, коэффициент теплопроводно-

сти резонатора; Хь ССь - заданные для кристалла соответственно коэффициенты теплопроводности и теплоотдачи (коэффициенты теплоотдачи кристалла

определены экспериментально);

среды, Г1 и Г2 -

участки границы Г (Г=Г1иГ2) области П, (¡=1,2), Функция ^(¡=1,2) —диссипа-тивная функция, найденная из решения электродинамической задачи (7), (9)

Рг{г,г) = ~с!^Р1, К1

где х = -(м(1е>25)/к„, Ли/> = 5 = ^2/(со|л0с).

Кроме того, на границе Г^ кристалл - резонатор должны выполняться условия

(25)

Для решения задачи краевой (23) — (24) применялся структурный метод, позволивший построить структурные формулы решения (Овв) в каждой из подобластей О, (¡=1,2)

' 5Ф,

"¡М = (I + Г)Ф2 - 2уи,,—-*-+(?(*),

ОУ

",(*) = 0 + Т)Ф2 + Ч>(*) + <(*)Ф, Л. «а.^Г'Фо, - А0ф01 + £«},

(26)

где ф(х)=Тср, А0=-а1ХГ'. 8(х) = -а,\ГХ> ¡=1,2,

дх, дх, ах2 дхг

Ф^а+у^+ФМ+ойМФ,, У=т:{—область — »модулятор, ие содержа-

~ V *-»

щии кристалл; П1 - область кристалла, о>]2 - уравнение границы раздела сред Гю- кристалл-модулятор.

Структурный метод в нашем случае дал возможность построить структуры решения и=В(ФьФ2) в каждой из п о д о б л а^таейг д е ФьФг - неопределенные компоненты структуры, имеющие свое преимущественное влияние в каждой из подобластей

Неопределенные компоненты структурной формулы (26) представляются аппроксимирующими функциями - -сплайнами

где - коэффициенты, определяемые из условий

мума функционалов, соответствующих краевой задаче (23) - (24).

Д") = К ¿[(г^",)1 +2Г,+2^и1}й12+Х1 А |а>12 +Х,

'-» ' ,-'> г„ г„

Применение теории R-функций к исследованию задачи (23позволило получить решение в виде рядов (27). Они имеют вид функциональных соотношений, состоящих из элементарных функций. При этом учитываются на аналитическом уровне граничные условия (24), условия сопряжения на границе раздела сред (25) и геометрия области исследования. Задача определения температурного (23) - (25) поля рассматривалась для резонатора, работающего с продольным электрооптическим эффектом. Рис. 12, а, а иллюстрирует распределение температурного поля внутри кристалла. Сравнение полученных результатов с экспериментальными данными дало хорошее совпадение (рис. 12,6).

Цифрой 1 обозначены относительные значения температурного поля, полученного из эксперимента. Анализ результатов исследования температурного поля в электрооптическом модуляторе, работающем на продольном электрооптическом эффекте позволил определить тонкую структуру температурного поля как в кристалле, так и в объеме ГТРК; показать, что характер распределения температурного поля в модуляторе с кристаллом повторяет распределение квадрата электромагнитного поля, полученного из решения электродинамической задачи; установить соответствие полученных численных результатов поверхностного распределения температурного поля экспериментальным значениям температурного поля, измеренным бесконтактным методом с помощью сканирующей ИК - системы типа AGA-780M.

Приводятся также теоретические и численные результаты исследования температурного поля в резонаторе с кристаллом ниобата лития, который работает на поперечном электрооптическом эффекте (рис. 13).

Установлено, что характер распределения температурного поля в резонаторах и кристаллах качественно совпадает с характером распределения электродинамических полей.

Выполнены сравнения температурных полей, полученные в резонаторах с использованием теоретических аспектов теории R-функций, с экспериментальными температурными полями на поверхности кристалла, измеренными бесконтактным методом с относительной погрешностью, не превышающей ±8 % при Р=0,95. В результате исследования тонкой структуры температурного поля по объему кристалла найдены условия для распространения лазерных пучков без фоторефракции с максимальной глубиной модуляции.

Кроме того, в главе 3 исследуются тепловые процессы излучающего тела.

Эта задача рассматривается как нелинейная нестационарная, для которой применена разностная схема по временной переменной.

Тогда на каждом /-м шаге изменения переменной I р стационарных нелинейных краевых задач имеем

кГ'ТМ~Т,(х) + д(х) = |гм (х), х е (хх,х2,х>), (28)

Задача -(28)-(28) линеаризуется методом последовательных приближений. Принимая в качестве начального приближения 8=1 значение Т,~0, на б+1 итерации будем иметь на каждом временном слое линейные краевые задачи эллиптического типа

кУ>ГГ"(х)-^Т^>(х) + = х е (*„*;,*,). (30)

8Т('*1)

=0 на 5. (31)

Решение задачи (30)-(31) на каждом временном слое / и на каждом шаге линеаризации представим с помощью метода R-функций в виде структурной формулы (GSS)

7Т" = Р^-ЩР^ + т^х), (32)

где Ро(х), Р\(х) — неопределенные компоненты, которые имеют вид

К*) = /{(*)-¥,{х),

9к(х\ Ук(х) - аппроксимирующие функции, в качестве которых могут быть выбраны классические полиномы, полиномы с локальными носителями или специальные функции, а>(х) - функция, описывающая уравнение границы 8 области исследования, £>) - дифференциальный оператор специального вида, Ск - неизвестные коэффициенты, определяемые одним из численных методов. Выражение (32) точно удовлетворяет граничному условию (28) без ограничений общности на геометрию области исследования, так как позволяет записать единым аналитическим выражением уравнение границы 8.

При линеаризации уравнения (28) в качестве начального приближения с выбираем начальное условие. В численной реализации число итераций задачи (30)—(31) равнялось 10—12 в зависимости от геометрических форм и параметров объекта исследования.

В качестве критерия сходимости решений задачи (30)—(31) выбиралось следующее неравенство

где е- задаваемое значение точности.

На рис. 14 представлены распределения температур в сечении Хг=0 соответственно для прямоугольной и шестиугольной областей.

а) б)

Рис. 14

В главе 4 рассматриваются вопросы исследования линейных и нелинейных стационарных задач механики. Приведены алгоритмы и вычислительные схемы упругого, термоупругого и упругопластического состояния тел с гладкой внутренней цилиндрической поверхностью, подкрепленные на внешней цилиндрической (конической) поверхности несколькими кольцевыми реб-

рами с прямоугольным в плане поперечным сечением (рис. 15). Внешняя нагрузка в виде равномерно распределенного давления Р приложена к внутренней гладкой поверхности цилиндра, на внешней поверхности поддерживается постоянная температура.

, Математической моделью исследования задачи определения термоупругого состояния является система дифференциальных уравнений

МС/+(А + ^)яга£/йуС/ = (ЗЛ + 2я)5гас/агГ, хеОс,,*,,^), (34)

где и- вектор перемещений с компонентами и,,и2,и3; а/ -коэффициентлинейного расширения тела, Т - температура упругого тела.

На границе Зйтела С! заданы нормальные о„ и касательные х„ напряжения

=/■(*). <-.=/,(*)• (35)

Температурное поле определяется из решения соответствующей задачи теплопроводности.

По найденному температурном полю определяем напряженно-деформированное состояние тел, которые рассматриваются из функционального соотношения, являющегося структурной формулой решения

- *У£Л -^'-^'-'ИгЛ^Ь'

(•«НДЗ), (36)

где ш(хьхг) - уравнение границ области исследования, Бь Т| - дифференциальные операторы специального типа, которые продолжают внутрь граничные условия - неопределенные компоненты структурной формулы решения (36), которые определяются из условий минимума функционала, соответствующего краевой задаче (34)-(35)

где \¥(Ц) - потенциальная энергия деформаций.

По найденному вектору перемещений тензор напряжений в задачах термоупругости определяется из известных соотношений а4 = Хе + 2цещ - (ЗЛ + 2ц)атТ, / = },

где е = е„ +£г,+£„, е^ — компонента тензора деформаций.

Приведенная структура (36) решения задачи (35)-(36) имеет общий вид. За счет выбора функций со(хь Хг) могут быть исследованы решения для различных элементов технологической оснастки, среди которых наиболее распро-

страненными являются конфигурации тел с одним внешним центральным ребром жесткости; с двумя ребрами на торцах; в особенно тяжелых случаях на-гружения - с двумя торцовыми и одним центральным ребрами (рис. 15).

Численные результаты определения напряженно-деформированного состояния тел получены в условиях эксплуатации системы ПОЛЕ. Вычислительный эксперимент выполнялся при условии равенства масс цилиндрических (конических) тел с различным числом ребер при постоянных значениях геометрических параметров Ь, г<>, В результате изменялось значение Rp, которое определяло внешний радиус цилиндрического тела с ребрами жесткости. Рассматривались элементы выполненные из материала сталь 40Х.

Некоторые результаты численного исследования термоупругого состояния конкретных элементов технологической оснастки представлены на рис. 16. В среднем сечении наличие одного ребра понижает напряжение стг и качественно изменяет картину напряжений стг в сравнении со сплошным цилиндром. Зона сжимающих стг напряжений при внутреннем нагреве для сплошного цилиндра без ребер более широкая, чем при внешнем нагреве, качественно изменяются напряжения при этом они растягивающие. Наличие трех ребер расширяет зону сжимающих напряжений

I <1

а) б) в)

Рис. 16

Помимо выше приведенных элементов технологической оснастки рассматривались конические элементы с одним, двумя и тремя ребрами жесткости (рис. 17).

Проведен вычислительный эксперимент, который позволил выработать рекомендации относительно уровня нагрузок, на толстостенные оболочки с ребрами жесткости (18).

В этой же главе рассматривается задача определения термоупругого состояния лопатки авиационного двигателя. На первом этапе исследования изучалось температурное поле как решение соответствующей задачи теплопроводности, которое было представлено единым аналитическим выражением, учитывающим геометрию лопатки. Затем по известному температурном полю исследовалась задача ее термонапряженного состояния из уравнений (34) — (35). Изучено влияние геометрических параметров лопатки и физических данных на температурные напряжения.

ч>

Рис.17

Математической моделью теплового поля является краевая задача для уравнения Лапласа

агт д*т „

при краевых условиях 3 рода:

(37)

к = 5,6,

Ль

(39)

где (£=1-5-6) - коэффициенты теплоотдачи соответственно на различных частях поверхности коэффициент теплопроводности металла; Тс,1*с

- значения температуры окружающей среды на поверхности тела и в каналах охлаждения соответственно.

Решение задачи (37)-(39) на основе теории И-функций (ИРМ) представляется аналитическим выражением (088) следующего вида

Т = Р-юф1Р-кР)-а>цг, (40)

где Р - неопределенная компонента структурной формулы (40), которая имеет вид

/>=£ с,

со -функция, представляющая собой аналитическое описание границы в области О, С1 — неизвестные коэффициенты, подлежащие определению , -классические полиномы (или полиномы с локальными носителями),

^ _ ахак +(о-,а _ Хи{ю1 +а>2)

функция, составленная на основе обобщенной формулы Лагранжа с помощью коэффициентов теплоотдачи и соответствующим этим коэффициентам участков в, границы в,

Щ ({=1,/=2-5-5) - уравнения участков Sl границы S;

<р = Ь

аКТ'с+о)1Тс

<у,+Й>2

Аналитическое выражение (40) представляет собой структурную модель задачи (37)-(39), удовлетворяющее граничным условиям (38)-(39).

Неопределенные коэффициенты С отыскиваются с помощью метода Ритца из решения вариационной задачи, соответствующей краевой задаче (37) - (39).

Определение температурного поля по алгоритму, изложенному выше, в условиях эксплуатации системы ПОЛЕ, позволило сделать выводы о распределении температур по профилю авиационной лопатки (рис.19) и перейти ко второму шагу решения задачи (34)- (35)- определению напряженно-

деформированного состояния лопатки, находящейся под влиянием температурных воздействий. Анализ напряженно-деформированного состояния лопатки позволил сделать следующий вывод: наименьшее напряжение сг„ сГу наблюдаются на стыке лопатки вблизи охлаждающих каналов, на кромке профиля эти же напряжения наибольшие и являются сжимающими.

Рис. 19

Приводятся результаты определения напряженно-деформированное состояние цилиндрового блока аксиально-поршневого насоса. Подобные насосы имеют широкое практическое использование в различных строительных и дорожных машинах, авиационных двигателях и др.

В этой же главе изучаются упругопластические деформации элементов технологической оснастки, описываемые нелинейной краевой задачей.

Зе - 9 г\дг Зе 2 3&|_е,_|.с!г 8г } 9 аг[е(]

Зе, ' |_3(1 -2у) 9е,]дг 38г[е,^дг дг } 9 дг[е,]

(41)

где о,, е, - интенсивности напряжений и деформаций, при этом для конкретного материала интенсивность напряжений а, является определенной функцией от интенсивности деформаций е„ а именно о, = Ф(е,); соотношение характеризует диаграмму деформирования материала,

Условия на границе Г записываются формулами (35).

Линеаризация нелинейной краевой задачи (41) осуществлялась методом переменных параметров упругости.

Построены структурная и компьютерная модели задач упругопластиче-ского деформирования объектов неклассической формы.

Определены зоны пластической деформации при различных нагрузках. Исследованы влияния геометрических параметров и конфигурации ребер на напряженно-деформированное состояние и зоны пластичности. Для конкретных видов диаграмм деформирования материала разработаны соответствующие рекомендации, которые позволили установить допустимые значения нагрузок в конструкциях серийного производства и сделать выводы о целесообразности использования того или другого элемента технологической оснастки для конкретного процесса нагружения (рис.20).

Оценка зоны пластических деформаций в сечении заготовки осуществлялась на основе неравенства

е,-етйО. (42)

Численные результаты получены в условиях программирующей системы ПОЛЕ для цилиндрических и конических элементов с различным числом подкрепляющих ребер при различных нагрузках. Вычислительный эксперимент проводился при условии равенства масс цилиндрических и конических тел с различным числом ребер при постоянных значениях величин . В результате

этого изменялся размер Яр, который определял внешний радиус тела, имеющего ребра жесткости. Стабилизация численных результатов для напряжений а0 при численной реализации происходила на 5-7 итерации.

В этой же главе приводится построенная математическая модель задачи отыскания силовых параметров элементов технологического процесса при комбинированной нагрузке (рис. 21, а), которая рассматривается как задача упру-гопластического деформирования трубчатой заготовки ( рис. 21,6).

На основе компьютерной модели в системе ПОЛЕ проведен вычислительный эксперимент, который позволил определить зоны пластических деформаций в элементах заготовки и сделать выводы о целесообразности конкретной нагрузки (рис. 22, б).

а) б) в) г)

Рис. 22

Приводятся также исследования напряженно-деформированного состояния кристалла, помещенного в резонатор.

Определены зоны минимальных и максимальных напряжений и перемещений в кристаллах КБР и Ь1№>03. Показано, что напряжения в кристалле ЫКЪ03 ниже, чем в кристалле КБР, что объясняется их механическими и тепловыми характеристиками.

Приложение посвящено исследованию динамических задач теории упругости и, в частности, применению теории R-функций для получения аналитических решений задач дифракции упругих волн на телах произвольной формы, а также созданию на основе полученных структурных моделей, алгоритмов, вычислительных схем и компьютерных моделей исследования этого класса задач.

Прилагается акт об использовании результатов диссертационной работы при проектировании некоторых приборов лазерной техники, а также материалы сравнения с экспериментальными исследованиями.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные научные и практические результаты диссертационной работы состоят в следующем:

1. Предложен новый подход исследования физико-механических полей в объектах сложной геометрической формы, находящихся под воздействиями различной физической природы, основанный на использовании теории R-функций. Построены математические модели, аналитические решения - структуры решения (в88), алгоритмы, вычислительные схемы основных типов задач электродинамики, теплопроводности, теории упругости. Созданы компьютерные модели численного исследования основных задач, моделирующих физические процессы экспериментальной физики.

2. Исследованы электродинамические поля в резонаторах, модуляторах, лазерах, приемниках.

• Получена наперед заданная структура поля как при работе микроволновых модуляторов лазерных пучков на продольном, так и на поперечном электрооптических эффектах. Сравнение приведенных теоретических результатов с экспериментальными результатами показало их согласие в пределах относительной погрешности эксперимента, не превышающей ± 8 % при Р=0,95. Представлены исследования биконического резонатора, нагруженного внутренним кристаллом КОР.

• Получены зависимости электродинамических характеристик бикониче-ского резонатора от его геометрических параметров и параметров кристалла. Определена геометрическая форма кристалла, обеспечивающая минимальные поперечные и продольные градиенты электрической компоненты поля, что обеспечивает оптимальную модуляцию пучка фотонного излучения.

• Получена заданная структура электрического поля в зоне преобразования лазерного излучения и определены электродинамические характеристики лазеров.

• Решена краевая задача определения собственных колебаний биконического резонатора, внутри которого находится диод с заданной диэлектрической проницаемостью.

• Исследована задача о связи полукоаксиального резонатора (ПРК) с цилиндрическим

запредельным резонатором. Предложены алгоритм и метод теоретиче-

ских исследований ПКР и излучения в запредельный цилиндрический резонатор.

3. Разработан и теоретически обоснован подход к решению пространственных задач теплопроводности в областях сложной геометрической формы, основанный на совместном применении теории Я-функций и дифференциально-разностного метода

• Получены с использованием теории сопряженных вариационных задач апостериорные оценки погрешности структурных решений (в88) задач исследования пространственных температурных полей в областях сложной геометрической формы. Это позволило, располагая двумя приближенными решениями краевой задачи, найденными с помощью исходной и сопряженной вариационной формулировок, оценить погрешности этих решений.

• Разработаны алгоритмы и вычислительные схемы для задач исследования нестационарных краевых задач теплопроводности, которые используют теорию Я-функций и интегральные преобразования, совместно метод конечных разностей и теорию Я-функций, а также метод наименьших квадратов и ЯРМ.

• Приводится разработанная математическая модель, алгоритм и численные результаты задачи исследования температурного поля в аппаратах для добычи полезных ископаемых со дна мирового океана. Определены температурные режимы входа на стационарный режим работы аппаратов сложной геометрической конфигурации.

• Приводятся результаты исследования задач для теплоизлучающего тела неклассической формы. Данная задача рассматривается как нелинейная с граничными условиями интегрального типа, которая подвергается линеаризации с последующим исследованием линейных задач методом Я-функций.

• Изучены тепловые процессы в электрооптических кристаллах микроволновых модуляторов по найденным с наперед заданной структурой электродинамическим полям. Рассматривались полуаксиальные резонаторы сложной геометрической формы, нагруженные кристаллами. Получены температурные поля при работе модулятора лазерных пучков как на продольном электрооптическом эффекте, так и на поперечном. Установлено, что характер распределения температурного поля в резонаторах и кристаллах качественно совпадает с характером распределения электродинамических полей.

• Выполнены сравнения температурных полей, полученные в резонаторах с кристаллами методом Я-функций. Результаты сравнивались с экспериментальными температурными полями на поверхности кристалла, измеренными бесконтактным методом с относительной погрешностью, не превышающей ±8 % при Р=0,95. В результате исследования тонкой структуры температурного поля по объему кристалла найдены условия для распространения лазерных пучков без фоторефракции с максимальной глубиной модуляции.

4. Построены математические модели задач определения термонапряженного состояния конструктивных технологических элементов.

• Проведен вычислительный эксперимент в условиях эксплуатации программирующей системы ПОЛЕ по исследованию напряженно-деформированного состояния элементов технологической оснастки, ослабленных ребрами жесткости.

• Созданы математические и компьютерные модели исследования термонапряженного состояния в лопатке авиационного двигателя и в цилиндровом блоке аксиально-поршневого насоса.

• Проведены исследования структурных моделей упругопластического деформирования конструктивных элементов технологической оснастки. Построена математическая модель для определения упругопластического состояния полых цилиндрических заготовок, которые изготовляются методом раздачи.

• Предложен алгоритм определения термонапряженного состояния тел произвольной формы, находящихся в условиях упругопластических деформаций.

• Найдены (по температурным и электродинамическим полям с наперед заданной структурой) поля напряжений в кристаллах, находящихся в резонаторах, работающих на продольном и поперечном электрооптическом эффектах.

Основные результаты исследований отображены в научных работах :

1. Гуляев Ю.В., Кравченко В.Ф., Сизова Н.Д. Метод Я-функций в задачах дифракции упругих волн // Зарубежная радиоэлектроника.- 1996. - №8-С.29-37.

2. Рвачев В.Л., Шевченко А.Н., Сизова Н.Д. Исследование напряженно-деформированного состояния лопатки авиационного двигателя //Прикладная механика. -1996.-т.32, №4.- С.47-52.

3. Кравченко Н.И., Оробинский А.Н. Сизова Н.Д. Диссипативно-тепловые процессы в электрооптических кристаллах микроволновых модуляторах лазерных пучков // Электромагнитные волны и электронные системы -1997.-т.2,№5.-С.76-81.

4. Кравченко В.Ф., Рвачев В.Л., Сизова Н.Д. Применение теории R-функций к исследованию задач дифракции упругих волн //Акустический журнал- 1998.-т.44,№4.-С.556-558.

5. Sizova N.D., Basarab M.A. A Combined Use of the Finite Difference Method and Method of Integral Transformations for Solution of a Parabolic Multidimensional Initial Boundary-Value Problem// Доповци HAH Украши.-1999. - №4.-C.l 1-15.

6. Сизова Н.Д. Исследование дифракции упругих волн на объектах неклассической формы, имеющих угловые особенности // Проблемы машиностроения. -1999.-№1-2.-С.98-102.

7. Кравченко В.Ф., Кравченко Н.И., Сизова Н.Д. Исследование методом R-функций электродинамических характеристик биконического резонатора с оптическим кристаллом // Электромагнитные волны и электронные системы -1999.- т.4, № 5. - С. 57-64.

8. Кравченко В.Ф., Кравченко Н.И. Сизова Н.Д. Расчет электрического модулятора фотонного излучения методом R-функций // Доклады Российской Академии наук - 1999.- т. 365, №6. - С.753-755.

9. Кравченко В.Ф., Пустовойт В.И., Рвачев В.Л., Сизова Н.Д. Применение теории R-функций к задачам дифракции термоупругих волн на объектах сложной формы// Доклады Российской Академии наук - 2000.- т. 372, №2.-С.487-489.

10. Сизова Н.Д. Алгоритм решения нестационарных краевых задач дифракции упругих волн //Доповиди НАН Украини.- 2000.- №12.-С.51-55.

1 Манько Г.П., Сафонов Н.А., Сизова Н.Д. Технология программирования алгоритмов решения нелинейных и пространственных краевых задач теплопроводности в генераторе программ «ПОЛЕ»// Алгоритмы и алгоритмические языки. Пакеты прикладных программ. Функциональное наполнение.- М.: Наука, 1985.- С.49-64.

12.Сизова Н.Д. Метод R-функций в квазистатических задачах термоупругости. - Харьков, 1989. - 38 с. - (Препринт/ ИПМаш АН УССР; №318).

13.Сизова Н.Д. Реализация алгоритма решения задач термоупругости в системе ПОЛЕ// Программные средства в машиностроении. Сб. ст.- Киев: Ин-т кибернетики АН УССР, 1990. - С. 11-14.

14.Лимберг ЭА, Сизова Н.Д., Сухов В.В., Голубничий О.П. Оценка напряженно-деформированного состояния технологических трубчатых заготовок// Авиационная промышленность. — 1992.- №12,- С.25-27.

15. Рвачев В.Л., Сизова Н.Д., Голубчик А.Л. Температурное поле в узлах установки для добычи твердых полезных ископаемых со дна мирового океана// Измерительная техника. - 1994. - № 3.- С. 43-45.

16. Гуляев Ю.В., Кравченко В.Ф., Рвачев В.Л., Сизова Н.Д. Структурные формулы решения задач дифракции упругих волн// Доклады Российской Академии наук - 1995.- т. 343, №2. - С.163-165.

П.Гуляев Ю.В., Кравченко В.Ф., Рвачев В.Л., Сизова Н.Д. Исследование дифракции упругих волн на конусе с применением метода Я-функций // Доклады Российской Академии наук - 1995.- т. 344, №3. - С.315-318.

18.Гуляев Ю.В., Кравченко В.Ф.,Рвачев В Л., Сизова Н.Д. Метод Я-функций в исследовании дифракции упругих волн на жестком включении произвольной формы// Доклады Российской Академии наук — 1995.- т. 344, №4. -С.457-459.

19.Рвачев В.Л., Сизова Н.Д., Голубничий О.П. Напряженно-деформированное состояние полых конических оребренных оболочек// Прикладная механика, 1995,т.31, №10.-С.53-56.

20. Гуляев Ю.В., Кравченко В.Ф., Рвачев В.Л., Сизова Н.Д. Апостериорные оценки погрешности структурных решений пространственных задач математической физики // Доклады Российской Академии наук — 1996.- т. 346, №4.-С.455-458.

21. Гуляев Ю.В., Кравченко В.Ф., Рвачев В.Л., Сизова Н.Д. Сочетание методов Я-функций и конечных разностей в пространственных краевых задачах математической физики // Доклады Российской Академии наук -1996.- т. 348, № 4 - С.454-457.

22.Гуляев Ю.В., Кравченко В.Ф., Рвачев В.Л., Сизова Н.Д. Исследование дифракции упругих волн на пластинах, ослабленных двумя отверстиями произвольной формы // Доклады Российской Академии наук - 1996.- т. 349, №2.-С.175-179.

23.Кравченко В.Ф., Пустовойт В.И., Рвачев В.Л., Сизова Н.Д. Метод Я-функций в задачах моделирования тепловых процессов излучающих тел сложной формы // Доклады Российской Академии наук - 2001.- т. 376, №2.-С. 186-190.

24.Кравченко В.Ф., Пустовойт В.И., Рвачев В.Л., Сизова Н.Д. Теория R-функций в нестационарных задачах дифракции упругих волн // Доклады Российской Академии наук - 2001.-т. 376, №3. - С.338-342.

25.Сизова Н.Д. Исследование дифракции нестационарных и термоупругих волн на объектах неклассической геометрической формы // Проблемы машиностроения -2001.- 4, №1-2.- С. 100-108.

26.Кравченко В.Ф., Рвачев В.Л. Сизова Н. Д. Исследование нестационарных температурных полей методом R- функций //Наукоемкие техологии. -

2001.-2,№4.-С.57-66.

27.Кравченко В.Ф., Сизова Н. Д. Исследование некоторых задач теплопроводности методом R-функций //Зарубежная радиоэлектроника.-2001.-№8.-С. 41-68.

28.Сизова Н.Д. Метод R-функций и апостериорные оценки погрешностей в решении крае-вых задач//Тезисы межд. конф. «Dynamical Systems Modeling and Stability Inves-tigation»25-29 мая 1999, г. Киев: Национальный университет им. Т.Г. Шевченко.-С72.

29.Сизова Н.Д. Применение метода R-функций к решению задач дифракции упругих волн // Тезисы межд. конф. «Dynamical Systems Modeling and Stability Investigation»25-29 мая 1999, г. Киев: Национальный университет им. Т.Г. Шевченко - С. 73.

30.Sizova N.D. Research by a Method of R-functions (RFM) Non-Stationary Problems of a Dif-fraction of Elastic Waves // Second International Conference "Modern Trends in Computational Physics" (In Memory of N.N. Govorun), July 24-29,2000, - Dubna, Russia. - P. 153.

31.Kravchenko N.I., Sizova N.D. Calculation of photoreceiver devices of laser measurement systems by the R-function method // LFNM' 2002 4th International Workshop on Laser and Filter—Optical Networks Modeling, June 3-5,

2002. V.N. Karazin National University & National University of Radio Electronics,- Kharkiv, Ukraine.-P. 153-157.

32.Сизова Н.Д. Расчет параметров двухчастотного гелий-неонового лазера с микроволновым возбуждением// Электромагнитные волны и электронные системы.-2003.-т.8,№9.-С. 63-68.

33.Гуляев Ю.В., Кравченко В.Ф., Рвачев В.Л., Сизова Н.Д. Метод R-функций и его применение к решению задач дифракции упругих волн на объектах сложной формы//Успехи современной радиоэлектроники. -

2003.-№8.-С.40-56.

АННОТАЦИЯ

Сизова Н.Д. Автоматизация моделирования физических процессов в задачах приборостроения. Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01,04.01 — Приборы и методы экспериментальной физики. 2004 г.

Защищается 33 работы, в которых приводятся результаты исследований физических полей в приборах и конструктивных элементах сложной геометрической формы.

Предложен новый подход исследования физико-механических полей в объектах сложной геометрической формы, находящихся под воздействиями различной природы, основанный на использовании теории Я-функций.

Построены математические модели, аналитические решения — структуры решения (088), алгоритмы, вычислительные схемы основных типов задач электродинамики, теплопроводности, теории упругости. Созданы компьютерные модели численного исследования основных задач, моделирующих физические процессы экспериментальной физики.

Исследованы электродинамические поля в лазерах, модуляторах, приемниках. Получена наперед заданная структура поля как при работе микроволновых модуляторов лазерных пучков на продольном, так и на поперечном электрооптических эффектах. Сравнение приведенных теоретических результатов с экспериментальными результатами показало их согласие в пределах относительной погрешности эксперимента, не превышающей ± 8% при Р=0,95. Представлены исследования биконического резонатора, нагруженного внутренним кристаллом КОР. Получены зависимости электродинамических характеристик биконического резонатора от его геометрических параметров и параметров кристалла. Определена геометрическая форма кристалла, обеспечивающая минимальные поперечные и продольные градиенты электрической компоненты поля, что обеспечивает оптимальную модуляцию пучка фотонного излучения. Получена заданная структура электрического поля в зоне преобразования лазерного излучения и определены электродинамические характеристики лазеров. Решена краевая задача определения собственных колебаний биконическо-го резонатора, внутри которого находится диод с заданной диэлектрической проницаемостью.

Разработан и теоретически обоснован подход к решению пространственных задач теплопроводности в областях сложной геометрической формы, основанный на совместном применении теории Я-функций и дифференциаль-

но-разностного метода. Получены с использованием теории сопряженных вариационных задач апостериорные оценки погрешности структурных решений (в88) задач исследования пространственных температурных полей в областях сложной геометрической формы. Это позволило, располагая двумя приближенными решениями краевой задачи, найденными с помощью исходной и сопряженной вариационной формулировок, оценить (порознь) погрешности этих решений.

Разработаны алгоритмы и вычислительные схемы для задач исследования нестационарных краевых задач теплопроводности, которые используют теорию Я-функций и интегральные преобразования, совместно метод конечных разностей и теорию Я-функций, а также метод наименьших квадратов и ЯРМ.

Приводится разработанная математическая модель, алгоритм и численные результаты задачи исследования температурного поля в аппаратах для добычи полезных ископаемых со дна мирового океана. Определены температурные режимы выхода на стационарный режим работы аппаратов сложной геометрической конфигурации.

Приводятся результаты исследования задач для теплоизлучающего тела неклассической формы. Данная задача рассматривается как нелинейная с граничными условиями интегрального типа, которая подвергается линеаризации с последующим исследованием линейных задач методом Я- функций.

Изучены тепловые процессы в электрооптических кристаллах микроволновых модуляторов по найденным с наперед заданной структурой электродинамическим полям. Рассматривались полукоаксиальные резонаторы сложной геометрической формы, нагруженные кристаллами. Получены температурные поля при работе модулятора лазерных пучков как на продольном электрооптическом эффекте, так и на поперечном. Установлено, что характер распределения температурного поля в резонаторах и кристаллах качественно совпадает с характером распределения электродинамических полей.

Выполнены сравнения температурных полей, полученные в резонаторах с кристаллах методом Я-функций, сравнивались с экспериментальными температурными полями на поверхности кристалла, измеренными бесконтактным методом с относительной погрешностью, не превышающей ±8% при Р=0,95. В результате исследования тонкой структуры температурного поля по объему кристалла найдены условия для распространения лазерных пучков без фоторефракции с максимальной глубиной модуляции.

Построены математические модели задач определения термонапряженного состояния конструктивных технологических элементов.

Проведен вычислительный эксперимент в условиях эксплуатации программирующей системы ПОЛЕ по исследованию напряженно-

деформированного состояния элементов технологической оснастки, ослабленных ребрами жесткости.

Созданы математические и компьютерные модели исследования термонапряженного состояния в лопатке авиационного двигателя и в цилиндровом блоке аксиально-поршневого насоса.

Проведены исследования структурных моделей упругопластического деформирования конструктивных элементов технологической оснастки. Построена математическая модель для определения упругопластического состояния полых цилиндрических заготовок, которые изготовляются методом раздачи.

Предложен алгоритм определения термонапряженного состояния тел произвольной формы, находящихся в условиях упругопластических деформаций.

Найдены (по температурным и электродинамическим полям с наперед заданной структурой) поля напряжений в кристаллах, находящихся в резонаторах, работающих на продольном и поперечном электрооптическом эффектах.

THE ANNOTATION

Sizova N.D. Automation of model operation ofphysical processes in problems ofinstrument making. The manuscript.

Dissertation on competition of a scientific degree of the doctor of physical and mathematical sciences on a speciality 01.04.01 - Devices and methods of experimental physics. 2004.

33 scientific papers are asserted, in which the outcomes of examinations of physics-mechanical fields in devices and constructive devices of the composite geometrical shape are reduced. The new approach of examination of physics-mechanical fields in plants of the composite geometrical shape were under mechanical and physical actions, based on usage of the theory of R-functions is offered.

The mathematical models, analytical solutions — structure of a solution (GSS), algorithms, computing circuits of the basic types of problems of an electrodynamics, thermal conduction, theory of an elasticity are constructed. The computer models of numerical examination of primal problems simulative physical processes of experimental physics are created.

The electrodynamic fields in resonators, modulators, lasers, receivers are explored. The given structure of a field as is obtained beforehand by operation of microwave modulators of laser bundles on longitudinal, and on cross electrooptical effects. The matching of the reduced theoretical outcomes with experimental outcomes

has shown their consent in limits of a relative accuracy of experiment which is not exceeding ±8 % at P=0,95. The examinations of the biconical resonator weighted with an interior chip KDP represented. The associations of electrodynamic performances of the biconical resonator on its geometrical parameters and parameters of a chip are obtained. The geometrical shape of a chip providing minimum cross and longitudinal lapse rates of an electrical component of a field is defined that ensures optimum modulation of a bundle of photon radiation. The given structure of an electric field in a band of transformation of laser radiation is obtained and the electrody-namic performances of lasers are defined. The boundary value problem of definition of eigentones of the biconical resonator is solved, inside which there is a diode with a given inductivity.

Designed and the approach to a solution of spatial problems of a thermal conduction is theoretically justified in the field of the composite geometrical shape based on joint application of the theory of R-functions and a differential-difference method. The a posteriori estimations of an error of structural solutions (GSS) of the research problems of spatial temperature fields are obtained with usage of the theory of conjugate variation problems in the field of the composite geometrical shape. It has allowed, arranging two approximate solutions of a boundary value problem retrieved with the help of initial and conjugate variation statements, to estimate (separately) errors ofthese solutions.

The algorithms and computing circuits for the research problems of non-stationary boundary value problems of a thermal conduction designed which use the theory of R-functions and integrated transformations, in unison method of finite differences and theory of R-functions, and also method of least squares and RFM.

The designed mathematical model, algorithm and numerical outcomes of the research problem of a temperature field in devices of meanses for extraction of useful minerals from bottom of world ocean is reduced. The temperature conditions of an inlet on steady conditions of operation of meanses of a composite geometrical configuration are defined.

The outcomes of examination of problems for a heat-radiating skew field of the nonclassical shape are reduced. The sectional problem is considered as nonlinear with boundary conditions of an integrated type, which is plunged linearizations with the subsequent examination of linear problems by a method R- of functions.

The thermal processes in electrooptical chips of microwave modulators on retrieved with beforehand given structure to electrodynamic fields are investigated. Were considered semi-coaxial resonators of the composite geometrical shape weighted with chips. The temperature fields are obtained by operation of the modulator of laser bundles both on longitudinal electrooptical effect, and on cross. Is established, that the character of allocation of a temperature field in resonators and chips qualitatively coincides with character of allocation of electrodynamic fields.

Matchings temperature fields obtained in resonators with chips by a method of R-functions are carried out were compared to experimental temperature fields on a surface of a chip measured by a noncontact method with a relative accuracy which is not exceeding ±8 at P=0,95. As a result of examination of thin structure of a temperature field on volume of a chip the requirements for distribution of laser bundles without a photorefraction with a maximum depth of modulation are retrieved.

The mathematical models of problems of definition thermotensity of constructive technological devices are constructed.

The computing experiment under operating conditions of programming system a FIELD on examination is intense - is deformed states of devices of technological equipment attenuated by edges of a rigidity is carried out.

The mathematical and computer models of examination thermotensity in a blade of an air drive and in cylindrical the block of the axial - piston pump are created.

The examinations of structural models of an elasto-plastic deforming of constructive devices of technological equipment are carried out. The mathematical model for definition of an elastoplastic state of cored cylindrical bars is constructed which are produced by a method of distribution.

The algorithm of definition thermotensity of a state of skew fields of the arbitrary shape were in requirements of plasto-elastic deformations is offered.

Are retrieved (on temperature and electrodynamic fields with beforehand given structure) field of voltages in chips were in resonators, working on longitudinal and cross electrooptical effects.

Подписано в печать 28.01.2004 г. Формат 60x84/16. Заказ № 34 Тираж 100 экз.

Отпечатано в типографии «Штрих» с оригинал-макета заказчика 61166, Харьков, ул.Бакулина, 7а. Тел. 40-30-64

I -?fi 13

Введение

Глава 1 Теория R-функций в задачах изучения физико-механических полей в конструктивных элементах сложной геометрической формы

1.1 Основные соотношения в задачах исследования физических процессов

1.2 Структурные модели (GSS) задач исследования физических полей

1.3 Автоматизация вычислительного процесса и компьютерное 46 моделирование в задачах исследования физических процессов

Глава 2 Исследование электромагнитных полей в элементах сложной геометрической формы

2.1 Постановка задачи исследования электромагнитных полей

2.2 Структуры решений внутренних задач электродинамики

2.3 Расчет параметров двухчастотного гелий-неонового лазера с 54 микроволновым возбуждением

2.4 Исследование электромагнитных полей в полукоаксиальных 69 резонаторах, нагруженных кристаллами

2.5 Исследование электрооптического модулятора фотонного излучения 82 методом R-функций

2.6 Расчет фотоприемных устройств лазерных измерительных систем

2.7 Исследование резонансных фотоприемных устройств на основе 97 полукоаксиального резонатора

Глава 3 Исследование тепловых процессов в элементах сложной геометрической конфигурации методом R-функций

3.1 Дифференциально-разностный метод и теория R-функций в 112 исследовании пространственных задач теплопроводности

3.2 Апостериорные оценки погрешностей структурных решений 120 краевых задач теплопроводности

3.3 Алгоритмы решения нестационарных краевых задач теплообмена

3.4 Исследование тепловых процессов излучающего тела

3.5 Температурные поля в полуаксиальных резонаторах, нагруженных 151 кристаллами

Глава 4 Исследование напряженно-деформированного состояния конструк- 170 тивных элементов неклассической геометрической формы

4.1 Оценка напряженно-деформированного состояния в цилиндрических и конических элементах технологической оснастки

4.2 Структурные модели термонапряженного состояния элементов 184 технологической оснастки

4.3 Исследование термонапряженного состояния лопатки авиационного 187 двигателя и цилиндрового блока аксиально-поршневого насоса

4.4 Структурные и компьютерные модели задач упругопластического 194 деформирования

4.5 Алгоритм определения упругопластических деформаций в 197 осесимметричных телах конечных размеров

4.6 Структурная модель (GSS) задачи по отысканию силовых параметров 204 элементов технологического процесса

4.7 Алгоритм определения термовязкопластических напряжений в телах 208 сложной геометрии

4.8 Исследование напряженно - деформированного состояния кристалла, 213 помещенного в резонатор

Актуальность темы.

При конструировании элементов приборостроения, машиностроения, радиоэлектроники, в том числе в лазерной физике, атомной и ядерной спектрометрии, в метрологии лазерного, рентгеновского и гамма-излучений и др. одной из задач является определение физических полей в них. Эта задача - один из наиболее важных факторов, влияющих на работоспособность, надежность и устойчивость работы элементов и приборов, так как изменение той или иной характеристики вызывает и изменение свойств различных материалов, входящих в состав всей исследуемой конструкции.

Экспериментальные исследования физических полей многих элементов и аппаратов неприемлемы в тех случаях, например, когда физические размеры компонентов достаточно малы, установка чувствительных приборов и датчиков в них представляется весьма трудной задачей. В силу этого актуальным является определение физических полей элементов и аппаратов аналитическими и численными методами.

Решение задачи определения необходимых физических параметров позволяет на стадии вычислительного эксперимента получить достоверную и объективную информацию о работе прибора или конструктивного элемента, частично или полностью заменить дорогостоящие опытные испытания режимов работы элементов и аппаратов расчетным проектированием, прогнозировать физические процессы, рассчитывать оптимальные режимы работы всего прибора.

В современной технике предъявляются повышенные требования к точности определения полей исследуемых элементов и узлов, поэтому объяснимо стремление создать универсальные методы и высокоточные алгоритмы решения таких задач.

Многие проблемы теоретического аспекта исследования физических полей в различных элементах связаны с необходимостью построения и исследования математических моделей, имеющих вид краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными [1-4]. Для любых краевых задач характерно наличие в некоторой области QeR3 , ограниченной некоторой поверхностью S, разрешающей функциональной компоненты модели. В зависимости от условий реальной задачи эта компонента может представлять собой функцию (например, для скалярного поля температур), тензор (в задачах определения напряженно-деформированного состояния тех или иных конструкций) или элементы других функциональных пространств.

Большое разнообразие математических моделей в задачах определения физических полей требует создания универсального математического и программного инструментария. Создание такого инструментария позволит оперативно переходить от одной математической модели к другой, проводить сравнение результатов, полученных при исследовании различных моделей, использовать результаты, полученные для одной модели как стартовые (вспомогательные) для исследования другой модели, применять различные методы (аналитические или численные) и т.д., т.е. речь идет об инструментарии универсального типа. Цель построения различных математических моделей для одной и той же задачи может быть продиктована стремлением убедиться в достоверности полученных результатов, а также в отсутствии ошибок в выкладках и программах. Именно такой подход рекомендовал в свое время академик А.Н. Крылов [5].

Наличие математического и программного инструментария, построенного по известному принципу математических аналогий, имеет значение для многих проблем исследования, расчета и оптимизации физических полей, охватывающих широкий круг научных направлений в различных отраслях промышленности.

В последние годы разработано много новых математических теорий, а на их основе появились новые разработки методов решения на ЭВМ задач исследования и оптимизации физических полей. Неослабевающий интерес к проблеме физических полей объясняется тем, что этой проблемой охвачен широкий круг таких направлений, как электродинамика, теплофизика, теория упругости и пластичности, магнитная гидродинамика и другие, развитие которых имеет первостепенное значение для научно-технического прогресса.

Математическими моделями исследования многих физических полей являются задачи для уравнений с частными производными при определенных начальных и краевых условиях. Специфическая особенность полей - их зависимость не только от характера физических законов, учитываемых соответствующими уравнениями, но и от формы взаимного расположения тел, в которых поля возбуждаются, конфигурации площадок их контактного взаимодействия и других геометрических и физических факторов.

С учетом названных особенностей рассматриваемого класса задач полное их исследование с помощью аналитических методов возможно лишь в немногих случаях.

Наличие в постановке краевых задач двух разнородных видов информации -аналитической и геометрической - серьезное препятствие при создании методов и алгоритмов решения этих задач, т.к. всякий метод должен учитывать оба вида информации. Это, в свою очередь, требует преобразования геометрической информации в аналитическую (следует заметить, что не всякое кодирование геометрической информации годится). В классических методах (разделения переменных, интегральных преобразований и др.) форма областей и участков их границ учитывается благодаря подходящему выбору систем координат, в вариационных методах - при построении координатных функций, в сеточных методах - при составлении уравнений для узлов, близких к границе и т.д. Метод конечных элементов (МКЭ) [6-12] возник именно в связи со стремлением как можно точнее учитывать геометрические формы. Появился ряд методов (Рейснера, штрафов и др.), в которых краевые условия естественны, и формально им можно не удовлетворять [11-12]. В этих методах геометрическая информация учитывается путем интегрирования по областям соответствующей формы (т.е. геометрическая информация учитывается интегрально).

Среди методов, широко используемых в исследовании различных вопросов исследования физических полей, отметим метод граничных элементов [13-15], вариационные методы [16-19], сведение к сингулярным интегральным уравнениям [20] и др., каждый из которых имеет свою сферу применения, но не всегда применим к определению тех или иных характеристик в неклассических областях.

Особенно актуальной задачей является создание таких моделей задач для исследования полей, которые отражали бы физические аспекты постановки, и позволяли осуществлять разработку методов решения краевых задач, имеющих универсальный характер, и не требующих от исследователя (как правило, не математика) знания тонких вопросов теории. Кроме того, универсальность обусловливает возможность привлечения методов системного программирования, что имеет существенное значение для автоматизации научных исследований в области краевых задач. Вообще же, для того или иного конкретного класса задач определения физических полей существуют или могут быть созданы специальные методы, превосходящие по эффективности любой универсальный метод. Однако их использование требует, как правило, хорошей математической и специальной подготовки, а также значительных затрат времени, что может оказаться неприемлемым для быстрого решения все новых и новых задач экспериментальной физики.

В данной работе предлагаются

• новый подход исследования некоторых физических полей в задачах экспериментальной физики, рассматриваемых в объектах сложной геометрической формы и находящихся под внешними воздействиями различной физической природы, который основан на использовании математического аппарата теории R-функций;

• новые математические модели, аналитические решения - структуры решения (GSS), алгоритмы, вычислительные схемы основных типов задач электродинамики, теплопроводности, теории упругости;

• компьютерные модели численного исследования основных задач, моделирующих физические процессы экспериментальной физики;

• вычислительный эксперимент по определению необходимых физических и геометрических параметров конкретных приборов, аппаратов и элементов.

Исследуются физические поля в новых приборах и элементах, применяемых в лазерной технике, таких как: • автогенераторные гелий-неоновые лазеры;

• модуляторы;

• автогенераторные гетеродинные фотоприемники с резонаторами микроволнового диапазона длин волн.

Кроме того, определены температурные поля:

• в пространственных тепловых элементах неклассической геометрической формы конечных размеров (ТВЭЛы, термочувствительные датчики и др.);

• в аппаратах для добычи твердых полезных ископаемых;

• в теплоизлучающих объектах;

• в модуляторах, нагруженных электрооптическими кристаллами.

Изучаются также поля напряжений

• в элементах технологической оснастки, находящихся под механическими и температурными воздействиями и нагруженных за пределами упругости;

• в силовых элементах технологического процесса;

• в лопатке авиационного двигателя;

• в элементе цилиндрового блока аксиально-поршневого насоса;

• в кристаллах, находящихся в резонаторах, которые работают на продольном и поперечном электрооптическом эффектах.

Математически каждая из перечисленных задач формулируется в виде системы дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка [1-2] где операторы А, В, С в общем случае могут быть нелинейными, f(x) - функция, характеризующая внешние воздействия на тело Q, функция <р(х) характеризует граничные условия на поверхности S, y/(x,t) - функция, определяющая состояние тела в начальный период времени, и(их,и2,иъ) - искомая разрешающая функциональная компонента поля (в общем случае, вектор).

Основные положения теории и аналитических и численных методов исследования задач (1)-(3) изложены в публикациях [3-55,158-182].

Обычно предполагается (а в некоторых случаях [24] приведено и доказано) существование и единственность решения задачи (1)-(3) в каком-то классе функций, а также непрерывная зависимость решения от данных задачи [44.48,49]: начальных (3) и граничных условий (2), массовых сил и т.д. Кроме того, в ряде работ [48], обсуждается поведение решения вблизи особых линий и точек (угловые точки, ребра, углы, точки приложения сосредоточенных сил, линии смены типа граничных условий и др.).

Au = f(x), в Q, Ви = <р{х), на S, Cu = y/(x,t), х е (XpX^Xj), t0<t<t] i'

1) (2) (3)

Многие методы исследования краевых задач математической физики обладают такими возможностями, как

1) универсальность;

2) алгоритмичность (т.е. легкость построения алгоритмов и их реализация на ЭВМ, наличие стандартных блоков и подпрограмм и др.);

3) эффективность (с точки зрения затрат машинного времени на ЭВМ);

4) существование математического обоснования (доказательство сходимости метода, оценки ошибок и т. д.);

5) ясность физической интерпретации результатов и др.

Однако, несмотря на обилие разработанных методов и подходов к решению различных задач исследования физико-механических полей, выбор того или иного метода исследования для конкретной, в частности, реальной задачи, представляется проблематичным ибо проблематичным представляется формулировка критерия, по которому возможно было бы провести объективное сравнение методов. Кроме того, отсутствует классификация численных методов, хотя бы на основе сравнения асимптотического числа операций N(e), нет указаний на сложности, возникающие при численной реализации известных методов, не выделен круг задач, где были бы наиболее эффективны применения той или иной численной схемы.

В связи с этим особенно актуальной является проблема разработки и исследования новых моделей задач физических полей в конструктивных элементах приборостроения, машиностроения, радиоэлектроники, в том числе в лазерной физике, атомной и ядерной спектрометрии, в метрологии лазерного, рентгеновского и гамма-излучений и др. и методов их решения; разработки и обоснования новых вычислительных алгоритмов в ограниченных областях неклассической формы; создание компьютерных моделей и программного обеспечения для их реализации; проведение широкого вычислительного эксперимента по исследованию необходимых физических характеристик различных объектов сложной геометрической формы.

Данная диссертационная работа посвящена развитию и использованию конструктивных средств теории R-функций (RFM) к исследованиям задач экспериментальной физики.

Теория R-функций в настоящее время достаточно широко применяется при исследовании краевых задач математической физики, в теории приближений, в задачах оптимального размещения и распознавания образов, в конструктивной теории функций, в автоматизации программирования и др., исследования по теории R-функций достаточно полно отражены в работах многих исследователей.

Метод R-функций дает такое функциональное представление приближенных аналитических решений (GSS), которые удовлетворяют граничным условиям и которые:

1) учитывает на аналитическом уровне геометрию области Q;

2) учитывает на участках ее границы Sk граничные условия;

3) позволяет учесть имеющуюся априорную информацию о точном решении задачи (если оно есть);

4) позволяет приблизиться к точному решению в метрике соответствующего функционального пространства г|.

При построении аналитических решений (структурных формул (GSS)) с использованием аппарата R - функций применяются дифференциальные операторы Dk и Тк, определяемые соотношениями к ък г ( ъ \к~'Г

D гЛд df{d(°

UkJ АЛ* ^k-i^i i-O да дсо о дхj дх2 дх} у

При этом на границе S операторы Dk и Тк имеют вид

D f\ =^LL т f\ u«j\s dv ' dT ' т.е. превращаются в производную по нормали п и касательной т соответственно. Операторы Dk и Тк зависят от функции со и

1) содержат информацию о форме области Q;

2) определены всюду в области Q;

3) на границе совпадают с производными по нормали и касательной, за исключением угловых точек;

4) позволяют продолжать граничные значения внутрь области;

5) представляют собой разложение функции f по неопределенным коэффициентам полинома Лагранжа.

Аналитическое описание уравнений <в(х) границ S произвольных областей Q предполагает следующие этапы построения:

1) теоретико-множественное описание области Q, т.е. представление с помощью операций алгебры множеств П, U, /;

2) логическое или предикатное описание области Q r , fl, xeQ;

0, xeQ;

3) аналитическое описание области с помощью R« - операций: fx л« Л = (/i + Л ~ V/i2 +Л2 -2 °fifl ) ~ Ra-КОНЪЮНКЦИЯ,

1 + а flvа /2 = + /г + л//2 + Л2 " ) - Ra-ДИЗЪЮНКЦИЯ,

1 + а f = -f -Ra-отрицание.

В данной работе применяются R-функции, которые строятся на множестве %(-со,со) и соответствуют двузначным (булевым) функциям алгебры логики.

Следует отметить, что применение метода R-функций к задачам физики позволяет сохранить многие важные с физической точки зрения особенности, содержащиеся в постановке исходной задачи. Как известно [68-69], задача интегрирования системы уравнений (1)-(3) может быть заменена эквивалентной вариационной задачей, а именно задачей нахождения на множестве D(A) элемента и (х), реализующего минимум функционала /(и) краевой задачи (1)-(3)

1(и) = (Ли, и)- 2(м,/) = |р|| - 2(м,/), (4) где (и,/) - скалярное произведение функций ми /, и

- энергетическая норма функции и.

Решение вариационной задачи (4) в энергетическом пространстве всегда существует и является, вообще говоря, обобщенным. Оно может быть получено методами Ритца, Бубнова - Галеркина и др. [68] и представимо в виде = (5)

1=1 где - координатная последовательность, которая предполагается известной и которая в данной работе строится с помощью метода R-функций (функций B.JI.

Рвачева). Неизвестные компоненты С, (i-1,2.п) находятся из условия минимума функционала dl(u) ас,. 0, U = 1,2,.,«), (6) представляющего собой систему алгебраических уравнений

У = 1,2,.,л). (7) 1

На основе созданной теории R-функций В.Л. Рвачевым было введено понятие структуры решения (GSS) краевой задачи [57-59,70] как пучка функций, удовлетворяющих граничным условиям краевой задачи. В настоящей работе рассматривались структуры полные или полные в некотором смысле.

В общем виде структуру решения можно представить в виде функционального соотношения и = В( Ф), (8) где В - известный оператор, учитывающий (или нет) граничные условия (2) краевой задачи, определенный на множестве М, элемент ФеМ выбирается так, чтобы наилучшим образом (в том или ином смысле) удовлетворить исходному уравнению (1) [58,71-75].

Эффективность использования структурных формул (8) существенно зависит от выбора аппроксимирующих полиномов (5). Оператор В структуры решения (8), воздействуя на полиномы "деформирует" их в последовательность {f,(x)j поэтому от аппроксимационных свойств функций (*)} существенно зависит характер приближения к краевой задаче, обусловленность и некоторые функциональные характеристики матрицы {ау} системы алгебраических уравнений (6) для определения коэффициентов Cj. Во многих случаях элементы матрицы {аи} являются интегралами по области Q.

Остановимся на вопросе об определении оператора В(Ф), структуры решения (8). В настоящей работе оператор В(Ф) представляется в виде разложения [58,73] i где Gk (к=\,2,.,г) - линейные дифференциальные операторы, являющиеся продолжением граничных дифференциальных операторов внутрь области Q; /&(*) - дифференциальные коэффициенты, которые конструируются таким образом, чтобы функция и(х) удовлетворяла (в том или ином смысле) заданной системе граничных условий (2).

Заметим, что использование линейных дифференциальных операторов (9) не уменьшает общности рассуждений и для нелинейных структурных формул типа (9), так как те нелинейные задачи, которые представлены в работах [62,63], необходимо линеаризовать, ибо все известные методы решения нелинейных задач сводятся к последовательности линейных задач [76].

Методы построения решения краевых задач (GSS), опирающиеся на теорию R-функций, содержат конструктивно простые средства для удовлетворения самым разным типам краевых условий при практически произвольной геометрии областей. В то же время они позволяют использовать в качестве аппроксимационного аппарата как классические полиномы, так и функции с локальными носителями (сплайны, атомарные функции и др.). Эти обстоятельства ставят теорию R-функций в исключительно выгодное положение при разработке программирующих систем в области исследования задач экспериментальной физики.

В таких задачах, как расчет физических полей с учетом геометрических форм, среды, расположения и распределения возбудителей поля, величин физических параметров и другой информации важен, и почти неизбежен этап проведения численных экспериментов. Эти эксперименты необходимы для проведения анализа, выяснения пригодности и корректности выбранных физических и математических моделей поля; выбора метода и реализующего его вычислительного алгоритма; составления и отладки программ; решения тестовых и модельных задач; анализа численных результатов и др.

Метод R-функций обладает широкими алгоритмическими возможностями, что позволило создать программный комплекс со специальным входным языком -программирующую систему ПОЛЕ - программный инструментарий, который осуществляет компьютерное моделирование и автоматизацию вычислительного процесса в задачах исследования физических процессов, имеет средства взаимодействия с программами на физическом или математическом языке постановки конкретной задачи исследования, дает возможность проводить многовариантные вычисления.

Целью работы является развитие конструктивных средств теории R-функций для задач экспериментальной физики.

В связи с этим рассмотрены такие вопросы:

• создание математических моделей задач экспериментальной физики;

• разработка аналитических методов исследования физических процессов в приборах и аппаратах неклассической геометрической конфигурации;

• создание компьютерных моделей численного исследования основных задач, моделирующих физические процессы экспериментальной физики;

• проведение анализа физических процессов в приборах, аппаратах и конструктивных элементах.

Задачи и этапы исследования: создание и исследование широкого класса математических моделей задач электродинамики, теплопроводности, термоупругости в средах, описываемых системами линейных и нелинейных дифференциальных уравнений; проведение и теоретическое обоснование исследований электродинамических полей и характеристик в модуляторах, лазерах, приемниках и др. приборах; разработка методики решения пространственных и нестационарных задач теплопроводности, основанная на совместном применении дифференциально-разностного метода и теории R-функций; проведение исследования апостериорных оценок погрешности структурных решений пространственных краевых задач математической физики; разработка программного обеспечения для проведения исследований линейных, нелинейных и динамических задач теплопроводности, термоупругости, электродинамики; выполнение вычислительного эксперимента по определению резонансных частот и электродинамических характеристики объемных резонаторов, широко используемых как колебательные системы (резонансные контуры) и нагруженных электрооптическими кристаллами, полуаксиальных резонаторов измерительных фотоприемных устройств, фотоприемных устройств на основе лавинных диодов, лазерных устройств и др.; по определению температурных полей и напряженно-деформированного состояния упругих и неупругих тел, подвергающихся внешним воздействиям; разработка структурных моделей исследования дифракции установившихся и нестационарных упругих и термоупругих волн на объектах произвольной формы. Разработка новых вычислительных алгоритмов и схем для численной реализации новых структурных моделей.

Диссертационная работа выполнена в отделе прикладной математики и вычислительных методов ИПМаш НАН Украины и в Московском физико-техническом институте.

Связь работы по научными программами, планами темами основываются на исследованиях автора, которые выполнялись в МФТИ и отделе прикладной математики и вычислительных методов ИПМаш НАН Украины с 1985 по 2003 год, и отображена в отчетах ниже приведенных разработок:

Разработка эффективных методов и создание автоматизированных систем программирования» (ГР № 766077048);

Развитие математической теории R-функций и создание автоматизированного программного обеспечения» (ГР № 80023021);

Разработка модулей R-функций решения задач математической физики» (ГР № 018210012354);

Создание системы «ПОЛЕ-ЕС» (ГР № 01840082148);

Разработка новой теории программирования алгоритмов решения задач математической физики» (ГР № 93456081);

Создание на основе теории R-функций перспективного программного обеспечения и систем, ориентированных на решение задач математической физики, моделирующих взаимодействующие физико-механические поля» (ГР № 1870016839); 1

Совершенствование конструктивных средств теории R-функций и создание новых версий (для ЕС-ЭВМ) генераторов программ серии ПОЛЕ (ГР № 1840057174);

Разработка новых методов общей обработки и преобразования сложной геометрической и аналитической информации в математическом и компьютерном моделировании" (РК № 0196U004537);

Развитие и усовершенствование методов исследования структурных моделей и компьютерная реализация этих моделей для задач механики сплошных сред" (РК № 0196U0044543);

Развитие теории R-функций и создание на ее основе мобильного программного обеспечения современных ЭВМ ( в том числе персональных) для исследования термоупругих, упругопластических, деформационных, электромагнитных и магнитогидродинамических полей» (ГР №01900009451);

Создание на основе теории R-функций интеллектуальных систем, ориентированных на задачи расчета физико-механических полей в научных исследованиях, инженерной практике и учебном процессе» (ГР № 01900034544);

Интеллектуальный инструментарий компьютерной технологии в математической физике» (РК № 0196U004543);

Высокоинтеллектуальные системы программирования, ориентированные на использование алгебраизованных структурных формул решения краевых задач» (ГР № 0194U0353430); "Развитие теории R-функций (RFM), расширение ее предметной области, усовершенствование конструктивных и программных способов" (ГР № 0198U 0054125); " Методы построения и обращения операторов структурных и компьютерных моделей объектов сложной формы в механике сплошных сред" (№ 1/262, грант Государственного комитета Украины в делах науки и технологий);

Аналитико-геометрическое и компьютерное моделирование высоких технологий изготовления и эксплуатации объектов сложной конфигурации, находящихся в условиях высокоградиентных воздействий" (№ 2/847, грант Министерства Украины в делах науки и технологий);

Разработка новых методов математического моделирования задач механики сплошных сред на основе теории R-функций и теории неархимедовых исчислений" (№ 1.4/162, грант Министерства Украины в делах науки и технологий);

Разработка новых методов исследования задач дифракции упругих и неупругих волн на объектах неклассической геометрической формы» (№1/2002 о научно-техническом сотрудничестве между ИРЭ РАН и ИПМаш НАНУ);

Разработка и обоснование новых численно-аналитических методов исследования задач упругости и термоупругости объектов сложной формы» (№2/2002 о научно-техническом сотрудничестве между НУК ИУ МГТУим. Н.Э. Баумана и ИПМаш НАНУ). Научная новизна результатов диссертации

• Предложен новый подход исследования физических полей экспериментальной физики в объектах сложной геометрической формы, основанный на использовании конструктивного аппарата теории R-функций.

• Построены математические модели, аналитические решения - структуры решения (GSS), алгоритмы, вычислительные схемы основных типов задач электродинамики, теплопроводности, теории упругости.

• Созданы компьютерные модели численного исследования основных задач, моделирующих физические процессы экспериментальной физики.

• Исследованы электродинамические поля в лазерах, модуляторах, приемниках.

1. Найдены условия поперечного микроволнового резонансного возбуждения смеси стабильных изотопов гелия-3 и неона-20 с выходом когерентного излучения с длиной волны 0,6328 мкм, максимальной мощностью и шумами, не превышающими ее квантовых флуктуаций, при исследовании электродинамических полей в гелий-неоновом лазере с микроволновым возбуждением.

2. Определены области оптимальных геометрических размеров полукоаксиального резонатора, нагруженного кристаллами KDP и ниобата лития. Получена наперед заданная структура поля как при работе микроволновых модуляторов лазерных пучков на продольном, так и на поперечном электрооптических эффектах.

3. Проведены исследования биконического резонатора, нагруженного внутренним кристаллом KDP. Получены зависимости электродинамических характеристик биконического резонатора от его геометрических параметров и параметров кристалла. Определена геометрическая форма кристалла, обеспечивающая минимальные поперечные и продольные градиенты электрической компоненты поля, что обеспечивает оптимальную модуляцию пучка фотонного излучения.

4. Изучено электромагнитное поле фотоприемного устройства, созданное на основе биконического резонатора, внутри которого находится диод сложной геометрической формы.

5. Создана математическая модель и проведено численное моделирование и экспериментальные исследования электромагнитных полей в резонансных фотоприемных устройствах автогенераторного типа. В результате этих исследований удалось исключить побочные колебания гетеродина и найти оптимальную структуру поля в зазоре резонатора, воздействующую на фотоэлектронный умножитель и создать резонансные фотоприемные устройства, обеспечивающие максимальный коэффициент преобразования лазерного излучения в измеряемый гармонический сигнал.

Исследованы тепловые процессы в элементах сложной геометрической конфигурации.

1. Разработан подход к решению пространственных задач теплопроводности в областях сложной геометрической формы, основанный на совместном применении теории R-функций и дифференциально-разностного метода.

2. Получены с использованием теории сопряженных вариационных задач апостериорные оценки погрешности структурных решений (GSS) задач исследования пространственных температурных полей в областях сложной геометрической формы.

3. Разработаны алгоритмы и вычислительные схемы для задач исследования нестационарных краевых задач теплопроводности, которые используют теорию R-функций и интегральные преобразования, совместно метод конечных разностей и теорию R-функций, а также метод наименьших квадратов и RFM.

4. Созданы математическая модель, алгоритм, вычислительные схемы и получены численные результаты задачи исследования температурного поля в элементах аппаратов для добычи полезных ископаемых со дна мирового океана. Определены температурные режимы выхода на стационарный режим работы аппаратов сложной геометрической конфигурации.

5. Приводятся результаты исследования задач для теплоизлучающего тела неклассической формы. Данная задача рассматривается как нелинейная с граничными условиями интегрального типа, которая подвергается линеаризации с последующим исследованием линейных задач методом R- функций.

6. Изучены тепловые процессы в электрооптических кристаллах микроволновых модуляторов по найденным с наперед заданной структурой электродинамическим полям. Рассматривались полуаксиальные резонаторы сложной геометрической формы, нагруженные кристаллами. Получены температурные поля при работе модулятора лазерных пучков как на продольном электрооптическом эффекте, так и на поперечном. Установлено, что характер распределения температурного поля в резонаторах и кристаллах качественно совпадает с характером распределения электродинамических полей.

• Исследовано напряженно-деформированное состояние конструктивных элементов неклассической геометрической формы.

1. Построены математические модели задач и проведен вычислительный эксперимент по исследованию напряженно - деформированного состояния в элементах технологической оснастки, ослабленных ребрами жесткости.

2. Созданы математические и компьютерные модели исследования термонапряженного состояния в лопатке авиационного двигателя и в цилиндровом блоке аксиально-поршневого насоса.

3. Разработаны математические модели задач определения упругопластического состояния элементов технологического процесса.

4. Представлены алгоритмы, вычислительные схемы, численные результаты решения задач определения напряженно-деформированного состояния осесимметричных тел конечных размеров, которые широко используются в качестве элементов технологической оснастки, нагруженных за пределами упругости.

5. Создана математическая модель задачи отыскания силовых параметров элементов технологического процесса, которая рассматривается как задача упругопластического деформирования трубчатых заготовок.

6. Предложен алгоритм определения термонапряженного состояния тел произвольной формы, находящихся в условиях упругопластических деформаций.

7. Найдены (по температурным и электродинамическим полям с наперед заданной структурой) поля напряжений в кристаллах, находящихся в резонаторах, работающих на продольном и поперечном электрооптическом эффектах.

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгостью математических постановок задач, построением априорных и апостериорных оценок погрешностей численных решений, сравнением результатов, представленных в диссертационной работе, с известными точными решениями или данными других авторов, а также с результатами некоторых физических экспериментов. Целесообразность разработанных подходов исследования физико-механических полей подтверждается вычислительным экспериментом в решении практически важных задач, а также результатами физических экспериментов, о чем имеется акт внедрения.

Теоретические исследования электромагнитных и температурных полей в элементах сложной геометрических формы подтверждены физическими экспериментами и использованы при создании новых приборов, таких как, газоразрядные гелий-неоновые лазеры, электромагнитные модуляторы и фотоприемные устройства лазерных измерительных систем.

Методы исследования.

В работе использованы методы математического моделирования, теории дифференциальных уравнений и математической физики, методы решения задач математической и экспериментальной физики, теория R-функций, компьютерное моделирование, программное обеспечение, вычислительный эксперимент.

Теоретическое значение работы. • Построены математические модели, аналитические решения - структуры решения (GSS), алгоритмы, вычислительные схемы основных типов задач электродинамики, теплопроводности, теории упругости.

• Построены математические модели задач исследования электродинамических полей в лазерах, модуляторах, приемниках.

• Получены зависимости электродинамических характеристик модуляторов, лазеров и приемников от геометрических и физических параметров.

• Разработана методика исследования пространственных задач математической физики для уравнений эллиптического типа, которая использует дифференциально-разностный метод и теорию R-функций.

• Исследованы апостериорные погрешности решения пространственных краевых задач в неклассических областях, которые базируются на совместном использовании теории сопряженных вариационных задач и метода R-функций.

• Предложены подходы к исследованию нестационарных температурных полей в областях сложной геометрической формы, основанные на теории R-функций и ее сочетании с конечными разностями и интегральными преобразованиями.

• Разработана математическая модель задачи определения температурного поля в элементах аппаратов для добычи полезных ископаемых со дна мирового океана.

• Предложен подход к исследованию задач для теплоизлучающего тела неклассической формы, который использует аппарат теории R-функций.

• Разработана математическая модель для исследования тепловых процессов в электрооптических кристаллах микроволновых модуляторов. Изучены тепловые процессы в электрооптических кристаллах микроволновых модуляторов по найденным с наперед заданной структурой электродинамическим полям. Рассматривались полуаксиальные резонаторы сложной геометрической формы, нагруженные кристаллами. Получены температурные поля при работе модулятора лазерных пучков как на продольном электрооптическом эффекте, так и на поперечном.

• Создана математическая и компьютерная модель определения термоупругих и упругопластических деформаций в элементах технологической оснастки, которые находятся в условиях сложного нагружения.

• Построены алгоритмы определения термовязкоупругопластичных полей в геометрических телах сложной формы.

• Разработана математическая модель исследования поля напряжений в кристаллах, находящихся в резонаторах, работающих на продольном и поперечном электрооптическом эффектах.

• Разработаны новые структурные и компьютерные модели, алгоритмы и вычислительные схемы исследования динамических задач термоупругости (задачи дифракции упругих и термоупругих волн) для объектов неклассической формы.

Практическое значение работы.

Результаты диссертационной работы использованы при создании Государственного первичного эталона объемной активности радона-222 (ДЕТУ 12-01-97) и рабочего эталона единицы длины метра в области больших длин согласно с «Программой создания эталонной базы Украины на 1993-1997 годы» и применены для автоматизации моделирования физических процессов в эталонных генераторах радона-222, для исследования электромагнитных полей в элементах сложной геометрических формы- газоразрядные гелий-неоновые лазеры, электромагнитные модуляторы и фотоприемные устройства лазерных измерительных систем.

Теоретические исследования электромагнитных и температурных полей в элементах сложной геометрических формы использованы при создании новых приборов, таких как газоразрядные гелий-неоновые лазеры, электромагнитные модуляторы и фотоприемные устройства лазерных измерительных систем.

Это позволило сократить ряд дорогостоящих экспериментальных исследований и выбрать конструкцию приборов, обеспечивающих высокую точность измерений.

Предложенные в диссертационной работе структурные модели, методы, программное обеспечение используются для оценки термонапряженного состояния в установках для добычи твердых полезных ископаемых со дна мирового океана (НИПИ "Океанмаш", г. Днепропетровск), в исследовании задач определения упругих, термоупругих, упругопластических деформаций в технологических элементах, которые широко применяются в авиастроении, а также в иных разработках, которые выполнялись по темам государственного бюджета и договорным работам.

Апробация результатов работы. Главные идеи, положения и результаты исследований были представлены на конференциях и научных семинарах: на кафедре математической физики Харьковского университета (г. Харьков, 1980 г., рук. семинара д-р физ.-мат.н. В.А.Щербина); на Всесоюзной школе "Вычислительная математика и математическое моделирование" (г. Минск, 1984 г., рук. академик А.А. Самарский), на межвузовском научном семинаре "Математические проблемы механики" (г. Днепропетровск, 1987г., рук. академик В.И.Моссаковский), на кафедре общей механики Белорусского университета (г. Минск, 1988г., рук. д.-р физ.-мат.н. И.А. Прусов), на Республиканской конференции "Эффективные методы решения задач механики" (г. Харьков, 1989 г.); на Всесоюзной конференции "Жизнь и компьютер" (г. Харьков, 1991 г.); на Всеукраинской конференции "Новые подходы к решению задач математической физики" (г. Львов, 1993 г.), на Международной конференции 100 лет использования электромагнитных волн. Волновые процессы в радиофизике" (г. Москва, 1995 г); на Всеукраинской научной конференции "Разработка и использование математических методов в научно-технических исследованиях" (г. Львов, 1995 г.); на IV международной конференции по механике неоднородных структур (г. Тернополь, 1995 г.), на конференции, посвященной памяти профессора Ю.Н. Коляно (г. Львов, 1996 г.), на семинарах отдела прикладной математики и вычислительных методов Института проблем машиностроения НАН Украины ( 1987 -1999 гг.), на Международной научной конференции «Сучасш проблеми мехашки i математики» (м JIbBiB, 1998 р.); на Международной научной конференции "Physics and Engineering of Millimeter and Submillimeter Waves"(r. Харюв, 1998 p.), Международной научной конференции "Dynamical Systems Modeling and stability Investigation Systems Modeling" (r. Киев, 1999 г.), Международной конференции, посвященной 100-летию профессора Х.М. Муштари, 90-летию профессора К.З. Галимова и 80-летию профессора М.С. Корнишина (Казань, 26-30 июля 2000 г. Институт механики и машиностроения КНЦ РАН) « Актуальные проблемы механики оболочек»; шестой Международной конференции "Modern Trends in Computational Physics" (In Memory of N.N. Govorun, July 24-29, 2000, Dubna, Russia. Joint Institute for Nuclear Research, Laboratory of Computing Techniques and Automation), "Исследование физико-механических полей в областях сложной геометрической формы методом R-функций" (Московский государственный университет, 2002 г.), International Workshop on Laser and Filter-Optical Networks Modeling, (June 3-5, 2002, V.N. Karazin National University & National University of Radio Electronics, Харьков, Украина).

Личный вклад соискателя в работы, опубликованные в соавторстве: В работах [109-113] Н.Д. Сизовой представлены разработки математического обеспечения для исследования пространственных задач математической физики, в частности, задач стационарной теплопроводности, которое базируется на совместном использовании конечных интегральных преобразований и теории R-функций. Работы [135-138, 151-152] посвящены исследованию упругопластических полей, которые возникают при проектировании и эксплуатации элементов технологической оснастки самолетостроения, находящихся под влиянием комбинированной нагрузки. В этих работах Н.Д. Сизовой разработаны математическая модель, структурные формулы и компьютерные модели задач упругопластического деформирования. Вопрос построения аналитических решений в термоупругих квазистатических задачах, разработки алгоритмов, вычислительных схем и программного обеспечения рассматриваются автором диссертации в работе [130-134]. В работе [116] Н.Д. Сизова, рассматривает вопрос построения математической модели определения температурного поля в узлах установок, которые используются для добычи полезных ископаемых со на мирового океана. Новые разработки структурных моделей задач дифракции упругих волн приведены в работах [204-209] Н.Д. Сизова получила аналитические решения этих задач, построила алгоритмы, вычислительные схемы, получила численные результаты в задачах дифракции упругих волн в средах, которые ослаблены отверстиями сложной геометрической формы, исследовала влияние на напряженно-деформированное состояние физических характеристик от действия набегающей волны. Математическая модель, алгоритмы исследования электродинамических характеристик в модуляторах, рекомендации оптимального выбора поля с наперед заданной структурой, а также расчет характеристик биконического и полукоаксиального резонатор с оптическим кристаллом выполнены Н.Д. Сизовой в работах [163-166, 223]. В работе Н.Д. Сизова [124] исследовала апостериорные погрешности структурных решений с использованием теории R-функций, разработала алгоритмы, получила численные результаты с определения решений пространственных задач эллиптического типа и параболического типов. Н.Д. Сизова в работе [208] применила дифференциально-разностный метод совместно с теорией R-функций в исследованиях пространственных краевых задач эллиптического типа. В работах [140-141] Н.Д. Сизовой проведены исследования температурных полей в объектах сложной геометрической формы, построены вычислительные схемы, проведен вычислительный эксперимент и получены оценки решений для нестационарных задач. Алгоритм, численные решения задачи определения температурного поля излучающего тела получены представлены Н.Д. Сизовой Н.Д. в работах [117-119]. Апостериорные оценки погрешностей решения краевых задач математической физики для областей неклассической формы разработаны Н.Д. Сизовой в работе [127]. Алгоритм определения термоупругого состояния элементов из композитных материалов, разработан Н.Д. Сизовой и приведен в работе [139]. В работе [121] Н.Д. Сизовой приводятся оценки погрешности структурных решений для уравнений параболического типа.

Автором выполнены следующие разработки: предложен новый подход к изучению физических полей в приборах и элементах экспериментальной физики, который использует аппарат теории R-функций;

- разработаны новые математические модели задач исследования физических полей в областях неклассической геометрической формы;

- исследованы электродинамические поля в лазерах, модуляторах, приемниках, определены оптимальные геометрические характеристики резонаторов, имеющих наперед заданную структуру электродинамических полей;

- определены структуры магнитного и электрического поля в биконическом резонаторе;

- найдены оптимальные режимы работы фотоприемных устройств, созданных на основе биконического резонатора; исследованы диссипативно-тепловые процессы в электрооптических кристаллах; Разработана математическая модель для исследования тепловых процессов в электрооптических кристаллах микроволновых модуляторов. Изучены тепловые процессы в электрооптических кристаллах микроволновых модуляторов по найденным с наперед заданной структурой электродинамическим полям, выполнен расчет фотоприемных устройств лазерных измерительных систем и др.;

- разработана методика исследования температурных полей в пространственных областях неклассической геометрической формы, основанная на совместном применении дифференциально-разностного метода и теории R-функций; проведено исследование апостериорных оценок погрешности структурных решений пространственных краевых задач;

- исследовано температурное поле в сложных геометрических объектах, используемых в качестве ТВЭЛов в различных теплообменниках;

- получены тепловые характеристики и режимы работы установок для добычи твердых полезных ископаемых со дна океана;

- разработаны алгоритмы определения нестационарных тепловых полей, описываемых дифференциальными уравнениями параболического типа, на основе теории R-функций с использованием: а) интегральных преобразований, б) дифференциально-разностного метода, в) метода наименьших квадратов;

- предложен алгоритм решения задач определения температурных полей в излучающих системах;

- разработана математическая модель для исследования тепловых процессов в электрооптических кристаллах микроволновых модуляторов. Изучены тепловые процессы в электрооптических кристаллах микроволновых модуляторов по найденным с наперед заданной структурой электродинамическим полям. Рассматривались полуаксиальные резонаторы сложной геометрической формы, нагруженные кристаллами. Получены температурные поля при работе модулятора лазерных пучков как на продольном электрооптическом эффекте, так и на поперечном. исследованы поля температур и напряжений в лопатках авиационных двигателей, а также в цилиндровом блоке аксиально-поршевого насоса; создана математическая модель и проведены исследования процессов формообразования и отыскания силовых параметров технологических элементов при упругом, термоупругом и упругопластическом деформировании трубчатых заготовок; определены (по температурным и электродинамическим полям с наперед заданной структурой) поля напряжений в кристаллах, находящихся в резонаторах, работающих на продольном и поперечном электрооптическом эффектах, на основе созданной математической модели. созданы структурные модели и аналитические решения, вычислительные алгоритмы и схемы для численной реализации структурных моделей и задач дифракции упругих термоупругих и нестационарных волн на объектах произвольной формы; создано программное обеспечение для проведения численных исследований линейных, нелинейных и динамических задач математической физики, в рамках которого выполнен вычислительный эксперимент по определению физико-механический полей различной природы в сложных геометрических объектах, которые широко используются в различных отраслях промышленности. Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 52 научных статьях, которые перечислены в списке литературы.

Объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы, приложений. Общий объем работы - 279 е., таблиц -34, рисунков -134, библиография включает 234 наименований.

Результаты исследования температурного поля в резонаторе, нагруженном кристаллом KDP, приведены в главе 3.

Таким образом, решение задачи термоупругости (4.51)-(4.52) заключается в том, чтобы определить при заданных тепловых воздействиях компоненты вектора перемещений и , компоненты тензора напряжений сгу. Найденное решение является единственным [27].

Отметим, что задача определения термоупругих характеристик кристаллов моделировалась в постановке, не учитывающей влияния подобных характеристик резонатора.

Определение термонапряженных характеристик кристалла.

-»

Перейдем к вопросу нахождения компонент вектора перемещений и по заранее найденному закону распределения температуры (3.19).

Запишем уравнение (4.51) в операторном виде

AU = Р

4.53)

Задача (8) может быть сведена к задаче о минимуме функционала I(U) при соответствующих граничных условиях [68] = || W(U)-UP^Q,

4.54) где W(JJ) - потенциальная энергия деформаций.

Решение вариационной задачи (4.54) в энергетическом пространстве всегда существует. Это решение является обобщенным и может быть получено методом Ритца, Бубнова-Галеркина и др. Представим его в виде t/ = £C(9>((x),

4.55) 1 где < <р,(х) \ ~ координатная последовательность. Она предполагается известной и строится

1 /=1 с помощью структурного метода [58,63].

Структура решения первой основной задачи для ортотропного тела, имеющего коэффициенты Ау в качестве упругих постоянных сщ, запишется в виде соотношений [63] щ = Фп -ЩФп +^{АА\-ТхФп + ВВ1 ■ 7]Ф21 + #1 • / + ggl■ /2} + й)2Ф12, А и2 = Ф21 - ЩФ2Х ~{АА2- ТХФ2Х + ВВ2-ТхФ1Х+//2-/х + gg2 • /2}+ й>2Ф22, А

4.55) где АА1

Абб(Ап+А22) + Ь4 5со V кдх2/, дсо дсо АА2 =

ВВ1 = А66

22

КдХ2;

42 дх, 5х2 ВВ2 = Л

ЛЭаЛ2 кдхх дй) дй) йс, дх2 дсол2 дх,] f дй)^ v^iy

-Д

12 f дсо ^ дх V 12 У

1 = ggl = f део^

Kdx2j ox,

Лб + ^i to}2 Kdxx,

A22 -62l — dxxJ dco дх. gg2 =

Axx-bx rdco^

Kdx2j dco dx2' dm дх,' AuA22 — Ax2 — A66(AU + A22 + 2A12),

Oij (ij=l,2) - неопределенные компоненты структурной формулы, при любом выборе которых краевые условия (4.52) удовлетворяются точно.

С учетом ортотропии кристалла выражение для функционала запишем в виде

J(ux,u2) = JJ

1 . (дщ? J dux du2 1 12 + W 22 ctc, ох2 Z f du^ 1 . (ди, ди Л

Kdx2J дх2 dxx fxu2- f2ux)dy, где x=(r,z), и и i/2 - компоненты вектора перемещений U (и r,uz),

7=1

Представим систему алгебраических уравнений для нахождения неизвестных коэффициентов (4.55)

-V - я л + A '

11 12 йс, йс, д%и дХц , д%2Х дхх дхх дхх дхх J А

22 д%2 , дХи дх2 дх2 дХ\, , dZn дх2 дхх дх2 дхх da, j)

WJm ди\ d%XJ ди\ dX2j | dXxj ди°2 дхх дхп дхх дх2 у и - " ~ +Аг г где n I дхх дхх \f\ZiAy, А.

22 ди\ дХу дх2 дх2 А66 ди? ди^ + * Г I \

1^2 J [dx2 a*, J / dQ +

О г со fdm} KdxXJ

2 = fM dco

Лб +ь.

Ле +bi fdo^2 кдх2; dco\

1=1 N

U2 ="2°+ZC<*2,' i=1

CH m N = 2">

4.56)

X^V^-coD^+co i) 0 дсо

А У да дсо дх. ык dxlJ дсо дх,

13)

Di,T| -дифференциальные операторы: D. = д дсо а дсо д дсо д дсо дх. Эх. дх, дх. Т, — — дх1 дх2 дх2 аг, а = А6(А2+2А€6)+А66 ы дсо 4 удх2; Ь3

Vй*: ) дй) 2 дхи

6, = Аи -Ап -2А66, Ь2 = А2г-Ап-2А6Ь, Ь3 = АиА22 -Ап-4А66(А12 + А6й).

В условиях работы программирующей системы ПОЛЕ [82] получены численные результаты напряженно-деформированного состояния кристалла KDP, помещенного в модулятор, работающий на продольном электрооптическом эффекте.

На рис. 4.33 а, б представлены картины линий уровня напряжений о>, az соответственно. Максимальные напряжения сгг, стг охватывают внешнюю боковую поверхность кристалла, кроме того, напряжения возрастают к нижнему его торцу. Это дает основания говорить о том, что при ином температурным режиме, в частности, с ростом температуры окружающей среды на внешней боковой поверхности может начаться разрушение кристалла. Эти выводы подтвердились и в численном эксперименте, когда максимальное температурное поле в кристалле принимало значения > 120°С.

Более темным цветом обозначены минимальны напряжения 0Г, о7. При этом зона минимальных напряжений аг несколько больше этой зоны для стг, в этом регионе напряжения стг, crz являются сжимающими. В то же время эти напряжения растягивающие на внешней боковой поверхности кристалла. а) б)

Анализ перемещений (рис. 4.34) показывает, что перемещения на всей внешней боковой поверхности кристалла возрастают, в центральной части кристалла ( при -0.2 rl <г <0.2 rl и 0.3 d<z<0.7 d, где rl, d - геометрические параметры кристалла) перемещения имеют значения на два порядка меньше, чем на боковой поверхности.

Рис. 4.34

Анализ напряжений и перемещений, возникающих в кристалле KDP, которым нагружен модулятор, работающий на продольном эффекте, показал:

1) максимальные напряжения стг, аг охватывают внешнюю боковую поверхность кристалла, кроме того, напряжения возрастают к нижнему его торцу;

2) зона минимальных напряжений аг несколько больше этой зоны для стг, в этом регионе напряжения <тг, о7 являются сжимающими в верхней торцевой части кристалла, в то же время эти напряжения растягивающие па внешней боковой поверхности кристалла.

3) при возрастании температур данное распределение напряжений и перемещений может привести к разрушению кристалла.

Температурное поле в модуляторе, нагруженном кристаллом и работающем на поперечном электрооптическом эффекте [231], изучалось в гл.З.

Исследования термоупругой задачи для кристалла ниобата лития LiNb03 в том случае, дала такие результаты (рис. 4.36, а, б).

Максимальные напряжения су, аг охватывают внешнюю боковую поверхность кристалла, кроме того, напряжения возрастают к нижнему его торцу. Качественно напряжения <тг в этом случае повторяют картину этих напряжений для кристалла KDP, однако они ниже по своим значениям.

Картина линий уровня для напряжений uz иная, они минимальны на верхнем торце и растягивающими являются в очень малой зоне (более темный цвет на рис. 4.36, б). На внешней боковой поверхности у нижнего торца напряжения oz - максимальны, эти напряжения практически по всей поверхности кристалла-растягивающие.

Можно предположить, что для кристалла ниобата лития LiNb03 эти напряжения будут приводить к его разрушению быстрее, чем напряжения сгг. а) б)

Рис. 4.35

Зона минимальных перемещений (рис. 4.36) для кристалла LiNb03 (более темный цвет на рис.4.36) такова: -0.15 rl <г <0.15 rl и 0 <z< d, где rl, d - геометрические параметры кристалла.

Максимальные перемещения находятся на боковой поверхности кристалла и занимают значительную область ( 0 <z<0.7 d), что позволяет сделать вывод о том, что именно эта в зоне начнется разрушение кристалла ниобата лития LiNbO^.

Рис. 4.36

Анализ напряжений и перемещений, возникающих в кристалле KDP, которым нагружен модулятор, работающий на поперечном эффекте, показал:

1) напряжения ctz минимальны на верхнем торце и растягивающими являются в очень малой зоне;

2) напряжения ог практически по всей поверхности кристалла растягивающие;

3) напряжения стг повторяют картину этих напряжений для кристалла KDP, однако они ниже по своим значениям;

4) максимальные перемещения находятся на боковой поверхности кристалла и занимают значительную область на ней.

Таким образом, по электродинамическим полям с наперед заданной структурой в резонаторах сложной геометрической формы, нагруженных кристаллами, получены температурные поля и поля напряжений как при работе резонатора на продольном электрооптическом эффекте, так и на поперечном.

Исследования физических полей в резонаторах сложной геометрической формы, нагруженных кристаллов выполнены с использованием теории R-функций.

Характер распределения температурного поля в резонаторах и кристаллах качественно совпадает с характером распределения электродинамических полей.

Проведены расчеты напряженно-деформированного состояния кристаллов в резонаторах.

Определены зоны минимальных и максимальных напряжений и перемещений в кристаллах KDP и LiNb03.

Показано, что напряжения в кристалле LiNb03 ниже, чем в кристалле KDP, что объясняется их механическими и тепловыми характеристиками.

Данные исследования могут быть продолжены как для других типов резонаторов, так и для других типов кристаллов и смогут дать картину напряженно-деформированного состояния не только кристаллов, но и резонатора, а также исследовать их взаимное влияние на термонапряженные характеристики. Выводы

1. Построены математические модели задач определения термонапряженного состояния конструктивных технологических элементов. Проведен вычислительный эксперимент в условиях эксплуатации программирующей системы ПОЛЕ по исследованию напряженно-деформированного состояния элементов технологической оснастки, ослабленных ребрами жесткости.

2. Созданы математические и компьютерные модели исследования термонапряженного состояния в лопатке авиационного двигателя и в цилиндровом блоке аксиально-поршневого насоса.

3. Проведены исследования структурных моделей упругопластического деформирования конструктивных элементов технологической оснастки. Построена математическая модель для определения упругопластического состояния полых цилиндрических заготовок, которые изготовляются методом раздачи.

4. Предложен алгоритм определения термонапряженного состояния тел произвольной формы, находящихся в условиях упругопластических деформаций.

5. Найдены (по температурным и электродинамическим полям с наперед заданной структурой) поля напряжений в кристаллах, находящихся в резонаторах, работающих на продольном и поперечном электрооптическом эффектах.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные научные и практические результаты диссертационной работы состоят в следующем:

1. Предложен новый подход исследования физико-механических полей в объектах сложной геометрической формы, находящихся под механическими и физическими воздействиями, основанный на использовании теории R-функций.

Построены математические модели, аналитические решения - структуры решения (GSS), алгоритмы, вычислительные схемы основных типов задач электродинамики, теплопроводности, теории упругости.

Созданы компьютерные модели численного исследования основных задач, моделирующих физические процессы экспериментальной физики.

2. Исследованы электродинамические поля в резонаторах, модуляторах, лазерах, приемниках.

• Получена наперед заданная структура поля как при работе микроволновых модуляторов лазерных пучков на продольном, так и на поперечном электрооптических эффектах. Сравнение приведенных теоретических результатов с экспериментальными результатами показало их согласие в пределах относительной погрешности эксперимента, не превышающей ± 8% при Р=0,95. Представлены исследования биконического резонатора, нагруженного внутренним кристаллом KDP.

• Получены зависимости электродинамических характеристик биконического резонатора от его геометрических параметров и параметров кристалла. Определена геометрическая форма кристалла, обеспечивающая минимальные поперечные и продольные градиенты электрической компоненты поля, что обеспечивает оптимальную модуляцию пучка фотонного излучения.

• Получена заданная структура электрического поля в зоне преобразования лазерного излучения и определены электродинамические характеристики лазеров.

• Решена краевая задача определения собственных колебаний биконического резонатора, внутри которого находится диод с заданной диэлектрической проницаемостью.

• Исследована задача о связи полуаксиального резонатора (ПРК) с цилиндрическим запредельным резонатором. Предложены алгоритм и метод теоретических исследований ПКР и излучения в запредельный цилиндрический резонатор.

3. Разработан и теоретически обоснован подход к решению пространственных задач теплопроводности в областях сложной геометрической формы, основанный на совместном применении теории R-функций и дифференциально-разностного метода.

• Получены с использованием теории сопряженных вариационных задач апостериорные оценки погрешности структурных решений (GSS) задач исследования пространственных температурных полей в областях сложной геометрической формы. Это позволило, располагая двумя приближенными решениями краевой задачи, найденными с помощью исходной и сопряженной вариационной формулировок, оценить (порознь) погрешности этих решений.

• Разработаны алгоритмы и вычислительные схемы для задач исследования нестационарных краевых задач теплопроводности, которые используют теорию R-функций и интегральные преобразования, совместно метод конечных разностей и теорию R-функций, а также метод наименьших квадратов и RFM.

• Приводится разработанная математическая модель, алгоритм и численные результаты задачи исследования температурного поля в элементах аппаратов для добычи полезных ископаемых со дна мирового океана. Определены температурные режимы входа на стационарный режим работы аппаратов сложной геометрической конфигурации.

• Приводятся результаты исследования задач для теплоизлучающего тела неклассической формы. Данная задача рассматривается как нелинейная с граничными условиями интегрального типа, которая подвергается линеаризации с последующим исследованием линейных задач методом R- функций.

• Изучены тепловые процессы в электрооптических кристаллах микроволновых модуляторов по найденным с наперед заданной структурой электродинамическим полям. Рассматривались полуаксиальные резонаторы сложной геометрической формы, нагруженные кристаллами. Получены температурные поля при работе модулятора лазерных пучков как на продольном электрооптическом эффекте, так и на поперечном. Установлено, что характер распределения температурного поля в резонаторах и кристаллах качественно совпадает с характером распределения электродинамических полей.

• Выполнены сравнения температурных полей, полученные в резонаторах с кристаллах методом R-функций, сравнивались с экспериментальными температурными полями на поверхности кристалла, измеренными бесконтактным методом с относительной погрешностью, не превышающей ±8 % при Р=0,95. В результате исследования тонкой структуры температурного поля по объему кристалла найдены условия для распространения лазерных пучков без фоторефракции с максимальной глубиной модуляции.

4. Построены математические модели задач определения термонапряженного состояния конструктивных технологических элементов.

• Проведен вычислительный эксперимент в условиях эксплуатации программирующей системы ПОЛЕ по исследованию напряженно-деформированного состояния элементов технологической оснастки, ослабленных ребрами жесткости.

• Созданы математические и компьютерные модели исследования термонапряженного состояния в лопатке авиационного двигателя и в цилиндровом блоке аксиально-поршневого насоса.

• Проведены исследования структурных моделей упругопластического деформирования конструктивных элементов технологической оснастки. Построена математическая модель для определения упругопластического состояния полых цилиндрических заготовок, которые изготовляются методом раздачи.

• Предложен алгоритм определения термонапряженного состояния тел произвольной формы, находящихся в условиях упругопластических деформаций.

• Найдены (по температурным и электродинамическим полям с наперед заданной структурой) поля напряжений в кристаллах, находящихся в резонаторах, работающих на продольном и поперечном электрооптических эффектах.

1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. - М.: Физматгиз, 1977. - 736 с.

2. Кошляков Н.С., Глинер Г.Э., Смирнов М.М. Основные дифференциальные уравнения математической физики. М.: Наука, 1978. - 710 с.

3. Тимошенко С.П. Курс теории упругости. Киев: Наук, думка, 1972. - 502 с.

4. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости М.: Наука, 1981.688 с.

5. Крылов А.Н. Лекции о приближенных вычислениях. М.: АН СССР, 1933.- 178 с

6. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. -349 с.

7. Стренг Г., Фикс Дж. Теория.методов конечных элементов для эллиптических задач М.: Мир, 1977. -349 с.

8. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач.- М.: Мир, 1980. -512 с.

9. Деклу Ж. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1976. -97 с.

10. Розин Л.А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам. М.: Строй-издат, 1977. -128 с.

11. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М.: Мир, 1984. -428 с.

12. Метод конечных элементов в механике твердых тел / Под ред. А.С.Сахарова и И. Аль• тенбаха. Киев: Вища школа; Лейпциг: Феб Фахбухферлаг, 1982. -420 с.

13. Бреббия К., Уокер С. Применение метода граничных элементов в технике. М.: Мир,1982. -248 с.

14. Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. М.: Мир, 1987. -524 с.

15. Крауч С., Старфилд А. Методы граничных элементов твердого тела. М.: Мир, 1987. -328 с.

16. Мускелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Физматгиз, 1962. -599 с.

17. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. М.: Мир, 1987. -542 с.

18. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. М.: Мир, 1985. щ -590 с.

19. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. М.: Наука, 1978. - 278 с.

20. Бердичевский А.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука,1983.-417 с.

21. Боли Б., Уэйнер Дж. Теория температурных напряжений. М.: Мир, 1964. -518 с.22.23,24,25,26.