Анализ чувствительности и оптимизация пространственных рамных конструкций с учетом ограничений по усталостной долговечности тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

с- # ■ л

На правах рукописи

СЕРГЕЕВА СВЕТЛАНА АНАТОЛЬЕВНА

АНАЛИЗ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ И ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ РАМНЫХ КОНСТРУКЦИЙ С УЧЕТОМ ОГРАНИЧЕНИЙ ПО УСТАЛОСТНОЙ ДОЛГОВЕЧНОСТИ

Специальность 01.02.04 -механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

НИЖНИЙ НОВГОРОД 1997

Работа выполнена в Нижегородском Государственном Университете им. Н.И.Лобачевского.

Научный руководитель - доктор технических наук, профессор, академик РАЕН и МИА, Заслуженный деятель науки и техники РФ Малков В.П.

Научные консультанты - доктор физико-математических наук, профессор Любимов А.К., кандидат технических наук, доцент Киселев В.Г.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук Садырин А.И. (НИИ механики при ННГУ), кандидат технических наук, доцент Бех Л.П. (ВГАВТ)

Ведущая организация - Нф ИМАШ РАН

Защита состоится . 1997 г. в

ОО

часов

на заседании диссертационного совета Д 063.77.05 при Нижегородском Государственном Университете (603022, г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23, корп.6).

С диссертацией можно познакомиться в фундаментальной библиотеке Нижегородского Государственного Университета.

Автореферат разослан

' 1997 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат технических наук

Б.В.Трухин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Проблема повышения долговечности конструкций при одновременном снижении их металлоемкости является одной из актуальных проблем различных отраслей промышленности.

Исследования в области постановок и методов решения оптимизационных задач с учетом процессов накопления повреждений немногочисленны и требуют дальнейшего развития.

Интерес представляют пространственные подвижные стержневые конструкции, находящиеся в условиях нестационарных (полигармонических) силовых режимов нагружения.

Трудности, возникающие при решении задач оптимизации пространственных стержневых конструкций с учетом накопления усталостных повреждений, обусловлены в первую очередь тем, что время одного расчета на ЭВМ сложной конструкции может быть достаточно велико. Для получения достаточно точного решения оптимизационной задачи на основе традиционных подходов требуется, как правило, осуществление большого числа расчетов проектируемой системы. Актуальная проблема повышения эффективности процесса проектирования конструкций требует разработки новых подходов к решению оптимизационной задачи, позволяющих сократить количество обращений к программам прямого расчета конструкций. Эффективным с точки зрения снижения вычислительных затрат подходом к оптимальному проектированию является создание методов анализа чувствительности.

Актуальной представляется также проблема разработки для расчета конструкций методик, адаптированных к задачам оптимального проектирования. Такие методики призваны сделать процесс проектирования более универсальным, гибким и экономичным.

Тема диссертационной работы находится в соответствии с тематикой Единого заказ-наряда Нижегородского Государственного Университета по плану фундаментальных НИР Государственного Комитета Российской Федерации по Высшему образованию, ряда грантов (ГК РФ ВШ, РФФИ).

Объект исследования. В настоящей работе рассматривается пространственная рамная конструкция, составленная из прямолинейных призматических стержневых элементов . Элементы рамы имеют кольцевую форму поперечного сечения. Стержни жестко соединяются в узлах конструкции. Расположение узлов в пространстве (геометрия) и соединение их элементами (топология) произвольны. Опорные узлы конструкции могут быть закреплены от линейных и/или угловых перемещений. Под действием внешних силовых факторов в элементах наблюдается явление растяжения-гжатия, изгиба, среза и кручения. Линейные и угловые перемещения узлов конструкции считаются малыми. Элементы рамы объединяются в группы (типы) по признаку одинаковых поперечного сечения и материала.

Материал элементов конструкции однородный. Характеристики сопротивления усталости, нагруженности и прочности рассматриваются как детерминированные )еличины.

Рассматриваются узловые полигармонические нагрузки (силы и моменты), при соторых деформация во времени каждого цикла упруга (многоцикловое нагружение). 4агрузки действуют в квазистатическом приближении (деформации конструкции 'спевают отслеживать изменение нагрузки), инерционные эффекты в работе не 'читываются. В спектре гармоник полигармонического нагружения преобладают в

среднем близкие амплитуды, отсутствуют резкие всплески перегрузок. Уровень действующих нагрузок такой, что максимальные напряжения не превышают предельных.

Оценка качества пространственной рамной конструкции в данной работе проводится по целевой функции массы, которую нужно минимизировать.

Управляемыми параметрами, подлежащими выбору при проектировании, являются размеры толщин кольцевых поперечных сечений.

В качестве ограничений рассматриваются ограничения, характеризующие уровень усталостной долговечности конструкции и ограничения по предельным значениям управляемых параметров. Ограничения по прочности в рассматриваемом случае являются слабыми ограничениями, так как при переменном многоцикловом нагружении накопление усталостных повреждений происходит при более низком уровне нагрузки, чем уровень нагрузки, при котором происходит нарушение ограничений по прочности. При выполнении ограничений по усталостной долговечности и рассматриваемых геометрических соотношениях на размеры элементов (толщина кольцевого поперечного сечения не меньше 0.9% внутреннего диаметра, внутренний диаметр не меньше 3% длины стержня) ограничения по эйлеровой устойчивости элементов и устойчивости стенки сечения элементов являютя слабыми ограничениями и в данной работе не рассматриваются.

Цель диссертационной работы: сформулировать задачу оптимизации по массе пространственных рам, подверженных воздействию полигармонических нагрузок, с учетом накопления усталостных повреждений;

разработать методику расчета усталостной долговечности пространственных рам с учетом полигармонических нагрузок, адаптированную к методу конечных элементов и анализу чувствительности;

- создать методику анализа чувствительности перемещений, матрицы жесткости, краевых усилий, усталостных долговечностей к варьируемым толщинам поперечных сечений элементов;

- построить эффективный алгоритм многопараметрической оптимизации с использованием анализа чувствительности;

обосновать достоверность разработанных методик и программ с помощью решения тестовых задач;

решить новые прикладные оптимизационные задачи из реального проектирования (оптимизация рассевов).

Научная новизна

1. Сформулирована новая постановка задачи оптимального проектирования пространственных рам, находящихся под действием полигармонических квазистационарных нагрузок, при ограничениях по усталостной долговечности.

2. Получены новые аналитические соотношения чувствительности перемещений, краевых усилий, матрицы жесткости, полуаналитические соотношения чувствительности усталостных долговечностей в пространственных рамах.

3. Разработана методика расчета усталостной долговечности с использованием метода конечных элементов для пространственных рам.

4. Разработаны численные алгоритмы и пакет прикладных программ для решения задач расчета усталостной долговечности пространственных рамных конструкций при полигармоническом квазистационарном нагружении, анализа чувствительности функции массы и функции ограничений на усталостную долговечность и оптимизации пространственных рамных конструкций.

5. Решены новые прикладные задачи анализа чувствительности и оптимизации пространственных рам типа рассевных машин.

Достоверность результатов. Достоверность разработанных методик и программ подтверждается сравнением полученных результатов с известными аналитическими решениями, близостью результатов решения задач, полученных различными методами.

Практическая ценность. Разработанный пакет программ имеет модульную структуру, может использоваться в расчетной практике отраслевых НИИ, КБ предприятий для проектирования оптимальных по массе пространственных рам при полигармоническом квазистационарном нагружении с ограничениями на усталостную долговечность. Получены решения новых задач, в том числе при проектировании изделий машиностроения (рамы рассевных машин).

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на:

Областной научной конференции "Прогрессивные методы проектирования современных машин, их элементов и систем", Горький, 1986 г. Научно-технической конференции "Проблемы машиноведения", Нижний Новгород, 1997 г.

Публикации. Основные результаты проведенных исследований опубликованы в 6 работах. ,

Сруктура и объем работы. Диссертационная работа состоит из четырех глав, заключения и списка использованных источников. Объем работы 171 страница, 25 рисунков, 6 таблиц. Список использованных источников содержит 175

наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе обсуждается состояние проблемы анализа чувствительности и оптимизации по массе пространственных рамных конструкций с варьируемыми толщинами поперечных сечений элементов и учетом накопления усталостных повреждений и связанной проблемы расчета на прочность по критериям многоцикловой усталости. Дается обзор работ по методам расчета на прочность при переменных нагрузках, методам схематизации переменных процессов нагружения, анализу чувствительности, по теоретическим исследованиям и решенным прикладным задачам в области оптимизации, состояние исследований по оптимальному проектированию с учетом процессов накопления повреждений различной природы (ползучесть, усталость, развитие трещин).

Разработке и обоснованию методов расчета на прочность при переменных нагрузках посвящены труды Бойцова Б.В., Болотина В.В., Волкова В.М., Гусенкова А.П., Когаева В.П., Махутова H.A., Павлова П.А. и других ученых.

Оптимизация механических систем является активно развивающимся направлением научных исследований. Теоретические исследования и решенные прикладные задачи в этой области Многочисленны, что наглядно иллюстрируется обзорами отечественной и зарубежной литературы. Значительный вклад в развитие оптимального проектирования внесли работы Apopa Я. (J.S.Arora), Баничука Н.В., Вандерплааца Г.Н. (G.N.Vanderplaats), Гринева В.Б., Жмуро О.В., Заева В.А., Зарубина ВА., Киселева В.Г., Камат М.П. (M.P.Kamat), Комарова В.А.„Комкова В. (V.Komkov), Мажид К.И. (K.J.Majid), Малкова В.П., Моисеева H.H., Любимова А.К., Немировского A.C., Ниордсона Ф.И. (F.I.Niordson), Ольхоффа Н. (N.Olhoff), Педерсена П.

(P.Pedersen), Поляка Б.Г., Перлина В.И., Почтмана Ю.М., Преображенского И.Н., Растригина Л.А., Садек ЭЛ., Филиппова А.П., Харитона J1.E., Хафтка Р.Т. (R.T.Haftka), Химмельблау Д. (Himmelblau D.M.), Хира Е., Хога Э. (EJ.Haug), Чираса

A.A., Шмита JI.A. (L.A.Schmit), Лмакава X. (H.Yamakava ) и других ученых.

Подавляющее число достижений в области оптимального проектирования связано со статическим поведением конструкций. На практике конструкции подвергаются действию различного типа динамических или переменных нагрузок, источниками которых могут бьггь вращающиеся элементы машин, ветровые нагрузки, морская качка , движение по бездорожью, землетрясения, взрывы и столкновения. Оптимальному проектированию конструкций, подверженных воздействию таких нагрузок, посвящено сравнительно мало работ.

Оптимизационные задачи, формулируемые с учетом процессов накопления повреждений, согласно классификации Баничука Н.В. можно отнести к динамическим задачам оптимизации. В зависимости от задания исходной информации различают детерминированные и вероятностные постановки динамических оптимизационных задач.

Формулировки детерминированных оптимизационных задач с учетом накопления повреждений при многоцикловой усталости приведены в работах Почтмана Ю.М., Когана E.JI., при ползучести в работах Заева В.А., Никитенко А.Ф., с учетом механического и химического разрушения - в работах Зёленцева Д.Г., Почтмана Ю.М.

Детерминированные постановки задач оптимального проектирования с учетом процессов роста усталостной трещины исследованы для пластин Г.П.Черепановым,

B.М.Смольским, для подкрепленных пластин и оболочек - В.Г.Лагутиным и др.

В работах Арасланова A.M., Жовдак В.А., Иглина С.П., Софронова Д.Д. изучены постановки задач весовой оптимизации с учетом накопления усталостных повреждений и требований по надежности.

Рассматривая стабильное развитие трещины в конструкции как процесс накопления повреждений, авторы Арасланов A.M., Любимов А.К., Ханагуд С. (Hanagud S.) рассмотрели решение весовых задач оптимизации в вероятностной постановке.

Задачи, связанные с выбором оптимальных сроков осмотра, ресурса с учетом процесса роста трещины рассмотрены в работах Зимонта Е.Л., Копнова В.А., Тимашева С.А.

Проблема повышения эффективности процесса проектирования конструкций требует разработки новых подходов к решению оптимизационной задачи, позволяющих сократить количество обращений к программам прямого расчета конструкций, необходимое для решения задачи с приемлемой точностью.

Эффективным с точки зрения снижения вычислительных затрат подходом к оптимальному проектированию является создание методов анализа чувствительности. Вопросы анализа чувствительности рассматриваются в работах Ароры Я. (J.S.Arora), Хафтки Р.Т. (RXHaftka), Камата М.П. (M.P.Kamat), Хога Э. (E.J.Haug), Чой К. (K.K.Choi), Комкова В. (V.Komkov), Киселева В.Г. и других ученых.

Оптимальное проектирование конструкций при переменном нагружении всегда наталкивается на большие трудности, так как перемещения, скорости и ускорения часто связаны с целевой функцией и условиями ограничений, которые в общем случае являются неявными нелинейными функциями переменных проектирования.

Методу интегрирования по шагам на базе градиентного метода оптимизации и анализа чувствительности посвящены работы Apopa Я. (J.S.Arora), Браха P.M. (R.M.Brach), Фокса Р.Л. (RX.Fox), Хога Э. (E.J.Haug), Ченга Ф. (F.Y.Cheng) и др.

Решение динамических задач с использованием метода разложения по собственным формам колебаний, анализа чувствительности и градиентного метода оптимизации рассматривается в работах Ниордсона Ф.И. (F.I.Niordson), Ямакава X. (H.Yamakava) и др.

На базе приведенного обзора литературы и анализа современного состояния проблемы анализа чувствительности и оптимизации по массе пространственных рамных конструкций с варьируемыми толщинами поперечных сечений и учетом накопления усталостных повреждений обосновывается актуальность выбранной темы, ее научная новизна. Формулируется цель и основные задачи работы. Рассматривается достоверность и практическая ценность результатов. Даются сведения об апробации, публикациях, объеме и структуре работы. Приводятся используемые в диссертации обозначения.

Во второй главе изложена методика расчета напряженно-деформированного состояния призматического рамного элемента кольцевого поперечного сечения и оценки усталостной долговечности пространственных рамных конструкций при полигармоническом квазисгационарном нагружении.

Расчет узловых перемещений проводится по методу конечных элементов, согласно которому:

[К}{и} = {Р], (,)

где [if] - матрица жесткости рамы, |С/j - вектор узловых перемещений, {Р} -

вектор узловых нагрузок.

В работе рассматриваются узловые стационарные и полигармонические нагрузки (силы и моменты), при которых деформация во времени каждого цикла упруга (многоцикловое нагружение). Основанием выбора действующих нагрузок в виде полигармонических функций служат следующие соображения:

1. любая сложная периодическая функция может быть получена путем суперпозиции подходящего набора гармоник (синусоид),

2. полигармоническое нагружение является одним из достаточно распространенных видов нагружения.

Полный вектор внешних узловых нагрузок записывается в виде:

{p} = jp°} + ¿(jp^jcOSftJif + {p^Jsin^íj, (2)

где |р°|- вектор узловых стационарных нагрузок, |рС'|, jps'j- векторы

коэффициентов узловых нагрузок при COS 0)¡t, sin ú)¡ t соответственно, CO¡-круговые частоты составляющих гармоник полигармонического нагружения, П-количество круговых частот полигармонического нагружения.

При внешней нагрузке вида (2) искомое решение системы (1) определяется как

{£/}= +¿({tfc'}c0Sü>,/ + {t^'jsinü),/) , (3)

где коэффициенты |. | являются решениями системы 2« + 1

линейных алгебраических уравнений:

нМ-И'

■[*]{с/С<} = /=М (4)

[ЛГ] {¿Л'} = [р*'-}

Тензор напряжений в каждой точке рамного элемента в условиях

квазистатики будет изменяться по закону:

Л / ч

ак1 - а к, + a^'icoscojt + о-Jf/sinе>,-/ I,

(5)

Составляющие тензора напряжений (7 £ /, CF^f, <J определяются как

решения 2 Л + 1 статических задач при нагрузках |/>С' |, j_Ps'j

соответственно.

Все известные методы получения количественной информации об уровне нагруженности элементов пространственной рамной конструкции для расчета усталостной долговечности основываются на замене реального процесса нагружения схематизированным процессом, который по уровню вносимого усталостного повреждения должен быть эквивалентен реальному.

В данной работе используется гипотеза линейного накопления усталостных повреждений и двухмерная схематизация по методу полных циклов, которая сводится к нахождению функции распределения средних и амплитудных значений напряжений.

Под усталостной долговечностью конструкции понимается 'Тисло блоков Я нагружения до появления усталостной трещины в любой точке конструкции. В данной работе образование усталостной трещины в любой точке конструкции означает нарушение работоспособности всей конструкции. Задача определения усталостной долговечности Я пространственной рамной конструкции для заданного вектора { /> j управляемых параметров заключается в нахождении элемента е пространственной рамной конструкции и точки (xj, уj, Z\ ) в объеме Ve этого элемента, для которых усталостная долговечность будет минимальна:

я({р})= min min Я ух, zx,{/>}), (6)

е Уе

где Я е (xj, ,У|5 - усталостная долговечность в произвольной точке

(х j, , Z\) в -го элемента для заданного вектора {/>} управляемых параметров.

Под блоком нагружения понимается совокупность последовательных значений переменных напряжений, возникающих в любой точке пространственной рамной конструкции за какой-либо характерный период ее эксплуатации, по отношению к

которому определяется усталостная долговечность Я е (xj 1 У\, Zj»|рв точке.

В качестве характерного периода эксплуатации или блока нагружении пространственной рамной конструкции рассматривается период Т, определяемый числом а периодов низкочастотной гармоники, которую можно выделить в

законе нагружения (2.):

Т=аТГт1п' (7)

где значение коэффициента а выбирается из эмпирических соображений в зависимости от сложности закона нагружения в предполагаемом блоке нагружения.

Шаг дискретизации полигармонического закона изменения напряжений выбирается по формуле

А Г = т-^- , (8)

(4 + 10)/„„

где /тах - наибольшая частота полигармонического закона изменения напряжений.

Применительно к пространственным рамным конструкциям, выполненным из материалов типа сталей, усталостная кривая которых имеет правый горизонтальный

участок, усталостная долговечность в произвольной точке » .VI» ) е "го элемента конструкции для заданного набора управляемых параметров {/>}. выраженная числом блоков до появления усталостной

трещины, определяется формулой:

' ПР > „ г

а!

а

«ах/<Г-юГ Уь I (<Т%/<Т:лх)я {У1Ь!УЬ)

° ---------, (9)

^ пр ( * " > )

где СГ_ j ¡у - предел выносливости, Ш, N^ - параметры уравнения кривой усталости {(^¿ТТЛГ/ = при * *-\В

I ПР

I N1 = » при ав1 < <г_ (Ю)

<7™- приведенная (эквивалентная) амплитуда рабочих напряжений 1-го уровня, полученная путем ступенчатой аппроксимации функции распределения амплидуд в точке(д^, у^, в-го элемента пространственной рамной констукции для

заданного вектора { управляемых параметров,

ПР = J aal + Va ami при <Tmi > О

1 ^ при ami < О , ("О

где .Ц/д-- коэффициент чувствительности материала С -го элемента конструкции к асимметрии цикла нагружения, <7а/, (У„,,-- амплитудное и среднее значение 1-го

I „ _ \ „ _ т а х

цикла в точке , уj, Z{ ) в -го элемента конструкции, <7 а - максимальная

амплитуда напряжений в объеме е-то элемента, N¡- число циклов по кривой усталости, соответствующее амплитуде <Т ^f в точке (.Vj, J'j i Zj ), Vfj- число циклов повторения амплитуды <7 ^ в блоке нагружения для точки (л'|, J'j, Z\ ) .

Vfr- общее число циклов в блоке нагружения для точки (Х], у^, Z\ ) е-го элемента пространственной рамной конструкции.

Если в точке (■^ji.FiiZi) ß-ro элемента пространственной рамной конструкции при заданном векторе {/)} управляемых параметров одновременно

действуют нормальные и касательные напряжения, изменяющиеся по полигармоническому закону, то подсчет усталостной долговечности

^ е ' У\' »{/'}) основывается на критерии прочности при плоском

напряженном состоянии в виде эллиптической зависимости и понятии об эквивалентном напряжении:

, , п _ (-Vi, Л> ?!,{/>})

^«V 1* Л' -

( 2

(Щъ, Л» 4,{р}))т + [к (*|> Л. Zu{р}))'

—, (12) III

' 2

где та = тТ = /и, Я /(л,, у,, г,,{/>}), К(х\1 -

усталостная долговечность в точке (л'|, у^, С -го элемента пространственной

рамной конструкции для заданного набора управляемых параметров { р |,

вычисленная при условии, что в ней возникают соответственно только нормальные, касательные напряжения.

В качестве примеров рассмотрены статически определимая и статически неопределимая двухэлементные рамы, рамный каркас рассевной машины, содержащий 38 узлов и 62 элемента.

В третьей главе представлена методика получения значений производных целевой функции массы и функции ограничений на усталостную долговечность пространственной рамной конструкции для заданного набора управляемых параметров, а также методика преобразования функции ограничений на усталостную

долговечность конструкции к виду удобному для дифференцирования. В качестве управляемых параметров рассматриваются размеры толщин поперечных сечений в группах элементов пространственной рамы.

Чувствительности или производные функций цели и ограничений по управляемым параметрам представляют собой ценную информацию для рационального проектирования без формального проведения оптимизации. Порядок величины этих производных говорит о том, какие управляемые параметры имеют значительное влияние на целевую функцию и функцию ограничений, а какие - маюе влияние.

Функция ограничений характеризует усталостную долговечность в точке конструкции и может быть представлена в относительных величинах следующим образом:

= 1 -Я [х,у,1,{р})1 Л 0 , (13)

где Я (.V, г, {/'})" усталостная долговечность в произвольной точке (х,у,г)

конструкции для заданного вектора управляемых параметров { /71, Л 0 - рабочая или нормативная наработка конструкции, принятая в качестве допустимой. Функция усталостной долговечности Л (л?, у, г, {/>}) имеет сложный неявный характер.

Пространственная рамная конструкция состоит из совокупности рамных элементов, положение которых в пространстве различно. Поведение функции ограничений для каждого элемента конструкции сильно отличается друг от друга, поэтому переход от одного элемента к другому может привести к недифференцируемости (13). Одно ограничение (13) может быть заменено несколькими ограничениями по количеству элементов конструкции:

тах Я» . {/»}) =

где

Л

1-Я , у,, , {/»} | / Я о , е = 1 (14)

'" ^Л^ , , Z\ , | минимальное значение усталостной долговечности в

объеме Vе е-го элемента. В вычислительном аспекте это не приводит к удорожанию оценки функции ограничений, так как для вычисления экстремума по объему всей конструкции необходимо определить экстремумы по объему каждого элемента конструкции.

Формальным дифференцированием функции массы пространственной рамной конструкции по управляемому параметру Pj получаем чувствительность функции массы

дС--Ъ.^,*

дР] е=1 др]

Же

где--производная площади поперечного сечения элемента по управляемому

дР)

параметру, выражается в явном виде для конкретных форм сечений, ре - плотность материала, Ь е - длина элемента.

Дифференцированием (14) по управляемым параметрам получаем вектор чувствительности функции ограничений по усталостной долговечности:

\dg^?ax\ _ 1 \алу*\

[ йр \ Я0 [ dp

(16)

где

« I --------------------- ----------к ---------------- Я

пространственного рамного элемента по управляемым параметрам. В работе

\dЯ 1

рассмотрено три подхода к получению производных --— >■.

I йр \

Согласно подходу с пересчетом всей конструкции и использованием конечных разностей для аппроксимации производной (16):

дк ЛГ'П[Р1>—>Р] +ЛРр"->Ртр)-Л У"[р\->—>Р] ■>••">Рт[: Эр, ЛР/

]=Щ,е = йЬ (17)

Для определения величины Я р^ + Д Pj,..., Ртр^ требуется

пересчет усталостной долговечности элементов конструкции при измененном управляемом параметре Pj + Л Для определения Шр производных требуется

Юр+1 пересчетов всей конструкции. Этот подход является достаточно трудоемким

в плане затрат машинного времени.

Минимальное значение усталостной долговечности е-го элемента равно значению усталостной долговечности в точке минимума по объему е -го элемента, то есть

• тЫХ. = я?» =Яе(хВД), ,;({,}), г; ({/>}), {р}) , (18)

Кг

* * *

где , , - пространственные координаты точки минимума, в общем случае они зависят от управляемых параметров { .

Формальным дифференцированием (18) по управляемым параметрам мы получим

\йХ

йр

дХе др

■ 1 [ и У) дУ 1

Данный подход, названный подходом с дифференцированием координат точки минимума, требует дальнейшей разработки для определения частных производных

_ ш

др Г' др

дг

др

и скорее применим для простых моделей определения

усталостной долговечности и простых элементов конструкции.

Третий подход к определению искомой производной не требует пересчетов конструкции при возмущенных значениях управляемых параметров и допускает применение конечных разностей. Этот подход основывается на сформулированном в данной работе принципе "локальности функций ограничений".

Суть принципа "локальности функций ограничений" заключается в том, что каждая функция ограничений записывается для отдельного элемента конструкции и аргументами функции ограничений для данного элемента конструкции являются управляемые параметры и функции, характеризующие взаимодействие данного элемента с другими элементами конструкции:

/I

(20)

Дифференцирование сложной функции (20) по варьируемым параметрам Р] € } | у = 1,/Ир дает следующее выражение для искомой производной:

лх

дк'

<1Р]

др}

дЯ'

дь:

дБ:

др}

] =

(21)

Задача анализа чувствительности с использованием принципа "локальноет функций ограничений" сводится к получению трех видов производных. В третьей главе рассмотрено получение каждой из перечисленных производных при численном решении задачи анализа чувствительности.

Для анализа чувствительности перемещений используется прямой подход, согласно которому производные перемещений ищутся путем дифференцирования системы линейных алгебраических уравнений метода конечных элементов (4):

[4

о

\ди

[ ¿Р}\

др}

ди

др}

дК

др]

дру

дК др}

И

/ = (22)

иц

Таким образом, получение частных производных перемещений по управляемым параметрам сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений (22), причем эта система имеет ту же матрицу в левой части, что и

система уравнений (4). Поэтому для решения (22) можно использовать промежуточные результаты решения (4), например, треугольное разложение матрицы А"]. Правая часть (22) вычисляется с использованием производных внешних нагрузок по параметрам, которые равны нулю, так как не зависят от управляемых параметров, производных матрицы жесткости [.ЙГ] по параметрам и производных

вектора перемещений | ' } ' }

компонент

полученных при решении исходной системы.

В третьей главе представлена методика выбора шага конечно-разностной аппроксимации.

Получены аналитические выражения чувствительностей для двухстержневой рамной конструкции, находящейся под действием гармонического узлового момента.

Получены численные значения чувствительностей для 2-х и 62-х-элементных пространственных рам согласно подходу с пересчетом конструкции и с использованием подхода на основе принципа "локальности функций ограничений".

В четвертой главе решается задача параметрической оптимизации пространственных рам с варьируемыми толщинами поперечных сечений и учетом накопления усталостных повреждений.

Задача оптимизации ставится в форме нелинейного условного математического программирования (НЛП): требуется найти такие значения управляемых параметров

| (размеры толщин поперечных сечений в группах элементов пространственной рамы) из области допустимых значений О, для которых масса рамы минимальна С(М)= т1пС({р}) (23)

Область допустимых значений

определяется ограничениями, характеризующими уровень усталостной долговечности элементов конструкции,

/иах 21, {/>}) < о, е=1 ,Ах (24)

и ограничениями на предельные значения управляемых параметров

р)<р}<рЧ, ]=1,тр , (25)

где {р} = |Ртр| - вектор управляемых параметров, -

Ь и ,

функция массы, р j , р j - нижнее и верхнее допустимые значения J-тo

управляемого параметра, Шр - число управляемых параметров.

С целью сведения промежуточных вычислений к приблизительно одинаковому числовому диапазону предлагается нормировать управляемые параметры, функции массы и ограничений.

Для сокращения числа учитываемых ограничений на каждом этапе оптимизации применяется стратегия £ - активного множества. Ограничения на усталостные долговечности элементов и предельные значения управляемых параметров будем называть £ - активными в точке {, если выполняются неравенства

8е{{р}) * ~ £ > (26)

где £ - параметр активности ограничения , назначается проектировщиками эмпирически с некоторым допуском, исходя из опыта решения задач.

Активность конкретного ограничения (26) зависит от точки в пространстве проектирования. С целью определения набора £ - активных ограничений в качестве точки | | берется квазиоптимальная точка в пространстве проектирования из

предыдущей итерации оптимизационного алгоритма. С использованием концепции £ - активного множества на каждом этапе итерационного поиска оптимума количество ограничений по усталостной долговечности оказывается меньшим, чем количество элементов конструкции, так как ограничения для элементов конструкции, которые работают с большим запасом по долговечности в общее множество учитываемых ограничений не включаются. Для многоэлементных конструкций такое сокращение может быть существенным. Для исключения возможности появления отрицательных размеров поперечных сечений п процессе оптимизации ограничения снизу на размеры учитываются всегда.

Для сокращения числа прямых расчетов конструкции активные ограничения аппроксимируются с помощью разложения в ряд Тейлора первого порядка, построенного для значения точки соответствующей А'-ой итерации,

следующим образом:

П [ д 1 /( п

где у=<-, ... ,-> . Значения Ке\ \ Рк\) 0ПРеДеляются из расчем

[¿Р\ дРтр) 11

МЫ)--

минимальных значении усталостных долговечностеи, производные

помощью анализа чувствительности.

Общая задача НЛП (23)-(25) эффективно решатся с помощью последовательности подзадач, содержащих квадратичную целевую функцию и линейные ограничения (алгоритм приведенного квадратичного программирования для решения задач условной минимизации).

Критерием останова многошагового процесса проектирования служит стабилизация массы рамы:

где 3 - малый параметр алгоритма.

Структурная схема алгоритма оптимизации представлена на рис. 1.

В качестве тестового примера рассматривается двухэлементная рама (рис. 2) под действием гармонического момента. В качестве переменных проектирования принимаются толщины кольцевых поперечных сечений элементов рамы. Оптимальное решение получено численно и графически при движении из различных точек пространства проектирования. На рис. 3 показаны линии ограничений по усталостной долговечности; область поиска, заключенная между линиями ограничений по толщине, линии уровня целевой функции, область допустимых значений И, траектории движения из начальных точек А, В, С в оптимальную точку 0\.

Методика апробирована на поиске оптимальных толщин поперечных сечений рамного каркаса рассевной машины при варьировании двумя толщинами поперечных кольцевых сечений, отмеченных на рис. 4 буквами а и Ь; при варьировании толщинами поперечных сечений стержней восьми типов (а, Ь, с, (1, е, Г, g, Ь) , рис. 6. Учитывались вес навесного оборудования и инерционные нагрузки при круговом поступательном движении. На рис. 5 в плоскости переменных проектирования t^, представлен оптимальный проект рамы рассева (рис. 4). На рис. 7 показан график зависимости массы рамы (рис. 6) от числа итераций при движении из начальной точки пространства проектирования в точку оптимума. В таблице 1 даны начальные и оптимальные значения переменных проектирования. Оптимальный проект был получен за 31 итерацию. Масса рамы рассева (рис. 6) была снижена на 30.7 % по сравнению с начальным проектом и на 11.8 % по сравнению с оптимальным проектом рамы рассева (рис. 4).

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы:

1. Разработана методика оценки усталостной долговечности пространственных рамных каркасов при полигармоническом квазистационарном нагружении, адаптированная к методу конечных элементов.

2. Разработана методика анализа чувствительности (прямой метод дифференцирования) функции массы, перемещений, матрицы жесткости, краевых усилий, функций ограничений по усталостной долговечности рамы к изменению размеров толщин кольцевых поперечных сечений элементов.

3. Разработана методика решения задачи оптимизации пространственных рам при полигармоническом квазистационарном нагружении с варьируемыми размерами толщин поперечных сечений элементов, использующая результаты анализа чувствительности. Метод оптимизации основан на квадратичной аппроксимации целевой функции и анализе чувствительности с линейной аппроксимацией активных ограничений.

4. Создано программное обеспечение на алгоритмическом языке ФОРТРАН для решения задач оценки усталостной долговечности, анализа чувствительности и оптимизации по массе пространственных рам при полигармоническом квазистационарном нагружении с варьируемыми размерами толщин поперечных сечений элементов.

5. С помощью разработанных методик и программ решен ряд тестовых и новых прикладных задач.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ДИССЕРТАЦИИ

1. Волков В.М., Сидорук P.M., Сергеева С. А. Система геометрического моделирования САПР КОНКОР// Прогрессивные методы проектирования современных машин, их элементов и систем: Тезисы докл. областной научно-техн. конф. Горький, 1986. С.21.

2. Волков В.М., Орешкин Ю.Н., Сергеева С.А. О двух задачах в системе автоматизированного проектирования конструкции корпуса// Механика разрушения и надежность судовых конструкций. Межвуз. сб./ Горькое, политехи, ин-т. Горький, 1987. С. 120-124.

3. Киселев В.Г., Любимов А.К., Сергеева С.А. Расчет усталостной прочности пространственных рамных конструкций при регулярной циклической нагрузке// Методы проектир. современ. механич. техн. устройств, их элементов и систем: Тр./ Нижегород. гос. техн. ун-т. Нижний Новгород 1994. С.6-7.

4. Киселев В.Г., Любимов А.К.,Сергеева С.А. Прогноз усталостной долговечности пространственных рамных конструкций при полигармоническом нагружении// Прикладные проблемы прочности и пластичности. Анализ и оптимизация: Межвуз. сб./ Нижегород. ун-т. Нижний Новгород 1996. С. 109-119.

5. Киселев В.Г., Сергеева С.А. Анализ чувствительности усталостной долговечности пространственных рамных конструкций// Проблемы машиноведения: Тезисы докл. конференции/ Нф ИМАШ РАН. Нижний Новгород, 1997. С. 100.

6. Малков В.П., Киселев В.Г., Сергеева С.А. Оптимизация по массе пространственных рамных конструкций с варьируемыми толщинами поперечных сечений и учетом ограничений по усталостной долговечности// Прикладная механика и технологии машиностроения. Сб. научн. трудов/ Нижний Новгород. Изд-во Интерсервис, 1997, №1. С.77-97.

СТРУКТУРНАЯ СХЕМА АЛГОРИТМА ОПТИМИЗАЦИИ

Рис. 1

г

M(t)

z

7

/

X

L 3

Y

Рис. 2

3 4

tl, MM

Рис. 3

z

t y

Рис.4

2 4 6 8 10 12 tl, MM

Рис. 5

Рис. 6

Число итераций Рис.7

Таблица 1

Варьируемые толщины Минимальные значения, мм Начальные значения, мм Максимальные значения, мм Оптимальные значения, мм

' 1 1 8 10 7.403

* 2 1 4 10 2.324

'з 1 4 10 1.800

* 4 1 4 10 2.265

' 5 1 4 10 1.830

* 6 1 4 10 2.022

* 7 1 4 10 1.763

* 8 1 4 10 1.265

Масса, кг 302.366 231.366

Число £ -активных ограничений для оптимума 44

Число итераций 31

Время счета, с 150