Анализ напряженного состояния и предельных нагрузок стержневой системы с элементом из разупрочняющегося материала при трехосном растяжении

Бурмашева, Наталья Владимировна

Анализ напряженного состояния и предельных нагрузок стержневой системы с элементом из разупрочняющегося материала при трехосном растяжении тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Бурмашева, Наталья Владимировна АВТОР

кандидата технических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Екатеринбург МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Анализ напряженного состояния и предельных нагрузок стержневой системы с элементом из разупрочняющегося материала при трехосном растяжении»

Автореферат диссертации на тему "Анализ напряженного состояния и предельных нагрузок стержневой системы с элементом из разупрочняющегося материала при трехосном растяжении"

На правах рукописи

БУРМАШЕВА НАТАЛЬЯ ВЛАДИМИРОВНА

АНАЛИЗ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ И ПРЕДЕЛЬНЫХ НАГРУЗОК СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ С ЭЛЕМЕНТОМ ИЗ РАЗУПРОЧНЯЮЩЕГОСЯ МАТЕРИАЛА ПРИ ТРЕХОСНОМ РАСТЯЖЕНИИ

Специальность 01.02.04 — Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

2 Я НОЯ 2013

Екатеринбург — 2013

005540361

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте машиноведения Уральского отделения Российской академии наук

Научный руководитель: Стружанов Валерий Владимирович

доктор физико-математических наук, профессор

Официальные оппоненты: Залазинский Александр Георгиевич

доктор технических наук, профессор, ФГБУН Институт машиноведения Уральского отделения Российской академии наук, заведующий лабораторией

Радченко Владимир Павлович доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО "Самарский государственный технический университет", заведующий кафедрой прикладной математики и информатики

Ведущая организация: ФГАОУ ВПО "Уральский федеральный

университет им. первого Президента России Б.Н. Ельцина "

Защита диссертации состоится 10 декабря 2013 года в 15 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 004.023.01 при Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте машиноведения Уральского отделения РАН по адресу: 620049, г. Екатеринбург, ул. Комсомольская, 34.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института машиноведения Уральского отделения Российской академии наук.

Автореферат разослан " $ " ноября 2013 года.

Ученый секретарь диссертационного совет; JL л

доктор технических наук, профессор v/vj^m^ Коновалов A.B.

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследований. Постоянное ужесточение требований, предъявляемых к качеству элементов конструкций, предполагает внедрение в практику проектирования всё более совершенных методов расчета их прочности, долговечности, надёжности и живучести. Создание новых методов базируется на введении в рассмотрение свойств материалов, не учитываемых в традиционных теориях механики деформируемого твёрдого тела, например, свойства материалов, проявляющиеся в наличии ниспадающих участков на диаграмме деформирования — стадии разупрочнения.

Необходимость исследования закритичсского поведения систем обосновывается тем, что знание свойств тел на закритической стадии деформирования позволяет полнее использовать имеющиеся прочностные резервы, что приводит в итоге к повышению безопасности механических систем, включающих тела, для которых осуществимо закритичсское деформирование. При этом стадия разупрочнения характеризуется накоплением в материале микротрещин и возникновением магистральной трещины, которая в результате является основной причиной снижения нагрузки.

В экспериментальных и теоретических работах российских и зарубежных ученых, среди которых С.Д. Волков, И.С. Ворошок, В.А. Ибрагимов. Ю.В. Кадашевич, Д.В. Клюшников, В.В. Новожилов, A.A. Лебедев, Н.Г. Чаусов, Л.В. Никитин, Е.И. Рыжак, В.В. Стружанов, В.П. Радченко,' В.Э. Вильдеман, Z.P. Bazant. J.Bobinski, М. Brocca, D.C. Drucker, R.H. Evans, Е. Smith, R.Y. Xiao и других была установлена принципиальная возможность экспериментального построения диаграммы деформирования с падающей до нуля ветвыо, и установлен, по крайней мере, на качественном уровне эффект от включения в рассмотрение закритической стадии деформирования (разупрочнения), заключающийся в уточнении значения предельной несущей способности и напряженно-деформируемого состояния, предшествующего разрушению.

Закритическое деформирование заведомо неустойчиво, но неустойчивые состояния материала могут быть реализованы, если этот материал находится в составе устойчивой механической системы. Осуществимость неустойчивых состояний существенно связана с неодномерностью тел и не имеет одномерных аналогов.

го гарантирует корректность задач, являлся, да и является, условием для отбраковки моделей. Однако, как показано в некоторых работах Стружа-нова В.В., Вильдемана В.Э. и др., невыполнение постулата Друккера не препятствует решению отдельных задач механики. Кроме того, показано, что учет разупрочнения может позволить расчитывать предельную нагрузку, близкую к реальности. Дальнейшее распространите выдвинутых предположений требует решения конкретных неодномерных задач, на которых возможно было бы выяснить все особенности теории разунрочняющегося тела. Такие примеры наглядно бы демонстрировали постановки задач, подходы и методы их решения и позволяли бы исследовать эффекты, скрытые при общем рассмотрении. Кроме того, построенные методы и алгоритмы уже на данном этапе исследования проблем разупрочнения материала в элементах конструкций могут быть включены в практику проектирования отдельных конструкций.

Целью данной диссертационной работы является разработка методов анализа напряженного состояния и расчета предельных нагрузок градиентной дискретной механической системы, моделирующей деформационное поведение и разрушение при трехосном растяжении в упругой среде элемента из разупрочняющегося материала (элементы толстостенных труб и сферических сосудов большого диаметра при внутреннем давлении), и общих принципов позволяющих уже на данной стадии внедрять в практику проектирования эти методики для решения аналогичных задач, возникающих при проектировании конструкций.

Для достижения указанной цели были поставлены следующие задачи:

1. Описать упрочнение и разупрочнение материала при его трехосном деформировании единым выпукло-вогнутым потенциалом, позволяющим на обеих стадиях записать связь между напряжениями и деформациями в виде конечных соотношений.

2. Развить эффективные численные методы расчета параметров всех положений равновесия, в том числе и неустойчивых, в применении к рассматриваемой мехнической системе.

3. Разработать методику, позволяющую находить предельные значения нагрузок, близкие к реальности, без решения систем нелинейных уравнений равновесия.

Научная новизна заключается в следующем:

1. Показана возможность построения выпукло-вогнутого потенциала, который с единых позиций описывает свойства материала при его упрочнении и разупрочнении в результате активного трехосного растяжения.

ства деформаций в пространство напряжений, обладающее особенностями. Эти особенности связаны с вырождением матрицы Якоби потенциала, причем точки вырожденности соответствуют пограничному состоянию материала (переход от упрочнения к разупрочнению).

3. Выписана потенциальная функция для всей механической системы, и установлено, что порождаемые ею уравнения равновесия имеют несколько решений. Приведена методика определения числа решений (положений равновесия) для заданной внешней нагрузки.

Теоретическая значимость исследований обоснована тем, что предложенные методы и подходы могут быть использованы для дальнейшего развития теоретических положений механики разупрочняющихся материалов и разработки эффективных методов расчета на прочность и живучесть различных конструкций, которые вследствие учета стадии разупрочнения позволят полностью использовать ресурс материала.

Практическая значимость работы.

Разработана численная процедура выбора необходимого числа начальных приближений для реализации итерационной схемы метода Ньютона-Канторовича к задаче об определении параметров всех равновесных состояний исследуемой механической системы.

Разработана методика расчета предельных нагрузок, позволяющая избежать решения систем нелинейных уравнений равновесия. Методика основана на использовании сепаратрисы потенциальной функции механической системы.

Изложенные результаты вносят необходимую ясность о целях и путях дальнейшего использования стадии разупрочнения при практических расчетах. Кроме того, рассмотренная механическая модель уже сейчас может быть применена для анализа разрушения в отдельных элементах ответственных систем, таких как трубы большого диаметра и сферические сосуды.

Результаты исследований внедрены в учебный процесс и составляют содержание некоторых разделов спецкурса "Устойчивость деформируемых тел из разупрочняющихся материалов"магистерской программы "Механика деформируемого твердого тела", направление 010800 — Механика и математическое моделирование в Институте математики и компьютерных наук Уральского федерального университета имени первого Президента России Б.Н.Ельцина.

Исследования, представленные в диссертационной работе, выполнялись при поддержке грантов РФФИ (проекты 10-08-00135, 10-01-96018-р_Урал_а, 13-08-00135) и молодежного научного проекта Президиума УрО РАН № 11-1-НП-539.

Методология и методы исследований. При проведении исследо-

ваний использовался аппарат математической теории катастроф, теории особенностей дифференцируемых отображений, функционального анализа и механики деформируемого твердого тела. Методологическую основу диссертационной работы составляют труды научного руководителя, д.ф,-м.н., профессора В.В. Стружанова.

Положения, выносимые на защиту:

1. Методика построения единого выпукло-вогнутого потенциала, описывающего при активном трехосном растяжении материала его свойства как на стадии упрочнения, так и на стадии разупрочнения.

2. Метод определения числа решений нелинейных уравнений равновесия градиентной механической системы.

3. Применение метода Ныотона-Капторовича для вычисления неедин-ствснных решений. Процедура выбора необходимого числа начальных приближений для реализации итеррационпой схемы Ныотона-Канторовича.

4. Численный метод построения сепаратрисы потенциальной функции механической системы и методика определения предельных значений нагрузок.

Достоверность и обоснованность научных результатов обеспечивается строгой математической постановкой задачи, использующей минимальное число допущений и корректным применением для ее решения современного математического аппарата и законов механики деформируемого твердого тела, а также проведением тестовых расчетов.

Установлено качественное совпадение результатов, полученных в работе, с результатами, представленными в публикациях других исследователей по растяжению стержневых систем с разупрочняющимися элементами и совместному растяжению с кручением круговых стержней из разупроч-няюгцегося материала.

Апробация работы. Результаты, составившие основу диссертационной работы, обсуждались и докладывались на следующих семинарах и конференциях: 16-ая, 17-ая, 18-ая, 19-ая Всероссийская школа-конференция молодых учёных «Математическое моделирование в естественных науках» (г. Пермь, 2006-2009); XV,XVI Всероссийская зимняя школа по механике сплошных сред (г. Пермь, 2009, 2011); III, IV, V Российская научно-техническая конференция «Разрушение, контроль и диагностика материалов и конструкций» (г. Екатеринбург, 2007, 2009, 2011), четвёртая, пятая, шестая, седьмая Всероссийская конференция с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 2007-2010), Всероссийская научно-техническая конференция «Проблемы безопасности критичных инфраструктур территорий и муниципальных образований» (г. Екатеринбург, 2007-2009); V Всероссийская конференция «Механика микронеоднородных материалов и разрушение» (г. Екатеринбург, 2008); 37111

International Summer School «Advanccd Problems in Mechanics» (Russia, St. Petersburg (Repino), 2011); Международная конференция по математической теории управления и механике (г. Суздаль, 2011, 2013); Международная конференция но дифференциальным уравнениям и динамическим системам (г. Суздаль, 2012); Всероссийская молодежная конференция "Современные проблемы механики "(Екатеринбург, 2010-2012).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 19 работ (не считая тезисов докладов), из них 5 статей в ведущих рецензируемых научных изданиях, входящих в перечень изданий, рекомендованных ВАК.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, списка литературы, включающего 151 источник, и приложения. Работа содержит 23 рисунка и 4 таблицы. Общий объем диссертации составляет 115 страниц машинописного текста.

Содержание диссертации

Во введении обосновывается актуальность темы исследования и приводится общая характеристика работы, практическая и теоретическая значимость, формулируются цели диссертации, описываются результаты, выносимые на защиту.

В первой главе приводится обзор научных публикаций по исследованию тел, выполненных из материалов с эффектом разупрочнения. Рассмотрены аналитические и численные подходы к решению краевых задач деформирования таких тел на падающей ветви. Выполнен анализ основных направлений исследования разупрочняющихся тел в составе устойчивой системы. На основе анализа приведенных ссылок сформулированы цели и задачи диссертационного исследования.

Вторая глава посвящена описанию одной математической модели разупрочняющсгося тела, взятой за основу для иллюстрации разрабатываемых в ходе исследований методов анализа напряженного состояния и определения предельных нагрузок.

Рассматривается стержневая механическая система, в которой кубический элемент 4, выполненный из материала, обладающего эффектом деформационного разупрочнения, подвергается трехосному растяжению в системе, в которой растягивающие усилия на куб передаются посредством трех линейно упругих стержней с жесткостями Ai,A2,A3 соответственно (рисунок 1). В недеформированном состоянии длина ребер куба равна единице (отсчетная конфигурация). Грани куба с одной стороны скреплены шарнирами с абсолютно жесткими стенками, с другой стороны с упругими стержнями 1,2,3 таким образом, чтобы в процессе трехосного растяжения куб мог принимать только форму прямоугольного параллелепипеда.

Точкам свободных концов стержней 1,2.3 задаются монотонно возрастающие перемещения иъи2,и3 (жесткое нагружение), либо к ним приложены монотонно возрастающие усилия Ри Р2, Рз (мягкое нагружение). Нагружение системы происходит при постоянной температуре и столь медленно, что возможно пренебречь динамическими эффектами. В рассматриваемой модели возможны несколько видов нагружения системы, которые можно разделить на три типа: кинематическое нагружение посредством задания трех перемещений, силовое нагружение с помощью приложения трех сил, смешанное нагружение посредством одного перемещения и двух сил или с помощью двух перемещений и одной силы.

В ходе нагружения системы грани куба не меняют ориентацию и в от-счетной конфигурации получают удлинения £г(г = 1,2,3). По граням куба действуют равномерно распределенные усилия интенсивностью (¡г- Равнодействующие этих усилий равны (п = д^, где 5,а — площади граней в актуальной (текущей) конфигурации.

Величины <х; можно рассматривать как номинальные напряжения, равные отношению величины силы, перпендикулярной к материальной площадке, к ее первоначальной площади. Величины ег можно трактовать как деформации, определяемые отношением удлинения отрезка к его первоначальной длине. Считаем, что деформации куба возрастают монотонно, то есть обеспечивается его активное деформирование.

Упорядоченные системы из трех вещественных чисел {сЬ с2, £3} можно рассматривать как элементы трехмерного евклидова пространства деформаций Ее, а упорядоченные системы вещественных чисел {сть а2, 03} — как элементы евклидова пространства напряжений . Посредством некоторого отображения х, заданного функциями

Рисунок 1 — Механическая система

= 0(еъеа«е8),(*=1,3)

(1)

точкам кривой х (путь деформирования) ставятся в соответствие точки в пространстве образующие путь нагружения. Если в некоторой точке ЛГ(

с 1 лг 5 с2/у' -3л/ )б Ее якобиан отображения (1) вырожден(йе£/ = 0), то согласно теореме о неявной функции решение уравнения х(е) = р в окрестности 6м этой точки не является единственным для р £ .\(<5дг), хотя отображение х остается однозначным. Такие точки назовем особыми точками отображения х-

Под активным нагружением будем понимать такой процесс, при котором элементарная работа 5А напряжений положительна, а именно, 5А = р • <$е > О. Здесь р — вектор силы в момент начала догружения, а догружение осуществляется посредством задания вектора 5е. Когда при любом активном догружении полное приращение работы ДА возрастает, то сопротивление материала увеличивается. Следовательно, материал находится в состоянии упрочнения. Полное приращение ДА возрастает, когда ¿р-(5е > О. Поэтому данное неравенство представляет собой условие общего упрочнения (упрочнения в целом). Если при любом активном нагружении выполняется неравенство <5р • £е < О, то имеет место общее разупрочнение (разупрочнение в целом). Когда данное неравенство справедливо только для некоторых путей догружения, то будем говорить, что материал находится в состоянии частичного разупрочнения.

Векторное поле р, образованное отображением х, можно разложить на сумму векторов р = с + г, где вектор с определяет потенциальное векторное поле (П — скалярный потенциал векторного поля), а вектор г задает соленоидальное поле. Всюду далее будем полагать, что деформирование происходит в потенциальном поле с потенциалом П(еЬ£2,£з), то есть отображение х определяют формулы р = grad П.

Показано, что в случае деформирования в потенциальном поле со скалярным потенциалом работа напряжений в данном случае определяется потенциальной функцией П. А элементарная работа напряжений равна с/Л = ¿вт Н(\\) йе, где Я(П) есть матрица Гессе смешанных производных потенциала П. Откуда следует, что если в изображающей точке, из которой происходит догружение, гессиан функции П положительно определен, то функция П строго выпукла вниз, что отвечает устойчивому характеру процесса деформирования (упрочнение). Когда при догружении в любом направлении гессиан отрицательно определен, то функция П строго выпукла вверх, что отвечает общей неустойчивости процесса деформирования (общее разупрочнение). Если же гессиан знаконеопределен, то функция П не выпуклая и не вогнутая, то есть имеет место седловая точка. При одних путях догружения, исходяших из заданной изображающей точки, тело упрочняется, при других — разупрочняется (частичное разупрочнение). Заметим, что состояние разупрочнение есть состояние собственной неустой-

чивости материала (физической неустойчивости), при которой непрерывность процесса деформирования возможна только при специальных условиях нагружения, подавляющих данную неустойчивость.

При одноосном деформировании полная диаграмма получается дифференцированием одномерной потенциальной функции, имеющей область выпуклости вниз, отвечающую устойчивости материала, точку перегиба, определяющую пограничное состояние и область выпуклости вверх (неустойчивость материала). Таким образом, можно с достаточной степенью точности считать, что при неодноосном деформировании с разупрочнением свойства материала должны описываться многомерной потенциальной функцией, имеющей область выпуклости вниз и, в общем случае, седловые точки (или области выпуклости вверх). А также точки, разделяющие состояния упрочнения и разупрочнения.

Если среда описывается непрерывно дифференцируемой функцией П, то в пространстве деформаций присутствует только одно силовое поле. В этом случае все поверхности уровня потенциала П подобны поверхностям уровня для упругого материала и имеют замкнутую форму. Переход материала в состояние пластичности, а также достижение предела прочности происходит тогда, когда удельная потенциальная энергия принимает некоторые заданные значения, не зависящие от вида пути деформирования. Каждому такому состоянию отвечает конкретная поверхность уровня, что согласуется с энергетической теорией прочности Бельтрами-Хэйга. Кроме того, существует предельная поверхность уровня, на которой потенциал имеет максимальное значение, равное работе разрушения, которая при одноосном растяжении равна площади, ограниченной полной диаграммой деформирования с падающей до нуля ветвью. На основании этих идей в работе приведена, не претендуя на общность, одна методика построения таких потенциальных функций, описывающих качественные характеристики разупрочняющегося материала.

Суть ее заключается в следующем: в условиях данной постановки задачи при изотермическом трехосном деформировании рассматриваемого образца удельная потенциальная энергия деформаций П(еь£2,£з) отождествляется со свободной энергией на всех стадиях деформирования материала, включая и закритическую стадию (разупрочнение). Из данного предположения вытекает, что работа напряжений не зависит от вида пути деформирования, а определяется положением начальной и конечной точек в пространстве деформаций.

Рассмотрим удельную потенциальную энергию упругих деформаций куба как квадратичную форму. Матрицу, отвечающую этой форме, можно рассматривать как матрицу симметричного преобразования евклидова пространства деформаций, а значит, ее можно привести к диагональному

виду путем ортогонального преобразования базиса. В новой системе координат эта матрица определяет поверхность второго порядка, являющуюся элипсоидом с известным соотношением главных осей. В силу сделанных предположений поверхности уровня единого потенциала П в области неупругости также будут элипсоидами с тем же отношением главных осей. Остается только найти распределение значений потенциала П по этим поверхностям уровня. Для этого на одной из осей новой системы координат берем произвольную точку и определяем элипсоид, но котором она лежит. Затем, учитывая, что путь, направленный по этой оси, реализуется при чистом сдвиге, по полной диаграмме сдвига найдем энергию деформаций. И, наконец, делая обратную замену координат, получаем искомый единый потенциал П.

Данный подход был реализован, в результате чего для исследуемого раузпрочняющегося элемента был получен следующий единый потенциал:

П(еи £2, е3) = В 11 - ехр [Л(£1 + е2 + £з)2 + + 4 + 4)]) } -

Геометрически соответствующая данной записи поверхность есть трехмерная поверхность в четырехмерном пространстве. Качественный вид построенного потенциала при фиксированной одной переменной приведен на рисунке 2. Кроме того, матрица тангенциальных жесткостей, определяемая данным потенциалом, имеет шесть не равных нулю компонент, что указывает на приобретенную в ходе неупругого деформирования анизотропию материала.

Рисунок 2 — Потенциал П при = О

Третья глава посвящена проблеме поиска методов, позволяющих найти все возможные решения уравнений равновесия. Ситуации, когда состояние некоторой системы (градиентной) определяются функцией типа

потенциала У(хиу5), зависящей от конечного числа задаваемых параметров управления и параметров состояния, определяющих положение системы при заданных управлениях, являются очень распространенными. Если, кроме того, потенциальная функция является невыпуклой, то уравнения равновесия таких систем могут иметь неединственное решение. Существуют такие совокупности параметров управления, которым отвечает несколько равновесных состояний системы. Знание характеристик всех положений равновесия необходимо для анализа напряженного состояния исследуемой механической системы. Как правило, заранее неизвестно, существуют ли вообще решения, и если существуют, то сколько.

Систему уравнений равновесия здесь и далее рассматриваем как дифференцируемое отображение в общем случае обладающее особенностями, связанными с вырождением матрицы Якоби. В данной главе на основе свойств таких отображений изложена методика определения числа решений и их вычисления с помощью численной схемы Ныотона-Канторовича. Известно, что основной проблемой применения метода является выбор таких начальных приближений, начиная с которых метод сходится, причем число начальных приближений должно равняться числу решений. Для нахождения соответствующих начальных приближений используется представление уравнений равновесия как отображения пространства состояний в пространство управлений. Это однозначное отображение позволяет найти в пространстве управлений области, для точек которых уравнения равновесия имеют одинаковое число решений, и, кроме того, прообразы этих областей в пространстве состояний, в которых и следует искать начальные приближения для метода Ныотона-Канторовича. Разрабатываемый алгоритм численного определения характеристик всех равновесных состояний (в том числе и неустойчивых) проиллюстрируем на примере вычисления параметров равновесий стержневой механической системы, осуществляющей трехосное растяжение элементарного куба из нелинейного разупроч-няющегося материала при жесткой схеме нагружения

При активном деформировании исследуемая механическая система гра-диентна и ее поведение описывается потенциальной функцией

¡=1 £

где первые три слагаемые — это энергия деформаций линейно упругих стержней 1,2,3, последнее слагаемое — выпукло-вогнутый потенциал, определяющий свойства куба. Параметры управления здесь щ — перемещения свободных концов упругих стержней, параметры состояния е,- — деформации куба.

Уравнения равновесия \У,С{ = 0 определяют отображение / трехмерного евклидова пространства состояний X в трехмерное евклидово пространство управлений V. Так как данное отображение имеет особенности, связанные с невыпуклостью потенциала П, то в некоторых точках пространства состояний матрица Якоби данного отображения вырождена, причем якобиан с точностью до константы совпадает с гессианом Я(Ш) потенциальной функции системы. Точки, где матрица Якоби вырождена, образуют в пространстве деформаций многообразия критических точек отображения /, а их образы в пространстве управлений составляют многообразие критических хначений отображения. В этом случае отображение / относится

Рисунок 3 — Качественная картина

Многообразия критических точек отображения / разбивают пространство состояний на непересекающиеся открытые области, составляющие множество Ф = {Ф\Ф2,Ф3}. Отображения этих областей в пространство управлений образуют множество Ф = {Ф\ Ф2., Ф3}- Так как отображение / имеет особенности, то области из Ф пересекаются. Тогда каждый элемент Ф5 е Ф есть объединение Ф5 = У Ф£, где Ф£ - пересечения к элементов

из множества Ф. Теперь, если точка у е У = К3 принадлежит некоторой области Ф|, которая, естественно, имеет к прообразов в пространстве состояний, то для нее рассматриваемое векторное уравнение имеет ровно к решений.

Для нахождения всех решений уравнений равновесия для заданного у предлагается использовать метод Ньютона-Канторовича, согласно которому каждое последующее приближение к решению определяется формулой:

х„+1=х„-[/'(ха)]"1/(х„) + [/'(хцГ1 У (а = 0,1, 2,...). (2)

Использование метода предполагает нахождение таких начальных приближений ХобХ, начиная с которых итерации сходятся. Для выбора начальных приближений применяется следующая процедура. Возьмем точку У 6 ф% для нее уравнения равновесия имеют к решений. Используя многообразие критических точек, находим области фт С Ф(ш = 1,..., к) пересечение которых и образует область фак. Затем выделям их прообразы в пространстве К3Х (непересекающиеся области фт С Ф). Пусть среди них (без ограничения общности) оказалась область ф1. Построим в ней сетку узлов с достаточно малым шагом. Все узлы (точки х7/} е ф1) отображаем в пространство и определяем ттр (у, Дх^)), т.е. находим тот узел, отображение которого наиболее близко к точке у (р - евклидово расстояние между точками в пространстве Щ). Данный узел берем за начальное приближение хо в схеме (2). Далее применяем один раз схему Ньютона-Канторовича. Получим значение хь Если окажется, что р{у,/(х0)) > р(у.Дхх)), то, продолжая итерации, находим искомое первое решение. Если данное неравенство не выполняется, то уменьшаем шаг сетки узлов и затем снова реализуем описанную процедуру. При поиске решений в остальных областях Фт поступаем аналогично.

Таким же образом был реализован алгоритм метода Ньютона-Канторовича и для параметров равновесия рассматриваемой механической системы в случае мягкого нагружения, когда

¿=1 ^ ,=1 -'о

- П(£Ь£2,£з):

где параметроьг управления - внешние силы Р), а параметры состояния — ии £г. Шесть уравнений равновесия сводятся к трем -Рг = 0, которые также определяют складывающееся отображение из' пространства деформаций в пространство нагрузок.

Четвертая глава посвящена определению предельных нагрузок, при которых рассматриваемая механическая система разрушается. Разрушение трактуется как невозвожность равновесия, т.е. как потеря устойчивости процесса нагружения (Седов Л.И.). Известно (Постон Т., Стюарт И.), что согласно признаку промедления потеря устойчивости происходит тсь гда, когда путь нагружения в пространстве управлений выходит из области, ограниченной сепаратрисой потенциальной функции системы. Таким образом, для оценки предельной несущей способности необходимо знать сепаратрису.

Для построения сепаратрисы необходимо сначала найти все решения уравнений равновесия, определив тем самым критические точки потенциальной функции системы при возрастающих параметрах управления (на-

грузках), а затем выделить из них вырожденные критические точки, в которых вырождается матрица Гессе потенциальной функции системы. Если компоненты матрицы Гессе зависят только от параметров состояния, то после подстановки вырожденных критических точек в уравнения равновесия находятся параметры управления, образующие сепаратрису.

В работе предложен другой подход построения сепаратрисы, позволяющий избежать решения систем нелинейных уравнений равновесия. Он основан на дискретизации пространства состояний сеткой узлов с достаточно малым шагом и вычислении детерминанта матрицы Гессе (матрицы вторых производных по параметрам состояния) потенциальной функции системы. Затем выделяются те узловые точки, в которых данный детерминант близок к нулю с заданной степенью точности. Полученные числовые определители вычисляются но схеме Гаусса. Отметим, что изложенная процедура без труда распараллеливается, так как для определенной совокупности узлов возможно выполнение данной операции на разных процессорах.

Таким образом, сначала выделяется множество точек в пространстве состояний, среди которых находятся и все близкие к вырожденным критическим точкам. Далее, применяя прямое отображение, заданное уравнениями равновесия, для каждой точки рассчитываются координаты точки в пространстве управлений, если отображение для конкретной точки имеет смысл, т.е. действительно происходит попадание в пространство управлений. Данная вычислительная схема также легко распараллеливается.

В результате всех этих операций получаем приближенный вид сепаратрисы. Наконец, определяя ту часть сепаратрисы, при пересечении которой осуществляется выход из области, ограниченной ветвями сепаратрисы, определяются предельные нагрузки на систему.

Данный алгоритм был реализован для расчета параметров предельных нагрузок рассматриваемой механической системы при жесткой и мягкой схемах нагружения, потенциальные функции которых приведены в третьей главе.

При расчетах брались следующие значения механических параметров системы: жесткости упругих стержней полагались равными А,- = 5000 МПа-мм, модуль Юнга материала куба — Е = 2 ■ 105 МПа, коэффициент Пуассона — и = 0.3. При указанных значениях параметров рассматриваемой системы были расчитаны предельные нагрузки. В таблице 1 представлены некоторые из полученных значений для случая жесткого нагружения, в таблице 2 — для случая мягкого нагружения.

Таблица 1 — Координаты некоторых точек, расположенных на сепаратрисе, при нагружении системы по жесткой схеме

«1 0.314 0.361 0.310 0.289 0.242

«2 0.357 0.202 0.266 0.198 0.227

"3 0.180 0.260 0.339 0.386 0.400

Таблица 2 — Координаты некоторых точек, расположенных на сепаратрисе, при силовом нагружении системы

Р{ 163.8 155.1 205.8 153.3 125.3

149.8 176 100.9 188.2 216.2

93.9 99.2 100.9 111.4 111.4

Заключение

1. Предложена методика построения единого выпукло-вогнутого потенциала, описывающего его свойства при активном трехосном деформировании материала как на стадии упрочнения, так и на стадии разупрочнения.

2. Показано, что механическая система с разупрочняющимся элементом может иметь несколько положений равновесия при заданной внешней нагрузке. Создана методика, позволяющая определять число решений решений уравнений равновесия градиентной механической системы.

3. Разработан метод нахождения начальных приближений, соответствующих числу решений уравнений равновесия, для применения итерационной схемы Ньютона-Канторовича, что позволило использовать метод Ныотона-Канторовича для нахождения всех решений.

4. Предложен численный метод построения сепаратрисы потенциальной функции градиентной дискретной механической системы.

5. Приведена методика использования сепаратрисы для определения величин предельных нагрузок, при достижении которых система разрушается.

Разработанные методики могут быть положены в основу алгоритмов для программных комплексов, предназначенных для расчета несущей способности отдельных элементов конструкции, материал которых обладает эффектом разупрочнения.

Результаты, представленные в диссертации, могут служить начальным приближением нового подхода к анализу вопросов прочности различных конструкций, который в следствие учета стадии разупрочнения позволит полностью использовать ресурс материала.

Работы автора по теме диссертации

Статьи в журналах, входящих в список ВАК:

1. Стружанов, В.В. Об одном методе построения единого потенциала [Текст]/'В.В. Стружанов, Е.Ю.Просвиряков, Н.В.Бурмашева ,/,/ Вычислительная механика сплошных сред. —2009.— Т.2 № 2.— С. 90-107.

2. Стружанов, В.В. Устойчивость управления градиентными системами [Текст]/В.В. Стружанов, Н.В.Бурмашева /'/' Вестник Тамбовского университета.'—2011.- Т. 16 № 4,- С. 1183-1184.

3. Стружанов, В.В. Вычислительная процедура нахождения предельных параметров нагружения механических систем [Текст]/В.В. Стружанов, Н.В.Бурмашева // Вычислительная механика сплошных сред. --2011.- Т.4 № 4 - С. 107-113.

4. Стружанов, В.В. Метод Ныотона-Канторовича в задаче об определении неединственных решений уравнений равновесия дискретных градиентных механических систем [Текст]/В.В. Стружанов, Н.В.Бурмашева ,/,/ Труды Института математики и механики. —2013.— Т.19 № 1.— С. 244-252.

5. Стружанов, В.В. Метод Ныотоиа-Канторовича в математической модели трехосного растяжения куба из материала с невыпуклым потенциалом [Текст]/'В.В. Стружанов, Н.В.Бурмашева ,//' Вестник Тамбовского университета. —2013,- Т.18 № 5-2,- С. 2694-2695.

Другие публикации:

1. Бурмашева, Н.В. Бифуркационные множества в задаче о трехосном растяжении элементарного куба [Текст]/Н.В. Бурмашева, В.В. Стружанов // Математическое моделирование и краевые задачи: Тр. четвертой Все-росс. конф. с междунар. участием. — Самара:СамГТУ. —2007,—ч.1.-е. 56.

2. Стружанов, В.В. О свойствах кубического элемента при жестком трехосном деформировании [Текст]/'В.В. Стружанов, Н.В. Бурмашева ,// Математическое моделирование и краевые задачи: Тр. пятой Всеросс. конф. с междунар. участием. — Самара:СамГТУ. —2008.—ч.1.—с.301-308.

3. Бурмашева, Н.В. Итерационный процесс расчета параметров равновесия при жестком нагружении системы, реализующей трехосное растяжение куба из упругопластичсского разупрочняющегося материала [Текст]/Н.В. Бурмашева, В.В. Стружанов/'/' Математическое моделирование и краевые задачи: Тр. седьмой Всеросс. конф. с междунар. участием. - Самара:СамГТУ. -20Ю.-ч.1.-с.73-78.

4. Struzhanov, V.V. Newton-Kantorovich metho d of paramétrés' characterization of equilibrium of the system which realizcs the triaxial strenght of the cube made from the nonlinear material with non-convex potencial [Текст]/V.V.Struzhanov, N.V.Burmashcva// Proceedings of the XXXIX Suinmer School-Conference «Advanced Problems in Mechanics». St.Petersburg (Repino). - St.Petersburg:IPME RAS. - -2011,- p.468-476.

5. Бурмашева, H.В. Метод Ньютона-Канторовича расчета нсединствен-ных равновесий механической системы, растягивающей куб из разупроч-няющегося материала при задании сил и перемещений [Текст]/Н.В. Бурмашева, В.В. Стружанов// Труды Томского государственного университета. Серия физико-математическая. II Всероссийская молодежная научная конференция посвященная 50-летию физико-технического факультета Томского государственного университета «Актуальные проблемы современной механики сплошных сред и небесной механики». — Томск:Изд-во Томского университета. —2012,—с. 76-80.

6. Бурмашева, Н.В. Предельные значения нагрузок при силовом и кинематическом нагружении стержневой системы, реализующей трехосное растяжение куба из разупрочняющегося материала [Тскст]/Н.В. Бурмашева, В.В. Стружанов// Математические методы и модели в теоретических и прикладных исследованиях: сб. научн. тр. [под научн. ред. Г.А. Тимофеевой, д-ра физ.-мат. наук и О.В. Куликовой, канд. пед. наук]. — Екатеринбург: Изд-во Ур-ГУПС. —2012.—вып. 4(187)-с. 22-32.

7. Стружанов, В.В. Об одной задаче управления в механике деформирования градиентных систем [Текст]/'В.В. Стружанов, Н.В. Бурмашева // «Современные проблемы математики». Тезисы 42ой Всероссийской молодежной школы-конференции. — Екатериибург.ИММ УрО РАН —2011 — с. 14-16.

8. Стружанов, В.В. Метод Ньютона-Канторовича при расчете устойчивых и неустойчивых равновесий градиентной системы, осуществляющей трехосное растяжение элементарного куба [Текст]/В.В. Стружанов, Н.В. Бурмашева /'/' «Механика сплошных сред как основа современных технологий» (XVII Зимняя школа по механике сплошных сред). Тезисы докладов Всероссийской конференции. — Пермь: ИМСС УрО РАН. — 2011.— с.301.

9. Бурмашева, Н.В. Вычисление параметров нагружения для одной стержневой градиентной механической системы [Текст],/Н.В. Бурмашева, В.В. Стружанов//' IV Всероссийская научно-техническая конференция X IV школа молодых ученых семинар «Безопасность критических инфраструктур и территорий», материалы конференции и школы. — Екатеринбург: УрО РАН. -2011.-е. 104.

10. Стружанов, В.В. Деформирование нелинейных градиентных систем: устойчивость, неустойчивость, бифуркации [Текст]/'В.В. Стружанов, Н.В.

Бурмашева // Тезисы докладов Международной конференции по математической теории управления и механике. — М.:МИАН. —2011.—с.192-193.

11. Бурмашева, Н.В. Численное построение сепаратрисы потенциальной функции механической системы, осуществляющей трехосное растяжение куба, и определение предельных значений параметров нагружс-ния [Текст|/Н.В. Бурмашева// Тезисы докладов X Всероссийского съезда но фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики и Второй Всероссийской школы молодых ученых-механиков. — Н.Новгород:Изд-во Нижегородского госуниверситета. -2011.-е. 23-24.

12. Стружанов, В.В. Особенности отображения системы уравнений с вырожденной матрицей Якоби и применение метода Ньютона-Канторовича для определения всех ее решений [Текст]/В.В. Стружанов, Н.В. Бурмашева // Тезисы докладов Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. — М.:МИАН. —2012.—с.162-163.

Формат 60x84 1/16 Бумага писчая. Печать офсетная. Усл.печ.л.1. Тираж 100 экз.

Типография «Центр оперативной полиграфии «КОПИРУС» 620000, г.Екатеринбург, ул.Мамина-Сибиряка, 137

Текст научной работы диссертации и автореферата по механике, кандидата технических наук, Бурмашева, Наталья Владимировна, Екатеринбург

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт машиноведения Уральского отделения РАН

На правах рукописи 04201365951 * ™

Бурмашева Наталья Владимировна

01.02.04 — Механика деформируемого твердого тела

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель: Стружанов Валерий Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор

Екатеринбург — 2013

Диссертация выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте машиноведения Уральского отделения Российской академии наук

Оглавление

Введение......................................................................5

Глава 1. Актуальные проблемы механики разупрочняющихся материалов (литературный обзор) и формулировка задач исследования . 13 Глава 2. Свойства элементарного куба из разупрочняющегося материала при трехосном активном растяжении ............................18

2.1 Образ процесса деформирования ................................18

2.2 Особые точки кривой деформирования..........................19

2.3 Признаки деформационных состояний..........................22

2.4 Инкрементальные определяющие соотношения ................23

2.5 Потенциальное поле................................................26

2.6 Построение единого потенциала..................................29

2.7 Свойства, определяемые единым потенциалом..................36

2.8 Выводы по второй главе..........................................44

Глава 3. Метод Ньютона-Канторовича в задаче о расчете параметров

равновесий стержневой системы, реализующей трехосное растяжение элементарного куба из разупрочняющегося материала ... 45

3.1 Механическая система............................................46

3.2 Общий подход: складывающиеся отображения и число решений системы нелийных уравнений....................................48

3.3 Методика применения метода Ньютона-Канторовича..........54

3.4 Уравнения равновесия механической системы и отображение пространства состояний в пространство управляющих парамет-

ров ................................. 56

3.5 Жесткое нагружение системы, реализующей трехосное растяжение куба из разупрочняющегося материала......... 61

3.6 Мягкое нагружение........................ 67

3.7 Выводы по третьей главе..................... 73

Глава 4. Предельные параметры нагружения............... 75

4.1 Теоретические основы методики определения предельных нагрузок ................................ 75

4.2 Жесткое нагружение системы, реализующей трехосное растяжение куба из разупрочняющегося материала.......... 77

4.3 Мягкое нагружение........................ 80

4.4 Нагружение двумя перемещениями и одной силой....... 82

4.5 Смешанное нагружение одним перемещением и двумя силами 84

4.6 Выводы по четвертой главе.................... 87

Заключение.................................. 88

Литература.................................. 90

Приложение А. Акт использования результатов диссертационной работы! 14

Введение

Актуальность темы исследований. Современные технические системы зачастую работают в экстремальных условиях при ненормативных внешних нагрузках. Обеспечение их прочности, долговечности, надежности и живучести возможно только при учете свойств материалов, не учитываемых в классических теориях сопротивления материалов, например, свойства материалов, проявляющиеся в наличии ниспадающих участков на диаграмме деформирования — стадии разупрочнения.

Необходимость исследования закритического поведения систем обосновывается тем, что знание свойств тел на закритической стадии деформирования позволяет полнее использовать имеющиеся прочностные резервы, что приводит в итоге к повышению безопасности механических систем, включающих тела, для которых осуществимо закритическое деформирование. При этом стадия разупрочнения характеризуется накоплением в материале микротрещин и возникновением магистральной трещины, которая в результате является основной причиной снижения нагрузки.

Принципиальная возможность экспериментального построения диаграммы деформирования с падающей до нуля ветвью, отражающей все стадии деформирования, в том числе и неустойчивые, была установлена в экспериментальных и теоретических работах российских и зарубежных ученых, среди которых Лебедев A.A., Вильдеман В.Э., Стружанов В.В., Рад-ченко В.П., Новожилов В.В., Рыжак Е.И., Никитин Л.В., Волков С.Д., Ка-дашевич Ю.И., Чаусов Н.Г., Bazant Z.P., Drucker D.C., Kolari К., Karstunen М., Bobinski J. и другие. На качественном, физически интуитивном уровне

и при решении простых модельных примеров установлено влияние стадии разупрочнения материала на величину предельной несущей способности.

Использование закритических характеристик связано не только с трудностями экспериментального характера, но и с математическими проблемами, не характерными для традиционной механики деформируемого твердого тела. Это в основном неединственность и неустойчивость решений нелинейных уравнений равновесия. Такие задачи не удовлетворяют условиям корректности Адамара. Поэтому постулат Друккера, выполнение которого гарантирует корректность задач, являлся, да и является, условием для отбраковки моделей. Однако, как показано в некоторых работах Стру-жанова В.В., Вильдемана В.Э. и др., невыполнение постулата Друккера не препятствует решению отдельных задач механики. Кроме того, показано, что учет разупрочнения может позволить расчитывать предельную нагрузку, близкую к реальности. Дальнейшее распространение выдвинутых предположений требует решения конкретных неодномерных задач, на которых возможно было бы выяснить все особенности теории разупрочняющегося тела. Такие примеры наглядно бы демонстрировали постановки задач, подходы и методы их решения и позволяли бы исследовать эффекты, скрытые при общем рассмотрении. Теоретические разработки влияния эффекта деформационного разупрочнения на расчетные значения предельных нагрузок уже на данной стадии разработки могут быть включены в практику проектирования ответственных изделий машиностроения.

Целью данной диссертационной работы является разработка методов анализа напряженного состояния и расчета предельных нагрузок гра-

диентной дискретной механической системы, моделирующей деформационное поведение и разрушение при трехосном растяжении в упругой среде элемента из разупрочняющегося материала (элементы толстостенных труб и сферических сосудов большого диаметра при внутреннем давлении), и общих принципов, позволяющих уже на данной стадии внедрять в практику проектирования эти методики для решения аналогичных задач, возникающих при проектировании конструкций.

Для достижения указанной цели были поставлены следующие задачи:

2. Развить эффективные численные методы расчета параметров всех положений равновесия, в том числе и неустойчивых, в применении к рассматриваемой механической системе.

Научная новизна заключается в следующем:

2. Установлено, что данный потенциал определяет конечную зависимость между деформациями при активном нагружении и напряжениями, которую можно трактовать как дифференцируемое отображение пространства деформаций в пространство напряжений, обладающее особенностями. Эти особенности связаны с вырождением матрицы Якоби потенциала, при-

чем точки вырожденности соответствуют пограничному состоянию материала (переход от упрочнения к разупрочнению).

Практическая значимость работы. Разработана численная процедура выбора необходимого числа начальных приближений для реализации итерационной схемы метода Ньютона-Канторовича к задаче об определении параметров всех равновесных состояний исследуемой механической системы.

Результаты исследований внедрены в учебный процесс и составляют содержание некоторых разделов спецкурса "Устойчивость деформируемых

тел из разупрочняющихся материалов"магистерской программы "Механика деформируемого твердого тела", направление 010800 — Механика и математическое моделирование в Институте математики и компьютерных наук Уральского федерального университета имени первого Президента России Б.Н.Ельцина.

Методология и методы исследований. Для решения поставленных задач применяются подходы механики деформируемого твердого тела, аппарат теории особенностей дифференцируемых отображений и функционального анализа, а также общие положения теории катастроф. Численное моделирование осуществлено с помощью программ, специально написанных на языке Си++ с использованием пакета Wolfram Mathematica. Методологические основы исследования составляют положения, изложенные в трудах научного руководителя, д.ф.-м.н., профессора В.В. Стружанова.

Положения, выносимые на защиту:

2. Метод определения числа решений нелинейных уравнений равновесия градиентной механической системы.

3. Применение метода Ньютона-Канторовича для вычисления неединственных решений. Процедура выбора необходимого числа начальных приближений для реализации итеррационной схемы Ньютона-Канторовича.

Достоверность и обоснованность научных результатов обеспечивается минимальным числом допущений, сделанных при постановке задачи исследования, корректным применением выбранного математического аппарата, а также качественным совпадением результатов моделирования с результатами известных теоретических исследований других авторов, занимающихся исследованием систем с элементами, выполненными из разу-прочняющегося материала.

Личный вклад автора. Постановки задач и рекомендации по выбору методов решения принадлежат научному руководителю профессору В.В.Стружанову. Все аналитические исследования поставленных задач и основные результаты принадлежат автору диссертационной работы.

стемам (г. Суздаль, 2012); Всероссийская молодежная конференция "Современные проблемы механики"(Екатеринбург, 2010-2012).

Первая глава посвящена анализу научных публикаций по основным проблемам механики разупрочняющихся сред. Приведен обзор существующих экспериментальных методов построения полных диаграмм деформирования, обладающих падающей ветвью, характеризующей стадию разупрочнения, и некоторых теоретических моделей материала, описывающих явление разупрочнения материала. Обоснована необходимость учета в расчетах предельной несущей способности элементов конструкций закритической стадии деформирования для определения близких к реальности параметров прочности. На основе литературного обзора сформулированы цели и задачи диссертационной работы.

Вторая глава посвящена описанию свойств кубического элемента при трехосном его деформировании в одной стержневой механической системе градиентного типа. Выписаны критерии деформационных состояний материала единичного куба. При деформировании его в силовом потенциальном поле приведены конечные определяющие соотношения, связывающие напряжения и деформации. Разработана процедура построения потенциала напряжений, с единых позиций описывающего свойства материала как на стадии упрочнения, так и на стадии разупрочнения. Исследованы свойства материала кубического элемента при различных путях деформирования.

В третьей главе рассмотрено применение метода Ньютона-Канторовича для вычисления параметров неединственных положений равновесия механической системы, реализующей трехосное растяжение элементарного кубического элемента из разупрочняющегося материала, свойства которого исследованы во второй главе. Разработана методика определения числа решений уравнений равновесия, использующая свойства складывающихся отображений, к которым принадлежит отображение, осуществляемое системой нелинейных уравнений равновесия. Построен алгоритм для выбора начальных приближений, число которых соответствует числу решений, для реализации итерационной схемы Ньютона-Канторовича. Проведены численные расчеты.

В четвертой главе сформулированы численные построения сепаратрисы потенциальной функции, описывающей поведение рассматриваемой в диссертации градиентной механической системы, и методика определения предельных параметров нагружения для заданного пути деформирования. Разрушение идентифицируется как момент потери устойчивости процесса деформирования. Алгоритм расчета предельной несущей способности продемонстрирован для мягкого, жесткого и смешанного нагружения системы.

В заключении сформулированы основные выводы по результатам работы.

Глава 1. Актуальные проблемы механики разупрочняющихся материалов (литературный обзор) и формулировка задач исследования

Условием технического прогресса в машиностр