Устойчивость деформирования стержневой системы, осуществляющей растяжение с кручением полой цилиндрической детали из разупрочняющегося материала

Просвиряков, Евгений Юрьевич

Устойчивость деформирования стержневой системы, осуществляющей растяжение с кручением полой цилиндрической детали из разупрочняющегося материала тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Просвиряков, Евгений Юрьевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Екатеринбург МЕСТО ЗАЩИТЫ

2009 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Устойчивость деформирования стержневой системы, осуществляющей растяжение с кручением полой цилиндрической детали из разупрочняющегося материала»

Автореферат диссертации на тему "Устойчивость деформирования стержневой системы, осуществляющей растяжение с кручением полой цилиндрической детали из разупрочняющегося материала"

На правах рукописи

ПРОСВИРЯКОВ Евгений Юрьевич

УСТОЙЧИВОСТЬ ДЕФОРМИРОВАНИЯ СТЕРЖНЕВОЙ

СИСТЕМЫ, ОСУЩЕСТВЛЯЮЩЕЙ РАСТЯЖЕНИЕ С КРУЧЕНИЕМ ПОЛОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ДЕТАЛИ ИЗ РАЗУПРОЧНЯЮЩЕГОСЯ МАТЕРИАЛА

01.02.04 — механика деформируемого твёрдого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических паук

12 ;-»оа 7

Пермь - 2009

003482919

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Уральский государственный университет им. A.M. Горького» и в учреждении Российской академии наук Институте машиноведения Уральского отделения РАН

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

СТРУЖАНОВ Валерий Владимирович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

ВИЛЬДЕМАН Валерий Эрвинович,

доктор физико-математических наук, профессор

РАДЧЕНКО Владимир Павлович.

Ведущая организация: Институт гидродинамики

им, М.А. Лаврентьева СО РАН, г. Новосибирск

Защита состоится «24» декабря 2009 года в 10 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д 004.012.01 при Институте механики сплошных сред по адресу: 614013, г. Пермь, ул. Академика Королёва, 1, www.icmm.ru.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института механики сплошных сред УрО РАН.

Автореферат разослан «¿9 ъ0!яяеря 2009 г.

Учёный секретарь диссертационного совета, доктор технических наук

Березин И. К.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. В настоящее время существует определённый разрыв между механикой разрушения (механикой трещин) и механикой деформирования. В механике разрушения не рассматриваются вопросы возникновения трещин (они считаются заданными), но и в механике деформирования этот вопрос также не изучается, так как используются критерии разрушения, основанные па появлении в теле напряжений, превосходящих некоторые предельные значения. После выполнения такого критерия, рассмотрение процесса деформирования заканчивается, хотя понятно, что в отдельных областях превышение напряжениями критических значений необязательно связано с общим или даже местным разрушением.

Сравнительно новый раздел механики деформируемого твёрдого тела, а именно, континуальная механика разрушения (механика рассеянного разрушения), изучающая процессы подготовки и зарождения разрушения в изначально сплошной среде, имеет все перспективы для описания перехода от механики деформирования к механике трещин. Механика континуального разрушения рассматривает все стадии деформирования, включая и стадию разупрочнения (стадию неустойчивости материала), которая возникает после достижения напряжениями предельных значений и предшествует окончательному разрушению и образованию трещины. Образование зон с неустойчивым состоянием материала, в конце концов, приводит к потери устойчивости процесса деформирования. Это согласуется с тем, что разрушения различных конструкций разнообразных сооружений как раз и представляют п общем случае глобальные явления того же характера, что и явления невозможности равновесия.

Введение в рассмотрение неустойчивых состояний материала приводит к формулировке определяющих соотношений, имеющих особенности, при которых краевые задачи становятся некорректными по Адамару (Нас1атагс1), то есть имеет место неединственность и неустойчивость некоторых решений. Исследование таких задач требует новых, нетрадиционных для механики деформируемого твёрдого тела математических методов. В результате решения данных задач, возможно найти момент разрушения конструкции (или образования трещины), который связан с возникновением нескольких равновесных состояний для заданных граничных условий и скачкообразным переходом из одного положения равновесия в другое. Так как получение аналитического решения краевых задач с определяющими соотношениями с разупрочнением в общем случае ещё невозможно, то является актуальным анализ некоторых частных задач, позволяющих, по крайней мере на качественном уровне, исследовать закономерности влияния разупрочнения на устойчивость процесса деформирования, а следовательно, и разрушение дискретных и континуальных механических систем.

Выше изложенное определяет актуальность дальнейших исследований и позволяет сформулировать цель настоящей диссертационной работы.

нии. Аналогичная ситуация сложилась в своё время с теорией катастроф, после того как основные её концепции, в общей постановке, были опубликованы Тома Р. (R. Thom). Существенное развитие теория и её приложения получили тогда, когда было исследовано поведение так называемой машины Зимана (Zeeman) — простой механической системы, которая на качественном уровне иллюстрировала основные положения теории.

В данной работе была поставлена цель провести полное и математически корректное исследование устойчивости процесса деформирования и разрушения некоторой простой механической системы с элементом из разупроч-няющегося материала. Так как основным экспериментом для определения закономерностей сложного нагружения является опыт на растяжение с кручением, то в качестве такой системы была выбрана стержневая конструкция, посредством которой осуществляется совместное растяжение с кручением детали специальной формы из материала, обладающего эффектом деформационного разупрочнения. Исследование процесса деформирования этой системы играет ту же роль в механике разупрочняющегося тела, что и задача Зимана в теории катастроф.

Научная новизна работы определяется тем, что осуществлён переход от одномерных моделей механических систем и тел из разупрочняющегося материала к неодномерной (двумерной) задаче для произвольной системы деформирования, и проведено строгое математическое исследование устойчивости процесса деформирования выбранной механической системы. При этом:

1. Определяющие соотношения (связь между напряжениями и деформациями) представлены как отображение пространства деформаций в пространство напряжений, которое имеет особенности, связанные с вырожденностью матрицы Якоби (Jacobi) данного отображения. Эта вырожденность является следствием разупрочнения материала;

2. Сформулированы критерии, определяющие состояние деформационного упрочнения и разупрочнения (полного или частичного) материала;

3. При задании отображения пространства деформаций в пространство напряжений с помощью потенциальной функции (потенциала напряжений), когда матрица Якоби является матрицей Гессе (Hesse) данной потенциальной функции (матрицей тангенциальных жёсткостей или матрицей инкрементальных модулей), установлено, что для описания разупрочнения эта потенциальная функция должна быть невыпуклой. Кроме того, показано, что в области разупрочнения отсутствует полное разупрочнение материала, так как матрица Якоби имеет там собственные значения разных знаков и, следовательно, потенциальная функция имеет седловую точку;

4. Показано, что при описании свойств материала единым потенциалом, наблюдаются эффекты, свойственные деформационным теориям (запаздывание векторных и скалярных свойств при изломе траектории деформирования);

5. Проведено полное исследование устойчивости процесса деформирования конструктивного элемента, осуществляющего растяжение с кручением детали из разупрочняющегося материала при мягком, жёстком и смешанном нагружениях конструктивного элемента. Построены сепаратрисы, разделяющие пространство управлений на открытые области, каждая из которых параметризует лишь качественно подобные потенциальные функции систе-

мы, имеющие одно и тоже число положений равновесия;

6. Методом дискримипантиых конусов матриц Гессе определён момент потери устойчивости процесса деформирования конструктивного элемента при монотонно возрастающих параметрах управления системой (нагрузок). Рассмотрены мягкое, жёсткое и смешанное нагружения. Установлено несовпадение моментов потери устойчивости при различных способах нагружения;

7. Разработаны итерационные процедуры для расчёта параметров равновесия конструктивного элемента с деталью из разупрочняющегося материала, подверженной растяжению с кручением. Рассмотрены случаи жесткого, мягкого и смешанного нагружения системы;

8. Получены условия сходимости итерационных процедур и показано, что начало их расходимости связано с потерей устойчивости процесса деформирования.

Достоверность и обоснованность научных результатов обеспечивается строгой математической постановкой задачи, использующей минимальное число допущений, и корректным применением при её решении современного математического аппарата.

На защиту выносятся:

1. Методы построения определяющих соотношений с особенностями, возникающими при разупрочнении материала, и описания свойств материала на стадии разупрочнения при жёстком нагружеиии образца по различным путям деформирования, реализуемым при совместном растяжении с кручением;

2. Методы исследования устойчивости процесса деформирования специальной механической системы, осуществляющей растяжение с кручением образца разупрочняющегося материала, при жёстком, мягком и смешанном её нагружеиии;

3. Итерационные методы расчёта параметров равновесия рассматриваемой механической системы при невыпуклом потенциале напряжений для материала образца и установление связи начала расходимости этих методов с моментом потери устойчивости процесса деформирования всей системы.

Практическая ценность работы заключается в том, что полученные методы могут быть использованы для дальнейшего развития теории разу-прочняющихся сред и разработки методов расчета различных конструкций, которые вследствие учёта разупрочнения позволят полностью использовать ресурс материала и находить реальную несущую способность элементов конструкций, а также прогнозировать момент разрушения.

Личный вклад автора. В совместных работах постановки задач и рекомендации по выбору методов решения принадлежат научному руководителю профессору В. В. Стружанову. Все аналитические исследования поставленных задач и основные результаты принадлежат автору диссертационной работы.

Аппробация работы. По материалам диссертации были сделаны доклады па следующих конференциях: 15-ая, 16-ая, 17-ая, 18-ая Всероссийская школа-конференция молодых учёных «Математическое моделирование в естественных науках» (г. Пермь, 2006-2009); международный семинар «Устойчивость, управление и моделирование динамических систем» (г. Екатеринбург, 2006); XV, XVI Всероссийская зимняя школа по механике сплошных сред (г. Пермь, 2007, 2009); III, IV Российская научно-техническая конференция «Разрушение, контроль и диагностика материалов и конструкций»

(г. Екатеринбург, 2007, 2009); четвёртая, пятая, шестая Всероссийская конференция с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 2007-2009); Всероссийская научно-техническая конференция «Проблемы безопасности критичных инфраструктур территорий и муниципальных образований» (г. Екатеринбург, 2007-2008); Всероссийская конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах» (г. Пермь, 2007-2008); VI, VII молодёжная Всероссийская школа-конференция «Лобачевские чтения» (г. Казань, 2007-2008); V Всероссийская конференция «Механика микронеоднородных материалов и разрушение» (г. Екатеринбург, 2008); XXXIV, XXXV Гагаринскис чтения, Международная молодёжная научная конференция (г. Москва, 2008-2009); XI, XII Всероссийская научно-техническая конференция «Аэрокосмическая техника, высокие технологии и инновации» (г. Пермь, 2008-2009); 36th International Summer School «Advanced Problems in Mechanics» (Russia, St. Petersburg (Repino),

2008); Всероссийская конференция «Проблемы нелинейной механики деформируемого твёрдого тела» (Пермь, 2008); Международная конференция «Современные проблемы математики, механики и их приложения» (г. Москва,

2009); Первая традиционная Всероссийская молодёжная летняя школа «Управление, информация и оптимизация» (г. Переславль-Залесский, 2009); Международная конференция по математической теории управления и механике (г. Суздаль, 2009); Международная конференция «Актуальные проблемы теории устойчивости и управления» (г. Екатеринбург, 2009).

Основные положения и результаты диссертационной работы обсуждались на следующих семинарах: семинары кафедры математического моделирования систем и процессов, а также кафедры механики композиционных материалов и конструкций в Пермском государственном техническом университете.

Награды. Дважды стипендиат Губернатора Свердловской области (2007, 2008 г.); стипендиат Президента Российской Федерации (2008/2009 учебный год); победитель (вторая премия) XII областного конкурса научно-исследовательских работ «Научный Олимп» по направлению «Естественные науки»; победитель (I место) XXIV Всероссийского открытого конкурса научно-исследовательских, изобретательских и творческих работ обучающихся «Национальное Достояние России» (знак отличия «Национальная Достояние России», удостоверение № 748); победитель Всероссийского конкурса работ по теории управления и её приложениям; победитель открытого конкурса на лучшую научную работу студентов вузов по естественным, техническим и гуманитарным наукам (математические науки).

Настоящая работа была выполнена при финансовой поддержке РФФИ (№№ 07-08-00125, 07-01-96087), в рамках интеграционного проекта «Разработка методов оценки и диагностики работоспособности ответственных объектов техники и сооружений при критических и предкритических состояниях материала и повышенных нагрузках» между Институтом машиноведения УрО РАН и Институтом гидродинамики СО РАН и программы Президиума PÁH № 11 «Фундаментальные проблемы механики взаимодействий в технических и природных системах».

Публикации. По теме диссертации опубликовано 30 печатных работ, из них 4 статьи в журналах из перечня ВАК. Основное содержание первой главы отражено в публикациях [2,6,14,17,18], основное содержание второй главы

— в публикациях [1,3,9 — 13,15,19,20], и основное содержание третьей главы — в публикациях [4,5,7,8,16].

Объём и структура работы. Диссертация состоит из введения, общей характеристики работы, трёх глав, заключения и списка литературы, состоящего из 143 источников. Содержит 49 рисунков, 2 таблицы. Объём диссертационной работы составляет 135 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность тематики диссертационной работы, определяются цели исследования, излагается научная новизна и практическая значимость работы, формулируются основные положения, выносимые на защиту, приводятся сведения об апробаций работы и публикациях.

В первой главе рассматриваются свойства материала детали, изготовленной в виде полого цилиндра, которая подвергается совместному растяжению с кручением. Деталь имеет единичные высоту и площадь поперечного сечения, то есть растягивающая сила по величине равна напряжению а, а удлинение — продольной деформации е. Толщина стенки цилиндра достаточно мала, что позволяет считать средние касательные напряжения и сдвиг равными касательному напряжению г и сдвигу 7 на средней линии поперечного сечения. Не нарушая общности дальнейших рассуждений, полагаем крутящий момент равным по величине г, а угол закручивания — сдвигу 7.

Деформирование детали осуществляется изотермически с малой скоростью (квазистатически) заданием монотонно возрастающих значений деформаций е и 7 (активное жёсткое нагружение). Изображающая процесс деформирования точка У(ех,7*) будет перемещаться при этом по некоторой плоской непрерывной кусочно-гладкой кривой (траектории деформирования) х в двумерном евклидовом пространстве деформаций Щ = {5,7}. Здесь £х, ч* — координаты точек кривой я.

Упорядоченные системы вещественных чисел {а, т} являются элементами пространства напряжений Посредством некоторого отображения, заданного функциями а" — = ^2(£*>7*)> точкам кривой к

ставятся в соответствие точки в пространстве совокупность которых образует кривую нагружения.

Если существует потенциал напряжений П (б, 7) , то, во-первых, работа напряжений не зависит от вида пути деформирования, а, во-вторых, матрица Якоби отображения пространства деформаций в пространство напряжений является матрицей Гессе Н (П) потенциальной функции П. Поскольку материал детали обладает деформационным разупрочнением, то потенциальная функция невыпукла, и определяющие соотношения имеют особенности, связанные с вырожденностью матрицы Гессе.

Для иллюстрации дальнейших рассуждений был построен невыпуклый потенциал в предположении о том, что на всех стадиях деформирования линии уровня потенциала подобны линиям уровня при растяжении с кручением в упругости (эллипсы с постоянным соотношением главных полуосей). Следовательно, работа, затраченная на разрушение, не зависит от вида пути деформирования, и между полными диаграммами только растяжения и только кручения существует определённое взаимно однозначное соответствие (максимальные точки диаграмм достигаются при одних и тех же значениях

затраченной энергии). Значения потенциала на линиях уровня расставляются с использованием полной диаграммы растяжения с падающей ветвыо:

+ + (£'7)еП; (1) I 2,5-10 ~3Е,

где а = —П = |е,7 : е, 7 > 0, Ее2 + (?72 ^ —} — область определения

Е I а)

потенциала.

Сформулированы признаки деформационных состояний. Показано, что упрочнению отвечает положительная определённость матрицы Гессе Н (П) (оба собственных значения положительны — морсовское 0-седло потенциальной функции), полному разупрочнению — отрицательная определённость матрицы Гессе (оба собственных значения отрицательны — морсовское 2-седло), частичному разупрочнению соответствует знаконеопределённость матрицы Гессе (собственные значения разных знаков — морсовское 1-седло). В пространстве деформаций выделены области упрочнения и разупрочнения, разделяемые линией, образованной множеством критических точек отображения х- ~^ (Р = ёгас! П). Установлено, что в области разупрочнения потенциальная функция П имеет только морсовские 1 -седла (в случае функций двух переменных это — обычная седловая точка). В результате разупрочнение происходит по части переменных и зависит от пути догружения.

Если в каждой точке области П поместим локальный ортонормирован-ный базис и затем с помощью некоторого ортогонального преобразования этого базиса построим матрицу Н'(П) (на диагонали стоят собственные числа матрицы Л(П)), то это позволяет классифицировать тип морсовского седла функции П (выделить направление устойчивости), которое является канонической формой потенциала в окрестности рассматриваемой точки, а также тип отображения х (в области упрочнения отображение эллиптического типа, а в области разупрочнения — гиперболического).

Показано, что отображение х переводит плоскость первого квадранта в пространстве деформаций в двустороннюю плоскость б пространстве напряжений, также расположенную в первом квадранте и ограниченную кривой критических значений отображений х• Таким образом, каждой точке этой двухсторонней плоскости отвечает две точки из пространства К2. Одна расположена в области упрочнения, а другая — в области разупрочнения, и, следовательно, каждому напряжённому состоянию соответствует одно устойчивое состояние материала и одно неустойчивое.

Получены инкрементальные определяющие соотношения с особенностями

с1сг = сцск -I- 012^7, <1т = С2\йе + 022^7,

где сц = П££,С22 = ПЛ7,С\2 — С21 = П£7 — элементы матрицы Гессе #(П) невыпуклой функции П, имеющих смысл инкрементальных модулей. С их помощью установлено, что во всех точках из области упрочнения наблюдается эффект Пойтинга (РоуМ^). В области же разупрочнения этот эффект характерен не для всех состояний.

Первая глава заканчивается изучением процессов деформирования детали по пропорциональным путям и путям с изломом траектории. В результате отображения таких путей в пространство напряжений показано, что при описании свойств материала единым потенциалом наблюдаются эффекты, свойственные деформационным теориям, а именно, проявляется запаздывание векторных и скалярных свойств материала. Кроме того, установлено, что при достижении путём нагружения в пространстве напряжений линии критических значений отображения X (Р = ёгас! П) возникает точка возврата и путь поворачивается и стремится к началу координат (в пространстве деформаций направление движения изображающей точки сохраняется).

Во второй главе рассмотрен конструктивный элемент (механическая система), состоящий из двух упругих цилиндрических стержней 1 и 2 (рис. 1), передающих нагрузку на полую цилиндрическую деталь, описанную в первой главе. Свойства детали определяются скалярным потенциалом (1). Стержень 1 работает только на растяжение. Кручение в сечении В — В блокировано, а точкам сечения А — А задаётся монотонно возрастающее перемещение и (жёсткое нагружение) или в сечении А—А приложены монотонно возрастающие растягивающие силы с результирующей Р (мягкое нагружение). Жёсткость стержня 1 при растяжении равна Ах. Стержень 2 работает только на кручение (продольное перемещение сечения С — С блокировано). В сечении Б — Б может быть приложен монотонно возрастающий крутящий момент М (мягкое нагружение) либо задан монотонно возрастающий угол закручивания ф (жёсткое нагружение). Жёсткость стержня 2 при кручении равна Аг-

Р,и

I (С,е \ Г,У г

^А/.у/

В С

Рис. 1

Нагружение конструктивного элемента возможно тремя способами. Рассмотрим более подробно случай жёсткого нагружения.

Для исследования устойчивости конструктивного элемента применяется аппарат математической теории катастроф и теории особенностей дифференцируемых отображений. Потенциальная функция И^, зависящая от параметров управления и состояния, с учётом геометрии детали имеет вид:

где первые два слагаемых — потенциальные энергии упругих деформаций соответственно стержней 1 и 2, а третье — работа напряжений, возникающих при нагружении в детали. Пространство состояний — К^, пространство управлений — Кд х где Мд = {А^ Аг} , = {и, ф). Критические точки функции И^ определяет система уравнений УгИ^ = 0 или

= а (е, 7) - АЛи - е) = 0; м

Щ,7 = т(е,7)-ф-7) = 0, {г)

решения которой образуют четырёхмерное многообразие равновесных состояний (многообразие катастроф) в пространстве М^ х Ед х Rj. Здесь а = П1£, т = П7, V2 — оператор Гамильтона (Hamilton) в пространстве К^.

Если зафиксировать параметры Л] и Аг, то данные уравнения определяют отображение Xi:®e Из условия вырожденности матрицы Гессе Н (Wi) функции W\ в пространстве находятся критические линии этого отображения (бифуркационные кривые), разделяющие пространство Е^ на области единственности и неединственности решений уравнений равновесия (2). Затем определяются вырожденные критические точки функции W\, в которых и происходит смена типа равновесия.

При проецировании многообразия катастроф в пространство управлений, вырожденные критические точки образуют сепаратрису — множество лебеговой меры нуль. Сепаратриса разбивает пространство управлений на области, каждая из которых параметризует лишь качественно подобные функции, имеющие одно и то же число положений равновесия (рис. 2). Отметим, что проекция сепаратрисы в пространство образует линии критических значений отображения xi- В области, ограниченной сепаратрисой, функция W имеет три положения равновесия: два морсовских 0-седла (устойчивые положения) и между ними морсовское 1-седло (неустойчивое положение). Вне сепаратрисы функция W\ имеет одно морсовское 0-седло. На сепаратрисе функция W\ имеет одну вырожденную критическую точку, в которой она структурно неустойчива, и одно морсовское 0-седло.

Наконец, для исследования устойчивости положений равновесия был применён метод дискриминантных конусов. Компоненты матрицы Гессе

тг(Ш\- ( WUs wUi \ _ ( Л1 + си с12 \ (Wj) - ^ Wim С21 д2 + Си )

параметризуют некоторое трёхмерное евклидовое пространство где строится коническая поверхность, в точках которой матрица Н (Wi) вырождена, то есть выполняется следующее равенство det H{W{] = (Ai + сц)(А2 + С22) -Cj2 = 0. Внутри конуса матрица Гессе Н (W{) положительно определена, вне KTiTTvra — знакттропределена.

Внутри конуса выделим две точки: точку А (Е + Ai, G + А2,0) — начало деформирования системы и точку В Аг,0), соответствующую разрушению системы (разрушению детали) (рис. 3). Отметим, что с возрастанием параметров Ai и Аг увеличивается расстояние между вершиной конуса и точкой В (точка В отодвигается вглубь конуса), при убывании данных параметров это расстояние уменьшается, и при Ai = Аг = 0 точка В совпадает с вершиной конуса. Так же и точка А с возрастанием параметров Ai и А2 отодвигается от начала координат, а с их уменьшением — приближается.

В ходе деформирования изменяются инкрементальные модули и, следовательно, компоненты матрицы Гессе. Тогда процесс деформирования можно изобразить движением в пространстве Щц точки с координатами Х\ — Aj + c\\,Y\ = Ао + С22, Z\ = С12 по некоторому пути, который начинается в точке А (рис. 3).

Л'

Рис. 2.

Рис. 3.

Внутри конуса матрица Н(\¥\) положительно определена. При изменении параметров управления, изображающая точка сначала расположена внутри конуса в морсовском 0-седле функции И^. Затем она приближается к поверхности конуса. Соответствующая точка пути в пространстве управлений входит в область, ограниченную сепаратрисой. В этот момент у системы появляется три положения равновесия, отвечающие точкам А\, Ач и В на рис. 3 (два морсовских 0-седла и между ними морсовское 1-седло). Однако, согласно принципу промедления, изображающая процесс точка продолжает движение внутри конуса, переходя из одного морсовского 0-седла в другое. Состояния равновесия остаются устойчивыми. В это время точка В неподвижна, а точка Л 2 движется к конической поверхности (рис. 3). В конце концов точки А\ и Ач одновременно попадают в одну из точек конуса. При этом путь в пересекает бифуркационную кривую (множество критических значений отображения ^1)1 а ПУТЬ в Кд х К2 — сепаратрису. В этом случае морсовские 0-седло и 1-седло аннигилируют, и у системы остаётся только одно устойчивое положение равновесия, отвечающее точке В. Следовательно, реализуется скачкообразный переход системы из одного положения равновесия в другое (потеря устойчивости процесса деформирования).

Аналогично были исследованы два других способа нагружения. Отметим, что для мягкого и смешанного нагружений возможно построение так называемой модельной потенциальной функции, которая заметно упрощает исследование характера равновесий. Продемонстрируем эту технику на примере мягкого нагружения. Состояние системы в этом случае характеризует потенциальная функция

где второе и третье слагаемые — работа внешних сил, взятая со знаком минус. Представим функцию И^ в виде

Ф--1 и—Е

иъ = у2 +

J М<1<р - J Р(1е

7 е

где ЪЬ = П (е, 7) — / Мскр—/ Рйе. Заметим, что функция ^ является потен-о о

циальной функцией механической системы, в которой отсутствуют стержни 1 и 2, а. нагружсние детали осуществляется силовым способом.

Функция 1У2 определяет многообразие катастроф в восьмимерном пространстве управлений и состояний, а многообразие катастроф, определяемое функцией Уг есть его проекция в пространство {е, 7, Р, М}. Также и вырожденные точки функции Уч есть проекции вырожденных точек функции \¥2. Следовательно, часть параметров является несущественными для анализа устойчивости и бифуркаций.

Третья глава посвящена построению и исследованию свойств итерационного процесса расчёта параметров равновесия механической системы. Уравнения равновесия (2) записываются в векторно-матричной форме следующим образом:

Ле - Лq + р = 0, (3)

где Л = ^ ^ А°2),а вектор я имеет компоненты (и, ф). Используем равенство р = Сее = С (е — ер), где С = ^ ^ ^ ^ . Перепишем это уравнение в виде

Ле-Лч + С(е-(?) = 0.

Решение уравнения (3) представим в виде суммы решений двух задач, а именно, основной и корректирующей. Основная задача определяется равенством:

А0 - Ля + в = 0

и является задачей о вычислении параметров равновесия механической системы, когда свойства материала детали подчиняются только закону упругости, то есть 9 — вектор упругих деформаций детали, отвечающих заданным параметрам управления и и ф. Её решение задаёт следующее выражение:

в = ЛЛя,

(

. — о \

п> _ 1 л\-1 _ I А1 4- Е I т/"--_________________________-.....-

1 1 — -гл.) — | " 2 | • ^ЧУрслхиКул^щлл имис±

I 0 агЫ'

вид:

и является задачей об определении параметров равновесия также упругой механической системы, но с защемлённой границей (и = 0,ч/> = 0), при наличии в детали остаточных пластических деформаций, заданных вектором еР. Здесь £ — вектор упругих деформаций, возникающих в образце в данном случае. Решение корректирующей задачи определяется формулой:

^ = РхСеР.

Непосредственной подстановкой убеждаемся, что при известных значениях компонент векторов я и ер решение исходной задачи (3) определяет сумма решений основной и корректирующей задач (е = в + £).

Пусть теперь механическая система находится в некотором положении равновесия при и = ио и ф = фа (вектор управляющих параметров равен Чо). В этом положении в образце имеют место полные и пластические деформации — компоненты векторов ео и ед, напряжения — компоненты вектора р0, а свойства материала характеризуют инкрементальные модули — компоненты матрицы СЦ (матрица Гессе потенциальной функции П).

Возмутим данное положение равновесия, увеличив вектор управляющих параметров на малую величину Параметры нового положения равновесия для Ч = Чо + Од определяются выражениями

Р = Ро + Рд, е = е0 + ед, ер = е^ + е^. (4)

Векторы р,рд,вд являются решениями так называемой возмущённой исходной задачи, то есть удовлетворяют уравнениям

Лед - Лчд 4- рд = 0, Лед - Лс^ + С (е - е^) = 0. Кроме того, они должны быть связаны соотношениями

Рд = С(е-е£), вд = ¡{Ь-БС^йе,

где 1д — путь деформирования от вектора ео до вектора ео + ед. В выражениях (4) неизвестными являются векторы ед и ед. Для их определения воспользуемся следующей итерационной процедурой. Сначала для Чд находим решение основной задачи: 0д = РгЛчд. Так как здесь не выделена пластическая составляющая деформаций, то вектор 6>д не может удовлетворить соотношения (4). Следовательно, его можно рассматривать только как первое приближение к искомому решению. Поэтому необходима корректировка данного приближения. Находим приращение пластических деформаций, для чего воспользуемся инкрементальным законом пластичности

Затем получаем решение корректирующей задачи £дх = ЛСе^. Тогда второе приближение равно ед! = 0д+£д1. Так как полные деформации изменились (увеличились), то происходит и увеличение пластических деформаций. Вычисление вновь возникших приращений пластических деформаций начинаем с определения значений инкрементальных модулей, которые они принимают при полных деформациях, заданных компонентами вектора ео + #дь то есть матрицу С{ = С (ео + бдх). После этого находим

°Д2 = № ~ £д1,

определяем решение корректирующей задачи £дг = РхСед2 и третье приближение — едг = ед! + £д2- Затем снова для полных деформаций ео + 0д + вычисляем матрицу и продолжаем процесс корректировки и так далее.

Данный итерационный процесс представим в виде матричного ряда

ед„ = Е^л-

к=1

Здесь £?? = /2, Я* = П где Л] = РХС (/2 - , 0' € N и {0})

— это матрицы, получающиеся из матрицы

(Е~СП -С12 \

д2 + с А2 + <7 /

после вычисления инкрементальных модулей сц,с22,с12 для соответствующих значений деформаций.

Если процесс сходится, то в результате получаем параметры равновесия системы для я = Яо + qд. Затем производим следующее догружение и так далее.

Аналогично строятся итерационные схемы и для случаев мягкого и смешанного нагружений. При исследовании сходимости предложенных процессов установлено, что начало их расходимости соответствует моменту потери устойчивости процесса деформирования рассмотренной механической системы.

В заключении сформулированы основные результаты работы:

1. Определяющие соотношения (связь между деформациями растяжения и сдвига с растягивающими и касательными напряжениями) представлены как отображение пространства деформаций в пространство напряжений. Показано, что это отображение обладает особенностями, то есть матрица Якоби отображения может вырождаться, что связано с переходом материала на стадию разупрочнения;

2. При задании отображения пространства деформаций в пространство напряжений с помощью потенциальной функции (потенциала напряжений), когда матрица Якоби является матрицей Гессе данной потенциальной функции (матрицей тангенциальных жёсткостей или матрицей инкрементальных модулей), установлено, что для описания разупрочнения эта потенциальная функция должна быть невыпуклой. Кроме того, показано, что в области разупрочнения отсутствует полное разупрочнение материала, так как матрица Якоби имеет там собственные значения разных знаков, и, следовательно, потенциальная функция имеет седловую точку. Это так называемое разупрочнение по части переменных;

3. Сформулированы критерии, определяющие состояние деформационного упрочнения и разупрочнения (полного или частичного) материала;

5. Проведено полное исследование устойчивости процесса деформирования

конструктивного элемента, осуществляющего растяжение с кручением детали из разупрочняющегося материала при мягком, жёстком и смешанном на-гружениях конструктивного элемента;

6. Методом дискриминантных конусов матриц Гессе определён момент потери устойчивости процесса деформирования конструктивного элемента при монотонно возрастающих параметрах управления системой. Установлено несовпадение моментов потери устойчивости при различных способах пагружения;

7. Разработаны итерационные процедуры для расчёта параметров равновесия конструктивного элемента, осуществляющего растяжение с кручением детали из упругопластического материала, свойства которого описывает невыпуклый потенциал. Рассмотрены случаи жёсткого, мягкого и смешанного пагружения системы;

8. Показано, что начало расходимости предложенных итерационных схем связано с потерей устойчивости процесса деформирования всей механической системы (конструктивного элемента).

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Журналы из перечня ВАК

1. Просвиряков Е.Ю., Стружанов В.В. Об устойчивости равновесия систем автоматического управления градиентного типа. // Вести. Сам. гос. тех. унта. Сер. Физ-мат. науки. - 2007. - № 2(15). - С. 173-176.

2. Стружанов В.В., Просвиряков Е.Ю. Растяжение с кручением. Сообщение 1: свойства материала. // Вестн. Сам. гос. тех. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки.

- 2008. - № 1(16). - С. 36-44.

3. Стружанов В.В., Просвиряков Е.Ю. Растяжение с кручением. Сообщение 2: Устойчивость процесса деформирования образца в механической системе. Жёсткое и мягкое нагружение. // Вестн. Сам. гос. тех. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. - 2008. - № 2(17). - С. 77-86.

4. Стружанов В.В., Просвиряков Е.Ю. Растяжение с кручением. Сообщение 3. Итерационный метод расчёта параметров равновесия и устойчивость процесса деформирования при сё смешанном нагружении. // Всстн. Сам. гос. тех. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. — 2009. — № 1(18). — С. 66-74.

Рецензируемые академические издания

5. Стружанов В.В., Просвиряков Е.Ю. Итерационный метод и устойчивость в задаче о растяжении с кручением упругопластической детали в конструкции при её мягком нагружении. // Вычисл. мех. сплош. сред. — 2008. — Т. 1, № 3.

- С. 106-116.

6. Стружанов В.В., Просвиряков Е.Ю., Бурмашева Н.В. Об одном методе построения единого потенциала. // Вычисл. мех. сплош. сред. — 2009. — Т. 2, № 2. - С. 96-107.

Сборники статей и докладов на конференциях

7. Просвиряков Е.Ю. Об одном итерационном методе определения напряжённо - деформированного состояния в задаче растяжения с кручением. // XXXV Гагаринские чтения. Научн. труды Междунар. молодёжи, научн. конф. в 8 томах. - М.: МАТИ, 2009. Т.1. - С.151-153.

8. Просвиряков Е.Ю., Стружанов В.В. Итерационная процедура в задаче о кручении с растяжением образца из упругопластического материала, // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды четвёртой Всеросс. конф. с междунар. участием. — Самара: СамГТУ, 2007. — С. 197-202.

9. Просвиряков Е.Ю., Стружанов В.В. Устойчивость деформирования образца в устройстве для реализации растяжения и кручения. // Проблемы прикладной математики и механики: Сб. трудов. — Екатеринбург, 2007. — С. 41-67.

10. Стружанов В.В., Просвиряков Е.Ю. Бифуркации процесса кручения с растяжением в одной стержневой системе. // Механика микронеоднородных материалов и разрушение. Тез. докл. V Всеросс. конф. — Екатеринбург: Изд-во ИМАШ УрО РАН, 2008. - С. 155.

11. Просвиряков Е.Ю. Отображения пространства состояний в пространство управлений и устойчивость растяжения с кручением одной стержневой системы при жёстком нагружении. // XXXIV Гагаринские чтения. Тез. докл. Междунар. молодёж. научн. конф. Секция № 3. Механика и моделирование материалов и технологий. - М.: МАТИ, 2008. Т. 1. - С. 186-188.

12. Стружанов В.В., Просвиряков Е.Ю. Критические точки потенциальной функции системы для кручения и растяжения при жёстком нагружении. // Математические модели механики, прочности и надежности элементов конструкций: Труды пятой Всеросс. конф. с междунар. участием. — Самара: СамГТУ, 2008. Ч. 1. - С. 311-317.

13. Struzhanov V.V., Prosviryakov E.Yu. Stability analysis of tension-torsion process of one mechanical system. // Advanced Problems in Mechanics АРМ

- 2008. Proceedings of the XXXVI Summer School. St. Peterburg (Repino). -СПб: Изд-во Комильфо, 2008. - P. 640 - 643.

Тезисы конференций

14. Просвиряков Е.Ю., Стружанов В.В. Определяющие соотношения при кручении с растяжением полого цилиндрического образца. // Лобачевские чтения - 2007: Материалы VI молодёжной школы-конференции. — Казань,

2007. - С. 173-175.

15. Просвиряков Е.Ю., Стружанов В.В. Устойчивость растяжения с кручение™ 5 СТСрЖНСБСй CrlCTCïvIC ПрИ СО мЛГКОш ИЛИ CîviôIIIcLKKGIvi НсьГруЖСНИИ. j j Математическое моделирование в естественных науках: Тез. докл. XVII Всеросс. школы - конференции молодых ученых и студентов. — Пермь: ПГТУ,

2008. - С.63-64.

16. Стружанов В.В., Просвиряков Е.Ю. Итерационный процесс вычисления параметров равновесия механической системы, осуществляющей растяжение с кручением образца из упругопластического материала. // Проблемы нелинейной механики деформируемого твёрдого тела: Тез. докл. Всеросс. конф. Пермь. - Екатеринбург: УрО РАН, 2008. - С. 86.

17. Просвиряков Е.Ю., Стружанов В.В. Особенности отображения пространства деформаций в пространство напряжений (на примере растяжения с кручением). // Механика сплошных сред как основа современных технологий: Тез. докл. XVI Зимней школы по механике сплошных сред. — Пермь, 2009.

- С. 284.

18. Просвиряков Е.Ю., Стружанов В.В. Определяющие соотношения с особенностями в задаче растяжения с кручением. // Современные проблемы

математики, механики и их приложений. Материалы междунар. конф., посвященной 70-летию ректора МГУ академика В.А. Садовпичего. — М.: Издательство «Университетская книга», 2009. — С. 295-296.

19. Просвиряков Е.Ю., Стружанов В.В. Об устойчивости процессов деформирования градиентных механических систем. // Междунар. конф. по математической теории управления и механике. Тез. докл. — Суздаль. М.: МИАН, 2009. - С. 135-136.

20. Стружанов В.В., Просвиряков Е.Ю. Об устойчивости одной деформируемой градиентной системы. // Актуальные проблемы теории устойчивости и управления. Тез. докл. Междунар. конф. — Екатеринбург: УрО РАН. 2009. - С. 131-133.

Подписано в печать 14.10.2009. Формат 60x84 1/16. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз. Заказ № 234.

Типография «Уральский центр академического обслуживания» 620219, г. Екатеринбург, ул. Первомайская, 91

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Просвиряков, Евгений Юрьевич

ВВЕДЕНИЕ. АНАЛИТИЧЕСКИЙ ОБЗОР И ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧ

ИССЛЕДОВАНИЯ.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

ГЛАВА 1. СВОЙСТВА ЭЛЕМЕНТА КОНСТРУКЦИИ В ВИДЕ ПОЛОГО ЦИЛИНДРА СПЕЦИАЛЬНЫХ РАЗМЕРОВ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ С КРУЧЕНИЕМ

1.1 Геометрия детали.

1.2 Образ процесса деформирования.

1.3 Особые точки кривой деформирования.

1.4 Признаки деформационных состояний.

1.5 Инкрементальные определяющие соотношения с особенностями

1.6 Потенциальное поле.

1.7 Построение единого потенциала.

1.8 Свойства, определяемые единым потенциалом.

1.9 Особые точки отображения пространства деформаций в пространство напряжений и области упрочнения и разупрочнения.

1.10 Некоторые закономерности изменения приращений напряжений и деформаций при малых деформациях.

1.11 Пути деформирования и их отображения в пространство напряжений

1.12 Выводы по первой главе.

ГЛАВА 2. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРОЦЕССА ДЕФОРМИРОВАНИЯ КОНСТРУКТИВНОГО ЭЛЕМЕНТА, ОСУЩЕСТВЛЯЮЩЕГО РАСТЯЖЕНИЕ С КРУЧЕНИЕМ ДЕТАЛИ В ВИДЕ ПОЛОГО ЦИЛИНДРА.

2.1 Конструктивный элемент.

2.2 Жёсткое нагружение.

2.2.1 Критические точки и критические значения отображения пространства параметров состояния в пространство параметров управления

2.2.2 Морсовские сёдла и критические точки потенциальной функции

2.2.3 Сепаратриса.

2.2.4 Дискриминантный конус и устойчивость процесса деформирования

2.3 Мягкое нагружение.

2.3.1 Критические точки и критические значения отображения пространства параметров состояния в пространство параметров управления

2.3.2 Вырожденные критические точки и сепаратриса модельной потенциальной функции.

2.3.3 Дискриминантный конус и устойчивость процесса деформирования

2.4 Смешанное нагружение■.

2.4.1 Критические точки и критические значения отображения пространства параметров состояния в пространство параметров управления

2.4.2 Вырожденные критические точки и сепаратриса модельной потенциальной функции.

2.4.3 Дискриминантный конус и устойчивость процесса деформирования

2.5 Выводы по второй главе.

Глава 3. ИТЕРАЦИОНЫЙ ПРОЦЕСС РАСЧЁТА ПАРАМЕТРОВ РАВНОВЕСИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ И УСТОЙЧИВОСТЬ ПРОЦЕССА ДЕФОРМИРОВАНИЯ

3.1 Инкрементальный закон пластичности.

3.2 Итерационная схема расчёта параметров равновесия механической системы при её жёстком нагружении.

3.2.1 Основная и корректирующая задачи.

3.2.2 Алгоритм итерационного процесса.

3.2.3 Критерий сходимости итераций.

3.2.4 Сходимость итераций и устойчивость процесса деформирования

3.3 Итерационная схема расчёта параметров равновесия механической системы при её мягком нагружении.

3.3.1 Основная и корректирующая задачи.

3.3.2 Алгоритм итерационного процесса.

3.3.3 Критерий сходимости итераций.

3.3.4 Сходимость итераций и устойчивость процесса деформирования

3.4 Итерационная схема расчёта параметров равновесия механической системы при её смешанном нагружении.

3.4.1 Основная и корректирующая задачи.

3.4.2 Алгоритм итерационного процесса.

3.4.3 Критерий сходимости итераций.

3.4.4 Сходимость итераций и устойчивость процесса деформирования

3.5 Выводы по третьей главе.

Введение диссертация по механике, на тему "Устойчивость деформирования стержневой системы, осуществляющей растяжение с кручением полой цилиндрической детали из разупрочняющегося материала"

Постоянное ужесточение требований, предъявляемых к качеству элементов конструкций, требует внедрения в практику проектирования всё более совершенных методов расчёта их прочности, долговечности, надёжности и живучести. Создание новых методов базируется на введении в рассмотрение свойств материалов, не учитываемых в традиционных теориях механики деформируемого твёрдого тела.

Долгое время характеристикой разрушения считали напряжение в высшей точке диаграммы деформирования. Однако теперь ясно, что эта точка является критическим состоянием, соответствующим потере устойчивости тела с трещинами. Разрушение заканчивается тогда, когда магистральная трещина полностью пересекает тело или образец при усилии, снижающемся до нуля [108].

Схема одновременного отрыва соответствует бесконечно большой скорости разрушения, то есть, по-существу, в этом случае разрушение является единовременным мгновенным актом, что, безусловно, является идеализацией процесса разрушения. В реальных же телах зарождение и развитие трещин происходит во времени на закритической стадии деформирования, когда напряжения снижаются до нуля при росте деформаций [108].

Состояние материала на заключительной (закритической) стадии деформирования характеризуется падающим участком полной диаграммы деформирования, которым заканчивается полная диаграмма деформирования. В настоящее время разработаны методики экспериментального построения полных диаграмм при различных видах испытаний: растяжение, сжатие, кручение, изгиб. Все эти экспериментальные методики основаны на увеличении жёсткости испытательных машин путём последовательного или параллельного включения в силовую цепь последовательных упругих элементов [7, 13, 19, 29, 30, 52, 53, 56, 57, 89, 134, 142, 143]. Полную диаграмму можно также получить, используя сервоуправляемую испытательную машину, управление которой осуществляется автоматически с помощью электрического сигнала от датчика деформаций, прикреплённого к образцу. В этом случае реализуется быстродействующая обратная связь, позволяющая балансировать на грани безопасных напряжений для повреждённого образца [35, 115, 121, 129].

Непосредственное использование характеристик ниспадающей ветви, полученных в эксперименте, связано в большей степени с определением их взаимосвязи с особенностями кинетики образования и развития трещин, с кинетикой разрушения на стадии упрочнения, с параметрами трещиностойкости материала [49, 50, 51, 111]. Интерпретация же имеющихся многочисленных данных по закритическому деформированию в терминах присущего материалу свойства разупрочнения иногда встречает возражения [112, 131, 133], которые, в основном, сводятся к следующему:

1. падающая диаграмма является динамической характеристикой системы «образец - испытательная машина»;

2. закритическое деформирование заведомо неустойчиво и поэтому однородное квазистатическое деформирование образца, необходимое для определения связи напряжений и деформаций, принципиально не может быть обеспечено.

Эти возражения обусловлены двумя моментами:

1. интуитивным убеждением в применимости к реальным неодномерным телам тех выводов об устойчивости и неустойчивости, которые получены с помощью традиционных одномерных моделей сплошной среды;

2. отсутствием строгих результатов такого же рода для тех конфигураций и граничных условий, которые могли бы быть хоть сколько-нибудь сопоставимы с реальными условиями проводимых испытаний.

Контраргументы данных соображений приведены в работах [58, 83, 85, 86], в которых утверждается, что неустойчивые состояния материала могут быть реализованы, если этот материал находится в составе устойчивой механической системы. Осуществимость неустойчивых состояний существенно связана с неодномерностью тел и не имеет одномерных аналогов. Кроме того, полные диаграммы возможно построить, исходя из рассмотрения некоторых модельных структурных представлений твёрдого тела [14, 18, 79, 80, 81, 96, 103, 140], что также показывает осуществимость неустойчивых состояний материала. Особо отметим работы [91, 98], в которых сформулирована обратная некорректная задача по восстановлению полной диаграммы деформирования материала по диаграмме чистого изгиба балки прямоугольного поперечного сечения, нагружаемой по жёсткой схеме (контролируется радиус кривизны), и разработана методика решения этой задачи. Здесь напрямую используется принцип, утверждающий возможность существования неустойчивых состояний материала в устойчиво деформируемом теле. Изложенная в публикациях [91, 98] методика открывает новые возможности для определения свойств материалов, находящихся в состоянии разупрочнения.

В отличие от экспериментальных задач значительно меньшее внимание уделяется построению определяющих соотношений для разупрочняющейся среды, постановке краевых задач и их решению. Это объясняется тем, что на стадии разупрочнения не выполняется постулат Друккера (Drucker). Данное обстоятельство служило основанием для отбраковки моделей, допускающих работу материала на закритической стадии деформирования (стадии разупрочнения). Однако постулат Друккера-(Drucker), как это неоднократно подчёркивал сам автор [62, 123], не вытекает из законов термодинамики. На требование его выполнения следует смотреть, как на определение класса устойчивых материалов [78].

Наиболее удобными для описания в терминах закритического деформирования являются существенно структурно-неоднородные материалы типа геоматериалов и бетона. Кроме того, грузонесущие элементы породных массивов эксплуатируются чаще всего в режиме заданных деформаций, при котором реально появление зон разупрочнения. Предложен ряд моделей таких материалов, учитывающих запредельное деформирование, и разработаны некоторые приёмы расчётов на прочность [7, 33, 77, 82, 106, 117, 125]. При этом в определяющих соотношениях используется только один тангенциальный модуль, определяемый касательной к полной диаграмме деформирования, полученной либо при сжатии, либо при растяжении, либо при сдвиге. Зачастую в качестве тангенциального модуля на закритической стадии используется постоянный модуль спада, если принимается линейная апроксимация падающего участка.

Также полная диаграмма растяжения применяется при моделировании процесса продвижения трещин, когда предполагается существование тонкой; полосы у вершины трещины, в которой материал может переходить на стадию разупрочнения при одноосном растяжении [10, 16, 17, 25, 26, 27,116, 122,. 136, 137, 138 ].

Наиболее естественным является применение падающих диаграмм в атомарных моделях. В простейшем случае кристаллическое тело моделируется некоторой решёткой, задаются массы частиц, помещённые в узлах решётки, закон силового взаимодействия между ними и записываются уравнения движения частиц. Непосредственное использование решёточных моделей позволяет с единых позиций рассматривать процессы деформирования, зарождения, накопления трещин и дефектов и их развития. Исследования проводят методами статики и динамики решётки. Как правило, используются потенциалы взаимодействия между атомами Леннарда - Джонсона (Lennard-Jones) и Морса (Morse), из которых зависимость сил растяжения от увеличения расстояния между атомами представляется полной диаграммой [6, 28, 46, 47]. В работах [СО, 61] на основе введения нового потенциала формулируются необходимое и достаточное условия хрупкой прочности.

Отметим, что полная диаграмма деформирования при растяжении применялась для решения задач о разрушении некоторых стержневых и континуальных механических систем [3, 15, 40, 92, 118, 119].

В работах [39, 62] сделана попытка обобщить принцип градиентности вектора приращения пластических деформаций к поверхности текучести, отвечающей ассоциированному закону пластичности для упругопластических сред на разупрочняющиеся среды. Однако из приведённых теоретических положений неясно, как можно построить определяющие соотношения для сложного напряжённого состояния.

В работах [14,132] связь напряжений и деформаций на стадии разупрочнения определяется уравнениями нелокальной повреждённости, через параметр (тензор) повреждённости как для упруго-хрупкого повреждающегося материала. Но в них не приведены уравнения, позволяющие построить тензор повреждённости при произвольном пути деформировании. Таким образом, методы описания свойств материалов на стадии разупрочнения не разработаны так, как это имеет место в теории течения и деформационной теории пластичности.

Разупрочнение материала — есть внутренняя неустойчивость. Развитие зон разупрочнения приводит к потере устойчивости процесса деформирования всего тела. Однако в многочисленных исследованиях устойчивости механических систем и деформируемых тел не используются понятия деформационного разупрочнения материала [9, 31, 37, 38, 45, 48, 59, 109, 113, 114, 126, 127, 128]. Как правило, применяется подход Эйлера к определению критических параметров [109]. Исследуется единственность решения линеаризованных уравнений статики (без выделения стадии разупрочнения). Потерю устойчивости связывают с нетривиальной разрешимостью, которая возникает при вырождении некоторой матрицы, характеризующей свойства системы.

Гораздо менее исследованным является направление, связанное с устойчивостью относительно возмущений материальных функций, которые могут описывать и неустойчивые состояния материала. Можно отметить работы [84, 86], где условие устойчивости равновесных конфигураций связывается с необходимостью выполнения неравенства Адамара (Hadamard) [105] и формулируется определение разупрочнения материала для произвольного деформированного состояния. Наиболее последовательно разупрочнение материала используется для определения разрушения и устойчивости в работах 3. Ба-жанта (Bazant Z.), обобщённых в монографии [120]. Здесь анализ устойчивости опирается на энергетические и бифуркаркационные методы и потеря устойчивости связывается с обращением в нуль второй вариации некоторого энергетического функционала.

При включении в рассмотрение закритической стадии деформирования материала возникает ещё одна проблема. Применяемые численные методы решения нелинейных задач, например, широко используемый метод упругих решений, требуют устойчивости материала, то есть сходимость метода гарантируется, если диаграмма деформирования является монотонно возрастающей [64]. В противном случае сходимость последовательных приближений не гарантируется и требуются определённые модификации методик [11, 12, 124, 130, 135]. Кроме того, неизвестно, что означает расходимость при численном моделировании: некорректность дискретизованной задачи (например, неустойчивость разностной схемы) или нечто, реально происходящее в физическом теле [22].

Из приведённого выше анализа данных, опубликованных в научной литературе, можно сформулировать отдельные задачи, решение которых могло бы внести определённый вклад в механику разупрочняющегося тела. Это, во-первых, задача об описании свойств материала как на стадии упрочнения, так и на стадии разупрочнения. При активном деформировании следует определить соответствующий потенциал напряжений. Во-вторых, желательно рассмотреть деформирование некоторой механической системы, один из элементов которой обладает деформационным разупрочнением, и исследовать устойчивость процесса деформирования такой системы с тем, чтобы выяснить влияние разупрочнения на устойчивость даного процесса. И, наконец, разработать итерационную схему, с помощью которой можно было бы не только находить параметры равновесных состояний, но и определить момент потери устойчивости деформирования всей системы, то есть связать расходимость итерационного метода с реальным физическим состоянием системы.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. В настоящее время существует определённый разрыв между механикой разрушения (механикой трещин) и механикой деформирования. В механике разрушения не рассматриваются вопросы возникновения трещин (они считаются заданными), но и в механике деформирования этот вопрос также не изучается, так как используются критерии разрушения, основанные на появлении в теле напряжений, превосходящих некоторые предельные значения. После выполнения такого критерия рассмотрение процесса деформирования заканчивается, хотя понятно, что в отдельных областях превышение напряжениями критических значений необязательно связано с общим или даже местным разрушением.

Сравнительно новый раздел механики деформируемого твёрдого тела, а именно, континуальная механика разрушения (механика рассеянного разрушения), изучающая процессы подготовки и зарождения разрушения в изначально сплошной среде, имеет все перспективы для описания перехода от механики деформирования к механике трещин. Механика континуального разрушения рассматривает все стадии деформирования, включая и стадию разупрочнения (стадию неустойчивости материала), которая возникает после достижения напряжениями предельных значений и предшествует окончательному разрушению и образованию трещины. Образование зон с неустойчивым состоянием материала в конце концов приводит к потере устойчивости процесса деформирования. Это согласуется с тем, что разрушения различных конструкций различных сооружений как раз и представляет в общем случае глобальные явления того же характера, что и явления невозможности равновесия [87].

Введение в рассмотрение неустойчивых состояний материала приводит к формулировке определяющих соотношений, имеющих особенности, при которых краевые задачи становятся некорректными по Адамару, то есть имеет место неединственность и неустойчивость некоторых решений. Исследование таких задач требует новых, нетрадиционных для механики деформируемого твёрдого тела математических методов. В результате из решения данных задач возможно найти момент разрушения (или образования трещины), который связан с возникновением нескольких равновесных состояний для заданных граничных условий и скачкообразным переходом из одного положения равновесия в другое. Так как строгое решение краевых задач с определяющими соотношениями с разупрочнением в общем случае ещё невозможно, то является актуальным анализ некоторых частных задач, позволяющих, по крайней мере, на качественном уровне исследовать закономерности влияния разупрочнения на устойчивость процесса деформирования, а следовательно, и разрушения, дискретных и континуальных механических систем.

Вышеизложенное определяет актуальность дальнейших исследований и позволяет сформулировать цель настоящей диссертационной работы.

Цель работы. Анализ научных публикаций по механике континуального разрушения показывает, что разработаны некоторые общие положения механики разупрочняющегося материала. Однако дальнейшее развитие сдерживает отсутствие примеров, которые наглядно бы демонстрировали методы решения конкретных задач, иллюстрировали преимущество подхода и позволяли исследовать эффекты, скрытые при общем рассмотрении. Аналогичная ситуация сложилась в своё время с теорией катастроф после того, как основные её концепции в общей постановке были опубликованы Тома P. (R. Thom) [141]. Существенное развитие теория и её приложения получили тогда, когда было исследовано поведение так называмой машины Зимана (Zeeman) [65] — простой механической системы, которая на качественном уровне иллюстрировала основные положения теории.

В данной работе была поставлена цель провести полное и математически корректное исследование устойчивости процесса деформирования и разрушения также некоторой простой механической системы с элементом из разупрочняющегося материала. Так как основным экспериментом для определения закономерностей сложного нагружения является опыт на растяжение с кручением [4], то в качестве такой системы была выбрана стержневая конструкция, посредством которой осуществляется совместное растяжение с кручением детали специальной формы из материала, обладающего эффектом деформационного разупрочнения. Исследование процесса деформирования этой системы играет ту же роль в механике разупрочняющегося тела, что задача Зимана в теории катастроф.

Научная новизна работы определяется тем, что осуществлён переход от одномерных моделей механических систем и тел из разупрочняющегося материала к неодномерной (двумерной) задаче для произвольной системы деформирования и проведено строгое математическое исследование устойчивости процесса деформирования выбранной механической системы. При этом:

1. Определяющие соотношения (связь между напряжениями и деформациями) представлены как отображение пространства деформаций в пространство напряжений, которое имеет особенности, связанные с вырожденностью матрицы Якоби (Jacobi) данного отображения, которая является следствием разупрочнения материала.

2. Сформулированы критерии, определяющие состояние деформационного упрочнения и разупрочнения (полного или частичного) материала.

5. Проведено полное исследование устойчивости процесса деформирования конструктивного элемента, осуществляющего растяжение с кручением детали из разупрочняющегося материала при мягком, жёстком и смешанном нагружениях конструктивного элемента. Построены сепаратрисы, разделяющие пространтсво управлений на открытые области, каждая из которых параметризует лишь качественно подобные потенциальные функции системы, имеющие одно и тоже число положений равновесия.

6. Методом дискриминатных конусов матриц Гессе определён момент потери устойчивости процесса деформирования конструктивного элемента при монотонно возрастающих параметрах управления системой (нагрузок). Рассмотрены мягкое, жёсткое и смешанное нагружения. Установлено несовпадение моментов потери устойчивости при различных способах нагружения.

7. Разработаны итерационные процедуры для расчёта параметров равновесия конструктивного элемента с деталью из разупрочняющегося материала, подверженной растяжению с кручением. Рассмотрены случаи жёсткого, мягкого и смешанного нагружения системы.

На защиту выносятся:

1. Методы построения определяющих соотношений с особенностями, возникающими при разупрочнении материала, и описания свойств материала на стадии разупрочнения при жёстком нагружении образца по различным путям деформирования, реализуемых при совместном растяжении с кручением;

Практическая ценность работы заключается в том, что полученные методы могут быть использованы для дальнейшего развития теории разу-прочняющихся сред и разработки методов расчёта различных конструкций, которые вследствие учёта разупрочнения позволят полностью использовать ресурс материала и находить реальную несущую способность элементов конструкций, а также прогнозировать момент разрушения.

Аппробация работы. По материалам диссертации были сделаны доклады на следующих конференциях: 15-ая, 16-ая, 17-ая, 18-ая Всероссийская школа-конференция молодых учёных «Математическое моделирование в естественных науках» (г. Пермь, 2006-2009); международный семинар «Устойчивость, управление и моделирование динамических систем» (г. Екатеринбург, 2006); XV,XVI Всероссийская зимняя школа по механике сплошных сред (г. Пермь, 2007, 2009); III, IV Российская научно-техническая конференция «Разрушение, контроль и диагностика материалов и конструкций» (г. Екатеринбург, 2007, 2009), четвёртая, пятая, шестая Всероссийская конференция с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 2007-2009), Всероссийская научно-техническая конференция «Проблемы безопасности критичных инфраструктур территорий и муниципальных образований» (г. Екатеринбург, 2007-2008); Всероссийская конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах» (г. Пермь, 2007-2008); VI, VII молодёжная Всероссийская школа-конференция «Лобачевские чтения» (г. Казань, 2007-2008), V Всероссийская конференция «Механика микронеоднородных материалов и разрушение» (г. Екатеринбург, 2008); XXXIV, XXXV Гагаринские чтения; Международная молодёжная научная конференция (г. Москва, 2008-2009г); XI, XII Всероссийская научно-техническая конференция «Аэрокосмическая техника, высокие технологии и инновации» (г. Пермь, 2008-2009); 36th International Summer School «Advanced Problems in Mechanics» (Russia, St. Petersburg (Repino), 2008); Всероссийская конференция «Проблемы нелинейной механики деформируемого твёрдого тела» (Пермь, 2008); Международная конференция «Современные проблемы математики, механики и их приложения» (г. Москва, 2009г); Первая традиционная Всероссийская молодёжная летняя школа «Управление, информация и оптимизация» (г. Переславль-Залесский, 2009); Международная конференция по математической теории управления и механике (г. Суздаль, 2009); Международная конференция «Актуальные проблемы теории устойчивости и управления» (г. Екатеринбург, 2009).

Награды. Дважды стипендиат Губернатора Свердловской области (2007/2008 учебный год), стипендиат Президента Российской Федерации (2008/2009 учебный год), победитель (вторая премия) XII областного конкурса научно-исследовательских работ «Научный Олимп» по направлению «Естественные науки», победитель (I место) XXIV Всероссийского открытого конкурса научно-исследовательских, изобретательских и творческих работ обучающихся «Национальное Достояние России», вручён знак отличия «Национальное Достояние России», удостоверение № 748, победитель Всероссийского конкурса работ по теории управления и ее приложениям.

Настоящая работа была выполнена при финансовой поддержке РФФИ (№№07-08-00125, 07-01-96087), в рамках интеграционного проекта «Разработка методов оценки и диагностики работоспособности ответственных объектов техники и сооружений при критических и предкритических состояниях материала и повышенных нагрузках» между Институтом машиноведения УрО РАН и Институтом гидродинамики СО РАН и программы Президиума РАН №11 «Фундаментальные проблемы механики взаимодействий в технических и природных системах».

Публикации. По теме диссертации опубликовано 30 печатных работ, из них 4 статьи в журналах из перечня ВАК. Основное содержание первой главы отражено в публикациях [71, 72, 73, 97, 100], основное содержание второй главы —■ в публикациях [70, 74, 75, 76, 90, 95, 99, 69, 101, 139] и основное содержание третьей главы — в публикациях [67, 68, 93, 94, ]02].

Объём и структура работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы, состоящего из 143 источников, содержит 49 рисунков, 2 таблицы. Объём диссертационной работы составляет 135 страниц.

Заключение диссертации по теме "Механика деформируемого твердого тела"

3.5 Выводы по третьей главе

1. Разработаны итерационные процедуры для расчёта параметров равновесия конструктивного элемента с деталью из упругопластического разупрочняющегося материала, подверженной растяжению с кручением. Рассмотрены случаи жёсткого, мягкого и смешанного нагружений системы.

2. Получены условия сходимости итерационных процедур и показано, что начало их расходимости связано с потерей устойчивости процесса деформирования.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

2. При задании отображения пространства деформаций в пространство напряжений с помощью потенциальной функции (потенциала напряжений), когда матрица Якоби является матрицей Гессе данной потенциальной функции (матрицей тангенциальных жёсткостей или матрицей инкрементальных модулей), установлено, что для описания разупрочнения эта потенциальная функция должна быть невыпуклой. Кроме того, показано, что в области разупрочнения отсутствует полное разупрочнение материала, так как матрица Якоби имеет там собственные значения разных знаков и, следовательно, потенциальная функция имеет седло-вую точку. Это так называемое разупрочнение по части переменных.

3. Сформулированы критерии, определяющие состояние деформационного упрочнения и разупрочнения (полного или частичного) материала.

4. Показано, что при описании свойств материала единым потенциалом наблюдаются эффекты, свойственные деформационным теориям (запаздывание векторных и скалярных свойств при изломе траектории деформирования).

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Просвиряков, Евгений Юрьевич, Екатеринбург

1. Адамов А. А. Исследование и моделирование нестационарного термомеханического поведения вязкоупругих резиноподобных материалов и элементов конструкций при конечных деформациях // Автореферат дис. доктора физико-математ. наук. — Пермь, 2004. 32 с.

2. Акивис М. А., Гольдберг В. В. Тензорное исчисление. — М.: Наука, 1969. 351 с.

3. Андреева Е.А. Решение одномерных задач пластичности для разупроч-няющегося материала. // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2008. - № 2 (17). - С. 152-160.

4. Аннин Б.Д., Жигалкин В.М. Поведение материала в условиях сложного нагружения. — Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1999. — 342 с.

5. Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений. Классификация критических точек, каустик и волновых фронтов. — М.: Наука, 1982. — 304 с.

6. Астапов Н. С., Корнев В. М. Область устойчивости плотноупакованного слоя атомов. // Прикладная механика и техническая физика. — 2007.1. Т. 48. С. 161-172.

7. Баклашов И.В. Деформирование и разрушение породных массивов. — М.: Недра, 1988. 271 с.

8. Беллман Р. Введение в теорию матриц. — М.: Наука, 1969. — 368 с.

9. Болотин В.В. О понятии устойчивости в строительной механике // Проблемы устойчивости в строительной механике. — М.: Изд-во литературы по строительству. — 1965. — С. 6-27.

10. Бориицев А.А., Дивенгталь И.Ю., Необердин Ю.А., Швецов А.В. Оценка прочности сварного соединения с малой дискообразной трещиной. // ПМТФ. 1985. - № 2. - С. 144-150.

11. Бригаднов И.А., Репин С.И. О численном решении задач пластичности для малоупрочняющихся материалов. // Изв. АН СССР. МТТ. — 1990.- № 4. С. 72-82.

12. Бригаднов И.А. Регуляризация и обобщенное решение невыпуклых краевых задач теории малых деформаций. // Изв. РАН. МТТ. — 1996. — № 5. С. 46-54.

13. Введение в механику скальных пород / Под. ред. X. Бока. — М.: Мир, 1982. 276 с.

14. Вильдеман В.Э., Соколкип Ю.В., Ташкинов А.А. Механика неупругого деформирования и разрушения композиционных материалов. — М.: Наука, Физматлит, 1997. — 288 с.

15. Вильдеман В.Э., Чаусов Н.Г. Условия деформационного разупрочнения материала при растяжении образца специальной конструкции. // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. — 2007. — Т. 73, № 10.- С. 55-59.

16. Волков С.Д. К теории макротрещин. Сообщение 1. Простейшие модели. // Проблемы прочности. — 1981. — № 2. — С. 44-48.

17. Волков С.Д. К теории макротрещин. Сообщение 2. Модели класса МТ. // Проблемы прочности. 1981. № 3. — С. 38-42.

18. Волков С.Д. О кинетике разрушения и масштабном эффекте // Заводская лаборатория. 1980. - Т.26, № 3. - С. 323-329.

19. Волков С. Д., Гуськов Ю. П., Кривосницкая В. И., Миронов В. И., Со-ковнин Ю.П., Соколов П. С. Экспериментальные функции сопротивления легированной стали при растяжении и кручении // Проблемы прочности. 1979. — № 1. — С. 3-6.

20. Гаврилкина М.В., Глаголев В. В., Маркин А. А. К решению одной задачи механики разрушения. Прикладная механика и техническая физика.- 2007. № 4, т. 48. - С. 121-127.

21. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. 552 с.

22. Георгиевский Д.В. Устойчивость процессов деформирования по наборам мер относительно заданных классов возмущений. // Изв. РАН. МТТ. 1997. — № 2. - С.69-92.

23. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф: В 2-х книгах. Кн.1. — М.:Мир, 1984. 350 с.

24. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф: В 2-х книгах. Кн.2. — М.:Мир, 1984. 285 с.

25. Глаголев В.В., Кузнецов К.А., Маркин А.А. Модель процесса разделения деформируемого тела. // Изв. РАН. МТТ. — 2003. — № 6. — С. 61-68.

26. Глаголев В.В., Маркин А.А. Определение термомеханических характеристик процесса разделения. // Изв. РАН. МТТ. — 2007. — № 6. — С. 101-112.

27. Глаголев В.В., Маркин А.А. Оценка толщины слоя взаимодействия как универсального параметра материала // Изв. РАН. МТТ. — 2006. — № 5. С. 177-186.

28. Гольдштейн Р.В., Шаталов Г.А. Моделирование процессов разрушения в рамках обобщенной модели атомистической трещины нормального отрыва. // Изв. РАН. МТТ. 2006. - №Л. - С. 151-164.

29. Гудман Р. Механика скальных пород. — М.: Стройиздат, 1987. — 232 с.

30. Гузь А.Н. Устойчивость трёхмерных деформируемых тел. — Киев: На-укова думка, 1971. — 276 с.

31. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. — М.: Наука, 1967. 370 с.

32. Драгон А., Мруз 3. Континуальная модель пластически-хрупкого поведения скальных пород и бетона. // Механика деформируемых твердых тел. Направления развития. — М.: Мир, 1983. — С. 163-188.

33. Елисеев В.В. Механика упругих тел. — СПб: Изд-во СПбПГУ, 2002. — 341с.

34. Жуков А. Н. Некоторые особенности поведения материалов при упру-гопластическом деформировании // Вопросы теории пластичности. — М.: Изд-во АН СССР. 1961. - С.30-57.

35. Зубов Л.М., Шейдаков Д.Н. О влиянии кручения на устойчивость упругого цилиндра при растяжении. // ПММ. — 2005. — Т. 69, Вып. 1. — С. 53-60.

36. Зубов Л.Н., Рудеев А.Н. О неустойчивости растянутого нелинейно-упругого бруса. // ПММ. 1996. - Т.60. Вып.5. - С. 786-798.

37. Ибрагимов В.А. Некоторые вопросы разупрочняющихся сред. // Изв. АН СССР. МТТ. 1972. - № 4. - С. 55-63.

38. Ибрагимов В.А., Клюшников В.Д. Некоторые задачи для сред с падающей диаграммой. // Изв. АН СССР, МТТ. 1971. - № 4.- С. 116-121.

39. Ильюшин А. А. Пластичность. М.: Изд.-во АН СССР, 1963. - 272 с.

40. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1989. — 624 с.

41. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. — М.: Наука, 1968. — 720 с.

42. Кошляков Н. С., Глинер Э.Б., Смирнов М. М. Уравнения в частных производных математической физики. — Москва: Высшая школа, 1970.- 712 с.

43. Клюшников В.Д. Лекции по устойчивости деформируемых систем. — М.: Изд-во МГУ. 1986. 224 с.

44. Корнев В. М., Кургузов В. Д. Достаточный дискретно-интегральный критерий прочности при отрыве. // Прикладная механика и техническая физика. 2001. - № 2. Т. 42. - С. 161-170.

45. Корнев В. М., Тихомиров Ю.В. О критерии хрупкого разрушения тел с трещиной при наличии дефекта атомной решетки // Изв. РАН. МТТ.- 1994. № 2. - С. 185-193.

46. Коробейников С.Н. Нелинейное деформирование твердых тел. — Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000. 262 с.

47. Лебедев А.А., Марусий О.И., Чаусов Н.Г., Зайцева Л.В. Исследование кинетики разрушения пластических материалов на заключительной стадии деформирования. // Проблемы прочности. — 1982. — № 1.- С. 12-18.

48. Лебедев А.А., Чаусов Н.Г., Марусий О.И. Кинетика разрушения листовой аустеничной стали на заключительной стадии деформирования. // Проблемы прочности. 1982. - К0- 1. — С. 12-18.

49. Лебедев А.А., Чаусов Н.Г. К оценке трещиностойкости пластичных материалов. // Проблемы прочности. — 1982. — № 2. — С. 11-13.

50. Лебедев А.А., Чаусов Н.Г., Евецкий Ю.Л. Методика построения полных диаграмм деформирования листовых материалов // Проблемы прочности. 1986. - № 9. - С. 29-32.

51. Лебедев А.А., Чаусов Н.Г. Установка для испытания материалов с построением полностью равновесных диаграмм деформирования // Проблемы прочности. 1981. - № 12. — С. 104-106.

52. Ленский В. С. Экспериментальная проверка основных постулатов общей теории упруго-пластических деформаций // Вопросы теории пластичности. М.: Изд-во АН СССР, 1961. — С. 58-82.

53. Лурье А. И. Теория упругости. — М.: Наука, 1970. — 939 с.

54. Миронов В.И. Свойства материала в реологически неустойчивом состоянии // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. — 2002. — Т. 68. № 10. С. 47-52.

55. Миронов В. И. Микушин В. И., Владимиров А. П. и др. Установка для определения механических свойств материалов на стадии разупрочнения. // Заводская лаборатория. 2001. - Т.67, № 3. - С. 48-52.

56. Никитин Л.В., Рыжак Е.И. Об осуществимости состояний материала, соответствующих «падающему» участку диаграммы // Изв. АН СССР МТТ. 1986. - № 2. - С. 155-161.

57. Никитин Л.В., Рыжак Е.И. Об устойчивости и неустойчивости сжатого блока, прижатого к гладкому основанию // Изв. РАН. МТТ. — 2008. — № 4. С. 42-57.

58. Новожилов В.В. К основам теории равновесных трещин в упругих телах. // ПММ. 1969. - Т.ЗЗ, вып.5. - С. 757-812.

59. Новожилов В.В. О необходимом и достаточном критерии хрупкой прочности. // ПММ. 1969. - Т.ЗЗ, вып.5. - С. 212-222.

60. Писаренко Г. С., Лебедев А. А. Сопротивление материалов деформированию и разрушению при сложном напряженном состоянии. — Киев: Наукова думка, 1969. — 211 с.

61. Победря Б.Е., Шешенин С.В. О методах упругих решений. // Изв. АН СССР. МТТ. 1987. - № 5. - С. 59-72.

62. Постои Т. Стюарт И. Теория катастроф и её приложения. — М.: Мир, 1980. 608с.

63. Постников М. М. Устойчивые многочлены. — М.: Наука, 1981. — 176с.

64. Просвиряков Е.Ю., Стружанов В.В. Об устойчивости процессов деформирования градиентных механических систем. // Международная конференция по математической теории управления и механике. Тезисы докладов. Суздаль, 3-7 июля 2009. М.: МИАН, 2009. С. 135-136.

65. Просвиряков Е.Ю., Стружанов В.В. Об устойчивости равновесия систем автоматического управления градиентного типа // Вести. Сам. гос. тех. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. — 2007. — № 2(15). — С. 173-176.

66. Просвиряков Е.Ю., Стружанов В.В. Определяющие соотношения при кручении с растяжением полого цилиндрического образца. // Лобачевские чтения 2007: Материалы VI молодежная школа-конференция. — Казань, 2007. - С. 173-175.

67. Просвиряков Е.Ю., Стружанов В.В. Устойчивость деформирования образца в устройстве для реализации растяжения и кручения. // Проблемы прикладной математики и механики: Сб. трудов. — Екатеринбург, 2007. С. 41-67.

68. Протосеня А.Г., Ставрогин А.Н., Черников А.К., Тарасов Б.Г. К определяющим уравнениям состояния при деформировании горных пород в запредельной области. // ФТПРТИ. 1981. - № 3. - С. 33-42.

69. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твёрдого тела. — М.: Наука, 1979. 744 с.

70. Радченко В. П. , Небогина Е.В., Басов М.В. Структурная модель закри-тического упругопластического деформирования материалов в условиях одноосного растяжения. // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. — 2000. — Вып. 9. — С. 55-65.

71. Радченко В. П. , Небогина Е.В., Андреева Е. А. Структурная модель разупрочняющегося при ползучести материала в условиях сложного напряженного состояния. // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2009. - № 1(18). - С. 75-84

72. Радченко В. П. , Небогина Е.В., Басов М.В. Структурно-феноменологический подход к описанию полной диаграммы упруго-пластического деформирования. // Известия вузов. Машиностроение. 2000. - № 5-6. - С. 3-13.

73. Райе Дж. Р. Об устойчивости дилатантного упрочнения насыщенных скальных массивов // Определяющие законы механики грунтов. (Механика. Новое в зарубежной науке). — М.: Мир, 1975. — С. 195-209.

74. Рыжак Е.И. К вопросу об осуществимости однородного закритического деформирования при испытаниях в жесткой трехосной машине // Изв. АН СССР: МТТ. 1991. - № 1. - С: 111-127.

75. Рыжак Е.И. О необходимости условий Адамара для устойчивости упру-гопластических тел. // Изв. АН СССР: МТТ. 1987. - № 4. - С. 101104.

76. Рыжак Е.И. Об устойчивом закритическом деформировании в нежесткой трехосной испытательной машине // Докл. АН. — 1993. — Т.ЗЗО, № 2. С. 197-199.

77. Рыжак Е.И. Об устойчивом закритическом деформировании упруго-пластических образцов, стесненных обоймой конечной жесткости // Изв. РАН: МТТ. 1995. - № 3. - С. 117-135.

78. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т.1. — М.: Наука, 1970. — 492 с.

79. Седов JI. И. Механика сплошной среды. Т.2. — М.: Наука, 1970. — 568 с.

80. Ставрогин А.Н., Певзнер Е.Д., Тарасов Б.Г. Запредельные характеристики хрупких горных пород // ФТПРПИ. — 1981. — № 4. — С. 8-15.

81. Стружанов В.В., Просвиряков Е.Ю. Бифуркации процесса кручения с растяжением в одной стержневой системе. // Механика микронеоднородных материалов и разрушение. : Тез. докл. V Всеросс. конф. — Екатеринбург: Изд-во Имаш УрО РАН, 2008. — С. 155.

82. Стружанов В. В. Восстановление диаграмы деформирования материала по диаграмме чистого изгиба. // Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2008. - №6 (65). - С. 322-328.

83. Стружанов В. В., Миронов В. И. Деформационное разупрочнение материала в элементах конструкций. — Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 1995. 192с.

84. Стружанов В.В., Просвиряков Е.Ю. Итерационный метод и устойчивость в задаче о растяжении с кручением упругопластической детали в конструкции при её мягком нагружении // Вычисл. мех. сплош. сред.- 2008. Т. 1, № 3. С. 106-116.

85. Стружанов В. В., Башуров Вяч. В. Модификационная модель Мазинга. // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. — 2007. — №1(14).- С. 29-39.

86. Стружанов В.В., Просвиряков Е.Ю., Бурмашева Н.В. Об одном методе построения единого потенциала. // Вычисл. мех. сплош. сред. — 2009.- Т. 2, № 2. С. 96-107.

87. Стружанов В. В., Крахмальник Г.Л. Об одной обратной задаче в теории неупругого изгиба. // Изв. Уральского госуниверситета Сер. Математика и механика. — 2002. — Вып. 4. — С.175-182.

88. Стружанов В.В., Просвиряков Е.Ю. Об устойчивости одной деформируемой градиентной системы. // Актуальные проблемы теории устойчивости и управления. Тез. докл. Междунар. конференции. — Екатеринбург: УрО РАН. 2009. С. 131-133.

89. Стружанов В.В., Просвиряков Е.Ю. Растяжение с кручением. Сообщение 1: свойства материала. // Вестн. Сам. гос. тех. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2008. - № 1(16). - С. 36-44.

90. Стружанов В.В., Просвиряков Е.Ю. Растяжение с кручением. Сообщение 2: Устойчивость процесса деформирования образца в механической системе. Жёсткое и мягкое нагружение // Вестн. Сам. гос. тех. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2008. - № 2(17). - С. 77-86.

91. Стружанов В. В. Свойства разупрочняющихся материалов и определяющие соотношения при одноосном напряженном состоянии // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. — 2007. — № 2(15). — С. 69-78.

92. Тимошенко С. П., Гере Дж. Механика материалов. — М.: Мир, 1976. — 599 с.

93. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошной среды. — М.: Мир, 1975. — 592 с.

94. Фадеев А.Б. Метод конечных элементов в геомеханике. — М.: Недра, 1987. 221 с.

95. Фейган М. Неупругое поведение при совместном действии растяжения и кручения // Механика. — 1956. № 3. - С. 125-139.

96. Фридман Я.Б. Механические свойства металлов. Ч. 1. Деформация и разрушение. — М.: Машиностроение, 1974. — 472 с.

97. Хилл Р. Бифуркация и единственность в нелинейной механике сплошной среды. // Проблемы механики сплошной среды. Сб. науч. тр. М.: Ан СССР, 1961. С. 448-457.

98. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. — М.: Мир, 1989. — 655 с.

99. Хорошун Л.П. К оценке трещипостойкости материала на основе диаграммы деформирования. // Прикл. механика. — 1989. — № 2. — С. 59-66.

100. Черепанов Г.П. О закритических деформациях. // Пробл. прочности. 1985. - № 8. - С. 3-8.

101. Шейдаков Д.Н. О влиянии силы тяжести на устойчивость неоднородного слоя при двухосном растяжении и сжатии. // Изв. РАН. МТТ. — 2009. № 2. - С. 93-100.

102. Шейдаков Д.Н. Устойчивость прямоугольной плиты при двухосном растяжении. // Прикладная механика и техническая физика. — 2007. — Т. 48. Ш. С. 94-103.

103. Яблонко В.Я., Богуцкий В.В. Жёсткость и быстродействие машин с обратной связью при испытании на растяжение. — М.: Труды НИКИМП, 1978. С. 216-219.

104. Anderson By H, Bergkvist H. Analysis of a non-linear crack model // J. Mech. Phys. Solids. 1970. Vol. 18. pp. 1-28.

105. Bazant, Z.P., Belytschko, Т. В., and Chang, T.-P. Continuum model for strain softening. J. of Engrg. Mechanics ASCE, 1984 V. 110 №12. P. 16661692.

106. Bazant Z.P. Softening instability. Path I. Localization into a planar band // J. Appl. Mech. ASME. 1988. V.55. P.517-522.

107. Bazant Z.P. Softening instability. Path II. Localization into ellipsoidal regions // J. Appl. Mech. ASME. 1988. V.55. P.523-529.

108. Bazant, Z.P., Cedolin, L. Stability of Structures: Elastic, Inelastic, Fracture and Damage Theories. Oxford University Press. New York. 2003. 1012p.

109. Burbash J. Eine Zerreismaschine mit besonders grosser Federconstante // Techniscle Mitteilungen Krupp. Forsch. Ber. 1966., V. 24, №3. S. 79-89.

110. Carpinteri A. Softening and shap-back instability in cohesive solids. // Int. J. Numer. Meht. Eng. 1989. V. 28, № 7. P. 1521-1537.

111. Drucker D.C. A definition of stable inelastic material // J. Appl. Mech. ASME. 1959. V.26. P.101-106.

112. Frantziskonis G, Pesai C.S. Constitutive model with strain-softening // Int. J. Solids and struct. 1987. V. 23, № 6. P. 733-750.

113. Hill R. Uniqueness criteria and extremum principles in soft-adjoint problems of continuum mechanics. //J. Mech. Phys. Solids. 1962. V.10. № 3. P. 185194.

114. Kreiskorte H., Funk W. Die Simulation einer «harten» Werkstoffpruf maschine // Materialprufung. 1970. V. 12, № 1. S. 1-6.

115. Ma S.Y.A., May I.M. The Newton-Raphson method used in the non-linear analysis of concrete structures. // Comput. and concrete Struct. 1986. V.24, № 2. P.117-185.

116. Pijandier-Cabot G. Finite Element Analysis of Bifurcation in Nonlocal Strain Softening Solids. // Second World Congress on Computational Mechanics. August 27-31, 1990. Stuttgart, FDG. P. 157-160.

117. Read H.E., Hegemier C.A. Strain softening of rock, soil and concrete. A review artile// Mech. of Materials. 1984. V.3, № 4. P. 271-294.

118. Reinhardt H.W., Cornelissen H.A.W., Hordijk P.A. Tensile test and failure analysis of concrete // J. Struct. Eng. 1986. V.112, №11. P. 2462-2477.

119. Punesson K., Larsson R., Sture S. Characteristics and computational procedure in softening plasticity //J. Eng. Mech. 1989. V. 115. № 8. P. 1628-1646.

120. Smith E. The failure of a strain-softening solid containing on internal // Teoretical and Applied Fracture Mechanics. 1990. Vol. 14, № 1. P.65-70.

121. Smith E. The size of the fully developed softening in a associated with a crack in a strain-softening material. I. A semi-infinite crack in a remotely loaded infinite solid // Int. J. Eng. Sci. 1989. V. 27, № 3. P. 309-314.

122. Smith E. The size of the fully developed softening zone associated with a crack in a strain-softening material. I. A semi-infinite crack in a remotely loaded infinite solid // Int. J. Eng. Sci. 1989. V. 27, № 3. P. 301-307.

123. Susuki A. A modified fraction model with a nonhardening strain region // Нихон кикай чаккай роибужю. Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. 1986. V. A52, №481. P. 2294-2299.

124. Thom R. Stabilite Structurelle et Morphogenese. N.-Y.: Benjamin, 1972. 362 p.

125. Torrenti J.M. Some remarks upon concrete softening // Mater, et. constr. 1986. V. 19, №113. P. 391-394.

126. Wawersik W.R., Brace W.F. Post-failure behaviour of a granite and diabase // Rock. Mech. 1971. V.3, №3. P. 61-85.