Задачи пластического деформирования тонких пластинок из дилатирующих разносопротивляющихся материалов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение

1. Обзор известных моделей пластических изотропных разносопротивляющихся материалов

2. Определяющие соотношения дилатирующих разносопротивляющихся материалов, работающих за пределами упругости

2.1. Пространство нормированных напряжений

2.2. Условие пластичности для дилатирующих материалов

2.3. Краткие выводы

3. Постановка задачи изгиба пластин из дилатирующих разносопротивляющихся материалов за пределом упругости

3.1. Основные гипотезы

3.2. Изгиб прямоугольных пластин за пределами упругости

3.3. Методы решения разрешающих уравнений

3.4. Краткие выводы

4. Расчет пластин за пределом упругости и анализ полученных результатов

4.1. Алгоритм решения задачи

4.2. Результаты расчета пластин и анализ полученных результатов

4.2.1. Шарнирно опертая квадратная пластина из полиметилметакрилата

4.2.2. Жестко защемленная квадратная пластина из полиметилметакрилата

4.2.3. Жестко защемленная прямоугольная пластина из полиметилметакрилата 103 4.2.4- Шарнирно опертая квадратная пластина из чугуна МСЧ38

4.2.5. Жестко защемленная квадратная пластина из чугуна МСЧ38

4.2.6. Жестко защемленная прямоугольная пластина из чугуна МСЧ38

4.2.7. Исследование влияния модуля упругости и коэффициента Пуассона на величины прогибов и значения нагрузок, соответствующих развитию характерных уровней пластичности

4.3. Краткие выводы

В последние годы происходит широкое внедрение композитных и полимерных матергиалов в строительстве, в машиностроении, а также во мнотих других отраслях яародното хозяйства. Однако полноценное их применение осложнено отсутствием единой расчетной базы.

Анализ экспериментальных данных по деформированию и предельнъвл состояниям таких материалов как чугупов, графитов, бетонов указывает на не применимость к ним обобщенного закона Тука. Гораздо более эффективным оказывается аналитическое представление опытных данных при одноосном растяжении и при одноосном сжатии различными линейными функциями с вычислением модулей деформации, соответствующих одноосному растяжению и одноосному сжатию. Этот подход можно считать основным для представления свойств изотропного разносопрот'ивляющетося материала.

При выходе за пределы упругости, линейные аппроксимации оказываются недостаточно точны, и в этом случае необходимо использовать более точные нелинейные аппроксимации. Следует также заметить, что, вьшхе упомянутые, нелинейные аппроксимации должны учитывать характерную особенность деформирования разносопротивляющихся материалов -зависимость характеристик деформирования от вида напряженного состояния и склонность к дилатации. Причем последнее замечание в большей степени относится к области пластических деформаций материалов, поскольку экспериментальные данные указывают на то, что зависимость деформационных характеристик материалов от вида напряженного состояния проявляется при высоком уровне напряжений.

До недавнего времени ставилось под сомнение влияние вида напряженного состояния на деформационные характеристики материалов, а результаты экспериментов, подтверждающих это явление, связывались с низким качеством постановки самих экспериментов. Прогресс в этом направлении бьш, достигнут за последние десятилетия советскими и российскими учеными. По мере накопления экспериментальных данных явление разносопротивляемости отмечалось уже у щирокого класса материалов и стало вызывать заметный интерес среди ученых. Естественно, что развитие исследований в этой области привело к появлению фундаментальных результатов в области построения определяющих соотношений разносопротивляющихся сред.

Дальнейшее изучение свойств и поведения, разно сопротивляющихся материалов обнаружило, что ощутимые эффекты, возникающие в работе конструкций, связанные с явлением разно сопротивляемости, обнаруживаются лишь при сложном напряженно-деформированном состоянии. К числу таких состояний, несомненно, относится плоское напряженное состояние. Диаграммы предельных состояний некоторых материалов приводятся ниже. На рис. 0.1 приведены диаграммы предельных состояний бетонов с пределом прочности на сжатие К=30.9 МПа (сплошная линия) и К=18.64 МПа (штриховая линия) [1] ; на рис. 0.2 - мелкозернистого графита марки МПГ - б (сплошная линия) и среднезернистого марки ВПП (штриховая линия), полученные при испытании трубчатых образцов под действием внутреннего давления и осевой силы [2]; на рис. 0.3 - чугунов СЧ 18 - 36 (сплошная линия)131 и СЧ 400 (штриховая линия) [4] ; на рис. 0.4 - полиметилметакрилата [5]; на рис. 0.5 - фторопласта [6] и на рис, О.б - фенопласта К-18-2 [71.

0.2

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2

0.2

Рис. 0.1

-0.2

0.4

-0.6

0.8

-1.0

-1.2

-1.0 -0.8 -О.б -0.4 -0.2 О 0.2

0.4

На основе анализа приведенных диаграмм предельных состояний можно заключить, что вид напряженного состояния существенно влияет на величину предельных напряжений. Причем следует отметить, что эта величина зависит не только от вида напряженного состояния, но и от количественного соотношения возникающих напряжений.

Как уже ранее отмечалось, явление разносопротивляемо-сти материалов вносит существенные эффекты в работу конструкций лишь при сложном напряженно-деформированном состоянии. Ярким примером которого является изгиб. Поэтому плиты, пластины, оболочки представляют большой интерес с позиции теории разносопротивляюшихся сред, а учет свойств разносопротивляемости может привести к глобальному пересмотру механики пластин и оболочек.

Изучению пластического изгиба пластин посвящен ряд работ. Причем для материалов с классическими свойствами исследования в этой области, в основном сводятся к определению предельных нагрузок, а что касается разносопро-тивляющихся материалов, то работы носят теоретический характер без проведения расчетов.

С учетом вьш1е сказанного целью данной работы является решение задачи пластического изгиба пластин из дилатирую-щих разносопротивляющихся материалов, получение значений предельных нагрузок и изучение развития пластических зон по толщине пластины с ростом нагрузки.

Для этой цели необходимо: ввести пространство нормированных напряжений, связанное с октаэдрическими площадками. сформулировать условие пластичности разносопротивляющихся материалов; получить дифференциальные уравнения, описывающие изгиб пластин из дилатирующих разносопротивляющихся материалов; модифицировать метод конечных разностей для решения полученных уравнений; решить ряд практических задач пластического изгиба пластин из дилатирующих разносопротивляющихся материалов.

В диссертации решается актуальная задача описания пластического изгиба пластин из дилатирующих разносопро-тивляющихся материалов. Причем полученные результаты указывают на то, что поведение пластин из рассмотренных материалов при изгибе за пределом упругости не укладывается в рамки классической теории изгиба пластин. Следует также заметить, что данная работа не претендует на точное описание пластического изгиба пластин из любого, разносопро-тивляющегося материала. В дальнейшем следует развивать теорию изгиба пластин для подобных материалов, предлагать новые варианты условий предельных состояний, развивать специальные численные методы. При последующем накоплении определенного запаса знаний в этой области можно будет говорить о применимости какого-то определенного подхода к описанию свойств того или иного класса материалов. И чем богаче будет этот запас, тем с большей степенью уверенности можно будет прогнозировать работу рассматриваемых, в рамках данной диссертационной работы, конструкций.

Новыми научными результатами, которые выносятся на защиту, являются: определяющие соотношения описывающие пластическое состояние разносопротивляющихся дилати-рующих материалов; математическая модель пластического изгиба пластин из разносопротивляющихся материалов; вариант модификации метода конечных разностей на случай пластического изгиба пластин из раз-носопротивляющихся материалов; описание пластического изгиба пластин из раз-носопротивляющихся материалов; конкретные результаты расчета пластин из раз-носопротивляющихся дилатирующих материалов за пределами упругости, количественные и качественные эффекты, проявляющиеся за счет специфических свойств материалов-Диссертационная работа состоит из четырех разделов, заключения, списка цитируемой литературы и приложений.

В первом разделе приводится обзор основных условий предельного состояния разносопротивляющихся материалов.

Во втором разделе рассматривается вариант нормированного пространства напряжений связанного с октаэдрическими площадками, выводится условие пластичности для дилатирую-щих разносопротивляющихся материалов. Для вывода зависимостей между пластическими составляющими приращений деформации и напряжениями принимается ассоциированный с введенным условием пластичности закон течения. Из общих соотношений выводятся уравнения для описания пластического деформирования в условиях плоской деформации. Проверяется выпуклость предельной поверхности в соответствии с постулатом Друккера.

В третьей главе происходит постановка задачи изгиба пластин из дилатирующих разносопротивлющихся материалов за пределом упругости. Приводятся основные принятые в работе предпосылки и гипотезы для описания работы пластин. Выводятся дифференциальные уравнения равновесия пластин из указанных вьше материалов, распространяется метод конечных разностей, на случай разносопротивляющихся дилатирующих материалов.

В четвертой главе проводится расчет прямоугольных жестко заделанных и шарнирно опертых пластин. Производится анализ полученных результатов.

Заключение содержит основные и общие выводы по проведенным исследованиям напряженно - деформированного состояния пластин из разносопротивляющихся дилатирующих материалов . В приложениях представлен обширный графический и табличный материал, как результат о выполненных расчетах и практической применимости полученных в диссертации результатов.

Основные материалы диссертации опубликованы в авторских работах [2 7 -3 7] .

ОБЗОР ИЗВЕСТНЫХ МОДЕЛЕЙ ПЛАСТИЧЕСКИХ ИЗОТРОПНЫХ РАЗНОСОЛРОТИВЛЯЮЩИХСЯ МАТЕРИАЛОВ

Вопрос установления критериев прочности и пластичности материалов имеет богатую историю. Первые предположения в этой области были сделаны Галиллеем и Лейбницем. В дальнейшем развитию теорий прочности были посвящены работы Сен-Венана, Мизеса, Генки, Мариотта, Ляме, Клебша, Баушингера, Бельтрами и других выдающихся механиков. Работы этих исследователей, впоследствии были объединены в виде теорий прочности и названы классическими. Естественно, в данной главе не представляется возможным охватить все теории и гипотезы, сделанные различными исследовате-ляъш, причем многие из этих предположений, с дальнейшем развитием науки, стали представлять лишь историческую ценность. В изложении теорий, заслуживающих на наш взгляд рассмотрения и представляющих научную ценность, постараемся соблюдать хронологическую последовательность их возникновения .

В 1773 г. Кулоном была предложена теория прочности в которой в качестве критерия прочности фигурирует наибольшее касательное напряжение [8]. Позднее эта теория получила название теории максимальных касательных напряжений. Согласно этой теории наступление предельного состояния формулируется в виде сг* < СГ) - с-з < СГр (1.1) где <5сг сор - предельные напряжения при сжатии и растяжении; Ог, а2, Оз - главные напряжения, причем а1>а2>стз.

Геометрической интерпретацией теории максимальных касательных напряжений в пространстве главных напряжений является шесть плоскостей при пересечении образующих правильную шестигранную призму (рис. 1.1.а) . В случае плоского напряженного состояния предельная кривая будет соответствовать шестиугольнику (рис. 1.1.6)

Теория максимальных касательных напряжений была распространена Кулоном на материалы неодинаково сопротивляющиеся растяжению - сжатию. Для этого была выдвинута гипотеза, что в случае сжатия (среднее напряжение с отрицательным знаком) максимальное касательное напряжение является линейной функцией среднего нормального напряжения в плоскости расположения ТЪа^ лтах=л-л*+л (1-2)

Для случая одноосного растяжения и одноосного сжатия уравнение (1.2) запишется в виде: л = «.л + г,; л = .а-ААЬ (1.3)

Решая уравнения {1.3} совместно относительно а и Ь с учетом зависимостей =-, <т =-получим уеловие предельного состояния в форме о-,-Лаз<а (1.4)

Условию (1.4) в пространстве главных напряжений соответствует предельная поверхность в виде шестигранной равно наклонной к осям пирамиды (рис. 1.2, а) В случае плоского напряженного состояния предельная кривая будет соответствовать шестиугольнику (рис. 1.2.6)

Уравнение (1.4) можно получить исходя из теории Мора [9]. Физический смысл этой теории может быть сформулирован в следующем виде: нарушение прочности материала наступает либо при достижении касательными напряжениями х некоторой критической величины, зависящей от нормальных напряжений а, действующих по тем же плоскостям скольжения, либо при достижении наибольшим нормальным напряжением Ох предельного для данного материала значения. Исходя из самой формулировки, нетрудно заключить, что данный критерий прочности основан на предположении, что среднее главное напряжение аг оказывает малое влияние на наступление предельного состояния и может не учитываться.

Построив в координатах а, т семейство кругов Мора, соответствующих различным предельным напряженным состояниям, можно провести огибающие этого семейства. В таком случае любой круг Мора, касающийся предельных огибаюших, определяет некоторое множество предельных напряженных соТ стояний. Поэтому, если задано некоторое напряженное состояние, то можно построить для него круг Мора и увеличивать его размеры до тех пор, пока он не коснется предельных огибающих; отношение радиусов полученных таким образом предельного и начального кругов Мора определит коэффициент запаса для данного напряженного состояния»

Можно приближенно получить предельную огибающую, построив только три предельных круга Мора и проведя к ним касательные (предельные огибающие) (рис. 1.3). Здесь первый и второй круги изображают предельные состояния одноосного растяжения и сжатия соответственно (отрезок ОА -предел прочности при чистом растяжении сТр, отрезок ОВ -предел прочности при чистом сжатии Сс) . Третий круг отвечает некоторому предельному напряженному состоянию с главными напряжениями СТ1 и аз. Из рисунка видно, что СОзгГОг = ОхОзгОхОг или

ЕОз-ООх) : (С02-П01) = (ОО1-ОО3) : (ОО1+ОО2)

Заменяя в последнем соотношении отрезки линий соответствующими значениями напряжений, получим

ИЛИ

О;-03 =а

Последнее выражение совпадает с выражением (1.4) . Поэтому две только что рассмотренные теории бьши объединены в одну, получившую название теории Кулона - Мора. Представленная теория получила широкое распространение в механике и до сих пор она используется для определения предельного напряженного состояния некоторых материалов. Однако для случая разносопротивляющихся материалов на данный момент имеется недостаточное количество экспериментов, чтобы можно было точно указать границы и область ее применимости. Более того, в последнее время, благодаря бурному развитию материаловедения, появляются все новые, зачастую композитные материалы, пластические свойства которых, в той или иной мере, зависят от вида напряженного состояния.

Наряду с теорией постоянства максимальных касательных напряжений важное место в механике занимает теория Губера - Мизеса - Генки [8]. Эта теория относится к так называемым энергетическим концепциям. Основоположником данной теории можно считать Бельтрами, предположившему в 18 85 году, что опасное состояние материалов наступает при достижении удельной потенциальной энергией некоторого предела . Чтобы получить согласование этой теории с тем фактом, а) б) А

Рис. 1.4 что материалы могут выдерживать значительные гидростатические давления, не приходя в состояние текучести, Губер в 1904 году предложил на случай отрицательного шарового тензора, за критерий прочности принимать не полную величину потенциальной энергии, а только ту ее часть, которая отвечает за изменение формы. Математическая форма записи этого условия имеет вид: ах-Ог) Л+ (с2-аз) Л+ (аз-Cl) 2=2а/ (1.5)

Позднее Мизес в 1913 году и Генки в 1914 году, независимо друг от друга, доказали, что условие (1.5) справедливо и для положительного шарового тензора.

Геометрической интерпретацией условия (1.5) в пространстве главных напряжений является равнонаклонный к главным осям круговой цилиндр (рис. 1.4.а), описанный вокруг призмы Кулона. Для плоского напряженного состояния предельная кривая приобретает форму эллипса (рис. 1.4.6) .

Дальнейшее развитие проблемы установления критериев прочности и пластичности разносопротивляюшихся материалов происходило в основном по пути модификации гипотезы Мизе-са - Генки - Треска с применением различных форм учета влияния шарового тензора. Бьши предложены соотношения, предполагаюшие зависимость предельного состояния от величины гидростатического давления. К числу работ базирующихся на этой гипотезе относятся работы П. П. Баландина, Шлейхера, И. И. Миролюбова, Ю. И. Ягна, и некоторых других ученых.

Первой гипотезой, по-видимому, выдвинутой в этом направлении была гипотеза Шлейхера [ 9] , сформулированная в 1925 году. По этой теории в качестве критерия прочности материалов, неодинаково сопротивляющихся растяжению сжатию, следует принимать величину полной удельной энергии деформации, причем предельное ее значение должно быть не постоянной величиной, а некоторой функцией среднего (гидростатического) напряжения а-3л(7л/3. Предполагая зависимость удельной потенциальной энергии от а линейной,

Шлейхер предложил условие прочности в следующем виде:

2 2 2 <Л11 +л22 +л33 -ЭДо-цазг +0-110-33 +(Т22СНзз) + о 7 7 (1.6)

2(1 + V) . (ст/з + 43 + л23) + СЛс Ар)' (Л11 + л22 + СГзз) = СГСГ , где V - коэффициент Пуассона.

В критерий (1.6) входят две независимые константы -пределы прочности на растяжение ар и на сжатие ас- Предел прочности на сдвиг выражается через них по формуле

Тс =

2(1 + V)

В пространстве главных напряжений условию (1.6) соответствует замкнутая поверхность вращения - элипсоид со смещенным относительно начала координат центром (рис.1.5) .

Критерий Шлейхера недостаточно подтверждается опытами и поэтому почти не используется для практических расчетов .

Баландин П. П. [10] предложил за меру прочности в пределах упругости для изотропного, однородного упругого материала принять величину потенциальной энергии связанной с изменением формы тела, причем предельное ее значение считать не постоянной величиной, а зависящей от напряженного состояния, именно, линейно от гидростатического давления, а входящие в условие прочности два параметра Ор и Ос определять из простейших опытов.

Это условие можно записать в следующем виде:

1.7) где V ось эллипсоида

Рис. 1.5.

Рассматривая случай одноосного растяжения, из условия (1.7) будем иметь

1 + 11 ,

-(Ор)'=ал + Ь. (1.8)

Аналогично для случая одноосного сжатия получим

А-А(а,УА~аААЬ. (1.9)

Решая совместно систему уравнений (1.8) и (1-9) получим

1+ А , ч

1+Л1 Е

Таким образом, в развернутом виде критерий прочности

Баландина по условию (1.7) запишется в форме:

2 2 2 0-„ +0-22 +0-33 -(0-11Л22 +Л11<Л33 +л22л3з) +

3(СГ^ + СТ3 + Л23) + (Лр - ) • (Л11 + Л22 + ЛЗЗ) «^р^

В критерий (1.10) , так же как и в критерий (1.6) , входят две константы прочности материала: Ор и сГс- Предел же прочности на сдвиг Тз выражается через и ас следую щим образом: 3

При ар=ас критерий Баландина приводится к критерию Губера - Мизеса - Генки (1.5) .

В пространстве главных напряжений предельной поверхностью, соответствующей условию (1.10) является параболоид (рис. 1.6) , пересекающий свою ось в единственной точке соответствующей предельному значению напряжения при всестороннем равномерном растяжении. С другой стороны поверхность разомкнута, т. е. при всестороннем сжатии прочность не ограничена.

Критерий Баландина подвергался экспериментальной проверке для ряда материалов, в частности, для закаленной стали, некоторых марок бетона и др. В результате экспериментов, проведенных над твердозакаленной инструментальной сталью марок У12А, Р18, 9ХС и др., для которых пределы прочности на растяжение и сжатие разнятся приблизительно вдвое, было установлено, что критерий Баландина дает хорошие результаты. Однако ограниченное число опытов при плоском напряженном состоянии не позволяют, на данный мо

Рис.1.б мент, оценить границы применимости этого критерия.

Миролюбов И. Н. [11] предложил записывать критерий прочности в виде полинома: аАЛ - аАг?- + (с-л - 0-33)л + (0-33 -аллУ + 6(с-л + с-л + о-л)

1.11)

7п + 0-22 + ст^з) + (а, - сг^,) (о-11 + 022 + СГ33) = Ора,.

Как следует из выражения (1.11) этот критерий представляет собой квадратичную функцию гидростатического напряжения и включает в себя две независимые константы прочности материала Ср и сТс- Предел прочности на сдвиг Тз выражается через пределы прочности на растяжение и сжатие следующим образом

В пространстве главных напряжений критерию (1.11) соответствует поверхность вращения - однополосный гиперболоид с осью, равнонаклонной к осям принятой системы координат (рис. 1.7).

ОСЬ гиперболоида

Рис. 1.7

Представленный критерий имеет два серьезных недостатка. Во-первых, предельная поверхность не имеет точек пересечения со своей осью и, следовательно, согласно рассматриваемому критерию прочность не ограничена и при всестороннем растяжении и при всестороннем сжатии, что для ряда материалов не соответствует действительности- Во-вторых, предельная поверхность Миролюбова обладает отрицательной Гауссовой кривизной и, следовательно, находится в противоречии с постулатом Друккера. Учитывая выше сказанное, трудно ожидать широкое применение этого критерия в практических расчетах. Однако, применительно к чугуну, при некоторых видах напряженного состояния, критерий Ми-ролюбова дает лучшие результаты, чем критерий Баландина.

Рассмотренные критерии Кулона - Мора, Баландина, Шлейхера, Миролюбова включают в себя две независимые константы материала ар и ас- Поэтому в пространстве напряжений каждому условию соответствует конкретная предельная поверхность- Однако, наряду с таким подходом, существует иной подход, предполагающий, что предельное условие должно содержать три независимые константы материала ар, ас и Тд. В этом случае критерии прочности будут иметь обобщенный характер, а при определенных соотношениях, между константами прочности, можно получить некоторые, рассмотренные ранее, предельные условия. Рассмотрим некоторые условия предельного состояния, использующие такой подход.

Ю. И. Ягн [12] предложил предельное условие записывать в виде полинома второй степени, симметричного относительно всех трех главных напряжений (последнее условие вытекает из условия изотропности материала): i((71 + (72 + СГз ) = с . Постоянные а, Ь, с должны находиться из опытов на од ноосное растяжение, одноосное сжатие и чистый сдвиг. Для каждого из этих простейших напряженных состояний в отдельности, выражение (1.12) примет форму

2<Ур + асТр+Ь(7р =с (растяжение)

7Л + 2асгЛ (7Л = с (сжатие) 6т Л = с (сдвиг)

Решая совместно эти три уравнения, относительно постоянных а, Ь, с, с последующей их подстановкой в уравнение (1.12) получим критерий предельного состояния Ягна в развернутом виде:

АА (<71АСГ2'2+СГз'з+2с71'2 + 2Л?3+2(72'з) + (1-А А)(0 - 11+а22 + аззл л 2г, 2г, (1.13) ((7, - ар ){ау, + (722 + ЛЪЪ) =

При ^s-л\ — условие (1.13) приводится к критерию Баландина. 2

При т = -условие (1.13) приводится к критерию Миролюбова.

7 .

При ар-иЛ-оЛ и гА=—р- условие (1.13) приводится к критерию удельной энергии формоизменения (1.5) .

В пространстве главных напряжений критерию Ягна соответствует не какая - либо определенная предельная поверхность второго порядка, а в зависимости от соотношения констант прочности либо параболоид, либо гиперболоид, либо цилиндр ИТ. д.

Границы применимости критерия Ягна, в следствие, недостаточной его экспериментальной проверке, до конца не исследованы.

При формулировке различных условий пластичности несмотря на различие исходных предпосылок проявлялось стремление описать одно и то же явление, а именно, зависимость характеристик пластичности и прочности материалов от вида напряженного состояния. Причем рассмотренные ранее критерии, как уже было ранее сказано, учитывали преимущественно влияние гидростатического давления на наступление предельного^состояния.

На рис, 1.8. приведена характерная диаграмма деформирования фенопласта К-17-2 на основе фенолформальдегидной смолы и древесных опилок в условиях одноосного сжатия при одновременном действии всестороннего давления рабочей среды р [13] (1-р=С,1 МПа; 2-р-ЗО МПа; 3-р=5С МПа; 4-р=1СС МПа; 1-р=18С МПа; 1-р=2СС МПа) . Здесь по осям отложены осевое напряжение и осевая деформация.

На рис. 1.9 приведены диаграммы деформирования построенные в координатах интенсивности деформаций

А0 - АИЗбубу и интенсивности напряжений ар = д/З/28А8А

8у =6л-Зу®/3 - девиатор тензора деформации, 8у = сгу - 3Aa/3

- девиатор тензора напряжений) трубчатых образцов из чугуна СЧ 15-32 [3], полученные при пропорциональном нагру-жении осевой силой и крутящим моментом. Кривая 1 соответствует одноосному растяжению, кривая б - одноосному ежатию, кривая 2 - чистому кручению, кривые 3, 4, 5 получены при отношении главных напряжений аз/ах = -2, -1.4, 0.217.

На рис. 1.10 представлены диаграммы деформирования фторопласта-4 [14,15,16] . Испытания проводились при пропорциональных нагружениях. Кривая 1 получена при одноосном сжатии, кривая 5 - при одноосном растяжении. Кривые 2, 3, 4 соответствуют плоским напряженным состояниям с соотношением средних напряжений к интенсивности напряжений а/ао = -0,2; -0,01; 0,17.

Представленные диаграммы отчетливо демонстрируют тот факт, что учет влияния одного гидростатического давления на наступление предельного состояния разносопротив-ляющихся дилатирующих материалов не может считаться в общем случае удовлетворительным. В свете выше сказанного нельзя ожидать от критериев предельного состояния, предполагающих подобный подход, их универсального использования в практических расчетах. Хотя для отдельных материалов при частных напряженных состояниях они могут быть рекомендованы к применению. В общем же случае предельные зависимости должны учитывать влияние как гидростатического давления, так и вида напряженного состояния на наступление предельного состояния.

Произвольное напряженное состояние можно определить несколькими параметрами, зависящими от вида напряженного состояния. Однако введение в определяющие соотношения всех качественных параметров не всегда оправдано так как существенно усложняет расчеты. Часто достаточно точные результаты можно получить, характеризуя вид напряженного состояния в среднем, применяя только один параметр. Неко

300

200

100 О

СГ , М П a

0,1 0,2 Рис. 1.8

0, 3

400 300 200 100 О

Оо , МП a

6 у"' 5 и - 4 3 lf х " 2 |

01 , МП a о

300

200

100

1 /Й f о

10 15

Рис. 1.10 торые исследователи указывают на целесообразность учета влияния вида девиатора напряжений путем введения в условие прочности фазового инварианта.

Гениев Г. А. и Киссюк В. Н. [17] при исследовании возможности применения к расчету бетонных конструкций различных критериев прочности предложили критерий предельного состояния с предельной поверхностью более общего вида, чем поверхность вращение второго порядка. Предложенное уравнение поверхности имеет следующий обший вид:

ЕПгг 32, Зз)-0, (1.14) где 11=а1+а2+сгз - первый инвариант тензора напряжений;

А1А+<А2А+<7зл-с?1<12-а1аз~а2аз) /3-второй инвариант девиатора напряжений; Ss^ijcSkjSij - третий инвариант девиатора напряжений 8 у = сгу - SjJa .

Авторами предложен следующий конкретный вид предельной поверхности по уравнению (1.14)

5,

3Е-2 = + В 1-(1-С) 1- (1.15) где А, В, С - постоянные коэффициенты, выражающиеся через пределы прочности на простое растяжение, сжатие и сдвиг.

После выражения коэффициентов А, В, С через Стр, Стс и Хз критерий (1.15) принимает следующий вид:

3А2 = 1- 1.16) 2 1

В пространстве главных напряжений предельная поверхность, соответствующая критерию (1.16) , вписана в поверхность параболоида Баландина (рис. 1.11) . При соотношении обе поверхности совпадают. Используя постулат

Л 3

Друккера о выпуклости предельной поверхности, получаются

Т.

Рис 1.11 следующее ограничения на константы прочности материала

Таким образом, в критерий (1.16) входят три независимые константы прочности материала сГр, и 'ls, а последний член в этом выражении связан с углом вида девиатора напряжений выражением совЪц>--1-, где созЗЛ - фазовый инвариант.

2о-о с другой стороны угол вида девиатора напряжений непосредственно связан с параметром Лоде - Надаи.

Из последнего выражения видно, что для различных видов напряженного состояния параметр //л может принимать одно и то же значение. В качестве примера рассмотрим случай когда а1=(72' тогда 1лл=\ независимо от того чему равно 0-3, т. е. это значение будет сохраняться в случаях трехосного растяжения, двухосного растяжения сжатия и т.

Д.

Таким образом, фазовый инвариант не позволяет различить качественную картину напряженно деформированного состояния материала. К тому же использование параметра Ло-де-Надаи или фазового инварианта в условиях пластичности существенно усложняет расчеты напряженно деформированного состояния элементов конструкций. С другой стороны поправка, которую вносит учет этих параметров, часто имеет тот же порядок, что и разброс экспериментальных данных. Хотя при формулировке условий прочности применение параметра Лоде - Надаи или фазового инварианта в некоторых случаях может быть целесообразно. Так проведенная экспериментальная проверка на образцах из бетона показала хорошее соответствие экспериментальных данных и расчетных результатов, полученных при использовании критерия Гениева - Кис-сюка.

В работе [18] Л. А. Толоконников предлагает определить предельную поверхность в форме (о-,т,со8 3(;i?)=0 (1.17)

В выражении (1,17) аргументами функции, представляющей предельную поверхность, приняты величины нормального и и касательного т напряжений на октаэдрических площадках, а также угол (р между направлением касательного напряжения и направлением из центра площадки на первую из главных осей (рис.1.12), Уравнение оси а определяется выражением <5Л= *з.л= (5Л, а полуось изменения г лежит в плоскости, перпендикулярной оси о.

Аналитически предельную поверхность предлагается представлять полиномами по сг, г с коэффициентами, зависящими от (р. Простейшей в этом классе является поверхность деформированного параболоида вращения:

Атл + Вт + Са = 1. (1.18) где А, В считаются экспериментально определенными функциями (р. Коэффициент С не может зависеть от ср из-за единственности точки предельной поверхности на оси а .

Если считать коэффициенты А, В постоянными то условие (1.18) может быть сведено к критерию Баландина. При учете зависимости А и В получим поверхность деформированного параболоида". Простейшей из поверхностей такого класса будет поверхность, любое из меридиональных сечений которой можно получить преобразованием подобия одного из меридиональных сечений. Например, возьмем выражение (1.18) в виде а(1+ тсовЗсрАтА + /йС08 3<Л) г + -= 1, (1.19) где а, Р, т, - константы.

Для определения констант а, т, сгА в работе [18] рекомендуется использовать опыты по одноосному растяжению или одноосному сжатию, опыты по двухосному равномерному сжатию круглого диска и опыты по кручению цилиндрической трубки.

В расчетах технологических процессов порошковой металлургии широкое распространение получило условие пластичности выдвинутое Грином [19], которое может быть представлено в следующей форме: л . Л . 1 , (1.20, где Г = -л (а!-стг)л + (сг2- (7з) л+ (сгз-о" !) л - интенсивность кал/б сательных напряжений; а, Ь, с - константы материала, определяемые из опытов на одноосное растяжение, одноосное сжатие и чистый сдвиг.

В ряде работ в качестве параметра вида напряженного состояния принимаются отношение среднего напряжения а к интенсивности напряжений Оо • Так в работе [20] Ломакиньм Е. В. рекомендуется использовать параметр л*-а1а,л, который в среднем характеризует соотношение между нормальными и касательными напряжениями. Условие предельного состояния в этой работе представлено в следующем, достаточно общем, виде:

F(ay)=/(r) а,Ак, (1,21) где / (л*) - функция, зависящая от вида напряженного состояния; л =л/3тл.

Вид функции / (<л*) определяется для каждого материала в отдельности, обработкой экспериментальных диаграмм предельных состояний этого материала при различных видах напряженного состояния. При некоторых конкретных видах этой функции условие (1,21) может быть приведено к ранее рассмотренным критериям прочности и пластичности.

При линейной аппроксимации функции /{л*л-\9лАл* приходим к условию Кулона - Мора в форме (1.4) .

При /{л*} = const получаем условие Губера - Мизеса -Генки <ЛЬ = .

Если функцию принять в виде то условие (1.21) приводится к критерию Баландина (1.10) .

Если функцию / (<л*) принять в виде то условие (1.21) приводится к критерию Ягна (1.13) . На рис. 1.13 приведены графики функции, зависящей от вида напряженного состояния, построенные на основании экспериментальных данных для полиэтилена высокого давления (кривая 1 ) ; для полиметилметакрилата (кривая 2 ) ; для фенопласта АГ-4В (кривая 3 ) . Значения констант к для этих материалов равны 14, 125 и 67 МПа соответственно.

На рис. 1.14 приведены графики указанной функции, построенные на основании экспериментальных данных для графита ВПП (кривая 1 ) ; для графита МПГ-6 (кривая 2 ) ; для чугуна МСЧ38-60 (кривая 3) . Значения констант к для этих материалов приняты 21, 4 6 и 2 90 МПа соответственно.

Для рассмотренных материалов, как рекомендовано в работе [2 0] , могут быть использованы следующие аппроксимации функций вида напряженного состояния - для полиэтилена высокого давления

1.22) для полиметилметакрилата

1.23) для фенопласта АГ-4В

1.24) для графита ВПП (Г) = 1 + 1.8бГ

1.25) для графита МПГ-6 /(Г) = 1 + 1.441*

1.26) для чугуна МСЧ38-60

1.2А

1.27)

Рис. 1.13 f

1 -0.67 -0.33 0 0.33 0,67

Представленные на рис. 1.13 и 1.14 графики функций обладают явно выраженной нелинейностью, что может значительно затруднить практические приложения критерия (1.21). С другой стороны, следует признать, что линейная аппроксимация функции типа / (Л*) может быть использована только на конечном интервале изменения параметра поскольку указанный параметр имеет неопределенности типа

00, а функция /(4*) необходимым образом должна быть положительно определенной. Необходимо также отметить, что свойственные параметру Л* неопределенности могут при отдельных напряженных состояниях создать непреодолимые сложности.

Проведенный выше анализ существующд-Лх критериев прочности и пластичности позволяет сделать вывод, что на данном этапе развития механики деформируемого твердого тела не существует единого подхода для определения предельного состояния элементов конструкций из дилатирующих разносо-противляюшихся материалов.

Поскольку явление разносопротивляемости не вносит существенных эффектов в работу конструкций при простых напряженно - деформированных состояниях, то предложенные формулировки предельных критериев имеют практический смысл лишь при сложном напряженно - деформированном состоянии тел. Ярким представителем которого является изгиб. С другой стороны, для многих конструкций главенствующими факторами, при описании их работы, являются переход в пластическое состояние и исчерпание ресурса пластичности.

Таким образом, диссертация посвящена актуальной проблеме механики твердого тела - формулировке условий предельного состояния дилатирующих разносопротивляющихся материалов и практическому их применению при расчете тонких пластинок выполненных из указанных материалов,

Основные результаты работы состоят в следующем:

1) В рамках данной диссертационной работы было сфор-мулированно условие пластичности дилатирующих разносопротивляющихся материалов = Данное условие позволило обобщить некоторые критерии, предлагавшиеся ранее другими авторами. Следует заметить, что выдвинутое предельное соотношение не претендует на общность описания пластического деформирования любого разносопротивляющегося материала, а может быть применено для определенного класса.

2. На основании предложенного условия пластичности исследована область непротиворечивых функций. Получены уравнения теории течения. Причем при описании процессов пластического дефорьлирования принимался ассоциированный с предложенным предельным соотношением закон течения. Следует заметить, что учет зависимости характеристик пластичности от вида напряженного состояния не внес значительных усложнений в уравнения пластического течения. Показано, что в рамках предложенных соотношений традиционно используемое предположение о несжимаемости материала несправедливо, поскольку процесс накопления остаточной объемной деформации непосредственно связан с процессом формоизменения, что подтверждается известными экспериментальными данными. На основании общих соотношений получен вариант течения в условиях плоской деформации.

3. Для некоторых материалов на основании обработки экспериментальных данных получены аппроксимации материальных функций, зависяшЛих от вида напряженного состояния и входящих в условие пластичности. На примере полученных видов этой функции продемонстрировано,- что предельные поверхности, определяемые рассматриваемой функцией, имеют выпуклую форму, что находится в полном соответствии с постулатом Друккера.

4. Проведено исследование напряженно - деформированного состояния тонких пластин Кирхгофа, выполненных из изотропных дилатирующих разносопротивляюш?€хся материалов. Причем упругая стадия работы конструкции рассматривалось в рамках классической теории изгиба пластин. При появлении пластических деформаций работа пластины разделялась на две стадии: состояние односторонней и двусторонней текучести. Для всех указанных стадий бьши получены разрешающие дифференциальные уравнения равновесия.

5. Полученные уравнения бьши решены численным методом конечных разностей. Для чего была разработана специальная модификация этого метода на случай пластического изгиба пластин, выполненных из дилатирующего разносопротивляюще-гося материала.

6- В рамках предложенной методики был решен ряд прикладных задач. А именно, рассчитаны квадратные пластины из полиметилметакрилата и чугуна МСЧ 38-60 при шарнирном опирании и жесткой заделке контуров, а также жестко защемленная прямоугольная пластина при соотношении сторон 1:2 из указанных материалов. Расчет производился по трем вариантам. В качестве условия пластичности в первом варианте использовалось условие пластичности предложенное в данной работе. Во втором варианте это условие принималось как рекомендовано в работе [20]. Третий вариант расчета выполнялся в рамках классической теории изгиба пластин, при условии пластичности Мизеса.

7. Было проведено исследование влияния величины модуля упругости на значение прогибов, и коэффициента поперечной деформации на значение нагрузки при которых развивается тот или иной уровень пластичности.

Проведенный анализ полученных значений предельных нагрузок, нагрузок соответствующих появлению текучести и прогибов при учете свойств разносопротивляемости (I и II варианты расчета) позволил сделать вывод о том, что к данным материалам недопустимо применение классических подходов (III вариант). К тому же, исследование развития текучести по поверхности и по толшине пластины выявило качественно новую картину, не укладывающуюся в рамки классической теории изгиба пластин.

1. Kupfer H. В., Hilsdorf H. К., Rusch H. Behavior of concrete under biaxial stresses// AC1.Journal. -Vol. 66.1969. - N 8. - P. 656 - 666.

2. Фридман A. M., Ануфриев Ю. П., Барабанов В. H. Исследование разрушения углеграфио?овых материалов в условиях сложного напряженного состояния // Проблемы прочности.- 1973. -№ 1. С. 52 - 55.

3. Головенке В. С, Мидуков В. 3., Седоков Л. М. Прочность и деформируемость серого чугуна при всестороннем неравномерном сжатии // Проблемы прочности. 1973. -№ 1. - С. 56 - 58.

4. Лебедев А. А., Ковальчук Б. И. Влияние низких температур на прочность серого чугуна при сложном напряженном состоянии Проблемы прочности. 1970. -№ 8. - С. 80 -84.

5. Жуков А. М. Прочностные свойства полиметилметакрилата при двухосном растяжении // Инж. сб. 1960. - Т. 1.- Вып. 2-е. 2 00 204.

6. Гольдман А. Я. Прочность конструкционных пластмасс. Л.: Машиностроение, 1979. - 320 с.

7. Кан К. Н., Первушин Ю. С. Выбор критерия прочности для жестких термореактивных пластмасс // Механика полимеров. 1966. -№ 4. - С. 543 - 549.

8. Писаренко Г. С, Лебедев А. А. Деформирование и прочность материалов при сложном напряженном состоянии. -Киев, 1976. 416 с.

9. Гольденблат И. И., Копнов В. А. Критерии прочности и пластичности конструкционных материалов. М. : Машиностроение, 1968. -191 с.

10. Баландин П. П. К вопросу о гипотезах прочности // Вестник инженеров и техников. 1937. -№ 1. - С. 37 - 41.

11. Миролюбов И. Н. К вопросу об обобщении теории прочности октаэдрических касательных напряжений на хрупкие материалы // Труды ЛТИ. 1953. - Вып. 25. - С. 42 -52.

12. Ягн Ю. И. Новые методы расчетов на прочность// Вестник инженеров и техников. 1931. -№ 6. - С. 63 - 69.

13. Айнбиндер С. Б., Лака М. Г., Майоре И. Ю. Влияние гидростатического давления на механические свойства полимерных материалов // Механика полимеров. 19 65. -№ 1. -С. 65 - 75.

14. Гольдман А. Я., Савельев Н. Ф., Смирнова В.И. Исследование механических свойств тканевых стеклопластиков при растяжении и сжатии нормально к плоскости армирования // Механика полимеров. 1968. -№ 5. - С. 803 - 809.

15. Елсуфьев С. А. Исследования деформирования фторопласта 4 при линейном и плоском напряженном состояниях // Механика полимеров. - 1968. -№ 4. - С. 742 - 746.

16. Елсуфьев С. А., Чебанов В. М. Изучение деформирования фторопласта в условиях плоского напряженного состояния // Исследования по упругости и пластичности. -Л.: ЛГУ, 1971. Вып. 8. - С. 209 - 213.

17. Гениев Г. А., Киссюк В. Н. К вопросу обобщения теории прочности бетона // Бетон и железобетон. 19 65. -№ 2. - С. 16 - 19.

18. Толоконников Л. А. О форме предельной поверхности изотропного тела // Прикладная механика.- 1969. Вып. 10 . - Том 5.- С. 123 - 126.

19. Green R. J. А plasticity theory for porous solid// Int. J. Mech. Sei. Vol. 14. -1972 . - P. 215 -227 .

20. Ломакин E. B. Зависимость предельного состояния композитных и полимерных материалов от вида напряженного состояния // Механика композитных материалов. 1988.-Р 1. - С. 3 - 9.

21. Айнбиндер СБ., Алксне К. И., Тюпина Э.Л., Лака М.Г. Свойства полимеров при высоких давлениях. М., 1973.

22. Янг Ю.И., Евстратов В.В. Прочность и пластичность модифицированного чугуна при различных напряженных состояниях // Докл. АН СССР. 1957. - Т. 113. - №3. - С. 573-575.

23. Рейс Е. Учет упругой деформации в теории пластичности // Теория пластичности. -М.: Гостехиздат, 194 8,- С. 206-222.

24. Ильюшин A.A. Пластичность. -М. : Гостехиздат,-1948. -423 с.

25. Тимошенко СП., Войновский Кригер С Пластинки и оболочки. - М.: Физматгиз, 1963. -647 с.

26. Варвак П.М. Развитие и приложение метода сеток к расчету пластинок. К.: Изд-во АН УССР.- 1957. 339 с.

27. Треш;ев A.A., Божанов П.В. Вариант теории течения разносопротивляюш;ихся материалов // Сборник материалов всероссийской научной конференции «Современные проблемы- С. 71-72.

28. Трещев A.A., Божанов П.В Обобщение теории течения на случай разносопротивляющихся материалов / / Всероссийская научно техническая конференция «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии». - Тула: ТулГУ, 2000. - С. 108-109;

29. Божанов П.В., Трещев A.A. Уравнения пластического течения дилатирующих материалов при плоской деформации // Всероссийская научно техническая конференция «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии».- Тула: ТулГУ, 2000. С. 113-114;

30. Трещев A.A., Божанов П.В. Обобщение ассоциированного закона течения для изотропных материалов // Механика деформированного твердого тела и обработка материалов давлением. Тула: ТулГУ, 2 000. - С. 79-82.

31. Трещев A.A., Божанов П.В. Вариант обобщения уравнений идеальной пластичности для изотропных материалов // Устойчивость, пластичность, ползучесть при сложном нагру-жении. Тверь: ГТУ, 2 000. - вып. 2. - С. 72-7 8;

32. Трещев A.A., Божанов П.В. Вариант теории пластичности для изотропных материалов // 7-е академические чтения РААСН «Современные проблемы строительного материале

33. Божанов П.В., Трещев A.A. Пластический изгиб пластин из разносопротивляющегося материала // Сборник материалов всероссийской научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики». Тула: ТулГУ, 2001. - С. 61-62.

34. Божанов П.В., Трещев A.A. Исследования пластического изгиба пластин из дилатирующего материала // Всероссийская научно техническая конференция «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии». - Тула: ТулГУ, 2 001. - С. 14 - 18;

35. Трещев A.A., Божанов П.В. Уравнения пластического течения для материалов склонных к дилатации / / 2-я Международная научно практическая конференция «Геотехнологии: проблемы и переспективы» - Москва - Тула: ТулГУ, 2001. - С. 124 - 125.

36. Матченко Н.М., Толоконников Л. А. О связи между напряжениями и деформациями в разномодульных изотропных средах// Инж. журнал МТТ. 1968. - №6. - С. 108-110.

37. Толоконников Л. А. Вариант разномодульной теории упругости//Механика полимеров. -1969. №2. - С. 363-365.

38. Толоконников Л. А. Обобщение закона упругости/Технология машиностроения. Тула: ТПИ, 1970.- Вып. 20. - С. 148-156.

39. Гениев Г.А., Киссюк В.Н., Тюпин Г. А. Теория пластичности бетона и железобетона. М. : Стройиздат, 1974. - 316 с.

40. Петров В.В., Макеев А.Ф., Овчинников И. Г. Изгиб прямоугольных пластин из нелинейно-упругого разносопро-тивляющегося растяжению и сжатию материала // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1980. - №8. - С. 42 - 47.

41. Макеев А.Ф., Овчинников И.Г. Исследование влияния разносопротивляемости нелинейно-упругого материала на на-пряженно-дефорьлируемое состояние цилиндрической оболочки // Проблемы прочности. 1982. - №6. - С. 55 - 60.

42. Пономарев Б. В. Средний изгиб прямоугольных пластин из материалов, не следующих закону Гука // Сборник трудов МИСИ. М. - 1967. - №5 4. - С. 75-82.

43. Пономарев Б.В. Изгиб прямоугольных пластин из нелинейно-упругих материалов, неодинаково работающих на растяжение и сжатие // Прикладная механика. 19 68. -Т. 4. - Вып. 2. - С. 20 - 27.

44. Ломакин Е.В. Нелинейная деформация материалов, сопротивление которых зависит от вида напряженного состояния // Изв. АН СССР. МТТ. 1980. - № 4 - С. 92-99.

45. Панферов В.М. Теория упругости и деформационная теория пластичности для тел с различными свойствами на сжатие, растяжение и кручение // Доклады АН СССР. 19 68.- Т. 180. №1 - С. 41 - 44.

46. Трещев А.А., Матченко Н.М. О соотношениях теории упругости для изотропного разномодульного тела / ТПИ. -Тула, 1982. 4 с. - Деп. В ВИНИТИ 2 7.04.82 , № 2 056-82.

47. Матченко Н.М., Толоконников Л.А., Трещев А.А. Оп-ределяюшрие соотношения изотропных разносопротивляюшзхгхся сред. Часть 1: Квазилинейные соотношения // Изв. РАН. МТТ. 1995. - № 1. - С. 73 - 78.

48. Толоконников Л.А. Трещев А.А. К описанию свойств разносопротивляемости конструкционных материалов // Труды IX Конференции по прочности и пластичности. М. : ИПМ РАН, Профсервис, 1996. - С. 160 - 165.

49. Вялов С.С. Реологические основы механики грунтов.- М.: Высшая школа, 1978. 447 с.

50. Быков Д.Л. Основные уравнения и теоремы для одной модели физически нелинейной среды // Инж. Журнал МТТ. -1966. №4 . - С. 58 - 64.

51. Быков Д-Л. О некоторых соотношениях между инвариантами напряжений и деформаций в физически нелинейных средах // Упругость и неупругость. М. : МГУ, 1971. -Вып. 2. - С. 114 - 12 8.

52. Кудашов В.И., Устинов В.П. Расчет пространственных железобетонных конструкций с учетом физической нели

53. Козачевский А. И. Модификация деформационной теории пластичности бетона и плоское напряженное состояние железобетона с трещинами // Строительная механика и расчет сооружений. 1983. - №4. - С. 12-16.

54. Леонов М.Я., Русинко К.Н. О механизме деформаций полухрупкого тела // Пластичность и хрупкость. Фрунзе: ИЛИМ, 1967. - С. 86 - 102.

55. Леонов М.Я., Паняев В.А., Русинко К.Н. Зависимости между деформациями и напряжениями для полухрупких тел // Инж. журнал МТТ . 1967. - №6. - С. 26 - 32.

56. Новожилов В.В. О пластическом разрыхлении // Прикладная математика и механика. 1965. - Т. 29. - Вып. 4. - С. 681 - 689.

57. Ковальчук Б. И. О деформировании полухрупких тел // Проблемы прочности. 1982. - №9. - С. 51 - 57.

58. Петров В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластин и оболочек. Саратов: СГУ. 1975 . - 119 с.

59. Петров В.В., Овчинников И.Г., Ярославский В. И. Расчет пластинок и оболочек из нелинейно-упругого материала. Саратов: СГУ. 1976. - 133 с.

60. Безухов Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести. М.: Высшая школа, 1968. - 512 с.

61. Березин И.О., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т. 1. М.: Наука, 1966. - 632 с.

62. Фадеев Д.К., Фадеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М. -Л . : Физматгиз, 1963. - 743 с.

63. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М. : Наука, 1974. - 831 с.

64. Маркин A.A. К обоснованию теории оболочек. В об: «Работы по механике деформируемых сред», Тула: ТПИ. 1974 .

65. Трещев A.A. К расчету пластин из конструкционных графитов // Механика и прикладная математика. Труды Всесоюзной конференции "Современные проблемы информатики, вычислительной техники и автоматизации". Тула: Приокск. кн. изд-во, 1989. - с. 93 - 98.

66. Трещев A.A. Некоторые задачи изгиба пластин из разно сопротивляющихся материалов.: Дис. . канд. физ.-мат. наук / ТулПИ. Тула, 1 985. - 200 с.

67. Трещев A.A. О единственности решения задач теории упругости для анизотропных разносопротивляющихся сред / ТулПИ. Тула, 1992. - 7 с. - Деп. в ВИНИТИ 09.06. 92, № 1887-В92.

68. Трещев A.A., Кудинов В.Н. К изгибу пластин из квазилинейных материалов / ТулПИ. Тула, 1986. - 9 с. -Деп. в ВИНИТИ 18.06.86, № 4496-В86.

69. Трещев A.A., Шерещевский Л.А. О некоторых задачах теории оболочек, изготовленных из разномодульного материала // Актуальные проблемы механики оболочек. Казань: КАИ, 1983. - с. 211.

70. Стрельбицкая А. И., Колгадин В. А., Матошко СИ. Изгиб прямоугольных пластин за пределом упругости. Киев: Наукова думка, 1971. 244 с.

71. Тутьппкин Н.Д., Гвоздев А.Е., Трегубов В.М. и др. Комплексные задачи а?еории пластичности // под ред. Тутьш-кина Н.Д., Гвоздева А.Е. Тула: Тульский полиграфист, 2001г.-377 с.

72. Зубчанинов В.Г. Об определяющих соотношениях теории упругопластических процессов//ПМ.-1989.-Т.25-№5-СЗ-12

73. Bert C.W., Reddy J.N., Sudhakar Reddy V., Chao W.C. Bending of Thick Rectangular Plates Laminated of Bimodulus Composite Materials // AIAA Journal. 1981. -Vol. 19. - № 10. - P. 1342 - 1349.

74. Bert C.W., Gordaninejad F. Deflection of Thick Beams of Multimodular Materials // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1984. - Vol. 20.- P. 479 503.

75. Green A.E., Mkrtichian J.Z. Elastic Solids with Different Moduli in Tension and Compression // Journal of Elasticity. 1977. - Vol. 7. - № 4. - P. 369 - 368.

76. Jamroz L. Mechanizne I Wytzymalosciowe Wlasnosci Zeliwa Sferoidalnegon // Prace Instytutu Odlewnictwa. -1971. Rok. 21. - № 3. - P. 283 - 302.

77. Jones R.M. Modeling Nonlinear Deformation of Carbon-Carbon Composite Materials // AIAA Journal. 1980.- Vol. 18. № 8. - P. 995 - 1001.

78. Jones R.M., Nelson D.A.R. Theoretical-experimental correlation of material models for non--inear deformation of graphite // AIAA Journal. 1976. -Aol. 14 - №10. - P. 1427 - 1435.

79. Jones R.M. Buckling of Stiffened Multilayered circular Shells wiht Different Ortotropic Moduli in Ten-lione and Compression // AIAA Journal. 1971. - Vol.9. • №5 . - P. 917 - 923 .

80. Jones R.M. S t r e s s S t r a i n Relations for Materials 7ith Different Moduli in Tension and Compression // AIAA rournal. - 1977. - Vol. 15. - №1. - P. 16 - 25.

81. Jones R.M. A Nonsystemmetric Compliance Matrix, iipproach to Notlinear Multimodulus OrtotrQpic Materials

82. AIAA Journal. 1977. - Vol. 15. - № 10. - P. 1436 -.443.

83. Jones R.M., Nelson D.A.R. Further Characteristics >f a Nonlinear Material Model for ATJ-S- Graphite // rounal Composit Materials. 1975. - Vol. 9. - №7. - P. :51 - 2 65 .

84. Kamiya N. An energy method applied to large elas-: ic deflection of a thin plate of bimodulus material // rournal Struct. Mech. 1975. - Vol. 3. - № 3. - P. 317 -! 29.

85. Kamiya N. A circular cylindrical shell with different elastic moduli in tension and compression // Bul-.etin of the ISME. 1975. - Vol. 18. - P. 1075 - 108 1.-162