Аналитическое решение краевых задач кручения и изгиба прямолинейно-анизотропных призматических стержней одно- и двусвязного профиля тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Г6 о»

I Ь ДЬН ^^ ИАЩОНАЛЬНА АХАДЕМШ НАУК УКРАХШ

шстктут пршшдак проблем месилки 1 матэлатики

1м. Я.С. ПТДСТРКГАЧА

На пробах рукопису УДК. 539-384.385

иартииович Богдан Тимофеевич

т111!Ш РОЗВ'ЯЭОК КРДЯОВНХ ЗАДАЧ кручвш I 8ГЖУ ПРт11Н1йда-АН1ЭОТР0ГНК ПРИЗШ№а5К СТЕРЖНШ ОДНО- I ДВОЗЗ'ЯЗВОГО П?СФ1Ж>

01.02.04 - мехаш.ка дефортвного твердого т1ла

АВТОРЕФЕРАТ

дисергац11 на здобуття наукозого ступеня кандидата ф!зико-математичних наук

.Сьв1в - 1996

Робота виконана на кафедр! опору матер1ал1в державного ynjnepcHTery "Льв!воька пояЛтеийка

Науковий KepiBHiiK - доктор тезтчних наук, тэофесор МОЧЕРНЮК Д.Ю.

0ф!ц1йн1 опоненти - доктор ф1зико-ыатематичних наук, професор ОСАЕЧУК В.А,

кандидат ф1зико-мвтеыатичних наук, доцент Н1ЩЕНК0 1.0.

Пров1дна орган!зац!я - Терноп1льськкй приладобуд^вний метитут

Захист В1дбудеться ".-?rf"-----i^.____1996 р. о f&ffvosmi

на зас!данн1 епешал!зованс1 вчено! ради Д.04.17.01 в Тнетиту-т! прикладных проблем механ!ки i математики 1м.Я.С.П!дстригача Н&Н УкраХни за адресом: 290601, м.Львгв, МПС вул. Нзуковя, 3-б.

3 дисертаи!ею можна ознайомитися в б!бл!отеш 1ППШ 1м. Я.С.Шдстригача HAH Украани (м.Льв!в, вул.Наукова З-б).

Б1дгук на автореферат просимо надсилати за адресою: 290061, ы. Льв!в, МПС вул. Наукова, З-б, 1ППММ, вченому секретарю спед!ал!зовано1 ради Д.04.17.01.

JO

Автореферат роз!слано ".."....:.........1996 р.

Вчений секретар спец!ал!вовано1 ради, кандидат ф1зико-математичних наук

П.Р. Шевчук

Г

ЗАГАЛЪНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальн1сть теш. У мемуарах "Про кручення призм" i "Про згин призм", олубл!кованих в 1856 poni, Сен-Венан (В.Saint-Venant) завершив ф!зичн! основи та математичну теор1ю чистого кручення i простого згину призматичних отеркн!в, вюслав св!й "нап!вобернений" метод, пом!стив фундаментальне твердження про статичну екв1валентш.сть навантаження, висловлене ним ще в 1853 роц1, яке в л3.тератур! набуло назву принципу або гшотези Сен-Венана. Цей принцип дозволив Сен-Венану завершити строге математичне формулювання крайових задач про чисте кручення i простий згин призматичних стерзапв . Ним одержано розв'язки низки крайових задач кручення i згину поперечною силою призматичних стеркн1в певних проф!л1в. Загальна теор1я кривол1н1йних координат була розвинена Ламе (G. lame, 1859 р.)- Вперше Клебш (A.Clebsoh) застосував кривол1н1йн! координати до крайових задач кручення сгеркн1в, проф!ль яких, зокрема, мае вигляд ел1п-тичного диска (1862 p.) i конфокального ел!птичного к!льця (1879 р.).

В полярних, ел1птичних, парабол1чних, г!пербол!чних та 1нших ортогснальних кривол!н!йних координатах, як! складають окрему групу, характерну тим, що ïx координатн! лшП, одна з яких зб1гаеться з контуром проф1лю стержня, е алгебричнг кри-Bi, розв'язок крайових задач отримуеться значно прост1шим, а при певних умовах - в явному вигляд!.

Подалып! досл!дкення, пов'язан! з вивченням проблеми Сен-Венана, д!стали 1нтенсивний розвиток в напрямку розробки нових, б основному чисельних, метод!в розв'язання крайових задач кручення i згину в перевакн1й б!льшост! isoTponmix стержн!в з про-ф!лями р!зних форм i зв'язност!. Певний внесок в розглядувану проблему зробили, зокрема, такх автори монографий i наукових статей: Н.Х. Арутюнян i Б.Л.Абрамян, Ю.А.Амензаде, Я.И.Бурак, 1.А.Бахт1яров, А.Н.Динник, r.C.KiT, Л.С.Лейбензон, М.Я.Леонов,

H.1.Мусхел1шв1л1, 1.0.Прусов, В.А.Рвачов i 1.В.Гончарюк, А.П.Соколов, А.Г.Угодч1ков, ДЛ.Шерман, A.Clebsch, J.Boussinesg,

I.Prandtl та З.нш1.

Основа Teopiï кручення i згину призматичних стерятв з

прямол!н!йно-ортотропного матер!алу (ПОМ), поперечний nepepi3 яких зб1гаеться з плотиною пружно! еиметрИ, закладена Сен-Венаном у згаданих вище мемуарах (1856 р.). Ним вперше були одержан! розв'язки крайових задач кручення i поперечного згину консол1 з ПОМ ел!птичного, трикутного i прямокутного проф!л1в.

Математичн1 методи теорИ кручення i згину призматичних стержн1в з ПОМ ргзних проф1л1в i зв'язност1 у подальшому були розвинен! у працях таких, зокрема, автор!в: С.Г.Лехнщького, Л.С.Лейбензона, В.С.Сарк1ояна, О.С.Космодамханського, Е.Е.Анто-тонова, Н.Х.Арутюняна, Д.В.Гршпцького, О.С.Локшина, P.C.MiHa-сяна, ГЛ. Расторгуева та 1нших.

Teopifl узагальненого кручення i згину призматичних етер-зкн!в з прямол!н1йно-ан1зотропного матер!алу (ПАМ) вперше сфор-мульована Фойгтом (W Voigt, 1928 р.) i розвинена у працях С.Г. Лехн1цького.

За останн!й час банк метод1в розв'язання крайових задач кручення i згину призматичних стержнгв з ПОМ pisHMx проф1л1в i зв'язност! поповнився в основному за рахунок чисельних мето-д!в . Нов! ефективн1 анал1тичн! розв'язки крайових задач кручення i згину стержн1в з ПАМ одно- i двозв'язного проф"1лю, об-меженого взагал! не алгебричними кривими, наск1льки нам Bi.no-мо, в л!тератур! в1дсутн1.

Таке становище пояенюеться тим, що крайова задача кручення i згину призматичних стержн!в з ПАМ, на в!дм1ну в1д крайо-во1 задач! для !зотропних стерзкнхв, розглядаеться не в фпзич-Hift пловдн! проф!лю стержня, а в математичн!й, яка отримуеться з першох шляхом аф1нного (не конформного) перетворення, при якому алгебричн1 лгнИ, що обмежукть проф!ль стержня, переходить в алгебричн! л!н!1, збер1гаючи ix порядок,а не алгебричн! лшИ - не переходить caMi в себе, а в Л1н!1 1ншого, взагал1, порядку. Зв1дси випливае, що метод конформного вхдображення безпосередньо, як у випадку 1зотропного стержня, не застосов-ний до розв'язування крайових задач кручення i згину призматичних стеркн!в з ПАМ, профл.ль яких обмежений не алгебричними л!н1ями.

Отже, розробка ефективного анал1тичного алгоритму розв'язання таких задач - тема актуальна.

Метою_роботи_е:

- розробка анал1тичного алгоритму побудови розв'язк!в крайових задач кручення 1 згину призматичних стержив з ПАМ одно- 1 дво-зв'язних щюф!л!в з гладкими контурами. Площина пружно! симет-р!1 зб!гаеться з поперечним перер1зом стержня;

- застооування розробленого алгоритму до розв'язування крайових задач кручення 1 згину неортотропних стержн1в одно- 1 дво-зв'язних профд.л1в конкретних форм хх конф!гурац!1".

Наукова новизна роботи:

- крайова задача кручення 1 згину призматичного стертая з ПАМ, багатозв'язний проф!ль якого обмежений проетими замкнутими контурами, як! не перетинаються м!ж собою, введена до крайовог умови в 1нтегральн1й форм1, що м!стить дов!льну Функш.ю .узя-гальнено! комплексно! зм!нно1, голоморфну в облает!, яка в афшним (не конформним) вхдображенням облает! профхлю стержня:

- для призматичних стершпв з ПАМ одно- 1 двозв'язних проф!л!в крайова умова в 1нтегральн!й форм! редукована до нескхиченнох еистеми незалежних крайових умов, ¡до м1стятъ комплексну функ-ц!ю кручення методу перемхщень;

- зобразивши комплексну функщю кручення формальним рядом за степеневими функц!ями {23" 2~п} (п=Т7»), система крайових умов, згаданих вице, зведена до систем л!н!йних алгебричних р1внянь стосовно коеф!ц!ент!в 1х зображення;

- алгоритм складання незалежних систем л!н!йних алгебричних р!внянь грунтуеться на систем! кривол!н!йних координат, виб1р яко! пов'язаний з геометрхею ироф!лю стержня: одна з сгм'! кри-вол!н!йних координатних Л1н1й повинна зб1гатися з контуром, що обмежуе одно- ! двозв'язний проф!ль. Кожному обрису проф1лю стержня в!дпов!дае своя система кривол!н!йних координат;

- розроблений алгоритм обчислення коеф!ц!ент!в пяраметричного р1вняння контура, що обмежуе профхль призматичного стержня, ви-браного за одну з криволМйних координат;

- запропонований анал!тичний алгоритм застосований до крайових задач чистого кручення призматичних стержн!в з ПАМ одно- ! двозв'язних проф1л!в, зокрема, таких конфхгурашй:

а) проф!ль обмежений дов!льними концентричними ел!псами ! до-в!льними ексцентричниш елшсами;

б) профэ.ль обмежений концентричними многокутниками 1 концентричным прямокутниками з заокругленшми вершинами;

в) проф!ль обмежений многокутником 1 колом, прямокутником 1 колом, прямокутником 1 ел1пеом, прямокутником 1 внутр1шн1м розрхзом та 1нш!.

- проблема розв'язання крайово! задач! сум!сного кручення ! згину поперечною силою призматично! консол! з ЛАМ двозв'язного профалю, обмеженого концентричними многокутниками з заокют-ленними вершинами, як вкладку задач! чистого кручення, редуко-вана до чисельного розв'язання системи незалежних лйнШдах алгебричних р1внянь стосовно коеф!ц!ент1в розкладу шукано! комплексно! функцИ методу перем!щень.

В!рог!дн!сть отриманих результатов-забезпечуеться:

- розглядом проблеш в постанови! Сен~Венана;

- узгоджетпстю отриманих анал!тичних розв'язк1в у часткових . випадках з тими, що одержан! Сен-Венаном, С.Г.Лехн!цьким та 1Н.;

- практичною зб!кн!стю числових результатов у часткових випадках з наведеними в л1тератур!, зокрема, з числовими результатами для ¿зотропних стержн1в;

- ф!зичною в!рог!дш.стю отриманих числових результате.

Практична значимость

Розроблений ун!версальний анал1тичний алгоритм побудови розв'язк1в крайових задач кручення 1 згину призматичних стерж-н1в 3 ПАМ ОДНО- 1 ДБОЗВ'ЯЗНИХ гтроф!л!в Р13НИХ копф|гурац}0, ЯК) широко застосовуютьея в машнобудуващи, л!такобудуваши, у ВПК та 1нших галузях народного господарства.

Самоетайне значения мають наведен! в робот! результата об-числень у вигляд1 граф!к1в та таблиць, як! можуть бути внесен! у дов!дники та пос1бники, а також використан! в проектно-конст-рукторськ!й практиц!, так ! при перев!рц! результат!в, отриманих р!зними чисельними методами.

Одержан! теоретичн! результата мають подальшу перспективу розвитку. Вони можуть бути використан! в теорП узагальне-ного кручення 1 згину призматичних стерзкн!в, плоек!й задач! теор!1 прукност!, в задачах згину тонких пластин, у теплотгро-в!дност! та термопружност!, електропружност! п'езоелектричних т1л з ПАМ та в гнших розд!лах науки.

OcHOBHi результата дисертац!йно1 роботи доповз'далиоя на 2-й Всесоюзной техн1чн!й конференцП "М1цтпеть, жгдюткхсть i технолог1чн1сть виробгв з композиц!йних матер1ал1в (м.Ереван, 1984 р.), на семхнар! "Прикладн! метода розрахунку ф1зичних пол!в" (Крим, Симе!з, 1984 р.), 1-му Всесоюзному симпоз!ум! "Механика i ф!зика руйнування композитних матер1ал1в i конст-рукц!й" (м.Ужгород, 1988 р.), КонференцИ молодих вчених i спец!ал1ст1в "Науково-техМчний прогрес в буд!вництв!" (Москва, 1989 Р-), М1кгалузев1й науково-техн!чн1й конференцП "Проекту-вання, технолог!я, розрахунково-експериментальна досладкення конструкций !з композиц!йних матер!ал!в" (м.Суздаль, 1992 р.), 1-му М1жнародному симпоз!ум! "Ф!зико-х!м!чна механ!ка компози-щйних матер1ал1в" (м.1вано-Франк!веьк, 1993 р.), 1-му М!жна-родному симпозхуш украгнських 1нженер1в-механ1к1в (Льв1в, 1993 р.), Всеукра1нськ1й науков!й конференцП "Розробка та за-стосування математичних метод!в в наукових досл1дженнях" (Льв1в, 1995 Р-), 3-му М1хнародному сишоз1ум! "Некласичн! проблеми Teopii тонкост!нних елемент!в конструкц!й та ф!зико-хем1чно1 мехаюлси композшййних матер! ал!в" (1вано-Франк1вськ, 1995р.).

В ц!лому робота розглядалась на сем!нар! кафедри опору матер!ал1в Державного ун!верситету "Льв!вська пол1техн1ка", спец!ал1зованому квал!ф1кац1йному ceMiHapi в 1ППШ iM. Я.С.П1д-стригача HAH Укра1ни (Льв1в,1996р.).

Щблхкащ.!. За темою дисертацН опубл1ковано 10 poöiT .

Структу£а_1_обояг_ро<5оти. Дисертац1йна робота складаетьея з вступу, 4-х розд!л1в, п1дсумку, списку л!тератури та додат-к!в. Загальний обсяг роботи складае 224 с. машинопису, в тому числ1: 82 малюнки, 15 таблиць, 120 найменувань списку л!тера-тури, 41 с. додаткхв.

ОСНОВКШ 3MICT РОБОТИ

обгрунтовано актуальн!сть теми дисертацИ, проведено короткий огляд основних публ!кац!й з даного наукового напряму, стисло вккладений зм!ст рототи за розд1лами.

У першому розд1л! основн! р!вняння та сп1вв!дношення теорИ чистого кручення призматичних стержн!в з ЛАМ записан! в узагальнених комплексных зм!нних z i Z у форм!, зручн!й

при подальшому ïx використанн!. Проблема визначення функцИ' кручення ¡р(х,у) методу перем!щень (№»0ф) введена до розв'язу-вання внутрхшньо! крайовох задач! Неймана

ъ\{х,у)=0 (х,у б S), Agrade = fis) (seb) ■ (1)

Ъ*{...)- узагальнений оператор Лапласа; fis)- в!дома однозначна $ункц!я; S - т+1 - зв'язний проф!ль стержня, обмежений

простими контурами Ь=Ь +L+...L ,, що не перетинаютъся м!ж

1 2 1

собою.

Якщо обрати за шукану величину функц!ю напружень (Т = ад$/ду, t = -Ид^/дх), проблема зведеться до розв'язуван-

х-с у z

ня внутр!шньо1 крайово! задач1 Д1р1хле.

Крайова умова задач! Неймана в диференц!альн!й форм! (1) редукована в крайову умову в !нтегральн!й форм1

J Wtftt'-l'^ J rs(ta)d(t3ï3). (2)

хсз) ¿VA Ь(з,

Тут F (z3) - дов1льна функцхя, голоморфна у т+1 - зв'язнЛй облает! S , обмекен!й контуром Ь(3)=Ь'3)+ь'3)+...+1(э', яка

1 2 ш +1

одержуеться з облает! S аф!нним (неконформним) в!дображенням z3=x+n3y; í 1 í3 - афшеи в!дпов!дних точок контур!в I i LC3>. Комплексна функц!я кручення <р ), що входить у контурну

/ о \

умову (2), теж голоморфна в т+1 - зв'язн!й облает! S , а И д!йсна частина tp(r,y)=ñe<03(z3) е розв'язком р!вняння I ф(х,у)=0 (1) в облает! Sl3).

Показано, що комплексн! функцИ кручення ! напру-

ження Ф,(2_) пов'язан! залежн!стю ф'(г„)=-1У1Г ф'(2„).

J О J <7 «3 w

Обгрунтована проблема введения у розгляд кривол1н!йних координат, координатн! л!нИ яких взагал! не е алгебричними кривими.

У другому розд!л! досл!джуеться крайова задача чистого кручення призматичного стержня s ПАМ однозв'язного проф!лю S, обмеженого простим замкнутим контуром Ь2, параметричне рхвнян-ня якого у зм!нних (Rn,o) мае вигляд

tlz)=x+iy=R<2)(o+ Е c(2)a~n), I ?гс(2)2<1 (í(3)el ). (3)

N П П 2

(31 " 'О п

R„ - масштабний множник, о=е (Os0<23t).

Параметричне р!вняння контура Ь^3> облает! Sí3) набувае вигляду

x!l3)(o)=(o+m'o'i) +Z cf2>(a"n+ m'on).

N J П J

,„ч n=i _

В облает! S система степеневих функц!й (z3 > (n=T7»)

складае повну (замкнуту) систему, за яиши розкладаеться у ряд будь-яка функц!я, голоморфна в З(3!

Дов1льну функц!» ). що входить у крайову умову задач! Неймана (2),посл!довно будемо ототокнювати з степеневими функц!ями Р<п)(г3)=23 (п=1Т5).

Такий спос!б дозволяв зам!нити крайову умову (2) неиан-ченою системою незалежних крайових умов вигляду

[ / т^и-т'-) („.та. (5)

г!3) т < 3)

Комплексна функция кручення ф (2 ), голоморфна в област1

3 3

S<3), шукаеться у вигляд! степеневого ряду

Ф3(23)= S (23€S'3)). (6)

к—О

На п1дстав! вираз!в (5) i (6) одержуемо неск!нченну сис-

f g \

тему незалекних алгебричних р!внянь стосовно коеф!цхент1в Ак

Е Ка*"<й£а>к«1-%; Г Iia,nd(îia,T£a,ï (n-та. (?)

кж1 h J Э з 2/J^ "J 33

Розглянута крайова задача чистого кручення призматичного стеркня з ПАМ, проф!ль якого S мае форму правильного многокуг-ника з заокругленними вершинами.

(О)

Параметричн! р!вняння контур!в Ъ2 1 L областей S i S д!станемо з р1внянь (3) i (4), яйцо зам!нимо в них гндекс "п" на 1ндеко "ni-/", 1ндекс "N" на "ïïl-1"

i(2'<î-1(0+ S с-,0- —), Г <1 (ît2)ei2),

ti'W,^1 СД jiMu,)]^ (8)

tiV-i^^K1^ s с»>-<"'-'Ч<я,-п>. <9)

п= 1

де J - число стор!н многокутника, а - довжина його стор!н. Коеф1ц!внти C(f\ знайдемо з умов р!вност! площ !

л 1 -1

полярних момент!в 1нерцИ цих площ правильних многокутник!в

з прямол!н1йниш i кривол!н!йними сторонами, до яких при N:>2

долучено умот р1вноста полярних момент!в цях площ вищих порядк!в.

Щсля внесения в крайову умову задач! Неймана (7) замасгь аф!кса г^21 точки контура Ь23> його виразу (9), отримано не-ок!нченну систему незалекних алгебщчтх р!внянь етосовно коеф!1дент!в А^ розкладу (6)

к = 1

7(3) 2 _

Матриця ерм!това (самоспряхсена): -

При 1=2 с^'1=с2п_1(а2), а2=Ь2/а2 (а2>Ь2) параметричне р!вняння (8) описуе прямокутник з заокругленими вершинами.

Одержано формули для обчислення дотичних напружень г 1 X в точках поперечного перер!зу призматичного стержня Б з ПАМ 1 його жорсткост! при крученн!.

Проведно числовий експеримент за одержанши формулами у випадку задач! кручення призматичного стержня з ортотропного матер!алу, проф!ль якого мае форму правильного: квадрата, шестикутника, восьмикутника 1 прямокутника з заокругленкими вершинами.

Законом!рн!сть розпод!лу дотичних напружень т , т , 1

22 у г

граф1чно забранен! ешорами. Жорстк!сть на кручення показана числом.

Трет1й_розд1л присвячевий побудов! розв'язку крайовог задач! чистого кручення призматичного стержня з ПАМ двозв'язно-го профалю Б, обмеженого простими контурами Lí 1 Ь2*

Аф!кси точок контурАв Ь, ! I'31 (./= 1,2) областей 5 !

/ з \ ^ ^ ^

5 в координатах ж 1 у одержимо з р!внянь (3) ! (4), якщо в них зам!нити !ндеко "2" на (,/=1,2).

У двозв'язн!й облает! 5{э> система степеневих функц!й Й,2'") (7г=ТТ») (г*0,<я) складае повну (замкнуту) систему, за якими розкладаеться в ряд будь-яка функц!я, голоморфна в 5.

Дов!льну функцию ?3(23), яка входить в крайову умову задач! Неймана (2), посл!довно ототокнюемо з степеневими функц!ями 1 г~3п: (п=Т^).

Таким способом зам!яимо крайову умову задач! Неймана (2) ¡ами н

4 4 _

2/Г

неск!нченними системами незалежних крайових умов

(3)

О)

(12)

(3)

2/Г ■{ 3

Ь

Комплексна функц!я кручения <р_(г ), голоморфна в 513>, шукаеть-

ся у вигляд! степеневого ряду

3

да со

Фзиз)= Е + I

к = 0 к = 1

(13)

П1сля внесения функцП (13) у крайов! умови (12), отримае-маемо нескэ.нченн1 системи незалежних лшхйних алгебричних р!в-нянь стосовно коеф!ц1ент!в В^3)

I Г П . 1X1 , _ . Г п

г /Г } Т3 < * £ в?> | тз Л

и ^ 1 * к в 1

к = 1

.{Э>

3

•О)

= Г

2/Г

■<3)

Е I '

К т(3)

а>

Е

к =

В"» [ т3""<=

т<3)

(14)

-<3)

Досл!даена крайова задача кручения призматичного стержня з ПАМ, двозв'язний проф!ль якого 5 обмежений правильними кон-центричними многокутниками Ь^ 12 з заокругленими вершинами.

Аф1кои точок контур!в Ь , Ь2 ! Ь|3>, 1 двозв'язних областей 5 ! 31 в координатах х,у одержушъся з р!вняння (8) ! (9), якщо в них зам1нити 1ндекс "2" на !ндекс ,

Яы1-1(0+ ^ сп1-1а_<п1"1>) (15)

П = 1

к = 1

.(2)

Крайова умова задач! Неймана (14) з врахуванням (16) вводиться до неск!нченних систем незалежних алгебричних

стосовно коеф1ц1ент1в Ак 1 Вк

<I * ьп

со со

£ АА+ £ ДА= к«=1 к = 1

Е с л + г а в = ея<з

, , й к , , пк к N1-1 !. к = 1 к»1

а , = Г^а-ил'Лг^- Уп+к1^)).

(П=7,оо), (71=ТТоо) ,

равнянь

(18)

п. [т<Ь1в>3 1 г

пк

пк

гяГ

<л"

N1-1

(0)^^,(0) (м.2).

-(3!

-к-2

Ш(2)_ -„♦куСП) пк пк

пк

-¿Г I *(Л

(а) (/=1,2),

-к

N1-1

:19)

Iе.31

пк

Ш'-*1] ерм!тов1: К'^^К'^,

пк пк кп

* и

пк

кп

/=1,2)

Матриц!

При 1=2 С2п-1=С2п-1 ^ ^ ' аГЬА параметричн! рхвняння (15)(/=1,2) описують котттури I ! Ьа, що

обмекують концентричной прямокутник з заокругленими вершинами Б.

Розглянут! також крайов1 задач! кручення призматичних

стеркн!в з ПАИ, двозв'язний профиль яких 5 обмежений дов!льни-

ми концентричними ел!псами, прившгьним многокутником 1 колом,

колом ! многокутником, прямокутником ! колом, колом 1 прямокут-

ником, прямокутником ! ел1псом з заокругленими вершинами.

Аф1кси точок контурхв X , Ъ ! Ь<3), 1[31 перел!чених ви-

(41

ще даозв'язних областей 5 1 £г одержуються безпосередньо з р1внянь (15)—(17) при такому вибор! закону змани коеф!ц!ент!в цих р!внянь |с

п 1 — 1

в сегмента (17), щоб пром!жний контур Ь ввд!в всю область 5 в1д граничного контура £ до граничного контура 12. Лля реал!зацИ ц!е£ умови закон зм!ни коеф!ц!ент!в Iс , в сегментах (17) можна задати або виразом

П 1 — 1

1 -а

П 1 — 1

п 1 — 1

/ +а

а

п 1-1

'п I — 1

1 - с,,.,

т^тГГ

(П=ТЛП, (20)

або виразом ^ _а

1сп]_1|= 1 приабо >2 (п=Т71). (21)

п I -1

Для цил!ндричного стержня, проф!ль якого обмежений довхль-ними концентричними ел1псами Х^ (о=Ь,2), функ-ц!я (16) з врахуванням (20) набувае вигляду (1=2, №=1)

х|л(о)=(а+и'а_1)4(?-а^/(/4а])(а-14т^а), н[})=-^аА1ш}) (22) а у випадку ексцентричних ел!пс!в - вигляду

... (Ыа.ц_ )а -КЖа.Юст""1 - 2с.

X л(а)=-^----^-1 и=1.2) (23)

1 <Ыц_ )(?+с3 -с .(а+а )]

3 j J

Виведен! формули для обчислення дотичних напружень % , х , X 1 1 в точках поперечного перер!зу призматичного

У2 ВТ П5Р

стержня Б з ПАМ 1 його жорстк!сть при крученн!.

Числовий експеримент проведений для дил!ндричних 1 приз-матичних стержн!в з ПОМ, двозв'язний проф!ль яких Б обмежений концентричними ел!псами, под!бними концентричними квадратами, шестикутниками, восьмикутниками 1 прямокутниками, концентричними прямокутником 1 квадратом, квадратом 1 колом, шестикутни-ком 1 колом, восьмикутником 1 колом, колом 1 шестикутником, колом 1 восьмикутником з заокругленими вершинами.

Значения дотичних напружень т^ 1 х^ в точках, розташова-них по осях координат х ! у, напруження т^- в точках контур!в

L1 ! 12, що обмежують двозв'язний цроф!ль S, граф!чно зображе-Hi егпорами. Жорсткхсть С на кручення визначена чисельно.

основн! равняння та сп!вв!дношення cywicHoro кручення i простого згину поперечною силою Р призма-тично! консол! з ПАМ записан! в комплексних зм!нних z3 i z3. Проблема визначення функцП 112{х,у) методу перем!щень (ff^W^^) зведена до внутр!пшьо2 крайово! задач! Неймана

L*W2(x,y)=0 (x.yeS), АдгасПГ3*991'(8)+^Р^з) (sei), (24) де /(s) i f[(s)- в!дом! функцИ, S- m+7 зв'язний проф!ль стержня, обмежений простими замкнутими контурами I-L,+L +—+1

12 1

Крайова умова задач! Неймана (24) в диференц!альн!й форм! редукована в крайову умову в !нтегральн!й фор-ii

J i W^hV-

гсз)

V Р т _

ЯГ [(3)3 31 3 3 3

Дов1льна фунюдя ?_(2„) 1 комплексна функц!я Ф_„(г_) ме-

3 3 03 .3

тоду перем!щень голоморфа! в ггг+/ -зв'язн!й облает! Б , обме-жен!й простиш контурами 1(3)=1<31+Ь^3)+...+Ь<3);

12 га+1

№2(х,у)=2йеф (2 )- розв'язок р!вняння I № =0 (24) в облает! £> ;

Ф3(2Э)=Е <3)гп(2з-гзк) 4фЭ0(2з) Ц^35), (26) к = 1

РУи А

<3>=----> (27)

к 4%Ъ/Г А-1 4%1/Г

площа, обмекена контуром 1к, уко~ координата центру ваги площ! 5к(Р~ТТт).

Для розв'язност! крайовох задач! Неймана (24) стагичний момент площ! проф!лю 5 вхдаосно координатной ос! Ох повинен дор!внювати нулев1.

Крайова умова (25) задач! Неймана (24) для двозв'язного проф!лю 5, обмекеного правильними концентричними многокутника-ш ^ 1 12 з заокругленими вершинами, що -описуються параметричними р!вняннями (15)-(1б), аналогачно крайов!й умов! (2) задач! Неймана (1) для чистого кручення, редукована до система незалежних крайових алгебричних р!внянь, аналог!чних р!внянням (18)

£ о А +£ Ь А= ^ ~1(<3)и •

, , лк к , , пк к п О N1-1 л 1 п

• 2 (28) Е С л +1 й в = £Рс +^2)я'3>,сг -т(э)7 (п=775).

, , пк к , , пк к п О N1-1 п 1 п

к«1 к=1

± п 2/Г1

о ,, й , обчислюються за формулами (19).

пк пк

У додатку подан! таблиц! з числовими значениями дотичних напружень % ■ , % х 1 % , одержаних щж чисельному експеримент! на комп'ютер! 1ВЯ-286РС, ! 1х граф!чне зображення епюрами на проф!лях стерхн!в з прямол!н!йно-ортотропного матер!аду.

Основн! результата робота. 1- Задача чистого кручення ! поперечного згину призматичного

стержня з ПАМ багатозв'язного проф!лю зведена до узэгальнено! внутр!шньо1 задач! Неймана (метод перем!щень), або узагальне-но! внутр!шньо! задач! Д!р!хле (метод напружень). 2. Крайова умова Неймана в диференц!альн1й форм! задач! кручения перетворена в умову в !нтегральн!й форм!, що м1стить дов!ль-ну фушсц!ю, голоморфну в багатозв'язн!й облает!, яка одержуеться з облает! проф!лю стержня аф!нним (не конформним) перетворення. 3- Для двозв'язно!'(однозв'язно!) облает! крайова умова задач! Неймана замшена двома (одн!ею) неск!нченними системами неза-лежвих крайових умов, що м1стять комплексну функц!ю кручення.

4. Коеф1ц1енти, що входять у розклад функцП кручення степене-вим рядом, визначаються з двох (одн!е£) неск!нченних систем л1н!йних алгебричннх р!внянь.

5. В зам!ну методу конформного воображения, який у розгляду-ваному випадку взагал! не застосований, розроблений анал!тичний алгоритм обчислення коеф!ц!ент!в параметричного р!вняння кон- " тура, що обмежуе лроф!лъ стержня ! вибраного за одну з криво-Л1н!йних координат.

6. Задача сум!сного кручення ! згину поперечною силою призма-тично! консол! з ПАМ багатозв*язного проф!лю, як 1 в задач! кручення, зведена до узагальнено! внутр!шьо!1 задач! Неймана. Крайова умова Неймана в диференхц альнай форм! зам!нена крайо-вою умовои в !нтегральн!й форм!, яка для двозв'язного проф!лю редукована до двох (одн!е!) неск!нченних систем незалежних крайових умов, ¡до м!стять шукану функц1ю методу перем!щень -не--ремадешп Коеф1ц!енти розкладу функцИ в степеневий ряд визначаються з систем незалежних алгебричних р!внянь.

Основн! результатадисертацП в!дображен! в публ!кац!ях:

1. Мартынович Б.Т., Мартынович Т.Л. Применение интегральных уравнений к решению задач кручения прямолинейно-анизотропных стержней. Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1984, N2, с.112-118.

2. Мартынович Т.Л., Задворняк М.И. Мартынович Б.Т. Применение методов теории потенциала к краевым задачам о продольном сдвиге и чистом кручении прямолинейно-анизотропного тела. В кн.: Матер. 2-й Всесоюзн. техн. конференции "Прочность, жесткость и технологичность изделий из композиционных материалов".

Ереван: Изд-во Ереван, ун-та. 1984, т.2, с.174-178.

3. Мартынович Б.Т. Решение задачи о чистом кручении изотропных, призматических стержней сплошного сечения с использованием формулы Грина. Ред. курн. "Физ.-хим. мех. материалов" АН УССР.

- Львов, 1990, 23с.- Деп. в ВИНИТИ, 12.09.90, №5023-В.90.

4. Мартынович Б.Т. Решение задачи о чистом кручение прямолиней-но-ятшпотропннх призматических стержней сплошного сечения с использованием формулы Грина. Ред. курн. "Физ.-хим. мех. материалов" АН УССР.-Львов, 1990, 18с.-Деп. в ВИНИТИ, 12.09.90, Я5020-В.90.

5. Мартынович Б.Т., Мартынович Т.Л. Совместное решение, задачи о чистом кручении и простом изгибе изотропной призматической консоли поперечной силой о использованием формулы Грина. Ред. журн. "Физ.-хим. мех. материалов" АН УССР.-Львов, 1990, 22с.- Деп. в ВИНИТИ, 12.09.90, ¿Г5024~В.90.

6. Мартынович В.Т., Мартынович Т.Л. Совместное решение задачи о чистом кручении и простом изгибе прямолинейно-анизотропной призматической консоли поперечной силой с использованием формулы Грина. Ред. журн. "Физ.-хим. мех. материалов" АН УССР.

- Львов, 1990, 26с.-Деп. в ВИНИТИ, 12.09.90, В007-В.90.

7. Мартынович Б.Т., Мартынович Т.Л. Применение интегральных уравнений к совместному решению задачи о чистом кручении и простом изгибе прямолинейно-анизотропной консоли поперечной силой. Ред. журн. "Физ.-хим. мех. материалов" АН УССР.- Львов, 1990, 17с.- Деп. в ВИНИТИ, 12.09.90, ¡У5009-В.90.

8. Мартынович Б.Т., Мартынович Т.Л. К решешго задачи о чистом кручении и простом изгибе прямолинейно-анизотропной консоли поперечной силой. Прикл. механика, 1992, т.28, Ю, с.54-61.

9. Задворняк МЛ., Мартинович Б.Т. Розрахунок напруженого стану при поперечному згин! ан1зотропно2 консол1. В1сн. Льв1в. пол!техн. 1н-ту "Резерви прогресу в арх1тектур! та буд1вництв1".

1992, N262, с.29-32.

10. Задворняк М.1., Мартинович Б.Т. Поперечний згин ан1зо-тропно! консол! з поздовжньою порожниною. В1сн. Льв1в. пол1-техн. 1н-ту "Резерви прогресу в арх!тектур! та буд1вництв1".

1993, N271, с.33-37.

Мал. I

Мал. 2

Мал. 3

лг.вг/аг°1.0 ¡¡ = а/аг* 0.5 g = Ass/A<b У. -^-L///\ 0.5%, -X i—1 "ÀTn \I ?

( jjs. / Г?

—i---—g- 1 g=1 \Ш2 2 S'4 4 oJ^r^fti J Г-. Ш. / 0 mal

Мал. 4

fían. 6

- ra -

Мая. 9

ABSTRACT. Martynovyoh В.Т. Analytical solution oi boundary problems of torsion and bend of straight-anisotropic prismatic rods of one- and two-link profile.

Thesis for obtaining the academic degree of the Candidate of Physico-Mathematical Soences in speciality 01.02.04 -Solid Deformation Mechanics. Lviv State Politechnic University, Lviv,1996.

The problem of pure torsion and straight bend of a prismatic multi-link profile rod from straightline-anisotropic material is reduced to the Neiman's generalized problem. The Nei-rnan's boundary condition is transformed to the condition in the integral form with a random holomorphic function. For the rod's two-link profile, the Neiman'e boundary condition, is reduced to two infinite systems of independent boundary conditions, with the complex torsion function. The torsion function decomposition coefficients are calculated from the independent algebraio equation sets.

Similarly to the torsion problem, the problem of joint torsion and bend by transverse forse of the prismatic console from the straightline-anisotropic material is reduced to the solution of the independent equation sets. Numeric experiment has been carried out for orthotropic prismatio rods of one-and two-link profiles of varions configurations.

АННОТАЦИЯ. Мартынович Б.Т. Аналитическое решение краевых задач кручения и изгиба прямолинейно-анизотропных призматических стержней одно- и двусвязного профиля".

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04.- механика деформированного твердого тела. Государственный университет "Львовская политехника". Львов. 1996.

Задача чистого кручения и прямого изгиба призматического стержня многосвязного профиля из прямолинейно-анизотропного материала (ПАМ) сведена к обобщенной задаче Неймана. Краевое условие Неймана преобразовано в условие в интегральной форме, содержащее произвольную голоморфную функцию. Для двусвязного профиля стержня краевое условие Неймана редуцировано к двум бесконечным системам независимых краевых условий, содержащих комплексную функцию кручения. Коэфишенты разложения функции кручения определяются из систем независимых алгебраических уравнений.

Задача совместного кручения и изгиба поперечной силой призматической консоли из ПАМ, аналогична задаче кручения, сведена к решению систем независимых уравнений. Численный эксперимент проведен для ортотропных призматических стержней одно- и двусвязных профилей различной конфигурации.

Ключов! слова: анхзотропн!, ортотропн!, стержн!, задача Неймана, Д1р1хле, Оагатозв'язний проф!ль, двозв'язний профиль, многокутний профиль, кривол!н1йн1 кординати, кручення, згин, дотичн! напруження, жорстк!сть.