Аналитическое описание трехмерного оптического поля в нелинейных однородных диспергирующих средах на основе скалярных волновых уравнений с кубической нелинейностью тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.05 ВАК РФ

003063043

На правах рукописи

АЛИМЕНКОВ Иван Васильевич

Аналитическое описание трехмерного оптического поля в нелинейных однородных диспергирующих средах на основе скалярных волновых уравнений с кубической нелинейностью

Специальность 01 04 05 - Оптика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

Самара 2007

,1 7 МАЙ 2007

003063043

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П Королева»

Научный руководитель доктор физико-математических наук, доцент

ИП Завершинский

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук, доцент

А В Горохов

кандидат физико-математических наук, доцент С И Харитонов

Ведущая организация Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования «Уфимский государственный авиационный технический университет»

Защита состоится мая 2007 года в часов на заседании диссер-

тационного совета Д 212 215 01 при государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С П Королева» по адресу 443086, г Самара, Московское шоссе, 34

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С П Королева»

Автореферат разослан ^ ^ апреля 2007 года

Ученый секретарь диссертационного совета, к т н , профессор

В Г Шахов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Практически всякие колебания и волны модулированы - амплитуда, фаза, частота и даже форма огибающей могут медленно меняться Модуляция может быть связана с воздействием внешних сил или полей, а может возникать в результате развития разного рода неустойчивостей Поскольку только модулированные волны могут переносить информацию, теория распространения таких волн имеет важное прикладное значение Основным уравнением теории модулированных волн является так называемое нелинейное уравнение Шредингера (НУШ) НУШ описывает распространение нелинейных ленгмюров-ских волн, волн на глубокой воде, волны в линиях передачи, акустические волны в жидкостях с пузырьками и, прежде всего, распространение оптического излучения в нелинейных средах Последний класс приложений стал особенно актуальным с развитием лазерных технологий, поскольку интенсивность лазерного излучения обычно настолько велика, что возникает необходимость учитывать нелинейную часть восприимчивости среды Кроме того, в последнее время возрос интерес к исследованию распространения электромагнитных волн в пространственно-неоднородных средах с высокой эффективностью нелинейных преобразований (гигантские нелинейности), таких как допированные оптические волокна и нематические жидкие кристаллы с добавлением примесей

Более общей моделью, чем НУШ, описывающей распространение электромагнитных волн в нелинейных средах, является нелинейное волновое уравнение Нелинейные явления и эффекты, связанные с модуляцией волн, очень разнообразны Это - самофокусировка волновых пучков, самосжатие волновых пакетов, обращение волнового фронта и другие К настоящему времени подробно разработана двумерная теория таких уравнений Она основана на методе обратной задачи теории рассеяния (МОЗР) Однако трехмерные НУШ и нелинейное волновое уравнение не обладают свойством Пенлеве и не могут быть решены с использованием МОЗР, в то время как большинство реальных систем требуют описания в трех пространственных измерениях Но, на сегодняшний день не существует ни одного систематического метода нахождения трехмерных решений

Единичные точные трехмерные решения некоторых сложных систем получены лишь благодаря изощренным приемам, приводящим к упрощению полевых уравнений, только для данных систем Для подавляющего большинства реальных моделей приходится изучать общие свойства решений, не решая полевых уравнений

В силу сказанного, актуальной является задача описания эволюции электромагнитного поля большой интенсивности в нелинейных средах в трехмерном пространстве

Цель работы Определение трехмерной структуры линейно поляризованного оптического поля в диспергирующих средах с кубической нелинейностью

Задачи исследования. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи

1 Провести аналитическое описание стационарного и нестационарного оптического поля в трех пространственных переменных на основе НУШ и нелинейного волнового уравнения с кубической нелинейностью

2 Получить точные аналитические решения НУШ для линейно поляризованного оптического поля в однородном изотропном диэлектрике для стационарного и нестационарного случаев

3 Получить точные аналитические решения нелинейного волнового уравнения, описывающего распространение линейно поляризованного оптического излучения в однородном изотропном диэлектрике

4 Для решения поставленных задач свести задачу о решении НУШ и нелинейного волнового уравнения к решению двух уравнений, одно из которых будет линейным однородным уравнением в частных производных первого порядка и найти его полные или особые интегралы Свести оставшееся нелинейное уравнение в частных производных второго порядка к обыкновенному нелинейному дифференциальному уравнению второго порядка

Достоверность полученных результатов базируется на обоснованности принятых в оптике физических и математических моделей и подтверждается сравнением с опубликованными теоретическими результатами, которые могут быть получены предельным переходом из результатов, полученных автором

4

Научная новизна работы

В работе получены и проанализированы точные и асимптотические трехмерные решения НУШ, описывающие стационарное оптическое поле, а также точные и асимптотические решения типа бегущей линейно поляризованной волны, описывающие нестационарное оптическое поле для положительного и отрицательного коэффициентов нелинейности

Получены и проанализированы точные трехмерные решения нелинейного волнового уравнения, описывающие стационарное оптическое поле, а также точные решения типа бегущей волны, описывающие нестационарное оптическое поле для положительного и отрицательного коэффициентов нелинейности

Предложен метод решения НУШ и нелинейного волнового уравнения с помощью полных и особых интегралов линейных однородных уравнений в частных производных первого порядка

Практическая значимость. Полученные результаты могут быть использованы при интерпретации результатов экспериментальных и численных исследований распространения оптического излучения большой амплитуды в нелинейных средах и устройствах, где эти среды являются рабочими телами Разработанная техника решения может применяться для других уравнений в различных областях физики и других областей знания На защиту выносятся:

1 Полученные точные и асимптотические решения нелинейного уравнения Шредингера для трехмерного линейно поляризованного оптического поля в идеальном немагнитном и однородном диэлектрике

2 Полученные точные решения трехмерного нелинейного волнового уравнения для линейно поляризованного излучения в идеальном немагнитном и однородном диэлектрике с кубической нелинейностью

3 Метод получения трехмерных точных аналитических решений НУШ и нелинейного волнового уравнения с помощью полных и особых интегралов линейных однородных уравнений в частных производных первого порядка

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на региональной научной конференции «Проблемы фундаментальной физики XXI века» (Самара, 2005г), научных семинарах кафедры прикладной математики Самарского государственного аэрокосмического университета (СГАУ), а также совместном семинаре кафедры прикладной математики СГАУ и Института систем обработки изображений РАН

Публикации. По результатам исследований опубликованы 5 печатных работ

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка источников литературы, включающего 164 наименования Общий объем диссертации - 97 страниц текста (в том числе 12 рисунков)

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цель и задачи работы, указаны научная новизна, практическая значимость, приведены основные положения, выносимые на защиту, описаны структура и содержание работы.

Глава 1 содержит краткое описание существующих результатов в теории уединенных волн и ее приложений Как известно, методом медленно меняющихся в пространстве и времени амплитуд для слабо нелинейных диэлектриков может быть получено нелинейное уравнение Шредингера для монохроматического линейно поляризованного света

и его стационарный вариант

ар

+ £0|Ч=о, (2)

где £0 (»%<)- медленно меняющаяся функция координат и времени, к„ - модуль волнового вектора к0, направленного вдоль оси х, со - циклическая частота несущей волны, 77(со) - коэффициент нелинейности среды, и - групповая скорость

1 /и = с1ка / с1со, причем принято к2а =(со/с)2 е{<о) согласно линейной теории, где £(а>) - линейная проницаемость среды, те поле Е линейно поляризованной вдоль оси г волны представлено в виде Е = Е0е''к"х'""

Приведен обзор механизмов возникновения нелинейной зависимости показателя преломления от напряженности электрического поля

Приведено известное двумерное решение стационарного НУШ (2)

Е0 = - exp-j i

-by-(-b2 -a1) — 2 4 2kn

ch ' a

f bx 4

(3)

где а и b- свободные параметры

Во второй главе найдены точные трехмерные решения исходной математической модели с помощью полных интегралов линейных однородных уравнений первого порядка Разработана схема решения стационарного уравнения (2) Функция Е0 (г) ищется в виде

E0=f(r)e(4) где /(г) - вещественная функция, q = {qx ,qy ,qz) - малая поправка к волновому вектору кп В результате уравнение (2), после отделения мнимой и вещественной частей, сводится к двум уравнениям

£+££+ЦГ = 0> (5)

дх к0 ду к0 dz KJ = (2ko4, + q1y + ql)f~2rf3 (6)

Уравнение (5) является линейным однородным уравнением первого порядка, теория которых детально разработана Как известно из теории таких уравнений, решением уравнения (5) является любая дифференцируемая функция / = /(s(r)), где s(r) - полный интеграл уравнения

ds Я, ds q, ds „

—+ —— + —— = 0, (7)

дх к0 ду к0 дz

имеющий вид

, Л b>[ko(y-yo)~<lAx-xo)\+b,[ko(.z-z0)-q,(x-x0j\

ЯП =---, (8)

К^ТЩ

где by bz,xn,yo,zo - произвольные постоянные

Показано, что использование подстановки / = f(s(r)) в (6) приводит задачу к обыкновенному автономному уравнению второго порядка

f\s) = (2kaqx +q] +ql)f{s)-2rrf\s), (9)

несингулярные решения которого имеют вид

/ = ±

ch{j2k0qx+q2y+^s} Окончательно, решение (4) примет вид

\b, [к(У -Уо)~Яу(х~-Yo)]+ bXK(z- г,)- <7г(*- *„)] \^КчЛч)+ч\ ch\-:-J ь: |

(10)

b +b

Решение (10) содержит в себе известное двумерное решение (3), найденное впервые В Е Захаровым и А Б Шабатом Полагая в (10) Ь: = 0, Хо = у о = 0, qz = 0, имеем

РКЧ, + Я) ехр{г(?хх + qyy)}

Е„ =-

Jrjch

pko q,+q\

t \

Чу" У Г"

\

"•о /

Введем обозначение а = ^2k0qx + qy , откуда qx—(a2-q2y)!2k0 Тогда

Icha

У~1Г,

(П)

Полагая в (11) = ¿/2, получим (3)

Если в уравнении (2) отделить переменную х, по аналогии с отделением времени в квантовомеханическом уравнении Шредингера, т е положить Е0 (х, у, г) = Е0 (у, 2)е"*, то реализация приведенной выше схемы приводит к решению

± л1(и„У + <]1+Я2,)/П ехр{ ¡(рс + дуу + дгг)}

Е„ =

ch{[q, (z-za)-g,(y- у0)\j(2k0y + q] + q])/[q] + '

не содержащемуся в решении (10) и не включающему в себя известное решение

(3)

Для нестационарного уравнения (1) в случае 77 > 0, точные трехмерные решения имеют вид

Ea{rJ) =

± аД2М7+чТ+яГ)!~П ехр{'<?г}

ей

2 Кч,+ч]

b{r~r0 -w)

(12)

к+ь:

где V - вектор скорости с проекциями у = (и,иду /к0, / к0) Решение (12) является бегущей волной вдоль направления г = г0 + V* Для случая г\ < 0

^(»■-r, -vOkxp^r},

2|1/| 2(Й;+^2) причем <7t <

Показано, что если вместо полных интегралов линейных однородных уравнений первого порядка использовать особые интегралы, то задача сведется к интегрированию нелинейного неавтономного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, для которого найдены асимптотические и численные решения Разработана схема применения особых интегралов для уравнения (2), которое, после подстановки в него функции Е0 (г) = /(г)е"г, свелось к уравнениям (5) и(6)

В качестве решения линейного однородного уравнения первого порядка (5) использовалась любая дифференцируемая функция / = f(s(r)), где s(r) - полный интеграл уравнения (7), имеющий вид (8) Теперь вместо полного интеграла (8) используется особый интеграл уравнения (7) Для этого из (8) исключают произвольные постоянные Ьу и Ь2 После вычисления производных ds / db и

ds / 8bz и, приравнивания их к нулю, из (8) следует особый интеграл уравнения (7)

So(r)-

У-Уо -тЧ*-*о)

\2 Г +

(13)

являющийся неотрицательной нелинейной функцией пространственных переменных Легко убедиться, что соотношение (13) является решением уравнения (7) Далее следует подставить функцию / = /(.?„ (г)) в уравнение (6) В результате задача опять сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка

/"(*„) +*о~Г(*о) = (2каЯ>:+д;+Я:}Г^)-2т1/Чза), (14)

которое, в отличие от (9), неавтономно и его точные решения не известны Можно найти асимптотические решения уравнения (14) при больших значениях $о, выраженных в единицах длин волн (мкм) В этом случае, пренебрегая вторым слагаемым в левой части уравнения (14), получим автономное уравнение

/"(*.) = (2*„<7, + Ч\ + Ч\ )Ж )-2г#\з0), совпадающее с (9) и имеющее решения

У(2 Кчх+дгу+д1Уп

сИ[12кад, + д] + д] Следовательно, (4) принимает вид

ск^{2к,Дх + д) + д)%у - у, - ду(х - х0)/к0)2 + (г - - д, (х-х0)/к0)2) Естественный интерес представляет нахождение численного решения уравнения (14) С помощью преобразования

приводим (14) к безразмерному виду

«'(£) + •^ = «(£)- 2и3 (£) (15)

На рис 1 а), б) представлены численные решения уравнения (15) и их производные Выходящие из начала координат кривые - графики производных и'(£) соответствующих решений и(£) Из приведенных графиков следует, что решения уравнения (15) являются гладкими ограниченными функциями, асимптотически стремящимися к нулю, а также, что уравнение (15) обладает симметрией относительно преобразования и <-» -и

Рис 1 Численные решения уравнения (15) и их производные

В третьей главе рассматривается уточненная математическая модель с полным оператором Лапласа Как известно, при выводе уравнений (1) и (2) предполагалось, что второй производной по х в операторе Лапласа можно пренебречь по сравнению со вторыми производными по у и г В этой главе ищутся решения уравнений

ЭЕ 1

12к0—°- + УгЕо+2т)\Ео\2Ео=0

Реализуя предложенную схему решения таких уравнений, найдены стационарные решения вида Е0 = /(г)е'"

^2к0дх+д2е'"

Ь„=±-

для т)> 0 и ц< О соответственно, где

8(Г) =

Ь\(К+Ч;)(у - У0) - Ч,(х - Х0)] + Ь:[(*„ + дх)(г - г0) - дг(х - х0)]

и нестационарные решения вида Е0 = /(г,/)е',г

где

Е=±

V =

сИ^2к0дх+д!Ь(г-г0-г1)/ь\'

к0+дх ид у идг

в случае д > О и

^аЧх-д2

й(г-г0-*)/6

в случае 77 < О

Реализация схемы использования особых интегралов линейных однородных уравнений первого порядка к нестационарному НУШ с полным оператором Лапласа приводит к асимптотическим решениям

сЬ{\г-г0-г^(2к0дх+д2)\'

Ч

для г) > О и д < 0 соответственно

В четвертой главе найдены трехмерные решения нелинейного волнового

следующего из уравнений Максвелла после исключения из них магнитного поля, в котором вторая производная по времени заменяется приближенным выражением, содержащим первую производную Если отказаться от этого приближения, то из уравнений Максвелла с использованием метода медленно меняющихся в пространстве и времени амплитуд для слабо нелинейных диэлектриков следует нелинейное волновое уравнение

где а > 1 - безразмерная постоянная, с - скорость света в вакууме Его точные решения имеют вид

уравнения Как известно, НУШ выводится из уравнения rot rot Е + —--— = 0,

где и - вектор скорости

(c2{k0+qx) c2q

г

Ч c2qЛ

•• — >

асо аса

к = {кв + q х, q у, q2) - волновой вектор Для стационарного уравнения

асо ' асо

/

- Е0 +2Т]\Е0\2Е0 = О

2 \

У

получены решения

где

s(r) =

bs[(k„+qx)(y-yo)-qy(x-xo)]+t>r[(ko+qj(z-z0)-q!(x-x0)]

В заключении перечислены полученные в работе результаты и сформулированы основные выводы

Таким образом, в работе получены следующие основные результаты

1 Аналитически получены трехмерные стационарные и нестационарные нелокализованные решения НУШ и нелинейного волнового уравнений с кубической нелинейностью в оптически однородных изотропных средах

2 Численно и аналитически получены трехмерные стационарные и нестационарные локализованные решения НУШ в виде линейно поляризованных амплитудно модулированных оптических импульсов

3 Получено нелинейное волновое уравнение с кубическим типом нелинейности, описывающее распространение оптического излучения в нелинейном однородном изотропном диэлектрике, и найдены его точные аналитические решения для стационарного и нестационарного случаев

4 Показано, что использование особого интеграла линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка приводит к неавтономному обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка, для которого найдены асимптотические и численные решения

Автор считает своим приятным долгом выразить благодарность профессору А И Жданову за полезные обсуждения

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 Алименков И В Точные решения некоторых уравнений нелинейной оптики // Физика волновых процессов и радиотехнические системы - 2005 -т 8 - № 1 -с 69-76

2 Алименков ИВ Точно решаемые математические модели в нелинейной оптике // Компьютерная оптика - 2005 - № 28 - с 45-54

3 Алименков И В Комплексное уравнение Гинзбурга - Ландау и его решения в виде уединенных волн // Тезисы докладов региональной научной конференции «Проблемы фундаментальной физики XXI века» - Самара «Универс-групп», 2005 - с 81

4 Алименков И В Нелинейное уравнение Шредингера в трех пространственных измерениях//Компьютерная оптика -2005 - №28-с 55-59

5 Алименков И В Точные решения нелинейного уравнения Шредингера и комплексного уравнения Гинзбурга - Ландау на К.3+1 // Вестник СамГУ -Естественнонаучная серия -2006 - №3(43)-с 5-14

Подписано в печать 20 04 2007 Объем 1 уел печ л Тираж 100 экз Отпечатано с готовых оригинал-макетов

Введение.

Глава 1 Нелинейные электромагнитные волны.

1.1 Нелинейные уравнения и уединенные волны.

1.2 Трехмерные стационарное и нестационарное НУШ в электромагнитных системах.

1.3 Механизмы возникновения нелинейной зависимости показателя преломления от напряженности электрического поля.

1.4 Одномерное НУШ.

Глава 2 Трехмерное НУШ с неполным оператором Лапласа.

2.1 Точные решения стационарного НУШ с помощью полных интегралов однородных линейных уравнений первого порядка. Положительный коэффициент нелинейности

2.2 Точные решения нестационарного НУШ с помощью полных интегралов однородных линейных уравнений первого порядка. Положительный коэффициент нелинейности.

2.3 Точные решения стационарного НУШ с помощью полных интегралов однородных линейных уравнений первого порядка. Отрицательный коэффициент нелинейности.

2.4 Точные решения нестационарного НУШ с помощью полных интегралов однородных линейных уравнений первого порядка. Отрицательный коэффициент нелинейности.

2.5 Решения НУШ с помощью особых'интегралов однородных линейных уравнений первого порядка. Асимптотические и численные решения.

Глава 3 Трехмерное НУШ с полным оператором Лапласа.

3.1 Стационарные решения с положительным коэффициентом нелинейности.

3.2 Нестационарные решения с положительным коэффициентом нелинейности.

3.3 Нестационарные решения с отрицательным коэффициентом нелинейности.

3.4 Стационарные решения с отрицательным коэффициентом нелинейности.

3.5 Асимптотические решения НУШ с полным оператором Лапласа.

Глава 4 Нелинейное волновое уравнение для оптического излучения.

4.1 Решения нелинейного волнового уравнения с положительным коэффициентом нелинейности.

4.2 Решения нелинейного волнового уравнения с отрицательным коэффициентом нелинейности.

4.3 Стационарные решения нелинейного волнового уравнения

Актуальность темы. Практически всякие колебания и волны модулированы - амплитуда, фаза, частота и даже форма огибающей могут медленно меняться. Модуляция может быть связана с воздействием внешних сил или полей, а может возникать в результате развития разного рода неустойчиво-стей. Поскольку только модулированные волны могут переносить информацию, теория распространения таких волн имеет важное прикладное значение. Основным уравнением теории модулированных волн является так называемое нелинейное уравнение Шредингера (НУШ). НУШ описывает распространение нелинейных ленгмюровских волн, волн на глубокой воде; волны в линиях передачи, акустические волны в жидкостях с пузырьками и, прежде всего, распространение оптического излучения в нелинейных средах. Последний класс приложений стал особенно актуальным с развитием лазерных технологий, поскольку интенсивность лазерного излучения обычно настолько велика, что возникает необходимость учитывать нелинейную часть восприимчивости среды. Кроме того, в последнее время возрос интерес к исследованию распространения электромагнитных волн в пространственно-неоднородных средах с высокой эффективностью нелинейных преобразований (гигантские нелинейности), таких как допированные оптические волокна и нематические жидкие кристаллы с добавлением примесей.

Более общей моделью, чем НУШ, описывающей распространение электромагнитных волн в нелинейных средах, является нелинейное волновое уравнение. Нелинейные явления и эффекты, связанные с модуляцией волн, очень разнообразны. Это - самофокусировка волновых пучков, самосжатие волновых пакетов, обращение волнового фронта и другие. К настоящему времени подробно разработана двумерная теория таких уравнений. Она основана на методе обратной задачи теории рассеяния (МОЗР). Однако трехмерные НУШ и нелинейное волновое уравнение не обладают свойством Пенлеве и не могут быть решены с использованием МОЗР, в то время как большинство реальных систем требуют описания в трех пространственных измерениях. Но, на сегодняшний день не существует ни одного систематического метода нахождения трехмерных решений. Единичные точные трехмерные решения некоторых сложных систем получены лишь благодаря изощренным приемам, приводящим к упрощению полевых уравнений, только для данных систем. Для подавляющего большинства реальных моделей приходится изучать общие свойства решений, не решая полевых уравнений.

В силу сказанного, актуальной является задача описания эволюции электромагнитного поля большой интенсивности в нелинейных средах в трехмерном пространстве.

Цель работы. Определение трехмерной структуры линейно поляризованного оптического поля в диспергирующих средах с кубической нелинейностью.

Задачи исследования. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Провести аналитическое описание стационарного и нестационарного оптического поля в трех пространственных переменных на основе НУШ и нелинейного волнового уравнения с кубической нелинейностью.

2. Получить точные аналитические решения НУШ для линейно поляризованного оптического поля в однородном изотропном диэлектрике для стационарного и нестационарного случаев

3. Получить точные аналитические решения нелинейного волнового уравнения, описывающего распространение линейно поляризованного оптического излучения в однородном изотропном диэлектрике.

4. Для решения поставленных задач свести задачу о решении НУШ и нелинейного волнового уравнения к решению двух уравнений, одно из которых будет линейным однородным уравнением в частных производных первого порядка и найти его полные или особые интегралы. Свести оставшееся нелинейное уравнение в частных производных второго порядка к обыкновенному нелинейному дифференциальному уравнению второго порядка.

Достоверность полученных результатов базируется на обоснованности принятых в оптике физических и математических моделей и подтверждается сравнением с опубликованными теоретическими результатами, которые могут быть получены предельным переходом из результатов, полученных автором.

Научная новизна работы.

В работе получены и проанализированы точные и асимптотические трехмерные решения НУШ, описывающие стационарное оптическое поле, а также точные и асимптотические решения типа бегущей линейно поляризованной волны, описывающие нестационарное оптическое поле для положительного и отрицательного коэффициентов нелинейности.

Получены и проанализированы точные трехмерные решения нелинейного волнового уравнения, описывающие стационарное оптическое поле, а также точные решения типа бегущей волны, описывающие нестационарное оптическое поле для положительного и отрицательного коэффициентов нелинейности.

Предложен метод решения НУШ и нелинейного волнового уравнения с помощью полных и особых интегралов линейных однородных уравнений в частных производных первого порядка.

Практическая значимость. Полученные результаты могут быть использованы при интерпретации результатов экспериментальных и численных исследований распространения оптического излучения большой амплитуды в нелинейных средах и устройствах, где эти среды являются рабочими телами. Разработанная техника решения может применяться для других уравнений в различных областях физики и других областей знания.

На защиту выносятся:

1. Полученные точные и асимптотические решения нелинейного уравнения Шредингера для трехмерного линейно поляризованного оптического поля в идеальном немагнитном и однородном диэлектрике.

2. Полученные точные решения трехмерного нелинейного волнового уравнения для линейно поляризованного излучения в идеальном немагнитном и однородном диэлектрике с кубической нелинейностью.

3. Метод получения трехмерных точных аналитических решений НУШ и нелинейного волнового уравнения с помощью полных и особых интегралов линейных однородных уравнений в частных производных первого порядка.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на региональной научной конференции «Проблемы фундаментальной физики XXI века» (Самара, 2005г.), научных семинарах кафедры прикладной математики Самарского государственного аэрокосмического университета (СГАУ), а также совместном семинаре кафедры прикладной математики СГАУ и Института систем обработки изображений РАН.

Публикации. По результатам исследований опубликовано 5 печатных работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка источников литературы, включающего 164 наименования. Общий объем диссертации - 97 страниц текста (в том числе 12 рисунков).

Выводы к главе 4

1 Для волнового уравнения а д2Е,

2 a,2 v +

CZ dt2 асо2^

Кг,

0 С2 \ с У

0-2?7|£0[ E0-i2 асо дЕ0 8Е0 \ к с dt дх 0 в случае rj > О найдено трехмерное решение

E0(rJ) = ±л](к2 -асо2/с2)1 rj exp{iqr] ch с2к2 - асо2 Ъ2с2 -а(Ьи): b{r-r0-ut) где и - вектор скорости О и = c2(k0+qx) cqy c2qz к - волновой вектор ч асо асо * асо j k = (K+qx, qy, qJ.

В случае rj< О решение имеет вид , ч , \асог-с2кг . асог-с2к2

EAr,t) = ± -п-i—th{A——-z-b(r -г.- ut) \е y'J л1 2с2\?]\ \\l{b2c2-a{buf) 4 e

2 Для стационарного уравнения dEn „,„ ( 2 aco2^ о Г ч с у от

Е0 +2Г)\Е0\2Е0 =0 в случае rj> 0 получено решение

Е{г,±е,ч'№-асо21с2)1П ch[lk2-ao}2/c2s(r)\' где j(r) = by[iK + qjy - У о) -ду(х- х0 )]+bz[{k0 + qx){z - z0) -qz(x- х0)] y4y+bzqzr+(b2y+b2z)(k0+qxy 80

В случае rj < О решение имеет вид ч , \асо2/с2 - к2 . ао)2/с2 - к2

-s{r) ех p{iqr}.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, в работе получены следующие основные результаты:

1. Проведено описание трехмерных модулированных электромагнитных волн на основе нелинейного уравнения Шредингера с полным и неполным операторами Лапласа. Разработан прямой метод решения модельных эволюционных уравнений типа нелинейного уравнения Шредингера и волнового уравнения с кубическим типом нелинейности.

2. Найдены точные решения нелинейного уравнения Шредингера в виде гладких стационарных и нестационарных функций, содержащих полные интегралы линейных однородных уравнений в частных производных первого порядка.

3. Получено нелинейное волновое уравнение с кубическим типом нелинейности, описывающее распространение оптического излучения в нелинейном однородном изотропном диэлектрике, и найдены его точные аналитические решения для стационарного и нестационарного случаев.

4. Показано, что использование особого интеграла линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка приводит к неавтономному обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка, для которого найдены асимптотические и численные решения.

1. Алгшенков И.В. Точные решения некоторых уравнений нелинейной оптики // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2005. -т.8. - №1.-с. 69-76.

2. Алгшенков И.В. Точно решаемые математические модели в нелинейной оптике // Компьютерная оптика. 2005. - № 28 - с. 45 - 54.

3. Алгшенков И.В. Комплексное уравнение Гинзбурга Ландау и его решения в виде уединенных волн // Тезисы докладов региональной научной конференции «Проблемы фундаментальной физики XXI века». - Самара: «Универс-групп», 2005. - с. 81.

4. Алгшенков ИВ. Нелинейное уравнение Шредингера в трёх пространственных измерениях // Компьютерная оптика. 2005. - № 28 - с. 55059.

5. Алгшенков ИВ. Точные решения нелинейного уравнения Шредингера и комплексного уравнения Гинзбурга Ландау на R // Вестник СамГУ -Естественнонаучная серия. - 2006. - № 3 (43) - с. 5-14.

6. Russell J.S. Report on Waves // Report of the 14 th meeting of the British Association for the Advancement of Science, York, September 1844, p. 311-390. Plates XLVII-LVII. London.

7. Fermi E., Pasta J., Ulam S. Studies of Nonlinear Problems, I // Los Alamos Report LA-1940, 1955.

8. Zabusky N.J., Kruskal M.D. Interaction of Solitons in a Collisionless Plasma and the Recurrence of Initial States // Phys. Rev. Lett., 1965, v. 15, p. 240-243.

9. Gardner C.S., Greene J.M., Kruskal M.D., Vbura R.M. Method for solving the Korteweg-de Vries equation // Phys. Rev. Lett., 1967, v. 19, № 19, p. 10951097.

10. Lax P.D. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves // Comm. Pure Appl. Math., 1968, v. 21, № 5, p. 467-490.

11. Захаров B.E., Шабат А.Б. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах // ЖЭТФ, 1971, т. 61, № 1, с. 118-134.

12. Miura R.M. Korteweg de Vries equation and generalizations. I. A. remarkable explicit nonlinear transformation I I J. Math. Phys., 1968, v. 9, № 8, p. 1202-1204.

13. Gardner C.S., Korteweg de Vries equation and generalizations. VI.The Korteweg - de Vries equation as a Hamiltonian system // J. Math. Phys. 1971, v. 12, №8, p. 1548-1551.

14. Gardner C.S., Greene J. V., Kruskal V.D., Miura R.M. Korteweg de Vries equation and generalizations. VI. Methods for exact solution // Comm. Pure Appl. Math., 1974, v. 27, № 1, p. 97-133.

15. Flashka H. The Toda lattice. II. Existence of integrals I I Phys. Rev., 1974, v. B9, № 4, p. 1924-1925.

16. Flashka H. On the Toda lattice. II. Inverse transform solution I I Prog. Theor. Phys., 1974, v. 51, № 3, p. 703-716.

17. Flashka Я, McLaughlin D. Canonically conjugate variables for the Korteweg de Vries equation and the Toda lattice with periodic boundary conditions // Prog, of Theor. Phys., 1976, v. 55,№ 2, p. 438-456.

18. Flashka H., Newell A. C. Monodroma-and spectrum-preserving deformations. I // Comm. Math. Phys., 1980, v. 76, № 1, p. 65-116.

19. Flashka #., Newell A.C., Ratiu T. Kac Moody Lie algebras and soliton equations. II. Lax equations associated with A® II Physica D, 1983, v. 6D, № 2, p. 303-323.

20. Flashka H., Newell A.C., Ratiu T. Kac Moody Lie algebras and soliton equations. III. Stationary equations associated with A,(I) // Physica D, 1983, v. 9D, № 2, p. 324-332.

21. Flashka Я, Newell A.C., Ratiu Т. Кас Moody Lie algebras and soliton equations. IV // Physica D, 1983, v. 9D, № 2, p. 333-345.

22. Asano N., Kato Y. Non-self-adjoint Zakharov Shabat operator with a potential of the finite asymptotic values. I. Direct spectral and scattering problems // J. Math. Phys., 1981, v. 22, № 12, p. 2780-2793.

23. Jimbo M., Miwa Т., Ueno K. Monodromy preserving deformation of linear ordinary differential equations with rational coefficients. I. General theory and r-function // Physica D, 1981, v. 2D, № 2, p.306 352.

24. Jimbo M., Miwa T. Monodromy preserving deformation of linear ordi- nary differential equations with rational coefficients. II // Physica D, 1981, v. 2D, № 3, p. 407-448.

25. Jimbo M, Miwa T. Monodromy preserving deformation of linear ordinary differential equations with rational coefficients. Ill // Physica D, 1981, v. 4D, № 1, p. 26-46.

26. Date E., Kashiwara M., Miwa T. Vertex operators and т-functions. Transformation groups for soliton equations. II // Proc. Japan Acad., 1981, v. 57, Ser. A, №8, p. 387-392.

27. Date E., Jimbo M., Kashiwara M., Miwa T. Operator approach to the Ka-domtsev Petviaschvili equation. Transformation groups for solition equations. Ill // J. Phys. Soc. Japan, 1981, v. 50, № 11, p. 3806-3812.

28. Date E., Jimbo M., Kashiwara M. Landau Lifshitz equation: solitons, quasi-periodic solutions and infinite dimensional Lie algebras // J. Phys. A., 1983, v. 16, №2, p. 221-236.

29. Asano N., Kato Y. Non-self-adjoint Zakharov Shabat operator with a potential of the finite asymptotic values. II. Inverse Problem // J. Math. Phys., 1984, v. 25, № 3, p. 570-588.

30. Ablowitz M.J., Каир D.J., Newell A.C., Segur Я Method for solving the Sine-Gordon equation // Phys. Rev. Lett., 1973, v. 30, № 25, p. 1262-1264.

31. Ablowitz M.J., Каир D.J., Newell A.C., Segur H. The inverse scattering transform Fourier analysis for nonlinear problems // Stub. Appl. Math., 1974, v. 53, №4, p. 249-315.

32. Ablowitz M.J., LadikJ.F. Nonlinear differential-difference equations and Fourier analysis // J. Math. Phys., 1976, v. 17, № 6, p. 1011-1018.

33. Каир D.J., Newell A.C. The Goursat and Cauchy problems for the Sine -Gordon equation // SIAM J. Appl. Math., 1978, v. 34, № 1, p. 37-54.

34. Newell A.C. The general structure of integrable evolution equations // Proc. Royal. Soc. (London), 1979, v. A365, № 1722, p. 283-311.

35. Ablowitz M.J., Ramani A., Segur H. A connection between nonlinear evolution equations and ordinary differential equations of P-tupe. I // J. Math. Phys., 1980, v. 21, №4, p. 715-721.

36. Ablowitz M.J., Ramani A., Segur H. A connection between nonlinear evolution equations and ordinary differential equations of .P-tupe. II // J. Math. Phys., 1980, v. 21, № 5, p. 1006-1015.

37. Ablowitz M.J. Remerks on nonlinear evolution equations and ordinary differential equations of Painleve tupe // Physica D, 1981, v. 3D, № 1+2, p. 129-141.

38. Fokas A.S., Ablowitz M.J. Linearization of the Korteweg de Vries and Painleve II equations // Phys. Rev. Lett., 1981, v. 47, № 16, p. 1096-1100.

39. Ablowitz M.J., van Yaakov D., Fokas A.S. On the inverse scattering transform for Kadomtsev Petviashvili equation // Stud. Appl. Math., 1983, v. 69, № 2, p. 135-143.

40. Fokas A.S., Ablowitz M.J. On the inverse scattering of the time dependent Schrodinger equation and the associated Kadomtsev Petviashvili (I) equation // Stud. Appl. Math., 1983, v. 69, № 3, p. 211-228.

41. Каир D.J. The squared eigenstates of the Sine Gordon eigenvalue problem // J. Appl. Math., 1984, v. 25, № 8, p. 2467-2471.

42. Захаров B.E., Фаддеев Л.Д. Уравнение Кортевега де Фриза - вполне интегрируемая гамильтонова система // Функц. анализ и его прилож., 1971, т. 5, №4, с. 18-27.

43. Захаров В.Е., Шабат А.Б. О взаимодействии солитонов в устойчивой среде // ЖЭТФ, 1973, т. 64, № 5, с. 1627-1639.

44. Манаков С.В. К теории двумерной стационарной самофокусировки электромагнитных волн // ЖЭТФ, 1973, т. 65, № 2, с. 505-516.

45. Дубровин Б.А., Новиков СЛ. Периодический и условно периодический аналоги многосолитонных решений уравнения Кортевега де Фриза // ЖЭТФ, 1974, т. 67, №6, с. 2131-2144.

46. Захаров В.Е., Манаков С.В. О полной интегрируемости нелинейного уравнения Шредингера // Теор. и мат. физика, 1974, т. 19, № 3, с. 332-343.

47. Захаров В.Е., Тахтаджян JI.A., Фаддеев Л.Д. Полное описание решений «Sin Gordon» уравнения // ДАН СССР, 1974, т. 219, № 6, с. 1334-1337.

48. Захаров В.Е., Шабат А.Б. Схема интегрирования нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи теории рассеяния. I // Функц. анализ и его прилож., 1974, т. 8, № 3, с. 43-53.

49. Захаров В.Е., Манаков С.В. Теория резонансного взаимодействия волновых пакетов в нелинейной среде // ЖЭТФ, 1975, т. 69, № 5, с. 1654-1673.

50. Шабат А.Б. Обратная задача рассеяния для системы дифференциальных уравнений // Функц. анализ и его прилож., 1975, т. 9, № 3, с. 75-78.

51. Захаров В.Е., Манаков С.В. Асимптотическое поведение нелинейных волновых систем, интегрируемых методом обратной задачи рассеяния // ЖЭТФ, 1976, т. 71, № 1, с. 203-215.

52. Дубровин Б.А., Матвеев В.Б., Новиков С.П. Нелинейные уравнения типа Кортевега де Фриза, конечнозонные линейные операторы и абелевы многообразия // УМН, 1976, т. 31, № 1, с. 55-136.

53. Кричевер И.М. Методы алгебраической геометрии в теории нелинейных уравнений // УМН, 1977, т. 32, № 6, с. 183-208.

54. Захаров В.Е., Михайлов А.В. Релятивистски-инвариантные двумерные модели теории поля, интегрируемые методом обратной задачи // ЖЭТФ, 1978, т. 74, №6, с. 1953-1973.

55. Захаров В.Е., Шабат А.Б. Интегрирование нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния. II // Функц. анализ и его прилож., 1979, т. 13, № 3, с. 13-22.

56. Захаров В.Е., Тахтаджян JI.A. Эквивалентность нелинейного уравнения Шредингера и уравнения ферромагнетика Гейзенберга // Теор. и мат. физика, 1979, т. 38, № 1, с. 26-35.

57. Шабат А.Б. Обратная задача рассеяния // Диф. уравнения, 1979, т. 15, №Ю, с. 1824-1834.

58. Михайлов А.В. Об интегрируемости двумерного обобщения цепочки Тода // Письма в ЖЭТФ, 1979, т. 30, № 7, с. 443-448.

59. Manakov S.V. The inverse scattering transform for the time dependent Schrodinger equation and Kadomtsev Petviashvili equation // Physica D, 1981, v. 3D, № 1+2, p. 420-427.

60. Mikhailov A. V. The reduction problem and inverse scattering method I I Physica D, 1981, v. 3D, № 1+2, p. 73-117.

61. Веселое А.П., Новиков СЛ. О скобках Пуассона, согласованных с алгебраической геометрией и динамикой Кортевега де Фриза на множестве конечнозонных потенциалов // ДАН СССР, 1982, т. 266, № 3, с. 533-537.

62. Дубровин Б.А., Новиков С.П. Алгеброгеометрические скобки Пуассона для вещественных конечнозонных решений уравнения Sine Gordon нелинейного уравнения Шредингера // ДАН СССР, 1982, т. 267, № 6, с. 1295-1300.

63. Дубровин Б.А., Натанзон С.М. Вещественные двухзонные решения уравнения Sine Gordon // Функц. анализ и его прилож., 1982, т. 16, № 1, с. 27-43.

64. Шабат А.Б. Третий вариант метода одевания // Теор. и мат. физика, 1994, т. 99, №3, с. 165-176.

65. Шабат А.Б. Дискретные симметрии и солитоны // Теор. и мат. физика, 1999, т. 121, №1, с. 165-176.

66. Шабат А.Б. Универсальные модели солитонных иерархий // Теор. и мат. физика, 2003, т. 136, № 2, с. 197-208.

67. Тахтаджян JT.A. Точная теория распространения ультракоротких оптических импульсов и двухуровневых средах // ЖЭТФ, 1974, т. 66, № 2, с. 476-489.

68. Итс А.Р., Матвеев В.Б. Операторы Шредингера с конечнозонным спектром и тУ-солитонные решения уравнения Кортевега де - Фриза // Теор. и мат. физика, 1975, т. 23, № 1, с. 51-68.

69. Кулиш П.П., Манаков С.В., Фаддеев Л.Д. Сравнение точных квантовых и квазиклассических ответов для нелинейного уравнения Шредингера // Теор. и мат. физика, 1976, т. 28, № 1, с. 38-45.

70. Итс А.Р. Обращение гиперэллиптических интегралов и интегрирование нелинейных дифференциальных уравнений // Вестник ЛГУ, сер. мат.-мех.-астр., 1976, № 7, вып. 2, с. 39-46.

71. Итс А.Р., Котляров В.П. Об одном классе решений нелинейного уравнения Шредингера // ДАН УССР, сер. А, 1976, № 11, с. 965-968.

72. Корепин В.Е., Фаддеев Л.Д. Квантование солитонов. В кн.: Физика элементарных частиц. (Материалы XII Зимней школы Ленингр. Ин-та ядерной физики.)//Л., 1977, с. 130-146.

73. Takhtajan L.A. Integration of the continuous Heisenberg spin chain througt the inverse scattering method // Phys. Lett., 1977, v. 64A, № 2, p. 235-237.

74. Кричевер КМ. Методы алгебраической геометрии в теории нелинейных уравнений // УМН, 1977, т. 32, № 6, с. 183-208.

75. Склянин Е.К., Фаддеев Л.Д. Квантовомеханический подход к вполне интегрируемым моделям теории поля // ДАН СССР, 1978, т. 243, № 6, с. 14301433.

76. Склянин Е.К. Метод обратной задачи рассеяния и квантовое нелинейное уравнение Шредингера // ДАН СССР, 1979, т. 244, № 6, с. 1337-1341.

77. Тахтаджян JI.A., Фаддеев Л.Д. Квантовый метод обратной задачи и -ATZ-модель Гейнзенберга // УМН, 1979, т. 34, № 5, с. 13-63.

78. Кричевер ИМ. Аналог формулы Даламбера для уравнений главного поля и уравнения Sine Gordon // ДАН СССР, 1980, т. 253, № 2, с. 288-292.

79. Решшн А.Г., Семенов-Тян-Шанский М.А. Алгебры токов и нелинейные уравнения в частных производных // ДАН СССР, 1980, т. 251, № 6, с. ИЮНИ.

80. Склянин Е.К. Квантовый вариант метода обратной задачи рассеяния // в кн.: Дифференциальная геометрия, группы Ли и механика. III. Зап. Науч. Семин. ЛОМИ, 1980, т. 95, с. 55-128.

81. Изергин А.Г., Корепин В.Е. Решеточная модель синус-Гордон // Вестник ЛГУ, сер. физика, химия, 1981, № 22, с. 84-87.

82. Изергин А.Г., Корепин В.Е. Решеточная модель, связанная с нелинейным уравнением Шредингера // ДАН СССР, 1981, т. 259, № 1, с. 76-79.

83. Итс А.Р. Асимптотика решений нелинейного уравнения Шредингера и изомонодромные деформации систем линейных дифференциальных уравнений // ДАН СССР, 1981, т. 261, № 1, с. 14-18.

84. Итс А.Р., Петров В.Э. «Изомонодромные» решения уравнения Sine -Gordon и временная асимптотика его быстроубывающих решений // ДАН СССР, 1982, т. 265, № 6, с. 1302-1306.

85. Изергин А.Г., Корепин В.Е. Квантовый метод обратной задачи // ЭЧАЯ, 1982, т. 13, № 3, с. 501-541.

86. Кулиш П.П. О переменных типа действие-угол для многокомпонентного нелинейного уравнения Шредингера // В кн.: Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 14. Зап. Науч. Семин. ЛОМИ, 1982, т. 115, с. 126-136.

87. Фаддеев Л.Д. Гамильтонианова интерпретация метода обратного преобразования И в кн.: Солитоны. М.: Мир, 1983, с. 363-379.

88. FordyA.P., Kulish P.P. Nonlinear Schrodinger equation and simple Lie algebras // Comm. Math. Phys., 1983, v. 89, № 3, p. 427-443.

89. Takhtajan L.A. Integrable models in classical and quantum field theory // In: proceedings of the International Congress of Mathematicians 1983. War-szawa, North-Holland, 1984, p. 1331-1346.

90. Итс A.P. Теорема Лиувилля и метод обратной задачи // в кн.: Дифференциальная геометрия, группы Ли и механика. VI. Зап. Науч. Семин. ЛОМИ, 1984, т. 133, с. 113-125.

91. Итс А.Р. «Изомонодромные» решения уравнений нулевой кривизны // Изв. АН СССР (сер. мат.), 1985, т. 48, № 9, с. 530-565.

92. Faddeev L.D., Takhtajan L.A. Poisson structure for the KdV equation // Lett. Math. Phys., 1985, v. 10, № 2&3, p. 231-236.

93. Buslaev V.S., Faddeev L.D., Takhtajan L.A. Scattering theory for the Korteweg de Vries equation and its Hamiltonian interpretation // Physica D, 1986, v. 18D, № l,p. 255-256.

94. Фокас A.C., Итс А.Р. Краевая задача с начальными условиями для уравнения Sine Gordon в лабораторных координатах // Теор. и мат. физика, 1992, т. 92, №3, с. 387-403.

95. Итс А.Р., Славное Н.А. О методе задачи Римана для асимптотического анализа корреляционных функций квантового нелинейного уравнения Шредингера. Случай взаимодействующих ферминов // Теор. и мат. физика, 1999, т. 119, №2, с. 179-248.

96. Toda М. Waves in nonlinear lattice // Proc. Theor. Phys. Suppl., 1970, № 45, p. 174-200.

97. Марченко В.А. Периодическая задача Кортевега де Фриза // Мат. сборник, 1974, т. 95, № 3, с. 331-356.

98. Гельфанд И.М., Дикий JI.A. Асимптотика резольвенты штурмлиувил-левских уравнений и алгебра уравнений Кортевега де Фриза // УМН, 1975, т. 30, №5, с. 67-100.

99. Calogero F., Degasperis A. Nonliner evolution equations solvable bu the inverse spectral transform. I //Nuovo Cimento, 1976, v. 32B, № 2, p. 201-242.

100. Calogero F., Degasperis A. Nonliner evolution equations solvable bu the inverse spectral transform. II // Nuovo Cimento, 1977, v. 39B, № 1, p. 1-54.

101. Dodd R.K., Bullough R.K. Polynomial conserved densities for the Sine -Gordon equations // Proc. Roy. Soc. (London), 1977, v. A 352, № 1671, p. 481-503.

102. Kako F., Mugibayashi N. Complete integrability of general nonlinear differential-difference equations solvable by the inverse method. II // Prog. Theor. Phys., 1979, v. 61, № 3, p. 776-790.

103. Adler M. On a trace functional for formal pseudodifferential operators and the symplectic structure of the Korteweg de Vries tupe equations // Inv. Math.,1979, v. 50, №2, p. 219-248.

104. Wilson G. Commuting flows and conservation laws for Lax equations // Math. Proc. Cambridge Phil. Soc., 1979, v. 86, № 1, p. 131-143.

105. Герджиков B.C., Христов E.X. Об эволюционных уравнениях, решаемых методом обратной задачи. I. Спектральная теория // Болг. физ. ж.,1980, т. 7, №1, с. 28-41.

106. Новокшенов В.Ю. Асимптотика при Н» оо решения задачи Коши для нелинейного уравнения Шредингера // ДАН СССР, 1980, т. 251, № 4, с. 799802.

107. Герджиков B.C., Христов Е.Х. Об эволюционных уравнениях, решаемых методом обратной задачи. II. Гамильтонова структура и преобразования Бэклунда // Болг. физ. ж., 1980, т. 7, № 2, с. 119-133.

108. Wilson G. On two construction laws for Lax equations // Quart. J. Math. Oxford, 1981, v. 32, № 128, p. 491-512.

109. Asano N. Kato Y. Non-self-adjoint Zakharov Shabat operator with a potential of the finite asymptotic values. I. Direct spectral and scattering problems // J. Math. Phys., 1981, v. 22, № 12, p. 2780-2793.

110. Alber S. I. On stationary problems for equations of Korteweg de Vries type // Comm. Pure Appl. Math., 1981, v. 34, № 2, p. 259-272.

111. Дринфелъд В.Г., Соколов В.В. Уравнения типа Кортевега де - Фриза и простые алгебры Ли // ДАН СССР, 1981, т. 258, № 1, с. 11-16.

112. Тарасов В.О. Классический вариант решеточной модели синус Гордон // В кн.: Вопросы квантовой теории поля и статистической физики. 3. Зап. науч. семин. ЛОМИ, 1982, т. 120, с. 173-187.

113. Quispel G.R., Capel Н. W. The anisotropic Heisenberg spin chain and the njnlinear Schrodinger equation // Physica A, 1983, v. 117A, № 1, p. 76-102.

114. Борисов А.Б. Многосолитонные решения уравнений неизотропного магнетика // ФММ, 1983, т. 55, № 2, с. 230-234.

115. Alonso Martinez L. Group-theoretical analysis of the Sine Gordon equation as a relativistic dynamical system // J. Math. Phys., 1983, v.24, № 4, p. 982989.

116. Ramadas T.R. The Wess Zumino term and fermionic solitons // Comm. Math. Phys., 1984, v. 93, № 3, p. 355-365.

117. Gerdjikov V.S., Yanovski A.B. Gauge covariant formulation of the generating operator. 1. The Zacharov Shabat system // Phys. Lett., 1984, v. ЮЗА, № 5, p. 232-236.

118. Segal G., Wilson G. Loop groups and equations of KdV type // Publ. IHES, 1985, v. 61, p. 5-65.

119. Conte R. and Musette M. Painleve analysis and Backlund transformation in the Kuramoto-Sivashinsky equation // J. Phys, 1989, v. A 22, p. 169-177.

120. Kudryashov N.A. Exact solutions of the generalized Kuramoto-Sivashinsky equation // Phys. Lett., 1990, v. A 147, p. 287-291.

121. Van Saarloos W. and Hohenberg P.C. Fronts, pulses, sources and sinks in generalized complex Ginzburg-Landau equations // Physica D, 1992, v. 56, p. 303367.

122. Conte R. and Musette M. Linearity inaide nonlinearity: exact solutions to the complex Ginzburg Landau equation // Physica D, 1993, v. 69, p. 1-17.

123. Conte R., Fordy A.P. and Pickering. A perturbative Painleve approach to nonlinear differential equations // Physica D, 1993, v. 69, p.33-58.

124. Moores J.D. On the Ginzburg-Landau laser mode-locking model with fifth-order saturable absorber term // Optics Communicationc, 1993, v. 96, p. 65-70.

125. Конно К., Ичикава Й. Вихревой солитон с аксиальным потоком // Теор. и мат. физика, 1994, т. 99, № 2, с. 329-336.

126. Schiesser W.E. Method of lines solution of the Korteweg de Vries equation // Сотр. & Maths, with Appls., 1994, v. 28, p. 147-154.

127. LegaJ., Moloney J. V. and Newell A.C. Swifit-Hohenberg equation for lasers // Phys. Rev. Lett., 1994, v. 73, p. 2978-2981.

128. Marcq P., Chate H. and Conte R. Exact solutions of the one-dimensional quintic complex Ginzburg-Landau equation // Physica D, 1994, v. 73, p, 305-317.

129. AkhmedievN.N. andAfanasiev V.V. Novel arbitrary-amplitude soliton solutions of the cubic-quintic complex Ginzburg-Landau equation // Phys. Rev. Lett., 1995, v. 75, p. 2320-2323.

130. Varley E., Seymour B.R. A Simple Derivation of the N-Soliton Solutions to the Korteweg de Vries Equation // Siam Journal on Appl. Math., 1998, v. 58, p. 904-911.

131. Хабибуллин И.Т. Уравнение КдФ на полуоси с нулевым краевым условием // Теор. и мат. физика, 1999, т. 119, № 3, с. 397-404.

132. Van Hecke M., Storm C. and van Saarlos W. Sources, sinks and wavenumber seletion in coupled CGL equations and experimental implications for counter-propagating wave systems//Physica D, 1999, v. 133, p. 1-47.

133. Пеллони Б. Начальные краевые задачи для нелинейного уравнения Шредингера // Теор. и мат. физика, 2000, т. 122, № 1, с. 128-143.

134. Conte R. and Musette М. Analytic expressions of hydrothermal waves // Reports on mathematical physics, 2000, v. 46, p. 77-88.

135. Гончаренко B.M. О многосолитонных решениях матричного уравнения КдФ // Теор. и мат. физика, 2001, т. 126, № 1, с. 102-114.

136. Уразбаев Г. У, Хасанов А.Б. Интегрирование уравнения Кортевега -де Фриза с самосогласованным источником при начальных данных типа «ступенька» // Теор. и мат. физика, 2001, т. 129, № 1, с. 38-54.

137. Lega J. Traveling hole solutions of the complex Ginzburg-Landau equation: a review // Physica D, 2001, v. 152-153, p. 269-287.

138. Aranson I.S., Kramer L. The world of the complex Ginzburg Landau equation // Rev. Mod. Phys., 2002, v. 74, № 1, p. 99-143.

139. Хабибуллин И.Т. Начально-краевая задача для уравнения КдФ на полуоси с однородными краевыми условиями // Теор. и мат. физика, 2002, т. 130, № 1, с. 31-53.

140. Kwok W., Chow. A class of doubly periodic waves for nonlinear evolution equations // Wave Motion, 2002, v. 35, p. 71-90.

141. Мельников В.К. Структура уравнений, интегрируемых с помощью метода обратной задачи рассеяния для оператора Шредингера // Теор. и мат. физика, 2003, т. 134, № 1, с. 110-123.

142. Магипо К, Ankiewicz A. and Akhmediev N.N. Exact soliton solutions of the one-dimensional complex Swift-Hohenberg equation // Physica D, 2003, v. 176, p. 44-66.

143. Musette M. and Conte R. Analytic solitary waves of nonintegrable equations // Physica D, 2003, v. 176, p. 70-79.

144. Conte R. and Musette M. Solitary waves of nonlinear nonintegrable equations //http: // ar Xiv. org/abs/nlin. PS/0407026, vl. 2004 p.1-28.

145. Трифонов Е.Д. Нелинейное нестационарное уравнение Шредингера для задачи о взаимодействии бозе-эйнштейновского конденсата разреженных газов с электромагнитным полем // Теор. и мат. физика, 2004, т. 139, № 3, с. 449-461.

146. Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков СЛ., Питаевский Л.П. Теория солитонов. Метод обратной задачи. М.: Наука, 1980. - 320 с.

147. Раджараман Р. Солитоны и инстантоны в квантовой теории поля. -М.: Мир, 1985.-416 с.

148. Тахтаджян Л.А., Фаддеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов. Наука, 1986. - 528 с.

149. Абловиц М., СигурХ. Солитоны и метод обратной задачи. М.: Мир, 1987.-480 с.

150. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М.: Мир, 1988. - 694 с.

151. Ньюэлл А Солитоны в математике и физике. М.: Мир, 1989. -324 с.

152. ЛэмДж.Л. Введение в теорию солитонов. М.: Мир, 1990. - 294 с.

153. Богоявленский О.И. Опрокидывающиеся солитоны. -М.: Мир, 1991. -320 с.

154. Мозер Ю. Интегрируемые гамильтоновы системы и спектральная теория. Иж.: НИЦ «РХД», 1999. - 294 с.

155. Ландау Л.Д, Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982. - 620 с.

156. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1953. -468 с.

157. Desyatnikov A.S., Sukhorukov A.A., Kivshar Y.S. Azimuthons: Spatially Modulated Vortex Solitons // Phys. Rev. Lett., 2005, v. 95, p. 203904-1 203904-4.

158. Tassin P., Van der Sande G., Veretenov N., Kockaert P., VeretennicoffL, Tlidi M. Three-dimensional structures in nonlinear cavities containing left-handed materials // Optics Express, 2006, v. 14, № 20, p.9338-9343.

159. Kruglov V.I., Harvey J. D. Asymptotically exact parabolic solutions of the generalized nonlinear Schrodinger equation with varying parameters // Optical Society of America, 2006, v. 23, № 12, p.2541-2550.