Численное решение задач электромагнитного рассеяния на неосесимметричных телах методом дискретных источников тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

1 Вариант метода дискретных источников для решения задач электромагнитного рассеяния на трёхмерных не

§сесимметричных идеально проводящих телах и особенности его использования

1.1 Формулировка задачи и метод её решения.

1.2 Теоретическое обоснование метода.

1.3 Численный анализ различных способов определения дшюльных моментов

1.4 Итерационные методы определения дшюльных моментов

1.5 Влияние положения вспомогательной поверхности на точность решения задачи рассеяния

1.6 Некоторые особенности сходимости итерационного процесса метода сопряжённых градиентов.

1.7 Влияние взаимного расположения точек размещения диполей и точек коллокации на точность решения задачи рассеяния.

1.8 Влияние плотности размещения диполей и точек кол-локации на точность решения задачи рассеяния и сходимость итерационного процесса.

1.9 Влияние волновых размеров тела на точность решения задачи рассеяния и сходимость итерационного процесса

1.10 Влияние резонанса области« заключенной внутри вспомогательной поверхности, на характеристики рассеянного поля.

1.11 Сравнение результатов расчёта характеристик рассеяния с результатами строгих решений и результатами других авторов.

1.12 Влияние отклонений формы тела от осесимметричной на величину бистатического сечения рассеяния

Настоящая диссертация посвящена численному исследованию рассеяния стационарного (гармонического) электромагнитного излучения на трёхмерных телах различной природы, ограниченных гладкими поверхностями произвольной формы, и включает в себя изложение как разработанных автором методов и алгоритмов, так и результатов их использования для анализа рассеянных полей конкретных неосесимметричных тел.

Задачи рассеяния электромагнитных полей возникают в различных областях науки и техники, имеющих дело с электромагнитными процессами в присутствии препятствий. Ярким примером является радиолокация. Знание характеристик рассеяния играет здесь ведущую роль как для конструирования радиолокационных систем различного назначения, так и для вынесения суждения о характере цели. Изучение явления рассеяния имеет также большое значение для решения проблем электромагнитной совместимости, радиопеленгации, дистанционного зондирования, дефектоскопии и др. теоретической точки зрения задачи рассеяния электромагнитных волн представляют собой внешние граничные задачи электродинамики [1], суть которых заключается в нахождении при заданном стороннем возбуждении решений уравнений Максвелла, удовлетворяющих определённым начальным и граничным условиям, условиям излучения, а также имеющих определённое поведение в окрестности разрывов геометрических параметров тел (при наличии таковых). К настоящему времени разработано большое число методов решения граничных задач как для стационарного, так и для нестационарного (импульсного) возбуждения (см., например, [2] - [7]). Поскольку в диссертации рассматриваются стационарные задачи, остановимся только на основных подходах к решению таковых с той степенью подробности, которая определяется поставленными целями.

Среди существующих методов в первую очередь заслуживают внимания методы, позволяющие получать решения граничных задач в аналитической форме, справедливые для любой частоты возбуждающего поля.Основными из них являются метод разделения переменных [8] и метод интегральных преобразований [9]. При применении этих методов выбирается система координат, в которой координатные поверхности совпадают с граничными поверхностями. Далее в выбранной системе координат находятся решения однородного уравнения Гельмгольца. Рассеянное поле представляется либо в виде ряда по найденным решениям (метод разделения переменных), либо в виде интеграла (метод интегральных преобразований). Условиями применения рассматриваемых методов являются* во-первых, возможность сведения векторной задачи к скалярной, во-вторых, разделение переменных в полученных скалярных уравнениях. Эти условия выполняются в ограниченном числе случаев, поэтому число задач рассеяния, решённых этими методами, невелико. В качестве примеров можно привести задачи дифракции на шаре [10], параболоиде вращения [11], сфероиде [12] (метод разделения переменных), на конусе [13] и клине [14] (метод интегральных преобразований). Отметим, что для решения задач дифракции на трёхмерных телах фактически применим только метод разделения переменных; метод интегральных преобразований в чистом виде применим только в том случае, если хотя бы в одном направлении рассеивателъ является полубесконечным и имеет в том же направлении прямолинейную форму. Несмотря на малое число существующих в настоящее время аналитических решений внешних задач дифракции, роль их очень велика. Исследование этих решений позволяет выявить общие закономерности поведения рассеянных полей; эти решения могут использоваться как основа для получения приближённых решений более сложных задач, а также для тестирования алгоритмов численных методов решения. Надо сказать, что интерес к методам разделения переменных и интегральных преобразований не пропал до настоящего времени [15] - [16].

В силу исключительной ограниченности числа задач, решения которых единообразно могут быть получены во всей частотной области, обычно эту область делят на три подобласти: низкочастотную (квазистатическую), резонансную и высокочастотную, и в каждой подобласти применяют свои методы. Критерием такого разделения является отношение характерных размеров объекта к длине волны используемого излучения. Для низкочастотной области это отношение значительно меньше единицы, для высокочастотной, наоборот, значительно больше единицы. Резонансная область занимает промежуточное положение на частотной оси. Такое разделение не является формальным; в его основе лежит различие в механизмах рассеяния в разных частотных областях. В низкочастотной области отдельные части рассеивателя слишком малы для их разрешения, интенсивность рассеянного поля слабо зависит от формы объекта и изменяется как четвертая степень частоты. В резонансной области все части рассеивателя существенно взаимодействуют между собой, результат этого взаимодействия трудно предсказать без полного решения задачи для каждого рассматриваемого тела, типа возбуждения и частоты. В высокочастотной области различные элементы объекта действуют, как правило, независимо друг от друга (при условии, что никакой из рассматриваемых элементов не затенен от падающей волны другим элементом). Это позволяет рассматривать объекты сложной формы как совокупность определённым образом распределённых рассеивающих центров. Различие механизмов рассеяния в различных частотных областях находит свое отражение в отличии подходов к получению решения в этих областях.

Разработанные в диссертации методы и рассмотренные задачи относятся к определённой выше резонансной области частот. Основным инструментом исследования задач рассеяния в этой области в настоящее время являются численные методы. Эти методы могут быть разделены на две группы. К первой группе отнесем так называемые конечные метода, основанные на решении соответствующей краевой задачи в дифференциальной форме. Наиболее популярными из них являются метод конечных разностей [17] и метод конечных элементов [18]. В обоих методах вычисления распространены на всю рассматриваемую область пространства, которая должна быть предварительно дискретизирована. В методе конечных разностей в пределах элемента дискретизации значения неизвестных функций предполагаются постоянными, и дифференциальные уравнения рассматриваемой задачи аппроксимируются уравнениями в конечных разностях. С помощью построенных таким путём конечно-разностных аналогов исходного дифференциального уравнения с учётом начальных и граничных условий осуществляется расчёт неизвестных функций в каждой ячейке пространственной дискретизации. В методе конечных элементов в пределах каждого элемента дискретизации неизвестная функция аппроксимируется полиномом с неизвестными коэффициентами. Последние находятся из решения системы линейных алгебраических уравнений» которая строится либо из условия экстремума соответствующего функционала, стационарного на решении рассматриваемой краевой задачи, либо методом взвешенных невязок. В силу отмеченных выше особенностей конечных методов они, во-первых, требуют искусственного ограничения открытой области, а, во-вторых, особенно в случае векторного характера неизвестных функций, сводят решение исходной задачи к решению задач очень большой размерности. По этим причинам для решения внешних краевых задач электродинамики эти методы стали применяться относительно недавно [19] - [22]. Однако в последние годы наблюдается возрастание интереса к конечным методам, в особенности к методу конечных элементов, как инструменту решения внешних краевых задач электродинамики [23] - [34]. Притягательность этих методов обусловлена их универсальностью - условия их применения не накладывают ограничений ни на геометрию рассеивателей, ни на их материальные параметры. Однако конечные методы обладают рядом существенных недостатков, сдерживающих их использование. Одним из таких недостатков является необходимость искусственного ограничения рассматриваемой области. Это - одна из главных проблем использования конечных методов. К настоящему времени предложено большое количество способов ограничения открытой области (см., например, [29], [33] - [34]), тем не менее, решение этой проблемы далеко от своего завершения. Недостатком конечных методов являются также ошибки в расчетах рассеянных полей, обусловленные пространственной дискретизацией задачи. Величина этих ошибок при прочих равных условиях зависит от геометрии рассеивателя и его материальных параметров. Наконец, недостатком этих методов является то, что их использование предполагает наличие у исследователя супер-компьютера с высоким быстродействием и большой памятью. Судя по имеющейся литературе, даже относительно небольшие задачи при решении их методом конечных элементов сводятся к решению систем линейных алгебраических уравнений, содержащих порядка миллиона неизвестных. Для решения таких задач в дальнем зарубежье обычно используют компьютеры с параллельной обработкой данных.

Ко второй группе отнесем методы, сводящие решение рассматриваемой граничной задачи к решению интегральных уравнений [1] -[8], [35] - [47]. Общим преимуществом этих методов является то, что используемые в них представления для рассеянных полей удовлетворяют условиям излучения на бесконечности, поэтому проблемы, связанные с искусственным ограничением открытой области, свойственные конечным методам, здесь отсутствуют. Известны различные варианты интегральных уравнений. Для трёхмерного диэлектрического тела с использованием токов поляризации может быть получено объёмное сингулярное интегральное уравнение для электрического поля внутри тела [35], [46]. Несмотря на то, что это уравнение известно уже относительно давно [48], до недавнего времени для решения конкретных задач рассеяния в резонансном частотном диапазоне оно использовалось редко. Однако в последние годы сделаны существенные шаги [49] - [53] в направлении применения объёмных сингулярных интегральных уравнений для алгоритмизации решения задач рассеяния, основу которых составляет использование итерационных методов. Как и конечные методы, метод объёмного интегрального уравнения в принципе пригоден для решения задач рассеяния на телах произвольной формы, в том числе неоднородных. В отличие от конечных методов, в методе объёмного интегрального уравнения вычисления распространены только на объём, занимаемый рассеи-вателем, поэтому размерности решаемых систем линейных алгебраических уравнений здесь меньше, чем при использовании конечных методов, но продолжают оставаться достаточно большими, особенно для рассеивателей, размеры которых составляют несколько длин волн. Недостатком метода являются также ошибки, связанные с дискретизацией объёма рассеивателя. Кроме того, использование метода требует определённого умения и опыта в обращении с объёмными сингулярными интегралами. Наконец, для решения задач рассеяния на магнитодиэлектрических телах (магнитная проницаемость тела отлична от магнитной проницаемости внешнего пространства) объёмные интегральные уравнения просто неудобны, потому что решение задачи сводится к решению системы объёмных интегральных уравнений для электрического и магнитного полей внутри рассева-теля.

Наибольшее распространение в электродинамике как в общетеоретическом плане, так и в плане использования для решения конкретных задач, получили поверхностные интегральные уравнения. Преимуществом поверхностных интегральных уравнений по сравнению с объёмными является снижение размерности пространства, в котором находится решение. Основой для получения поверхностных интегральных уравнений являются интегральные соотношения, связывающие значения векторов поля в рассматриваемой области со значениями этих же векторов на границах области, например формулы Стрэттона-Чу [54]. Наложение на эти соотношения граничных условий на поверхностях тел приводит к интегральному уравнению или системе интегральных уравнений относительно эквивалентных токов (в общем случае электрических и магнитных) на поверхностях тел. Наиболее широкое применение нашли интегральные уравнения Фредгольма второго рода, примером которых является интегральное уравнение магнитного поля для идеально проводящих тел [55]. Удобство этих уравнений объясняется тем, что теория этих уравнений хорошо разработана, и известные [56] теоремы Фредгольма гарантируют существование решений соответствующих граничных задач при условии, что это решение единственно. Получить аналитические решения интегральных уравнений, как правило, не удается, поэтому решение интегральных уравнений обычно сводится к решению систем линейных алгебраических уравнений с помощью проекционных методов [57], обычно называемых в зарубежной литературе методом моментов [58]. При использовании этого метода вводятся две системы функций: система базисных функций, по которой представляются в виде рядов искомые неизвестные функции, и система пробных (весовых) функций. Далее полученные ряды подставляются в рассматриваемое интегральное уравнение и вычисляются скалярные произведения пробных функций с результатами подстановки рядов в интегральное уравнение. В результате получается система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов разложений искомых функций (токов) в ряды по системе базисных функций. В самом общем случае элементы матрицы системы выражаются в виде двукратных интегралов по поверхности (один поверхностный интеграл появляется за счет исходного интегрального оператора, второй - по определению скалярного произведения). Различные варианты метода моментов отличаются выбором систем базисных и весовых функций. Например, если одна и та же система функций используется и в качестве базисной и в качестве весовой систем функций, то метод моментов обычно называют методом Галеркина [57]. За счет соответствующего выбора систем базисных и весовых функций можно как облегчить вычисление матричных элементов, так и сократить число поверхностных интегралов, содержащихся в матричных элементах. Так, если в качестве весовых функций выбраны ¿-функции, то получаем часто используемый метод коллокаций [59], при этом в выражениях для матричных элементов остается один поверхностный интеграл от произведения ядра интегрального уравнения на одну из базисных функций. Если разбить поверхность тела 5 на п частичных подобластей = 1,. п) и ввести кусочно-постоянные базисные функции, то матричные элементы системы линейных алгебраических уравнений будут представлять собой интегралы по элементам поверхностей от ядра интегрального уравнения [43]. Таким образом, даже в простейшем случае, когда граничные условия удовлетворяются методом коллокаций, а для представления токов на поверхности рассеивателя используется кусочно-постоянная аппроксимация, решение задачи рассеяния на основе метода поверхностных интегральных уравнений сводится к решению систем линейных алгебраических уравнений, элементы матрицы которой определяются двумерными интегралами от ядер исходных интегральных уравнений. В случае рассеивателей произвольной формы размерность получающейся системы оказывается очень большой, и процедура расчёта элементов её матрицы занимает большую часть компьютерного времени, необходимого для решения задачи. В случае тел вращения за счёт использования свойств осевой симметрии удаётся существенно уменьшить размерность решаемых систем линейных алгебраических уравнений, а также уменьшить размерность интегралов, через которые выражаются элементы ее матрицы [46]. По этой причине метод поверхностных интегральных уравнений получил широкое распространение преимущественно для решения осесимметричных задач. Существенно отметить, что полученные таким образом из интегральных уравнений 2-го рода системы линейных алгебраических уравнений оказываются хорошо обусловленными и доступными для решения, любыми известными методами [60 ].

Интегральные соотношения теории электромагнитного, поля могут быть использованы не только для формулировки интегральных уравнений, но и для установления матричных соотношений между возбуждающим и рассеянным полями. Совокупность методов, основанных на этом принципе и именуемых в литературе как "метод Т-матрицы", "метод нулевого поля", "метод продолженного граничного условия" (см., например, [4], [6], [61] - [64]), можно объединить общим названием "методы Т-матрицы". Т-матрица - это и есть упомянутая выше матрица перехода от падающего поля к рассеянному. Более точно, Т-матрица — это матрица, которая связывает вектор-столбец коэффициентов разложения рассеянного поля с вектором-столбцом коэффициентов разложения падающего поля в ряды по выбранной системе базисных функций, в качестве которых чаще всего выбираются векторные сферические волновые функции. Для определения конкретных выражений для элементов Т-матрицы, как уже % отмечалось, используются интегральные соотношения теории электромагнитного поля (векторная формула Грина, лемма Лоренца и т.п.). Входящие в эти соотношения поверхностные токи представляются в виде рядов по полным на поверхности рассеивателя системам функций. Подстановка этих разложений в интегральные соотношения и проведение некоторых преобразований сводит решение исходной задачи рассеяния к решению матричного уравнения относительно Т-матрицы. Содержащиеся в этом уравнении известные матрицы составлены из скалярных произведений между элементами базисов для тока и падающего поля и для тока и рассеянного поля. Основная вычислительная работа заключается в нахождении значений поверхностных интегралов, входящих в скалярные произведения; количество которых определяется количеством базисных функций в представлениях для полей и поверхностных токов. Как следует из самих основ методов Т-матрицы, они могут быть использованы для решения задач рассеяния на телах произвольной формы. Тем не менее, как правило, в известных работах результаты численных расчётов приводятся только для тел вращения, но и в этом случае применение этих методов наталкивается на существенные трудности [63] . К ним, в частности, относятся выбор системы функций для представления поверхностных токов и выбор числа функций в этом представлении, определяющего размерность матриц в матричных уравнениях. Для. каждой новой геометрии требуется выполнение некоторых исследований в этом направлении. "Удачный выбор системы функций и удачное усечение матриц позволяют уменьшить число поверхностных интегралов, которые должны быть вычислены. Недостатком методов Т-матрицы является также и то, что при выполненном усечении матричных уравнений точность полученного решения неизвестна.

Наряду с интегральными уравнениями типа Фредгольма 2-го рода, особенно в последние годы, нашли широкое применение интегральные и интегродифференциальные уравнения 1-го рода. Для большинства тел могут быть получены как интегральные уравнения 2-го рода, так и интегральные уравнения 1-го рода. Однако существуют классы задач, для которых предпочтительными или единственно возможными являются уравнения 1-го рода. Это - задачи дифракции электромагнитных волн на тонких проводниках [38] и бесконечно тонких идеально проводящих незамкнутых поверхностях [43] - [44], [65] ^Спецификой уравнений 1-го рода является то, что задача нахождения их решения относится, вообще говоря, к классу некорректных задач, требующих регуляризации [66] . Кроме того, некоторые из этих уравнений (см., например, [67] - [68]} при совпадении точек наблюдения и интегрирования содержат неинтегрируемую особенность в ядрах уравнений (т.е. являются гиперсингулярными), что вносит дополнительные трудности в их решение. К настоящему времени уже накоплен определённый опыт, связанный с преодолением, трудностей, возникающих при численном решении уравнений 1-го рода. Для исключения, сильной особенности ядер был, например, применен прием, заключающийся в разнесении точек истока и наблюдения [69] - [70]. Для решения интегральных уравнений с интегрируемой особенностью в ядрах предложен "метод саморетуляризации* [71] - [72], заключающийся в том, что при дискретизации уравнений точки коллокахщи выбираются совпадающими с узлами интерполяции. Только такой выбор приводит (за счет сингулярности ядер) к хорошо обусловленным системам линейных алгебраических уравнений. Для решения гиперсингулярных интегральных уравнений эффективным оказался подход [67] - [68], заключающийся в том, что сначала осуществляется дискретизация уравнения, а затем уже при вычислении элементов матрицы, полученной системы линейных алгебраических уравнений выполняется необходимый предельный переход. Перспективным для численного решения интегральных (инте-гродифференциальных) уравнений 1-го рода представляется также подход [73] - [75], использующий итерационные процедурытпозво-ляющий согласовывать погрешность аппроксимации интегрального оператора с точностью приближенного решения граничной задачи. В последние годы, наряду с успехами.в разработке численных методов решения уравнений 1-го рода, достигнут существенный прогресс в построении общей теории разрешимости таких уравнений [65].

Для решения трёхмерных векторных задач рассеяния, помимо поверхностных интегральных уравнений, могут быть использованы одномерные интегральные уравнения 1-го рода с регулярным ядром,, в которых интегрирование выполняется вдоль отрезка кривой, , расположенной внутри рассеивателя, а точка наблюдения находится на поверхности. К интегральным уравнениям такого типа приводит подход, именуемый методом антенных потенциалов [76] - [79]. Ери использовании этого подхода рассеянное поле обычно выражается чер^з вектор Герца (электрический или магнитный), каждая компонента которого представляется в виде скалярного антенного потенциала. Скалярный антенный потенциал [77] - это интеграл по отрезку кривой, расположенной внутри рассеивателя ж удовлетворяющей определённым условиям, с подынтегральной функцией в виде произведения неизвестной функции (плотности антенного потенциала) на фундаментальное решение уравнения Гельмгольцах особенностями на этом отрезке. Выбранное в такой форме поле представляет собой поле совокупности электрических (или магнитных) диполей^ непрерывно распределённых на выбранном отрезке кривой; оно удовлетворяет системе уравнений Максвелла и условиям излучения на беско^-нечности. В работах [78] - [79] показано, что для идеально проводящих и импедансных рассеивателей, ограниченных поверхностью Ляпунова, существует определённая указанным выше образом тройка скалярных антенных потенциалов (один векторный антенный потенциал), позволяющая приблизить соответствующие, граничные условия в норме пространства с любой наперед заданной точностью и, таким образом, построить приближенное решение данного класса задач. Легко видеть, что метод антенных потенциалов может рассматриваться как одна из разновидностей метода вспомогательных токов, в которой токи распределены не на вспомогательной поверхности, а на отрезке вспомогательной кривой. Метод антенных потенциалов также может быть использован для решения задач рассеянияна неосесимметричных телах. В качестве примера применения метода для этой цели можно привести работу [80] . В этой работе представлены результаты (энергетические диаграммы рассеяния) решения задачи дифракции поля магнитного диполя на трёхосном эллипсоиде с соотношением полуосей 2:1.5:1. В качестве носителя антенного потенциала выбран отрезок оси эллипсоида, вдоль которой ориентирован дипольный момент возбуждающего диполя. Неизвестная векторная плотность антенного потенциала определяется из условия минимума функционала невязки граничных условий на поверхности рассеива-теля в норме L^. Задача минимизации решается с использованием метода регуляризации — вместо функционала невязки минимизируется соответствующий сглаживающий функционал. Дискретизация уравнения Эйлера для сглаживающего функционала приводит к алгебраической системе уравнений для дискретного аналога векторной плотности антенного потенциала. При дискретизации задачи выбираются 33 точки на носителе антенного потенциала и 1500 точек на поверхности при вычислении поверхностного интеграла. По найденному каркасу решения для дальнейших расчетов строится кубический сплайн, который и используется для вычисления интересующих характеристик. Как видно из вышеизложенного, процедура решения получается довольно трудоёмкой, при этом невязка достигает довольно больших значений: около 35% в норме С.

Помимо рассмотренных типов интегральных уравнешайгк настоящему времени сформулированы интегральные (интегрооператорные, интегроалгебраичесхие) уравнения непосредственно для диаграмм рассеяния [81] - [88]. В основе этих уравнений лежат интегральные представления вторичного поля через диаграмму. С использованием разложений диаграмм в ряд Фурье или по сферическим гармоникам уравнения сводятся к алгебраическим системам, к которым применим метод редукции. Эффективность такого подхода проверена для двумерных и трёхмерных скалярных задач рассеяния; В частности; в работе [158] содержатся некоторые результаты, относящиеся к решению скалярной задачи дифракции, плоской волны на неосесимме-тричном теле - трехосном эллипсоиде с полуосями ка- 1.0, kb = 2.0, кс = 3.0. Утверждается [82], что этот подход может быть распространен и на трёхмерные векторные задачи рассеяния.

В последние годы для численного решения задач электромагнитного рассеяния в резонансном частотном диапазоне получил существенное распространение метод неортогональных рядов, основные теоретические аспекты которого были изложены еще в работах [89] - [90]. Позже, по-видимому впервые в [91], метод получил название метод дискретных источников". С нашей точки зрения это название в большей степени характеризз'ет сущность метода (когда речь идет о задачах дифракции) и в данной диссертации используется как эквивалент первоначальному названию "метод неортогональных рядов". В настоящее время за рубежом широко распространены и другие названия этого метода: GMT (Generalized Multiple Technique), ММР (Multiple Multipoles Technique) и ASM (Auxiliary Sources Method). Здесь уместно заметить, что в понятие "метод дискретных источников" мы не включаем также активно развиваемый » последние годы так называемый метод дискретной дипольной аппроксимации. (Discrete Dipole Approximation) (см., например, [92] - [97]}, введенный впервые в [92] для решения задач рассеяния на проницаемых телах и представляющий собой одну из форм дискретизации объемных интегральных уравнений [94].

Суть метода дискретных источников заключается в том, что рассеянное поле в исследуемой области строится в виде линейной комбинации полей элементарных источников (точечных источников, диполей, мультиполей и др.), расположенных вне этой области и излучающих в безграничную однородную среду с параметрами исследуемой области. Такая конструкция удовлетворяет в рассматриваемой области системе дифференциальных уравнений задачи^ (волновому уравнению, уравнениям Максвелла) и условиям излучения на бесконечности. Коэффициенты линейной комбинации определяются путем удовлетворения граничным условиям в некоторой норме. Метод дискретных источников представляет собой самый прямой способ сведения исходной граничной задачи к алгебраической форме. В отличие от метода, интегральных уравнений метод дискретных источников избегает вычислений интегралов как при расчете, матричных элементов соответствующих систем линейных алгебраических уравнений, так и при расчете компонент полей в рассматриваемых точках пространства, а также позволяет проводить контроль точности полученного решения путем оценки невязки граничных условий на поверхности рассеивателя. Ряд авторов рассматривает метод дискретных источников как конечномерную аппроксимацию метода вспомогательных токов [148], [158], [80]. И действительно* проводя дискретизацию токов в соответствующих: интегральных представлениях метода вспомогательных токов (метода антенных потенциалов) мы всегда получим дискретную функциональную систему* которую можно использовать как основу для построения некоторого варианта метода дискретных источников. Тем не менее, метод дискретных источников целесообразно рассматривать как самостоятельный прямой метод численного решения задач дифракции. В принципиальном плане различие между методом интегральных уравнений и методом дискретных источников заключается в том, что в методе интегральных уравнений граничные условия ставятся строго,, тогда как в рамках метода дискретных источников речь идет о возможности аппроксимации граничных условий на поверхности рассеивателя с помощью выбранной функциональной системы. В плане применения для решения конкретных задач метод д искретных источников также является самостоятельным. Он не требует предварительной формулировки задачи в виде интегрального уравнениями предоставляет большую свободу выбора функциональной системы метода. Важно только, чтобы используемая функциональная система удовлетворяла дифференциальным уравнениям задачи, условиям излучения на бесконечности и была линейно независимой и полной на поверхности рассеивателя.

Необходимо отметить, что применительно к анализу граничных задач дифракции метод дискретных источников развивался как в бывшем СССР, так и за его пределами. Остановимся сначала на работах исследователей из бывшего СССР.

В основополагающей работе [89] теоретические основы метода дискретных источников были изложены как для скалярных, так и электромагнитных задач дифракции. В частности, была доказана линейная независимость и полнота системы фундаментальных решений уравнений Максвелла (системы произвольна ориентированных диполей) для граничных задач с пространственными-идеально проводящими и диэлектрическими телами, ограниченными поверхностями достаточно общей формы, на свойства которых накладываются только определенные условия гладкости. Несмотря на это (по причинам, которые будут обсуждены ниже) метод первоначально был применен для численного решения более простых двумерных. [98] - [99] и трехмерных скалярных [100] задач. К настоящему времени уже накоплен большой опыт решения двумерных внешних и. внутренних задач электродинамики на основе метода дискретных, источников [101] - [113]. Особенно большой вклад в развитие метода дискретных источников применительно к решению двумерных задач дифракции внесен грузинской школой исследователей во главе с P.C. Заридзе [98], [101] - [110]. В последние годы исследователи грузинской школы решают также задачи рассеяния, на телах вращения (см., например, [löSj - [110]).

Первой работой, в которой были приведены конкретные численные результаты, полученные с помощью метода дискретных источников для трёхмерной задачи дифракции электромагнитных волн,, явилась работа [114]. В этой работе основные идеиметода В. Д. Ку-прадзе [89] были реализованы в виде конкретного вычислительного алгоритма решения задачи дифракции электромагнитных волн на осесимметричном идеально проводящем теле, В дальнейшем работами Ю. А. Ерёмина и А.Г. Свешникова (с учениками) [115] - [144] был внесен существенный вклад как в развитие теоретических основ метода дискретных источников, так и в разработку конкретных вычислительных алгоритмов. В качестве примеров можно отметить развитие схем обоснования полноты используемых в методе дискретных, источников функциональных систем [117] - [118], [126] - [127], [133}, использование источников, расположенных в комплексной плоскости [120] - [121], использование сопряжённых уравнений [129]. Указанными авторами введены в рассмотрение новые функциональные системы - системы расположенных на оси рассеивателей электрических и магнитных диполей [115] - [116], а также мультипольных источников [122] - [123], [132], ориентированных в соответствии с поляризацией возбуждающего поля. Использование этих функциональных систем позволило их авторам разработать высокоэффективные -вычислительные алгоритмы и соответствующее программное обеспечение для решения задач д ифракции электромагнитных волн на осе-симметричных телах различной природы, расположенных как в безграничной однородной среде [115] -[116], [119],. [121] - [123], [125], [132] - [137], так и в присутствии однородного полупространства или многослойной среды [124], [130] - [131], [137] - [144]vB большинстве этих работ за счет выбора специализированных систем дискретных источников удается перейти от аппроксимации граничных условий на всей поверхности тела вращения к я.ттттрпкг\пля.тпш граничных условий на образующей тела; эта аппроксимация выполняется всоответствии с методом коллокаций, число точек коллокации, как правило, выбирается большим числа неизвестных-коэффициентов; вектор неизвестных коэффициентов определяется как нормальное псевдорешение полученных таким образом переопределённых систем линейных алгебраических уравнений (см. , например, [116], [118] - [119].) ила последовательности переопределённых систем для гармоник Фурье (см., например, [123], [131] - [132]}. Для нахождения псевдорешения используется сингулярное разложение матрицы [145]. В работах [108]

- [109] идея расположения дискретных источников на оси тела и их ориентации в соответствии с возбуждающим полем была использована для анализа нестационарных задач рассеяния электромагнит^ ного излучения на идеально проводящих и диэлектрических телах вращения.

Большой вклад как в развитие теоретических основ метода дискретных источников, так и основ его численной реализации внесён также работами А.Г. Кюркчана [105], [146] - [159]. В этих работах показана фундаментальная связь теории аналитического продолжения волновых полей с методом дискретных источников! Основной, результат заключается в том [105], [149] - [150], [154] - [155], [157]

- [159], что вспомогательная поверхность, на которой размещаются., дискретные источники, должна охватывать множество особенностей аналитического продолжения рассеянного поля внутрь рассеивате-ля. Предложен [105], [146] - [147], [151], [153], [155], [157], [159] способ аналитического продолжения (локализации особенностей поля), определено местоположение особенностей; для ряда конкретных рас-сеивателей [105], [146] - [148], [150] - [151], [153], [155], [157], выполнено большое количество вычислительных экспериментов по исследованию последствий игнорирования рекомендаций теории аналитического продолжения [105], [147] - [148], [152], [154], [156], [158] - [159]. Установлено, что одним из таких последствий может быть разрушение вычислительного алгоритма при увеличении размерности решат емой системы линейных алгебраических уравнений. Отмечается, что высокая точность решения может быть получена только в том случае, если вспомогательная поверхность охватывает все особенности рассеянного поля, аналитически продолженного внутрь рассеивате-ля. Если же она не охватывает особенностей, то с помощыоразлично-го рода регуляризирующих процедур можно построить те или иные псевдорешения, позволяющие удовлетворить граничным условиям с конечной погрешностью. Опыт, накопленный автором диссертации, подтверждает выводы, сделанные в вышеупамянутыхработах.

В странах дальнего зарубежья метод дискретных источников как инструмент численного решения задач рассеяния получил развитие в работах К. Ясууры, X. йкуно (Япония), X. Хафнера (Швейцария), И. Левиатана (Израиль), Р. Петита (Франция) и др. К сожалению, автор этих строк не располагает столь подробной информацией о работах этих учёных, как о работах учёных из бывшего СССР. В распоряжении автора имеются полные тексты работ [16Q] - [173], а также информация реферативного характера о. содержании работ [174] -[188]. Нижеследующий краткий обзор основывается на этих источниках.

Как следует из работ [160] - [164], [167], основы метода дискретных источников (применительно к двумерным граничным задачам) были опубликованы в Японии Ясуурой почти одновременно с работой В.Д^ Купрадзе [89]. В качестве функциональной системы в различных модификациях метода; Ясууры [162] (обычный метод Ясууры, метод со сглаживающей процедурой, метод с сингулярной сглаживающей процедурой) используется система метагармонических функций - цилиндрических мультиполей, локализованных в начале координат. Амплитуды мультиполей определяются из условия аппроксимации граничных условий: в норме пространства Ьг- Соответствующая дискретизироваяная задача наименьших квадратов решается с использованием методов ортогональных разложений: сингулярного разложения или QR- разложения [189]. Обычно метод Ясууры использовался дота решения двумерных; в том числе нестационарных, задач рассеяния. В работах [166], [174] - [176] этот метод обобщен на случай тел вращения, а в работах [164] - [165] содержится попытка его обобщения на идеально проводящие неосесиммегричные тела.В этих обобщениях цилиндрические мультиполи заметаются на сферические мультиполи с источниками в различных точках, и поэтому в трёхмерном варианте этот метод очень б лизок обсуждаемому ниже методу многократных мультиполей.

В подходе, предложенном Хафнером и:ползгчившем названий "обобщённый метод мультиполей- (GMT), или "метод многократных мультиполей* (ММР), которому посвящены работы [173] , [177]- [183] , в качестве дискретных источников используются системы сферических мультиполей. Каждая из таких систем имеет свою точку локализации; Точки локализации расположены в пространстве в определённом порядке. Источники мультиполей могут размещаться также в комплексном пространстве [188]. Амплитуды мультиполей определяются путем решения методам псевдообращения переопределённых систем линейных алгебраических уравнений, полученных удовлетворением граничных условий в дискретном ряде точек. Метод в своей основе преддазначен для решения трёхмерных задач. Однако существенными, для метода являются вопросы о выборе мест локализации систем мультшюлей, количества мульттголей,. помещаемых в каждую точку локализации и. точек удовлетворения граничным условиям на поверхности тела. Удачное решение этих вопросов приводит к хорошо обусловленным системам линейных алгебраических уравнений, что определяет успех применения метода. Для существенно трёхмерных тел это, по-видимому, не является про стой задачей, что ограничивает класс рассеивателей, к которым в действительности метод может быть успешно применен. Во всяком случае в известных нам работах [173], [177] - [183] в качестве примеров приводятся решения задач рассеяния на. телах,вращения: на конечном цилиндре со сферически-скрутленными торцами [173], на двух конечных параллельных цилиндрах [177], на горизонтальном цилиндре, расположенном над поверхностью земли, и на проводящем сфероиде [179], на полусфере и на системе конус-сфера [183].

В работах Левиатана [168] - [171], [184] - [186] метод дискретных источников рассматривается как конечномерная аппроксимация метода вспомогательных токов, для. определения неизвестных, постоянных используются системылинейкых алгебраическихуравнекий. метода коллокаций с квадратной или прямоугольной матрицами, для решения которых рекомендуется метод исключения, обращения (псевдообращения) иш1сиш?улярного разложения [186] ; Известны варианты такого подхода, в которых, с целью улучшения обусловлена ности решаемых систем линейных алгебраических уравнений и сокращения числа неизвестных,- используются токи, расположенные & комплексном пространстве [187]\ а также вэйвлетные преобразования [171]. Такой подход был успешно применен для: решения большого класса двумерных задач [168] - [169], [184], а также некоторых задач рассеяния на телах вращения., В качестве примеров приводятся решения задач рассеяния плоской волны на идеально проводящих сфере, конечном, круговом цилиндре со скругленными торцами (осевое падение) [170], а также на диэлектрической сфере [170], диэлектрическом сплюснутом сфероиде [187] и двойной, периодической решётке сферических рассеивателей [185].

Наконец, в обзоре Петита [1Т2] речь идет о применении метода дискретных источниковк двумерным задачам рассеяния (идеально проводящий и диэлектрическийцилиндры, металлический цилиндр с диэлектрическим покрытием j: системы из конечного числа цилин^-дров, решётки из цилиндров)^ В качестве функциональной системы метода выбраны поля бесконечных нитей тока, неизвестные амплитуды определяются дз условия, минимума невязки граничных условий на соответствующих граничных поверхностях. К сожалению, в работе не указано, каким путем решается задача минимизации; работа посвящена, в основном, теоретическим аспектам метода.

В рассмотренных выше работах, касающихся применения метода дискретных источников для численного решения, граничных задач^ речь, как правило, идет либо о двумерных задачах, либо о трёхмерных задачах, в которых рассеивателями являются осесимме-тричныетела. Автору диссертации известно очень ограниченное число работ, посвященных исследованию возможности применения, мет тода для численного анализа электромагнитных задач рассеяния на существенно трёхмерных телах, не обладающих си2>шетрией вращения. В работе [190] содержится, псшытка сформулировать: алгоршж решения задачи рассеяния на идеально проводящем теле в общем случае. Автор этой работы не делает ссылок на работы В.Д. Ку-прадзе, а рассматривает свой метод как. обобщение метода вспомога- : тельных зарядов, использовавшегося ранее в электростатике [191]. Тем не менее, излагаемый в [190] алгоритм фактически представляет собой некоторый вариант метода дискретных источников. В качестве источников используются электрические диполиг никаких вспомогательных поверхностей внутри тела не вводится - диполи располагаются на нормалях к поверхности рассеивателя в точках коллокации по принципу квадратиков (расстояние между соседки-ми диполями равно расстоянию диполей до поверхности); получающиеся при этом системы линейных алгебраических: уравнений для определения величин дипольных моментов имеют квадратную матрицу коэффициентов. Хотя решение задача доведено до записи соответствующей системы линейных алгебраических-уравнений, никаких конкретных результатов численных расчётов, даже для сферического рассеивателя, в [190] не приводится. Конкретные результаггы расчётов характеристик рассеяния неосесимметричных тел методом, дискретных: источников содержатся в работах [164] - [165], опубликованных гораздо позже, чем большинство работ автора диссертации. В этих работах приведены результаты расчетов обратных и би-статичесхих поперечников рассеяния трёхмерного идеально проводящего тела, форма поверхности которого определяется уравнением г(9><р) = а( 1+7sinocos ¡л<р)(1+6 cos vB), где гув,ср- сферические координаты. Использованный авторами работ [164] - [165] вариант метода дискретных источников - это обсуждённый выше "методЯсууры", фактически совпадающий в своей основе с методом многократных мультиполей. В работе [164] рассмотрено идеально проводящее тело, характеризуемое параметрами ц - 2, v = 2, $ = 0.05,7 € [0; 0.1]. Для описания поля, рассеянного этим телом, выбрано две системы муль-типолей; одна расположена в точке с координатами (7<z,0,0), вторая -в точке с координатами (7а, я\0); общее число мультиполей выбрано равным 140. В работе [165] рассмотрено тало, характеризуемое параметрами рь = 2, v — 3, 6 — 0.2, 7 € [0;0Л]. Для описания рассеянного поля в этом случае дополнительно к двум группам мультиполей^ расположенных в точках с координатами (0.8а, 0,0) и (0,0,0), введена замкнутая круговая решётка мультиполей, локализация которой характеризуется координатами (0.6а, 2тг/3,0 < <р < 2ir). Легко видеть, что в рассмотренных интервалах изменения 7 и ¿ форма тела мало отличается, от сферической. Но и в этом случае^ как отмечают сами авторы, успех решения задачи определяется удачным выбором мест локализации мультиполей ж. решёток, мультиполей, а также порядком выбранных мультиполей (оптимальное размещение мест локализации и оптимальное количество мультиполей в каждой точке локализации определяются формой рассеивателя и видом возбуждающего поля).

АКТУАЛЬНОСТЬ ПРОБЛЕМЫ. На основании вышеприведенного обзора можно сделать следующие выводы.

К настоящему времени все множество решённых: трёхмерных задач электромагнитного рассеяния в резонансном диапазоне частот ограничивается, в основном, задачами, в которых рассенвателямн являются осесимметричные тела. В большинстве же случаев необходимость решения научно - технических проблем, имеющих: дело с электромагнитными полями, например таких,, как проблемы электромагнитной совместимости, радиопеленгации, снижения радиолокационной заметности, идентификации объектов, ставят перед исследователями задачи рассеяния на телах более общей формы, не обладающих симметрией вращения (неосесимметричных телах). Подобные задачи могут быть решены только с использоваяием.числея-ных алгоритмов.

Существуют классы методов, основанные как на решении соответствующих краевых задач в дифференциальной форме (конечные методы), так и на использовании интегральных соотношений теории электромагнитного поля, которые позволяют сформулировать численные алгоритмы решения задач рассеяния на неосесимметрич-ных телах. Условия применения конечных методов не накладывают ограничений ни на геометрию рассеивателей, ни на их материальные параметры. Однако эти методы обладают радом существенных недостатков, сдерживающих их использование. К таким недостаткам относятся необходимость искусственного ограничения рассматриваемой области, ошибки в в расчётах рассеянных полей, обусловленные искусственной границей и пространственной дискретизацией задачи, чрезвычайно высокие (достигающие нескольких миллионов) размерности получающихся систем линейных, алгебраических уравнений, требующих для своего решения использования супер-компьютеров и компьютеров с параллельной обработкой данных, которые обычно отсутствуют у российских исследователей.

Из методов, основанных на использовании интегральных соотношений теории электромагнитного поля, наиболее популярным и разработанным является метод поверхностных интегральных уравнений. Преимуществами этого метода, по сравнению с конечными методами, являются отсутствие необходимости искусственного ограничения внешней области и снижение размерности пространства, в котором находится решение. Однако применение его кнеосесимметрич-ным телам также является весьма громоздким. Даже в простейшем случае, когда граничные условия удовлетворяются методом колло-каций, а для представления токов на поверхности рассеивателя используется кусочно-постоянная аппроксимация, решение задачи рассеяния на неосесимметричном теле сводится, к решению системы линейных алгебраических уравнений высокого порядка, элементы матрицы которой определяются двумерными интегралами от ядер исходных интегральных уравнений, процедура расчёта которых занимает большую часть компьютерного времени, необходимого для решения задачи. Кроме того, по отношению к полю в дальней зоне этап определения токов в методе поверхностных интегральных уравнений является промежуточным; для нахождения характеристик рассеяния необходимо вычисление интегралов от функций, содержащих поверхностный ток.

Как следует из изложенного, разработка простых и эффективных численных подходов к решению задач рассеяния на. телах, не обладающих симметрией вращения, а также расчёт и анализ характеристик рассеяния конкретных неосесимметричных тел различной природа являются безусловно актуальными задачами. В последние годы для решения задач рассеяния в резонансном частотном диапазоне все большее распространение находит метод дискретных источников. В этом методе неизвестное поле в рассматриваемой области и на ее границе представляется в виде конечной линейной комби

Зг нации полей некоторой системы источников, размещенной вне рассматриваемой области. Такая конструкция удовлетворяет системе уравнений Максвелла в рассматриваемой области и условиям излучения (где это необходимо). Коэффициенты линейной комбинации определяются путём удовлетворения граничным условиям на, поверхности рассеивателя. Этот метод избегает проблем, свойственных конечным методам, связанных с необходимостью ограничения и дискретизации рассматриваемого пространства, а также проблем, свойственных методу поверхностных интегральных уравнений, связанных с необходимостью вычисления двумерных интегралов при формировании матрицы системы линейных алгебраических уравнений и расчётах характеристик рассеяния. В силу этих преимуществ метода дискретных источников представлялось целесообразным разработать простые и эффективные подходы к решению задач рассеяния на неосесимметричных телах именно на его основе. Однако применение метода дискретных источников к решению таких задач наталкивалось на свои специфические трудности, связанные с высокой размерностью и плохой обусловленностью получающихся в этом случае систем линейных алгебраических уравнений. Эти трудности сдерживали использование метода и требовали своего разрешения.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Целью диссертации является разработка вариантов метода дискретных источников для. численного решения в резонансном частотном диапазоне задач электромагнитного рассеяния на существенно трёхмерных (не обладающих симметрией вращения) телах различной природы, установление оптимальных условий их применения, реализация разработанных вариантов в качестве пакетов прикладных программ, использование последних для анализа характеристик рассеяния конкретных тел, в особенности с целью выявления закономерностей процессов рассеяния, обусловленных отклонением форм рассеивателей от осесимметричных, а также материальными свойствами объектов и покрывающих их оболочек.

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ. Разработанный в диссертации подход представляет собой развитие основополагающих идей метода дискретных источников, изложенных в работе В.Д. Купра-дзе [89], в направлении приспособления этого метода для численного решения задач электромагнитного рассеяния на телах различной природы, не обладающих симметрией вращения.

НА ЗАЩИТУ ВЫНОСЯТСЯ СЛЕДУЮЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ;

1. Численное решение в резонансной частотной области задач электромагнитного рассеяния на трёхмерных телах различной природы, не обладающих симметрией вращения, достигается совокупностью вариантов метода дискретных источников, в основе которых лежит единый подход, заключающийся в том, что

- дискретные источники размещены на вспомогательных поверхностях, подобных в смысле гомотетии поверхности рассеивателя;

- в качестве дискретных источников выбраны тангенциально ориентированные к вышеуказанным вспомогательным поверхностям элементарные электрические (и магнитные) диполи;

- неизвестные дипольные моменты определяются итерационными методами как решение задачи минимизации квадрата нормы вектора невязки системы линейных алгебраических уравнений метода кол-локаций.

2. Оптимальные (в смысле достижения наивысшей точности решения при наименьших компьютерных затратах) условия применения разработанных методов заключаются, в том, что

- в качестве итерационного метода определения амплитуд диполь-ных моментов использован метод сопряжённых градиентов;

- положения вспомогательных поверхностей определяются по критерию минимума невязки граничных, условий;

- множество точек коллокации на поверхностях рассеивателей включает в себя точки с теми же угловыми сферическими координатами, что и координаты точек размещения диполей на вспомогательных поверхностях.

3. Величина вариации сечения рассеяния, обусловленной отклонением формы рассеивателя от осесимметричной, зависит от направления наблюдения. Наибольшие вариации имеют место в области минимумов диаграммы рассеяния. В выбранном направлении наблюдения величина, вариации определяется формой рассеивателя, его материальными параметрами и углом прихода возбуждающей волны.

4. Наличие у рассеивателя киральных свойств приводит к перераспределению энергии кополяризованной составляющей рассеянного поля по направлениям в пространстве. Максимальные уровни кроссполяризованной составляющей рассеянного поля, обусловленной киральностью материала объекта, имеют место в переднем, полупространстве. Для рассеивателей с > 0.1 в ряде направлений переднего полупространства уровень кроссполяризованной составляющей рассеянного поля сравним с уровнем кополяризованной составляющей, а в окрестности минимумов диаграммы рассеяния кополяризованной составляющей может превышать уровень последней на 10 и более децибел. В заднем полупространстве величина кроссполяризованной составляющей рассеянного поля убывает по мере приближения направления наблюдения к направлению обратного рассеяния.

5. Форма кирального объекта влияет на распределение как кополяризованной, так и кроссполяризованной компонент рассеянного поля в пространстве. В направлении прямого и обратного рассеяния кроссполяризованная компонента рассеянного поля более чувствительна к форме кирального рассеивателя, чем кополяризованная компонента. В направлении бокового рассеяния, наиболее чувствительна к форме кирального рассеивателя кополяризованная составляющая рассеянного поля.

6. Степень влияния киральных оболочек на рассеивающие свойства покрытых ими идеально проводящих тел определяется как величиной параметра киральности, так и характером и величиной потерь электромагнитной энергии в оболочке. Наиболее эффективными в плане уменьшения уровня рассеянного поля, по сравнению с магнитодиэлектрическими оболочками с такими же значениями диэлектрической и магнитной проницаемостей, являются киральные оболочки с магнитными потерями. Увеличение величины магнитных, потерь в оболочке и её толщины приводят к дополнительному уменьшению уровня рассеянного поля.

ДОСТОВЕРНОСТЬ.

Достоверность положений 1 и 2 определяется теоретическим обоснованием линейной независимости и полноты используемых для представления рассеянных полей функциональных систем, а также совпадением в частных случаях вытекающих из них результатов с известными результатами, например, [256].

Достоверность положений 3-6 определяется контролем точности содержащихся в них результатов по критерию невязки граничных условий и их. совпадением (в рамках существующей погрешности) в частных случаях с результатами строгих решений и результатами других авторов, полученными иными методами, например, [237], [257].

НАУЧНАЯ.НОВЙЗНА работы заключается в следующем.

На единой идейной основе разработана совокупность вариантов метода дисжретных источников длн. численного решения в резонансном частотном диапазоне задач электромагнитного рассеяния на трёхмерных телах различной природы, не обладающих симметрией вращения. Использование в качестве функционаяьных систем совокупностей полей тангенциально ориентированных диполей позво^ ляет уменьшить количество неизвестных соответствующей системы линейных алгебраических уравнений. Согласование размещения и ориентаций диполей с размещением точек ко л локации и направлениями постановки граничных условий, благодаря выбору гомотетична подобных вспомогательных поверхностей, приводит к улучшению её обусловленности. В совокупности с использованием итерационных методов это позволяет преодолеть трудности, связанные с решением плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений, возникающих при применении метода дискретных источников для численного решения существенно трёхмерных задач электромагнитного рассеяния^

Путем проведения вычислительных экспериментов осуществлен сравнительный анализ эффективности различных итерационных методов. Установлено, что метод сопряжённых градиентов обладает наивысшей скоростью сходимости и требует для своей реализации наименьших затрат компьютерного времени по сравнению с другими исследованными методами — методом покоординатного спуска и методом наискорейшего спуска. Исследованы особенности сходимости итерационного процесса метода сопряжённых градиентов. Обнаружено, что скорость сходимости велика на первых шагах итерационного процесса и быстро уменьшается с ростом порядкового номера выполненной итерации. Это позволяет ограничиться небольшим числом итераций и тем самым уменьшить необходимое .для решения задачи компьютерное время. Установлено, что скорость сходимости итерационного процесса резко (на 1-2 порядка) меняется при переходе от итерации к итерации, что необходимо учитывать при организации итерационного процесса, и выборе критерия останова. Обнаружено также, что скорость сходимости итерационного процесса, количество выполненных (при заданном критерии останова) итераций и достигнутое в результате этого значение минимизируемого функционала зависит от плотности размещения диполей и точек, коллокации, значений материальных параметров рассеивателей (оболочки), а также от их волновых размеров.

На примере импедансного рассеивателя показаны возможные преимущества комбинированной функциональной системы, состоящей из совокупности полей тангенциально ориентированных электрических и магнитных диполей. Установлено, что дополнительное введение магнитных диполей в те же точки, где размещены электрические диполи, приводит к увеличению скорости сходимости итерационного процесса и повышению точности решения рассматриваемой задачи рассеяния.

Исследовано влияние отклонений формы рассеивателей от осе-симметричной на величины бистатических сечений рассеяния. Рассмотрены идеально проводящие, импедансные и магнитодиэлектри-ческие тела. Установлено, что величина вариации сечения рассеяния, обусловленной деформацией рассеивателя, зависжг: от направления наблюдения. В выбранном направлении она определяется формой рассеивателя, его материальными параметрами и углом прихода возбуждающей волны. Обнаружено также, что для рассеивателей: одинаковой геометрии, характеризующихся различными по характеру, но равными по модулю поверхностными импедансами, при одних и тех же деформациях наибольшие вариации сечений рассеяния имеют место для тел с индуктивным реактансом, наименьшие — для тел с ёмкостным реактансом. Получены конкретные оценки величин вариаций сечений рассеяния, обусловленных изменением, одного из характерных размеров рассеивателя в пределах 5 - 20 процентов в направлении, нормальном оси вращения, для цилиндрических и сфероидальных рассеивателей при различных углах падения плоской волны.

Исследованы закономерности процессов рассеяния, обусловленные наличием у трёхмерных объектов киральных свойств. Рассмотрены как кополяризованная, так и кроссполяризованная составляющие рассеянного поля. Проведено изучение влияния величины параметра киральносги и формы кирального объекта на энергетические характеристики рассеянного поля. Установлено, что в направлении прямого и обратного рассеяния кроссполяризованная компонента рассеянного поля более чувствительна к форме кирального рассеивателя, чем кополяризованная компонента. Обратная ситуация имеет место в направлении бокового рассеяния. В этом направлении наиболее чувствительна к форме кирального рассеивателя кополяризованная составляющая рассеянного поля.

Исследовано влияние киральности оболочек на рассеивающие свойства покрытых ими трёхмерных идеально проводящих теп различной формы. Рассмотрены оболочки трех типов: непоглощающие кираль-ные оболочки, киральные оболочки с электрическими потерями и киральные оболочки с магнитными потерями. Установлено, что наиболее эффективными в плане уменьшения уровня рассеянного поля» в сравнении с обычными магнитодиэлектрическими оболочками с такими же значениями диэлектрической и магнитной проницаемостей, являются киральные оболочки с магнитными потерями.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ РАБОТЫ.

Разработанные варианты метода дискретных источников реализованы как пакет прикладных программ для расчета компонент поля, рассеянного идеально проводящими, импедансньши, однородными магнитодиэлектрическими и киральнымж телами, эллипсоидальной, цилиндрической или кубической конфигураций, а также структурами эллипсоидальной формы в магнитодиэлектрических и киральвых оболочках. Кроме того, пакет программ допускает табличное задание геометрии рассеивателя, что позволяет использовать его для решения задач рассеяния на телах, для которых затруднительно написать уравнение поверхности. Пакет позволяет также использовать для решения задачи минимизации соответствующего функционала метод покоординатного спуска, если размерность задачи настолько велика, что имеющийся в распоряжениикомпьютер не обладает ресурсами оперативной памяти, достаточными для эффективной реализации метода сопряжённых градиентов

Результаты .исследований влияния , отклонений форм идеально проводящих, импедансных, магнитодаэлектрических тел от осесим-метричных на величины бистатических сечений рассеяния позволяют оценить возможные ошибки в расчетах сечений рассеяния в зависимости от направления наблюдения при замене рассеивателя его осесимметричным аналогом.

Результаты исследований влияния величины параметра кираль-ности, а также формы кирального объекта на характеристики: рассеянного поля способствуют созданию методик диагностики формы киральных объектов и измерения-величины параметра киральяости.

Результаты исследований рассеивающих свойств идеально проводящих тел, покрытых киральными оболочками, позволяют сформулировать основные требования к киральным материалам, которые могут быть использованы для изготовления противорадиолокацион-ных покрытий.

ВНЕДРЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ.

Развитые в диссертации численные методы были использованы при выполнении ряда работ по Постановлениям Правительства СССР: НИР «Тенон» (1988 г.), «НФ-30/4" (1989 г.), "НФ-30/5" (1990 г.), "Чернослив" (1992 г.), "Чоко-РВО" (1992 г.).

Результаты работы используются для подготовки кадров высшей квалификации на кафедре радиофизики ТГУ.

Развитые в диссертации численные методы и алгоритмы целет сообразно рекомендовать к использованию в МГУ, МТУ СИ, МЭЙ, МйРЭА и других организациях, где занимаются разработкой численных методов решения задач электромагнитного рассеяния, а также их использованием для решения конкретных задач.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ

Основное содержание диссертации опубликовано в работах [192]-[218].

Результаты исследований по теме диссертации докладывались и обсуждались: на IX Всесоюзном симпозиуме по дифракции и распространению волн (Телави, 1985 г.); на IX Всесоюзной школе по дифракции и распространению волн (Чистополь, 1988 г.); на Всесоюзном научно - техническом совещании - семинаре "Рассеяние электромагнитных волн" (Таганрог, 1989 г.); на X Всесоюзном симпозиуме по дифракции и распространению волн (Винница, 1990 г.); на международной конференции по электродинамике киральных, биизотропяых и бианизотропных сред, иСЫгаР96" (Москва - Санкт-Петербург, 1996 г.); на 2-ой международной конференции по электромагнитному ж световому рассеянию, "Electromagnetic and Light Scattering: Theory and Applications" (Москва, МГУ, 1997 г.); на 3-ей международной конференции по электромагнитному и световому рассеянию, "Electromagnetic and Light Scattering: Theory and Apphcations" (Германия, Бремен, Бременский университет, 1998 г.); на ежегодных научных сессиях СФТЙ при ТГУ(1994,1996 гг.). Результаты исследований по теме диссертации были приняты к устному представлению: на 15-ом международном симпозиуме URSI по электромагнитной теории (Санкт-Петербург, 1995 г.); на 1-ой международной конференции по электромагнитному и. световому рассеянию, "Electromagnetic and Light Scattering: Theory and Applications'' (Бремен, Германия, Бременский университет^ 1996 г.); на 6-ой международной конференции по математическим методам в электромагнитной теории, ММЕТ'96 (Львов, Украина, 1996 г.), на которые автор диссертации приехать не смог, материалы представленных докладов опубликованы в трудах симпозиума и конференций: [203], [206], [209].

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, 117 рисунков, 5 таблиц и списка литературы из 260 наименований. Общий объем - 337 страниц.

3 А К Л Ю Ч Е Н И Е