Аналитическое решение задачи дифракции на двумерном полубесконечном рассеивателе с идеально проводящей линейно ломаной границей тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

На правах рукописи

Весник Михаил Владимирович

АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ НА ДВУМЕРНОМ ПОЛУБЕСКОНЕЧНОМ РАССЕИВАТЕЛЕ С ИДЕАЛЬНО ПРОВОДЯЩЕЙ ЛИНЕЙНО ЛОМАНОЙ ГРАНИЦЕЙ

01.04.03 - Радиофизика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2005

Работа выполнена в Институте радиотехники и электроники Российской Академии наук (ИРЭ РАН)

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук В.А. Калошин

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук.

профессор

А.Г. Кюркчан;

доктор физико-математических наук А.Д. Шатров

Московский физико - технический институт

Защита состоится 17 февраля 2006 года в 10 часов на заседании диссертационного Совета Д 002.231.02 при Институте радиотехники и электроники РАН по адресу. 125009, Москва, ГСП-9, ул. Моховая, д. 11, корп. 7;

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИРЭ РАН.

Автореферат разослан 16 января 2006 года.

Ученый секретарь диссертационного Совета доктор физико-математических наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы. Исследование дифракционных процессов проводится при помощи аналитических, численных и численно -аналитических методов. К настоящему времени строгие аналитические решения краевых задач теории дифракции получены лишь для небольшого числа простейших структур. Поэтому исследование дифракционных процессов проводится в основном при помощи численных и численно - аналитических методов. К численным методам, предусматривающим минимальную предварительную аналитическую обработку задачи, относятся метод интегральных уравнений, метод конечных разностей, метод конечных элементов, метод автономных блоков и т.п. К численно - аналитическим методам, предусматривающим предварительную аналитическую обработку задачи, относятся метод коллокации, метод продолженных граничных условий и др.

Численные и численно - аналитические методы являются наиболее гибкими и универсальными. Однако при больших размерах рассеивающих тел возможности численных методов резко ограничиваются объемом ресурсов ЭВМ. Кроме этого, к числу недостатков численных методов следует отнести невозможность их непосредственного применения для решения обратных задач и сложность физической интерпретации полученных результатов.

Для решения как прямых, так и обратных задач рассеяния на телах с кромками используются также асимптотические методы. Они в значительной степени свободны от недостатков численных методов, поскольку не зависят от ресурсов ЭВМ и допускают физическую интерпретацию полученных результатов. Однако точность асимптотических методов уменьшается с уменьшением размеров рассеивающих объектов. Кроме того, невозможна точная оценка погрешности внутри самого асимптотического метода.

Строгие аналитические методы решения краевых задач занимают в математической физике особое место. Несмотря на то, что они приложимы к сравнительно узкому классу модельных задач, полученные с их помощью решения представляют, большую ценность, поскольку могут служит|> для развития

С Петербург *- л '

численных или приближенных методов расчета. При использовании аналитических методов решение краевой задачи выражается непосредственно через элементарные или специальные функции (точно или асимптотически). К строгим аналитическим методам относятся метод разделения переменных, метод Винера - Хопфа, а также метод сшивания, квазистатический метод и др.

Первое строгое решение задачи дифракции было получено А. Зоммерфельдом при рассмотрении двумерного случая падения плоской волны на бесконечно тонкую идеально проводящую полуплоскость. Зоммерфельд построил разветвленное решение волнового уравнения, однозначное на римановой поверхности с точкой ветвления в вершине клина, при помощи эвристического метода в виде интегрального представления. Этот метод получил название «метод разветвленных решений Зоммерфельда», а интеграл - «интеграл по плоским волнам». Решение Зоммерфельда было использовано при построении эвристических методов для расчета дифракции на телах с кромками: физической теории дифракции (ФТД) П.Я. Уфимцева и геометрической теории дифракции (ГТД) Дж. Б. Келлера. Дальнейшие работы в этой области были направлены, главным образом, на применение асимптотических методов к решению конкретных задач.

В данной работе получено интегральное представление аналитического решения задачи дифракции плоской и цилиндрической волны на классе рассеивателей, представляющем собой двумерные полубесконечные тела с огибающей в виде ломаной линии. Для случая клина интегральное представление совпало с зоммерфель-довским. Результаты проверены на полупластине с конечной толщиной, для которой можно получить асимптотические решения. Сравнение показало хорошее совпадение результатов.

Целью работы является получение интегрального представления для аналитического решения задачи дифракции на двумерных полубесконечных идеально проводящих рассеивателях с линейно ломаной границей, а также проверка его на решении конкретной задачи - дифракции на полупластине с конечной толщиной.

Для достижения данной цели потребовалось решить следующие задачи:

1) сформулировать основные принципы нового метода аналитического решения задачи дифракции на двумерных полубесконечных идеально проводящих рассеивателях с кромками;

2) построить интегральное представление решения задачи;

3) исследовать это представление при помощи метода стационарной фазы и получить решение общего вида, справедливое в рассматриваемом классе задач для рассеивателей различной формы;

4) для относительно тонкой полупластины получить решение новым методом, а для относительно толстой полупластины получить решение методом последовательных дифракций;

5) двумя указанными выше методами провести расчет поля вблизи от рассеивающей кромки и в дальней зоне (т.е. провести расчет диаграмм рассеяния), сравнить полученные результаты;

6) для случая затененного торца полупластины провести сравнение коэффициента отражения от торца с данными, известными из литературы.

Научная новизна полученных результатов:

1) сформулированы основные принципы нового метода получения аналитических решений задач дифракции, позволяющего найти интегральные представления решения во вспомогательной области комплексного переменного, которая образуется при помощи теории конформных отображений;

2) на основе нового метода впервые получено в виде интегрального представления общее аналитическое решение задач дифракции, справедливое для идеально проводящих полубесконечных рассеивателей с размерным параметром, форма которых отличается от клиновидной;

3) впервые получено аналитическое решение для задачи дифракции электромагнитной волны на полупластине, справедливое при малых расстояниях от источника до рассеивающей кромки.

Практическая полезность результатов работы состоит в возможности получения при помощи разработанного метода новых аналитических формул для двумерных задач дифракции. Эти формулы могут быть использованы непосредственно при решении различных задач прикладной электродинамики и акустики. Кроме того, полученные формулы могут быть использованы при построе-

нии решений более сложных задач методом сшивания, для проверки точности и эффективности разрабатываемых асимптотических и численных методов, а также в качестве ключевых задач при построении сложных вычислительных алгоритмов, требующих большого объема вычислений.

На защиту выносятся следующие положения:

1) новый метод аналитического решения задач дифракции на двумерном полубесконечном рассеивателе с идеально проводящей линейно ломаной границей;

2) аналитическое решение задачи дифракции плоской электромагнитной волны на полупластине, справедливое при малых толщинах полупластины.

Апробация результатов. Результаты, вошедшие в диссертацию, получены автором в период с 1998 г. по 2005 г. Они докладывались и обсуждались на семинарах ИРЭ РАН, в том числе на Московском электродинамическом семинаре, а также на семинарах «Математическое моделирование волновых процессов» (МФТИ, РОСНОУ) и «Граничные задачи электродинамики» (кафедра математики физического факультета МГУ). Также результаты работы были представлены и обсуждались на следующих научных конференциях:

- АР 2000 Millenium Conference on Antennas & Propagation, Davos, Switzerland / April 9-14, 2000;

- }2emes Journées Internationales de Nice sur les Antennes (12th International Symposium on Antennas) (JINA), 12-14 November 2002, Nice, France;

- International Seminar Day on Diffraction, Saint Petersburg, June 24-27,2003;

- IVth International Conference on Antenna Theory and Techniques (ICATT), 9 - 12 September 2003, Sevastopol, Ukraine;

- 17th International Conference on Applied Electromagnetics and Communications - ICECom 2003, Dubrovnik, October 1 -3, 2003

- Третьей Всероссийской конференции "Необратимые процессы в природе и технике" 24-26 января 2005 г. - М., МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2005

Публикации. Основные результаты диссертации опубликова-

ныв 10 работах, которые приводятся в списке основных публикаций по теме диссертации [1 - 10].

Вклад автора. Результаты, изложенные в диссертации, получены автором самостоятельно.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из Введения, трех глав, Заключения и списка литературы. Работа содержит 85 печатных страниц, включая 14 рисунков. Библиография включает 43 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во Введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, сформулированы ее цель и задачи, научная новизна и практическая ценность полученных результатов, а также выносимые на защиту положения и результаты.

В первой главе диссертации изложены основы нового метода («метода обобщенного эйконала»), который позволяет построить интегральное представление аналитического решения задачи дифракции при помощи метода конформных отображений. В данной работе класс рассматриваемых объектов ограничен двумерными полубесконечными идеально проводящими рассеивателями с линейно ломаной границей.

В разделе 1.1 рассматривается электромагнитная волна Р=Лехр(/5) (А - амплитуда, 5 - эйконал, / - мнимая единица; Р, А и Б зависят от координат), распространяющаяся в двумерном безграничном пространстве и удовлетворяющая однородному волновому уравнению Гельмгольца с постоянным волновым числом. В рассматриваемое пространство вносится двумерный идеально проводящий полубесконечный рассеиватель (рис. 1 (а)). Требуется найти решение краевой задачи для полного поля £/. Искомое решение должно удовлетворять волновому уравнению, граничным условиям Дирихле или Неймана на поверхности рассеивателя, условию излучения и условию Мейкснера на ребрах.

Рис. 1

В разделе 1.2 излагаются основы нового метода. Для решения краевой задачи предлагается совершить несколько шагов. Вначале осуществляем конформное отображение верхней полуплоскости м> (рис. 1(в)) на внешность рассеивателя г (рис. 1(6)). Граница рассеи-вателя в области 2 будет соответствовать горизонтальной оси в области а граничные условия на ней в области м> в силу свойств конформного отображения останутся теми же. Функция Р, удовлетворяющая в области г волновому уравнению с постоянным волновым числом, будет удовлетворять волновому уравнению с переменным волновым числом в области м>, причем волновое число будет зависеть от координат по закону \ск/(Щ. При этом исходная краевая задача в области г сводится в области и' к задаче рассеяния на неоднородности диэлектрической проницаемости в полупространстве, ограниченном идеально проводящей плоскостью (рис. 1(в)). Далее, в соответствии с принципом зеркальных отображений

б

заменим идеально проводящую плоскость полной плоскостью м>п (рис. 1(г)). Неоднородность волнового числа в нижней полуплоскости будет симметрична неоднородности в верхней полуплоскости относительно горизонтальной оси плоскости м>12. Теперь исходная краевая задача в области г сводится уже к поиску непрерывного поля рассеяния на неоднородности диэлектрической проницаемости в безграничном пространстве Если перейти обратно к задаче рассеяния на неоднородности волнового числа в полупространстве м>, ограниченном идеально проводящей плоскостью, то можно удовлетворить граничным условиям первого или второго рода на горизонтальной оси, если сложить или вычесть значения поля в точках, расположенных симметрично относительно нее. Таким образом, для решения граничной задачи остается найти непрерывное выражение для полного поля и в безграничном пространстве м>12 с переменным волновым числом.

С этой целью построим вспомогательную область и\ В выражении чг^ъехрафу,) зафиксируем в точке наблюдения и^ значение радиальной переменной г„=\м>о\=г„о, а угловую переменную <р„ будем полагать комплексной <ркс, такой, что на окружности г„=г„0 выполняется (р^—Ц)^. Подставив эти значения в выражение для м>, получим новую переменную м>=/-иЮехр(/9>и,с). Подставив эту переменную вместо м> в выражение для получим новую функцию которую назовем «обобщенная функция геометрической оптики». Можно показать, что в отличие от функции Р в области функция будет аналитической в области м>.

При помощи теоремы Коши о вычетах построим интегральное представление по замкнутому контуру функции I* в области ч>. Выделим из этого интегрального представления участки контура, на которых подынтегральная функция Р° убывает при увеличении волнового числа к. Тогда получим интегральное представление для полного поля 1/(-и>о) в точке наблюдения и^ области м>\2 (рис. 1(г)):

2 7Г1 £ гу — к^о

Здесь контур интегрирования С представляет собой сумму участков замкнутого контура в области м>, на которых функция Р° не

1

убывает при увеличении волнового числа к. Сумма интегралов по оставшимся от замкнутого контура участкам, на которых функция Р° убывает при увеличении волнового числа к, представляет собой рассеянное поле. Сумма интегралов по всему замкнутому контуру равна значению падающего поля Р(м>о) «на свету» и нулю - «в тени». Точка наблюдения н'о берется в формуле для ¿/(м^) в области -иг (т.е. лишь в верхней полуплоскости плоскости комплексных чисел), но в функцию У(м>о) может подставляться комплексно сопряженное значение м>о*, поскольку в интегральном представлении для У(м>0) аргумент может находиться как в верхней, так и в нижней полуплоскости области м> п.

В разделе 1.3 показано, что полученное интегральное представление решения удовлетворяет всем условиям краевой задачи.

В разделе 1.4 обсуждаются особенности получения решений для разных видов рассеивателей. Для клиновидных рассеивателей (не имеющих размерного параметра, такого, как, например, толщина или радиус скругления) интегральное представление дает решение, справедливое во всех точках области м>\г. Для рассеивателей с размерным параметром поиск вида переменной М> для корректной подстановки вместо м> в функцию Р(у>) может представлять определенную сложность. Поэтому предлагается в качестве решения краевой задачи использовать то же самое интегральное представление, которое было получено для клина, но не во всех точках области м>\2, а лишь в точках кривой, на которой удовлетворяется условие \с1(кг)/<1ц>\=\ (в дальнейшем эту кривую мы будем называть «кривая г^»). Подробное описание этого подхода дано в других главах.

Во второй главе диссертации проводится в общем виде приближенное вычисление интегралов, составляющих описанное выше интегральное представление краевой задачи для уравнения Гельм-гольца.

В разделе 2.1 приведено приближенное вычисление интеграла в окрестности седловой точки для обобщенной функции геометрической оптики вида Рс(м>)= ^4(н')ехр[/5с(н')]. Здесь - функция обобщенного эйконала, получившаяся в результате замены в 5(м>) переменной м> на м>. При этом предполагается, что подынтегральная

функция имеет седловые точки м>5т, в которых первая и вторая производные по ч> удовлетворяют условиям: [^(и-^,)]-О, [5с(н'1т)]"^0.

Особый интерес представляет случай двух седловых точек, когда имеется одна граница «свет-тень» для прошедшей волны и одна - для отраженной. В случае двух седловых точек формула общего вида для рассеянного поля выглядит следующим образом:

Для получения окончательного выражения нужно подставить в эту формулу значения для обобщенного эйконала 5е(н') в точке наблюдения №о и в седловых точках м>5т, а также его второй производной по м> [5с(и')]" в седловых точках.

В разделе 2.2 приведено решение для задачи дифракции плоской и цилиндрической волны на рассеивателе клиновидной формы. Функция возбуждения выбиралась в виде Р=Лехр(г'5), где в случае цилиндрической волны $=к[гг2+го2-2г2госо5(<рг-<ро)]ш, а конформное отображение выбиралось в виде кг=м>"/п. Здесь г, и г0 -расстояния от вершины до точки наблюдения и источника соответственно, (рг и (р0 - углы от верхней грани клина до точки наблюдения и источника соответственно, п=а!{2ж), а - внешний угол раствора клина. Для этого конформного отображения функция обобщенного эйконала: &=к[г22+г02-2г::госо5(п<р„с-(р0)]и2. Функция 5е исследуется на наличие седловых точек, для чего от нее берутся первая и вторая производные по м> (с учетом зависимости н,(^>и,с)=гн,оехр(/<ри,с)). Затем выражения для и [5с(н'™)]" подставляются в формулу

общего вида.

Проведя ряд преобразований в соответствии с описанной выше процедурой, получаем соотношение для седловых точек в области и>: п(р„-<ра=±п и формулу для интеграла по окрестности седловой точки:

Первый сомножитель описывает расходимость решения в зависимости от расстояний до кромки от источника (/*о) и от точки наблюдения (гг), второй сомножитель представляет собой половину дифракционного коэффициента. Полный дифракционный коэффициент получится, если сложить интегралы по окрестности всех седловых точек, а затем сложить или вычесть (в зависимости от вида граничных условий) полученный результат в точках, расположенных симметрично относительно горизонтальной оси. Третий и четвертый сомножитель описывают поведение решения в зависимости от углового расстояния до границы «свет - тень» (вдали от нее их произведение равно 1).

Устремляя го—><», можно получить выражение для дифракции плоской волны на клине, которое совпадает с хорошо известным.

В третьей главе диссертации при помощи нового метода получено решение для задачи дифракции плоской волны на рассеивателе конкретного вида, а именно - на полупластине.

В разделе 3.1 показано, что поскольку интегральное представление решения в области м>12 не зависит от вида рассеивателя, в качестве решения для полупластины можно использовать решение для клина, взятое на кривой

Как уже говорилось ранее, интегральное представление с описанной выше заменой переменной м> на н> (в этой замене ю

о

X

X

фиксируется радиальная переменная дает для случая рассея-

ния плоской или цилиндрической волны на клиновидном рассеивателе выражение для полного поля, справедливое во всех точках области и'п- Это происходит потому, что окружности г^-г^ совпадают с линиями г^г^, или \с1(Ь)/с1и>\=сот1 для клина. Для того чтобы и в случае рассеивателя с размерным параметром получить решение, справедливое во всех точках области м>12, нужно подобрать такую замену переменной, чтобы на линиях \с1(кг)/сЫ>\=сопз1 1 функция была аналитической. Такой подбор может представ-

лять собой непростую математическую задачу, поскольку на ^ линиях Щ1&)/(}м\=сот1, отличающихся по форме от окружностей,

радиальные переменные г№ и г2 зависят от угловых переменных и не являются постоянными, как в случае клина.

В данной работе предлагается другой подход, обладающей большей простотой и универсальностью, хотя и не являющийся строгим. Мы используем уже имеющееся решение на клине для нахождения решения на рассеивателях сложной формы. Полученное интегральное представление с описанной выше заменой переменной м> на м> дает для случая рассеяния плоской или цилиндрической волны на клиновидном рассеивателе выражение для полного поля, справедливое во всех точках области м>п- Если использовать это же интегральное представление для случая рассеивателя с размерным параметром, то оно будет соответствовать задаче рассеяния в неоднородной среде. Однако если взять значения поля на кривой, где \сЦкг)/сЫг\=\, а затем продолжить его в остальные точки области г уже в однородной среде, то можно получить решение требуемой задачи рассеяния.

Кривая гм может быть односвязной и многосвязной. В случае многосвязной кривой гм процессы взаимодействия поля с рассеива-телем локализуются в окрестности кромок, и их следует рассматривать по отдельности. В случае односвязной кривой гм она охватывает обе кромки полупластины, при этом процесс дифракции на обеих кромках можно рассматривать как единое целое. Размещение кривой гм в области, где существует решение для клина, должно сопровождаться предварительной нормировкой этой кривой.

и

В разделе 3.2 приведены конформное отображение и производная для полупластины с конечной толщиной. Этот вид рассеивателя был выбран потому, что он соответствует исследуемому классу задач, имеет размерный параметр (толщину кк, к=2ж/А -волновое число, Я - длина волны, А - размерная толщина полупластины), и для него существует явный вид конформного отображения. Кроме того, для этого рассеивателя имеются данные в литературе, с которыми можно сравнить новые результаты. Установлена связь между волновым числом и параметром, определяющим форму кривой, на которой ищется решение.

В разделе 3.3 получено решение задачи рассеяния на кривой г</а. Рассматривается случай падения плоской волны на полупластину под углом 40°, т.е. таким образом, что торец последней остается в тени. Для этого случая все особенности решения проявляются особенно четко. При этом на поверхности полупластины оказывается лишь одна точка (освещенная вершина), лежащая на границе тени. Случаи скользящего падения и освещенного торца не рассматриваются, поскольку в получении решения принципиально ничего не меняется, но само оно становится более громоздким в связи с удвоением количества границ «свет - тень». В то же время, целью данной работы является не всестороннее исследование рассеивателя конкретного вида, а проверка справедливости нового интегрального представления. Кроме того, в случае торцевого падения исчезает интересная для изучения область глубокой тени. Решение для полупластины строится на основе решения для клиновидного рассеивателя, т.н. «эквивалентного клина». Параметры эквивалентного клина выбираются таким образом, чтобы после конформного отображения из области и'п в область г границы «свет - тень» эквивалентного клина совпадали с границами «свет - тень» для полупластины.

В разделе 3.4 получение окончательного результата достигается путем проведения нормировки по мощности, являющейся важной частью решения задачи. Нормировка требуется в связи с тем, что в ходе перехода при помощи конформного отображения решения из области »126 область г может происходить изменение длины и кривизны участка кривой гм в указанных областях. При

этом происходит изменение амплитуды поля, которое необходимо учесть. Этот учет проводится на основе принципа сохранения энергии внутри лучевой трубки. Кроме этого, проводится нормировка решения на основе закона сохранения полной энергии, распространяющейся через всю кривую гм. Эта нормировка осуществляется путем сравнения длины кривой гм в областях н>12 иг, а также путем сравнения в разных областях длины окружности, играющей роль кривой г ¿а для эквивалентного клина.

В разделе 3.5 получено приближенное решение задачи дифракции плоской волны на клине методом последовательных дифракций (МПД) для случая, когда торец и вторая вершина полупластины находятся в тени. Вначале рассматривалось падение плоской волны под углом 40° на клин с п=3/2, вершина и направления граней которого совпадают с вершиной и направлениями граней полупластины в освещенной вершине. Затем рассматривалась дифракция источника цилиндрической волны, расположенного в месте освещенной вершины полупластины, на клине с п=3/2, вершина и направления граней которого совпадают с вершиной и направлениями граней полупластины в теневой вершине. И, наконец, рассматривалась вторичная дифракция волны, рассеянной теневой вершиной полупластины, на ее освещенной вершине. Таким образом, МПД решение построено при помощи учета трех последовательных дифракций на вершинах полупластины.

В разделе 3.6 проведено сравнение результатов численного расчета для решения, полученного методом обобщенного эйконала, с решением, полученным методом последовательных дифракций, а также с данными из независимых источников. Сравнение проводилось для случая падения плоской волны на полупластину под углом 40° по отношению к горизонтальной оси. На левых графиках показаны амплитуды решений задачи дифракции на полупластине, полученные при помощи метода обобщенного эйконала (обозначение МОЭ, на графике показаны сплошной тонкой линией), при помощи метода последовательных дифракций (обозначение МПД, на графике показаны пунктиром) и для сравнения приведено решение задачи рассеяния на полуплоскости (обозначение ПП, на графике показаны точками). Значение угла наблюдения (рг (обозна-

kh = 1 571

kh= 12

-360-270-180 "90 0 90 180 270 360 *J

0 45 90 135 180 225 270 315 360 ♦j

-360-270-180 -90 0 90 180 270 360 ♦l

0 45 90 135 ISO 225 270 315 360

чение на графиках <pj) меняется в области z от -360° до 360° (т.е. изменение угла происходит в двух листах области z). На правых графиках показаны соответствующие решения для двух видов граничных условий (U=0 - нижняя группа кривых), (dUldn=0 - верхняя группа кривых). Значение размерного параметра kh выбиралось равным я/2 (h=X!2), 1.2, 0.8, 0.4, 0.04 и 0.004. Ниже приведены результаты расчета амплитуды поля на кривой гЛ для значений kh равных л/2, 1.2 и 0.004. Видно, что на начальном этапе при уменьшении размерного параметра МОЭ и МПД решения совпадают. Затем при уменьшении размерного параметра МПД решение стабилизируется на кривой, форма которой отличается от правильной, в то время как решение МОЭ все лучше приближается к решению для полуплоскости.

На следующем рисунке приведено сравнение расчета коэффициента отражения плоской волны, падающей под углом 0° по отношению к горизонтальной оси, от торца полупластины, полученного при помощи МОЭ и МПД, с аналитическими расчетами, взятыми из литературы (С.М. Журав, В.А. Калошин, «Радиотехника и электроника», 1987г.).

Д. 001-q .095,

Обозначения на рисунке: LRRq - десятичный логарифм разложения коэффициента отражения от торца полупластины по прямым степеням параметра q, связанного с толщиной полупластины (£A=27r-0.01q), LRAq - десятичный логарифм разложения коэффициента отражения по обратным степеням q, ЫШПД, и LRM03q -

десятичные логарифмы коэффициентов отражения, рассчитанных при помощи МПД и МОЭ соответственно.

Сравнение показывает, что асимптотика, полученная методом МПД при помощи разложений, следующих из МОЭ, работает при всех значениях размерного параметра непрерывно (т.е. - без разбиения на участки малых и больших значений кК).

На следующих рисунках приведены примеры расчетов при кк=\2 и Ш= 0.04 десятичных логарифмов модулей Е- и Н- поляризованных диаграмм рассеяния для решения МОЭ, продолженного с кривой гм в дальнюю зону (кг2о=200), а также для решения МПД, для полуплоскости (1111) и для полуплоскости в приближении Кирхгофа (ПК).

1Л = I 2 кгсОс 200

и> = 0 04 кга0= 200

Из сравнения диаграмм рассеяния можно сделать вывод, что решение МОЭ можно использовать для описания процесса дифракции не только вблизи рассеивателя, но и в дальней зоне. Расхождение результатов в окрестности границ тени можно устранить, применив при построении решения специальные подходы (например, аналогичные методу краевых волн).

В Заключении сформулированы основные результаты проделанной работы:

1. Получено аналитическое решение двумерной задачи дифракции цилиндрической и плоской волн на идеально проводящих полубесконечных рассеивателях с линейно ломаной границей (т.е. в том числе - для рассеивателей, имеющих размерный параметр). Решение ищется на замкнутой пространственной кривой, которая строится при помощи теории конформных отображений. В дальнейшем решение может быть продолжено с этой кривой во всю рассматриваемую двумерную область.

2. Интегральное представление решения для рассеянного поля получено в виде суммы интегралов по отрезкам замкнутого контура в плоскости вспомогательной комплексной переменной. Подынтегральная функция известна и включает в себя обобщенную функцию поля возбуждения, которая получается путем введения дополнительной радиальной переменной в первичную функцию поля возбуждения. Расположение отрезков контуров в плоскости комплексной переменной определяется видом конформного отображения. Обобщенная функция поля возбуждения удовлетворяет волновому уравнению Гельмгольца в первичной двумерной области (при фиксации дополнительной радиальной переменной) и является аналитической во вспомогательной области (при фиксации первичной радиальной переменной). Показано, что интегральное представление решения во вспомогательной области является решением краевой задачи для рассеянного поля в первичной области.

3. Показано, что для полубесконечного рассеивателя клиновидной формы (в том числе - для бесконечно тонкой полуплоскости) новое интегральное представление совпадает с известным.

4. При помощи метода стационарной фазы для интегрального представления получены в общем виде приближенные выражения, справедливые во всем диапазоне углов, в том числе - вблизи границы «свет - тень». Для случая дифракции плоской волны на клине эти выражения совпадают с известными.

5. Построено решение для дифракции плоской волны на полупластине. Пример полупластины, имеющей размерный параметр (толщину) иллюстрирует рассматриваемый класс задач. Кроме того, для этого вида рассеивателя в литературе имеются данные, с которыми проводилось сравнение полученных результатов. Тем не менее, полученное интегральное представление может быть применено к более широкому классу задач. Однако подробное исследование этого вопроса выходит за рамки настоящей работы.

6. Построено решение для рассеяния плоской волны на полупластине методом последовательных дифракций. Каждая из последующих дифракций рассчитывалась при помощи асимптотик, полученных при помощи нового метода. Это решение сравнивалось с данными из литературы, а также с решением, полученным при помощи нового метода непосредственно. Сравнение показало хорошее совпадение результатов как для поля вблизи рассеивателя, так и для поля в дальней зоне (диаграмм рассеяния). Применяемые для получения решения МПД асимптотики, полученные при помощи нового метода, работают во всем диапазоне значений размерного параметра (толщины полупластины). В то же время, асимптотики, полученные ранее при помощи разложений по прямым и обратным степеням параметра, характеризующего толщину полупластины, работают либо при относительно больших, либо при относительно малых значениях размерного параметра.

7. Показано, что решение для рассеивателя с размерным параметром можно получить путем преобразования при помощи конформного отображения волнового поля, которое представляет собой решение вспомогательной задачи дифракции на клиновидном рассеивателе, причем постановка этой задачи выбирается с учетом геометрии исследуемого рассеивателя с размерным параметром. Таким образом, решение задачи дифракции можно получить, найдя

конформное отображение для соответствующего рассеивателя сложной формы.

Основные работы, опубликованные по теме диссертации

1. М.В. Весник, "Аналитическое решение краевой задачи для уравнения Гельмгольца", Радиотехника и электроника, 2000, т. 45, № 1, с. 82.

2. M.V. Vesnik "The Analytical Solution for the Electromagnetic Diffraction on 2-D Perfectly Conducting Scatterers of an Arbitrary Shape", Proceedings of AP 2000 Millenium Conference on Antennas & Propagation, Davos, Switzerland, April 9- 14,2000

3. M.V. Vesnik "Analytical solution for electromagnetic diffraction on 2D perfectly conducting scatterers of arbitrary shape", IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. 49, pp. 1638 - 1644, Dec. 2001

4. M.V. Vesnik "Analytical solution for electromagnetic diffraction on 2D half-plate with finite thickness", J2èmes Journées Internationales de Nice sur les Antennes (12th International Symposium on Antennas) (JINA), 12-14 November 2002, Nice, France vol. 2, pp. 273 - 276.

5. М.В. Весник, Аналитическое решение краевых задач для волнового уравнения с переменным волновым числом методом обобщенного эйконала, Нелинейный мир, 2003, т. 1, № 1-2, с. 55-59.

6. M.V. Vesnik "2-D diffraction analytical solutions based on method of generalized eikonal", International Seminar Day on Diffraction, Saint Petersburg, June 24 - 27, 2003, pp. 84 - 85

7. M.V. Vesnik "Method of generalized eikonal and new 2-D scattering analytical solutions", IVth International Conference on Antenna Theory and Techniques (1СATT), 9-12 September 2003, Sevastopol, Ukraine.

8. М.В. Весник, "Аналитическое решение краевых задач теории дифракции методом обобщенного эйконала", Радиотехника и электроника, 2003, т. 48, № 9, с. 1078 - 1084.

9. Michael V. Vesnik "Method of Generalized Eikonal and 2 -D Diffraction Analytical Solutions", 17th International Conference on Applied Electromagnetics and Communications - ICECom 2003, Dubrovnik, October 1 -3, 2003, pp.427 - 429

10. М.В. Весник "Получение дифракционных коэффициентов для двумерного полубесконечного идеально проводящего рассеивателя при помощи метода обобщенного эйконала", Электромагнитные волны и электронные системы, т. 9, № 11, 2004, стр. 23 - 29

Подписано в печать 27.12.2005 г. Тираж 100 экз. Объем 1.1 пл. Отпечатано в Дипломатической академии МИД России

1 (

к"

I

Î303

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность проблемы

Цель и метод исследования б

Краткое содержание

Основные результаты

1. ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ РЕШЕНИЯ

1.1 Постановка задачи

1.2 Построение «вспомогательной» области и обобщенной функции геометрической оптики

1.3 Удовлетворение условиям краевой задачи

1.4 Особенности решения

2. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ КОНТУРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ ПРИ ПОМОЩИ МЕТОДА СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ

2.1 Получение решения в общем виде

2.2 Решение задачи дифракции плоской и цилиндрической волны на клине при помощи метода обобщенного эйконала

3. ДИФРАКЦИЯ НА РАССЕИВАТЕЛЯХ С РАЗМЕРНЫМ ПАРАМЕТРОМ

3.1 Общие соображения

3.2 Дифракция на полупластине с конечной толщиной

3.3 Получение решения на заданной кривой

3.4 Нормировка по мощности

3.5 Получение решения методом последовательных дифракций

Актуальность проблемы

Исследование дифракционных процессов проводится при помощи аналитических, численных и численно - аналитических методов. К настоящему времени строгие аналитические решения краевых задач теории дифракции получены лишь для небольшого числа простейших структур. Поэтому исследование дифракционных процессов проводится в основном при помощи численных и численно - аналитических методов. К численным методам, предусматривающим минимальную предварительную аналитическую обработку задачи,, относятся метод интегральных уравнений, метод конечных разностей, метод конечных элементов, метод автономных блоков и т.п. К численно - аналитическим методам, предусматривающим предварительную аналитическую обработку задачи, относятся метод коллокации, метод продолженных граничных условий и др.

Численные и численно - аналитические методы являются наиболее гибкими и универсальными. Однако, при больших размерах рассеивающих тел возможности численных методов резко ограничиваются объемом ресурсов ЭВМ. Кроме этого, к числу недостатков численных методов следует отнести невозможность их непосредственного применения для решения обратных задач и сложность физической интерпретации полученных результатов.

Для решения как прямых, так и обратных задач рассеяния на телах с кромками используются также асимптотические методы. Они в значительной степени свободны от недостатков численных методов, поскольку не зависят от ресурсов ЭВМ и допускают физическую интерпретацию полученных результатов. Однако, точность асимптотических методов уменьшается с уменьшением размеров рассеивающих объектов. Кроме того, невозможна точная оценка погрешности внутри самого асимптотического метода.

Строгие аналитические методы решения краевых задач занимают в математической физике особое место. Несмотря на то, что они приложимы к сравнительно узкому классу модельных задач, полученные с их помощью решения представляют большую ценность, поскольку могут служить надежной основой для развития численных или приближенных методов расчета. При использовании аналитических методов решение краевой задачи выражается непосредственно через элементарные или специальные функции (точно или асимптотически). К аналитическим методам относятся метод разделения переменных, метод Винера - Хопфа, метод сшивания, квазистатический метод и др.

Метод разделения переменных пригоден для исследования рассеивате-лей, поверхности которых совпадают с одной из координатных поверхностей ортогональной системы координат. При этом ортогональная система координат должна удовлетворять определенным условиям, а решения получаются в виде рядов по специальным функциям.

Метод Винера - Хопфа пригоден для решения краевых задач для тел определенной формы, а именно - в тех случаях, когда форма тела может быть определена как сочленение двух полубесконечных подобластей, принадлежащих некоторой области, являющейся координатной поверхностью в разделяющейся системе координат [12]. В методе Винера - Хопфа отправной точкой является либо интегральное уравнение, либо уравнение в частных производных, которые преобразуются обычно в функциональное уравнение в пространстве преобразований Фурье, называемое уравнением Винера - Хопфа.

В методе сшивания неизвестное поле разлагается по собственным волнам или по пространственным гармоникам. Последующее сшивание полей приводит обычно к одной или нескольким системам линейных уравнений.

Квазистатические методы применимы при расчете дифракции на телах, размеры которых малы по сравнению с длиной волны. Наличие в задаче малого размерного параметра позволяет использовать прием, основанный на близости задачи дифракции к задачам электростатики и магнитостатики.

Первое строгое решение задачи дифракции на полубесконечных телах было получено А. Зоммерфельдом в работах [1] и [2] при рассмотрении двумерного случая падения плоской волны на идеально проводящую полуплоскость. Это решение в авторском изложении можно найти также в [3, 4]. Свое решение Зоммерфельд распространил также на двумерную задачу падения плоской волны на клин при рациональных п {тт - внешний угол раствора клина, для полуплоскости п = 2). Зоммерфельд построил разветвленное решение волнового уравнения, однозначное на римановой поверхности с точкой ветвления в вершине клина, при помощи эвристического метода в виде интегрального представления. Этот метод получил название «метод разветвленных решений Зоммерфельда», а интеграл - «интеграл по плоским волнам». Позже для систематического обоснования результата Зоммерфельда были применены метод разделения переменных [10], метод Винера - Хопфа [11,12] и метод сингулярных интегральных уравнений [17].

В работах [5 - 8] было получено обобщение решения Зоммерфельда для дифракционных задач, относящихся к случаям линейного источника и произвольного значения п. В работе [9] было получено решение, справедливое вблизи границ «свет - тень». Более поздние работы, связанные с описанием двумерной дифракции на кромках, лишь используют решение Зоммерфельда и описанные выше результаты.

Решение Зоммерфельда было использовано при построении эвристических методов для расчета дифракции на телах с кромками: физической теории дифракции П.Я. Уфимцева [10] и геометрической теории дифракции (ГТД) Дж.Б. Келлера [13 - 16]. Дальнейшие работы в этой области были направлены, главным образом, на применение асимптотических методов к решению конкретных задач.

Решение Зоммерфельда получено в виде интегралов по отрезкам контуров в плоскости комплексного переменного и выражается в виде хорошо известных специальных функций - интегралов Френеля. Сравнительно простой вид решения Зоммерфельда объясняется с физической точки зрения тем, что в задаче не содержится длин, сравнимых с длиной волны (протяженность полуплоскости бесконечно велика, радиус кривизны края бесконечно мал). В тех случаях, когда размеры дифрагирующего тела сравнимы с длиной волны, решения получаются существенно более сложными.

В связи со сказанным выше становится очевидной важная роль разработки новых аналитических методов теории дифракции. Во - первых, новые аналитические решения имеют самостоятельную ценность, поскольку позволяют непосредственно применять готовые формулы с целью решения других задач физики. Во - вторых, новые аналитические решения могут применяться при построении решений для более сложных задач, например, методом сшивания. В — третьих, новые аналитические решения могут быть использованы для проверки точности и эффективности работы разрабатываемых асимптотических и численных методов, а также использоваться в качестве ключевых задач при построении сложных вычислительных алгоритмов, требующих большого объема вычислений.

В данной работе получено интегральное представление аналитического решения задачи дифракции плоской и цилиндрической волны на рассеивате-лях, представляющих собой двумерные полубесконечные тела с огибающей в виде ломаной линии. Для случая клина интегральное представление полностью совпало с зоммерфельдовским. Результаты проверены на полупластине с конечной толщиной, для которой можно получить асимптотические решения. Сравнение показало хорошее совпадение результатов.

Цель и метод исследования

Целью диссертации является получение интегрального представления для аналитического решения задачи дифракции на двумерных полубесконечных идеально проводящих рассеивателях с кромками, а также применение его для решения конкретной задачи - дифракции на полупластине с конечной толщиной.

Получение интегрального представления проводится при помощи метода обобщенного эйконала. Сущность метода состоит в использовании интегральных соотношений, полученных для функции, аналитической (и поэтому удовлетворяющей уравнению Лапласа) в некоторой области, в качестве решения краевой задачи уравнения Гельмгольца в другой области, пересекающейся с первой. Для этого геометрооптическая функция падающего поля путем добавления дополнительной ортогональной координаты преобразуется в особую функцию (обобщенную геометрооптическую функцию). Эта функция одновременно удовлетворяет уравнению Гельмгольца в области вне рас-сеивателя («физической» области) и является аналитической в специально построенных плоскостях комплексного переменного («вспомогательных» областях). Вспомогательные области пересекаются с «физической областью» вдоль окружностей, пересекающих точки заданной кривой, удовлетворяющей определенным свойствам. Форма кривой находится при помощи теории конформных отображений. Расположенные на этой кривой точка наблюдения и седловые точки обобщенной геометрооптической функции являются общими для «физической» и «вспомогательной» областей. При помощи теоремы Коши о вычетах значение обобщенной геометрооптической функции в точке наблюдения представляется в виде замкнутого контурного интеграла во «вспомогательной» области, из которого можно выделить ряд интегралов по участкам замкнутого контура, стремящихся к нулю при уменьшении длины волны. Сумма этих интегралов, асимптотически выражающихся с помощью координат седловых точек обобщенной геометрооптической функции, и представляет собой решение для рассеянной компоненты поля краевой задачи для уравнения Гельмгольца в «физической» области.

Краткое содержание

Диссертация содержит пять глав (включая Введение и Заключение). Во второй главе настоящей работы предложен метод обобщенного эйконала, по

ВЫВОДЫ

Сходство между методами (МОЭ и МПД) состоит в том, что в обоих случаях решение получается путем обработки первичного приближения, представляющего собой решение задачи дифракции на клине, вершина которого совпадает с освещенной кромкой. Однако, как сами первичные приближения, так и способы их обработки отличаются.

МОЭ использует в качестве первичного приближения решение на эквивалентном клине с 3/2 < пе < 2, которое определено во всех точках кривой rd0. Обработку первичного приближения МОЭ осуществляет путем интегрирования поля в дальней зоне. Приближенно эту операцию можно осуществить, продолжая поле в дальнюю зону в соответствии с законом, аналогичном тому, по которому поле уходит в дальнюю зону в случае дифракции на клине, когда кривые rd0 представляют собой окружности (формула (70)).

МПД использует в качестве первичного приближения клин с внешним углом лп = З/г/2. Сигнал, рассеянный этим клином, испытывает последовательные дифракции на теневой и освещенной вершинах.

Для описания дифракции на клине в обоих случаях (МОЭ и МПД) используется первый член асимптотики, получающийся в результате применения метода стационарной фазы. Последующие члены уменьшаются пропорционально обратным степеням величины kR, где R - расстояние от кромки до точки наблюдения в области z. Кривая rdQ находится вблизи от кромки, поэтому описание поля на ней будет неточным в обоих случаях (МОЭ и МПД ). Однако, в большинстве практически важных задач интерес вызывает поведение поля на значительных расстояниях от рассеивателя. Поскольку при удалении от кромки поле будет все в большей степени соответствовать первому члену асимптотики, точность решения будет возрастать для обоих случаев (МОЭ и МПД).

При доказательстве удовлетворения решения условиям краевой задачи мы отложили доказательство удовлетворения решения условию Мейкснера на ребре. В этой связи уместно привести цитату из [17]: Необходимость задавать условие на ребре отпадает «или когда дифференциальное уравнение решается методом разделения переменных в некоторых координатах, выбранных в соответствии с формой дифрагирующего тела, или когда искомое решение строится из таких частных.решений, которые в отдельности заведомо удовлетворяют условию на ребре». Поскольку мы ищем решение в специальной области, построенной при помощи ортогонального преобразования координат, и выбираем в качестве базового известное решение задачи рассеяния плоской волны на клине, у нас имеются все основания полагать, что условие Мейкснера выполняется автоматически.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Можно показать, что интегральное представление, использованное в МОЭ, является обобщением классического интегрального представления, использованного Зоммерфельдом для построения решений задачи рассеяния электромагнитных волн на полуплоскости и клине. Рассмотрим сходства и различия между двумя решениями задачи дифракции на полубесконечных рассеивателях: решением Зоммерфельда и решением, полученным методом обобщенного эйконала.

К сходству между двумя рассматриваемыми решениями можно отнести то обстоятельство, что оба они построены при помощи интегрального представления на многолистной поверхности. В случае клиновидного рассеивателя интегральные представления совпадают.

Решение Зоммерфельда является эвристическим. Оно справедливо для клиновидного рассеивателя с внешним углом раствора клина т на многоли-стной Римановой поверхности, причем п является рациональным числом п = 1/т, где / - число листов этой поверхности, а т - целое число. Например, для внешнего пространства прямоугольного клина 1 = 3, т = 4. Периодичность эвристического множителя подынтегральной функции равна 2тй. Дальнейшее развитие решения Зоммерфельда позволило распространить его на произвольное число I (также и не целое). Решение Зоммерфельда получило методическое обоснование, будучи воспроизведено при помощи метода разделения переменных. Тем не менее, оно может применяться лишь для рассеивателей клиновидной формы.

Решение МОЭ представляет собой сумму интегралов по отрезкам контура в плоскости комплексного переменного. Его интегральное представление строится с помощью самых простых математических и физических принципов. Оно естественно вытекает из самой простой формы теоремы Ко-ши о вычетах (полюс первого порядка), выбор замкнутого контура обхода вокруг освещенной области понятен с физической точки зрения. Интегральное представление МОЭ для полубесконечных рассеивателей любой формы строится с в двухлистной вспомогательной области (полной плоскости комплексного переменного), связанной с формой рассеивателя при помощи конформного отображения. Граничные условия для полубесконечных рассеивателей строго удовлетворяются на всей границе (горизонтальной оси) и только на ней.

Таким образом, это решение обладает гораздо большей общностью, чем решение Зоммерфельда, оставаясь таким же простым по виду. Платой за общность и простоту является то обстоятельство, что решение МОЭ справедливо лишь на определенной кривой, в то время как решение Зоммерфельда справедливо во всем пространстве. Тем не менее, проведя несложные математические операции, решение МОЭ также можно использовать во всем пространстве (хотя и приближенно).

Кроме того, решение МОЭ имеет лучшее обоснование, чем решение Зоммерфельда. Более того, решение МОЭ может использоваться наряду с другими методами для методического обоснования указанного решения. При этом обоснование касается не итогового результата, а аспектов, предложенных Зоммерфельдом из эвристических соображений. В частности, можно обосновать вид подынтегральной функции.

МОЭ рассматривает с новой точки зрения физику процесса дифракции, вводя понятие кривой rdQ, которая разделяет области «искривленного» и прямолинейного» эйконала. Тот факт, что критическая окружность rdQ действительно существует и имеет в области z малый радиус (для полуплоскости kz = 1/2, z = Л/(4л:)), косвенно подтверждается результатами, приведенными в [25]. Основное искривление линий плотности потока мощности в окрестности кромки происходит внутри круга, радиус которого приблизительно равен указанной величине.

Представляют интерес вопросы, касающиеся установления класса рас-сеивателей, решение задачи рассеяния на которых может быть получено предложенным методом, а также математического обоснования строгости полученного решения. Однако, подобные исследования выходят за рамки настоящей работы.

1. Sommerfeld A. //Math. Ann., 45, 263 (1894)

2. Sommerfeld A. //Math. Ann., 47,317 (1896)

3. Frank Ph., Mises R., Differential- und Integralgleichungen der Mechanik und Physic, Braunschweig, 1927 1934. (См. перевод: Ф. Франк, Р. Мизес, Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики, М. - JL, 1937.)

4. Sommerfeld A., Vorlesungen uber theoretishe Physik, Bd. IV, Wiesbaden, 1950 (См. перевод: А. Зоммерфельд, Оптика, ИЛ, 1953)

5. CarslawH.S. //Proc. bond. Math. Soc. 30, 121 (1899)

6. Macdonald H.M. // Electric Waves, Cambr. Univ. Press, 1902

7. Macdonald H.M. // Proc. Lond. Math. Soc. 14,410 (1915)

8. CarslawH.S. //Proc. Lond. Math. Soc. 18, 291 (1919)

9. Pauli W. // Physical Review. 1938. V. 54. No. 11. P. 924.

10. Уфимцев П.Я. Метод краевых волн в физической теории дифракции. М.: Сов. радио, 1962. 243с.

11. Noble В. Methods based on the Wiener Hopf Technique for the Solution of Partial Differential Equations, London, 1958 (См. перевод: Б. Нобл, Метод Винера - Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных, ИЛ, 1962).

12. R. Mittra and S.W. Lee Analytical Techniques in the Theory of Guided Waves, New York, London, 1971 (См. перевод: P. Миттра, С. Ли Аналитические методы теории волноводов. М.: Мир, 1974. 327с.)

13. Keller J.B. // J. Appl. Phys., 1957, v.28, No.4, p. 426-424

14. Keller J.B. // J. Appl. Phys., 1957, v.28, No.5, p. 570-579

15. Keller J.B. // Symposium of Applied Mathematik, v.8, 1958, N-Y., McGraw-Hill, p. 27-52

16. Keller J.B.//J. Opt. Soc. ofAmer., 1962, v.52,No.2,p. 116-130

17. H. Honl, A.W. Майе, К. Westpfahl, в кн. "Handbuch ger physic", Springer, Berlin, 1961, Vol. 25/1. (См. перевод X. Хенл, А. Мауэ, К. Вестпфаль Теория дифракции. М.: Мир, 1964. 428с.)

18. М. Борн, Э. Вольф Основы оптики. М.: Наука, 1973. 720с.

19. В.А. Боровиков, Б.Е. Кинбер Геометрическая теория дифракции. М.: Связь, 1978. 248с.

20. В.А. Боровиков Дифракция на многоугольниках и многогранниках М.: Наука, 1966. 455с.

21. JI. Фелсен, Н. Маркувиц "Излучение и рассеяние волн". М.: Мир, 1978. Т.1 547с.

22. Р. Куюмджан, П. Патхак "Равномерная геометрическая теория дифракции на идеально проводящей поверхности с ребром", ТИИЭР, 1974, т.62, № 11, с.40-55

23. Р.Б. Ваганов, Б.З. Каценеленбаум Основы теории дифракции. М.: Наука, 1982. 272с.

24. Журав С.М., Калошин В.А. "Дифракция плоской электромагнитной волны на идеально проводящей полубесконечной пластине (Е поляризация)", РЭ, 1987, т.32, № 1, с.1.

25. W. Braunbek, G. Laukien, Optik 9, 174 (1952)

26. М.В. Весник, В.А. Калошин Две теории рупорных антенн // 9-й Симпозиум по ЭМС. Вроцлав, 1988, т. 2 стр. 369

27. M.V. Vesnik, V.A. Kaloshin Pattern Calculation of a Dual Shaped Reflectortti

28. Antenna// 20 European Microwave Conference. Budapest, 1990 V.2 p. 1559

29. М.В. Весник, B.A. Калошин Вычисление диаграмм направленности двухзеркальных антенн // Всесоюзный научно технический семинар по САПР Антенно - фидерных систем и их элементов. Ростов Ярославский, 1990

30. M.V. Vesnik and P.Y. Ufimtsev, "A New Asymptotic Feature of the Field Scattered by Polygonal Plates", Program and Abstracts of the 1991 North American Radio Science Meeting, URSI, London, Canada, p. 176

31. M.V. Vesnik, P.Y. Ufimtsev "An Asymptotic Feature of Corner Waves Scattered by Polygonal Plates", Electromagnetics, Vol. 12, NN 3-4, pp. 265-272, Jul.-Dec. 1992

32. M.B. Весник "Использование двухмерных решений в трехмерных задачах", Радиотехника и электроника, 1993, т. 38, стр. 1416-1423

33. M.V. Vesnik "The Using of Two Dimensional Solutions in Three -Dimensional Problems for Scatterers of Arbitrary Properties" Conference Proceedings, Mathematical Methods in Electromagnetic Theory, Kharkov, Ukraine, 7-10 Sept. 1994, pp. 465-468

34. M.B. Весник, "Аналитическое решение краевой задачи для уравнения Гельмгольца", Радиотехника и электроника, 2000, т. 45, № 1, с. 66-76.

35. M.V. Vesnik "The Analytical Solution for the Electromagnetic Diffraction on 2-D Perfectly Conducting Scatterers of an Arbitrary Shape", Proceedings of AP 2000 Millenium Conference on Antennas & Propagation, Davos, Switzerland, April 9 14,2000

36. M.V. Vesnik "Analytical solution for electromagnetic diffraction on 2-D perfectly conducting scatterers of arbitrary shape", IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. 49, pp. 1638 1644, Dec. 2001

37. M.B. Весник, Аналитическое решение краевых задач для волнового уравнения с переменным волновым числом методом обобщенного эйконала, Нелинейный мир, 2003, т. 1, № 1-2, с. 55-59.

38. M.V. Vesnik "2-D diffraction analytical solutions based on method of generalized eikonal", International Seminar Day on Diffraction, Saint Petersburg, June 24 27,2003, pp. 84 - 85

39. M.V. Vesnik "Method of generalized eikonal and new 2-D scattering analytical solutions", IVth International Conference on Antenna Theory and Techniques (ICATT), 9 -12 September 2003, Sevastopol, Ukraine.

40. M.B. Весник, "Аналитическое решение краевых задач теории дифракции методом обобщенного эйконала", Радиотехника и электроника, 2003, т. 48, № 9, с. 1078 1084.

41. Michael V. Vesnik "Method of Generalized Eikonal and 2 -D Diffraction Analytical Solutions", 17th International Conference on Applied Electromagnetics and Communications ICECom 2003, Dubrovnik, October 1 -3, 2003, pp. 427 - 429

42. M.B. Весник "Получение дифракционных коэффициентов для двухмерного полубесконечного идеально проводящего рассеивателя при помощи метода обобщенного эйконала", Электромагнитные волны и электронные системы, т. 9, № 11,2004, стр. 23 29