Аналитические вопросы бесконечномерных распределений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Введение.

Глава I. Допустимые сдвиги симметричных устойчивых мер в гильбертовом пространстве.

§1. Вспомогательные сведения.

§2. Оценка"снизу" множества - допустимых сдвигов бесконечных свёрток сферически инвариантных

§3. Допустимые сдвиги случайных рядов со сферически инвариантными устойчивыми слагаемыми /операторы коммутируют/.

§4. С?язь множества допустимых сдвигов со спектральной мерой Леви, фигурирующей в записи характеристического функционала меры уи,

§5. Допустимые сдвиги мер Коши и Гаусса.

Глава 2. Вполне квазиинвариантность устойчивых мер и мер, соответствующих стандартным последовательностям случайных величин.

§1, Вполне квазиинвариантность свёрток сферически инвариантных мер и устойчивой продакт-меры.

§2. Случай, когда носитель меры произвольное счётное множество.

§3. Описание всех вполне квазиинвариантных мер, соответствующих стандартным последовательностям случайных величин.

После того, как было доказано, что любому случайному процессу соответствует вероятностная мера, определённая в некотором функциональном пространстве, значительной частью теории случайных процессов стало решение задач теории меры в этих функциональных пространствах.

Важное место в этих задачах занимают вопросы абсолютной непрерывности вероятностных мер в бесконечномерных пространствах, возникающие из задач статистики»

Описание допустимых сдвигов вероятностных мер в функциональных пространствах является частью более общей задачи -выяснения абсолютной непрерывности одной вероятностной меры относительно другой, которая получается преобразованием пространства.

Вопрос об абсолютной непрерывности вероятностной меры при сдвигах возникает, например, при решении такой задачи, как обнаружение сигнала на фоне случайных помех. Знание множества допустимых сдвигов меры позволяет судить о носителе меры и отвечать на вопрос: какие множества имеют меру 0 или X для сдвинутых мер, если известны такие множества для исходной меры. Иногда знание множества допустимых сдвигов позволяет отвечать на вопросы суммируемости зависимых случайных величин.

Если случайный элемент £ принимает значения из множества допустимых сдвигов меры, соответствующей независимому от £ случайному элементу , то в таком случае возможно положительное решение вопроса абсолютной непрерывности распределения суммы £ + XI относительно распределения ^ •

Наличие абсолютной непрерывности при сдвигах даёт возможность решать задачу об абсолютной непрерывности мер при более сложных преобразованиях пространства.

В бесконечномерном пространстве выяснение абсолютной непрерывности при сдвиге конкретной меры является содержательным фактом, в то время как в конечномерном пространстве вопросы абсолютной непрерывности сводились к простому дифференцированию функции распределения.

В работах [1], [4], [Хб], [21], |44], [б4], [бб] изучались допустимые сдвиги гауссовских мер. Полностью допустимые сдвиги гауссовских мер были описаны У.Гренандером ^21]. В случае гауссовской меры значительно улучшал ситуацию тот факт, что гауссовская мера - это единственная вероятностная мера, которая, будучи сферически инвариантной, является мерой, порождаемой независимыми случайными величинами.

Следующий класс мер, для которых были найдены необходимые и достаточные условия эквивалентности, это меры, соответствующие последовательностям независимых случайных величин / [17], [18], [б7], ^78], [79]/. Простое необходимое и достаточное условие эквивалентности таких мер впервые нашел С.Какутани |б7], который занимался подобными вопросами по предложению фон Неймана. Результат С.Какутани формулируется в терминах расстояния Хеллингера

Т 1/г

I [рСх)^(х)] (¿X где р (X), ^ плотности распределений ¡Л , "Р относительно меры Лебега,

Затем Шеппом Л,А, [781 были найдены простые необходимые и достаточные условия абсолютной непрерывности при сдвигах мер, соответствующих последовательностям независимых одинаково распределённых случайных величин. Результат Шеппа выражается в терминах конечности фишеровской информации

О г

J = ©о ррп рш 2 р (ос) cl (х) < с>° у где р(Х) - плотность распределения элемента последовательности.

Достаточные условия допустимости сдвига получены иным методом Майданюком Р.Я. [34] •

Общие свойства мер, обладающих достаточно богатым множеством допустимых сдвигов, изучались в работе В. Н.Судакова[54J,

Вершик A.M. [il] установил необходимое и достаточное условие, при котором мера имеет целую прямую допустимых сдвигов.

Простое необходимое и достаточное условие абсолютной непрерывности в наиболее общей форме для мер, удовлетворяющих альтернативе: /¿а либо эквивалентна, либо ортогональна мере JA , получено A.B.Скороходом [4в]. Допустимые сдвиги безгранично делимых мер изучались А.В. Скороходом в [ölj.

А. В. Скороходом в [бо] получено достаточное условие допустимости сдвига в терминах интегралов от логарифмической производной плотностей конечномерных распределений относительно меры Лебега. В [48] А.В.Скороходом получена важная универсальная оценка "сверху" множества допустимых сдвигов, а именно: множество допустимых сдвигов ¡Vjju содержится в множестве В^Н, где ß - ядерный оператор в гильбертовом пространстве!"/такой, что

- б

Допустимые сдвиги мер, представляемых в виде смеси гаус-совских мер в случае, когда корреляционные операторы гаус-совских мер порозвдают эквивалентные нормы

1МЛ = (B%z) , IMUt ~H3JUt, К*, изучала Г. Н. Сытая jöö].

Липцером Р.Ш., Ширяевым А.Н., Кабановым Ю.М. [зз] получены необходимые условия абсолютной непрерывности, выраженные в "предсказуемых" терминах.

Однако применять теоремы, в которых необходимые либо достаточные условия содержат интегралы от конечномерных плотностей, часто бывает трудной задачей, если плотности распределений линейных функционалов имеют громоздкое аналитическое устройство, а именно такими являются устойчивые меры.

Впервые вид устойчивой меры в гильбертовом пространстве указал Скороход A.B. jl6j, это было в 1966 году.

Так были названы меры с характеристическим функционалом вида fvW^l-frz^rmHtyfj^^ гш I; . s t * i, где S - единичная сфера в гильбертовом пространстве Н , Г - конечная мера на этой сфере.

Затем И.Кыопбс [бв] в 1972 году показал, что только такими будут меры, удовлетворяющие условию где fic - мера, получаемая из меры р- отображением пространства, верхний индекс У означает растяжение пространства, а нижний иццекс С означает сдвиг пространства.

Если требовать выполнения этого равенства только для распределения линейных функционалов на пространстве Н с мерой fJ- , то для симметричных мер эти определения эквивалентны. Дадли Р., М.Кантер [бб] показали эквивалентность этих определений и для несимметричных мер.

A.B.Скороход указывал на сомнительность этого факта. Сомнения подтвердились контрпримером, построенным Д.Й.Маркусом jW] для устойчивых мер с показателем cL < 1 .

Допустимые сдвиги устойчивых мер jU с характеристическим функционалом вида wß (г) = еоср i - ¡(z,l)fr(di)];0<c<<2,

S J в случае, когда носитель меры Г есть ортонормированная последовательность, исследовали Р.Я.Майдангок [34] и Т.Зинн [ß^j.

Ситуацию, когда мера Г сосредоточена на произвольном счётном множестве, рассматривали Данг Ханг Тханг и Нгуен Дай Тьен [бз] .

Теоремы о структуре носителя безгранично делимых мер имеются в [öl], [бб], [70], [75].

В первой главе настоящей диссертации исследуются допустимые сдвиги устойчивых симметричных мер в гильбертовом пространстве. В частных случаях дискретности меры Г , фигурирующей в представлении характеристического функционала симметричной устойчивой меры, получаются меры, исследованные Р.Я.Майданюком,

- 8

Т.Зинном, Данг Ханг Тхангом, Нгуен Дай Тьеном.

Для мер, представляемых в виде бесконечных свёрток, сферически инвариантных устойчивых мер, в §1 находится оценка снизу множества допустимых сдвигов.

Теорема 6. Пусть ^ - вероятностная устойчивая мера в (Н,<Я) с характеристическим функционалом вида

Сх=> где Вд - симметричные неотрицательные операторы в И , спектры которых удовлетворяют условию оо

Тогда

Г(*рьк) кч оо

2© , где = х£Н-- гк€ И; о<=> оо

Заметим, что эта оценка является точной для оС~2 и исследованных ранее случаев, когда операторы Ё>к вырождаются в линейные функционалы. В случае, когда Вд- невырожденные операторы, происходит расширение множества допустимых сдвигов в следующем смысле.

Как показано в лемме I

Ъ = (1ЬК)1Н .

При <*- - 2 \1/г

М£в<) н • при сС < 2 возможно строгое включение

То есть, при фиксированных операторах В к наименьшее множество допустимых сдвигов оказывается в гауссовском случае

Это интересно тем, что для стандартных последовательностей случайных величин /последовательность случайных величин называется стандартной, если эти случайные величины независимы и одинаково распределены/ имеет место обратная ситуация, а роо именно: множество допустимых сдвигов меры в П , соответствующей стандартной последовательности гауссовских случайных величин, является наибольшим по сравнению с множеством допустимых рос сдвигов меры в П , соответствующих произвольным стандартным последовательностям случайных величин.

Именно отсутствие второго момента устойчивой меры расширяет множество допустимых сдвигов Му1/. Это выясняется в § 3. Теорема 7. Пусть устойчивая мера в (Н1 $1) такова, что еоср -Е(Ькгл)Л/г

Кроме условий теоремы б на операторы В к , введём ещё условие - операторы В к коммутируют.

Пусть £ ~ собственный базис этих операторов, оо 1 " со^ственные числа оператора 5 к Тогда

М/ц з© > где $), =1хбН:Г т^^л/ < 00

I ы (Еш*)*

В [82] Т.Зинн поставил следующий вопрос.

Пусть устойчивая мерав (И, Л) имеет устойчивые компоненты, то есть

М = Мщ *Нт„ ■

Причём устойчивой мере уЦ ^ соответствует спектральная мера Га , которая является дискретной мерой /сосредоточена на счётном множестве/. Устойчивой мере /¿[^ соответствует спект* ральная мера Го©, для которой выполняется где LЛ - любое конечномерное подпространство.

Вопрос состоит в следующем: каково соотношение между множествами

Ир и множеством МрГс[ + М/иГоо *

Верна следующая теорема.

Теорема 8. Пусть меры уй^и^и^имеют характеристические функционалы: уМга (г) = еоср [-£ с[к /(х.,ек)/' я.) - {-(Вг.г)*4] , где В - ядерный оператор в Н с собственным базисом [ек]к= и собственными числами [ » ^К > ® •

Мера /! получается свёрткой мер Га и

Тогда

При этом

М^ = схэ X

X, вк)' к ^ ♦ г*; оо

Поскольку соответствие /1 —>Г" взаимно однозначно, то естественно ожидать, что множество допустимых сдвигов каким -то образом связано с мерой Г .

Такая связь находится в следующем параграфе. Оказывается, что существенным является поведение дробных моментов меры Г .

Теорема 9. Пусть мера р. в (Ну ) такова, что её характеристический функционал имеет вид р а)и (г) = еоср [- &хр ¡-(в^гЦШ) где Ё>£ для почти всех £ является симметричным положительно определённым ядерным оператором в Н и E)£i , - почти наверное по мере Т) коммутирующее операторы, £ - некоторый случайный элемент с распределением 1) . Тогда

М/1 2 б* , с , , <£к$\1 Г(с14)

О К

Условие, что симметричная устойчивая мера должна представляться в виде смеси гауссовских мер с корреляционным оператором фигурирующее в предыдущей теореме, не является искусственным. Это отражается в следующей теореме.

Теорема 10. Пусть JU - произвольная устойчивая симметричная мера в ( Н , ¡R) > тогда её можно представить как смесь симметричных гауссовских мер

А= \ f \)(dc) , где ^ - гауссовская мера в (Н Д).

В работе В.В.Булдыгина полностью решается вопрос о суммируемости ряда сферически инвариантных устойчивых случайных элементов, заданных в Ц с произвольными показателями устойчивости. Следует заметить, что эта задача связана с суммированием крайних устойчивых случайных величин. В.В.Булдыгин обратил внимание на задачу отыскания допустимых сдвигов меры, соответствующей сумме ряда независимых устойчивых сферически инвариантных случайных элементов с произвольными показателями устойчивости.

Оказывается, что вопрос о допустимом сдвиге такого ряда связан с суммированием случайных величин, обратных к крайним устойчивым случайным величинам.

Теорема 12. Пусть мера в (H,iR) такова, что её характеристический функционал имеет вид г) - елр {-£(&* ,

Е>К - симметричные ядерные операторы в Н , удовлетворяющие условиям: а) для любого К имеется бесконечное число отличных от нуля собственных чисел оператора Б^ , б) У/С,/ (к*/) , ВкНП^Н = 0.

И - крайние устойчивые случайные величины с показателем ¿к/2 , их характеристическая функция имеет вид

Тогда, для того чтобы вектор О, был допустимым сдвигом меры уЦ , необходимо и достаточно, чтобы й € © , где

С к=1 <-к=1 /к

11 <00/ I

Таким образом, результаты, связанные с суммированием ряда из независимых сферически инвариантных устойчивых элементов, и с допустимыми сдвигами таких рядов, устанавливают новые закономерности в поведении крайних устойчивых распределений при приближении показателя устойчивости к нулю; на важность последнего обращал внимание В.М.Золотарёв в [24]* Перейдём к тематике второй главы.

Из квазиинвариантных мер можно выделить такие меры, для которых имеет место где В - ядерный оператор, такой что

В а,г)-0 =» Яеу>АГг;-1.

- 14 • иг как известно всегда имеет место М /л В Н /.

Меры, для которых выполняется равенство имеют в некотором смысле наибольшее множество допустимых сдвиг-гов. Такие меры А.В.Скороход предложил называть вполне квазиинвариантными.

Во второй главе рассматриваются вопросы вполне квазиинвариантности вероятностных мер в сепарабельном вещественном гильбертовом пространстве

И, Я).

Удаётся получить условие вполне квазиинвариантности мер, являющихся распределением суммы ряда, члены которого сферически инвариантные независимые случайные элементы. Теорема 2. Пусть мера ^ в

Н, А) представима в виде

Л - ¡¿1 * ¡¿г * * , где у?(~ У((Е>к » У - характеристическая функция, причём как следует из теоремы Шенберга |7б|

Тогда из конечности математического ожидания М + следует, что есть вполне квазиинвариантная мера.

Для устойчивых мер с дискретной спектральной мерой Г верны следующие теоремы.

Теорема 3. Пусть устойчивая мера и в (Н,Я) такова, что носитель спектральной меры Г есть множество' ек ] °°

J к.») шрр Г - ; оо ек м - ортонормирований базис в Н . Тогда Ц - не вполне квазиинвариантна.

Мера, рассмотренная в предвдущей теореме, соответствует последовательности из независимых случайных величин. Возможен однако, однозначный ответ на вопрос о вполне квазиинвариантности и в случае зависимых случайных величин.

Теорема 5. Пусть задана устойчивая мера ^ в (Н,я) с характеристическим функционалом вида о -ч у>А (г) = I$ ак£И ; II лк 11 = 1 ,

Iп для любого конечномерного подпространства [ выполняется

Тогда ^ - не вполне квазиинвариантная мера.

Допустимые сдвиги мер, соответствующих последовательностям из независимых одинаково распределенных случайных величин изучались Л.А.Шеппом |78].

В третьем параграфе полностью описываются вполне квазиинвариантные меры, соответствующие последовательностям независимых одинаково распределенных случайных величин.

Теорема 6. Пусть мера ¡X в (Н, !Я ) удовлетворяет условию: существуют базис ( 6К ■ °° в И и последовательность

- ) к=1

X3 ' 'т " ' 1°° Л к-1 . Я к > 0 такие, что ] является стан

I ' I Як /к-1 дартной последовательностью случайных величин на пространстве /-/ с мерой .

Тогда, для того, чтобы мера /Л. была вполне квазиинвари-антна, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось 2 а)

11x11 ^ (¿х) < о° ; б) ^ ¡[т£)]гР(иЫи '

- о®

ГЭС О- к ) где р(и~) - плотность случайной величины —^-,

1 Лк

Все отмеченные результаты являются новыми, опубликованы в работах [Зб], [з?], [зв] , [39].

Екражаю искреннюю благодарность своему научному руководителю Анатолию Владимировичу Скороходу за постановку интересных задач и помощь в работе.

1. Алексеев В. Г. Достаточные условия ортогональности и эквивалентности гауссовых мер.-Изв. АН СССР, сер. математика, 1964, т.28, Р 5, с. 1083-1089.

2. Ахиезер Н. й. Классическая проблема моментов и некоторые вопросы анализа, связанные с нею.-М.; Физматгиз, 1961.-311 с.

3. Ахиезер Н. И., Глазман И. И. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве.-X.: Вища школа, 1977.-т.1-315 е., 1978.-т.2-288 с.

4. Баклан В. В., Шаташвили А. Д. Условия абсолютной непрерывности вероятностных мер, отвечающих гауссовским случайным величинам в гильбертовом пространстве.-ДАН УССР, Р I, 1965,с. 23-26.

5. Бохнер С. Лекции об интегралах Фурье.-М.: Шизматгиз, 1962.360 с.

6. Булдыгин В. В. Сходимость случайных элементов в топологических пространствах.-Киев: Наук, думка, 1980.- 240 с.

7. Булдыгин В. В. О вероятностных мерах в бесконечномерных пространствах.-Киев, 1982.- 28 с.-/Препринт/Институт математики АН УССР; 82.21/.

8. Булдыгин В. В. О некоторых свойствах случайных рядов в банаховых пространствах.- Теория вероятностей и математическая статистика, 1973, вып. 9, с. 37-46.

9. Бахания H. H. Вероятностные распределения в линейных пространствах.-Тбилиси, 1971.- 155 с.

10. Бахания H. Н., Тариеладзе В. И. Ковариационные операторы вероятностных мер в локально выпуклых пространствах.- Теория вероятностей и ее применение., 1978, т.23, № I, с.3-26.

11. Вершик А. М. Двойственность в теории меры в линейных пространствах.- ДАН СССР, 1969, т.72, Р 3, с.487-500.

12. Вершик А. М., Судаков В. Н. Вероятностные меры в бесконечномерных пространствах.- Записки научных семинаров ЛОМИ, i960, т.12, с.7-67.

13. Винер Н. Нелинейные задачи в теории случайных процессов.-м.2 ШГ, 1961.- 159 с.

14. Гельфанд И. М., Райков Д. А., Шилов Г. Е. Коммутативные нормированные кольца.-М.: Шизматгиз, i960.- 316 с.

15. Гирсанов И. Б., Митягин Б. С. Квазиинвариантные меры в топологических линейных пространствах.- Научные доклады высшей школы, 1959, Р 2, с.5-10.

16. Гихман И. И., Скороход А. В. О плотностях вероятностных мер в функциональных пространствах.-УМН, т.1, № 6, с.83-152.

17. Гихман И. И., Скороход А. В. Теория случайных процессов.-М.: Наука, 1971, T.I.-664 с.

18. Голодец В. Я. О квазиинвариантных эргодических мерах.-Математический сборник, т.72, Р 4, с.558-572.

19. Голодец В. Я. О преобразованиях, оставляющих меру квазиинвариантной.- Математические заметки, 1970, т.7, № 2, с.223-227.

20. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы для сумм, интегралов, рядов и произведёний.- 4-е изд.-М.: Шизматгиз, I962.-III0 с.

21. Гренандер У. Случайные процессы и статистические выводы.-M.s Ж, I96I.-I67 с.

22. Далецкий Ю. Л., Фомин С. В. Меры и дифференциальные уравнения в бесконечномерных пространствах.- М.: Наука, 1983.383 с.

23. Дороговцев А. Я. Теория оценок параметров случайных процессов.- Киев: Вища школа, 1982.- 192 с.

24. Золотарёв В. М. Одномерные устойчивые распределения.- М.: Наука, 1983.- 304 с.

25. Золотарёв В. М. О представлении устойчивых законов интегралами.- Тр. Матем. ин-та им. В. А. Стеклова, 1964, т.71,с. 47-50.

26. Ибрагимов И. А., Линник Ю. В. Независимые и стационарно связанные случайные величины.- М.: Наука.- 524.

27. Ибрамхалилов И. Ш., Скороход А. В. Состоятельные оценки параметров случайных процессов.- Киев: Наукова думка, 1980.- 524 с.

28. Калиноускайте Н. Некоторые разложения многомерных симметричных устойчивых плотностей.- Литовский математический сборник, 1970, т.Ю, с.727-732.

29. Козин И. В. 0 разложении Лебега для сферических инвариантных мер.- Теория вероятности и её применение, 1983,т.28, № 3, с.575-578.

30. Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей.-М.: Наука, 1974.- 119 с,

31. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа.- М.: Наука, 1981.- 544 с.

32. Линник Ю. В., Островский И. В. Разложение случайных величин и векторов.- М.: Наука, 1972.- 480 с.

33. Липцер Р. Ш., Ширяев А. Н., Кабанов Ю. М. К вопросу об абсолютной непрерывности и сингулярности вероятностных мер.- Математический сборник, 1977, т.104 /146/, с.227-247.- 96

34. Майданюк Р. Я. Абсолютная непрерывность для простейших преобразований мер, которые соответствуют случайным рядам.- Теория вероятности и математическая статистика, выпуск I, 1970, с.141-150.

35. Майданюк Р. Я. Абсолютная непрерывность мер, соответствующих рядам из независимых случайных величин, при линейных преобразованиях пространства.- Теория вероятности и математическая статистика, выпуск 2, 1970,с. 144-149.

36. Малинский С. М. Допустимые сдвиги меры Коши.- Украинский математический журнал, 1984, т.36, № 4, с.512-515.

37. Малинский С. М. Допустимые сдвиги бесконечных свёрток сферически инвариантных устойчивых мер.- Киев, Киевск. ун-т, 1984 г. / рукопись депонирована в Укр.НШНТй,6 ноября 1984 г., Р 1856 Ук Д 84 /, 10 с.

38. Малинский С. М. О вполне квазиинвариантных мерах.- Киев, Киевск. ун-т, 1984 г. / Рукопись депонирована в Укр.НШНТй, 12 апреля, 1984 г., № 654 Ук Д 84 /. 19 с.

39. Малинский С. М. О вполне квазиинвариантности симметричных устойчивых мер.- В кн. Исследование по теоретическим и прикладным вопросам математики.- Киев. Институт математики АН УССР, 1984,с.56-58.

40. Паулаускас В. И. О безгранично делимых и устойчивых законах.- Литовский математический сборник, 1978, т.18,Р 4, с.101-114.

41. Прохоров Ю. В. Распределение вероятностей в функциональных пространствах.- Успехи математических наук, 1953, т.8,3, с. 165-168.

42. Прохоров Ю. В., Сазонов В. В. Некоторые результаты, связанные с теоремой Бохнера.- Теория вероятности и ее применение, 1961, т.61, № I, с.87-93.

43. Розанов Ю. А. Гауссовские бесконечномерные распределения.-Труды Математического института им. В. А. Стеклова, 1968, т.108, 135 с.

44. Розанов Ю. А. 0 плотности одной гауссовой меры относительно другой.- Теория вероятности и ее применение, 1962, т.7,I, с.84-89.

45. Рохлин В. А. Об основных понятиях теории меры.- Математический сборник, 1949, т.25, Р I, с.107 -150.

46. Сазонов В. В. Замечание о характеристических функционалах.-Теория вероятности и ее применение, 1958, т.З, Р 2,с.201-205.

47. Самойленко 10. С. Спектральная теория наборов самосопряженных операторов.- Киев: Наукова думка, 1984.- 232 с.

48. Скороход А. В. Интегрирование в гильбертовом пространстве.-М.: Наука, 1975,- 232 с.

49. Скороход А. В. 0 дифференцируемоети мер, соответствующих случайным процессам. Процессы с независимыми превращениями." Теория вероятности и ее применение, 1957, т.2,4, с.417-443.

50. Скороход А. В. 0 допустимых сдвигах мер в гильбертовом пространстве.- Теория вероятности и ее применение, 1970, т.15, № 4, с.577-598.

51. Скороход А. В. Об абсолютной непрерывности безгранично делимых распределений при сдвиге.- Теория вероятности и ее применение, 1965, т.Ю, № 3, с.510-518.

52. Судаков В. Н. Геометрические проблемы теории бесконечномерных вероятностных распределений.- Труды Математического института им. Стеклова, 1976, т.141.- 192 с.

53. Судаков В. Н. Меры Гаусса, Коши и £ -энтропия.- Доклады АН СССР, 1969, т.185, Р I, с.51-53.

54. Судаков В. Н. Линейные множества с квазиинвариантной мерой.- Доклады АН СССР, 1959, т.127, с.524-525.

55. Сытая Г. Н. О допустимых сдвигах взвешенных гауссовских мер.- Теория вероятности и ее применение, 1969, т.15,3, с.527-531.

56. Сытая Г. Н. О плотности взвешенных гауссовских мер при допустимых сдвигах.- Теория вероятности и математическаястатистика, 1970, № 2, с.193-204.

57. Халмош П. Теория меры.- М.: ЙЛ, 1953.- 291 с.

58. Хилл Э., Зшлипс Р. функциональный анализ и полугруппы.-М.: ШГ, 1963

59. Шилов Г. Е., 3>ан Деш Тинь. Интеграл, мера и производная на линейных пространствах.- М.: Наука, 1967, 192 с.

60. Ширяев А. Н. Вероятность.- М.: Наука, 1980, 576 с.1. о и62. оОсипа, Нипш Т&апь, /УОссцеп /сдп. Оп

61. Иип^ ThcKKíj,? N(juen Duy. 7¿e<nt &!ъ l^mmeíiic. jlai-fe п?еа,5ичез ulíA ú/iácietcSj^ecími mzaJuie. сиг ЗапсьсА ôjt>a,ce3% -Led. Ilotes ¡TiaiL, ifW, p ¿16" Ш

62. KakuiatbL 0-n et^uíboá/ice ¿?/¿nfinite piooluot ry?eaSccief. Oti-m. 9Va¿A.f ¿9Vi9T¿/39 AÍl, p Z14-2Z4.

63. Капйъ ITL. 0-n ¿fecévaé tejí utentacÂ/ûv jdyrnmtiiíc j-éa/rb чапс/оъ öaüaStej.

64. IfaÂuÂ. u»¿/ líe™, ¿el, i97¿y¿3,p. i -6.69. Haitis ü. аiymmtinic ¿laêfe ръшзц cmd <slaiâп?еази,гез anH. Z. IPaM. uno/ AW.97¿, Af¿5 9 p. Z39-¿n.

65. UU R. Ô., RoUtoU U. K. Mailt fond4(jrr)iT?e¿4¿c décidai tí p><w¿al¿á¿(p meaiuvej ena Hítlezt ¿pace.- <S¿aé¿¿í¿c and pto^aââi^eSSfop сю Доюич ef £ fi. #ao t i9$03 pWJ-Щ

66. JLíncJe ¡Реы7ôz , Sici¿¿e Jjprv/netvcc metij¿c?efm ßanac/i djíace, P2omd¿n^ o^ ¿Ae Conference ToJpo&)^ глеазии parf i9Z Ш-iZê (Viite/Hiddence l9W) é*e¿f$*a¿Ji\ 192Z.

67. ТНаъст £)анс/ Mo/Z áturS снМiuxití>. deL, iff S3, кбЧ, /f¿9/>. i594S*S.73. Pouxtkasaloífiy К. R. PM &éameasures on.rv&itic tf&ctß. tfe¿¿r-- fózfi- Lono/ont 196Ï

68. Pctfizx. j: S%¿ aclmim¿/e mean, oaiueö of. jtotAadu p*wce¿á.- TianJ (2тег. TTlat/L. Soct> Í9£3, И i Ogf p 538-S4e

69. JhCmomuia, // On, acjbed offîuast-cn&aгсЛл/ ™toutes on -Pu¡¿. Яеб. Ünst ШЫ.