Анализ чувствительности и идентификация имитационных моделей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

АНАДЕШ НАУК ССОР ВЫЧйй/РЛ'ГКЛШЫЙ Ц0ГГР

Не яровах рукописи

ЧЕВЕЛЕВ Константин Зладамироаич

АНАЛИЗ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ И ВДЕНШИКАЦШ ИШ'ГАНИОШЬК МОДЕЛЕЙ

01.01.03 - математическая кибернетика

АВТОРЕФЕРАТ

'диссертации на еоискаидо ученой «тешки кандидата физико-матоматичосюа наук

UûCÏXkX - WA

Работа выполнена в Вычислительном Центра АН СССР

Научны» руководитель:

доктор физ.-мат.наук профессор Ю.М.Свирбжев,

Официальные оппоненты:

доктор фаз.-мат.наук Г.Л.Стенчиков доктор физ.-мат.наук В.В.АлвксовЕ

Водущан организация: факультет вычисгаиольной

математики и кибернетики МГУ

Защита состоится _&

часов на

заоэ данш Специализированного совета К 002.32.01 при Вычислительной Центре АН СССР (117967, ГСП-1, Москва, В-333, Вавилова,- 40).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института им. В.А.Ствкжшз АЛ СССР.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физ.-мет.наук

К. В.Рудаков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Естественные экосистемы являются сложными природными комплексами, состоящими из большого числа В38ИМ0СВЯ38ННГ"с компонент, многие мехашзмы взаимодействия мегду которыми до конца не нзуи-ны. Поскольку эксперименты над природными объектами нежелательны или недопустимы, а получаемая в результате ин\ рмация оказывается, как правило, весьма дорогостоящей, естественным выходом во многих случаях является разработав имитационных «одолей, которые воспроизводят динамические свойства экосистем при помощи математической формализации провесов, численных методов и ЭВМ. При этом структура модели определяется целью моделирования и требуемой точностью от. лния свойств природного объекта.

За последшш года было построено множество имитационных моделей, работающих в различных областях прикладной и теоретической акологии. Однако, построение мате; тгичеекой модели -■ это всего лишь замена одной сложной системы - природного объекта -другг*, пусть -Э настолько, но тоже достаточно сложной системой -моделью. Ее поведение еще предстоит изучить, а оно нередко оказывается столь же контринтуитивным, трудно предсказуемым, кок и динамика экосистемы. В тех случаях, когда модели достаточно просты и допускают анататическоэ исследование, их анализ вполне трвдационен.

Гораздо менее разработанным является анализ численных моделей, представляющих наибольший практический интерес. Как правило, в эти модели входят параметры и коэффициенты, значения которых либо неизвестны вообще, либо известны лишь о точностью до некоторой интервальной оценки. Поятому большое значение гри построения модели играет "предами, ационшй* анализ: оценка чувствительности модели к вариациям параметров и внешних функций, идентификация и верификация. Только после успешного завдрмнкл этих этапов можно организовывать вычислителышй эксперимент.

Наличие- значителиюго числа имитационных моделей и чюпшг. полуэмпирических методов их исследования, трзбукцих, кик правила, больших затрат мшишюго времени, определило тейхояак'жь разработки оф^ис-п'елих алгоритмов анализа к идоик.Зихэцк:', применимых для широких классов »«ягдашинх модалоа.

Цельвз диссертаццсжпэй работы является разработка комплекса #м.ли алгоритмов оценки чувствительности моделей к вариациям параметров и управляющих функций и алгоритмов идентификации моделей по акспериментьльшм данным, создание на основе этих алгоритмов инструментальных средств анализа ¿-.штационных моделей окосистем.

метода исследования. В работа используйся метода математического анализа, Ошсовэнных дифференциальных уравнений, кластерного анализа, численных методов, систс .юго и прикладного программирования•

Научная новизна работы заключается в следующем:

- Исследованы различные имигацион модели, допускаюциэ представление в виде разращенной относительно производных системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, с целью выявления их общих конструктивных особенностей, проведен сравшг. эльный анализ различных методов оценки чувствительности моделей к вариациям параметров и управляюдах функций, а такко методов идентификации моделей по экспериментальным данным. На этой основе разработан единый формализованный подход к анализу чувствительности и идентификации икитаи "ошшх моделей широкого класса.

- Разработаны алгоритмы оценки чувствительнос-ч моделей к вариациям параметров и управляющих функций. Эти оценки существенно облегчают процесс идентификации, позволяя определить те элементы модели, изменения которых сильнее всего влияет на динамику переменных.

- Разработан основанный на минимизации отклонений поля направлений алгоритм идентификации модели по экспериментальным данным, существенно сокращающий объем вычислений по сравнению с традиционными методами решения задачи идентификации. Алгоритм позволяет подбирать ш 1олэе существенные (в смысле чувствительности) параметры так, чтобы получить наилучшее приближение экспериментальных временных рядов модельными траекториями.

- Предложен принцип последовательной идентификации, облегчающий на основе оценок чувствительности к вариациям параметров решение задачи идентификации для имитационных моделей больших размерностей как в методическом, так и в техническом плана, значительно в ономя при атом требуемые затраты машинного времени.

Практическая ценность работы:

- Разработан и реализован на персонально., компьютере типа IBM PC комплекс программ, предназначении., для оценки чувствительности имитационных моделей к вариациям параметров и управляющих функций и для иденг: 5икации моделей.

- В рамках комплекса реализован алгоритм вычисления коэффициентов чувствительности модели к параметрам и управляющим функциям, позволяющий дат - ответ на вопрос к какому параметру (груше параметров) модель наиболее (наименее) чувствительна. Ответ на этот вопрос дает возможность существенно сократить множество параметров, варьируемых при идентификации.

- Реализован алгоритм идентификации модели по временным рядам экспериментальных данных, основанный на минимизации отклонений поля на"раг,. ьний.

- С помощью комплекса проанализированы простейшая модель водной экосистемы, последовательность моделей эвтрсффущего водоема, ряд более слокных моделей пресноводных экосисге :.

Апробация. Результата диссертационной работы докладывались на XIII школе-се кенара "Математическое моделирование в проблемах рационального природопользования" (Ростов-на-Дону, октябрь 1989 г.), на XII объединенном пленуме советского и республиканских комитетов по программе ЮНЕСКО "Человек и биосфора"-"Проблема изучения и сохранения биологического разнообразия" (Фрунзе, июнь 1990г.), на Региональном координационном совещании "Математическое моделирование в гидроэкологии-90" (Ленинград, ноябрь 1990 г.), а также на совместном научном семинаре Лаборатории математической экологии Института физики атмосферы АН СССР и Сектор?) математического моделирования в экологии и медицин-« Вычислительного Центра АН СССР (Москва, сентябрь 19У1 г.).

Публикации. По теме дассертационн .1 работы опубликовано три печатных работа, одна рукопись находится в печати.

Структура даосертационной работы. Диссертация состоит m введения, трех глав, лвключения, библиографии по томи лмсеиртицш' и приложений. Содеркани© диссертационной работа излотип нн !(:••! стратщах, из них 92 основного текста, иллюстрирошшо Н риоуш«!'« внутри текста. Список литературы содержа 83 иаммноьо'тя.

с -

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ ГЛАВА 1. ОБЗОР МЕТОДОВ АНАЛИЗА ШИТАЩОННЫХ МОДЕИЙ

Глава носит обзорный характер. Отмечается, что одной из самых важных задач, решаемых при помощи имитационнгх моделей, является проверка точности и полноты наиего понимании при" шов функционирования сложных сигтем путем сравнения результатов расчетов с экспериментальными данными. Рассматриваются вопросы совместного использования теории, моделирования и эксперимента для изучения поведения природных объектов и их реакции на антропогенное воздействие.

Целью моделирования не является создание точной копии реального объекта. Вместо этого модель пытается воспроизвести некоторые основные свойства системы. Так как при разработке модели были сдеч.лш определенные приближения, понятно, что она является несовершенным представлением системы. Следовательно, модель не справедлива на некоторых режимах и количественно не точна почти везде. Однако, по мере улучшения численных методов, а так,,-о увеличения объема памяти и быстродействия компьютеров, модельные расчоти становятся все более точными.

В полном объеме решение вопросов, связанных с анализом имитационных моделей, остэетп пока что открытым. Тем не менее, используя вычислительный зксперимент, можно получить довольно много дополнительных сведений о свойствах модели, и сопоставить их с более доступной качас-. звнной инфсг :ацией о самой экосистеме или ой подобных. В дальнейшем, если удается убедиться в адекватности модели, эти вывода можно переносить на моделируемый объект, сущо тванно пополняя наш знания о нем.

Сравнивал известные методы анализа чувствительности моделей и их идентификации, показано, почему эти метода нр могут считаться вполне удовлетворительными.

ГЛАВА 2. АЛГОРИТМ АНАЛИЗ. ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ МОДЕЛЕЙ

Цвлью анализа чувствительности является оценка влияния вариация параметров и Енеиних функций на поведении фазовых перемонных модели. В раг^те рассматривав -ся класс имитационных модней, допускающих представление в виде:

Ох/сИ -Г(х,р,иа).

г(0,р) - г0

где - время, ге®" - вектор фазовых переменных, реК™ -

вектор параметров, - вектор-функция внешних воздействий на

моделируемую систему. Предполагае~"я, что функция правых частей / зависит от времени на непосредственно, а только через функцию внешних воздействий и (что справедливо для большинства моделей г экологии). Разлив/в между вектором параметров р и вектор-функцией внешних воздействий иа) заключается в том, что вектор параметров предполагается постоянным на всем отрезке интегрирования системы (1), а функция и зависит от времени.

Расширением ф^ового пространства задачи (1) будем называть декартово произведение КП«К* фазового пространства на пространство значений фу: .¿ции внешних воздействий. Расширение фазового пространства является областью определения переменных (величин, которые, в отличие от вектора параметров р, изменяют! во времени), от которых зависит функция / правых чь^тей системы (1).

Множество точек У=Си(гм.1('1,р,и('(,);хо.),и(Ч.>.)|г€[0,'П} в расш! ^ .>нии ф^ового пространства будем называть распиренной траекторией.

Разбиением расширенной траектории V будем называть некоторое Оискреоное множество $ в расширении фазового пространства. Интерес, без у ело г. :>, представляют не произвольные разбиения расширенной траектории, а только те, которые дают некоторое представление о ее поведении в расширении фазового пространства. Примером такого "информативного" разбиения может служить построенное на основе некоторого разбиения } отрезка Ю,Т)

индуцированное разбиение расширенной траектории

Если в качестве разбиения отрезка интегрирования влять где Н - шаг численного метода решения задачи (1), то получим тривиальное разбиение расширенной траектории $*, проекция которого на фазовое пространство совпадает с численным решением исходной задачи.

Для моделей, дапускэпцих представление в виде задачи (I), функцией чувствительности я., переданной х. к параметру г>. и

Л •» » /

функцией чувствительности э{ переменно Я .г( к управляющей функции а) на ревении х(г,р,и(1);х0) будем называть отображение

- С -

S:S-œ

разбиения гчсширешюй траектории, задеваемое формулами

а

{J(x,u;pJ = w(x,u) (XrpmVôpj (2)

а" (x,u;p) » w(x,u) df ^х.рщуди (3)

где w(x,u) - весовая функция, определяющая вклад каадой точки разбие-ия S в значение коэффициента чувствтвльноапш.

Коэффициент чувствите.*ьвости ctj переменной it к перемещу р и коэффициент '¡увсгвитвльност.л с* переменной г{ к управляющей функции uff; определяются формулами

с^($,р) ш! £ |ewfj,u;p;| <4)

Cs,u;£S

с* (s.p; -1 Y, 1*Ï(wp>1 (5)

(x.ujçS

где N - количество точек в равнении S.

Коэффициент :увствительности с^ всей модели к параметру р^ задается формулой ...

л

c,fS,pJ = 1 £ 6tJ(S*P> (6)

t=f

Для нахождения матрицы функций чувствительности jatj{x,u;pjj в одной точке разбиения расши}. .иной траектории S при использовании направлен-их разностей требуется ) раз начислить функцию / правой части системы (1). Такой же объем вычислений необходим (при использовании некоторых численных методов, например, метода Адэмса) в каждой точке траектории x(t,p;xQ) для подсчета матрицы естественных фуюауЪ чувствительности ^alJ('î1p;j0/)j

âi)(t,p;xQ) = дх^,р;х0)/дрл (7)

которые при выполнении соответствующих условий являются решениями системы уравнений в вариациях относительно параметров да задачи (1) вдоль траектории x(t,p;x0).

Однако, если при решении системы уравнения в вариациях для подсчета матрицы естественных коэффициентов чувствительности [с^(р,х0)}, вычисляемых обычно по формуле

otJ(p.x0) -J ^etJ(t,p;xg)\at (а;

о

недо вычислять возму. )ншэ траектории полностью, то для нахоадения

матрицы коэффициентов чу^твительности не требуется

никаких дополнительных вычислений в ^очках, не принадлежащих выбранному разбиению расширенной т] юктории.

Таким образом, можно существенно сократить объем вычислений, требуемый для оцр'пш чувствительности модели к вариациям параметров, если выбирать равнения расширенной траектории, мощность которых значительно меньше мощности тривиального разбиения $*. В "иссертации показано, что справедливо следующее

Утверждение 1. Существуют г Убиения расширенной траектории $ такие, что вычисленные по ним матицы коэффициентов чувствительности дают адекватную оценку

чувствительности ..._>дели к вариациям параметров. При этом объем вычислений меньше, чем при подсчете матрицы естественных коэффици ¡тов чувствительности {с4^р,:г0;|.

Накопленный на большом количестве реальных , моделей опит позволяет утварздвть, что в среднем затраты ме. инного времени на вычисление матрицы по формулам (2) и (4) с

испо: зование) предложенных в работе алгоритмов построения разбиения расширенной траектории $ на полтора-два порядка меньше, чем на вычисление матрицы по формулам (7) и (8). При

этом выигрыш во времени тем больше, чем больше размерность вектора параметров.

Сокращение объема требуемых вычислений, как было отмечено выше, достигается за счет уменьшения мощности разбиения расширенной траектории. В диссертвции предложены два алгоритма построения разбиений, удовлетворяющих утверждению 1.

Первый из предложенных в работе алгоритмов строит искомое разбиение расширенной траектории, на котором определяется Функция чувствительности, как некоторое подмножество тривиального разбиения Весовая функция т полагается равной константе,

например ш(х,и.)=1, на всем множестве 5*.

Алгоритм 1. О. Выбрать некоторое положительное целое число в , взять разбиение «г0;«и[0,«4«э0»Л> отреикз 10,14, построить индуцированное им разбиониа расширенной траектории и вычислить матрицу козф^нци^нточ чувствительности [<?<_,(• Нслокить к ?.

1. Положить з /г.

2- Взять разбиение ^(к)"И(1к)~1*зк»Ю отрез! ■ (0,Т].

3. Построить индуцированное разбиением разбиение расширенной траектории

4. Вычислить матрицу коэффициентов чувствительности

5. Если

ак 'Р>I

шт--< Е,

II" *

то

иначе

увеличить к на единицу и вернуться к шагу 1.

Легко видеть, что этот алгоритм не зацикливается, так как либо для очередного выполнится неравенство пункта 5, либо будет достигнут шаг ак=!.

Рассмотренный алгоритм прост в реализации, позволяет с достаточной точностью оценивать коэффициенты чувствительности и существенно ускоряет процедуру анализа для широкого класса моделей. Однако в некоторых вахнях "псгных случаях он строит разбиение расширенной траектории $ не самым оптим чьным образом: он дробит разбиение на всем отрезке (ОД], в то время как более естественным и оптимальным с точки зрения затрат машинного времени было бн дробить его только на участках резкого изменения функции /, а на тех участках, рде функция / близка к константе, брать небольшое количество точек, увеличивая в этих точках значение весовой функции т.

Поэтому в рг-Лэте рассмотрен еще один алгоритм построения разбиения расширенной траектории, учитывающий локальное поведение функции /. Идея этого в^ори^а заключается в анализе плотности расширенной траектории )=(u(t)tx(t,p,u(t);х0))) в расширении

Фазового пространстве.

Анализ плотности траекгор^' основывается на кластеризации тривиального разбиения расширенной траектории $* в расширении фазового пространства.

Разбиение расширенной траектории 5, на котором огг^ здоляется функция чувствительности, строится как множество точек ьида (~Тк ~'-к), где (тк,иь, - центры полученных кластеров. Ресовая

функция задается равной количвс^у точек расширенной

траектории V, попавших в /г—а кластер.

Из-за большой мощности множества 5* методы кластерного анализа, основанные на анализе попарных расстояний между точками, не являются эффективными для решения поставленной задачи. Поэтому был разработан алгоритм кластеризации, не требующий анализа всего тривиального разбиения $* срвзу.

Алгоритм 2. 0. Первая точка становится центром первого кластера.

1. Взять очередную точку 5* и проверить, принадлежит ли она какому-либо из уже существующих кластеров.

2. Если да, то

центр этого кластера вмещается в центр тяжести системы "старый центр + новая точка" (при этом считается, что точка имеет вес 1, а старый цонтр кластера - вес, равный количеству точек, попавших в него раньше) и вес этого кластера увеличивается нв единицу,

иначе

эта точка становится центром нового ю. „стера.

3. Если еще остались нерассмотренные точки множества $*, .о вернуться к пункту 1.

В зчестве критерия принадлежности точки V тестеру с центром

V* используется неравенство в

где 0 - заданная точность кластеризации. Норму иеОг удобно вычислять по формуле

ТП.|>

1=)

В параграфе 3 главы 2 диссертации рассматривается вопрос о сопоставимости результатов анализа чувствительности разными методами.

Отмечается, что одной из основных целей анализа чувствительности моделей является облегчение процесса идентификации путем отвотя на вопрос: "К иаколу параяетщ (группе трзжщ«■>(?) модель наиболее (>ихш;нее) чувствительна?" Отвог на это1, вопрос доуг возможность сущйственно сократить мнодаптпо

параметров, варьируешх при идентификации. Естественно поэтому по: лмать "близость" результатов анализа чувствительности, полученных разными методами, не как численное совпадение соответствующих векторов коэффициентов чувствительности {с^(р,10)] и а как "близость" ответов на сформулированный выше

вопрос.

В работе "близость" результатов формализуется следувдим образом. Упорядочим множество параметров сна"ала в порядке . "ЫЕа-ния значений компонент вектора £сЛр,х0)}, а затем в порядке убывания значений компонент вектора (^р)} и сравним слученные отсортированные множества параметров ? и Простейшими критериями близости ^р и ф являются:

- коэффициент 14 интере 'лъного совпадения, равный проценту тех элемент з множества параметров, которые- попали в заданный интервал позиций одновременно и в и в

- коэффициент Тг сохранения порябка, равный проценту нар элементов множества параметров, стояла в одинаковом порядке и а р, и в ф, от общего количества т*(т+1 )/2 пар элементов чтого множества.

На практике значения коэффициентов М и Тг пол. чаются равными примерно 80+9058, что можно считать вполне удовлетворительным.

ГЛАВА 3. АЛГОРИТМ ИДЕНТИФИКАЦИИ МОДОПЙ ,

предлагаемый в. диссертации алгоритм идентификации имитационных моделей по временным рядам экспериментальных данных основан ив минимизации отклонений поля направлений сигтомы дифференциальных уравнений, ладящейся представлением модели, и методе последовательных приближений решения задачи многомерной минимизации. За счет выбора специального вида минимизируемого Функционала алгоритм позволяет значительно сократить (по сравнению с традиционными мэтодами) объем требуемых вычислений. Рассмотрен вопрос о сходимости алгоритма к решению задачи идентификации в ее градационной постановке. В конце главы приведены примеры применения алгоритма к конкротным моделям.

Как и в главе рассмотрен класс имитационных моделей, дицускнпйих представление в виде задачи (1), и множество

экспериментальных данных

а - { х,А , 1=77п , к=Т7г1 , гс>0 > где г{> - определенное в результате натурных измерений значение переменной т{ в момент времени 11ке(0,Т] (последовательности «{к,Л=Т7г4> для разных перб...лнш»х. х{ независимы и могут быть различны).

Задача идентификации модели. Представленной системой уравнений (1), по множеству. ' гспериментальных данных 3 определяется как экстремальная задача

Т(хЦ,р;х 0;,1Мп/ (9)

р

Выбирая различные функционалы I, мокно получить множество конкретных постановок задачи идентификации. Например, в своей традиционной постановке задача идентифи зции как задача поиска такьжо вектора параметров р, при котором достигается наилучшее приближение мнохестЕ- экспериментальных данных 5 траекториями модели, представленной системой (1), эквивалентна задаче минимизации функционала вида

тг г(

Р(хЦ,р;:г0;д> £ £ ^^-ха^.р^Л" {=1 1

где ц - некоторое пологительное действительное число.

В диссертации рассматривается характеризующий отклонение поля напраа- ний функционал Р, задаваемый формулой

п г

Число г, последовательность векторов и разбиение

5>{{отрезка Н,Т] выбираются следующим образом. Как было сказано выше, последовательности Z{={t,г{} моментов времени, в .соторые определялись значения х<ь перемъ.лых для различных 1 независимы и .е обязаны быть синхронизированы. Поэтому сначала строится разбиение

5- и .,/'77г) 1=1 3

отрезка [О,Г), после чего полагяется

х.. если существует к такое, что t

я * * у 'А I

13 х(1ур;х0) в противном случае

Рассматриваемый в рвботе функционал Р (при условии гладкости

функции f) является гладким, что изваляет применять к нему ~ достаточно бистро сходящиеся квазиныггоновские алгоритмы численной минимизации второго порядке, основанные на методах переменной метрики.

Для решения задачи идентификации (9) как задачи минимизации функционала ? указанного выше вида в работе предлагается следующий

Алгоритм 3. 1. Найти решение x(t,p;xQ) задачи (1).

2. Есл1. ?(x(t,p;x0),i)CE, то завершить ^боту алгоритма.

3. Найти решение ;xQ)/öpj] системы уравнений в вариациях относительно параметров для задачи (1) вдоль траектории x(t,p;xQ).

4. При Снксир1ванных x(t,p;x) и [öxl(t,p,;x0)/dpJ] найти решение экстремальной задачи

F*(x*,%hlnf (10)

вр

где

U г

£ (ft(tJ.j:j,I»üp)-fi(tJ.x*,jHOp))* ' V"» Ox (t ,p;x )

' 3 Ei °Pk

X-1 * k

5. Вернуться к шагу 1 с новым значением вектора

параметров р.

Ключевым моментом алгоритма является замена функционала F на функционал ?*, который при фиксированных р, x(t,p;x) и ^fljjft.p, ;x0)/öp] является функцией только вектора б р, что избавляет от необходимости при вычислении значения функционала F* и градиента [öF+/dpj] численно интегрировать исходную задачу и систему уравнаний в вариациях для нее после каждого изменения р. При такой замене для опт»деле иия F* и |öFVöPjj требуется всего лишь вычислить [öf^öJCjj и ["/j/OpjJ на некотором разбиении t отрезка Ю.ТЗ, что позволяет существенно сокращать затраты машинного времени.

Как задача (9), так и задача (10) являются, вообще говоря, задачами условной минимизации, то есть для каждой компоненты р

вектора пзр^у.етров мояет быть задан диапазон допустимых значений " р €1р{,,р{г1. Более того, при решении задачи (10) необходимо такие проверять, пршгздлежат ли вычисленные значения и множеству допустимых зкьчэний для фазовых переменных (например, для большинства фазовых перемени..- в моделях экосистем множеством допустимых значений является положительный ортант фазового пространства).

Для упрощения алгоритма решения ^адачи условной минимизации к функционалу Р4 добавляется величина Р , вычисляемая по формуле

и задача (10) ~ решается несколько раз для последовательности убывающих к нулю значений итерационного параметра р.. При этом решение, полученное для очередного значения из этой

последовательности, я1 гт&тся начальным приближением для следующей итерации, использующей

Наличие в функционале Р+ "барьерного" лена ?р вида (11) гарантирует невыход алгоритма решения задачи (10) на границу па, ¡ллэлепшгеда допустимых значений вектора р, что изба7- пяет от необходимости применения на границе этого параллелепипеда сложных алгоритмов выбора допустимого направления спуска. Во внутренних точках области допустимых значений параметров допустимым является любое н'правление спуска, и поэтому алгоритм ег^ выбора не сильно отличается от более простых алгоритмов выбора направления спуска в задачэх безусловной минимизации.

Контроль принадлежности х* и х^ множес. зу допустимых для фазовых переменных значений и набора условий вида р(е1рп,р{2) осуществляется добав. нием в алгоритм решения задачи (10) дополнительной проверки д устам' та в"ктоа Ср: необходимо уменьшить его длину, если либо вектор р+Ср, либо одно из значений х^(Ор) или х^(вр) выйдут за границы множества допустимых для них значений.

В программист реализации предложенного выше алгоритма предусмотрена также возможность поиска нескольких радений задачи (9) путем перебора локальных миг-чумов функционала Р.

В параграфе 2 главы 3 диссертации показано, что справедливо следу идее

Утверждение 2. Алгоритм 3 решения задачи идентификации в

(11)

предложенной выше формулировке (как задачи минимизации отклонений по. 1 направлений) сходится к решению задачи адентафшации в еа традиционной постановке (как задачи приближения множества экспериментальных данных модальными траекториями).

' В параграфе 4 глаш 3 диссертации описан принцип последовательной идентификации, который в случае, когда даны две модели, и Ш2, одного и того же объекта, представленные *• виде задач (1), причем .дножвстеэ фазовых переменных • и векторов параметров моделей и ®2 имеют непустое пересечение, и -¡ьшолнены условия п1<а2 и ш(<п2, ьозволяет используя результаты идентификации модели ВЦ:

- сократить затраты ма^таного времени на идентификацию модели №г по множеству экспериментальных данных ЭГ2, если такое множество существует;

- построить некоторое множество 32, по которому можно провести предварительную идентификацию модели в случае отсутствия достаточного количества экспериментальной информации.

1рэдложешшй эвристический пог'од позволяет получить похожую динамику общих фазовых переменных моделей ЗЯ) V Ш2, а также качестве 1шо правильное поведение тех фазовых переменны'? модели которые не входят '? Я, -Поэтому можно рэ;. ывндовать в процессе построения любой модели К . строить путем последовательной композиции фазовых переменных некоторую последовательность моделей

, так как многократное применение описанной выше процедуры

последовательной идентификации позволяет значительно экономить требуемое для идентификации модели К машинное времена.

ЗАКЛШЕНИВ.

В работе рассматривались задачи, возникаодиэ при оценка '(уьстиитольности имитационных моделей к вариациям параметров и идентификации моделей по временным рядам вкспериментальних дашшх.

Имитационный модели в аналогии (как и в других предметных ойласзях) едадаются, как правило, для расчетов лн ЭВМ различных сцонг1р4»>£ шзадвсття на роалыыа объекты. Важное значение в працоеш построишь* модели, игра»т анализ чувствительности к

вариациям параметров и внешним функциям, идентификация по 8Кспориментальшм данным и верификация. Организовывать вычислительный эксперимент можно только посла успешного завершения этих этапов моделирования.

В работе с единых гоз1..,лй рассматриваются задачи оценки чувствительности и идентификация моделей, разработаны и обоснованы Еисокобффективныэ алгоритма решения зтих задач. Предлагается единый формализованный подход к.внг":гау и идентификации моделей иирокого класса: представимых в виде разрешенной относительно производных система обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка. Как отмечено в сбзоре, такие модели широко распространен:! в различных областях знаний, в частности, в экологии.

С помощью основанного на предложен"1«: в работе алгоритмах кош зкса программ исследован ряд моделей водных экосистем. Нэ этих моделях проиллюстрирована работа алгоритмов, проподон сравнительный анализ процедур, предложенных в диссертации, и используемых другими авторами.

Разработанные в диссертации алгоритмы весьма автономны по о г-чаепин к объекту моделирования и могут использоваться для анализа ' имитационных моделей, допускающих соотвеъ« гнущее представление,- в любой предметной области (физике, химической кинетике, экономик.. и т.д.). Эта алгоритмы позволяют облегчить анализ имитационных моделей как в методическом плане, так и , техническом. Использован: комплекса прог^^мм» реализуших предложенные алгоритмы, позволяет целенаправленно исследовать реакцию модели на вариации параметров и самым получпть

содержательную информации, необходимую для дальнейшего уточненж: модели. Кроме того, гт'^длокзннне алгоритма позволяют существенно сокращать затраты машинного ^темени.

ВЫВОДЫ. .'"'*.., ''

1. Исследованы обггив конструктивные особенности имитационных моделей, допусквхщих представление в ' виде разрешенной относительно производных систеш обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка. Проведен сравнительный анализ различт<х процедур оценки чувствительности моделей к вариациям параметров и управляющих фу-чций, а также методов идентификации моделей т ь..спериментальным данным.

2. Разработан и исследован алгоритм оценки чувствительности .-одэлой к вариациям параметров и управляющих функций. Эти оценки существенно облегчают процесс идентификации, позволяя определить тэ элементы модели, изм^ания которых сильнее всего влияют на динамику переменных.

3. Разработан и исследован алгоритм 'идентификации модели по временным рядам экспериментальных данных, основанный на приблжекии пог- направлений и мете',е последовать ьных приближений решения задачи многомерной минимизации. Алгоритм позволяет подбирать наибе-ве существенные (в смысле чувствительности) параметры так, чтобы получить наилучшей приближение эксперимента, ных ' временных рядов моделышш траекториями, существенно сокращая объем вычислений пс сравнению с традиционными методами решения задачи идентификации.

4. Предложен принцип последовательной идентификации, позволяющий на основе оценок чувствительности к вариациям параметров значительно экономить требуемые для Вд' гификации имитационных моделей больших размерностей затраты машинного времени, облегчая решение задачи идентификации как в методическом, так и в „ахюлческом плане.

5. На персональном компьютере типа 1ВЫ РС реали:. ^ан комплекс программ, предназначенный для оценки чувс!„стельности имитационных моделей к вариациям параметров и управляющих функций и для идентификации моделей. С помощью- комплекса проанализированы нростейввя модель водной экосистемы, последовательность моделей эвгрофирущего водоема (на примере которой проиллюстрирован принцип последовательной идентификации), ряд более сложных моделей пресново~чых экосистем.

Рентные розультэты диссертации опубликованы в работах:

1 .Чглу.'леи К. В. Программный комплекс анализа имитационных моделей. -М.: ЬЦ АН СССР, 1ЭД9.- Р.2 с.

К.В. Анализ имитационных моделей,- Тезисы XIII областной ¡ич'ляи-ч'г'ьмнара "Математическое моделирование в проблемах рьцяс'Нпяыичч» юиродоюдьзовиия н", Ростов-на-Дону, 1989.- с. 88.

П. К. Я. 1^1-НТ»11ИК»Н35Я ИМ51Т9ЦИОННЫХ модулой.- ТвЗИСЫ XII

; "V' :;и]5'.';:н;.гм до*нуж ..•ог-чтекэго и республиканского комитетов по рпдал "Ч-.-лошч! 11 глюс1><ра", Фрунзе, 1990.- с. 143.