Анализ, формирование и реконструкция магнитного поля в электрофизических устройствах на основе методов математического моделирования тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.13 ВАК РФ

На правах рукописи

ЛАМЗИН Евгений Анатольевич

АНАЛИЗ, ФОРМИРОВАНИЕ И РЕКОНСТРУКЦИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ В ЭЛЕКТРОФИЗИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ АХ НА ОСНОВЕ МЕТОДОВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Специальность: 01.04.13 - электрофизика, электрофизические установки

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико - математических наук

С.-Петербург 2005

Работа выполнена в Научно-исследоватетьском институт электрофн жческом аппарат\ры им Д В.Ефремова, г Санкт-Петерб) рг

Официальные оппоненты доктор фнзико- математических наук, с н с

Акишин Павел Григорьевич

доктор физико- математических наук, ироф Гавриш Юрий Николаевич

доктор физико- математических наук, с н с Пустовитов Владимир Дмитриевич

Ведущее научно-исследовательское учреждение - ЛЯР ОИЯИ (Лабораюрия

ядерных реакций Объединенного института ядерных исследований)

Защита диссертации состоится "26" октября 2005 г. в 14го часов на заседании диссертационного совета Д201 006.01 при ФГУП «Научно-исследовательский институт электрофизической аппаратуры им Д В Ефремова» по адресу* 19664!, С-Петербург, и Металлострой, ул Полевая, д 12

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НИИЭФА Автореферат разослан " Л Я " . 2005 г

Учёный секретарь

диссертационного совета, д.т.н., проф

Шукейло И А

к, г6/ ¿/ж 5 (И

' ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Современный уровень проектирования электрофизических установок и устройств предполагает широкое использование численного (вычислительного) эксперимента с целью определения и оптимизации их основных параметров и характерисгик Во многих случаях в силу геометрической сложности установок и нелинейных свойств используемых материалов, численный эксперимент является практически единственно возможным источником получения необходимой информации Он рассматривается как методологическая основа создания и изучения математических моделей исследуемого объекта с помощью вычислительных средств.

Характеризуя вычислительный эксперимент в целом, необходимо отметить его универсальность, что позволяет использовать эту технологию при исследовании различных объектов. Это обстоятельство характерно для математического моделирования, поскольку многие явления и процессы, протекающие в различных установках, имеют одни и те же математические модели. Вычислительный эксперимент значительно дешевле и доступнее по сравнению с натурным физическим экспериментом; его подготовка и проведение занимают меньше времени.

Ускорение темпов научно-технического прогресса, автоматизация научно-исследовательских и проектно-конструкторских работ с применением ЭВМ, а также связанное с ними сокращение сроков морального старения оборудования ставят задачу интенсификации процесса создания и освоения новой техники. При этом применение численных методов и соответствующего программного обеспечения даёт возможность использовать сложные нелинейные математические модели, охватывающие все существенные черты рассматриваемых физических процессов в широкой области изменения их параметров, проводить изучение устройств путём «проигрывания» их поведения в различных условиях, находить оптимальные параметры и режимы действующих или проектируемых установок

В настоящее время проектирование и создание электрофизических установок в области ускорительной техники, физики высоких энергий и для исследований по проблеме управляемого термоядерного синтеза, которые относятся к сложным инженерно-техническим объектам, часто, с предельными параметрами, требует комплексных исследований, проведение которых невозможно без вычислительного эксперимента

Одним из центральных вопросов численного моделирования физических процессов определяющих критерии проектирования и условия эксплуатации электрофизической

РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА/

¿"ТО®

аппаратуры, является детальный расчёт пространственного распределения как стационарного, так и квазистационарного электромагнитного поля. Высокие стоимости крупных установок приводят к необходимости выполнения большого объёма расчётных работ, связанных с анализом возможных режимов эксплуатации и оптимизацией основных узлов установок. Расчётные работы продолжаются также на тгапе экспериментальных исследований, обеспечивая интерпретацию результатов физического эксперимента и доводку устройств для получения заданных параметров и характеристик Для устройств в области ускорительной техники, как правило, требуется проведение прецизионных расчётов Во многих случаях в силу электромагнитного принципа, положенного в основу работы электрофизических установок, результаты численного моделирования и анализа распределения электромагнитного поля являются определяющим фактором при их проектировании и создании.

В диссертационной работе решается комплекс задач, связанных с численным моделированием магнитного поля электрофизических устройств Актуальность исследований определяется как предметной областью, так и необходимостью решения ряда методологических вопросов с целью обеспечения проведения численного эксперимента.

Диссертация является обобщением работ, выполненных в соответствии с научно-тематическими планами ФГУП «НИИЭФА им. Д.В. Ефремова».

Цель диссертационной работы состоит в комплексной разработке эффективных численных методов расчёта, формирования и реконструкции магнитного поля в электрофизических устройствах на основе единой методологической и алгоритмической базы. Решение этой задачи обеспечивает возможность проведения анализа, выбора параметров и оптимизации магнитных систем электрофизических устройств в процессе их разработки, проектирования и создания, что также является целью работы.

Научная новизна работы

1. На основе методов конечных элементов, модифицированного скалярного магнитного и векторного электрического потенциалов предложен алгоритм численного решения пространственных нелинейных краевых задач магнитостатики

2. Предложен эффективный итерационный алгоритм решения систем большого порядка

(>106) нелинейных дискретизованных уравнений магнитостатики на основе метода

симметричной последовательной верхней релаксации и ВТ-процесса ускорения сходимости итерационных методов.

3. Предложены методика и алгоритм расчёта детального распределения плотностей объёмных и поверхностных пондеромоторных сил, действующих на ферромагнитные материалы.

4. Предложены методика и алгоритм численного решения обратных нелинейных пространственных задач магнитостатики, основанные на сведении задачи синтеза магнитных систем к минимизации регуляризирующего функционала.

5. Предложены методики и алгоритмы численной реконструкции пространственного магнитостатического поля по данным магнитных измерений на границе объёма, не содержащего внутренних источников поля.

6. На основе метода модифицированного скалярного магнитного и векторного электрического потенциалов предложены методика и алгоритм численного моделирования квазистационарного электромагнитного поля и вихревых токов в тонких проводящих оболочках.

7. На основе метода подвижных токовых нитей предложен алгоритм численной реконструкции границы плазмы в токамаках по данным магнитных измерений для решения задачи управления положением и формой плазменного шнура в реальном времени работы измерительной системы.

Достоверность результатов, полученных в диссертации, подтверждается их сопоставлением с экспериментальными данными и результатами исследований, выполненных как самим автором, так и другими исследователями, с привлечением математического и программного обеспечения, отвечающего различным подходам к численному моделированию магнитного поля, включая известные аналитические решения в частных случаях. Результаты проведенных исследований применительно к реактору-токамаку прошли соответствующую международную экспертизу и включены в базы данных и опубликованные материалы технического проекта ИТЭР.

Практическая пенность работы. Разработанные методы, алгоритмы и созданные на их основе комплексы вычислительных программ широко используются в процессе разработки, проектирования и создания различной электрофизической аппаратуры и являются эффективным средством ускорения и снижения стоимости научно-исследовательских и проектно-конструкторских работ.

На основе разработанного программного обеспечения решён ряд практических задач проектирования и создания магнитных систем, большая часть которых реализована В частности, были выполнены

1) расчётное обоснование выбора электромагнитных параметров ряда вентильных электродвигателей с возбуждением от постоя1шых магнитов;

2) оптимизация параметров ахроматичного 270-градусного поворотно!о мшним для ускорителя "Электроника У-003";

3) оптимизация параметров магнитов широкоапертурного спектрометра КОМБАС тандема циклотронов и-400 - и-400М,

4) оптимизация парамегров модели дипольного септум-магнита для Московской мезоиной фабрики;

5) оптимизация параметров гексаполя на постоянных магнитах для ЭЦР - источника многозарядных ионов;

6) формирование однородного поля дипольного магнита ЯМР-спектрометра на постоянных магнитах;

7) синтез системы корректирующих катушек установки ИТЭР,

8) оптимизация параметров системы экранирования инжекторов нейтральных пучков от поля рассеяния установки ИТЭР;

9) оптимизация влияния ферромагнитных вставок на величину гофрировки тороидального поля установки ИТЭР;

10) анализ переходных электромагнитных процессов в проводящих структурах установки ИТЭР;

11) формирование изохронной зависимости распределения поля в циклотронах ЭС-72, и - 400М, СС-12, СС-18/9, ПС-60 и др.

Выполненные исследования но п.2 показали возможность создания одиночных магнитов с оптической схемой, основанной на принципе жёсткой фокусировки, которая в дальнейшем была реализована при создании спектрометра КОМБАС, имеющего рекордные параметры

Результаты проведённых исследований применительно к реактору-токамаку ИТЭР вошли в материалы технического проекта этой установки.

Выполненные исследования по п. 11 позволили практически полностью отказаться от натурного моделирования при проектировании изохронных циклотронов Они также позволили сформулировать технические требования к точности изготовления и сборки элементов их магнитных систем.

Предложенные методики и программное обеспечение численной реконструкции поля в выделенном объеме пространства, не содержащего источников поля, по данным измерений на границе этого объёма позволяют существенно сократить необходимое время проведения измерений для решения задачи построения карты магнитного поля в рабочей области электрофизических установок.

Разработанное программное обеспечение численной реконструкции фаницы плашы по данным магнитных измерений адаптировано к особенностям конструкции и условиям работы токамака GLOBUS-M и является программной частью комплекса магнитной диагностики плазмы этой установки.

Совокупность результатов выполненных исследований позволяет квалифицировать диссертационную работу как существенный вклад в решение крупной научно-технической проблемы «Разработка и создание электрофизической аппаратуры в области ускорительной техники и для исследований по проблеме управляемого термоядерного синтеза» на основе развитого в работе комплексного подхода применительно к решению задач анализа, формирования и реконструкции магнитного поля в электрофизических устройствах с использованием вычислительною эксперимента.

Апробация работы

Основные резулыаты диссертации докладывались на семинарах ПИТ, ЛЯП, ЛЯР ОИЯИ (Дубна), ИАЭ (Москва), ИФВЭ (Протвино), НИИЭФА (С.-Петербург), ИПМ (Москва), СПбГТУ (С.-Петербург), ПИЯФ (Гатчина), ВНИИ электромашиностроения (С.-Петербург), GSI (Дармштадт, ФРГ), KBSI (Тайджун, Корея), СЕА (Гренобль, Франция), BNL (Врукхейвен, США), ANSALDO (Генуя, Италия), XI, XII, XIII, XIV, XV Всесоюзных и Всероссийских совещаниях по ускорителям заряженных частиц, Международных совещаниях по проблемам математического моделирования, программированию и математическим методам решения физических задач (Дубна, 1983, 1993, 1996, 2002гг), Международных технических совещаниях по проекту ИТЭР (Россия, Германия. Япония, 1997-2005гт,), Международном симпозиуме по электромагнитной теории (С -Петербург, 1995г.), Всесоюзном совещании по инженерным проблемам термоядерных реакторов (Ленинград, 1987, 1990гт.), Международной конференции по инженерным проблемам термоядерных реакторов (С -Петербург, 2002г.), Международной конференции по ядерной физике (С -Петербург, 2000г), Международной конференции по экзотическим ядрам (Иркутск, 2001), Symposium on Fusion Engineering (Monterey, USA, 1987), Symposium on Fusion Technology (Marseille, France, 1998, Madrid. Spain, 2000), European Particle Accelerator

Conference (Nice, France, 1990, Berlin, Gennany, 1992, London, Britain, 1994, Barselona, Spain, 1996), Particle Accelerator Conference (Washington, 1993, Dallas, USA, 1995), Conference on Magnet Technology (С Петербург, 1993, Тампере, Финляндия, 1995), International Conference on Optimization of Finite Element Approximations (С.-Петербург, 1995г), опубликованы в российских и иностранных реферируемых журналах.

Публикации. По материалам диссертации опубликована 91 печатная работа, основное содержание представлено в 79 публикациях, сиисок которых приведён в конце автореферата

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав и заключения Диссертация изложена на 447 страницах, содержит 137 рисунков и 13 таблиц; список литературы содержит 449 наименований

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются цель работы и направления исследований, приведено краткое описание диссертационной работы по главам.

В Главе 1 рассматриваются вопросы, связанные с разработкой алгоритмов численного моделирования пространственного магнитостатического поля электрофизических устройств

В разделе 1.1 приведена общая постановка задачи магнитостатики, дан обзор современных методов расчёта магнитостатических полей, обращается внимание на необходимость наличия в практических расчётах программного обеспечения, отвечающего различным подходам Обосновывается выбор для дифференциальных методов расчёта поля в качестве базового - метода модифицированного скалярного потенциала, допускающего эффективную численную реализацию.

В разделе 1.2 дана физическая интерпретация данного метода с введением понятия «магнитного листа» для реальных электрических контуров, образованных проводниками конечного сечения. В рамках этого подхода получен общий вид выражения для представления векторного электрического потенциала Р, который для однородного распределения плотности тока по сечению проводника определяется на классе кусочно линейных функций.

В разделе 1 3 сформулированы общие принципы построения вектора Р и области его определения, подчинённые требованиям эффективной численной реализации

Предложенный способ задания Р и области его определения позволяет описывать на основе

единой методологической и алгоритмической базы в качестве источников поля как катушки возбуждения различной геометрической формы, так и постоянные магниты.

Построению конечно-элемен гаых аппроксимаций посвящен раздел 1.4 Здесь в рамках метода модифицированного скалярного потенциала рассмотрена эквивалентная вариационная формулировка задачи и отличающийся большей общностью проекционно-сеточный метод построения дискретного аналога на основе метода Бубнова-Галсркина

В разделе 1.5 рассмотрен базовый итерационный алгоритм решения нелинейных систем алгебраических уравнений, полученных в результате дискретизации задачи, который строится на основе метода симметричной последовательной верхней релаксации с процедурой полиномиального ускорения сходимости с использованием ВТ-процесса Описывается способ автоматизации выбора параметров итерационного алгоритма для управления нелинейным итерационным процессом на основе поведения векторной нормы поправки итерационных приближений.

В разделе 1.6 рассмотрен алгоритм численного моделирования распределений как поверхностных, так и объёмных пондеромоторных сил в нелинейных магнитных системах, согласованный с конечно-элементным представлением результатов расчёта поля.

Изложенный в разделах 1.1-1.6 подход составляет основу математического обеспечения комплекса программ КОМРОТ для расчёта пространственного магнитостатического поля электрофизических устройств, содержащих токовые, ферромагнитные как магнитомяпсис, так и магнитотвёрдые элементы конструкций сложной геометрической формы с учётом нелинейных свойств используемых материалов. Краткое описание комплекса программ КОМРОТ приводится в разделе 1.7. Здесь также приведены результаты методических расчётов, имеющих самостоятельное практическое значение, связанных с определением электромагнитных параметров вентильного двигателя ВЭД-5, магнитная система которого является комбинированной (и охватывает собой общий случай), включая детальное численное моделирование магнитного поля одного из основных структурных элементов магнитной системы двигателя - «кейса», представляющего собой сборку постоянных магнитов в кожухе из медных и стальных пластин. Экспериментальные и расчётные данные максимального значения мгновенного электромагнитного момента двигателя совпадают в пределах погрешности 1% измерения этой величины Интегральная погрешность совпадения экспериментальных и расчётных дапных распределения поля вдоль поверхности «кейса» не

превышает 10_3%.

Интегральная постановка задачи магнитостатики относительно вектора намагничения на основе метода объёмных интегральных уравнений и её дискретизация с использованием

метода коллокаций рассмотрена в разделе 1.8. Данный подход положен в основу комплекса программ KLONDIKE, краткое описание которого также приводится в этом разделе, включая методический расчёт, имеющий самостоятельное практическое значение и связанный с оптимизацией конструкции гексаполя на постоянных магнитах для ЭЦР-источника многозарядных ионов Показана сходимость численного решения распределения поля гексаполя, имеющего секторную конструкцию, с ростом числа секторов к аналитическому решению для идеального гексаполя с непрерывным законом распределения намагниченности по кольцу.

В Главе 2 излагается численный алгоритм расчёта пространственного квазистационарного электромагнитного поля и вихревых токов в проводящих оболочках произвольной формы, расположенных в пространстве произвольным образом Как показывает анализ, приближение тонких проводящих оболочек применимо к численному моделированию переходных электромагнитных процессов в установках типа токамак, ряд основных систем которых, такие как вакуумная камера, дивертор, тепловая защита, элементы силовых и опорных конструкций могут бьгть описаны с помощью такой модели, допускающей эффективную численную реализацию с использованием метола модифицированного скалярного потенциала.

В разделе 2.1 приведена общая постановка задачи расчёта квазистационарного электромагнитного поля в двухкомпонентной среде диэлектрик-проводник; рассмотрены условия практической применимости модели тонких проводящих оболочек.

Раздел 2.2 посвящён постановке задачи расчёта квазистационарного электромагнитного поля с использованием векторного электрического потенциала Показано, что решение задачи расчёта поля в случае тонких оболочек сводится к решению интегро-дифференциального уравнения относительно единственной, нормальной к поверхности оболочки компоненты вектора Р, что позволяет за счёт максимального сокращения числа определяемых неизвестных добиться высокой эффективности вычислений Выполнен учёт ветвления оболочки, который приводит к необходимости рассмотрения условий, накладываемых на потенциал Р на контуре ветвления, соответствующих дифференциальной форме первого закона Кирхгофа.

В разделе 2 3 излагается принцип сведения многосвязного пространства к односвязному в рамках использования метода модифицированного скалярного потенциала В качестве методического приложения выполнен анализ топологических свойств многосвязного пространства, связанных с физическими свойствами магнитного поля токов, протекающих в тороидальной оболочке, применимой в первом' приближении для описания вакуумной

камеры токамака. Общий принцип сведения многосвязного пространства к односвязному базируется на выделении токовых областей (в данном случае, проводящих оболочек) и введением условных непроницаемых перегородок, опирающихся на их поверхности Каждой

точке контура условных переюродок должны быть приписаны два значения потенциала Р,

отличающиеся между собой на величину скачка нормальной компоненты Р, равной величине соответствующего полного тока, протекающего по оболочке.

В разделе 2.4 рассматривается конечно-элементная аппроксимация полученного в разделе 2.2 интегро-дифференциального уравнения с использованием треугольных симплекс-элементов разбиения поверхности оболочек.

В разделе 2.5 описана методика вычисления сингулярных интегралов, входящих в состав интегро-дифференциального уравнения, основанная на использовании понятия однородности функции.

Полученная в результате дискретизации задачи система обыкновенных дифференциальных уравнений совместно с граничными и начальными условиями определяют краевую задачу Коши, которая применительно к расчёту электромагнитных процессов в токамаках обладает характерными признаками жёсткости. Раздел 2.6 посвящен методам решения таких систем, которые строятся на основе стандартной процедуры Гира и разработанного численно-аналитического подхода на основе матричного разложения, снимающего проблему ограничения на выбор величины шага численного интегрирования при его разгоне в жёстко-устойчивых методах.

Изложенный в разделах 2.1-2.6 численный алгоритм расчёта квазистационарного электромагнитного поля и вихревых токов в проводящих оболочках реализован в виде комплекса программ TYPHOON, краткое описание которого приведено в разделе 2 7. Здесь же приведено сопоставление результатов численного моделирования электромагнитных процессов с данными тестовых задач, имеющих аналитическое решение, и с экспериментальными данными для сферического токамака GLOBUS-M, которое свидетельствует о приемлемой, с точки зрения практики, точности численно! о решения

Глава 3 посвящена математической постановке задач синтеза магнитных систем, решение которых имеет важное прикладное значение с точки зрения проектирования и создания электрофизических установок. Разработанный алгоритм, основанный на сведении задачи синтеза магнитных систем к минимизации регуляризирующего функционала, позволяет учитывать условия физической и конструктивной реализуемости результатов синтеза при условии обеспечения необходимой точности аппроксимации требуемой характеристики, реализуемой магнитной системой. Поскольку задачи синтеза являются

обратными по отношению к задачам анализа и, в общем случае, относятся к классу некорректно поставленных обратных задач математической физики в классическом смысле, для их решения требуется привлечение методов теории решения некорректных задач

Во введении (раздел 3 1) обращается внимание на проблему численной устойчивости приближённого решения, как на одно из проявлений некорректности, как правило, присущее обратным задачам

В разделе 3.2 излагаются общие теоретико-методические положения и понятия теории некорректных задач Здесь также в соответствии с вариационным методом регуляризации А.Н. Тихонова введён в рассмотрение сглаживающий регуляризирующий функционал, который включает в себя норму невязки и стабилизирующий функционал с параметром регуляризации. Такой выбор сглаживающего функционала является естественным с точки зрения практических приложений, связанных с математической постановкой задач синтеза магнитных систем. Эффект регуляризации достигается за счёт введения стабилизирующего функционала с параметром регуляризации.

В разделе 3 3 излагается методика сведения задач синтеза магнитных систем к минимизации сглаживающего функционала Отмечаются особенности их математической постановки и выбора методов решения, которые обусловлены необходимостью учёта условий физической и наилучшей конструктивной реализуемости результатов синтеза в процессе проектирования и создания магнитных систем. Показано, что параметр регуляризации может играть роль параметра, управляющего процессом синтеза При этом оптимальное решете может быть выбрано как наиболее приемлемое решение с точки зрения компромисса между требованиями достижения необходимой точности аппроксимации заданной характеристики и выполнения условий конструктивной реализуемости.

В разделе 3.4 рассматриваются вопросы численной реализации решения задач синтеза магнитных систем. Введение неотрицательной весовой функции в функционал невязки позволяет добиваться лучшей аппроксимации заданной характеристики на отдельных её участках в зависимости от их степени важности Введение неотрицательной весовой функции в стабилизирующий функционал позволяет учесть возможные конструктивные ограничения на отдельные компоненты синтезируемой магнитной системы Решение вариационной задачи с ограничениями в виде неравенств сводится к решению последовательности задач безусловной минимизации, определяемой множеством заданных значений параметра регуляризации. С учётом относительно небольшого числа (не превышающего нескольких десятков) варьируемых параметров синтезируемых систем для

решения соответствующего матричного уравнения Эйлера используется прямой метод. Оптимальное решение задачи синтеза определяется методом подбора.

В разделе 3.5 приводятся результаты методического расчёта, имеющего самостоятельное практическое значение, которые связаны с анализом и оптимизацией влияния ферромагнитных вставок на величину гофрировки тороидального магнитного поля установки ИТЭР. Показано, что данная задача оптимизации магнитной системы относится к классу некорректных задач, при этом имеет место нарушение численной устойчивости решения. Полученное оптимальное решение с использованием развитой в разделах 3 1-3.4 методики решения задач синтеза магнитных систем учитывает как конструктивные ограничения исполнения ферромагнитных вставок, так и условие отсутствия перекомпенсации гофрировки поля вставками для половинных токов в тороидальных катушках.

В Главе 4 представлены результаты численного моделирования и формирования поля магнитных систем ряда электрофизических устройств, большинсгво из которых являются действующими. Поэтому полученные результаты имеют самостоятельное практическое значение. Их достоверность подтверждается сопоставлением с результатами, полученными с ' использованием различающихся математических моделей, и с экспериментальными данными.

В разделе 4.2 приводятся результаты численного моделирования и анализа поля ахроматичного поворотного магнита с азимутальной вариацией магнитного поля для ускорителя «Электроника - У003». Цель исследований состояла в доказательстве практической реализуемости одиночного поворотного магнита, не создающего линейной и угловой дисперсии. Оптическая схема такого магнита основана на принципе жесткой фокусировки, которая достигается за счет формирования на локальных участках магнитного поля со знакочередующимися постоянными градиентами.

Магнит был изготовлен и экспериментально исследован. Результаты измерений распределения поля практически совпали с расчетными данными в пределах погрешности измерения поля ~ 0.1 %. Параметры пучка электронов на выходе магнита также соответствовали расчетным.

В разделе 4.3 приведены результаты численного моделирования пространственного поля в магнитах широкоапертурного кинематического сепаратора КОМБАС (ЛЯР ОИЯИ) В настоящее время этот сепаратор введен в эксплуатацию в Лаборатории ядерных реакций ОИЯИ и имеет рекордные параметры по эффективности сбора продуктов ядерных реакций и

разрешающей способности, которые были достигнуты за счет использования мультипольных широкоапертурных магнитов

Оптическая схема сепаратора основана на принципе жесткой фокусировки Для получения магнитного канала с заданными оптическими свойствами радиальные распределения полей всех магнитов должны быть сформированы с допусками ±02% Обеспечение достаточно сложного закона распределения поля по радиусу и анализ поля рассеяния магнитов потребовали проведения прецизионных численных расчетов с учетом эффектов насыщения ферромагнетика.

В разделе 4.4 излагаются результаты анализа и формирования поля септум-магнита для экспериментального комплекса Московской мезонной фабрики (ЭКМФ) Системы для разделения и транспортировки пучков заряженных частиц должны включать специальные типы магнитов, так называемые септум-магниты, предназначенные для отделения от основного пучка его части или разделения близко идущих пучков час гиц.

В данном случае анализировался септум-магнит, представляющий собой дипольный магнит, в полюсных наконечниках которого выполнены сквозные каналы, отделенные от зазора между полюсами тонкой перемычкой из магнитной стали, которая и носит название септума Толщина септума должна быть минимальной, что обусловлено малым расстоянием между разделяемыми пучками.

Септум-магнит был изготовлен согласно рекомендациям, следующим из анализа и оптимизации его конструкции на основе выполненных численных исследований. Интегралы измеренных и расчетных распределений поля в канале септум-магнита совпали в пределах погрешности ~ 0.1 %.

Раздел 4.5 посвящен формированию однородного поля спектрометрического магнита с постоянными магнитами для переносного ЯМР-томографа. Постоянные магниты характеризуются относительно большим разбросом магнитных свойств, влияющим на характеристики поля в рабочей области электрофизических устройств

В рассматриваемом случае исследовалась возможность коррекции поля дипольного магнита на постоянных магнитах с использованием ферромагнитных шунтов, расположенных в специальных пазах немагнитных плит с внутренней стороны (примыкающей к рабочей области) магнита. В силу значительного числа степеней свободы практически исключался ручной подбор магнитных шунтов. Геометрические размеры шунтов определялись в результате решения численной задачи оптимизации В итоге неоднородность поля в рабочей области снизилась с 4 -5 % после сборки магнита до 0.2 % в наихудшем случае.

В разделе 4.6 приводятся результаты синтеза системы корректирующих катушек установки ИТЭР. Система корректирующих катушек предназначена для снижения уровня ассиметричных возмущений полоидального магнитного поля в объеме, занимаемом плазмой, ниже так называемого порога возбуждения и развития запертых мод неустойчивое! ей плазмы. При этом допустимой является величина этих возмущений порядка нескольких гаусс.

Задача синтеза системы корректирующих катушек сводилась к определению числа катушек и определению требуемых величин их токов с учетом принятого проектного ограничения на уровень возмущений полоидального магнитного поля.

В разделе 4.7 излагаются результаты численной оптимизации магнитных систем экранирования инжекторов нейтральных пучков от поля рассеяния установки ИТЭР Необходимым условием нормальной работы инжекторов нейтральных пучков является весьма низкий уровень внешнего магнитного поля (порядка гаусс) практически во всем объеме инжектора.

Целью данных исследований являлась оптимизация систем магнитного экранирования основных инжекторов и диагностического инжектора нейтральных пучков от поля рассеяния установки ИТЭР с учетом принятых проектных ограничений на уровень и распределение остаточного поля рассеяния в объеме инжекторов. Конструктивно эти системы состоят из набора катушек и ферромагнитных экранов.

Эта задача оптимизации была решена на основе методики сведения задачи синтеза магнитных систем к минимизации регуляризирующего функционала с обобщением этой методики на нелинейный случай.

Раздел 4.8 посвящен вопросу формирования изохронного магнитного поля в циклотроне ОС-72 для Центра ядерной физики при Словацком институте метрологии (Братислава, Словакия) Магнитное поле в циклотроне имеет сложную пространственную конфигурацию, а точность формирования изохронной зависимости распределения поля, обусловленная анализом динамики частиц, определяется погрешностью на уровне (0.01-0.1)%. Такие требования к качеству магнитного поля ставят задачу выбора и оптимизации магнитной структуры в ряд самых важных при проектировании циклотронов.

Решение данной задачи отражает современный уровень возможностей разработанного математического и программного обеспечения применительно к решению задач синтеза магнитных систем электрофизических установок. Требуемая точность численного формирования поля в циклотроне, определяемая погрешностью порядка 0 1%, подтверждена

измерениями поля на натурной модели магнита в масштабе 1 -5 и последующими измерениями поля на самом циклотроне

В разделе 4 9 приводятся результаты численного моделирования переходных электромагнитных процессов, вызванных срывами тока плазмы, в основных конструктивных элементах установки ИТЭР. Выбор конструктивных решений исполнения основных систем установки ИТЭР должен обеспечивать надежное восприятие электромагнитных нагрузок при всех режимах работы.

На основе программного комплекса TYPHOON было выполнено численное моделирование электромагнитных процессов, протекающих в вакуумной камере, бланкете, диверторе, тепловой защите установки при срывах тока плазмы и расчет нестационарных электромагнитных нагрузок, действующих на элементы их конструкции. Ряд полученных численных результатов приведен в этом разделе

Глава 5 посвящена численной реконструкции магнитного поля в рабочем объёме электрофизических установок по данным измерений компонент поля на замкнутой границе рассматриваемого объёма.

Во введении (раздел 5 1) обосновывается целесообразность численной реконструкции поля в рабочей области электрофизических установок на базе решения краевых задач

В разделе 5.2 приведена постановка задачи численной реконструкции магнитного поля на основе решения внутренней краевой задачи Дирихле и внутренней краевой задачи Неймана. Выполнен сравнительный анализ этих подходов. Отмечается, что для задачи Дирихле, в силу принципа максимального значения для гармонических функций, ошибка численной реконструкции поля в объёме не превосходит ошибки магнитных измерений на границе этого объёма. С другой стороны, внутренняя задача Неймана имеет решение только в том случае, если полный магнитный поток через замкнутую границу рассматриваемой области равен нулю. В силу ошибок измерений поля на границе области это условие не является точным, а их наличие критически отражается на точности решения задачи Неймана, которая является некорректно поставленной

Рассмотренные в разделе 5 2 численные способы реконструкции поля по данным измерений были реализованы в составе комплекса программ MAGMAP Их алгоритмическая реализация и краткое описание этого комплекса программ приведены в разделе 5 3. Здесь же в рамках численной реализации краевой задачи Неймана с использованием понятий дифференциальной геометрии получены аналитические выражения для вычисления магнитного потока через грани конечного элемента (гексаэдра). Разработана процедура интерполяции данных магнитных измерений на основе эрмитова кубического интерполянта

В разделе 5.4 приводятся результаты численных экспериментов с использованием ряда тестовых моделей измерительных систем, выполненных с целью верификации алгоритма и разработанного программного обеспечения, а также результаты численной реконструкции поля для измерительных систем, принятых при проведении магнитных измерений в центральном машите детектора PHENIX (Брукхейвенская лаборатория, США) и магните М1 масс - спектрометра КОМБАС (ЛЯР ОИЯИ, г. Дубна). Полученные в процессе численных исследований этих измерительных систем рекомендации были учтены при их разработке

Показано, что задача численного восстановления магнитного поля в объёме может быть эффективно решена на основе методики с измерением трёх компонент поля на его границе (задача Дирихле). При этом следует ожидать повышения точности их определения внутри объёма по сравнению с магнитными измерениями за счёт сглаживания (затухания при удалении точки наблюдения от границы) случайной составляющей ошибки, внесённой при измерении.

Показано, что задача численного восстановления магнитного поля в объёме может "быть эффективно решена на основе методики с измерением одной нормальной компоненты поля на границе рассматриваемого объёма (задача Неймана) при условии обеспечения геометрических допусков, определяемых на этапе разработки измерительной системы Как показывает анализ тестовой задачи, максимальная ошибка локализована в углах расчётной области и обусловлена ошибками экстраполяции данных измерений. Обращается внимание на необходимость размещения дополнительных датчиков поля в окрестности угловых точек измерительной рамы (в том числе и за пределами контура измерения на продолжении его сторон), используемых с целью интерполяции данных магнитных измерений с тем, чтобы исключить процедуру их экстраполяции.

Показано, что за счёт выбора числа и положения датчиков поля (датчиков Холла), допусков на их позиционирование, выбора соответствующего шага измерений в каждом из направлений вычислительные ошибки (ошибки дискретизации, интерполяции, интегрирования) могут быть полностью исключены из анализа возможных ошибок при восстановлении магнитного ноля.

Получен критерий, характеризующий качество исходных данных (магнитных измерений), который основан на проверке выполнения интегрального закона сохранения магнитного потока. В частности, для тестовой задачи интегральная погрешность численной реконструкции поля ~0.2%, согласованная с точностью магнитных измерений, обеспечивается при условии величины дисбаланса потока, не превышающей (0 01 -0.001 )%

Выполнено сопоставление результатов восстановления поля с данными магнитных измерений в рабочем объёме магнита Ml масс-спектрометра КОМБАС. Как показывает анализ, интегральная (усреднённая по объёму) относительная ошибка определения основной вертикальной компоненты магнитного поля не превышает 0.1%.

В Главе 6 излагается вычислительный алгоритм для определения положения и формы плазменного шнура в токамаках в режиме реального времени по данным внешних магнитных измерений. Решение этой задачи, являющейся одной из основных задач магнитной диагностики плазмы в современных токамаках, позволяет, в свою очередь, решить задачу управления равновесием плазмы с целью поддержания устойчивого разряда в соответствии с заданным сценарием его развития.

Во введении (раздел 6.1) выполнен анализ существующих методов магнитной диагностики плазмы. Обращается внимание на некорректность постановки задачи магнитной диагностики, что усложняет организацию вычислительного процесса и требует применения регуляризирующей процедуры. Проведённый анализ свидетельствует о преимуществе метода подвижных токовых нитей, который фактически является единственным методом, обеспечивающим возможность точного и быстрого определения сильно изменяющейся границы плазмы в течение различных стадий развития разряда.

В разделе 6.2 приведена постановка задачи реконструкции границы плазмы по данным внешних магнитных измерений. Теоретической основой магнитной диагностики равновесных конфигураций плазмы в токамаках является уравнение Грэда - Шафранова Решение задачи сводится к решению задачи Коши для уравнения эллиптического типа, которая является некорректно поставленной. В терминах потоковой функции задача реконструкции границы плазмы формулируется как определение магнитной поверхности, проходящей через характерные точки - точки касания плазмой лимитера для лимитерной конфигурации или Х-точки для диверторной конфигурации плазмы

В разделе 6.3 излагаются вычислительный алгоритм и особенности численной реализации метода подвижных токовых нитей, который составляет основу комплекса программ ROMS (Reconstruction of Magnetic Surfaces), ориентированного на его использование в режиме реального времени. Этот код имеет достаточно общий характер и может применяться для различных установок типа токам ак

В методе подвижных токовых нитей, которому отвечает интегральная постановка задачи реконструкции границы плазмы, ток плазмы представляется в виде дискретного набора круговых токовых нитей, каждая из которых характеризуется двумя координатами и величиной тока Решение задачи требует определения в конкретный момент времени

координат токовых нитей и значений их токов, которые, в свою очередь, определяются путем решения системы алгебраических уравнений для мультипольных моментов плотности тороидального тока плазмы и из условия минимальности функционала среднеквадратической невязки между вычисленными и измеренными компонентами поля на измерительном контуре. Отмечается целесообразность в условиях реального эксперимента использования информации, полученной в предыдущий момент времени, в качестве начального приближения для последующих вычислений (в следующий момент времени) Такой "следящий" режим существенно сокращает время вычислений, которое является наиболее критическим параметром для алгоритма при его применении в системах управления положением и формой плазмы в токамаках в режиме реального времени Другая возможность сокращения времени вычислений связана с использованием преобразований Ландена (процесса арифметико-геометрического среднего) для вычисления полных эллиптических интегралов, на основе которых рассчитывается поле от кольцевых токов

Верификация алгоритма и программного обеспечения реконструкции границы плазмы проводилась применительно к конструкции и условиям работы сферического токамака GLOBUS-M. Комплекс программ ROMS является составной частью комплекса магнитной диагностики плазмы этой установки. Краткое описание электромагнитной системы токамака GLOBUS-M и принятой на этой установке системы магнитных измерений приведено в разделе 6.4. При этом размещение датчиков поля системы измерений во многом определялось особенностями конструкции установки.

Одной из существенных особенностей рассматриваемою алгоритма является учет экранирующего действия вихревых токов, наводимых в вакуумной камере токамака Методика учета влияния вихревых токов изложена в разделе 6.5 Как показывает анализ проведенных исследований, приближение линейной интерполяции вихревой э.дс. вдоль камеры с использованием значений э.д.с. с семи тороидальных петель, входящих в состав комплекса магнитной диагностики токамака GLOBUS-M, позволяет достаточно точно воспроизвести зависимость вихревых токов вдоль полоидального обхода вакуумной камеры установки.

В разделе 6.6 представлены результаты численной реконструкции границы плазмы в токамаке GLOBUS-M с использованием серии модельных расчетов разряда в плазме Восстановленная граница плазмы сравнивалась с тестовой, полученной на основе равновесного кода PET'. В расчетах учитывалось реальное число и положение датчиков поля комплекса магнитной диагностики установки.

' Galkin S А, Ivanov A A., Medvedev S Yu and Poshekhonov Yu Yu Nuclear Fusion, Vol 37,1997

На основе разработанного алгоритма были решены следующие задачи: выбор требуемого количества датчиков поля и оптимизация их положения; анализ влияния случайных ошибок магнитных измерений на точность определения границы плазмы. Показана достаточность использования на практике во всех случаях модельного представления тока плазмы тремя подвижными токовыми нитями При этом в случае оптимального размещения датчиков поля удовлетворяется требование на точность определения границы плазмы в пределах нескольких миллиметров.

Получено, что время решения задачи численной реконструкции границы плазмы по данным внешних магнитных измерений на стандартном персональном компьютере с тактовой частотой процессора Pentium 1ГТц не превышает 3 мс. Это позволяет использовать разработанное математическое и программное обеспечение для решения задачи управления равновесием плазмы в реальном масштабе времени.

В Заключении формулируются основные результаты проведенных исследований, которые выносятся на защиту.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

На основе единой методологической и алгоритмической базы с использованием вычислительного эксперимента применительно к задачам анализа, формирования и реконструкции магнитного поля в электрофизических устройствах решены следующие научные и прикладные задачи:

1. Разработан эффективный алгоритм численного моделирования пространственных нелинейных краевых задач магнитостатики, основанный на методе модифицированного скалярного потенциала. В рамках этого подхода, используя понятие «магнитных листов» для реальных электрических контуров и физическую интерпретацию векторного электрического потенциала как их намагниченности, предложен единый способ описания источников поля - катушек возбуждения и постоянных магнитов.

2. На основе метода симметричной последовательной верхней релаксации и ВТ-процесса ускорения сходимости итерационных методов разработан эффективный итерационный алгоритм, отличающийся простотой реализации в сочетании с минимальными требованиями к вычислительным ресурсам. В результате на практике реализована возможность численного решения задач магнитостатики в областях сложной геометрической формы Таким задачам присуща высокая степень дискретизации (детализации), приводящая к плохо обусловленным системам, в общем случае,

нелинейных алгебраических уравнений большого порядка (> 106).

3 Разработано программное обеспечение (комплекс вычислительных программ КОМРОТ, зарегистрированный в Российском агентстве по патентам и товарным знакам), предназначенное для численного моделирования пространственных магнитостатических полей нелинейных магнитных систем, в том числе прецизионных Возможность проведения прецизионных исследований обеспечивается, с одной стороны, использованием метода конечных элементов для описания геометрических объектов (элементов конструкции) сложной формы, а, с другой стороны, предложенным эффективным итерационным алгоритмом решения больших систем нелинейных алгебраических уравнений, являющихся дискретными аналогами уравнений поля

4 Предложен вычислительный алгоритм расчёта на основе тензора натяжений Максвелла детального распределения плотностей объёмных и поверхностных пондеромоторных сил, действующих на ферромагнитные (включая постоянные магниты) и токонесущие элементы конструкций электрофизических устройств, согласованный с конечно-элементным представлением результатов численного моделирования магнитного поля

5 Создано программное обеспечение (комплекс вычислительных программ KLONDIKE, зарегистрированный в Российском агентстве по патентам и товарным знакам), предназначенное для численного моделирования пространственных магнитостатических полей на основе метода объёмных интегральных уравнений

6 Разработан алгоритм численного моделирования квазистационарного электромагнитного поля и вихревых токов в тонких проводящих оболочках, произвольным образом расположенных в пространстве, на основе метода модифицированного скалярного потенциала В рамках этого метода выполнен учёт ветвления оболочек и многосвязности пространства, с сведением его к односвязному.

7. На основе матричного разложения предложен метод решения краевой задачи Коши, к которой сводится задача расчёта вихревых токов в проводящих оболочках, позволяющий решить проблему ограничения на выбор величины шага численного интегрирования при его разгоне в жёстко - устойчивых методах. Решение этой проблемы позволило выполнить анализ электромагнитных процессов, протекающих в установке ИТЭР для базового • сценария развития разряда, характеризующегося весьма значительной длительностью во времени.

8. Разработано программное обеспечение (комплекс вычислительных программ TYPHOON, зарегистрированный в Российском агентстве по патентам и товарным знакам), предназначенное для численного моделирования переходных электромагнитных процессов, в электрофизических устройствах, допускающих при их анализе применение

модели тонких проводящих оболочек для описания конструктивных элементов. Данный комплекс программ является базовым для проведения анализа электромагнитных процессов, протекающих при различных сценариях работы, в установках типа токамак и использовался для расчётного обоснования при проектировании установок ИТЭР, KSTAR (Южная Корея), TEXTOR (Германия), КТМ (Казахстан).

9 Разработан эффективный алгоритм численного решения обратных нелинейных задач магнитостатики, основанный на сведении задачи синтеза магнитных систем электрофизических устройств к минимизации регуляризирующего функционала, при этом параметр регуляризации выполняет роль параметра, управляющего процессом синтеза.

Предложенный алгоритм с математической точки зрения обеспечивает численную устойчивость решения рассматриваемого класса задач, которые в общем случае относятся к некорректно поставленным обратным задачам математической физики, а с практической - учитывает условия физической и конструктивной реализуемости, позволяет определять как нижнюю грапицу достижения критерия качества, так и верхнюю границу меры сложности совокупности элементов (параметров) магнитных систем, реализующих заданный критерий качества

Алгоритм допускает эффективную численную реализацию за счёт сведения решения вариационной задачи с ограничениями в виде неравенств к решению последовательности задач безусловной минимизации.

10. Созданы методики и программное обеспечение (комплекс вычислительных программ MAGMAP, зарегистрированный в Российском агентстве по патентам и товарным знакам), позволяющие решить задачу построения карты магнитного поля внутри рассматриваемого (рабочего) объёма электрофизических установок путём численной реконструкции поля по данным магнитных измерений на границе этого объёма Предложенные методики основаны на измерении всех трёх или одной нормальной к границе объёма компонент поля и обеспечивают точность реконструкции, согласованную с точностью магнитных измерений. Разработанный подход позволяет существенно сократить время проведения магнитных измерений и повысить точность реконструкции поля в объёме за счёт затухания случайной составляющей ошибки, внесённой при измерениях. Получен интегральный критерий качества данных магнитных измерений, основанный на оценке величины дисбаланса магнитного потока через замкнутую границу объёма Выполнена численная реконструкция магнитного поля в рабочей области магнита М1 масс-спектрометра КОМБАС (ОИЯИ).

11. На основе метода подвижных токовых нитей предложен алгоритм и разработано программное обеспечение (комплекс вычислительных программ ROMS), позволяющее решить задачу определения положения и формы плазменного шнура в токамаках в реальном времени работы измерительной системы по данным магнитных измерений Выполнен учёт влияния вихревых токов вакуумной камеры. Решены задачи определения требуемого количества датчиков магнитного поля и оптимизация их положения. Выполнен анализ влияния случайных ошибок измерений на точность определения границы плазмы. Проведена верификация программного обеспечения применительно к конструкции и условиям работы токамака GLOBUS-M, являющимся про1раммной частью комплекса магнитной диагностики плазмы этой установки.

12. На основе разработанного математического и программного обеспечения выполнены анализ и оптимизационные расчёты ряда магнитных систем электрофизических установок, большая часть которых реализована на практике:

- методический расчёт электромагнитных параметров электродвигателя ВЭД-5; предложенные методики и специализированное программное обеспечение были использованы для расчётного обоснования при проектировании ряда вентильных электродвигателей, разработанных в ФГУП «НИИЭФА им Д В Ефремова»,

- анализ и оптимизация параметров 270-градусного магнита, обеспечивающего ахроматичный поворот пучка электронов на выходе ускорителя «Электроника У-003», показана возможность создания одиночных магнитов с оптической схемой, основанной на принципе жёсткой фокусировки;

- оптимизационные расчёты всех (четыре различных типа) магнитов широкоапертурного спектрометра КОМБАС, введённого в эксплуатацию в ЛЯР ОИЯИ, которые обеспечивают рекордные параметры спектрометра по эффективности сбора продуктов ядерных реакций и разрешающей способности;

- оптимизационный расчёт модели дипольного септум-магнита для Московской мезонной фабрики;

- оптимизация геометрических параметров гексаполя на постоянных магнитах (Nd-Fe-B сплав) для ЭЦР-источника многозарядных ионов;

- формирование поля с неоднородностью -0.2% дипольного магнита переносного ЯМР-спектрометра с постоянными магнитами (Sm-Co сплав);

- синтез системы корректирующих катушек установки ИТЭР;

- оптимизация магнитной системы экранирования инжекторов нейтральных пучков от поля рассеяния установки ИТЭР с учётом весьма жёстких требований на уровень

остаточного поля в объёме инжекторов; выполнено обоснование точности

полученных результатов с привлечением разработанного программного обеспечения, отвечающего различным методам численного моделирования магнитного поля;

- оптимизация влияния ферромагнитных вставок на величину гофрировки тороидальною поля установки ИТЭР; оптимальное решение учитывает конструктивные ограничения на значение коэффициента заполнения ферромагнетиком вставок и условие отсутствия перекомпенсации роста её величины для половинных токов в тороидальных кагушках,

- детальный анализ переходных электромагнитных процессов, протекающих о вакуумной камере (включая патрубки и элементы бланкета). норг - лимитере, тепловой защите и диверторе установки ИТЭР при срывах тока плазмы, и расчёт нестационарных распределённых и интегральных электромагнитных нагрузок, действующих на элементы их конструкций.

Результаты проведённых исследований применительно к реактору-токамаку ИТЭР вошли в материалы технического проекта установки

13. Выполнено численное формирование изохронной зависимости распределения поля магнитной системы циклотрона ОС-72 (Институт метрологии, Словакия) с фебуемой точностью, определяемой уровнем погрешности, не превышающей 0 1% Показана необходимость учёта в прецизионных расчётах реальных нелинейных магнитных свойств материалов, используемых при изготовлении магнитной системы циклотрона. Получены допуски на точность изготовления/монтажа элементов магнитной системы для обеспечения заданной точности формирования поля. Точность численного моделирования подтверждена измерениями поля на натурной модели магнита в масштабе 1:5, что позволяет в дальнейшем полностью отказаться от натурного моделирования, широко распространённого на практике для обоснования выбора магнитной структуры изохронных циклотронов. Полученный опыт численного формирования поля в циклотроне ЕХ>72 был применён при модернизации базового циклотрона и-400 ЛЯР ОИЯИ, при проектировании и изготовлении циклотронов СС-12 (Россия), СС-18/9 (Финляндия, Россия), ОС-бО (Казахстан) и ряда других

Проведённые исследования и полученные результаты свидетельствуют, что вычислительный эксперимент является надёжным и эффективным инструментом научных исследований с помощью вычислительных средств - численных методов, алгоритмов, программного обеспечения и ЭВМ. Во многих случаях предложенные подходы являются единственным способом анализа и многопараметрической оптимизации магнитных систем электрофизических устройств в процессе их разработки, проектирования и создания

Основные результаты работы изложены в следующих публикациях.

1 Doinikov N, Lamzin Е., Sytchevsky S. On computation of 3D magnetostatic fields of c'.cctrophysical apparatus magnet systems. IEEE Transact.On Magnctics, Vol.28, No.l, January 1992, pp. 908-911.

2 Дойников Н.И., Ламзин E А., Симаков А С., Сычевский C.E Особенности математического моделирования пространственных полей магнитостатики В кн Груды V Межд совещ. по проблемам математического моделирования, программ и матем методам решения физич. задач Дубна, ОИЯИ, 1985, с.166-168.

3 Doinikov N., Kukhtin V., Lamzin Е., Mingalcv В., Severgin Yu. The Computation of the Dynamic Inductance of Magnet Systems and Force Distribution in Ferromagnetic Region on the Basis of 3-D Numerical Simulation of Magnetic Field. Proc of the 1995 Particle Accelerator Conference Dallas, Texas, USA, May 1-5,1995, Vol 2, pp. 2359-2360

4. Белякова Т.Ф., Кибардин A.C., ... Ламзин F..A. и др. Определение величины и пульсации электромагнитного момента в стационарном режиме работы вентильных двигателей с постоянными магнитами на основе численного моделирования стационарного магнитного поля. Тезисы докладов VII Межд. конф. ТРАНСТЕК 2000, С -Петербург, 1215 сентября 2000г., стр.39-40.

5. Кухтин В.П., Ламзин Е.А., Севергин Ю.П., Сычевский C.E. DIAMOND - комплекс программ для расчета магнитных систем, содержащих постоянные магниты В кн . Труды международного совещания по программированию и математическим методам решения физических задач (Дубна, 14-19 июня 1993г.) ОИЯИ Р-11-94-100,1994, с 29-32

6. Амосков В.М., Белов А.В., ... Ламзин Е.А. и др. Комплексы программ KLONDIKE и КОМРОТ для численного моделирования трехмерных полей систем с постоянными магнитами. XV Совещание по ускорителям заряженных частиц (Протвино, 22-24 октября 1996 г.), т. 2, стр. 150-154

7. Амосков В.М., Белов А.В , . .Ламзин Е.А. и др. Программный комплекс KLONDIKE 1 0 для расчета магнитных систем, содержащих магнитотвердые, магнитомягкие и токонесущие элементы конструкции сложной геометрической формы. Свидетельство РФ о регистрации программы для ЭВМ №2003612487, Реестр программ для ЭВМ, Москва,

12 ноября 2003 г.

8. Kukhtin V.P, Lamzin E.A., Severgin Yu.P., Sytchevsky S.E. Choice of Hexapole Parameters for ECR Ion Source. In- Proc. of the 1993 Particle Accelerator Conference (Washington D.C.USA, May 17-20, 1993), Vol.4, pp 3205-3206

9. Ananiev A., Kashikhin V., Kukhtin V., Lamzin E., Severgin Yu, Tsvetkov V , Vasiliev A., Dougar-Jahon V. Design of Magnet System for ECR Ion Source Proc of 4th European Particle Accelerator Conference (EPAC 94, London), Vol 2, 1994, pp.1430 - 1431

10. Ламзин E.A Численное моделирование продольного поля токамака с учётом вихревых токов. ВАНТ, сср. "Термоядерный синтез", 1988, вып.2, с.21-24.

11. Amoskov V., Belov А.,.. Lamzin Е. et at. Penetration of an oscillating magnetic field through • the ITER double-walled vacuum vessel. Plasma Devices and Operations, Vol. 12, No 3, 2004,

pp. 229-236.

12. Belov A.V., Doinikov N.I., ...Lamzin EA et al. Transient electromagnetic analysis in tokamaks using TYPHOON code. Fusion Engineering and Design, Vol. 31,1996, pp 167-180

13.Дойников Н.И., Кокотков B.B., ...Ламзин E.A. и др Численное моделирование квазистационарных электромагнитных полей в приближении оболочек. В кн Сборник трудов международного совещания по программированию и математическим методам решения физических задач (Дубна 14-19 июня 1993г.). ОИЯИ Р-11-94-100, с.17-21

14. Амосков В.М., Белов А.В. ... Ламзин Е.А. и др. Комплекс программ TYPHOON 2.0 для численного моделирования квазистационарных вихревых токов в тонких проводящих пространственных оболочечных конструкциях сложной геометрической формы. Свидетельство РФ о регистрации программы для ЭВМ № 2003612496 Реестр программ для ЭВМ, Москва, 12 ноября 2003 г.

15. Gusev V.K., Anan'ev A.S., ... Lamzin E.A. et al. Operational Limits and Plasma Stability in

OH Discharge of Globus-M Spherical Tokamak. Proc. of 28th EPS Conf. on Controlled Fusion щ

and Plasma Physics, Funchai, Madeira, 18-22 June 2001, pp.1317-1320.

16. Belov A.V., Doinikov N.I., . Lamzin E.A. et al TYPHOON code for 3-D eddy currents simulation in conducting thin shells. Proc. of the International symposium on electromagnetic A 0 theory. St. Petersburg, Russia, May 23-26,1995, pp.55-57.

17. Doinikov N.I., Kokotkov V.V., Kotov V.L., Kukhtin V.P., Lamzin E A , Sytchevsky S E. An efficient algorithm for form-factor calculation. International Conference on Optimization of Finite Element Approximations, St. Petersburg, Russia, June 25-29,1995, p. 106

18. Амосков B.M., Белов A.B., . . Ламзин E.A. и др. Численное моделирование переходных процессов в проводящих конструкциях опор центрального соленоида и корпусов катушек тороидального поля установки ИТЭР для расчета тепловыделений Тезисы докладов VII

междунар. конф. по инженер, проблемам термояд, реакторов, Санкт-Петербург, 28-31 октября 2002, стр. 89.

19. Амосков ВМ, Белов А.В., . .Ламзин Е.А. и др. Моделирование переходных электромагнитных процессов для вакуумной камеры установки И'ГЭР Тезисы докладов VII междунар конф по инженер, проблемам термояд реакторов, Санкт-Петербург,28-31 октября 2002, стр 32.

20. Alexeev А , Amoskov V., . Lamzin Е. et al. Numerical Simulation of Transient Processes in ITER as 3D Coupled Problems V International congress on mathematical modelling, Dubna, Russia, 30 September-6 October 2002, Book of abstracts, Vol.1, p. 129

21 Белов A.B., Беляков В А., .Ламзин Е.А и др Моделирование переходных электромагнитных процессов, вызванных срывами тока плазмы, в основных конструктивных элементах установки ИТЭР. Вопросы атомной науки и техники (ВАНТ), сер. «Электрофизическая аппаратура», вып. 2(28), 2004, стр.28-43.

22 Амосков В М, Белов А.В., Ламзин Е А и др. Электромагнитный анализ тепловой защиты токамака ИТЭР. Тезисы докладов VII междунар конф. по инженер проблемам термояд, реакторов, Санкт-Пегербург, 28-31 октября 2002, стр.34.

23. Amoskov V., Belov А.....Lamzin Е. et al. Electromagnetic study of the ITER thermal shield V

International congress on mathematical modelling, Dubna, Russia, 30 September-6 October 2002, Book of abstracts, Vol.1, p. 134.

24. Amoskov V., Belov A , ... Lamzin E. et al. Electromagnetic study of the ITER thermal shield Plasma Devices and Operations, Vol. 12, No.3,2004, pp. 217 - 228.

25. Амосков B.M., Аржаев А.И., ...Ламзин Е.А. и др. Особенности численного моделирования нестационарных пространственных полей порт-лимитера установки ИТЭР. Тезисы докладов VII междунар. конф. по инженер, проблемам термояд, реакторов, Санкт-Петербург, 28-31 октября 2002, стр 227.

26 Arkhipov I., Belov А , .Lamzin Е et al. Design of private flux region PFC of ITER FEAT Divertor. 21я Symposium on Fusion Technology, September 11-15,2000 Madrid, Spain, p 161

27. Амосков B.M., Белов A.B ... Ламзин Е.А. и др. Расчет электромагнитных нагрузок, действующих на диверторную кассету установки ИТЭР. Тезисы докладов VII междунар. конф. по инженер, проблемам термояд, реакторов, Санкт-Петербург, 28-31 октября 2002. стр. 31.

28. Белов А , Верхов Н , ..Ламзин Е и др Проект вертикальной мишени дивертора ИТЭР полностью облицованной вольфрамом Тезисы докладов VII междунар конф. по инженер, проблемам термояд, реакторов, Санкт-Петербург, 28-31 октября 2002, стр 66

29. Белов А.В., Гиниятулин Р.Н., ... Ламзин ЕА. и др. Проект вертикальной мишени дивертора ИТЭР, полностью облицованной вольфрамом Вопросы атомной науки и техники (ВАНТ), сер «Электрофизическая аппаратура», вып 2(28), 2004, стр 64-68

30. Amoskov V , Belov А, . Lamzin Е et al Analysis of electromagnetic loads on an ITER divertor casscttc. Plasma Devices and Operations, Vol 12,No.4,2004, pp 271-284

31. Amoskov V., Belov A Lamzin E et al Penetration of oscillating magnetic field through ITER double walled vacuum vessel. V International congress on mathematical modelling, Dubna. Russia. 30 September-6 October 2002, Book of abstracts, Vol 1, p 133.

32 Amoskov V., Belov A , . Lamzin E et al Simulation and analysis of eddy currents induced in the GLOBUS - M tokamak. Plasma Deviccs and Operations, Vol 13, No 1, 2005, pp 25 - 38

33. Borisov V. D., Kashikhin V. S., Lamzin E A , Potekhin S P., Severgin Yu P , Sytchevsky S E. Formation of a homogeneous magnetic field in spectrometer dipole magnet using permanent magnet. IEEE Transact On Magnetics, Vol. 28, No. 1, January 1992, pp 568-570.

34. Жидков E. П , Кухтин В П , Ламзин Е. А, Мингалёв Б С , Сычевский С Е , Филатов О.Г" Применение регуляризующих алгоритмов для решения задач синтеза и оптимальною проектирования магнитных систем ИТЭР Тезисы докладов VII Междунар. конф по инженер, проблемам термояд, реакторов, С.-Петербург, 28-31 октября 2002 г., с 115

35. Amoskov V., Belov А..... Lamzin Е. et al. Analysis and Optimization of the Impact of

Ferromagnetic Inserts on the Toroidal Field Ripple in the International Thermonuclear Experimental Reactor. Plasma Devices and Operations, Vol.13, No 1,2005, pp 45-55

36. Konovalov S., Lamzin E., Tobita K., Gribov Yu. Energetic Particle Ripple Ixiss in ITER Proc of 28-th EPS Conference on Contr. Fusion and Plasma Physics (Funchai, 18-22 June 2001), Vol.25,2001, pp.613-616.

37. Дойников Н.И., Ламзин E.A., Малицкий H Д. и др. Применение магнитов с азимутальной вариацией поля в оптике заряженных частиц Труды 11 Всесоюзного совешания по ускорителям заряженных частиц (25-27 окт., 1988г. Дубна) Д9-89-52, Дубна, 1989, с 449453.

38. Дойников Н И., Ламзин Е.А., Малицкий Н.Д. и др. Магниты для ахроматичною поворота пучка заряженных частиц. Журнал технической физики, т.59, № 5Д989, с 69-75.

39. Doinikov N.I., Lamzin Е.А., Malitsky N.D et al. Application of magnets with the field azimuthal variation in charged particle optics. Proc of the 2nd European particle accelerator conference (Nice, 12-16 June 1990), Vol. 2, pp. 1309-1311.

40. С М.Ананьев, В.С.Кашнхин, Е.А.Ламзнн, и др. Магниты широкоапертурного спектрометра КОМБАС Труды XIII совещания по ускорителям заряженных частиц, Дубна, 13-15 октября 1992г, т 1, стр.314-319

41 AG Artukh, G.F. Gridnev, .RA Lamzinetal The COMBAS Projectile Fragment-Separator Heavy Ion Physics (Joint Institute for Nuclear Research Flerov Laboratory of Nuclear Reactions. Scientific Report 1991-1992). Dubna: JINR E7-93-57, 1993. pp. 260-261

42 A.G Artukh, G.F Gridnev, E A. Lamzin et al Magneto-Optic Structure of the COMBAS Fragment-Separator Heavy Ion Physics (Joint Institute for Nuclear Research. Flerov Laboratory of Nuclear Reactions. Scientific Report 1991-1992). Dubna: JINR E7-93-57,1993, pp 262-264.

43 Артюх А.Г., Семченков А.Г., . Ламзин E.A. и др. Широкоапертурный кинемагический сепаратор КОМБАС. ОИЯИ Р13-2000-167, Дубна, 2000,12с.

44 Артюх А.Г, Семченков А Г, . . Ламзин Е А. и др. Широкоапертурный кинематический сепаратор КОМБАС. Известия РАН, серия «Физическая», 2001, т.65, № 1, с.6-10.

45. Artukh A.G., Gridnev G.F., ..Lamzin E.A. et al. The FLNR JINR wide aperture separator COMBAS. Nucl. Instr. and Meth, Section В 204 (2003), pp. 159-165

46. Artukh A.G., Gridnev G F., . Lamzin E A et al. Wide Aperture Multipole Magnets of the Kinematic Separator COMBAS. Analyzing Multipole Magnets Ml and M8 with Compensation for Higher Order Aberrations. JINR E7-99-239, Dubna, 1999,20 p.

47. Artukh A.G., Gridnev G.F., .. Lamzin E.A. et al. Wide Aperture Multipole Magnets of the Kinematic Separator COMBAS Analyzing Multipole Magnets M2 and M7 with Compensation for Higher Order Aberrations JINR E7-99-240, Dubna, 1999,20 p.

48. Artukh A.G. Gridnev G.F., Lamzin E A et al. Wide Aperture Multipole Magnets of the Kinematic Separator COMBAS Correcting Pair of Multipole Magnets M3M4 CM5M6) with Compensation for Higher Order Aberrations. JINR E7-99-241, Dubna. 1999,16 p

49. Artukh A.G., Gridnev G.F., ...Lamzin E.A. et al. 3D Magnetic Measurements of the Combined Function Magnets in Separator COMBAS Nucl Instr. and Meth., Section A 479 (2002), No 2,3, pp.467-489

50 Amoskov V., Belov A., .. Lamzin E. et al. Numerical Simulation of 3-D Field of Systems using Permanent Magnets. Proc. of 5th European Particle Accelerator Conference (EPAC 96), Sitges (Barcelona), 10-14 June 1996, Vol.3, pp.2161-2163.

51.Amockob B.M., Белов A.B., ...Ламзин E.A. и др. Комплекс программ KLONDIKE для численного моделирования пространственных статических магнитных полей Тезисы докл. VII Междунар. конф по инженер, проблемам термояд, реакторов, С -Петербург, 28-31 октября 2002 г, с.109.

52. Амосков В.М., Белов А.В., ...Ламзин Е.А. и др. Анализ ошибок магнитного поля и системы корректирующих катушек установки ИТЭР. Тезисы докл VII Междунар конф по инженер, проблемам термояд, реакторов, С.-Петербург, 28-31 октября 2002 г, с.113-114.

53 Амосков В М., Бедов А В, . Ламзин Е А и др Статистический анализ ожидаемых ошибок магнитного поля, возникающих от суперпозиции отклонений магнитных катушек ИТЭР. Тезисы докл VII Междунар конф по инженер, проблемам термояд реакторов, С.-Петербург, 28-31 октября 2002 г., с.116.

54. Amoskov V., Belov А., . . Lamzin Е et al Fourier analysis of 3D crror fields in tokamaks. Plasma Devices and Operations, 2004, Vol.12, No.4, pp.285-298

55. Амосков B.M., Белов A.B., Ламзин EA. и др Статистический анализ ожидаемых ошибок магнитного поля, возникающих от суперпозиции отклонений магнитных катушек ИТЭР. ВАНТ, сер. «Электрофизическая аппаратура», вып.2(28), 2004, с. 14-28.

56. Gribov Y., Bonderson А , Lui Y., Kavin A., Lamzin E Perfomance of ITER correction coils IPTA Meeting of Disruption, MHD and Control, St.Petersburg, 15-17 July, 2003

57. Amoskov V., Belov A.,... Lamzin E. et al Statistical analysis of expected error fields in tokamaks and their correction. Plasma Devices and Operations, Vol.13, No.2, 2005, pp.87-103

58. Gulbekian G.G., Ivanenko I.A., ...Lamzin E.A. et al. A method of the magnetic field formation in cyclotron DC-72. Nukleonika, Vol 48(4), 2003, pp.207-210.

59. Дойников Н.И., Ламзин E.A., Сычевский С Е. Опыт эксплуатации комплекса программ КОМРОТ для численного моделирования пространственного магнитостатического поля электрофизических установок Труды международного совещания по про1раммированию и математическим методам решения физических задач (14-19 июня 1993, Дубна), ОИЯИ Р-11-94-100, с.22-28.

60. Амосков В.М., Беляков В.А., ... Ламзин Е А. и др. Аппаратно-программный комплекс для измерения характеристик магнитных материалов в широком диапазоне индукции. ОИЯИ Р13-2004-158, Дубна, 2004, 20с.

61. Белов А.В., Беляков В.А., . . Ламзин ЕА и др. Моделирование переходных электромагнитных процессов, вызванных срывами тока плазмы, в основных конструктивных элементах установки ИТЭР ВАШ, серия «Электрофизическая аппаратура», вып. 2(28), 2004, стр.28-43.

62. Alekseev A., Arneman A., Belov А V.. Lamzin Е.А. et al. On the Calculation of Concentrated Loads at Finite-Element Mesh Nodes as Equivalents of a Given Spatial Distribution of Volume Force Density Plasma Devices and Operations. Vol 10 (4), 2002, pp 269-284

63. Белов А В., Гаркуша Д.Б., Кухтин В.П., Ламзин Е.А., Сычевский С.Е., Филатов О Г Программа определения эквивалентных сосредоточенных нагрузок, действующих на узлы конечно-элементной сетки по заданному распределению плотностей сил (NFORCE 1.0). Per номер в реестре программ для ЭВМ №2003612488 (12 И 2003) Бюллетень российского общества по патентам и товарным знакам №1,2004

64 Artukh AG, Gridnev G.F., ... Lamzin EA et al. Wide Aperture Multipole Magnets of the Kinematic Separator COMBAS Basic Principles of Magnets Design. JINR E7-99-238, Dubna, 1999, 15 p.

65. Artukh A.G., Gridnev G.F, ... Lamzin EA. et al. Wide Aperture Multipole Magnets of Separator COMBAS JINR E13-2000-243, Dubna, 2000, 32 p

66. Ламзин E.A, Сычевский C.E., Титов B.A. Двухканальный септум-магнит. Авторское свидетельство 1567103SU Al.

67. Borisov V., Kashihin V., Lamzin E. et al. Dipole magnet with a steel septum for beam splitting at the Moscow Meson Facility IEEE Trans. On Magnetics, Vol 28, No.l, January 1992, pp 571-573.

68. Borisov V., Kashihin V., Lamzin E., Potekhin S., Severgin Yu., Sytchevsky S. Formation of homogeneous magnetic field in spectrometer dipole magnet using permanent magnet IEEE Trans.On Magnetics, Vol.28, No. 1, January 1992, pp. 568-570.

69 Kukhtin V., Lamzin E., Sytchevsky S. et al.. An Efficient Algorythm of the Reconstruction of Spatial Field with the Use of the Data Determined at the Region Boundary In Proc 5th European Particle Accelerator Conference (EPAC 96), Sitges (Barcelona), 1996, vol 3, pp 12621264.

70. Артюх А.Г., Белов А В., . .E.A Ламзин и др. Комплекс программных средств для построения прецизионной карты магнитного поля по данным измерений его компонент на границе рассматриваемой области. ОИЯИ Р13-2002-194, Дубна, 2002, 30 с

71. Belov А V., Belyakova TF, Filatov O.G.... Lamzin EA. et al Program Package for the Accurate Three Dimensional (3D) Reconstruction of Magnetic Fields from the Boundary Measurements. Nucl. Instr. and Meth , Section A513,2003, pp.448-464

72. Амосков-B.M., Белов А.В, ..., Ламзин E.A. и др. Программа определения значений магнитного поля во внутренних точках рабочей области (MAGMAP) Per номер в реестре программ для ЭВМ №2002611958 (21 11 2002) Бюллетень российского общества по патентам и товарным знакам №1,2004.

73 Белов А.В., Белякова Т Ф., Кухтин В.П, Ламзин Е А., Сычевский С.Е., Филатов О Г. Программный комплекс для трёхмерного расчёта стационарного магнитного поля,

анализа и синтеза магнитных систем электрофизических установок (КОМРОТ/М). Per. номер в реестре программ для ЭВМ №2003612492 (12.11.2003). Бюллетень российского общества по патентам и товарным знакам №1, 2004.

74. Filatov О, Kuchinsky V , Kukhtin V , Lamzin Е., Sytchevsky S. Analytical Calculation of a Magnetic Flux Using Finite-Element Field Reconstruction Plasma Device and Operations, Vol.10, No.4, 2003, pp.285-289.

75. Бараков ДА., Белов A.B., Белякова Т.Ф.,..., Ламзин Е.А и др. Эффективная программа FLRECON реконструкции пространственного поля по данным на границе рассматриваемой области. Труды XV совещания по ускорителям заряженных частиц, Протвино, 22-24 октября 1996г., т.2, стр.141-144.

76. Ламзин Е.А, Амосков В.М , Белов А.В. и др Системы каргснрафирования магнитного поля в зоне перемещения защитного шлема пилота вертолета. Труды 6-го форума Российского вертолетного общества, Москва, 25-26 февраля 2004, Раздел VI, стр 218-230

77. Baranov D.A., Lamzin Е.А., Shatil N.A., Sytchevsky S E. An efficient algorithm of the reconstruction of spatial magnetic field with the use of the data obtained at the region boundary International Conference on Optimization of Finite Element Approximations. St Petersburg, Russia, 25-29 June 1995, p.98.

78. Amoskov V., Belyakov V., Bender S., Kavin A., Lamzin E. and Sytchevsky S. Plasma Boundary Reconstruction from External Magnetic Measurements in the Globus-M Tokamak Using the Variable Current Loop Method. Plasma Devices and Operations, Vol.9, No 9 2001, pp. 159-172.

79. Амосков В.М, Беляков B.A., ...Ламзин Е.А. и др. Определение положения и формы плазменного шнура по данным внешних магнитных измерений для токамака GLOBUS-M в режиме реального времени Физика плазмы, т.29, № 12,2003, с.1-13.

а

г Ч

Ламзин Евгений Анатольевич

АНАЛИЗ, ФОРМИРОВАНИЕ И РЕКОНСТРУКЦИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ В ЭЛЕКТРОФИЗИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВАХ НА ОС1ЮВЕ МЕТОДОВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико - математических наук

Подписано к печати 03 08.2005 г. Формат 60x90/16. Уч.-изд. л. 2,0. Тираж 100 экз. Зак. №59

Отпечатано в ФГУП «НИИЭФА им Д.В. Ефремова»

»21 8 6 90

РЫБ Русский фонд

2006-4 16561

Введение

Глава 1. Численное моделирование пространственного магнитостатического поля. Программные комплексы КОМРОТ и

KLONDIKE.

1.1 Введение

1.2 Дифференциальная постановка задачи магнитостатики с использованием векторного электрического потенциала

1.3 Задание векторного электрического потенциала Р и области его определения

1.4 Конечно-элементная аппроксимация 40 1.4.1 МетодРитца 41 1.4.2. Метод Бубнова - Галеркина

1.5 Решение системы конечно-элементных уравнений

1.6 Численное моделирование распределения пондеромоторных сил

1.7 Программный комплекс КОМРОТ. Методические расчёты.

1.8 Интегральная постановка задачи. Программный комплекс

KLONDIKE. Метод ические расчеты

1.9 Выводы

Глава 2. Численное моделирование пространственного квазистационарного электромагнитного поля в проводящих 84 оболочках. Программный комплекс TYPHOON.

2.1 Введение

2.2 Постановка задачи расчёта квазистационарного электромагнитного ^ поля с использованием векторного электрического потенциала

2.3 Принцип сведения многосвязного пространства к односвязному

2.4 Конечно-элементная аппроксимация

2.5 Вычисление интегралов по треугольным симплекс-элементам

2.6 Решение системы конечно-элементных уравнений

2.7 Программный комплекс TYPHOON. Методические расчёты.

2.8 Выводы

Глава 3. Математическая постановка задач синтеза магнитных систем

3.1 Введение

3.2 Основные понятия теории некорректных задач. Построение регуляризованного решения и выбор параметра регуляризации

3.3 Сведение задач синтеза магнитных систем к минимизации сглаживающего функционала

3.4 Численная реализация решения задач синтеза магнитных систем

3.5 Методические расчёты

3.5.1 Расчетная модель для анализа влияния ферромагнитных вставок на уровень гофрировки тороидального магнитного поля

3.5.2 Постановка задачи оптимизации влияния ферромагнитных вставок

3.5.3 Численные результаты

3.6 Выводы

Глава 4. Результаты численного моделирования и формирования поля магнитных систем электрофизических устройств

4.1 Введение

4.2 Анализ поля ахроматичного поворотного магнита с азимутальной вариацией магнитного поля

4.3 Моделирование поля магнитов широкоапертурного спектрометра КОМБАС

4.4 Анализ и формирование поля сешум-магнита

4.5 Формирование однородного поля спектрометрического магнита с постоянными магнитами

4.6 Синтез системы корректирующих катушек установки ИТЭР 222 4.6.1 Гармонический и статистический анализ ошибок поля электромагнитной системы установки ИТЭР

4.6.2 Синтез системы корректирующих катушек

4.7 Оптимизация магнитной системы экранирования инжекторов нейтральных пучков от поля рассеяния установки ИТЭР

4.7.1 Описание конструкции и критерии оптимизации системы магнитного экранирования основного инжектора 247 нейтральных пучков

4.7.2 Метод и результаты численной оптимизации NB MFRS

4.7.3 Описание конструкции и критерии оптимизации системы магнитного экранирования диагностического инжектора 255 нейтральных пучков

4.7.4 Результаты численной оптимизации DNB MFRS

4.8 Формирование изохронного магнитного поля в циклотроне DC 72.

4.9 Численное моделирование переходных электромагнитных процессов, вызванных срывами тока плазмы, в основных 292 конструктивных элементах установки ИТЭР

4.9.1 Описание конструкции и расчётная модель вакуумной камеры

4.9.2 Описание конструкции и расчётная модель диверторной кассеты

4.9.3 Результаты расчёта электромагнитных нафузок

Глава 5. Численная реконструкция магнитного поля в объёме по данным измерений компонент поля на замкнутой границе рассматриваемого 307 объёма

5.1 Введение

5.2 Постановка задачи реконструкции магнитного поля

5.3 Алгоритмическая реализация. Комплекс программ MAGMAP

5.4 Результаты численных экспериментов 323 5.4.1 Анализ влияния ошибок на точность реконструкции магнитного поля

5.4.1.1 Восстановление поля по нормальной компоненте вектора индукции, измеренной на границе области (задача 326 Неймана)

5.4.1.2 Восстановление поля по трем компонентам вектора индукции, измеренным на границе области (задача 332 Дирихле)

5.4.2 Сопоставление результатов восстановления магнитного поля с данными магнитных измерений 5.5 Выводы

Глава 6. Определение положения и формы плазменного шнура в токамаках в режиме реального времени по данным внешних магнитных 348 измерений

6.1 Введение

6.2 Постановка задачи реконструкции границы плазмы

6.3 Метод подвижных токовых нитей

6.4 Краткое описание электромагнитной системы установки

GLOBUS -Ми системы магнитных измерений

6.5 Учет влияния вихревых токов

6.6 Результаты модельных расчётов. Численная реконструкция границы плазмы.

6.7 Выводы 393 Заключение 395 Литература

Современный уровень проектирования электрофизических установок и устройств предполагает широкое использование численного (вычислительного) эксперимента [1,2] с целью определения и оптимизации их основных параметров и характеристик. Во многих случаях в силу геометрической сложности установок и нелинейных свойств используемых материалов, численный эксперимент является практически единственно возможным источником получения необходимой информации. Он рассматривается как методологическая основа создания и изучения математических моделей исследуемого объекта с помощью вычислительных средств. Общие принципы его проведения наиболее полно сформулированы в работах [1,2].

Можно выделить следующие основные этапы вычислительного эксперимента: построение адекватной физическому явлению математической модели, выбор численных методов для её расчёта, разработка программного обеспечения, собственно расчёт и анализ результатов.

Характеризуя вычислительный эксперимент в целом, необходимо отметить его универсальность, что позволяет использовать эту технологию при исследовании различных объектов. Это обстоятельство характерно для математического моделирования, поскольку многие явления и процессы, протекающие в различных установках, имеют одни и те же математические модели. Вычислительный эксперимент значительно дешевле и доступнее по сравнению с натурным физическим экспериментом; его подготовка и проведение занимают меньше времени.

Ускорение темпов научно-технического прогресса, автоматизация научно-исследовательских и проектно-конструкторских работ с применением ЭВМ, а также связанное с ними сокращение сроков морального старения оборудования ставят задачу интенсификации процесса создания и освоения новой техники. При этом применение численных методов и соответствующего программного обеспечения даёт возможность использовать сложные нелинейные математические модели, охватывающие все существенные черты рассматриваемых физических процессов в широкой области изменения их параметров, проводить изучение устройств путём «проигрывания» их поведения в различных условиях, находить оптимальные параметры и режимы действующих или проектируемых установок.

В настоящее время проектирование и создание электрофизических установок в области ускорительной техники, физики высоких энергий и для исследований по проблеме управляемого термоядерного синтеза, которые относятся к сложным инженерно-техническим объектам, часто, с предельными параметрами, требует комплексных исследований, проведение которых невозможно без вычислительного эксперимента.

Одним из центральных вопросов численного моделирования физических процессов, определяющих критерии проектирования и условия эксплуатации электрофизической аппаратуры, является детальный расчёт пространственного распределения как стационарного, так и квазистационарного электромагнитного поля. Высокие стоимости крупных установок приводят к необходимости выполнения большого объёма расчётных работ, связанных с анализом возможных режимов эксплуатации и оптимизацией основных узлов установок. Расчётные работы продолжаются также на этапе экспериментальных исследований, обеспечивая интерпретацию результатов физического эксперимента и доводку устройств для получения заданных параметров и характеристик. Для устройств в области ускорительной техники, как правило, требуется проведение прецизионных расчётов.

Значительный вклад в создание базовых методов расчёта электромагнитных полей внесли российские учёные [9,10,12,13,15,24,26,30,36,38-40,49,52,131,305].

Создание в России на базе ведущих научных центров в области электрофизики исследовательских групп и коллективов, плодотворно взаимодействующих друг с другом, привело за последние десятилетия к весьма существенному прогрессу в численном моделировании физических процессов, протекающих в электрофизических установках. Во многих случаях в силу электромагнитного принципа, положенного в основу работы этих установок, результаты численного моделирования и анализа распределения электромагнитного поля являются определяющим фактором при их проектировании и создании.

В диссертационной работе решается комплекс задач, связанных с численным моделированием магнитного поля электрофизических устройств. Актуальность исследований определяется как предметной областью, так и необходимостью решения ряда методологических вопросов с целью обеспечения проведения численного эксперимента.

Диссертация является обобщением работ, выполненных в соответствии с научно-тематическими планами ФГУП «НИИЭФА им. Д.В. Ефремова».

Цель диссертационной работы состоит в комплексной разработке эффективных численных методов расчёта, формирования и реконструкции магнитного поля в электрофизических устройствах на основе единой методологической и алгоритмической базы. Решение этой задачи обеспечивает возможность проведения анализа, выбора параметров и оптимизации магнитных систем электрофизических устройств в процессе их разработки, проектирования и создания, что также является целью работы.

Первый этап вычислительного эксперимента связан с постановкой задачи и выбором математической модели. Естественно, что среди математически эквивалентных формулировок наибольшую практическую ценность представляют такие, которые приводят к алгоритмам, допускающим эффективную численную реализацию.

В настоящей работе для численного моделирования как стационарного, так и квазистационарного электромагнитного поля последовательно используется метод модифицированного скалярного потенциала [14,20,21,60-65]. Такая общность данного подхода, важная как с точки зрения методической, так и практической, позволяет его рассматривать в качестве единого подхода к численному моделированию электромагнитного поля в терминах скалярного магнитного потенциала. Это обстоятельство является принципиальным для разработки эффективных численных алгоритмов расчёта поля.

На основе данного метода, который относится к группе дифференциальных методов расчёта поля [10-21], сформулирована дифференциальная постановка задачи магнитостатики, ориентированная, в первую очередь, на детальное численное моделирование пространственных полей прецизионных магнитных систем. Практика численных расчётов [30,52,53] показывает необходимость наличия программного обеспечения, отвечающего различным подходам. В работе рассмотрена также постановка задачи магнитостатики на основе метода объёмных интегральных уравнений [118-120], который относится к группе интегральных методов [12,22-43].

Численное моделирование квазистационарного поля и вихревых токов в тонких проводящих оболочках с использованием метода модифицированного скалярного потенциала приводит к интегро-дифференциальному уравнению [126,127], в котором искомой является скалярная величина.

Математическая постановка задач синтеза магнитных систем, которые являются обратными по отношению к задачам анализа, базируется на использовании вариационного принципа регуляризации А.Н.Тихонова [213], естественного с точки зрения практических приложений. При этом задача синтеза магнитных систем может быть сведена к минимизации регуляризирующего функционала [250].

Численная реконструкция магнитного поля в объёме по данным измерений компонент поля на замкнутой границе этого объёма проводится на основе решения краевых задач [375-377] - внутренней задачи Дирихле и внутренней задачи Неймана.

Решение задачи магнитной диагностики, связанной с определением положения и формы плазменного шнура в токамаках в режиме реального времени по данным внешних магнитных измерений, строится на основе математической модели с использованием метода подвижных токовых нитей [429,430], обеспечивающего требуемую на практике точность определения границы плазмы и скорость вычислений. Данный подход приводит к интегральной постановке задачи для уравнения Грэда-Шафранова [321,322].

Основой численных методов решения многих классов уравнений является дискретизация задачи с последующим сведением, как правило, к системам алгебраических уравнений. Для дифференциальных и систем дифференциальных уравнений, обычно, дискретный аналог задачи строится на основе метода конечных элементов, который в настоящее время рассматривается как общий метод их численного решения [77].

В силу имеющих место с одной стороны ограничений на доступные вычислительные ресурсы (необходимую память и время решения задачи на

ЭВМ), а, с другой стороны, в силу значительного порядка (>106) решаемых систем, в общем случае, нелинейных алгебраических уравнений, являющихся дискретными аналогами уравнений поля, выбор метода их решения является важным моментом.

В результате проведённых исследований, как теоретического характера, касающихся вопроса сходимости двухслойных итерационных схем с несамосопряжённым оператором перехода [92], так и численных исследований [93,94,100] в качестве базового метода решения нелинейных систем алгебраических (конечно-элементных) уравнений выбран метод симметричной последовательной верхней релаксации (Symmetric Successive Overrelaxation Method - SSOR) [95] с процедурой полиномиального ускорения сходимости [86] на основе ВТ-процесса [96]. Такой итерационный алгоритм отличает достаточно высокая практическая эффективность, что, собственно, и предопределило успех в решении прикладных задач, требующих высокой степени их дискретизации.

Краевая задача Коши, к которой сводится задача расчёта вихревых токов в проводящих оболочках, применительно к расчёту электромагнитных процессов в токамаке-реакторе обладает характерными признаками жёсткости [172-179] и требует применения жёстко-устойчивых методов её решения. Эта задача решается на основе известной вычислительной процедуры С. Гира [176-178], осуществляющей автоматический контроль погрешности на шаге с изменением по этому критерию как степени метода, так и величины шага численного интегрирования, и на основе матричного разложения [168,172], позволяющего решить проблему ограничения на выбор величины шага численного интегрирования при его разгоне в жёстко-устойчивых методах.

Диссертация состоит из введения, шести глав и заключения.

Основные результаты работы могут быть сформулированы в следующем виде.

1. На основе единой методологической и алгоритмической базы с использованием методов математического моделирования применительно к задачам анализа, формирования и реконструкции магнитного поля реализован комплексный подход их решения, обеспечивающий качественно новый, более высокий научно-технический уровень проектирования и создания электрофизических устройств и аппаратуры.

2. Разработан эффективный алгоритм численного моделирования пространственных нелинейных краевых задач магнитостатики, основанный на методе модифицированного скалярного потенциала. В рамках этого подхода, используя понятие «магнитных листов» для реальных электрических контуров и физическую интерпретацию векторного электрического потенциала как их намагниченности, предложен единый способ описания источников поля - катушек возбуждения и постоянных магнитов.

3. На основе метода симметричной последовательной верхней релаксации и ВТ-процесса ускорения сходимости итерационных методов разработан эффективный итерационный алгоритм, отличающийся простотой реализации в сочетании с минимальными требованиями к вычислительным ресурсам. В результате на практике реализована возможность численного решения задач магнитостатики в областях сложной геометрической формы. Таким задачам присуща высокая степень дискретизации (детализации), приводящая к плохо обусловленным системам, в общем случае, нелинейных алгебраических уравнений большого порядка (> 106).

4. Разработано программное обеспечение (комплекс вычислительных программ КОМРОТ, зарегистрированный в Российском агентстве по патентам и товарным знакам), предназначенное для численного моделирования пространственных магнитостатических полей нелинейных магнитных систем, в том числе прецизионных. Возможность проведения прецизионных исследований обеспечивается, с одной стороны, использованием метода конечных элементов для описания геометрических объектов (элементов конструкции) сложной формы, а, с другой стороны, предложенным эффективным итерационным алгоритмом решения больших систем нелинейных алгебраических уравнений, являющихся дискретными аналогами уравнений поля.

5. Предложен вычислительный алгоритм расчёта на основе тензора натяжений Максвелла детального распределения плотностей объёмных и поверхностных пондеромоторных сил, действующих на ферромагнитные (включая постоянные магниты) и токонесущие элементы конструкций электрофизических устройств, согласованный с конечно-элементным представлением результатов численного моделирования магнитного поля.

6. Создано программное обеспечение (комплекс вычислительных программ KLONDIKE, зарегистрированный в Российском агентстве по патентам и товарным знакам), предназначенное для численного моделирования пространственных магнитостатических полей на основе метода объёмных интегральных уравнений.

7. Разработан алгоритм численного моделирования квазистационарного электромагнитного поля и вихревых токов в тонких проводящих оболочках, произвольным образом расположенных в пространстве, на основе метода модифицированного скалярного потенциала. В рамках этого метода выполнен учёт ветвления поверхности оболочек и многосвязности пространства, с сведением его к односвязному.

8. На основе матричного разложения предложен метод решения краевой задачи Коши, к которой сводится задача расчёта вихревых токов в проводящих оболочках, позволяющий решить проблему ограничения на выбор величины шага численного интегрирования при его разгоне в жёстко - устойчивых методах. Решение этой проблемы позволило выполнить анализ электромагнитных процессов, протекающих в установке ИТЭР для базового сценария развития разряда, характеризующегося весьма значительной длительностью во времени.

9. Разработано программное обеспечение (комплекс вычислительных программ TYPHOON, зарегистрированный в Российском агентстве по патентам и товарным знакам), предназначенное для численного моделирования переходных электромагнитных процессов в электрофизических устройствах, допускающих при их анализе применение модели тонких проводящих оболочек для описания конструктивных элементов. Данный комплекс программ является базовым для проведения анализа электромагнитных процессов, протекающих при различных сценариях работы, в установках типа токамак и использовался для расчётного обоснования при проектировании установок ИТЭР, KSTAR (Южная Корея), TEXTOR (Германия), КТМ (Казахстан).

Ю.Разработан эффективный алгоритм численного решения обратных нелинейных задач магнитостатики, основанный на сведении задачи синтеза магнитных систем электрофизических устройств к минимизации регуляризирующего функционала, при этом параметр регуляризации выполняет роль параметра, управляющего процессом синтеза.

Предложенный алгоритм с математической точки зрения обеспечивает численную устойчивость решения рассматриваемого класса задач, которые в общем случае относятся к некорректно поставленным обратным задачам математической физики, а с практической - учитывает условия физической и конструктивной реализуемости, позволяет определять как нижнюю границу достижения критерия качества, так и верхнюю границу меры сложности совокупности элементов (параметров) магнитных систем, реализующих заданный критерий качества.

Алгоритм допускает эффективную численную реализацию за счёт редукции вариационной задачи с ограничениями в виде неравенств к последовательности задач безусловной оптимизации.

11.Созданы методики и программное обеспечение (комплекс вычислительных программ MAGMAP, зарегистрированный в Российском агентстве по патентам и товарным знакам), позволяющие решить задачу построения карты магнитного поля внутри рассматриваемого (рабочего) объёма электрофизических установок путём численной реконструкции поля по данным магнитных измерений на границе этого объёма. Предложенные методики основаны на измерении всех трёх или одной нормальной к границе объёма компонент поля и обеспечивают точность реконструкции, согласованную с точностью магнитных измерений. Разработанный подход позволяет существенно сократить время проведения магнитных измерений и повысить точность реконструкции поля в объёме за счёт затухания случайной составляющей ошибки, внесённой при измерениях. Получен интегральный критерий качества данных магнитных измерений, основанный на оценке величины дисбаланса магнитного потока через замкнутую границу объёма. Выполнена численная реконструкция магнитного поля в рабочей области магнита М\ масс-спектрометра КОМБАС (ОИЯИ).

12.На основе метода подвижных токовых нитей предложен алгоритм и разработано программное обеспечение (комплекс вычислительных программ ROMS), позволяющее решить задачу определения положения и формы плазменного шнура в токамаках в реальном времени работы измерительной системы по данным магнитных измерений. Выполнен учёт влияния вихревых токов вакуумной камеры. Решены задачи определения требуемого количества датчиков магнитного поля и оптимизация их положения. Выполнен анализ влияния случайных ошибок измерений на точность определения границы плазмы. Проведена верификация программного обеспечения применительно к конструкции и условиям работы токамака GLOBUS-M, являющимся программной частью комплекса магнитной диагностики плазмы этой установки.

13.На основе разработанного математического и программного обеспечения выполнены анализ и оптимизационные расчёты ряда магнитных систем электрофизических установок, большая часть которых реализована на практике:

- методический расчёт электромагнитных параметров электродвигателя ВЭД-5; предложенные методики и специализированное программное обеспечение были использованы для расчётного обоснования при проектировании ряда вентильных электродвигателей, разработанных в ФГУП «НИИЭФА им. Д.В. Ефремова»;

- анализ и оптимизация параметров 270-градусного магнита, обеспечивающего ахроматичный поворот пучка электронов на выходе ускорителя «Электроника У-003»; показана возможность создания одиночных магнитов с оптической схемой, основанной на принципе жёсткой фокусировки;

- оптимизационные расчёты всех (четыре различных типа) магнитов широкоапертурного спектрометра КОМБАС, введённого в эксплуатацию в ЛЯР ОИЯИ, которые обеспечивают рекордные параметры спектрометра по эффективности сбора продуктов ядерных реакций и разрешающей способности;

- оптимизационный расчёт модели дипольного септум-магнита для Московской мезонной фабрики;

- оптимизация геометрических параметров гексаполя на постоянных магнитах (Nd-Fe-B сплав) для ЭЦР-источника многозарядных ионов;

- формирование поля с неоднородностью ~0.2% дипольного магнита переносного ЯМР-спектрометра с постоянными магнитами (Sm-Co сплав);

- синтез системы корректирующих катушек установки ИТЭР;

- оптимизация магнитной системы экранирования инжекторов нейтральных пучков от поля рассеяния установки ИТЭР с учётом весьма жёстких требований на уровень остаточного поля в объёме инжекторов; выполнено обоснование точности полученных результатов с привлечением разработанного программного обеспечения, отвечающего различным методам численного моделирования магнитного поля;

- оптимизация влияния ферромагнитных вставок на величину гофрировки тороидального поля установки ИТЭР; оптимальное решение учитывает конструктивные ограничения на значение коэффициента заполнения ферромагнетиком вставок и условие отсутствия перекомпенсации роста её величины для половинных токов в тороидальных катушках;

- детальный анализ переходных электромагнитных процессов, протекающих в вакуумной камере (включая патрубки и элементы бланкета), порт - лимитере, тепловой защите и диверторе установки ИТЭР при срывах тока плазмы, и расчёт нестационарных распределённых и интегральных электромагнитных нагрузок, действующих на элементы их конструкций.

Результаты проведённых исследований применительно к реактору-токамаку ИТЭР вошли в материалы технического проекта установки. М.Выполнено численное формирование изохронной зависимости поля магнитной системы циклотрона DC-72 (Институт метрологии, Словакия) с требуемой точностью, определяемой уровнем погрешности, не превышающей 0.1%. Показана необходимость учёта в прецизионных расчётах реальных нелинейных магнитных свойств материалов, используемых при изготовлении магнитной системы циклотрона. Получены допуски на точность изготовления/монтажа элементов магнитной системы для обеспечения заданной точности формирования поля. Точность численного моделирования подтверждена измерениями поля на натурной модели магнита в масштабе 1:5, что позволяет в дальнейшем полностью отказаться от натурного моделирования, широко распространённого на практике для обоснования выбора магнитной структуры изохронных циклотронов. Полученный опыт численного формирования поля в циклотроне DC-72 был применён при модернизации базового циклотрона U-400 ЛЯР ОИЯИ, при проектировании и изготовлении циклотронов СС-12 (Россия), СС-18/9 (Финляндия, Россия), DC-60 (Казахстан) и ряда других. Проведённые исследования и полученные результаты свидетельствуют, что вычислительный эксперимент является надёжным и эффективным инструментом научных исследований с помощью вычислительных средств -численных методов, алгоритмов, программного обеспечения и ЭВМ. Во многих случаях предложенные подходы являются единственным способом анализа и многопараметрической оптимизации магнитных систем электрофизических устройств в процессе их разработки, проектирования и создания.

Автор глубоко благодарен своим соавторам и коллегам - С.Е. Сычевскому, с которым совместно было выполнено большинство работ; В.П. Кухтину за плодотворные дискуссии и ценные замечания.

Автор искренне благодарен В.М. Амоскову, А.В. Белову, Т.Ф. Беляковой, В.Н. Васильеву, Е.И. Гапионок, Д.Б. Гаркуше, Н.А. Максименковой, Б.С. Мингалёву, Н.А. Шатилю за удовольствие совместно работать с ними.

Автор глубоко признателен проф. Н.И. Дойникову за большую помощь, постоянное внимание и поддержку в работе, плодотворные дискуссии и ценные замечания в процессе проведения и анализа результатов совместных работ.

Автор считает своим долгом выразить признательность директору ФГУП «НИИЭФА им. Д.В. Ефремова» О.Г. Филатову за поддержку и предоставленную возможность заниматься данной тематикой.

Автор признателен директору НТЦ «Синтез» В.А. Белякову за постоянную поддержку работ в рамках тематики, связанной с расчётным обоснованием проектирования и создания термоядерных установок.

Автор признателен зам. директора НТЦ «Синтез» В.Г. Кучинскому за поддержку работ, связанных с расчётным обоснованием проектирования и создания вентильных электрических машин, плодотворные дискуссии и ценные замечания в процессе проведения этих исследований.

Автор благодарен Ю.П. Севергину за постановку ряда задач, связанных с расчётным обоснованием проектирования и создания электрофизических устройств и установок в области ускорительной техники, и полезные дискуссии.

Автор признателен всем соавторам своих работ из других организаций за плодотворное творческое сотрудничество.

Заключение

1. Самарский А.А. Введение в численные методы. М.: Наука, 1982.

2. Карпов В.Я., Корягин Д.А., Самарский А.А. Принципы разработки пакетов прикладных программ для задач математической физики. ЖВМиМФ, т.18, №2, 1978, с.458-467.

3. Тамм И.Е. Основы теории электричества. М.: Наука, 1976, 616с.

4. Ворожцов С.Б. Методы расчета магнитостатических полей. В кн.: Труды международной школы молодых ученых по проблемам ускорителей заряженных частиц (Дубна, сентябрь 1984). ОИЯИ Д9-84-817, Дубна, 1984, с.120-129.

5. Tortschanoff Т. Survey of Numerical Methods in Field Calculations. CERN, ZFP-MA/84-20, 1984, 6p.

6. Iselin Chr.F. Review of Recent Developments in Magnet Computations. IEEE Trans. On Magnetics, Vol.17, No.5, May 1984, pp.2168-2177.

7. Trowbridge C.W. Computer Aided Magnet Design. RL-83-092, 1983, 18p.

8. Trowbridge C.W. Status of Electromagnetic Field Computation. In Proc. of the 9-th Int.Conf.on Magn.Technology. Zurich, Sept.9-13, 1985, pp.707-713.

9. Демирчян K.C., Чечурин В.Л. Машинные расчёты электромагнитных полей. М.: Высш.школа, 1986, 240с.

10. Акишин П.Г. Численное моделирование магнитостатических полей на ЭВМ. Диссертация .д.физ.-мат.наук, Дубна, 1993.

11. Сычевский С.Е. Математическое обеспечение проектирования и расчёты пространственных полей электрофизических устройств. Диссертация.д. физ.-мат. наук, Л., 1997.

12. М.Ламзин Е.А. Разработка алгоритма численного моделирования и расчет трехмерных магнитостатических полей в электрофизических устройствах. Диссертация .к. техн. наук, Л., 1988.

13. Чечурин В.Л. Метод магнитных зарядов и его приложения для расчета стационарных и квазистационарных электромагнитных магнитных полей. Диссертация .д.тех.наук, Л., 1983.

14. Дойников Н.И. Результаты математического моделирования полей и оптимизация параметров магнитных систем. Обзор ОБ-42, Л.: НИИЭФА, 1981,67с.

15. Дойников Н.И. Постановка задач численного анализа полей нелинейных магнитных систем. Обзор ОБ-8. Л.: НИИЭФА, 1976, 134с.

16. Armstrong A.G., Collie C.J., Simkin J. et al. The Solution of 3D Magnetostatic Problems Using Scalar Potentials. RL-78-088, 1978, 5p.

17. Акишин П.Г. Об одном методе решения задачи магнитостатики в дифференциальной постановке. ОИЯИ Р11-92-80, Дубна, 1984.

18. Doinikov N.I., Lamzin Е.А., Sytchevsky S.E. On computation of 3-D magnetostatic fields of electrophysical apparatus magnet systems. IEEE Trans. On Magnetics, Vol.28, No.l, January 1992, pp. 908-911.

19. Гринберг Г.А. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений. М.-Л.: Изд. АН СССР, 1948.

20. Тозони О.В. Расчет электромагнитных полей на вычислительных машинах. Киев: Техника, 1967, 252с.

21. Тозони О.В., Майергойз И.Д. Расчет трехмерных электромагнитных полей. Киев: Техника, 1974.

22. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики. М: Изд.МГУ, 1987.

23. Курбатов П.А., Аринчин С.А. Численный расчет электромагнитных полей. М.: Энергоатомиздат, 1984, 168с.

24. Курбатов П.А. Разработка методов и создание программных средств проектирования трехмерных нелинейных электромагнитных систем. Автореф. дис. . д. физ.-мат.наук, М.,1988.

25. Pasciak J.E. An Iterative Algorithm for the Volume Integral Method for Magnetostatic Problems. Сотр. Maths, with Appl., Vol.8, No.8, 1982, pp.283-290.

26. Жидков Е.П., Федоров A.B., Юлдашев О.И. Исследование интегрального уравнения магнитостатики для векторного потенциала. ОИЯИ Р11-89-473, Дубна,1989.

27. Ворожцов С.Б. Численное моделирование магнитной системы и динамики частиц в ускорителях с пространственной вариацией магнитного поля. Диссертация . д. физ.-мат. наук, Дубна, 1986.

28. Newman M.J., Trowbridge C.W., Turner L.R. GFUN : An Interactive Program as an Aid to Magnet Design. Proc. 4th Conf. Magn. Technol., Brookhaven National Lab., Brookhaven, NY, 1972, pp.617-626.

29. Akishin P.G., Vorozhtsov S.B., Zhidkov E.P. Calculation of the Magnetic Field of the Isochronus Cyclotron Sector Magnet by the Integral Equation Method. In Proc.of COMPUMAG, Grenoble, 1978.

30. Борисовская 3.B., Ворожцов C.B., Дударева Т.Н. Расчет сверхпроводящих магнитных систем ускорителей методом объемных интегральных уравнений. ОИЯИ Р9-83-753, Дубна, 1983.

31. Ильин В.П. Численные методы решения задач электрооптики. Новосибирск: Наука, 1974, 202с.

32. Балбеков В.И., Ткаченко JI.M. Вычисление магнитного поля с помощью поверхностных интегралов. ИФВЭ 82-108, Серпухов, 1982.

33. Жидков Е.П., Федоров А.В., Юлдашев О.И. Исследование интегрального уравнения магнитостатики для векторного потенциала. ОИЯИ Р11-89-473, Дубна, 1989.

34. Теряев В.Е. Численный расчет стационарных полей с нелинейным ферромагнетиком. Препринт СО АН СССР 80-160, Новосибирск, 1980, 15с.

35. Тиунов М.А., Фомель Б.М. Расчет трехмерных магнитных систем с железом. Препринт ИЯФ СО АН СССР 83-150, Новосибирск, 1983, 26с.

36. Zhidkov Е.Р., Khoromsky B.N. Boundary integral equations on special surfaces and their applications. Sov. J. Numer. Anal. Math. Modeling, Vol.2, No.6, 1988, pp.463-488.

37. Акишин П.Г. Вычисление магнитного поля методом интегральных уравнений в случае постоянной магнитной проницаемости. ОИЯИ Р11-82-702, Дубна, 1984.

38. Акишин П.Г. Об одной программной реализации CFUN-метода. ОИЯИ Р11-85-522, Дубна,1986.

39. Акишин П.Г. Об использовании специальных областей для расчета трехмерных задач магнитостатики методом объемных интегральных уравнений. ОИЯИ Р11-90-588, Дубна, 1990.

40. Zienkievicz О.С., Kelly D.W., Bettess P. The Coupling of the Finite Element Method and Boundary Solution Procedures. Int. Journal for Num. Meth. In Engineering, Vol.11, 1977, pp.355-376.

41. Gregus M., Khoromsky B.N., Mazurkevich G.E., Zhidkov E.P. On approximation of nonlinear boundary integral equations for the combine method. Proc. XI Conf. Boundary Elements Methods, 1989.

42. Акишин П.Г. Об одной комбинированной постановке задачи магнитостатики. ОИЯИ Р11-91-577, Дубна, 1991.

43. Жидков Е.П., Федоров А.В., Юлдашев О.И. Об одном подходе к решению задач магнитостатики в комбинированной постановке. Матем. модел., т.2, №9, 1990, с. 10-20.

44. Дайковский А.Г., Ершов С.Ю., Португалов Ю.П., Рябов А.Д. Объединение методов потенциалов и конечных элементов для решения нелинейных задач магнитостатики. ИФВЭ 81-80,1981.

45. Дайковский А.Г. Математическое моделирование магнитных систем и ускоряющих структур ускорителей заряженных частиц. Дисс. . д. физ.-мат. наук, Протвино, 1985 г.

46. Simkin J. A Comparison of Integral and Differential Equation Solutions for Field Problems IEEE Trans. On Magnetics, Vol.18, No.2, 1982, pp.401-405.

47. Ильин В.П. Сравнительный модульный анализ алгоритмов решения краевых задач. В кн.: Пакеты прикладных программ. Вычисл.эксперимент (Алгоритмы и алгоритм, языки). М.: Наука, 1983, с.102-117.

48. Ильин В.П. Численные методы решения задач электрофизики. М.: Наука, 1985, 336с.

49. Trowbridge C.W. Electromagnetic Computing: The Way Ahead? IEEE Trans. On Magnetics, Vol.24, No.l, Jan. 1988, p.13.

50. Armstrong A.G., Collie C.J., Diserens N.J., Newman M.J., Simkin J., Trowbridge C.W. GFUN3D User Guide. Preprint RL, 76-029/A, Chilton, 1976, 1 Юр.

51. Armstrong A.G., Riley C.P., Simkin J. TOSCA User Guide. RAL report, RL-81-070, Chilton, 1982, 29p.

52. Turner L.R. 3D Field Computation: The Near-Triumph of Commercial Codes. IEEE Trans. On Magnetics, Vol.32, No.4, July 1996, pp.2945-2949.

53. Pissanetzky S. Solution of Three-Dimensional Anisotropic Non-Linear Problems of Magnetostatic Using Two Scalar Potentials and Finite and Infinite Multipolar Elements and Automatic Mesh Generation. IEEE Trans. On Magnetics, Vol. 18,1982, рр.346-350.

54. Алешаев А.А., Дзюба В.А., Карлинер М.И. и др. Регуляризация прямого метода вычисления стационарных магнитных полей в системах с железом. Препринт Изв. СО АН СССР 75-95, Новосибирск, 1975, 13с.

55. Абрамов А.Г., Дайковский А.Г., Ершов С.Ю. и др. Объединенный метод потенциалов и конечных элементов в задачах магнитостатики. В кн.: Труды VIII Всес.совещ.по ускор.заряж.частиц. (Протвино, 19-21 октября 1982г.) Дубна, ОИЯИ, т.2., 1983, с.155-159.

56. Грешняков В.М. Приведение вихревого магнитного поля к потенциальному полю источников. Электричество, №8, 1960, с.33-35.

57. Carpenter C.J. Theory and Application of Magnetic Shells. Proc. IEEE, Vol.114, No.7, 1967, pp.995-1000.

58. Дойников Н.И., Симаков A.C. Модифицированный скалярный потенциал в краевых задачах магнитостатики. ЖТФ, №41, 1971, с.835-838.

59. Дойников Н.И., Симаков А.С. Применение модифицированного скалярного потенциала к численному решению пространственных задач магнитостатики. МВМиМФ, т.13, №41, 1973, с.999-1009.

60. Демирчян К.С., Чечурин B.JI. Метод расчета вихревых магнитных полей с помощью скалярного магнитного потенциала. Изв. АН СССР "Энергетика и транспорт", №4, 1970, с. 106-116.

61. Demirchan K.S., Chechurin V.L., Sarma N.S. Scalar potential concept for calculating steady magnetic fields and eddy currents. IEEE Trans. On Magnetics, Vol.12, No.6, 1976, pp. 1045-1046.

62. Френкель Я.И. Собрание избранных трудов. M.-JL: Изд. АН СССР, т.1 (Электродинамика), 1956, 370с.

63. Самарский А.А. Теория разностных схем. М. Наука, 1977, 656с.

64. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1984, 831с.

65. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1983, 528с.

66. Ламзин Е.А., Середа О.П., Сычевский С.Е. Проблемно-ориентированный модуль для задания области определения источников поля для универсального программного комплекса КОМРОТ в случае тороидальных соленоидов. Препринт НИИЭФА П-Б-0806, 1989г.

67. Ламзин Е.А., Сычевский С.Е. Автоматизация задания источников магнитостатического поля дипольных магнитов в комплексе программ КОМРОТ. Препринт НИИЭФА П-Б-0806, 1989г.

68. Капчинский И.М., Лазарев Н.В. О возможности использования постоянных магнитов в жесткофокусирующих каналах ионных магнитных ускорителей. Препринт ИТЭФ №75, М., 1975, 17с.

69. Скачков B.C. Разработка и исследование магнитотвердых квадрупольных линз для фокусирующих каналов магнитных ускорителей. Диссертация . к. техн. наук, М., 1982.

70. Преображенский А.А., Бишард Е.Г. Магнитные материалы и элементы. М.: Высшая школа, 1986, 352с.

71. Дойников Н.И., Ламзин Е.А., Сычевский С.Е. Особенности применения программного комплекса КОМРОТ для численного моделирования пространственных полей электромагнитных систем с постоянными магнитами. Препринт ЦНИИатоминформ Б-0802, М., 1988, 7с.

72. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977.78.0ден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред.1. М.: Мир, 1976, 464с.

73. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981,416с.

74. Смирнов В.И. Курс высшей математики. М.-Л.: Гостехиздат, т.5, 1957, 812с.

75. Parzen G., Jellett K. Computation of high-field magnets. Part. Accel., Vol.2, 1971, pp. 169-179.

76. Бондарчук Э.Н., Дойников Н.И., Мингалев Б.С. Численное моделирование равновесия плазмы в токамаке с учетом эффектов насыщения ферромагнетика. ЖТФ, т.47, №3, 1977, с.521-526.

77. Иванов В.В. Методы вычислений на ЭВМ. Киев: Наукова думка, 1986, 583с.

78. Дойников Н.И, Ламзин Е.А., Симаков А.С., Сычевский С.Е. Программный комплекс КОМРОТ для расчета пространственных магнитостатических полей электромагнитных систем. Препринт ЦНИИатоминформ, М., 1986, 13с.

79. Иванов-Смоленский А.В. Электромагнитные силы и преобразование энергии в электрических машинах. М.: Высш. школа, 1989, 312с.

80. Хейгеман Л., Янг Д. Прикладные итерационные методы. М.: Мир, 1986, 448с.87.0ртега Дж., Рейнболт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир, 1975, 558с.

81. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978, 591с.

82. Джордж А., Лю Дж. Численное решение больших разреженных систем уравнений. М.: Мир, 1984, 333с.

83. Федоренко Р.П. Итерационные методы решения разностных эллиптических уравнений. Успехи математических наук, т.1, вып.2, 1973, с.121-182.

84. Параллельные вычисления. Под ред. Родрига Г. М.: Наука, 1985, 376с.

85. Ламзин Е.А. О сходимости двухслойных итерационных схем. Препринт ЦНИИатоминформ Б-0675, М., 1984, 11с.

86. Ламзин Е.А., Сычевский С.Е. Использование метода С.А.Люстерника при решении краевых задач магнитостатики. Препринт НИИЭФА Б-0592, Л.,1983, 8с.

87. Ламзин Е.А., Сычевский С.Е Об одной возможности ускорения сходимостиитерационных методов при решении сеточных краевых задач магнитостатики. Препринт ЦНИИатоминформ Б-0688, М., 1984, 8с.

88. Young D. On the accelerated SSOR method for solving large linear systems. Advan. in Math., Vol.23, 1977, pp.215-271.

89. Фаддеев Д.К., Фаддеева B.H. Вычислительные методы линейной алгебры. M.-JL: Физматгиз, 1963, 734с.

90. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука, 1977, 439с.

91. Meijerink J.A., Vander Vorst Н.А. An Iterative Solution Method for Linear Systems of Which The Coefficient Matrix is a Symmetric M-Matrix. Math, of Comput., Vol.31, No.37, 1977, pp. 148-162.

92. Кучеров А.Б., Макаров M.M. Метод приближенной факторизации для решения разностных смешанных эллиптических краевых задач. В кн.: Разностные методы матем. физики. М.: Изд-во МГУ, 1984, с.54-65.

93. Богданова М.С., Кучеров А.Б., Николаев Е.С. и др. Некоторые неявные итерационные методы. Анализ и сравнение. Препринт ИМП АН СССР №115, М., 1978,35с.

94. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами (под ред. М. Абрамовича, И. Стигана). М.: Наука, 1979, 832с.

95. Introduction to ANSYS User's Guide for Revision 5.0. Swanson Analysis Systems, Inc., 1993.

96. Пановский В., Филипс M. Классическая электродинамика. М.: Физматгиз, 1963, 482с.

97. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М: Гостехиздат, 1957, 532с.

98. Пакеты прикладных программ. Вычислительный эксперимент. М.: Наука, (Алгоритмы и алгоритмические языки), 1983, 148с.

99. Коновалов А.Н., Яненко Н.Н. Модульный принцип построения программ как основа создания пакета прикладных программ решения задач механики сплошной среды. В кн.: Комплексы программ математической физики. Новосибирск, 1972.

100. Белякова Т.Ф., Григорьева С.Ю., Кибардин А.С., Кучинский В.Г., Кухтин В.П., Ламзин Е.А., Филатов О.Г., Шмалько Г.И. Расчет основных характеристик вентильного электродвигателя ВЭД-5. Препринт НИИЭФА П-0982,2003.

101. Пиотровский Л.М. Электрические машины. Л.: Энергия, 1975, 504с.

102. Никифоров К.В. Применение систем электродвижения на подводных лодках. Электричество, №8, 2001, с. 19-22.

103. Булгаков С.А., Кибардин А.С., Кучинский В.Г., Сойкин В.Ф. Мощные вентильные двигатели с возбуждением от постоянных магнитов. Новые промышленные технологии, №1 (312), 2003г, с.66-67.

104. Кучинский В.Г., Прасолин А.П., Шишкин Д.Ю. Системаэлектродвижения на основе вентильных двигателей. В сб.: Вопросы проектирования подводных лодок. С.-Петербург, ЦКП МТ «Рубин», 2002г, с.44-53.

105. Кибардин А.С., Кучинский В.Г., Булгаков С.А., Адалев А.С. Системы электродвижения для транспортных средств. Тезисы докладов научно-практической конференции «Транспортный электропривод- 2001», С.-Петербург, 26-28 сентября 2001 г, с.37.

106. Толмачев С.Т. Численное моделирование гистерезиса ферромагнетиков. Изд. АН СССР, Энергетика и Транспорт, №2, 1984, с. 128-138.

107. Белов А.В. и др. Библиотека программных модулей для расчета магнитного поля элементов кольцевых катушек. Препринт НИИЭФА П 0930, С.-Петербург, 1994.

108. Kukhtin V.P., Lamzin Е.А., Severgin Yu.P., Sytchevsky S.E. Choice of Hexapole Parameters for ECR Ion Source. In Proc. of the 1993 Particle Accelerator Conference (Washington D.C. USA, May 17-20, 1993), Vol.4, pp.3205-3206.

109. Ananiev A., Kashikhin V., Kukhtin V., Lamzin E., Severgin Yu., Tsvetkov V., Vasiliev A., Dougar-Jabon V. Design of Magnet System for ECR Ion Source. Proc. of 4th European Particle Accelerator Conference (EPAC 94, London), Vol.2, 1994, pp.1430-1431.

110. ArianerJ., GellerR., Ann. Rev. Nucl. Part. Sci.,No.31, 1981, p.19.

111. Belov A.V., Doinikov N.I., Duke A.E., Kokotkov V.V., Korolkov M.D., Kotov V.L., Kukhtin V.P., Lamzin E.A., Sytchevcky S.E. Transient electromagnetic analysis in tokamaks using TYPHOON code. Fusion Engineering and Design, Vol.31, 1996, pp.167-180.

112. Днестровский Ю.Н., Костомаров Д.П. Математическое моделирование плазмы. М.: Наука, 1982, с.320.

113. Salpietro Е. Transient Electromagnetic in Fusion Reactors. In: Proc. Electromagnetic Workshop and Meeting on the Industrial Applications of Eddy Currents Codes. (Capri, 5-10 Oct, 1988) FUR 12 1211 EN, 1989,pp.l05-106.

114. Шнеерсон Г.А. Поля и переходные процессы в аппаратуре сверхсильных токов. М.: Энергоатомиздат, 1992, 416с.

115. Кнопфель Г. Сверхсильные импульсные магнитные поля. М.: Мир, 1972, 392с.

116. Trowbridge C.W. Introduction to 3D Eddy Current Formulations In Proc. Electromagnetic Workshop and Meeting on the Industrial Applications of Eddy Currents Codes. (Capri, 5-10 Oct, 1988) FUR 12 1211EN, 1989,p.8-19.

117. Morisque T. Magnetic Vector Potential and Electric Scalar Potential in Three-Dimensional Eddy Current Problem. IEEE Trans. On Magnetics Vol.18, N.2,1. March 1982, p.492.

118. Biro 0., Preis K., Renhart W., Rucker W., Vrisk G. Coulomb Ganged Vector Potential Formulation. In: Proc. Electromagnetic Workshop and Meeting on the Industrial Applications of Eddy Currents Codes. (Capri, 5-10 Oct, 1988) FUR 12 1211EN, 1989,p.57-68.

119. Jeske U. Eddy Current Calculations in 3D using the Finite Element Method. IEEE Trans. On Magnetics, Vol. 18, No.2, 1982, p.426.

120. Rodger D., Eastnam J.F. A Formulation for Low Frequency Eddy Current Solutions. IEEE Trans. On Magnetics, Vol. 19, No.6, Nov. 1983, p.2443.

121. Polak S.J., Wachers A.H.J., van Welij J.S. A New 3D Eddy Current Model. IEEE Trans. On Magnetics, Vol. 19, No.6, Nov. 1983, p.2447.

122. Emson C.R.I., Simkin J. An Optimal Method for 3D Eddy Currents. IEEE Trans. On Magnetics, Vol. 19, No.6, Nov. 1983, p.2450.

123. Carpenter C.J. Comparison of alternative formulations of 3D magnetic field and eddy current problems at power frequencies. Proc. IEEE, 1977, 124(11), p. 1026.

124. Preston T.W., Reece A.B.J. Solution of 3D Eddy Current Problems: Т-П Method. IEEE Trans. On Magnetics, Vol. 18, No.2, March 1982, p.486.

125. Albanese R., Martone R., Miano G., Rubinacci G. A T Formulation for 3D Finite Element Eddy Current Computation. IEEE Trans. On Magnetics, Vol. 21, No.6, Nov. 1985, p.2299.

126. Makata Т., Takahashi N., Fujiwara K., Okada Y. Improvement of the Т-П Method for 3D Eddy Current Analysis. IEEE Trans. On Magnetics, Vol. 24, No.l, Jan. 1988, p.94.

127. Jabing Wang, Baogian Tong. Calculation of 3D Eddy Current Problem Using a Modified T-Q. Method. IEEE Trans. On Magnetics, Vol. 24, No.l, Jan. 1988, p.l 14.

128. Albanese R., Rubinacci G. Integral formulation for 3D eddy current computation using edge elements. IEEE Proc., Vol.135, No.7, Sept. 1988, p.457.

129. Davidson J.A.M., Balchin M.J. 3D Field Computations by Network Methods. IEEE Trans. On Magnetics, Vol.19, No.6, Nov. 1983.

130. Weissenburger D.W., Christenson V.R. A network Mesh Method to Calculate Eddy Currents on Conductivity Surfaces. IEEE Trans. On Magnetics, Vol.18, March 1982, p.22.

131. Turner L.R., Lari R.J. Applications and Further Development of the Eddy Current Program EDDYNET. IEEE Trans. On Magnetics, Vol.18, March 1982, p.416.

132. Ламзин E.A. Численное моделирование продольного поля токамака с учётом вихревых токов. ВАНТ, сер. "Термоядерный синтез", 1988, вып.2, с.21-24.

133. Дойников Н.И., Кашихин B.C. Численное моделирование поля импульсного магнита с насыщающимся железом. ЖТФ. 1980, т.50, вып. 11, с.2277-2282.

134. Астапкович A.M., Рогов С.Е., Садаков С.Н., Филатов В.В. Модельные расчёты для анализа переходных электромагнитных процессов в конструкциях установок типа токамак. ВАНТ, сер. "Термоядерный синтез", 1987, вып.2, с.49-52.

135. Садаков С.Н. Переходные электромагнитные процессы в реакторе токамака: численное моделирование и выбор технических решений. Дисс. . к. техн.наук, СПб, НИИЭФА, 1992.

136. А.Н.Тихонов, А.А.Самарский. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966, 724с.

137. Price А.Т. Quart. J. Mech. Appl. Math., 1949, Vol.2, pp.283-310.

138. Цейтлин Л.А. Электричество 1969, №.3, c.73-74.

139. Цейтлин Л.А. Вихревые токи в тонких пластинках и оболочках. ЖТФ, 1969, T.XXXIX, вып. 10, с.1733-1741.

140. Астахов В.И. Известия Вузов. Электромеханика, 1985, №5, с.5-17.

141. Астахов В.И. Известия Вузов. Электромеханика, 1985, №5, с. 18-30.

142. Kameari A, Suzuki Y. Eddy Current Analysis by the Finite Element Curcuit Method. Proc.7th Symp. on Engineer. Probl. of Fusion Research (Knoxville, 1977), pp. 1386-1392.

143. Kameari A. Transient Eddy Current Analysis on Thin Conductors with Arbitrary Connection and Shapes. J. of Computational Physics, 1981, Vol.42, No.l, pp. 124-140.

144. Kameari A, Suzuki Y. EDDYTRAN Program System for Eddy Current, Electromagnetic Force and Structural Analysis. Proc.lOth Symp. on Fusion Engineer. (Philadelphia, 1983), pp.46-50.

145. Сегерлинд JI. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979, 392с.

146. Eisenberg М.А., Malvern L.E. On Finite Element Integration in Natural Coordinates. Intern. J. For Numerical Methods in Engineering, No.7, 1973, pp.574-575.

147. Акишин П.Г., Жидков Е.П. Об одном методе интегрирования однородных функций нескольких переменных. Препринт ОИЯИ, 11-81-314, 1981, 8с.

148. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, 1969, т.З, 656 с.

149. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Лаб. Базовых Знаний, 2002, 632с.

150. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. Т.2. М.: Наука, 1977.

151. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Под ред. Дж. Холла, Дж. Уатта. М.: Мир, 1979.

152. Хайрер Э., НерсеттС., ВаннерГ. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежёсткие задачи. М.: Мир, 1990.

153. Ракитский Ю.В., Устинов С.М., Черноруцкий И.Г. Численные методы решения жёстких систем. М.: Наука, 1979, 208с.

154. Федоренко Р.П. Жёсткие системы обыкновенных дифференциальных уравнений и их численное интегрирование. В кн. Вычислительные процессы и системы. Вып.8. М.: Наука, 1991, с.328-380.

155. Лебедев В.И. Как решать явными методами жёсткие системы дифференциальных уравнений. В кн.: Вычислительные процессы и системы. Вып.8. М.: Наука, 1991, с.237 291.

156. Гир С.В. Современные численные методы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1979.

157. Gear C.W. The Automatic Integration of Ordinary Differential Equations. Comm. of the ACM, Vol.14, No.3, 1971, pp. 176-179.

158. Gear C.W. Algorithm 407, DIFSUB for Solution of Ordinary Differential Equations D2. Comm. of the ACM, Vol.14, No3, 1971, pp. 185-190.

159. Hindmarsh A.C. LSODE and LSODI, two new initial value ordinary differential equation solvers. ACM-signum Newsletter, Vol.15, No.4, 1980, pp.10-11.

160. Деккер К., Вервер Я. Устойчивость методов Рунге-Кутта для жёстких нелинейных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1988, 332с.

161. ITER Technical Basis, ITER EDA Documentation series #24, IAEA, Vienna, 2002.

162. Кумсков А.И., Мажорова O.C., Попов Ю.П. Об устойчивости разностных схем для уравнения теплопроводности. Препринт ИПМ № 131, 1983, 27с.

163. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966, 576с.

164. Кокотков В.В. Моделирование переходных электромагнитных процессов в токамаках. Дисс.к. физ.-мат. наук, СПб, 1996.

165. Смайт В. Электростатика и электродинамика. М.: Изд-во иност. лит., 1964.

166. Том Р., Тарр Дж. Магнитные системы МГД-генераторов и термоядерных установок. Основы расчёта полей и сил. М.: Энергоатомиздат, 1985, 272с.

167. Гусев В.К., Голант В.Е., Гусаков Е.З. и др. Сферический токамак Глобус-М. ЖТФ, т.69, вып.9, 1999, стр.58-62.

168. Gusev V.K. Spherical tokamaks today. Plasma Devices and Operations, Vol.9, 2001, pp. 1-24.

169. Sakharov N.V. Spherical tokamak Globus-M construction and operation. Plasma Devices and Operations, Vol.9, 2001, pp.25-37.

170. Сайке А. Физика сферических токамаков. ЖТФ, т.69, вып.9, 1999, стр.50-57.

171. Verrecchia М. FEAT type I and type II plasma disruption simulation. ITER Memo No.G 73 MD 27 00-03-06 W 0.1, March 6, 2000.

172. Verrecchia M. FEAT category III fast/slow downward/upward VDEsimulation. ITER Memo No.G 73 MD 34 00-04-19 W 0.1, April 19, 2000.

173. Amoskov V., Belov A., Filatov O., Garkusha D., Gribov Yu., Kukhtin V., Lamzin E., Maksimenkova N., Mingalev В., Sadakov S., Sytchevsky S.

174. Penetration of oscillating magnetic field through ITER double walled vacuum vessel. V International congress on mathematical modelling, Dubna, Russia, 30 September-6 October 2002, Book of abstracts, Vol.1, p. 133.

175. Amoskov V., Belov A., Belyakova Т., Gapionok E., Garkusha D., Kukhtin V., LamzinE., Sytchevsky S. Transient heat loads calculation of the KSTAR magnet system. 3D eddy current loss analysis. Final Report FR-29, December 27, 2002.

176. Технический проект 1А.224-576-ТП. Токамак KTM, 2002.

177. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986.

178. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. Г. Теория линейных некорректных задач и её приложения. М.: Наука, 1978.

179. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980.

180. Воеводин В. В., Кузнецов Ю. А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984.

181. Воскобойников Ю. Е., Преображенский Н. Г., Седельников А. И. Математическая обработка эксперимента в молекулярной газодинамике. М.: Наука, 1984.

182. Гончарский А. В., Черепащук А. М., Ягола А. Г. Некорректные задачи астрофизики. М.: Наука, 1985.

183. Тихонов А. Н., Гласко В. Б., Дмитриев В. И. Математические методы в разведке полезных ископаемых. М.: Знание, 1983.

184. Преображенский Н. Г., Пикалов В. В. Неустойчивые задачи диагностики плазмы. М.: Наука, 1982.

185. Годунов С. К. Решение систем линейных уравнений. Новосибирск: Наука, 1980.

186. Тихонов А. Н. Об устойчивости обратных задач. Докл. АН СССР, 1943, т. 39, вып. 5, с. 195-198.

187. Тихонов А. Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации. Докл. АН СССР, 1963, т. 151, вып. 3, с. 501-504.

188. Тихонов А. Н. О регуляризации некорректно поставленных задач. Докл. АН СССР, 1963, т. 153, вып. 1, с. 49-52.

189. Тихонов А. Н. О некорректных задачах линейной алгебры и устойчивом методе их решения. Докл. АН СССР, 1965, т. 163, вып. 3, с. 591-594.

190. Тихонов А. Н. О методах регуляризации задач оптимального управления. Докл. АН СССР, 1965, т. 164, вып. 3, с. 507-510.

191. Тихонов А. Н., Иванов В. К., Лаврентьев М. М. Некорректно поставленные задачи. В кн.: Дифференциальные уравнения с частными производными. М.: Наука, 1970, с. 224-238.

192. Морозов В. А. Методы регуляризации неустойчивых задач. М.: Изд-во МГУ, 1987.

193. Алифанов О. М., Артюхин Е. А., Румянцев С. В. Экстремальные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1988.

194. Арсенин В. Я. О методах решения некорректно поставленных задач. М.: Изд. МИФИ, 1973.

195. Тихонов А. Н., Гончарский А. В., Степанов В. В., Ягола А. Г. Регуляризирующие алгоритмы и априорная информация. М.: Наука, 1983.

196. Латтес Р., Лионе Ж. Л. Метод квазиобращения и его приложения. М.: Мир, 1970.

197. Романов В. Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984.

198. Иванов В. К. О линейных некорректных задачах. Докл. АН СССР, 1962, т. 145, вып. 2, с. 270-272.

199. Бакушинский А. Б. Один общий приём построения регуляризирующих алгоритмов для линейного некорректного уравнения в гильбертовом пространстве. ЖВМ и МФ, 1967, вып. 7, №3, стр. 672-676.

200. Воеводин В. В. О методе регуляризации. ЖВМ и МФ, 1969, вып. 9, №3, стр. 673-675.

201. Гончарский А. В., Черепащук А. М., Ягола А. Г. Численные методы решения обратных задач астрофизики. М.: Наука, 1978.

202. Самарский А. А., Вабищевич Г. Н. Разностные методы решения обратных задач математической физики. В кн.: Фундаментальные основы математического моделирования. М.: Наука, 1997.

203. Самарский А. А. О регуляризации разностных схем. ЖВМ и МФ, 1967, т. 7, №1, с. 62-93.

204. Морозов В. А. О регуляризации некорректно поставленных задач и выборе параметра регуляризации. ЖВМ и МФ, 1966, т. 6, №1, с. 170-175.

205. Бакушинский А. Б., Гончарский А. В. Некорректные задачи. М.: Изд. МГУ, 1989.

206. Алифанов О. М. Обратные задачи теплообмена. М.: Машиностроение, 1988.

207. Дмитриев В. И., Березина Н. И. Численные методы решения задач синтеза излучающих систем. М.: Изд. МГУ, 1987.

208. Дмитриев В. И., Ильинский А. С., Свешников А. Г. Развитие математических методов исследования прямых и обратных задач электродинамики. УФМ, т. XXII, вып. 6, 1976.

209. Численные методы решения обратных задач математической физики. Под ред. А. Н. Тихонова и А. Н. Самарского. М.: Изд. МГУ, 1988.

210. Филатов О. Г. Синтез системы полоидального поля реактора-токамака. Дисс. .к. физ. мат. наук, JL, 1983.

211. Филатов О. Г. Расчёт индуктора термоядерных установок типа токамак методом регуляризации. ЖВМ и МФ, т.24, №2, 1984, с. 317-319.

212. Бакушинский А. Б., Гончарский А. В. Итерационные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1988.

213. Вайникко Г. М., Веретенников А. Ю. Итерационные процедуры в некорректных задачах. М.: Наука, 1986.

214. Страхов В. Н. К теории интерпретации магнитных и гравитационных аномалий на основе аналитического продолжения. Докл. АН СССР, 1967, т. 176, вып. 5, стр. 1059-1062.

215. Ланеев Е. Б. Устойчивое решение одной некорректно поставленной краевой задачи для потенциального поля. Вестник РУДН, серия "Прикладная математика и информатика", №1, 2000, с. 105-112.

216. Лаврентьев М. М. Об интегральных уравнениях первого рода. Докл. АН СССР, т. 127, вып. 1, 1959, с. 31-33.

217. Фаддеева В. Н. Сдвиг для систем с плохо обусловленными матрицами. ЖВМ и МФ, т. 5, вып. 5, 1965, с. 907-911.

218. Фаддеев Д. Н., Фаддеева В. Н. К вопросу о решении линейных алгебраических систем. ЖВМ и МФ, т. 14, вып. 3, 1974, с. 539-559.

219. Карманов В. Г. Математическое программирование. М.: Физматлит., 2001.

220. Леонов А.С. К обоснованию выбора параметра регуляризации по критериям квазиоптимальности и отношений. ЖВМ и МФ, т. 18, №6, 1978.

221. Смирнов В. И. Курс высшей математики. М.: Наука, 1967, т.1.

222. Тихонравов А. В. О принципиально достижимой точности решения задач синтеза. ЖВМ и МФ, №6, 1982.

223. Свешников А. Г., Тихонравов А. В., Яншин С. А. Синтез оптических покрытий. ЖВМ и МФ, №4, 1983.

224. Смирнов В. И. Курс высшей математики. М.: Изд-во Технико-теоретической литературы, т. IV, 1957.

225. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. М.-СПб: Физматлит., 2002.

226. Кунцевич В. М., Лычак М. М. Синтез систем автоматического управления с помощью функций Ляпунова. М.: Наука, 1977.

227. ITER Technical Basis, ITER EDA Documentation Series No 24. International Atomic Energy Agency, Vienna, 2002.

228. Konovalov S., Lamzin E., Tobita K., Gribov Yu. Energetic Particle Ripple Loss in ITER. Proc. of 28-th EPS Conference on Contr. Fusion and Plasma Physics, Funchai, 18-22 June 2001, ECA Vol.25 A (2001), pp.613-616.

229. Ioki K., Barabash V., Cardella A., et.al. Design and material selection for ITER first wall/blanket, divertor and vacuum vessel. J.Nucl.Matter., 74 (1998), pp. 258-263

230. M.Onozuka Study of Ferromagnetic Inserts in the Vacuum Vessel (No.2) (Material Exsamination and Selection). No. G 15 MD 97 97-10-31, Oct. 31 1997.

231. M.Onozuka Memo Study of Ferromagnetic Inserts for the FEAT Vacuum

232. Vessel (Updated Structure of the Ferromagnetic Inserts). G 15 MD 208 01-02-12 W0.1, 12 February 2001.

233. Amoskov V., Belov A., Belyakov V., Lamzin Е, Maksimenkova N., Mingalev В., Sytchevsky S. Capability of Correction Coils to Stabilize Resistive Wall Mode. ITER, Final Report EDO, PR 240, July, 2001.

234. Amoskov V., Belov A., Belyakova Т., Garkusha D., Kukhtin V., Lamzin E., Sytchevsky S. Calculation of the Stray Magnetic Field from the Toroidal Field Coils and the Ferromagnetic Inserts in the Area of Human Access. Final Report NIIEFA, Apr. 04, 2002.

235. Amoskov V., Belov A., Belyakova Т., Garkusha D., Kukhtin V., Lamzin E., Sytchevsky S. Stray field analysis for analyzers of the neutral diagnostic system. Final Report NIIEFA, Apr. 04. 2002.

236. Task on optimization of ferromagnetic inserts filling factor. ITER Naka JWS, Issue 1,05.03.2001.

237. Amoskov V., Belov A., Kukhtin V., Lamzin E., Maksimenkova N., Mingalev В., Sytchevsky S. Benchmark Analysis of TF ripple for FDR ITER, 1999.

238. Goloborodko V., Kolesnichenko Ya., Yavorskiy V. Alpha particle transport processes in tokamaks, Physica Scripta T16, 46, 1987.

239. Sato M., Miura Y., Kimura H. et al. Advanced Material Tokamak Experiment (AMTEX) Program with Ferritic Steel for JFT-2M, J. Plasma Fusion Res., Vol.75, No.6, 1999, pp.741-749.

240. Sato M., Miura Y., Takeji S. et al. Analysis of Error Field due to Ferritic Steel in the Advanced Material Testing Program of JFT-2M. Journal of Nuclear Materials 258-263, 1998, pp.1253-1258.

241. Штеффен К. Оптика пучков высокой энергии. М.: Мир, 1969, 223с.

242. Дойников Н.И., Ламзин Е.А., Малицкий Н.Д., Рождественский Б.В., Севергин Ю.П., Сухачев В.Я., Сычевский С.Е., Титов В.А. Магниты для ахроматичного поворота пучка заряженных частиц. Журнал технической физики, т.59, № 5,1989, с.69-75.

243. Грызлов A.B., Захаров M.A., Лысов Г.В. Линейный ускоритель «Электроника» и области его применения. В кн.: Доклады III Всес. совещ. по применению ускорит, заряж. частиц в нар. хозяйстве. (Ленинград, 26-28 июня, 1979). Л., т. I, с. 196-198.

244. Artukh A.G., Nagaenko M.G., Severgin Yu.P., Titov V.A. Beam Optics of Large Acceptance Magnetic Channel for Separation of Radioactive Nuclei. In.: Proc. of the 2nd European Particle Acceleration Conf., 1990, Vol.2, pp.1312-1314.

245. A.G. Artukh, G.F. Gridnev, .Е.А. Lamzin et al. The COMBAS Projectile Fragment-Separator. Heavy Physics (Joint Institute for Nuclear Research. Flerov Laboratory of Nuclear Reactions. Scientific Report 1991-1992). Dubna:

246. JINR E7-93-57, 1993, pp. 260-261.

247. Artukh A.G., Gridnev G.F.,., Lamzin E.A. et al. Wide Aperture Multipole Magnets of Separator COMBAS. Intern. Symp. on Exotic Nuclei, Lake Baikal, Russia, July 24-28, 2001.

248. Artukh A.G., Gridnev G.F., Teterev Yu.G., Semchenkov A.G., Semchenkova

249. Лобашев B.M. Фундаментальные исследование на мезонной фабрике. Труды II Всес. семинара «Программа эксперим. исслед. на мезонной фабрике ИЯИ АН СССР» (16-18 марта 1981г., Звенигород), М., 1982, с.5-12.

250. Грачёв М.М. Экспериментальный комплекс мезонной фабрики. Труды II Всес. семинара «Программа эксперим. исслед. на мезонной фабрике ИЯИ

251. АН СССР» (16-18 марта 1981г., Звенигород), М., 1982, с. 19-29.

252. Reeve Р.А. Comparison of various beam splitter magnet geometries. TRI DN-90-K127, April 1990, 17p.

253. Juhala R., Krause D. Field measurements on Lambertson Septum Magnets. FN-TM-0435, Sept.20, 1973.

254. Evans L., Lispeert A. de Raad B. et al. The steel septum magnets for beam splitting of the CERN SPS. CERN, SPS/ABT/77-13, 1977, 5p.

255. Harrison M., Rad F.N. Symmetric and non-symmetic Lambertson magnets. FN-FN-389, Febr., 1984, 9p.

256. Кашихин B.C. Алгоритм расчёта и формирования двумерных магнитных полей для автоматизированного проектирования электрофизических установок. Дисс.к. техн. наук, Д., 1986.

257. Ламзин Е.А., Сычевский С.Е., Титов В.А. Двухканальный септум-магнит. Авторское свидетельство 1567103SU А1.

258. Borisov V., Kashihin V., Lamzin E., Potekhin S., Severgin Yu., Sytchevsky S. Formation of homogeneous magnetic field in spectrometer dipole magnet using permanent magnet. IEEE Trans.On Magnetics, Vol.28, No.l, January 1992, pp. 568-570.

259. La Haye R.J., Fitzpatrick R., Hender T.C., Morris A.W., Scoville J.T., and Todd T.N. Critical error fields for locked mode instability in tokamaks. Phys. Fluids, 1992, B.4, p.2098.

260. Scoville J.T., La Haye R.J., Kellman A.G., Osborne Т.Н., Stambaugh R.D., Strait E.J., Taylor T.S., Nucl. Fusion 31, 875 (1991).

261. Morris J.T., Carolan P.G., Hender T.C. and Todd T.N. Phys. Fluids, 1992, B.4, p. 413.

262. Fishpool G.M., Campbell D.J., Fitzpatrick R., Haynes P.S. A locked mode associated with low density in JET. Proc. of IAEA Meeting on Avoidance and Control of Tokamak Disruption, Sept. 10-12, 1991, p.84.

263. Fitzpatrick R. and Hender T.C. The interactions of resonant magnetic perturbations with rotating plasmas. Phys. Fluids, В 3, 1991, p.644.

264. La Haye R.J. Physics of locked mode in ITER: error field limits, rotation for obviation, and measurement of error fields. US Home Team Physics Contribution: General Atomics Report: GA-A22468, Feb., 1997.

265. Leuer J.A., Luxon J.L., Xu M.F., Antaya T.A. Impact of PF and TF coil misalignment on toroidally asymmetrical plasma error fields in TPX. 16th IEEE/NPSS Symposium on Fusion Engineering, Sept.30-0ct.5, 1995.

266. Buttery R.J.et.al. Error field mode thresholds, harmonics and scaling studies on JET and COMPASS-D, and implications for ITER. Proc. of 24th EPS Conference on Controlled Fusion and Plasma Physics, Berchtesgaden, Germany, June 9-13,1997.

267. Leuer J.A.,La Haye R.J., Kellman A.G., Hamphreys D.A., Scoville J.T., Gribov Yu., Wesley J.C.,Buttery R., Hender T.C., Doinikov N.I. A systematic approach to error field analysis in ITER. General Atomic Report: GA-A22920, July, 1998.

268. La Haye R.J. Limits on m-2, n=l error field induced locked mode instability in TPX with typical sources of poloidal field coil error fields and a prototype correction coils, C-Coil. General Atomic Report: GA-A21167, 1992.

269. Jardin S.C. Updated TPX field error criterion. TPX Memo 93-950405-PPPL-SJardin-01, April 5, 1995.

270. Шафранов В.Д. ЖЭТФ, т.ЗЗ, 1957, с.710.

271. Grad Н., Rubin Н. Hydromagnetic Equilibria and Force-Free Fields. In Proc. of the Second United Nations International Conference on the Peaceful Uses of Atomic Energy, Geneva, 1958.

272. Шафранов В.Д. Атомная энергия, т.13, 1962, с.521.

273. Морозов А.И., Соловьёв JI.C. Геометрия магнитного поля. В кн.: Вопросы теории плазмы (под ред. М.А. Леонтовича). М.: Госатомиздат, Вып.2, 1963, с.3-91.

274. Максименкова Н.А, Мингалев Б.С. Гармонический анализ трехмерных магнитостатических полей ошибок магнитных систем токамака. Алгоритм прграммы "HARMAN". Препринт НИИЭФА П-0970. М.: ЦНИИАТОМИНФОРМ, 2002.

275. Sborchia С., Alekseev A., Gribov Yu., Doinikov N., Krasnov S., Mingalev B. et al. Analysis of Tolerances & Error Fields for the ITER Magnet System. Proc. of 20th SOFT, Marseilles, (1998), General Atomics Report: GA-A22920, 1998.

276. ХальдА. Математическая статистика с техническими приложениями. М.: ИЛ, 1956.

277. Хан Г., Шапиро С. Статистические модели в инженерных задачах. М.: Мир, 1969.

278. Amoskov V., Belov A., Belyakov V., Lamzin Е, Maksimenkova N., Mingalev В., Sytchevsky S. Analysis of ITER error field and correction coils. ITER, Final Report EDO, 2001-2, PR 254, Dec.30, 2001.

279. Amoskov V., Belov A., Belyakov V., Filatov О., Gribov Yu., Lamzin E., Maximenkova N., Mingalev В., Sytchevsky S. Fourier analysis of 3D error fields in tokamaks. Plasma Devices & Operations, Vol.12, No.4, 2004, pp.285-298.

280. Gribov Y., Bonderson A., Lui Y., Kavin A., Lamzin E. Perfomance of ITER correction coils. IPTA Meeting of Disruption, MHD and Control, St.Petersburg, 15-17 July, 2003.

281. Амосков B.M., Белов A.B., Беляков B.A., Грибов Ю.В., Ламзин Е.А.,

282. Максименкова Н.А, Мингалев Б.С., Сычевский С.Е. ,Филатов О.Г. Анализ систематических ошибок поля и система корректирующих катушек установки ITER. Препринт НИИЭФА П-0979. М.:ЦНИИАТОМИНФОРМ, 2003.

283. Барнет К., Харрисон M. Прикладная физика атомных столкновений. Плазма. М.: Энергоатомиздат, 1987,431с.

284. Kulygin V.M. Neutral Beams for Tokamaks. Plasma Devices and Operations, Vol.3, No.3, 1994,pp.l81-186.

285. Grisham L.R. TFTR Neutral Beam Operations and Results. Plasma Devices and Operations, Vol.3, No.3, 1994, pp. 187-197.

286. Mizuno M., Akiba M., Akino N. et al. Design of a 500 KeV Negative-Ion-Based NBI System for JT-60U. Plasma Devices and Operations, Vol.3, No.3, 1994, pp. 199-210.

287. Belov A., Lamzin E., Maximenkova N., Mingalev В., Sytchevsky S. 3D Magnetic Analysis for NB Systems. ITER, Final Report EDO, July 2001.

288. JA Home Team JAERI Report, JAERI-M 94-072.

289. Belov A., Lamzin E., Maksimenkova N., Mingalev В., Sytchevsky S. Verification of Calculation Model for 3D Optimization of MFRS NBI. ITER, Final Report EDO, Jan. 19, 2001.

290. Iselin F.C. T-604. CERN Computer Center Program Library, 1984.

291. Belov A., Lamzin E., Maksimenkova N., Mingalev В., Sytchevsky S. 3D Magnetic Analysis for Neutral Beam Magnetic Field Reduction System of ITER-FEAT. ITER, Phase 1, Final Report EDO, March 2001.

292. Amoskov V., Belov A., Lamzin E., Maksimenkova N., Mingalev В., Sytchevsky S. 3D Magnetic Analysis of Error Fields due to H&CD NBI and

293. DNBI Magnetic Field Reduction System. ITER, Design Task D424 Report, May 2001.

294. Ускорители (под ред. Б.Н. Яблокова). М.: Госатомиздат, 1962, 559с.

295. Ливингуд Дж. Принципы работы циклических ускорителей. М.: Изд. ин.лит., 1963, 493с.

296. Ворогушин М.Ф., Будтов А.А., Гавриш Ю.Н., Гальчук А.В. Циклотроны для наработки радионуклидов медицинского назначения. ВАНТ, сер. «Электрофизическая аппаратура», вып. 1(27), 2002, с. 17-19.

297. Ворогушин М.Ф., Гавриш Ю.Н., Степанов А.В., Строкач А.П. Состояние работ по созданию циклотронов для прикладных целей. Атомная энергия, т.95, вып. 1, 2003, с.50-55.

298. Мещеров Р.А. и др. Атомная энергия, №8, 1960, с.201.

299. Gulbekian G.G., Ivanenko I.A., Filatov O.G., Franko J., Kukhtin V.P., Lamzin E.A., Samsonov E.V., Semchenkov A.G., Semchenkova O.V., Sytchevsky S.E. A method of the magnetic field formation in cyclotron DC-72. Nukleonika 48(4), 2003, pp.207-210.

300. Гульбекян Г.Г. и Франко Й. Алгоритм синтеза и анализа характеристик магнитных структур изохронных циклотронов с цилиндрическими полюсами. Препринт ОИЯИ, Р9-92-129, Дубна, 1992, 16с.

301. Gordon M.M. Calculation of isochronous fields for sector-focused cyclotrons. Particle Accelerators, Vol.13, 1983, pp.67-84.

302. Басаргин Ю.Г., Белов В.П. Некоторые вопросы динамики движения частиц в циклотроне с пространственной вариацией магнитного поля. В сб. «Электрофизическая аппаратура». М.: Атомиздат, вып.З, 1965, с.3-24.

303. Степанов А.В. К расчёту фазового движения в циклотроне. В сб. «Электрофизическая аппаратура». М.: Атомиздат, вып.8, 1969, с.29-32.

304. Илясов О.В., Кухтин В.П., Ламзин Е.А., Ларионов М.С., Максимов Б.П., Фирсов А.А. Измерения магнитных свойств (зависимости В-Н) образцов сталей циклотрона DC-72. Техн. отчёт, С.-Петербург, 2002.

305. Amoskov V., Belov A., Belyakova Т. et al. ITER Final Report "Additional electromagnetic analyses of the VV and blanket". Id. No: Ref. 16-01, Subtask 1,1. St.-Petersburg, 2002.

306. Верхов Н.Ф., Комаров B.M., Лабусов А.Н., Лабусов И.Н., Малков А.А. Динамический расчёт вакуумной камеры и кассеты дивертора термоядерного реактора-токамака ИТЭР. Сборник ВАНТ, сер.«Электрофизическая аппаратура», вып. 2(28), 2004, стр.59-64.

307. Методы анализа данных в физическом эксперименте. Пер. с англ./под ред. М.Реглера. М.: Мир, 1993, 478с.

308. Yamamoto R., Bovers J., Harvey A. et al. The PHENIX Detector Magnet Subsystem. IEEE Trans, on Magnetics, Vol.32, No. 4, July 1996, pp.2140-2143.

309. Wanderer P. Status of RHIC Construction. Proc. MT-15, Beijing, China, 1997, pp.36-42.

310. METROLAB's Products List, 110 Ch. Du Pont-du-Centenaire, CA-1228 Geneva, Plan-les-Ouates, Switzerland.

311. Newton D. The Magnetic Field Mapping of Detector Magnets. CERN Accelerator School, Magnetic Measurement and Alignment, Proc. CERN 92-05 (15 September 1992), pp.283-295.

312. Abrosimov N., ., Lamzin E., Sytchevsky S. et al. Field Mapping System for PHENIX Magnets (Conceptual Design Report). Efremov Sci. Research Instituteof Electrophysical Apparatus, Sci.-Techn. Center "CYCLON", St.Petersburg, Jan. 1995.

313. Артюх А.Г., Белов A.B., Белякова Т.Ф.,., Ламзин Е.А. и др. Комплекс программных средств для построения прецизионной карты магнитного поля по данным измерений его компонент на границе рассматриваемой области. ОИЯИ Р13-2002-194, Дубна, 2002, 30 с.

314. Belov А.V., Belyakova T.F., Filatov O.G.,., Lamzin E.A.et al. Program Package for the Accurate Three Dimensional (3D) Reconstruction of Magnetic Fields from the Boundary Measurements. Nucl. Instr. and Meth., Section A513 (2003), pp.448-464.

315. Artukh A.G., Gridnev G.F.,., Lamzin E.A. et al. Wide Aperture Multipole Magnets of Separator COMBAS. Intern. Symp. on Exotic Nuclei, Lake Baikal, Russia, July 24-28, 2001.

316. Ламзин E.A., Амосков B.M., Белов A.B. и др. Системы картографирования магнитного поля в зоне перемещения защитного шлема пилота вертолёта. Труды 6-го форума Российского вертолетного общества, Москва, 25-26 февраля 2004, Раздел VI, стр.218-230.

317. Wind Н. Evaluating a Magnetic Field Component from Boundary Observations Only. Nucl. Instr. and Meth., Vol.84, No. 1, July 1970, pp.117-128.

318. Ворожцов С.Б., Лебедев P.M., Лыткин Л.К., Сомов Л.Н. Восстановление трехмерного магнитного поля по его значениям, измеренным на границе рассматриваемого объема. ОИЯИР13-76Ю, Дубна, 1973.

319. Freidberg J., Tayakumar R., Shajii A. The Green's Function Surface Mapping Procedure. Report of Massachusetts Institute of Technology, Oct. 1996.

320. Williams J.E.C., Bobrov E.S., Iwasa Y. et al. NMR Magnet Technology at MIT. IEEE Trans, on Magnetics, Vol.28, No.l, Jan. 1992, pp.627-630.

321. Bobrov E.S., Pilsburg R.D., Punchard W.F.B. et al. A 60 cm Bore 2.0 Tesla High Homogenity Magnet for Magnetic Resonance Imaging. IEEE Trans, on Magnetics, Vol.23, March 1987, pp.1303-1308.

322. Forsythe G., Malcolm M., Moler C. Computer Method for Mathematical Computation. Prentice-Hall Inc., Englewood Cliffs, N.Y. 07632,1977.

323. Кухтин В.П., Ламзин E.A., Сычевский C.E., Филатов О.Г. Аналитическое вычисление магнитного потока с использованием данных расчёта поля методом конечных элементов, Препринт НИИЭФА П-0975, 2002г, 7с.

324. Filatov О., Kuchinsky V., Kukhtin V., Lamzin Е., Sytchevsky S. Analytical Calculation of a Magnetic Flux Using Finite-Element Field Reconstruction. Plasma Device and Operations, Vol.10, No.4, 2003, pp.285-289.

325. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М., «Мир», 1980.

326. Kahaner D., Moler С., Nash S. Numerical Methods and Software. Prentice

327. Hall Inc., Englewood Cliffs, New York 1998.

328. Bakker M. One dimensional Galerkin methods and supercongruence at interior nodal points. SIAM Journ. Numer. Anal., Vol.21, No. 1, 1984, pp.101-110.

329. Назаров Р.Д. Суперсходимость градиента для треугольных и тетраэдальных конечных элементов решения линейных задач теории упругости. В кн.: Вычислительные процессы и системы (под редакцией Г.И. Марчука). М.: Наука, 1988, вып.6, с. 180-191.

330. Braams B.J. The Interpretation of Tokamak Magnetic Diagnostics: Status and Prospects. Preprint IPP 5/2, 1985, 79pp.

331. Беляков В.А. Управление полоидальными магнитными полями в термоядерных установках типа токамак. Дисс. . д. физ.-мат. наук, С.-Петербург, 2003.

332. Кузнецов Ю.К. Магнитная диагностика плазмы в токамаке ИТЭР. Физика плазмы, т.20, №.2, 1994, с.132-139.

333. Дмитриенко А.Г., Кузнецов Ю.К., Фесенко А.И. Применение принципа виртуального кожуха для определения границы плазмы по данным магнитных измерений. Физика плазмы, т. 18, вып. 12, 1992, с. 1515-1523.

334. Шафранов В.Д. Равновесие плазмы в магнитном поле. Вопросы теории плазмы. (Под ред. М.А.Леонтовича). Вып.2. М.: Энергоатомиздат, 1963, с.92-131.

335. Кадомцев Б.Б. Гидромагнитная устойчивость плазмы. Вопросы теории плазмы (Под ред. М.А.Леонтовича). Вып.2. М.: Энергоатомиздат, 1963, с. 132-176.

336. Wesson J.A. Nuclear Fusion, Vol. 18, 1978, p.87.

337. Freidberg J.P. Rev. Mod. Phys, Vol.54, 1982, p.801.

338. Кадомцев Б.Б., Шафранов В.Д. Успехи физических наук, т.139, 1983, с.399.

339. Bateman G. MHD Instabilities, The MIT Press, Cambridge, Mass., 1978.

340. Арцимович JI.A., Миронов C.B., Стрелков B.C. Атомная энергия 1964, т. 17, с. 170.

341. Галеев А.А., Сагдеев Р.З. ЖЭТФ, т.37, 1967,с.348.

342. Кадомцев Б.Б., Погуце С.П. ЖЭТФ, т.53, 1967, с.2025.

343. Mukhovatov V.S. and Shafranov V.D. Plasma Equilibrium in a Tokamak. Nuclear Fusion, Vol.11, 1971, pp.605-633.

344. L.L. Lao et al. The EFIT code. Nuclear Fusion 25(11), 1985, pp.1611-1622.

345. Lee D.K., Peng Y-K.M. An Approach to Rapid Plasma Shape Diagnostics in Tokamaks. J. Plasma Phys, Vol.25, No.l, 1981, pp. 161-173.

346. Кузнецов Ю.К., Набока A.M. Физика плазмы, т.7, 1981, с.860.

347. Van Milligen B.Ph. Nuclear Fusion. Vol.30, No.l, 1990,p.l57.

348. Deshko G.N., Kilovataya T.G., Kuznetsov Yu.K., Pyatov V.N., Yasin I.V. Determination of the Plasma Column Shape in a Tokamak from Magnetic Measurements. Nuclear Fusion, Vol.23. No. 10, 1983, p. 1309.

349. Бондаренко С.П., Голант B.E., Грязневич М.П. и др. Физика плазмы, т. 10, №.5, 1984, с.910.

350. Kurihara К. Improvement of tokamak plasma shape identification with a Legendre-Fourier expansion of the vacuum poloidal flux function. Fusion Technology, Vol.22, 1992, pp.334-349.

351. Hofmann F., Tonetti G. Nuclear Fusion, Vol.28, 1988, p.519.

352. O'Brien D.P., Ellis J.J., Lingertat J. Local expansion method for fast plasmaboundary identification in JET. Nuclear Fusion, Vol.33, No.3, 1993. pp.467-474.

353. Каминский A.O., Киловатая Т.Г., Кузнецов Ю.К., Ясин И.В. Точные и быстрые методы определения положения и формы плазмы в токамаке ИТЭР из внешних магнитных измерений. Физика плазмы, т.20, №.2, 1994, с.144-147.

354. Feneberg W., Lancker К. and Martin P. Fast Control of the Plasma Surface. Comput. Phys. Commun., Vol.31, 1984, pp.143-148.

355. Вабищевич П.Н., Зотов И.В. Физика плазмы, т. 13, №.6, 1987, с.649.

356. Kurihara К. Tokamak plasma shape identification on the basis of boundary integral equations. Nuclear Fusion, Vol.33, No.3, 1993, pp.399-412.

357. Wootton A.J. Nuclear Fusion, Vol.19, No.7, 1979, p.987.

358. Swain D.W.and Neilson G.H. An Efficient Technique for Magnetic Analysis of Non-Circular High-Beta Tokamak Equlibria. Nuclear Fusion, Vol.22, No.8, 1982, pp. 1015-1030.

359. Lao L.L., John H.St., Stambaugh R.D., Kellman A.G., Pfeiffer W. Reconstruction of current profile parameters and plasma shapes in tokamaks. Nuclear Fusion, Vol.25, No.l 1, 1985, pp.1611-1622.

360. Кузнецов Ю.К., Панов B.H., Ясин И.В. Метод определения формы плазменного шнура в токамаке с адиабатическим сжатием. Препринт ХФТИ 85-1, М.: Цнииатоминформ., 1985.

361. Ясин И.В. Магнитная диагностика равновесных параметров плазмы токамака. Дисс.к.физ.-мат. наук, Харьков, 1992.

362. Амосков В.М., Беляков В.А., Бендер С.Е. и др. Разработка и верификация программного обеспечения реконструкции равновесных параметров плазмы по данным внешних магнитных измерений для токамака GLOBUS-M. Технический отчет 2566-0, НИИЭФА, 2001.

363. Winter Н., Albert D.B. Separatrix Location Using Magnetic Measurements in ASDEX Tokamak. Report IPP 3/57, Max-Plank-Institut for Plasmaphysik, 1980.

364. Lao L.L., John H.St., Stambaugh R.D. et.al. Reconstruction of Current Profile Parameters and Plasma Shapes in Tokamaks. Report GA-A17910, General Atomic Company, 1985.

365. Bondarenko S.P, Kaminskij A.O., Kuznetsov Yu.K et.al. Investigations of Current Profiles in the Tuman-3 Tokamak. 12th European Conference of Controlled Fusion and Plasma Physics, Budapest, 1985, Europhysics Conference Abstracts 1985, 9F-I, p.247.

366. Swain D.W., Bates S., Neilson G.H., Peng Y.-K.M. Determination of Plasma Shape from Poloidal Field Measurement on ISX-B. Report ORNL/TM 7172, Oak Ridge National Laboratory, 1980.

367. Brusati M., Christiansen J., Cordey J.G., Jarrett K., Lazzaro E., Ross R.T. Comput. Phys. Reports, Vol.1, 1984, p.345.

368. Ida K., Toyama H Japan J. Appl. Phys., Vol.22, 1983, p. 1587.

369. Захаров JI.E., Шафранов В.Д. Равновесие плазмы с токами в тороидальных системах. В кн.: Вопросы теории плазмы (Под ред. Б.Б.Кадомцева). Вып.11. М.: Энергоатомиздат, 1982. с.118.

370. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981.

371. Захаров Л.Е., Шафранов В.Д. Интегральные соотношения для равновесного тороидального плазменного шнура с некруглым сечением. ЖТФ, т.43, вып.2, 1973, с.225-234.

372. Градштейн И.С. и Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971, 1108с.

373. Бейтмен Г., Эрдейни А. Высшие трансцендентные функции. Т.З. М.: Наука, 1967, 298с.

374. Galkin S.A., Ivanov А.А., Medvedev S.Yu. and Poshekhonov Yu.Yu. Nuclear Fusion, 1997, Vol.37, pp.1455.

375. Belyakov V.A., Korotkov V.A., Soikin V.F. Design and Assembly of the GLOBUS-M Tokamak Magnets. Plasma Devices and Operations, Vol.9, No. 1-2, 2001, pp.39-55.

376. Bender S.E., Bushuev V.I., Kuzmin E.G., Mironov I.A. and Nikiforovsky A.V. Magnetic Diagnostics on GLOBUS-M Tokamak. Plasma Devices and Operations, Vol.9, N.l-2, 2001, pp.143-157.

377. Deshko G.N., Kilovataya T.G., Kuznetsov Yu.K. and Yasin I.V. Magnetic diagnostic for ITER tokamak. ITER Report, 1994.

378. Pustovitov V.D. Nuclear Fusion, Vol.41, No.6, 2001, p.721.