Рассеяние электромагнитных импульсов на импедансных структурах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

004614963

На правах рукописи

РЫКШИН АЛЕКСЕЙ ЮРЬЕВИЧ

РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ИМПУЛЬСОВ НА ИМПЕДАНСНЫХ СТРУКТУРАХ

Специальность 01.04.03 - радиофизика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Томск 2010

-2 ДЕК 2010

004614903

Работа выполнена на кафедре радиофизики Алтайского государственного университета.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

кандидат физико-математических наук, доцент

Зацепин Павел Михайлович.

доктор физико-математических наук, профессор,

Якубов Владимир Петрович,

доктор физико-математических наук, профессор,

Гошин Геннадий Георгиевич.

Новосибирский государственный технический университет.

Защита состоится «11» ноября 2010 года в 14 ч. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.267.04 при Томском государственном университете по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36, ауд. 119.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке ТГУ.

Автореферат разослан «07» октября 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Пойзнер Б.Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Данная диссертационная работа посвящена развитию строгих математических методов решения задач распространения и рассеяния электромагнитных импульсов на различных структурах, в том числе обладающих импедансными поверхностями.

В современной Физике и технике широкое применение получили электромагнитные поля, создаваемые импульсными источниками. Наиболее важными областями, в которых используются такие поля, являются термоядерные реакторы, ускорители элементарных частиц, аппаратура, предназначенная для моделирования электромагнитного импульса ядерного взрыва. Кроме того, в последнее время заметен интерес к разработке приборов, предназначенных для генерации сверхкоротких импульсов, которые затем используются в различных физических приложениях. Теоретическое изучение явлений распространения и рассеяния электромагнитных полей импульсных источников на проводящих граничных поверхностях также представляет интерес при проектировании антенных устройств, линий передач, исследовании процессов распространения воли радио- и оптического диапазонов, локации искусственных объектов и дистанционного зондирования природных сред, поскольку данные, полученные при дистанционном зондировании с применением импульсных широкополосных сигналов, считаются наиболее инфо рМиТНиНЫшН.

Решение задачи дифракции плоской волны на щели и ленте с идеальными граничными условиями на поверхности рассмотрено в ряде работ (Кравченко В.Ф., 1989). При этом задача сводится к системе парных сингулярных инте1ральных уравнений (ИУ), либо к интегральному уравнению Фредгольма относительно поверхностных токов (лента) или касательной составляющей электрического поля (раскрыв). В некоторых статьях решение интегральных уравнений строится приближенно с использованием базовой

задачи дифракции на идеальной полуплоскости (метод Винера-Хопфа) (Нобл Б., 1962). Другим распространенным способом решения полученных интегральных уравнений является применение метода Бубнова-Галеркина с чебышевскими функциями в качестве ортогонального базиса. Эти разложения удобны тем, что позволяют учитывать условия на ребрах в каждом слагаемом разложения (Комаров С.A., 1S96). Некоторое количество существующих в литературе работ посвящено решению задач дифракции на структурах ленточного типа в свободном пространстве с учетом влияния импеданса. При этом распространенный подход к решению подобных задач заключается в рассмотрении импеданса как малого параметра и построении решения б виде разложения по степеням импеданса. Решение соответствующей задачи с идеально проводящими границами при этом считается известным и является в данном случае опорным (Ильинский A.C., 1983). В некоторых статьях рассматривается дифракция электромагнитных импульсов на полосе и цилиндре, где для решения ИУ применяется метод Галеркина, а подынтегральные функции разлагаются в ряд Тейлора (Лерер A.M., 1998), а также на металлической полоске и полосковой решетке, где для решения уравнений в пространственных координатах применяется метод Галеркина, а уравнения по времени решаются последовательно с использованием аппроксимационных полиномов Лагранжа (Лерер A.M., 2001). В других статьях рассматривается двухмерная дифракция электромагнитных импульсов на металлическом цилиндре, где применяется метод коллокации, и зависимость от времени аппроксимируется сплайнами и полиномами Лагранжа (Лерер A.M., 2001). Имеются теоретические и экспериментальные работы, связанные со сверхширокополосным зондированием (Суханов Д.Я., Якубов В.П. и др., 2006).

Математические проблемы, возникающие при описании явлений распространения и рассеяния электромагнитных волн импульсных источников, относятся к наиболее сложным в электромагнитной теории, и их редко удается решить строго. Граничные задачи рассеяния имеют точное решение лишь в

случае ограниченного круга простых постановок и требуют применения достаточно сложного математического аппарата. Вследствие этого, для решения большинства практически интересных задач, прибегают к приближенным методам, например основанным на принципе Гюйгенса-Френеля с использованием принципа физической оптики Кирхгофа. Кроме того, при исследовании рассеяния электромагнитных волн для простоты решения применяют модель идеально проводящих граничных поверхностей. Однако модель идеально проводящей поверхности в ряде практических приложений может не соответствовать действительности и вносить существенные ошибки в значения физических характеристик изучаемых систем. Это делает актуальным развитие направления в математических методах электромагнитной теории, связанного со строгими подходами решения дифракционных задач, когда учитывается импульсный характер источника, а на рассеивающих поверхностях выполняются приближенные граничные условия, например импедансного типа с произвольным сторонним импедансом. Развитие строгих подходов способствует совершенствованию методов решения задач рассеяния, а введение в рассмотрение импеданс!:ых структур хотя и усложняет решение, однако делает рассматриваемую проблему более содержательной, поскольку сторонний импеданс является дополнительным параметром задачи, в зависимости от которого могут изменяться характеристики рассеянного поля.

Для поиска решения таких задач используют аппарат функций Грина, что позволяет представить решение в виде интегралов, либо свести задачу к интегральным уравнениям. При таком представлении возникает проблема, связанная с тем, что подынтегральная функция имеет сингулярность в области интегрирования. Эта проблема может быть решена использованием спектрально-частотного представления (Фурье-представления) или спектрально-частотно-временного. При спектрально-частотном представлении Фурье-преобразование применяется для всех координат, в том числе и для временной координаты. Недостатком такого подхода является разложение

сигнала на плоские волны, реально не существующие, что в случае импульсного сигнала приводит к необходимости учитывать широкий спектр частот, а также вынуждает осуществить переход в комплексное пространство, результатом чего является комплексное решение. В случае спектрально-частотно-временного представления Фурье-преобразование применяется для пространственных координат, а для временной координаты используется двухпараметрическое вейвлет-преобразование. При этом, в отличие от предыдущего случая, преобразование проводится в вещественном пространстве, а сигнал разлагается по самоподобным импульсам, что дает очень узкий спектр при соответствующем выборе разлагающих функций.

Таким образом, математические методы моделирования импульсных процессов в настоящее время разработаны слабо, и развитие строгих методов решения задач распространения и рассеяния электромагнитных полей импульсных источников является актуальным.

Целью диссертационной работы является развитие строгих математических методов решения задач распространения и рассеяния электромагнитных полей импульсных источников на импедансных объектах цилиндрической формы, на структурах ленточного типа с импедансными граничными условиями вблизи границ раздела с диэлектрическими полупространствами и на диэлектрическом слое для получения выражений характеристик рассеянных полей, пригодных к численному расчету, а также анализ численных результатов и выявление особенностей в происходящих волновых процессах.

Методы исследования. При решении поставленной задачи использовались: теория дифракции электромагнитных волн, теория интегральных уравнений, строгие методы решения интегральных и дифференциальных уравнений.

Положения, выносимые на защиту

1. Характеристики рассеянного на импедансном цилиндре радиуса Д поля нестационарного источника, создающего импульс формы первой производной функции Гаусса с полушириной помимо спектрального представления допускают - при условии Я/(<?•/,.)< 8, где с - скорость света в среде - представление с использованием вейвлет-преобразования.

2. Поле нестационарного импульсного источника при прохождении диэлектрического слоя претерпевает множественные переотражения, в результате чего диаграммы коэффициентов прохождения и отражения мощности импульса имеют максимумы и минимумы, зависящие от геометрических и электромагнитных свойств сред распространения поля.

3. Решение для характеристик рассеянных полей в задаче рассеяния поля нестационарного импульсного источника на бесконечно тонкой импедаксной ленте представнмо системой интегральных уравнений относительно введенных финитных функций, представляющих собой разности касательных составляющих полей в плоскости ленты.

Достоверность первого положения подтверждается применением обратимых интегральных преобразований, логической и математической непротиворечивостью развитого теоретического метода, контролем сходимости полученных интегралов и рядов, сравнением результатов спектрального представления для случаев плоской волны и импульса с монохроматическим заполнением, сравнением результатов расчетов обоими предложенными методами, а также с результатами прямого численного моделирования.

Достоверность второго положения подтверждается применением обратимых интегральных преобразований, выполнением закона сохранения энергии, сравнением с теоретическими и экспериментальными результатами других авторов (Бреховских Л.М., 1989; Якубов В.П., 2008), сравнением с результатами прямого численного моделирования.

Достоверность третьего защищаемого положения подтверждается применением метода интегральных уравнений относительно введенных финитных функций, а для решения полученной системы интегральных уравнений метода моментов на основе ортогонального базиса полиномов Чебышева первого и второго рода, учитывающего поведение энергии рассеянного поля вблизи ребер структуры, а также сходимость полученной системы интегральных уравнений в случае монохроматической волны к системе ИУ, ранее описанной в литературе (Зацепин П.М., Комаров С. А. 1996), сравнением результатов расчета для задач рассеяния плоской волны и гауссова импульса с монохроматическим заполнением на идеально проводящей ленте в свободном пространстве, сравнением с результатами прямого численного моделирования.

Научная новизна работы

Предложено два строгих подхода к решению задачи рассеяния электромагнитной волны линейного импульсного источника на круговом импедансном цилиндре с использованием преобразования Фурье и двухпараметрического вейвлет-преобразования относительно временной координаты. Численные расчеты показали ограничения и преимущества обоих методов.

Предложен строгий подход к решению задачи рассеяния электромагнитного поля импульсного источника диэлектрическим слоем, находящимся между двух диэлектрических полупространств, с использованием

преобразования Фурье. В частных случаях определены условия экстремума прохождения энергии импульса через диэлектрический слой.

Предложено обобщение метода интегральных уравнений, ранее построенного для падающей монохроматической волны (Зацепин П.М., Комаров С. А. 1996), на случай импульсного источника. Получено строгое решение полученных интегральных уравнений с помощью метода моментов. На основе численных расчетов установлено влияние отношения между полушириной падающего импульса и полушириной ленты на симметрию диаграммы мгновенной мощности рассеянного поля. Рассмотрено влияние толщины слоя, импульсного характера источника и импеданса рассеивающей структуры на характеристики рассеянного поля.

Научная ценность работы. Развито применение метода преобразования Фурье в задачах рассеяния электромагнитных полей нестационарного импульсного источника на круговом цилиндре и на диэлектрическом слое. Для задачи рассеяния на круговом импедаисном цилиндре проведено сравнение с методом, использующим вейвлет-преобразоваиие по временной координате.

В задаче рассеяния электромагнитного поля импульсного источника на импедансной ленте развит метод интегральных уравнений, ранее рассмотренный для падающей монохроматической волны (Зацепин П.М., Комаров С. А. 1996), позволяющий получить конечные выражения для характеристик рассеянного поля, пригодные для численного счета. Метод применим для расчета рассеяния импульсов с произвольной формой во времени.

Результаты работы являются основанием для развития теории решения задач рассеяния, интересны в теории локации и дистанционного зондирования.

Практическое значение. Результаты по задаче рассеяния на круговом импедансном цилиндре позволяют рассчитать значения характеристик рассеянных полей, которые могут использоваться в теории локации.

Обнаруженная зависимость коэффициента прохождения поля импульсного источника через диэлектрический слой по мощности позволяет вычислить соотношение между полушириной импульса и глубиной слоя для эффективного переноса энергии через слой или, наоборот, для эффективного отражения импульса от слоя. Результаты задачи применимы в дистанционном зондировании земной поверхности, геофизических задачах.

Решение задачи рассеяния на импедансной ленте позволяют, например, провести предварительный анализ влияния внешнего импульсного возбуждения на электронные приборы, провести расчет поля микрополосковой линии.

Внедрение результатов работы. Результаты представленной диссертационной работы использовались в учебном процессе на физико-техническом факультете Алтайского государственного университета при выполнении курсовых и дипломных работ студентами специальности «радиофизика и электроника» 2008/09 учебного года, а также при разработке аппаратуры в ФГУП «БСКБ «Восток».

Публикации. Результаты работы отражены в одиннадцати статьях (четыре из которых опубликованы в рецензируемых журналах из списка ВАК).

Апробация результатов. Результаты работы докладывались на XXI Всероссийской научной конференции «Распространение радиоволн», Йошкар-Ола, 2005 г., XI Международной конференции «Математические методы в

электромагнитной теории» (ММЕТ'2006), Харьков, Украина, 2006 г., Международных конференциях «Актуальные проблемы радиофизики» (Томск, 2006 г., 2008 г., 2010 г.), XII Международной конференции «Математические методы в электромагнитной теории» (ММЕТ'2008), Одесса, Украина, 2008 г., Международной конференции «Computational Technologies in Electrical and Electronics Engineering» (IEEE Region 8 Sibircon 2008), Новосибирск, 2008 г.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованной литературы. Объем диссертации составляет 136 страниц машинописного текста, иллюстрируется 33 рисунками, содержит 5 таблиц, 1 приложение. Список использованной литературы, включая работы автора, составляет 95 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность выбранной темы, сформулированы цель и методы исследования.

В первой главе рассмотрены основные методы решения краевых и начальных задач, обоснован выбор методов решения задач распространения и рассеяния полей импульсных источников, проведен обзор литературы.

Во второй главе в строгой постановке рассматривается задача рассеяния импульса цилиндрической электромагнитной волны на импедансном цилиндре. Структура расположена в однородном пространстве диэлектрика с

ппгптпвтпгаи nisi vii/LU.wiirtV'm.

Геометрия задачи изображена на рис. 1. Бесконечно протяженный вдоль оси у цилиндр радиуса R с поверхностным импедансом ZZ,, где Z, = ^fi, /е, -

г

импеданс свободного пространства, а е,

¡1, - соответственно диэлектрическая и

магнитная проницаемости вакуума,

расположен в бесконечном

х

пространстве с диэлектрической

проницаемостью е,е в начале координат.

Рис. 1. Геометрия задачи

Магнитная проницаемость среды ц

принята равной 1. Первичное поле

создается сторонним источником в виде бесконечной вдоль оси у нити магнитного (электрического в случае горизонтальной поляризации поля) тока с координатами (х0,:0). Векторы напряженности поля удовлетворяют системе уравнений Максвелла, которая, в силу двумерности постановки задачи, распадается на две независимые системы относительно скалярных функций поля для вертикальной и горизонтальной поляризаций. В первом случае падающее поле индуцируется магнитным током, а во втором - электрическим. Полученные системы достаточно просто приводятся к соответствующим волновым уравнениям в пространственных и временной координатах.

Трудность решения волновых уравнений заключается в том, что в правых частях стоят функции источников электромагнитных волн, имеющие сингулярности и выражающиеся через обобщенные функции, а замкнутое решение записывается лишь в некоторых тривиальных случаях. Одним из широко распространенных способов решения таких задач является использование преобразования Фурье, позволяющее перейти от уравнений в пространственных координатах на комплексную плоскость спектральных координат. Однако, возникающие при таком преобразовании уравнения не всегда сами имеют простое решение. Применяя, например, преобразование Фурье по пространственным координатам и времени для волнового уравнения с импульсным источником, имеем решение в виде интеграла от спектральной

плотности этого источника. В результате, интеграл быстро сходится только в случае ограниченного и не имеющего быстрой осцилляции спектра. В большинстве практических случаев исследователей интересует именно короткие импульсы, обладающие широким спектром, который приводит к значительным затратам времени на численный поиск решения. Кроме того, другим недостатком такого подхода и следствием преобразований является получение комплексного решения, что требует наложения дополнительных условий. А поскольку анализирующая функция покрывает всю временную ось, при численном счете приходится ограничивать бесконечные пределы интегралов, что ведет к возможным потерям фаз решения.

Другим способом решения, который не имеет недостатков, присущих преобразованию Фурье, является применение вейвлет-преобразования:

к/К*) = М"г ]/«>Л—V = ¡/(Ое-ЮЛ, /(*) = с;1 Як

где Сг - коэффициент нормировки С¥ = ^(¿у)!'^! '¿ах00.

Ппи ппинАЦАитш овиолотло ппа аиоггнчо ^иги^ппо иАППАпиоипо орйрпрт.

преобразование более удобно; его некоторая избыточность, связанная с непрерывным изменением масштабного коэффициента а и параметра сдвига Ь, становится здесь положительным качеством, так как позволяет более полно и четко представить и проанализировать содержащуюся в данных информацию.

В работе решение задачи было проведено двумя вышеописанными способами. В случае использования для решения преобразования Фурье, полное поле в пространстве вне цилиндра представляется как суперпозиция регулярного и рассеянного полей. Регулярные поля находятся из системы уравнений Максвелла для соответствующей поляризации при условии отсутствия рассеивающего объекта. Поскольку электродинамические и геометрические параметры цилиндра не зависят от пространственной координаты у, рассеянные поля отыскиваются в предположении, что они

имеют такую же зависимость от пространственных координат, что и падающие поля, и отличаются лишь подынтегральным множителем в виде неизвестной функции частоты А'~(е>). Спектральный коэффициент А''" (си) определяется с помощью импедансного граничного условия на поверхности цилиндра

При решении задачи с использованием вейвлет-преобразования, данное преобразование применяется по временной координате. В соответствии с принципом причинности, временная зависимость в вейвлет-представлениях рассматривается как г- г/у,, где у, - скорость света в среде с диэлектрической проницаемостью е,е. Решение для падающего поля находится из волнового уравнения и системы уравнений Максвелла в случае отсутствия рассеивающего объекта. Выражения для рассеянных на цилиндре полей отыскиваются так же в предположении, что они имеют такую же зависимость от пространственных координат, что и падающие поля, и отличаются лишь интегральными множителями А", которые находятся из граничных условий на поверхности импедансного цилиндра.

Для расчета характеристик рассеянных на импедансном цилиндре полей используются выражения, содержащие ряд Релея с бесконечным количеством членов, поэтому при численных расчетах этот ряд редуцируется. В работе приводятся расчеты относительной расходимости рядов как величины

(АГ V-!

2 л« 'Х-4- при Увеличении количества учитываемых членов.

Для численных расчетов выбран импульс плотности тока источника вида первой производной функции Гаусса. Результаты для импульса с полушириной 4 10"'с в случае использования преобразования Фурье приведены в таблице 1, а для случая использования вейвлет-преобразования - в таблице 2.

Таблица 1 - Относительная расходимость ряда Д, преобразование Фурье

Количество членов ряда 5 10 17 29 43

0.5 7.1-10' 3.5Ю" 0 0 0

2.0 32 5.1 Ю2 6.1-10'* 0 0

8.0 78 1.2 2.910'' 3.2-10"1 1.1-10"

12.0 62 6.4 5.2-10"' 1.1-10"5 3.9-10"

16.0 76 14 4.6-10'1 1.8-10'® 5.1-10"

Таблица 2 - Относительная расходимость ряда Д, вейвлет-преобразование

Количество

членов ряда *> 2 4 5 6 7

0.5 7.0-10"1 1.3-10'' 2.2-10" 0 0 0

2.0 2.7-10"' 8.1-10'" 2.2Ю1и 1.1-10"" 0 0

8.0 9.7-10"' 4.7-10"' 2.1-10'; 8.9-10" 4.1-10" 0

16.0 1.7 3.3-10"1 5.9-10"° 1.0-10"" 1.8-10" 3.8-10'"

32.0 2.5 2.1-10"2 1.5-10"4 1.0-10"5 7.3 10* 5.1-10"

64.0 2.2 8.5-10"' 2.5-10"' 7.1-10"* 2.0-10"° 5.6-10""

70.0 2.1 1.1-10" 4.2-10"' 1.5-10"* 5.3Ю41 1.9-10'

Из приведенных таблиц видно, что ряды хорошо сходятся для небольших размеров цилиндра (Л/(с/,)< 8). В случае использования преобразования Фурье, для больших радиусов не удается добиться высокой точности, поскольку ограниченные вычислительные возможности не позволяют получить 44-й и выше члены ряда, что связано с вычислением комбинаций функций Бесселя и Ханкеля. При применении вейвлет-преобразования ряды сходятся значительно быстрее, чем в случае использования преобразования Фурье, а верхняя граница соотношения радиуса цилиндра к полуширине импульса я /(с г(), приемлемая для расчетов, лежит выше.

В работе приводятся диаграммы распределения модуля напряженности электрического поля горизонтальной поляризации, нормированного на максимум, для случаев падающей плоской волны и импульса формы первой производной функции Гаусса с монохроматическим заполнением. Указанные графики совпадают.

Далее сравниваются графики электрической компоненты падающего поля горизонтальной поляризации, полученные с применением преобразования Фурье, с применением вейвлет-преобразования и прямым численным моделированием. Последние два графика имеют близкий друг к другу и к производной функции тока источника вид. Однако, график результата прямого моделирования имеет небольшую асимметрию, а график случая использования преобразования Фурье имеет хорошо выраженную асимметрию.

Затем рассматриваются численные результаты для цилиндров с радиусами Л = 0.6 м и Л = 2.4 м. Ниже приведены результаты для л = 2.4 м. Полуширина импульса /, = 4 10"' с. На рис. 2 представлены графики мгновенной мощности рассеянного поля в различные моменты времени прохождения импульса по цилиндру.

Рис. 2. Прохождение импульса по цилиндру, расчитанное с помощью преобразования Фурье, г, = 410с, г -2(е>),г-Шм,г, =720м

Точка источника расположена на расстоянии г, = 720м, точки наблюдения на

расстоянии г = 480 л от центра цилиндра, импеданс цилиндра г = + ш—-»

2 \(2яст

где ст - удельная проводимость меди, /'=(*-Д/)//(, Д/ = (г + г,)/с. Можно заметить, что по проходу импульса наблюдается преобладание прямого

полляаиия Но пил Ол омпил иополтишв и пплулм^п^ииА пополгл ка^лшшно и о

«»V* инДЛУ & Ш || 1V 11» V ни

рис. 26- уход первого всплеска и прохождение главного максимума, рис. 2в^ -уход главного максимума и проход третьего максимума импульса.

Ка рис. 3 представлены аналогичные графики для случая применения

вейвлет-преобразоваиия, поверхностный импеданс цилиндра 2 = 0.5/-Лж?, а - удельная проводимость меди.

а

1.0-о.в

Рис. 3. Прохождение импульса по цилиндру, расчитанное с помощью вейвлет-преобразования. г, = 4-10"'с, г = г{а),г = Шм,г, = 720л,* = 2.4л

Заметно наползание и прохождение по цилиндру трех всплесков импульса с последующим их убыванием, рис. За - проход первого всплеска и нарастание главного максимума, преобладает обратное рассеяние, б - проход и уход первого максимума, преобладание бокового рассеяния, прохождение второго максимума, наползание третьего всплеска, в - убывание первого всплеска, прохождение главного максимума в сторону прямого рассеяния, нарастание третьего всплеска, г - уход главного максимума, проход третьего максимума в зону прямого рассеяния.

На рис. 4 для сравнения представлены аналогичные графики, полученные прямым численным моделированием для медного цилиндра.

Рис. 4. Прохождение импульса по цилиндру, расчитанное прямым численным моделированием, tl = 410*' с, медный цилиндр Из графиков видно, что их эволюция также, как и в ранее рассмотренных графиках, отражает прохождение импульса поля по цилиндру. Картина в

большей степени схожа с аналогичной, соответствующей вейвлет-преобразованию, и имеет, в отличие от случая преобразования Фурье, различимые узкие лепестки на диаграммах.

В третьей главе рассматривается задача рассеяния электромагнитного импульса ка диэлектрическом слое. Геометрия задачи изображена на рис. 5. В декартовой системе координат граница раздела верхнего полупространства и диэлектрического слоя толщиною й совпадает с плоскостью г = 0. Диэлектрические проницаемости верхнего и нижнего полупространств и слоя, е1,е1,е1 соответственно, могут принимать произвольные, в том числе и комплексные значения. Магнитная проницаемость и1Л, всех сред принята равной единице. Бесконечно протяженный вдоль оси у линейный источник с плотностью поверхностного тока (электрического или магнитного) имеет координаты (х0, г0). Источник излучает первичное поле, рассеиваемое слоем. Требуется найти рассеянное поле в произвольной точке пространства.

Электромагнитные поля в различных областях пространства в общем виде представляются в виде суммы падающей и переотраженных составляющих. При этом поля в верхнем полупространстве являются суперпозицией отраженного от диэлектрического слоя поля источника и вышедшего из слоя в область г£0 переотраженного внутри слоя -с/ £ г 2 0 поля. Поля в нижнем полупространстве представляют собой прошедшие в нижнюю область пространства г ^ -й поля, создаваемые прошедшими в слой падающим полем источника и его переотражениями внутри слоя.

Для определения неизвестных полей рассматриваются граничные условия на верхней и нижней границах слоя, а также учитываются все переотражения

X

✓

< *

Рис. 5. Постановка задачи

внутри него. Граничные условия для вышеописанных полей состоят в сшивании их касательных составляющих на границах раздела сред г = 0 и г = Подстановка представлений полей в граничные условия и решение системы полученных уравнений позволяет найти выражения для спектральных плотностей всех компонент полей для всех трех сред задачи и соответствующие интегральные представления электромагнитных полей.

Далее рассматриваются численные результаты для мощности полей: Р',х,(х,г)*= Ляч,,,,(х,г,<)х Н'-'хз(х,г,1^Л. В качестве временной зависимости

а

импульса использовалась та же, что и в предыдущей задаче. Сравниваются графики коэффициентов прохождения и отражения мощности полей, рассчитанные по полученным формулам и прямым численным моделированием. Графики построены в зависимости от толщины слоя для полуширины импульса »,. м-НГ'с и диэлектрических проницаемостей г, =1,г, =6,е, =1 в случае нормального падения, максимальное расхождение составляет 13%.

На рис. 6 представлены трехмерные диаграммы прошедших и отраженных от слоя мощностей, нормированных на мощность падающего поля, в зависимости от толщины слоя й и полуширины импульса г, при следующих значениях диэлектрических проницаемостей: е, = 1.0, ег = 2.2, с3 = 80.0. Заметно, что при определенном соотношении толщины диэлектрического слоя и полуширины импульса имеется выраженный максимум энергии прошедшего через диэлектрический слой поля.

На рис. 7 представлены аналогичные диаграммы зависимости прошедших и отраженных от слоя мощностей для случая следующих значений диэлектрических проницаемостей: е, - 6.0, ег = 2.2, = 80.0, нормальное падение. Видно, что, в отличие от предыдущего случая, имеется выраженный максимум энергии отраженной от диэлектрического слоя поля и минимум для

прошедшего поля. Полученные результаты имеют ценность в практических приложениях.

Рис. 6. Коэффициенты отражения и прохождения по мощности, нормированные на мощность падающего поля, е, = 1.0, е2 = 2.2, е, =80.0, в=0°

Рис. 7. Диаграммы коэффициентов прохождения и отражения мощности, а отраженных и б - прошедших полей для сред с диэлектрическими проницаемостями е, = 6.0, ег = 2.2, £3 = 80.0 при нормальном падении

В четвертой главе рассматривается задача рассеяния поля нестационарного импульсного источника на бесконечно тонкой импедансной ленте над диэлектрическим слоем.

Геометрия задачи изображена на рис. 8. В декартовой системе координат граница раздела верхнего полупространства и диэлектрического слоя совпадает с плоскостью г = 0. Диэлектрические проницаемости верхнего

Эо / "V У Ьл .X

/ > \ И.

полупространства, слоя и нижнего

(х -.)

1 угг полупространства могут принимать

/

/ произвольные, в том числе и комплексные

значения. Магнитная проницаемость всех сред принята равной единице. Бесконечно тонкая и бесконечно протяженная лента шириной 1а, имеющая Рис. 8. Постановка задачи сторонний импеданс 2У1 на верхней и

нижней сторонах соответственно, ориентирована вдоль оси у и находится над слоем диэлектрика толщиной </,. Первичный импульс от бесконечно протяженного вдоль оси у линейного источника с координатами (*„,*„) приходит со стороны верхнего полупространства под углом в, к оси координат г.

Для удобства решения вводятся безразмерные координаты и, у в соответствии со следующими соотношениями: и = х/а, у = г/а, при этом координаты источника принимают вид: и,=х,/а, V, -г,!а. Аналогично вводится безразмерное волновое число ~ ^¿г,^, от, плотность поверхностного тока источника /**" = ¡'"а, безразмерная толщина слоя </ = */,/ а.

Электромагнитные поля во всех областях пространства в общем виде представляются в виде суммы регулярной и рассеянной составляющих. Регулярные поля легко находятся с использованием результатов прошлой главы. Искомые рассеянные на импедансной ленте поля представляются в виде интегралов Фурье с неизвестными спектральными плотностями /Г'(£,а>) и В"'(£,<и). Для определения значений этих плотностей требуется использовать граничные условия на плоскости V = 0: импедансного типа на поверхности ленты сверху и снизу и условия сшивания касательных составляющих полей вне ленты. Для удобства дальнейшего построения решения вводятся

вспомогательные функции Г,у(и,1), представляющие собой электрический и магнитный токи на ленте и выражающиеся через разность касательных составляющих полей сверху и снизу границы у = 0. Введенные таким образом функции являются финитными, поскольку отличны от нуля только на

ленте |и|<1 в соответствии с граничными условиями. Подстановка интегрального представления полей в выражения для финитных функций позволяет найти спектральные плотности А"(£,©),(4,а) через Фурье-образы финитных функций /,"'(£,©). Применение граничных условия импедансного типа на ленте приводит к интегральным уравнениям для неизвестных спектральных плотностей финитных функций:

Решение полученной системы интегральных уравнений производится методом моментов. Для этого финитные функции, спектральные плотности которых стоят под интегралами в системе (1), разлагаются по системе ортогональных функций, в качестве которых использовались полиномы Чебышева первого и второго рода. В результате такого разложения системы интегральных уравнений преобразуются в бесконечные системы линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ) относительно неизвестных коэффициентов разложения искомых функций в ряды. Полученные БСЛАУ решаются затем численно методом редукции.

При численных расчетах рассматривается импульс плотности тока вида первой производной функции Гаусса, и строятся диаграммы распределения мгновенной мощности рассеянного поля в момент прихода максимума импульса для различных величин его полуширины г,, полуширины ленты а и толщины диэлектрического слоя </Источник и точка наблюдения находятся на расстоянии 300 м от центра ленты.

На рис. 9 представлены диаграммы распределения мгновенной мощности рассеянного поля для импульса полушириной г, =510"" с и идеально проводящей ленты для значений толщины слоя 0.01 м, 0.03 м, 0.06 м и 0.12 м. Диэлектрические проницаемости сред: е, = 1,е.=5,е, =10' (полное отражение от нижнего полупространства), угол падения 0, = 30°. Заметно, что при малой ширине ленты, диаграммы стремятся к симметричному виду, а при увеличении ширины ленты лепестки сужаются, происходит перераспределение энергии в

сторону прямого угла отражения.

Рис. 9. Диаграммы распределения мгновенной мощности рассеянного поля для импульса полушириной <,. = 5 • 10'" с, в- - 30°

На рис. 10 представлены диаграммы распределения мгновенной мощности рассеянного поля для импульса с полушириной 1,-5-10 "с, угол падения О, = 30', импеданс ленты г,=г1= 0.51. В отличие от случая идеально

проводящей ленты заметно перераспределение мощности между боковыми лепестками, рис. 10д, при больших значениях полуширины ленты влияние импеданса на угловое распределение не значительное.

а ® б ю

Рис. 10. Диаграммы распределения мгновенной мощности рассеянного поля для импульса полушириной = 5 ■ 1<г" с

Таким образом, строго решена задачи дифракции поля импульсного источника на импедансной ленте над диэлектрическим слоем. Численные результаты показывают, что существует граница с/,/я = I (где с - скорость света в среде, г, - полуширина импульса, а - полуширина ленты), выше которой диаграммы распределения мгновенной мощности рассеянного поля, несмотря на наклонное падение поля источника, имеют стремящийся к

Л]||1|(вТ^«1Ш1ГЛ1(1Г ПТГГГ ЛЧ'ИЛЛИТвт ПП ПЛПИЩТ!1 »» IШМ/О 1'1")1<1Ш1Л11 ГПКНИН I

Ци^МШкН) «А ШШ^ ^тмииоин 1 рШ1ГЩи1

диаграммы имеют выраженные области прямого рассеяния.

В заключении кратко сформулированы основные результаты и выводы работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

Основные результаты и выводы работы можно кратко сформулировать следующим образом.

1. Развит метод решения задачи рассеяния поля импульсного источника на круговом цилиндре с конечным импедансом поверхности. Показана возможность представления полей как через разложение в ряд по Фурье-гармоникам, так и с применением двухпараметрического вейвлет-преобразования. Численно исследовано влияние импеданса и размера цилиндра на рассеяние поля импульса с временной зависимостью в виде первой производной функции Гаусса.

2. Для задачи рассеяния поля импульсного источника на диэлектрическом слое получены интегральные представления для компонент полей во всех областях пространства. Численно исследовано влияние толщины слоя, полуширины импульса и соотношений между значениями диэлектрических проницаемостей сред задачи на коэффициенты отражения и прохождения по мощности.

3. Получены системы интегральных уравнений для задачи рассеяния поля импульсного источника на ленте с импедансными граничными условиями, сформулированные относительно введенных финитных функций. Строгие решения полученных интегральных уравнений определены с применением метода моментов. Проведены численные исследования влияния значений полуширины ленты и толщины диэлектрического слоя на рассеянное поле импульсного источника.

4. Для всех описанных задач написаны программы расчета характеристик падающих и рассеянных полей.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Рыкшин А.Ю. Дифракция короткого импульса на щели в импедансном экране И Физика, радиофизика - новое поколение в науке: Межвузовский сборник научных статей молодых ученых, аспирантов, студентов. Вып. 4 под ред. В.В. Полякова. - Барнаул: Изд-во Алт. ун-та. - 2004. - с. 149-155.

2. Комаров С.А., Рыкшин А.Ю., Зацепин П.М. Дифракция короткого импульса на щели в импедансном экране // Распространение радиоволн: сборник докладов XXI Всероссийской научной конференции. В 2-х т.-Йошкар-Ола: МарГТУ,- 2005 - с. 364-368.

3. Рыкшин А.Ю., Зацепин П.М. Дифракция короткого электромагнитного импульса на импедансном цилиндре // Известия Алтайского государственного университета. Сер.: Математика. Прикладная математика и информатика. Физика - №1 (49).- Барнаул: Изд-во Алт. ун-та-2006,-с. 149-151.

4. Komarov S.A., Zatsepin P.M., Rykshin A.Y. Diffraction of Electromagnetic Pulse by Impedance Cylinder // Xlth International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory (MMET'2006) Proceedings. Kharkiv, Ukraine.- 2006,- Pp. 517-519.

5. Рыкшин А.Ю., Зацепин П.М. Дифракция короткого импульса на импедансном цилиндре // Известия высших учебных заведений. Физика-2006,- №9. Приложение - С. 49-52.

6. Зацепин П. М., Рыкшин А.Ю., Зацепин Д.П., Малинин П.В. Вейвлет метод в задаче излучения импульсного нитевидного источника в свободном пространстве И Известия Алтайского государственного университета.- № 1.- 2007,- С. 109-111.

7. Rykshin A., Zatsepin P., Komarov S. Electromagnetic Pulse Scattering by Dielectric Layer // XHth International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory (MMET'2008) Proceedings. Odesa, Ukraine.- 2008. -Pp. 415-419.

28 ф

8. Zatsepin P.M., Rykshin A.Y. Electromagnetic Pulse Scattering by Impedance Cylinder // Proceedings of 2008 IEEE Region 8 International Conference on Computational Technologies in Electrical and Electronics Engineering, Sibircon 2008. Novosibirsk, Russia.- 2008.- Pp. 350-354.

9. Зацепин П.М., Рыкшин А.Ю. Дифракция электромагнитного импульса на импедансной ленте над диэлектрическим слоем // Известия высших учебных заведений. Физика - 2008 -№9/2.-С. 34-38.

Ю.Рыкшин А.Ю., Зацепин П.М. Моделирование рассеяния электромагнитного импульса на диэлектрическом слое // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Сер. «Физико-математические науки».-2009.- №4 (88).- с. 14-18.

11.Рыкшин А.Ю., Зацепин П.М. Дифракция электромагнитного импульса на импедансной ленте в диэлектрическом слое // Известия высших учебных заведений. Физика,- 2010.- №9/2.- С. 33-37.

Подписано в печать 5.10.2010. Формат 60x84/16. Усл.печл. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ Ъ1 i

Типография Алтайского государственного университета: 656049, Барнаул, ул. Димитрова, 66

ВВЕДЕНИЕ.

I. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ РАССЕЯНИЯ.

1.1. Постановка краевых задач.

1.2. Методы геометрической и физической оптики.

1.3. Проекционные и сеточные методы.

1.4. Вариационные методы.

1.5. Метод коллокаций.

1.6. Метод дискретных источников.

1.7. Работы, связанные с исследованием импеданса поверхностей.

1.8. Применение техники вейвлет-преобразования.

1.9. Работы, связанные с исследованием рассеяния импульсов.

II. РАССЕЯНИЕ ИМПУЛЬСА НА ИМПЕДАНСНОМ ЦИЛИНДРЕ.

2.1 Формулировка задачи.

2.2 Импедансные граничные условия.

2.3 Решение волновых уравнений.

2.4 Поле источника и рассеянное поле. Вертикальная поляризация.

2.5 Поле источника и рассеянное поле. Горизонтальная поляризация

2.6 Применение вейвлет-преобразования в задаче.

2.7 Поле источника и рассеянное поле. Вертикальная поляризация.

2.8 Поле источника и рассеянное поле. Горизонтальная поляризация

2.9 Расчетные соотношения и численные результаты.

III. РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИМПУЛЬСА НА ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОМ СЛОЕ.

3.1. Формулировка задачи.

3.2. Запись решения для поля. Вертикальная поляризация.

3.3. Запись решения для поля. Горизонтальная поляризация.

3.4. Численные результаты.

IV. РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИМПУЛЬСА НА ИМПЕДАНСНОЙ ЛЕНТЕ НАД ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИМ СЛОЕМ.

4.1. Формулировка задачи.

4.2. Запись решения для поля. Вертикальная поляризация.

4.3. Запись решения для поля. Горизонтальная поляризация.

4.4. Интегральные уравнения задачи. Вертикальная поляризация.

4.5. Интегральные уравнения задачи. Горизонтальная поляризация

4.6. Численные результаты.

Актуальность. Данная диссертационная работа посвящена развитию строгих математических методов решения задач распространения и рассеяния электромагнитных импульсов на различных структурах, в том числе обладающих импедансными поверхностями.

В современной физике и технике широкое применение получили электромагнитные поля, создаваемые импульсными источниками. Наиболее важными областями, в которых используются такие поля, являются термоядерные реакторы, ускорители элементарных частиц, аппаратура, предназначенная для моделирования электромагнитного импульса ядерного взрыва. Кроме того, в последнее время заметен интерес к разработке приборов, предназначенных для генерации сверхкоротких импульсов, которые затем используются в различных физических приложениях. Теоретическое изучение явлений распространения и рассеяния электромагнитных полей импульсных источников на проводящих граничных поверхностях также представляет интерес при проектировании антенных устройств, линий передач, исследовании процессов распространения волн радио- и оптического диапазонов, локации искусственных объектов и дистанционного зондирования природных сред, поскольку данные, полученные при дистанционном зондировании с применением импульсных широкополосных сигналов, считаются наиболее информативными.

В ряде работ рассмотрено решение задачи дифракции плоской волны на щели и ленте с идеальными граничными условиями на поверхности [1]. При этом задача сводится к системе парных сингулярных интегральных уравнений (ИУ), либо к интегральному уравнению Фредгольма относительно поверхностных токов (лента) или касательной составляющей электрического поля (раскрыв). В некоторых статьях решение интегральных уравнений строится приближенно с использованием базовой задачи дифракции на идеальной полуплоскости (метод Винера-Хопфа) [2]. Другим распространенным способом решения полученных интегральных уравнений является применение метода Бубнова-Галеркина с чебышевскими функциями в качестве ортогонального базиса. Эти разложения удобны тем, что позволяют учитывать условия на ребрах в каждом слагаемом разложения [3]. Некоторое количество существующих в литературе работ посвящено решению задач дифракции на структурах ленточного типа в свободном пространстве с учетом влияния импеданса. При этом распространенный подход к решению подобных задач заключается в рассмотрении импеданса как малого параметра и построении решения в виде разложения по степеням импеданса. Решение соответствующей задачи с идеально проводящими границами при этом считается известным и является в данном случае опорным [4]. В некоторых статьях рассматривается дифракция электромагнитных импульсов на полосе и цилиндре, где для решения ИУ применяется метод Галеркина, а подынтегральные функции разлагаются в ряд Тейлора [5], а также на металлической полоске и полосковой решетке, где для решения уравнений в пространственных координатах применяется метод Галеркина, а уравнения по времени решаются последовательно с использованием аппроксимационных полиномов Лагранжа [6]. В других статьях рассматривается двухмерная дифракция электромагнитных импульсов на металлическом цилиндре, где применяется метод коллокации, и зависимость от времени аппроксимируется сплайнами и полиномами Лагранжа [7]. Имеются теоретические и экспериментальные работы, связанные со сверхширокополосным зондированием [8, 9].

Математические проблемы, возникающие при описании явлений распространения и рассеяния электромагнитных волн импульсных источников, относятся к наиболее сложным в электромагнитной теории, и их редко удается решить строго. Граничные задачи рассеяния имеют точное решение лишь в случае ограниченного круга простых постановок и требуют применения достаточно сложного математического аппарата. Вследствие этого, для решения большинства практически интересных задач прибегают к приближенным методам, например основанным на принципе Гюйгенса-Френеля с использованием принципа физической оптики Кирхгофа. Кроме того, при исследовании рассеяния электромагнитных волн для простоты решения применяют модель идеально проводящих граничных поверхностей. Однако модель идеально проводящей поверхности в ряде практических приложений может не соответствовать действительности и вносить существенные ошибки в значения физических характеристик изучаемых систем. Это делает актуальным развитие направления в математических методах электромагнитной теории, связанного со строгими подходами решения дифракционных задач, когда учитывается импульсный характер источника, а на рассеивающих поверхностях выполняются приближенные граничные условия, например импедансного типа с произвольным сторонним импедансом. Развитие строгих подходов способствует совершенствованию методов решения задач рассеяния, а введение в рассмотрение импедансных структур хотя и усложняет решение, однако делает рассматриваемую проблему более содержательной, поскольку сторонний импеданс является дополнительным параметром задачи, в зависимости от которого могут изменяться характеристики рассеянного поля.

Для поиска решения таких задач используют аппарат функций Грина, что позволяет представить решение в виде интегралов, либо свести задачу к интегральным уравнениям. При таком, представлении возникает проблема, связанная с тем, что подынтегральная функция может иметь сингулярность в области интегрирования. Эта проблема решается использованием спектрально-частотного представления (Фурье-представления) или спектрально-частотно-временного. При спектрально-частотном представлении Фурье-преобразование применяется для всех координат, в том числе и для временной координаты. Недостатком такого подхода является разложение сигнала на плоские волны, реально не существующие, что в случае импульсного сигнала приводит к необходимости учитывать широкий спектр частот, а также вынуждает осуществить переход в комплексное пространство, результатом чего является комплексное решение. В случае спектрально-частотно-временного представления Фурье-преобразование применяется для пространственных координат, а для временной координаты используется двухпараметрическое вейвлет-преобразование. При этом, в отличие от предыдущего случая, преобразование проводится в вещественном пространстве, а сигнал разлагается по самоподобным импульсам, что дает очень узкий спектр при соответствующем выборе разлагающих функций.

Таким образом, математические методы моделирования импульсных процессов в настоящее время разработаны слабо, и развитие строгих методов решения задач распространения и рассеяния электромагнитных полей импульсных источников является актуальным.

Целью диссертационной работы является развитие строгих математических методов решения задач распространения и рассеяния электромагнитных полей импульсных источников на импедансных объектах цилиндрической формы, на структурах ленточного типа с импедансными граничными условиями вблизи границ раздела с диэлектрическими полупространствами и на диэлектрическом слое для получения выражений характеристик рассеянных полей, пригодных к численному расчету, а также анализ численных результатов и выявление особенностей в происходящих волновых процессах.

Методы исследования. При решении поставленной задачи использовались: теория дифракции электромагнитных волн, теория интегральных уравнений, строгие методы решения интегральных и дифференциальных уравнений.

Положения, выносимые на защиту

1. Характеристики рассеянного на импедансном цилиндре радиуса Я поля нестационарного источника, создающего импульс формы первой производной функции Гаусса с полушириной помимо спектрального представления допускают - при условии Я/(с-г,.)<8, где с - скорость света в среде - представление с использованием вейвлет-преобразования.

2. Поле нестационарного импульсного источника при прохождении диэлектрического слоя претерпевает множественные переотражения, в результате чего диаграммы коэффициентов прохождения и отражения мощности импульса имеют максимумы и минимумы, зависящие от геометрических и электромагнитных свойств сред распространения поля.

3. Решение для характеристик рассеянных полей в задаче рассеяния поля нестационарного импульсного источника на бесконечно тонкой импедансной ленте представимо системой интегральных уравнений относительно введенных финитных функций, представляющих собой разности касательных составляющих полей в плоскости ленты.

Достоверность первого положения подтверждается применением обратимых интегральных преобразований, логической и математической непротиворечивостью развитого теоретического метода, контролем сходимости полученных интегралов и рядов, сравнением результатов для случаев плоской волны и импульса с монохроматическим заполнением, сравнением результатов расчетов обоими предложенными методами, а также с результатами прямого численного моделирования.

Достоверность второго положения подтверждается применением обратимых интегральных преобразований, выполнением закона сохранения энергии, сравнением с теоретическими и экспериментальными результатами других авторов [9, 10] ), сравнением с результатами прямого численного моделирования.

Достоверность третьего защищаемого положения подтверждается применением метода интегральных уравнений относительно введенных финитных функций, а для решения полученной системы интегральных уравнений метода моментов на основе ортогонального базиса полиномов Чебышева первого и второго рода, учитывающего поведение энергии рассеянного поля вблизи ребер структуры, а также сходимость полученной системы интегральных уравнений в случае монохроматической волны к системе ИУ, ранее описанной в литературе [3], сравнением результатов расчета для случаев рассеяния плоской волны и гауссова импульса с монохроматическим заполнением на идеально проводящей ленте в свободном пространстве, сравнением с результатами прямого численного моделирования.

Научная новизна работы

Предложено два строгих подхода к решению задачи рассеяния электромагнитной волны линейного импульсного источника на круговом импедансном цилиндре с использованием преобразования Фурье и двухпараметрического вейвлет-преобразования относительно временной координаты. Численные расчеты показали ограничения и преимущества обоих методов.

Предложен строгий подход к решению задачи рассеяния электромагнитного поля импульсного источника диэлектрическим слоем, находящимся между двух диэлектрических полупространств, с использованием преобразования Фурье. В частных случаях определены условия экстремума прохождения энергии импульса через диэлектрический слой.

Предложено обобщение метода интегральных уравнений, ранее построенного для падающей монохроматической волны [3], на случай импульсного источника. Получено строгое решение полученных интегральных уравнений с помощью метода моментов. На основе численных расчетов установлено влияние отношения между полушириной падающего импульса и полушириной ленты на симметрию диаграммы мгновенной мощности рассеянного поля. Рассмотрено влияние толщины слоя, импульсного характера источника и импеданса рассеивающей структуры на характеристики рассеянного поля.

Научная ценность-работы. Развито применение метода преобразования Фурье в задачах рассеяния электромагнитных полей импульсного источника на круговом, цилиндре и на диэлектрическом слое. Для задачи рассеяния на круговом импедансном цилиндре проведено сравнение с методом, использующим вейвлет-преобразование по временной координате.

В задаче рассеяния электромагнитного поля импульсного источника на импедансной ленте развит метод интегральных уравнений, ранее рассмотренный для падающей- монохроматической волны [3], позволяющий получить конечные выражения для характеристик рассеянного поля, пригодные для численного счета. Метод применим для расчета рассеяния импульсов с произвольной формой во времени.

Результаты работы являются основанием для развития теории решения задач рассеяния, интересны в теории локации и дистанционного зондирования.

Практическое значение. Результаты по задаче рассеяния на круговом импедансном цилиндре позволяют рассчитать значения характеристик ; рассеянных полей, которые могут использоваться в теории локации.

Обнаруженная зависимость коэффициента прохождения поля импульсного источника через диэлектрический слой по мощности позволяет вычислить соотношение между полушириной импульса и глубиной слоя для эффективного переноса энергии через слой или, наоборот, для эффективного отражения импульса от слоя. Результаты задачи применимы в дистанционном зондировании земной поверхности, геофизических задачах.

Решение задачи рассеяния на импедансной ленте позволяют, например, провести предварительный анализ влияния внешнего импульсного возбуждения на электронные приборы, провести расчет поля микрополосковой линии.

Внедрение результатов работы. Результаты представленной диссертационной работы использовались в учебном процессе на физико-техническом факультете Алтайского государственного университета при выполнении курсовых и дипломных работ студентами специальности «радиофизика и электроника» в 2008/09 учебном году, а также при разработке аппаратуры в ФГУП «БСКБ «Восток».

Публикации. Результаты работы отражены в одиннадцати статьях (четыре из которых опубликованы в рецензируемых журналах из списка ВАК).

Апробация результатов. Результаты работы докладывались на XXI Всероссийской научной конференции «Распространение радиоволн», Йошкар-Ола, 2005 г., XI Международной конференции «Математические методы в электромагнитной теории» (ММЕТ'2006), Харьков, Украина, 2006 г., Международных конференциях «Актуальные проблемы радиофизики» (Томск, 2006 г., 2008 г., 2010 г.), XII Международной конференции «Математические методы в электромагнитной теории» (ММЕТ'2008), Одесса, Украина, 2008 г., Международной конференции «Computational Technologies in Electrical and Electronics Engineering» (IEEE Region 8 Sibircon 2008), Новосибирск, 2008 г.

I. Методы решения задач рассеяния

1.1.

Постановка краевых задач

Математическое описание многих физических процессов приводит к дифференциальным и интегральным уравнениям или даже к интегро-дифференциальным уравнениям. Весьма широкий класс физических процессов описывается линейными дифференциальными уравнениями второго порядка.[11]:

Частным случаем этого уравнения, которое будет использоваться в данной работе при описании явлений распространения электромагнитных волн, является волновое уравнение следующего вида: где символом Е обозначен оператор Даламбера, / - функция источника, а в качестве функции и может выступать одна из компонент электромагнитного поля.

Поставленное дифференциальное уравнение с частными производными имеет, вообще говоря, бесчисленное множество решений. Чтобы выделить решение, описывающее реальный физический процесс, необходимо, кроме самого уравнения, описывающего этот процесс, задать краевые условия: его начальное состояние (начальные условия) и режим на границе той области, в которой происходит этот процесс (граничные условия). Соответствующая задача называется краевой задачей с начальными условиями.

1.1)

1.2)

Прежде чем формулировать математические постановки краевых задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка, необходимо классифицировать эти уравнения. Рассмотрим квазилинейное (линейное относительно всех старших производных) дифференциальное уравнение второго порядка д2и

1.3) у=1 ох ¡ах. с непрерывными коэффициентами а0(х). Исследуем преобразование коэффициентов ау(х) при произвольной неособенной замене независимых переменных >> = у(х), и = = ¿а

Э(Х| ,Х2,.,ХП) 0. Фиксируем точку х0,

Эу (х ) " обозначим у0 = у(х0), аи = , тогда % (у0) = ^ а-. (х0 )ана^ . Полученная

Х1 <•,;=! формула преобразования коэффициентов ау.(х) в точке х0 совпадает с л формулой преобразования коэффициентов квадратичной формы ^1аи(х0)р1р]

•-;=1 л при неособенном линейном преобразовании р1 =^Га1д1,йе1(аи)Ф0. 1

Существует неособенное преобразование, при котором квадратичная форма принимает следующий канонический вид:

Е<?/2-1>/\т<п. (1.4)

1 1=г+1

Это позволяет классифицировать дифференциальные уравнения вида (1.3) в зависимости от значений, принимаемых коэффициентами (х) в точке х0.

Если в квадратичной форме (1.4) т = л и все слагаемые одного знака (т.е. либо г = т, либо г = 0), то уравнение (1.3) называется уравнением эллиптического типа; если т = п, но имеются слагаемые разных знаков, то уравнение (1.3) - гиперболического типа; наконец, если т<п, то уравнение (1.3) - параболического типа.

В частности, волновое уравнение относится к гиперболическому (или параболическому) типу уравнений, и далее будут рассматриваться только эти два типа уравнений.

Вернемся к постановке задач. В зависимости от задаваемых условий для гиперболического и параболического типа уравнений выделяют два основных типа краевых задач.

Задача Коши. Задаются начальные условия, область С совпадает со всем пространством Я", граничные условия отсутствуют.

Смешанная задача. Задаются и начальные, и граничные условия, Б & Я".

Опишем подробнее постановку каждой из перечисленных краевых задач. Линейное дифференциальное уравнение второго порядка д2и р—г = <Цу(р£тади)-ди + Е(х,0. (1.5) я описывает процессы колебаний. Пусть С с Я" — область, где происходит процесс, 5 - ее граница, которую считаем кусочно-гладкой поверхностью. Областью задания уравнения (1.5) будем считать цилиндр ЦТ =Сх(0,Т) высоты Т и основанием С. Будем предполагать, что коэффициенты р, р и q уравнения (1.5) не зависят от времени г, далее, в соответствии с их физическим смыслом, будем считать, что р(х)>0, р(х)>0, д(х)>0, хе (3; р^еС^Р), ре С1 (С). При этих предположениях, согласно описанной выше классификации, уравнение колебаний (1.5) - гиперболического типа.

Для уравнения колебаний (1.5) задача Коши ставится следующим образом: найти функцию и(х,0 класса С2(?>0)ПС'(^0), удовлетворяющую уравнению (1.5) в полупространстве / > 0 и начальным условиям при г = +0:

1=0 = "<>(■*)• ди э7

1 (х).

1=0

1.6)

При этом необходимо, чтобы ^ е СО > 0), и0 е С\ял), и, е С(Я").

Смешанная задача для уравнения колебаний (1.5) ставится следующим образом: найти функцию и(х,0 класса С2(ЦТ)Г\С1(ЦТ), удовлетворяющую уравнению (1.5) в цилиндре Цт, начальным условиям (1.6) при ¿ = 0,л;<=с; и граничному условию: ади оси+р— Эп

1.7) 5

При этом должны быть выполнены условия гладкости fgc(^(7.), м0 е с'(с?), их<ЕС((}), у - кусочно-непрерывна на 5х[0,Г] и условия согласованности оди0

Эп

I а Эи, Эv г=0

Для решения задачи Коши описанного дифференциального уравнения можно воспользоваться фундаментальным решением задачи, при котором полное решение находится через свертку фундаментального решения и функции правой части уравнения.

При решении смешанных задач получить аналитическое решение возможно лишь для ограниченного числа простых' постановок. Например, для решения задачи о дифракции для тел- нескольких простых форм применим простейший метод нахождения поля - метод разделения переменных, сущность которого состоит в том, что решение ищется в виде бесконечной суммы, каждый член которой есть произведение функций, зависящих только от одной координаты. Условием применимости этого метода является существование такой системы координат, в которой,- во-первых, поверхность тела совпадает с какой-либо координатной поверхностью, и, во-вторых, уравнения Максвелла распадаются на несколько обыкновенных дифференциальных уравнений. В ряде случаев, когда неприменим метод разделения переменных, возможно использование разложения по собственным функциям некоторых вспомогательных однородных задач [12].

Многие задачи дифракции, сформулированные в терминах дифференциальных уравнений, при помощи функций Грина удается свести к интегральным уравнениям (ИУ), в которых, например, по полю в диэлектрике, току на металле, полю на отверстии дифракционное поле во всем пространстве выражается уже в явном виде.

В общем случае линейные интегральные уравнения могут быть представлены в виде: г (1-8)

8(х)у(х)-Л1К(х,я)у(з)еЬ = /(х),хе <2, а где K(x,s) - ядро РТУ, /(*) - правая часть уравнения с областью определения Q, Л - параметр уравнения (часто полагаемый равным 1 или -1), y(s) -искомая функция с областью определения О. - переменной (как, например, в случае уравнения Вольтерры) или постоянной (в этом случае уравнение (1.8) есть уравнение Фредгольма). Функции K(x,s), /О), g(x), параметр Л и области Q и О. полагаются заданными, а функция y(s) - искомой. Например, в данной работе, решение задачи рассеяния электромагнитного импульса на ленте сводится к решению системы интегральных уравнений Фредгольма первого рода следующего вида [13]: f(x),x<= Q. а (1.9)

Достоинством интегральных уравнений является то, что они более легко поддаются численному анализу.

В итоге, можно утверждать, что аналитическое решение описываемых дифференциальных уравнений применимо лишь в ограниченном числе случаев, в которых определены гладкие границы, строго выполняются условия сшивания, поведение функции на границе известно.

Однако к наиболее интересным постановкам краевых задач вышеперечисленные методы поиска аналитического решения неприменимы, либо являются неэффективными. Одной из проблем, присущей краевым задачам, является, собственно, наличие границ и краев, так что искомые поля невозможно записать во всем пространстве, и приходится определять их по подобластям, а затем при решении пользоваться различными условиями сшивания по границам областей существования соответствующих решений. Относительно временной координаты данная проблема выражается в несуществовании решения до определенного момента времени начала, что приводит к разрыву функции решения во временной части, для выполнения принципа причинности приходится строить аналитическое продолжение в область до начала существования.

Определение кусочно-непрерывных краевых условий приводит к необходимости дополнительного задания поведения искомых функций вблизи точек разрыва исходя из физических соображений относительно описываемого явления. В общем случае получаемые решения являются обобщенными функциями, анализ которых также составляет определенную сложность.

Поэтому в большинстве практически интересных случаев описываемые задачи решаются численно. Рассмотрим более подробно наиболее распространенные и применяемые численные методы решения краевых задач.

Основные результаты работы можно кратко сформулировать следующим образом.

1. Развит метод решения задачи рассеяния поля импульсного источника на круговом цилиндре с конечным импедансом поверхности. Показана возможность представления полей как через разложение в ряд по Фурье-гармоникам, так и с применением двухпараметрического вейвлет-преобразования. Написана программа для расчета характеристик рассеянных полей. Численно исследовано влияние импеданса и размера цилиндра на рассеяние поля импульса с временной зависимостью в виде первой производной функции Гаусса.

2. Получены системы интегральных уравнений для задачи рассеяния поля импульсного источника на ленте с импедансными граничными условиями, сформулированные относительно введенных финитных функций. Строгие решения полученных интегральных уравнений определены с применением метода моментов. При помощи созданной программы проведены численные исследования влияния полуширины ленты и глубины диэлектрического слоя на рассеянное поле импульса с временной зависимостью в виде первой производной функции Гаусса.

3. Для задачи рассеяния поля импульсного источника на диэлектрическом слое получены интегральные представления для компонент полей во всех областях пространства. Написана программа расчета характеристик рассеянных полей, и численно исследовано влияние глубины слоя, полуширины импульса и соотношений между значениями диэлектрических проницаемостей сред задачи на коэффициенты отражения и прохождения по мощности.

Заключение

1. Кравченко В.Ф., Сологуб В.Г. // Докл. АН СССР.-1989.- Т.304, №3,-С. 577.

2. Нобл Б. Метод Винера-Хопфа. Изд-во иностранной литературы.-1962.- 280 с.

3. Зацепин П.М., Комаров С.А. // Радиотехника и электроника.- 1996.-Т.41, №8 С. 906-910.

4. Ильинский A.C., Слепян Г.Я. Колебания и волны в электродинамических системах с потерями. М.: Издательство МГУ, 1983.- 234 с.

5. Jlepep A.M. // Радиотехника и электроника 1998.- Т. 43, № 8 - С. 915920.

6. Jlepep A.M. // Радиотехника и электроника 2001- Т. 46, № 1- С. 2329.

7. Лерер A.M. // Радиотехника и электроника 2001.- Т. 46, № 3 - С. 313319.

8. Суханов Д.Я., Якубов В.П. // Изв. Вузов. Физика.- 2006.- №9. Приложение С. 58-61.

9. Якубова О.В., Тельпуховский В.Д., Якубов В.П. // Изв. Вузов. Физика-№9/2.- 2008.-С. 98-100.

10. Бреховских Л.М., Годин O.A. Акустика слоистых сред.- М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит.- 1989.-416 с.

11. Владимиров B.C. Уравнения математической физики изд. 4-е - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит.- 1981- 512 с.

12. Ваганов Р.Б., Канцеленбаум Б.З. Основы теории дифракции- М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы 1982, 272 с.

13. Верлань А.Ф., Сизиков B.C. Интегральные уравнения, методы алгоритмы программы. Справочное пособие Киев: Наукова думка, 1986.-543 с.

14. Потехин А.И. Некоторые задачи дифракции электромагнитных волн-М. Изд. Сов. Радио.- 1949.- 134 с.

15. Марков Г.Т., Чаплин А.Ф. Возбуждение электромагнитных волн М-JI. Изд-во «Энергия».- 376 стр. с илл.

16. М. Борн, Э. Вольф. Основы оптики М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы - 1973 г.- 720 стр. с илл.

17. Ладыженская О. А. Метод конечных разностей в теории уравнений с частными производными // УМН.- 12:5(77).-1957.- С.123-148.

18. Боголюбов А.Н., Делицын А. Л., Лаврёнова А.В. Численное моделирование дифракции в волноводе методом конечных элементов // "Журнал радиоэлектроники".- 2004 №3

19. Боголюбов А.Н., Мосунова Н.А., Петров Д.А. Математическое моделирование киральных волноведущих систем // "Журнал радиоэлектроники",- 2005- №7.

20. Ilker R.C, Taflove A., Backman V. Generation of an incident focused light pulse in FDTD // Optics Express.- Vol. 16.- No. 23.- 2008.- pp. 1920819220.

21. Safian R., Sarris C.D., Mojahedi M. Joint time-frequency and finite-difference time-domain analysis of precursor fields in dispersive media // Physical review E. Third Series.- 2006- Vol. 73.- № 6.

22. Комаров C.A. Вариационный принцип в задачах излучения из полубесконечного волновода с импедансным фланцем // Изв. вузов. MB и ССО СССР. Радиоэлектроника.- 1985.- Т. 28, №3.- С. 30-35.

23. Комаров С.А., Щербинин В.В. Характеристики согласования и взаимной связи элементов конечной волноводной решетки с импедансным фланцем // Радиотехника и электроника- 2007- Т.52, №7.- С.773-780.

24. Chen W., Tanaka M. A meshless, exponential convergence, integrationfree, and boundary-only RBF technique // Computers & Mathematics with Application.- 2002.- Vol. 43.- pp. 379-391.

25. Chen W., Tanaka M. New advances in dual reciprocity and boundary-only RBF methods. // Proceedings of BEM Technique Conference- Tokyo, Japan.-2000.-Vol. 10.-pp. 17-21.

26. Chen W., Tanaka M. New insights into boundary-only and domain-type RBF methods // Journal of Nonlinear Science and Numerical Simulation.2000.-Vol. l.-pp. 145-151.

27. Chen W. New RBF collocation schemes and kernel RBF with their applications // International Workshop for Meshfree Methods for Partial Differential Equations.- Bonn, Germany Sept. 2001.

28. Hon Y.C., Chen W. Boundary knot method for 2D and 3D Helmholtz and convection-diffusion problems with complicated geometry // Int. J. Numer. Methd. Engng.- 2003.- 56(13).- pp. 1931-1948.

29. Chen W. Boundary knot method for Laplace and biharmonic problems // Proc. of the 14th Nordic Seminar on Computational Mechanics 2001-Lund, Sweden-pp. 117-120.

30. Chen W. New RBF collocation schemes and kernel RBFs with applications // Lecture Notes in Computational Science and Engineering- 2002-Vol. 26.-pp. 75-86.

31. Chen W. RBF-based meshless boundary knot method and boundary particle method // Proc. of the China Congress on Computational Mechanics'.2001.- Guangzhou, China.- pp. 319-326.

32. Эминов С.И. Модифицированный метод коллокаций в теории антенн // Письма в ЖТФ.- 2005.- Т. 31.- В. 15.- С. 55-61.

33. Беляев В.В., Шапеев В.П. Метод коллокаций и наименьших квадратов на адаптивных сетках в области с криволинейной границей.// Журнал «Вычислительные технологии».- 2000.- Т. 5, №4 С. 13-21.

34. Гришина Н.В., Еремин Ю.А., Свешников А.Г. Анализ методом дискретных источников рассеивающих свойств неосесимметричных структур // Матем. Моделирование 2000.- 12:8.- С. 77-90.

35. Гришина Н.В., Еремин Ю.А. Анализ рассеяния света отверстием в пленке методом дискретных источников // Матем. Моделирование-1998.-10:5.-С. 81-90.

36. Габриэльян Д.Д., Звездина М.Ю., Костенко П.И. Влияние импедансной поверхности цилиндра на характеристики излучения // "Журнал радиоэлектроники".- 2000.- №2.

37. Звездина М.Ю. Влияние импедансной поверхности кругового цилиндра на поле произвольно ориентированного диполя // Радиотехника и электроника 2001- №6.

38. Dykhne A.M., Kaganova I.M. The Leontovich boundary conditions and calculation of effective impedance of inhomogeneous metal // Optics communications.- 2002.- Vol. 206.- Iss. 1-3.- pp. 39-56.

39. Maslovski S., Karkkainen M. Improving antenna near-field pattern by use of artificial impedance screens //http://arxiv.org/pdf/physics/0504123

40. Симовский K.P., Масловский С.И. Анализ ближнего поля антенны, расположенной вблизи тела с импедансной поверхностью // Электронный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ», сс. 1279-1284.

41. Ida N., Yuferev S. Impedance Boundary Conditions for Transient Acattering Problems // IEEE Trans. Magn.- 1997.- Vol. 33, № 2.- pp. 1444-1447.

42. В armada S., Di Rienzo L., Ida N., Yuferev S. The use of surface impedance boundary conditions in time domain problems: numerical and experimental validation // ACES Journal. 2004,- Vol. 19, № 2.- pp. 76-83.

43. Visser M. Physical Wavelets: Lorentz Covariant,Singularity-Free, Finite Energy, Zero Action, Localized Solutions to the Wave Equation. // Phys. Lett.A-2003.- v. 315, №3.-pp. 219-224.

44. Perel M.V., Sidorenko M.S. Wavelet analysis for the solution of the wave equation // Proc. of the Int. Conf. DAYS on DIFFRACTION.- 2006.-pp. 208-217.

45. Fedorova A.N., Zeitlin M.G. Multiscale Representations for Solutions of Vlasov-Maxwell Equations for Intense Beam Propagation // Proceedings EPAC2000-2000.- Vienna, Austria.-pp. 1339-1341.

46. Fedorova A.N., Zeitlin M.G. The short-term dynamical aperture via variational-wavelet approach with constraints // Partical accelerator conference.- 2001.- Chicago, Illinois pp. 1811-1813.

47. Goedecker S., Ivanov O. Solution of multiscale partial differential equations using wavelets // Comput. Phys.-1998.- №12.- pp. 548-555.

48. Mehra M., Kevlahan N.K.-R. An adaptive wavelet collocation method for the solution of partial differential equations on the sphere // Journal of Computational Physics.- 2008.- №227 (11):- pp. 5610-5632.

49. Vasilyev O.V., Bowmany C. Second-Generation Wavelet Collocation Method for the Solution of Partial Differential Equations // Journal of Computational Physics.- 2000.- № 165.- pp. 660-693.

50. Зацепин П.М., Рыкшин А.Ю., Зацепин Д.П., Малинин П.В. Вейвлет метод в задаче излучения импульсного нитевидного источника в свободном пространстве // Известия Алтайского государственного университета.- 2007.- №1.- С. 109-111.

51. Borisov A.G., Shabanov S.V. Electromagnetic Pulse Propagation in Passive Media by the Lanczos Method // http://arxiv.org/pdf/physics/0410270

52. Долинский B.C., Земляков B.B., Лерер A.M. Дифракция электромагнитных импульсов на конечной решетке двумерных металлических цилиндров // Журнал «Успехи современной радиоэлектроники».- 2007- №8.

53. Комаров С.А., Рыкшин А.Ю., Зацепин П.М. Дифракция короткого импульса на щели в импедансном экране // Распространение радиоволн: сборник докладов XXI Всероссийской научной конференции. В 2-х т.- Йошкар-Ола: МарГТУ- 2005 сс. 364-368.

54. Рыкшин А.Ю., Зацепин П.М. Дифракция короткого электромагнитного импульса на импедансном цилиндре // Известия Алтайского государственного университета, серия Математика. Прикладная математика и информатика. Физика.-2006.-№1(49).-сс. 149-151.

55. Komarov S.A., Zatsepin P.M., Rykshin A.Y. Diffraction of Electromagnetic Pulse by Impedance Cylinder // Xlth International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory (MMET'2006) Proceedings.- 2006 Kharkiv, Ukraine.- Pp. 517-519.

56. Рыкшин А.Ю., Зацепин П.М. Дифракция короткого импульса на импедансном цилиндре // Изв. вузов. Физика- 2006- №9. Приложение Сс. 49-52.

57. Rykshin A., Zatsepin P., Komarov S. Electromagnetic pulse scattering by dielectric layer // XHth International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory (MMET'2008) Proceedings.- 2008.- Odesa, Ukraine.-Pp. 415-419.

58. Рыкшин А.Ю., Зацепин П.М. Моделирование рассеяния электромагнитного импульса на диэлектрическом слое // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Сер. «Физико-математические науки».- 2009.- №4(88).- с. 14-18.

59. Зацепин П.М., Рыкшин А.Ю. Дифракция электромагнитного импульса на импедансной ленте над диэлектрическим слоем // Изв. вузов. Физика.- 2008.- №9/2.- Сс. 34-38.

60. Рыкшин А.Ю., Зацепин П.М. Дифракция электромагнитного импульса на импедансной ленте в диэлектрическом слое // Изв. вузов. Физика.— 2010.-№9/2.- Сс. 33-37.

61. Лерер A.M. // Радиотехника и электроника 2000 - Т. 45, № 4 - с. 410415.

62. Лерер A.M. // Радиотехника и электроника.- 2001- Т. 46 № 9.-с. 1059-1063.

63. Вайнштейн Л.А. Электромагнитные волны. Изд-во «Советское радио» 1957.-440 с.

64. Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения //УФЫ.- 1996.- Т. 166-№11-сс. 1145-1170.

65. Абрамович А., Стиган И. Справочник по специальным функциям (с формулами, графиками и математическими таблицами).- М.: Наука, 1979.- 832 с.

66. Кошкин Н.И., Ширкевич М.Г. Справочник по элементарной физике-10-е изд., испр. и доп.- М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит.- 1988.256 е., ил.

67. Ильинский,A.C., Слепян Г.Я. // Радиотехника и электроника- 1990.-Т.35- Вып.6 С. 1121-1139.

68. Кравченко В.Ф., Сологуб В.Г., Скирта Е.А., Зудин A.A. // Радиотехника и электроника.- 1989.- Т. 35.- №7.- С. 1470.

69. Велиев Э.И. Докл. АН СССР 1988.- Т. 301, №3.- С. 589.

70. Уфимцев П.Я. Метод краевых волн в физической теории дифракции.-М.: «Советское радио»- 1962 244 с.

71. Носич А.И., Шестопалов В.П. // Докл. АН СССР.- 1980.- Т. 250.- №6.-С. 1381.74,75.76,77,78