Математические модели критериев пластичности анизотропных разнопрочных пластин тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

005054091

На правах ру:

описи

ЕФИМОВ Иван Викторович

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ КРИТЕРИЕВ ПЛАСТИЧНОСТИ АНИЗОТРОПНЫХ РАЗНОПРОЧНЫХ ПЛАСТИН

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

- 1 НОЯ 2012

АВТОРЕФЕРАТ диссертации па соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2012

005054091

Работа выполнена на кафедре теоретической и прикладной механики математико-«шичкского факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент кафедры гидроупругости ПАВИЛАЙНЕН Галина Вольдемаровна (Санкт-Петербургский государственный университет)

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор кафедры вычислительных методов механики деформируемого тела Колпак Евгений Петрович

(Санкт-Петербургский государственный университет);

кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой прочности материалов и конструкций Невзоров Николай Иванович (Петербургский государственный университет путей сообщения)

Ведущая организация: Балтийский государственный технический университет

«ВОЕНМЕХ» им. Д.Ф. Устинова

Защита состоится "01 " НОЯвРД 2012. г. в I & часов на заседании совета Д212.232.30 но защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский пр., 28, математико-мехапический факультет, ауд. 405.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан

"ОирЬЛг 201 Я-г."

Ученый секретарь диссертационного совета, д.ф.-м.н., профессор І. Кустова Е.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. С каждым годом человечество ставит перед собой все более южные задачи при проектировании и строительстве. Обычные материалы и сплавы noli} не могут справиться с возложенными на них функциями. На замену им приходят >вые материалы, полученные различными методами и прошедшие специфические обра-

'ТКИ.

Изучение поведения и сопротивляемости таких материалов в конструкциях затрудня-ся различными видами анизотропии. Кроме того, во время создания и обработки даже отропного материала могут возникать неточности и внутренние напряжения, которые дальнейшем окажут существенное влияние на прочность деталей и их поведение под йствием нагрузок.

За последние годы круг исследований в этой области значительно расширился в связи «пользованием в различных областях техники пластически анизотропных, в частности, кстурированных материалов! Особый интерес представляет выявление критериев текучести, поскольку они позво-ют судить о том, какие нагрузки того или иного рода выдерживает материал прежде, м начать необратимые деформации. Изучению критериев текучести посвящены работы М. Жукова, A.A. Лебедева, Х.Бабела, В. Бэкофена, Д. Драккера, Ф. Ларсоиа, Н. Окубо, Стоктона, О.Г. Рыбакиной, Р. Хилла, Р. Мизеса, А. Треска, A.A. Трещева и других. Многие прикладные задачи механики деформируемого твердого тела, сводятся к задам двухосного напряженного состояния. В этих случаях поверхность, задаваемая крите-ем текучести, сводится к контуру текучести в плоскости. В настоящее время предложе-множество видов уравнений для описания контуров текучести различных материалов, современной практике возникает необходимость не только выявления вида этих урав-ний, но и определения конкретных значений их коэффициентов по различным экспе-ментальным данным. В частности, в качестве экспериментальных данных могут быть пользованы пределы текучести материала для различных видов нагрузок. Однако для льшинства существующих критериев текучести не существует способа определения ко->фициентов по таким данным.

Цель работы состоит в разработке общего метода определения коэффициентов для зличных моделей контуров текучести по ограниченному числу значений пределов теку-сти, полученных из эксперимента.

Научная новизна содержащихся в диссертации результатов состоит: в учете различ-[X видов анизотропии и разносопротивляемости материалов, при построении контуров кучести; в универсальности разработанного метода определения коэффициентов конту-в для различных моделей; в построении контуров текучести Мизеса, Хилла, Рыбакиной Трещева для нескольких сплавов по экспериментальным данным и проведении сравне-я полученных контуров с точки зрения минимизации целевой функции оптимизации раметров.

Результаты, выносимые на защиту:

1. Способ определения неизвестных параметров пластически анизотропных разнопроч-ных пластин по ограниченному числу экспериментальных данных на основе классических и новых математических моделей критериев пластичности и программа для ЭВМ, написанная на языке Delphi, реализующая данный способ.

)

2. Метод определение константы Липшица целевой функции оптимизации параметр, пластически анизотропных разнопрочных пластин.

3. Численный метод определения значения целевой функции оптимизации параметре уравнений контуров текучести для анизотропных разнопрочных пластин.

Теоретическая значимость полученных результатов определяется: вкладом в ра витие методов определения значений коэффициентов различных моделей контуров тек; чести; построением целевой функции оптимизации параметров контуров текучести, cm собом её вычисления и вычисления её частных производных; доказательством того, ч-целевая функция имеет глобальный минимум и удовлетворяет условию Липшица перво! порядка; аналитическими соотношениями для определения значений констант Липш ца, с помощью которых построена последовательность численных методов, позволяющг находить глобальный минимум целевой функции, определяющий искомые значения пар метров контура; расширением области применения методов многомерной оптимизации i обработку экспериментальных данных для построения контуров текучести анизотропнь материалов.

Практическая значимость полученных результатов заключается в разработана методике оценки прочности и упруго-пластических свойств анизотропных материалов. I основе экспериментальных результатов создана программа для ЭВМ, реализующая поел довательность методов для нахождения коэффициентов контуров текучести. С помощ1 этой программы построены известные ранее и новые, предложенные автором, копту! для сплавов Цирколой-1, Цирколой-2 и аустепитной нержавеющей стали. Новые конту{ текучести могут быть использованы для оценки механических свойств и других сплавс обладающих существенной анизотропией и разнонрочностыо.

В широко распространенных программных инженерных пакетах (ANSYS, ADIN Kosmos, Maple) отсутствует возможность нахождения коэффициентов контуров текучее по значениям пределов текучести, которые получены из эксперимента, поэтому онисыв; мая в работе программа представляет дополнительное практическое значение. Кроме toi с её помощью можно давать рекомендации по эффективному проведению эксперимент« которые в дальнейшем позволят с меньшей погрешностью прогнозировать момент нача пластического течения материала. Например, сравнение экспериментальных точек и i строенной гладкой кривой контура текучести позволяют оценить качество эксперимеи и повторить тот, результаты которого вызывают сомнение. Кроме этого с помощью щ граммы можно выявить условия нагружения, при которых эксперимент необходим д корректного построения контура текучести.

Основные результаты исследования ориентированы на определение прочностных : рактеристик деталей и конструкций из анизотропных материалов под действием разл! пых нагрузок.

Достоверность полученных в работе научных результатов определяется коррект! постановкой задачи исследования; использованием проверенных методов онтимизац! регрессионного анализа; строгой логикой доказанных утверждений; согласием теорети ских результатов с экспериментальными исследованиями; апробациями на конференцу и семинарах, наличием публикаций.

Апробация работы. Основные научные результаты, полученные в диссертации, , кладывались и обсуждались на семинарах кафедры теоретической и прикладной меха! ки математико-механического факультета СПбГУ, на объединенном семинаре СПбП

■ ГУПС «Компьютерные методы в механике сплошной среды», на международных кон-юренциях по механике «IV Поляховские чтения», «V Окуневские чтения», на встрече в [рездснском техническом университете в Германии.

Публикации. По теме диссертации опубликовано четыре работы. Список приведен конце автореферата. Работа [1| опубликована в журнале из перечня ВАК. Работы [2|-1| опубликованы в соавторстве: научному руководителю принадлежит общая постановка здачи и указания на идеи исследования, а их реализация принадлежит диссертанту.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав и за-лючения. Общий объем диссертации составляет 81 страницу, включая 48 рисунков, 4 1блицы и список литературы из 47 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении сформулированы основные задачи и цели исследования, дана оценка звизны и практической ценности полученных результатов. Приведен список результатов, вносимых на защиту.

В первой главе дан подробный список рассматриваемых контуров текучести, приводя два существующих метода определения коэффициентов контуров и формулируется 1дача исследования.

В первом параграфе содержится обзор основных видов критериев текучести, начиная первого критерия французского инженера-механика Анри Э. Треска, который пришел простому выводу, что пластическое течение начинается, когда наибольшее касательное шряжение достигает критической величины ту. Согласно этому условию, для начала гастической деформации необходимо

<71 - о2 = 2ту. (1)

юметрической интерпретацией этого уравнения в плоскости главных напряжений явля-ся шестиугольник, изображенный на рисунке 1.

о7

Рис. 1: Шестиугольник Треска

Следующим описывается квадратичное условие текучести Губера-Мизсса, которое, в [учае плоского напряжённого состояния представляется следующим уравнением:

а2у = + а\- ст,а2, (2)

и описывает эллипс на плоскости главных напряжений, симметричный относительно прямой (7! = <72 И имеющий центр, совпадающий с центром координат (рисунок 2 а). Шестт угольник Треска является вписанным в этот эллипс.

В 1948 году Р. Хиллом было предложено условие текучести для трапсверсалык изотропных материалов, которое, в случае плоского напряжённого состояния принимав

ВИД 2 2л 2 С

+ а2 - Aui<72 = ffy, V

где <7у - предел текучести при одноосном растяжении, А - параметр анизотропии. Э^ равенство определяет контур Мизеса с той разницей, что он может «вытягиваться» вдол прямой £71 = <т2 в зависимости от параметра А. (рисунок 2 Ь).

Далее рассматривается контур текучести ортотропных материалов с эффектом S О.Г.Рыбакиной, уравнение которого имеет вид:

у/FM - oä» + Cid - of)' + ЯК - „»>' + + + = (

где F, G, H, ai, а2, а3 - параметры, определяемые свойствами конкретного материал В случае плоского напряжённого состояния критерий О.Г. Рыбакиной в преобразование виде представляет следующее равенство:

anal + 2ai2<Ti<72 + a2202 + ai3ff i + <22302 + a33 = 0 (

Это уравнение является уравнением кривой второго порядка, его геометрической инте претацией с учётом физического смысла является произвольный действительный эллип содержащий внутри себя начало координат (рисунок 2 с)

В ряде работ предлагается определять критерий текучести материала в зависимое от функции вида напряженного состояния. Например, в работах научной школы Треще A.A. и его учеников предлагается условие пластичности в следующем виде:

F{atj) = г m) = кг, 1

где /(£) — функция вида напряжённого состояния, кт = \/Щт» (т» ~ предел текучее при чистом сдвиге), £ = a/So, S0 = ч/а2 + г2, ff - среднее напряжение или нормальи октаэдрическое, г — касательное октаэдрическое напряжение.

График контуров текучести в этом случае принимает вид, изображённый на рис> ке 2 d).

Список критериев пластичности не заканчивается этими пятью. Также известными s ляются поверхности текучести Мора-Кулона, Друкера-Прагера, Бреселя-Пистера и mi гих других, но в данной работе наиболее подробно будут рассматриваться именно ynofc нутые пять критериев, поскольку большинство других контуров являются их частньп случаями.

G

Рис. 2: Различные виды контуров текучести

Во втором параграфе приведены два существующих способа определения коэффици-[тов контуров текучести. Первый способ позволяет вычислить значение единственного юффициента контура Мизеса (2) по нескольким пределам текучести, получеппым из :сперимента, как среднее арифметическое. Второй способ позволяет строить контуры рещева и основан на аппроксимации функции вида напряженного состояния.

В третьем параграфе констатируется, что пределы текучести для различного вида «.грузок в различных направлениях определяются уже несколько десятилетий, однако ¡щего метода построения контуров по таким экспериментальным данным не существует.

Связано это, в первую очередь, с тем, что повышенный практический интерес к ани-ггропным, разносопротивляющимся материалам появился лишь в последние годы. По ой причине для приближенного вычисления пределов текучести по экспериментальным 1ННЫМ используются в основном контуры Мизеса, Хилла и другие, которые содержат не шее двух коэффициентов, определяемых свойствами конкретного материала, что недо-аточно для прогнозирования механических свойств анизотропных разиопрочных матс-1алов.

Подобрать значения этих коэффициентов по экспериментальным данным не составит особого труда. Увеличение числа коэффициентов существенно усложняет задачу их 1хождеиия, однако это позволяет с большей точностью прогнозировать, при каких иа-

пряжениях деформация материала перейдет в пластическую стадию.

Задача работы: разработать и реализовать общий математический метод нахождени значений коэффициентов различных видов контуров текучести но экспериментальны данным - пределам текучести при двухосном напряжённом состоянии, а также приме нить его для построения контуров сплавов Циркалой-1, Циркалой-2 и аустенитной нерж веющей стали.

Вторая глава посвящена методам определения значений коэффициентов контуре текучести анизотропных, разносопротивляющихся материалов.

В первом параграфе формализуется цель исследования. Согласно методу наименыт квадратов определяется целевая функция Е оптимизации параметров, которая поддеж! минимизации, равная сумме квадратов расстояний от точек-пределов текучести до ко: тура на плоскости главных напряжений:

Е{х 1,х2,-,х„1) = y^jh

(

где Xj - коэффициенты контура, k - расстояние от точки г-ого предела текучее до контура, п - количество пределов текучести, известных из эксперимента. Данпу формулу иллюстрирует рисунок 3.

(Р21,Р22) J

(piu pn) /

(Р\\:Р.Х>) Ф(съ v-i) — 0

Рис. 3: Контур текучести Ф с точками — экспериментальными данными в плоскости главн напряжений

Во втором параграфе проводится исследование целевой функции Е для случая, гда контур представлен действительным эллипсом, и для случая, когда он задан к1 терием Трещева. Доказывается утверждение, что целевая функция удовлетворяет ус. вию Липшица первого порядка, т.е. существует константа ¿ей такая, что для люб х,у £ X = {х е Нт\х{ £ [^Д]) выполнено условие:

\Е(х)-Е(у)\<Ц\х-у\\,

1И1 = 5>?-

В ходе доказательства проводится оценка сверху константы Ь, которая позволит находить минимум целевой функции методом перебора на неравномерной сетке, предложенным академиком РАН Ю.Г.Евтушенко.

В параграфах З-б приводятся четыре метода минимизации многомерной целевой функции Е: метод ручного подбора, метод координатного спуска, метод градиентного спуска и метод перебора на неравномерной сетке.

Метод ручного подбора основан па том, что любой человек способен решать многие задачи приблизительно, используя ранее приобретённый опыт, а также примерные оценки и сравнения различных величин.

Среди таких задач находятся задачи аппроксимации функцией известного вида методом наименьших квадратов. Для ручного построения контура необходимо предоставить человеку программные инструменты, с помощью которых он мог бы подбирать по визуальной информации форму контура наиболее подходящей к экспериментальным данным, тем самым уменьшая значение целевой функции Е.

Субъективность этого метода не позволяет строить решения с какой-либо определенной точностью, однако, в совокупности с другими методами он находит практическое применение.

Поиск минимума целевой функции Е{х) методом координатного спуска основан па поочередном фиксировании гп — 1 коэффициентов контура и нахождении минимума Е, как функции одного переменного хк — единственного не зафиксированного коэффициента. Т.е. спуск по т + 1-мерной поверхности Е = Е(х) ведется поочередно вдоль каждой из тп осей, соответствующей своему коэффициенту контура и продолжается, пока пе выполнено условие остановки алгоритма, когда на к-ом шаге изменение целевой функции оказывается меньше заранее заданного числа, то есть выполнено условие:

\Е(хк)-Е(хк.0| <е, (10)

где £ — требуемая точность.

Поиск минимума целевой функции Е(х) методом наискорейшего (градиентного) спуска основан на движении от точки-начального приближения в направлении обратном вектору градиента, вычисляемому по формуле:

АЕ - {— — — (11)

то есть в сторону наибольшего уменьшения целевой функции Е. На первой итерации вычисляется вектор градиента АЕ функции Е(х) в точке х(1), где х(1) — вектор коэффициентов контура начального приближения, которое может быть выбрано произвольно. Каждое следующее приближение вычисляется по формуле:

х{к+1) = !<*> - АДЕ^М), (12)

где А — параметр, характеризующий скорость спуска. Минимум считается достигнутым, если выполнено условие остановки (10).

Значение параметра А может быть задано постоянным, или быть адаптивным, то есть вычисляться на каждой итерации заново по некоторому алгоритму. Наиболее эффективный, хотя и наиболее сложный в реализации, метод подбора значения параметра А связан с направленной минимизацией целевой функции в выбранном направлении вектора АЕ(х^).

г = 4 (14)

Долевая функция Е(х) удовлетворяет условию Липшица первого порядка на ограниченном множестве D --- (х 6 R"'\x, е [a¡, 6,]) с константой L, поэтому, для нахождения глобального минимума может быть применен метод перебора па неравномерной сетке Ю.Г. Евтушенко.

Данный метод, называемой также методом неравномерных покрытий, решает задачу нахождения хотя бы одной точки у € D такой, что для любого х € D имеет место

Е(у) - Е(х) < е, (13)

где £ — некоторое заданное число.

Метод основан на ограниченности изменения значения целевой функции и заключается в переборе точек множества D с переме........ шагом, обеспечивающим нахождение

минимума целевой функции с заданной точностью.

Если в точке х £ D функция Е принимает значение Еи то в окрестности радиуса г

точки X

~~ L

функция Е может принимать только те значения, которые отличаются от Ei не больше, чем на е, а значит все точки этой окрестности, кроме х можно не учитывать при поиске минимума Е.

Кроме того, если известно, что функция Е п какой-то другой точке множества D принимает значение Е2 меньшее, чем Еи то ни п одной точке из окрестности х радиуса г

r = s + ~ Ё2 (15)

не может быть достигнуто значение функции Е меньшее, чем Е2 с точностью до 6, а значит данную окрестность можно не учитывать.

Множество D делится па квадратные подмножества, частично перекрывающие друг друга, которые являются вписанными в указанные окрестности, внутри которых потенциально может быть достигнут глобальный минимум с учетом требуемой точности е, константы Липшица L и с учетом ранее достигнутого минимального значения функции Е(х)

на предыдущих итерациях.

Для примера работы метода в шестом параграфе была взята функция двух переменных

f(x,y) = \/х2 + У2 ~ 3cos(\/х2 + у2) (16)

на множестве х,у € [-10,20]. Ясно, что её минимальное значение достигается при х = о, у = о и равно -3 (рисунок 4 а).

Рисунок 4 b иллюстрирует перебор на неравномерной сетке для трехмерной поверхно-

b)

Рис. 4: Иллюстрация метода перебора на неравномерной сетке для нахождения минимума функции двух переменных f(x,y).

Точками отмечаются пары (х,у), для которых вычислялось значение функции }(х,у). Перебор начинался из левого нижнего угла, то есть из точки (—10, —10). Внешний цикл увеличивает текущее значение х, внутренний - у. Как и следовало ожидать, шаг алгоритма уменьшается вблизи минимумов и увеличивается с удалением от глобального минимума, тем самым ускоряя работу алгоритма. Всего было произведено 13000 итераций, что в 3 раза меньше, чем количество итераций при переборе на равномерной сетке с той же погрешностью и константой Липшица.

В седьмом параграфе, на примере из случайных точек - пределов текучести, проводится анализ и сравнение рассматриваемых методов нахождения значений коэффициентов.

Как и следовало ожидать, метод ручного подбора коэффициентов с использованием визуальной оценки расстояния от экспериментальных данных до контура не дает точные результаты, а лишь приближенное решение без какой-либо гарантии, что необходимая точность будет достигнута. Этот метод применим в качестве инструмента, позволяющего быстро оценить возможные значения коэффициентов, порядок значения целевой функции, определить, какие экспериментальные данные обладают слишком большой погрешностью. Также данный метод позволяет найти начальные приближения для градиентного и координатного спусков и сделать визуальную оценку найденных ими локальных минимумов на предмет соответствия физическому смыслу. Кроме того, визуальные инструменты незаменимы для определения минимальных и максимальных значений коэффициентов контуров, которые используются в качестве входных параметров в алгоритм перебора па неравномерной сетке.

Алгоритм координатного спуска вместе с градиентным спуском, в отличие от метода ручного подбора, ищет минимум с заданной точностью. На практике оказывается, что если использовать в качестве начального приближения контур, найденный методом ручного подбора, то координатный и градиентный спуски приводят к искомому глобальному минимуму функции, однако, теоретически есть вероятность, что градиентный или координатный спуски не сойдутся даже в локальном минимуме. Алгоритм градиентного спуска

можот остановится п особой точке целевой функции, где градиент АЕ(х) = 0, но условие ДЕ(х) = 0 не является достаточным для того, чтобы говорить о локальном минимуме в точке х. В этом случае лучите справляется алгоритм координатного спуска, поскольку он не зависит от частных производных целевой функции и не прекращает сходится, когда длина градиента обращается в ноль.

Отрицательной стороной координатного спуска является то, что движение в пространстве коэффициентов контура происходит поочередно вдоль осей. В этом случае, если «овраг» целевой функции вытянут вдоль прямой, не параллельной одной из осей, то спуск может происходить бесконечно долго по времени, или остановиться, не достигнув локального минимума, который находится на дне «оврага». В этом случае предпочтительнее использовать градиентный спуск, поскольку его траектория спуска по поверхности Е(х) может быть под углом к координатным осям.

Таким образом, несмотря на то, что градиентный и координатный спуски часто приводят к одним и тем же результатам, применительно к данной задаче они не являются взаимозаменяемыми алгоритмами поиска локальных минимумов.

Последовательное применение ручного подбора, координатного спуска и градиентного спуска на практике приводит к минимуму целевой функции и искомому контуру, но пет гарантии, что найденный минимум будет глобальным. Метод перебора на неравномерной сетке гарантированно находит глобальный минимум с заданной точностью в указанных интервалах коэффициентов, поэтому он способен подтвердить ранее полученный результат или опровергнуть, найдя при этом истинное решение.

В работе не рассматривается время нахождения искомого контура строго в качестве показателя эффективности алгоритмов, однако принимается во внимание то, что построение контура текучести по экспериментальным данным теряет актуальность, если выполняется в неразумные сроки. Слишком большие интервалы, ограничивающие коэффициенты контура и отсутствие начального приближения могут привести к тому, что алгоритму перебора па неравномерной сетке потребуется на несколько порядков больше времени для нахождения глобального минимума, поэтому перед его применением следует с помощью ручного подбора оценить возможные значения, которые могут принимать коэффициенты контура, а в качестве начального приближения взять результат последовательного применения координатного и градиентного спусков.

Таким образом, учитывая особенности рассматриваемых методов построения контура текучести по экспериментальным данным строится следующая последовательность действий, в результате которой будет найден глобальный минимум целевой функции Е(х), соответствующий искомому контуру:

1. Нахождение заведомо верных интервалов для коэффициентов контуров ц е [а*Д].

2. Метод ручного подбора коэффициентов.

3. Метод координатного спуска.

4. Метод градиентного спуска.

5. Метод перебора на неравномерной сетке в интервалах X; <5 [<г>Л].

Коэффициенты контура, найденные методом ручного подбора передаются в качестве начального приближения в алгоритм координатного спуска, который уточняет найденное решение. Полученные коэффициенты передаются далее, в алгоритм градиентного спуска, результат которого передается в алгоритм перебора па неравномерной сетке. На каждом шаге происходит уточнение коэффициентов, а последний пункт гарантирует глобальность найденного решения.

Третья глава посвящена алгоритмам, реализующим методы построения контуров текучести по экспериментальным данным.

Уравнения большинства контуров текучести даны в виде неявных зависимостей

Ф(<ті,<т2)=0, (17)

поэтому, для построения их графиков, в первом параграфе предлагается преобразовать выражения в полярные координаты к явной зависимости г(а) и строить график циклом по а от 0 до 2тт с некоторым шагом ¿а, значение которого выбирается в зависимости от требуемой точности построения графика. Приводятся выражения г(а) для каждой из рассматриваемых моделей контуров. В качестве примера, на рисунке 5 изображены графики контура Хилла с различными значениями шага ¿а. На практике оказывается, что ¿а = 0.1 достаточно для того, чтобы график был гладким, без явных углов, что позволяет визуально оценивать расстояние от точек до контура.

Рис. 5: График контура Хилла при различных значениях шага ¿а

Во втором параграфе приводится метод вычисления значения целевой функции и зависимости от коэффициентов контуров и экспериментальных данных. Метод основан на приближенном вычислении расстояния от точки до контура и иллюстрируется рисунком б, на котором для наглядности увеличено значение шага ¿а. Частные производные целевой функции , используемые в методе градиентного спуска, так же определяются чис-

ленно с использованием известного двухточечного метода, описываемого формулой:

дЕ(х{) Д(х, + ДхО + Е(х{ - Ах.)

" 2Kx¡ ' (18)

Таким образом, значение целевой функции Е{х) вычисляется, как сумма квадратов приближенных расстояний, а частные производные Е вычисляются двухточечным методом.

В параграфах 3,4,5,6 рассказывается о том, как программно реализованы 4 метода минимизации целевой функции: метод ручного подбора, метод координатного спуска, метод градиентного спуска и метод перебора на неравномерной сетке. Приводятся снимки соответствующих программных визуальных инструментов. Особенностью перебора на неравномерной сетке в данном случае является то, что его выполнение может затянуться па длительное время. Для того, чтобы сократить время перебора было решено использовать параллельные вычисления па мпогоядерпых системах. Для этого область допустимых значений коэффициентов делится на несколько равных частей и поиск минимума осуществляется параллельно и независимо па каждой области.

Рис. 6: Приближенное вычисление расстояния от точки А до контура

Четвертая глава посвящспа построению контуров текучести по экспериментальным данным предложенным способом, заключающимся в последовательном применении трех методов минимизации целевой функции.

В первом параграфе проверяется достоверность способа построения путем сравнения с результатами уже существующего способа построения контура Губера-Мизег.а.

Выбираются несколько случайных точек имитирующих экспериментальные данные. По ним находится предел текучести при одноосном растяжении, как среднее арифметическое пределов, вычисленных по формуле

оу = + сг| - СГ1СГ2, (1Э)

дня всех точек. По найденному пределу текучести строится контур Губера-Мизеса.

Далее, по тем же самым точкам, с помощью предлагаемого в работе способа строится контур Губера-Мизеса.

Как и следовало ожидать, применение рассматриваемых методов для нахождения коэффициента (предела текучести при одноосном растяжении) контура текучести Губера-Мизеса приводит к тому же контуру, что и ранее известный метод с относительной разницей П.01% между значениями целевой функции.

Во втором параграфе строятся контуры текучести Ми'зеса, Хилла, Трещева и Ры-бакиной для аустенитной нержавеющей стали по экспериментальным данным, полученным в ходе сотрудничества с Фрайбургским институтом конструкционных материалов, Митгвайдским институтом строительной механики (ФРГ). Были достигнуты следующие значения целевой функции Е: контур Губера-Мизеса сообщает значение целевой функции Е = 21001 МПа2, контур Трещева - Е = 19999 МПа2, контур Хилла - Е = 18642 МПа2, контур Рыбакиной -Е = 14029МПа2.

Как и следовало ожидать, контур Рыбакиной обеспечивает наименьшее значение целевой функции, поскольку содержит 5 независимых коэффициентов и позволяет учитывать внутренние напряжения материала и разнопрочность. Однако, статистический анализ отклонения контуров от экспериментальных данных выявил, что для аустенитной нержавеющей стали контур Мизеса обеспечивает минимальную погрешность при прогнозировании текучести материала. Это означает, что данный материал не имеет выраженной анизотропии. Данный факт подтверждают и авторы экспериментальных исследований научно-

исследовательских институтом Фрайбурга и Миттванда Д. Кулавипскии, К.. Нагелі,, С. Хепкель, Р. Хюбнер, X. Фишер. М Кюне, Г. Вирмап.

В третьем параграфе по экспернмептальпым данным, приведенным в диссертации Пачулий В.Ш. в безразмерных единицах, построены контуры текучести для сплавов Циркалой-1 и Циркнлой-2.

Учет ортотропии, разпопрочпости и начальных напряжений и данном случае позволил существенно уменьшить значение целевой функции и для сплава Циркалой-1 и для сплава Циркалой-2. В обоих случаях статистический анализ отклонений контуров от экспериментальных исследований выявил, что контур Рыбакипой обеспечивает минимальную погрешность при прогнозировании текучести материала и что данные материалы проявляют выраженную анизотропию.

В четвертом параграфе приводятся условия па контуры, достаточные для того, ч тобы к ним можно было применять предложенный способ нахождения коэффициента» по экспериментальным данным. В качестве примеров таких контуров приводятся два обобщения контуров Рыбакипой (рисунок 7) и Хилла (рисунок 8).

Представленные в работе методы построения контуров легко применяются к данным )бобщепиям, поскольку они удовлетворяют всем достаточным условиям. Как и следовало >жидать, добавление дополнительных параметров приводит к уменьшению минимального шачеиия целевой функции. В случае па рисунке 7, для аустенитиой нержавеющей стали, минимум целевой функции упал со значения 14029 МПа* до 10403 МГ1а2, а в случае па жсунке 8 — со значения 19999 МПа" до ЮШМПа"1.

В заключении даны основные выводы по диссертации и сформулированы результаты >аботы.

Предложен способ определении неизвестных параметров пластически анизотропных ¡азпопрочных пластин по ограниченному числу экспериментальных данных па основе :лассичсских и новых математических моделей критериев пластичности.

Разработана программа для ЭВМ, написанная на языке Е)е1рЫ, реализующ.-Я построите классических и новых контуров текучести для различных материалов и обеспечива-ощая минимизацию целевой функции оптимизации параметров.

Проведено исследование многомерной целевой функции и произведена оценка сверху юнетанты Липшица, обеспечивающая нахождение глобального минимума.

\

Построены известные рапсе и новые контуры текучести для конструкционных сплав. Циркалой-1, Цирканой-З и аустенитной нержавеющей папі. Проведена статистпческа оценка точности построения всех контуров по экспернмеп іалвним данным, что позволил выявить наиболее подходящие модели контуров текучести для каждого из рассмотрении материалом (рисунок 9).

С помощью представленной программы обеспечена возможность оценки достоверност и достаточности экспериментальных данных для прогнозирования анизотропии и разж прочности современных конструкционных материалов.

Публикации автора по теме диссертации

Статья в журнале, рекомендованном ВАК:

1. Ефимов И.В. Математическая модель контура текучести анизотропных матери; лов. /7 «Вестник СПбГУ (Серия 1): математика, механика, астрономия», СПбГУ, 201: >1, с. 59-G5.

Другие публикации:

2. Ефимов И.В., Павилайпеп Г.В. Выбор критерия текучести тскстуриромапиых сил: вов. // Тезисы докладов международной научной конференции «IV Поляховские чтения СПбГУ, с. 194, 195.

3. Ефимом И.В., Павилайнен Г.В. Визуализация и выбор оптимального критерия т кучести текстурировапных сплавов. // Международная конференция «V Окуневскпе чт пия», тезисы докладов, СПбГУ, 200G, с. 156, 157.

4. Ефимом И.В., Павилайнен Г.В. Статистический анализ и математическое модел! ровапие при обработке экспериментом. // Моделирование и анализ массовых событий экономике и социуме, 2010, с. 7G-80.

Подписано к печати 27.09.12. Формат 60 х 84 'Лв. Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Печать цифровая. Печ. л. 1,00. Тираж 100 зкз. Заказ 5530.

Отпечатано в Отделе оператинной полиграфии химического факультета СПбГУ 198504. Санкт-Петербург, Старый Петергоф. Университетский пр., 26 Тел.: (812)428-4043,428-6919

Введение

1 Существующие способы построения контуров текучести

1.1 Основные критерии текучести

1.2 Существующие способы определения неизвестных коэффициентов контуров текучести.

1.3 Постановка задачи.

2 Методы построения контуров текучести

2.1 Формализация цели.

2.2 Исследование целевой функции.

2.3 Метод ручного подбора.

2.4 Метод координатного спуска.

2.5 Метод градиентного спуска.

2.6 Метод перебора на неравномерной сетке.

2.7 Сравнение приведенных методов.

3 Реализация методов построения контуров текучести

3.1 Построение графиков контуров текучести.

3.2 Вычисление значений целевой функции и её производных

3.3 Реализация метода ручного подбора.

3.4 Реализация метода координатного спуска.

3.5 Реализация метода градиентного спуска.

3.6 Реализация метода перебора на неравномерной сетке.

4 Построение контуров текучести по экспериментальным данным

4.1 Проверка рассматриваемых методов и их программной реализации на известных результатах

4.2 Построение контуров текучести аустенитной нержавеющей стали

4.3 Построение контуров текучести для сплавов Циркалой-1 и Циркалой-2.

4.4 Другие виды контуров текучести.

4.5 Верификация метода определения коэффициентов контуров текучести

Одной из важных задач механики деформируемого твёрдого тела является определение механических условий, вызывающих появление и развитие пластических деформаций в элементах конструкций. С каждым годом человечество ставит перед собой все более сложные задачи при проектировании и строительстве. Обычные материалы и сплавы порой не могут справиться с возложенными на них функциями. На замену им приходят новые материалы, полученные различными методами и прошедшие специфические обработки.

Материалам придают стойкость к различного рода нагрузкам порой за счёт стойкости к другим нагрузкам, которым конкретная деталь будет подвергаться в меньшей степени. Например, некоторые разновидности чугуна и других сплавов обладают эффектом SD (strength differ — эффект разносо-противляемости), когда предел текучести на сжатие значительно превышает предел текучести на растяжение. Такие материалы хорошо применимы там, где детали подвергаются сильному сжатию гидростатическим давлением, поскольку выдерживают значительные нагрузки прежде, чем начать пластическое деформирование. Также существуют способы изготовления и обработки, в результате которых материалы приобретают различные пределы текучести для различных направлений приложения нагрузок. Например, большой интерес представляет трансверсально-изотропный листовой прокат с повышенной сопротивляемостью пластическим деформациям в направлении толщины. Такие металлы обладают большими преимуществами по сравнению с изотропными при работе в условиях двухосного напряжённого состояния, что находит применение в конструкциях, по форме близких к сфере или цилиндру, работающих под давлением.

Изучение поведения и сопротивляемости таких материалов в конструкциях затрудняется различными видами анизотропии. Кроме того, ни один технологический процесс невозможно провести идеально. Как следствие, во время создания и обработки даже изотропного материала могут возникать неточности и внутренние напряжения, которые в дальнейшем окажут существенное влияние на прочность деталей и их поведение под действием нагрузок.

За последние годы круг исследований в этой области значительно расширился в связи с использованием в различных областях техники пластически анизотропных, в частности, текстурированных материалов.

Особый интерес представляет выявление критериев текучести материалов, поскольку они позволяют судить о том, какие нагрузки того или иного рода выдерживает материал прежде, чем начать необратимые деформации. Изучению критериев текучести металлов посвящены работы В. Бэкофе-на [1,2], А. Треска [3], A.M. Жукова [4,5], A.A. Лебедева [6,7], Д. Драккера [8], С.А. Куркина [9], Н. Окубо [10], Ф.Х. Томилова [11], О.Г. Рыбакиной [12], Р. Хилла [13], Р. Мизеса [14], В.В. Соколовского [15-18] , Ф. Ларсона [19], A.A. Трещева [20] и других.

Многие прикладные задачи механики деформируемого твердого тела, так или иначе, сводятся к задачам двухосного напряженного состояния, когда напряжения вдоль одной из осей либо отсутствуют, либо пренебрежимо малы. Например, изгиб различных пластин под равномерной нагрузкой, испытания тонкостенных оболочек внешним или внутренним давлением. В этих случаях поверхность, задаваемая критерием текучести, сводится к контуру текучести в плоскости. В настоящее время предложено множество различных видов уравнений для описания контуров текучести различных материалов. В современной практике возникает необходимость не только выявления вида этих уравнений, но и определения конкретных значений их коэффициентов по различным экспериментальным данным. В частности, в качестве экспериментальных данных могут быть использованы пределы текучести материала для различных видов нагрузок. Однако для большинства существующих критериев текучести не существует способа определения коэффициентов по таким данным.

Целью данной работы является разработка общего метода определения коэффициентов для различных моделей контуров текучести по данным пределам текучести материала, полученным из эксперимента.

В первой главе обсуждаются основные модели контуров текучести, а также некоторые существующие способы нахождения их коэффициентов для конкретных материалов по экспериментальным данным. Далее формулируется задача работы.

Во второй главе поставленная задача рассматривается подробнее: определяются основные соотношения, предлагается несколько подходов. Рассматриваются и сравниваются их возможности, области применения, сходимость, скорость работы, точность.

В третьей главе описывается реализация предложенных подходов, приводятся конкретные алгоритмы работы для ЭВМ, начиная от построения графиков неявных зависимостей, заканчивая алгоритмами автоматического подбора коэффициентов.

В четвёртой главе предложенный метод находит практическое применение. По экспериментальным данным для нескольких сплавов строятся различные виды контуров текучести, производится их сравнение и верификация методов. Для примера предлагается несколько новых моделей контуров текучести, обобщающих уже существующие.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Способ определения неизвестных параметров пластически анизотропных разнопрочных пластин по ограниченному числу экспериментальных данных на основе классических и новых математических моделей критериев пластичности и программа для ЭВМ, написанная на языке Delphi, реализующая данный способ.

2. Метод определение константы Липшица целевой функции оптимизации параметров пластически анизотропных разнопрочных пластин.

3. Численный метод определения значения целевой функции оптимизации параметров уравнений контуров текучести для анизотропных разнопрочных пластин.

Заключение

Среди известных способов построения контуров текучести материалов отсутствует общий метод построения по пределам текучести в различных направлениях при двухосном напряженном состоянии, полученным из эксперимента с некоторой погрешностью, поэтому целью данной работы выбран математический метод нахождения коэффициентов различных моделей контуров текучести по экспериментальным данным.

Задача нахождения коэффициентов контуров по экспериментальным данным сведена к задаче минимизации некоторой целевой функции Е зависящей от этих коэффициентов.

Проведено исследование функции Е, выявлены достаточные условия того, что Е непрерывна и удовлетворяет условию Липшица. Доказано выполнение этих условий для класса контуров текучести, в том числе для контура Мизеса, Хилла, Рыбакиной и Трещева. Проведена оценка сверху константы Липшица функции Е для указанных контуров, которая используется в дальнейшем при поиске глобального экстремума функции Е.

Предложено четыре метода подбора искомых коэффициентов: метод ручного подбора, метод координатного спуска, метод градиентного спуска и метод перебора на неравномерной сетке.

Выявлены особенности использования каждого метода в отдельности, применительно к данной задаче, составлена последовательность методов, гарантирующая нахождение глобального минимума.

Указанные методы реализованы в компьютерной программе, позволяющей применять их в любой последовательности для нахождения коэффициентов контуров Мизеса, Хилла, Рыбакиной и Трещева. В широко распространенных программных инженерных пакетах (ANSYS, ADINA, Kosmos, Maple) отсутствует возможность нахождения коэффициентов контуров текучести по значениям пределов текучести, которые получены из эксперимента, поэтому описываемая в работе программа представляет дополнительное практическое значение.

Проверена состоятельность методов и их программной реализации сравнением результатов построения контура Губера-Мизеса с результатами известного метода по одним и тем же точкам — экспериментальным данным.

Предложенная последовательность методов применена для подбора коэффициентов контуров для сплавов Циркалой-1, Циркалой-2 и аустенитной нержавеющей стали по экспериментальным данным. Для каждого вида контура вычислено минимальное значение целевой функции Е.

В качестве примеров других контуров текучести, удовлетворяющих достаточным условиям для применения найденного способа, предложены обобщения для контуров Рыбакиной и Трещева.

1. Бэкофен В. Процессы деформации. М.: Металлургия, 1977. - с. 288.

2. Backofen W.A., Hosford W.F., Burke J.J. Texture hardening, Trans, asme. 1962, vol. 55, PP. 264-267.

3. Tresca H. Memoire sur l'écoulement des corps solides sourmis á des fortes pressions. Em Comptes rendus de l'Académie des Sciences, 1864. - p. 59.

4. Жуков A.M. Прочность и пластичность сплава Д16Т при сложном напряженном состоянии// Ж. Изв. АН СССР."Отделение техн. наук". -1954. -№ 6. С. 61-70.

5. Жуков A.M. Механические свойства сплава МА-2 при двухосном растяжении// Ж. Изв. АН СССР, "Отделение техн. наук". 1957. -№ 9. -С. 66-65.

6. Механические свойства конструкционных материалов при сложном напряженном состоянии: справочник / A.A. Лебедев, Б.И.Ковальчук, Ф.Ф.Гигиняк, В.П.Ламашевский; Наукова думка, Киев,1983. с. 367.

7. Лебедев A.A. Методы механических испытаний материалов при сложном напряженном состоянии. Киев: Наукова думка, 1976. - с. 148.7Л

8. Drucker D.C., Stockton F.D. Instrumentation and fundamental experiments in plasticity. J. Proc. of the soc. for experim. stress analisys, 1953, v. 10, №2.

9. Прочность тонколистового металла и сварных соединений титановых сплавов при двухосном растяжении: сборник «Остаточные напряжения и прочность сварных соединений и конструкций» / С.А.Куркин,

10. B.Ф.Лукъянов, А.И.Смирнов, Н.С.Мешайкин; Машиностроением.,1969.1. C. 14-21.

11. Okubo Н. Bending of a thin circular plate of an anisotropic material under uniform lateral load (supported edge). J. appl. phys., 1949, v. 20, №12.

12. Томилов Ф.Х., Алименко И.А. Анизотропия пластичности листовых материалов. Воронеж, Воронежский политехи, институт, 1983. - с.7. -Рукопись депонирована в ВИНИТИ 16 ноября 1983 г., №6148-83.

13. Рыбакина О.Г. Критерий текучести анизотропного материала, обладающего эффектом sd. Исследования по упругости и пластичности. -Вестник Ленинградского университета, 1982. С. 14:132—142.

14. Hill R. Theoretical plasticity of textured aggregates. Math. proc. Cambridge phil. soc., 1979. - v. 85, №1. - PP. 179-191.

15. Механика твердых тел в пластическом деформированном состоянии / Мизес Р.// В сб. Теория пластичности. М.: Мир, 1948.

16. Соколовский В.В. Пластический изгиб круговой пластинки // «Инженерный журнал». 1963. - т. 3, вып. 3. - С. 563-567.

17. Соколовский В.В. Упруго-пластический изгиб круговой и кольцевой пластинок. Ж.: ПММ, т. ix, вып. 1, 1945. - С. 71-84.

18. Соколовский В.В. Теория пластичности . М.: Высшая школа, 1969. -с.607.

19. Соколовский В.В. Уравнения пластического равновесия при плоском напряженном состоянии. Ж.: ПММ. т. ix, вып. 1, 1945. - С. 71-84.

20. Larson F.R. Anisotropy of titanium sheet in uniaxial tension. Trans, asme, 1964, v. 75.-PP. 620-631.

21. Теории пластичности дилатирующих разносопротивляющихся материалов /Трещев А.А.// Проблемы машиностроения и автоматизации. -2003.-С. 2:58-62.

22. Теория пластичности, учитывающая остаточные микронапряжения /Кадашевич Ю.И. Новожилов В.В// Ж.: ПММ, т. xxii, 1958. С. 79-88.

23. Теория пластичности и ползучести металлов, учитывающая наследованные свойства и влияние скорости пластического деформирования на локальный предел текучести материала /Кадашевич Ю.И., Новожилов В.В.// Ж. Механика деформируемых сред. 1977, №2. -С. 3-32.

24. Качанов JI.M. Механика пластических сред. М. Гостехиздат, 1948. -с.216.7С

25. Качалов JI.M. Основы теории пластичности. М.: Высшая школа, 1958. -с. 318.

26. Упругопластический изгиб круглой трансверсально-изотропной пластинки /Павилайнен Г.В.//Вестник ЛГУ, 1983. С. 13:70-75.

27. Задача упруго-пластического изгиба круглой трансверсально-изотропной пластинки /Павилайнен Г.В.// Актуальные проблемы механики оболочек. Казань, КАИ, 1983. - С. 141—142.

28. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки. М.: Гостехиздат, 1957. -с.463.

29. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука, 1977. - с. 415.

30. R.V. Mises. Mechanik der plastischen formänderung von kristallen. -Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik, 1928. PP. 8:161-165.

31. Хилл Р. Математическая теория пластиности. М.: Физматгиз, 1965.

32. Рыбальченко С. А. Деформирование тонких пластин из разносопротивляющихся материалов за пределами упругости: Автореф. Дис. кан. Физ.-мат. Наук. Тульский государственный университет, 2010.

33. Забелин А.Н. Упруго-пластический изгиб тонких пологих оболочек положительной гауссовой кривизны за разносопротивляющихсяматериалов при больших прогибах: Автореф. Дис. кан. Физ.-мат. наук. -PhD thesis, Тульский государственный университет, 2010.

34. Characterization of stress-strain behavior of a cast trip steel under different biaxial planar load ratios / S. Henkel., P. Hiibner H., Fischer M., .// Engineering Fracture Mechanics, 2011. PP. 78:1684-1695.

35. Пачулий В.Ш. Некоторые осисимметричные задачи теории идеальной пластичности анизотропного материала: Автореф. Дис. кан. Физ.-мат. наук. PhD thesis, Тульский государственный университет, 1983.

36. Effect of nitrogen on corrosion-resistance and mechanical properties of steel with nitrogen martensite structure / Kostina M.V., Mushnikova S.Yu., Popov V.I., ./Металлы, 2003. PP. 4:84—92.

37. Crystallographic texture and mechanical properties of 09g2fb steel Sheets / Egiz I.V., EfronL.I., Izotov V.I., ./Металлы, 2003. -PP.4:93-99.

38. Овчинников А.Г., Унксов Е.П., Теория пластических деформаций металлов. М.: Машиностроение, 1983.

39. Смит Г., Дрейпер Н. Прикладной регрессионный анализ. М.: Издательский дом «Вильяме», 2007.

40. Гулин А.В., Самарский А.А. Численные методы. М.: Наука, 1987.

41. Филлиповская Е.А., Максимов Ю.А. Алгоритмы решения задач нелинейного программирования. М. МИФИ, 1982.л

42. Евтушенко Ю.Г. Численный метод поиска глобального экстремума функций (перебор на неравномерной сетке)// Журнал вычислительной математики и математической физики, 1971. С. 11:1390-1403.

43. Бахвалов Н.С. Численные методы. Мю: Наука, 1975.

44. Осовский С. Нейронные сети для обработки информации. М.: Финансы и статистика, 2004.

45. Влияние азота на коррозионные и коррозионно-механические свойства стали со структурой азотистого мартенсита / Костина М.В., Мушникова С.Ю., Попов В.И. и др. / Металлы, 2003. С.4:84-91.

46. Кэнту М. Delphi 6 для профессионалов. СПб.: Питер, 2002. - с. 1088.

47. Веремей Е.И., Мисенов Б.А. Программирование в среде delphi: учебное пособие. СПб.: Изд-во С.-Петербургского университета, 1997. - с. 88.

48. Ю.Г. Евтушенко, В.У. Малкова, А. А. Станевичюс. Параллельный поиск глобального экстремума функций многих переменных. 2008.