Аналитические решения модельного кинетического уравнения БГКВ тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.14 ВАК РФ

2 * ФЕВ ^

На правах рукописи

АКИМОВ ДМИТРИИ НИКОЛАЕВИЧ

АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ МОДЕЛЬНОГО КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ БГКВ

Специальность 01.04.14 - "Теплофизика и молекулярная физика"

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА 1997

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Московского педагогического университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Гайдуков М.Н.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

ведущий научный сотрудник Галкин B.C., кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Трайтак С.Д.

Ведущая организация: Московский авиационный институт.

Защита состоится £ М&рТД 1997 г. в часов не

заседании диссертационного совета Д ИЗ.II.07 в Московском педг гогическом университете по адресу: 107005, Москва, ул. Радио, Д. Юа.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МПУ.

Автореферат разослан 3._ ЦалА^О-ЛЛ Х997 года.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физико-математических наук, доцент —Богданов Д.J

- э -

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Как известно, течение разреженного газа при малых, но конечных, числах Кнудсена достаточно хорошо описывается уравнениями газовой динамики с граничными условиями скольжения и скачка температуры. При этом возникает вопрос о корректной постановке граничных условий скольжения на межфазовой поверхности, то есть в ряде задач необходимо учитывать влияние кривизны поверхности и барнеттовских эффектов. Граничные условия в которых отражены эти факторы относят к макроскопическим граничным условиям второго порядка.

В настоящее время имеет место дискуссия по поводу справедливости таких граничных условий, которые были получены приближенными методами различными группами исследователей. Эти методы, по существу, является моментныма методами, которые применялись к кинетическому уравнении Больцмана с точным и модельными операторами столкновений. Поэтому анализ различия существующих макроскопических граничных условий второго порядка является актуальной задачей.

В связи с этим, большой интерес вызывает задача точных аналитических решений модельных уравнений Больцмана, которые позволяет найти точные (в замкнутой форме) формулы для скоростей скольжения и выявить справедливость существувдих макроскопических граничных условий второго порядка.

Целы) настоящей работы является газокинетический вывод и исследование точных граничил условий второго порядка в аэродинамика штока со скольжением.

Научная новизна. Методом Нейза получены аналитически решения кинетического уравнения Больцмана с оператором стодхнсеэняй в форме БГКВ медали, которые позволили найти точные вырэаеклл некоторых газокинэтических коэффициентов, входящих в макроскопические граничные условия второго порядка.

При исследовании влияния искривленности поверхности на скорости скольжения впервые развит метод аналитического решения неоднородных модельных кинетических уравнений.

Научная и практическая ценность заключается в том, что полу-Ч8ННЫВ в работе макроскопические граничные условия второго порядка могут быть использованы в прикладных задачах газовой, динамики и физики аэродасперсных систем.

Апробация работы и публикации. Материалы диссертации докладывались и обсуждались за ежегодных научных конференциях и теоретических семинарах в МОПИ им. Н.К.Крупской (г. Москва 19881991 г.г.), наиболее существенные выводы выполненных исследований были посланы как тезисы доклада на конференцию: Rarefied Gas Dynamics (г. Ванкувер, Канада 1992 г.).

По результатам диссертации опубликовано 4 работы, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и обьем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, приложений, и основных выводов. Материал изложен на 80 листах машинописного текста, включая 2 таблицы, I рисунок и библиографии из 77 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, описан применяемый метод решения кинетического уравнения Больцмана в форме ЕГКЗ модели и сформулирована цель работы.

В первой главе диссертации получено точное аналитическое решение задачи о Оарнеттовском скольжении газа. Для решения етой проблемы необходимо знать функцию распределения Чепмена-Энскога в барнеттовском приближении. Кроме того, вычисление барнеттовской функции распределения, которое проводится в данной главе, представляет самостоятельный физический интерес, так как, в последнее время получен ряд доводов в пользу барнеттовского приближения, например, предсказание термо- и концентрационно стрессовых кон-векций.

Барнеттовская функция распределения строится методом Чепмена-Энскога решения кинетического уравнения Больцмана с оператором столкновений в форме БГКВ модели:

у<°>_ /

J(/,/) - -Г» (I)

е

где 8 - независящая от скорости постоянная, по порядку величины равная времени столкновения между молекулами, /<0>- локально-

максвелловская функция распределения.

В результате разложения Чепменя-Энскога, получена система алгебраических уравнений, которая решается последовательно / = /<0>

/, - - е №/)0>

/

в №/),

2 - -/ = - е шу

где • (Ъ/ )а

-ь

д t

п-1 ,

80*й

д t

д /

+■ V-

д г

д /г

д V

(2)

<¿=0,1,. . .

В нулевом приближении: = /<0>- локально - максвелловская функция распределения , а тензор напряжения и вектор теплового потока равны :

Р<0>= р Л.,

ч ч

ч. =■ о.

(3)

где р»п1с1 , 5..- символ Кронекера. В первом приближении:

ш V2 5 ..

- 6/

<0>

2 5с . д и.

д 1я

а г

д г

(4)

где <А11.> = аа - —А в - симметричный неприводимый тензор

второго ранга, а поправки ?-<1>и <1*1> имеют вид „<1 >

1<1>= - А,-

2 т] г

1 ч,

а т

д г.

(5)

(6)

где т) = 8 р - коэффициент вязкости , 1 д и , д и ,

д г.

д г. д и

н-

тная часть тензора

5 епг I

д г.

—Ита О.. -симметричная бездиверген-

(тензор скоростей сдвига).

коэффициент теплопроводности.

Во втором приближении полученная функция распределения представляет суперпозицию неприводимых тензорных полей нулевого, первого, второго, третьего и четвертого ранга, свернутых с соответствующими градиентами макроскопических величин. Аналогичное выражение барнеттовской функции распределения было получено методом Чепмена-Энскога решения кинетического уравнения Больцмана для максвелловских молекул. Оно содержит теже неприводимые тензоры, но с несколько отличавшимися коэффициентами. Так же заметим, что приведенное в основополагащей работе Барнетта выражение функции распределения второго порядка содержит группы членов в виде тензоров первого и второго ранга, которыми определяются бариеттов-ские вклады в тензор напряжения и вектор теплового потока.

С помощью построенной функции распределения , вычислены

вклады второго порядка в тензор напряжения и вектор теплового

потока. При этом, если в выражении для функции распределения в

з

первом приближении (4) ввести поправочный множитель й = то

полученные поправки Р^ и будут идентичны соответствующим барнеттовским поправкам, которые вычислены в теории Чепмена-Энскога для максвелловских молекул.

Явлением барнеттовского скольжения называется движение газе вдоль поверхности, вызванное неоднородностями тепловых потоков. Барнеттовская функция распределения содержит члены на один порядок выше по числу Кнудсена, чем функция распределения Чепмзна-Энскога в навье-стоксовском приближении, которая линейна по градиенту температуры. Учет этих членов в функции распределения автоматически приводит к появлению в скорости теплового скольжения газа членов, линейных по числу Кнудсена. Поэтому влиянием кривизны поверхности в этой задаче можно пренебречь.

Постановка задачи заключается в решении уравнения Больцмана с оператором столновений в форме БГКВ модели:

8 у д ' /~й 1 <0> 1

с-+ с-- /--/<0> - / , (7)

ЗХ у 3 у / г к £ 9 [ }

с граничными условиями: ££ / - /Б - /у°> [1 + 2суоу(») 1- е /^Р- ( с2 ) *

• с—7—6 — '0 ' шгсл] ■ «>

/(0,2) - /у<0> , сх> 0 . (9)

Граничное условие (8) означает, что на больших расстояниях от стенки функция распределения переходит в объемную барнеттовскуз функцию , где мы ограничились членами с температурными неоднород-ностями. Граничное условие на стенке (9) представляет диффузное отражение без изменения температуры.

Решение уравнения (7) ищется в виде

/ - /Б- /у0> Ф( хЛ ) , (Ю)

где возмущение Ф(х.З) проектируется по двум ортогональным направлениям

Ф( г,0 ) - СуУ^ х,сх) + су(с^+ с^- г)У2( х,сх ) . (II) Функции У1 и; У2 принадлежат соответственно двум ортогональным подпространствам гильбертова пространства функций со скалярным произведением

-С2

( /,ё ) = Д[ е " С^ ( С*- 2) /и,Сх)ё(х,Сх)д.2С. (12)

В результате получаем систему двух неззцэпленных штегро-дифференциальных уравнений, которые записаны в безразмерном виде

~ / т 1

г = -/ г ъ. 1— —~ г- Одно из них имеет экспоненциально затухающее вдали от стенки решение и не дает вклада в скорость скольжения, а другое с соответствующими граничными условиями имеет вид

■ " - с'* .

ч

У + СХ-— = - I е У ¿С^ (13)

у (о.с.) - - 2 оу(.) ♦-=- (с*- -5- ]- сх[сгх - — ) -

а у

дгт г

•- ,с > о , (14)

д х д у

От У (х , С ) = О . (15)

Х-»оэ

Далее после краткого обзора наиболее значительных работ, относящихся к методу Кейза решения »сдельных уравнений Больцмана в граничных задачах кинетической теории, построено точное аналитическое решение задачи (13), (14), (15).

Метод элементарных решений Кейза состоит в разложении решения уравнения Больцмана в слое Кнудсена по дискретным и сингулярным собственным функциям соответствующего модельного оператора и нахождении коэффициентов этого разложения техникой сингулярных интегральных уравнений. Используя формализм Кейза, общее решение уравнения (13) можно записать в виде ~

Y ( z , см) = А0+ z - сх) + , А(и) /„(ся)е 1

dy , (16)

где /у(с,) = v P^j-rс"

+ Р(у)С(и - с ) - собственные функции

уравнения (13), ?(и) - дисперсионная функция. Последовательное применение граничных условий (14) и (15), позволяет свести уравнение (16) к сингулярному интегральному уравнению с ядром Копта

г A(u) v

/(-) = р I v _ dv * ?;-)A(t) , t > о.

(17)

Уравнение (17) решзется стандартной техникой, которая сводит его :-: краевой задаче Римана-Гнльберта

/(t)r = ( p(i) + rut )N+ (t) - ( p(t) - ®t )N"(t) , t > 0, (18) с решением: e

1 1 г X~(t) /(t)t d t

N(z)

-J"

г i J

X(s) г г i J ?(t) - теi\ о

?де oo

t - z

X(z)

1

ezp

1 r , ?(t) + Hit . dt

- in I-1 —-

1с i J ?(t) - Hit J T

1ри этом выполняется условие X"(t)/(t)t

Р

J Pf

(t) - ICit

dt - 0 ,

(19)

(20)

(21)

у

SB

s

г

из которого находим 1 1

°г ~ ~2~ °о д гпш °з"~2~°1

Су( - ) - -

дггг®

д х д у -

Оо д У °о

(22)

со

Р(Ю -

где интегралы 0п= - dt вычислены численно.

о

Подставляя их значения, получаем точное аналитическое выражение скорости Оарнеттовского теплового скольжения газа

д т I дг гп 2

Т"

С ( ® ) = I 0,7662 ---- 1,3126

(23)

3 у 5 х 5 у

Во второй главе диссертации получено точное аналитическое

решение задачи о скольжении простого газа вдоль сферической- поверхности. Все известные метода исследования данной проблемы приводят к граничным условиям одинаковой структуры, которые отличаются между собой значениями постоянных коэффициентов. Если учесть все основные аффекты касательную компоненту скорости скольжения газа вдоль сферической поверхности можно представить в следуидем виде _

вв(») = С<0>(1 + Ка С,к пе + к<°>(1 + кп 0>

т <3-£п 2

Яде

- К^0> М » / г-ЕГ- + № V /-ГШ- (24)

Здесь С<0> и К<°>- коэффициенты изотермического и теплового

гп Те ( 1

скольжения газа вдоль плоской поверхности, Ст и Ря - поправки, вызванные искривленностью поверхности. Кроме того, наличие искривленности поверхности приводит к возникновении неоднородности [радаента температуры в слое Кнудсена, которая в плоском случае отсутствует. В формуле (24) эта неоднородность учитывается членом з коэффициентом ри, а член с коэффициентом рБпредставляет собой 5арнеттовское скольжение. В таблице I. приведены значения коэффи-даентов скольжения первого порядка : С*0>, К^и скачка температуры С1 простого газа для плоской поверхности при ^=1 и <^=1,

где ^ и о,.- коэффициенты аккомодации тангенциального импульса и энергии

с<о> т Т. <0> Кт=

Сегс1§пап1 С. 1,147

ЬэуаНса Б.К. 1,149

Латышев А.В. 2,160

Бопе У. 1,147 1,149 2,204

Яламов С.И. Ешкааов А. А. Поддоскин А.Б. 1,131 1,161 2,179

Яламов Е.й. Ппхзнов А.А. Маясов Е.Г. 1,146 1,152 2,208

В таблице 2. приведены значения коэффициентов скольжения зторого порядка : Сга , , 6я , , при а = 1 и <ц. = 1

I . с гп

Бопе У. -1,430 -1 ,180 "V — ! -1 ,418

Яламов С.И. Пдкзнов А.А. Поддоскин А.5. -1,721 -0,701 3,731 3,651

Яламов С.И. Ппканов А.А. Маясов Е.Г. -2,103 0,627 3,039

Постановка задачи о скольжении газа вдоль сферическог поверхности заключается в решении уравнения

д / / т п 0.--/-?

■ах / 2 к Т с граничными условиями

п Г

/ = / ,= Г 1 + 2 С. С. (оо) + 2 /- X С. П . +

Ч-Э I V V4 ' у 2 к ф 1 ' ^

К-4-Ь — о Л/""

I

(26)

00 (. г ; ^ -3,-2 -у' в ^ д х

1

2 - С С. П. ,

к 1 ' <0>

/ ( 0,С.) = ^ ^ Си> 0 , (27)

где мн ввели следующие обозначения : Д. - постоянная в модельно.у операторе БГКВ, /ч з- функция распределения Чэпмена-Энскогэ, /с-абсолэтно-максвелловская функция распределения,

я )/ т _ т

а д гп т " "V гг = - т = +; + х-, 4 = —¡к- - скачок

Ч а V '00 г I _ „ ' г Т

а X о X. V

J I

температуры, >-локальный максвеллизн с параметрам...-. заданным: на стенкэ, п. - направлявший косинус нормального вектора к поверхности.

Решение уравнения (25) ищется в виде

/ = /ч>9 + /<0>Ф( х. , С. ) . (23)

После обезразмеривания переменных, вводится система криволинейных координзт, в которой

Х.= п 17 + На.( 9,ф )) , (29)

где т] = г - и , в - радиус сферы, г, е, <р - сферические координаты, п - единичный вектор нормали.

Для разделения эффектов первого и второго порядков, функция Ф раскладывается в асимптотический ряд, ограничиваясь при этом двумя первыми членами разложения

Ф = Ф<1>+ Ф<2>+ .... (30)

В результате получаем систему зацепленных уравнений с соответствующими граничными условиями:

ЗФ0> з

с-- - Ф<1>+ 2 СдОд1>+- 1<1>( с2 - — ) , (31)

г д т} 6 в 2

¿ш Ф<1> = 0 , (32)

Т]-нзо

Ф<1>( 0,S ) = - 2 cegj1> ( оо ) - tr( с2 - > + ( С2 - ) , д ¿n И се д -гп 2

* (---г тг ]+ 2 - v ° «а»

а ф<2> , з

+ 2 CeG¿c'+ ( С2 - -g- ] -

(34)

'И

се д Фа> % ЗФ0>

R а 8 R sin 8 а Ф

Лш Ф<2> - О , (35)

Т]-к»

Ф<2>( o,S ) - - г с^2> f cr > о . (36)

Однородное интегро-дифференциалъное уравнение (31) с граничными условиями (32), (33) представляет задачу о макроскопических граничных условиях первого порядка, точные аналитические решения которой хорошо известны

■> л ^ J. г *

Ф<1>( Г}, С) =С 9ФА<1>(Т},Сг) + се(с| + С? - 2)Ф^1>(Т},Сг) +

+ Ф^1>(Т},6) , (37)

где

_ JL т}

v д гп 5

Ф.<1> = \ АШ.ЛС ) е йи , Ф„<1> - - е сг

А Л и Г в В д в

о

Ввиду сложности задачи о скачке температуры простого газа над плоской твердой поверхностью вычисление вклада, обусловленного функцией Ф^1;>ст},Э), проводится отдельно.

Неоднородное интегро-даффэренциальное уравнение (34) с граничными условиями (35), (36) описывает скольжение второго порядка вдоль сферической поверхности. Решение уравнения (34) ищется в виде разложения по ортогональным (в смысле скалярного произведения) многочленам

Ф<2>(Т},в,3) = С0Ф<2>(Т},Сг) * се(с| + С2 - 2)Фв<2>(Т},Сг) + Се(С*-- бс|с| - С^)Фс<2>(Т},Сг) + се(с| + 8СдС2 - 27С| + б)Ф<2>(Т},Сг) +

+ се<сф - —)ФЕ<г>^.сг) - * - 2)^<2>(Т),е,С ) .

(38)

В результате имеем уравнение

а Ф

Г д т?

<2>

г

ТГ

а ф

<1 >

/х

4 С

Ф

<1 >

д ф,

<1 >

а с

с граничными условиями

_Ф<1>

«ш Ф,<2>(Т],Сг) - О

Ф<2>(0,С )- -20<2>(со)

д С

С > О

""а

Применяя формализм Кейза, получаем общее реиение в виде

со Т)

(39)

(40)

(41)

Фд2>(Т],Сг) - В0 + В, (Т]-Сг) + | В(У)Фу1>(С^)е

V

ЙУ

|Ш<г>(Сг

) е

А у

йу

(42)

где Ш<у>(Сг) и Ф<2у(Сг) - собственные функции неоднородного к; тегрэ-дифферендаального уравнения (39).

В силу граничных условий (40) и (41), выражение (42) переходит : сингулярное интегральное уравнение

га<2>с*» - р [ц-^ р„(сг)м - <р(сг)

(43)

г В(У) V

- р] у _ с + В(Сг)Р(Сг) , Сг> 0.

о

Здесь мы обозначили: !р(Сг) - дисперсионная функция, Ру(Сг) - неоднородная часть соответствущего (39) характеристического уравнения.

После вычисления дисперсионной функции и интеграла в лево; части, уравнение (43) решается стандартной техникой. В результат; приходим к условию, аналогичному (21), из которого получаем точную в квадратурах формулу касательной состовляхщей скоросг. скольжения второго порядка, которая содержит поправки на кривизн:

Б

+

о

к скорости изотермического и теплового скольжения газа, численный анализ которых проведен в работах В.Н.Попова и М.Н.Гайдукова. В результате имеем

1 1 д ¿пЯ?

(44)

0<2>(°°)

тг °-675 пнг тг °-525 тпяг

В заключении вычислена поправка второго порядка к скорости скольжения газа, обусловленная скачком температуры. Задача сводится к решению неоднородного интегро-дифференциального уравнения с соответствующими граничными условиями, которые представлены в векторном виде

д Ф

с-

' <3 т]

1 Г -С'2

_ ф + - е г Ф (1С;

Лш Ф »

Т}->со

9(0,0.)

% -ОО

-га<2>(со)

аг1ъ т Н дг дв

к I ,

(45)

(46)

, С > О

Здесь мы ввели следующие обозначения: Ф

1

(47)

неизвестный вектор-

1

Г

столбец, матрица К

о о

Для вектора 2 используется выражение, полученное методом Кейза в задаче о скачке температуры

оо Т)

I

0~=~С 1 + е П(«)5(у-Сг)

А(у)с1у

(48)

Применяя формализм Кейза, запишем общее решение уравнения (45) в виде

оо Т]

тг

*(Т],СГ) - В0 + В1 (т]-Сг) + | 00

+ | Ш<2>(СГ) е"

+ | В(а) ®£1>(С.> е

йу +

у

<10

(49)

где Фу1>(сг) и Ш<2>(Сг) - собственные векторы уравнения (45). В силу граничных условий (46) и (47), имеем векторное сингулярное интегральное уравнение

<2> -гае (с°)

^у(Сг)(|У - !Р(Сг) -

г В(У) V

■ ч V - с йи + )р(сг) . сг> о . (50)

О

Здесь мы обозначили: ф(Сг) - дисперсионная вектор-функция, (с.: - вектор, выражающий неоднородную часть соответствующего (45; характеристического уравнения.

После вычисления дисперсионной вектор-функции и интеграла ъ левой части уравнения (50), последнее решается стандартно. В результате получаем

1 г 1 -V дггп Т

°*<г - [- «л " + ^ - <ц) -^г • (51)

Подставляя точное значение коэффициента скачка температуры С1 и значения лойалковских интегралов, имеем

дггп Т

а<2>(оо) - а- , (52)

0 й дг дв

где а = 0.8192. Полученное выражение представляет точное значение

поправки на неравномерность рспределения температуры в слое Кнуд-

сена.

Таким образом, в работе на основе аналитических решений уравнения Больцмана с оператором столкновений в форме БГКВ модели получены следущие значения газокинетических коэффициентов скольжения:

С<0>= 1,147, К<°8>= 1,149, РБ= 5,804 - соответственно коэффициенты вязкостного, теплового и барнеттовского скольжений, сГ = - 1,690, - 2,320 - поправки на кривизну поверхности, Ри= 3,620 - коэффициент, учитывающий неравномерность распределения температуры в слое Кнудсена.

Полученные результаты хорошо согласуются с соответствующими коэффициентами, вычисленными ранее Ю.И.Яламовым с сотрудниками. Имеющиеся отличия обусловлены зависимостью коэффициентов скольжения от моделей оператора столкновений и от моделей потенциала межмолекулярного взаимодействия. Значения коэффициентов С1,рж и рБ подтверждают возможность отрицательного термофореза для высокотеплопроводных частиц при малых числах Кнудсена.

выводы

1. В процессе работы методом Кейза были получены аналитические решения кинетического уравнения Больцмана в форме ЕГКВ модели, которые позволили найти точные ( в замкнутой форме ) выражения некоторых газокинетических коэффициентов второго порядка.

2. Эти коэффициенты удовлетворительно согласуются с соответствующими результатами, полученными различными приближенными методами, что подтверждает справедливость этих методов, а также, справедливость существующих граничных условий второго порядка.

3. При исследовании влияния искривленности поверхности на скорость скольжения в работе впервые развит метод аналитического решения неоднородного модельного кинетического уравнения БГКВ.

4. Результаты диссертации могут быть использованы в различных прикладных задачах газовой динамики и физики аэродисперсных систем.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Гайдуков М.Н., Акимов Д.Н. Чепменовское решение модельного уравнения БГК.// В сб." Современные проблемы физики аэродисперсных систем". Ы., МОПИ им. Н.К.Крупской, 1990. Деп. в ВИНИТИ, * 4I25-B90.

2. Акимов Д.Н., Гайдуков М.К. Точное вычисление барнеттовской поправки к скорости теплового скольжения газа.// 3 сб. "Современные проблемы физики азродиспэрсных систем". П., УОПИ им. H.H. Крупской. 1990. Деп. в ВИНИТИ, X 4I25-B9C.

3. Акимов Д.Н.. Гайдуков У.Н. Точное вычисление скорости скольжения простого газа вдоль сферической поверхности.// В сб. "Современные проблемы физики аэродисперсных систем". М., МОПИ им. Н.К.Крупской, 1991. Деп. в ВИНИТИ, J6 4900-B9I.

4. Gayducov U.N., AkLmov D.N. Anaiitic solution of non-uniform BGK eqvaition.// Rarefied Geis Dynamics. 7ancuver, Canada, 1992.