Аналитичность в пространстве максимальных идеалов инвариантных алгебр функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Казанский государственный энергетический университет"

на правах рукописи УДК 517.98

ПАНКРАТЬЕВА ТАТЬЯНА НИКОЛАЕВНА

АНАЛИТИЧНОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ МАКСИМАЛЬНЫХ ИДЕАЛОВ ИНВАРИАНТНЫХ АЛГЕБР ФУНКЦИЙ

Специальность 01.01.01. - математический анализ

Автореферат /

диссертации на соискание ученой степени / кандидата физико-математических наукь

Казань - 2004

Работа выполнена на кафедре высшей математики Казанского государственного энергетического университета.

Научный руководитель - доктор физ. -мат. наук

ст. научн. сотр. С. А. Григорян

Официальные оппоненты - доктор физ. -мат. наук,

профессор В. В. Жиков, доктор физ. - мат. наук,

профессор М. С. Матвейчук

Ведущая организация — Омский филиал Института

математики им. Соболева Сибирского отделения РАН

заседании диссертационного совета к ¿IV,. их. в Московском государственном институте электроники и математики по адресу: 109028, Москва, Б. Трехсвятительский пер. 3-12

С диссертацией можно ознакомится в научной библиотеке Московского государственного института электроники и математики

Защита состоится

ч. на

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ. — мат. наук,

доцент

Е. Р. Хакимуллин

aOO±± 2i ь^а 3 8Ъ

О&ЭО Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Теория равномерных алгебр, как специальная ветвь теории банаховых алгебр, стала интенсивно развиваться в середине прошлого века зарубежными и советскими математиками. В рамках этой теории исследовались, в частности, свойства алгебр функций, заданных на тех или иных конкретных множествах.

Теория равномерных алгебр создана на базе алгебры, функционального анализа, теории функций, она обогатила математику не только новыми задачами, но и позволила объединить ряд теорий, которые, на первый взгляд, не имеют ничего общего. Например, теорию непрерывных функций на единичной окружности комплексной плоскости, имеющих аналитическое продолжение в единичный круг (диск -алгебра), и теорию инвариантных алгебр функций на компактных абелевых группах.

Простейшим, но важным примером инвариантной алгебры является алгебра почти периодических функций на вещественной прямой комплексной плоскости, имеющих непрерывное аналитическое продолжение в верхнюю полуплоскость.

В середине 60-ых годов прошлого века в основополагающей работе Р. Аренса и И. Зингера "Generalized analytic functions" был предложен подход к изучению полугрупповых алгебр с. позиции банаховых алгебр, в частности, теории равномерных алгебр. Теория обобщенных аналитических функций, начатая Р. i Аренсом и И. Зингером, получила свое развитие в работах Р. Аренса, Г. Хельсона и Д. Лауденслагера, К. Гофмана и И. Зингера, Ф. Форелли, К. де Лю и И. Гликсберга, Р. Кауфмана, В. Рудина, Т. Гамелина. В этих работах доказывались утверждения, аналогичные классическим теоремам теории аналитиче-

ских функций в единичном круге, выявлялись новые свойства почти периодических аналитических функций.

На протяжении нескольких последних десятилетий развитие этой теории вышло за рамки обычного обобщения классических результатов. Стали исследоваться инвариантные алгебры функций на группах Ли, на однородных областях, устанавливаться связи между свойствами представлений групп и алгебрами, порожденными этими представлениями. Эти исследования представлены в работах М. Л. Аграновского, Е. А. Горина и В. М. Золотаревского, В. М. Гичева, С. А. Григоряна, Т. В. Тонева, А. Л. Розенберга.

Данная работа выявляет новые свойства инвариантных алгебр функций.

Цель работы. Исследование свойств пространства максимальных идеалов инвариантных алгебр функций на компактных абелевых группах, изучение полиномиальных и целых расширений таких алгебр, описание всех р - множеств, являющихся группами, нахождение условий для выполнения свойств Радо и Римана.

Метод исследования. Исследования проводились с использованием методов теории рядов Фурье, теории алгебр, теории полугрупп и компактных абелевых групп и теории равномерных алгебр.

Решаемые в диссертации задачи находятся на стыке нескольких математических теорий, этим и объясняется использование различных методов при решении поставленных задач.

Теоретическое и практическое значение.

Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в теории полугрупп, при

изучении геометрических свойств пространства полухарактеров на полугруппах, при построении нетривиальных С* - алгебр. Могут составить основу спецкурса по теории полугрупповых алгебр и спецкурсов по аналитическим многообразиям.

Научная новизна и результаты, выносимые на защиту.

Основные результаты, полученные в ходе работы, являются новыми. Выделим из них следующие:

1. описан относительный спектр элемента полугруппы;

2. установлена связь между подполугруппами, порождающими инвариантную алгебру, и р - множествами;

3. найдены условия, при которых инвариантная алгебра является полиномиально замкнутой;

4. с помощью введенного понятия "дефект полугруппы" дается критерий целозамкнутости инвариантных алгебр функций;

5. приводятся условия при которых инвариантные алгебры обладают свойствами Радо и Римана;

Апробация работы. Результаты диссертации по мере их получения докладывались и обсуждались на научном семинаре "Банаховы алгебры" в Казанском государственном энергетическом университете, а так же и на семинаре "Алгебры операторов и их приложения" в Казанском государственном университете, на итоговых научных конференциях ЗФ КГУ 2002—2004 г.г., на шестой международной школе — конференции "Теория функции, ее приложения и смежные вопросы" (Казань, 2003

г.), на международной научной конференции "Актуальные проблемы математики и механики" (Казань, 2004 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано пять работ. Список работ приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация, объемом 102 страницы, состоит из введения, 13 параграфов, объединенных в три главы, и списка литературы, содержащего 53 наименования.

Краткое содержание работы.

Во введение обоснована актуальность темы, указана цель работы и изложены основные результаты диссертации.

Глава 1, состоящая из шести параграфов, посвящена вопросу продолжения веса (положительной аддитивной функции), определённого на подполугруппе полугруппы 5 до веса на 5.

Более точная формулировка вопроса о продолжении весов состоит в следующем. Пусть 5 - коммутативная аддитивная полугруппа с сокращением, то есть из условия а+Ь — о+с следует Ь = с. Предположим, что полугруппа Б содержит единичный элемент 0 € Б. Отображение

и : [0,оо], 1/(0) = 0,

называется весом, если

и{а + Ъ) = и(а) + и(Ь)

для всех а,Ь £ в. Вес называется конечным, если и(а) < оо для всех аб5 и вес и называется двузначным, если

и: {0,оо}.

Множество всех весов IV (Б) - полугруппа с единичным и нулевым элементом. Пусть Н - некоторая подполугруппа полугруппы предположим 0 € Я. В первой главе особое внимание уделяется решению следующих трех задач.

a) При каких условиях данный вес и € ЦГ(Н) можно продолжить до веса на 5?

b) Каким условиям должна удовлетворять полугруппа Я, чтобы каждый вес из Ш(Н) продолжался бы до веса на

в частности, каким свойствам должна удовлетворять полугруппа Я, чтобы любое продолжение конечного веса было конечным на 5?

c) Пусть - подмножество в 1^(5), состоящее из всех продолжений веса и е \¥(Н). Для каждого Ь € в описать множество

аи{Ъ) = {/*(&): л € Ш^в)} - относительный спектр элемента Ь.

Первые два параграфа первой главы носят вспомогательный характер. В них собраны необходимые определения и утверждения, которые используются в дальнейшем. В § 3, для полноты изложения, приводится новое доказательство критерия А. Н. Шерстнева о продолжении заданного веса с подполугруппы на всю полугруппу (задача а), а также сформулировано условие на подполугруппу Я, при котором каждый вес из \¥(Н) расширяется до веса на Б .

В § 4 главы 1 доказывается следующая теорема.

Теорема 1. Для того, чтобы каоюдое продолжение любого конечного веса (если продолжение существует) с подполугруппы

Н до веса на полугруппе £> было конечным, необходимо и достаточно выполнение следующего условия: для любого а 6 5 существуют с€ 5 иЬЕ Н такие, что а + с = 6.

С помощью данной теоремы в этом же парагрофе дается ответ на задачу Ь), и иследуется относительный спектр элементов полугруппы в.

Результаты предыдущих параграфов используются в § 5 для нахождения условий, при которых полухарактеры с подполугруппы могут быть продолжены до полухарактеров на всей полугруппе.

В последнем параграфе этой главы доказывается следующая теорема

Теорема 2. Пусть Г я -группа, порожденная полугруппой Б. Предположим, что полугруппа 5 задает архимедов порядок на Г5. Тогда

a) полугруппа двузначных весов И^оо(5) на 5 состоит из одного элемента;

b) полугруппа конечных весов Жо(5) на 5 изоморфна М+;

c) \У(в) = И^^иЖо^).

Глава 2 состоит из четырех параграфов. В § 1 собран материал, который используется в дальнейшем. В § 2 устанавливается связь между подполугруппами полугруппы ¿> и р - множествами алгебры Дд. Напомним, что множество ? С (? называется мнооюеством пика для алгебры Л5, если существует такая функция / € Лд, что f(as) = 1 для любого а € .Р и |/(а)| < 1 для а е (ДР. Множество называется р -мноэюеством, если оно

является пересечением множеств пика. Подполугруппа Я полугруппы Б называется полной в Б, если

Я = Гя П 5,

где Гя = Я + (—Я) - подгруппа группы Г, порожденная полугруппой Я.

Для подполугруппы Я полугруппы пусть

Н1 = {ск € О : ха(а) = 1 для всех а е Я}.

Аналогично, для замкнутой подгруппы (?о С С

Со = {а € 5": ха(а) = 1 Для всех а 6 £?0}.

Очевидно, Я С {Н±)± и Я = (Н1)1 - тогда и только тогда, когда Я - полная в Б полугруппа. Подобным образом С0 = )± тогда и только тогда , когда <30 - р - множество для алгебры Ад, т. е. Со - пересечение множеств пика для алгебры Ад. В § 2 доказана следующая теорема.

Теорема 3. Существует взаимно однозначное соответствие между полными подполугруппами полугруппы Б и теми подгруппами группы С, которые являются р-множествами для алгебры Ад.

Множество полухарактеров

Мд = {га : Б -у О : т{0) = 1, т{а + 6) = то(а) • т(Ь)}

полугруппы Б, является полугруппой относительно операции умножения:

(ггг1га2)(а) = т1(а)т2(а).

Элемент т е Мз называется идемпотентоли если га2 = га. Множество идемнотентов Ые- подполугруппа полугруппы Мз-Пусть Рв — множество всех тех подгрупп О0 группы (3, которые являются р -множеством для алгебры Аз, и сужение А^^о алгебры Аз на (?о является антисимметричной алгеброй) т .е. не содержит вещественной функции, отличной от константы. Отметим, что на Р5 можно определить структуру полугруппы,

если СЬС2 е Р5, то С?1 П <32 <Е Р5.

Теорема 4. Существует полугрупповой изоморфизм между полугруппами Ыя и

В §3 главы 2 приводится достаточное условие, при котором алгебра Л5 является полиномиально замкнутой. Напомним: алгебра В называется полиномиальным расширением алгебры А, если В = ,...,Ьп] - алгебра полиномов от Ь\,...,Ьп с коэффициентами из А. Пусть К {С}) - категория равномерных алгебр на компактной группе Алгебра А называется полиномиально замкнутой , если у А нет нетривиальных полиномиальных расширений в категории К {О). Существует связь между полиномиально замкнутыми Ав алгебрами и алгебраически замкнутыми подполугруппами в. Полугруппа 5 называется алгебраически замкнутой в Г, если из условия

па е £>, а е Г, п € N следует а е 5.

Основной результат §3 - следующее утверждение.

Теорема 5. Пусть в алгебраически замкнутая подполугруппа в Г и сагё Ы$ < оо. Тогда Д^ - полиномиально замкнута.

В последнем параграфе данной главы изучаются автоморфизмы алгебры Аз-

В группе автоморфизмов алгебры Аз есть подгруппа , которая определяется парой (с, а), где а : 5 —> 5 - полу групповой изоморфизм, аа £ (?, Автоморфизмы такого вида называются внутренними. Как показали Р. Арене и И. Зингер, если полугруппа 51 задает полный архимедов порядок на Г, то все автоморфизмы алгебры Аз внутренние .

Следующая теорема является обобщением приведенной теоремы Аренса -Зингера.

Теорема 6. Пусть Б такая полугруппа, что существует полухарактер т € М5 удовлетворяющий неравенству

О < |т(о)| < 1, а <Е 5, а ^ 0.

Предположим, сагс! Ыз = 2. Тогда либо полугруппа 5 изоморфна полугруппе неотрицательных целых чисел либо все автоморфизмы алгебры Аз внутренние.

Глава. 3 состоит из трех параграфов и посвящена изучению аналитических свойств множества М3.

Многие классические результаты комплексного анализа допускают естественное продолжение на случай инвариантных алгебр функций. В указанной выше работе Р. Арене и И. Зингер распространили некоторые свойства диск -алгебры на алгебру Л5. В работе де Лью и Гликсберга были обобщены классические теоремы Фату и Рудина. В третьей главе устанавливается связь между алгебраическими свойствами полугруппы 5 и классическими теоремами Радо о продолжении аналитической функции и Римана об устранимой особенности.

В § 1 вводится понятие дефекта полугруппы. Рассмотрим три вида расширения полугруппы S

Sw = {ft е Г : па € S для всех п > Na €

здесь число Na зависит от элемента a G Г;

Ss = {а ЕГ: па е S для некоторого п G Z+},

Sx - семейство тех элементов a G Г, для которых найдется такое b G S, что а + 6 € S и

|ш(а + Ь)/т(Ь)| < 1, если т е Ms\{m е Ms : m(b) = 0}.

Очевидно, <SW С Ss С Sx. Определим четыре алгебры функции на группе G: 3£(£), $l(Sw), ^(Ss) и каждая из которых порождается линейными комбинациями характеров, соответствующих полугруппам S, Sw, Ss и Sx.

Слабым дефектом полугруппы S называется число w def S -размерность алгебры U(SW) как модуля над Щв).

Дефектом полугруппы S называется число def S - модульная размерность U(Ss) над 3ft (SW)-

Сильным дефектом полугруппы S называется число s def S -модульная размерность алгебры ЩЭХ) над &(Ss).

Напомним ряд определений, используемых в этой главе. Для равномерной алгебры А обозначим через Ма пространство её максимальных идеалов и дА границу Шилова этой алгебры. Пусть U — открытое множество в Ма, и Аи - равномерное замыкание сужения гельфандовского представления А на U. Непрерывная функция / на 27 С Ма называется А - голоморфной, если для любой точки х € U найдется такая окрестность

V(x 6 V С V С £/)> что сужение / на V" принадлежит Ау. Множество всех А - голоморфных функций на U образует алгебру Oa(U). Равномерная алгебра называется аналитической на пространстве максимальных идеалов Мд, если каждая функция f £ А, равная нулю, на некотором открытом подмножестве множества МА тождественно обращается в нуль на Мд.

Приведем основную теорему § 1.

Теорема 7. Пусть Sa — S + Z+a - полугруппа, порожденная полугруппой S и элементом a € Г. MSa = Ms тогда и только тогда, когда а € Sw-

Известная теорема Радо для диск алгебры утверждает следующее: если непрерывная функция на единичном диске D ана-литична на множестве int D\N(f), где N(f) - множество нулей функции /, то / принадлежит алгебре А%+. Эта теорема имеет различные обобщения.

Говорят, что равномерная алгебра А обладает свойством Радо, если каждая функция / непрерывная на Мд и А - аналитическая на MA\N(f) принадлежит алгебре А.

Основной результат § 2 следующий.

Теорема 8. Алгебра As обладает свойством Радо тогда и только тогда, когда wdeiS = 0.

Равномерная алгебра называется целозамкнутой на Мд, если каждая непрерывная на Мд функция удовлетворяющая полиномиальному уравнению вида

хп + hxn~l + ••■ + /„ = о, fi е А

принадлежит алгебре А. В этом параграфе показано, что условие wdeiS = 0 является критерием целозамкнутости алгебры

As.

Третий, последний параграф главы 3, посвящен обобщению теоремы Римана об устранимой особенности. Говорят, что равномерная алгебра А обладает свойством Римана, если для любой функции д е A, N(g) П ЗА = 0, каждая непрерывная А -голоморфная и ограниченная на M/\N(g) функция продолжается до функции из А.

Очевидно, что если А обладает свойством Римана, то она обладает и свойством Радо. Обратное не верно. В § 3 доказывается следующая теорема

Теорема 9. Аналитическая алгебра As обладает свойством Римана тогда и только тогда, когда Ss = S,m е.

w clef S + def S + s clef S = 0.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю доктору ф.-м. наук С. А. Григоряну за постоянное внимание к работе и ценные советы.

Работы автора по теме диссертации

1. Григорян С. А., Пакратьева Т, Н., Тонев Т. В., Внутренние автоморфизмы инвариантных относительно переносов алгебр на компактных группах, jJ Известия HAH Армении. Математика. - 1999. - Т.34. - N 5. - С.57-62.

2. Grigoryan S. A., Pankrateva Т. N., Tonev Т. V., Invariant algebras on groups and completeness of their generating semigroups. // Теория функций, её прил. и емеж. вопр. Казанское матем. общество.- 1999 - С. 260-261.

3. Grigoryan S. A., Pankrateva T. N., Tonev Т. V., The validity range of two complex analisis theorems. // Complex variables. - 2002. - Vol.47. - N12 - P. 1085-1095.

4. Панкратьева Т. H. Теоремы о вложении для полугрупповых алгебр. //Труды математического центра им. Н. И. Лобачевского. Казанское матем. общество. - 2003 . -Т. 19-С.164-165.

5. Панкратьева Т. Н. О полиномиальных расширениях инвариантных алгебр функций. //Труды математического центра им. Н. И. Лобачевского. Казанское матем. общество. -2004 . - Т.25. - С. 211.

РНБ Русский фонд

2007-4 19890

.иишии'и :■ 'шнииини' ;

. ЖИШИПП' ''1 ,.1 ' ИИИИИМШ

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательского центра Казанского государственного университета им.В.И.Ульянова-Ленина Тираж 100 экз. Заказ 11/4

420008, ул. Университетская, 17 тел.: 31-53-59,92-65-60

'л

п

19 НОЯ 2004 1

Введение

1 Веса на коммутативных полугруппах

1.1 Веса на полугруппах.

1.2 Полные полугруппы.

1.3 Теоремы о продолжении.

1.4 Относительный спектр.

1.5 Полухарактеры.

1.6 Вполне упорядоченные полугруппы.

2 Инвариантные алгебры

2.1 Необходимые сведения.

2.2 Идемпотенты в Ms.

2.3 Полиномиальные расширения инвариантных алгебр.

2.4 Внутренние автоморфизмы инвариантных алгебр функций

3 Аналитичность в пространстве максимальных идеалов инвариантных алгебр функций

3.1 Дефекты полугрупп.

3.2 Теорема Радо и инвариантные алгебры.

3.3 Теорема Римана для инвариантных алгебр.

Теория равномерных алгебр, как специальная ветвь теории банаховых алгебр, стала интенсивно развиваться в середине прошлого века зарубежными и советскими математиками. В рамках этой теории ^ исследовались, в частности, свойства алгебр функций, заданных на тех или иных конкретных множествах.

Теория равномерных алгебр создана на базе алгебры, функционального анализа, теории функций, она обогатила математику не только новыми задачами, но и позволила объединить ряд теорий, которые, на первый взгляд, не имеют ничего общего. Например, теорию непрерывных функций на единичной окружности комплексной плоскости, имеющих аналитическое продолжение в единичный круг (диск -алгебра) ф и теорию инвариантных алгебр функций на компактных абелевых группах. Отметим, что последняя теория, фактически, берет начало с основополагающей работы Р. Аренса и И. Зингера "Generalized analytic function"(см.[30]). В этой работе был предложен функционально — алгебраический подход к изучению почти - периодических аналитических функций.

Теория обобщенных аналитических функций, начатая Р. Аренсом и И. Зингером, получила свое развитие в работах Р. Аренса [27], Г. Хельсона * и Д. Лауденслагера [35, 36], К. Гофмана [12, 39], Ф. Форелли [31], К. де

Лю и И. Гликсберга [40], В. Рудина [44], Т. Гамелина [3]. В этих работах доказывались утверждения, аналогичные классическим теоремам теории аналитических функций в единичном круге, выявлялись новые свойства почти периодических аналитических функций.

На протяжении нескольких последних десятилетий развитие этой теории вышло за рамки обычного обобщения классических результатов. Стали исследоваться инвариантные алгебры функций на т группах Ли, на однородных областях, устанавливаться связи между свойствами, представлениями групп и алгебрами, порожденными этими представлениями. Эти исследования представлены в работах М. JL Аграновского [1], Е. А. Горина и В. М. Зсшотаревского [6, 7, 10], В. М. Гичева [4, 5], С. А. Григоряна [13, 14, 15], Т. В. Тонева [46, 48, 50], A. JL Розенберга [22], А. Н. Шерстнева [45].

Данная работа выявляет новые свойства инвариантных алгебр функций. Основным объектом исследования является равномерная алгебра которая строится следующим образом.

Пусть G - компактная абелева группа, группа характеров которой изоморфна аддитивной группе Г, наделенной дискретной топологией. Пусть для каждого а £ Г, х° ~ соответствующий характер группы G. Обозначим через а нормированную меру Хаара группы G и через Ll(G, da) - пространство измеримых и интегрируемых функций по мере а. Каждая функция / € Ll{G, da) представляется в виде формального ряда Фурье а€ г где

4 = 1 fTdcr g

-а - тый коэффициент Фурье функции /. Множество

SP/ = {а € Г : с/а ф 0} называется спектром функции /. Пусть S такая подполугруппа группы Г, что 0 € S и S + (—S) = Г. Основным объектом исследования является алгебра состоящая из всех тех непрерывных функций / € C(G), спектр которых содержится в S. Естественно, что между свойствами полутруппы S и свойствами алгебры As существует тесная связь.

Например, пространство максимальных идеалов алгебры As совпадает с множеством Ms - полухарактеров полугруппы S, т. е. таких отображений т из полугруппы S в единичный диск D комплексной плоскости С, что т(а + 6) = т(а) • т(Ь) и га(0) = 1.

Пусть S - коммутативная аддитивная полугруппа с сокращением, то есть из условия а + Ь — а + с следует b ~ с. Предположим, что полугруппа S содержит единичный элемент 0 Е S. Отметим, что существует тесная связь между полухарактерами полугруппы S и весами на S, т.е. такими отображениями : 5 —>■ [0, оо], i/(0) = О, что и(а + Ъ) = i/(a) + 1/(6) для всех a,b Е S. Вес называется конечным, если v{a) < оо для всех а £ S и двузначным, если v : S {0, оо}.

Множество всех весов W(S') - полутруппа с единичным и нулевым элементом. Определим на полугруппе S псевдопорядок: а -< Ь, если существует такой элемент с G S, что а + с = 6. Его можно расширить до псевдопорядка на группе Г5, порожденной полугруппой Si а -< 6, если b — а € S. Если для любых b € Г5 и а € 5, найдется такое положительное число 7i € Z+, зависящее от Ь и а, что 6 па, то говорят, что S задает архимедов порядок на Пусть Н - некоторая подполугруппа полугруппы S, предположим 0 Е Я.

Данная работа состоит из трёх глав и списка литературы. Глава 1, состоит из шести параграфов. В ней особое внимание уделяется следующим трем задачам. a) При каких условиях данный вес v € W(H) можно продолжить до веса на S? b) Каким условиям должна удовлетворять полугруппа Н, чтобы каждый вес из W(H) продолжался бы до веса на S, в частности, каким свойствам должна удовлетворять полугруппа Н, чтобы любое продолжение конечного веса было конечным на S? c) Пусть W^S) - подмножество в W(jS), состоящее из всех продолжений веса v € W(H). Для каждого Ь € S описать множество т„(Ь) = ЫЪ) : /i G W„(S)}

- относительный спектр элемента Ь.

Первые два параграфа первой главы носят вспомогательный характер. В них собраны необходимые определения и утверждения, которые используются в дальнейшем. В § 3, для полноты изложения приводится новое доказательство критерия продолжения заданного веса с подполугруппы на всю полугруппу (задача а), предложенный А. Н. Шерстневым (см.[45]), а также сформулировано условие на подполугруппу Н, при котором каждый вес из W (Н) расширяется до веса на S (см.[16] ).

Основываясь на указанных выше работах в § 4 главы 1 доказывается следующая теорема.

Теорема 1. Для того,чтобы каждое продолжение любого конечного веса (если продолжение существует) с подполугруппы Н до веса на полугруппе S было конечным, необходимо и достаточно выполнение следующего условия: для любого а £ S существует b £ Н такое, что а -<Ь.

Отметим, что теорема 1 вместе с одним из результатов С. А. Григоряна дает ответ на задачу Ь). В этом же параграфе дается описание относительного спектра элементов полугруппы S.

Результаты предыдущих параграфов используется в § 5 для нахождения условий, при которых полухарактеры с подполугруппы могут быть продолжены до полухарактеров на всей полугруппе.

В последнем параграфе этой главы доказывается следующая теорема

Теорема 2. Пусть Г5 -группа, порожденная полугруппой S. Предположим, что полугруппа S задает архимедов порядок на Гs-Тогда a) полугруппа двузначных весов W^S) на S состоит из одного элемента; b) полугруппа конечных весов Wq(S) на S изоморфна К+; c) W(S) = Woo(S)UW0(S).

Глава 2 состоит из четырех параграфов. В § 1 собран материал, который используется в дальнейшем. В § 2 устанавливается связь между подполугруппами полугруппы вир - множествами алгебры А$. Напомним, что множество F С G называется множеством пика для алгебры As, если существует такая функция / 6 As, что f(a) = 1 для любого а 6 F и |/(<*)| < 1 для а € G\F. Множество называется р -множеством, если оно является пересечением множеств пика. Подполугруппа Н полугруппы S называется полной в 5, если

Н = Гя П S, где Гя = Н + (—Н) - подгруппа группы Г. Для подполугруппы Н полугруппы S пусть

Я"1 = {а € G : Ха(а) = 1 Для всех а € Я}.

Аналогично для замкнутой подгруппы Go С G пусть

Gq = {а € S : ха(а) = 1 для всех а е G0}.

Очевидно, Н С {Н±)1~ и Н = (H±)L - тогда и только тогда, когда Н -полная в S полугруппа. Подобным образом Go = (G^-)"1 тогда и только тогда , когда Gq - р - множество для алгебры As, т. е. Go - пересечение множеств пика для алгебры As- Следующая теорема устанавливает связь между полугруппами группы G и р - множествами для алгебры As

Теорема 3. Существует взаимно однозначное соответствие между полными подполугруппами полугруппы S и теми подгруппами группы G, которые являются р-множествами для алгебры As.

Множество полухарактеров

Ms = {т : S ->• D : га(0) = 1, т(а + Ь) = т(а) • т(Ь)} полугруппы 5, является полугруппой относительно операции умножения: raim2)(a) = mi(a)r?i2(a).

Элемент т € Ms называется идемпотентом, если т2 = т. Множество идемпотентов Ы5 — подполугруппа полугруппы Ms. Пусть Ps — множество всех тех подгрупп Go группы G, которые являются р -множеством для алгебры As, и сужение As|g0 алгебры As на Go является антисимметричной алгеброй, т .е. не содержит вещественной функции, отличной от константы. Отметим, что на Ps можно определить структуру полугруппы, если Gu G2 € Ps, то Gi П G2 € Ps.

Теорема 4. Существует полугрупповой изоморфизм между полугруппами Ids « Ps

В §3 главы 2 приводится достаточное условие, при котором алгебра As является полиномиально замкнутой. Напомним: алгебра В называется полиномиальным расширением алгебры А, если В = A[b\,.,bn] алгебра полиномов от &i,.,6n с коэффициентами из А. Пусть K(G) -категория равномерных алгебр на компактной группе Q. Алгебра А называется полиномиально замкнутой , если у А нет нетривиальных полиномиальных расширений в категории K(G). Существует связь между полиномиально замкнутыми As алгебрами и алгебраически замкнутыми подполугруппами S. Подгруппа S называется алгебраически замкнутой в Г, если из условия па £ S, а е Г, п е N следует а € S. Основной результат §3 - следующее утверждение.

Теорема 5. Пусть S алгебраически замкнутая подполугруппа в Г и card Ids < 00 • Тогда As - полиномиально замкнута.

Ш В последнем параграфе данной главы изучаются автоморфизмы алгебры As. Вообще говоря, группа автоморфизмов алгебры As достаточно широка. Хорошо известно, что группа автоморфизмов диск -алгебры совпадает с группой Мёбиуса,т .е. группой всех преобразований Мёбиуса.

В группе автоморфизмов алгебры As есть подгруппа , которая определяется парой (<т,а), где а : S S - полугрупповой изоморфизм, а а £ G. Автоморфизмы такого вида называются внутренними. Как показали Р. Арене и И. Зингер, если полугруппа S задает полный * архимедов порядок на Г, то все автоморфизмы алгебры As внутренние см. [30]).

Следующая теорема является обобщением приведенной теоремы Аренса - Зингера.

Теорема 6. Пусть S такая полугруппа, что существует полухарактер т G Ms удовлетворяющий неравенству

0 < |га(а)| <1, а € S, а ф 0.

Предположим, card Ids — 2. Тогда либо полугруппа S изоморфна полугруппе неотрицательных целых чисел Z+, либо все автоморфизмы алгебры As внутренние.

Последняя глава посвящена изучению аналитических свойств множества Ms

Многие классические результаты комплексного анализа допускают естественное продолжение на случай инвариантных алгебр функций. В указанной выше работе Арене - Зингер распространили некоторые свойства диск -алгебры на алгебру Ду. В работе де Лью и Гликсберга (см.[40]) были обобщены классические теоремы Фату и Рудина ([12] стр 116, 118). В третьей главе устанавливается связь между алгебраическими свойствами полугруппы S и классическими теоремами Радо о продолжении аналитической функции и Римана об устранимой особенности.

Гл. 3 состоит из трех параграфов. В § 1 вводится понятие дефекта полугруппы.

Рассмотрим три вида расширения полугруппы S

Sw = {а £ Г : па Е S для всех п> Na £ Z+}, здесь число Na зависит от элемента а € Г;

S$ = {а £ Г : па € S для некоторого п G Z+},

Sx - семейство тех элементов а € Г, для которых найдется такое 6 G 5, что а + 6 € Sи т(а 4- b)/m(b)\ < 1, если 771 G Ms\{m € Ms ■ m(b) = 0}. Очевидно,

Sw С Ss С Sx.

Определим четыре алгебры функции на группе G: $l(Ss) и каждая из которых порождается линейными комбинациями характеров, соответствующих полугруппам S, Sw, Ss и Sx.

Слабым дефектом полутруппы S называется число w def S -размерность алгебры ffi(Sw) как модуля над Щв).

Дефектом полугруппы S называется число def S - модульная размерность 9ft(5s) над Щвцг)

Сильным дефектом полугруппы S называется число s def S - модульная размерность алгебры над №(Ss)>

Напомним ряд определений, используемых в этой главе. Для равномерной алгебры А обозначим через Ма пространство её максимальных идеалов и дА границу Шилова этой алгебры. Пусть U ~ открытое множество в Мд, и Ац - равномерное замыкание сужения гельфандовского представления А на U. Непрерывная функция / на U С Ма называется А - голоморфной, если для любой точки х €i U найдется такая окрестность V(x G V С V С U), что сужение / на V принадлежит Ау. Множество всех А - голоморфных функций на U — образуют алгебру Oa(U). Равномерная алгебра называется аналитической на пространстве максимальных идеалов Мд, если каждая функция / € А, равная нулю, на некотором открытом подмножестве множества Ма тождественно обращается в нуль на Ма-Приведем основную теорему § 1.

Теорема 7. Пусть Sa = S + Z+a - полугруппа, порожденная полугруппой S и элементом a € Г. Msa — Ms тогда и только тогда, когда а £ Sw

Известная теорема Радо для диск алгебры утверждает следующее: если непрерывная функция на единичном диске D аналитична на множестве int D\N(f), где N(f) - множество нулей функции /, то / принадлежит алгебре Az+. Эта теорема имеет различные обобщения. Среди них особое место занимает следующая теорема Гликсберга (см. [33])

Теорема 8 (Гликсберг). Пусть А — равномерная алгебра и f — непрерывная функция на Мд, являющаяся А - аналитической на множестве MA\f~l(0). Тогда M[Aj] = Ма и d[A,f] = дА, где [A,f] — равномерная алгебра, порожденная функциями f и функциями из А, и дА — граница Шилова алгебры А.

Говорят, что равномерная алгебра А обладает свойством Радо, если каждая функция / непрерывная на Ма и А - аналитическая на Ma\N(/) принадлежит алгебре А.

Основной результат § 2 следующий.

Теорема 9. Алгебра As обладает свойством Радо тогда и только тогда, когда w def 5 = 0.

Равномерная алгебра называется целозамкнутой на Ма, если каждая непрерывная на Ма функция удовлетворяющая полиномиальному уравнению вида xn + fixn~1 + --- + fn = 0, fi € А принадлежит алгебре А. В этом параграфе показано, что условие wdef S — 0 является критерием целозамкнутости алгебры As (теорема 3.2.3).

Третий, последний параграф главы 3, посвящен обобщению теоремы Римана об устранимой особенности. Говорят, что равномерная алгебра А обладает свойством Римана, если для любой функции g € A, N(g)f)dA = 0, каждая непрерывная А - голоморфная и ограниченная на Ma\N(q) функция продолжается до функции из А.

Очевидно, что если А обладает свойством Римана, то она обладает и свойством Радо. Обратное не верно. В § 3 доказывается следующая теорема

Теорема 10. Аналитическая алгебра As обладает свойством Римана тогда и только тогда, когда Ss = S,m е. w def S + def S + sdef S = 0.

1. Аграновский М. J1. Инвариантные алгебры на границах симметрических областей. //ДАН СССР. - 1971. - Т. 197. - N 1.- С. 9-11.

2. Батикян Б. Г., Горин Е. А. Заметка о не локальных алгебрах. // Записки науч. семинаров ЛОМИ. 1973. - N 65. - С. 172 - 177.

3. Гамелин Т. Равномерные алгебры. М.: "Мир", 1973.

4. Гичев В. М. Инвариантные алгебр функции на группам Ли. // Сиб. матем. журнал. 1979. - Т.20. - N 1. - С. 23 - 36.

5. Гичев В. М. Пространство максимальных идеалов инвариантных алгебр. //Функ. анал. и прил. 1979. - Т.13. - N 3. - С.75 - 76.

6. Горин Е. А. Максимальные подалгебры коммутативных банаховых алгебр с инволюцией. //Матем. заметки. 1967. - N 1:2. - С. 173 - 178.

7. Горин Е. А. О некоторых характеристических свойствах С(Х). // Теория функций и функц. анализ-1971. N 14. - С. 186 - 195.

8. Горин Е. А. Подалгебры конечной коразмерности. // Матем. заметки. 1969. - N 6:3. - С. 321 - 328.

9. Горин Е. А., Лин В. Я. Алгебраические уравнения с непрерывными коэффициентами и некоторые вопросы алгебраической теории кос. //Матем. сб. 1969. - Т. 78. - N 4 - С. 579 - 610.

10. Гофман К. Банаховы простанства аналитических функций. -М.:ИЛ., 1963.

11. Григорян С. А. Алгебра конечного типа на компактных группах. //Изв. АН Арм. ССР. Математика.- 1979.- Т.14. N 3.- С. 168 - 183.

12. Григорян С. А. Максимальные алгебры обобщенных аналитических функций. Изв. АН Арм. ССР. Математика. 1981. - Т. 16. - N 5. - С. 168 - 183.

13. Григорян С. А. О полиномиальных расширениях коммутативных банаховых алгебр. //УМН. 1984. - Т.39. - N 1(225). - С. 129 - 130.

14. Григорян С. А. Веса на полугруппах. //Сборник "Итоговая научная конференция Зеленодольского филиала КГУ". 2002. - С. 18-24.

15. Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции. М.: Мир,-1984.

16. Клифорд А., Престон. Г. Алгебраическая теория полугрупп. М.:Мир,- 1972, Т.1,2.

17. Левитан Б. М. Почти периодические функции. М.:ГИТТЛ,-1953.

18. Ляпин Е. С. Полугруппы. М.:ГИФМЛ, - 1960.

19. Ленг С. Алгебра. М.:Мир, - 1965.

20. Розенберг A. JL Инвариантные алгебры на компактных группах.//Матем. сб. 1970. - Т.81. - N 2. - С.176 - 184.

21. Рудин У. Функциональный анализ. М.:Мир, - 1975.

22. Рудин У. Теория функций в поликруге . М.:Мир, - 1974.

23. Чирка Е. М. Комплексные аналитические множеств. М.:Наука, -1985.

24. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ ч. I, И. М.:Наука, -1985.

25. Arens R. The boundary integral of log |<£>| for generalized analytic functions. ЦТ. A. M. S. 1957. - Vol.86. - P.57 - 69.

26. Arens R. and Hoffman K. Algebraic extrension of normal algebras. //P. A. M. S. 1956. - P. 203 - 210.

27. Arens R. and Singer I. Function values as boundary integrals. //Р. A. M. S. 1954.- Vol.5. - P. 735 - 745.

28. Arens R. and Singer I. Generalized analytic functions. //Т. A. M. S. -1956. Vol.81. - P. 379 - 393.

29. Forelli F. Analytic measures.//Р. J. M. 1963. - Vol.13 - P. 571 - 578.

30. Gamelin T. Remarks on compact groups with ordered duals./ /Rev. U. Math Arg. 1967.-Vol.23.- P. 97 - 108.

31. GlicksbergI. Maxsimalalgebras and a theorem of Rado.//Р. J. M. -1964-Vol.14.- P. 919 941.

32. Glicksberg I. Measures orthogonal to algebras and sets of antisymmetry. ЦТ. A. M. S. 1962. - Vol.105. - P. 415 - 435.

33. Helson H. and Lowdenslager D. Prediction theory and Fourier series in several variables. //Acta Math. 1958. - Vol.99. - P. 165 - 202.

34. Helson H. and Lowdenslager D. Prediction theory and Fourier series in several variables. //II, Acta Math. 1961. - Vol.106. - P. 175 - 213.

35. Helson H. Lectures on invariant subspaces. N.Y.:Acad. Press, - 1964.

36. Hoffman K. and Singer I. Maximal subalgebras of С(Г). //Amer. J. Math. 1957. - Vol.79. - P. 295 - 305.

37. Hoffman K. and Singer I. Maximal algebras on continuos function. //Acta. Math. 1960. - Vol.103.

38. Leeuw K. de. and Glicksberg I. Quasi-invariance and measures on compact groups. //Acta Math. 1963. - Vol.109. - P. 179 - 205.

39. Leeuw K. de. and Mirkil H. Translation — invariant function algebras on abelian groups. //Bull Soc. Math. Franse. 1960. - Vol.88. - P. 345 - 370.

40. Lindderg J. A. Integral extention of commutative Banach algebra. //Can. J. Math. 1973. - Vol.25:4. - P. 675 - 684.

41. Rider D. Translation — invariant Dirichlet algebras on compact groups.jIP. A- M- S- " 1966. Vol.17. - N 5. - P. 977 - 985.

42. Rudin W. Fourier analysis of groups.: Interscience. N. Y., — 1962.

43. Sherstnev A. N. An analog of the Hahn-Banach theorem for commutative semigroups. //Russian Journ. of Math. Physics. 2002. - Vol.9. - N 2. -P. 198 - 201.

44. Tonev Т. V. Big-planes, boundaries and function algebras. //North Holland Math, studies. - 1992. - Vol.172.

45. Wolf J. Translation — invariant function algebras on compact groups, j jV. J. M. 1965. - Vol.15. - N 3. - P. 1093 - 1099.

46. Grigoryan S. A., Pankrateva T. N., Tonev Т. V. Inner automorphisms of shift invariant algebras on compact groups. //Известия HAH Армении. Математика. - 1999. - T.34. - N 5. - C.57-62.

47. Grigoryan S. A., Pankrateva T. N., Tonev Т. V. Invariant algebras on groups and completeness of their generating semigroups. //Теория функций, её прил. и смеж. вопр. Казанское матем. общество.- 1999. -С. 260-261.

48. Grigoryan S. A., Pankrateva Т. N., Tonev Т. V. The validity range of two complex analisis theorems. // Complex variables. 2002. - Vol.47. -N12 - P.1085 - 1095.

49. Панкратьева Т. H. Относительный спектр. //Сборник "Итоговая научная конференция Зеленодольского филиала КГУ".- 2002.- С.16 -20.

50. Панкратьева Т. Н. Теоремы о вложении для полугрупповых алгебр. //Теория функций, ее прил. и смеж. вопр. Казанское матем. общество. 2003. - Т. 19 - С.164 - 165.

51. Панкратьева Т. Н. О полиномиальных расширениях инвариантных алгебр функций. //Труды математического центра им. Н. И. Лобачевского. Казанское матем. общество. 2004 . - Т.25. - С. 211.