Анализ локализации деформаций в разнопрочных средах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

004618907

Кузоватова Ольга Игоревна

АНАЛИЗ ЛОКАЛИЗАЦИИ ДЕФОРМАЦИЙ В РАЗНОПРОЧНЫХ СРЕДАХ

Специальность 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ч 3 Я Н В 2011

Красноярск - 2010

004618907

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте вычислительного моделирования Сибирского отделения РАН (г. Красноярск)

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Садовский Владимир Михайлович

Официальные оппоненты; доктор физико-математических наук,

профессор Григорьев Юрий Михайлович

кандидат физико-математических наук, Пятаев Сергей Федорович:

Ведущая организация: Учреждение Российской академик наук

Институт автоматики и процессов управления Дальневосточного отделения РАН, к Владивосток

Защита состоится <;24" декабря 2010 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 212.249.04 при Сибирском государственном азрокосмическом университете имени академика М. Ф. Решетнева по адресу: 660014, г. Красноярск, пр. имени газеты «Красноярский рабочий», 31.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева но адресу; 660014, г. Красноярск, пр. имени газеты «Красноярский рабочий», 31.

Автореферат разослан "23" ноября 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук, доцент

С. С. Аилеснин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы

Многие природные и искусственные материалы разнопрочны, они имеют существенно различные прочностные свойства при растяжении и сжатии. Например, идеальные сыпучие среды, частицы которых свободно контактируют между собой, при сжатии ведут себя как упругие или упругопластические тела, в зависимости от уровня напряжений, и не сопротивляются растяжению. В связных средах (грунтах, горных породах) допустимые растягивающие напряжения существенно меньше сжимающих и не превышают критического значения, обусловленного сцеплением частиц. К разнопрочным материалам относятся углеграфиты, пластмассы и прочие синтетические материалы.

Классические модели механики деформируемого твердого тела - теории упругости, пластичности и ползучести - не учитывают этого фактора. В работах С. А. Амбарцумяна, В. П. Мясникова, А. И.Олейникова, И. Ю. Цвело-дуба, Л. Неутап, Э. 01 Равсиа1е и др. авторов разработаны специальные математические модели, описывающие деформирование материалов, по-разному сопротивляющихся растяжению и сжатию. Вопросам численного исследования моделей разнопрочных сред посвящено относительно небольшое количество публикаций. Эти модели существенно нелинейны, поэтому трудоемки для численного счёта. Одна из моделей, имеющих хорошую математическую структуру для применения прямых вычислительных методов, предложена в работе В. П. Мясникова и В. М. Садовского. Основная цель данной работы - реализовать эту модель численно в плоских квазистатических задачах.

Диссертация посвящена исследованию процесса локализации деформаций в образцах из разнопрочного материала. Важность решения этой задачи продиктована тем, что в узких зонах локализации растягивающих деформаций, в которых податливость материала оказывается значительно выше, чем в остальной части образца, на практике происходит микроразрушение, поэтому при расчете конструкций на прочность такие зоны необходимо определять. В то же время, возможности построения точных решений в данной задаче ограничены, поэтому актуальной является разработка вычислительных процедур.

Цели и задачи исследования

В качестве основной цели исследования выступает разработка эффективного численного метода для анализа напряженно-деформированного состояния разнопрочной упругопластической среды на основе метода конечных

элементов. Для достижения этой цели в работе поставлены следующие задачи: построение численного метода решения задачи, создание компьютерных прикладных программ, применение разработанного алгоритма и программ к решению задач о локализации деформаций.

Объект исследований

Объектом исследования диссертации является модель разнопрочной среды, по-разному сопротивляющейся растяжению и сжатию.

Методы исследования

В работе наряду с общими методами механики деформируемого тела применяются методы вариационного исчисления, элементы выпуклого анализа, численные методы. В качестве методики исследований используется вычислительный эксперимент, включающий в себя следующие этапы: математическая формулировка задачи, разработка вычислительного алгоритма, программирование для ЭВМ, проведение расчетов, анализ и визуализация полученных численных результатов.

Новые научные результаты, выносимые на защиту:

1) приближенное решение задачи для цилиндрического образца с радиальным надрезом в случае линейной зоны локализации;

2) обоснование гипотезы Друккера и Прагера о том, что линиями локализации в разнопрочной среде служат логарифмические спирали;

3) вычислительный алгоритм, реализующий модель разнопрочной среды на основе метода конечных элементов, и результаты численных экспериментов по исследованию линий локализации в образцах цилиндрической, прямоугольной и криволинейной формы.

Научная новизна и практическая значимость результатов

На основе специальной математической модели, обобщающей классическую теорию упругости на случай материала, по-разному сопротивляющегося растяжению и сжатию, впервые разработан алгоритм численного решения задачи о локализации деформаций в разнопрочной среде. Разработан комплекс компьютерных программ, включающий в себя подготовительный модуль, расчетный модуль и модуль визуализации результатов. Получены результаты численного исследования напряженно-деформированного состояния образцов из разнопрочного материала.

Достоверность результатов работы

Основные результаты работы снабжены строгими доказательствами. Достоверность полученных результатов подтверждается соответствием численных решений оценочным решениям, которое показало, что линиями локализации в плоском деформированном состоянии связной сыпучей среды служат логарифмические спирали.

Апробация работы

Основные результаты работы были представлены на следующих научных конференциях:

1. Конференциях-конкурсах молодых ученых ИВМ СО РАН (г. Красноярск, 2005 г., 2006 г., 2007 г.);

2. VII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (ИВМ СО РАН, г. Красноярск, 2006 г.);

3. Всероссийской конференции "Деформирование и разрушение структурно-неоднородных сред и конструкций" (Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, г. Новосибирск, 2006 г.);

4. XX Всероссийской конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (ИТПМ СО РАН, КузГТУ, г. Кемерово, 2007 г.);

5. V и VI Всесибирских конгрессах женщин-математиков (ИВМ СО РАН, СФУ, СибГТУ, г. Красноярск, 2008 г., 2010 г.).

Кроме того, результаты диссертации в целом докладывались на семинаре отдела «Вычислительной механики деформируемых сред» ИВМ СО РАН.

Публикации

По теме диссертации автором опубликовано 7 работ (из них 2 по списку ВАК). Из работ, выполненных совместно, в диссертацию включены результаты, полученные автором лично. Список публикаций помещен в конце автореферата.

Работа выполнялась при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 0801-00148) и Междисциплинарного интеграционного проекта Сибирского отделения РАН № 40.

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и трёх приложений. Список литературы содержит 88 наименований, включая работы автора. Диссертация содержит 37 рисунков. Объем диссертации составляет 131 страницу, приложений - 18 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведен краткий обзор литературы, посвящённой проблеме описания напряженно-деформированного состояния сред, по-разному сопротивляющихся растяжению и сжатию. Дано обоснование актуальности выбранной темы, указывается ее научная новизна, сформулированы цели и методы исследования, а также кратко излагается содержание диссертационной работы по главам, перечислены основные результаты работы.

В главе 1, которая носит обзорный характер, рассмотрен реологический подход к построению определяющих уравнений сред со сложными механическими свойствами, изложена математическая модель разнопрочной среды, а также приведено условие прочности Мизеса-Шлейхера для описания допустимых напряжений в разнопрочной среде.

В § 1 главы 1 рассмотрен реологический метод, который является основой феноменологического подхода к описанию напряженно-деформированного состояния сред. Метод построения определяющих отношений материалов, по-разному сопротивляющихся растяжению и сжатию, с помощью реологических схем предложен в работах В. М. Садовского. Он основывается на использовании наряду с классическими элементами - упругой пружиной, вязким демпфером и пластическим шарниром, нового реологического элемента - жесткого контакта. При конструировании определяющих соотношений пространственных моделей используются симметричные тензоры напряжений а и деформаций е.

а 6

Рис. 1. Реологическая схема и диаграмма одноосного деформирования разнопрочной среды

Для описания напряженно-деформированного состояния разнопрочного материала, имеющего различные пределы прочности при растяжении и сжатии, используется модель, реологическая схема которой представляет собой параллельное соединение двух элементов - пластического шарнира и жесткого контакта (рис. 1 (а)). В данной схеме при растяжении материал ведет себя как пластическое тело, при сжатии - как жесткое. На рис. 1 (б) приведена "ст — е диаграмма" такого материала.

Также в данном параграфе представлен математический аппарат, позволяющий выписать определяющие соотношения напряженно-деформированного состояния такой среды. В простейшем случае определяющие соотношения идеальной (неупругой) среды приводят к неравенству:

(сг - его) : (ё-е) <0, е, ё е С, (1)

где двоеточие означает двойную свертку тензоров. Неравенство выполняется для всевозможных тензоров ё. Оно может быть представлено в форме эквивалентного неравенства

(а - а) : е < 0, а - сг0, сг - сг е К, (2)

которое выполняется для всех а. Здесь С и К - конусы допустимых деформаций и напряжений, конкретизация которых приведена ниже.

В § 2 главы 1 изложена математическая модель для описания разнопроч-ной среды.

Замкнутую математическую модель для описания равновесия среды при малых деформациях образуют определяющие уравнения в форме (1) или (2), дополненные условиями равновесия и геометрическими соотношениями

У-ст + / = 0, 2е(и) = Уи + (Уи)*- (3)

Здесь / - вектор объемных сил, и - векторное поле перемещений, V - вектор-градиент, звездочка означает транспонирование тензора.

Граничные условия задаются следующим образом: пусть П - занятая средой пространственная или плоская область с границей Г, состоящей из двух непересекающихся частей Ги и Гст, на первой из которых отсутствуют перемещения, а на второй задана распределенная нагрузка (п - вектор нормали):

и = 0 на Ги, ^

сг-п = д на

Задача состоит в определении векторного поля перемещений и(х) и тензорного поля напряжений с (я), удовлетворяющих дифференциальным уравнениям (3) с граничными условиями (4) и вариационному неравенству (1) или (2).

В заключительном § 3 главы 1 рассматривается конкретный вариант конусов для описания допустимых напряженно-деформируемых состояний раз-нопрочной среды. Напряжения а удовлетворяют условию прочности Мизе-са-Шлейхера т(ст) < сгя + аер(а). Здесь т(а) = у/а': сг'/2 - интенсивность касательных напряжений (штрих означает девиатор тензора: о' — о +р{а) 5, 6 - символ Кронекера), р(а) = —с : <5/3 - гидростатическое давление, ее -параметр внутреннего трения. Знак строго неравенства отвечает безопасному состоянию среды, в котором перемещения отсутствуют, знак равенства -предельному состоянию, в котором происходят необратимые сдвиги. Введя тензор сто = сг3/эе <5, это условие можно записать в указанном выше общем виде а — сто е К, где К - конус допустимых напряжений

К= {<т\ т{а) < аер(ст)}. (5)

Деформации е принадлежат конусу С

С={е\ аэ7(е)<0(г)}, (6)

где 7(е) = \/2е' : е' - интенсивность сдвига, в(е) — е : 6 - деформация объема.

В главе 2 сформулирована кинематическая теорема, приведены примеры оценок давления в цилиндрическом образце с радиальным надрезом в случае линейной зоны локализации и в случае криволинейной зоны, имеющей вид логарифмической спирали.

В § 1 главы 2 вводится понятие безопасных нагрузок. В соответствии с рассматриваемой моделью в состоянии равновесия область П, занятая средой, разбивается на две части - жесткую зону, в которой материал не деформируется, и зону ненулевой деформации. Приложенная внешняя нагрузка (/> ?) называется безопасной, если зона деформации вообще отсутствует. Граничные точки множества безопасных нагрузок образуют множество предельных нагрузок.

Приведена формулировка теоремы о предельном равновесии для случая пропорционального нагружения, когда вектор поверхностных сил изменяется пропорционально некоторому скалярному параметру ш, играющему роль времени:

q{x) = m<p(x)) жбГгг, а вектор массовых сил не зависит от этого параметра. Нагрузки оказываг ются безопасными, если параметр нагружения не превосходит предельного значения т, превышение которого приводит к появлению области ненулевой деформации. Как правило, в приложениях предельное значение является искомой величиной - целью решения задачи.

Теорема. Предельное значение т. не превосходит коэффициента

(ад : s (и) - f -и) dQ

m =

/-

■и dr

так называемого кинематического коэффициента, вычисляемого по произвольному кинематически возможному полю перемещений и 6 17с, «|Ги = 0. Здесь V,с - множество перемещений, удовлетворяющих ограничению е(и) е С, нижний индекс "+" означает положительную часть выражения.

В § 2 главы 2 с помощью кинематической теоремы получена верхняя оценка предельной нагрузки в задаче о разрыве образца с надрезом под действием давления на берегах надреза в предположении о линейности зоны локализации.

Задача рассмотрена в приближении плоского деформированного состояния для однородного цилиндрического образца радиуса Д с радиальным надрезом, на берегах которого действует вектор напряжений (0,ро), где Ро > 0 - давление, вызванное, например, температурным расширением вставленной в надрез тонкой металлической пластины (рис. 2). С учетом симметрии задачи на рисунке приводится только верхняя половина цилиндрического образца.

В предположении, что локализация деформации простого сдвига с дилатансией происходит в узкой линейной зоне толщины К, наклоненной под углом а к линии надреза (см. рис. 2), предельное давление (7) вычисляется по следующей формуле

m* — — inf

jundj г

se u&Ucj {qm + Q2U2) dy'

Рис. 2. Линейная зона локализации деформаций

где и„ - нормальное перемещение точки.

Полученные путем минимизации коэффициента т* наилучшая верхняя оценка давления и наиболее вероятный угол выхода зоны локализации де-

формаций равны

^ = = з' а = агс^' "=гЬЛ (8)

По виду (8) сделан вывод, что в пределе при ее О направление линии локализации перпендикулярно надрезу. При ае у/3/2 зона разворачивается и становится продолжением надреза. В случае эз > \/3/2 локализации рассматриваемого типа не происходит.

В § 3 главы 2 с помощью кинематической теоремы получена верхняя оценка предельной нагрузки в задаче о разрыве образца с надрезом под действием давления на берегах надреза в предположении о криволинейном виде зоны локализации.

Друккер и Прагер, основываясь на ассоциированном законе пластического течения, высказали гипотезу о том, что линиями локализации в плоском деформированном состоянии связной сыпучей среды могут служить только логарифмические спирали. Это следует из того, что для логарифмической спирали угол между вектором точки и направлением касательной остается постоянным вдоль всей линии. Поэтому в узкой зоне локализации постоянным оказывается отношение нормальной и касательной составляющих вектора скорости (вектора малых перемещений), что в точности соответствует кинематике деформирования.

Приведено строгое обоснование этой гипотезы: доказано, что среди всех возможных линий локализации наименьшую верхнюю оценку дает логарифмическая спираль. Рассмотрена вспомогательная полярная система координат (г, <р) с центром в точке Р0 ~ мгновенным центром вращений в плоском абсолютно жестком движении, совершаемом той частью цилиндрического образца, которая примыкает к. надрезу и отделена от оставшейся неподвижной части зоной локализации (рис. 3 (а)). Полярные координаты точки Ро обозначены через го и щ. Уравнение линии локализации записано в виде г = г (ф). Р\ (п, ц>\) - точка выхода линии локализации на границу образца.

Рис. 3. Геометрические построения

Касательное и нормальное перемещения в слое толщины Л вблизи этой линии изменяются линейно по толщине. В пределе при Н -»■ 0 установлено, что успоъш е(и) 6 С выполняется при ит < иип, (пит- нормальное и касательное направления).

Из геометрических построений на рис. 3 (б) получен вид допустимых линий локализации: это те линии, на которых выполняется условие

г (<р) < го е-*/". (9)

Верхняя оценка предельного давления (7) (йэ - элемент дуги) преобразуется к виду

Л

/ип2 2

О* = И _0__ Ц г0 ~Г1 мгу)

™ ге о , ае К2 + 2г0Я соэ^о' J ц^сю -я

Учитывая условие допустимости линии локализации (9) и выбрав свободные параметры в выражении (10) из соображений минимума р*0 следующим образом:

щ = 0, п = г0е получим выражение для верхней оценки предельного давления

г 1 - р-ъ^Ф

где С = Д/го- Далее задача сводится к поиску минимума функции (11) по оставшейся переменной го.

При асимптотическом разложении « (1 + 1/и2)(р1 для малых углов <рг оценка (11) совпадает с (8). Проведено сравнение численного решения задачи минимизации для 0 < аз < %/3/2. Между оценками (8) и (11) имеется значительное расхождение, увеличивающееся с ростом эе. Дополнительный анализ показал, что такое расхождение возникает из-за учета неоднородности поля перемещений в криволинейной зоне локализации деформаций.

Глава 3 диссертации посвящена разработке вычислительного алгоритма. Для этого используется регуляризованная модель разнопрочной среды, на основе которой формулируются вариационные принципы, излагается итерационный алгоритм метода начальных напряжений для исследования модели разнопрочной среды, доказывается сходимость итерационного процесса.

В § 1 главы 3 рассматривается регуляризованная модель разнопрочной среды, реологическая схема которой представлена на рис. 4 (а). Для численного расчёта задачи в полной постановке модель идеальной разнопрочной

среды (рис. 1) неприменима, т. к. в ней зависимость напряжений от деформаций неоднозначна. В рамках регуляризованной модели при растяжении материал ведет себя как упругопластическое упрочняющееся тело, при сжатии - как упругое. На рис. 4 (б) приведена "а — е диаграмма" такого материала.

а б

Рис. 4. Реологическая схема регуляризованной модели и диаграмма одноосного растяжения-сжатия

Определяющие уравнения имеют общий вид:

а : сг = е-П(с: (о-1 : e-tr0)), (12)

где с-1 = а-1 + а и Ъ - симметричные положительно определенные тензоры четвертого ранга, составленные из модулей упругой податливости упругих элементов (рис. 4 (а)), П - оператор проекции на конус допустимых деформаций С по норме |е| = Ve : с1 : е.

В случае пропорциональных тензоров а = X b определяющие уравнения разнопрочной среды, учитывающие упругость частиц и связующего, приводятся к системе уравнений

а — а-1 : е - - * а-1 : П (е - а : сто) > (13)

1 + А

где А - параметр регуляризации. Они могут быть представлены в потенциальной форме а = дФ/де с потенциалом напряжений

Ф(£) = К|е|2"1ГА|П(£~а:(70)|2)'

Потенциал деформаций равен

= \ (М2 + А|о" - <то|2 - А|ф - ст0)|2),

где 7г - оператор проекции на конус тензоров напряжений К по норме |ст) = у/а : а: а. С его помощью определяющие соотношения (13) можно привести к виду е = (Эф/дет.

В § 2 главы 3 сформулированы вариационные принципы, эквивалентные дифференциальной постановке рассматриваемой задачи. Искомое поле перемещений минимизирует интеграл

на множестве полей перемещений, удовлетворяющих граничному условию и|Гц = 0 (обобщенный принцип Лагранжа). Поле напряжений минимизирует интеграл

на множестве полей напряжений, удовлетворяющих уравнению равновесия V -<т + / = 0 и граничному условию в напряжениях а • п|Гг = д (обобщенный принцип Кастильяно).

В § 3 главы 3 изложен вычислительный алгоритм. Он основан на конечно-элементной аппроксимации регуляризованной модели. Алгоритм приводит задачу определения поля перемещений в разнопрочной среде к решению последовательности статических задач линейной упругости с начальными напряжениями. Алгоритм не использует теорем об оценке предельной нагрузки. С его помощью предельные нагрузки можно определить только приближенно как нагрузки, превышение которых приводит к интенсивному деформированию материала.

Рассматривается задача о деформации образца из разнопрочного материала, занимающего плоскую область П с границей Г, состоящей из трех непересекающихся частей Ги, Гст и Гисг, на первой из которых задан вектор перемещений и — (щ,и2), на второй - вектор распределенной внешней нагрузки д = (<&, дг)) а на третьей ставятся смешанные граничные условия: при отсутствии перемещений точек границы в направлении нормали зафиксированы касательные напряжения

где п = {п\,пг) и т = [щ, -щ) - векторы нормали и касательной к границе, Р/г - заданная функция, моделирующая трение.

Задача состоит в определении векторного поля перемещений и и тензорного поля напряжений сг, удовлетворяющих граничным условиям

ип = и ■ п = 0, т • а • п = р/г, г б Г,

(14)

и — 0 на Ги, ип — 0 на Г,

(15)

и уравнению равновесия в вариационной форме

JJ а : е (й) с1С1 = J д • й (¡7 + J р/г ■ йт с1у (16)

п г, г„,

для любого векторного поля б, которое подчиняется однородным граничным условиям на Ги и Гиа. Кроме того, в области £2 выполнены определяющие уравнения, с помощью которых по заданному тензору деформаций в каждой точке П можно однозначно определить тензор напряжений.

Также изложена основная идея алгоритма. Она состоит в замене определяющих уравнений (12) или (13) итерационной формулой (п = 1,2,3,...)

£п (ип) = а : (сгп + Дет"-1), а : Дст"-1 = П (с : (а"1 : е""1 (и""1) - а0))

или

ап = а-1 : £п - —^а"1 : П (е""1 -а:а0).

1 + А '

о На первом шаге поле начальных напряжений Да0 считается тождественно равным нулю: решается упругая задача для ненапряженного материала с тензором модулей податливости а.

о На последующих шагах начальные напряжения вычисляются через поле деформаций, полученное по предыдущему решению.

о Итерации продолжаются до тех пор, пока норма разности двух приближенных решений на соседних шагах не станет меньше наперед заданной точности вычислений.

Далее доказана сходимость последовательности итераций к точному решению нелинейной задачи со скоростью геометрической прогрессии.

В главе 4 диссертации приведены результаты численного исследования ряда модельных задач (задача о деформации цилиндрического образца, прямоугольного образца с боковыми надрезами, углеграфитового блока алюминиевого электролизера, задача о продавливании связной сыпучей среды). Численные решения построены с помощью описанного выше итерационного процесса. Для решения конечноэлементной системы линейных алгебраических уравнений применяется метод сопряженных градиентов.

При проведении расчетов задавались значения механических параметров, соответствующие углеграфитам: модуль объемного сжатия К = 8 ГПа, модуль сдвига ц = 4,8 ГПа, коэффициент сцепления при чистрм сдвиге тя = 14 МПа. Параметр внутреннего трения материала изменяется в пределах

О < эе < л/3/2, расчеты проведены при ж = 0,3. Параметр регуляризации А в расчетах полагался равным 0,0001. Дальнейшее его уменьшение нецелесообразно, так как это приводит к замедлению сходимости алгоритма. Относительная погрешность вычислений в итерационном алгоритме е = О,0001.

В § 1 главы 4 рассматривается задача о деформации цилиндрического образца. Проводится сравнение численных расчетов с оценочными решениями, которые были получены в § 3 главы 2. Предельное давление рассчитывалось в соответствии с наилучшей верхней оценкой (11) и оказалось примерно равным 5 МПа. Получено хорошее соответствие результатов.

а б

Рис. 5. Интенсивность деформации сдвига в цилиндрическом образце

На рис. 5 (а) представлено поле интенсивности сдвига 7 (5), полученное на основе классической теории упругости, на рис. 5 (б) - на основе модели разнопрочной среды. На рис. 5 (б) произведено наложение на численное решение логарифмической спирали, показывающей направление локализации деформации. Интенсивность увеличивается от белого цвета до черного по линейной зависимости. Уравнение изображенной на рисунке логарифмической спирали получено в § 2 главы 2:

х = го - г0 е-^1' сое </р, у = го е-^ эт ¡р

при следующих значениях: г0 = 0,750192, 0 < <р < 7г, Я = 1, 1/^ = 0,319801, соответствующих параметрам задачи.

В § 2 главы 4 исследуется задача о деформации прямоугольного образца с боковым надрезом. В силу симметрии задачи была рассмотрена верхняя половина области решения. На рис. 6 приведена схема нагружения в задаче 2.1: внешняя нагрузка распределена по поверхности бокового разреза образца равномерно. Необходимо определить векторное поле перемещений. На рис. 7 (а) представлено поле интенсивности сдвига, полученное на основе классической теории упругости, на рис. 7 (б) - на основе модели разнопрочной среды. Отличие состоит в том, что в разнопрочной среде происходит локализация деформаций. На последнем рисунке непрерывной кривой показана линия локализации - логарифмическая спираль. Вычисленное предельное давление ро = 5 МПа.

—к

ЙЙ

■Ия

Рис. 6. Схема нагружения образца с боковым надрезом

Рис. 7. Интенсивность деформации сдвига в прямоугольном образце

Также была исследована задача о растяжении прямоугольного образца. На рис. 8 представлена схема нагружения задачи 2.2, нагрузка распределена на верхней и нижней границах образца равномерно. На рис. 9 (а) представлено поле интенсивности сдвига, полученное на основе классической теории упругости, на рис. 9 (б) - на основе модели разнопрочной среды. На рис. 9 (б) кривой черного цвета показано направление локализации деформации. Графическое представление численных и аналитических результатов анализа зон локализации деформаций показывает их качественное соответствие.

14_±

ттт

Рис. 8. Схема нагружения образца с боковым надрезом

Рис. 9. Интенсивность деформации сдвига в прямоугольном образце

В § 3 главы 4 рассматривается задача о разрушении углеграфитового блока электролизера. Электролизер для получения алюминия представляет собой сложный высокотемпературный агрегат. Основным элементом конструкции, от которого зависит срок его службы, является углеграфитовый футеровочный блок с жестко вмонтированным стальным блюмсом. Вследствие температурного расширения стального блюмса происходит деформация углеграфитового блока. Протекающий при этом процесс локализации

деформаций завершается образованием магистральных трещин. Появление подобных трещин приводит к снижению сортности алюминия из-за контакта расплава электролита со сталью. Схема иагружения образца представлена на рис. 10. В расчетах задавались действительные размеры поперечного сечения блоков, применяемых на Красноярском алюминиевом заводе: ширина

.....0,55 м, высота 0,4 м. ширина паза под блюмс.....0,25 м и глубина паза -

0,15 м. На рис, 11 (а) изображено поле интенсивности сдвига на основе классической теории упругости, на рис. 11 (6).....на основе модели разнопрочиой

среды. В силу симметрия рассматривается только правая половина образца.

Расчеты показали, что для применяемой марки углеграфита линия локализации деформаций не выходит на верхнюю сторону блока - границу контакта с расплавом электролита. Это способствует увеличению рабочего ресурса электродизера.

В § 4 главы 4 исследуется задача о продавливании связной сыпучей среды. Рассматривается образец из равнопрочного материала (грунта), занимающий плоскую область О с границей Г. состоящей из трех непересекающихся частей Г0 и Г,,,- ¡1 а первой из которых задан вектор перемещений, на второй - вектор распределенной внешней нагрузки, а на третьей ставятся смешанные граничные условия: при отсутствии перемещений точек границы в направлении нормали зафиксированы касательные напряжения (14).

Было рассмотрено три типа задач (различие заключается в форме боковых границ образца и распределении приложенной нагрузки). В задаче 4.1 исследуется плоское деформированное состояние однородного образца с прямолинейными боковыми границами, на верхней стороне которого действует равномерно распределенное давление р$ — 10 МПа (рис. 12). Нижняя граница свободна от напряжений. На рис. 13 (а) представлено ноле интенсивности сдвига, полученное на основе классической теории упругости, на рис, 13 (б) .....на основе модели разнопрочиой среды с параметром внутреннего трения,

а

б

Рис. 10. Схема иагружения углеграфитового блока

Рис. 11. Интенсивность деформации сдвига в углеграфитояом блоке

соответствующего плотному грунту. Из сравнения рисунков видно, что в раз-нопрочной среде в нижней части образца образуется коническая зона вывала.

Рис. 12. Схема нагружения образца Рис. 13. Интенсивность деформации сдвига

Также была рассмотрена задача о продавливании с применением неравномерно распределенной нагрузки: уменьшение давления от центра к боковым границам происходит равномерно по квадратичной зависимости (рис. 14), интегрально нагрузка эквивалентна нагрузке предыдущей задачи. На рис. 15 (а) представлено поле интенсивности сдвига, полученное на основе классической теории упругости, на рис. 15 (б) - на основе модели разнопрочной среды.

Рис. 14. Схема нагружения образца Рис. 15. Интенсивность деформации сдвига

Сопоставление рис. 15 (б) с рис. 13 (б) позволяет сделать вывод о том, что перераспределение внешнего давления с одним и тем же интегральным значением силы слабо влияет на изменение деформированного состояния в нижней части образца.

На рис. 16 представлена схема нагружения в задаче 4.2 о продавливании образца через фильеру с вогнутыми боковыми границами. Давление распределено по верхней границе образца равномерно и равно 10 МПа. На рис. 17 (а) представлено поле интенсивности сдвига, полученное на основе классической теории упругости, на рис. 17 (б) - на основе модели разно-прочной среды. По сравнению с прямолинейными боковыми'границами, в

случае вогнутых границ происходит перераспределение зон локализации деформаций как в упругой, так и в разнопрочной среде. Размер зоны вывала существенно увеличивается.

а б

Рис. 17. Интенсивность деформации сдвига

Рис. 16. Схема нагружения образца

Далее была рассмотрена задача 4.3 о продавливании образца с выпуклыми боковыми границами. На рис. 18 и рис. 19 представлены схемы нагружения с равномерно и неравномерно распределенным давлением, равным 10 и 7,5 МПа, соответственно. На последнем рисунке на левой части образца нагрузка задана в два раза меньше, чем на правой.

уА >'Л

Рис. 18. Схема нагружения образца Рис. 19. Схема нагружения образца

На рис. 20 (а) изображено поле интенсивности сдвига для задачи на рис. 18, полученное на основе классической теории упругости, на рис. 20 (б) - на основе модели разнопрочной среды. На рис. 21 (а) представлены аналогичные результаты в задаче, схема нагружения которой изображена на рис. 19.

Сравнение рисунков 20 (б) и 21 (б) показало, что при перераспределении давления появляется дополнительная линия локализации деформации, соответствующая асимметричным условиям нагружения.

В приложениях 1 и 2 изложены методы (метод конечных элементов, метод сопряженных градиентов), с помощью которых проведено численное исследование модельных задач.

а

Рис. 20. Интенсивность деформации сдвига

а

б

Рис. 21. Интенсивность деформации сдвига

В приложении 3 представлены примеры конечноэлементных сеток, на которых проводились численные расчеты.

Основные результаты

1. Получено приближенное решение задачи деформирования цилиндрического образца из разнопрочного материала с радиальным надрезом ' в предположении о линейной зоне локализации. Обоснована гипотеза Друккера и Прагера о том, что линиями локализации деформаций в плоском деформированном состоянии разнопрочной среды служат логарифмические спирали. I

2. Предложен эффективный вычислительный алгоритм для исследования плоских квазистатических задач в рамках математической модели разнопрочной среды. Численное решение задачи строится с помощью сходящегося итерационного процесса, на каждом шаге которого решаются уравнения статической теории упругости с начальными напряжениями на основе метода конечных элементов.

3. Проведены расчеты модельных задач: о деформации цилиндрического образца с радиальным разрезом, о деформации прямоугольного образца с боковым надрезом, о разрушении углеграфитового блока электролизера, о продавливании связной сыпучей среды.

Список публикаций по теме диссертации

Статьи в ведущих научных журналах, включенных в перечень ВАК:

1. Кузоватова О. И. Моделирование локализации деформации в разно-прочной среде / О. И. Кузоватова, В. М. Садовский // Журнал Сибирского федерального университета. Математика и физика. Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics. - Красноярск, 2008. -Т. 1, № 3. - С. 272-283.

2. Кузоватова О. И. Численное исследование задачи о продавливании связной сыпучей среды / О. И. Кузоватова, В. М. Садовский // Вестник СибГАУ им. акад. М. Ф. Решетнева. - Красноярск, 2009. - № 4. -С. 21-25.

3. Kuzovatova О. I. Numerical Investigation of the Problem of Cohesive Running Soils Punching Shear / О. I. Kuzovatova, V. M. Sadovsky // Вестник СибГАУ им. акад. М. Ф. Решетнева. - Красноярск, 2009. - № 5. -С. 36-40.

Другие публикации:

4. Кузоватова О. И. Численное исследование локализации деформации в разнопрочной среде // Материалы конференции молодых учёных Института вычислительного моделирования СО РАН. - Красноярск: ИВМ СО РАН, 2005. - С. 58-61.

5. Кузоватова О. И. Численное исследование предельного состояния разнопрочной среды // Материалы конференции молодых учёных Института вычислительного моделирования СО РАН. - Красноярск: ИВМ СО РАН, 2006. - С. 60-63.

6. Кузоватова О. И. Численное исследование напряженно-деформированного состояния разнопрочной среды // VII Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (с участием иностранных ученых). Тезисы докладов.

- Красноярск, 2006. - С. 56.

7. Кузоватова О. И. Исследование направления локализации деформации в разнопрочной среде // Материалы конференции молодых учёных Института вычислительного моделирования СО РАН. - Красноярск, 2007.

- С. 18-23.

Кузоватова Ольга Игоревна

Анализ локализации деформаций в разнопрочных средах

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 17.11.2010. Формат 60 х 86/16, Усл. печ. л. 1,25. Тираж 100 экз.

Отпечатано на ризографе ИВМ СО РАН 660036, г. Красноярск, Академгорок

Введение

1. Математическая модель

1.1. Реологический подход.

1.2. Математическая модель разнопрочной среды.

1.3. Конус Мизеса - Шлейхера

2. Теория предельного равновесия

2.1. Кинематическая теорема

2.2. Линейная зона локализации.

2.3. Зона локализации в виде логарифмической спирали

3. Вычислительный алгоритм

3.1. Регуляризованная модель разнопрочной среды.

3.2. Вариационные принципы.

3.3. Итерационный алгоритм.

4. Результаты расчетов

4.1. Задача о деформации цилиндрического образца.

4.2. Задача о деформации прямоугольного образца с боковым надрезом.

4.3. Задача о разрушении углеграфитового блока электролизера

4.4. Задача о продавливании связной сыпучей среды.

Теория разнопрочных сред представляет собой один из самых интересных и интенсивно развивающихся разделов механики. Свойством разнопрочности (разносопротивляемости) в той или иной мере обладают практически все известные природные искусственные материалы. Для некоторых из них несоответствие модулей упругости, пределов текучести или диаграмм ползучести, полученных при растяжении и сжатии, настолько мало, что им целесообразно пренебречь. Однако при изучении знакопеременных деформаций^ в сыпучих средах, представляющих собой частный случай разнопрочных материалов, такое пренебрежение невозможно. Например, идеальные среды, частицы которых свободно контактируют между собой, при сжатии ведут себя как упругие или упругопластические тела, в зависимости от уровня напряжений, и не сопротивляются растяжению. В связных средах (грунтах, горных породах) допустимые растягивающие напряжения существенно меньше сжимающих и не превышают критического значения, обусловленного сцеплением частиц. Для сравнительно широкого круга горных пород отношение пределов прочности.,на .сжатие и растяжение изменяется в диапазоне от 8 до 10, но для некоторых видов достигает 50 и более высоких значений, [3]. . ., ,

В настоящее время выполнено достаточно большое количество экспериментальных работ по исследованию механических свойств материалов, обладающих различной сопротивляемостью. При одноосном нагружении, производимом вдоль одного и того же направления, древесина, чугуны, бериллиевая медь, сплавы алюминия, горные породы, графиты, углепластик, пенопласты и многие другие материалы с микроразрушениями имеют несимметричные диаграммы деформирования при растяжении и сжатии, что и показано в работах Писаренко Г. С., Ковальчука Б. И., Лебедева А. А., Строкова В. И., Протосени А. Г., Hodgkinson Е., Richard J. T., Grover S. F., Munro W. и др. авторов, [8, 9, 17, 24, 25, 27, 29, 36, 44, 52, 67, 72, 77, 81, 82, 84, 85, 86]. При малых напряжениях эти диаграммы слабо нелинейны, обратимы и плавно, почти без излома, переходят одна в другую. Если аппроксимировать их прямыми, то модули при растяжении и сжатии могут существенно различаться между собой. В отдельных случаях эта разномодуль-ность, а также существенное различие соответствующих коэффициентов Пуассона объясняются влиянием микротрещиноватости, микронарушениями адгезионных связей, микровыпучиваниями волокон.

Согласно современным представления система микронарушений гранита около 1 % при отсутствии внешних нагрузок содержит межзе-ренные границы, микротрещины и поры, [88]. Благодаря такой структуре любое, даже достаточно малое, нагружение вызывает изменения в системе микронарушений гранита, которые выражаются, прежде всего, в закрытии межзеренных трещин. При давлениях больших, чем 200 . 300 МПа все эти трещины являются уже полностью закрытыми. Но при снижении давления эти трещины снова приоткрываются. Такие изменения в структуре горной породы при нагружении и разгрузке обусловливают нелинейность начального участка диаграмм чистого сжатия, приведенных в работе [88].

В экспериментах на двуосное пропорциональное нагружение чугуна в условиях плоского напряженного-состояния, [24, 37], и на трехосное осесимметричное пропорциональное нагружение песчаника, угля, каменной соли и других горных.пород, [23, 62, 63, 64, 87], обнаруживается расхождение диаграмм деформирования при малых, напряжениях с образованием веера кривых, полученных при разных коэффициентах пропорциональности.

В экспериментах на трехосное осесимметричное нагружение горных пород, [68], чугуна, [16], также наблюдается расхождение диаграмм деформирования. В экспериментах на трехосное неравнокомпонентное нагружение горных пород, [24, 37], наблюдается систематическое нарушение пропорциональности девиаторов напряжений и деформаций. При кручении чугуна, горных пород отмечается возникновение осевых деформаций сплошных и трубчатых образцов — явление Вертгейма Пойнтинга - Кельвина, [24, 37].

Таким образом, из приведенных экспериментальных данных можно сделать вывод, что система микронарушений, имеющаяся; в материале, .по-фазному реагирует на. разные типы нагрузки, что. приводит к нарушению пропорциональности девиаторов напряжений и деформа- .

Корректные с механической точки . зрения уравнения одноосного динамического деформирования разнопрочной среды, представляющие собой предельный вариант уравнений разномодульной теории упругости, [2,.43], исследованы Масловьш.и Мосоловым, [42]. Феноменологические модели пространственного напряженно-деформированного состояния связных грунтов при конечных.деформациях предложены Григоряном, [19], и Николаевским, [49]. Обобщению основных положений теории пластичности для описания динамики и статики равнопрочных сред посвящены также работы [6, 15, 22].

В работах В. П. Мясникова и В. М. Садовского получены некоторые аналитические результаты исследования модели, обобщающей классическую теорию упругости на случай материала, по-разному сопротивляющегося растяжению и сжатию, в частности, доказаны теоремы о разрешимости граничных задач, сформулированы вариационные принципы для оценки предельных состояний среды.

В монографии, [59], разработан принципиально новый подход, в котором определяющие соотношения разнопрочных материалов строятся с помощью реологических схем, включающих в себя специальный элемент - жесткий контакт. Путем комбинации этого элемента с традиционными элементами - упругой пружиной, вязким демпфером и пластическим шарниром - получены оригинальные математические модели механики сыпучих сред, учитывающие характерные особенности процесса деформирования.

Актуальность задачи. Многие природные и искусственные материалы разнопрочны, они имеют существенно различные прочностные свойства при растяжении и сжатии.

Классические модели механики деформируемого твердого тела - теории упругости, пластичности и ползучести - не учитывают этого фактора. В работах Амбарцумяна С.'А., [2], Мясникова В. П., [47], Олейникова А. И., [50], Цвелодуба И. Ю., [73], 3. Неутап, [79, 80], и Б. РавсиаЦ [76], и др. авторов разработаны специальные математические модели, описывающие деформирование материалов, по-разному сопротивляющихся растяжению и сжатию.

Вопросам численного исследования моделей разнопрочных сред посвящено относительно небольшое количество, публикаций. Эти модели существенно нелинейны, поэтому трудоемки для численного счёта. Одна из моделей, имеющих хорошую математическую структуру для применения прямых вычислительных методов, предложена в рабо-, те [48]. Основная цель данной работы - реализовать эту модель численно в плоских квазистатических задачах.

Диссертация посвящена исследованию процесса локализации деформаций в образцах из разнопрочнош. ¡материала. Важность решения этой задачи продиктована тем;, что в узких зонах локализации растягивающих; деформаций, в которых податливость материала оказывается значительно выше, чем в остальной части образца, па практике происходит микроразрушение, поэтому при. расчете конструкций на прочность такие зоны необходимо определять. В то же время, возможности построения точных решений в данной: задаче ограничены, поэтому актуальной является разработка вычислительных процедур.

Цель диссертации. В качестве основной цели исследования выступает разработка эффективного численного . метода для анализа напряженно-деформированного состоянияфазнопрочной упругопластиче-ской среды на основе метода конечных элементов.

Для достижения поставленной цели в, работе поставлены следующие задачи:

• построение численного метода решения задачи,

• создание компьютерных прикладных программ,

• применение разработанного алгоритма и программ к решению задач о локализации деформаций. ^

Объектом исследования настоящей работы является модель разнопрочной среды, по-разному сопротивляющейся растяжению и сжатию.

Методы исследования. В работе наряду с общими методами механики деформируемого тела применяются методы вариационного исчисления, элементы выпуклого анализа, численные методы. В качестве методики исследований используется вычислительный эксперимент, включающий в себя следующие этапы: математическая формулировка задачи, разработка вычислительного алгоритма, программирование для ЭВМ, проведение расчетов, анализ и визуализация полученных численных результатов.

Основные положения, выносимые на защиту:

1) приближенное решение задачи 'для цилиндрического образца с радиальным надрезом в случае линейной зоны локализации;

I I

2) обоснование гипотезы Друккера и Прагера о том, что линиями локализации в разнопрочной среде служат логарифмические спирали;

3) вычислительный алгоритм, реализующий модель разнопрочной среды на основе метода конечных элементов, и результаты численных экспериментов по исследованию линий локализации в образцах цилиндрической, прямоугольной и криволинейной формы.

Научная новизна, представленных в диссертации резуль

I п I татов. На основе специальной математической модели, обобщающей классическую теорию упругости на случай материала, по-разному сопротивляющегося растяжению и сжатию, впервые разработан алгоритм численного решения задачи о локализации деформаций в разнопроч-ной среде. Разработан комплекс компьютерных программ, включающий в себя подготовительный модуль, расчетный модуль и модуль визуализации результатов. Получены результаты численного исследования напряженно-деформированного состояния образцов из разнопрочного материала.

Достоверность результатов работы. Основные результаты работы снабжены строгими доказательствами. Достоверность полученных результатов подтверждается соответствием численных решений оценочным решениям, которое показало, что линиями локализации в плоском деформированном состоянии связной сыпучей среды служат логарифмические спирали. . , ,,,,,,

Практическая значимость результатов. Результаты диссертации представляют собой теоретический и практический интерес и могут быть применены в теории разнопрочных упругопластических сред.

Апробация работы.,,Основные .результаты исследований были представлены и обсуждены на следующих научных конференциях: Конференция-конкурс молодых ученых. ИВМ СО РАН (г. Красноярск, 2005 г., 2006 г., 2007 г.), Всероссийская конференция "Деформирование и разрушение структурно-неоднородных сред и конструкций" (г. Новосибирск, 2006 г.), VII Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (ИВМ СО РАН, СФУ, СибГТУ, г. Красноярск, 2006 г.), XX Всероссийская конференция по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (ИТПМ СО РАН, КузГТУ, г. Кемерово, 2007 г.),

V и VI Всесибирский конгресс женщин-математиков (ИВМ СО РАН, СФУ, СибГТУ, г. Красноярск, 2008 г., 2010 г.). Кроме того, результаты диссертации в целом докладывались на семинаре отдела «Вычислительной механики деформируемых сред» ИВМ СО РАН.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 печатных работ, из них 2 статьи в изданиях по списку ВАК.

Работа выполнялась при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 08-01-00148) и Междисциплинарного интеграционного проекта Сибирского отделения РАН № 40.

Структура диссертационной работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырехглав, заключения и трёх приложений. Список литературы включает 88 наименований, в том числе работы автора. Диссертация содержит 37 рисунков. Объем диссертации составляет 131 страницу, приложений - 18 страниц.

Заключение

Исследования, выполненные в рамках настоящей диссертационной работы, посвящены исследованию процесса локализации деформаций в образцах из разнопрочного материала.

В диссертационной работе получены следующие результаты:

1. С помощью кинематической теоремы теории предельного равновесия разнопрочной среды получено приближенное решение задачи деформирования цилиндрического образца из разно-прочного материала с радиальным надрезом в предположении о линейной зоне локализации и обоснована гипотеза Друккера и Прагера о том, что линиями локализации деформаций в плоском деформированном состоянии разнопрочной среды служат логарифмические спирали., , .

2. Предложен эффективный вычислительный алгоритм для исследования плоских квазистатических задач в рамках математической модели разнопрочной среды. Численное решение задачи строится с помощью сходящегося итерационного процесса, на каждом шаге которого решаются уравнения статической теории упругости с начальными напряжениями на основе метода конечных элементов.

3. На основании проведенных расчетов подтверждено наличие зон локализации деформаций в разнопрочных средах в модельных задачах о деформации цилиндрического образца с радиальным разрезом, о деформации прямоугольного образца с боковым надрезом, о локализации деформаций в углеграфитовом блоке электролизера, о продавливании связной сыпучей среды.

1. Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979. - 429 с.

2. Амбарцумян С. А. Разномодульная теория упругости. М.: Наука, 1982. - 320 с.

3. Баклашов И. В., Картозия Б. А. Механика горных пород. — М.: Недра, 1975. 271 с.

4. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. М.: БИНОМ, 2003. - 632 с. . / ,,

5. Бригадиров Г. В., Матченко Н. М. Вариант построения основных соотношений разномоульной теории упругости // Изв. АН СССР. МТТ. 1971. - № 5. - С. 100-109.

6. Бережной И. А., Ивлев Д. Д., Чадор В. Б. О построении модели сыпучих сред, исходя из определения диссипативной функции // ДАН СССР. 1973. Т 213, № 6. - С. 1270-1273.1 Г • I.

7. Бердичевский В. Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука, 1983. - 447 с.

8. Бурштейн Л. С. Диаграммы растяжения и сжатия песчаника // ФТПРПИ. 1964. - № 1. - С. 24-29.

9. Бурштейн Л. С. Статические и динамические испытания горных пород. М.: Недра, 1970. 176 с.

10. Быковцев Г. И., Ивлев Д. Д. Теория пластичности. Владивосток: Дальнаука, 1998. - 528 с.

11. Васидзу К. Вариационные принципы в теории упругости и пластичности. М.: Мир, 1978. - 542 с.

12. Виноградов Г. В., Малкин А. Я. Реология полимеров. М.: Химия, 1977. - 438 с.

13. Воеводин В. В. Численные методы алгебры (теория и алгоритмы). М.: Наука, 1966.

14. Воеводин В. В. Матрицы и вычисления / В. В. Воеводин, Ю. А. Кузнецов // Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1984. - 320 с.

15. Гениев Г. А., Эстрин М. И.' Динамика пластической и сыпучей среды. М.: Стройиздат, 1972. - 216 с.

16. Головенко В. С., Мидуков В. 3., Седоков Л. М. Прочность и деформируемость серого чугуна при всестороннем неравномерном сжатии // Пробл. прочности. 1973. - № 1. - С. 56-58.

17. Голъдмап А. Я., Фрейндин А. Б. Влияние гидростатического давления на деформирование АБС-пластика при сдвиге // Механика композитных материалов. -, 1989. № 1. - С. 23-28., , I11••V I .

18. Горунович С. В., Злобин В. С., Садовский В. М. Термонапряженное состояние подовой секции алюминиевого электролизера // Сиб. ж. индустр. матем. 2002. - Т. V, № 2(10). - С. 61-69.

19. Григорян С. С. Об основных представлениях динамики грунтов // Прикл. матем. и мех. 1960. - Т. 24, вып. 6. - С. 1057-1072.

20. Друккер Д., Прагер В. Механика грунтов и пластический анализ или предельное проектирование // Определяющие законы механики грунтов. Сер. «Новое в зарубежной науке». Вып. 2. М.: Мир, 1975. - С. 166-177.

21. Дюво jГ., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980. - 383 с.

22. Ивлев Д. Д. Механика пластических сред: Т. 1. Теория идеальнойпластичности. М.: Физматлит, 2001. - 448 с.< 1 , \

23. Каталог механичесиких свойств горных пород при широкой вариации видов напряженного состояния и скорости деформирования. Л.: ВНИМИ, 1976. 171 с.

24. Ковалъчук Б. И., Лебедев, А, А. Деформационные свойства серого чугуна при плоском напряженном состояни в условиях низких температур // Пробл. прочности. 1970. - № 7. - С. 9-13.

25. Ковалъчук Б. И., Лебедев А. А., Уманский С. Э. Механика неупругого деформирования материалов и конструкций. Киев: Наукова думка, 1987. - 280 с.I

26. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989. - 623 с.i

27. Кончиков В. В., Гурьев В. В. Упругие и прочностью свойства пенопласта с искривленными ячейками // Механика композитных материалов. 1983. - № 1. - С. 3-6.

28. Крылов А. Н. О численном решении уравнения, которым в технических вопросах определяются частоты малых колебаний материальных систем. // Известия АН СССР. Отделение математических и естественных наук. 1931. Серия VII № 4. С. 491-539.

29. Кузнецов Г. Н. Механические свойства горных пород. М.: Угле-техиздат, 1947. - 180 с.

30. Кузоватова О. И. Численное исследование локализации деформации в разнопрочной среде // Материалы конференции молодых учёных Института вычислительного моделирования СО РАН. -Красноярск: ИВМ СО РАН, 2005. С. 58-61.

31. Кузоватова О. И. Численное исследование предельного состояния разнопрочной среды // Материалы конференции молодых учёных Института вычислительного моделирования СО РАН. Красноярск: ИВМ СО РАН, 2006. - С. 60-63.

32. Кузоватова О. И. Исследование направления локализации деформации в разнопрочной среде // Материалы конференции молодых учёных Института вычислительного моделирования СО РАН. -Красноярск, 2007. С. 18-23.'' I I! к ' t • 1 . I •

33. Кузоватова О. И. Численное исследование задачи о продавлива-нии связной сыпучей среды / О. И. Кузоватова, В. М. Садовский // Вестник СибГАУ. Красноярск, 2009. - № 4. - С. 21-25.

34. Кусков Н. И. Некоторые результаты исследования физико-механических свойств углей // Труды ВНИМИ. 1964. 53. -С. 40-48.

35. Лебедев А. А., Ковалъчук Б. И., Ламашевский В. П. О коэффициенте поперчной дефомации углеродистой стали и серого чугуна при нормальной и низкой температурах // // Пробл. прочности. -1991. № 3. - С. 51-56.

36. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. - 537 с.

37. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972. - 416 с.

38. Марчук Г. И., Агошков В. И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981. - 416 с.

39. Марчук Г. И. Итерационные методы и квадратичные функционалы //Г. И. Марчук, Ю. А. Кузнецов // Методы вычислительной математики. Новосибирск: Наука, 1975. - С. 4-143.

40. Маслов В. П., Мосолов П. П. Общая теория решений уравнения движения разномодульной, упругой ¡среды // Прикл. матем. и мех. 1985. - Т. 49, вып. 3. - С. 419-437.

41. Маслов В. П., Мосолов П. П. Теория упругости для разномодуль-ной среды. М.: Изд-во Моск. ии-та электронного машиностроения, 1985. - 100 с.

42. Мешков Е. ВКулик В. И., У питие 3. Т., Нилов А. С. Деформирование ортогонально армированных органопластиков при одноосном растяжении и сжатии // Механика композитных материалов. 1987. - № 4. - С. 609-615.

43. Мосолов П. П., Мясников В. П. Вариационные методы в теории течений жестко-вязкопластических сред. М.: Изд-во МГУ, 1971. -114 с.

44. Мосолов П. П., Мясников В. П. Механика жесткопластических сред. М.: Наука, 1981. - 208 с.

45. Мясников В. П. Избранные труды // Том III. Механика технологических процессов. Владивосток: Дальнаука, 2008. 342 с.

46. Мясников В. П., Садовский В. М. Вариационные принципы теории предельного равновесия разнопрочных сред // Прикл. матем. и мех. 2004. - Т. 68, вып. 3. С. 487-498.

47. Николаевский В. Н. Определяющие уравнения пластического деформирования сыпучей среды // Прикл. матем. и мех. 1971. -Т. 35, вып. 6. - С. 1070-1082.

48. Олейников А. И. Основные общие соотношения модели изотропно-упругой разномодульной среды // ПММ. 1993. - Т. 57. Вып. 5. -С. 153-159.

49. Панферов В. М. Теория упругости и деформационная теория пластичности для твердых тел с разными свойствами на сжатие, растяжение и кручение // Докл. АН СССР. 1968. - Т. 180. - № 1. -С. 41-44.

50. Писаренко Г. С., Лебедев А. А. Деформирование и прочность материалов при сложном напряженном состоянии. Киев: Наукова думка, 1976. - 416 с.

51. Работное Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела.11. М.: Наука, 1979. 744 с.

52. Ревуженко А. Ф. Механика упругопластических сред и нестандартный анализ. Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та, 2000. -426 с.

53. Рейнер М. Реология. М.: Наука, 1965. - 224 с.

54. Садовский В. М. Методы решения вариационных задач механики. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1998. - 184 с.

55. Садовский В. М. Численное моделирование в задачах динамики сыпучих сред // Тр. мат. центра им:'Н.И. Лобачевского. Казань: Изд-во Казан, мат. о-ва, 2002. - Т. 15. - С. 183-198.

56. Садовский В. М. Реологические модели разномодульных и сыпучих сред // Дальневосточный математический журнал. 2003. - Т. 4, № 2. - С. 252-263.

57. Садовская О. В., Садовский В. М. Математическое моделирование в задачах механики сыпучих сред. М.: Физматлит, 2008. - 368 с.

58. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979. - 392 с.

59. Седов Л. И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1994. - Т. 2. - 560 с.

60. Ставрогип А. Н., Протосеня А. Г. Механика деформирования и разрушения горных пород. М.: Недра, 1991. - 224 с.

61. Ставрогип А. Н., Протосеня А. Г. Пластичность горных пород. -М.: Недра, 1979. 301 с.

62. Ставрогип А. Н., Тарасов Б. Г., Ширкес О. А., Певзнер Е. Д. Прочность и деформация горгых пород в допредельной и запредельной областях // ФТПРПИ. 1981. - № 6. - С. 3-11.

63. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988. - 333 с.

64. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов // Перевод с англ. Агошкова В. И., Василенко В. А., Шайдурова В. В. Под ред. Марчука Г. И. М.: Мир, 1977. - 350 с.

65. Строков В. И., Барабанов В. Н. Методика исследования прочностных и деформационных свойств графита в условиях сложного напряженного состояния // Заводская лаборатория. 1974. - № 9. -С. 1141-1144.

66. Тарасов Б. Г. Прочностные, упругие и деформационные свойства горных пород как функция структурных особенностей материалац И!

67. ФТПРПИ. 1992. - № 2. - С. 30-39.

68. Темам Р. Математические задачи теории пластичности. М.: Наука, 1991. - 288 с.

69. Фиалков А. С. Углеграфитовые материалы. М.: Энергия, 1979. -320 с.

70. Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости. М.: Мир, 1974. - 159 с.

71. Цабулис У. А., Грузиньш И. В., Зелтинъш В. ЯЗелтиня Д. П., Жмудь Н. П., Алкснис А. Ф. Исследование физико-механических свойств изоциануратуретановых пенопластов при разных температурах // Механика композитных материалов. 1988. - № 6. -С. 1110-1124.

72. Цвелодуб И. Ю. О разномодульной теории упругости // Прикладная механика и техническая физика. Новосибирск: РАН Сибирское отделение, 2008. Т. 49, № 1 (287). С. 156-164.

73. Экланд ИТемам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы.- М.: Мир, 1979. 399 с.

74. Cipra В. A. The Best of the '20г th Century: Editors Name Top 10 Algorithms. // Comput. Sei. Eng. 2000. - V. 332. - № 4.- P. 291-293.

75. Di Pascuale S. Questioni concernenti la meccanica dei mezzi non reagenti a trazione. In: Proceedings of the 7th National Conference of Applied and Theoretical Mechanics. AIMETA, Trieste. 1984.

76. Grover S. F., Munro W., Chalmers B. The moduli of aluminum alloys in tension and compression //J. Inst. Metals. 1948. - V. 74. -P. 310-314.

77. Hestenes M. R. Methods of conjugate gradients for solving linear systems. / M. R. Hestenes, E. Stiefel //J. Res. Nat. Bur. Standards Sect. 1952. - V. 495. - №5. - P. 409-436.

78. Heyman J. The stone skeleton. // Jornal of Solids and Structures. -1966. № 2. - P. 269-279.r

79. Heyman J. The safety of masonry arches. // Jornal of Mechanic Sciences. 1969. - № 2. - P. 363-384.

80. Hodgkinson E. On the transverse strain and strength materials // Memoirs or the Literary and Philosophical Society of Manchester. -1824. Second ser. 4. - P. 225-289.

81. Hodgkinson E. Theoretical-and experimental researches to ascertain the strength and best forms of iron beams // Memoirs or the Literary and Philosophical Society of Manchester. 1831. - Second ser. 5. -P. 407-544.

82. Kuzovatova О. I. Numerical Investigation of the Problem of Cohesive Running Soils Punching Shear / О. I. Kuzovatova, V. M. Sadovsky // Вестник СибГАУ им. акад. М. Ф. Решетпева. Красноярск, 2009. - № 5. - С. 36-40.1 I » I .I

83. Medri G. A nonlinear elstic model for isotropic material with different behaivor in tension and compression // ASME. J. of Eng. Mater, and Tech. 1982. - V. 104. - P. 22-27.1. I • ц , ■ i . ) »4 131 ¿^y^

84. Richards J. T. On evalution of several static and dynamic methods for determing elastic moduli // ASTM. Symp. on the Determin. of Elastic Constrants. Spec. Techn. Publ. 1952. - № 129.

85. Seldin E. J. Stress-strain properties of polycristalline graphites in tension and comression at room temperatures // Carboon. 1966.- V. 4. № 2. - P. 297-302.

86. Vijayakumar K., Ashoka J. G. A bilinear constitutive model for isotropic bimodulus materials // J. of Eng. Mater, and Tech. 1990.- V. 112. P. 372-379.

87. Walsh J. B. Static deformation of rock // J. of the Engineering Mech Div., ASCE. 1980. - V. 106. № EM5. - P. 1005-1019.